No d'ordre : 3669 THÈSEpresentéeDEVANT L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1pour obtenirle grade de : DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1Mention : Traitement du Signal et TélécommunicationsPARAlexandre SKRZYPCZAKÉquipe d'accueil : France Télécom Recherche et Développement, site de Rennes,laboratoire RESA/BWA/IRIÉcole doctorale : Mathématiques, Télécommunications, Informatique, Signal etSystèmes Electroniques (MATISSE)Composante universitaire : IETR/SupélecContribution à l'étude des modulations multiporteusesOFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnéesSOUTENUE LE 27 NOVEMBRE 2007 DEVANT LA COMMISSION D'EXAMENPrésident : M. Jean-Jacques FUCHSDirecteur de thèse : M. Jacques PALICOTCo-directeur de thèse : M. Pierre SIOHANRapporteurs : M. Daniel ROVIRASM. Michel TERREExaminateur et encadrant Orange Labs : M. Jean-Philippe JAVAUDINExaminateur : M. Cyrille SICLET

ii

à Babcia

iv

RemerciementsJe tiens tout d'abord à remercier l'ensemble de l'équipe IRI de France Télécom pour sonaccueil et pour ces trois années au cours desquelles j'ai appris de nombreuses choses, aussibien sur le plan technique que humain. Je remercie tout particulièrement Pierre Siohan poursa disponibilité, sa patience et pour avoir toujours su me remotiver lorsqu'il le fallait. Ungrand merci aussi à Jean-Philippe Javaudin pour son encadrement et ses propositions quim'ont permis d'avancer ecacement dans mes travaux. Je n'oublie pas Jacques Palicot deSupélec pour avoir toujours suivi mes recherches avec grand intérêt. Enn, une pensée pourl'ensemble des thésards et post-docs de France Télécom avec qui j'ai partagé de très bonsmoments. Je souhaite ainsi à Benoit et Jean-Baptiste beaucoup de réussite dans leur carrièreprofessionnelle et à Chrislin, Laurent, Anis, Lin, Dominique, Gaëtan et Moussa de mener leurthèse avec succès.

v

vi

Table des matièresRésumé xviiAbstract xixListe des variables utilisées xxiSigles et Acronymes xxiiiIntroduction 11 Etat de l'art sur les modulations multiporteuses 71.1 Un multiplex orthogonal de fréquences : l'OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.1 Rappel historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Le signal OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 L'OFDM en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4 Robustesse vis-à-vis des canaux sélectifs en fréquence . . . . . . . . . . . 101.1.5 Les limites de l'OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Les modulations multiporteuses avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Théorème de Balian-Low et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Les formes avancées de l'OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 L'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 Principe de fonctionnement de la modulation OFDM/OQAM . . . . . . 141.3.2 Le modem OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Orthogonalité des systèmes OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 L'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Principe de fonctionnement de la modulation OFDM suréchantillonnée . 201.4.2 Le modem OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 Orthogonalité des systèmes OFDM suréchantillonnés . . . . . . . . . . . 221.5 Formulation uniée liant l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné . . . . . 241.5.1 Diérences entre l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné . . . . . 241.5.2 Proposition d'une formulation uniée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Filtres prototypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.2 Les formes d'ondes à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.3 Les formes d'onde à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.4 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35vii

viii TABLE DES MATIÈRES2 Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec formed'onde 372.1 Calcul analytique de la densité spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.1 Densité Spectrale de Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2 Calcul analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Applications et simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 L'OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.2 L'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3 L'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3 Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités . . . . . . . . . . . 462.3.1 Cas de la non-linéarité cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Etude d'autres non-linéarités - Comparaison avec l'OFDM . . . . . . . . 493 Analyse théorique du PAPR 573.1 Historique et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.1 Le PAPR dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2 Lien entre le PAPR et l'amplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.3 Approximations des fonctions de répartition du PAPR pour l'OFDM . . 613.1.4 Les modulations avec forme d'onde et la dénition du PAPR . . . . . . 643.2 Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec formed'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.1 Analyse d'un échantillon de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2 Approximation de la CCDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.3 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Optimisation de la CCDF du PAPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.1 Position du problème - Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . 743.3.2 Résolution du problème d'optimisation Lagrangienne . . . . . . . . . . . 743.4 Principaux résultats et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.1 Théorèmes et corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.2 Application aux modulations avec forme d'onde . . . . . . . . . . . . . . 793.4.3 Justication a posteriori de la dénition du PAPR pour les modulationsavec forme d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 Ecart à la courbe optimale : le paramètre ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5.1 Introduction de la mesure ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5.2 Lien entre ε et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5.3 Résultats et simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.6 Etude des signaux à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.1 Cas de l'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6.2 Cas de l'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde 934.1 Introduction et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 Critères de performance des méthodes de réduction . . . . . . . . . . . . 944.2 Les techniques de réduction du PAPR pour la modulation OFDM . . . . . . . . 954.2.1 Les techniques de clipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.2 Techniques d'ajout de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

TABLE DES MATIÈRES ix4.2.3 Les techniques de codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.4 Les techniques basées sur la modication des constellations initiales . . . 1004.2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3 L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde1024.3.1 Retour sur la technique de SeLective Mapping . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.2 Application de la méthode SLM aux modulations avec forme d'onde :une première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.3 L'algorithme OSLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.4 Illustration de la technique OSLM sur un exemple . . . . . . . . . . . . 1104.4 Performances de l'algorithme OSLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.1 L'OSLM pour l'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2 L'OSLM pour l'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.3 OFDM/OQAM vs. OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5 La métrique cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.5.2 Interprétation de la dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5.3 L'OSLM pour la réduction de la métrique cubique . . . . . . . . . . . . 1204.5.4 Simulations et performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde 1235.1 Rappel des techniques d'estimation de canal pour les modulations multiporteuses1245.1.1 Position du problème pour un canal quasi-statique . . . . . . . . . . . . 1245.1.2 Les techniques d'estimation de canal pour la modulation OFDM . . . . 1245.1.3 L'estimation de canal pour l'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.2 Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modulation OFDM/OQAM . 1315.2.1 Retour sur les équations de démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.2.2 Estimation pseudo-parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2.3 Estimation réaliste par préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2.4 Estimation réaliste par paires de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.5 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.3 Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec forme d'onde . . . . . . . 1395.3.1 Equations de démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.2 Cas de l'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3 Cas de l'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3.4 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416 Application au courant porteur en ligne 1476.1 Le courant porteur en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2 Les forums CPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.1 HomePlug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.2 OPERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.3 Autres regroupements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3 Les particularités des transmissions par CPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.1 Bande de fréquences allouée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.2 Compatibilité électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3.3 Le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3.4 Le canal de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

x TABLE DES MATIÈRES6.4 Simulations dans le cadre des transmissions CPL . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.2 Etude de la DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.4.3 Robustesse au bruit à bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.4.4 Etude du PAPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.4.5 Etude des performances de l'estimation de canal . . . . . . . . . . . . . 159Conclusion 163A Notations 167A.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.2 Ensembles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.3 Ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.4 Opérations sur les ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.4.1 En temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.4.2 En temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.5 Variables aléatoires et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168B Lien entre les modulations OFDM avec forme d'onde et la théorie des bancsde ltres 169B.1 Bancs d'analyse et bancs de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.1.1 Banc d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.1.2 Banc de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.2 Lien avec l'OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.3 Lien avec l'OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171C Résultats complémentaires sur la DSP des systèmes avec forme d'onde 173C.1 DSP d'un signal en fonction de la DSP de son enveloppe complexe . . . . . . . 173C.2 Cas de validité de l'équation (2.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.2.1 En OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.2.2 En OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.2.3 En OFDM suréchantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175D La fonction d'ambiguïté : dénitions et applications 177D.1 Dénition de la fonction d'ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177D.1.1 Le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177D.1.2 Quelques propriétés de la fonction d'ambiguïté . . . . . . . . . . . . . . 178D.1.3 Le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178D.2 Importance de la phase dans l'estimation de canal par la technique de la couronne179D.2.1 Les termes de phase en OFDM/OQAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179D.2.2 Réécriture des équations d'annulation d'IES sur la première couronne . . 179D.3 Démonstration de l'équation (5.36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Contributions 183Bibliographie 185

Table des gures1.1 Modem OFDM numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Illustration de la robustesse des signaux multiporteuses vis-à-vis des canauxsélectifs en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 L'OFDM avec intervalle de garde vis-à-vis des canaux multitrajets. . . . . . . . 111.4 Préxe cyclique pour le nème temps symbole OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Transmultiplexeur associé à la modulation OFDM/OQAM. . . . . . . . . . . . 181.6 Structure générale du modem OFDM/OQAM avec transformée de Fourier rapide. 191.7 Transmultiplexeur associé à la modulation OFDM suréchantillonnée. . . . . . . 221.8 Structure générale du modem OFDM suréchantillonné avec transformée de Fou-rier rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9 Représentation en temps et en fréquence de la fonction porte. . . . . . . . . . . 291.10 Représentation en temps et en fréquence de la fonction SRRC avec r = 0.5. . . 301.11 Représentation en temps et en fréquence de la fonction IOTA. . . . . . . . . . . 311.12 Représentation en temps et en fréquence de la première forme du prototype deMalvar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.13 Représentation en temps et en fréquence de la seconde forme du prototype deMalvar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.14 Représentation en temps et en fréquence d'un ltre TFL de longueur 256. . . . 341.15 Représentation en temps et en fréquence d'un ltre FS de longueur 256. . . . . 352.1 DSP idéale sur une bande de fréquence B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 DSP de l'OFDM pour 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 DSP de l'OFDM avec intervalle de garde pour 64 porteuses. . . . . . . . . . . . 422.4 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM pour 1024 porteuses - Etude del'inuence des prototypes à temps continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM pour 1024 porteuses - Etude del'inuence des prototypes à temps discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 DSP de quelques systèmes OFDM suréchantillonnés pour 1024 porteuses. . . . 452.7 Zoom de la gure 2.6 au niveau du bord de la DSP. . . . . . . . . . . . . . . . . 452.8 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM à 128 porteuses après passage parun amplicateur de puissance présentant une non-linéarité de type cubique. . . 482.9 Caractéristiques AM/AM des modèles de non-linéarités proposés. . . . . . . . . 512.10 Caractéristiques AM/PM des modèles de non-linéarités proposés. . . . . . . . . 512.11 Caractéristiques AM/AM des modèles de non-linéarités proposés à l'échellelogarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52xi

xii TABLE DES FIGURES2.12 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 0 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.13 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 5 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.14 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 10 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.15 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1 Illustration du lien entre le PAPR et l'amplication de puissance. . . . . . . . . 603.2 Comparaison des validités des expressions approximant les courbes de CCDFpour un système OFDM à 256 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Répartition des valeurs de puissance d'un échantillon de signal OFDM/OQAMà 256 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théoriquede la CCDF du PAPR pour l'OFDM/OQAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théoriquede la CCDF du PAPR pour l'OFDM suréchantillonné avec η = 1.25. . . . . . . 733.6 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théoriquede la CCDF du PAPR pour l'OFDM suréchantillonné avec η = 1.5. . . . . . . . 733.7 Illustration du théorème 3.2 pour des systèmes OFDM et OFDM/OQAM à 512porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8 Comparaison des valeurs de ε et de δ en fonction du rapport Lh/M pour desprototypes EGF à 512 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.9 Comparaison des valeurs de ε et de δ en fonction du rapport Lh/M pour desprototypes SRRC à 512 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.10 Inuence du paramètre ε sur les courbes de CCDF du PAPR pour diérentssystèmes OFDM/OQAM à 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.11 Inuence du paramètre ε sur les courbes de CCDF du PAPR pour diérentssystèmes OFDM suréchantillonnés à 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . 883.12 Ecart entre les valeurs du PAPR pour un signal OFDM à temps discret et unsignal OFDM suréchantillonné pour 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . 893.13 Comparaison des CCDF du PAPR de systèmes OFDM et OFDM/OQAM àtemps discret et à temps continu pour 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . 913.14 CCDF du PAPR de diérents systèmes OFDM suréchantillonnés à temps dis-cret et à temps continu pour 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1 La place de la réduction du PAPR dans une chaîne de communications. . . . . 944.2 Illustration de la technique d'ajout de signal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 Modulateur OFDM incluant la technique SLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.4 Démodulateur OFDM incluant la technique SLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5 Inuence du nombre de codes U sur les performances de la technique SLM pourun système OFDM à 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6 Illustration du phénomène de chevauchement des formes d'onde successives dansle cas des modulations avec forme d'onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.7 Modulateur pour une modulation multiporteuse avec forme d'onde incluant latechnique OSLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

TABLE DES FIGURES xiii4.8 Démodulateur pour une modulation multiporteuse avec forme d'onde incluantla technique OSLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.9 Phase 1 de l'algorithme OSLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.10 Phase 2 de l'algorithme OSLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.11 Phase 3 de l'algorithme OSLM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.12 Inuence du nombre de codes U sur les performances de la technique OSLMpour un système OFDM/OQAM à 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.13 Inuence de la longueur du prototype sur les performances de la techniqueOSLM pour un système OFDM/OQAM à 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . 1134.14 Inuence du prototype sur les performances de la technique OSLM pour dessystèmes OFDM/OQAM à 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.15 Gain de la technique SLM en fonction de la probabilité de clipping et du nombrede porteuses pour U = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.16 CCDF initiale de plusieurs systèmes OFDM suréchantillonnés à 64 porteusesutilisant un ltre prototype SRRC de longueur variable. . . . . . . . . . . . . . 1175.1 Chaîne de communication pour l'estimation parfaite du canal en OFDM. . . . . 1265.2 Estimation par préambule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Estimation par pilotes répartis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4 Estimation parfaite par méthode de la couronne pour les temps symboles pairs. 1305.5 Estimation parfaite par méthode de la couronne pour les temps symboles impairs.1315.6 Structure du préambule aléatoire de la solution IAM1. . . . . . . . . . . . . . . 1345.7 Structure du préambule déterministe de la solution IAM2. . . . . . . . . . . . . 1355.8 Structure du préambule pour la solution POP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.9 Courbes de TEB pour l'estimation parfaite en OFDM et pseudo-parfaite enOFDM/OQAM, pour une constellation MAQ-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.10 Comparaison des performances des diérentes estimations de canal par rapportau cas de l'OFDM, pour une constellation MAQ-4. . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.11 Fonction d'ambiguïté sur l'axe temporel des formes d'onde IOTA, TFL et FSpour 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.12 Dénition des ensembles Ψ∗k, kième couronne autour d'une position de référence. 1436.1 Exemple de masque de transmission pour les applications PLC. . . . . . . . . . 1496.2 Paramètres des modulations Windowed OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3 DSP du bruit global dans le cadre du standard HomePlug AV. . . . . . . . . . 1546.4 Densités Spectrales de Puissance pour diérents systèmes OFDM/OQAM com-parées avec le Windowed OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.5 Réponses en temps et en fréquence des formes d'onde utilisées. . . . . . . . . . 1556.6 Zoom de la gure 6.4 autour de la 4ième encoche. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.7 Inuence de la pente des formes d'onde utilisées sur le débit utile. . . . . . . . . 1576.8 TEB en fonction du rapport signal à bruit pour un systèmeWindowed OFDM etdiérents systèmes OFDM/OQAM dans un contexte de transmission HomePlugAV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.9 CCDF du PAPR dans le contexte HomePlug AV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.10 Courbes obtenues en estimation parfaite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.11 Résultats de simulation en estimation réaliste dans le contexte HomePlug 1.0. . 160

xiv TABLE DES FIGURESB.1 Banc d'analyse uniforme à M voies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.2 Banc de synthèse uniforme à M voies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Liste des tableaux1.1 Schéma de transmission des symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Diérences entre les caractéristiques des signaux OFDM/OQAM, OFDM sur-échantillonnés (OS) et OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Valeurs de l'énergie hors-bande, des moments d'ordre 2 en temps et en fréquenceet de localisation temps-fréquence pour diérents ltres prototypes pour 64porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Valeur du seuil maximal (en dB) de validité de la théorie en fonction du nombrede porteuses M pour l'OFDM/OQAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Valeur du seuil maximal (en dB) de validité de la théorie en fonction du nombrede porteuses M et du rapport de suréchantillonnage η pour l'OFDM suréchan-tillonné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 Valeur de ε et de δ pour quelques prototypes parfaitement orthogonaux à 512porteuses en fonction du rapport Lh/M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1 Gain (en dB) obtenu par la technique OSLM pour diérents systèmes OFDM/OQAMà 1024 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2 Gain (en dB) obtenu par la technique OSLM pour diérents systèmes OFDMsuréchantillonnés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3 Gain (en dB) obtenu par la technique SLM pour diérents systèmes OFDMsuréchantillonnés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4 Performance de la technique de réduction de la CM pour des systèmes OFDM/OQAMà 64 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1 Valeur de certains paramètres de simulation liés au canal de propagation. . . . 1375.2 Valeur de l'IES pour diérentes formes d'onde à 1024 porteuses. . . . . . . . . . 1385.3 Valeur de PC(k) (en dB) pour diérentes formes d'onde d'un système OFDM/OQAMà 256 porteuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.1 Les standards HomePlug 1.0 and HomePlug AV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2 Fréquence centrale et largeur de bande où la transmission PLC n'est pas auto-risée (standard HomePlug AV américain). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3 Valeur de certains paramètres de simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

xv

xvi LISTE DES TABLEAUX

RésuméL'étape de modulation est un maillon essentiel dans une chaîne de transmission et son op-timisation permet de garantir un certain degré de performance. Actuellement, de plus en plusde solutions sont basées sur des schémas de transmission multiporteuse du fait de leur excel-lente robustesse vis-à-vis des canaux multitrajets. Parmi ces solutions, la modulation OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplex) se pose comme une modulation de référence.Seulement, cette modulation, basée sur une mise en forme spectrale rectangulaire, possèdequelques inconvénients notables comme une Densité Spectrale de Puissance (DSP) ayant deslobes secondaires très élevés. D'autres modulations, basées sur des mises en forme spectralesautres que rectangulaire, ont été développées pour lutter contre ce problème, parmi lesquellesl'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné, mais ceci au prix de nouvelles contraintes. Pourl'OFDM/OQAM, on modie le schéma de transmission des données de sorte à ne transmettreque des réels, tout en conservant une ecacité spectrale égale à celle de l'OFDM sans inter-valle de garde. Pour l'OFDM suréchantillonné, on garde, comme en OFDM, l'orthogonalitécomplexe mais on ne transmet plus les données avec une ecacité spectrale maximale. Desdiérences notables existent donc par rapport à l'OFDM. Ainsi, le choix de la forme d'ondepeut s'avérer crucial quant aux performances des systèmes avec forme d'onde. Aussi, danscette thèse, nous réservons l'appellation modulation (multiporteuse) avec forme d'onde auxmodulations OFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnées.L'objectif de cette thèse est d'étudier ces modulations avec forme d'onde sur plusieurs as-pects critiques des transmissions, aussi bien à l'émission qu'à la réception. L'OFDM étant basésur une forme d'onde rectangulaire, son spectre d'émission est par conséquent assez mal loca-lisé en fréquence. L'introduction d'autres formes d'onde pour les modulations OFDM/OQAMet OFDM suréchantillonnées nous a amené à réaliser une étude approfondie de la DSP, enincluant aussi une étude de l'inuence des non-linéarités dues à l'amplication de puissance.D'autre part, étant donné que toutes les modulations présentées au cours de cette thèse sontà enveloppe non-constante, une étude des pics de puissance de ces signaux est abordée parl'intermédiaire de l'analyse du Peak-to-Average Power Ratio (PAPR) et de sa distribution sta-tistique. Une technique de réduction du PAPR, adaptée pour ces modulations OFDM/OQAMet OFDM suréchantillonnées, appelée OSLM, est aussi développée. Nous présentons aussi destechniques d'estimation de canal prenant en compte les spécicités des modulations avec formed'onde. Une application de l'OFDM/OQAM à la transmission sur courant porteur en ligneest enn menée à la lumière des résultats que nous avons obtenus tout au long de cette étude.xvii

xviii Résumé

AbstractThe choice of a modulation scheme is a crucial step in a transmission chain and its optimi-zation gives a certain guarantee on performance. Nowadays, the choice of multicarrier solutionsbecomes more and more frequent thanks to their remarkable robustness to multipath fadingchannels. The OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplex) solution then stands for areference modulation.However, this modulation, based on a rectangular pulse shape, exhibits some noticeabledrawbacks, like a Power Spectral Density (PSD) with high sidelobes. In order to cope withthis problem, new solutions have been developed using non-rectangular pulse shapes. Never-theless, modulations like OFDM/OQAM and oversampled OFDM lead to specic constraints.Concerning the OFDM/OQAM modulation, the transmission scheme is modied in order totransmit real data but the spectral eciency is equivalent to that of the OFDM modulationwithout guard interval. Oversampled OFDM is based, on its side, on a complex orthogona-lity but the transmission is made with a lower spectral eciency. Thus, important dierencesexist when compared to OFDM. The choice of the pulse shape may then have a strong im-pact on the system performance. In this Ph.D. thesis, we reserve the appellation pulse-shaped(multicarrier) modulations to the OFDM/OQAM and the oversampled OFDM modulations.This manuscript aims at studying these pulse-shaped modulations on several critical as-pects of data transmission, both at the transmitter side and the receiver side. Because of itsrectangular pulse shape, OFDM has a PSD which is badly localized in frequency. With theintroduction of new pulse shapes for the OFDM/OQAM and oversampled OFDM cases, aclose look is made at the PSDs, including a study of the inuence of the nonlinearities gene-rated by a power amplication. Parallel to this, as all these multicarrier modulations have anon-constant envelop, a study of the power peaks is driven by the analysis of the statisticaldistribution of the Peak-to-Average Power Ratio (PAPR). Then, a PAPR reduction technique,adapted to OFDM/OQAM and oversampled OFDM and called OSLM, is developed. Next,we approach the channel estimation problem by taking the specicities of these pulse-shapedmulticarrier modulation into account. And nally, an application of the OFDM/OQAM modu-lation to power line communications is made, using the results obtained thanks to the previoustheoretical studies.xix

xx Abstract

Liste des variables utiliséesM nombre de porteuses d'un système multiporteuseT0 temps symbole d'un système multiporteuseτ0 demi-temps symbole en OFDM/OQAMF0 écart inter-porteuses d'un système multiporteuseρ densité d'une famille de Weyl-Heisenbergη rapport de suréchantillonnage en OFDM suréchantillonnéN entier égal à M/2 en OFDM/OQAMN ′ entier égal à ηM en OFDM suréchantillonnéD paramètre de délaiα entier égal à dD/Neβ entier compris entre 0 et N − 1 tel que D = αN − β

cm,n symboles complexes émis en OFDM et en OFDM suréchantillonnécm,n symboles complexes reçus en OFDM et en OFDM suréchantillonnéam,n symboles réels émis en OFDM/OQAMam,n symboles réels reçus en OFDM/OQAMφm,n terme de phase en OFDM/OQAMFe fréquence d'échantillonnageTe période d'échantillonnageh(t) réponse impulsionnelle à temps continu de la forme d'ondeH(ν) réponse fréquentielle à temps continu de la forme d'ondehm,n(t) base de modulation et de démodulation à temps continuh[k] réponse impulsionnelle à temps discret du ltre prototypeH(z) réponse fréquentielle à temps discret du ltre prototypehm,n[k] base de modulation et de démodulation à temps discretLh longueur du ltre prototypeGl(z) lième composante polyphase du ltre hbm,n symboles émis pour le signal uniébm,n symboles reçus pour le signal uniéT temps symbole pour le signal unié xxi

xxii Liste des variables utiliséesF écart interporteuses pour le signal uniéθm,n terme de phase pour le symbole uniéP nombre d'échantillons d'écart entre 2 formes d'onde consécutives pour le signal uniéQ nombre d'échantillons dans un temps symbole pour le signal uniéb entier égal à ⌊Lh

Q

⌋

v entier égal à ⌊LhP

⌋

ξ valeur de localisation temps-fréquenceJ valeur de l'énergie hors-bander Roll-O du ltre SRRCλ paramètre des ltres EGFΓ(t, τ) fonction d'autocorrélationγ(ν) densité spectrale de puissanceγ seuil en dB pour le calcul de la CCDFαi paramètre lié au prototype h pour le calcul de la CCDFε écart à la courbe optimale de CCDFδ distorsion maximale introduite par le transmultiplexeurU nombre de codes pour les techniques SLM et OSLMκ(t, τ) canal de propagationr(t) signal reçu après passage dans le canal de propagationAh(τ, ν) fonction d'ambiguïté de la fonction prototype h.Ebu énergie d'un bit utile.N0 densité spectrale de puissance bilatérale d'un bruit AWGN.

Sigles et Acronymes3GPP 3rd Generation Partnership Project.ADSL Asymmetric Digital Subscriber Line.AM Amplitude Modulation.AWGN Additive White Gaussian Noise.BCH (code) Bose, Ray-Chaudhuri, Hocquenghem.BFDM Biorthogonal Frequency Division Multiplex.BLWGN Band-Limited White Gaussian Noise.CCDF Complementary Cumulative Density Function.CDF Cumulative Density Function.CDMA Code Division Multiple Access.CF Crest Factor.CM Cubic Metric.COFDM Coded Orthogonal Frequency Division Multiplex.CP-OFDM OFDM avec Préxe Cyclique.CPL Courant Porteur en Ligne.DAB Digital Audio Broadcasting.DCT Discrete Cosine Transform.DFT Discrete Fourier Transform.DMT Discrete MultiTone.DSP Densité Sprectrale de Puissance.DVB-T Digital Video Broadcasting - Terrestrial.EGF Extended Gaussian Function.FFT Fast Fourier Transform.FM Frequency Modulation.FMT Filtered MultiTone.FO Forme d'Onde.FS Frequency Selectivity (ltre optimisé pour la selectivité fréquentielle).HIPERLAN HIgh PERformance Local Area Network.IAM Interference Approximation Method. xxiii

xxiv Sigles et AcronymesIBO Input Back-O.IES Interférences Entre Symboles.IFFT Inverse Fast Fourier Transform.IG Intervalle de Garde.i.i.d. indépendant et identiquement distribué.IOTA Isotropic Orthogonal Transform Algorithm.ISI Inter-Symbol Interference.LW Fonction de Lambert.MAQ Modulation d'Amplitude en Quadrature.MDP Modulation de Phase.MMSE Minimum Mean Square Error.OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplex(ing).OQAM Oset QAM.OSLM Overlapped SLM.PAPR Peak-to-Average Power Ratio.PEP Peak Envelope Power.PF Peak Factor.PLC Power Line Communications.PMEPR Peak-to-Mean Envelope Power Ratio.POP Pair Of Pilots.PPCM Plus Petit Commun Multiple.PR Power Ratio.PTS Partial Transmit Sequence.QAM Quadrature Amplitude Modulation.RCM Raw Cubic Metric.RIF Réponse Impulsionnelle Finie.RMS Root Mean Square.SLM SeLective Mapping.SNR Signal-to-Noise Ratio.SRRC Square Root Raised Cosine.SSPA Solid State Power Amplier.TEB Taux d'Erreur Binaire.TFL Time-Frequency Localization (ltre optimisé pour la localisation temps-fréquence).TMUX TransMUltipleXeur.TOP Tube à Ondes Progressives.W-CDMA Wideband CDMA.ZF Zero Forcing.ZP-OFDM OFDM avec Zero Padding.

IntroductionDurant les deux dernières décennies, nous avons pu observer un formidable développementde nouvelles applications de télécommunications comme, par exemple, la téléphonie mobile oul'Internet. Si ces applications sont désormais bien implantées, elles s'appuient sur des tech-niques qui n'ont pas atteint leurs limites. Elles créent de plus de nouveaux besoins avec, enparticulier, une attente pour de nouveaux services à très haut débit. Il paraît donc essentield'améliorer les diérents maillons élémentaires de la chaîne de transmission. Ainsi, le choixde la modulation et son optimisation s'avèrent cruciaux pour accroître les débits des futursservices laires et sans l, d'Internet ou de la téléphonie mobile.En eet, le rôle de la modulation est de générer un signal, contenant les données utiles,qui soit susamment ecace pour lutter contre les perturbations apportées par le canal detransmission. Aussi, avec la demande croissante en termes de débits, les modulations multi-porteuses sont apparues comme les solutions les plus intéressantes. En eet, le fait d'utiliserplusieurs porteuses en parallèle permet ainsi de rendre la transmission robuste vis-à-vis descanaux sélectifs en fréquence car elle est alors réalisée sur des bandes de fréquence réduites [83].La modulation multiporteuse la plus utilisée actuellement est la modulation OFDM car ellepermet, avec un système de complexité relativement réduite, d'atteindre de très bonnes per-formances. Ses propriétés d'orthogonalité sont tout d'abord assurées pour une transmissionsur canal gaussien. Ensuite, par le simple ajout d'un intervalle de garde, l'orthogonalité dusystème peut être restaurée lors de transmissions sur des canaux multitrajets. Si bien qu'aunal, couplée avec un code correcteur d'erreurs, la solution dite Coded OFDM (COFDM) de-vient un système de transmission de référence. Ainsi, le COFDM est utilisé dans de nombreuxstandards de diusion avec les systèmes de radio numérique DAB [8], la télévision numériqueterrestre DVB-T [132], la norme de transmission sans l IEEE 802.11 a/g [33] ou encorel'ADSL [96].Malgré tous ces aspects séduisants, l'OFDM, en tant que système de modulation, présentecertains inconvénients. Le signal OFDM étant une somme de plusieurs signaux monoporteuses,il en résulte un signal dont l'enveloppe n'est pas constante. En eet, les signaux OFDM peuventavoir une dynamique en amplitude (et donc en puissance) qui peut être très importante. Cettepropriété est très néfaste vis-à-vis de l'amplication de puissance. En eet, dans une chaînede transmission classique, le signal issu d'une modulation donnée est amplié en puissance desorte à être transmis dans le canal avec une puissance susamment élevée pour être détectépar le récepteur. Mais, dans la très grande majorité des cas, les amplicateurs de puissance nesont pas linéaires. En eet, pour une certaine plage de puissance en entrée, ces amplicateursrestituent un signal dont la puissance est bien proportionnelle à la puissance entrante mais,hors de cette plage, ceci n'est plus vérié. Il en résulte donc une caractéristique AM-AM1

2 Introduction(fonction donnant la puissance de sortie en fonction de la puissance d'entrée) qui n'est pasune droite. Ainsi, un signal ayant une forte dynamique a une probabilité non nulle de se voiren partie distordu par l'amplicateur de puissance. Le Peak-to-Average Power Ratio [135], quiest le rapport entre la puissance maximale et la puissance moyenne d'un signal, a ainsi étéintroduit pour analyser les uctuations de puissance des signaux, en particulier les signauxmultiporteuses [46]. Mais comme le PAPR se trouve être une variable aléatoire dans le casde l'OFDM, les études ont porté sur l'observation de la probabilité que le PAPR dépasseun certain seuil, la courbe résultante étant la CCDF. Ainsi, il est apparu de nombreusespublications donnant une expression approchée de cette CCDF pour le PAPR [110, 137, 169,180].Ces études menées sur le PAPR de l'OFDM ont montré que la probabilité que l'écartentre la puissance maximale et la puissance moyenne du signal OFDM soit plus grande que laplage de puissance, où la plupart des amplicateurs de puissance sont linéaires, est loin d'êtrenégligeable. Donc pour limiter les distorsions à l'émission, deux solutions sont possibles : soitaméliorer les amplicateurs de puissance, soit trouver des méthodes pour limiter les uctua-tions de puissance (et donc le PAPR) des signaux OFDM. Comme la première solution s'avèreêtre très onéreuse pour des résultats pas toujours optimaux, la plupart des recherches se sontaxées sur la seconde solution à savoir la mise au point de techniques de réduction du PAPR.Il existe une multitude de techniques de ce type [65, 68, 94, 105, 112, 114, 175]. Grâce à elles, ildevient donc possible de limiter ecacement les problèmes de forte dynamique de puissancedes signaux OFDM. En contrepartie, on observe généralement une augmentation de la com-plexité du modem, une dégradation des performances en termes de TEB ou encore en termesde DSP.Concernant la DSP justement, l'OFDM classique (c'est-à-dire sans intervalle de garde)possède un spectre d'émission peu favorable vis-à-vis des normes de transmission actuelles.En eet, l'OFDM étant basé sur une mise en forme rectangulaire, la DSP associée possèdedes remontées des lobes secondaires relativement importants. Par exemple, le premier lobesecondaire en OFDM remonte à -11 dB [8]. Pour contrer, en partie, l'impact de cette mauvaiselocalisation fréquentielle, une solution possible est de ltrer les symboles OFDM par une formed'onde qui a de meilleures propriétés spectrales que la forme d'onde rectangulaire. Cettesolution s'appelle le Windowed OFDM [170] mais elle ne permet d'améliorer la DSP que surles bords du spectre. Ainsi, pour des applications comme les PLC où la spécication impose leplacement de porteuses nulles dans la bande du signal, cette solution s'avère peu ecace. Uneautre solution est alors de pouvoir utiliser une forme d'onde autre que rectangulaire. Mais ilest possible de démontrer qu'en dehors de la fonction sinc, seule la forme d'onde rectangulairepeut être utilisée dans un formalisme de type OFDM. Ainsi, pour pouvoir introduire une formed'onde autre que rectangulaire, nous devons : soit relâcher la contrainte d'ecacité spectrale optimale (en augmentant la valeur duproduit entre la durée symbole et l'écart interporteuse), soit relâcher les contraintes d'orthogonalité.La première solution proposée est connue sous le nom d'OFDM suréchantillonné [58, 59,139]. On la retrouve aussi sous d'autres dénominations comme Fraction Spaced MulticarrierModulation [168] ou encore NOFDM [73,74]. Une forme de modulation similaire, connue sous lenom de Filtered Multi Tone (FMT), a également été proposée pour la transmission laire [28].

Introduction 3Le fait d'allonger le temps symbole ou l'écart interporteuse permet d'introduire des formesd'onde avec des propriétés plus intéressantes. Mais comme l'ecacité spectrale est inversementproportionnelle au produit entre le temps symbole et l'écart interporteuse, il en résulte quel'ecacité spectrale de cette modulation est inférieure à celle d'un système OFDM classiqueéquivalent. La seconde solution possible est appelée OFDM/OQAM [80]. Cette modulationpossède la même ecacité spectrale que l'OFDM classique tout en ayant la possibilité d'utiliserdes formes d'onde autre que rectangulaires. Pour cela, on modie le schéma de transmissiondes données de sorte à ne transmettre que des réels, en introduisant pour cela un décalageentre la partie réelle et la partie imaginaire du symbole à transmettre (d'où le terme OsetQAM ou OQAM). L'orthogonalité n'est plus vériée dans le corps des complexes comme enOFDM classique mais dans le corps des réels. Dans la suite de ce manuscrit, nous désignonspar modulation multiporteuse avec forme d'onde ces deux modulations présentées ci-dessus.Cette appellation suggère la possibilité de choisir, pour ces modulations, une forme d'ondeautre que rectangulaire, contrairement à la modulation OFDM qui impose la forme d'onderectangulaire.Cette thèse a pour objectif d'étudier le comportement de ces modulations multiporteusesvis-à-vis de certains points cruciaux des communications numériques. Dans un premier temps,nous analyserons l'impact de la forme d'onde sur le spectre d'émission de ces modulationset les améliorations de ces DSP par rapport à celle du signal OFDM. De plus, tout commel'OFDM, ces modulations étant aussi à enveloppe non-constante, l'étude du PAPR devientaussi nécessaire. Nous verrons si la forme d'onde inue sur la fonction de répartition du PAPRde ces modulations et, si cela est le cas, donnerons les conditions que doivent satisfaire lesformes d'onde pour atteindre la meilleure distribution possible. De même, nous détermineronsune technique originale de réduction du PAPR, proche de la technique de Selective Mappingpour l'OFDM [105] mais liée aux spécicités de ces modulations. Cependant, au contraire del'OFDM, dont l'intervalle de garde permet d'obtenir des solutions simples pour l'estimationde canal et l'égalisation, on ne peut pas ajouter un intervalle de garde à ces modulations avecforme d'onde. Dès lors, le problème d'estimation de canal s'avère être un point important qu'ilest nécessaire d'étudier. Nous verrons si des méthodes ecaces d'estimation sont réalisablespour ces modulations avec forme d'onde. Enn, nous montrerons les résultats que nous avonsobtenus lors de simulations utilisant le contexte de certaines normes de transmission actuelles.Cette thèse comporte six chapitres, chacun traitant un aspect particulier des communi-cations numériques. Ainsi, le chapitre 1 décrit les notions nécessaires à la compréhension desmodulations multiporteuses. Nous commençons par la description de la modulation OFDM,modulation de référence à laquelle seront confrontées les performances des modulations OFDMavec forme d'onde. Puis, nous expliquerons plus en détails les raisons pour lesquelles il n'estpas possible d'utiliser des formes d'onde avec de bonnes propriétés spectrales en utilisant leformalisme OFDM classique. Suite à cela, nous introduisons les modulations avec forme d'ondeà savoir l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné, la manière dont elles sont obtenues etleurs spécicités. Aussi, nous introduisons une formulation uniée permettant d'étudier à lafois l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné. Cette formulation permet, d'une part, d'al-léger les développements mathématiques et, d'autre part, de réaliser une analyse plus généralede ces modulations. Une analyse des formes d'ondes qui seront utilisées dans la suite de cettethèse est enn réalisée, montrant les améliorations qu'elles apportent par rapport à la formed'onde rectangulaire.

4 IntroductionLe chapitre 2 aborde l'étude la densité spectrale de puissance (DSP). Une première partierappelle les principales dénitions liées à cette fonction. Puis nous déterminons une expressionanalytique de la DSP pour les modulations multiporteuses avec forme d'onde. Cette expres-sion sera alors confrontée à des simulations pour prouver sa validité. Puis, nous introduisonsdes modèles de non-linéarité dans la chaîne de transmission an de simuler le comportementréaliste d'un amplicateur de puissance à l'issue de l'étape de modulation. Nous étudions ainsil'impact de cette non-linéarité sur la DSP. Aussi, nous examinerons plus en détails le cas dela non-linéarité cubique an d'exprimer de manière analytique sa DSP. Enn, nous eectue-rons des simulations pour d'autres modèles de non-linéarités pour le cas de la modulationOFDM/OQAM.Le chapitre 3 traite de l'analyse théorique du PAPR pour les modulations avec formed'onde. Ainsi, après avoir rappelé les principaux résultats théoriques concernant les études duPAPR pour la modulation OFDM, nous proposons une étude de cette variable dans le casdes modulations avec forme d'onde. Aussi, après avoir formulé une expression théorique dela CCDF, nous déterminons les conditions que doit remplir la forme d'onde pour atteindrela meilleure CCDF possible. Nos conclusions seront alors donnés sous forme de théorèmesdécrivant le comportement de la CCDF du PAPR de l'OFDM/OQAM et de l'OFDM sur-échantillonné par rapport au cas de l'OFDM classique. Nous proposons alors d'introduire uneconstante permettant de prévoir l'allure de la CCDF par rapport à celle de l'OFDM et du casoptimal. Enn, l'étude du PAPR sera aussi faite pour les signaux à temps continu.Suite aux résultats obtenus au chapitre 3, le chapitre 4 a pour objectif de présenter uneméthode de réduction du PAPR pour ces modulations avec forme d'onde. Ainsi, après avoirprésenté les principales solutions disponibles dans la littérature pour l'OFDM, nous intro-duisons une solution adaptée aux modulations avec forme d'onde et inspirée de la méthodeSLM pour l'OFDM : l'Overlapped SLM (OSLM). Nous montrons aussi les performances decet algorithme (comparées à celle de la méthode SLM pour l'OFDM) ainsi que les diérentsparamètres pouvant inuencer sur elles. Nous introduirons enn la métrique cubique, variableen concurrence avec le PAPR pour prévoir le comportement des signaux à enveloppe non-constante par rapport à l'amplication non-linéaire.Le chapitre 5 concerne le problème d'estimation de canal, en particulier pour la modulationOFDM/OQAM. Aussi, après avoir rappelé les diérents types de solutions possibles pourla modulation OFDM (principalement estimation par préambule et estimation par pilotesrépartis), nous rappelons le principe de fonctionnement de la méthode d'estimation de canalpar la couronne, solution développée au sein de France Télécom R&D pour la modulationOFDM/OQAM. Après cela, nous présentons deux nouvelles méthodes d'estimation de canal.La première, la méthode IAM, tend à choisir une séquence de données de sorte à obtenir lameilleure approximation possible du terme d'interférence introduit par le canal. La seconde,la méthode POP, consiste à utiliser une paire de pilote pour estimer correctement la valeur ducoecient de canal en un point donné du réseau temps-fréquence. Dans une dernière partie,an d'aboutir à une analyse globale, nous reformulons le problème d'estimation de canal àpartir de notre formulation uniée.Le chapitre 6 décrit une application de la modulation OFDM/OQAM à un problème actueldes télécommunications. Principalement du fait que la DSP de cette modulation présente des

Introduction 5avantages certains, nous nous sommes penchés sur le problème des communications par l'in-termédiaire des courants porteurs en ligne (PLC). En eet, la première partie met en évidenceles problèmes liés à ce type de transmission, surtout l'obligation d'un spectre d'émission trèscontraignant. Puis, nous présentons le contexte de simulation que nous avons choisi : la spéci-cation HomePlug (1.0 et AV). Enn, la dernière partie montre les résultats de simulation quenous avons obtenus par rapport à certains points cruciaux des communications numériquescomme la DSP, le PAPR, l'estimation de canal et la robustesse vis-à-vis du bruit à structureparticulière présent au cours de ces transmissions.Nous avons en outre reporté en annexe certaines dénitions et notations ainsi que certainsrésultats connexes comme le lien entre les modulations OFDM avec forme d'onde et la théoriedes bancs de ltres. Des résultats complémentaires concernant la DSP sont aussi présentésdans une autre annexe. Enn, une discussion sur la fonction d'ambiguïté est aussi réalisée.Ce manuscrit tend aussi à expliquer de manière plus détaillée les résultats que nous avonspubliés dans les articles de conférence [87, 145150] et dans certains brevets [89, 90]. Cettethèse se trouve aussi dans la continuité des travaux de recherche de C. Siclet [139] et encollaboration directe avec les travaux de C. Lélé [92] et H. Lin au sein de la division Rechercheet Développement de France Télécom.

