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INITIATION A LA MODELISATION ET AUX PERFORMANCES DES ROBOTS

EDITION: 2006

IMPRESSION: OCTOBRE 2007 H. DEMOUVEAU UTILISATION INTERNE

Initiation la modlisation

& aux performances

des Robots

Anne 2007-2008 H.DEMOUVEAU

Modlisation Robotique2007 Table des Matires

Table des Matires

CHAP.1. Les ARCHITECTURES DE ROBOT 1 1. Avant propos............................................................................................................ 1

1.1 Mcanismes motorisation unique ......................................................................... 1 1.2 Mcanismes poly-articuls ...................................................................................... 1

2. Particularits d'un ROBOT....................................................................................... 1 2.1 Dfinition d'un ROBOT ............................................................................................ 1 2.2 Les architectures de type srie................................................................................ 1 2.3 Les architectures de type parallle .......................................................................... 2

3. Familles de structures poly-articules ..................................................................... 3 3.1 Les architectures sries :......................................................................................... 3

3.1.1 Les architectures sries avec boucles cinmatiques: 3 3.1.2 Les architectures sries arborescentes: 4

3.2 Les architectures parallles .................................................................................... 4 4. Nature des articulations utilises en robotique ........................................................ 6 5. Morphologie des robots ........................................................................................... 7

5.1 Les architectures sries........................................................................................... 7 5.1.1 Sous-ensembles constituant un robot 8 5.1.2 Schma cinmatique des 12 principaux porteurs 8 5.1.3 Noms des principales architectures 10

5.2 Les architectures parallles ................................................................................... 14 5.2.1 Introduction 14 5.2.2 La plateforme de GOUGH 14 5.2.3 Diffrentes familles 15 5.2.4 robots pleinement parallles planaires 16 5.2.5 Organisations types des architectures parallles 20

CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION 23 1. Introduction ............................................................................................................ 23 2. Rappels mathmatiques ........................................................................................ 24

2.1 Expression de changement de repre................................................................... 25 2.2 Expression de transformation de vecteur dans un repre ..................................... 28

3. Utilisation des matrices homognes. .................................................................... 29 3.1 Changement de repre d'une matrice de transformation. ..................................... 29 3.2 Transformations successives dans un repre Ri................................................... 30 3.3 Succession de changements de repres............................................................... 30

4. Expression de quelques transformations l'aide des matrices homognes. ........ 31 4.1 Rotation autour d'axe privilgi, ou translation pure.............................................. 31 4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique........... 31 4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle exprim dans un repre Ri 31

5. Expression de transformations diffrentielles ........................................................ 33 6. Expressions du positionnement d'un point dans un repre Rg.............................. 35

6.1 Coordonnes cartsiennes.................................................................................... 35 6.2 Coordonnes cylindriques ..................................................................................... 35 6.3 Coordonnes sphriques....................................................................................... 36

7. Orientation d'un solide dans l'espace .................................................................... 36 7.1 Systme des angles d'Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre) ................... 36 7.2 Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101 ........... 37 7.3 Angles de Bryant (1 ,2 ,3 ) .............................................................................. 38 7.4 La mthode des quaternions (Hamilton 1843) ou paramres d'Euler : ................. 39

7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions : 39 7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs : 39


CHAP.3. MODELISATION GEOMETRIQUE 43 1. Introduction ............................................................................................................ 43 2. Paramtrage de DENAVIT HARTENBERG modifie par KHALIL ........................ 44

2.1 Description de structures gomtriques de robots ................................................ 44 2.2 Conventions de mise en place des repres :......................................................... 45

3. Modle gomtrique direct du robot : .................................................................... 47 3.1 Exemple de dtermination de modle gomtrique direct du robot : .................... 47 3.2 Cas des robots incluants des arborescences : ...................................................... 50 3.3 Cas des robots incluant des boucles fermes : ..................................................... 52

4. Modle gomtrique inverse ................................................................................. 54 4.1 Robot rsoluble:..................................................................................................... 54 4.2 Mthode de Paul.................................................................................................... 55 4.3 Ides de la mthode de Pieper.............................................................................. 58 4.4 Prsentation des calculs de la mthode de Pieper............................................... 59

4.4.1 Reprsentation de trois liaisons rotodes concourantes 59 4.4.2 Cas des robots possdant trois articulations prismatiques 62

5. Mthode numrique............................................................................................... 62 6. Mthode gnrale permettant de dterminer le modle inverse explicite ............. 64

CHAP.4. MODELISATION CINEMATIQUE 67 1. Introduction ............................................................................................................ 67 2. Modle diffrentiel direct........................................................................................ 67 3. Dtermination de la matrice Jacobienne du modle.............................................. 68

3.1 Mthode explicite directe ....................................................................................... 68 3.1.1 Principe de calcul : 70

3.2 Mthode analytique ............................................................................................... 70 3.3 Mthode diffrentielle ............................................................................................ 71

4. Relation Variables articulaires/ Coordonnes oprationnelles .............................. 73 4.1 Utilisation des angles d'Euler................................................................................. 73

5. Modle diffrentiel chanes arborescentes ......................................................... 74 6. Modle diffrentiel de structures chanes possdant des boucles fermes ....... 74 7. Modle diffrentiel inverse (tude des cas rguliers) ............................................ 76

7.1 1re mthode de calcul ........................................................................................... 76 7.2 2me mthode de calcul .......................................................................................... 76

CHAP.5. IDENTIFICATION DES ERREURS DE ROBOTS 79 1. Principales causes d'erreurs (Positionnement statique) ........................................ 79

1.1 Erreurs de quantification et de calcul..................................................................... 79 1.2 Erreurs d'talonnage.............................................................................................. 79 1.3 Erreurs cinmatiques de type systmatique.......................................................... 79 1.4 Erreurs cinmatiques de type alatoire ................................................................. 79

2. Nature des erreurs................................................................................................. 80 3. Nature de trajectoires assures par un robot ........................................................ 80 4. Prcision d'un robot en fonction du mode de programmation ............................... 80

4.1 Programmation On-Line (par apprentissage) ........................................................ 80 4.2 Programmation analytique..................................................................................... 80 4.3 Programmation Off-Line ........................................................................................ 80

5. Caractristiques gnrales .................................................................................... 82 5.1 Charge ................................................................................................................... 82

5.1.1 Charge nominale 82 5.1.2 Charge limite 82

5.2 L'espace de travail ................................................................................................. 82 5.3 Dfinition de la vitesse........................................................................................... 82 5.4 Dfinition de l'acclration ..................................................................................... 82


5.5 Dfinition de temps de dplacement minimal ........................................................ 82 5.6 Rsolution.............................................................................................................. 82

6. Caractristiques pour la programmation en ligne .................................................. 83 6.1 Caractristiques de pose locale............................................................................. 83

6.1.1 Exactitude de positionnement 83 6.1.2 Exactitude d'orientation 84 6.1.3 Rptabilit de pose locale 84 6.1.4 La rptabilit maximale 84 6.1.5 La rptabilit statistique 85 6.1.6 Exactitude Multi-directionnelle 85

6.2 Temps de Stabilisation .......................................................................................... 86 6.3 Dpassement en Position...................................................................................... 86

7. Exactitude et Rptabilit Bipose .......................................................................... 87 7.1 Exactitude Bipose .................................................................................................. 87 7.2 Rptabilit Bipose................................................................................................ 87

8. Caractristiques de trajectoire et de dplacement ................................................ 88 8.1 Exactitude de trajectoire ....................................................................................... 88

8.1.1 Exactitude de positionnement 88 8.1.2 Exactitude d'orientation 88

8.2 Rptabilit de trajectoire ...................................................................................... 89 8.2.1 Rptabilit de positionnement 89 8.2.2 Rptabilit d'orientation 89

8.3 Raccordement de trajectoire.................................................................................. 89 8.3.1 Erreur d'arrondi 90 8.3.2 Dpassement 90

8.4 Exactitude et Rptabilit de vitesse..................................................................... 90 8.4.1 Exactitude de vitesse de trajectoire 90 8.4.2 Rptabilit en vitesse 90 8.4.3 Fluctuation de vitesse 90


Robot SMART NM 2-0 COMAU Capacit Charge 45 kg Rptabilit +/-0.06 mm

Modlisation Robotique2006 Les architectures de Robot

CHAP.1. Les ARCHITECTURES DE ROBOT

1. Avant propos Comme les statistiques l'indiquent, les applications en robotique sont trs diverses, et trouver des morphologies adaptes chacune, est un problme qui s'il est envisag de cette faon est insoluble . Ainsi rsoudre le problme des structures par les fonctions raliser n'est pas envisageable.

1.1 Mcanismes motorisation unique Des tentatives de recherches ont t effectues pour raliser des mcanismes mouvements complexes l'aide d'une seule motorisation. Ces dveloppements rests marginaux n'ont pas abouti pour des raisons de complexit et de cot d'tude, Celle ci tait faire pour chaque application.

1.2 Mcanismes poly-articuls Un deuxime axe, plus prometteur a t celui des architectures poly-articules, qui correspond aux mcanismes les plus couramment installs dans les entreprises. Il est intressant afin de clarifier la notion de robot de se reporter sa dfinition . Cette dfinition a t fixe par l'AFRI : Association Franaise de la Robotique Industrielle

2. Particularits d'un ROBOT

2.1 Dfinition d'un ROBOT Un robot est un manipulateur plusieurs degrs de liberts, command en position, reprogrammable, polyvalent. Il est capable de manipuler des matriaux, pices, outils, ou dispositifs spcialiss, au cours de mouvements variables en vue de l'excution d'une varit de tches. Son unit de commande utilise un dispositif de mmoire et ventuellement de perception et d'adaptation l'environnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes sont gnralement tudies pour effectuer la mme fonction de faon cyclique, et peuvent tre adaptes d'autres fonctions sans modification permanente du matriel.

