Poly_2008

Table des matires

1 ESPACES VECTORIELS 31.1 Structure despace vectoriel sur K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Caractrisation des s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Combinaison linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille de vecteurs . . . . . . 61.3.3 Famille gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4 Famille libre Famille lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.5 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Existence de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.1 Dimension dun s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Sous-espaces vectoriels supplmentaires - Sommes directes . . . . . . . . . . 101.6.1 Somme de 2 s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.3 Caractrisation des s.e.v supplmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.4 Somme de p s.e.v de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.5 Somme directe de p s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 APPLICATIONS LINEAIRES 152.1 Dfinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Consquence de la dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Image rciproque dun s.e.v Noyau dune application linaire . . . . . . . . 162.4 Image directe dun s.e.v Image dune application linaire . . . . . . . . . . 172.5 Projecteur et symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Application linaire en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.1 Rang dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.2 Caractrisation des isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

TABLE DES MATIRES 2

2.6.3 Matrice dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 CALCUL MATRICIEL 233.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Oprations et structures algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Matrices Carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Matrices carres particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Proprits et calcul des inverses de matrices inversibles . . . . . . . . 283.3.4 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Puissances matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.2 Calcul de puissances matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Matrices et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Changement de base - Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 DETERMINANTS 354.0.1 Applications p-linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Dterminant de n vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.1 Dterminant de n vecteurs dans la base B . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Caractrisation des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Dterminant dune matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.1 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2 Rgles de calcul du dterminant dune matrice carre . . . . . . . . . 404.2.3 Dterminant dune matrice triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . 40

4.3 Dveloppement dun dterminant suivant une range . . . . . . . . . . . . . 424.3.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.2 Matrice des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Dterminant et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES 475.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Matrice associe un systme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Rsolution des systmes chelonns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.1 Systmes triangulaires diagonale non nulle . . . . . . . . . . . . . . 505.3.2 Systmes chelonns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Mthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.6 Travaux dirigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Chapitre 1

ESPACES VECTORIELS

Dans ce chapitre, K dsigne R ou C. Dans ce chapitre, K dsigne R ou C.

1.1 Structure despace vectoriel sur K

1.1.1 Dfinition

On appelle espace vectoriel sur K ou Kespace vectoriel, tout ensemble E non vide munidune relation (+) et dune loi externe () appele multiplication par un scalaire telles que :

(E,+) est groupe ablien dont llment neutre est 0E ; x E, y E, K : (x+ y) = x+ y; K, K, x E : (+ ) x = x+ x; K, K, x E : ( x) = ( ) x; x E : 1 x = x.

Les lments de E sont appels vecteurs. Ceux de K sont appels scalaires.0E est le vecteur nul de E. x est loppos du vecteur x.Exemples :

a) Kn est un espace vectoriel sur K (n 1). Les vecteurs sont les nuplets (x1, . . . , xn)dlments de K.

b) K est un espace vectoriel sur K.c) Soit E un ensemble, F un Kespace vectoriel, alors A (E,F ) lensemble des applications

de E dans F est un Kespace vectoriel.d) En particulier A (I,R), o I est une partie de R, est un Respace vectoriel.Remarque : On utilise souvent labrviation : e.v. pour espace vectoriel.

1.2 Sous-espace vectoriel 4

1.1.2 Proprits

Il dcoule immdiatement de la dfinition que : pour tout couple (u, v) de vecteurs de E ettout couple (, ) de scalaires, on a :

u = 0E ( = 0 ou u = 0E);u = (1) u;

On pose u v = u+ (v); (u v) = u v;( ) u = u u.

Par la suite on omettra volontairement le signe () entre un scalaire et un vecteur multi-plis.

1.2 Sous-espace vectoriel

1.2.1 Dfinition

Soit E un Ke.v. . On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie non vide F de E quia elle-mme une structure despace vectoriel sur K.Cela revient au mme de dire quun sous-espace vectoriel F dun Ke.v. E cest une partienon vide possdant les deux proprits de stabilit suivantes :

X F est stable pour (+) : (x, y) F 2, x+ y F .X F est stable pour () : x F, K, x F.Remarque :

B {0E} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.B Labrviation de sous-espace vectoriel est s.e.v.

1.2.2 Caractrisation des s.e.v

F est un s.e.v du Ke.v. E ssi :X F E ;X F 6= ;X F stable par combinaison linaire i.e (x, y) F 2,(, ) K2 : x+ y F.

Proposition 1.1. Si E est un Ke.v., le vecteur nul de E appartient tousles s.e.v de E.

Si 0E 6 F alors F nest pas un s.e.v de E.

En pratique :Pour montrer que F est un Ke.v., on essaie de montrer que F est un s.e.v dun Ke.v. bienconnu E.

1.3 Familles de vecteurs 5

Pour montrer que F est un s.e.v de E, on commence par chercher savoir si 0E F ; si ouiF 6= , sinon F nest pas un s.e.v de E.

Exemples classiques :

1. Les droites vectorielles et les plans vectoriels sont des s.e.v de le.v. des vecteurs delespace.

2. C (I,R) lensemble des fonctions continues sur I R valeurs relles, est un s.e.v deA (I,R).

Proposition 1.2. Si F et G sont deux s.e.v de E, alors F G est un s.e.v de E.

Dmonstration : On utilise la caractrisation et la proposition 3.1.

F G E car F E et G E. F et G tant deux s.e.v de E alors 0E F et 0E G. On en dduit 0E F G.

Donc F G 6= . Soit u, v F G et soit , K.

u, v F = u+ v Fu, v G = u+ v G

}= u+ v F G.

Attention : En gnral, F G nest pas un s.e.v de E si F et G sont des s.e.v de E.Considrer le contre exemple suivant pour sen convaincre :

E = R2; F ={(x, 0)/x R

};G =

{(0, y)/y R

}.

On a : F G ={(x, y)/x = 0 ou y = 0

}.

F G nest pas un s.e.v de E car :(1, 0) F G(0, 1) F G

}mais (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6 F G.

1.3 Familles de vecteurs

1.3.1 Combinaison linaire

Soit E un Ke.v. et S = (u1, . . . , up) une famille de p vecteurs de E.u E est dit combinaison linaire des p vecteurs de S sil existe p scalaires 1, . . . , p telsque :

u = 1u1 + . . .+ pup =

pj=1

juj.

On dit aussi que u se dcompose suivant S . Les 1, . . . , p sont les coefficients (de la com-binaison linaire ci-dessus).


Exemple : Soit E = R3.

u1 = (1, 2, 3); u2 = (2, 1,3); u3 = (5, 0, 9).1u1 + 2u2 + 3u3 = (1 22 + 53; 21 + 2, 31 32 + 93).

Donc un vecteur (x, y, z) de E est combinaison linaire de u1, u2, u3 ssi il existe 1, 2, 3rels tels que :

1 22 + 53 = x21 + 2 = y31 32 + 93 = z

.

On effectue des combinaisons des lignes de ce systme dquations et on en dduit quil fautet il suffit que 9x 3y + 5z = 0.Par exemple (1, 3, 0) est une combinaison linaire de u1, u2, u3 et (1, 1, 1) ne lest pas.

1.3.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille de vecteurs

Thorme 1.1. Soit S = (u1, . . . , up) une famille de p vecteurs dun Ke.v. E. Len-semble des combinaisons linaires des p vecteurs de S est un s.e.v de E appel sous-espace

vectoriel engendr par S et not V ect(S ) ou V ect(u1, . . . , up).

Exemple : Considrer les trois vecteurs u1, u2, u3 de lexemple qui prcde. On montre faci-lement que :

V ect(u1, u2, u3) ={(x, y, z) R3/ 9x 3y + 5z = 0

}.

Remarque 1.1 (Importante). Tout s.e.v de E qui contient des p vecteurs u1, . . . , upcontient aussi V ect(u1, . . . , up).

1.3.3 Famille gnratrice

On appelle famille gnratrice de E toute famille finie S de vecteurs de E telle que toutvecteur de E se dcompose suivant S . On dit aussi que S engendre E ou V ect(S ) = E.

Remarque 1.2.

z S est une famille gnratrice de E ssi E = V ect(S ).

z Si lon modifie lordre des vecteurs dune famille gnratrice de E, on obtient encore unefamille gnratrice de E.

Exemples :


a) S =((1, 0), (0, 1)

)est une famille gnratrice de R2

car (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) : (x, y) R2.b) B0 = (e1, . . . , en) est une famille gnratrice de Kn o e1 = (1, 0, . . . , 0) ; ;

ei = (0, . . . , 1iimeplace

, 0, . . . , 0) ; en = (0, . . . , 1).

Proposition 1.3. Toute famille de vecteurs de E qui contient une famille gnratrice de E

est une famille gnratrice de E.

Proposition 1.4. Si (u1, . . . , up) est une famille gnratrice de E et si up est combinaison

linaire des autres uj alors (u1, . . . , up1) est encore une famille gnratrice de E.

1.3.4 Famille libre Famille lie

Dfinition 1.1. Une famille S = (u1, . . . , up) de vecteurs dun Ke.v. E est une famillelibre de E si :

pi=1

iui = 0 = i {1, 2, . . . , p

}; i = 0.

On dit aussi que les vecteurs u1, u2, . . . , up sont linairement indpendants. Une famillequi nest pas libre est dite lie et les vecteurs qui la composent sont dits linairementdpendants.

Remarques :

Si lon modifie lordre des vecteurs dune famille libre de E, on obtient une autre famillelibre de E.

La famille S est lie ssi il existe une combinaison linaire nulle de vecteurs de S ayantau moins un coefficient non nul.

Exemples :

# B0 = (e1, . . . , en) est une famille libre de Kn.# La famille

((1, 0); (0, 1); (1, 1)

)est une famille lie de R2 car

(1, 0) + (0, 1) (1, 1) = (0, 0).

Proposition 1.5.

1. (u) libre u 6= 0E.2. Toute famille contenue dans une famille libre est libre.


Dmonstration :

1. Supposons : (u) libre alorssi u = 0E alors 1 u = 0E, et 1 6= 0. Donc (u) li ce qui contredit lhypothse.Do u 6= 0.Supposons u 6= 0 alors u = 0E = = 0 donc (u) libre.

2. Evident : on complte avec 0 comme coefficient.

Proposition 1.6.

1.(u, v) lie

u 6= 0

= il existe K tel que v = u.2. Toute famille qui contient une famille lie est lie.

3. Toute famille qui contient le vecteur nul est lie.

4. Une famille S de vecteurs est lie ssi il existe au moins un vecteur de S combinaison

linaire des autres vecteurs de S .

Proposition 1.7. Soit (u1, u2, . . . , up) une famille libre de E.

u V ect(u1, u2, . . . , up) (u1, u2, . . . , up, u) est lie.