6 Introduction

Chapitre 1Etat de l'art sur les modulationsmultiporteusesLors d'une transmission de données numériques sur un canal de propagation, le choix dela modulation est crucial. En eet, cette modulation a pour but de protéger au maximumles données à transmettre contre les perturbations liées au canal comme le bruit ou les éva-nouissements fréquentiels. On distingue deux grandes catégories de modulation. D'une part,les modulations monoporteuses qui transmettent une série de données sur une seule fréquenceporteuse. D'autre part, les modulations multiporteuses qui transmettent les données en paral-lèle sur plusieurs fréquences porteuses diérentes.Le problème des modulations est aussi lointain que le problème de transport d'information(analogique ou numérique) entre deux points distants et remonte donc au début des télécom-munications. Pendant très longtemps, la quasi-totalité des applications utilisaient des modu-lations monoporteuses analogiques. On peut citer comme exemple bien connu la radiodiusion(les modulations AM et FM par exemple). Avec le développement du monde numérique, cesmodulations ont été alors peu à peu mises de côté au prot des modulations monoporteusesnumériques. Cependant, lorsque les canaux de propagation deviennent plus sévères, ce type demodulations présente des limitations assez importantes dans la mesure où les perturbationstouchent l'intégralité du symbole modulé. Les modulations multiporteuses, qui transmettentles données sur M fréquences porteuses en parallèle, ont alors été développées pour luttercontre cet inconvénient majeur.Ce chapitre a pour objectif de détailler plus précisément le fonctionnement et le compor-tement des modulations multiporteuses. Ainsi nous présenterons en section 1.1 la modulationOFDM, la modulation multiporteuse la mieux connue. Puis, à partir de cette modulation,nous expliquerons dans la partie 1.2 comment il est possible de construire des formes avancéesde cette modulation : les modulations multiporteuses avec forme d'onde. Par la suite, nousétudierons plus en détails deux formes avancées à savoir l'OFDM/OQAM dans la section 1.3et l'OFDM suréchantillonné en 1.4. Pour faciliter la lecture de cette thèse et réduire les calculsliés aux études décrites dans la suite du manuscrit, nous introduirons une expression uniéed'un signal qui lie les modulations OFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnées (partie 1.5).Enn, l'une des caractéristiques intéressantes de ces modulations avancées est le fait de pou-voir utiliser des formes d'onde autres que rectangulaires. Une étude de ces formes d'onde estainsi proposée en 1.6. 7

8 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.1 Un multiplex orthogonal de fréquences : l'OFDM1.1.1 Rappel historiqueL'idée de transmettre des données modulées en parallèle, utilisant plusieurs fréquencesporteuses, n'est pas une idée récente. L'une des premières solutions utilisant ce procédé futle FDM (Frequency Division Multiplexing), connu depuis très longtemps car on retrouve desessais de transmission de ce type pour les communications télégraphiques !Pendant très longtemps, ce moyen de transmission, bien qu'attractif, ne fut pas mis enpratique pour des raisons de complexité de mise en ÷uvre de ces systèmes. De plus, ce type desolution ne pouvait devenir compétitif que si les sous-porteuses étaient orthogonales entre elles.Cela permettait alors d'optimiser l'occupation spectrale du signal. Ainsi, vers la n des années50 apparaît une solution utilisant un multiplex orthogonal de fréquences [37,107]. Cependant,ces techniques ne furent limitées qu'aux applications militaires. Malgré tout, au cours desannées 60, ces techniques ont commencé à être perfectionnées [24, 131] et mieux comprises.Cette technique ne prend le nom d'OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplex ouMultiplexing) que vers les années 80 [32, 72].Avec le développement des méthodes et algorithmes de traitement numérique du signalet des applications nécessitant un fort débit, l'OFDM est devenu de plus en plus populaire,comme en témoigne la nombreuse bibliographie sur le sujet. De plus, cette modulation estdésormais intégrée dans de nombreux standards de télécommunication actuels [33]. On peutciter comme exemple l'ADSL, le DAB, DVB-T, IEEE 802.11 ou encore IEEE 802.16 commestandards utilisant l'OFDM. Il est important de noter que toutes ces applications ont étépossibles et réalisables grâce à la combinaison des opérations de codage et de modulation duCOFDM (Coded OFDM) [80]. Aussi, même si dans la suite de cette étude, nous ne considéronspas de modulation codée, il est sûr qu'un codage correcteur d'erreurs sera en pratique introduit.1.1.2 Le signal OFDMLa modulation OFDM consiste à transmettre des données complexes cm,n avec m ∈0, . . . ,M − 1 et n ∈ Z par l'intermédiaire de M porteuses en utilisant le signal en bande debase s(t) suivant :

s(t) =

√1

T0

M−1∑

m=0

∑

n∈Z cm,nΠ(t− nT0)ej2πmF0t. (1.1)La fonction Π représente le ltre rectangulaire de longueur T0 :

Π(t) =

1 si −T02 ≤ t < T0

2 ,0 sinon. (1.2)

F0 = 1/T0 est l'écart inter-porteuses. T0 est appelé temps symbole OFDM. Les données com-plexes cm,n sont, dans la plupart des cas pratiques, issues d'une constellation complexe detype MDP ou MAQ. On parle de multiplex orthogonal de fréquence car on montre facilementque la famille de fonctions :

1.1. Un multiplex orthogonal de fréquences : l'OFDM 9Πm,n(t) =

√1

T0Π(t− nT0)e

j2πmF0t (1.3)forme une base orthonormale de l'ensemble des fonctions à carré intégrable L2(R) pour leproduit scalaire complexe :〈f, g〉 =

∫R f(t)g∗(t)dt, (1.4)où ∗ représente l'opération de conjugaison. Nous obtenons :〈Πm,n,Πp,q〉 = δm,pδn,q, (1.5)

δ étant le symbole de Kronecker. La démodulation du signal revient tout à simplement àréaliser un produit scalaire :cp,q = 〈Πp,q, s〉 . (1.6)1.1.3 L'OFDM en temps discretAn de pouvoir réaliser les systèmes de transmission sous forme numérique, ce qui est lecas le plus fréquent, il est nécessaire au préalable d'étudier le comportement en temps discretdes signaux et systèmes à implanter. En se plaçant à la cadence d'échantillonnage critique,qui est ici Te = T0/M , on montre aisément que la modulation revient à faire une transforméede Fourier Discrète Inverse (TFDI) des données envoyées :

[s(nMTe), . . . , s((nM +M − 1)Te)] = TFDI c0,n, . . . , cM−1,n , (1.7)alors que la démodulation revient à faire une Transformée de Fourier Discrète directe (TFD)des échantillons de signal :[c0,n, . . . , cM−1,n] = TFD s(nMTe), . . . , s((nM +M − 1)Te) . (1.8)L'intérêt pratique de ce traitement à base de TFDI et de TFD est lié à la possibilité d'utiliserdes algorithmes rapides de type IFFT ou FFT comme l'illustre la gure 1.1. La structure dumodem OFDM en temps discret est donc simple du point de vue conceptuel car cela revientà mettre dos à dos une IFFT et une FFT.

c0,n

cM−1,n

P/SIFFT-

-

-

-

-

c0,n

cM−1,n

S/P FFT -

-

-

-

Fig. 1.1 Modem OFDM numérique.

10 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.1.4 Robustesse vis-à-vis des canaux sélectifs en fréquenceLorsqu'un signal monoporteuse, occupant une bande de fréquence B, est envoyé dans uncanal sélectif en fréquence, ce signal est susceptible d'être particulièrement touché par de fortsévanouissement fréquentiels dus au canal de propagation, ceci étant encore plus vrai si Best grand. Cependant, en utilisant un signal à M porteuses, cela revient à transmettre desdonnées sur des bandes de fréquences plus étroites, égales à B/M . Ainsi, plus M est grand,plus on peut considérer que la transmission est réalisée sur des bandes de fréquences où lecanal peut être considéré comme constant, comme le montre la gure 1.2. On limite ainsil'eet des forts évanouissements de canal et donc l'interférence entre symboles. L'égalisationdu système revient alors à eectuer une égalisation à un seul coecient par porteuse.-

6 -B

-B/M

]

canalFig. 1.2 Illustration de la robustesse des signaux multiporteuses vis-à-vis des canaux sélectifsen fréquence.En contrepartie, lorsque le nombre de porteuses augmente, on augmente alors la durée dutemps symbole OFDM. Outre les problèmes de complexité, le système devient alors sensibleaux canaux variant dans le temps (apparition de Doppler). Pour lutter contre ce phénomène,Peled et Ruiz dans [115] ont introduit une version modiée des systèmes FDM consistant àallonger la durée symbole, passant ainsi de T0 à T ′

0 = T0 + ∆. L'adjonction de cet intervallede temps de durée ∆, appelé intervalle de garde (IG) et qui ne comporte pas d'informationutile, permet ainsi d'absorber les échos dus au canal. Cette technique a ensuite été massivementappliquée à l'OFDM qui est une modulation FDM particulière. La gure 1.3 illustre ce principe.Cette gure nous montre que si l'on prend un intervalle de garde de longueur au moinségale au délai maximal introduit par un canal multitrajet, noté ici t1, on arrive à s'aranchirtotalement de l'interférence entre symboles (IES). En temps discret, cette méthode d'égalisa-tion simple existe aussi. On parle alors plutôt de préxe cyclique (CP) car l'intervalle de gardecontient alors une copie d'une partie du symbole OFDM considéré comme le montre la gure1.4. Le nouveau temps symbole OFDM contient alors N échantillons avec N > M . Le CP estretiré en réception pour éviter des interférences entre les blocs.

1.1. Un multiplex orthogonal de fréquences : l'OFDM 113IES

OFDM sans IG-

k

tempsIG IG

-temps-

t1

-t1

écho absorbéOFDM avec IGFig. 1.3 L'OFDM avec intervalle de garde vis-à-vis des canaux multitrajets.

sN−1[n− 1]sM [n− 1] . . . s0[n] . . . sM+M−N [n] . . . sM−1[n]Fig. 1.4 Préxe cyclique pour le nème temps symbole OFDM.Cette dernière gure nous indique clairement qu'en utilisant cette solution, on réduit ledébit utile dans la mesure où le préxe cyclique ne contient que de l'information redondante.Cette perte de débit utile (et d'ecacité spectrale par la même occasion) est proportionnelleau rapport N/M . Dans les cas usuels, la durée de l'intervalle de garde ne dépasse pas engénéral 25% de la durée du symbole OFDM utile T0.Une première limite du CP-OFDM est que l'erreur de transmission devient inévitable si,pour une fréquence donnée, le canal de transmission présente un aaiblissement inni. Dansla pratique, des solutions à ce problème existent et dépendent du type de canal considéré. Parexemple, pour des canaux quasi-invariants en temps comme les canaux laires de type CPLou xDSL, le récepteur peut transmettre à l'émetteur une information de l'état du canal etl'algorithme d'allocation de ressource fera en sorte qu'aucune information ne sera transmisedans des zéros de transmission. Pour des canaux de type sans l, à plus forte mobilité, latechnique de CP-OFDM est forcément couplée à du codage correcteur d'erreurs (le COFDM).Une autre alternative est le ZP-OFDM (Zero-Padding OFDM) qui consiste à insérer un certainnombre de 0 en queue de symbole OFDM [108,134]. L'inconvénient dans ce cas est la nécessitéd'avoir un système de réception plus complexe.

12 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.1.5 Les limites de l'OFDMNous avons vu que la modulation OFDM présente des points intéressants vis-à-vis descanaux multitrajets. Cependant, le problème majeur se pose à l'émission. En eet, la modula-tion OFDM utilise une forme d'onde rectangulaire, sa réponse fréquentielle est alors un sinuscardinal. Une conséquence est donc un spectre d'émission très mal localisé en fréquence. Deplus, le premier lobe secondaire de la DSP remonte à -13 dB [170] ce qui rend cette modulationdicilement applicable en l'état pour des applications possédant un masque d'émission trèsstrict (comme les PLC par exemple).L'idée est donc de remplacer en OFDM la forme d'onde rectangulaire par une forme d'ondeayant des meilleures propriétés en terme de localisation et ayant, en particulier, une réponsefréquentielle possédant une plus forte atténuation. Des solutions de ce type ont déjà été pro-posées dans la littérature comme le Windowed OFDM [170] ou encore le Windowed DFT [85]mais elles présentent l'inconvénient de ne pas orir un système parfaitement orthogonal enabsence de canal.1.2 Les modulations multiporteuses avancéesCette partie a pour but de répondre au problème posé ci-dessus à savoir si il est possiblede remplacer la fenêtre rectangulaire par une forme d'onde possédant de meilleures propriétés.Parallèlement à cela, nous cherchons à conserver les caractéristiques propres de l'OFDM àsavoir l'orthogonalité et une bonne ecacité spectrale (idéalement, la même qu'en OFDMsans intervalle de garde). Dans un premier temps, nous rappelons quelques dénitions, issuesen partie de l'ouvrage [43].1.2.1 DénitionsSoit h une fonction de L2(R). On note H(ν) sa transformée de Fourier. On note par ‖.‖la norme associée au produit scalaire déni en (1.4). On dénit les moments d'ordre 1 et 2 entemps et en fréquence ainsi : moment d'ordre 1 en temps :m(1)(h) =

1

‖h‖2

∫ +∞

−∞t|h(t)|2dt ; (1.9) moment d'ordre 2 en temps :

m(2)(h) =1

‖h‖2

∫ +∞

−∞

(

t−m(1)(h))2

|h(t)|2dt ; (1.10) moment d'ordre 1 en fréquence :M (1)(h) =

1

‖h‖2

∫ +∞

−∞ν|H(ν)|2dν ; (1.11) moment d'ordre 2 en fréquence :

M (2)(h) =1

‖h‖2

∫ +∞

−∞

(

ν −M (1)(h))2

|H(ν)|2dν. (1.12)

1.2. Les modulations multiporteuses avancées 13On dénit alors la localisation temps-fréquence de la manière suivante :Dénition 1.2.1 (Localisation Temps-Fréquence) On appelle localisation temps-fréquenced'une fonction h de L2(R), la grandeur ξ(h) dénie par :ξ(h) =

1

4π√

m(2)(h)M (2)(h). (1.13)Nous avons aussi le résultat suivant :Théorème 1.1 (Inégalité d'Heisenberg-Gabor)Soit h ∈ L2(R), alors :

0 ≤ ξ(h) ≤ 1 (1.14)et l'égalité ξ(h) = 1 est atteinte si et seulement si h(t) = Ce−st2 avec C ∈ C et s > 0 (fonctiongaussienne).Introduisons maintenant quelques dénitions et résultats concernant les familles de Weyl-Heisenberg (ou de Gabor).Dénition 1.2.2 (Famille de Weyl-Heisenberg) Soient h ∈ L2(R), F0 ∈ R et T0 ∈ R.On appelle famille de Weyl-Heisenberg (ou de Gabor) de L2(R) toute famille (hm,n)(m,n)∈Z2de fonctions de L2(R) vériant :

∀t ∈ R, hm,n(t) = h(t− nT0)ej2πmF0t. (1.15)La fonction h est appelée fonction prototype. Les fonctions hm,n sont les translatées en tempset en fréquence de la fonction prototype. On appelle de plus la grandeur ρ = 1

T0F0densité dela famille de Weyl-Heisenberg.Il est alors démontré dans [34] qu'une famille de Weyl-Heisenberg forme une base orthogo-nale de L2(R) si ρ = 1. Notons enn, en observant l'équation (1.3), que la famille de fonctions

(Πm,n) forme une famille de Weyl-Heisenberg de densité 1.1.2.2 Théorème de Balian-Low et ses conséquencesThéorème 1.2 (Théorème de Balian-Low)Soit (hm,n)(m,n)∈Z2 une famille de Weyl-Heisenberg de densité 1 de L2(R), alors :m(2)(h)M (2)(h) = +∞,Ce théorème explique que pour de telles familles de fonctions, il n'est pas possible d'avoirune fonction prototype h à la fois bien localisée en temps et en fréquence. En eet, selon lethéorème de Balian-Low et la dénition de la localisation temps-fréquence (dénition 1.2.1),on obtient une valeur de localisation tendant vers 0. Ainsi, en appliquant ce théorème pourle cas de l'OFDM qui est un système basé sur des familles de Weyl-Heisenberg de densité 1,nous obtenons la propriété suivante :Propriété 1.2.1 Pour un système OFDM classique, on ne peut avoir seulement que deux deces trois caractéristiques simultanément :1. ρ = 1 ;2. un système orthogonal ;3. une forme d'onde bien localisée en temps et en fréquence.

14 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.2.3 Les formes avancées de l'OFDMCette dernière propriété impose donc des contraintes très fortes concernant les systèmesOFDM avec des formes d'ondes autres que rectangulaires. La première solution est de conser-ver les caractéristiques 2 et 3 et dès lors, on ne peut plus avoir la caractéristique 1. Noussommes ainsi obligés d'avoir ρ < 1, d'après ce qui suit la dénition 1.2.2, pour conserver unefamille de fonctions orthogonales. La solution mettant en ÷uvre cela s'appelle alors OFDMsuréchantillonné et sera développée en 1.4.Une autre solution est de sortir du cadre des hypothèses du théorème de Balian-Low enconstruisant des familles de fonctions qui restent des familles de Gabor mais qui orent descaractéristiques particulières. Cette solution s'appelle OFDM/OQAM.1.3 L'OFDM/OQAMDans cette partie, nous présentons et détaillons le principe de fonctionnement de la mo-dulation OFDM/OQAM. A partir de cela, nous déterminons le modem associé. Enn, nousétudions les caractéristiques propres à cette modulation, comme par exemple les conditionsd'orthogonalité.1.3.1 Principe de fonctionnement de la modulation OFDM/OQAML'apparition des premiers systèmes de modulation multiporteuse utilisant des ltres autresque rectangulaires remonte aux années 60 [24, 131]. Par la suite, une approche faisant inter-venir des transformées de Fourier a été introduite en 1981 par B. Hirosaki dans [55]. Le sigleOFDM/OQAM n'est apparu qu'en 1995 dans [80]. D'autres dénominations ont été employéespour désigner des systèmes identiques ou équivalents : Orthogonally multiplexed QAM ouO-QAM dans [56], OQAM-OFDM dans [165] pour des systèmes à temps continu ; OMC (pourOrthogonal Multiple Carrier) dans [44] pour des systèmes à temps discret. De manière générale,depuis le milieu des années 90, on a assisté à un regain d'intérêt très marqué pour la modu-lation OFDM/OQAM sous ses formulations continues, et de plus en plus souvent à présent,discrètes. Cela s'est traduit en particulier par plusieurs thèses menées en France [52, 58, 121]et à l'étranger [18,84,162]. Dans les parties qui suivent, nous nous basons principalement surles travaux menés à France Télécom par N. Lacaille [77] et C. Siclet [139] sur les liens entrela modulation OFDM/OQAM et la théorie des bancs de ltres.Modulation à temps continuSuite aux conséquences du théorème de Balian-Low, la modulation OFDM/OQAM a pourobjectif de proposer une solution orthogonale et à ecacité spectrale identique à l'OFDMclassique tout en conservant la possibilité d'utiliser une forme d'onde autre que la forme d'ondeorthogonale. Pour cela, nous devons sortir du cadre initié par la théorie de Gabor en proposantun autre schéma de transmission des données. Ainsi, au lieu de transmettre un symbole cm,n =cRm,n + jcIm,n complexe par fréquence et par temps symbole T0 comme en OFDM, on proposede transmettre avec un décalage égal à T0/2 soit la partie réelle soit la partie imaginaire dusymbole cm,n tout en imposant que deux symboles adjacents en temps comme en fréquenceaient une diérence de phase égale à π/2. En référence à la possibilité (non unique) d'utiliserune constellation MAQ pour chaque sous-porteuse, ce schéma de transmission est appelé

1.3. L'OFDM/OQAM 15OQAM (pour Oset QAM) du fait du décalage introduit concernant la partie réelle et lapartie imaginaire du symbole à transmettre. Le tableau 1.1 illustre plus clairement la manièredont sont transmis les symboles.Tab. 1.1 Schéma de transmission des symboles.nT0 − T0/2 nT0 nT0 + T0/2

(2m+ 1)F0 cR2m+1,n−1 jcI2m+1,n cR2m+1,n

2mF0 jcI2m,n−1 cR2m,n jcI2m,n(2m− 1)F0 cR2m−1,n−1 jcI2m−1,n cR2m−1,nAinsi, en posant h une fonction de L2(R), continue, à valeurs réelles ou complexes, nouspouvons écrire le signal associé à ce schéma de transmission, en supposant que M est pair(M = 2N), de la manière suivante en bande de base :

s(t) =

N−1∑

m=0

∑

n

(

cR2m,nh(t− nT0) + jcI2m,nh

(

t− nT0 −T0

2

))

ej2π(2m)F0t

+

(

cR2m+1,nh

(

t− nT0 −T0

2

)

+ jcI2m+1,nh(t− nT0)

)

ej2π(2m+1)F0t, (1.16)avec T0 le temps symbole et F0 l'écart interporteuse. Comme on cherche un système à ecacitéspectrale identique à l'OFDM, on pose T0F0 = 1 Du point de vue de la démodulation, leséquations s'écrivent de la manière suivante :cR2m,n = <

∫ +∞

−∞h∗(t− nT0)e

−j2π(2m)F0ts(t)dt

(1.17)cI2m,n = =

∫ +∞

−∞h∗(

t− nT0 −T0

2

)

e−j2π(2m)F0ts(t)dt

(1.18)cI2m+1,n = =

∫ +∞

−∞h∗(t− nT0)e

−j2π(2m+1)F0ts(t)dt

(1.19)cR2m+1,n = <

∫ +∞

−∞h∗(

t− nT0 −T0

2

)

e−j2π(2m+1)F0ts(t)dt

. (1.20)h étant un ltre analogique de démodulation (une fonction de L2(R) à valeurs réelles oucomplexes). En posant :

a2m,2n = cR2m,n h2m,2n(t) = h(t− nT0)ej2π(2m)F0t (1.21)

a2m,2n+1 = cI2m,n h2m,2n+1(t) = jh

(

t− nT0 −T0

2

)

ej2π(2m)F0t (1.22)a2m+1,2n = cI2m+1,n h2m+1,2n(t) = jh(t− nT0)e

j2π(2m+1)F0t (1.23)a2m+1,2n+1 = cR2m+1,n h2m+1,2n+1(t) = h

(

t− nT0 −T0

2

)

ej2π(2m+1)F0t, (1.24)on peut réécrire le signal s en (1.16) de manière plus compacte :

16 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusess(t) =

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nhm,n(t), (1.25)Cette expression montre que cette modulation transmet en réalité des réels am,n et non pasdes complexes comme en OFDM. La valeur de ces réels se déduit des symboles issus d'unconstellation initiale donnée grâce au schéma de transmission présenté dans le tableau 1.1.Aussi, pour faire le lien avec la modulation OFDM, on peut faire apparaître une expressionà l'aide d'une famille de Gabor en posant τ0 = T02 = 1

2F0et en dénissant le terme de phase

φm,n :φm,n =

0 si m et n ont la même parité,π2 si m et n sont de parités diérentes. (1.26)Il apparaît alors que la base de modulation hm,n forme une famille de Gabor de densité 2 dans

L2(R) :hm,n(t) = h(t− nτ0)e

j2πmF0tejφm,n . (1.27)Comme cette famille de Gabor n'est pas de densité unité, le théorème de Balian-Low (théorème1.2) ne s'applique pas et dès lors, il est eectivement possible de construire un système à lafois orthogonal et possédant une forme d'onde ayant une bonne localisation temps-fréquence.Concernant l'ecacité spectrale, nous voyons qu'en OFDM/OQAM, nous transmettons un réelpar fréquence et sur une durée τ0. On transmet donc l'équivalent d'un complexe par fréquenceet par temps symbole. Nous pouvons donc conclure que les ecacités spectrales d'un systèmeOFDM classique et d'un système OFDM/OQAM sont identiques.Pour les équations de démodulation, nous dénissons la base de démodulation suivante :hm,n(t) = h(t− nτ0)e

j2πmF0tejφm,n . (1.28)Ainsi, comme la modulation OFDM/OQAM transmet des réels, les équations de démodulationsont écrites en utilisant le produit scalaire réel. Alors :am,n = 〈hm,n, s〉R = <

∫ +∞

−∞h∗m,n(t)s(t)dt

. (1.29)avec :<∫ +∞

−∞h∗m,n(t)hp,q(t)dt

= δm,pδn,q. (1.30)Si la forme d'onde en réception h vérie (1.30) et que : h = h, on parle de système orthogonal (ou OFDM/OQAM). h 6= h, on parle de système biorthogonal (ou BFDM/OQAM) [19, 106, 139, 140].Dans la suite de cette thèse, nous nous placerons la plupart du temps dans le cas orthogonalqui est le cas le plus fréquent.Enn, il existe plusieurs expressions plus explicites de la phase additive φm,n donnée en (1.26).Ainsi, dans [80], cette phase est dénie par :φm,n =

π

2(m+ n) . (1.31)

1.3. L'OFDM/OQAM 17D'autre part, dans [139, 144], cette phase est dénie par :φm,n =

π

2(m+ n) − πmn. (1.32)De la même manière, dans la suite de cette thèse, sauf cas explicitement mentionnés, nousn'utiliserons que cette dernière dénition de φm,n.Modulation à temps discretL'écriture à temps continu ne permet pas en général de générer des systèmes directementexploitables en pratique. C'est la raison pour laquelle l'étude en temps discret est plus judi-cieuse, d'autant plus que la majorité des systèmes sont implémentés en numérique. D'autrepart, nous avons introduit un ltre h qui est continu, à support inni et pas forcément causal.Nous allons tout d'abord nous pencher sur cette forme d'onde pour la rendre causale et àsupport ni pour en faire un ltre RIF (à Réponse Impulsionnelle Finie).Dans un premier temps, nous remarquons que la bande occupée par le signal OFDM/OQAMest approximativement B = MF0. Ainsi, on en déduit par le théorème de Shannon la fréquenced'échantillonnage critique Fe = MF0 ainsi que la période d'échantillonnage Te = T0/M . Sup-posons maintenant que l'énergie de la forme d'onde h est concentrée sur un intervalle de tempsde longueur nie LhTe égal à [−D+1

2 Te, (Lh − D2

)Te] avec Lh et D des entiers strictement po-sitifs. Pour obtenir des ltres RIF causaux de longueur Lh après échantillonnage, on translate

h d'une durée DTe/2. On obtient alors :s[k] =

√

Tes

((

k − D

2

)

Te

)

=

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,n√

Tehm,n

((

k − D

2

)

Te

)

. (1.33)Notons hm,n[k] =√Tehm,n

((k − D

2

)Te), ainsi :

hm,n[k] =√

Tehm,n

((

k − D

2

)

Te

)

,

=√

Teh

((

k − D

2

)

Te − nτ0

)

ej2πmF0((k−D2 )Te)ejφm,n ,

=√

Teh

(

Te

(

k − nN − D

2

))

ej2π2N

m(k−D2 )ejφm,n ,

= h[k − nN ]ej2π2N

m(k−D2 )ejφm,n .

(1.34)et alors :

s[k] =

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nhm,n[k] =

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nh[k − nN ]ej2π2N

m(k−D2 )ejφm,n . (1.35)Les équations de démodulation s'écrivent alors grâce au produit scalaire réel discret :

〈f, g〉dR

= <

+∞∑

n=−∞f [k]g∗[k]

, (1.36)et par conséquent :am,n = <

+∞∑

k=−∞h∗m,n[k]s[k]

, (1.37)

18 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.3.2 Le modem OFDM/OQAMDans ce paragraphe, nous n'étudierons que les structures à temps discret du modem. Enobservant les équations (1.35) et (1.37), on peut montrer que le modulateur OFDM/OQAMpeut s'écrire sous la forme d'un banc de synthèse alors que le démodulateur peut s'écrire sousla forme d'un banc d'analyse. Ceci est expliqué dans l'annexe B. Le modem OFDM/OQAM leplus simple peut alors être réalisé à l'aide d'un transmultiplexeur (TMUX) dont la structureest illustrée sur la gure 1.5. α et β sont tels que : D = αN − β, et où Hm(z) =∑

k hm[k]z−kavec :hm[k] = h[k]ej

2π2N

m(k−D−N2 ). (1.38)De même, Lm(z) =

∑

k lm[k]z−k avec :lm[k] = h∗[D − k]ej

2π2N

m(k−D+N2 ). (1.39)

↑ N

↑ N

↑ N H2N−1(z)

H1(z)

H0(z)

+ z−β

L 2N−1(z)

L 1(z)

L 0(z) ↓ N

↓ N

↓ N

×

×

×

×

×

×

<·

<·

<·

a0,n

a1,n

a2N−1,n

ejπ2n

ejπ2n

ejπ2n

e−jπ2(n−α)

e−jπ2(n−α)

e−jπ2(n−α)

a0,n−α

a1,n−α

a2N−1,n−α

s[k]

Fig. 1.5 Transmultiplexeur associé à la modulation OFDM/OQAM.On remarque cependant que cette implémentation n'est pas ecace en terme de complexitédans la mesure où l'opération de ltrage par Hm(z) est réalisée juste après une opérationd'expansion par N . Le ltrage est donc réalisé avec une cadence des échantillons entrant Nfois plus grande. En pratique, les schémas de réalisation vont s'appuyer sur : des règles habituelles en traitement multicadence. En eet, une décomposition polyphased'ordre 2N permet ensuite d'appliquer l'identité dite Noble [166] (équivalence du systèmed'expansion par N suivi d'une composante polyphase d'ordre 2N à un système permutéavec ltrage à cadence N fois plus faible suivie de l'expansion par N) qui réduit lenombre d'opérations par seconde dans un rapport N , le fait que la modulation exponentielle peut se réaliser sous forme d'IFFT.Des structures plus ecaces de modems OFDM/OQAM peuvent donc être obtenues en asso-ciant une transformée rapide et un ltrage polyphase comme le montre la gure 1.6.Ces implémentations à base de transformées rapides sont bien plus ecaces en termes decomplexité. Toutefois, plusieurs études [171] et réalisations [142] ont montré que la complexitépeut être encore réduite et n'était pas un obstacle à des réalisations matérielles.

1.3. L'OFDM/OQAM 19-

-

-

-

-

-

-

PREMODULATIONIFFT P/SFILTRAGE

POLYPHASEFILTRAGE

POLYPHASES/Ps[k]

FFTOSTMODULATIONPa0,n

a1,n

aM−1,n

a0,n

a1,n

aM−1,nFig. 1.6 Structure générale du modem OFDM/OQAM avec transformée de Fourier rapide.1.3.3 Orthogonalité des systèmes OFDM/OQAMJusqu'à présent, nous avons introduit une forme d'onde h dans les équations du signalOFDM/OQAM mais nous n'avons pas encore parlé des conditions qu'elle doit remplir pour as-surer la démodulation parfaite en réception (am,n = am,n). En d'autre termes, il est nécessairede déterminer les équations de reconstruction parfaite (en absence de canal et de bruit) dansle TMUX de la gure 1.5. L'étude des conditions d'orthogonalité des systèmes BFDM/OQAMavec un prototype h quelconque, éventuellement complexe, a été réalisée dans [139]. Dans lecas de la présente étude, nous nous plaçons dans le contexte le plus fréquent en pratique,c'est-à-dire celui d'un système orthogonal où les ltres prototypes d'émission et de réceptionsont symétriques, à valeurs réelles et d'énergie unité. Ces ltres d'émission et de réception sontalors identiques. Les bases de modulation et de démodulation sont, par conséquent, identiqueset, d'après (1.38) et (1.39), nous avons :D = Lh − 1.Notons Gl la lième composante polyphase du ltre prototype h[k]. Ainsi :

Gl(z) =

+∞∑

n=−∞h[l + 2nN ]z−n. (1.40)Nous obtenons alors un système OFDM/OQAM parfaitement orthogonal si et seulement siles composantes polyphases vérient :

∀l ∈ 0, . . . , N − 1 , Gl(z)Gl(z−1) +Gl+N (z)Gl+N (z−1) =

1

N. (1.41)Nous présenterons dans la partie 1.6 de nombreux exemples de ltres prototype vériant cesystème d'équations.

20 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.4 L'OFDM suréchantillonnéSuite au théorème de Balian-Low, une solution proposée a été de relâcher la contrainted'utilisation d'une famille de Gabor de densité unité pour pouvoir introduire une forme d'ondeà la fois bien localisée en temps et en fréquence. C'est cette solution que nous proposonsd'étudier dans cette partie.Le fait de relâcher la contrainte ρ = 1 impose alors implicitement que ρ < 1 pour pouvoirconserver un système orthogonal. Par conséquent, T0F0 > 1 ce qui suppose un allongement dutemps symbole ou de l'écart interporteuse par rapport à un système OFDM équivalent. C'esten utilisant cette approche que Weinstein et Ebert dans [174] ont obtenu les premiers résultatsconcernant ce type particulier de modulation. Puis, des recherches sur la généralisation desmodulations OFDM ont été entreprises dans un premier temps en échantillonnant des fonctionscontinues (Fraction Spaced Multicarrier Modulation) [168] ou en travaillant directement entemps discret [58, 59]. De même, des travaux sur une généralisation à des cas biorthogonauxont été menés dans [73, 74] sous le nom de NOFDM (Nonorthogonal OFDM). Ces travaux sebasent essentiellement sur des formalismes à temps continu. Les références [139,141] dénissentles conditions de biorthogonalité pour la version discrète de ces systèmes et proposent aussi desméthodes de synthèse dans le cas de ltres prototypes orthogonaux symétriques. Dans [116], lessystèmes dits DFT-Based Multicarrier Modulation sont des systèmes BFDM suréchantillonnésoù, pour un ltre prototype (émission ou réception) donné, le second prototype est obtenuen prenant en compte la caractéristique multi-trajet du canal. Notons enn que les systèmesappelés Filtered Multi-Tone [28] sont similaires, du point de vue de la modulation, à l'OFDMsuréchantillonné.De notre côté, nous avons adopté le terme d'OFDM suréchantillonné comme dans [59] pourdes raisons liées à la structure du signal que nous allons dénir dans un premier temps. Puisnous suivrons le même plan que pour l'OFDM/OQAM à savoir que nous déterminerons par lasuite le modem associé à cette modulation et enn, nous écrirons les conditions d'orthogonalitéde ce système.1.4.1 Principe de fonctionnement de la modulation OFDM suréchantillon-néeModulation à temps continuLa modulation OFDM suréchantillonnée en bande de base est écrite comme une modulationOFDM classique où l'on remplace la forme d'onde rectangulaire Π par une forme d'onde hquelconque :s(t) =

M−1∑

m=0

+∞∑

n=−∞cm,nh(t− nT0)e

j2πmF0t, (1.42)où : M est le nombre de porteuses T0 est le temps symbole et F0 l'écart interporteuses avec T0F0 > 1. cm,n sont des symboles complexes issus d'une constellation donnée (MAQ ou MDP parexemple).Les équations de démodulation sont réalisées grâce à une base de démodulation :

1.4. L'OFDM suréchantillonné 21hm,n(t) = h(t− nT0)e

j2πmF0t, (1.43)en utilisant le produit scalaire complexe :cm,n = 〈hm,n, s〉C =

∫ +∞

−∞h∗m,n(t)s(t)dt. (1.44)De même qu'en OFDM/OQAM, si h = h, on parle de modulation OFDM suréchantillonnéet si h 6= h, on parle de modulation B(iorthogonal)FDM suréchantillonnée. A ce stade, onpeut faire une remarque intéressante. En eet, l'OFDM avec intervalle de garde utilisant uneporte de durée T0 + ∆ en émission et une porte de durée T0 en réception, on peut doncarmer qu'elle est une modulation BFDM suréchantillonnée particulière [139]. Cependant,comme pour l'OFDM/OQAM, nous n'étudierons par la suite que le cas orthogonal de cettemodulation.Modulation à temps discretL'approche à temps discret réalisée en 1.3.1 peut être menée de la même manière pourle signal OFDM suréchantillonné. En eet, la bande occupée par ce signal étant aussi ap-proximativement B = MF0, la fréquence d'échantillonnage critique est Fe = MF0. Ainsi,en supposant que l'on puisse écrire : T0F0 = N ′/M = η = 1/ρ avec N ′ > M , on abou-tit à une période d'échantillonnage Te = T0/N

′. Supposons maintenant que l'énergie dela forme d'onde h est concentrée sur un intervalle de temps de longueur nie LhTe égal à[−D+1

2 Te, (Lh − D2

)Te] avec Lh et D des entiers strictement positifs. Pour obtenir des ltresRIF causaux de longueur Lh après échantillonnage, on translate h d'une durée DTe/2. Alors,en écrivant h[k] =

√Teh

((k − D

2

)Te) :

s[k] =√

Tes((k − D

2

)

Te) =M−1∑

m=0

+∞∑

n=−∞cm,nhm,n[k], (1.45)avec :

hm,n[k] =√

Tehm,n((k − D

2

)

Te) = h[k − nηM ]ej2πmF0(k−D2 )Te

= h[k − nN ′]ej2πMm(k−D

2 ),

(1.46)soit au nal :s[k] =

M−1∑

m=0

+∞∑

n=−∞cm,nh[k − nN ′]ej

2πMm(k−D

2 ). (1.47)A partir de cela, il est possible d'expliquer plus clairement pourquoi on parle d'OFDMsuréchantillonné. En eet, on observe que la période d'échantillonnage T0/N′ est plus petiteque la période d'échantillonnage critique T0/M . Il en résulte donc que N ′ échantillons de signalsont envoyés par temps symbole (alors que dans le cas de l'OFDM et de l'OFDM/OQAM,il est seulement transmis M < N ′ échantillons). Ce signal est donc suréchantillonné parrapport au signal issu de la modulation OFDM classique. Mais il est important de noterque ce signal s[k] n'est pas un signal OFDM qui a été suréchantillonné avec un rapport de

22 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusessuréchantillonnage N ′/M ou par un rapport entier quelconque, comme c'est le cas dans [138].Cette modulation inclut en fait l'opération de suréchantillonnage au sein même du modulateur.De même, les équations d'orthogonalité de ce système, détaillée en 1.4.3, incluent aussi cerapport de suréchantillonnage. Nous avons conservé l'appellation OFDM suréchantillonnécomme dans [59] pour ces raisons. Les équations de démodulation sont réalisées comme enOFDM grâce au produit scalaire complexe en discret, ainsi :cm,n = 〈hm,n, s〉d =

+∞∑

k=−∞h∗m,n[k]s[k]. (1.48)1.4.2 Le modem OFDM suréchantillonnéEn observant les équations (1.47) et (1.48), on peut montrer que le modem OFDM sur-échantillonné peut aussi s'écrire sous la forme d'un TMUX (voir annexe B et la gure 1.7). αet β sont tels que : D = αN ′ − β, et où Hm(z) =

∑

k hm[k]z−k avec :hm[k] = h[k]ej

2πMm(k−D

2 ). (1.49)De même, Lm(z) =∑

k lm[k]z−k avec :lm[k] = h∗[D − k]ej

2πMm(k−D

2 ). (1.50)

-?