On lit dans la premire phrase plusieurs degrs de liberts. On peut alors aborder ce problme en se posant les questions suivantes : Quel est nombre de degrs de liberts utiliser ? Quelle est la nature des liaisons utiliser ? Comment les organiser les une par rapport aux autres ? Deux familles d'architectures ont t dveloppes :

2.2 Les architectures de type srie Les mcaniques de cette famille se composent globalement d'un assemblage de corps successifs relis par des articulations.

1


Remarque : Une autre spcificit est que ces mcanismes peuvent tre pilots en position et vitesse par des modles de commande de mme nature.

2.3 Les architectures de type parallle Bien que crs il y a plus longtemps, ces mcanismes sont industrialiss depuis moins longtemps. Les raisons principales, sont des problmes de modlisation, de mise au point des commandes, et des puissances de calcul que require leur pilotage.

2


3. Familles de structures poly-articules

3.1 Les architectures sries : Les architectures sries simples :

Elles reposent sur le principe d'une succession des corps rigides relis entre eux par des articulations.

Robot S10

Structure srie6 articulations

3.1.1 Les architectures sries avec boucles cinmatiques:

Pour des raisons de robustesse, ces articulations principales peuvent s'ajouter des articulations complmentaires qui constituent des boucles cinmatiques qui permettent de rigidifier la structure, ce qui permet la manipulation de charges plus leves. Dans certains cas, les actionneurs sont reports la base du robot, diminuant ainsi les masses globales en mouvement. Il est alors ncessaire d'inclure des boucles cinmatiques pour transfrer le mouvement vers l'articulation concerne.

Robot Kuka 601r6 degrs de libert boucles fermes

3


Robot S420

Structure srie avec boucle6 articulations

Les boucles que l'on trouve le plus frquemment sont les paralllogrammes, et les triangles

Robot Kuka 250RStructure boucle

ferme

3.1.2 Les architectures sries arborescentes: Dans certains cas un robot peut possder plusieurs extrmits, on parlera alors de architectures arborescentes.

3.2 Les architectures parallles Dfinition d'un ROBOT PARALLELE

Un robot parallle est constitu d'un ensemble de chanes cinmatiques lies l'une de leur extrmit un corps de rfrence la base, et l'autre extrmit une plate-forme mobile destine recevoir l'organe terminal On dsigne par point d'articulation les jonctions des chanes cinmatiques avec soit la base, soit la plate-forme mobile

4


Ces architectures prsentent comme avantage une grande rigidit, pour une masse totale relativement rduite, tout en ayant un ratio masse utile/masse en mouvement lev compar aux architectures srie. Ces architectures sont peu nombreuses car les mthodes de calcul de leur "Modle mathmatique" sont complexes, et l'tude de mcanismes n'est pas vidente. Ainsi chaque nouvelle architecture, un dveloppement complet de la commande est a raliser, ce qui rend la rentabilit de tels projets plus hasardeuse. Cependant certaines solutions existent comme le robot DELTA.

Le robot TRICEPT HP1

5


A ces deux principales familles de robot peuvent s'en rajouter d'autres, telles que les robots mobiles, et les robots grands nombres de degrs de libert.

4. Nature des articulations utilises en robotique Si on se rfre la thorie de mcanismes, on connat les diffrents types d'articulations disponibles, et leurs caractristiques. Ces articulations ont chacune un certain nombre de degrs de mobilit, chaque interdiction de mouvement entranant de la part de la liaison, une transmission d'effort (blocage d'une translation) ou une transmission de moment (blocage d'une rotation). Pour les robots architecture srie deux types de liaisons sont utiliss : la liaison pivot et la liaison prismatique. L'avantage qu'elles prsentent, est qu'elles ne laissent qu'une seule possibilit de mouvement plus facile contrler.

Dsignation Torseur Cinmatique Torseur Statique Reprsentation en perpective

Liaison

Pivot

Liaison

Glissire

Liaison

Hlicodale

LiaisonRotule(sphrique)

{000 0 0 Rz}{Tx00 0 0 0}

{000 RxRyRz }

{ FxFyFz MxMy 0 }{ 0FyFz MxMyMz}

{00Tz 0 0Rz(tz)} { FxFyFz MxMyMz}{ FxFyFz 0 0 0 }

De plus elles sont capables de supporter des sollicitations sauf dans la direction du mouvement. Les structures seront globalement plus solides, et moins dformables. Ce qui est une ncessit en robotique, si l'on dsire atteindre des positions avec une prcision suffisante, et ce indpendamment de la charge encaisse par le robot.

Symboles de la liaison prismatiqueSymboles de la liaison rotode

Choix retenus frquemment Pour des transmissions de mouvements

En gnral, la liaison hlicodale est utilise pour assurer une transformation de mouvement Rotation/Translation, au niveau des motorisations. Elle se retrouve dans les boucle cinmatiques.

6


Pour les robots architecture parallle vient s'ajouter la liaison rotule. Les contraintes de rigidit, et de motorisation des architectures sont diffrentes de celles des robots de type srie.

5. Morphologie des robots

5.1 Les architectures sries Pour faire assurer par l'effecteur des mouvements, on comprend qu'il faille un nombre de degrs de mobilit au moins gal au nombre de degrs de libert impos par la trajectoire effectuer. Tout degr de libert supplmentaire apportera des facilits lors de la programmation de trajectoires

RepreAtelier

MouvementsRepre Effecteur6 degrs de libert

1

2

> D L effecteur

Lorsque la tche excuter se situe dans un espace 2 dimensions : dplacements plans, deux degrs de libert suffisent satisfaire tous les besoins. Les solutions sont multiples : Rotation / Rotation Translation / Translation Rotation / Translation Translation / Rotation Cependant l'indication du type des articulations retenues ne suffit pas. En effet leur organisation dans l'espace est importante : Si les axes de translations sont confondus, ou parallles, les mouvements gnrs ne se font que dans un espace une dimension. Ainsi :

Les types d'articulations, le nombre d'articulations, leurs orientations relatives dans l'espace participent la caractrisation d'un robot.

Si pour un systme voluant dans un espace deux dimensions le problme est relativement simple cerner, il n'en va pas de mme pour un problme dans l'espace trois dimensions. A la question : Quelles sont les solutions envisageables en fonction du nombre d'articulations associes, on trouve les rsultats suivants :

Nombre des degrs de libert

Nombres de combinaisons

Nombres de structures

2 62=36 8 3 63=216 36 4 64=1296 168 5 65=7776 776 6 66=46656 3508

7


Si ces combinaisons on enlve celles qui assurent des dplacements dans des espaces de dimension infrieure au nombre d'articulations, on trouve les nombres de solutions dans le tableau ci-dessus. Ce nombre reste cependant lev, et faire un choix adapt dans cet ensemble est toujours compliqu. Hors l'exprience montre que les mcanismes diffrents rencontrs dans le milieu industriel sont peu nombreux.

5.1.1 Sous-ensembles constituant un robot Pour analyser plus facilement ce problme, il convient de partager le robot en deux sous ensembles : Le porteur : En gnral il est constitu des trois premiers degrs de libert du mcanisme en partant de sa base. Sa fonction : Amener l'effecteur en un point dsir de son espace oprationnel. Le poignet : Il est constitu des degrs de libert restants. Souvent la mcanique de ces lments est beaucoup plus lgre. Sa fonction : Orienter l'effecteur aux environs du point atteint par le porteur.

PORTEUR

POIGNET

3 articulations

1, 2 ou 3 articulations

5.1.2 Schma cinmatique des 12 principaux porteurs Si on observe les possibilits de combinaisons avec trois articulations, on constate que 36 structures sont possibles. Si on retient celles qui mathmatiquement sont diffrentes seules 12+1 subsistent, qui ne sont pas redondantes [Milenkovic 83]. Ces architectures de porteur sont symbolises sur la figure suivante, l'aide des conventions prsentes prcdemment (celles avec une astrie sont celles retrouves le plus frquemment).

8


RRR RRP

RPR

PPR RPP PRR PPP

*1* *2*

*4* *5*

*3*

9


5.1.3 Noms des principales architectures

*1* : architecture anthropomorphe *2* : architecture sphrique

*4* : architecture cylindrique *5* : architecture cartsienne

*3* : architecture torique *5* : architecture SCARA

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Les versions correspondantes industrielles s'apparentent presque toutes ces 5 architectures, seuls des dcalages de positionnement dans l'espace dus des contraintes d'assemblage des corps les un par rapport aux autres peuvent les diffrencier. A ces solutions est venu se rajouter un dernier modle : Le Simplified Compliant Assembly Robot Arm : SCARA Ce robot est du type RRP+R

Robot SCARA

RRP+R

De conception plus rcente, ce robot a fait l'objet d'une recherche d'un mcanisme performant pour raliser des cycles de Pick and Place. Aprs comparaison d'architectures diffrentes pour des trajectoires types, cette organisation des articulations a donn les meilleurs rsultats en terme de vitesse.

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De la mme faon on peut obtenir diffrentes architectures de poignet 1, 2 ou 3 articulations permettant diffrentes orientations. Dans ce cas l'articulation retenue est la Rotode. (On peut y trouver l une certaine analogie avec le poignet humain).

1 articulation 2 articulationsconcourantes

2 articulationsnon concourantes

3 articulationsconcourantes

3 articulationsnon concourantes

"Rotule"

3 articulations concourantes

3 articulations

non concourantes

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Les statistiques d'utilisation des robots en fonction de leur morphologie, donnent les rsultats suivants [AFRI 96] :

Rpartition par type coordonnes

CARTESIEN et //20%

2940 robots

SCARA9%

1044 robots

ANTROPOMORPHE

64%9140 robots

CYLINDRIQUE7%

1252 robots

Le graphe ci-dessus indique le nombre de robots installs en France en fonction de leur morphologie. Il fait ressortir la prdominance des architectures antropomorphes, et des architectures cartsiennes, bien adaptes la manutention, et au dchargement de machines. L'architecture antropomorphe se rapprochant le plus du bras humain, elle se prte bien la manipulation.( la Nature fait bien les choses!!!...).