Remarque : On a aussi dans le cas o (u1, u2, . . . , up) est libre,u 6 V ect(u1, u2, . . . , up) (u1, u2, . . . , up, u) libre.

1.3.5 Base

Dfinition 1.2. On appelle base de E (en tant que Ke.v.) toute famille devecteurs de E, qui est libre et gnratrice de E.

Exemple : B(e1, . . . , en) est une base de Kn. Cette base est dite canonique.

Caractrisation des bases :

B est une base de E ssi les vecteurs de B sont dans E et tout vecteur de E scrit de manireunique comme combinaison linaire des vecteurs de B.

Si B = (u1, . . . , up) est une base de E etpi=1

xiui est un vecteur de E, alors le xi est appel

la iime coordonne de u dans la base B.

Proposition 1.8. Soit S = (u1, . . . , up) famille de vecteurs de Kn.

1. Si S est une famille libre, alors p n.

1.4 Espaces vectoriels de dimension finie 9

2. Si S est libre et si p = n, alors S est une base.

3. Si S est gnratrice, alors p n.4. Si S est gnratrice et p = n, alors S est une base.

5. Toutes les bases de Kn ont n lments.

1.4 Espaces vectoriels de dimension finie

1.4.1 Dfinition

Lespace vectoriel E est dit de dimension finie sil existe dans E une famille gnratrice de Eayant un nombre fini dlments.

1.4.2 Existence de bases

Si E(6= {0E}) admet une famille gnratrice finie S , alors il existe une base de E constituede vecteurs de S .

Thorme 1.2. Toutes les bases dun e.v. de dimension finie, distinct de {0E}, ontle mme nombre dlments.

Dfinition 1.3 (de la dimension). Le nombre dlments commun toutes les

bases dun e.v. E de dimension finie non rduit au vecteur nul, sappelle la dimension

de E. On le note : dim E.

Par convention, dim{0E} = 0. Un espace vectoriel de dimension 1 est appel droite vectorielle. On appelle plan vectoriel tout e.v. de dimension 2.

Exemple :

dim Kn = n (en tant que K e.v.).dimR R

n = n ; dimC Cn = n ; dimR C

n = 2n.

Thorme 1.3. Dans un e.v. de dimension n N : Toute famille libre a au plus n lments. Toute famille gnratrice a au moins n lments.

Thorme 1.4. Soit E un Ke.v. de dimension finie.dim E = 0 E = {0E}.

1.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie 10

Thorme 1.5. Soit E un Ke.v. de dimension n N. Toute famille libre de n lments de E est une base de E. Toute famille gnratrice de n lments de E est une base de E.Dans la pratique, pour montrer quune famille de n vecteurs dun e.v. de E de dimension nest une base de E, il suffit de dmontrer quelle est libre ou gnratrice de E.

Thorme 1.6 (Thorme de la base incomplte). Soit E un Ke.v. de dimensionfinie n et soit S = (u1, . . . , up) une famille libre de p vecteurs de E (p < n). S peut tre

complte par (n p) vecteurs de E pour former une base de E.

1.5 Sous-espaces vectoriels en dimension finie

1.5.1 Dimension dun s.e.v

Thorme 1.7. Soit E un Ke.v. de dimension finie. Tout s.e.v F de E est de dimensionfinie et dim F dim E.

Proposition 1.9. Soient F et G deux s.e.v dun Ke.v. E de dimension finie. Si F G etdim F = dim G, alors F = G.

Dmonstration : Si dim F = dim G = 0 alors F = G = {0E}.Sinon, F G et dim F = dim G = p (avec p 1).

Dans ce cas F admet une base S de p vecteurs. S est libre dans F donc aussi dans Get par suite S est une base de G (thorme 3.5.). Donc F = V ect(S ) = G.

En particulier, si F est un s.e.v de E et si dim F = dim E alors E = F .

1.6 S.e.vectoriels supplmentaires - Sommes directes

1.6.1 Somme de 2 s.e.v

Soient F1 et F2 deux s.e.v du Ke.v. E.Lensemble F1 + F2 =

{x1 + x2 / x1 F1, x2 F2

}est un s.e.v de E appel somme de F1

et F2. Cest le plus petit s.e.v contenant F1 F2.

1.6 S.e.vectoriels supplmentaires - Sommes directes 11

1.6.2 Somme directe

Soient F1 et F2 deux s.e.v du Ke.v. E. On dit que F1 et F2 sont en somme directe ouque la somme G = F1+F2 est directe si la dcomposition y = x1+ x2 de chaque lment deG = F1 + F2 est unique.

Autrement dit : y G, !x1 F1 et !x2 F2 : y = x1 + x2.On crit alors : G = F1 F2.

On dit que F1 et F2 sont supplmentaires de E lorsque E = F1 F2.

Exemple : E = R2 : F1 ={(x, 0) / x R

}et F2 =

{(0, y) / y R

}:

Alors on a : E = F1 F2.

1.6.3 Caractrisation des s.e.v supplmentaires

Thorme 1.8. Soient F1 et F2 deux s.e.v du Ke.v. E de dimension finie. Les 4 proposi-tions suivantes sont quivalentes :

1. F1 et F2 sont supplmentaires de E.

2.[x E, (x1, x2) F1 F2 : x = x1 + x2

]et[F1 F2 = {0E}

].

3. Il existe une base B1 de F1 et une base B2 de F2 telles que B1 B2 soit une base deE.

4. dim F1 + dim F2 = dim E et F1 F2 = {0E}.

Proposition 1.10. Si E est un Ke.v. de dimension finie, tout s.e.v F1 de E admet aumoins un s.e.v supplmentaire F2 dans E et dim F2 = dim E dim F1.

En pratique, pour dterminer un s.e.v supplmentaire F2 de F1, on cherche une base de F1que lon complte par une famille S de vecteurs de E pour obtenir une base de E. On prendalors F2 = V ect(S ).

1.6.4 Somme de p s.e.v de E

Soient F1, F2, . . . , Fp, p s.e.v de E (p 2).Lensemble des vecteurs de E de la forme u =

pi=1 ui, o ui Fi pour tout i = 1, 2, . . . , p

est appel somme des p s.e.v Fi. On le note F1 + F2 + . . .+ Fp oupi=1

Fi.

Proposition 1.11. Soient F1, F2, . . . , Fp, p s.e.v de E (p 2).Alors

pi=1

Fi est un s.e.v de E qui contient tous les Fi.

1.7 Exercices 12

1.6.5 Somme directe de p s.e.v

On dit que la sommepi=1

Fi des p s.e.v Fi de E est directe lorsque chaque vecteur de F

scrit de manire unique u =pi=1

ui avec ui Fi pour i [|1, p|]. On note alors

F = F1 F2 Fp ou F =pi=1

Fi.

1.7 Exercices

Exercice 1.1. Dterminer lesquels des ensembles E1, E2, E3 et E4 sont des sous-espaces

vectoriels de R3. Calculer leurs dimensions.

E1 ={(x, y, z) R3 ; x+ y z = x+ y + z = 0

}.

E2 ={(x, y, z) R3 ; x2 z2 = 0

}.

E3 ={(x, y, z) R3 ; exey = 0

}.

E4 ={(x, y, z) R3 ; z(x2 + y2) = 0

}.

Exercice 1.2. Dire si les familles suivantes sont libres ou lies :

1. u1(0; 1) ; u2(2;1) et u3(1; 1) dans R2.2. v1(3; 7; 0), v2(5; 0;7) et v3(2; 3;1) dans R3.

Exercice 1.3. On considre les trois vecteurs :

X1 =

1

2

a

, X2 =

2

a

1

et X3 =12

a

o a dsigne un paramtre rel.

A quelle condition sur a la famille (X1, X2, X3) est-elle libre ?

Exercice 1.4. Dans R3, U =

1

1

1

, V =

1

1

2

et W =

1

2

3

.1. Montrer que U , V et W forment une base de R3.

2. Trouver, dans cette base, les coordonnes du vecteur Z =

5

13

.

1.7 Exercices 13

Exercice 1.5. Montrer que les familles de polynmes suivantes sont des bases des espaces

indiqus.

a) Dans R4[X], la famille(1, X1, (X1)2, (X1)3, (X1)4

); dterminer lcriture dun

polynme P R4[X] dans cette base en fonction des valeurs de P et de ses drivessuccessives en 1.

b) Dans R2[X], la famille(X,X(X + 1), (X + 1)2

); dterminer lcriture des polynmes

1, X,X2 dans cette base, puis lcriture dun polynme quelconque a+ bX + cX2.

c) Dans R4[X], la famille(P0, . . . , P4

)gale :(

1, X,X(X 1)

2,X(X 1)(X 2)

6,X(X 1)(X 2)(X 3)

24

);

dterminer lcriture des polynmes 1 +X +X2 +X3 et 1 +X +X2 +X3 +X4 dans

cette base.

Chapitre 2

APPLICATIONS LINEAIRES

2.1 Dfinitions et exemples

2.1.1 Dfinitions

On dsigne par K un corps commutatif reprsentant ici R ou C.Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application de E dans F. On dit que fest linaire (ou Klinaire) si les deux conditions suivantes sont vrifies :(1) (x, y) E2 f(x+ y) = f(x) + f(y).(2) (, x) K E f(x) = f(x).

ou bien de faon condense f est linaire si la seule condition suivante est vrifie :(x, y) E2 K f(x+ y) = f(x) + f(y).Remarque : Les conditions (1) et (2) signifient quune application linaire entre deux espacesvectoriels est simplement un morphisme despaces vectoriels.

X Une application linaire et bijective est appele un isomorphisme despaces vectoriels.X Une application linaire de E dans E est appel un endomorphisme de E.X Un endomorphisme bijectif de E est appel un automorphisme de E.X Une application linaire de E dans K est appele une forme linaire sur E.

2.1.2 Exemples

1. E = R2 et F = R3. Soit f dfinie de E dans F par f : (x, y) 7 (x, x+ y, y).Alors f est linaire.

2. Soit E un Ke.v. et K. On dfinit de E dans E lapplication suivante :h : x 7 x. Alors h sappelle une homothtie vectorielle de rapport . h est unendomorphisme de E ; cest un automorphisme de E ssi 6= 0.

3. On prend E = Rn[X]. Soit g lapplication dfinie sur E qui, tout polynme P de Eassocie le polynme g(P ) = XP P . alors g est un endomorphisme de E.

2.2 Consquence de la dfinition 15

4. E = C([0, 1],K

): ensemble des applications continues de [0, 1] dans K. On dfinit

lapplication suivante : : f 7 10

f(x) dx. Alors est une forme linaire sur E.

5. Soit E un Ke.v. et soit v un vecteur de E. On dfinit de E dans E lapplicationsuivante : tv : x 7 x + v. Alors tv sappelle une translation de vecteur v. tv nestpas une application linaire (sauf pour v = 0E).