6

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

z−β

s[k]

↓ N′

↓ N′

↓ N′

↑ N′

↑ N′

↑ N′

H0(z)

H1(z)

HM−1(z)

L0(z)

L1(z)

LM−1(z)

c0,n

c1,n

cM−1,n

c0,n−α

c1,n−α

cM−1,n−αFig. 1.7 Transmultiplexeur associé à la modulation OFDM suréchantillonnée.De même qu'en OFDM/OQAM, il est possible de créer des structures ecaces de ce modemen utilisant des transformées rapides. La structure de ces modems ecaces est basée sur uneassociation d'un transformée rapide (IFFT et FFT de tailleM) et d'un ltrage polyphase (voirla gure 1.8). On peut ainsi retrouver dans [139] les structures plus détaillées des modulateurset démodulateurs.1.4.3 Orthogonalité des systèmes OFDM suréchantillonnésComme en OFDM/OQAM, l'écriture des conditions d'orthogonalité des systèmes OFDM sur-échantillonnés peuvent s'écrire grâce aux composantes polyphases du ltre prototype h :Gl(z) =

+∞∑

n=−∞h[l + nN0M ]z−n, (1.51)

1.4. L'OFDM suréchantillonné 23-

-

-

-

-

-

-

PREMODULATIONIFFT P/SFILTRAGE

POLYPHASEFILTRAGE

POLYPHASES/Ps[k]

FFTOSTMODULATIONPc0,n

c1,n

cM−1,n

c0,n

c1,n

cM−1,nFig. 1.8 Structure générale du modem OFDM suréchantillonné avec transformée de Fourierrapide.avec N0M = M0N′ = PPCM(M,N ′). Nous avons déjà vu que le paramètre de retard Dpeut s'écrire D = αN ′ − β, dénissant ainsi de manière unique les constantes α et β. Dansla mesure où nous nous focalisons sur des systèmes orthogonaux, nous pouvons armer que

β 6= 0 car, dans ce cas, D = Lh− 1, Lh étant la longueur du ltre prototype. Nous dénissonsaussi l'ensemble Λβ = 1, . . . ,M0 et λ0 comme étant l'unique élement de Λβ tel que λ0 = α.Ainsi, nous avons un système OFDM suréchantillonné orthogonal si et seulement si nous avonspour tout l ∈ 0, . . . ,M − 1 et pour tout λ ∈ Λβ : si λ < λ0 :n′

l,λ∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l−N0M−(λ−λ0)N ′(z−1)

+ z−1N0−1∑

n=n′l,λ+1

GnM+l(z)GnM+l−(λ−λ0)N ′(z−1) = 0 (1.52)avecn′l,λ =

⌊(λ− λ0)N

′ +N0M − 1 − l

M

⌋ (1.53) si λ = λ0 :N0−1∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l(z−1) =

1

M(1.54) si λ > λ0 :

n′′l,λ∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l−(λ−λ0)N ′(z−1)

+

N0−1∑

n=n′′l,λ+1

GnM+l(z)GnM+l−N0M−(λ−λ0)N ′(z−1) = 0 (1.55)

24 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusesavecn′′l,λ =

⌊(λ− λ0)N

′ − 1 − l

M

⌋ (1.56)On peut retrouver la démonstration de l'obtention de ces équations dans la thèse de C.Siclet [139]. Ces conditions de RP se traduisent donc par MM0 équations polynomiales liéesentre elles. Par conséquent, en pratique, ce système ne peut être résolu que pour des faiblesvaleurs deM . Toutefois, il est montré [117,139,141] que dans le cas où β = 1, il est possible dese ramener à ∆ systèmes indépendants de M20 équations, avec ∆ le PGCD de M et de N ′. Cerésultat est une première étape dans l'obtention de prototypes de longueur Lh = m∆N0M0,avec m un paramètre à valeur entière.1.5 Formulation uniée liant l'OFDM/OQAM et l'OFDM sur-échantillonnéAn d'éviter la duplication d'un grand nombre de calculs dans les analyses mathématiquesprésentées dans les chapitres à venir, nous avons pris le parti de ne considérer qu'un seul signalqui regroupe à la fois les caractéristiques des signaux OFDM/OQAM et OFDM suréchantillon-nés. Il est bien sûr évident qu'il s'agit d'un artice de calcul pour réduire les développementsmathématiques et naturellement, nous revenons au nal aux expressions initiales des signauxOFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnés dans les phases d'analyse qui leur sont propres.1.5.1 Diérences entre l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonnéNous rappelons dans un premiers temps l'expression analytique de ces deux signaux en bandede base pour M porteuses avec un formalisme à temps continu :

sOQAM(t) =+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nhOQAM(t− nτ0)ej2πmF0tejφm,n , (1.57)

sOS(t) =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

cm,nhOS(t− nT0)ej2πmF0tejψm,n . (1.58)En formalisme à temps discret, ces équations se réécrivent comme suit :

sOQAM[k] =+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nhOQAM[k − nN ]ej2π2N

m(k−D2 )ejφm,n , (1.59)

sOS[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

cm,nhOS[k − nN ′]ej2πMm(k−D

2 )ejψm,n . (1.60)Dans les équations précédentes, on diérencie les formes d'onde h pour l'OFDM/OQAM etl'OFDM suréchantillonné car, sauf cas particuliers [139], les formes d'ondes orthogonales pourl'OFDM/OQAM ne le sont pas pour l'OFDM suréchantillonné (et vice-versa). Par la suite,pour ne pas alourdir les notations, nous noterons h la forme d'onde, le contexte permettant desavoir si la forme d'onde utilisée est adaptée pour l'OFDM/OQAM ou bien l'OFDM suréchan-tillonné. Ces équations montrent aussi que les deux modulations présentent des caractéristiquesqui leur sont propres. Le tableau 1.2 montre quels sont les points où les caractéristiques dessignaux divergent. Le cas de la modulation OFDM est aussi présenté.

1.5. Formulation uniée liant l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné 25Tab. 1.2 Diérences entre les caractéristiques des signaux OFDM/OQAM, OFDM suréchan-tillonnés (OS) et OFDM. OQAM OS OFDMsymboles réels complexes complexesT0F0 1 η = N ′/M 1phase π

2 (m+ n) − πmn arbitraire (nulle) arbitraire (nulle)éch. / T0 M N ′ Mécart entre 2 F.0. N = M/2 N ′ = ηM MDans ce tableau, nous voyons que même si les structures des signaux paraissent proches,il existe de nombreux points où les signaux divergent. Nous appelons "écart entre 2 formesd'onde (F.O.)" le décalage en nombre d'échantillons existant entre 2 formes d'onde successives.Ainsi pour l'OFDM/OQAM, il est de N (h[k − nN ]) alors qu'il est de N ′ pour l'OFDMsuréchantillonné (h[k− nN ′]) et de M pour l'OFDM. Les valeurs données dans le tableau 1.2restent aussi valables pour les sytèmes BFDM/OQAM et BFDM suréchantillonnés.1.5.2 Proposition d'une formulation uniéeSuite au tableau 1.2, on peut proposer le signal suivant en temps continu :s(t) =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

bm,nh(t− nT )ej2πmFtejθm,n , (1.61)avec :θm,n = θ0

(π

2(m+ n) + ξπmn

)

, θ0 ∈ 0, 1 , ξ ∈ −1, 0, 1 . (1.62)La variable ξ est introduite pour diérencier les diérentes phases possibles en OFDM/OQAM.De même, on peut aussi introduire le signal unié en temps discret :s[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

bm,nh[k − nP ]ej2πMm(k−D/2)ejθm,n , (1.63)ce signal ayant Q échantillons par temps symbole.On retrouve ainsi (1.57) à partir de (1.61) en posant : bm,n réels, T = T0/2 = τ0, F = F0 = 1/T0, θ0 = 1.On retrouve (1.58) à partir de (1.61) en posant : bm,n complexes, T = T0, F = F0 = η/T0, θ0 = 0.On retrouve (1.59) à partir de (1.63) en posant :

26 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses bm,n réels, P = M/2 = N , Q = M , θ0 = 1.On retrouve (1.60) à partir de (1.63) en posant : bm,n complexes, P = N ′, Q = N ′, θ0 = 0.Nous proposons donc d'utiliser les signaux (1.61) et (1.63) pour les analyses qui serontfaites par la suite puis de revenir aux dénitions propres des signaux OFDM/OQAM et OFDMsuréchantillonnés pour les analyses spéciques des modulations par rapport au critère que l'ondésire étudier. On peut remarquer aussi que ces expressions proposées peuvent aussi décrirel'OFDM (sans intervalle de garde). On retrouve donc le signal OFDM à temps continu enprenant les bm,n complexes, T = T0, F = F0 = 1/T0, et θ0 = 0. Le signal à temps discret estquant à lui déterminé en choisissant les bm,n complexes, P = M , Q = M , θ0 = 0. Dans lesdeux cas de gure, la forme d'onde h est la forme d'onde rectangulaire.1.6 Filtres prototypesLe ltre prototype est le point central de ces modulations avec forme d'onde. En eet,ces modulations ont été principalement introduites pour pouvoir utiliser des formes d'ondesautres que rectangulaires car cette dernière possède des propriétés spectrales peu intéressantes(une mauvaise localisation fréquentielle par exemple). Cette partie a pour objectif de présenterdes grandes familles de formes d'onde pouvant être utilisées pour ces modulations avancées.Notre but est d'aboutir à des solutions qui gardent en partie les avantages de simplicitéqui sont ceux de l'OFDM. Pour cela nous nous basons sur des méthodes de design desprototypes qui peuvent s'eectuer o-line à la diérence d'autres approches où les formesd'onde sont optimisées en fonction des caractéristiques statistiques de canaux variant dansle temps [70, 73, 74]. Ceci n'exclut pas pour autant des adaptations possibles au canal dutype de celle proposée, à partir des fonctions EGF, pour de la radio logicielle [39]. Dans tousles cas toutefois, il est requis que ces formes d'ondes vérient les équations d'orthogonalitéprésentées en 1.4.3 pour l'OFDM suréchantillonné et en 1.3.3 pour l'OFDM/OQAM pourpouvoir obtenir un système parfaitement orthogonal en absence de canal et de bruit. On peutdistinguer d'ores et déjà deux familles : les formes d'onde continues et les formes d'onde endiscret. En réalité, il est préférable de parler de forme d'onde ou de fonction protoype lorsquel'on est en formalisme continu et de ltre prototype lorsque l'on est à formalisme discret. Maispar abus de langage, nous utiliserons indiéremment ces deux expressions ou simplement lemot protoype. Le contexte permet en eet de reconnaître simplement de quel objet il estquestion. Nous commençons ce paragraphe en donnant quelques dénitions importantes pourla suite.

1.6. Filtres prototypes 271.6.1 DénitionsLongueur du ltre prototypeComme il s'agit ici, avant tout, d'obtenir et d'évaluer des modems numériques, l'analyse etla simulation des signaux et systèmes se font en temps discret. Nous utilisons aussi des ltresprototype de type FIR. Les ltres continus doivent donc être échantillonnés à la fréquenceMF0 et tronqués de sorte à obtenir des ltres de longueur nie. De plus, le support minimaldes ltres étant T0 pour les modulations avec forme d'onde, on prendra des longueurs de ltreLh proportionnelles à M pour l'OFDM/OQAM et à N pour l'OFDM suréchantillonné. Ondénit donc un paramètre b tel que : b = Lh/M pour l'OFDM/OQAM et b = Lh/N

′ pourl'OFDM suréchantillonné. Ainsi, de manière plus générale, en prenant la dénition (1.63), ona :b =

⌊LhQ

⌋

, (1.64)avec bxc la partie entière par valeur inférieure de x.Localisation Temps-FréquenceNous avons déjà vu en 1.2.1 la dénition de la mesure de localisation temps-fréquence encontinu. Cependant, lorsque l'on transpose la dénition obtenue au cas discret, il arrive que lamesure obtenue ne soit pas bornée. Ainsi, on utilise une dénition modiée de la localisationtemps-fréquence introduite par Doroslova£ki dans [38]. On dénit ainsi : centre de gravité fréquentiel :F (x) =

1

2π

=

+∞∑

k=−∞x[k]x∗[k − 1]

<

+∞∑

k=−∞x[k]x∗[k − 1]

; (1.65) centre de gravité temporel :T (x) =

+∞∑

k=−∞(k − 1/2)

∣∣x[k] + ej2πF (x)x[k − 1]

∣∣2

+∞∑

k=−∞

∣∣x[k] + ej2πF (x)x[k − 1]

∣∣2

; (1.66) deuxième moment en fréquence :M2(x) =

1

‖x‖2

∫ 12

− 12

4

(2π)2sin2

[

π(ν − F (x)) |X(ν)|2]

dν (1.67)=

1

(2π)2‖x‖2

+∞∑

k=−∞|x[k] − ej2πF (x)x[k − 1]|2 ; (1.68)

28 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses deuxième moment en temps :m2(x) =

1

‖x‖2

∫ 12

− 12

1

(2π)2

∣∣∣∣

d

dν

cos [π(ν − F (x))] ej2πνT (x)X(ν)∣∣∣∣

2

dν (1.69)=

1

‖x‖2

+∞∑

k=−∞

(

k − 1

2− T (x)

)2∣∣∣∣∣

x[k] + ej2πF (x)x[k − 1]

2

∣∣∣∣∣

2

. (1.70)On peut alors dériver de ces grandeurs une nouvelle mesure de localisation modiée etnotée ξmod :ξmod(x) =

1

4π√

m2(x)M2(x). (1.71)Avec cette nouvelle dénition, on retrouve la propriété :

0 ≤ ξmod ≤ 1.Energie hors-bandePour de nombreuses applications en télécommunications, il est nécessaire de limiter l'éner-gie du signal dans la bande allouée. La mesure de l'énergie hors-bande d'un ltre est doncun critère intéressant à étudier. L'énergie pondérée d'un ltre f de transformée de Fourier Fs'écrit :JW (F ) =

∫ 12

0

∣∣F (ej2πν)

∣∣2W (ej2πν)dν

∫ 12

0 |F (ej2πν)|2 dν, (1.72)où W est une fonction de pondération dénie en fonction de la fréquence de coupure fc dultre f par :

W(ej2πν

)=

0 si 0 ≤ ν < fc,1 si fc ≤ ν ≤ 1

2 . (1.73)Dans ce qui suit, nous considérons des systèmes à M porteuses avec fc = 1/M .1.6.2 Les formes d'ondes à temps continuLes formes d'onde à temps continu sont bien adaptées pour décrire et analyser des systèmesde type analogique. Pour des systèmes numériques, le formalisme à temps discret s'impose etnous avons vu qu'il est alors nécessaire de discrétiser et de tronquer ces formes d'onde. Cesformes d'onde, prévues pour être orthogonales en continu et sur un support inni, perdent alorsleur propriété d'orthogonalité. Malgré tout, ces formes d'onde restent utilisables en pratiquecar elles restent quasi-orthogonales à savoir qu'en sortie du TMUX, on a : cm,n = cm,n+δ avecδ une valeur très faible en valeur absolue. Nous présentons donc quelques familles de formesd'onde ayant cette propriété.

1.6. Filtres prototypes 29La fonction porteLa fonction porte reste en eet utilisable pour l'OFDM/OQAM même si ce n'est pas unchoix judicieux car même pour cette modulation, cette forme d'onde reste mal localisée enfréquence. Elle demeure malgré tout une référence car utilisée pour l'OFDM. La gure 1.9nous montre la représentation en temps et en fréquence de la fonction porte. Cette fonctionporte a été échantillonnée pour M = 64 porteuses et est donc de longueur 64.0 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Representation temporelle de la fonction prototype

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

0 5 10 15−50

−40

−30

−20

−10

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

)

Fig. 1.9 Représentation en temps et en fréquence de la fonction porte.On voit bien que cette forme d'onde, même discrétisée, possède de mauvaises caracté-ristiques fréquentielles. En eet, on trouve que sa valeur de localisation temps-fréquence estξ ≈ 0.15, ce qui est loin de la valeur optimale (qui est de 1). Aussi, l'énergie hors-bande de celtre est J = 0.097 ce qui va de pair avec les fortes remontées des lobes secondaires.Racine de Cosinus SurélevéLe ltre en racine de cosinus surélevé (Square Root of Raised Cosine ou SRRC) est un ltrede référence très connu en communications numériques. Il s'avère que ce ltre est orthogonalen formalisme continu à la fois pour un système OFDM/OQAM et pour un système OFDMsuréchantillonné. Pour une transmission à la cadence F0 = 1/T0, l'expression fréquentielle dela fonction SRRC est donnée par [29] :

RC(ν) =

1√F0

|ν| ≤ (1 − r)F02 ,

1√F0

cos(π2r

(|ν|F0

− 1−r2

))

(1 − r)F02 < |ν| ≤ (1 + r)F0

2 ,

0 (1 + r)F02 < |ν|,

(1.74)

30 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusesoù r est le facteur de retombée (0 ≤ r ≤ 1). Alors, la réponse temporelle continue des fonctionsSRRC vautrC(t) =

√

F04rF0t cos (π(1 + r)F0t) + sin (π(1 − r)F0t)

(1 − (4rF0t)2) πF0t. (1.75)Ce ltre présente une réponse fréquentielle plus intéressante dans la mesure où elle est limitéeen fréquence. Par contre, c'est en temps que les problèmes de localisation se retrouvent. Lagure 1.10 montre les réponses en temps et en fréquence d'un ltre SRRC avec r = 0.5 pour

64 porteuses et de longueur 256 (b = 4).0 1 2 3 4

−0.05

0

0.05

0.1

0.15Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

porteSRRC

0 5 10 15−150

−100

−50

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) porteSRRC

Fig. 1.10 Représentation en temps et en fréquence de la fonction SRRC avec r = 0.5.On voit bien que la réponse fréquentielle est meilleure que celle de la porte (les atténuationssont plus fortes et le lobe principal est plus étroit) ce qui se vérie par la valeur de l'énergiehors-bande qui est J ≈ 2.7×10−4. La localisation temps-fréquence est aussi améliorée car ellevaut ξ ≈ 0.75. Par contre, le fait de discrétiser et de tronquer ce ltre peut lui faire perdre engrande partie ses propriétés d'orthogonalité [144].Les ltres EGFNous avons vu dans le théorème 1.1 que la gaussienne était la meilleure forme d'onde pos-sible en terme de localisation temps-fréquence. Seulement, le problème est que la forme d'ondegaussienne n'est pas orthogonale ni pour l'OFDM/OQAM ni pour l'OFDM suréchantillonné.L'idée est donc de prendre la fonction gaussienne (pour ses propriétés de localisation) et dela rendre orthogonale. Un procédé est mis en ÷uvre dans [80] pour la gaussienne t 7→ e−πt2 ,la forme d'onde résultante étant appelée IOTA (Isotropic Orthogonal Transform Algorithm).Cependant, ce procédé est généralisable pour n'importe quelle fonction gaussienne. On parlealors de forme d'onde EGF (Extended Gaussian Functions). La généralisation à des fonctions

1.6. Filtres prototypes 31non nécessairement gaussiennes est présentée dans [62]. Ces procédés d'orthogonalisation exi-geant la mise en ÷uvre d'algorithmes de type numérique, P. Siohan et C. Roche ont par ailleursdonné une expression analytique des familles de fonctions EGF dans [143].zλ,ν0,τ0(t) =

1

2

+∞∑

k=0

dk,λ,ν0

[

gλ

(

t+k

ν0

)

+ gλ

(

t− k

ν0

)] +∞∑

l=0

dl,1/λ,τ0 cos

(

2πlt

τ0

)

, (1.76)avec λ un paramètre réel, dk,λ,ν0 des coecients réels et avec gλ la fonction gaussienne :gλ(t) = (2λ)

14 e−πλt

2 . Notons que ces formes d'onde ne sont orthogonales que pour la modula-tion OFDM/OQAM. Dans le cas d'une modulation OFDM/OQAM à la cadence F0, on imposeque ν0 = F0 = 12τ0

. En outre, lorsqu'on impose que ν0 = τ0 = 1√2, le paramètre λ doit êtreapproximativement dans l'intervalle [14 , 4] pour obtenir les meilleures mesures de localisationtemps-fréquence [143]. On notera que, si en plus de ν0 = τ0 = 1√

2, on choisit λ = 1, alors onaboutit aux fonctions IOTA présentées dans [80]. La fonction IOTA possède enn la propriétéparticulière d'être invariante par transformée de Fourier :

IOTA(ν) = TF (IOTA(t)) .La gure 1.11 présente les réponses en temps et en fréquence de la forme d'onde IOTApour 64 porteuses et de longueur 256 (b = 4). Cette forme d'onde est comparée à la porte.0 1 2 3 4

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

porteIOTA

0 5 10 15−200

−150

−100

−50

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) porteIOTA

Fig. 1.11 Représentation en temps et en fréquence de la fonction IOTA.Le principal avantage de cette forme d'onde est que sa valeur de localisation temps-fréquence est, par construction, quasi-optimale (ξ ≈ 0.977). Cependant, même si les atté-nuations sont excellentes pour les fréquences élevées, on remarque que le lobe principal estlarge ce qui se traduit par une valeur d'énergie hors-bande élevée J = 0.011.

32 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteuses1.6.3 Les formes d'onde à temps discretLes solutions où l'on discrétise des fonctions à temps continu peuvent dans un premiertemps paraître intéressantes mais elles ont l'inconvénient majeur de ne fournir que des solu-tions quasi-orthogonales (la discrétisation et la troncature faisant perdre les propriétés d'or-thogonalité de ces formes d'onde). Une autre approche est donc de créer des formes d'ondeorant l'orthogonalité parfaite directement en temps discret. Au vu de la dualité existant entreles modulations avec forme d'onde et la théorie des bancs de ltres, nous pouvons ainsi utiliserles solutions déjà existantes pour les bancs de ltres.Les fonctions de MalvarUne de ces solutions est l'utilisation des fonctions de Malvar. Il existe deux formes d'ondede Malvar, utilisables quelle que soit la valeur de M . La première, citée dans [99], est uneforme d'onde telle que b = 1 et dénie par :∀k ∈ 0, . . . ,M − 1 , m1[k] = sin

(π

M

(

k +1

2

))

. (1.77)Cette forme d'onde n'est orthogonale que pour l'OFDM/OQAM. La gure 1.12 donne lesréponses en temps et en fréquence de ce prototype pour M = 64.0 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

portemalvar1

0 5 10 15−100

−80

−60

−40

−20

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) portemalvar1

Fig. 1.12 Représentation en temps et en fréquence de la première forme du prototype deMalvar.Cependant, même si cette forme d'onde présente le grand avantage d'orir une orthogonalitéparfaite et des valeurs de localisation temps-fréquence (ξ = 0.88) et d'énergie hors-bande(J = 0.03) acceptables, elle n'est optimisée pour aucun critère particulier.

1.6. Filtres prototypes 33Une seconde forme d'onde a aussi été introduite dans [100]. Cette forme d'onde, telle queb = 2, est dénie par :

∀k ∈ 0, . . . , 2M − 1 , m2[k] =1

2√

(2)− 1

2cos

(π

M

(

k +1

2

))

. (1.78)La gure 1.13 donne les réponses en temps et en fréquence de ce prototype pour M = 64.Nous obtenons de plus ξ = 0.57 et J = 7.7 × 10−3. Nous voyons que ces formes d'ondeparticulières n'orent pas de caractéristiques prédominante par rapport à la localisation temps-fréquence et l'énergie hors-bande. De plus, il n'existe seulement que deux longueurs de ltrepossibles pour un nombre de porteuses donné.0 1 2

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

portemalvar2

0 5 10 15−100

−80

−60

−40

−20

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) portemalvar2

Fig. 1.13 Représentation en temps et en fréquence de la seconde forme du prototype deMalvar.Optimisation des formes d'onde en temps discretLorsque l'on observe les équations d'orthogonalité des systèmes OFDM/OQAM et OFDMsuréchantillonnés, nous nous apercevons que le système d'équations n'admet pas une solutionunique et qu'il existe encore des degrés de liberté concernant les composantes polyphases (etpar conséquent, les coecients du ltre prototype). L'idée est alors d'utiliser ces degrés deliberté pour réaliser une optimisation des coecients du ltre prototype pour, d'une part,satisfaire l'orthogonalité et, d'autre part, satisfaire un critère particulier donné, les critèresparticuliers retenus dans notre étude étant soit : maximiser la valeur de la localisation temps-fréquence (cf. équation (1.71)), minimiser l'énergie hors-bande (cf. équation (1.72)).Nous obtenons ainsi de nouvelles familles de fonctions qui possèdent des propriétés inté-ressantes pour les transmissions numériques. Ainsi, lorsque le premier critère est réalisé, on

34 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusesparle de ltre optimisé pour la localisation temps-fréquence (noté TFL) et lorsque le secondcritère est réalisé, on parle de ltre optimisé pour la sélectivité fréquentielle (noté FS). Lesméthodes d'obtention de ces ltres (algorithmes d'optimisation rapides) sont présentées plusen détail dans [118,141] et sont à la fois valables pour l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchan-tillonné. Ces critères d'optimisation sont aussi très intéressants car ils permettent de générerdes ltres de longueur la plus courte possible (Lh = M pour l'OFDM/OQAM et Lh = N ′pour l'OFDM suréchantillonné) tout en conservant des propriétés intéressantes en termes delocalisation temps-fréquence (pour le critère TFL) ou de minimisation de l'énergie hors-bande(pour le critère FS).La gure 1.14 présente les réponses en temps et en fréquence d'un ltre TFL pour 64porteuses et de longueur 256 (b = 4). Ce ltre a pour valeur de localisation temps-fréquenceξ = 0.98 et d'énergie hors-bande J = 9.2 × 10−3.

0 1 2 3 4−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

porteTFL

0 5 10 15−200

−150

−100

−50

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) porteTFL

Fig. 1.14 Représentation en temps et en fréquence d'un ltre TFL de longueur 256.La gure 1.15 présente les réponses en temps et en fréquence d'un ltre FS pour 64 por-teuses et de longueur 256 (b = 4). Ce ltre a pour valeur de localisation temps-fréquenceξ = 0.89 et d'énergie hors-bande J = 8.6 × 10−5.Nous observons donc que ces ltres, outre le fait qu'ils soient parfaitement orthogonaux,orent d'excellentes performances soit en termes de localisation temps-fréquence, soit en termede minimisation de l'énergie hors-bande. Il est de plus important de noter que ces performancess'accroissent au fur et à mesure que Lh augmente car le nombre de paramètres à optimiserpour générer ces formes d'onde augmentent. D'autre part, les performances respectives de cesltres ne varient quasiment pas en fonction de M si le rapport Lh/M est constant.

1.6. Filtres prototypes 350 1 2 3 4

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Representation temporelle de la fonction prototype (comparaison avec la porte)

Temps 0−>bT0

Am

plitu

de

porteFS

0 5 10 15−100

−80

−60

−40

−20

0Representation fréquentielle de la fonction prototype

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Rép

onse

fréq

uent

ielle

(dB

) porteFS

Fig. 1.15 Représentation en temps et en fréquence d'un ltre FS de longueur 256.1.6.4 RécapitulatifLe tableau 1.3 nous donne les valeurs de J (énergie hors-bande), m2(h) (moment d'ordre2 en temps), M2(h) (moment d'ordre 2 en fréquence) et ξmod (localisation temps-fréquence)pour diérents ltres prototypes, dénis pour 64 porteuses. Le chire suivant les termes TFL,FS, Malvar ou IOTA indique la longueur du ltre considéré. Par exemple, le terme TFL4indique un ltre optimisé TFL de longueur 4M .Tab. 1.3 Valeurs de l'énergie hors-bande, des moments d'ordre 2 en temps et en fréquenceet de localisation temps-fréquence pour diérents ltres prototypes pour 64 porteuses.h J m2(h) M2(h) ξmodporte 0.097 0.163 1.621 0.155Malvar1 0.030 0.065 0.123 0.888Malvar2 7.7 × 10−3 0.143 0.132 0.578TFL1 0.038 0.059 0.128 0.912TFL2 0.016 0.071 0.095 0.966TFL4 9.2 × 10−3 0.081 0.081 0.980IOTA4 0.011 0.081 0.081 0.977FS1 0.019 0.081 0.257 0.548FS2 2.0 × 10−3 0.108 0.090 0.808FS4 8.6 × 10−5 0.136 0.058 0.895

36 Chapitre 1. Etat de l'art sur les modulations multiporteusesCe tableau nous montre bien les diérentes propriétés des ltres prototype que nous avonspu introduire précédemment. Ainsi, à longueur équivalente, les ltres TFL présentent bien lesmeilleures performances pour la localisation temps-fréquence et les ltres FS pour la minimisa-tion de l'énergie hors-bande, ces performances s'améliorant par ailleurs avec l'augmentation dela longueur du ltre. Nous conrmons aussi que les ltres de Malvar n'exposent aucune carac-téristique particulière : Malvar1 est ainsi moins bon que FS1 en termes d'énergie hors-bande etest moins bon que TFL1 en termes de localisation temps-fréquence. Les mêmes comparaisonssont aussi valables pour Malvar2 vis-à-vis de TFL2 et FS2. Ce tableau met enn en évidenceun point très intéressant : contrairement à ce que l'on pourrait penser a priori, la porte n'estpas la forme d'onde ayant la meilleure localisation en temps. En eet, nous voyons que sonmoment d'ordre 2 en temps est moins bon que ceux de l'ensemble des ltres présentés dansce tableau.ConclusionNous avons présenté dans ce chapitre les deux principales formes avancées de l'OFDMà savoir l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné. Nous avons expliqué comment ellesdécoulaient de l'OFDM classique et nous avons décrit les principales caractéristiques de cesmodulations. Puis nous avons décrit les grandes familles de formes d'onde qui pouvaient êtreutilisées. Enn, nous avons introduit une expression mathématique qui permet de lier à lafois l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné. Cette expression, qui ne décrit pas unemodulation en tant que telle, permet une analyse plus générale des modulations avec formed'onde. Cette expression permet aussi de décrire la modulation OFDM (sans intervalle degarde). A partir de tout cela, il est possible d'analyser le comportement de ces modulationsvis-à-vis de la densité spectrale de puissance dans un premier temps.

Chapitre 2Etude de la Densité Spectrale dePuissance des modulations avec formed'ondeAvec le développement et la popularisation de services de télécommunication comme latéléphonie mobile (GSM et UMTS), la télévision numérique terrestre (DVB-T) ou l'Internetsans l (WiFi), la disponibilité de certaines bandes de fréquence devient très réduite. Ainsi,pour certaines nouvelles applications, il est nécessaire de chevaucher des bandes de fréquencedédiées à d'autres média de transmission. Par exemple, dans le cas des PLC, la bande defréquences allouée qui va de 1.8 à 30 MHz est partagée avec certaines bandes de fréquencesoccupées par la radio amateur [2, 124, 164]. Ainsi, pour éviter les phénomènes de brouillageentre des applications diérentes, les normes actuelles prévoient des contraintes très fortes surles spectres d'émission du signal. Dans ce contexte, des signaux ayant un spectre d'émissionbien conné et ayant des atténuations hors-bande importantes possèdent alors des atouts inté-ressants. L'étude de la Densité Spectrale de Puissance (DSP) devient alors un point clef pource type de transmission. Aussi, dans la mesure où les modulations OFDM/OQAM et OFDMsuréchantillonnées présentées au chapitre 1 permettent un vaste choix de formes d'onde ayantde bonnes propriétés spectrales, il peut être alors intéressant d'étudier leur DSP. L'objectif dece chapitre est de réaliser une étude approfondie de la densité spectrale de puissance des mo-dulations avec forme d'onde et de les comparer à celle de l'OFDM. Dans ce but, la section 2.1donne une expression analytique de la DSP pour les modulations multiporteuses avec formed'onde. Puis la partie 2.2 confronte cette expression aux simulations. Une analyse plus ne deces résultats est ensuite entreprise. Enn, dans la partie 2.3, nous introduisons quelques mo-dèles classiques de non-linéarité pour l'amplication de puissance. Nous étudions alors l'eetde ces non-linéarités sur la DSP des signaux OFDM/OQAM.2.1 Calcul analytique de la densité spectrale de puissance2.1.1 Densité Spectrale de PuissanceLa DSP (en anglais : Power Spectral Density ou PSD) d'un signal s est dénie comme étantla transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de ce signal s [120], s étant supposéêtre un signal stationnaire à l'ordre 2. Ainsi, si on note Γs(τ) la fonction d'autocorrélation37

38 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onded'un signal continu s(t) stationnaire à l'ordre 2 :Γs(τ) = E s(t)s∗(t− τ) , (2.1)nous obtenons alors que la DSP de s, notée γs(ν), s'écrit :γs(ν) =

∫R Γs(τ)e−j2πντdτ. (2.2)La DSP a pour objectif de donner les atténuations de la puissance émise en fonctionde la fréquence à laquelle on se situe. Ainsi, une DSP idéale serait plate dans une bandede fréquence allouée B (la bande de fréquence disponible pour une application donnée parexemple) et aurait une atténuation innie hors de cette bande B (voir la gure 2.1). Ainsi,dans ce cas, il n'y aurait pas de perte de puissance à l'émission. Il n'y aurait donc pas debrouillage de cette application sur des applications dont les fréquences allouées sont voisines.

6

-fréquenceatténuation

-B

DSP idéaleFig. 2.1 DSP idéale sur une bande de fréquence B.Il est enn important de noter que la DSP de la gure 2.1 n'est pas une DSP réaliste pourdes signaux physiques. Il y a toujours une certaine partie de l'énergie du signal qui se disperseen dehors de la bande. Le but est donc de limiter au maximum ces pertes.2.1.2 Calcul analytiquePour mener ce calcul analytique de la DSP, nous utilisons l'expression du signal unié entemps continu, donné en (1.61), dont nous rappelons l'expression :

s(t) =+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

bm,nh(t− nT )ej2πmFtejθm,n . (2.3)Ainsi, nous obtenons :

2.1. Calcul analytique de la densité spectrale de puissance 39s(t)s∗(t− τ) =

∑

(n,q)∈Z2

M−1∑

m,p=0

bm,nb∗p,qh(t− nT )h∗(t− τ − qT )ej2π(m−p)Ftej2πpFτej(θm,n−θp,q).(2.4)Supposons en outre que les données bm,n sont i.i.d., nous avons donc E

bm,nb

∗p,q

= σ2

b δm,pδn,q.En conséquence :E s(t)s∗(t− τ) = σ2

b

∑

n∈ZM−1∑

m=0

h(t− nT )h∗(t− τ − nT )ej2πmFτ . (2.5)Cette dernière équation nous montre que le signal s n'est pas stationnaire d'ordre 2. En eet, lafonction d'autocorrélation dépend à la fois de t et de τ . Dès lors, il n'est pas possible d'utiliserla dénition de la DSP donnée dans l'équation (2.2). On remarque cependant que la fonctionΓs(t, τ) = E s(t)s∗(t− τ) possède la propriété intéressante suivante :

Γs(t+ T, τ) = Γs(t, τ), (2.6)cette relation étant simplement obtenue par un changement de variable sur l'indice de som-mation n. D'autre part, nous avons aussi, comme les bm,n sont i.i.d. :E s(t) = Constante. (2.7)Les équations (2.6) et (2.7) nous permettent d'armer que le moment d'ordre 1 et la fonctiond'autocorrélation du signal s sont périodiques de période T . Aussi, d'après [67], le signal sest dit cyclostationnaire et on peut ainsi introduire une fonction d'autocorrélation moyenne,dénie par :

Γs(τ) =1

T

∫ T

0Γs(t, τ)dt. (2.8)En appliquant cette dénition à l'équation (2.5), nous obtenons :

Γs(τ) =σ2b

T

M−1∑

m=0

ej2πmFτ∑

n∈Z∫ T

0h(t− nT )h∗(t− τ − nT )dt

=σ2b

T

M−1∑

m=0

ej2πmFτ∑

n∈Z∫ −(n−1)T

−nTh(t)h∗(t− τ)dt

=σ2b

T

M−1∑

m=0

ej2πmFτ∫ +∞

−∞h(t)h∗(t− τ)dt

=σ2b

T(h(τ) ⊗ h∗(−τ))

M−1∑

m=0

ej2πmFτ . (2.9)En utilisant (2.2), nous obtenons :

40 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'ondeγs(ν) = TF(Γs(τ))

=σ2b

TTF(h(τ) ⊗ h∗(−τ)) ⊗ TF

(M−1∑

m=0

ej2πmFτ

)

=σ2b

T[TF(h(τ)) × TF(h∗(−τ))] ⊗

[M−1∑

m=0

δ(ν −mF )

]

, (2.10)où δ(ν) est la distribution de Dirac. En posantH(ν) = TF(h(τ)), on obtient que TF(h∗(−τ)) =H∗(ν), et par conséquent :

γs(ν) =σ2b

T[H(ν) ×H∗(ν)] ⊗

[M−1∑

m=0

δ(ν −mF )

]

=σ2b

T|H(ν)|2 ⊗

[M−1∑

m=0

δ(ν −mF )

]

=σ2b

T

M−1∑

m=0

|H(ν −mF )|2 . (2.11)Nous observons que cette expression de la DSP a été obtenue sans restriction particulièreconcernant la forme d'onde h. Cette expression est donc une formule générale de la DSPpour les modulations avec forme d'onde et elle ne dépend que de la forme d'onde utilisée. Onretrouve dans [52] une expression analogue de la DSP (mais limitée au seul cas de la formed'onde SRRC) pour la modulation OFDM/OQAM, sans démonstration néanmoins. Cettedémonstration est aussi très proche de celle réalisée dans [120] sur les signaux modulés ayantla propriété de cyclostationnarité.2.2 Applications et simulations2.2.1 L'OFDMOn peut assez facilement remarquer que l'on peut retrouver l'expression du signal OFDMen (1.1) à partir de (1.61) en supposant que bm,n est complexe et en posant T = T0, F =F0 = 1/T0 et θ0 = 0. Comme la transformée de Fourier de la fonction porte de longueur T0 etcentrée en 0 est :

TF (ΠT0(t)) = sinc (πT0ν) ,on en déduit l'expression de la DSP suivante :γOFDM(ν) =

σ2c

T0

M−1∑

m=0

sinc (πT0(ν −mF0))2 , (2.12)expression que l'on retrouve également dans [52]. La gure 2.2 donne la DSP d'un systèmeOFDM à 64 porteuses. Les DSP obtenues par simulation et grâce à l'expression (2.12) sontainsi tracées.

2.2. Applications et simulations 41

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

OFDM (simulation)OFDM (formule)

Fig. 2.2 DSP de l'OFDM pour 64 porteuses.Nous observons donc que la formule théorique correspond parfaitement aux courbes obte-nues par simulation. Il faut cependant noter que les diérents spectres présentés sont simulésen temps discret alors que les DSP sont exprimées en temps continu. Il est donc possiblequ'il existe un faible écart entre ces deux DSP. Nous mettons de plus en évidence l'une desfaiblesses de l'OFDM. En eet, les lobes secondaires de la DSP remontent relativement haut(-11 dB environ) ce qui implique une perte de puissance relativement importante en dehorsde la bande du signal.Le cas de l'OFDM avec intervalle de garde (de durée égal à 25% du temps symbole) estdiérent comme le montre la gure 2.3. En eet, on observe dans la bande du signal quela DSP uctue de manière périodique. Il existe donc de légers évanouissements de puissancedans la bande ce qui peut être handicapant pour certaines applications. Ceci vient du faitque le temps symbole est allongé par rapport au système OFDM classique équivalent alorsque l'écart interporteuse ne varie pas. En conséquence, comme ∑M−1m=0 sinc (πT0(ν −mF0))

2est constant pour l'OFDM, ∑M−1m=0 sinc (πT ′(ν −mF0))

2 (avec T ′ > T0) ne l'est plus dans lecas de l'OFDM avec IG. Aussi plus l'intervalle de garde choisi est long, plus ce phénomènes'accentue.2.2.2 L'OFDM/OQAMPour l'OFDM/OQAM, l'expression de la DSP est :γOQAM(ν) =

σ2a

τ0

M−1∑

m=0

|H(ν −mF0)|2 . (2.13)

42 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onde

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

Fig. 2.3 DSP de l'OFDM avec intervalle de garde pour 64 porteuses.Des simulations ont été menées avec un partie des ltres prototypes présentés dans la sec-tion 1.6. Les gures 2.4 et 2.5 nous montrent les DSP résultantes. Les prototypes à tempscontinu sont tous de longueur Lh = bM avec b = 4 et M = 1024. Les prototypes TFL et FSsont tous de longueur M = 1024. Nous voyons que, dans tous les cas présentés, la modula-tion OFDM/OQAM ore de bien meilleures performances que le système OFDM à nombreéquivalent de porteuses, même pour les ltres très courts (ces eets sont en outre accentuéspour les ltres discrétisés de longueur plus importante). Ces gains sont en lien direct avec lesanalyses réalisées sur les prototypes dans la partie 1.6.En eet, comme la formule théorique (2.13) indique que la DSP est en lien direct avecla forme d'onde utilisée, les particularités des réponses fréquentielles de ces formes d'onde seretrouvent donc directement sur les DSP. Ainsi, pour IOTA et TFL, qui possèdent de trèsbonnes atténuations, on retrouve des DSP avec de très bonnes atténuations pour les systèmesOFDM/OQAM utilisant ces formes d'onde. De même, avec les formes SRRC et FS, qui ont desénergies hors-bande intéressantes, on retrouve des DSP associées bien connées en fréquence(c'est-à-dire des DSP dont les bords sont très raides, comme sur la gure 2.1), même si cettepropriété n'apparaît pas clairement sur les gures. De même, ces gures montrent aussi lavalidité de l'expression théorique en (2.13) et ceci quelle que soit la forme d'onde utilisée.

2.2. Applications et simulations 43

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

OFDMSRRC (r=0.5): SimulationSRRC (r=0.5): FormuleIOTA: SimulationIOTA: Formule

Fig. 2.4 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM pour 1024 porteuses - Etude de l'in-uence des prototypes à temps continu.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

OFDMFS: SimulationFS: FormuleTFL: SimulationTFL: Formule

Fig. 2.5 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM pour 1024 porteuses - Etude de l'in-uence des prototypes à temps discret.

44 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onde2.2.3 L'OFDM suréchantillonnéPour l'OFDM suréchantillonné, l'expression de la DSP est :γOS(ν) =

σ2c

T0

M−1∑

m=0

|H(ν −mF0)|2 . (2.14)La même analyse qu'en OFDM/OQAM a été réalisé pour la modulation OFDM suréchan-tillonnée. Les résultats de ces simulations sont présentés sur la gure 2.6. Ici, nous comparonsles performances pour des systèmes à ecacité spectrale identique. Ainsi, nous avons choisides systèmes OFDM suréchantillonnés avec η = 5/4. Le système OFDM d'ecacité spectraleéquivalente est alors un système OFDM avec un intervalle de garde de 25%. Tous les systèmescomportent 1024 porteuses. Le ltre SRRC est de longueur Lh = bN ′ avec b = 8. Le choixdu Roll-O du ltre SRRC est aussi en lien direct avec la structure temps-fréquence de lamodulation. En eet, d'après l'équation (1.74) donnant l'expression de la fonction SRRC enfréquence, on remarque que cette fonction a un support fréquentiel égal à (1+r)F0 = (1+r)/T0.Comme, en OFDM suréchantillonné, nous avons F0 = η/T0, et comme nous désirons imposerla même durée symbole pour l'OFDM et l'OFDM suréchantillonné, on en déduit qu'en impo-sant r = η − 1, on optimise l'occupation fréquentielle. D'autre part, nous analysons aussi lecomportement des prototypes TFL et FS pour cette modulation. La longueur de ces ltres estaussi Lh = bN ′ avec b = 8.La gure 2.6 nous montre les DSP de tous ces systèmes OFDM suréchantillonnés. Onremarque tout d'abord que les phénomènes de uctuation de puissance dans la bande dusignal n'existent pas en OFDM suréchantillonné, ce qui permet de gommer l'un des incon-vénients majeurs de l'OFDM avec IG. Aussi, on observe le même type de performances quel'OFDM/OQAM à savoir que tous les systèmes OFDM suréchantillonnés présentés ici donnentde bien meilleurs résultats que l'OFDM. Les DSP présentent, de plus, les mêmes caractéris-tiques que les ltres prototypes utilisés. Enn, on montre aussi très bien que l'expressionthéorique proposée dans l'équation (2.14) engendre des courbes confondues avec les simula-tions. Tout comme la DSP pour l'OFDM, il peut exister des diérences mineures entre cessimulations, réalisées en temps discret, et les DSP équivalentes en temps continu.Cette étude théorique, couplée à des vérications expérimentales, montre donc bien que cessystèmes OFDM avec forme d'onde permettent une amélioration notable des caractéristiquesspectrales en comparaison de l'OFDM avec ou sans intervalle de garde. Ces résultats conrmentdonc bien que le choix de la forme d'onde permet d'avoir soit un spectre bien conné enfréquence, soit un spectre avec de très bonnes atténuations. On tend donc à s'approcher de laDSP dite idéale présentée dans la gure 2.1. La gure 2.7 montre cela en réalisant un zoomde la gure 2.6 au niveau de la fréquence normalisée ν = 0.4 qui correspond au bord de laDSP.