Remarque Pour diminuer les cots de conception, les fabricants ont tendance partir d'une architecture type de dcliner une famille complte de robot de charge et zone de travail diffrentes. L'avantage vident est que cette famille ne ncessitera le dveloppement que d'une seule commande qui pourra tre paramtre

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5.2 Les architectures parallles

5.2.1 Introduction Un ingnieur dnomm Pollard fut le premier dposer un brevet de mcanisme pour peindre automatiquement les carrosseries de voitures en 1938. C'est la premire ide de robot industriel ( structure parallle ). Le concept ne put aboutir faute de moyens lectroniques et informatiques adquats pour le commander. Le mcanisme (que l'on nomme maintenant Tripode) comprenait trois chanes cinmatiques. Les mobilits d'orientations taient assures par un poignet trois degrs de libert en srie avec la structure parallle.

5.2.2 La plateforme de GOUGH

Dans les annes cinquante, Gough, un ingnieur mcanique du domaine aronautique conut un mcanisme architecture parallle dont le but tait de tester les pneus des avions l'aide d'une plate-forme mobile. Il est le premier avoir mis au point une architecture six chanes cinmatiques que l'on nomme maintenant Hexapodes. On prte Stewart d'avoir adapt la plate-forme de Gough au domaine des simulateurs de vols en proposant une structure parallle commande comme base mobile.

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5.2.3 Diffrentes familles

Pour distinguer les architectures on identifie :

1) les robots pleinement parallles : Architecture pour laquelle le nombre de chanes cinmatiques est strictement gal au nombre de degrs de libert de la plate-forme, chaque chane ne comporte qu'un seul actionneur.

2) les robots parallles hybrides:

Lorsque l'on met en srie plusieurs architectures parallles

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Les architectures pleinement parallles se divisent en deux familles :

Les architectures planaires trois degrs de libert (2 translations une rotation perpendiculaire au plan matrialis par les translations) Les architectures spatiales trois ou six degrs de libert

5.2.4 robots pleinement parallles planaires

Chane cinmatiquePlate-

Articulation Rotule

Bas

1) Nombre de degrs de libert En gnral les architectures parallles possdent des chanes cinmatiques identiques L'objectif atteindre est : Un actionneur par chane cinmatique Lorsque les actionneurs sont bloqus la plate-forme est bloque : Mobilit = 0 2) Formule de GRBBER

Pour identifier la mobilit d'un mcanisme, fortiori une structure parallle, on peut utiliser la formule gnrale de Grbber.

=

+=n

1jdi1nLNm )( c

Elle exprime la mobilit m d'un mcanisme en fonction de : L nombre de solides du mcanisme (rfrentiel compris) n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux di nombre de degrs de liberts des articulations Elle permet pour le problme qui nous intresse, d'identifier et de construire les solutions de mcanisme dont on aura impos la mobilit de la plate-forme.

Structures parallles planes (on ne traite que des structures avec un minimum de trois mobilits) Dans ce cas : N=3 Hypothses Les articulations utilises pour une structure plane ne peuvent tre que des articulations 1 ddl o on perd la planit de la structure on tudie des structures pleinement parallles on pose n1 le nombre de solides par chanes

16


c devient :

=+=

n

1jdi1nL3m )(

dans ce cas : m=3

2n3L 1 += (2 correspond aux solides que sont la base et la plate-forme ) )( 1n3n 1 +=

)( 1n3di 1n

1j+=

= les articulations ont 1 ddl

c devient : )())(( 1n311n32n33m 111 ++++=

)()( 1n323m 1 ++= )1n33m +=

Comme m=3, nous obtenons : 2n1 =

CONCLUSION : Toutes les solutions planes de structures pleinement parallles ont des chanes constitues de 2 solides relis entre eux par des articulations 1ddl

Structures pleinement parallles spatiaux

A priori dans ce cas m peut tre gal 3,4,5,6 Formule de Grbber

=

+=n

1jdi1nLNm )( c

A

B

D

Boucle1 C

avec : L nombre de solides du mcanisme (rfrentiel compris) n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux di nombre de degrs de liberts des articulations N=6 A ce niveau de calcul intgrons une nouvelle variable : B nombre de boucles cinmatiques du robot Dfinition Une boucle cinmatique est un chemin virtuel travers le mcanisme, qui permet en partant d'une articulation de revenir sur cette mme articulation Pour identifier le nombre de boucles d'une structure, ds qu'un chemin a t parcouru, on ouvre la boucle un endroit quelconque de cette boucle, et on procde ainsi jusqu' ce qu'on ne puisse plus trouver de chemins supplmentaires Pour une structure pleinement parallle, on a la relation B=m-1, en effet il y a une chane de plus qu'il n'y a de boucles cinmatiques. Ainsi la formule de Grbber devient :

=

+++++=n

1j11 di11n1B2n1BNm )))(()(( c

soit

17


=

+=n

1jdiBNm )(

si on appelle d le nombre de ddl de chaque chane cinmatique, la formule devient :

dmBNm += )( avec =

=n

1jdidm

structure spatiale : mobilit = 3

d326m += )( Actionneurs bloqus on souhaite une mobilit nulle Si on pose (1 correspond la mobilit contrle par l'actionneur) 1dd =Mcanisme bloqu, nous aurons : d3260 += )( ) 4d = Dclinaison des mcanismes envisageables : Chanes cinmatiques un solide par chane

Articulation Base/solide solide/plate-forme

Nbre de ddl 1 3

Nbre de ddl 2 2

Nbre de ddl 3 1

Chanes cinmatiques 2 solides par chane

Articulation Base/solide1 solide1/solide2 solide2/plateforme

Nbre de ddl 1 1 2

Nbre de ddl 2 1 1

Nbre de ddl 1 2 1


Articulation Base/solide1 solide1/solide2

Solide2/solide3

Solide3/plateforme

Nbre de ddl 1 1 1 1 structure spatiale : mobilit = 6

d656m += )( Actionneurs bloqus on souhaite une mobilit nulle Si on pose (1 correspond la mobilit contrle par l'actionneur) 1dd =Mcanisme bloqu, nous aurons : d6560 += )( ) 5d = Dclinaison des mcanismes envisageables :

18


Chanes cinmatiques un solide par chane

Articulation Base/solide solide/plate-forme Nbre de ddl 1 4 Nbre de ddl 2 3 Nbre de ddl 3 2 Nbre de ddl 4 1

Une combinaison classiquement retenue pour les chanes un solide est la (2,3) :

Liaison prismatique motorise

Rotule Cardan


Articulation Base/solide1 solide1/solide2 solide2/plateforme Nbre de ddl 1 1 3 Nbre de ddl 1 3 1 Nbre de ddl 3 1 1 Nbre de ddl 2 1 2 Nbre de ddl 2 2 1 Nbre de ddl 1 2 2

.. on peut ainsi dcliner toutes les solutions jusqu' 4 solides par chane relis par des articulations un ddl La mthode propose est une mthode tout fait gnrale qui prsente un certain nombre de dysfonctionnements pouvant conduire des erreurs soit en ignorant des degrs de libert, soit en ne prenant pas en compte les relations gomtriques entre les articulations. Une tude supplmentaire sera ncessaire pour ces cas spcifiques.

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5.2.5 Organisations types des architectures parallles

SSM (Simplified Symmtric Manipulator) TSSM (Triangular Simplified Symmtric Manipulator) MSSM (Minimal Simplified Symmtric Manipulator)

SSM TSSM

MSSM

Quelques exemples d'architectures parallles Une structure planaire 3-PRR, Mobilit = 3 Les liaisons prismatiques de la base sont motorises.

20


Une architecture spatiale Un mcanisme propos par Lambert. Mobilit = 3 Les triangles articuls proches de la base sont motoriss.

Le robot utilisant des chanes de type R-RSS propos par Hunt en 1983 Mobilit = 6

Dans la suite de ce cours, nous nous intresserons aux robots de type srie, avec ou sans boucles cinmatiques fermes, et aux robots architectures arborescentes. La particularit de ces robots, est qu'il est possible de leur appliquer une mthode gnrale de calcul d'un systme d'quations grant leurs mouvements qui ne dpendent pas de leur morphologie.

21


L'il agile (un mcanisme parallle sphrique 3 ddl) ( Source : U LAVAL Labo Robotique) L'il agile possde un espace atteignable en orientation suprieur celui de l'oeil humain. La camra miniature attache l'organe terminal peut tre pointe dans un cne de vision de 140 degrs avec 30 degrs en torsion. De plus, en raison de sa faible inertie et de sa raideur inhrente, le mcanisme peut atteindre des vitesses angulaires suprieures 1000 degrs par seconde et des acclrations angulaires suprieures 20 000 degrs par seconde carre, ce qui est largement au-del des possibilits de l'oeil humain La version simplifie de l'il agile 2 ddl Une version simplifie l'orientation de la camra (la plate-forme mobile) est connue par un angle d'lvation et un angle d'azimut, il n'y a donc pas de torsion.

22

Modlisation Robotique 2004 Matrices Homognes

CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION

1. Introduction En robotique on associe tout lment d'un poste de travail un ou plusieurs repres propres Ces repres sont positionns de telle sorte que les axes et origines correspondent des directions privilgies, qui ont un rle dans l'excution de la tche : centre de gravit d'une pice, axe d'articulation, direction d'insertion d'une pice sur un support, extrmit active d'un outil, point de positionnement de point de saisie, de dpose d'une pice,...point important d'une trajectoire.

fig 2.0

RepreOutil

Axe 3

Axe4

Axe5Axe6

Axe2

Axe1Repere

Plateau Depart

ReprePlateau Dpose

Repre Robot

RepreDposeRepres

Saisie

Les mouvements du robot sont assurs par ses articulations. Ainsi la configuration articulaire de sa structure, dtermine la position de l'outil dans l'environnement de travail. Il est alors utile de paramtrer les diffrentes contraintes de positionnement de faon la plus homogne qui soit.