6. Soit E un Ke.v. : lapplication nulle de E dans E qui, tout vecteur de E associe levecteur nul 0E est un endomorphisme de E. On la note 0.Lapplication identique de E (ou identit de E), qui, tout vecteur x de E associe xlui-mme, est un automorphisme de E. Elle est note IdE.

Notations

L (E,F ) : ensemble des applications linaires de E dans F ;L (E) : ensemble des endomorphismes de E ;GL(E) : ensemble des automorphismes de E ;E : ensemble des formes linaires sur E.Remarques :

L (E,F ), muni de laddition et de la multiplication par un scalaire est un espacevectoriel sur K.

L (E,F )muni de laddition et de la composition des applications est un anneau unitairenon commutatif.

2.2 Consquence de la dfinitionSoient E et F 2 Ke.v. et f dans L (E,F ). Alors on a :(i) f(0E) = 0F .(ii) x E f(x) = f(x).(iii) (x, y) E2 f(x y) = f(x) f(y).

Proposition 2.1. E et F tant deux Ke.v., S tant une partie de E et f un lment deL (E,F ), alors on a : V ect

(f(S)

)= f

(V ect(S)

).

2.3 Image rciproque dun s.e.v Noyau dune applica-tion linaire

Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). Pour tout s.e.v H de F, on dfinitlimage rciproque de H par f, note f1(H), de la manire suivante :f1(H) =

{x E / f(x) H}. Cest un s.e.v de E.

En particulier f1({0F}), limage rciproque du vecteur nul de F, sappelle le noyau delapplication linaire f. On le note Ker(f) ou Ker f .Ker(f) =

{x E / f(x) = 0F

}: cest lnensemble des vecteurs de E qui ont pour image

par f le vecteur nul de F.

2.4 Image directe dun s.e.v Image dune application linaire 16

Proposition 2.2. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ), alors Ker f estun s.e.v de E.

Proposition 2.3. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ).Alors f est injective ssi Ker f = {0E}.

Proposition 2.4. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). On suppose que fest injective. Alors limage par f dune partie libre de E est une partie libre de F. En dautre

terme : lorsque f est injective on a :{L libre dans E

}=

{f(L) libre dans F

}.

Exemples :

1. Dterminer le noyau de chacune des trois premires applications linaires qui ont tdonnes en exemple au 2.1.2.

2. Prenons E = R3 et F = R2. Soit dfinie de E dans F par f : (x, y, z) 7 (x y +z, x z). Montrer que f est linaire et dterminer son noyau.

3. I tant un intervalle de R, on pose E = C1(I,R) et F = C(I,R). E et F sont des e.v.sur R. On dfinit de E dans F lapplication D : f 7 f , qui tout lment f de Eassocie sa drive. Montrer que D est linaire et dterminer son noyau.

2.4 Image directe dun s.e.v Image dune applicationlinaire

Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). Pour tout s.e.v G de E, ondfinit limage directe de G par f , note f(G), de la manire suivante :f(G) =

{y F / x G : f(x) = y

}={f(x) / x G

}. Cest un s.e.v de F.

En particulier f(E), limage directe de E par f est appel limage de f . On le note Im(f)ou Im f .Donc par dfinition : Im f = {f(x) / x E}.

Proposition 2.5. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ), alors Im f estun s.e.v de F.

Proposition 2.6. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ).Alors f est surjective ssi Im f = F.

2.5 Projecteur et symtrie 17

Proposition 2.7. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). Alors limage parf dune partie gnratrice de E est une partie gnratrice de Im f .

En dautre terme on a :{S gnratrice de E

}=

{f(S) gnratrice de Im f

}.

En particulier lorsque f est surjective :{S gnratrice de E

}=

{f(S) gnratrice de F

}.

Proposition 2.8. E et F tant deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ).Alors f est isomorphisme ssi limage par f dune base de E est une base de F.

En dautre terme on a :{f isomorphisme

}=

{ B base de E, f(B) est une base de F

}.

2.5 Projecteur et symtrie

Dfinition 2.1. Soit E un Ke.v. et p un endomorphisme de E.On dit que p est un projec-teur de E lorsque p p = p (on dit aussi que p est un endomorphisme idempotent).Etant donn un projecteur p sur E, on dit que p est la projection sur Im(p) paralllement Ker(p).Noter quen gnral, pour un endomorphisme quelconque dun espace vectoriel E, son noyauet son image ne sont pas forcment supplmentaires dans E. Cest un particularit des pro-jecteurs comme lindique le thorme qui suit :

Thorme 2.1. Soit p un projecteur de E. Alors : E = Im(p) Ker(p). Larciproque nest pas exacte.

Dans la pratique, et pour aller dans lautre sens, supposons que E1 et E 2 sont deuxsous espaces vectoriels supplmentaires dans E : E = E1 E2 . Cela permet de dfinir laprojection p1 sur E1 paralllement E2 et la projection p2 sur E2 paralllement E1. Dansce cas, on a : p1 + p2 = IdE . En effet, comme tout vecteur x E peut se dcomposer demanire unique sous la forme : x = x1+x2 u x1 E1 et x2 E2 , on pose tout simplement :p1(x) = x1 et p2(x) = x2 et tout le reste devient vident.

Thorme 2.2. Si p un projecteur de E, alors : Im p = {x E : p(x) = x }.

Dfinition 2.2. Soit E un Ke.v. et s un endomorphisme de E.On dit que s est une symtrielorsque s s = IdE (on dit aussi que p est un endomorphisme involutif ou une involution).

Remarque : Il est facile de remarquer quune symtrie est inversible et rciproque delle-mme.

2.6 Application linaire en dimension finie 18

2.6 Application linaire en dimension finie

Proposition 2.9. Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). Soit G un s.e.vde E de dimension finie. Alors f(G) est de dimension finie et dim f(G) dim G avec galitsi f est injective. En particulier, si E est de dimension finie, alors dim(Im f) dim E.

2.6.1 Rang dune application linaire

Dfinition 2.3. Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). On appelle rangde f et on note rg(f), la dimension de Im f .

On a donc : rg(f) = dim Im(f).

Proposition 2.10. Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ).(i) rg(f) dim F .(ii) rg(f) = dim F ssi f est surjective.

Soit (e1, e2, . . . , en) une base de E,

(iii) rg(f) = rg(f(e1), f(e2), . . . , f(en)

).

(iv) rg(f) dim E.

Thorme 2.3 (thorme du rang). Soient E et F deux Ke.v. et f unlment de L (E,F ). Alors : dim Ker(f) + rg(f) = dim E.

2.6.2 Caractrisation des isomorphismes

Thorme 2.4. Soient E et F deux Ke.v. de dimension finie gale n, etsoit f un lment de L (E,F ). Alors :{f est bijective

}

{f injective

}

{f surjective

}.

Proposition 2.11. Soient E et F deux Ke.v. et f un lment de L (E,F ). Si f est unisomorphisme alors :

(i) f1 est un isomorphisme de F dans E.

(ii) dim E = dim F .


2.6.3 Matrice dune application linaire

Dfinition de la matrice dune application linaire

Soient E un e.v. de dimension finie p 1 et F un e.v. de dimension finie n 1. On noteB = (e1, e2, . . . , ep) une base de E et C = (1, 2, . . . , n) une base de F .

On a vu quune application linaire tait dtermine par les images des vecteurs dunebase. Donc, si f : E F est une application linaire, elle est dtermine par les vecteursf(e1), . . . , f(ep).

Chacun de ces vecteurs est dfini par ses coordonnes dans la base C. La notation de cescoordonnes ncessite un double indice. On notera aij la i-ime coordonne dans la base Cde limage f(ej) du j-ime vecteur de la base B. Ces np coefficients sont regroups dans untableau de n lignes et de p colonnes, appel matrice de lapplication linaire f relativementaux bases B et C quon prsente de la faon suivante :

a11 a12 a1pa21 a22 a2p...

... . . ....

an1 an2 anp

Exemple : Si B = (e1, e2, e3) est la base canonique de R3, et si C = (1, 2) est la basecanonique de R2 lapplication linaire f : R3 R2 dfinie parf(e1) = 21 2, f(e2) = 52, f(e1) = 1 + 32 a pour matrice :(

2 0 11 5 3

)Remarque : On met en colonnes les images des vecteurs de la base de dpart reprs

dans la base darrive .

La matrice de f dpend des bases B et C et on notera M(f,B,C) ou mat(f ;B,C), ce quonabrgera en M(f) ou mat(f) quand il ny aura pas dambigut sur les bases.

Le plus souvent, on utilisera une seule lettre pour dsigner une matrice : on dira, par exemple,la matrice A de f par rapport aux bases B et C. Pour indiquer les coeffients de A, on criraA = (aij)1in,1jp en supprimant la mention des bornes de variation des indices i et j dsque cela ne crera pas de confusion.

Importance de lordre des vecteurs dans une base : On voit tout de suite que lamatrice dune application linaire ne sera pas la mme suivant lordre dans lequel on prendles vecteurs de B et lordre dans lequel on prend les vecteurs de C. Dans lexemple prcdent,posons B = (e3, e1, e2) et C = (2, 1). On a :

M(f,B,C) =(

3 1 51 2 0

).

Image dun vecteur par une application linaire

Matrice dun vecteurSoient E un espace vectoriel de dimension p muni dune base B = (e1, . . . , ep) et u un

vecteur de E. u dfinit une application linaire lu : R E telle que lu(1) = u.


La matrice U = M(lu,B0, B) est la matrice forme par les coordonnes (u1, . . . , up) de udans la base B :

U =

u1...up

avec B0 la base canonique.Image dun vecteur par une application linaire : Conservons les notations prcdenteset soit maintenant F un e.v. de dimension n muni dune base C = (1, . . . , n) et f : E Fune application linaire.

On pose A =M(f,B,C) = (aij).Comment trouver avec U et A la matrice V =M(lf(u),B0, C) ?

On vient de voir que V est la matrice colonne forme par les coordonnes (v1, . . . , vn) dev = f(u) dans la base C. Comme :

f(u) = f

(p

j=1

ujej

)

=

pj=1

ujf(ej)

=

pj=1

uj

(ni=1

aiji

)

=ni=1

(p

j=1

aijuj

)i,

on a vi =p

j=1

aijuj.

On voit que vi sobtient en prenant les termes de la i-ime ligne de A et en les multipliantpar les termes de U de mme rang puis en faisant la somme de ces produits.Nous crivons V = AU :

V =

v1...vn

= AU = a11 a1p... . . . ...

an1 anp

u1...

up

.Par exemple, limage du vecteur

(23

)de R2 par lapplication linaire R2 R3 dfinie par

la matrice

A =

1 13 22 2

est dfinie par la matrice

V =

1 13 22 2

( 23

)=

102

.Expression analytique dune application linaire :

2.7 Exercices 21

2.7 Exercices

Exercice 2.1. E = R3, f est linaire de E dans E, dfinie par :

f (e1 ) = 13

2

11

, f (e2 ) = 1312

1

et f (e3 ) = 13112

.g est lapplication de E dans E dfinie par :

u E, g(u) = u f(u).