2.2. Applications et simulations 45

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

OFDMSRRC: SimulationSRRC: FormuleFS: SimulationFS: FormuleTFL: SimulationTFL: Formule

Fig. 2.6 DSP de quelques systèmes OFDM suréchantillonnés pour 1024 porteuses.

0.3985 0.399 0.3995 0.4 0.4005 0.401 0.4015 0.402 0.4025 0.403−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

OFDMSRRCFSTFL

Fig. 2.7 Zoom de la gure 2.6 au niveau du bord de la DSP.

46 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onde2.3 Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéaritésL'étude précédente a montré l'évolution de la DSP en sortie de modulateur. Seulement,en sortie du modulateur et avant transmission dans le canal de propagation, le signal estamplié, de manière non-linéaire en général. Cette non-linéarité peut introduire des distorsionsimportantes dans le signal amplié qui peuvent se répercuter sur la DSP du signal. Ainsi,l'étude de certaines non-linéarités liées à l'amplication des systèmes OFDM ont été menéesdans [179] ou encore dans [42]. Cependant, l'eet des non-linéarités sur les modulations avecforme d'onde n'a pas été abordé. Il devient alors intéressant d'observer la robustesse desmodulations avec forme d'onde que nous avons présentées vis-à-vis des perturbations apportéespar les amplicateurs de puissance.2.3.1 Cas de la non-linéarité cubiqueNous avons choisi d'étudier ce modèle de non-linéarité dit cubique car, même si il n'est pasparticulièrement réaliste, il permet d'avoir un simple aperçu des eets des non-linéarités surun système donné. Il est ainsi proposé et utilisé comme modèle d'amplicateur de puissancepour le 3GPP [5] ou bien comme modèle de base pour certaines autres études [133, 153]. Demanière générale, cet amplicateur de puissance s'écrit sous forme d'un polynôme n'ayant quedes degrés impairs. Ainsi, si le signal réel x est à amplier, le signal en sortie y s'écrit :y =

K∑

m=0

G2m+1x2m+1. (2.15)En général, on se contente du terme d'ordre 3 pour simuler une non-linéarité, ce qui signieque : ∀m > 2, G2m+1 = 0. De plus, ce modèle présente l'avantage d'avoir une expression analy-tique du signal de sortie qui reste encore aisément manipulable pour certains développementsmathématiques, comme le calcul de la DSP. Une partie des résultats développés dans cettepartie sont issus de l'article [149].Expression de la DSP d'un signal issu d'un modèle cubique d'amplicateurOn utilise donc l'expression suivante de la caractéristique AM-AM (donnant l'amplitudedu signal de sortie en fonction de l'amplitude du signal d'entrée) :

p(t) = f(sR(t)) = G1sR(t) +G3sR(t)3, (2.16)où f est la fonction non-linéaire, G1 et G3 des paramètres réels et sR(t) un signal réel. Dansla suite, nous prendrons donc :sR(t) = <

s(t)ej2πFct

(2.17)c'est-à-dire la partie réelle du signal en bande de base s transposé à la fréquence Fc. Onsuppose de plus dans la suite que le signal s est celui de l'expression (1.61). On montre assezsimplement que la DSP de ce signal sR a la même expression (à un coecient multiplicatifprès) que la DSP du signal s mais transposé à la fréquence Fc :γsR

(ν) = c.γs(ν + Fc), où c est une constante. (2.18)

2.3. Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités 47Cette démonstration est donnée en annexe C. Ainsi, en utilisant le théorème de Price, énoncédans [154], on peut trouver un lien entre la fonction d'autocorrélation de p(t), notée Γp(τ) etcelle de sR(t), notée ΓsR(τ) :

dΓp(τ)

dΓsR(τ)

= Ef ′(sR(t))f ′(sR(t− τ)

, (2.19)où f ′ est la dérivée de f , la caractéristique AM-AM de l'amplicateur. Ainsi, en développantcette expression, nous avons :

dΓp(τ)

dΓsR(τ)

= G21 + 3G1G3 E

s2R(t)

+ 3G1G3 E

s2R(t− τ)

+ 9G2

3 Es2R(t)s2R(t− τ)

. (2.20)Par dénition, E

s2R(t)

est la variance du signal sR, notée σ2sR

(t). Plaçons nous dans le casoù cette variance est constante en fonction du temps : σ2sR

(t) = σ2, l'annexe C nous indiquantles cas de gure où cette égalité est vériée pour les modulations avec forme d'onde. D'autrepart, grâce à un résultat cité dans [154], nous avons :Es2R(t)s2R(t− τ)

= 2Γ2

sR(τ) + σ4. (2.21)Finalement :

dΓp(τ)

dΓsR(τ)

= (G1 + 3G3σ2)2 + 18G2

3Γ2sR

(τ). (2.22)En intégrant simplement cette équation, nous avons :Γp(τ) =

C1︷ ︸︸ ︷

(G1 + 3G3σ2)2 ΓsR

(τ) +

C3︷︸︸︷

6G23 Γ3

sR(τ)

= C1ΓsR(τ) + C3Γ

3sR

(τ). (2.23)Dès lors, on en déduit aisément l'expression de la DSP du signal p, issu de l'amplicationnon-linéaire cubique :γp(ν) = C1γsR

(ν) + C3 (γsR⊗ γsR

⊗ γsR) (ν). (2.24)Ce résultat nous indique donc que la non-linéarité cubique introduit un terme supplémen-taire dans l'expression de la DSP qui est en fait une convolution triple de la DSP initiale.Ainsi, sans la non-linéarité, c'est-à-dire si G3 = 0, on retrouve eectivement la DSP initialedu signal.Vérication expérimentaleD'après les conditions imposées pour l'obtention de l'expression (2.24), données en an-nexe C, nous avons donc vérié la validité de cette expression théorique pour des systèmesOFDM/OQAM avec forme d'onde orthogonale. Pour cela, nous avons choisi les formes d'ondeTFL et FS de longueur Lh = 4M avec M = 128. De plus, nous avons choisi G1 = 1 et

G3 = 0.1. Enn, nous avons choisi Fc = 0. Les vérications expérimentales sont ainsi illustréessur la gure 2.8.

48 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onde

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Fréquence normalisée

DS

P (

en d

B)

TFL (simulation)TFL (exp. th.)FS (simulation)FS (exp. th.)

Fig. 2.8 DSP de quelques systèmes OFDM/OQAM à 128 porteuses après passage par unamplicateur de puissance présentant une non-linéarité de type cubique.Nous observons donc que les courbes issues de la formule analytique (2.24) suivent parfaite-ment les courbes obtenues par simulation. On observe de plus, comme on pouvait s'y attendre,une remontée des lobes secondaires de la DSP par rapport aux DSP sans non-linéarité, obte-nues par exemple sur la gure 2.5. En eet, la triple convolution de la DSP initiale génère unterme dont la largeur est plus grande que la bande du signal initial. Ceci a pour eet que leslobes secondaire, initialement bas, se voient ajouter pour toutes les fréquences hors bande, unterme ayant une valeur plus grande ce qui a pour conséquence une augmentation de la valeurde la densité spectrale de puissance de ces lobes secondaires. On remarque de plus que plusnous nous éloignons en fréquence, plus cet eet s'estompe. Ainsi, à des fréquences très élevées,on revient à des niveaux proches de la DSP sans non-linéarité.Cependant, comme précédemment dit, le modèle de non-linéarité de type cubique n'estpas un modèle réaliste. Il est maintenant intéressant de simuler également des modèles denon-linéarité plus réalistes an d'observer les diérences de comportement, s'il y en a, entreles systèmes OFDM avec forme d'onde et le système OFDM classique.Remarque importanteIl est important de noter que, dans la majorité des cas, le signal entrant dans l'amplicateurde puissance est un signal transposé en fréquence, à valeurs réelles :sR(t) = <

s(t)ej2πFct

. (2.25)Les non-linéarités AM/AM et AM/PM sont alors appliquées, respectivement par les fonctions

A(.) et ψ(.), à ce signal pour obtenir :

2.3. Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités 49sNL(t) = A(sR(t)) cos (2πFct+ φ(t) + ψ(sR(t))) , (2.26)Or, dans [130], on peut observer qu'il est tout à fait possible d'appliquer les non-linéarités ausignal en bande de base (à valeurs complexe) puis d'eectuer la transposition en fréquence àl'issue de cette opération. Il apparaît donc que ces deux manières de procéder sont tout à faitéquivalentes. Ce résultat ne reste cependant valable qu'à condition de ne pas tenir compte dela bande passante de l'amplicateur et des eets de mémoire des non-linéarités [79].2.3.2 Etude d'autres non-linéarités - Comparaison avec l'OFDMCe paragraphe résume les résultats obtenus grâce à notre collaboration avec N. Chotkande l'Ecole Louis de Broglie à Rennes et dont les résultats plus développés peuvent être vusdans la référence [30]. Un article sur ce sujet est de plus en cours de soumission [31]. Nousnous intéressons ici aux modèles de non-linéarités les plus répandus dans la littérature.Modèles de non-linéaritéLe modèle cubique a déjà été présenté dans la partie précédente, sa caractéristique AM/AMétant donnée à l'équation (2.16). Nous traiterons ici aussi des caractéristiques AM/PM (dis-torsion amplitude/phase), celle de la non-linéarité cubique étant donnée par l'équation :

θ(r) =

0 si r ≤ β ,

α(r − β) si β ≤ r ≤ γ ,

α(γ − β) si γ ≤ r ,

(2.27)où r est l'amplitude du signal d'entrée et α, β, γ sont 3 paramètres de l'amplicateur.On peut aussi trouver dans [130] un modèle de non-linéarité, utilisé à l'origine pour lesamplicateurs de type Tube à Ondes Progressives (TOP). Les caractéristiques AM/AM etAM/PM de ce modèle sont alors respectivement :A(r) =

α0r

1 + β0r2, (2.28)

θ(r) =α1r

2

1 + β1r2. (2.29)En modiant la valeur des paramètres α0, β0, α1, β1, il est aussi possible de simuler le com-portement d'un amplicateur de type SSPA (Solid State Power Amplier).On peut citer aussi le modèle de Rapp, donné en [125], qui est un modèle courammentutilisé pour les amplicateurs de type SSPA. Ce modèle ne propose que la seule caractéristiqueAM/AM, donnée par l'équation :

A(r) =r

(

1 +(

rVsat

)2p) 1

2p

, (2.30)

50 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'ondeoù Vsat est le niveau de saturation de sortie de l'amplicateur et p est un paramètre de lissagede la caractéristique. Plus p tend vers l'inni, plus la caractéristique se rapproche de celle d'unlimiteur souple.Enn, le dernier modèle courant est le modèle de Ghorbani [45] qui tend à approcher lescaractéristiques réalistes des amplicateurs de type SSPA. Les courbes AM/AM et AM/PMsont données respectivement par les équations suivantes :A(r) =

x1rx2

1 + x3rx2+ x4r, (2.31)

θ(r) =y1r

y2

1 + y3ry2+ y4r, (2.32)où xi et yi, i ∈ 1, ..., 4, sont des paramètres réels. On remarque que ce modèle est une sortede généralisation du modèle de Saleh.Choix des paramètresNous observons que chacun des modèles présentés possèdent leurs paramètres propres qu'ils'agit maintenant de bien choisir. Nous nous contentons ici d'utiliser les jeux de coecientsqui ont été cités dans les articles décrivant ces diérents modèles. Nous proposons les jeux deparamètres suivants pour les simulations que nous présenterons plus loin : Modèle cubique :

G1 = 1, G3 = −1/3α = 1, β = 0.2, γ = 0.65.

(2.33) Modèle de Saleh :α0 = 2.1587, β0 = 1.1517,α1 = 4.033, β1 = 9.1040.

(2.34) Modèle de Rapp :Vsat = 0.5, p = 2. (2.35) Modèle de Ghorbani :

x1 = 8.1081, x2 = 1.5413, x3 = 6.5202, x4 = −0.0718,y1 = 4.6645, y2 = 2.0965, y3 = 10.88, y4 = −0.003.

(2.36)Allure des diérentes caractéristiques de ces amplicateursLes gures 2.9 et 2.10 donnent les allures des caractéristiques AM/AM et AM/PM res-pectivement pour les modèles présentés précédemment pour les jeux de coecients donnésci-dessus. Nous rappelons aussi que le modèle de Rapp a une distorsion de phase nulle.

2.3. Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités 51

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

amplitude du signal d’entrée

ampl

itude

du

sign

al d

e so

rtie

modèle cubiquemodèle de Salehmodèle de Rappmodèle de GhorbaniFig. 2.9 Caractéristiques AM/AM des modèles de non-linéarités proposés.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

amplitude du signal d’entrée

phas

e du

sig

nal d

e so

rtie

(en

rad

)

modèle cubiquemodèle de Salehmodèle de Rappmodèle de Ghorbani

Fig. 2.10 Caractéristiques AM/PM des modèles de non-linéarités proposés.

52 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'ondeObservons la gure 2.11 qui reprend les courbes de la gure 2.9 mais en échelle logarith-mique. On remarque que le modèle de Ghorbani fait apparaître clairement une non-linéarité àl'origine, non-linéarité non détectable de manière claire en échelle linéaire. Ceci peut s'avérerimportant pour l'analyse des résultats de simulation. De plus, nous pouvons aussi observerque les non-linéarités cubiques et de Rapp sont quasiment confondues. Elles ne se diérencientque pour des reculs proches de 0 dB, c'est-à-dire pour des amplitudes proches du point decompression à 1 dB de l'amplicateur (voir 3.1.2 pour plus de détails).

−80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

amplitude du signal d’entrée (en dB)

ampl

itude

du

sign

al d

e so

rtie

(en

dB

)

modèle cubiquemodèle de Salehmodèle de Rappmodèle de Ghorbani

Fig. 2.11 Caractéristiques AM/AM des modèles de non-linéarités proposés à l'échelle loga-rithmique.SimulationsPour cette étude, nous considérons des systèmes multiporteuses à 128 porteuses. Les sys-tèmes OFDM/OQAM utilisent une forme d'onde FS de longueur 512. Les comparaisons sontréalisées avec un système OFDM sans intervalle de garde. Pour réaliser des comparaisons équi-tables avec l'OFDM, nous normalisons les signaux de sorte que leurs puissances moyennes setrouvent au niveau du point de compression à 1 dB de l'amplicateur considéré, puis nousintroduisons un recul IBO (Input Back-O) de sorte à nous approcher ou non de la zonelinéaire de l'amplicateur. Ainsi, plus l'IBO est élevé, plus on peut considérer l'amplicateurcomme a priori linéaire. Les gures 2.12, 2.13, 2.14 et 2.15 montrent l'inuence des modèlesde non-linéarités présentés pour des valeurs d'IBO respectivement égales à 0, 5, 10 et 20 dB.

2.3. Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités 53

0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(en

dB)

Fréquence normalisée

OFDM, NL cubiqueOFDM, NL SalehOFDM, NL RappOFDM, NL GhorbaniOQAM, NL cubiqueOQAM, NL SalehOQAM, NL RappOQAM, NL Ghorbani

Fig. 2.12 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 0 dB.

0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Fréquence normalisée

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(en

dB)

OFDM, NL cubiqueOFDM, NL SalehOFDM, NL RappOFDM, NL GhorbaniOQAM, NL cubiqueOQAM, NL SalehOQAM, NL RappOQAM, NL Ghorbani

Fig. 2.13 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 5 dB.

54 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'onde

0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Fréquence normalisée

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(en

dB)

OFDM, NL cubiqueOFDM, NL SalehOFDM, NL RappOFDM, NL GhorbaniOQAM, NL cubiqueOQAM, NL SalehOQAM, NL RappOQAM, NL Ghorbani

Fig. 2.14 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 10 dB.

0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Fréquence normalisée

Den

sité

spe

ctra

le d

e pu

issa

nce

(en

dB)

OFDM, NL cubiqueOFDM, NL SalehOFDM, NL RappOFDM, NL GhorbaniOQAM, NL cubiqueOQAM, NL SalehOQAM, NL RappOQAM, NL Ghorbani

Fig. 2.15 Inuence de diérentes non-linéarités sur des systèmes OFDM et OFDM/OQAM,avec un IBO de 20 dB.

2.3. Densité Spectrale de Puissance en présence de non-linéarités 55Ainsi, pour des valeurs faibles d'IBO, nous pouvons observer que la non-linéarité cubiqueintroduit le plus de distorsions dans la mesure où c'est le cas où les lobes des DSP remontent leplus haut. Ainsi, pour un IBO nul, les DSP de l'OFDM et de l'OFDM/OQAM sont quasimentconfondues. Mais plus l'IBO prend des valeurs élevées (10 ou 20 dB), plus l'OFDM/OQAMcreuse un écart signicatif avec l'OFDM, cet écart se situant aux alentours de 20 dB pour unIBO de 20 dB.Des écarts beaucoup plus importants sont présents lorsque l'on considère la non-linéaritéde Saleh par exemple. Ainsi, pour un IBO de 0 dB, c'est le modèle de non-linéarité qui donnela meilleure DSP, à la fois pour l'OFDM et pour l'OFDM/OQAM. Ceci tend à montrer, encorollaire, que cette non-linéarité est la moins forte des 4 proposées pour des faibles reculs.La non-linéarité de Rapp, qui ne possède qu'une caractéristique AM/AM, donne égalementl'avantage à l'OFDM/OQAM pour l'ensemble des valeurs d'IBO testées. Les caractéristiquesAM/AM des modèles de Saleh et de Rapp étant proches, on peut aussi déduire des gures2.13 à 2.15 que, pour des IBO allant de 5 à 20 dB, la non-linéarité AM/PM pénalise davantagel'OFDM/OQAM que l'OFDM. Comme, de plus, l'orthogonalité de l'OFDM/OQAM est sim-plement obtenue sur les réels, au delà de la DSP, les répercussions d'une non-linéarité AM/PMpourraient également aecter plus globalement cette modulation.Enn, la non-linéarité de Ghorbani présente une évolution tout à fait particulière. Pour desvaleurs d'IBO comprises entre 0 et 10 dB, les lobes secondaires de la DSP baissent à mesureque l'IBO augmente. Mais subitement, pour une valeur seuil d'IBO entre 10 et 20 dB, les lobesremontent de manière importante. Ceci s'explique par le fait que la non-linéarité de Ghorbaniest fortement non-linéaire à l'origine, comme a pu le mettre en évidence la gure 2.11. Ainsi,pour des valeurs élevées d'IBO, c'est cette non-linéarité à l'origine qui est responsable de laforte remontée des lobes secondaires de la DSP.Cependant, le résultat le plus signicatif de cette analyse est le fait que, dans la trèsgrande majorité des cas, l'OFDM/OQAM garde un avantage en termes de DSP par rapportà l'OFDM. Même si on ne conserve pas les mêmes écarts entre OFDM et OFDM/OQAMaprès non-linéarité qu'avant non-linéarité, cet écart reste malgré tout signicatif, y comprispour des faibles reculs. Ainsi, pour des non-linéarités réalistes comme les modèles de Saleh, deRapp et de Ghorbani, on conserve en moyenne 10 dB d'écart en faveur de l'OFDM/OQAM.Pour les fortes valeurs d'IBO, on tend ainsi à retrouver l'écart existant entre les DSP sansnon-linéarité, mis à part le cas de la non-linéarité de Ghorbani. Malgré tout, pour cette non-linéarité particulière, l'OFDM/OQAM garde un avantage de l'ordre de 5 dB (pour un IBO de20 dB).

56 Chapitre 2. Etude de la Densité Spectrale de Puissance des modulations avec forme d'ondeConclusionsCe chapitre a permis de conrmer l'une des principales caractéristiques des modulationsavec forme d'onde, à savoir une excellente allure de la densité spectrale de puissance. Nousavons pu ainsi déterminer une expression analytique de la DSP, à la fois pour l'OFDM/OQAMet l'OFDM suréchantillonné puis nous l'avons confrontée à plusieurs scénarios de simulation.Dans tous les cas de gure, l'expression analytique suivait parfaitement les résultats de si-mulations, ces simulations montrant aussi que, en comparaison de l'OFDM, la modulationOFDM/OQAM ore de bien meilleures performances en terme de remontée des lobes secon-daires de la DSP et en sélectivité fréquentielle. Dans un second temps, nous avons introduitdes non-linéarités issues de l'amplication en puissance pour étudier les évolutions des DSP.Ainsi, nous avons pu déterminer une expression analytique de la DSP pour une non-linéaritéAM/AM de type cubique. Une étude plus exhaustive, faisant introduire les distorsions AM/AMet AM/PM issues de diérents modèles de la littérature, a été réalisée pour l'OFDM/OQAM.Les simulations ont montré que cette modulation conserve un avantage certain en terme deDSP vis-à-vis de l'OFDM, même si les écarts sont moins importants comparés aux écartsobtenus sans non-linéarité. Ces études permettent d'ouvrir de nouvelles perspectives. Ainsi,une analyse plus ne des inuences particulières des distorsions en amplitude et en phase res-pectivement peut être réalisée pour évaluer la relative fragilité de l'OFDM/OQAM vis-à-visdes distorsions de phase. Dans ce contexte, l'étude de l'inuence de ces distorsions sur la DSPdes modulations OFDM suréchantillonnées peut s'avérer tout à fait judicieuse car cette mo-dulation est basée, comme l'OFDM, sur une orthogonalité complexe, a priori moins sensibleaux distorsions de phase.

Chapitre 3Analyse théorique du PAPRDans une chaîne classique de télécommunication, il arrive, juste après l'étape de modulationet de conversion numérique vers analogique, une étape d'amplication de la puissance dusignal. Cette étape a pour but de transmettre un signal à travers un canal de propagation avecsusamment de puissance pour qu'il puisse être détecté par le récepteur. Malheureusement,cette opération est, dans la très grande majorité des cas, non-linéaire. Ainsi, si une trop fortepuissance entre dans l'amplicateur, il en sortira un signal qui sera eectivement ampliémais aussi distordu, cette distorsion étant qui plus est dicile à supprimer. Ce problème estd'autant plus critique pour les modulations multiporteuses dans la mesure où l'enveloppe de cessignaux n'est pas constante. Ainsi, même si la puissance moyenne des signaux se trouve dansla zone linéaire de l'amplicateur, des pics de puissance peuvent intervenir assez fréquemmentet ainsi distordre irrémédiablement le signal d'origine. Il est donc nécessaire de pouvoir estimerla fréquence d'apparition de forts pics de puissance par rapport à la puissance moyenne dusignal. On introduit ainsi une variable, le Peak-to-Average Power Ratio (PAPR) qui mesurel'écart en décibels entre un pic de puissance et la puissance moyenne d'un signal. Ce chapitrea pour objectif de proposer une étude approfondie du comportement du PAPR vis-à-vis desmodulations avec forme d'onde. La partie 3.1 rappelle les principales dénitions et étudesconcernant le PAPR. Puis, nous proposerons une expression analytique de la fonction derépartition du PAPR pour ces modulations avec forme d'onde (partie 3.2). La section 3.3montrera ainsi l'inuence de la forme d'onde sur l'allure de la fonction de répartition. Puis lapartie 3.4 énoncera les diérents théorèmes et propriétés qui découlent des parties précédentes,vériés par de nombreuses simulations. La section 3.5 montrera qu'il est possible, grâce àl'introduction d'une mesure, de pouvoir prévoir le comportement de la fonction de répartitiondu PAPR pour une forme d'onde donnée. Enn, la section 3.6 étendra les résultats obtenuspour ces modulations avec le formalisme à temps continu.3.1 Historique et dénitions3.1.1 Le PAPR dans la littératureLes problèmes liés aux pics de puissance élevés ont été très tôt identiés dans la littérature.Cependant, les outils permettant leurs mesures et leur analyse se sont multipliés aux coursdes publications, selon le point de vue que les auteurs ont décidé d'adopter. Ainsi, une de cespremières mesures fût le facteur pic (Peak Factor), mesure introduite par Schroeder dans [135].57

58 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRCe facteur pic est déni comme étant la diérence, sur un intervalle de temps T , entre lemaximum et le minimum d'amplitude du signal, divisée par la valeur RMS de ce signal :PF1(u) =

max(u(t)) − min(u(t))√∫

T |u(t)|2 dt. (3.1)Cette mesure a longtemps été utilisée pour étudier la dynamique des signaux, jusqu'à ceque Greenstein et Fitzgerald [48] introduisent leur dénition du Peak Factor comme le rapportdu maximum de puissance sur la puissance moyenne du signal :

PF2(u) =maxt |u(t)|2

‖u‖22

. (3.2)De plus, dans un contexte radio, les auteurs dénissent ce Peak Factor comme étant unPeak-to-Average Power Ratio (PAPR). Mais ce n'est que plus tard que de nombreux auteursadopteront cette appellation PAPR comme dans [46,109], mais aussi sous d'autres appellationscomme PMEPR (Peak-to-Mean Envelope Power Ratio) [35, 138], le rapport PAP (Peak-to-Average Power) comme dans [11] ou encore le PAR (Peak-to-Average power Ratio) [64, 157].Enn, plus tôt dans la chronologie, Boyd dans [20] introduit le facteur crête (Crest Factor)CF d'un signal u, à savoir :

CF (u) =‖u‖∞‖u‖2

=maxt |u(t)|

(1T

∫ T0 (u(t))2 dt

) 12

. (3.3)Enn, il est important de noter que la plupart de ces mesures furent aussi introduites entemps discret, multipliant ainsi les dénominations ... et les confusions par la même occasion.Devant la multiplicité des termes et des acronymes, Y. Louët et J. Palicot ont pris le partidans [95] d'unier toutes ces dénitions sous une seule et unique dénition : le Power Ratio(PR). Suivant que le signal est à temps continu ou bien à temps discret, selon le supportd'intégration du signal pour le calcul de puissance moyenne et suivant que le signal soit enbande de base ou bien qu'il soit un signal radio, le PR permet d'avoir une dénition pourchacun de ces cas de gure et il permet aussi de faire le lien avec les mesures précédemmentintroduites dans la littérature. Enn, il apparaît par moment dans la littérature des mesuresmarginales comme le PEP (Peak Envelope Power) [156] qui représente la puissance maximalede l'enveloppe du signal.De manière conventionnelle, le PAPR est utilisé pour des signaux radio, que le signal soità temps discret ou à temps continu, alors que pour les signaux à bande de base, on utiliseraplutôt le PMEPR. Cependant, par abus de langage, nous avons pris le parti de parler tout aulong de cette thèse de PAPR plutôt que de PMEPR même si nous traitons dans la majoritédes cas que des signaux à bande de base. En eet, il apparaît que cet acronyme est le plusutilisé et le mieux intégré dans la communauté scientique. Ainsi, dans la suite de la thèse,nous dénissons le PAPR d'un signal continu s(t) en bande de base par :PAPRc =

maxt∈[0 T ] |s(t)|21T

∫ T0 |s(t)|2 dt

(3.4)Pour un signal s[k] à temps discret en bande de base, son PAPR est déni par :

3.1. Historique et dénitions 59PAPRd =

maxk∈0,...,N−1 |s[k]|2

E

|s[k]|2 =

maxk∈0,...,N−1 |s[k]|21N

∑N−1k=0 |s[k]|2

. (3.5)Initialement, le PAPR a été introduit pour étudier les signaux dont l'enveloppe est constantecomme dans [46]. Dans ce cas de gure, comme le pic de puissance ne prend qu'une seule va-leur, la valeur du PAPR est donc xe sur un temps symbole et il est possible par calcul dedéterminer sa valeur exacte. Par contre, dans le cas des modulations multiporteuses, le si-gnal n'est plus à enveloppe constante car il résulte d'une somme de signaux monoporteusesindépendants entre eux. La dynamique du signal devient donc aléatoire, et, en particulier, lepic de puissance a une valeur qui varie selon les données qui sont envoyées. En conséquence,le PAPR dans le cas multiporteuse devient donc une variable aléatoire. Ainsi, il est souventpréférable d'étudier la répartition des valeurs du PAPR en utilisant des outils probabilistescomme la CCDF (Complementary Cumulative Density Function) qui consiste à déterminer laprobabilité que le PAPR soit supérieur à un seuil noté γ, c'est-à-dire :Pr(PAPR ≥ γ). (3.6)Il existe aussi d'autres moyens d'étudier le PAPR lorsqu'il est aléatoire comme la CDF (Cu-mulative Density Function) qui est tout simplement 1−Pr(PAPR ≥ γ) (d'où le terme "Com-plementary" dans l'acronyme CCDF). Cependant, dans la majorité des cas, c'est la CCDFqui est utilisée. Nous avons donc décidé de l'employer lorsque nous en avions le besoin.Pour l'OFDM, le calcul du PAPR se base dans le cas continu sur un support de tempségal au temps symbole T0 :

PAPRc =maxt∈[0 T0] |s(t)|2

1T0

∫ T0

0 |s(t)|2 dt, (3.7)et dans le cas discret, le calcul se fait sur le nombre d'échantillons M contenus dans un tempssymbole :

PAPRd =maxk∈0,...,M−1 |s[k]|2

1M

∑M−1k=0 |s[k]|2

. (3.8)Pour l'OFDM avec intervalle de garde, nous savons que la durée du temps symbole estaugmentée. Cet allongement du temps symbole est dû à la recopie d'une partie du tempssymbole pour contrer les interférences entre symboles lors d'une propagation sur un canalmultitrajet. Maintenant, si l'on étudie ce signal d'un point de vue du PAPR, nous voyonsqu'en OFDM avec intervalle de garde, soit on recopie la partie du signal contenant le pic depuissance et alors on aura 2 pics de puissance de même valeur, soit le pic de puissance n'estpas recopié dans l'intervalle de garde et dans ce cas, il n'a qu'un seul pic de puissance. Quoiqu'il en soit, l'adjonction de l'intervalle de garde n'apporte pas d'indication supplémentairesur la valeur du pic de puissance maximal. Il ne modie que la valeur moyenne du signal. Enconséquence, comme l'intervalle de garde ne modie pas l'information sur les pics de puissance,il est plus intéressant de calculer le PAPR sur la durée de symbole utile. En d'autres termes, enOFDM avec intervalle de garde, on peut garder exactement la même dénition du PAPR qu'enOFDM classique (dénitions (3.7) et (3.8)). Il est à noter de plus que la solution ZP-OFDM,présentée en 1.1.4, est une solution plus sensible vis-à-vis des distorsions non-linéaires. Il estainsi montré dans [108] que le ZP-OFDM a une probabilité de clipping plus élevée que pourun système OFDM avec IG équivalent.

60 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR3.1.2 Lien entre le PAPR et l'amplicationLe PAPR, selon les dénitions (3.4) et (3.5), est déni comme étant le rapport entre lapuissance maximale d'un signal sur un intervalle de temps donné sur la puissance moyenne dece signal. Cependant, comme, la plupart du temps, les systèmes d'amplication ne peuventêtre considérés comme linéaires, des problèmes de distorsion du signal peuvent apparaître sil'on se situe dans la zone non-linéaire pour des fortes puissances du signal à amplier. Ainsisi l'on reporte ces deux grandeurs sur la courbe AM/AM (transformation en amplitude) d'unsystème d'amplication donné, on peut voir si l'on se situe ou non dans la zone linéaire del'amplicateur de puissance, comme indiqué sur la gure 3.1.-

PAPR6

-)

puissance moyennepuissance maximalepuissance entrante

puissance sortante courbe d'amplication6?1 dB +

point de compression

Fig. 3.1 Illustration du lien entre le PAPR et l'amplication de puissance.On peut donc voir que le PAPR permet de calibrer un amplicateur de puissance enplaçant par exemple le maximum de puissance au niveau du point de compression à 1 dB decet amplicateur pour limiter les distorsions. Malheureusement, ceci n'est pas susant dansla mesure où, dans le cas des modulations multiporteuses, des pics de puissance très élevéspeuvent apparaître avec des probabilités non nulles, et dans ce cas, la solution de calibragede l'amplicateur proposé ci-dessus n'est plus possible car le recul nécessaire devient pluslarge que la plage de puissance où l'amplicateur est linéaire. Le signal se retrouve doncirrémédiablement distordu. On voit apparaître alors un autre type de problème (qui seraabordé plus en détails dans le chapitre suivant de cette thèse) qui est le problème de réductionde la valeur de ces pics de puissance à l'émission, plus généralement les problèmes de réductiondu PAPR.

3.1. Historique et dénitions 613.1.3 Approximations des fonctions de répartition du PAPR pour l'OFDMAu vu de la gure 3.1, le problème d'estimation de la valeur du PAPR est une donnée es-sentielle pour les systèmes multiporteuses. Cependant, comme il a été précédemment expliqué,le PAPR est une variable aléatoire et donc, le calcul exact de cette valeur s'avère très dicileà réaliser. Ainsi, une étude statistique de cette variable aléatoire semble être la solution laplus confortable pour pouvoir analyser le PAPR. Avec la popularisation des systèmes OFDM,due à son utilisation importante dans de nombreuses normes de télécommunication au coursdes années 90, de nombreuses études ont été menées pour avoir une idée de la probabilitéd'apparition des forts pics de puissance.Une première approche a consisté à borner les valeurs du PAPR. Ainsi, dans [15] ou biendans [158], il est démontré que la valeur maximale que le PAPR peut atteindre pour un systèmeOFDM à M porteuses est :PAPRmax = M. (3.9)Cependant, cette valeur n'est atteinte que pour certaines séquences de données transmises.Elle est par exemple atteinte pour le vecteur (1, . . . , 1), le signal OFDM résultant devenantdonc un Dirac en 0. Pour 64 porteuses, la probabilité d'apparition d'un pic valant M estd'environ de 10−19, ce qui n'est pas très signicatif du comportement global du signal OFDMvis-à-vis du PAPR.Les recherches se sont alors plutôt tournées vers l'expression de la CCDF, c'est-à-dire dela probabilité que le PAPR soit supérieur à une valeur γ (eq. (3.6)). La première expressionapprochée de la CCDF apparaît dans [169]. Dans cet article, Van Nee et De Wild se basent surl'expression du signal OFDM à M porteuses en temps discret et, compte tenu du fait qu'unéchantillon de signal OFDM suit un processus gaussien complexe, en déduisent que :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −(1 − e−γ

)M. (3.10)Dans ce même article, il est aussi proposé une formule empirique de la CCDF pour un signalOFDM continu :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −(1 − e−γ

)αM, avec α = 2.8. (3.11)Par la suite, Ochiai et Imai dans [110] proposent une approche probabiliste basée sur ledécompte du nombre de fois que la valeur absolue du signal en continu coupe un niveau deréférence γ xé. Dès lors, en augmentant progressivement la valeur de ce niveau de référence,le décompte obtenu tend à approcher le nombre de pics ayant une valeur supérieure à ce seuil.Il est donc ainsi possible d'approcher la distribution du PAPR par l'expression :

Pr(PAPR ≥ γ) =

1 si γ ≤ γ,1 −

(

1 −√γe−γ

√γe−γ

)√

π3M

√γe−γ sinon. (3.12)La valeur de γ inuant sur l'acuité des résultats, il est à noter que les meilleures performancessont obtenues pour γ ≈ π.Plus tard, Zhou et Caery dans [180] proposent une borne supérieure pour la CCDF duPAPR en optant pour un raisonnement basé sur la probabilité que la puissance du signal

62 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPROFDM continu coupe un niveau de référence donné (level crossing rate en anglais), en seréférant aux résultats cités dans [7]. Ce raisonnement, contrairement à celui de Imai et Ochiai,ne donne qu'une borne supérieure de la CCDF dans la mesure où la probabilité qu'un picde puissance soit supérieur à γ est inférieure à la probabilité que la puissance de signal soitsupérieure à ce même seuil γ. Cette borne supérieure est donnée par l'expression :Pr(PAPR ≥ γ) ≤

√π

3M

√γe−γ . (3.13)Enn, dans l'article [137], Sharif et al. proposent une expression de la borne supérieure de laCCDF du PAPR pour un système OFDM à temps continu en se basant dans un premier tempssur un signal OFDM discret puis en le suréchantillonnant de telle sorte à obtenir l'expressionsuivante :

Pr(PAPR ≥ γ) ≤ koptMe−γ(

1− πkopt ), avec kopt > π et π

kopt (1 − π

kopt) =1

γ(3.14)La gure 3.2 montre la validité de ces expressions et bornes supérieures dans le cas d'unsystème OFDM à 256 porteuses.

6 7 8 9 10 11 1210

−3

10−2

10−1

100

γ (en dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM discret (simulation)OFDM continu (simulation)Approx. Zhou−Caffery (continu)Approx. Van Nee (discret)Approx. Van Nee (continu)Approx. Ochiai−Imai (continu)Approx Sharif (continu)Fig. 3.2 Comparaison des validités des expressions approximant les courbes de CCDF pourun système OFDM à 256 porteuses.Cette gure nous indique bien que l'expression donnée en (3.14) est eectivement uneborne supérieure de la CCDF. La même remarque peut être formulée concernant l'expression(3.13), même si, pour cette dernière, le comportement asymptotique (pour des fortes valeurs duPAPR) est très bon. En ce qui concerne les approximations à proprement parler, nous voyonsque l'expression (3.12) donne des résultats en phase avec les simulations, sauf peut-être pour

3.1. Historique et dénitions 63les faibles valeurs de PAPR pour lesquelles la probabilité associée est quoi qu'il arrive de 1.Enn, il apparaît que les approximations (3.10) et (3.11) semblent être les plus proches dessimulations, surtout dans le cas continu, même si l'équation associée n'est qu'empirique.Sur cette même gure, nous observons aussi un écart moyen d'environ 0.5 dB entre lesCCDF dans le cas continu et dans le cas discret. En eet, le fait de discrétiser un signalcontinu ne modie pas de manière sensible la valeur de la puissance moyenne. Par contre,ceci peut modier la valeur de la puissance maximale. Ainsi, si l'instant d'échantillonnagene correspond pas à l'instant où la puissance est maximale, on peut observer des diérencesnotables entre le pic de puissance en continu et en discret, ces diérences se répercutantensuite sur le PAPR et donc sur les CCDF. C'est la raison pour laquelle les résultats obtenusen temps discret seront confrontés au cas continu (en suréchantillonnant un signal discret) enn de chapitre.Enn, en analysant attentivement les expressions précédentes, nous observons qu'aucuned'entre elles ne dépend des données émises. Ainsi, quelle que soit la constellation choisie enémission, les expressions restent les mêmes pourvu que les symboles issus de ces constellationsrestent i.i.d. Aussi, le seul paramètre pouvant modier l'allure de la CCDF est le nombre deporteuses M . En eet, plus M augmente, plus le signal OFDM résultant est la somme d'ungrand nombre de porteuses modulées et donc plus le signal possède une dynamique importante.La conséquence est que le PAPR peut prendre des fortes valeurs avec une probabilité nonnégligeable.Concernant les modulations avec forme d'onde, hormis nos propres travaux, la bibliogra-phie se résume aux études de S. Ben Slimane [15,16]. Ces travaux sont basés sur des modula-tions OFDM dont on remplace la forme d'onde rectangulaire par d'autres formes d'onde, avecla possibilité d'utiliser une forme d'onde diérente sur chaque porteuse. Dans [15], l'auteurénonce que si l'on utilise la même forme d'onde sur chaque porteuse, on augmente forcémentla valeur maximale du PAPR, la perte étant la moins importante pour la forme d'onde rec-tangulaire. Aussi, si l'on utilise des formes d'onde diérentes sur chaque porteuse, ces formesd'onde étant une famille de fonctions modulées à partir d'une forme d'onde sinusoïdale, onarrive à réduire de manière conséquente la valeur maximale du PAPR.Malgré des résultats intéressants et novateurs, cet article soulève de nombreuses interro-gations. En eet, dans la mesure où le système OFDM utilise des formes d'onde autres querectangulaires1, il est alors théoriquement impossible d'avoir un système parfaitement ortho-gonal. D'autre part, les analyses sont réalisées en étudiant la valeur maximale du PAPR quine garantit rien vis-a-vis du comportement global du système par rapport au PAPR.L'article [16] est une version beaucoup plus élaborée de l'article précédent où il apparaîtplus clairement, en adoptant le formalisme à temps discret, que l'on ne change pas de formed'onde à proprement parler mais que cela revient à faire du précodage, les coecients desformes d'onde devenant ainsi une matrice de précodage. Le système ainsi proposé n'est pasvraiment de l'OFDM. Ce système est aussi diérent de l'OFDM/OQAM et de l'OFDM sur-échantillonné car pour ces deux modulations, la forme d'onde intervient de manière explicite1Il est à noter qu'une forme duale de l'OFDM utilisant la fonction sinc comme forme d'onde est possibleen théorie mais on perd alors l'avantage de simplicité de l'OFDM.