23


2. Rappels mathmatiques

fig 2.1

P2

Yo

Zo

Xo

Ro

Y1 Z1

X1

R1

P2Ro

R1

P1Ro

T10

Deux oprations sont possibles sur les points de l'espace oprationnel R0 : Des changements de repres : Expression de positions de points par rapport des rfrentiels diffrents : Position d'un point d'une pice par rapport cette pice, et positionnement de ce point par rapport une rfrence Atelier Des transformations faites sur des points : Changement de positions de points par rapport un mme rfrentiel : Position d'une pice lie un convoyeur de distribution dans un atelier, qui a subi un dplacement

24


2.1 Expression de changement de repre

Fig 2.2

Yo

Zo

Xo

Ro

Z1

Y1

X1

R1

P1Ro

P1R1

T10

rotationtranslation

O

Oo

1

Soient les repres R0, R1 et P1 un point.

Ce point s'exprime par ses coordonnes dans le repre R0 : { }000 P1P1P1 Z,Y,X Cherchons un oprateur de changement de repre : Ce changement peut toujours se ramener une translation, associe une rotation autour d'un axe privilgi. D'aprs la figure 2.2 :

1POOO1PO 1100 += rrr

+

=

00

00

00

0

0

0

0

0

0

1O1P

1O1P

1O1P

1O

1O

1O

1P

1P

1P

ZZYYXX

ZYX

ZYX

si on exprime , en fonction des vecteurs directeurs du repre R1 dans le repre R0 : 1PO1r

1111111 zZP1+ y YP1+x 1XP1PO rrrr =

+

+

=

z

y

x

1

z

y

x

1

z

y

x

1

00

00

00

aaa

Znnn

Ysss

1XZZYYXX

1P1PP

1O1P

1O1P

1O1P

On peut mettre la relation sous forme matricielle :

+

=

1

1

1

zzz

yyy

xxx

0

0

0

0

0

0

1P

1P

1P

1O

1O

1O

1P

1P

1P

ZYX

ZYX

ZYX

ansansans

le premier oprateur exprime la translation 10OOr

la matrice [3x3] traduit la rotation pour passer du repre R0 au repre R1 . Les vecteurs colonnes sont l'expression des cosinus directeurs ( coordonnes des vecteurs directeurs X1, Y1, Z1 exprims dans le repre {R0, X0, Y0, Z0}).

L'quation ainsi obtenue fournit la relation de changement de repre de R1 R0 du vecteur r r (expression des coordonnes de P1 dans les repres R0 et R1). 1R/1P 0R/1PL'inconvnient de cette criture est qu'elle ncessite une somme et un produit matriciel.

25


En cas de changements de repres successifs la mise en quation devient trs rapidement lourde grer, de plus le nombre d'oprations arithmtiques excuter est lev. Il y a ici intrt de regrouper cette transformation dans un seul oprateur : La matrice Homogne Mise en forme de la matrice de passage d'un repre 0 un repre 1 : Soit la matrice suivante :

s n as n as n a

x x x

y y y

z z z

XYZ

O

O

O

1

1

1

0

0

0

0 0 0 1

On retrouve dans ce formalisme la matrice [3x3] caractrisant la rotation, et le vecteur colonne caractrisant la translation. Cet espace est quatre dimensions , il ncessite une nouvelle expression des vecteurs et des points

Yo

Zo

Xo

O

P1V1

00

0

0

1P

1P

1P

ZYX

est l'expression du vecteur V1 dans le repre R0

10

0

0

1P

1P

1P

ZYX

est l'expression du point P1 dans le repre R0

Un changement de repre s'exprime maintenant par un unique produit de matrices[4x4] [4x1]

=

0ZYX

1000XXX

ansansans

0ZYX

j

j

j

Oj

Oj

Oj

zzz

yyy

xxx

i

i

i

1P

1P

1P

1P

1P

1P

i

i

i

changement de repre Rj Ri

On note ce changement de repre : i jT

Cette matrice est appele Matrice de passage de Ri Rj Remarque :

La matrice homogne i reprsente les caractristiques du repre Rj dans le repre Ri : jT [s, n, a] sont les cosinus directeurs du repre Rj exprims dans Ri

26


XYZ

Oj

Oj

Oj

i

i

i

1

est l'expression des coordonnes de Oj dans le repre Ri.

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] Ri dans Oj Oi deon translatide 3x1 matrice ji

Ri / Rj derotation de 3x3 matrice j

jij

OO A

1000OO A ii

L'criture du changement inverse peut s'exprimer directement partir des expressions prcdentes : Repartons de l'espace trois dimensions. Le changement inverse s'obtient en inversant l'quation :

=

0

0

0

0

0

0

1

1

1

zzz

yyy

xxx

1O

1O

1O

1P

1P

1P

1P

1P

1P

ZYX

ZYX

ZYX

ansansans

La matrice [s n a] est dfinie positive (cf A1), son inverse correspond donc sa transpose, et permet d'obtenir l'quation suivante :

=

ZYX

ZYX

ZYX

0

0

0

0

0

0

zyx

zyx

zyx

1

1

1

1O

1O

1O

1P

1P

1P

1P

1P

1P

aaannnsss

[ ] [ ]

=

0

0

0

10t

0

0

0

10t

1

1

1

1O

1O

1O

1P

1P

1P

Pl

1P

1P

ZYX

A ZYX

AZYX

Si on met nouveau cette transformation sous forme matricielle [4x4], on obtient :

changement de repre R0 R1

1ZYX

=

1ZYX

0

0

0

zyz

zyy

zyx

1

1

1

P1

P1

P1

1OO

1OO

1OO

P1

P1

P1

1000ZYX

aaannnsss

Matrice de passage de R1 R0en fait la matrice de changement inverse se met sous la forme gnrale suivante :

[ ] [ ] [ ] i 0 0

-1

i i

0 0 Aj OiOj

tAj t Aj OiOj

0 1 0 1

=

changement de repre RiRj

On notera ce changement de repre : j iT

27


2.2 Expression de transformation de vecteur dans un repre

Yi

Zi

Xi

Ri

Zj

Yj

Xj

RjP1

Ri

P2 Rj

Tji

rotationtranslation

P2Ri

fig 2.1

L'oprateur utilis est le mme, mais le rsultat est diffrent. En effet si nous repartons du rsultat ci avant :

Rj

0ZYX

0ZYX

j

j

j

Ri

i

i

i

2P

2P

2P

2P

2P

2P

Tji

=

Changement de Rj Ri ( cf fig2.1)

Ri

Ri

0ZYX

0ZYX

i

i

i

i

i

i

1P

1P

1P

2P

2P

2P

Tji

=

transformation de P1 en P2 dans le repre Ri (cf fig2.1)

En fait nous avons galit des coordonnes de P1 exprimes dans Ri, et de P2 exprimes dans Rj

Rj

0ZYX

0ZYX

j

j

j

Ri

i

i

i

2P

2P

2P

1P

1P

1P

=

En conclusion nous dirons qu'un mme oprateur matriciel peut caractriser : - soit une transformation de vecteur pour passer de P1 en P2 dans Ri. - soit un changement de repre de Rj dans Ri pour le vecteur OiP2 exprim dans Rj

Il est not [ i T j ] Quelques proprits : tout produit de matrice est possible la condition suivante le nombre de colonnes de la premire matrice est gal au nombre de lignes de la seconde [nxp][pxm]=[nxm] Matrice carre: Le produit de matrice est transitif:

[T1] [T2] [T3]=([T1] [T2]) [T3]= [T1] ([T2] [T3])

28


En gnral le produit de matrice n'est pas commutatif

[T1] [T2] [T2] [T1] on peut scinder le produit de deux matrices en produits de sous matrices , ce qui permet de simplifier l'criture

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

A BC D

A BC2 D

A A B C2 A B B DC A D C2 C B D D

1 11 1

2 22

1 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 1 2

=

+ ++ +

ce qui dans le cas des matrices homognes se traduit par :

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

A B A B A A B A B1 10 0 0 1

2 20 0 0 1

1 2 1 1 20 0 0 1

=

+

3. Utilisation des matrices homognes.

3.1 Changement de repre d'une matrice de transformation. Une matrice de transformation peut s'exprimer elle-mme dans des repres diffrents. Soit [M] cette matrice de transformation :

[ ]Rj

Rj

0ZYX

02Z

YX

j

j

j

j

j

j

1P

1P

1P

P

2P

2P

M

=

si nous exprimons ces vecteurs dans la base i nous obtenons

[ ]Rj

Rj

0ZYX

0ZYX

j

j

j

j

j

j

1P

1P

1P

2P

2P

2P

M Tji Tji

=

que nous pouvons crire aussi :

[ ]Rj

Ri

0ZYX

0ZYX

j

j

j

1-

i

i

i

1P

1P

1P

2P

2P

2P

Tji TjiM Tji

=

soit :

[ ]Ri

Ri

0ZYX

0ZYX

i

i

i

1-

i

i

i

1P

1P

1P

2P

2P

2P

TjiM Tji

=

nous en concluons :

29


Le changement de repre de Rj Ri d'une matrice de transformation s'obtient par la relation suivante :

[ ] [ ] iTj iTj -1M MRi Rj= 3.2 Transformations successives dans un repre Ri

Yi

Zi

Xi

Ri

Zj

Yj

Xj

RjP1Ri

P3Rk

T1 P3Ri

Zk

YkXkRk

T2

T3

Les deux transformations successives se caractrisent par les relations suivantes :

[ ]Ri0

iZiYiX

1T

Ri0i"Zi"Yi"X

1P

1P

1P

1P

1P

1P

=

puis [ ]

Ri0i"Zi"Yi"X

2T

Ri0iZiYiX

1P

1P

1P

2P

2P

2P

=

on obtient donc :

[ ] [ ]Ri0

iZiYiX

T T

Ri0iZiYiX

1P

1P

1P

2P

2P

2P

12

=

ATTENTION : dans le cas d'une transformation, la multiplication des matrices se fait gauche, en effet la transformation est ralise dans le repre Ri.