1. Montrer que g est linaire.

2. (a) Dterminer rang f, Im f et Ker f.

(b) Dterminer rang g, Im g et Ker g.

(c) Montrer que f f = f .

Exercice 2.2. Nous admettrons que lensemble E des fonctions polynmes de degr infrieur

ou gal 2 est un e.v. sur R et quune base de E est B ={P1, P2, P3

}o

P1(x) = x2, P2(x) = x et P3(x) = 1.

A tout polynme P de E, on associe le polynme Q de E dfini par

Q(x) = P (x+ 1) P (x) + P (x 1).On notera f lapplication de E dans E dfinie par : P E, f(P ) = Q.

1. Vrifier que f(P1) = P1 + 2P3, f(P2) = P2 et que f(P3) = P3.

2. Montrer que f est linaire.

3. Quel est le rang de f . En dduire dim Ker f .

Exercice 2.3. 1. Donner une base du noyau et de limage de la transformation linaire

de matrice

A =

1 0 2 4

0 1 3 13 4 6 80 1 3 4

.

2. Donner les quations de Ker(A) et Im(A).

3. Montrer que R4 = Ker(A) Im(A).

Chapitre 3

CALCUL MATRICIEL

3.1 DfinitionUne matrice est un tableau form de nombres pris dans un corps commutatif not K quireprsente toujours R ou C.

Soit n le nombre de lignes et p le nombre de colonnes, le couple (n, p) sappelle la di-mension ou lordre de la matrice.Les nombres qui forment la matrice sappellent les coefficients de cette matrice.Lensemble des matrices dordre (n, p) coefficient dans K est not Mn,p(K).

Soit A Mn,p(K) alors on peut crire

A =

a11 a12 a1pa21 a22 a2p...

... . . ....

an1 an2 anp

Les aij sappellent les lments ou les coefficients de la matrice ; llment aij est situ lintersection de la iime ligne et de la jime colonne de A.

On note souvent A = (aij)0in, 1jp ou simplement A = (aij) sil ny a pas de confusionpossible.

Si K = R, on dit que la matrice A est relle ; si K = C, elle est dite complexe.

Si n = p, on dit que A est une matrice carre dordre n ; les lments a11, a22, . . . , annforment alors la diagonale principale de la matrice. On les appelle les lments oucoefficients diagonaux de A.

Une matrice ayant une seule colonne est dite unicolonne et reprsente en gnral unvecteur, dans ce cas p = 1 :

A =

a11a21...an1

.Une matrice ayant une seule ligne est dite uniligne, dans ce cas n = 1 :

3.2 Oprations et structures algbriques 23

A =(a11 a12 a1p

).

Une matrice qui a une ligne et une colonne est un scalaire.

Si A = (aij) est une matrice de type (n, p) on appelle transpose de A, et on note tA,la matrice tA = (bij) de type (p, n) dfinie par bij = aji.

tA est obtenue en permutant les lignes et les colonnes de M. On a : t(tA) = A.

Une matrice carre A = (aij) est dite symtrique si aij = aji quels que soient i et j, i.esi A = tA.

Une matrice carre A = (aij) est dite antisymtrique si A = tA.

Si A = (aij) est une matrice complexe de type (n, p) la matrice A = (aij) est appelematrice conjugue de A, aij tant le nombre complexe conjugu de aij.On appelle adjointe de A, et on note A, la matrice A = t(A) = tA.Si A est une matrice carre et si A = A, on dit que A est hermitienne.

On dit quune matrice carre A = (aij) est triangulaire suprieure si les lmentssitus au-dessous de la diagonale principale sont nuls, i.e si aij = 0 pour i > j. On dfinit demme une matrice triangulaire infrieure.

Une matrice diagonale est une matrice carre A = (aij) telle que aij = 0 si i 6= j.Si 1, . . . , n dsignent les lments diagonaux dune matrice diagonale D, nous crirons

D = diag(1, . . . , n).

On appellematrice scalaire une matrice diagonale dont tous les lments de la diagonaleprincipale sont gaux.

On appelle matrice unit dordre n, et on note In, la matrice scalaire dordre n dontles lments de la diagonale principale sont gaux 1.

Exemple : I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.3.2 Oprations et structures algbriques

3.2.1 Addition

Soient A Mn,p(K), B Mn,p(K) telles que : A = (aij) et B = (bij) alors S = A + B estune matrice de Mn,p(K) dont les coefficients sij sont dfinis par sij = aij + bij i, j.Laddition dans Mn,p(K) est commutative et associative.Llment neutre de (+) est la matrice nulle not 0(n,p) ou 0 tout simplement, dont tous lescoefficients sont nuls.

3.2 Oprations et structures algbriques 24

3.2.2 Multiplication par un scalaire

Soient A = (aij) dansMn,p(K) et K, alors P = A est une matrice deMn,p(K) dont lescoefficients Pij sont : Pij = aij i, j.Remarque : Mn,p(K) muni de laddition et de la multiplication par un scalaire est un e.v.sur K de dimension n p.

3.2.3 Produit matriciel

Soient A = (aij) Mn,p(K) et B = (bkl) Mp,q(K). Alors le produit C = A B estpossible et donne une matrice de Mn,q(K) dont les coefficients Cij sont

Cij =

pk=1

aikbkj .

Remarques :Le produit AB nest dfini que si le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes

de B.Lexpression de Cij sobtient partir de la ligne dindice i de A et de la colonne dindice

j de B. On dit que lon fait le produit AB lignes par colonnes .Le produit matriciel nest pas commutatif AB 6= BA.

Exemple : (1 1 23 5 1

) 2 41 63 2

= ( 9 1414 44

).

Proprits du produit

Si A,B,C sont des matrices telles que les diffrents produits ci-dessous soient dfinis etsi est un scalaire quelconque, on a A(B C) = (A B)C ; A(B + C) = AB + AC ; (B + C)A = BA+ CA ; A(B) = (A)B = (AB).Mn,n(K) muni de laddition et du produit matriciel (pour n N?) est un anneau non

intgre car on peut avoir A 6= 0, B 6= 0 et AB = 0.En effet, soit par exemple A =

(0 10 0

)et B =

(1 00 0

)alors AB =

(0 00 0

).

3.2.4 Transposition

Soit A = (aij) Mn,p(K). La matrice transpose de A note tA ou At est la matrice deMp,n(K) dont les coefficients ij sont donns par ij = aji, i, j.Les lignes de A deviennent les colonnes de tA avec leur numro :

A =

(1 1 12 1 0

)alors tA =

1 21 11 0

.Proprits de la transposition

3.3 Matrices Carres 25

1. t(tA) = A pour tout A Mn,p(K).2. t(A+B) = tA+ tB A,B Mn,p(K).3. t(A) = tA, K.4. t(AB) = tB tA, A,B tant que les produits sont possibles.Remarquons que les proprits 2 et 3 montrent que lorsque n = p, alors la transposition

est une application linaire, plus prcisement :

Soit :Mn,n(K) Mn,n(K)A 7 tA.

Alors

{(A+B) = (A) + (B),

(A) = (A).= est un endomorphisme de Mn,n(K).

3.3 Matrices Carres

3.3.1 Dfinition

Les lments de Mn,n(K) sont appels matrices carres dordre n coefficients dans K. Onnote simplement Mn(K) au lieu de Mn,n(K).

On sait queMn(K) est un espace vectoriel surK de dimension n2 et que muni de ladditionet du produit matriciel, Mn(K) est un anneau non commutatif et non intgre.

3.3.2 Matrices carres particulires

a) Matrice unitNote In, la matrice unite dordre n est la matrice carre dordre n dont les coefficientssont le ij (symbole de Kronecker)

ij =

{0 si i 6= j,1 si i = j.

= In =

1 0 00 1

. . . ...... . . . . . . 00 0 1

.b) Matrices scalaires

Une matrice A Mn(K) est dite scalaire lorsquil existe K tel que A = In.Par exemple

(2 00 2

)est scalaire.

Dans certains domaines de la physique, les matrices scalaires sont dites sphriques(notamment en mcanique). Remarquons que pour une matrice carre quelconque, ilexiste deux diagonales : la diagonale principale et la diagonale secondaire.

c) Matrices diagonalesUne matrice diagonale est une matrice carre dont tous les coefficients non diagonauxsont nuls.

A =

a11 0 00 a22

. . . ...... . . . . . . 00 0 ann

.


d) Matrices triangulairesM = (mij) Mn(K) est triangulaire suprieure (resp. infrieure) si tous les coefficientsen dessous (resp. au dessus) de la diagonale principale sont nuls.Exemple :

T s = (tij) =

t11 t12 t1n0 t12

. . . ...... . . . . . . tn1n0 0 tnn

tij = 0 j < i.

T i = (tij) =

t11 0 0t21 t12

. . . ...... . . . . . . 0tn1 tnn1 tnn

tij = 0 j > i.

e) Matrices symtriques et antisymtriquesM Mn(K) est dite symtrique si tM =Met elle est dite antisymtrique si tM = M.Remarque 3.1. Si M est symtrique, elle est " gomtriquement symtrique par rap-

port la diagonale principale ".

Exemple : M =(

0 11 2

)et N =

0 1 21 0 12 1 2

sont symtriques.Remarque 3.2. Si A est antisymtrique dordre n, alors toute sa diagonale principale

est nulle, tA = A = aii = aii = aii = 0.

Exemple : A =(

0 11 2

)nest pas antisymtrique.(

0 11 0

)est antisymtrique.

Les ensembles Sn(K) et An(K) des matrices symtriques et antisymtriques dordre n coefficients dans K sont des s.e.v de Mn(K).

Proposition 3.1. Toute matrice carre dordre n coefficient dans K peut tre d-

compose de manire unique en la somme dune matrice symtrique et une matrice

antisymtrique de la manire suivante :

M =MS +MA.

Avec

MS =1

2(M + tM) (partie symtrique)

MA =1

2(M tM) (partie antisymtrique).


Exemple : Dcomposer M =

3 1 10 2 01 1 3

en partie symtrique et antisymtrique.f) Matrices orthogonales

M Mn(K) est dite orthogonale lorsque : tM M =M tM = InExemple : M =

( 2/2

2/2

2/22/2

)= les colonnes forment une base orthonorme.

g) Matrices inversiblesA Mn(K) est inversible ssi il existe B Mn(K) telles que A B = B A = In(remarquons quune matrice orthogonale est inversible).Dans ce cas, la matrice B est appele linverse de A et est note B = A1. On a doncA A1 = A1 A = In (pour une matrice M orthogonale, on a M1 = tM).

3.3.3 Proprits et calcul des inverses de matrices inversibles

On note GLn(K) lensemble des matrices carres dordre n coefficients dans K qui sontinversibles.

a) Proprits(i) Si A GLn(K) alors A1 GLn(K) et (A1)1 = A.(ii) Si A et B sont dans GLn(K) alors AB et BA sont inversibles et on a :

(A B)1 = B1 A1,(B A)1 = A1 B1.