64 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRdans la structure du modulateur sous la forme d'un ltrage polyphase alors que dans la so-lution proposée par Ben Slimane, l'inuence de la forme d'onde se matérialise sous la formed'une matrice de précodage en amont de l'IFFT.Comme le problème du PAPR pour les modulations avec forme d'onde n'a pas été traitéjusqu'à maintenant dans la bibliographie, nous nous sommes donc penchés sur cette étude.Ces travaux s'inscrivent dans la continuité des travaux déjà menés au sein de la division R&Dde France Télécom concernant les modulations avec forme d'onde. Ces travaux concernentdes aspects théoriques comme la formulation des conditions d'orthogonalité de ces systèmes[77,139,144] ou bien le couplage avec le CDMA [91,92], et aussi applicatifs comme, par exemple,l'estimation de canal en OFDM/OQAM [63].3.1.4 Les modulations avec forme d'onde et la dénition du PAPREn nous basant sur la dénition du PAPR pour un signal OFDM continu, donnée en (3.7),la recherche du maximum de puissance sur une durée symbole T0 et le calcul de la puissancemoyenne sur ce même intervalle de temps sont facilement compréhensibles. En eet, d'aprèsl'équation (1.1), on peut dire que deux symboles OFDM consécutifs peuvent être traités demanière indépendante. En eet si le P ème temps symbole OFDM est distordu suite à uneamplication non-linéaire sans mémoire alors que le (P + 1)ème ne l'est pas, la démodulationdu (P + 1)ème temps symbole sera parfaite alors qu'au P ème, elle ne le sera pas. Par contre,pour les modulations avec forme d'onde, comme cette forme d'onde peut être de durée pluslongue que le temps symbole, il s'avère que si sur un intervalle de temps de durée T0 le signalest distordu, cette distorsion peut se répercuter en réception sur les temps symboles suivantset précédents, même si ces derniers n'ont pas été soumis à des distorsions. On peut donc seposer la question du choix de la bonne dénition du PAPR pour l'OFDM/OQAM et l'OFDMsuréchantillonné.Nous avons choisi de conserver le temps symbole T0 comme durée de référence pour dénirle PAPR et ceci pour deux raisons :1. comme notre but est d'étudier le comportement du PAPR pour les modulations avecforme d'onde et de comparer les résultats avec ceux obtenus en OFDM, il semble ju-dicieux de conserver la même dénition pour toutes ces modulations an de faire unecomparaison équitable entre ces modulations.2. nous remarquons que si l'on conserve la durée de référence T0 pour les modulations avecforme d'onde, nous transmettons exactement la même quantité d'information que ce soiten OFDM, en OFDM/OQAM ou bien en OFDM suréchantillonné. Nous avons donc àfaire dans ce cas à des systèmes de transmission équivalents.A partir de cela, nous dénissons le PAPR pour l'OFDM/OQAM par :

PAPRc =maxt∈[0 T0] |sOQAM(t)|2

1T0

∫ T0

0 |sOQAM(t)|2 dt,

PAPRd =maxk∈0,...,M−1 |sOQAM[k]|2

E

|sOQAM[k]|2 ,

(3.15)

3.2. Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec forme d'onde 65et en OFDM suréchantillonné par :

PAPRc =maxt∈[0 T0] |sOS(t)|2

1T0

∫ T0

0 |sOS(t)|2 dt ,PAPRd =

maxk∈0,...,N ′−1 |sOS[k]|2E

|sOS[k]|2 .

(3.16)et enn pour le signal unié présenté en (1.61) et (1.63) :

PAPRc =maxt∈[0 T ] |s(t)|2

1T

∫ T0 |s(t)|2 dt

,

PAPRd =maxk∈0,...,Q−1 |s[k]|2

E

|s[k]|2 .

(3.17)Ainsi maintenant, nous avons les informations nécessaires pour pouvoir analyser le compor-tement du PAPR pour les modulations avec forme d'onde. Nous allons donc dans un premiertemps rechercher une expression approximative de la CCDF du PAPR.3.2 Recherche d'une approximation de la CCDF pour les mo-dulations avec forme d'ondeLes modulations multiporteuses avec forme d'onde comme l'OFDM suréchantillonné etl'OFDM/OQAM sont, tout comme l'OFDM, des modulations générant des signaux à enve-loppe non constante. Dès lors, le PAPR devient une variable aléatoire et une étude statistiquede son évolution s'avère dès lors judicieuse. Pour ne pas multiplier les sous-parties, nous avonsfait le choix de traiter le cas de l'OFDM/OQAM et de l'OFDM suréchantillonné en un seulcas en utilisant le signal unié présenté en (1.63). D'autre part, nous avons aussi fait le choixde faire cette analyse dans le domaine discret car non seulement il nous semble intéressantd'analyser le comportement après le modulateur, dont des schémas de réalisation ecaces ontété implémentés, mais nous disposons aussi d'outils d'analyse mathématique plus simples àutiliser dans le domaine discret. On rappelle l'expression du signal à analyser :s[k] =

M−1∑

m=0

∑

n∈Zbm,nh[k − nP ]ej

2πMm(k−D/2)ejθm,n . (3.18)La dénition associée du PAPR est alors :

PAPR =maxk∈0,...,Q−1 |s[k]|2

E

|s[k]|2 . (3.19)Nous supposons dans la suite de ce chapitre que la forme d'onde h est à valeurs réelles.

66 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR3.2.1 Analyse d'un échantillon de signalDans le développement qui suit, on dénit σ2x comme étant la variance d'une variablealéatoire x. Enn, nous séparons partie réelle et partie imaginaire des données bm,n et dusignal s[k] en posant :

bm,n = b(r)m,n + jb(i)m,n,

s[k] = sr[k] + jsi[k].Ainsi, on en déduit l'expression des parties réelles et imaginaires du signal s[k] :

sr[k] =M−1∑

m=0

∑

n∈Z

[

b(r)m,n cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

− b(i)m,n sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

h[k − nP ]

si[k] =

M−1∑

m=0

∑

n∈Z

[

b(r)m,n sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

+ b(i)m,n cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

h[k − nP ].(3.20)Pour analyser la variance de la partie réelle du signal, commençons par calculer le carré de savaleur :sr[k]

2 =

M−1∑

m,p=0

∑

n,q∈Z [b(r)m,n cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

− b(i)m,n sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

×[

b(r)p,q cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

− b(i)p,q sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)]

h[k − nP ]h[k − qP ].Nous pouvons enn réécrire sr[k]2 sous la forme suivante :sr[k]

2 =∑

n,q∈Zh[k − nP ]h[k − qP ]

×

M−1∑

m,p=0

b(r)m,nb(r)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(i)m,nb(i)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

− b(r)m,nb(i)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

M

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

− b(i)m,nb(r)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)]

. (3.21)En admettant que les données bm,n sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) etque leurs parties réelles et imaginaires sont décorellées, ce qui est vérié pour la majorité desconstellations usuelles, on en déduit les expressions suivantes :

E

b(r)m,nb(i)p,q

= E

b(i)m,nb(r)p,q

= 0

E

b(r)m,nb(r)p,q

= E

b(i)m,nb(i)p,q

=σ2b

2δm,pδn,q.

(3.22)

3.2. Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec forme d'onde 67En prenant l'espérance de (3.21) combinée avec (3.22), nous obtenons l'expression de la va-riance de la partie réelle du signal :Esr[k]

2

=σ2b

2

∑

n∈Zh[k − nP ]2

×M−1∑

m=0

[

cos2

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

+ sin2

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

=σ2b

2M∑

n∈Zh[k − nP ]2 = σ2k. (3.23)De la même manière :

si[k]2 =

M−1∑

m,p=0

∑

n,q∈Z [b(r)m,n sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

+ b(i)m,n cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

×[

b(r)p,q sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(i)p,q cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)]

h[k − nP ]h[k − qP ].Dès lors :si[k]

2 =∑

n,q∈Zh[k − nP ]h[k − qP ]

×

M−1∑

m,p=0

b(r)m,nb(r)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(i)m,nb(i)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(r)m,nb(i)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(i)m,nb(r)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)]

. (3.24)En prenant l'espérance de (3.24) combinée avec (3.22), nous obtenons alors :Esi[k]

2

=σ2b

2

∑

n∈Zh[k − nP ]2

×M−1∑

m=0

[

sin2

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

+ cos2

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)]

=σ2b

2M∑

n∈Zh[k − nP ]2 = σ2k. (3.25)On prouve donc que les variances des parties réelles et imaginaires du signal sont strictementégales. Désormais, posons la variable aléatoire suivante :

68 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRxm =

∑

n∈Z bm,nh[k − nP ]ej2πMm(k−D

2 )ejθm,n .Comme les données sont supposées i.i.d. et centrées, on a :E xm = 0. (3.26)De même :

xmx∗m =

∑

n,q∈Z bm,nb∗m,qh[k − nP ]h[k − qP ]ej(θm,n−θm,q)

=∑

n,q∈Z bm,nb∗m,qh[k − nP ]h[k − qP ]ej(θ0(n−q)(π2+ξmπ)). (3.27)L'expression de la variance de xm est donc :

E xmx∗m = σ2b

∑

n∈Zh[k − nP ]2. (3.28)Comme la variance de xm ne dépend pas de m, selon le théorème central de la limite, lavariable aléatoireM−1∑

m=0

xm = s[k]tend à suivre un processus gaussien complexe de moyenne nulle et de variance égale à :σ2bM

∑

n∈Zh[k − nP ]2 = 2σ2k.Calculons maintenant E sr[k]si[k] :

sr[k]si[k] =∑

n,q∈Zh[k − nP ]h[k − qP ]

×

M−1∑

m,p=0

b(r)m,nb(r)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

− b(i)m,nb(i)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(r)m,nb(i)p,q cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)

+ b(i)m,nb(r)p,q sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mp

(

k − D

2

)

+ θp,q

)]

. (3.29)Ainsi, grâce à (3.22), on obtient :

3.2. Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec forme d'onde 69E sr[k]si[k] =

∑

n∈Zh[k − nP ]2

×[M−1∑

m=0

σ2b

2cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

−σ2b

2sin

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

cos

(2π

Mm

(

k − D

2

)

+ θm,n

)

= 0. (3.30)Les parties réelles et imaginaires sont donc décorellées. De plus, comme sr et si sont conjoin-tement gaussiens d'après ce qui précède, on en conclut donc que sr et si sont mutuellementindépendants.3.2.2 Approximation de la CCDFLe but de cette partie est de trouver, à l'instar de l'OFDM vu dans le paragraphe 3.1.3,une approximation de la CCDF pour ces modulations avec forme d'onde, c'est-à-dire pouvoircalculer Pr(PAPR > γ) avec γ une valeur seuil xée. Pour cela, en nous basant sur les résultatsdu paragraphe précédent, comme s[k] suit un processus gaussien complexe ayant des partiesréelles et imaginaires mutuellement indépendantes, on peut dire que |s[k]| suit un processusde Rayleigh et que |s[k]|2 suit une loi du χ2 à deux degrés de liberté. Ainsi, en nommantX = |s[k]|2, la densité de probabilité de la variable aléatoire X est donnée par :

pX(x) =1

2σ2k

e− x

2σ2k . (3.31)La gure 3.3 illustre ce résultat pour un signal OFDM/OQAM utilisant la forme d'ondeIOTA avec b = 4 pour 256 porteuses. Nous montrons bien que la répartition des valeurs d'unéchantillon de puissance de ce signal suit eectivement une loi du χ2.Pour se rapprocher de la dénition du PAPR, nous posons Y comme étant la variable aléatoiredécrivant la puissance instantanée normalisée du signal :

Y = |s0[k]|2 =|s[k]|2

E |s[k]|2 =X

E |s[k]|2 .D'après [139, p. 141], on sait que :E|s[k]|2

=M

Pσ2b , (3.32)ainsi Y = PX

Mσ2b

= f(X) et on peut déduire facilement la densité de probabilité de la variablealéatoire Y comme étant :pY (y) = pX(f−1(y))

∣∣∣∣

dx

dy

∣∣∣∣= αke

−αky, (3.33)avec :αk =

M

2P

σ2b

σ2k

=1

P∑

n∈Z h[k − nP ]2, (3.34)

70 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

100

200

300

400

500

600

700

800

puissance instantanée

nom

bre

de c

asLoi du χ²

Fig. 3.3 Répartition des valeurs de puissance d'un échantillon de signal OFDM/OQAM à256 porteuses.A partir de la densité de probabilité de la variable aléatoire Y , on peut donc en déduire que,pour un certain seuil γ xé, on a :Pr(|s0[k]|2 ≤ γ) =

∫ γ

0pY (y)dy = 1 − e−αkγ . (3.35)Cette dernière équation nous donne donc la probabilité qu'un échantillon de puissance moyennésoit inférieur ou égal à γ. Maintenant, pour que le PAPR soit inférieur ou égal à γ, il sutque tous les Q échantillons de cette puissance moyennée |s0[k]|2 soient inférieurs ou égaux àce seuil, c'est-à-dire :

Pr(PAPR ≤ γ) = Pr

(Q−1⋂

i=0

(|s0[i]|2 ≤ γ)

)

.En supposant que pour k = 0, . . . , Q − 1, les échantillons |s0[k]|2 sont indépendants, on asuccessivement :Pr(PAPR ≤ γ) = Pr

(Q−1⋂

i=0

(|s0[i]|2 ≤ γ)

)

=

Q−1∏

i=0

Pr(

(|s0[i]|2 ≤ γ))

=

Q−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

). (3.36)

3.2. Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec forme d'onde 71En prenant le complémentaire, on obtient donc une expression approchée de la CCDF duPAPR :Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −

Q−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

). (3.37)3.2.3 Analyse des résultatsL'expression analytique (3.37) est très proche de celle obtenue par Van Nee et De Wilddans [169]. En eet, nous avons pris la même approche que ces auteurs pour trouver cetteexpression. Nous détaillons dans cette partie les expressions de la CCDF du PAPR pourchacune des deux modulations qui nous intéressent puis nous vérierons leurs validités par dessimulations.Expression de la CCDF pour l'OFDM/OQAMOn retrouve le cas de l'OFDM/OQAM en prenant P = M/2 = N et Q = M . Dans ce cas :

Pr(PAPR ≥ γ)|OQAM = 1 −M−1∏

i=0

(

1 − e−αOQAMi γ

)

, αOQAMi =1

N∑

n∈Z hOQAM[k − nN ]2.(3.38)On retrouve donc bien l'expression que nous avions publiée dans l'article [147]. Cette expressionmet aussi en évidence le fait, par l'intermédiaire des valeurs de αi, que la CCDF peut dépendrede la forme d'onde h utilisée.Expression de la CCDF pour l'OFDM suréchantillonnéOn retrouve le cas de l'OFDM suréchantillonné en prenant P = N ′ et Q = N ′. Dans ce cas :

Pr(PAPR ≥ γ)|OS = 1 −N ′−1∏

i=0

(

1 − e−αOSi γ)

, αOSi =1

N ′∑n∈Z hOS[k − nN ′]2

. (3.39)On retrouve l'expression publiée dans l'article [148]. Cette expression possède des légèresdiérences par rapport à (3.38). Nous montrerons par la suite que ces légères diérences ontun impact important sur les performances.Validité de l'expression théorique proposéeLa gure 3.4 compare les courbes de CCDF en simulation et les courbes de CCDF issuesde l'équation (3.38) pour l'OFDM/OQAM. La forme d'onde utilisée est IOTA de longueur4M et on observe l'évolution de la CCDF du PAPR en fonction du nombre de porteuses.

72 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR

2 3 4 5 6 7 8 9 10 1110

−3

10−2

10−1

100

γ (dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

M = 16 (simulation)

M = 16 (approximation)

M = 64 (simulation)

M = 64 (approximation)

M = 256 (simulation)

M = 256 (approximation)

Fig. 3.4 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théorique de laCCDF du PAPR pour l'OFDM/OQAM.On observe que plus M augmente, plus les courbes tendent à se rejoindre. Ceci s'expliquesimplement par le fait que la base des calculs précédemment réalisés repose sur l'hypothèse ques[k] suit un processus gaussien complexe par le théorème central de la limite. Or ce théorèmeest un théorème limite, c'est-à-dire qu'il n'est valable que pour M susamment grand. Ainsi,plus M augmente, plus l'hypothèse stipulant que le processus suivi est gaussien complexe estvériée et donc plus les résultats qui en découlent s'avèrent justes. Cette même courbe montreaussi que M = 64 semble susant pour conclure sur la validité des expressions théoriquestrouvées.Les courbes des gures 3.5 et 3.6 présentent les mêmes analyses pour l'OFDM suréchan-tillonné en fonction de M et du rapport de suréchantillonnage. Les courbes sont réalisées enprenant la forme d'onde SRRC de longueur 6M . Nous observons que nous avons la mêmeévolution que l'OFDM/OQAM lorsque nous regardons l'inuence de M . Ceci s'explique dela même manière qu'en OFDM/OQAM par le fait que les expressions analytiques sont d'au-tant plus précises que le théorème central de la limite est vrai. D'autre part, nous observons,concernant l'inuence du rapport de suréchantillonnage η, que ce dernier ne modie pas par-ticulièrement les allures des CCDF. Ainsi, l'approximation permettant d'arriver à l'équation(3.36), à savoir que les échantillons de puissance moyennés sont indépendants, semble êtrejustiée a posteriori. En eet, en OFDM suréchantillonné, le nombre d'échantillons dans untemps symbole est égal à ηM . Donc plus η augmente, plus le nombre d'échantillons devientimportant mais parallèlement à cela, la CCDF théorique ne s'éloigne pas de manière notablede la simulation. On vérie donc par ce moyen que cette hypothèse d'indépendance des échan-tillons de puissance moyennés est tout à fait vraisemblable et qu'elle n'aecte pas les résultatsqui en découlent.

3.2. Recherche d'une approximation de la CCDF pour les modulations avec forme d'onde 73

2 4 6 8 10 1210

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ (en dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

M=16 (simulation)M=16 (approximation)M=64 (simulation)M=64 (approximation)M=256 (simulation)M=256 (approximation)

Fig. 3.5 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théorique de laCCDF du PAPR pour l'OFDM suréchantillonné avec η = 1.25.

2 4 6 8 10 1210

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ (en dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

M=16 (simulation)M=16 (approximation)M=64 (simulation)M=64 (approximation)M=256 (simulation)M=256 (approximation)

Fig. 3.6 Inuence du nombre de porteuses M sur la validité de l'expression théorique de laCCDF du PAPR pour l'OFDM suréchantillonné avec η = 1.5.

74 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR3.3 Optimisation de la CCDF du PAPRLorsque l'on observe l'expression (3.37) et plus spéciquement les expressions (3.38) et(3.39), on peut voir que les coecients de la forme d'onde h[k] sont susceptibles d'impactersur la valeur de Pr(PAPR ≥ γ). Cette partie a pour objectif de déterminer si, eectivement,les coecients de la forme d'onde inuent sur les performances et, si cela est vérié, pourquelles valeurs de ces coecients on obtient une valeur de Pr(PAPR ≥ γ) la plus faiblepossible (en d'autres termes, une CCDF la plus favorable possible).3.3.1 Position du problème - Résultats préliminairesLe but de cette démarche est de minimiser la valeur de Pr(PAPR ≥ γ) en prenant pourparamètre αi, i = 0, . . . , Q− 1. Cependant, comme il existe des contraintes sur les coecientsh[k], il en résulte des contraintes liant ces variables αi.Lemme 3.1Comme on suppose que h est d'énergie unitaire, on obtient à partir de (3.34) la premièrecontrainte suivante :

P−1∑

k=0

1

αk= P

P−1∑

k=0

∑

n∈Zh[k − nP ]2 = P

∑

k∈Zh[k]2

= P. (3.40)Lemme 3.2Comme, pour k = 0, · · · , P − 1, ∑n∈Z h[k − nP ]2 > 0, on en déduit que :0 <

∑

n∈Zh[k − nP ]2 ≤

P−1∑

k=0

∑

n∈Zh[k − nP ]2

︸ ︷︷ ︸

=1

. (3.41)Finalement, d'après (3.34) et (3.41), on obtient une seconde condition sur les αi :∀i, αi ≥

1

P. (3.42)A partir de ces résultats préliminaires, on peut donc poser le problème d'optimisation que l'ons'est proposé de résoudre, à savoir :

minαi

(

1 −Q−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

)

) sachant que P−1∑

i=0

1

αi= P. (3.43)3.3.2 Résolution du problème d'optimisation LagrangienneLa résolution d'un tel problème peut se dérouler suivant un raisonnement classique d'op-timisation linéaire lagrangienne. Ainsi, nous devons trouver dans un premier temps les pointssusceptibles d'être une solution du problème et dans un second temps, nous vérions si cespoints sont eectivement des minima locaux, voire globaux, du problème initial. Les théorèmes

3.3. Optimisation de la CCDF du PAPR 75d'optimisation lagrangienne (conditions nécessaires et susantes) sont présents dans de nom-breux ouvrages, comme par exemple [97, 103]. Nous suivons donc ce raisonnement classiqueen posant le lagrangien associé :L(A, λ, γ) = 1 −

Q−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

)− λ

(P−1∑

i=0

1

αi− P

)

. (3.44)Les points pouvant être un minimum du problème se trouvent en annulant les dérivéespartielles selon les variables αi. Cependant, on peut distinguer deux cas de gure :1er cas : Q ≥ PEn se référant à (3.34), nous avons la relation :

αk = αk+P , (3.45)et ainsi seuls les P premières valeurs de αi, à savoir α0, . . . , αP−1, interviennent dans le calcul.Ainsi, pour tout k ∈ 0, . . . , P − 1, les valeurs de αi pouvant être solution du problèmed'optimisation sont parmi les solutions du système d'équations :∂L

∂αk(A, λ, γ) = −γe−αkγ

Q−1∏

i=0,i6=k

(1 − e−αiγ

)+

λ

α2k

= 0, (3.46)soit, en développant :

λ = γα20e

−α0γ(1 − e−α1γ

) (1 − e−α2γ

). . .(1 − e−αQ−1γ

)

λ = γα21e

−α1γ(1 − e−α0γ

) (1 − e−α2γ

). . .(1 − e−αQ−1γ

)...λ = γα2

Q−1e−αQ−1γ

(1 − e−α0γ

) (1 − e−α1γ

). . .(1 − e−αQ−2γ

),

(3.47)ce qui peut être réécrit, en ne prenant que les P premières valeurs des αi d'après (3.45), de lamanière suivante :∀(i, j) ∈ 0, . . . , P − 12 , i 6= j,

α2i

eαiγ − 1=

α2j

eαjγ − 1. (3.48)A ce stade, il convient de faire une étude des variations de la fonction fγ , indexée par γ etdénie par :

fγ : x 7−→ x2

exγ − 1. (3.49)Pour toute valeur de γ, fγ est continue sur ] 0,+∞ ] et dérivable sur ce même intervalle et ladérivée s'écrit :

f ′γ(x) =2 (eγx − 1) − γxeγx

(exγ − 1)2. (3.50)En posant u = γx, cette dérivée s'annule si et seulement si la fonction g dénie par :

g(u) = ueu − 2(eu − 1). (3.51)

76 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRs'annule. La dérivée de cette fonction g s'écrit :g′(u) = ueu − eu,fonction s'annulant pour u = 1. On en déduit donc le tableau de variation de la fonction g :

u 0 1 +∞g′(u) − 0 +

0 +∞g

2 − e < 0D'après ce tableau de variations, on en conclut donc que pour u > 0, la fonction g s'annuleune fois et une seule et, en conséquence, pour x > 0, la dérivée f ′γ s'annule aussi une fois etune seule. Introduisons maintenant la fonction de Lambert, notée LW(x), qui est une fonctionimplicite dénie de la manière suivante [25] :LW(x)eLW(x) = x, (3.52)et posons u0 = 2 + LW

(−2e−2

), ainsi on obtient successivement :g(u0) = u0e

u0 − 2(eu0 − 1)

=(2 + LW

(−2e−2

))e2+LW(−2e−2) − 2

(

e2+LW(−2e−2) − 1)

= 2e2+LW(−2e−2) + e2 LW(−2e−2

)eLW(−2e−2)

︸ ︷︷ ︸

=−2e−2

−2(

e2+LW(−2e−2) − 1)

= 2(

e2+LW(−2e−2) − 1)

− 2(

e2+LW(−2e−2) − 1)

= 0. (3.53)Au nal, on obtient que la dérivée f ′γ s'annule pour x0 = 1γu0 = 1

γ

(2 + LW

(−2e−2

)). Onobtient ainsi le tableau de variations suivant :x 0 x0 = u0

γ +∞f ′γ(x) + 0 −

fmaxfγ

0 0Ainsi, si on se restreint à l'intervalle ] 0, x0 ], la fonction fγ est continue et strictement mono-tone. Elle est par conséquent bijective, en particulier injective. Ainsi, à partir de (3.48), on endéduit que :∀i ∈ 0, . . . P − 1 , αi = α, (3.54)où α est une constante. Le fait de restreindre l'intervalle d'étude de la fonction fγ implique desrestrictions sur les valeurs possibles de γ. En eet, selon le lemme 3.2 et comme la conclusionde bijectivité impose que αk ≤ x0, on a :

3.3. Optimisation de la CCDF du PAPR 77∀k ∈ 0, . . . , P − 1 , 1

P≤ αk ≤

u0

γ. (3.55)Au nal, on a :

γ ≤ u0P. (3.56)Revenons maintenant à l'équation (3.54), en reprenant le lemme 3.1, on détermine la valeurde la constante α :P−1∑

k=0

1

αk=

P

α

= P. (3.57)Et donc, on en conclut que :∀i ∈ 0, . . . P − 1 , αi = 1. (3.58)Parallèlement à cela :λ = γe−γ(1 − e−γ)Q−1. (3.59)Finalement, le seul point susceptible d'être solution du problème initial d'optimisation lagran-gienne est le point A0 = (1, . . . , 1). Comme ce point est unique, si l'on montre qu'il est unminimum local, il devient donc un minimum global du problème initial. Pour cela, calculonsla matrice hessienne HL, de taille P × P , associée au Lagrangien au point A0 :HL =

a(γ) b(γ) . . . b(γ)b(γ) a(γ) . . . b(γ)... ... . . . ...b(γ) b(γ) . . . a(γ)

, (3.60)avec :

a(γ) =∂L

∂α2i

(A0, λ, x) = γ(γ − 1)(1 − e−γ)Q−1e−γ

b(γ) =∂L

∂αiαj(A0, λ, x) = −γ2(1 − e−γ)Q−2e−2γ .

(3.61)Vérions que cette matrice HL est bien dénie positive. Pour cela, étudions le signe, pour unvecteur v = (v1, . . . , vP ) xé, de l'expression suivante :vHLvT = a(γ)(v21 + . . . + v2

P ) + 2b(γ)∑

i6=jvivj . (3.62)Comme l'étude du signe de cette expression n'est pas a priori aisée à réaliser, il est possible,sans modier les conclusions au problème d'optimisation initial [97], de nous restreindre à uneétude sur le plan tangent au point A0 , c'est-à-dire sur le plan déni par :

PT = v = (v1, . . . , vP )|v1 + . . .+ vP = 0 . (3.63)Ainsi pour un vecteur v non nul de ce plan PT :(v1 + . . .+ vP )2 = v2

1 + . . .+ v2P + 2

∑

i6=jvivj = 0. (3.64)

78 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRA partir de (3.62), on aboutit à :vHLvT = (a(γ) − b(γ))(v21 + . . .+ v2

P )

= γ(1 − e−γ)Q−2e−γ︸ ︷︷ ︸

>0,∀γ>0

[e−γ + γ − 1

]× (v2

1 + . . .+ v2P )

︸ ︷︷ ︸

>0

. (3.65)Or comme la fonction exponentielle est convexe, alors : x 7−→ e−x est concave. De plusx 7−→ 1 − x est tangente à cette dernière en 0, on en conclut donc que x 7−→ e−x + x− 1 estune fonction strictement positive sur ] 0,+∞ ].Finalement, pour tout vecteur v non nul de PT , on a :vHLvT > 0. (3.66)La matrice hessienne HL est donc bien dénie positive et par conséquent, on peut armerque le point A0 est un minimum global du problème initial.2nd cas : Q < PCalculons le Lagrangien pour Q+ 1 < k ≤ P :

λ

α2k

= 0 (3.67)D'après (3.42), αk > 0 et donc λ = 0. Ainsi, pour k < Q, on aboutit à :−γe−αkγ

Q−1∏

i=0,i6=k

(1 − e−αiγ

)= 0. (3.68)On trouve facilement que la seule solution possible pour tout k est : α0 = α1 = . . . = αQ−1 = 0,ce qui est contradictoire avec le résultat des lemmes 3.1 et 3.2. Ainsi, dans ce cas de gure, leproblème d'optimisation n'a pas de solution.3.4 Principaux résultats et applications3.4.1 Théorèmes et corollairesOn peut ainsi regrouper les résultats des développements ci-dessus dans le théorème suivant :Théorème 3.1Le problème de minimisation (3.43) n'a de solution que si Q ≥ P . Cette solution est unique,donne lieu à un minimum global. Le minimum se situe au point A = A0 = (1, . . . , 1) àcondition que : γ ≤ u0P avec u0 = 2 + LW

(−2e−2

).Corollaire 1L'expression de la CCDF optimale est donnée par :Propt(PAPR ≥ γ) = 1 −

(1 − e−γ

)Q, (3.69)et est obtenue pour des ltres prototypes h vériant :

∀k ∈ 0, . . . , Q− 1 ,∑

n∈Zh[k − nP ]2 =

1

P. (3.70)

3.4. Principaux résultats et applications 79Preuve- L'équation (3.69) est obtenue du fait que A0 est le minimum global du problèmed'optimisation (3.43) et l'équation (3.70) est une combinaison de (3.34) et du résultat : ∀k, αk =1. Notons d'ailleurs que l'expression (3.69) appliquée à l'OFDM, c'est-à-dire avec Q = M ,donne exactement l'équation (3.10).3.4.2 Application aux modulations avec forme d'ondeComme pour l'expression théorique de la CCDF, nous appliquons ces résultats aux mo-dulations avec forme d'onde comme l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné. Puis nousétudierons l'inuence de la forme d'onde utilisée sur ces résultats.Cas de l'OFDM/OQAMEn se référant au signal unié (1.63), nous nous trouvons dans le cas du théorème 3.1 oùune solution existe. En appliquant le corollaire 1 pour l'OFDM/OQAM, la CCDF optimale,sous condition que γ < M

2 u0, est donnée par :Propt(PAPR ≥ γ) = 1 −

(1 − e−γ

)M, (3.71)qui est exactement l'expression de la CCDF d'un système OFDM avecM porteuses, expressiondonnée dans [169]. Cependant, le résultat n'est valable que pour une plage de valeurs seuil γxées entre 0 et u0

M2 . Sachant que u0 ≈ 1.59, pour un nombre de porteuses M = 256, ontrouve que la valeur seuil maximale de validité des résultats est de 0 à γ0 avec γ0 = 23 dBpour une probabilité associée Pr(PAPR > γ0) = 6.10−87, ce qui donne une plage de validitédes résultats amplement susante. Le tableau 3.1 nous donne cette valeur pour un nombrede porteuses diérent. On remarque que pour les nombres de porteuses couramment utilisés(généralement supérieurs à 64), les résultats du théorème 3.1 sont tout à fait applicables etnous permettent d'avoir des conclusions cohérentes.Tab. 3.1 Valeur du seuil maximal (en dB) de validité de la théorie en fonction du nombrede porteuses M pour l'OFDM/OQAM.M 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048

γmax, en dB 8 11 14 17 20 23 26 29 32Enn, cette probabilité optimale est atteinte si et seulement si :∀k ∈ 0, . . . ,M − 1 ,

∑

n∈Zh

[

k − nM

2

]2

=2

M. (3.72)Maintenant, il est intéressant de rechercher les coecients du ltre prototype h qui vérientl'équation (3.72). Dans [144], il est énoncé les théorèmes concernant les conditions d'ortho-gonalité des systèmes OFDM/OQAM grâce aux composantes polyphases des ltres. Ainsi, si

H(z) est la transformée en z du ltre prototype h, les composantes polyphases Gk(z) sonttelles que :H(z) =

2N−1∑

k=0

z−kGk(z2N ), (3.73)

80 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRavec M = 2N et :Gk(z) =

∑

n

h[k + 2nN ]z−n. (3.74)En OFDM/OQAM, le ltre prototype h, ltre à valeurs réelles, est orthogonal si et seulementsi ses composantes polyphases vérient le système d'équations :∀k ∈ 0, . . . , N − 1 , Gk(z)Gk(z−1) +Gk+N (z)Gk+N (z−1) =

1

N. (3.75)Ainsi, en combinant (3.74) et (3.75), on obtient :

∑

n

∑

n

[h[k + (2n + 1)N ]h[k + (2m+ 1)N ] + h[k + 2nN ]h[k + 2mN ]] zm−n =1

N. (3.76)L'une de ces équations, en regardant le terme en z0 dans la double somme, nous donne :

∑

n

h[k + nN ]2 =∑

n

h[k − nN ]2 =1

N=

2

M, (3.77)qui est exactement la condition donnée en (3.72). On peut donc énoncer le théorème suivant :Théorème 3.2Pour des seuils de PAPR tels γ =]0, u0N ], avec u0 = [2 + LW

(−2e−2

)] : le fait que le prototype h, ayant des coecients réels, soit orthogonal est une conditionsusante pour l'obtention de la CCDF optimale pour un système OFDM/OQAM à Mporteuses. un système OFDM/OQAM à M porteuses avec une forme d'onde orthogonale possède lamême CCDF du PAPR qu'un système OFDM classique à même nombre de porteuses M .Ce théorème nous montre donc des résultats intéressants dans la mesure où les systèmesOFDM et OFDM/OQAM à même nombre de porteuses ont la même distribution de PAPR àcondition que la forme d'onde en OFDM/OQAM soit orthogonale. La gure 3.7 nous montrepar simulation que le théorème est eectivement validé. Ce résultat, pas particulièrementintuitif, indique donc que la modulation OFDM/OQAM n'est pas pénalisée sur la questiondu PAPR en cas de comparaison avec l'OFDM.Les courbes de la gure 3.7 illustrent la validité du théorème 3.2. Le système choisi estun système OFDM/OQAM à 512 porteuses. Le système dit "orthogonal" utilise une formed'onde orthogonale optimisée pour la localisation temps-fréquence (TFL) de longueur 1024. Lesystème appelé "non-orthogonal" est un système dont les coecients de la forme d'onde ont étéchoisis aléatoirement et dont on a vérié qu'ils n'assuraient eectivement pas l'orthogonalitédu système. Dans un premier temps, la courbe vérie que l'expression approchée de la CCDFobtenue en (3.38) est aussi validée pour les systèmes non-orthogonaux. Enn, on illustre aussiles conclusions du théorème 3.2 dans la mesure où pour un système orthogonal, la CCDF estla meilleure et qu'elle est confondue à celle d'un système OFDM à même nombre de porteuses.

3.4. Principaux résultats et applications 81

5 6 7 8 9 10 1110

−3

10−2

10−1

100

γ (en dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM (simulation)OFDM/OQAM avec FO orthogonale (simu.)OFDM/OQAM avec FO orthogonale (approx.)OFDM/OQAM avec FO non−orthogonale (simu.)OFDM/OQAM avec FO non−orthogonale (approx.)

Fig. 3.7 Illustration du théorème 3.2 pour des systèmes OFDM et OFDM/OQAM à 512porteuses.Tab. 3.2 Valeur du seuil maximal (en dB) de validité de la théorie en fonction du nombrede porteuses M et du rapport de suréchantillonnage η pour l'OFDM suréchantillonné.M 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048γmax η = 5/4 10 13 16 19 22 25 28 31 34en dB η = 3/2 10.8 13.8 16.8 19.8 22.8 25.8 28.8 31.8 34.8Cas de l'OFDM suréchantillonnéEn appliquant le théorème 3.1 et le corollaire 1 au cas de l'OFDM suréchantillonné, nousnous trouvons aussi dans le cas de gure où une solution existe. Ici la CCDF optimale, souscondition que γ < u0N

′(= u0ηM), est donnée par :Propt(PAPR ≥ γ) = 1 −

(1 − e−γ

)ηM, (3.78)et cette probabilité optimale est atteinte pour les formes d'onde h vériant :

∀k ∈0, . . . , N ′ − 1

,∑

n∈Zh[k − nN ′]2 =

1

N ′ . (3.79)Comme pour l'OFDM/OQAM, le tableau 3.2 nous donne la valeur seuil maximale du PAPRpour laquelle les résultats exposés précédemment sont valides. On remarque ainsi que pour lesplages usuelles d'analyse du PAPR, ce seuil est susamment élevé pour être sûr de la validitédes conclusions. En nous arrêtant à l'équation (3.78), on peut déjà dire qu'à même nombrede porteuses, la CCDF optimale pour l'OFDM suréchantillonné est moins bonne que cellede l'OFDM/OQAM (et donc de l'OFDM). En eet, quelle que soit la valeur de γ, comme0 ≤ 1 − e−γ ≤ 1, alors (1 − e−γ)M ≥ (1 − e−γ)ηM et par conséquent :

Propt(PAPR ≥ γ) |OQAM ≤ Propt(PAPR ≥ γ) |OS . (3.80)

82 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRAinsi, pour des systèmes OFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnés ayant le même nombrede porteuses M , il n'est pas possible d'espérer avoir une CCDF optimale meilleure en OFDMsuréchantillonné qu'en OFDM/OQAM. Dans le meilleur des cas, ces distributions sont iden-tiques, à condition que η = 1. Mais dans ce cas, nous perdons la spécicité de l'OFDMsuréchantillonné car il n'y a justement plus de suréchantillonnage, le choix des formes d'ondese restreignant ainsi, en général, à la forme d'onde rectangulaire.De manière identique à ce qui a été fait pour l'OFDM/OQAM, nous pouvons aussi nousdemander quelles sont les formes d'onde qui vérient la condition (3.79). Pour cela, nous ob-servons le cas des formes d'onde orthogonales. Dans [139, Th. 2.3] et dans [141], les conditionsd'orthogonalité sont données aussi pour la modulation OFDM suréchantillonnée en termes decomposante polyphase. Avant de rappeler l'énoncé de ce théorème (déjà présenté en 1.4.3),nous allons tout d'abord redénir certaines notations. Tout d'abord, nous avons déjà vu quele paramètre de retard D peut s'écrire D = αN ′ − β, dénissant ainsi de manière unique lesconstantes α et β. Dans la mesure où nous nous focalisons sur des systèmes orthogonaux,nous pouvons armer que β 6= 0 car, dans ce cas, D = Lh − 1, Lh étant la longueur du ltreprototype. Nous notons aussi N0 et M0 de telle sorte que :N0M = M0N

′ = PPCM(M,N ′).Nous dénissons aussi l'ensemble Λβ = 1, . . . ,M0 et λ0 comme étant l'unique élément deΛβ tel que λ0 = α. Ainsi, nous avons un système OFDM suréchantillonné orthogonal si etseulement si nous avons pour tout l ∈ 0, . . . ,M − 1 et pour tout λ ∈ Λβ : si λ < λ0 :

n′l,λ∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l−N0M−(λ−λ0)N ′(z−1)

+ z−1N0−1∑

n=n′l,λ+1

GnM+l(z)GnM+l−(λ−λ0)N ′(z−1) = 0 (3.81)avecn′l,λ =

⌊(λ− λ0)N

′ +N0M − 1 − l

M

⌋ (3.82) si λ = λ0 :N0−1∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l(z−1) =

1

M(3.83) si λ > λ0 :

n′′l,λ∑

n=0

GnM+l(z)GnM+l−(λ−λ0)N ′(z−1)

+

N0−1∑

n=n′′l,λ+1

GnM+l(z)GnM+l−N0M−(λ−λ0)N ′(z−1) = 0 (3.84)avecn′′l,λ =

⌊(λ− λ0)N

′ − 1 − l

M

⌋ (3.85)

3.4. Principaux résultats et applications 83Malgré le fait que ce théorème soit assez complexe à énoncer, si l'on observe la condition(3.79) que la fonction prototype doit satisfaire, quelle que soit la valeur de l ou de λ, il nesera pas possible d'extraire le terme ∑n∈Z h[k − nN ′]2 à partir de ces conditions d'orthogo-nalité. De plus, ces équations nous donneront des sommes de coecients de prototype soitnulles, soit égales à 1/M , mais jamais égales à 1/N ′ comme dans (3.79). En conséquence, lesltres prototypes orthogonaux en OFDM suréchantillonné ne permettent pas, contrairementà l'OFDM/OQAM, d'obtenir une distribution de PAPR optimale. Ces résultats sont doncrésumés dans le théorème suivant :Théorème 3.3Pour un système OFDM suréchantillonné et pour des seuils de PAPR tels γ =]0, u0N′], avec

u0 = [2 + LW(−2e−2

)] : le fait que les formes d'onde soient orthogonales n'est pas une condition susante pourl'obtention d'une distribution de PAPR optimale. la distribution optimale est dans le meilleur des cas identique à celle de l'OFDM/OQAM etde l'OFDM.Ce théorème nécessite quelques précisions supplémentaires. En eet, il est dit que le faitque les formes d'onde soient orthogonales n'est pas une condition susante pour l'obtentiond'une distribution de PAPR optimale. En eet, il n'est pas possible de retrouver la conditionque doivent satisfaire les coecients du ltre prototype pour atteindre cette CCDF optimaleà partir des équations d'orthogonalité. Cependant, les équations d'orthogonalité n'admettentpas qu'une seule et unique solution. De nombreuses formes d'onde peuvent en être solution.Ainsi, il est tout à fait possible de trouver des ltres prototypes à la fois orthogonaux etsatisfaisant l'équation (3.79). En eet, une approche identique a déjà été réalisée dans [139,141] où justement il est montré qu'il était possible de générer des ltres prototypes à la foisorthogonaux et vériant d'autres critères (dans ces références, les ltres prototypes doiventavoir une localisation temps-fréquence maximisée ou doivent minimiser l'énergie hors-bande).Ainsi, il est tout à fait concevable de prendre la même approche pour résoudre ce problème.3.4.3 Justication a posteriori de la dénition du PAPR pour les modula-tions avec forme d'ondeDans le paragraphe 3.1.4, nous avons proposé la même dénition du PAPR que ce soit enOFDM ou en OFDM avec forme d'onde. Nous avons justié cette approche avec des argumentsliés à la quantité d'informations transmises. A la lumière de ce que nous avons développé durantce chapitre, nous pouvons le justier par une approche plus mathématique. En eet, si l'onsuppose que l'on calcule le PAPR sur un nombre de points Qa 6= Q, (ce qui revient en tempscontinu à le calculer sur un temps référence Ta 6= T ), on obtient aisément l'expression suivantede la CCDF analytique :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −Qa−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

). (3.86)On aboutira donc aux mêmes conclusions tant que Qa ≥ P , en se basant sur le théorème 3.1.De même, si on reprend l'approche de [169], on trouve que pour l'OFDM :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −(1 − e−γ

)Qa . (3.87)

84 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRDonc si l'on décide de prendre un temps de référence diérent pour le calcul de PAPR, tantque les dénitions sont les mêmes en OFDM qu'en OFDM suréchantillonné, on ne change pasles conclusions des diérents théorèmes énoncés précédemment. Il faut cependant satisfaire lacondition Qa ≥ P . On peut donc écrire la propriété suivante :Propriété 3.4.1 Tant que : en OFDM/OQAM, M ′ ≥M/2 en discret ou T ′ ≥ T0/2 = τ0 en continu, en OFDM suréchantillonné, M ′ ≥ ηM en discret ou T ′ ≥ T0 en continu,calculer le PAPR sur un nombre d'échantillonsM ′ en discret ou bien sur un temps de référenceT ′ en continu ne change pas les conclusions des diérents théorèmes précédemment énoncés.Cette propriété montre que, tant que l'on utilise le même support de temps (par exemplesupérieur à T0) pour calculer le PAPR pour l'OFDM, l'OFDM/OQAM ou l'OFDM suréchan-tillonné, les conclusions des diérents théorèmes énoncés au cours de ce chapitre restent va-lables. Ce résultat est intéressant dans la mesure où il existe des interrogations quant à lapertinence du choix d'un temps symbole comme support de temps de calcul du PAPR [95].3.5 Ecart à la courbe optimale : le paramètre ε3.5.1 Introduction de la mesure εEn analysant les théorèmes 3.2 et 3.3, nous nous apercevons que le choix de la formed'onde impacte sur la performance du système en termes de distribution du PAPR. Ainsi,dans le cas de l'OFDM suréchantillonné, ceci est clairement identié dans la mesure où dansla grande majorité des cas de systèmes orthogonaux, la CCDF n'est pas optimale. Dans lecas de l'OFDM/OQAM, nous avons vu que les formes d'onde parfaitement orthogonalesrendent une distribution de PAPR optimale. Cependant, qu'en est-il des formes d'onde quasi-orthogonales comme celles déduites des ltres EGF et SRRC? Le but de ce paragraphe estdonc de dénir une variable permettant de dénir la distance par rapport à la courbe de CCDFoptimale. Ainsi, il sut de se référer à la condition aboutissant à la CCDF optimale (3.70)pour pouvoir extraire cette nouvelle variable ε. Nous la dénissons par :

ε = maxk∈0,...,Q−1

∣∣∣∣∣P∑

n∈Zh[k − nP ]2 − 1

∣∣∣∣∣. (3.88)On peut ainsi préciser cette valeur ε pour chacune des deux modulations que l'on a étudiéesjusqu'à maintenant :

εOQAM = maxk∈0,...,M−1

∣∣∣∣∣

M

2

∑

n∈Zh

[

k − nM

2

]2

− 1

∣∣∣∣∣

(3.89)εOS = max

k∈0,...,N ′−1

∣∣∣∣∣N ′ ∑

n∈Zh[k − nN ′]2 − 1

∣∣∣∣∣. (3.90)Ainsi, on en déduit aisément la propriété suivante :Propriété 3.5.1 Un système OFDM/OQAM (resp. OFDM suréchantillonné) génère une CCDFdu PAPR optimale si et seulement si le ltre prototype h vérie εOQAM = 0 (resp. εOS = 0).