3.3 Succession de changements de repres

Yi

Zi

Xi

Ri

Zj

Yj

Xj

Rj

P1Ri P1RkTj

i

P1Rj Zk

YkXkRk

Tkj

Tki Tj

i Tkj=

30


La figure reprsente deux changements de repres successifs, nous avons donc les relations suivantes :

Rj0jZjYjX

Tji

Ri0iZiYiX

1P

1P

1P

1P

1P

1P

=

puis

Rk0kZkYkX

Tj

Rj0j1ZjYjX

1P

1P

1P

P

1P

1P

k

=

on obtient donc :

Rk0ZYX

Tj Ti

Ri0iZiYiX

k

k

k

kj1P

1P

1P

1P

1P

1P

=

changement de repre de Rk Ri

ATTENTION : dans le cas d'un changement de repre, la multiplication des matrices se fait droite, en effet le changement de repre de Rj dans Rk s'exprime dans le repre Rj. La gnralisation de changements successifs de repres est immdiate. Le changement de repre de Rk dans R0 s'exprime par le produit de matrices suivant :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0T = 0T 1T ......... k - 2 T k -1T k 1 2 k - 1 k Matrice de passage de R0 Rk 4. Expression de quelques transformations l'aide des matrices

homognes.

4.1 Rotation autour d'axe privilgi, ou translation pure (voir exercices d'application)

4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique (voir exercices d'application)

4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle exprim dans un repre Ri on note cette transformation ROT(u,)

Zi

Yi

Xi

Ri

U

S

T

R

j

Considrons le repre {Rj, S ,T ,U } Les directions S et T sont dtermines de la faon suivante : S est dans le plan Xi, Yi Le plan est perpendiculaire U et S est perpendiculaire T

31


Zi

Yi

Xi

Ri

U

Y'i

Z'i

Yi

Xi

Ri

U

Y'i

X'i

Zi

X'i

Z'i

S

T

La Passage du repre {Ri ,Xi ,Yi ,Zi } dans le repre {Rj ,S ,T ,U } peut se traduire l'aide de deux rotations lmentaires :

ROT(zi,)ROT(x'i,) qui exprime le repre Rj dans Ri S T U

s n as n as n a

C -SS C C -S

S C

x x x

y y y

z z z

=

000

0 0 0 1

00

0 0 1

000

0 0 0 1

1 0 000

000

0 0 0 1

{Rj ,S ,T ,U } = [ ]iT i' . [ ] i T j'Ceci nous permet d'exprimer les coordonnes de U en fonction des variables , :

UxUyUz

S S-C S

C

0 0

=

Expression des cosinus directeurs en fonction des coordonnes de U, et de l'angle : La rotation Rot(zj,) d'un vecteur exprim au dpart dans le repre Rj revient la rotation Rot(u,) de ce mme vecteur exprim au dpart dans le repre Ri En fait nous avons la relation :

Rot(u,) i = i Rot(z,) T j T jdonc

Rot u Rot zRi Rjj( , ) ( , ) = iTj iTj -1

Rot(u,) = Rot(z,)Rot(x,) Rot(z,) Rot(x,-)Rot(z,-) S T U

C -S C S SS C C -C S

S C

C -SS C

C S-S C C C SS S -C S C

0

000

0 0 0 1

00

0 0 1

000

0 0 0 1

0 000

0 0 0 1

en dveloppant on trouve :

32


C -S CS C C

S

C -SS C

C S-S C C C S

Uy Uz

UxUyUz Ux0

000

0 0 0 1

00

0 0 1

000

0 0 0 1

0 000

0 0 0 1

C C -S C S -C -S C CS C + C C S -S + C C C

S S S C

C S-S C C C S

Uy Uz

S UxS Uy

Uz Ux

000

0 0 0 1

0 000

0 0 0 1

Soit aprs simplifications :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1- C + C 1- C - UzS 1- C + UyS1- C + UzS 1- C + C 1- C - UxS1- C - UyS 1- C + UxS 1- C + C

U x UxUy UxUzUxUy U y UyUzUxUz UyUz U z

2

2

2

000

0 0 0 1

Remarque : La sous matrice [3x3]est une matrice de rotation, elle est donc orthogonale dfinie positive, sa matrice inverse est donc sa transpose. On peut retrouver cette matrice l'aide de l'expression suivante :

( ) sinUcosIcos1UU 3t),( )++= RiuRot avec

=

UxUxUyUx0Uz

UyUz0U)

Comment retrouver l'axe et l'angle d'une rotation caractrise par sa matrice homogne ?

s n as n as n a

x x x

y y y

z z z

000

0 0 0 1

On procde par analogie avec les termes de la matrice prcdente avec la somme des termes diagonaux, et la diffrence des termes extra-diagonaux

Cela permet de retrouver les termes de U dans le repre Ri, et la valeur de l'angle 5. Expression de transformations diffrentielles Lorsqu'on applique un dplacement lmentaire un repre Rj dans l'espace Ri, ce dplacement peut se dcomposer en une translation puis une rotation lmentaires. Si ces transformations sont exprimes dans le repre Ri, on a la relation suivante : iT j + d i = Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)[i ] (multiplication gauche) T j T jL'expression de la transforme diffrentielle est gale :

d i = (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I )[i ] T j T j

33


Si ces transformations sont exprimes dans le repre Rj, on a la relation suivante : iT j + d i = [i ]Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d) (multiplication droite) T j T jL'expression de la transforme diffrentielle est gale :

d i = [i ](Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I ) T j T jSi on se place dans le cas de petits dplacements, les expressions de (Trans(dx,dy,dz) et Rot(u,d) peuvent se linariser : Expression de Rot(u,d) partir de l'expression de Rot(u,)

11

1

1

0 0 0 dzdydx

UxdUyd-Uxd-UzdUydUzd-

Expression de Trans(dx,dy,dz)

1 0 00 1 00 0 10 0 0 1

dxdydz

d'o le rsultat :

(Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d)- I )= 0 0 0 0 dzdydx

0UxdUyd-Uxd-0UzdUydUzd-0

Si les dplacements sont exprims dans Ri

[d i ]Ri = T j

0 0 0 0 dzdydx


[i ] T j

Si les dplacements sont exprims dans Rj

[d i ]Rj = [i ]T j T j

0 0 0 0 dzdydx


Dans la matrice ci dessus, le dplacement lmentaire et la rotation lmentaire sont donns respectivement par :

= =UzdUydUxd

dzdydx

jjet jd

j

34


On peut de la mme faon caractriser une matrice de changement de repres pour ces transformations lmentaires :

=

iiid

i

iAjOiOjiA

jiA

j

jj

jdj

0

Les matrices homognes utilisent les coordonnes cartsiennes, et les cosinus directeurs pour exprimer la positon et l'attitude d'un repre par rapport un autre. Cependant suivant les problmes rencontrs, cette mthode de reprsentation de l'espace n'est pas judicieuse et on peut lui prfrer d'autres principes de paramtrisation. Dans ce cas se pose le problme de passage d'une mthode de paramtrage une autre. Pour obtenir la situation d'un corps solide dans l'espace Rg, nous avons besoin de deux types d'informations : - La position d'un point de rfrence de ce solide (origine d'un repre Rs attach ce solide). L'orientation de ce repre Rs par rapport un repre li l'espace Rg.

6. Expressions du positionnement d'un point dans un repre Rg.

6.1 Coordonnes cartsiennes (X, Y, Z ) exprimes dans Rg

6.2 Coordonnes cylindriques

Z

Y

X

Rg

P

r

Le passage de coordonnes cylindriques en coordonnes cartsiennes se traduit par :

X rY r

Z Z

r X Y

AYX

Z Z

==

=

= +=

=

cossin

tan

Si nous inversons le systme

2 2

35


6.3 Coordonnes sphriques

Z

Y

X

R

P

r

Passage coordonnes sphriques cartsiennes

( )

=

=++=

===

sinZYtanA

0= avec 0= 0 avec XYtanA

ZYXr

: systme le inversons nous sicosrZ

sinsinrYsincosrX

222

7. Orientation d'un solide dans l'espace Mthode des Cosinus Directeurs

= et

s n as n as n a

x .x y .x z .xx .y y .y z .yx .z y .z z .z

x x x

y y y

z z z

j i j i j i

j i j i j i

j i j i j i

=

XiYiZi

XjYjZj

iAj

Cette matrice indique les coordonnes des vecteurs directeurs d'un repre Rj, dans un repre Ri Pour passer d'une orientation de repre Ri une orientation d'un autre repre Rj , trois rotations lmentaires sont suffisantes. Diffrentes conventions existent, qui sont utilises en robotique. Conventions couramment utilises en robotique: Systme des angles d' Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre) Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) ou en anglais (Yaw, Pitch, Roll)

Angles de Briant ,1, ,2, ,3 7.1 Systme des angles d'Euler (Prcession, Nutation, Rotation propre)

Prcession Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan XnYn finalX1 cette droite ainsi obtenue s'appelle droite nodale Nutation Rotation autour de X1 pour ramener Y1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1 confondu avec Zn finalZ2 Rotation propre Rotation autour de Z2 pour ramener les axes X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux

36


O

droiteN

Z

YX

Yn

Zn

XnO

droite X1=X2

Z1Y2

Z2

Z

YX

YnZn

XnO

X1

Z1

Y1

Z

YX

Yn

Zn

Xn

droite X2

Y2

O

Z2

Nutation Rotation Prcession

Expression des cosinus directeurs en fonction des angles d'EULER

iC -S 0S C 00 0 1

1 0 00 C -S0 S C

C -S 0S C0 0

Aj =

01

iC C -S C S -C S -S C C S SS C + C C S -S + C C -C S

S S S C CAj S C

s n as n as n a

x x x

y y y

z z z

= =

7.2 Angles Aronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101

Y

Z

X

LACET

TANGAGE

ROULIS

(Lorsque le dplacement se fait suivant Z, et que Y est choisi vertical ) Roulis Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan Xn Zn finalX1 Tangage Rotation autour de X1 pour ramener Z1 dans le plan Xn Zn final ce qui

a pour effet de ramenerY1 confondu avec Yn finalY2 Lacet Rotation autour de Y2 pour ramener X2 et Z2 confondus avec les axes Xn Zn finaux

37


Y1

YnZ

Y X

Zn

Xn

O

X1

Z1

Lacet

Y1

Tangage

YnZ

YX

Zn

Xn

O

X1 X2

Z1

Y2

Z2 Z2

Roulis

YnZ

YX

Zn

Xn

O

X2

Y2

Expression des cosinus directeurs en fonction des angles aronautiques

iC -S 0S C 00 0 1

1 0 00 C -S0 S C

C 0 S0 1 0

-S 0 CAj =

iC C -S S S -S C C S -S S S C - C S S C C S S - C S

-C S S CAj

CC

C

s n as n as n a

x x x

y y y

z z z

= =

7.3 Angles de Bryant (1 ,2 ,3 ) 1 Rotation autour de X pour ramener Y dans le plan Xn Yn finalY1 2 Rotation autour de Y1 pour ramener X1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1confondu avec Zn finalZ2 3 Rotation autour de Z2 final pour ramener X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux

Y1

1

YnZ

Y

X

Zn

Xn

O

X1

Z1

1

2Y1

YnZ

Y

X

Zn

Xn

O

X1

Z1

2

Z2

X2

Y13 YnZ

Y

X

Zn

Xn

O

X1

Z1Z2

X2

3 Expression des cosinus directeurs en fonction des angles de Bryant

i1 0 00 C -S 0 S C

C 0 S 0 1 0

-S 0 C

C -S 0S C 0

0 0Aj =

1

1 1

1 1

2 2

2 2

3 33 3

38


C 2 C 3 -C 2 S 3 S 2

C 1 S 3+S 1 S 2C 3 C 1 C 3-S 1 S 2S 3 -S 1 C 2S 1 S 3- C 1 S 2C 3 S 1 C 3+ C 1 S 2S 3 C 1 C 2

=s n as n as n a

x x x

y y y

z z z

7.4 La mthode des quaternions (Hamilton 1843) ou paramres d'Euler : On peut exprimer une rotation comprise entre 0 U U180 par quatre paramtres indpendants : 1, 2, 3, 4 dont les caractristiques sont les suivantes : Soit une rotation ROT{ } ,Ur avec Uv vecteur unitaire

1 = cos 2

,

=

2 = UxS2

3 = UyS2

4 = UzS2

avec { } rotation de vecteur UzUyUxU t=v

remarques :

la rotation dtermine se situe toujours 0 U U 180 (ce implique 0U1U1) 1 2 + 3 + 42 2 2 2+ = 1

7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions :

nous connaissons l'expression du matrice de rotation ROT{ } ,Ur en fonction de et : Uv( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1-C +C 1-C - UzS 1-C + UyS1-C + UzS 1-C +C 1-C - UxS1-C - UyS 1-C + UxS 1-C + C

U x UxUy UxUz

UxUy U y UyUzUxUz UyUz U z

22

2

( )cos 12 = 2 1 ( )2 1 2 = Ux sin ( )( ) 2 = 1

2Ux 1- cos 2 2 ( )( ) sco -1UxUy

21=3 2

( )2 1 3 = Uy sin ( )( ) sco -1Uy21=3 22 ( )( ) sco -1UxUz

21=4 2

( )2 1 4 = Uz sin ( )( ) 4 = 12

Uz 1- cos 2 2 ( )( ) sco -1UyUz21=4 3

par substitution, nous obtenons :

( ) ( ) (( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

12 22 2 3 1 4 2 4 1 3

2 3 1 4 12 32 3 4 1 2

2 4 1 3 3 4 + 1 2 12 42

2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2

+ ++ + +

)

1

7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs :

1 = 12

ax + ny + sz + 1 (trace de la matrice, 6180) ( ) ( ) ( )4 2 2 = ax - ny - sz +1 avec 1,12 , ,2 3 3

39


( ) (4 1 2 3 2 = nz - ay avec 3,2 , ) donc :

2 = 12

Sgn(nz - ay) sx ny az + 1 de mme nous trouvons :

3 = 12

Sgn(ax - sz) ny sx az + 1

4 = 12

Sgn(sy - nx) az sx ny + 1

40


Annexe A1

Une matrice A = nxn est dite dfinie positive si X= n et X0 XtAX>0

A2 Changement de repres de dplacements lmentaires

Nous avons exprims dans le repre Re ee

ee , d

Que nous voulons exprimer dans le repre Rn nn

nn , d

Pour cela nous pouvons exprimer le changement de repres d'une matrice de transformation De la faon suivante

TT ne

ee

enn = n

cd

T0 0 0 0dT

0 0 0 0d n

eee

ee

en

nn

n

=

)) n

0 0 0A

0 0 0 0d

0 0 0AA

0 0 0 0d ne

ee

ennn

nn

n

=

1

OeOn1OeOn eTeTe

))

On obtient donc les relations suivantes

0 0 0

dAAAA 0 0 0 0d e

ene

enne

enn

nn

n

+=

0

OeOn TeTeeTe)))

soit :

( ) dAdAA

ee

ee

nnn

nee

nnn

+==

OeOnTe

eTe

)))

( ) dAAd A eeneennn ee

nnn

+==

TeTe

Te

OeOn

Remarque Si on dveloppe la premire relation

nee

nnn AA eTe = ))Nous obtenons les relations suivantes entre les coordonnes des vecteurs rotations

++=++=++=

ze

zye

yxe

xn

ze

zye

yxe

xn

ze

zye

yxe

xn

aaaznnnysssx

soit sous forme matricielle ee

nnn A = Te

Passage en criture matricielle de dimension 6

A

A

n

n

nn

nn

Ree

e

e

e

e

e

3

3Te

Te

Rnn

n

n

n

n

n

zyx

dzdydx

I0OeOnI

00

zyx

dzdydx

d

=

=

41


42

avec

OeOnOeOn

OeOnOeOn

OeOnOeOn

matrice de pr-produit vectoriel du vecteur OeOn exprim

dans Re

=

0XYX0Z

YZ0OeOn

SmartCartesian Robot R-G(HMZT) ADEPT Capacit Charge 5,5 kg Rptabilit +/-0.01 mm

Robot VIPER S650 ADEPT Capacit Charge 5 kg Rptabilit +/-0.02 mm Vitesse Max au centre d'outil 8.2m/s

Modlisation Robotique Modlisation gomtrique

CHAP.3. MODELISATION GEOMETRIQUE

1. Introduction Il s'agit ici de rsoudre le problme suivant : Je connais les variables articulaires d'une structure articule, qu'elle est la position atteinte par l'effecteur dans l'espace oprationnel ? ou encore Trouver la relation

XYZ

F

=

1 2......

n -1 n

dans le cas o l'on utilise les coordonnes cartsiennes, , , . dpend de la convention adopte. Ce problme peut se rsoudre de faon directe sans faire appel une mthode particulire Exemple : Soit la structure plane suivante, trois articulations rotodes parallles d'axe vertical

L1

L2

L3

1

2

3R0

Y

X

La rsolution des quations est relativement simple :

( ) (( ) (

X

Y

+ +

= + + + + += + + + + +=

L C L C L C

L S L S L S

1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 2 3

))

Cette criture relativement simple ncessite de dterminer correctement les origines des articulations et les sens conventionnels positifs

43


Si l'on souhaite inverser ce systme d'quation, le problme devient un peu plus compliqu. De plus les solutions ne sont pas uniques, plusieurs configurations ( ) 1 2 3, , i correspondent une mme position dans l'espace oprationnel.

( ) ( )( ) ( )

X (1)

Y (2)

+ + (3)

= + + = + +=

L C L C L C

L S L S L S

3 1 1 2 1 2

3 1 1 2 1 2

1 2 3

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

(1) + (2) C C S

L Y

+ +

2 2 = +

= + +=

23 3 1

1 23 1 1 2 1 2

1 2 3

2 2 2 2X L Y L L LL

L S L S L S

2

La solution prsente pourrait tre celle retenue pour dterminer le modle d'un robot. Pourtant elle a l'inconvnient de ne pas tre gnrale, et doit tre recommence, pour chaque structure mcanique articule. La mthode prsente ci-aprs, pallie ce problme, et consiste en une mthode systmatique, pouvant s'appliquer certaines familles de robots, reprsentant la grande majorit de ceux rencontres dans le milieu industriel.

2. Paramtrage de DENAVIT HARTENBERG modifie par KHALIL En 1955 une premire mthode de paramtrage a t mise au point par DENAVIT HARTENBERG. Cependant cette mthode, bien adapte pour des structures sries simples, prsentait certaines indterminations sur des structures arborescentes ou incluant des boucles fermes. En 1976 Khalil a propos une adaptation de ces paramtres permettant ainsi de lever toute ambigut, et ce, quelques soient les types d'architectures reprsents ci-dessous :

Srie simple Srie avec boucleSrie avecarborescence

2.1 Description de structures gomtriques de robots La mthode repose sur un ensemble de conventions respecter, qui permettent de gnraliser les calculs Dans un premier temps il s'agit de lier chaque corps solide du robot un repre

44


C0

C1

C2C3

Cn

R0

Reff

z1

z2

z3z4

zn-1

En utilisant les matrices homognes de changement de repres nous pouvons crire : 0 0

11

22

31T T T T T Teff

nn

neff=

Ceci revient passer du repre Reff au repre R0 en choisissant un parcours intgrant chaque corps solide du robot. Chaque corps se positionne et s'oriente par rapport au prcdent, en fonction de l'articulation qui le met en mouvement, les matrices passant d'un repre au repre suivant, dpendent de la valeur que prend la variable articulaire. A partir de cette constatation, il convient de mettre en place une convention pour mettre en place les repres par rapport aux corps solides du robot, et toutes les matrices de passage de repre seront du mme type, et pourront tre dtermines de faon paramtre.