(iii) Si A GLn(K) alors tA GLn(K) et (tA)1 = t(A1).(iv) Si D Mn(K) est diagonale, on note D = diag(1, 2, . . . , n) alors D est inver-

sible ssi i 6= 0 i. Dans ce cas D1 = diag(1

1,1

2, . . . ,

1

n

).

(v) Si T Mn(K) est triangulaire alors T est inversible ssi aucun coefficient diagonalnest nul.

(vi) (A+B)1 6= A1 +B1.(vii) (A)1 = 1A1 si K? et A GLn(K).

b) Calcul de linverse par la mthode du pivot de Gauss. Les oprations lmentairesOn note Li la ligne ni et Ci la colonne ni de cette mme matrice.(i) Li Li ou Ci Ci ; K?.

Cest une homothtie ou dilatation.

(ii) Li Lj change de lignes ;Ci Cj change de colonnes.


(iii) Li Li + Lj j 6= i;Ci Ci + Cj j 6= i.Cest une transvection.

Les oprations lmentaires sur une matrice correspond une post ou une pr multi-plication par une matrice lmentaire de cette matrice.

Remarque : Post : opration sur les colonnes. Pr : opration sur les lignes.

Principe de la mthode : Soit A Mn(K).On effectue des oprations lmentaires sur les lignes de A et de In simultanment demanire transformer A en In dans la colonne de gauche du tableau de pivot. Si cettetransformation est possible alors cest que A est inversible et son inverse A1 appparaitdans la colonne de droite du tableau de pivot.

Exemple : Soit A =

3 1 10 2 01 1 3

. Montrer que A est inversible et trouver son inversepar la mthode du pivot de Gauss.

c) Rduite triangulaire de GaussOn rappelle que le rang dune matrice A Mn,p(K) est le nombre de lignes ou decolonnes qui sont linairement indpendants.On rappelle que C1, C2, . . . , Cn sont linairement indpendantes si1C1 + 2C2 + . . .+ nCn = 0 = 1 = 2 = . . . = n = 0.Le rang de A se note rg(A). Une matrice carre A dordre n est inversible ssi rg(A) = n.On appelle rduite triangulaire de Gauss de la matrice A, toute matrice A triangulaireobtenue partir de A par des oprations lmentaires sur les lignes ou sur les colonnes.On montre que rg(A) = rg(A).On en dduit les remarques suivantes :(i) Une matrice A Mn(K) nest pas inversible si elle comporte une ligne ou une

colonne nulle.

(ii) Une matrice A Mn(K) ayant deux lignes ou deux colonnes proportionnelles (oucolinaires ou lies) ne peut tre inversible.

d) Calcul de linverse par la mthode AB = BA = In (mthode du polynme annulateur)

Exemple pratique : A =

3 1 10 2 01 1 3

A2 = 10 6 60 4 0

6 6 10

.On a : A2 6A+ 8I3 = 0.

= A1 = 18

(6I3 A

).

3.3.4 Matrices semblables

Deux matrices A et B deMn(K) sont dites semblables lorsquil existe une matrice inversibleP GLn(K) telles que :

A = PBP1

3.4 Puissances matricielles 29

Remarque importante : Deux matrices A et B de Mn(K) sont semblables si et seulementsi elles sont les matrices dun mme endomorphisme relativement deux bases.Proprits :

(i) Si A et B sont semblables et que A est inversible alors B est inversible et A1 et B1sont aussi semblablesA = PBP1 = A1 = PB1P1.

(ii) Quand deux matrices A et B sont semblables donc tA et tB sont aussi semblables.A = PBP1 = tA = t(P1) tB tP.

3.4 Puissances matricielles

3.4.1 Dfinition

Soit M Mn(K) et soit p N. On dfinit les puissances de M de la manire suivante :

M0 = In, M1 =M, M2 =M M, p 2 Mp =

p fois M M M .

P (X) =n

k=0

akXk = a0 + a1X + . . .+ anX

n tant un polynme de K[X].

On dfinit la matrice (ou le polynme matriciel) P (M) par :

P (M) = a0In + a1M + . . .+ anMn pour toute matrice carre M dordre q coefficients

dans K.

3.4.2 Calcul de puissances matricielles

a) Par rcurrence

Soit M =(

1 11 1

), calculer Mn, n N.

M2 =

(1 11 1

)(1 11 1

)=

(2 22 2

)= 21

(1 11 1

).

M3 =

(2 22 2

)(1 11 1

)=

(4 44 4

)= 22

(1 11 1

).

On constate que Mp = 2p1M = cest une conjoncture.Mp+1 =Mp M = 2p1M M = 2p1M2 = 2p121M = 2pM.La rcurrence est tablie donc on a M0 = I2 et Mn = 2n1 M n 1.

Offre : Calculer Mn, n N avec M = 1 1 11 1 1

1 1 1

.b) Mthode du binme de Newton

A et B tant dans Mp(K), soit n N : si AB = BA alors on a :

(A+B)n =n

k=0

CknAkBnk =

nk=0

CknBkAnk.

3.5 Matrices et applications linaires 30

Exemple : J =(

4 11 4

), calculer Jn, n N.

Or J =M +N avec M =(

1 11 1

)et N = 3I2.

MN = NM =

(3 33 3

)donc en utilisant le binme de Newton, on a :

Jn =n

k=0

CknMkNnk =

nk=0

CknMk(3I2)

nk =n

k=0

CknMk3nkI2

=n

k=0

Ckn3nkMk = C0n3

nI2 +

(n

k=1

Ckn3nk2k1

)M

= C0n3nI2 +

1

2

(n

k=1

Ckn3nk2k

)M

= C0n3nI2 +

1

2

(n

k=0

Ckn3nk2k C0n3n20

)M

Jn = 3nI2 +1

2

(5n 3n)M.

Offre : Calculer Jn avec J =

4 1 11 4 11 1 4

.Remarques : La formule du binme est souvent intressant dans les cas o la dcompo-sition de la matrice M en somme de deux matrices qui commutent entre elles comporteune matrice dont une certaine puissance est nulle.On donne dabord la dfinition suivante :Soit N Mn(K). On dit que N est nilpotente sil existe un entier p tel que :Np = 0 (et Np1 6= 0).On appelle indice de nilpotence dune matrice nilpotente le plus petit entier p0 rpon-dant la dfinition ci-dessus.Notons que toute matrice triangulaire ayant tous ces lments diagonaux nuls est n-cessairement nilpotente.

c) Mthode du polynme annulateurSoit M Mn(K) et soit P K[X] un polynme annulateur de M en ce sens queP (M) = 0.Pour calculer Mk, on utilise la division euclidienne de Xk par P.Xk = P (X)Q(X) +R(X) avec deg(R) < deg(P ).

On remplace alors X par M et on obtient :Mk = P (M)Q(M) +R(M), or P (M) = 0 donc Mk = R(M).

3.5 Matrices et applications linairesApplication linaire canoniquement asocieSoit une matrice de np coefficients : A = (aij). Soient E un e.v. de dimension finie p munidune base B = (e1, . . . , ep et F un e.v. de dimension finie nmuni dune base C = (1, . . . , n).

3.6 Changement de base - Matrice de passage 31

On peut associer A une application linaire f : E F de la faon suivante : les imagesdes vecteurs de la base B de E sont dfinies comme les vecteurs de F , dont les coordonnesdans la base C sont les colonnes successives de la matrice, i.e. que

f(ej) =ni=1

aiji pour 1 j p.

Lien entre oprations sur les applications linaires et oprations sur les matrices

3.6 Changement de base - Matrice de passage

3.7 Exercices 32

3.7 Exercices

Exercice 3.1. 1. Soit A =

1 1 0

0 1 1

0 0 1

et soit B = A I3.(a) Calculer B2, B3 en dduire une formule de rcurrence que lon dmontrera pour

Bn, pour tout entier n.

(b) Dvelopper (B + I3)n par la formule du binome et simplifier.

(c) En dduire An Pour tout entier n.

2. Soit A =

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

. Pour tout entier n, calculer An en utilisant A I4.

Exercice 3.2. Calculer le rang des matrices suivantes.

1 1 2 1 1

2 1 1 1 1

1 1 1 2 1

2 1 1 1 1

1 1 1 1 2

,

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 0 0 0 1

,

1 1 1 1 3

0 2 1 1 2

1 1 1 2 2

2 1 1 1 3

1 1 1 1 0

,

1 1 1 1 2

0 2 1 1 2

1 1 1 2 2

2 1 1 1 3

1 1 1 1 0

.

Exercice 3.3. Soit A =

1 1 11 1 11 1 1

.Calculer A2 et montrer que A2 = 2I A, en dduire que A est inversible et calculer A1.

Exercice 3.4. Soit A =

0 0 0

2 1 12 0 2

.1. Calculer A3 3A2 + 2A.2. Quel est le reste de la division euclidienne de Xn par X3 3X2 + 2X ?3. Calculer An pour n N.4. A est-elle inversible ?

Exercice 3.5. Soit A une matrice carre dordre n ; on suppose que A2 est une combinaison

linaire de A et In : A2 = A+ In.

3.7 Exercices 33

1. Montrer que An est galement une combinaison linaire de A et In pour tout n N.2. Montrer que si est non nul, alors A est inversible et que A1 est encore combinaison

linaire de A et In.

3. Application 1 : soit A = Jn In, o Jn est la matrice Attila (envahie par les uns...),avec n 1. Montrer que A2 = (n 2)A+ (n 1) In ; en dduire que A est inversible,et dterminer son inverse.

4. Application 2 : montrer que si n = 2, A2 est toujours une combinaison linaire de A

et I2, et retrouver la formule donnant A1 en utilisant 2.

Chapitre 4

DETERMINANTS

4.0.1 Applications p-linaires

p dsigne un entier au moins gal 2.

Dfinitions 4.1 (Application et forme p-linaires).

Soient E et F deux K-espaces vectoriels ; une application f de Ep valeurs dans F est

dite p-linaire si elle est linaire par rapport chacune de ses variables, i.e. si pour tout

j [[1, p]] et pour tout ak E, k [[1, p]] \ {j}, les applications

x E 7 f(a1, . . . , aj1,x, aj+1, . . . , ap) F

sont linaires.

Lensemble des applications p-linaires de E dans F est not Lp(E,F ).Les applications p-linaires de E vers le corps des scalaires K sont appeles formes p-

linaires sur E.

35

Exemples 4.1.

(i) Si 1,. . .,p sont des formes linaires sur E, lapplication

f : (x1, . . . ,xp) Ep 7 1(x1) p(xp)

est une forme p-linaire sur E.