3.5. Ecart à la courbe optimale : le paramètre ε 85Une conséquence de cette propriété est que, en OFDM/OQAM, les ltres parfaitementorthogonaux ont une valeur de ε exactement nulle. Cependant, la réciproque n'est pas vraieet il est tout à fait possible d'avoir un ltre ayant une valeur de ε nulle sans être orthogonalpour le système OFDM/OQAM équivalent. En eet, écrire ε = 0 revient à écrire une seuleéquation d'orthogonalité parmi les équations d'orthogonalité écrites en (3.75). Ainsi, si ε = 0,on ne vérie qu'une seule de ces équations d'orthogonalité, mais pas les autres.3.5.2 Lien entre ε et orthogonalitéPour l'OFDM/OQAMPour cette étude, on peut distinguer deux cas de gure intéressants : le cas des prototypesparfaitement orthogonaux et le cas des prototypes quasi-orthogonaux. On compte parmi lesprototypes parfaitement orthogonaux les prototypes directement optimisés pour la maximi-sation de la localisation temps-fréquence (TFL) ou bien les prototypes optimisés de sorte àminimiser l'énergie hors-bande (FS). Le tableau 3.3 nous donne les valeurs de ε pour ces typesde prototypes. Nous avons aussi inséré dans ce tableau une autre mesure δ qui représente ladistorsion maximale de reconstruction des données am,n (par rapport aux données envoyéesam,n) lorsque l'on utilise un modem OFDM/OQAM avec ce ltre prototype :

δ = maxm,n

|am,n − am,n| . (3.91)Cette mesure δ peut s'écrire uniquement en fonction des composantes polyphases du ltreprototype utilisé. La formule est donnée dans [144, Eq. (44)]. Le tableau 3.3 nous indiqueainsi que ces ltres parfaitement orthogonaux ont une valeur de ε nulle, le fait que les valeurssimulées sont de l'ordre de 10−14 sont dues aux approximations numériques du logiciel desimulation en précision nie. On remarque aussi que ce sont bien des ltres parfaitementorthogonaux car la distorsion de reconstruction engendrée peut être considérée comme nullepour les mêmes raisons d'approximation numériques du logiciel de calcul. Notons enn queles valeurs de ε et de δ varient très peu en fonction de M .Tab. 3.3 Valeur de ε et de δ pour quelques prototypes parfaitement orthogonaux à 512porteuses en fonction du rapport Lh/M .TFL FSLh/M ε δ ε δ1 2.66e-15 8.96e-14 3.22e-15 9.24e-142 3.10e-15 1.65e-13 3.22e-15 1.67e-134 3.10e-15 3.32e-13 3.22e-15 3.36e-13Attardons nous maintenant sur le cas des ltres quasi-orthogonaux comme les ltres EGFet SRRC. Comme précédemment expliqué, les modems OFDM/OQAM sont simulés en tempsdiscret. Comme ces ltres sont, à la base, continus, pour les utiliser dans un tel modem, nousdevons les discrétiser (avec un temps d'échantillonnage égal à T0/M) puis nous les tronquonsde sorte à obtenir un ltre de longueur nie Lh = bM . Dès lors, ces ltres perdent en partieleurs propriétés d'orthogonalité parfaite par ces étapes de discrétisation et de troncature. Lagure 3.8 nous montre l'évolution de ε et de δ en fonction de b dans le cas des ltres EGFpour diérentes valeurs λ.

86 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR

2 4 6 8 10 12 14 1610

−15

10−10

10−5

100

rapport Lh/M

vale

ur d

e ε

et δ

ε: EGF, λ = 0.5δ: EGF, λ = 0.5ε: EGF, λ = 1δ: EGF, λ = 1ε: EGF, λ = 2δ: EGF, λ = 2

Fig. 3.8 Comparaison des valeurs de ε et de δ en fonction du rapport Lh/M pour desprototypes EGF à 512 porteuses.

2 4 6 8 10 12 14 1610

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

rapport Lh/M

vale

ur d

e ε

et δ

ε: SRRC, r=0.25δ: SRRC, r=0.25ε: SRRC, r=0.5δ: SRRC, r=0.5ε: SRRC, r=0.75δ: SRRC, r=0.75

Fig. 3.9 Comparaison des valeurs de ε et de δ en fonction du rapport Lh/M pour desprototypes SRRC à 512 porteuses.

3.5. Ecart à la courbe optimale : le paramètre ε 87On observe que le comportement est tout à fait diérent dans ce cas. En eet, pour desvaleurs de Lh/M inférieures à 4, on ne peut plus vraiment considérer que ε et δ sont nulles.En conséquence, ces ltres sont seulement quasi-orthogonaux. D'autre part, on voit que pourtoutes valeurs de Lh/M , on a ε < δ. En eet, la valeur de ε n'est liée qu'à une seule deséquations d'orthogonalité du ltre prototype alors que la valeur de δ prend en compte toutesces équations. Il est donc logique d'avoir cette inégalité car lorsqu'un ltre est quasi-orthogonal,les équations d'orthogonalité ne sont pas parfaitement vériées et on engendre donc plus dedistorsions de reconstruction.On peut tirer exactement le même type de conclusions lorsque l'on utilise des ltres SRRC dontles courbes sont présentées sur la gure 3.9. Cependant, on observe qu'à Lh/M constant, lesvaleurs de ε et de δ sont bien plus élevées pour les ltres SRRC que pour les ltres EGF. Celas'explique grâce à une propriété particulière des ltres EGF. En eet, ces derniers conserventleurs propriétés d'orthogonalité lorsqu'ils sont discrétisés et à support inni [143], ce qui n'estpas le cas des ltres SRRC. Ainsi, pour les ltres EGF, il est normal d'avoir des valeurs de εet de δ très proches de 0 lorsque le rapport Lh/M devient très grand, alors que pour les ltresSRRC, ces mêmes valeurs stagnent autour de valeurs beaucoup plus élevées.Pour l'OFDM suréchantillonnéNous avons déjà démontré qu'il n'y avait aucun lien entre orthogonalité et CCDF optimale(c'est-à-dire ε = 0) pour l'OFDM suréchantillonné. Nous illustrons cela avec un seul exemplesignicatif : si nous choisissons un ltre TFL avec Lh/M = 6 et un rapport de suréchantillon-nage η = 1.5 (ltre parfaitement orthogonal pour un système OFDM suréchantillonné), nousobtenons une valeur de ε égale à 0.72, ce qui conrme bien l'absence de lien entre orthogonalitéet le fait d'obtenir une CCDF optimale.3.5.3 Résultats et simulationsLes courbes sur la gure 3.10 montrent l'inuence de ε sur les courbes de CCDF pourles systèmes OFDM/OQAM. La courbe indexée par ε = 0 est obtenue pour un systèmeOFDM/OQAM avec la forme d'onde optimisée pour le critère de localisation temps-fréquence.Les ltres ayant un ε > 0 sont obtenus en tirant aléatoirement leurs coecients. On montrebien ainsi ce qu'énonce la propriété 3.5.1 à savoir que plus ε est élevé, plus la courbe de CCDFs'éloigne du cas optimal. On peut aussi dire que pour ε < 0.1, la courbe de CCDF résultanteest très proche de la courbe optimale. Par conséquent, comme ε est de l'ordre de 10−7 pour lesltres EGF et de 10−2 pour les ltres SRRC, on peut donc dire que les CCDF du PAPR pources systèmes quasi-orthogonaux peuvent être considérées comme confondues avec la courbeoptimale (qui est la courbe des systèmes parfaitement orthogonaux).Les courbes sur la gure 3.11 montrent aussi l'inuence de ε sur les courbes de CCDFmais pour des systèmes OFDM suréchantillonnés. Elles indiquent aussi les valeurs de ε pourles formes d'onde les plus communes. Sur ces courbes, on y a tracé la CCDF d'un systèmeOFDM et celles de systèmes OFDM suréchantillonnés avec diérentes formes d'onde, tout cecicomparé aux courbes optimales. On illustre ainsi les résultats du théorème 3.3 à savoir qued'une part, les formes d'ondes orthogonales n'ont pas une valeur de ε nulle et donc n'engendrentpas une CCDF optimale. D'autre part cette distribution optimale est moins bonne que cellede l'OFDM.

88 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPR

6 7 8 9 10 11 12 13 1410

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

ε=0ε=0.15ε=0.25ε=0.55ε=0.72ε=0.99

Fig. 3.10 Inuence du paramètre ε sur les courbes de CCDF du PAPR pour diérentssystèmes OFDM/OQAM à 1024 porteuses.

8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 1210

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDMdistribution optimale (η=1.25)

distribution optimale (η=1.5)

SRRC (η=1.25, ε=0.16)

TFL (η=1.25, Lh=10M, ε=0.53)

FS (η=1.25, Lh=10M, ε=0.20)

SRRC (η=1.5, ε=0.31)

TFL (η=1.5, Lh=6M, ε=0.72)

FS (η=1.5, Lh=6M, ε=0.41)

TFL (η=1.5, Lh=12M, ε=0.69)

FS (η=1.5, Lh=12M, ε=0.29)Fig. 3.11 Inuence du paramètre ε sur les courbes de CCDF du PAPR pour diérentssystèmes OFDM suréchantillonnés à 1024 porteuses.

3.6. Etude des signaux à temps continu 89En conclusion, les systèmes OFDM suréchantillonnés ont un comportement plus dicileà prévoir vis-à-vis de leur distribution du PAPR dans la mesure où cette distribution dépendfortement de la forme d'onde choisie. De plus, quel que soit le rapport de suréchantillonnage(supérieur à 1), on est sûr que la meilleure CCDF possible est moins bonne que celle d'unsystème OFDM ou OFDM/OQAM orthogonal équivalent. Toutefois, cette modulation nedevient concurrentielle à l'OFDM ou l'OFDM/OQAM que si le rapport de suréchantillonnageest susamment proche de 1. Si, par exemple, on se xe un intervalle de garde de 25% pourl'OFDM avec IG, ce qui est une valeur assez élevée, il faut un facteur de suréchantillonnage de5/4 pour l'OFDM suréchantillonné pour avoir des systèmes comparables en termes d'ecacitéspectrale. Dans ce cas, les pertes liées à cette modulation sont globalement limitées. Parailleurs, cette modulation conserve des arguments forts en termes de DSP par exemple, oùl'OFDM suréchantillonné propose des résultats plus intéressants qu'un système OFDM avecintervalle de garde.3.6 Etude des signaux à temps continuL'étude précédente a été réalisée en temps discret mais il est aussi nécessaire d'étudier lePAPR juste avant l'amplicateur de puissance, ce qui signie analyser ce comportement pourdes signaux à temps continu. Le but de cette partie est de vérier si l'on observe les mêmesconclusions que celles énoncées précédemment. Nous avons déjà vu sur la gure 3.2 qu'il existeun écart moyen d'environ 0.5 dB entre les CCDF du PAPR des signaux à temps continu et àtemps discret.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

rapport de suréchantillonnage

Eca

rt m

oyen

(en

dB

) en

tre

les

vale

urs

du P

AP

R

suré

chan

tillo

nnés

et n

on s

uréc

hant

illon

nés

Fig. 3.12 Ecart entre les valeurs du PAPR pour un signal OFDM à temps discret et unsignal OFDM suréchantillonné pour 1024 porteuses.La gure 3.12 nous montre l'écart moyen entre la valeur du PAPR d'un signal échantillonnéà la fréquence de Nyquist et la valeur du PAPR pour ce même signal suréchantillonné parun facteur L dans le cas de l'OFDM. Cette courbe indique que pour L ≥ 4, l'écart entreces valeurs se stabilise autour de 0.5 dB. Ainsi, pour simuler les signaux en continu, il sut

90 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRde suréchantillonner le signal à temps discret par 4 pour avoir une bonne estimation ducomportement de ce signal en temps continu.3.6.1 Cas de l'OFDM/OQAMLa gure 3.13 nous montre les CCDF de diérents systèmes OFDM et OFDM/OQAM àtemps continu et à temps discret. Les signaux continus sont obtenus en suréchantillonnant par4 les signaux discrétisés à la fréquence de Nyquist. Il est communément admis que ce rapportde suréchantillonnage est susant pour bien décrire le comportement d'un signal à tempscontinu [158]. Cette gure nous indique donc clairement que pour les systèmes OFDM/OQAMorthogonaux à temps continu, la distribution de PAPR est strictement identique à celle del'OFDM à temps continu. D'autre part, cette même courbe montre que l'on a le même écartd'environ 0.5 dB entre la CCDF du PAPR à temps continu et à temps discret pour un systèmenon-orthogonal.Ceci tend donc à conrmer les principaux théorèmes que l'on a obtenu jusque là pour lessystèmes OFDM/OQAM. De même, en reprenant l'approche de [169] décrite dans l'équation(3.11), on peut donc dire que la même expression analytique fonctionne pour les systèmesOFDM/OQAM orthogonaux à temps continu, à savoir :Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −

(1 − e−γ

)αM, avec α = 2.8. (3.92)De manière analogue, nous avons testé l'expression suivante :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −M−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

)2.8, (3.93)pour les systèmes non orthogonaux et cette courbe a été aussi reportée sur la gure 3.13. Ils'avère que cette expression approche très bien la CCDF de systèmes OFDM/OQAM non-orthogonaux à temps continu.Au nal, pour les systèmes OFDM/OQAM à temps continu, il n'y a aucune modicationdes conclusions que nous avons obtenues à temps discret. De plus, nous avons trouvé, demanière expérimentale, une expression approchée de la CCDF de ces systèmes.3.6.2 Cas de l'OFDM suréchantillonnéLa même étude a aussi été réalisée en OFDM suréchantillonné. Les résultats sont achéssur la gure 3.14. On remarque qu'en temps continu, on a les mêmes variations des CCDF enfonction de ε (on rappelle que εη=1.25 = 0.16 et εη=1.5 = 0.31, valeurs reportées sur la gure3.11). On observe aussi que l'écart entre les distributions en continu et en discret est toujoursd'environ 0.5 dB, comme en OFDM et en OFDM/OQAM.On vérie donc ainsi que l'on a les mêmes conclusions aux théorèmes énoncés pour l'OFDMsuréchantillonné. De plus, nous avons aussi tracé la courbe d'approximation suivante :

Pr(PAPR ≥ γ) = 1 −N ′−1∏

i=0

(1 − e−αiγ

)2.8, (3.94)et on vérie bien que cette expression permet une approximation très correcte de la courbe deCCDF du PAPR pour l'OFDM suréchantillonné en continu.

3.6. Etude des signaux à temps continu 91

6 7 8 9 10 11 12 13 1410

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM discretOFDM continuOFDM/OQAM orthogonal discretOFDM/OQAM orthogonal continuOFDM/OQAM non orthogonal discretOFDM/OQAM non orthogonal continuOFDM/OQAM non orthogonal approximationFig. 3.13 Comparaison des CCDF du PAPR de systèmes OFDM et OFDM/OQAM à tempsdiscret et à temps continu pour 1024 porteuses.

6 7 8 9 10 11 12 1310

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

SRRC, η = 1.5, temps discretSRRC, η = 1.5, temps continuSRRC, η = 1.5, approximationSRRC, η = 1.25, temps discretSRRC, η = 1.25, temps continuSRRC, η = 1.25, approximation

Fig. 3.14 CCDF du PAPR de diérents systèmes OFDM suréchantillonnés à temps discretet à temps continu pour 1024 porteuses.

92 Chapitre 3. Analyse théorique du PAPRConclusionsNous avons réalisé une étude approfondie de la distribution du PAPR pour les modulationsavec forme d'onde ainsi que du rôle de la forme d'onde sur l'évolution de cette distribution duPAPR. Dans un second temps, nous avons pu établir une comparaison de ces performancesavec la modulation OFDM conventionnelle.Pour l'OFDM/OQAM : nous avons mis en évidence que la forme d'onde inue sur la CCDFdu PAPR. Cependant, si la forme d'onde est orthogonale, toutes les CCDF sont confondueset sont identiques à la CCDF du PAPR pour la modulation OFDM.Pour l'OFDM suréchantillonné : la forme d'onde inue aussi sur la CCDF mais il n'existepas de lien entre orthogonalité et optimalité de la CCDF. De plus, pour des rapports desuréchantillonnage strictement supérieurs à 1, la meilleure CCDF que l'on peut espérer estforcément moins bonne que celle de la modulation OFDM équivalente.Enn, nous avons pu vérier que l'ensemble de ces résultats était également valable en forma-lisme continu.

Chapitre 4Réduction du PAPR des modulationsavec forme d'ondeL'analyse de la distribution du PAPR a mis en évidence plusieurs points intéressants parrapport à l'inuence des formes d'onde. Mais on a surtout pu voir que, dans tous les cas,des forts pics de puissance peuvent apparaître avec des probabilités non négligeables. Dèslors, ces forts pics de puissance, passant dans un amplicateur non-linéaire de puissance,se retrouvent très distordus. La compensation de cette distorsion en réception implique desprocessus complexes. Il semble donc préférable de trouver des solutions à l'émission. Unepremière approche est de travailler au niveau de l'amplication avec des amplicateurs depuissance les plus linéaires possibles. L'autre approche est de travailler directement sur lesignal à émettre de sorte que sa dynamique en puissance se trouve réduite. C'est l'approchela plus communément adoptée pour ce type de problème. En nous référant à la gure 3.3,le but de ces techniques est de modier la distribution de puissance de sorte à minimiser lescas d'apparition de fortes valeurs de puissance. Ce chapitre a pour objectif de développerune méthode de réduction du PAPR pour les modulations avec forme d'onde. Ainsi, aprèsavoir positionné plus nement le problème dans la partie 4.1, nous présenterons quelquesméthodes de réduction du PAPR pour la modulation OFDM dans la partie 4.2. Puis, en nousinspirant d'une de ces méthodes, nous proposerons dans la section 4.3 une solution adaptéeaux modulations OFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnée, appelée méthode OSLM. Sesperformances seront analysées en section 4.4. Enn, nous présenterons une autre approche dece problème en nous basant sur une autre mesure : la métrique cubique (partie 4.5).4.1 Introduction et préliminaires4.1.1 Position du problèmeDans une chaîne de communication classique, le problème de réduction du PAPR se situeà l'émission. Il convient donc d'insérer un nouveau bloc de traitement du signal au niveau del'émetteur qui aura le but de réduire le PAPR. Plusieurs emplacements sont possibles commele montre la gure 4.1.On peut ainsi imaginer de modier le train de données binaires, par un codage adéquatpar exemple, en début de chaîne de sorte à obtenir des motifs en sortie de modulateur ayantdes valeurs de PAPR les plus faibles possibles. Aussi, le même type de raisonnement peut se93

94 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeux dedonnées binaires constellation modulateur D/A K /

^ ~

Réduction du PAPR?

Fig. 4.1 La place de la réduction du PAPR dans une chaîne de communications.faire au niveau de la constellation, par exemple pouvoir trouver des séquences de points de laconstellation qui engendrent des valeurs de PAPR faibles. De la même manière, il est aussipossible de retravailler le signal en sortie de modulateur ou bien après conversion numériquevers analogique pour éviter que ce signal n'ait des pics de puissance trop élevés. On peut mêmeimaginer aussi de réaliser la modulation et la réduction du PAPR dans un même bloc.Il est cependant important de noter que dans la plupart des cas, le fait de faire des modi-cations au niveau de l'émetteur implique un traitement particulier au niveau du récepteur.En eet, si l'on prend l'exemple du codage des données binaires à l'émission, il est nécessairede pouvoir décoder parfaitement en réception. Il apparaît donc qu'il est parfois obligatoire detransmettre des informations complémentaires pour que le récepteur puisse retrouver intégra-lement les données émises. On parle d'information de bord. De plus, il est aussi primordialque cette information de bord soit transmise parfaitement de sorte que lorsque le récepteurutilise cette information, il n'engendre pas d'erreur supplémentaire en plus de celles dues à latransmission sur le canal.Le problème de réduction du PAPR est apparu à peu près au même moment que lesproblèmes d'analyse du PAPR. Dès la n des années 50, Shapiro [136] et Rudin [129] sesont intéressés à la réduction de l'enveloppe de signaux en trouvant des séquences adaptées.Schroeder dans [135] s'est quant à lui plutôt penché sur la génération de signaux ayant unfaible facteur pic. Cependant, ce n'est qu'avec la popularisation de la modulation OFDM (dueà son utilisation dans certains standards de télécommunication comme DVB-T, l'ADSL, DABou IEEE 802.11a/g) que le problème est devenu plus critique, du fait que le signal possède uneenveloppe non-constante. De fait, la littérature sur le sujet s'est considérablement développéeà partir des années 90.4.1.2 Critères de performance des méthodes de réductionIl semble judicieux, avant de détailler le fonctionnement de certaines techniques de réduc-tion du PAPR, de s'établir une sorte de cahier des charges à satisfaire. En eet, on peut iciciter les diérents points susceptibles d'être discriminants quant à une utilisation en pratique.

4.2. Les techniques de réduction du PAPR pour la modulation OFDM 95Augmentation du taux d'erreur binaire en réceptionCertaines techniques de réduction ont pour principe de modier la structure d'un signal.Ces modications peuvent être vues comme de la distorsion vis-à-vis du signal. Ainsi, enréception, cette distorsion supplémentaire modiera les courbes de taux d'erreur binaire enréception.Modication de la densité spectrale de puissance à l'émissionCe critère est lié au critère précédent dans la mesure où l'adjonction de distorsion dans lesignal d'origine a aussi pour conséquence de faire remonter les lobes secondaires et de bruiterla bande utile dans la densité spectrale de puissance.Diminution du débit utileSi, par exemple, le récepteur a besoin d'information de bord pour pouvoir rendre l'opérationde réduction de PAPR transparente pour la démodulation, cette transmission d'informationnon-utile implique une diminution du débit utile.ComplexitéSi une méthode est très performante en termes de réduction de PAPR mais nécessite desfortes ressources de calcul, ceci peut devenir rédhibitoire pour certaines applications pratiquesde type "temps réel". La complexité des algorithmes mis en ÷uvre doit alors être étudiée.Réduction eective du PAPRCeci peut paraître trivial mais cela reste malgré tout le critère déterminant.4.2 Les techniques de réduction du PAPR pour la modulationOFDMCette partie a pour objectif de détailler certaines techniques proposées pour la modulationOFDM. Au vu du grand nombre de publications concernant les techniques de réduction duPAPR, nous nous sommes basés sur l'approche proposée dans [53, 54] qui regroupe les dié-rentes techniques apparues dans la littérature selon diérentes catégories. Plus généralement,on peut distinguer quatre grandes classes de techniques : les techniques de clipping, les tech-niques d'ajout de signal, les techniques de codage et les techniques modiant les constellationsinitiales.4.2.1 Les techniques de clippingLe soft clippingCette technique est la plus simple à concevoir car elle consiste simplement à délibérément"clipper" le signal [112] pour qu'il n'entre jamais dans la zone non-linéaire de l'amplicateurde puissance. Ainsi, un signal x sera traité de la manière suivante :

96 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeB(x) =

x si |x| ≤ A,Aejφ(x) si |x| ≥ A,

(4.1)où B(x) est le signal résultant, A l'amplitude maximale que le signal d'origine peut atteindreavant d'être clippé et φ(x) est la phase du signal x. Cette technique est à classer dans unecatégorie de type soft clipping dans la mesure où l'on écrête le signal seulement si il atteintune certaine amplitude prédénie A.Les principales limites de cette technique sont exposées dans [81]. En eet, comme lesignal est clippé (la fonction générant ce clipping est évidemment non-linéaire), on engendreinévitablement de la distorsion car l'orthogonalité entre les porteuses est cassée. En eet, onobserve tout d'abord une remontée des lobes secondaires et une génération de bruit au niveaude la bande utile dans la densité spectrale de puissance en émission, ce bruit étant les diérentsproduits d'intermodulation tombant dans la bande utile du signal. On peut cependant limiterla remontée des lobes secondaires par l'adjonction d'un ltre sélectif en fréquence juste aprèsl'opération de clipping. Par ailleurs, comme la distorsion créée en émission n'est pas compenséeen réception, cela implique la présence d'interférence entre symboles. On remarque donc desdégradations importantes au niveau du taux d'erreurs binaires.Au nal, cette méthode simple de limitation du PAPR introduit beaucoup d'inconvénients.On perd ainsi l'avantage de la simplicité de mise en ÷uvre de la méthode et de la réductioneective du PAPR par l'introduction de traitements supplémentaires (qui peuvent devenirassez lourds en dénitive) visant à limiter les distorsions engendrées.Variantes et amélioration des techniques précédentesNous avons déjà vu qu'un ltrage approprié après l'opération de clipping peut améliorerla DSP [81]. De meilleurs résultats sont obtenus en faisant plusieurs itérations des opérationsde clipping et de ltrage [9]. L'article [111] montre que l'on peut atténuer ecacement lesdégradations en TEB par l'utilisation de Turbo-Codes. Il est aussi possible de réduire le bruitde clipping itérativement selon la méthode proposée dans [27]. On peut enn citer la techniquede clipping inversible, issue des travaux S. Ragusa [123].Cependant, même si ces méthodes sont ecaces pour la réduction du PAPR (car on limitecomme on le souhaite la valeur des pics de puissance du signal par le seuil de clipping),elles engendrent beaucoup de distorsion dès l'émission ce qui oblige à réaliser de nombreuxtraitements en réception pour s'en aranchir. La complexité du modem OFDM s'en retrouvedonc augmentée ce qui rend ces techniques moins intéressantes pour des applications pratiques.4.2.2 Techniques d'ajout de signalLe smooth clippingLe but de cette technique, présentée dans [114], est de forcer l'amplitude du signal à avoirune valeur en dessous d'une certaine valeur seuil S xée en multipliant le signal par un signalcomposite b(t) tel que :b(t) = 1 −

∑

n

ane−(t−tn)2 , (4.2)

4.2. Les techniques de réduction du PAPR pour la modulation OFDM 97où tn sont les instants où le signal dépasse cette valeur seuil S et an est l'amplitude à associerde sorte que le signal b(t)s(t) ait une valeur inférieure à S à l'instant tn. Le principe est illustrésur la gure 4.2.6

-

+S-S Temps

Amplitude

signal originalsignal modiéFig. 4.2 Illustration de la technique d'ajout de signal.Cette technique peut être vue comme une technique de smooth clipping dans la mesure oùl'écrêtage est adouci par l'utilisation de la fenêtre b(t). Cette méthode permet de contrôlercomplètement la valeur du PAPR en jouant uniquement sur la valeur du paramètre S. Seule-ment, on note que plus S diminue, plus le nombre d'instants tn augmente et donc plus letraitement requiert de calculs. La complexité de l'algorithme peut ainsi limiter considérable-ment la portée de cette solution. D'autre part, le fait de modier ce signal à l'émission modiela densité spectrale de puissance. On assiste ainsi à des remontées des lobes secondaires. Enn,plus ce seuil diminue, plus on modie l'allure de la courbe de TEB car on modie d'autantplus l'allure du signal d'origine.La méthode Tone ReservationCette technique, initialement proposée par Tellado-Mourelo dans [155], a pour but deréserver certaines porteuses pour générer un signal supplémentaire servant à réduire les picsde puissance. Ainsi, sur ces porteuses réservées, on y transmet des données C = (c0, . . . , cN−1).Ce vecteur de données est ajouté au vecteur de données utiles X pour obtenir le signal :

s = IFFT (X+C) .Le point central de cette méthode est de résoudre le problème d'optimisation :

98 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeminC max

k|s[k]|2 = minC ‖X+C‖∞ , (4.3)c'est-à-dire minimiser le pic de puissance du signal total. Ce problème d'optimisation peutêtre résolu grâce à des techniques d'optimisation lagrangienne ou bien grâce à l'algorithme dugradient proposé pour diminuer la complexité des calculs.Cette technique possède de bonnes performances vis-à-vis de la réduction du PAPR maisau détriment d'une augmentation de complexité due à l'opération d'optimisation du vecteurC. D'autre part, on assiste aussi à une augmentation de la puissance totale du signal transmispar l'adjonction de ce signal supplémentaire.Autres techniquesOn peut citer les travaux de S. Zabré [178] sur les techniques de réduction par ajout designal. La méthode proposée consiste à améliorer la méthode de Tone Reservation en utilisantdes techniques d'optimisation de type SOCP (Second Order Cone Program). Outre l'amélio-ration des courbes de CCDF du PAPR, cette méthode garantit une absence de dégradation duTEB et ne transmet aucune information de bord. Une autre technique, proposée par D. Gueldans [50], consiste à ajouter un signal hors de la bande de fréquence du signal an de réduirele PAPR avant passage dans l'amplicateur de puissance. Puis, par un ltre passe-bande, onltre le signal obtenu de sorte à supprimer le signal ajouté hors-bande. L'avantage de cetteméthode est sa simplicité dans la mesure où le signal ajouté peut se construire très facilementpar une méthode géométrique.4.2.3 Les techniques de codageUne autre approche pour réduire le PAPR est d'utiliser des techniques de codage. Si, parexemple, un bloc de données x engendre un signal OFDM IFFT(x) ayant un PAPR trop élevé,une solution est de coder ce bloc de données en un autre bloc x′ de telle sorte que le signalrésultant IFFT(x′) ait une valeur de PAPR plus faible.Réduction avec des codes en blocCette approche fut proposée pour la première fois dans [68]. Cet article présente le problèmepour un système OFDM à 4 porteuses dont les symboles sont modulés par une BPSK. Le PAPRest calculé pour les 24 = 16 cas possible et il est montré qu'il existe 8 séquences pour lesquellesle PAPR est le plus faible (2.3 dB). L'idée est donc de coder les données de sorte à n'obteniret ne transmettre que des séquences de PAPR faible. Plus généralement, après l'opération demapping à 2M symboles, il convient de regrouper les symboles complexes en mot de code delongueur N et de ne transmettre après une recherche exhaustive que les p séquences de PAPRles plus faibles. Cette opération de génération des mots de code à PAPR faible est réalisée parun code en bloc.Le principal problème apparaît alors clairement : lorsque l'on augmente le nombre deporteuses, le nombre de mot de code possible augmente exponentiellement. Dès lors, la tablede correspondance entre les symboles émis et les valeurs prises par le PAPR aura une tailletrès importante ce qui limite très fortement l'utilisation de cette technique pour de nombreux

4.2. Les techniques de réduction du PAPR pour la modulation OFDM 99cas pratiques. Enn, il n'existe pas de méthode d'implémentation de tels codes en bloc pourle cas général dans la littérature.Utilisation de séquences complémentairesCette approche a pour but d'utiliser des séquences ayant des propriétés intéressantes.C'est le cas par exemple des séquences de Golay [47]. Deux séquences a = (a0, . . . , aM−1) etb = (b0, . . . , bM−1) sont des séquences de séquences de Golay si et seulement si :∀k ∈ 0, . . . ,M − 1 ,

M−k∑

i=0

aiai+k +M−k∑

i=0

bibi+k = 2Mδk,0, (4.4)où δm,n est le symbole de Kronecker. Il est montré dans [119] et dans [35] que le PAPR designaux multiporteuses (en particulier OFDM) transmettant des séquences de Golay vaut auplus 2 en linéaire, c'est-à-dire 3 dB. Ces séquences présentent donc des caractéristiques trèsintéressantes du point de vue du PAPR. Malheureusement, si l'on observe le rendement Rd'un code générant des séquences de Golay complémentaires de longueur 2m :R =

blog2(m!/2)c +m+ 1

2m, (4.5)on montre que pour un nombre de porteuses supérieur à 16, le rendement du code descendsous la valeur 1/2, ce qui rend son application inintéressante dans de nombreux cas pratiques.Codes de Reed-MüllerL'utilisation de ces codes provient du lien fait dans [35] entre les séquences complémen-taires et les codes de Reed-Müller. L'utilisation de ces codes permet d'obtenir des séquencescomplémentaires et donc de générer des signaux OFDM ayant une valeur du PAPR d'auplus 3 dB. De plus, ces codes ont une capacité de correction d'erreur de transmission plutôtintéressante. Cependant, cette technique n'est valable qu'avec des modulations de type MDP.De nombreuses études ont été menées sur cette méthode avec la mise en ÷uvre de tech-niques de codage et de décodage performants comme par exemple dans [175] ou bien surdes améliorations an d'étendre le champ d'application de la méthode. Ainsi, dans [128], ilest proposé une solution étendue aux modulations MAQ-16 mais au prix d'une diminutiondes performances de réduction du PAPR. Enn, en utilisant des séquences concaténées, l'ar-ticle [94] montre que cette méthode reste tout à fait applicable pour certains standards commeHIPERLAN 2 où le nombre de porteuses utiles est de 64.Autres solutionsOn peut citer parmi les techniques de réduction liées au codage l'utilisation des codesBCH, couplée avec un clipping [177]. Cette technique consiste à coder avant la modulationOFDM par un code performant de type BCH et à clipper le signal après modulation. Descomparaisons sont ainsi réalisées par rapport aux solutions décrites dans [35, 68]. Cependantavec cette technique, on cumule à la fois les inconvénients dus aux techniques de clipping (àsavoir du bruit dans la bande et hors bande du signal) et ceux des techniques liées au codagec'est-à-dire une applicabilité limitée aux systèmes à faible nombre de porteuses.

100 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeDe manière générale, ces techniques de codage, bien que très performantes en termes deréduction du PAPR, sont assez limitées en pratique car elles sont dicilement applicablespour un nombre élevé de porteuses dans la mesure où le rendement des codes est inverse-ment proportionnel au nombre de porteuses. De plus, certaines méthodes peuvent devenir trèscomplexes, en raison de la complexité du décodage de ces codes en réception.4.2.4 Les techniques basées sur la modication des constellations initialesLa troisième grande famille de techniques de réduction du PAPR est celle ayant pourobjectif de modier les constellations initiales. Ces techniques se basent sur le fait qu'unemodication mineure sur le vecteur de données envoyées peut engendrer des diérences no-tables sur le signal OFDM résultant. Ces techniques ont donc pour objectif de modier lesséquences de symboles issus d'une constellation donnée à l'entrée du modulateur OFDM ande ne transmettre que les séquences ayant un PAPR faible.La technique Partial Transmit Sequence (PTS)Supposons un bloc de donnéesX = (x0, . . . , xM−1)T . Ce vecteur X peut être décomposé en

p sous blocs de taille N avec M = pN . Ainsi X = (Y0N , . . . ,Yp−1

N )T . Ces p sous blocs passentalors dans une IFFT et sont pondérés par des coecients complexes (a0, . . . , ap−1) ∈W p (Wétant l'ensemble de valeurs que peuvent prendre les coecients ak avec de plus ∀k, |ak| = 1)de sorte à obtenir le signal :sPTS =

p−1∑

k=0

ak IFFT(YkN ). (4.6)Les valeurs de ak sont optimisées de sorte à minimiser la valeur du PAPR.Cette méthode a été introduite par Müller et Huber dans [104,105]. Elle présente l'avantagede fonctionner quelle que soit la constellation utilisée et quel que soit le nombre de porteuses.De plus, ses performances sont intéressantes vis-à-vis de la réduction du PAPR. Cependant, ilest à noter que le récepteur doit connaître les valeurs des coecients ak pour pouvoir recompo-ser le bloc original X, ce qui implique la transmission de p log2(Card(W )) bits d'informationsupplémentaire. D'autre part, il est nécessaire de réaliser p IFFT de taille N en parallèlepour pouvoir réaliser cette technique, ce qui modie la structure du modulateur et aussi dudémodulateur OFDM. Enn, il est important de voir que plus les blocs sont petits (plus Ndiminue), plus le nombre de paramètres à optimiser augmente et donc plus l'optimisation deces paramètres devient complexe. Cependant, l'article [65] présente un algorithme réduisantnotablement la complexité liée au calcul d'optimisation des coecients ak. Au nal, cettetechnique paraît intéressante car elle fonctionne pour toute constellation et pour tout nombrede porteuses. De plus, en supposant que l'information de bord est parfaitement transmise,nous n'observons pas de perte au niveau du TEB.La technique ACEUne technique complémentaire de la technique Tone Reservation existe mais tend, quantà elle, à modier les constellations initiales. Il s'agit de la technique Active ConstellationExtension (ACE) [75]. Cette technique cherche à étendre de manière dynamique les points

4.2. Les techniques de réduction du PAPR pour la modulation OFDM 101extérieurs de la constellation en entrée du modulateur OFDM. On étend ainsi les zones dedécision en réception. De plus, si ces zones de décision sont correctement choisies, on peutgénérer un signal avec des propriétés intéressantes vis-à-vis des pics de puissance, d'où lacombinaison possible avec la technique Tone Reservation [76]. Cependant, cette techniquedevient plus limitée pour les constellations avec un grand nombre d'états et on augmenteaussi sensiblement la puissance totale du signal transmis.La technique du Selective MappingLa technique du SeLective Mapping (SLM) a été introduit par Baüml, Fischer et Huberdans [11]. Le but de cette technique est de créer U versions diérentes d'un signal de baseet de transmettre celui qui possède le PAPR le plus faible. Pour cela, on se xe U codesde longueur M , M étant le nombre de porteuses. Les symboles entrant dans le modulateur,issus d'une constellation prédénie, sont codés par ces U codes. On obtient donc U blocs deM symboles issus de la même constellation. Ces U blocs passent dans une IFFT et génèrentdonc U signaux OFDM diérents. On calcule le PAPR pour ces U signaux et on transmetcelui qui possède le PAPR le plus faible. En supposant que les U blocs issus du codage sontindépendants entre eux, on peut donc déterminer la CCDF du PAPR après cette méthode :

PrSLM(PAPR > γ) =(

1 −(1 − e−γ

)M)U

=(Prinitiale(PAPR > γ)

)U. (4.7)Cette technique, simple à mettre en ÷uvre, possède des performances de réduction duPAPR intéressantes. Ces performances s'améliorent d'autant plus que U augmente. Cepen-dant, il est nécessaire de connaître au niveau du récepteur l'indice du code qui a permis degénérer le signal OFDM ayant le PAPR le plus faible. Il est donc nécessaire de transmettre

log2(U) bits d'information supplémentaire au récepteur. Cependant, on note dans [21] quel'on peut s'aranchir de la transmission d'information de bord. Enn, il est à noter que l'onaugmente aussi la complexité du modulateur dans la mesure où il est nécessaire de réaliser UIFFT en parallèle pour réaliser cette réduction du PAPR.Autres solutionsBeaucoup de méthodes récemment publiées mettent en ÷uvre cette approche probabilistede la réduction du PAPR. On peut ainsi citer l'article [167] qui propose une méthode de ré-duction du PAPR en utilisant des propriétés spéciques des frames. Cette technique introduit,dans un second temps, après l'opération d'IFFT, une redondance dans le signal pour contrer àla fois les erreurs en réception et la propagation de signaux à forts pics de puissance. On peutciter aussi les travaux de thèse de W. Chauvet [26] qui propose une technique de réductiondu PAPR en OFDM utilisant les ltres LPTV (Linear Periodical Time Varying). Il est aussiproposé une expression sous forme matricielle de certaines techniques de réduction du PAPR(SLM, entrelacement [66] et LPTV) qui montre que : la technique SLM peut être associée à une matrice de rotation, la technique d'entrelacement peut être associée à une matrice de permutation, la technique utilisant les LPTV peut être associée à une matrice de ltrage.Il est montré enn que cette technique de réduction par utilisation des ltres LPTV oredes gains de réduction légèrement meilleurs que la technique SLM pour des systèmes OFDMéquivalents.