2.2 Conventions de mise en place des repres : Les corps solides des robots sont reprs de C0: la base, Cn : solide final, en gnral la platine de fixation de l'outil. Les articulations sont numrotes de 1 j en partant de la base. L'articulation i relie le corps i-1 au corps i A chaque corps est li de faon rigide un repre Ri dont l'indice i correspond celui du corps Ci L'axe Zi-1 est confondu avec l'axe d'articulation du corps Ci-1

L'axe Xi-1 est la perpendiculaire commune aux axes Zi-1, Zi

L'axe Yi-1 se dduit de Xi-1 et Zi-1 pour que le repre soit orthonorm direct, mais il est inutilis par la suite, donc on ne le reprsente pas.

45


Oi-1 Xi-1

Zi-1 Oi

Xi

Zi

Xi-1

diOi-1

Xi

Zi-1

Oi

ri

Zi

Convention et Paramtres de DENAVIT-HARTENBERG

Modifis par KHALIL (76)

Architecture srie

i

i

Ci-1

Ci

Ne pas reprsenter l'axe Yi (pas utilis dans la convention)

Puis un ensemble de paramtres communs, qui permettront de dterminer un chemin particulier reliant le repre d'un corps celui du corps le prcdant : Paramtres de DENAVIT-HARTENBERG On appelle di la distance entre Zi-1 et Zi, le long de Xi-1 Cette distance est constante, et correspond la distance minimale sparant deux axes d'articulations conscutives

On appelle , i l'angle autour de Xi-1 qu'il y a entre les directions dtermines par Zi-1, et Zi Cet angle est constant. On appelle ri la distance entre Xi-1 et Xi, le long de Zi Si l'articulation est prismatique, cette distance est une variable articulaire de l'articulation i, sinon elle est constante

On appelle #i l'angle autour de Zi qu'il y a entre les directions dtermines par Xi-1, et Xi Si l'articulation est rotode, cet angle est la variable articulaire de l'articulation i, sinon elle est constante Remarque : les deux premiers paramtres sont constants et dfinissent la gomtrie des corps solides constituant le robot, ils correspondent paramtres gomtriques du robot Les deux derniers paramtres sont des variables, et ils dfinissent le type d'articulation qui relie les corps rigides. Dans la dfinition d'un robot ils peuvent frquemment tre relis en un seul de la forme suivante qi = i + i i ri avec i =1 si l'articulation est rotode et sinon i =0 La valeur de i peut servir identifier la nature de l'articulation En observant la figure, on s'aperoit que chaque paramtre caractrise une transformation lmentaire, et que si l'on associe chacune de ces transformations, on passe du repre Ri-1 au repre Ri. Ainsi l'expression du passage du repre Ri-1 au repre Ri se caractrise de la faon suivante : trans(Xi-1, di)rot(Xi-1, i)trans(Zi, ri)rot(Zi,i)

46


La matrice rsultante exprime la matrice de passage de Ri-1 Ri c'est dire :

i i

diC SS C ri

C SS C

T =

1

1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 00 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1

0 00

0 00 0 0 1

i i i i

i i i i 0

0 1

Soit l'expression gnrale de la matrice se met sous la forme :

i i

diC SS C

C SS C

riT =

1

1 0 00 00 00 0 0 1

0 00

00 0 0 1

i i

i i

i i i i 0

0 1

soit L'expression gnrale pour passer d'un corps solide i-1 un corps solide i est de la forme

i Ti

C S dS C S SS C C C

=

1

0

0 0 0 1

i i i C i i C i i i ri i S i i S i i i ri

i

avec :

di la distance entre Zi-1 et Zi, le long de Xi-1 i l'angle autour de Xi-1 entre les directions dtermines par Zi-1, et Zi ri la distance entre Xi-1 et Xi, le long de Zi i l'angle autour de Zi qu'il y a entre les directions dtermines par Xi-1, et Xi 3. Modle gomtrique direct du robot :

3.1 Exemple de dtermination de modle gomtrique direct du robot : Dans un premier temps il s'agit de reproduire exactement la morphologie du mcanisme en respectant toutes les donnes gomtriques du robot (position relative des articulations, orientation dans l'espace,...). La reprsentation faite, symbolise l'architecture dans une configuration particulire. Cette configuration doit tre simplifie au maximum, et correspond la configuration dite d'initialisation. Puis de lier cette symbolisation, les diffrents repres caractrisant chacun des corps du robot

47


Z0,Z1

Z2

Z3Z5

Z4Z6

X0, X1

X2, X3

X5, X6 X4

120

700

220

600

110

A partir de cette reprsentation, il s'agit de dterminer les paramtres de D-H.

N repre 1 2 3 4 5 6

Nrepre antcdent 0 1 2 3 4 5

i 1 1 1 1 1 1 d i 0 d2 d3 d4 0 0

i 0 90 0 90 -90 90 r i 0 0 0 r4 r5 0

i 1 (0) 2 (90) 3 (0) 4 (0) 5 (0) 6 (0)

Une fois les paramtres dtermins, il faut crire les matrices de passages des repres

0

0 00 0

0 0 1 010 0 0

1

1

T

C SS C=

1

1 1

00 0 1 0

0 00 0 0 1

2

2 2

2T

C S d

S C=

2

2

0 0 0

3

3 3

T

C SS C=

3

3 3

01

0 00 0 0 1

4

4 4

0 0 4T

C S dr

S C=

4

4 4

5

5

0 0T

C Sr

S C=

5

5 5

0 01 0

0 00 0 0 1

6

6

0 0T

C S

S C=

6

6 6

1

2

00 0

0 0 1 01

d

3

4

0 010 0

0 0 0 1

5 5

48


A partir de ces rsultats, il devient facile de calculer 0 0 1 2 3 4 56 1 2 3 4 5T T T T T T T6=

01

1

1

r +d

Cette matrice exprime le changement de repre de R6 R0

02 0

0 0 0

2

2

2T

C C C S S CS C S S C S

S C=

d 1 d

2

1 2 1 1 1 2

1 2 1 1 2

00

0 0 0 1

3T

C C C S S C C CS C S S C S S C

S C S=

+ ++ +

+ +

) ) d + d ) ) d + d

2 3) 2 3) d

1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3

2 3

( (( (

( (

4 00

0 0 0

6

6 0

6 6

6T

C C C S SS C

S S C=

r

C S

5 6 5 5

5

5 6 5 5

3

0 0 0

6

6 6

6

6 6T

C C C S S C C S S C C S SS S C

S C C S C C S S C=

+ +

- - C S -r

C S S C r

4 5 6 4 4 5 6 4 4 5 4 5 4

5 6 5 5 4

4 5 6 4 4 5 6 4 4 5 4 5

d'o le modle gomtrique direct complet Sx C C C S C S S S C C

C C C S C S S S C C

C C S C C S S

= + + ++ + + +

+ + +

1 C 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 1 S 2 3) 5 C 6 + 1( C S

Nx = 1 C 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 1 S 2 3) S + 1( S C

Ax = 1 C 2 3) 4 5 1 S 2 3) + 1

4 5 6 4

5 4 5 6

5

( ) (

( ) (

( (

6

6

6

6 6

Sy = 1 C 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 1 S 2 3) 5 C 6 1( C S

Ny = 1 C 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 1 S 2 3) S 1( S C

Ay = 1 C 2 3) 4 5 1 S 2 3)

4 5

4 5 6 4

5 4 5 6

S

S C C S S S C S C C

S C C S S S C S C C

S C S S C

( ) (

( ) (

( (

+ + + + + + +

+ + +

6

6

6

6 6

5 4 5

5

5

4 5

+ 1

Sz = 2 3)( 4 5 C 6 - 4 S 2 3) 5 C 6

Nz = 2 3)( 4 5 S 6 - 4 C 2 3) S

Az = 2 3)( 4 5 ) 2 3)

Px = 1d2 + 1 2d3 + 1 C 2 3)( 4 r5 + d4) 1 S 2 3)r4 + 1 r

Py = 1d2 +

C S S

S C C S C S

S C C S C S

S C S C C

C C C C S C S C

S

( ) (

( ) (

( (

( (

+ + ++ ++ +

+ + +

6

6 6

S C S S S C C

S S S C

1 2d3 + 1 C 2 3)( 4 r5 + d4) 1 S 2 3)r4 r

Pz = d + 2 3)( 4 r5 + d4) 2 3)r4

1 4 5

2 3

( (

( (

+ + + + +

4

)

)

4

)

)

+

6

Pour simplifier la rsolution on peut scinder le problme en deux phases : 1) dtermination de la matrice des cosinus directeurs : 0 0 2 46 2 4A A A A= 2) dtermination des coordonnes de positionnement

XYZ

XYZ

XYZ

A40

40

40

20

20

20

2

42

42

42

0

= + et

XYZ

XYZ

XYZ

A A60

60

60

40

40

40

2 4

64

64

64

0 2

= +

49


Lorsque l'quation de passage est dtermine, elle correspond la matrice globale de passage Atelier- Effecteur.

sx nx axsy ny aysz nz az

= 0 6T

XYZ

Eff

Eff

Eff0 0 0 1

Les expressions sx nx axsy ny aysz nz az

et

XYZ

Eff

Eff

Eff

dpendent des conventions d'orientation et de

positionnement retenues pour exprimer la position et l'attitude de l'effecteur dans l'espace oprationnel. on aboutit donc la relation :

XYZ

F

=

1 2......

n -1 n

qui est l'expression du modle gomtrique direct.