(ii) Lapplication dterminant

(x,y) K2 K2 7x1 y1x2 y2

= x1y2 x2y1est une forme 2-linaire (ou bilinaire) sur K2.

(iii) Lapplication dterminant

(x,y, z) K3 K3 K3 7

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

= (x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2) (x3y2z1 + x1y3z2 + x2y1z3)

est une forme 3-linaire (ou trilinaire) sur K3.

Proposition 4.1.

1. Lapplication nulle de Ep vers F est la fois p-linaire et linaire.

2. Soit f est une application p-linaire de E dans F ; si lun des vecteurs xi est nul, alors

le vecteur f(x1, . . . ,xp) est nul.

3. Lp(E,F ) est un K-espace vectoriel.

Dmonstration.

(2) f est une application linaire par rapport sa ievariable, et limage de 0E par une

application linaire est 0F .

(3) Lp(E,F ) est un sous-espace vectoriel de lespace de toutes les applications de Ep versF .

4.1 Dterminant de n vecteurs 36

Dfinitions 4.2 (Symtrie, antisymtrie et alternance).

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f une application p-linaire sur E valeurs

dans F ; on dit que :

f est symtrique si (x1, . . . ,xp) Ep, (i, j) [[1, p]],

i < j = f(. . . ,xi, . . . ,xj, . . .) = f(. . . ,xj, . . . ,xi, . . .)

f est antisymtrique si (x1, . . . ,xp) Ep, (i, j) [[1, p]],

i < j = f(. . . ,xi, . . . ,xj, . . .) = f(. . . ,xj, . . . ,xi, . . .)

f est alterne si (x1, . . . ,xp) Ep, (i, j) [[1, p]],

i < j et xi = xj = f(. . . ,xi, . . . ,xj, . . .) = 0F .

Exemples 4.2. Reprenons les exemples prcdents.

(i) f est symtrique

(ii) et iii. Les dterminants sont antisymtriques et alterns.

Proposition 4.2. Lensemble des applications n-linaires symtriques et lensemble des

applications n-linaires alternes de E valeurs dans F sont des sous-espaces vectoriels de

Lp(E,F ).

Thorme 4.3 (Antisymtrie, alternance et permutation).

Soit f une application p-linaire de E vers F ; les proprits suivantes sont quivalentes :

1. f est alterne ;

2. f est antisymtrique ;

3. pour toute permutation s Sp et tout (x1, . . . ,xp) Ep

f(xs(1), . . . ,xs(p)) = (s)f(x1, . . . ,xp)

4.1 Dterminant de n vecteursDans cette section, E dsigne un K-espace vectoriel de dimension finie n, muni dune base

B = (e1, . . . , en) ; la base duale B = (1, . . . , n) est dfinie par i(x) = xi la coordonne derang i relative B. Nous tudions lensemble n(E) des formes n-linaires alternes dfiniessur E et f dsigne une telle forme.

4.1 Dterminant de n vecteurs 37

4.1.1 Dterminant de n vecteurs dans la base BDfinition 4.3 (Dterminant de n vecteurs dans une base).

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et B = (e1, . . . , en) une base de E ;on appelle dterminant dans la base B et lon note detB, lunique forme n-linaire alternesur E qui prend la valeur 1 sur B.

Si pour tout j [[1, n]], xj =ni=1

ai,jei, le scalaire det(x1, . . . ,xn), appel dterminant

dans la base B du n-uple (x1, . . . ,xn) En, admet deux expressions

detB(x1, . . . ,xn) =sSn

(s)nj=1

as(j),j =sSn

(s)ni=1

ai,s(i) (4.1)

Thorme 4.4 (Dimension de n(E)).

Lespace vectoriel n(E) des formes n-linaires alternes sur un espace vectoriel E de

dimension n est de dimension 1 ; il admet pour base (detB) et

f n(E), f = f(e1, . . . , en) detB = f(B) detB (4.2)

4.1.2 Caractrisation des bases

Thorme 4.5 (Passage dune base une autre).

Si B et B sont deux bases de E et V un n-uple de En, on a

detB(B) detB(B) = 1 (4.3)detB(V) = detB(B) detB(V) (4.4)

Dmonstration. detB est une forme n-linaire alterne qui on applique la formule 6.2. ,

soit

detB = detB(B) detBEn prenant la valeur de ces expressions en B et en V , on obtient les rsultats.

Thorme 4.6 (Caractrisation des bases).

Si V = (v1, . . . ,vn) est une famille de n vecteurs dun espace vectoriel de dimension n etsi B est une base de E, V est une base de E detB(V) 6= 0

Dmonstration.

= Si V est une base de E, detB(V) nest pas nul, car detB(V) detV(B) = 1.= Par contrapose ; si V nest pas une base de E, V est une famille lie (V est maximale)

et donc detB(V) = 0 (image dune famille lie par une forme n-linaire alterne).

4.2 Dterminant dune matrice carre 38

4.2 Dterminant dune matrice carreConsidrons une matrice carreM dordre n 1 coefficients dans K ; on note ai,j (ou aij) leterme gnral de cette matrice et C1,. . .,Cn ses vecteurs colonnes ; on crira indiffremment :M = [ai,j] = (C1, . . . , Cn).

Appelons E = (E1, . . . , En) la base canonique de Mn,1(K) ; le scalaire ai,j sinterprtecomme la composante du vecteur colonne Cj suivant Ei relativement la base canonique C,ce qui donne la dfintion suivante :

Dfinition 4.4 (Dterminant dune matrice carre).

On appelle dterminant de la matrice carreM = [ai,j], et lon note detM , le dterminant

detE(C1, . . . , Cn) de la famille de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de Mn,1(K).

Thorme 4.7 (Dterminant de la transpose dune matrice).

Si M = [ai,j] Mn(K), on a

detM = det tM =sSn

(s)nj=1

as(j),j =sSn

(s)ni=1

ai,s(i)

Dmonstration. Le vecteur colonne Cj a pour coordonnes (a1,j, . . . , an,j) dans la base cano-

nique deMn,1(K). En changeant M en tM , on passe de lune des expressions du dterminant lautre.

4.2.1 Proprits

Thorme 4.8 (Dterminant dune matrice triangulaire).

Le dterminant dune matrice triangulaire est le produit des lments de sa diagonale

principale.

Dmonstration. Si M est une matrice triangulaire suprieure, on utilise lexpression 4.3 du

dterminant dun systme triangulaire de vecteurs.

Si M est une matrice triangulaire infrieure, tM est une matrice triangulaire suprieure ;

lgalit detM = det tM donne le rsultat.

Thorme 4.9 (Dterminant de la matrice dun endomorphisme).

Si u est un endomorphisme dun K-espace vectoriel E de dimension finie n 1, ledterminant de u est le dterminant de la matrice de u dans une base quelconque de E.

Pour toute base B de E, detu = det(MatB(u)).Dmonstration. Soit B = (e1, . . . , en) une base de E ; les composantes du vecteur colonneCj de MatB(u) sont les composantes de u(ej) dans B, ce qui donne lgalitdet(u(e1), . . . , u(en)

)= detE(C1, . . . , Cn) = det

(MatB(u)).


Thorme 4.10. Si n est un entier positif, on a

1. det In = 1 ;

2. M Mn(K), K, det(M) = n det(M) ;3. (M,N) Mn(K)2, det(MN) = detM detN ;4. M GLn(K) detM 6= 0 et, dans ce cas, det(M1) = (detM)1.

Proposition 4.11 (Dterminant de matrices semblables).

Deux matrices semblables ont mme dterminant.

Dmonstration. Si A et B sont semblables, il existe une matrice inversible P telle que B =

P1AP et donc det(P1AP ) = det(P1) detA detP = detA.

Remarques.

Si M et N sont deux matrices carres dordre n 2, det(M +N) est (presque) toujoursdiffrent de detM + detN .

4.2.2 Rgles de calcul du dterminant dune matrice carre

Le dterminant dune matrice carre est une application n-linaire alterne des vecteurscolonnes, et donc

si on change deux colonnes dune matrice, le dterminant se change en son oppos ; le dterminant dune matrice dpend linairement de chacun de ses vecteurs colonnes ; on ne change pas la valeur du dterminant dune matrice en ajoutant lun de ses

vecteurs colonnes, une combinaison linaire des autres vecteurs colonnes ; le dterminant dune matrice est nul si lun des vecteurs colonnes est nul, ou si lun

des vecteurs colonnes est combinaison linaire des autres vecteurs colonnes.Puisque le dterminant dune matrice est gal au dterminant de sa transpose, on peut

remplacer vecteur colonne par vecteur ligne dans les proprits prcdentes.

4.2.3 Dterminant dune matrice triangulaire par blocs

Soient C = (1, . . . , n) est la base canonique de Kn, E le sous-espace vectoriel de Knde base C = (2, . . . , n) et E le sous-espace vectoriel de Kn de base C = (1, . . . , n1).Lapplication

f : (x1, . . . ,xn1) 7 detC(1,x1, . . . ,xn1)est une forme (n1)-linaire alterne sur E ; elle est donc proportionnelle detC , et commef(C ) = detC(1, 2, . . . , n) = 1, on a lgalit

(x1, . . . ,xn1) E , detC(1,x1, . . . ,xn1) = detC(x1, . . . ,xn1)De mme, en utilisant la (n 1)-forme linaire alterne sur E

g : (x1, . . . ,xn1) 7 detC(x1, . . . ,xn1, n)


on obtient

(x1, . . . ,xn1) E , detC(x1, . . . ,xn1, n) = detC(x1, . . . ,xn1).Nous venons de dmontrer le

Lemme 4.12. Si A Mn1(K), alors1

... 01,n1. . . . . . . . . . . . . . .

0n1,1... A

= detA =

A... 0n1,1

. . . . . . . . . . . . . . .

01,n1... 1

Lemme 4.13. Si A Mn1(K) et B Mn1(K), alors

1... B

. . . . . . . . . . . .

0n1,1... A

= detA =A

... 01,n1. . . . . . . . . . . .

tB... 1

En utilisant ce lemme et une dmonstration par rcurrence, on retrouve le

Thorme 4.14 (Dterminant dune matrice triangulaire).

Le dterminant dune matrice triangulaire est le produit des lments de sa diagonale

principale.

Lemme 4.15. Soient A Mp(K), B Mp,q(K) et C Mq,p(K) ; alorsIp

... B

. . . . . . . .

0... A

= detA =A

... 0

. . . . . . . .

C... Iq

Thorme 4.16 (Dterminant dune matrice triangulaire par blocs).

Si A Mp(K), B Mq(K) et C Mp,q(K), on aA

... C

. . . . . . . .

0... B

= detA detBDmonstration. On crit la matrice dont on veut calculer le dterminant, comme un produit

de deux matrices du type prcdent, en utilisant le produit matriciel par blocs

M =

A

... C

. . . . . . . .

0... B

=Ip

... 0

. . . . . . . .

0... B

A

... C

. . . . . . . .