102 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde4.2.5 ConclusionsLe but de ce chapitre n'était pas de référencer la totalité des techniques de réduction duPAPR pour l'OFDM car elles sont très nombreuses. Nous avons pris le parti de présenterun panorama relativement large des techniques existantes en nous concentrant plutôt surles diérences conceptuelles. En eet, soit on clippe délibérément le signal, quitte à essayerde compenser en réception la distorsion engendrée, soit on dénit des séquences ayant despropriétés intéressantes par rapport au PAPR et on transmet ces bonnes séquences grâce àdes techniques de codage, ou soit on travaille sur les données entrantes dans le modulateurpour créer diérentes versions du signal pour enn choisir celle qui possède la plus faible valeurdu PAPR. Ainsi les méthodes de clipping sont facilement adaptables à l'OFDM/OQAM carelles sont valables quel que soit le signal injecté. De même, les techniques de codage citéespeuvent être utilisées telles quelles. Par contre, pour les solutions modiant les constellationsinitiales, l'adaptation à l'OFDM/OQAM semble plus complexe car la plupart de ces méthodestiennent compte de la structure particulière du modem OFDM pour réaliser cette réduction duPAPR. Ainsi, il semble intéressant de nous focaliser sur une méthode de réduction particulière,la plus performante par exemple. Parmi toutes ces méthodes, il est généralement admis quela méthode SLM pour l'OFDM semble la plus intéressante à exploiter car : elle possède des performances de réduction de PAPR intéressantes, elle fonctionne quel que soit le système OFDM utilisé, elle ne contraint qu'une faible quantité d'information de bord à transmettre (voire au-cune), elle ne dégrade pas sensiblement le TEB, elle ne nécessite qu'une augmentation raisonnable de la complexité du modulateur.Pour toutes ces raisons, nous nous sommes donc plutôt intéressés à une adaptation de latechnique SLM pour les modulations avec forme d'onde, même si il est tout à fait concevablede rechercher des méthodes spéciques aux modulations avec forme d'onde.4.3 L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modula-tions avec forme d'ondeLa technique SLM possède de manière claire des avantages intéressants. Pour mieux saisirles développements qui seront réalisés dans la suite de ce chapitre, nous proposons de détaillerun peu plus cette technique pour l'OFDM.4.3.1 Retour sur la technique de SeLective MappingAlgorithmeSuite à la description succincte réalisée au paragraphe 4.2.4, nous pouvons décrire à présentde manière plus précise le fonctionnement de l'algorithme SLM pour l'OFDM. Pour cela, nousconsidérons une constellation C. Un système OFDM à M porteuses va donc transmettre Msymboles (c0, . . . , cM−1) de cette constellation C. On xe aussi U codes de longueur M . Nousécrivons le ième (i = 0, . . . , U − 1) code de la manière suivante : (d(i)0 , . . . , d

(i)M−1). Nous codonsalors les données originales ci par les U codes de sorte que :

4.3. L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde 103∀k ∈ 0, . . . ,M − 1 ,∀i ∈ 0, . . . , U − 1 , d

(i)k ck ∈ C, (4.8)autrement dit, les symboles obtenus après codage restent des points de la constellation C.A ce stade, nous avons donc U ensembles de M symboles : D(i) = (d

(i)0 c0, . . . , d

(i)M−1cM−1)et on génère le signal OFDM équivalent :

s(i) = IFFT(D(i)), i ∈ 0, . . . , U − 1 . (4.9)Ensuite, nous calculons la valeur du PAPR pour chacun de ces U signaux OFDM :PAPR(i) =

maxk∈0,...,M−1∣∣s(i)[k]

∣∣2

E∣∣s(i)[k]

∣∣2 . (4.10)On décide alors de transmettre, parmi les U signaux disponibles, le signal ayant la valeur dePAPR la plus faible, c'est-à-dire que l'on détermine l'index iopt tel que :

iopt = arg mini(PAPR(0), . . . , PAPR(U−1)). (4.11)Le signal s(iopt) (et donc le vecteur de données D(iopt)) est alors transmis à travers le canal depropagation.Au niveau du récepteur, si l'on suppose que la transmission a été réalisée sur un canalparfait, la démodulation est réalisée par une simple FFT. On récupère alors le vecteur dedonnées D(iopt). Enn, si le récepteur connaît de manière parfaite le code indexé par iopt, onrécupère ainsi par décodage les symboles (c0, . . . , cM−1) initialement transmis.Schémas du modulateur/démodulateur OFDM incluant la réduction du PAPRpar la technique SLMSuite à la description précédente, on peut ainsi schématiser le modulateur (sur la gure4.3) et le démodulateur (sur la gure 4.4) tenant compte de la réduction du PAPR par laméthode SLM.On voit ainsi la nécessité de l'information de bord à transmettre. En eet, le récepteur doitconnaître le code donnant le signal ayant le plus faible PAPR an de réaliser correctementl'opération de décodage de la gure 4.4.Comme énoncé précédemment, il est nécessaire de transmettre log2(U) bits d'informationsupplémentaire. Cette information de bord doit être transmise le plus parfaitement possible caren cas de mauvais décodage en réception, on perd quasiment l'intégralité de l'information utilecontenue dans le symbole OFDM. Ces bits d'information de bord doivent donc être protégéspar des codes correcteurs d'erreurs ecaces.

104 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde-

S/PIFFT 1IFFT 2IFFT U

CODAGEMinPAPR(c0, . . . , cM−1) c0

cM−1

s(0)

s(1)

s(U−1)

s(iopt)

(d(0)0 c0, . . . , d

(0)M−1cM−1)

-iopt

Fig. 4.3 Modulateur OFDM incluant la technique SLM.s(iopt) FFT DECODAGE?

information de bord ioptc0

cM−1

D(iopt)Fig. 4.4 Démodulateur OFDM incluant la technique SLM.Performances de l'algorithmeIl apparaît que le paramètre permettant a priori de faire varier sensiblement les perfor-mances de cette méthode est le nombre de codes utilisé U . En eet, plus U augmente, pluson possède de versions diérentes d'un signal OFDM et donc plus on a de possibilités d'ob-tenir une valeur de PAPR faible. La gure 4.5 nous illustre ceci pour un système OFDM à64 porteuses. Nous observons eectivement que plus le nombre de codes augmente, meilleuressont les performances. Ainsi, même pour 2 codes, on améliore sensiblement les probabilitésd'apparitions de forts pics de puissance (amélioration moyenne d'environ 1.2 dB). Pour unnombre de porteuses xé, on observe néanmoins un plafonnement des gains pour U ≥ 8. Ilest à noter cependant qu'en augmentant U , on augmente par la même occasion la quantitéd'information de bord (et aussi la complexité car on ajoute des IFFT en émission). Ainsi, pour

U ∈ 4, . . . , 8, on obtient un bon compromis entre performance, complexité et transmissiond'information de bord. Prenons le cas d'un système OFDM à 64 porteuses transmettant dessymboles issus d'une MAQ-4. Un symbole OFDM renferme donc log2(4) × 64 = 128 bitsd'information utile. Si on utilise 8 codes pour la technique SLM, on devra transmettre 3 bitsd'information de bord, ce qui représente 2.3% de l'information totale transmise. La perte dedébit utile est alors relativement négligeable.

4.3. L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde 105

2 4 6 8 10 1210

−3

10−2

10−1

100

γ (dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

CCDF originale

U = 2

U = 4

U = 8

U = 16

U = 32

Fig. 4.5 Inuence du nombre de codes U sur les performances de la technique SLM pourun système OFDM à 64 porteuses.4.3.2 Application de la méthode SLM aux modulations avec forme d'onde :une première approcheDans l'optique d'une transposition de la technique SLM au cas des modulations multipor-teuses avec forme d'onde, nous avons, dans un premier temps, choisi de procéder avec le mêmealgorithme mais en utilisant un modulateur OFDM/OQAM en lieu et place d'une IFFT.Mais dans le cas de ces modulations avec forme d'onde, il se pose un problème majeur.En eet, pour l'OFDM classique, la technique SLM fonctionne bien dans la mesure où chaquetemps symbole OFDM peut être traité indépendamment des autres, ceci grâce à la formed'onde rectangulaire de durée T0. Ainsi, on peut sélectionner le PAPR minimal sur chaquetemps symbole OFDM.Maintenant pour les modulations avec forme d'onde, les choses se déroulent de manièrediérente dans la mesure où les symboles ne peuvent pas être considérés comme indépendantsentre eux, ceci étant dû au fait que les formes d'onde utilisées ont un support au moins égalà T0. On observe un phénomène de chevauchement de formes d'onde successives au sein d'untemps symbole comme l'illustre la gure 4.6.

106 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde-

6

Temps-

T0

Fig. 4.6 Illustration du phénomène de chevauchement des formes d'onde successives dans lecas des modulations avec forme d'onde.Ainsi, pour ce type de modulations, un temps symbole de durée T0 contient de l'informationprovenant de temps symboles antérieurs et postérieurs. Ainsi, il n'est pas possible de traiterchaque temps symbole de manière indépendante.Si, malgré tout, on désire utiliser la technique SLM telle quelle, la possibilité suivantes'ore à nous : On génère U signaux multiporteuses diérents grâce à un codage d'une séquence initialede symbole d'une constellation C par l'intermédiaire de U codes. On cherche sur chaque temps symbole le signal minimisant la valeur du PAPR. On transmet ce signal à PAPR minimal ainsi que l'indice du code correspondant.Cette méthode est conceptuellement identique à la technique SLM de l'OFDM. Le premierproblème de cette méthode est qu'il est presque impossible et fort peu avantageux d'implé-menter une version hardware de ce modulateur. Il faudrait pour cela synthétiser et mémoriserU signaux sur un grand nombre de temps symboles ce qui implique l'utilisation d'une mémoirede très grande capacité. D'autre part, le signal résultant envoyé (on met bout à bout les seg-ments de signal minimisant le PAPR sur chaque temps symbole) ne peut être démodulé. Ceciest démontré ci-dessous pour l'OFDM/OQAM, la démonstration est identique pour l'OFDMsuréchantillonné.Démonstration :Notons a(i)

m,n le symbole am,n après passage dans le code i = 0, . . . , U−1. On a : a(i)m,n = d

(i)m am,n,les d(i)

m étant le mième coecient du code i. Notons S(i)(t) le signal OFDM/OQAM de durée τ0généré à partir de la séquence des a(i)m,n. Soit S(t) le signal résultant. Soit (i0, i1, . . . , in, . . .) laséquence des indices de codes minimisant le PAPR sur chaque demi-temps symbole (∀n, in ∈

0, . . . , U − 1). On a alors :S(t) = S(i0)(t)[0,τ0] + S(i1)(t)[τ0,2τ0] + . . .+ S(in)(t)[nτ0,(n+1)τ0] + . . . (4.12)où S(in)(t)[nτ0,(n+1)τ0] est la restriction sur l'intervalle [nτ0, (n+ 1)τ0] du signal S(in). Or :

4.3. L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde 107∀n, S(in)(t)[nτ0,(n+1)τ0] =

M−1∑

m=0

∑

k

a(in)m,kfm,k(t)[nτ0,(n+1)τ0] (4.13)où fm,k(t)[nτ0,(n+1)τ0] est la restriction sur l'intervalle [nτ0, (n + 1)τ0] de la fonction de base

fm,k. Comme les fonctions de base sont tronquées dans le signal de l'équation (4.13), ellesperdent ainsi leurs propriétés d'orthogonalité :<(⟨fm,k(t)[nτ0,(n+1)τ0], fm′,k′(t)

⟩)6= δm,m′δk,k′ . (4.14)Ainsi, en utilisant un démodulateur OFDM/OQAM classique, l'équation de démodulations'écrit :

am,k = 〈S(t), fm,k(t)〉 . (4.15)Pour le premier demi-temps symbole :am,0 = 〈S(t), fm,0(t)〉

=⟨

S(i0)(t)[0,τ0], fm,0(t)⟩

=M−1∑

l=0

a(i0)l,0

⟨fl,0(t)[0,τ0], fm,0(t)

⟩

6= a(i0)m,0 (4.16)Ne pouvant pas retrouver a(i0)

m,0, on ne peut pas retrouver am,0 non plus, même si l'in-formation de bord a été parfaitement transmise. Ce raisonnement peut être bien sur menépour tous les demi-temps symbole. En conclusion, on ne peut pas démoduler le signal avecle démodulateur OFDM/OQAM classique en utilisant cette méthode de réduction du fait duproblème de chevauchement exposé sur la gure 4.6.4.3.3 L'algorithme OSLMIl est donc nécessaire d'inclure cette particularité de chevauchement pour réaliser une tech-nique de réduction du PAPR adaptée aux modulations multiporteuses avec forme d'onde desorte à générer un signal ayant une valeur de PAPR la plus faible possible sur plusieurs tempssymbole consécutifs et restant démodulable avec un démodulateur classique. Cette solutionest apportée grâce à l'algorithme OSLM (Overlapped SeLective Mapping) [145,146] qui tientcompte de ces problèmes de chevauchement. Nous décrivons ci-dessous le fonctionnement decet algorithme pour le signal unié donné en (1.63), à savoir :s[k] =

M−1∑

m=0

∑

n∈Zbm,nh[k − nP ]ej

2πMm(k−D/2)ejθm,n . (4.17)On appelle Lh la longueur du ltre à réponse impulsionnelle nie h et on introduit leparamètre v par : v =

⌊LhP

⌋ où bxc est la partie entière par valeur inférieure de x. Ainsi, selonla dénition de b, on sait que v = 2b en OFDM/OQAM et v = b en OFDM suréchantillonné.Nous dénissons aussi les ensembles Ik = kP, . . . , (k + 1)P − 1 , k ∈ N. Ainsi, l'algorithmeOSLM peut être décomposé selon les étapes suivantes :

108 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde1. Génération des codes : nous générons U codes de longueur M , notés D(i), i ∈0, . . . U − 1. Le symbole bm,n codé par le code D(i), i = 0, . . . , U − 1, est appelé b(i)m,n.2. Construction des v − 1 premiers temps symbole : avec un prototype de longueurLh, les chevauchements entre formes d'onde n'apparaissent que pour une longueur designal au moins égale à (v + 1)P . Ainsi, les v premiers symboles peuvent être choisisaléatoirement, par exemple bm,n = b

(0)m,n, n ≤ v. De plus, l'indice du code choisi et lessymboles codés associés sont mis en mémoire pour la suite de l'algorithme. On dénitainsi : Bb =

(b1m,n

)

0≤m≤M−1,1≤n≤v . (4.18)3. Sur l'intervalle de temps Iv : considérons les matrices suivantesB(i)v+1 = [Bv

(

b(i)m,v+1

)

0≤m≤M−1]. (4.19)Nous générons pour tout i dans 1, · · · , U les signaux multiporteuses associés auxmatrices de données B(i)

v+1. Ainsi, l'index iv+1 du code qui est choisi est celui qui engendrele signal ayant la valeur de PAPR la plus faible sur les bP derniers échantillons dusignal (c'est-à-dire sur l'intervalle de temps ⋃vp=1 Ip). Ceci est réalisé an de prendreen compte les modications, par rapport au signal obtenu à l'étape 2, de la valeur duPAPR consécutives à l'addition d'une nouvelle forme d'onde. De plus, nous posons :Bv+1 = B(iv+1)

v+1 .4. Généralisation sur l'intervalle Ik, k > v : on considère les matrices suivantesB(i)k+1 = [Bk

(

b(i)m,k+1

)

0≤m≤M−1], (4.20)et on procède comme à l'étape 3. Pour un i donné, B(i)

k+1 est une matrice de tailleM × (k + 1). Mais sachant que l'addition d'une nouvelle forme d'onde perturbe le si-gnal uniquement sur vP échantillons, on peut ainsi restreindre les matrices B(i)

k+1 à desmatrices de taille M × b, appelées K(i)k+1 telles que :

(K(i)k+1

)

m,n=(G(i)

k+1

)

m ∈ 0, . . . , M − 1 , n ∈ k − v + 1, . . . , k + 1. (4.21)De cette manière, on arrive à limiter les besoins en stockage de données pour le bonfonctionnement de cet algorithme OSLM.

4.3. L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde 109Le schéma donnant la structure de l'algorithme OSLM est illustré sur la gure 4.7. L'opé-rateur Ξ représente l'opération de refonte des matrices donnée en (4.21). Mod. représente unmodulateur de la modulation avec forme d'onde considérée. La mémoire FIFO (First In FirstOut) organise le transfert des symboles au bloc opérateur Ξ et au modulateur nal, tout enchargeant les matrices Bk+1 arrivant suite au processus de sélection des données engendrantdes valeurs faibles de PAPR. Avec cette structure, on tient bien en compte le chevauchementdes formes d'onde et, de plus, le signal est démodulable dans la mesure où c'est un signalissu d'un modulateur avec forme d'onde qui est envoyé dans le canal de propagation. Le dé-modulateur associé a donc une structure qui est illustrée sur la gure 4.8. Si le signal issudu modulateur est généré sur nb× P échantillons, le récepteur a donc besoin de la séquenced'indices de codes (i0, . . . , inb−1) pour pouvoir démoduler parfaitement sur canal parfait. Il estdonc nécessaire, comme pour la technique SLM, de transmettre de l'information de bord aurécepteur.

B(U−1)k−1

6

- -

code 0code 1code U − 1

-

-

-

-

-

-

wj7Ξ

Mod.Mod.Mod.

SELECTIONMémoire FIFO Mod.

bm,k

B(0)k−1

B(1)k−1

Bk−1

Bk

signal utilesortant

-ik−1

Fig. 4.7 Modulateur pour une modulation multiporteuse avec forme d'onde incluant latechnique OSLM.

110 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde- Démod. -

Bnb−1 décodage -

?

(i0, i1, . . . , inb−1)

bm,n

m ∈ 0, . . . ,M − 1n ∈ 0, . . . , nb− 1

signalFig. 4.8 Démodulateur pour une modulation multiporteuse avec forme d'onde incluant latechnique OSLM.4.3.4 Illustration de la technique OSLM sur un exempleLa méthode OSLM peut se comprendre sans doute plus aisément à partir des illustrationsque nous présentons aux gures 4.9 à 4.11 dans le cas d'une forme d'onde telle que Lh = 4P(v = 4).La gure 4.9 décrit le moment à partir duquel l'algorithme commence, c'est-à-dire lorsquetous les chevauchements sont réalisés (ici, au niveau du 4ème intervalle de temps de longueur P ).L'opération de codage est réalisée sur l'intervalle de temps où le chevauchement est maximal,mais pas sur les intervalles de temps précédents.Sur la gure 4.10, on montre que l'on génère les U signaux multiporteuses grâce aux Uensembles de données sur les 4 premiers intervalle de temps de longueur P . Puis le calcul duPAPR est réalisé pour chacun des U signaux sur le dernier intervalle de longueur égal à Lh etenn on mémorise l'index du code et les données sur le 4ème intervalle de temps menant auPAPR minimal.La gure 4.11 montre ce qu'il se passe sur le temps symbole suivant, c'est-à-dire lorsquel'on ajoute une forme d'onde. Les symboles à déterminer se trouvent sur le 5ème intervalle delongueur P . L'opération de codage est réalisée sur cet intervalle de temps mais pas sur lesprécédents et on utilise les symboles obtenus lors de l'étape précédente pour le 4ème tempssymbole. La suite de l'algorithme est la même qu'avant, c'est-à-dire que l'on calcule le PAPRet on mémorise l'indice de temps et les données menant à la valeur de PAPR la plus faible.L'algorithme peut alors être itéré quel que soit le temps symbole considéré.Il est maintenant intéressant d'observer les performances de cet algorithme en termes deréduction du PAPR. Nous étudierons séparément les performances pour l'OFDM/OQAM etl'OFDM suréchantillonné, mais elles seront cependant toutes deux comparées à l'OFDM. Ilapparaît assez clairement que le nombre de codes U est, comme pour la technique SLM,un paramètre important vis-à-vis des performances. D'autre part, on peut aussi voir que v(plus généralement la longueur du prototype) peut avoir un impact non négligeable en termesd'ecacité de l'algorithme.

4.3. L'OSLM : une méthode de réduction adaptée aux modulations avec forme d'onde 1116

-temps-P 6premiers symboles à déterminer

1) codage des donnéescontenues dans cet intervalle?

2) pas de codagesur ces intervalles

Fig. 4.9 Phase 1 de l'algorithme OSLM.6

-temps-P

1) Génération des U signaux-2) calcul du PAPR sur cet intervalle

3) mise en mémoire :- de l'indice du code- des donnéesaboutissant au PAPR minimal-

Fig. 4.10 Phase 2 de l'algorithme OSLM.

temps-P

6

--nouveaux symbolesà déterminer/

1) codage/

2) pas de codage(symboles obtenus à l'étape précédente)3) Calcul PAPR + mémorisationFig. 4.11 Phase 3 de l'algorithme OSLM.

112 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde4.4 Performances de l'algorithme OSLMCette section montre les performances de l'algorithme OSLM de réduction du PAPR pourles modulations avec forme d'onde. On y complète les résultats que nous avons déjà publiésdans [145, 146].4.4.1 L'OSLM pour l'OFDM/OQAML'algorithme OSLM peut être adapté à l'OFDM/OQAM en prenant simplement P = M/2.La première analyse possible est d'observer l'inuence du nombre de codes U sur l'ecacitéde l'algorithme OSLM.Inuence de ULa gure 4.12 nous donne les performances en termes d'amélioration de CCDF apportéepar l'OSLM pour un système OFDM/OQAM à 64 porteuses. Le ltre prototype est le ltreIOTA de longueur 256 = 8× 32. On observe que l'on a la même évolution en fonction de U àsavoir que plus U augmente, meilleures sont les performances de l'algorithme pour les mêmesraisons que celles évoquées pour la technique SLM.

2 3 4 5 6 7 8 9 1010

−3

10−2

10−1

100

γ (dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM: distribution initialeIOTA: distribution initialeOFDM: U = 2IOTA: U = 2OFDM: U = 4IOTA: U = 4OFDM: U = 8IOTA: U = 8

Fig. 4.12 Inuence du nombre de codes U sur les performances de la technique OSLM pourun système OFDM/OQAM à 64 porteuses.Cependant, on observe très clairement un écart important au niveau du pouvoir de réduc-tion entre l'OFDM et l'OFDM/OQAM. En eet, pour U = 4, on observe un gain moyen del'ordre de 2 dB pour la technique SLM alors que la technique OSLM n'apporte qu'un gain del'ordre de 1.5 dB. Pour mieux expliquer ces écarts de performance, regardons ce qu'il se passelorsque l'on fait varier la longueur du prototype.

4.4. Performances de l'algorithme OSLM 113Inuence de la longueur du prototypeLa gure 4.13 nous montre l'inuence de la longueur du ltre prototype sur les perfor-mances de l'algorithme. Pour cela, nous avons choisi un système OFDM/OQAM à M = 64porteuses avec un ltre prototype IOTA de longueur Lh = vM/2 et nous avons fait varier lavaleur de ce paramètre v.

2 3 4 5 6 7 8 9 1010

−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM: distribution initiale

OFDM avec SLM

OFDM/OQAM/IOTA, v=2

OFDM/OQAM/IOTA, v=4

OFDM/OQAM/IOTA, v=8

OFDM/OQAM/IOTA, v=16

Fig. 4.13 Inuence de la longueur du prototype sur les performances de la technique OSLMpour un système OFDM/OQAM à 64 porteuses.Nous remarquons que si v diminue (c'est-à-dire si l'on utilise un prototype court), lesperformances deviennent meilleures. Pour v = 2, nous faisons même mieux que la techniqueSLM pour l'OFDM. Pour v = 4, nous sommes aussi très proches de la courbe issue de latechnique SLM. L'inuence de la longueur du ltre prototype peut s'expliquer en observantles gures 4.9, 4.10 et 4.11. En eet, plus v augmente, plus le nombre de formes d'ondeintervenant au niveau des symboles à choisir augmente. Dès lors, si sur l'intervalle Ik, on choisitlesM/2 symboles minimisant le PAPR, sur l'intervalle de temps suivant Ik+1, par l'ajout d'unenouvelle forme d'onde, on modie le signal sur l'intervalle de temps Ik et il se peut que cettemodication fasse augmenter de manière signicative les pics de puissance. Ceci est d'autantplus vrai que b augmente car on augmente ainsi le nombre de symboles voisins bavant surle temps symbole considéré. Ainsi, pour v = 2, seule la forme d'onde précédente intervientsur l'intervalle de temps considéré. On réduit donc les risques de modication majeure de lavaleur du PAPR lorsque les formes d'ondes sont ajoutées ce qui explique par conséquent lesbonnes performances en termes de réduction de PAPR.Inuence du prototypeLa gure 4.14 illustre ce qu'il se passe pour des ltres prototypes non orthogonaux (appelésNO par la suite). Le ltre NO, utilisé sur cette gure, est généré en tirant aléatoirement ses

114 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondecoecients. Il est de longueur 64 (v = 2) et sa valeur de ε est 1. Sur cette même courbe,nous avons aussi choisi un ltre orthogonal cette fois-ci. Ce ltre est un ltre optimisé pourle critère de localisation temps-fréquence (TFL) de longueur 64. Nous appliquons donc à cessystèmes l'algorithme OSLM pour des valeurs de U diérentes.

4 5 6 7 8 9 10 11 1210

−4

10−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

NO: dist. initialeTFL: dist. initialeNO: U=2NO: U=4NO: U=8TFL: U=2TFL: U=4TFL: U=8

Fig. 4.14 Inuence du prototype sur les performances de la technique OSLM pour dessystèmes OFDM/OQAM à 64 porteuses.Nous voyons donc que les gains (pour U xé) sont identiques pour les systèmes orthogonauxet non-orthogonaux. De plus, ces gains sont tout à fait comparables à ceux obtenus sur la gure4.13 pour le ltre quasi-orthogonal IOTA pour v = 2 et U = 4. Ces résultats tendent donc àmontrer que le prototype choisi n'inue pas sur les performances de l'algorithme OSLM.Inuence du nombre de porteuses MLe tableau 4.1 montre les résultats obtenus pour des systèmes OFDM/OQAM à 1024 por-teuses. Ici, nous avons utilisé des ltres prototypes optimisés en localisation temps-fréquencepour mener nos simulations. En outre, pour ne pas trop surcharger cette section de courbes,nous avons pris le parti de résumer ceci sous forme d'un tableau en indiquant le gain en dBapporté par la technique OSLM pour deux seuils de CCDF diérents : à 10−1 et à 10−2. Cetableau donne aussi le gain de la technique SLM pour de l'OFDM à 1024 porteuses.Dans un premier temps, nous remarquons les mêmes comportements que ceux précédem-ment observés : amélioration des performances en fonction de U , meilleurs gains pour des ltres prototypes courts, meilleurs gains qu'en OFDM pour v = 2 et gains comparables pour v = 4.On observe malgré tout des gains moins importants pour M = 1024 par rapport au casM = 64 pour une valeur de U xée. Par exemple, en nous reportant aux gures 4.12 et 4.13, onobserve que le gain pour l'OFDM et l'OFDM/OQAM (v = 2) est de l'ordre de 1.75 dB à 10−1et de 2.5 dB à 10−2 pour 4 codes. Il est cependant nécessaire de faire le lien avec l'inuencedu nombre de codes U . On observe ainsi que le gain augmente avec le rapport U/M . A U xé,

4.4. Performances de l'algorithme OSLM 115Tab. 4.1 Gain (en dB) obtenu par la technique OSLM pour diérents systèmesOFDM/OQAM à 1024 porteuses.U = 4 U = 8OFDM 10−1 1.09 1.45avec SLM 10−2 1.59 2.09

Lh = M 10−1 1.20 1.47(v = 2) 10−2 1.75 2.15Lh = 2M 10−1 1.02 1.3(v = 4) 10−2 1.55 1.99Lh = 4M 10−1 0.79 0.98(v = 8) 10−2 1.25 1.54plus M augmente, plus le fait de modier les symboles émis par codage a moins d'inuence.En eet, plus M augmente, plus on a tendance à regrouper les valeurs du PAPR en fonctiondes symboles envoyés autour d'une certaine valeur moyenne. Ainsi, en changeant les symbolesémis par codage, on reste globalement autour de cette valeur moyenne en termes de PAPR etdonc les gains sont moins importants. Ceci peut être exprimé analytiquement pour l'OFDMdans la mesure où :

Prinit(PAPR > γ) = 1 −(1 − e−γ

)M

Prslm(PAPR > γ) =(

1 −(1 − e−γ

)M)U

.(4.22)Fixons nous une probabilité de clipping p, ainsi le gain de réduction en dB peut être expriméde la manière suivante :

∆γ = γdBinit − γdBSLM = 10 log10

log(

1 − e−log(1−p)

M

)

log(

1 − e−log(1−p/U)

M

)

(4.23)La gure 4.15 illustre donc ce gain de réduction pour l'OFDM avec SLM en fonction de laprobabilité de clipping que l'on considère et de M , pour U = 4.Cette gure montre bien que plus M augmente, plus les performances en termes de gainde réduction diminuent. Pour l'OFDM/OQAM, on a la même évolution sauf que la valeur desgains dière (en fonction de la longueur du prototype choisi).4.4.2 L'OSLM pour l'OFDM suréchantillonnéL'algorithme OSLM peut aussi être adapté à l'OFDM suréchantillonné en prenant sim-plement P = N ′ = ηM . Observons maintenant les performances de l'algorithme. Pour cela,nous allons alléger le contenu encore une fois en ne présentant que les CCDF initiales d'unepart (gure 4.16) et les gains apportés par l'OSLM pour diérents scénarios d'autre part (ta-bleau 4.2). En eet, pour l'OFDM/OQAM, comme les simulations sont menées en utilisantdes prototypes orthogonaux, les CCDF initiales sont confondues avec celles de l'OFDM, suiteau théorème 3.2. Ainsi, la lecture des courbes (comme la gure 4.13 par exemple) est assezaisée car il n'est pas nécessaire d'inclure les CCDF initiales de tous les systèmes considérés.Par contre, pour l'OFDM suréchantillonné, le théorème 3.3 nous montre que chaque système

116 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'onde

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Probabilité de clipping p

Gai

n (e

n dB

)

M = 64M = 128M = 256M = 512M = 1024M = 2048

Fig. 4.15 Gain de la technique SLM en fonction de la probabilité de clipping et du nombrede porteuses pour U = 4.OFDM suréchantillonné a une CCDF qui lui est propre, que le système soit orthogonal ounon. Ainsi, la gure 4.16 nous montre les CCDF initiales pour diérents systèmes OFDMsuréchantillonnés à 64 porteuses. Les ltres prototypes sont des ltres SRRC de longueur vN ′,v ∈ 1, 2, 4. Le tableau 4.2 nous donne les gains apportés par l'OSLM pour diérents cas degure. Nous rappelons que pour 64 porteuses et 4 codes, la technique SLM ore un gain de1.67 dB à 10−1 et 2.32 dB à 10−2. Pour 8 codes, la technique SLM ore un gain de 2.22 dB à10−1 et 3.03 dB à 10−2Tab. 4.2 Gain (en dB) obtenu par la technique OSLM pour diérents systèmes OFDMsuréchantillonnés.

U = 4 U = 8η = 5

4 η = 32 η = 5

4 η = 32

LhN ′ Pr(PAPR > γ) = 0.1 1.65 1.66 2.15 2.17= 1 Pr(PAPR > γ) = 0.01 2.36 2.37 3.02 3.08LhN ′ Pr(PAPR > γ) = 0.1 0.96 0.86 1.17 1.06= 2 Pr(PAPR > γ) = 0.01 0.87 0.77 1.01 0.91LhN ′ Pr(PAPR > γ) = 0.1 0.21 0.18 0.30 0.22= 4 Pr(PAPR > γ) = 0.01 0.19 0.21 0.27 0.19

4.4. Performances de l'algorithme OSLM 117

4 5 6 7 8 9 10 1110

−3

10−2

10−1

100

γ

Pr(

PA

PR

>γ)

OFDM

v=1, η=1.25 (ε=0.52)

v=1, η=1.5 (ε=0.61)

v=2, η=1.25 (ε=0.20)

v=2, η=1.5 (ε=0.33)

v=4, η=1.25 (ε=0.16)

v=4, η=1.5 (ε=0.31)

Fig. 4.16 CCDF initiale de plusieurs systèmes OFDM suréchantillonnés à 64 porteusesutilisant un ltre prototype SRRC de longueur variable.Inuence de UTout comme en OFDM/OQAM, nous remarquons une forte inuence de U sur les perfor-mances de l'algorithme, les raisons étant bien sûr les mêmes que celles évoquées pour l'OFDMou l'OFDM/OQAM.Inuence de la longueur du prototypeComme en OFDM/OQAM, nous observons que le paramètre v est celui qui fait varier leplus spectaculairement les performances de l'algorithme. En eet, le fait de doubler la longueurLh = vN ′ du prototype fait chuter le gain de réduction de quelques dB. Ainsi, pour v = 4,nous observons un gain très faible (de l'ordre de 0.2 dB) alors que pour l'OFDM/OQAM, legain de réduction reste encore intéressant même pour des longs prototypes. Nous expliqueronscette diérence importante de comportement de l'algorithme dans le paragraphe 4.4.3.Inuence du rapport de suréchantillonnage ηDes simulations ont aussi été menées pour étudier l'inuence d'un paramètre propre à cettemodulation, à savoir le rapport de suréchantillonnage η. Nous avons déjà vu que ce paramètreinue sur les distributions initiales comme le montre les courbes 3.5 et 3.6. Le tableau 4.2montre cependant que η n'inue pas de manière notable sur le gain de réduction.

118 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeInuence du prototypePour l'OFDM suréchantillonné, nous ne disposons de ltres prototypes parfaitement or-thogonaux et optimisés selon les critères TFL et FS que pour des longueurs Lh = vN ′ avecvmin = M0. Notre base de données ne comportant que des ltres optimisés pour M0 ≥ 2,nous n'avons pu tester les prototypes les plus courts (v = 1) satisfaisant ces critères. Les testseectués pour des valeurs de v égales à 4 ou 8 nous montrent que l'on retrouve des résultatsproches de ceux présentés dans le tableau 4.2, obtenus avec la forme d'onde SRRC. Ceci tendà montrer que l'impact du prototype, ainsi que la distance à la CCDF optimale ε, est trèsréduit concernant la réduction du PAPRInuence du nombre de porteuses MComme en OFDM/OQAM, nous présentons les performances de l'algorithme OSLM pour1024 porteuses. Les CCDF originales ont été montrées dans le chapitre précédent, sur la gure3.11. Le tableau 4.3 nous indique les gains de réduction obtenus pour diérents systèmesOFDM suréchantillonnés. Le ltre prototype est un ltre SRRC de longueur vN ′ avec v ∈1, 2, 4.Tab. 4.3 Gain (en dB) obtenu par la technique SLM pour diérents systèmes OFDM sur-échantillonnés.

U = 4 U = 8OFDM 10−1 1.09 1.45avec SLM 10−2 1.59 2.09OFDM suréchantillonné η = 54 η = 3

2 η = 54 η = 3

2LhN ′ 10−1 1.19 1.14 1.50 1.50= 1 10−2 1.75 1.79 2.15 2.16LhN ′ 10−1 0.53 0.49 0.55 0.52= 2 10−2 0.47 0.47 0.64 0.56LhN ′ 10−1 0.13 0.10 0.18 0.14= 4 10−2 0.13 0.12 0.21 0.15Nous remarquons que dans ce cas aussi, les gains sont plus faibles, la raison ayant été expo-sée dans la partie analogue pour l'OFDM/OQAM. Nous remarquons aussi que les conclusionsconcernant l'inuence de U , v et η restent vériées pour M = 1024.

4.5. La métrique cubique 1194.4.3 OFDM/OQAM vs. OFDM suréchantillonnéNous avons observé des diérences notables concernant les performances de l'algorithmeOSLM en fonction de la longueur du prototype selon l'utilisation de la modulation OFDM/OQAMou bien de la modulation OFDM suréchantillonnée. En eet, si la longueur du ltre prototypeaugmente, nous observons des dégradations des performances beaucoup plus importantes enOFDM suréchantillonné. Ceci peut s'expliquer en observant la manière dont fonctionne l'al-gorithme OSLM selon la modulation utilisée. En OFDM/OQAM, l'algorithme OSLM chercheà chaque étape le code générant un signal de PAPR le plus faible sur des intervalles de tempscorrespondant à M/2 échantillons. Par contre, en OFDM suréchantillonné, cette recherche esteectuée sur des intervalles de temps correspondant à ηM, η > 1 échantillons. Ainsi, pour lecalcul a posteriori du PAPR (eectué lorsque l'OSLM a été réalisé sur l'intégralité du signal),nous nous rendons compte que l'OSLM a été eectué 2 fois sur un temps symbole pour le casde l'OFDM/OQAM alors qu'il ne l'a été qu'une seule fois sur un temps symbole pour l'OFDMsuréchantillonné. De cette manière, pour des ltres longs, le fait de réaliser 2 fois l'OSLM surun temps symbole en OFDM/OQAM permet d'améliorer de manière notable les CCDF etdonc d'obtenir des gains de réduction bien meilleurs.D'autre part, nous avons montré que pour les ltres courts, les performances (aussi bien enOFDM/OQAM qu'en OFDM suréchantillonné) sont les plus intéressantes. Ceci est très pro-table pour ces modulations avec forme d'onde car dans le cas de ltres prototypes de longueurM pour l'OFDM/OQAM (respectivement N ′ pour l'OFDM suréchantillonné), le modulateurassocié devient moins complexe dans la mesure où le ltrage polyphase se réduit à un ltrageavec un seul coecient. On arrive donc à des performances en termes de complexité (à la foispour le modulateur et le modulateur incluant la technique de réduction du PAPR) tout à faitcomparables à celles de l'OFDM. Toutefois, même si cela ne semble pas être systématiquementle cas pour l'OFDM/OQAM (voir le chapitre 5), l'utilisation de ltres très courts peut avoirdes répercussions négatives sur les performances globales du système de transmission.4.5 La métrique cubiqueAu cours de nos travaux de recherche concernant le PAPR, il est apparu dans quelquespublications [36, 12] une nouvelle mesure de uctuation de puissance pour les modulationsmultiporteuses. Cette mesure est la métrique cubique (Cubic Metric, CM). Cette mesureserait en concurrence avec le PAPR car elle est supposée donner des résultats beaucoup plusexploitables vis-à-vis du calibrage des amplicateurs de puissance [5, 6]. Cette partie a pourobjectif de vérier comment cette mesure s'applique aux cas des modulations avec formed'onde.4.5.1 DénitionLa dénition de la métrique cubique CM est détaillée dans [3]. Elle est aussi donnéedans [149] :

CM =RCM −RCMref

K. (4.24)RCM (pour Raw Metric Cubic) est la métrique cubique brute et est dénie pour un signal spar :

120 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeRCM = 20 log

(

RMS

(( |s(t)|RMS(s(t))

)3))

, (4.25)où RMS(s(t)) est la valeur RMS du signal s :RMS(s(t)) =

√

1

T0

∫ T0

0|s(t)|2 dt. (4.26)

RCMref est la valeur RCM d'un signal W-CDMA, considéré comme signal de référence. Nousavons alors RCMref = 1.52 dB. Enn K est un facteur empirique, déni comme valant 1.56pour les signaux multiporteuses.4.5.2 Interprétation de la dénitionL'un des soucis concernant le PAPR est que sa dénition ne prend en compte que le picmaximal de puissance. Les pics de puissance secondaires, qui peuvent être du même ordre degrandeur que le pic principal, ne sont pas pris en considération. Ainsi, si on calibre l'amplica-teur de puissance sur la base du PAPR, lorsque le signal possède de forts pics de puissances, lespics secondaires peuvent être aussi distordus et on peut perdre ainsi beaucoup d'informationutile. Le calcul du PAPR, même s'il ore des informations intéressantes sur le calibrage desamplicateurs, ne garantit rien concernant les pics de puissance secondaires. La CM, de parsa dénition, indique un comportement plus global du signal sur un temps symbole par lecalcul de valeurs RMS. De plus, le fait de calculer des valeurs cubiques vient de l'approxima-tion courante des courbes AM/AM des amplicateurs de puissance par une fonction cubiquePout = a1Pin + a3P

3in. La dénition de la CM prend en compte le comportement global dusignal passant par un amplicateur cubique sur un temps symbole.4.5.3 L'OSLM pour la réduction de la métrique cubiqueA l'instar du PAPR, le problème de réduction de la CM a un sens car on limite ainsi lesuctuations importantes de la puissance du signal. D'autre part, cela permet une calibrationde l'amplicateur avec moins de restrictions. En fait, l'écriture de l'algorithme OSLM adaptéà la CM est très simple à mettre en ÷uvre car elle consiste tout simplement à reprendrel'algorithme décrit en 4.3.3 et de remplacer PAPR par CM.4.5.4 Simulations et performancesDans cette section, nous nous sommes simplement intéressés au cas de l'OFDM/OQAM.Nous avons choisi des systèmes à 64 porteuses. D'après l'équation (4.24), seule la valeur deRCM est susceptible de varier, nous n'avons donc reporté que cette valeur pour faire notreanalyse. De plus, nous avons testé deux algorithmes : l'OSLM adapté pour la CM : la mesure à minimiser à chaque étape est la CM et oncalcule la CM a posteriori. l'OSLM adapté pour le PAPR : la mesure à minimiser à chaque étape est le PAPR eton calcule la CM a posteriori.