3.2 Cas des robots incluants des arborescences : Dans ce cas, on considre l'une des branches comme principale, pour cette branche, le calcul et la mise en place de paramtres est identique celle d'une architecture srie. Pour ce qui est de la seconde branche, la numrotation se poursuit aprs celle de l'architecture srie. La mthode d'identification du robot fait alors appel deux paramtres supplmentaires qui vont permettre d'identifier un chemin de passage.

Paramtrisation de D-H modifie par Khalilstructure arborescente Zi-1

Zi

X'i-1

Xi-1

Zk

k

k

Pour respecter la convention, nous mettons en place l'axe X'i-1, perpendiculaire commune Zi-1, et Zk Les deux nouveaux paramtres sont alors identifis : k est la rotation autour de Zi-1, pour passer de Xi-1, X'i-1

50


k est la translation le long de Zi-1 pour passer de Xi-1 X'i-1 Le chemin retenu pour passer du repre Zi-1 Zk sera alors le suivant : Trans(Zi-1,k)Rot (Zi-1, .k) trans(X'i-1, dk)rot(X'i-1, ,k)trans(Zk, rk)rot(Zk,3k) La matrice de passage du repre i-1 au repre k obtenue, est la suivante :

i Tk

C SS C

C S dS C S SS C C C

k

k

k =

1

0 00 0

0 0 10 0 0 1

0

0 0 0 1

C C r S S r

k k

k k

k

k k

k k k k k k

k k k k k k

ce qui aprs rsolution donne le rsultat global suivant : Lors de la prsence d'une branche, la matrice de passage s'exprime de la faon suivante :

i Tk a pour ression C S C S S C SS C S C C S C

S C C C

+

+ + k

1

0 0 0

exp :

kC k kS k C k kS k kC k C k kS k kdk kS k rk kC k+ kS k C k kS k kC k C k kS k kdk kS k rk

k S k k S k k k rk

1

avec :

k est la rotation autour de Zi-1, pour passer de Xi-1, X'i-1 k est la translation le long de Zi-1 pour passer de Xi-1 X'i-1 dk la distance entre Zi-1 et Zk, le long de X'i-1 k l'angle autour de X'i-1 entre les directions dtermines par Zi-1, et Zk rk la distance entre X'i-1 et Xk, le long de Zk k l'angle autour de Zk qu'il y a entre les directions dtermines par X'i-1, et Xk Remarque :

Lorsque .k et k sont nuls, la matrice de pr-multiplication est la matrice identit, la matrice de passage est alors quivalente celle calcule pour une structure srie. Ces valeurs sont assez courantes, et correspondent au cas o X'i-1, et Xi-1 sont confondus.

51


3.3 Cas des robots incluant des boucles fermes :

Mise en place des represBoucle ferme

Zn+1

Zk

Zi

Ck

Ci

Ci-1

Ck-1

Zn+2

Xi

Xk

Xi

Xn+1

Ouverture d'uneArticulation

Si un robot possde n+1 corps et L liaisons alors le nombre de boucles fermes est : b=L-n Dans un premier temps on dtermine une structure arborescente quivalente en ouvrant chaque boucle ferme au niveau de l'une de ses articulations, si possible non motorise, et de telle sorte que chacune des branches soit peu prs aussi longue. Puis on numrote les corps et les articulations de la mme faon que prcdemment : On commence par la branche principale On poursuit par les autres branches (branche par branche). On termine la numrotation par les articulations coupes virtuellement : On met en place sur ces articulations un repre d'indice ici n+1, li l'un des corps qui est rattach l'articulation (ici le corps retenu sera Ci). Cette mise en place respecte les conventions d'orientation dj vue prcdemment. Ainsi Zn+1 est port par l'articulation n+1, et Xn+1 est la perpendiculaire commune Zn+1 et Zi Nous pouvons donc l'aide des paramtres qui s'y rapportent dterminer une matrice de passage iTn+1. Cette matrice est constante, et dpend des paramtres gomtriques du corps Ci

de mme on pourrait dterminer la matrice de passage kTn+1 qui elle caractrise le passage du corps Ck au corps Ci. En fait pour que chaque paramtre ne soit associ qu'un changement de repre unique, on associe l'articulation n+1, un deuxime repre, identique au repre n+1 identifi ici n+2.

La matrice de passage kTn+1 est alors note kTn+2.

On caractrise alors la cinmatique de la boucle, par le fait que n+2Tn+1.est la matrice identit. En effet les deux repres sont fixes l'un par rapport l'autre.

Cette matrice peut aussi s'crire n+2Tk. kTk-1.k-1Tk-2....i-1Ti.iTn+1=.n+2Tn+1=Id4

Cette relation assure l'intgrit de la boucle de cinmatique ferme, en tablissant les quations que doivent vrifier les variables articulaires qui la constituent.

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La modlisation d'un robot comportant des boucles se passe donc de la faon suivante :

Numrotation des corps et des articulations de la chane principale Poursuite de la numrotation par les corps entrant dans la constitution des boucles Ouverture des boucles en une articulation privilgie (non motorise) transformation en une structure arborescente quivalente Mise en place des repres sur les articulations ouvertes Ecriture de la matrice de passage pour la chane principale Ecriture de la cinmatique des boucles fermes Mise en place des quations reliant les variables articulaires et les variables oprationnelles.

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4. Modle gomtrique inverse Il s'agit ici de rsoudre le problme suivant : Je connais les variables oprationnelles ( position atteinte par l'effecteur dans l'espace oprationnel )d'une structure articule, qu'elle est la configuration qui rpond ce problme ? ou encore Trouver la relation :

1 2 3 4 5 6

=

F

XYZ1 (ceci pour un robot 6 axes)

Lorsqu'il s'agit de robots 6 articulations, deux mthodes principales sont utilises qui permettent de dterminer une forme explicite du modle: La mthode de Paul Elle traite chaque cas particulier, et s'adapte la plupart des robots industriels La mthode de Pieper Cette mthode est adapte pour les robots ayant trois articulations rotodes d'axes concourants ou trois articulations prismatiques De faon gnrale le problme se pose sous la forme suivante : Atelier Atelier nT T T TEffecteur n Effecteur= 0 0 Avec :

AtelierT0 transformation du repre atelier au repre de base du robot 0Tn matrice caractrisant le robot nTEffecteur transformation du repre extrme du robot l'outil

4.1 Robot rsoluble: On dit qu'un robot est rsoluble, lorsque l'on peut calculer toutes les configurations permettant d'atteindre une situation donne Tous les robots moins de 6 degrs et 6 de libert sont rsolubles En particumlier, si un robot a 6 degrs de libert, il est rsoluble dans les cas suivants : -3 articulations du robot sont prismatiques -trois articulations du robot sont rotodes concourantes -1 articulation rotode et une articulation prismatique du robot sont coaxiales -2 paires d'articulations rotodes et prismatiques du robot sont d'axes concourants Quel est le nombre de solutions au problme ? Cas 1 : Absence de solutions La situation est en dehors de la zone accessible Cas 2 : Infinit de solutions

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le robot est redondant vis vis de la tache (ex : robot 6 articulations manipulant une pice prsentant une symtrie de rvolution) Le robot a une redondance locale : position singulire(ex : plus de 3 axes rotodes deviennent parallles) Un robot est redondant lorsque le nombre de degrs de libert de l'organe terminal est infrieur au nombre de degrs de libert de l'espace articulaire Cas 3 : Solutions en nombre finies

4.2 Mthode de Paul Cette mthode consiste pr-multiplier gauche l'quation


= 0 6T

XYZ

Eff

Eff

Eff0 0 0 1

par J avec j variant de 1 6 J - 1TOn obtient donc :

1 0 1 00 6 = 1 6T


=

XYZ

Eff

Eff

Eff0 0 0 1

T T T

permet d'obtenir q1

la premire partie ne dpend que de q1, la seconde de q2, q3, q4, q5, q6 On poursuit ce calcul

2 11 0 2 11 00 6 = 2 6(q3, q4, q5, q6)T T T T T T


=

XYZ

Eff

Eff

Eff0 0 0 1

permet d'obtenir q2

5 44 0 5 6(q6)T T T


=

XYZ

Eff

Eff

Eff0 0 0 1

permet d'obtenir q5, q6

On identifie les paramtres par les quations les plus simples de chaque systme d'quations trouves en partant de q6, jusque q1 Remarque :

Le problme peut aussi se rsoudre en faisant la pr-multiplication droite par J avec j variant de 6 1

J - 1T

La rsolution des quations n'est pas immdiate pour qui n'a pas l'habitude de manipuler des quations trigonomtriques couramment. Cependant, des expressions types reviennent trs souvent. Il est intressant ici de les aborder, pour en permettre une rsolution rapide. Ces relations sont au nombre de dix, quant aux autres, elles peuvent dans la plupart des cas, se ramener aux cas que nous allons aborder.

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Equations types rsoudre :

Type 1 X ri Y = Type 2 ( ) ( )XSin i YCos i Z + = Type 3 ( )

( )X Sin i Y

X Cos i Y

1 1

2 2

==

Type 4 ( )( )

X Sin i Y

X Cos i Y

1 1

2 2

j

j

r

r

==

Type 5 ( )( )

X Sin i Y Z r

X Cos i Y Z r

j

j

1 1

2 2

1

2

= += +

Type 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

WSin j XCos i YSin i Z

WCos j XSin i YCos i Z

= +=

1

2

++

Type 7 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

W Sin j W Sin j XCos i YSin i Z

W Cos j W Cos j XSin i YCos i Z

1 2

1 2

+ = + =

1

2

++

Type 8 ( ) ( )( ) ( )

XCos i YCos i j Z

XSin i YSin i j Z

+ ++ + =

1

2

=

Type 9 ( )XCos i Y = Type 10 ( )XSin i Y =

Type 2 ( ) ( )XSin i YCos i Z

Documents

poly-robotique-2007 mines douai.pdf