0... Iq

= NRLe lemme prcdent et detM = detN detR donnent le rsultat.

4.3 Dveloppement dun dterminant suivant une range 41

4.3 Dveloppement dun dterminant suivant une range

4.3.1 Mise en place

Soient M = [ai,j] = (C1, . . . , Cn) une matrice carre dordre n 2, E = (E1, . . . , En)la base canonique de Mn,1(K) ; pour j [[1, n]], Cj =

ni=1 ai,jEi. Le dterminant de M se

dveloppe suivant son je argument en utilisant la linarit et lon a

detM = detE(C1, . . . ,n

k=1

ak,jEk, . . . , Cn) =n

k=1

ak,j detE(C1, . . . , Ek, . . . , Cn) =n

k=1

ak,jAk,j

o les dterminants Ak,j sexprime par

Ak,j =

a1,1 a1,j1 0 a1,j+1 a1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1,1 ak1,j1 0 ak1,j+1 ak1,nak,1 ak,j1 1 ak,j+1 ak,nak+1,1 ak+1,j1 0 ak+1,j+1 ak+1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an,1 an,j1 0 an,j+1 an,n

soit, en effectuant (j 1) transpositions de colonnes,

Ak,j = (1)j1

0 a1,1 a1,j1 a1,j+1 a1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ak1,1 ak1,j1 ak1,j+1 ak1,n1 ak,1 ak,j1 ak,j+1 ak,n0 ak+1,1 ak+1,j1 ak+1,j+1 ak+1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 an,1 an,j1 an,j+1 an,n

ce qui donne, en effectuant (k 1) transpositions de lignes,

Ak,j = (1)(j1)+(k1)

1 ak,1 ak,j1 ak,j+1 ak,n0 a1,1 a1,j1 a1,j+1 a1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 ak1,1 ak1,j1 ak1,j+1 ak1,n0 ak+1,1 ak+1,j1 ak+1,j+1 ak+1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 an,1 an,j1 an,j+1 an,n

= (1)j+k

a1,1 a1,j1 a1,j+1 a1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1,1 ak1,j1 ak1,j+1 ak1,nak+1,1 ak+1,j1 ak+1,j+1 ak+1,n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an,1 an,j1 an,j+1 an,n

= (1)j+k detMk,j

Ainsi Ak,j = (1)k+j detMk,j o Mk,j est la matrice dduite de M par suppression de la keligne et de la je colonne.

4.3 Dveloppement dun dterminant suivant une range 42

Dfinitions 4.5 (Mineur, cofacteur).

Si M = [ai,j] est une K-matrice carre dordre n 2, on appelle mineur relatif llment ai,j, le dterminant de la matrice carre Mi,j dordre (n 1)

et dduite de M par la suppression de la ie ligne et de la je colonne ;

cofacteur de ai,j, le scalaire (1)i+j detMi,j.

Thorme 4.17 (Dveloppement du dterminant suivant une range).

Si M = [ai,j] est une K-matrice carre dordre n 2 et Ai,j le cofacteur de ai,j, alors,pour tout i et tout j dans [[1, n]], on a

detM =n

k=1

ak,jAk,j, dveloppement du dterminant suivant la je colonne ;

detM =n

k=1

ai,kAi,k, dveloppement du dterminant suivant la ie ligne.

Dmonstration. La premire formule a t dmontre. Pour la seconde, on utilise lgalit

du dterminant de M et de sa transpose, et le dveloppement de det tM par rapport la ie

colonne de tM , i.e. la ie ligne de M .

4.3.2 Matrice des cofacteurs

Dfinition 4.6 (Matrice des cofacteurs).

Si M = [ai,j] est une K-matrice carre dordre n 2, on appelle matrice des cofacteursou comatrice de M , et on note Com M , la matrice de terme gnral Ai,j, le cofacteur relatif

ai,j.

Com M = [Ai,j] =[(1)i+j detMi,j

].

Thorme 4.18. Pour toute K-matrice carre M dordre n 2, on a

M t(Com M) = t(Com M)M = (detM)In.

Dmonstration. Si, dans M , on remplace la je colonne (ak,j)k par (bk)k, le dterminant de

cette nouvelle matrice scritn

k=1

bkAk,j : cest le dveloppement du dterminant par rapport

sa je colonne.

Si la nouvelle colonne (bk)1kn est la ie colonne de M , le dterminant est nul si i 6= j,et vaut detM si i = j, ce qui scrit

(i, j) [[1, n]]2,n

k=1

ak,iAk,j = j,i(detM)

4.4 Dterminant et rang 43

ou encore, puisque (t(Com M)M)j,i =n

k=1

Ak,jak,i,

t(Com M)M = (detM)In

Par une mthode analogue, que je vous encourage rdiger, on montre que

(i, j) [[1, n]]2,n

k=1

ai,kAj,k = i,j(detM)

ce qui revient crire

M t(Com M) = (detM)In

Remarque. M 7 Com M est une application continue de Mn(K)dans Mn(K), car lescomposantes de Com M sont polynomiales en les coefficients de M .

Corollaire (Inverse dune matrice carre).

Si M est une matrice carre inversible dordre n 2, on a

M GLn(K) = M1 = 1detM

t(Com M).

Remarques. Excepts les cas n = 2 et n = 3, cette formule ne peut servir au calcul numrique

de linverse car elle comporte trop doprations.

M =

a cb d

GL2(K) = M1 = 1ad bc

d cb a

Par contre, elle est utile dans des questions thoriques ; par exemple, M 7M1 est une

bijection continue de GLn(K) (cest mme une involution) car produit de deux applicationscontinues.

4.4 Dterminant et rangLe rang dune matrice M = [ai,j] = (C1, . . . , Cp) = t(L1, . . . , Ln) Mn,p(K) est le rang

de ses vecteurs colonnes (Cj)j[[1,p]] ou celui de ses vecteurs lignes (Li)i[[1,n]] car le rang dunematrice est gal celui de sa transpose ; on a donc :

rg M inf(n, p)

Dfinition 4.7 (Matrice extraite).

Si I est une partie non vide de [[1, n]] et J une partie non vide de [[1, p]], on appelle matrice

extraite de M associe I et J , la matrice R = [ai,j] o i I et j J .

4.4 Dterminant et rang 44

Lemme 4.19. Le rang dune matrice extraite de M est infrieur ou gal au rang de M .

Dmonstration. Soit R une matrice extraite de M associe I et J . Considrons la matrice

Q extraite de M et associe [[1, n]] et J ; les vecteurs colonnes (Cj)jJ de Q constituent une

sous-famille des vecteurs colonnes de M , donc rg Q rg M .De mme, les vecteurs lignes (Li)iI de R constituent une sous-famille des vecteurs lignes

de Q, do rg R rg Q, et le rsultat.

Thorme 4.20 (Caractrisation du rang dune matrice).

Le rang dune matrice non nulle est lordre maximal des matrices carrs inversibles ex-

traites.

Dmonstration. Soit M Mn,p(K) une matrice non nulle.Lensemble des ordres des matrices carres inversibles extraites de M nest pas vide, car

il contient 1 puisque M nest pas la matrice nulle, et est major par rg M daprs le lemme.

On note r son plus grand lment ; on a donc 1 r rg M .De la famille (C1, . . . , Cp) des vecteurs colonnes de M , on peut extraire une sous-famille

libre (Cj)jJ de cardinal rg M ; on note Q la matrice extraite de M associe [[1, n]] et J , et

rg M = rg Q. Des vecteurs lignes (L1, . . . , Ln) de Q, on peut encore extraire une sous-famille

libre (Li)iI de cardinal rg Q ; on note R la matrice extraite de M et associe I et J et

rg R = rg Q.

R est une matrice carre de rang maximum (#I = #J = rg R = rg Q = rg M), donc

une matrice inversible. En consquence, r rg M .Finalement r est gal au rang de M .

Corollaire (Caractrisation des familles libres).

Si F = (c1, . . . , cp) est une famille de p vecteurs dun K-espace vectoriel E de dimensionfinie n, si M = MatB(F) Mn,p(K) est la matrice des composantes de F relatives unebase B de E, F est une famille libre si, et seulement si, il existe une matrice carre dordrep, extraite de M et de dterminant non nul.

4.5 Exercices 45

4.5 Exercices

Exercice 4.1. La famille (2, 1, 0), (1, 3, 1), (5, 2, 1) est-elle libre ?

Exercice 4.2. Calculer le dterminant

n =

3 1 0 0

0 3 1. . .

4 0 3 . . . 0. . . . . . . . . 1

0 4 0 3

en fonction de n (vrifier que 1 est racine de X3 3X2 + 4).

Exercice 4.3. Soient a, b, c trois rels et n le dterminant de taille n suivant :

n =

a b 0

c. . . . . .. . . . . . b

0 c a

1. On pose 0 = 1, 1 = a. Montrer que n N,n+2 = an+1 bcn.2. On suppose que a2 = 4bc. Montrer par rcurrence que :

n N,n = (n+ 1) an

2n.

Exercice 4.4. Soit n le dterminant de taille n suivant :

n =

3 1 0 02 3 1

. . . ...

0 2 3. . . 0

... . . . . . . . . . 1

0 0 2 3

1. Montrer que n N,n+2 = 3n+1 2n (avec la convention 0 = 1, 1 = 3).2. Montrer par rcurrence que n N,n = 2n+1 1.

Chapitre 5

SYSTEMES DEQUATIONS

LINEAIRES

Dans tout ce chapitre, les systmes considrs sont coeffcients dans R ou C. Dans unsouci de simplifcation des notations, nous adopterons la convention que le symbole K dsigneR ou C. On rappelle que Kn dsigne lensemble des n-uplets dlments de K, cest--direlensemble des (u1; . . . ;un) avec chaque ui appartenant K.

5.1 DfinitionsDfinition 5.1. Soit p N et n N. On appelle systme linaire de p quations n inconnues coeffcients dans K (ou encore systme p n) tout systme dquations dutype

(S)

a11x1 + + a1nxn = b1 ap1x1 + + apnxn = bp

avec aij K pour 1 i p et 1 j n, et bi K.Un tel systme est dit carr si p = n.

Dfinition 5.2. Si b1 = . . . = bp = 0, le systme est dit homogne. Pour un systme

linaire gnral (S) de p quations n inconnues, le systme

(S )

a11x1 + + a1nxn = 0 ap1x1 + + apnxn = 0

est appel systme homogne associ (S).

5.1 Dfinitions 47

Dfinition 5.3. Soit (S) un systme linaire pn. On appelle solution de (S) tout n-uplet(u1; . . . ;un) de Kn tel que

(S)

a11u1 + + a1nun = b1 ap1u1 + + apnun = bp

Dfinition 5.4. Deux systmes (S1) et (S2) sont dits quivalents sils ont le mme en-

semble de solutions, cest--dire si toute solution de (S1) est solution de (S2) et vice versa.

Exemple : Les systmes {x1 = 1x1 x2 = 2 et

{x1 + x2 = 0x1 x2 = 2

sont quivalents.

Dfinition 5.5. On dit quun systme carr est triangulaire si lon a

aij = 0 pour tout couple (i; j) tel que i < j (systme triangulaire infrieur)

ou bien

aij = 0 pour tout couple (i; j) tel que i > j (systme triangulaire suprieur).

Un systme triangulaire est dit diagonale non nulle sil est triangulaire et si

tous les termes diagonaux sont non nuls.

Exemple : Le systme suivant est triangulaire suprieur diagonale non nulle :x1 + 5x2 + x4 = 1

x2 + x3 = 5x3 5x4 = 0

x4 = 1

Dfinition 5.6. On dit quun systme pn est chelonn sil existe un entierk {1, . . . , n} et un k-uplet dentiers j1 < < jk de {1, . . . , n} tel que :

1. pour i {1, . . . , k}, on a aij = 0, si j < ji;aiji 6= 0;2. pour i > k, aij = 0.

Les k premires quations sont appeles quations principales, et les incon-

nues xj1 , . . . , xjk sont appeles inconnues principales.

5.2 Matrice associe un systme linaire 48

Remarque 5.1. Tout systme triangulaire suprieur diagonale non nulle est

chelonn : on a k = n et ji = i pour tout i {1, . . . , n

};

Exemple : Le systme 4 5 suivant est chelonn2x1 + 3x2 + x5 = 1

x2 + x3 + x4 x5 = 4x5 = 00 = 3

On a k = 3, j1 = 1, j2 = 2 et j3 = 5. Les trois prmires quations sont les quationsprincipales, et x1, x2 et x5 sont les inconnues principales.

5.2 Matrice associe un systme linaire

Dfinition 5.7. Soit (S) un systme p n. Notons aij (avec i dcrivant{1, . . . , p

}et j dcrivant

{1, . . . , n

}) ses coeffcients. On appelle matrice associe au systme

(S) le tableau de nombres

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

... . . ....

ap1 ap2 apn

On dit que A est une matrice p lignes, n colonnes et coeffcients dans K. On

noteMp,n(K) lensemble des matrices p lignes et n colonnes coeffcients dans K.

Si p = n, on dit que la matrice est carre et on utilise plutt la notation Mn(K) au lieude Mn,n(K).

Remarque 5.2.

Les p lignes sont appeles vecteurs lignes de A. Les n colonnes sont appeles vecteurs colonnes de A. Si A M1,n(K), A est appele matrice ligne. Si A Mp,1(K), A est appele matrice colonne.

Proposition 5.1. Un systme est triangulaire suprieur (resp. infrieur) si et seulement

si sa matrice associe est triangulaire suprieure (resp. infrieure).

De mme, on dira que la matrice dun systme (S) est chelonne si le systme est lui-mmechelonn.

La notation matricielle permet de rcrire les systmes linaires sous forme trs condense.En effet, considrons le systme linaire (S) de p quations n inconnues ;

5.3 Rsolution des systmes chelonns 49

notons A la matrice associe ce systme x =

x1...xn

et b = b1...

bn

. Le systme (S) sercrit :

Ax = b.

Exemple : Le systme (S){

2x1 x2 = 5x1 + x2 = 1 se rcrit

(2 11 1

)(x1x2

)=

(51

).

En pratique, pour la rsolution des systmes linaires, on pourra adopter la notation conden-se suivante :

(S) 2 -1 51 1 -1 .

5.3 Rsolution des systmes chelonns

5.3.1 Systmes triangulaires diagonale non nulle

Proposition 5.2. Soit (S) un systme triangulaire suprieur diagonale non nulle. Alors

(S) a une unique solution obtenue par la mthode de la remonte :

xk =

bk n

i=k+1

akixi

akkk = n, n 1, . . . , 2, 1.

Exercice : Montrer que les systmes triangulaires infrieurs peuvent tre rsolus de faonanalogue par la mthode de la descente.

5.3.2 Systmes chelonns

Considrons un systme chelonn gnral p n :

(S)

a1j1xj1 + . . .+ a1nxn = b1 akjkxjk + . . .+ aknxn = bk

0 = bk+10 = bp

1er cas : Lun des bj avec j {k + 1, . . . , p} est non nul. Alors (S) na pas de solution.2me cas : bk+1 = . . . = bp = 0. Alors (S) est quivalent au systme () suivant :

()

a1j1xj1 + . . .+ a1nxn = b1 akjkxjk + . . .+ aknxn = bk

Ce nouveau systme se rsout facilement par la mthode de la remonte en considrantles inconnues non principales (xj avec j 6= ji pour tout i) comme des paramtres libres. Si

5.4 Mthode du pivot de Gauss 50

k = n, le systme () est tout simplement un systme triangulaire suprieur diagonale nonnulle, et la proposition 7.2. sapplique.Sinon, on doit avoir k < n, et on obtient une infinit de solutions (x1, . . . , xn).

Exemple : Soit un paramtre rel. On veut rsoudre

2 3 0 0 1 10 1 0 1 -1 30 0 0 0 1 60 0 0 0 0

1er cas : 6= 0. Le systme na pas de solution.

1me cas : = 0. Le systme est quivalent

2 3 0 0 1 10 1 0 1 -1 30 0 0 0 1 6

Les inconnues principales sont x1, x2 et x5. Les deux autres inconnues x3 et x4 sont desparamtres libres. Par la mthode de la remonte, on trouve :

x5 = 6x2 = 3 x4 + x5 = 9 x4x1 =

1 x5 3x22

= 16 + 32x4

Lensemble des solutions de (S) est

=

{( 16 + 3

2x4, 9 x4, x3, x4, 6

)/x3 R, x4 R

}.

5.4 Mthode du pivot de GaussLa mthode du pivot de Gauss consiste transformer un systme (S) en un systme

chelonn quivalent laide de transformations lmentaires.

Les transformations lmentaires sont de trois types :(T1) Echange de deux lignes du systme,(T2) Multiplication dune ligne par un scalaire non nul,(T3) Ajout une ligne dun multiple dune autre ligne.

Limportance que lon accorde aux transformations lmentaires est justifie par le rsul-tat suivant :

Proposition 5.3. Deux systmes (S1) et (S2) se dduisant lun de lautre par une suc-

cession de transformations lmentaires sont quivalents.

Autrement dit, faire des transformations lmentaires ne change pas lensemble des solutionsdun systme linaire.

5.4 Mthode du pivot de Gauss 51

Exemple : Mettre le systme (S) :0 4 0 4 22 3 1 0 12 0 -1 0 0

sous forme chelonne.

Algorithme du pivot de Gauss : Considrons un systme (S) de taille pn et de matriceA. On veut rsoudre Ax = b.Le pivot de Gauss est une mthode itrative permettant de transformer nimporte quelsystme linaire en un systme chelonn quivalent aprs un nombre fini de transformationslmentaires.Premire itration :

Premier cas : La matrice A est nulle. Lalgorithme est alors termin.Deuxime cas : A 6= 0. Soit j1 lindice de la premire colonne non nulle.

Premire tape : Par permutation de lignes on se ramne au cas o a1j1 .Deuxime tape : Le but de cette tape est de faire apparatre des 0 dans la

colonne j1 sous le coefficient a1j1 . Pour cela, on retrancheaij1a1j1

(L1) chaque

ligne (Li) avec i 2.Itration suivante : On ne touche plus la premire ligne et lon applique la mthode de

la premire itration au systme (p 1) n constitu par les lignes 2 p du systmeobtenu la fin de la premire tape.

Fin de lalgorithme : Lalgorithme sarrte au bout dau plus p 1 itrations ou lorsquele sous-systme obtenu a toutes ses lignes nulles.

5.5 Exercices 52

5.5 Exercices

Exercice 5.1. Mettre sous forme matricielle et rsoudre les systmes suivants.

1.

2x+ y + z = 3

3x y 2z = 0x+ y z = 2x+ 2y + z = 1

2.

x+ y + z + t = 1

x y + 2z 3t = 22x+ 4z + 4t = 3

2x+ 2y + 3z + 8t = 2

5x+ 3y + 9z + 19t = 6

3.

2x+ y + z + t = 1

x+ 2y + 3z + 4t = 2

3x y 3z + 2t = 55y + 9z t = 6

4.

x y + z + t = 5

2x+ 3y + 4z + 5t = 8

3x+ y z + t = 7

5.

x+ 2y + 3z = 0

2x+ 3y z = 03x+ y + 2z = 0

Exercice 5.2. Soient a et b deux rels, et A la matrice

A =

a 2 1 b3 0 1 45 4 1 2

Montrer que rg(A) 2. Pour quelles valeurs de a et b a-t-on rg(A) = 2 ?

5.6 Travaux dirigs 53

5.6 Travaux dirigs

Exercice 5.3. Pythagore dit son disciple :

Jai trois fois lge que tu avais quand javais lge que tu as. Lorsque tu auras lge que

jai, la somme de nos ges sera de 98.

Quel est lge de son disciple ?

Exercice 5.4. Soit M la matrice suivante : M =

1 1 0

1 0 02 0 1

. Montrer que la matriceM est inversible et calculer M1.

Exercice 5.5. Soit u lapplication suivante :

u :R2[X] R2[X]P 7 (2X + 1)P (X2 1)P

Vrifier que u est bien dfinie et linaire.

Dterminer la matrice de u dans la base canonique de R2[X].

Exercice 5.6. Soient trois vecteurs e1, e2, e3 formant une base de R3. On note T lapplication

linaire dfinie par T (e1) = T (e3) = e3 et T (e2) = e1 + e2 + e3.1. Dterminer le noyau de cette application linaire. Donner la matrice A de T dans la

base donne.

2. On pose f1 = e1 e3, f2 = e1 e2, f3 = e1 + e2 + e3. Calculer e1, e2, e3 en fonctionde f1, f2, f3. Les vecteurs f1, f2, f3 forment-ils une base de R3 ?

3. Calculer T (f1), T (f2), T (f3) en fonction de f1, f2, f3. crire la matrice B de T dans

cette nouvelle base.

4. On pose P =

1 1 10 1 1

1 0 1

. Vrifier que P est inversible et calculer P1. Quellerelation relie A, B, P et P1 ?

Exercice 5.7. Soit f lendomorphisme de R3, dont la matrice dans la base canonique

{e1, e2, e3} est

A =

3 2 21 0 11 1 0

1. Calculer (A I)2. En dduire An, en utilisant la formule du binme de Newton.

5.6 Travaux dirigs 54

2. Soient P (X) = (X 1)2 et Q R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne deQ par P en fonction de Q(1) et Q(1), o Q est le polynme driv de Q.

En remarquant que P (A) = 0 et en utilisant le rsultat prcdent avec un choix judicieux

du polynme Q, retrouver An.

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Poly_2008