4.5. La métrique cubique 121Tab. 4.4 Performance de la technique de réduction de la CM pour des systèmesOFDM/OQAM à 64 porteuses. RCM (en dB) avec RCM (en dB) avecFiltres RCM initial l'OSLM adapté l'OSLM adaptéprototype (en dB) pour le PAPR pour la CMU = 4 U = 8 U = 4 U = 8IOTA, Lh = 4M 7.33 6.72 6.51 6.44 6.17SRRC, Lh = 4M 7.36 6.69 6.51 6.42 6.15TFL Lh = M 7.31 6.07 5.73 5.86 5.46TFL, Lh = 2M 7.33 6.38 6.10 6.14 5.81TFL, Lh = 4M 7.33 6.68 6.52 6.43 6.15FS, Lh = M 7.33 6.08 5.76 5.87 5.49FS, Lh = 2M 7.35 6.38 6.12 6.13 5.80FS, Lh = 4M 7.35 6.69 6.50 6.41 6.15Nous rendons ainsi dans le tableau 4.4 les valeurs moyennes de RCM, les moyennes étantcalculées sur 5000 réalisations du signal.Nous observons donc que l'algorithme adapté à la CM donne bien évidemment de meilleursrésultats que l'algorithme adapté au PAPR car l'algorithme travaille en termes de minimisationde la CM. L'intérêt de cette comparaison est surtout de montrer que réduire le PAPR ne signiepas forcément réduire la CM de la même manière. Si on réduit le PAPR, on réduit la CMbeaucoup moins bien que si l'on réduisait directement la CM. Ce qui conrme le fait que lePAPR et la CM ne mesurent pas les mêmes caractéristiques du signal et sont donc des mesurescomplémentaires l'une de l'autre.D'autre part, on observe exactement les mêmes comportements de l'algorithme OSLMadapté pour la CM par rapport à la technique OSLM appliquée au PAPR. En eet : plus U augmente, meilleure est la réduction. plus v augmente, plus les performances se dégradent rapidement.Les raisons expliquant ces évolutions sont bien sûr les mêmes que celles décrivant le com-portement de l'OSLM vis-à-vis de la réduction du PAPR.

122 Chapitre 4. Réduction du PAPR des modulations avec forme d'ondeConclusionsCe chapitre a présenté un algorithme de réduction du PAPR adapté aux modulations avecforme d'onde et tenant compte justement du chevauchement existant entre des formes d'ondesuccessives. Cet algorithme est l'OSLM (pour Overlapped SeLective Mapping).Pour l'OFDM/OQAM, les résultats sont tout à fait compétitifs par rapport à la techniqueSLM pour l'OFDM pour des ltres courts (typiquement Lh = M ou Lh = 2M). Par contre,plus on augmente la longueur, plus les performances se dégradent.Pour l'OFDM suréchantillonné, pour les ltres de longueur égale à N ′, les performancessont comparables à celles de la technique SLM, mais dès que l'on double cette longueur, lesperformances se dégradent très vite (plus vite que pour l'OFDM/OQAM).Cependant, le fait d'utiliser des ltres courts permet d'avoir des propriétés intéressantes : les performances de réduction sont très bonnes, meilleures même que la technique SLMpour un système OFDM équivalent. la complexité du modem associé (aussi bien pour l'OFDM/OQAM que pour l'OFDMsuréchantillonné) est réduite car l'étape de ltrage polyphase devient un ltrage à unseul coecient par porteuse.Enn, suite à l'introduction de la mesure appelée métrique cubique, nous avons montréqu'elle pouvait être appliquée à l'OFDM/OQAM (et à l'OFDM suréchantillonné aussi, mêmesi nous n'avons pas présenté de résultats pour cette modulation). De plus, la technique OSLMpeut aussi être appliquée pour réduire la valeur de la CM de ces modulations.

Chapitre 5Estimation de canal pour les systèmesOFDM avec forme d'onde

Jusqu'à présent, nous avons étudié les signaux OFDM et OFDM avec forme d'onde ensortie de modulateur, juste avant le passage dans le canal de propagation. Nous avons pud'ailleurs observer que des questions importantes peuvent se poser à ce niveau-ci de la chaînede transmission. Ainsi, il arrive qu'un signal soit déjà perturbé avant même de traverser lecanal. C'est la raison pour laquelle l'étude du PAPR et de la DSP est tout à fait signicativeet importante quant à l'étude des performances d'une modulation donnée. Seulement, c'estessentiellement le canal de transmission qui distord le plus un signal donné soit à cause de fortsévanouissements fréquentiels, soit par la présence d'échos, soit par la présence de Doppler. Lesconséquences des perturbations liées au canal peuvent être mesurées en partie grâce au tauxd'erreur binaire (TEB) qui indique la quantité de bits d'information mal transmis sur un canalconsidéré. Ainsi, pour des canaux diciles, présentant de nombreux types de perturbationsdiérents, il devient alors nécessaire de compenser les eets du canal au niveau du récepteur.Ainsi, le problème d'estimation de canal consiste à trouver une approximation de la fonctionde transfert du canal pour limiter les eets en réception. Si on cherche à déconvoluer lecanal, on parle alors plutôt d'égalisation. Dans le cas des systèmes OFDM, lorsqu'ils sont biendimensionnés, l'estimation de canal revient à déterminer un coecient de canal par porteuse,ce qui simplie grandement le problème. Ainsi, soit par un critère de type Zero Forcing (ZF),soit par un critère de minimisation de l'erreur quadratique moyenne (MMSE), on arrive àlimiter très ecacement les eets du canal et du bruit. L'objectif est donc de conserver cettesimplicité d'estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde en trouvant desméthodes qui estiment un seul coecient de canal par porteuse. Les solutions d'estimation decanal présentent un intérêt certain car elles sont valables quel que soit le canal utilisé. Nousprésentons ainsi en 5.1 les solutions existantes pour l'OFDM ainsi que celles proposées ausein de France Télécom Recherche et Développement pour la modulation OFDM/OQAM. Lapartie 5.2 décrit deux nouvelles méthodes d'estimation de canal réalistes pour la modulationOFDM/OQAM. Enn, la partie 5.3 fournit une analyse et des résultats complémentairesconcernant ces techniques d'estimation. 123

124 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde5.1 Rappel des techniques d'estimation de canal pour les mo-dulations multiporteuses5.1.1 Position du problème pour un canal quasi-statiqueUn signal s(t), issu d'une modulation quelconque, peut s'écrire, après passage dans uncanal de propagation donné, de la manière suivante :r(t) = (s⊗ κ)(t) + n(t), (5.1)où κ est le canal de propagation, dont l'expression n'est pas connue a priori du récepteur, et n(t)est un bruit blanc gaussien. Pour simplier les développements ultérieurs, nous supposeronsque le canal est quasi-statique, c'est-à-dire variant peu en fonction du temps (typiquement surun intervalle de temps égal au temps symbole OFDM T0). Avec cette hypothèse, il est possiblede réaliser une estimation de canal ecace en égalisant avec un seul coecient par porteuse.Ainsi, en passant dans le domaine fréquentiel, nous avons :R(ν) = S(ν)K(ν) +N(ν). (5.2)Le but est donc de trouver une fonction Ke(ν) de sorte que :

K(ν)Ke(ν) ≈ 1. (5.3)De manière similaire, on peut reformuler ce problème en utilisant les versions discrètes dessignaux et du modèle de canal. Dans ce cas de gure, le canal peut être vu comme un ltrede longueur L. Ainsi, nous avons :r[k] = (s⊗ κ)[k] + n[k]. (5.4)On cherche alors un ltre Ke(z) tel que :

K(z)Ke(z) ≈ 1, avec K(z) =

L−1∑

m=0

κ[m]z−m. (5.5)5.1.2 Les techniques d'estimation de canal pour la modulation OFDMDu fait de l'utilisation importante de l'OFDM dans de nombreuses normes de télécommu-nication, de nombreuses solutions ont été proposées. La plus connue et la plus simple restel'insertion d'un intervalle de garde [115] qui permet ainsi de s'aranchir d'une partie de l'IESgénérée par un canal multitrajet (voir 1.1.4 pour plus de précisions). De manière plus générale,on peut distinguer 3 types d'estimation de canal. La première est l'estimation dite parfaite.Le canal est parfaitement connu et on suppose qu'il n'y a pas de bruit AWGN. Cette méthoden'est pas une méthode d'estimation réaliste car dans les cas pratiques, on ne connaît pas lecanal a priori. Cette méthode a pour objectif de donner une limite théorique et de pouvoircomparer les méthodes réalistes à cette borne théorique pour analyser les performances d'esti-mation de canal. La seconde méthode est l'estimation de canal par préambule. Pour ce type deméthode, on insère au début d'une trame une séquence de données choisie de sorte à minimiserl'IES générée par le canal. Le troisième type de méthode est l'estimation de canal par pilotesrépartis. Pour ces méthodes, on place à certains endroits d'une trame un symbole de référence

5.1. Rappel des techniques d'estimation de canal pour les modulations multiporteuses 125qui est connu du récepteur et qui permet de connaître la valeur du canal en certains pointsdu réseau temps-fréquence. On estime alors les coecients de canal sur les autres points dece réseau par interpolation. Remarquons que ces méthodes sont des méthodes qui gèrent lesproblèmes d'estimation de canal à l'émission. Ainsi, dans la suite de ce chapitre, nous ne nousintéresserons qu'à ce type de solutions. En dehors de ces techniques classiques, il existe biensur d'autres familles de solutions possibles (cf. [82] par exemple).On peut ainsi citer les méthodes d'estimation de canal dites itératives (Turbo Estima-tion), dont le principe peut par exemple être résumé dans [181]. Ce procédé a pour but deréduire l'eet du bruit généré par l'estimation de canal en réestimant itérativement le coe-cient de canal.On peut enn parler des méthodes d'estimation de canal de type aveugle ou semi-aveugle.Ces méthodes ont pour objectif de gérer les problèmes de distorsion liés au canal sans connais-sance a priori du canal ni des séquences d'apprentissage. Elles utilisent des statistiques par-ticulières des signaux émis pour retrouver l'inuence du canal en réception. Une étude de cetype de solutions pour l'OFDM a été abordée dans les travaux de thèse de M. de Courville [36].Les méthodes semi-aveugles couplent l'estimation aveugle avec une phase d'apprentissage, lepassage d'une phase à l'autre étant géré par un critère probabiliste. Une étude plus détailléede ces méthodes d'estimation de canal peut ainsi être vue dans la référence [127].Estimation parfaiteComme expliqué plus haut, cette technique n'est pas une technique d'estimation réaliste(car elle suppose la connaissance parfaite du canal) mais sert de référence pour étalonner lesperformances des techniques réalistes. En pratique, les coecients de canal sont estimés enenvoyant, dans le canal en absence de bruit, un signal OFDM dont les données sont toutesconnues, un cas particulier simple étant l'envoi de 1 uniquement. Ainsi, le signal reçu audémodulateur est la réponse fréquentielle du canal. En eet, le signal OFDM envoyé est alors :s(t) =

M−1∑

m=0

ej2πmF0t, (5.6)le signal dans le domaine fréquentiel étant alors :S(ν) =

M−1∑

m=0

δ(ν −mF0), (5.7)où δ est la distribution de Dirac. En absence de bruit, le signal reçu est alors, dans le domainefréquentiel :R(ν) =

M−1∑

m=0

Kmδ(ν −mF0), (5.8)où Km est le coecient de canal sur la fréquence m. Ainsi, en démodulant, on obtient le coef-cient de canal sur chaque fréquence porteuse. On peut ainsi résumer la méthode d'estimationparfaite par la gure 5.1.L'opération d'égalisation est ici une simple division sur chaque porteuse des symboles obtenusaprès démodulation par le coecient de canal Km.

126 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde- -

6

- - - -

-- -

modulateurmodulateur canalcanal bruit démodulateur égalisationdémodulateurdonnées(1,...,1) coecientsde canalFig. 5.1 Chaîne de communication pour l'estimation parfaite du canal en OFDM.Estimation par préambulePour l'estimation par préambule, qui est une solution d'estimation réaliste, on insère demanière périodique un préambule sur toutes les fréquences à un temps symbole donné. Lesvaleurs de ce préambule ont pour but de trouver la meilleure estimation possible du canal depropagation. La structure de ce type de solution est donnée en 5.2.

-

6

temps

fréquencedonnées utiles données utilesmbule

préa mbulepréa

Fig. 5.2 Estimation par préambule.Si on note (c(p)0 , ..., c

(p)M−1) les données du préambule, on reçoit donc après démodulation surla porteuse m :

rm = Kmc(p)m + nm, (5.9)où nm est un terme de bruit. Comme c(p)m est connu du récepteur, on obtient que :

Km =rm

c(p)m

. (5.10)On peut donc envoyer des données quelconques dans le préambule, pourvu que la séquencesoit connue. Il est évident qu'en pratique, d'après les études précédentes, il est plus judicieuxde choisir un préambule qui possède une valeur de PAPR faible.

5.1. Rappel des techniques d'estimation de canal pour les modulations multiporteuses 127Estimation par pilotes répartisUne autre solution réaliste possible est d'utiliser les méthodes d'estimation de canal parpilotes répartis. Cette technique consiste à choisir convenablement des positions de référencesur le plan temps-fréquence et d'y estimer la valeur du canal, comme le montre la gure 5.3.6

-

m

mm

mm

mmmmmmm

mmmmmmm

mmmmmmm temps

fréquencemm

mm

mm

mm

m

m

mm

mm

pilotemdonnéeFig. 5.3 Estimation par pilotes répartis.En eet, sur une position de référence (m0, n0), après démodulation, nous obtenons :

rm0,n0 = Km0,n0c(pr)m0,n0

+ nm0,n0. (5.11)Ainsi, en connaissant la valeur du pilote c(pr)m0,n0 , on peut ainsi trouver une estimation ducoecient de canal en (m0, n0) en eectuant :Km0,n0 =

rm0,n0

c(pr)m0,n0

. (5.12)Ainsi, pour connaître le canal sur tout le réseau temps-fréquence, on réalise une interpola-tion comme il est par exemple fait dans la référence [40]. Cette méthode est donc plus ecacesi le canal varie dans le temps car on peut estimer le canal à plusieurs instants diérents. Ande réaliser une bonne estimation, les motifs de répartition des pilotes dépendent des variationsdu canal en temps et en fréquence et donc de la bande de cohérence (en fréquence) et dutemps de cohérence (en temps) du canal considéré, valeurs a priori connues.Notons qu'il est tout à fait possible de réaliser une estimation de canal à la fois parpréambule et par pilotes répartis lorsque le canal varie de manière notable en fonction dutemps. Par cette méthode, on connait très bien le canal en fréquence (grâce à la méthode depréambule) et on peut réestimer le canal au cours du temps, si ce dernier varie, grâce à laprésence des pilotes sur certaines fréquences.

128 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde5.1.3 L'estimation de canal pour l'OFDM/OQAMUne technique d'estimation de canal a été développée au sein de France Télécom R&D eta fait l'objet des publications [78] et [63]. Cette méthode y a été décrite pour la modulationOFDM/OQAM utilisant la forme d'onde IOTA J (t), mais on peut montrer qu'elle est tout àfait applicable à n'importe quelle forme d'onde. Le principe de cette méthode est de réduirefortement l'interférence entre symboles sur un pavé temps-fréquence autour d'une position deréférence. Cette technique est appelée méthode de la couronne.Développements théoriquesEn utilisant l'expression (1.57), on peut donc écrire que le signal à la sortie du canal depropagation, considéré comme quasi-statique, de délai maximal ∆ s'écrit, en absence de bruit :r(t) = (s⊗ κ)(t)

=∑

m

∑

n

am,nejφm,nej2πmF0t

∫ ∆

0κ(t, τ)J (t− nτ0 − τ)e−j2πmF0τdτ. (5.13)Supposons désormais que le système OFDM/OQAM soit choisi de sorte que les variations dultre IOTA soient peu importantes sur un intervalle de temps de durée ∆ (en d'autres termesque ∆ soit petit par rapport au support du ltre IOTA), alors on peut dire que J (t−nτ0− τ)est quasiment constant sur [0,∆] et ainsi :

r(t) =∑

m

∑

n

am,nejφm,nej2πmF0tJ (t− nτ0)

∫ ∆

0κ(t, τ)e−j2πmF0τdτ

=∑

m

∑

n

am,nJm,n(t)Km(t), (5.14)avec :Km(t) =

∫ ∆

0κ(t, τ)e−j2πmF0τdτ. (5.15)Si d'autre part, on suppose aussi que le canal varie peu sur le support du ltre IOTA, on peutainsi noter que Km(t) = Km,n et ainsi :

r(t) =∑

m

∑

n

am,nJm,n(t)Km,n. (5.16)Ainsi, les équations de démodulation utilisant le produit scalaire complexe 〈., .〉C s'écriventpour un symbole d'indice n0 et une sous-porteuse m0 :rm0,n0 = 〈r,Jm0,n0〉C

= Km0,n0am0,n0 +∑

m6=m0

∑

n 6=n0

am,nKm,n 〈Jm,n,Jm0,n0〉C . (5.17)

5.1. Rappel des techniques d'estimation de canal pour les modulations multiporteuses 129En annexe D, nous montrons que 〈Jm,n,Jm0,n0〉C peut s'écrire en fonction de la fonctiond'ambiguïté quel que soit le terme de phase choisi pour générer le signal OFDM/OQAM.Nous avons en eet :〈Jm,n,Jm0,n0〉C = (j)χ

m0,n0m,n AJ ((n − n0)τ0, (m−m0)F0), (5.18)avec : χm0,n0

m,n = (m − m0) + (n − n0) + (m − m0)(n + n0). D'autre part, on montre parsimulation que pour |m−m0| > 2 et |n− n0| > 2, les valeurs de AJ ((n−n0)τ0, (m−m0)F0)sont quasiment nulles. Cette propriété est due à la bonne localisation temps-fréquence de laforme d'onde IOTA. Nous dénissons ainsi :Ω =

(m,n) ∈ Z2, |m−m0| ≤ 1, |n− n0| ≤ 1

. (5.19)En supposant enn que le canal ne varie pas sur cet ensemble Ω, nous obtenons que :

rm0,n0 = Km0,n0 (am0,n0 + IES) , (5.20)avec :IES =

∑

(m,n)∈Ω

am,n(j)χ

m0 ,n0m,n AJ ((n − n0)τ0, (m−m0)F0). (5.21)Ainsi, en trouvant une structure de données am,n telle que IES = 0 autour de la positionde référence (m0, n0), grâce à l'équation (5.20), on voit qu'il est possible d'estimer la valeurdu coecient de canal en (m0, n0). Pour annuler l'IES autour de la position (m0, n0), il fautenvoyer des données am,n qui vérient l'équation, pour le terme de phase (1.31) :

α ((am0+1,n0 − am0−1,n0) + (−1)n0(am0,n0+1 − am0,n0−1))

− γ (am0+1,n0−1 + am0+1,n0+1 + am0−1,n0−1 + am0−1,n0+1) = 0, (5.22)avec :α = AJ (τ0, 0) = AJ (0, F0)γ = AJ (τ0, F0)

(5.23)Arrivé à ce stade, on comprend alors plus clairement la raison pour laquelle on parle deméthode de la couronne. En eet, d'après l'équation (5.22), il est nécessaire de contraindreles données am,n à prendre une certaine valeur sur la première couronne autour de la positiondu pilote (m0, n0). D'autre part, l'équation (5.22) n'est obtenue que pour le cas de la formed'onde IOTA car pour cette forme d'onde, qui est isotropique par dénition, c'est-à-dire qu'elleest invariante par transformée de Fourier, nous avons la propriété AJ (τ0, 0) = AJ (0, F0).Ainsi, pour les autres formes d'onde, l'équation fait en général intervenir une constante β =AJ (0, F0). Mais l'équation d'annulation d'IES est néanmoins généralisable quelle que soit laforme d'onde choisie. Elle s'écrit alors :

(−1)n0α(am0,n0+1 − am0,n0−1) + β(am0+1,n0 − am0−1,n0)

− γ (am0+1,n0−1 + am0+1,n0+1 + am0−1,n0−1 + am0−1,n0+1) = 0. (5.24)

130 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondeEstimation pseudo-parfaiteNotons dans un premier temps que l'expression de l'IES donnée en (5.21) est en faitune expression approchée. Ainsi, si nous pouvons déterminer une séquence de données nousdonnant cette valeur approchée de l'IES en tout point du réseau temps-fréquence, nous pouvonsainsi déterminer une valeur approchée du coecient de canal grâce à l'équation (5.20). Onparle donc d'estimation pseudo-parfaite.Il est proposé dans [78] une structure de données permettant de réaliser une estimationparfaite lorsque la forme d'onde utilisée est la forme d'onde IOTA. Cette structure de donnéesrepose sur l'équation (5.22). On observe donc qu'elle dépend de la parité de n0. Les gures5.4 et 5.5 illustrent les données à envoyer selon la parité de n0.Nous vérions donc qu'en n'importe quel point du réseau temps-fréquence, cette structurede données vérie bien l'équation (5.22). Seulement, ceci n'est valable que pour des formesd'onde à symétrie huitième de plan comme IOTA et il n'est pas possible d'étendre ce procédépour les formes d'onde qui n'ont pas la propriété d'avoir α = β.6

-

n0 − 3 n0 − 2 n0 − 1 n0 n0 + 1 n0 + 2 n0 + 3

11-1-111

-111-1-11

-1-111-1-1

1-1-111-1

11-1-111

-111-1-11

-1-111-1-1

temps

fréquence

Fig. 5.4 Estimation parfaite par méthode de la couronne pour les temps symboles pairs.Estimation par préambuleDe la même manière, dans [78], une solution à base de préambule est également proposée.Ce préambule est de longueur 3τ0 et est composé des colonnes n0 − 1, n0 et n0 + 1 des gures5.4 et 5.5, selon la parité de n0.Estimation par pilotes répartisUne estimation par pilotes répartis est proposée dans [63]. Ainsi, comme on n'obtient uneestimation du coecient de canal qu'en certains points (m0, n0) du réseau temps-fréquence, ilest nécessaire de réaliser une interpolation sur tout le plan temps-fréquence pour obtenir une

5.2. Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modulation OFDM/OQAM 1316

-

n0 − 3 n0 − 2 n0 − 1 n0 n0 + 1 n0 + 2 n0 + 3 temps

fréquence

11-1-111

-1-111-1-1

1-1-111-1

11-1-111

-111-1-11

-1-111-1-1

1-1-111-1

Fig. 5.5 Estimation parfaite par méthode de la couronne pour les temps symboles impairs.estimation de canal correcte, comme étudié dans [40] pour l'OFDM. Les simulations montrentque lorsque l'interpolation est réalisée, en temps discret, par ltrage par décomposition envaleurs singulières à l'aide des fonctions prolates [151], l'estimation de canal devient trèsecace par rapport à d'autres solutions d'interpolation (ltrage de type Wiener par exemple).Autres méthodes d'estimation de canal utilisant la forme d'onde IOTAL'article [71] présente une technique d'estimation de canal pour l'OFDM/OQAM utili-sant la forme d'onde IOTA. Les calculs sont proches de ceux de la méthode de la couronnemais étendus aux cas où la seconde couronne autour de la position de référence ne peut êtreconsidérée comme négligeable. Une structure d'un préambule adapté à cette hypothèse estalors donnée. Les résultats de simulation donnent des résultats légèrement meilleurs en tenantcompte de la seconde couronne mais en contrepartie, la longueur du préambule est augmentéece qui a pour conséquence une diminution importante du débit utile.Les solutions proposées par EADS [22, 23] pour l'estimation de canal utilisent des pilotesrépartis selon une structure maillée. On cherche ainsi à répartir de manière optimale P sym-boles pilotes sur un réseau temps-fréquence de taille M ×N de sorte que certaines fréquencesne comportent aucun symbole pilote quel que soit le temps symbole considéré. Une variantede cette technique consiste à prendre des blocs de pilotes (pilotes réels et imaginaires) pouraméliorer l'estimation, en particulier pour l'OFDM/OQAM.5.2 Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modula-tion OFDM/OQAMLa méthode d'estimation de canal présentée en 5.1.3 nécessite une connaissance a priorides caractéristiques de la forme d'onde utilisée par le système OFDM/OQAM. En eet, la

132 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondestructure des données autour de la position de référence (m0, n0) est complètement détermi-née par la valeur prise par la fonction d'ambiguïté de la forme d'onde h en certains points.An d'améliorer cela et, par la même occasion, diminuer la complexité, des nouvelles mé-thodes d'estimation de canal ont été mises en ÷uvre pour l'OFDM/OQAM. Une partie desdéveloppements et résultats ci-dessous sont issus des travaux menés par C. Lélé et publiésdans [87, 88].5.2.1 Retour sur les équations de démodulationL'équation (5.17) peut se réécrire quelle que soit la forme d'onde h de la manière suivante :rm0,n0 = Km0,n0am0,n0 +

∑

m6=m0

∑

n 6=n0

am,nKm,n 〈hm,n, hm0,n0〉C . (5.25)avec :〈hm,n, hm0,n0〉C = (j)χ

m0,n0m,n Ah((n − n0)τ0, (m−m0)F0), (5.26)Or, comme la fonction d'ambiguïté est à valeurs réelles, en observant la valeur prise par leterme χm0,n0

m,n , on montre facilement que 〈hm,n, hm0,n0〉C est un terme imaginaire pur. Ainsi,nous dénissons le réel suivant :〈h〉m0,n0

m,n = −j 〈hm,n, hm0,n0〉C . (5.27)Avec un simple changement de variable et en utilisant (5.27), on peut réécrire (5.25) de lamanière suivante :rm0,n0 = Km0,n0am0,n0 + j

∑

p 6=p0

∑

q 6=0

am0+p,n0+qKm0+p,n0+q 〈h〉m0,n0m0+p,n0+q

. (5.28)Finalement, pour les mêmes raisons qui ont menées à l'équation (5.20), nous pouvons écrireque :rm0,n0 = Km0,n0 (am0,n0 + jIESm0,n0) , (5.29)avec, en posant Ω∗

∆m,∆n = (p, q) ∈ Z∗ × Z∗, |p| ≤ ∆m, |q| ≤ ∆n :IESm0,n0 =

∑

(p,q)∈Ω∗∆m,∆n

am0+p,n0+q 〈h〉m0,n0m0+p,n0+q

. (5.30)Jusqu'à présent, les calculs sont identiques à ceux réalisés pour la méthode dite de la couronnesauf qu'ils sont étendus à n'importe quelle forme d'onde h et que le calcul de l'IES est fait surun pavé de taille (2∆m+1)×(2∆n+1) autour de la position de référence (m0, n0), en supposantpar la même occasion que le canal ne varie quasiment pas sur ce pavé temps-fréquence.

5.2. Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modulation OFDM/OQAM 1335.2.2 Estimation pseudo-parfaiteA ce stade, il est possible de réaliser une estimation de canal pseudo-parfaite. En eet, enabsence de canal, en sortie de démodulateur, nous avons :r′m0,n0

= am0,n0 + jIESm0,n0. (5.31)Ainsi, on peut dire que :Km0,n0 ≈ rm0,n0

r′m0,n0

. (5.32)Cette dernière équation n'est qu'une approximation du coecient de canal Km0,n0 d'où leterme d'estimation pseudo-parfaite5.2.3 Estimation réaliste par préambuleD'après l'équation (5.30), nous observons que le terme d'IES peut être approximé sur unpavé temps-fréquence de taille (2∆m+ 1) × (2∆n+ 1). Donc, pour conserver des hypothèsesréalistes concernant l'évolution du canal sur ce pavé temps-fréquence, nous posons ∆m =∆n = 1. Ainsi, en absence de bruit, nous avons :

Ksb,m0,n0 =rm0,n0

am0,n0 + jIESm0,n0

, (5.33)et par adjonction du bruit b, nous obtenons :Km0,n0 = Ksb,m0,n0 +

b

am0,n0 + jIESm0,n0

. (5.34)Cette méthode d'estimation s'appelle méthode IAM (Interference Approximation Method).Cette dernière équation met, de plus, en évidence le fait que plus la puissance du termea

(c)m0,n0 = am0,n0 + jIESm0,n0 est importante, plus le terme incluant le bruit sera négligeable.Ainsi, l'estimation se rapprochera du cas de l'estimation pseudo-parfaite et sera donc meilleure.Dans le cas d'un préambule généré aléatoirement, on obtient :

E

∣∣∣a(c)m,n

∣∣∣

2

= E

|am,n|2

+ E

|IESm,n|2

= σ2a + E

∑

(p,q)∈Ω∗1,1

∑

(r,s)∈Ω∗1,1

am+p,n+qam+r,n+s 〈h〉m,nm+p,n+q 〈h〉m,nm+r,n+s

= σ2a

1 +∑

(p,q)∈Ω∗1,1

∣∣∣〈h〉m,nm+p,n+q

∣∣∣

2

. (5.35)En annexe D.3, on démontre que, pour une forme d'onde h orthogonale :∑

(p,q)∈Ω∗∞,∞

∣∣∣〈h〉m,nm+p,n+q

∣∣∣

2= 1. (5.36)

134 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondeOn peut donc dire que E

∣∣∣a

(c)m,n

∣∣∣

2

≈ 2σ2a car les valeurs de la fonction d'ambiguïté décroissenttrès vite à partir de la seconde couronne (voir l'analyse du tableau 5.3).Si, au lieu d'être choisis aléatoirement, les signes des coecients sont déterminés de manièreà accroître l'IES, nous aurons :

E

|IESm,n|2

≥ σ2a. (5.37)Dans ce dernier cas de gure, on réduit ainsi la contribution du bruit dans l'estimation decanal et on peut donc s'attendre à de meilleurs résultats. Cependant, dans tous les cas, comme

∆n = 1, la longueur du préambule est de 3τ0 = 3T0/2 alors qu'en OFDM, la longueur dupréambule est de T0 seulement. Ainsi, il est nécessaire d'envoyer M/2 symboles complexessupplémentaires en OFDM/OQAM par rapport à l'OFDM, ce qui a pour conséquence uneperte en débit utile plus importante en OFDM/OQAM qu'en OFDM. Mais, suivant la longueurde trame retenue (en général, plusieurs dizaines de symboles), cette perte peut toutefois êtreconsidérée comme négligeable.Les développements précédents nous montrent que deux structures de préambule sont pos-sibles. Ainsi, le préambule de la gure 5.6 correspond à une solution où la puissance du termed'IES n'est pas maximisée. Cette solution, appelée IAM1, présente l'avantage, du fait du ca-ractère aléatoire du préambule, de limiter les valeurs crêtes du signal en sortie du modulateur.Le préambule de la gure 5.7 présente le cas de l'estimation permettant d'avoir une puissancedu terme d'IES plus grande. Nous nous trouvons ainsi dans le cas de l'équation (5.37). Cettesolution est appelée IAM2.données utiles

a0,0

a1,0

aM−1,0 aM−1,1 aM−1,2

a0,1 a0,2

a1,1 a1,2

Fig. 5.6 Structure du préambule aléatoire de la solution IAM1.Le préambule proposé en 5.7 présente l'inconvénient majeur de générer un signal ayant unepuissance instantanée très élevée, problématique vis-à-vis de l'amplication. Un préambule,permettant d'obtenir à la fois de bonnes performances en termes d'estimation et une puissance

5.2. Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modulation OFDM/OQAM 135données utiles

0000000

0000000

11-1-1110 0-1-1Fig. 5.7 Structure du préambule déterministe de la solution IAM2.instantanée comparable à celle d'un signal OFDM/OQAM tansmettant des données aléatoires,est présenté dans l'article [88] sous le nom IAM3.5.2.4 Estimation réaliste par paires de pilotesLa méthode IAM nécessite un préambule plus long que celui requis par l'OFDM ainsi quela connaissance de la fonction prototype. Nous avons aussi proposé [87,88] une autre méthode,appelée Pair Of Pilots (POP) qui s'aranchit de ces restrictions. De plus, la méthode POPpeut s'appliquer à la fois à l'estimation par préambule ou par pilotes répartis.Notons (m1, n1) et (m2, n2) deux positions de référence. En pratique, ces deux positionsde référence sont consécutives en temps et sur la même fréquence de sorte à pouvoir considérerque le canal est constant sur ces deux positions. Ainsi, nous pouvons écrire que :

rm1,n1 = Km1,n1 (am1,n1 + jIESm1,n1)rm2,n2 = Km2,n2 (am2,n2 + jIESm2,n2) .

(5.38)Introduisons le paramètre réel C tel que : Km1,n1 = K(r)m1,n1(1 + jC). Ainsi, par hypothèse :

Km2,n2 = K(r)m2,n2(1 + jC), avec K(r)

m1,n1 = K(r)m2,n2 . Et donc, en notant :

rm1,n1 = r(r)m1,n1+ jr(i)m1,n1

rm2,n2 = r(r)m2,n2+ jr(i)m2,n2

,(5.39)nous obtenons le système suivant :

r(r)m1,n1= K(r)

m1,n1am1,n1 − CK(r)

m1,n1IESm1,n1

r(r)m2,n2= K(r)

m2,n2am2,n2 − CK(r)

m2,n2IESm2,n2

r(i)m1,n1= CK(r)

m1,n1am1,n1 +K(r)

m1,n1IESm1,n1

r(i)m2,n2= CK(r)

m2,n2am2,n2 +K(r)

m2,n2IESm2,n2.

(5.40)

136 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondeDe ce système, on peut en tirer la valeur de C, à savoir :C =

am2,n2r(r)m1,n1 − am1,n1r

(r)m2,n2

am1,n1r(i)m2,n2 − am2,n2r

(i)m1,n1

. (5.41)En réinjectant cette valeur de C dans le système (5.40) et en réordonnant les équations de cesystème, on aboutit à la relation :K(r)m1,n1

=r(r)m1,n1 + Cr

(i)m1,n1

(1 + C2)am1,n1

. (5.42)Il est donc possible d'estimer par cette technique la partie réelle du coecient de canal. Lapartie imaginaire du coecient de canal est obtenue par l'équation K(i)m1,n1 = CK

(r)m1,n1 .Cette technique peut être utilisée pour de l'estimation par préambule ou par pilotes ré-partis. L'exemple de la gure 5.8, où les pilotes sont choisis de manière à ce que n2 = n1 + 1,montre un exemple de préambule de longueur identique à celui de l'OFDM, n'introduisantdonc aucune perte supplémentaire en débit utile.

données utiles0000000

1-11-11-101-1 Fig. 5.8 Structure du préambule pour la solution POP.5.2.5 Résultats de simulationParamètres de simulationLes performances de ces méthodes d'estimation de canal sont testées en utilisant unemodélisation d'un canal utilisé pour la norme IEEE 802.22 [152], norme visant à développerun réseau sur des bandes de fréquences inusitées allouées à la télévision analogique. Le tableau5.1 donne les principaux paramètres de simulation. Les formes d'onde choisies pour le systèmeOFDM/OQAM sont la forme d'onde TFL de longueur 2048 et la forme d'onde IOTA de durée

4T0, de longueur 8192.

5.2. Nouvelles méthodes d'estimation de canal pour la modulation OFDM/OQAM 137Tab. 5.1 Valeur de certains paramètres de simulation liés au canal de propagation.Fréquence d'échantillonnage 9.14 MHzNombre de trajets 6Prol de puissance (dB) -6, 0, -7, -22, -16, -20Prol des délais (µs) -3, 0, 2, 4, 7, 11Taille de la FFT 2048Intervalle de garde 130 échantillons (14.22 µs)Constellation MAQ-4Codage type convolutif avec K = 7, g1 = (133)0, g2 = (171)0, R = 1/2Trame 41 symbolesSimulationsLes résultats de simulation sont donnés sur les gures 5.9 pour l'estimation parfaite et 5.10pour l'estimation réaliste. Ces gures donnent le taux d'erreur binaire (BER en anglais) enfonction du rapport Ebu/N0 où Ebu est l'énergie d'un bit utile et N0 la densité spectrale depuissance du bruit.

−3 −2 −1 0 1 2 3 410

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Ebu/N0

BE

R

OFDMOQAM

Fig. 5.9 Courbes de TEB pour l'estimation parfaite en OFDM et pseudo-parfaite enOFDM/OQAM, pour une constellation MAQ-4.Analyse des résultatsDans un premier temps, nous notons une légère diérence entre les courbes d'estima-tion parfaite en OFDM et en OFDM/OQAM sur la gure 5.9. Ceci provient simplement dela présence de l'intervalle de garde en OFDM, les courbes sont en eet décalées d'environ

138 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde

1 2 3 4 5 6 7 810

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Ebu/No

BE

R

OFDMIAM2 (IOTA)IAM1 (IOTA)POP (IOTA)IAM2 (TFL)POP (TFL)IAM1 (TFL)

Fig. 5.10 Comparaison des performances des diérentes estimations de canal par rapportau cas de l'OFDM, pour une constellation MAQ-4.10 log((2048 + 130)/2048) ≈ 0.3 dB. Nous observons sur la gure 5.10 que les courbes pour latechnique IAM1 donnent des résultats qui sont en moyenne 1 dB moins bons que l'OFDM. Eneet, avec cette méthode, le terme d'IES est aléatoire et peut prendre des valeurs proches de0 ce qui rend la technique IAM1 peu ecace. Ce problème est en partie résolu en choisissantle préambule de la méthode IAM2 qui a pour objectif de maximiser la valeur du terme d'IES.Cette valeur d'IES est tout simplement 2β = 2Ah(0, F0). Ainsi, nous avons |IES| ≈ 0.88pour la forme d'onde IOTA et |IES| ≈ 1.07 pour la forme d'onde TFL, ce qui explique lesmeilleures performances obtenues pour la forme d'onde TFL. Le tableau 5.2 nous donne lesvaleurs de cette IES pour d'autres formes d'onde pour 1024 porteuses.Tab. 5.2 Valeur de l'IES pour diérentes formes d'onde à 1024 porteuses.Prototype IOTA TFL FS

LhM 4 1 2 4 1 2 4IES 0.88 1.07 1.02 0.87 0.83 0.68 0.53Ce tableau nous montre bien que la forme d'onde TFL la plus courte est celle qui maximisela valeur de l'IES. A noter également qu'avec un ltre prototype de forme rectangulaire, nousobtenons IES = 0 et on retrouve alors un résultant comparable à celui produit par la méthodeIAM1.Au nal, pour des ltres prototypes biens choisis, la méthode IAM2 conduit à des perfor-mances de 1 dB supérieures à celles de l'OFDM. Enn, la méthode POP, avec un préambuleplus court, se situe au niveau de la méthode IAM1 et ses performances sont donc inférieuresà celle de l'OFDM.

5.3. Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec forme d'onde 1395.3 Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec formed'ondeDans cette partie, nous écrivons l'expression du signal en sortie de démodulateur en absencede bruit, ceci en limitant le nombre d'hypothèses simplicatrices. Pour cela, nous nous basonssur l'expression du signal unié en continu, donné en (1.61) :s(t) =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

bm,nh(t− nT )ej2πmFtejθm,n , (5.43)5.3.1 Equations de démodulationLe canal est supposé être un canal multitrajet de retard maximal noté ∆ et de réponseimpulsionnelle κ(t, τ). Le signal reçu en réception, après passage dans le canal est :r(t) = (s⊗ κ)(t)

=∑

m

∑

n

bm,nejθm,nej2πmFt

∫ ∆

0κ(t, τ)h(t − nT − τ)e−j2πmFτdτ. (5.44)Ainsi, les équations du signal en sortie du transmultiplexeur s'écrivent en prenant le produitscalaire de r avec la fonction de base hm,n(t) = h(t − nT )ej2πmFtejθm,n , correspondant à uninstant symbole et à une sous-porteuse donnés :

rm0,n0 = 〈s, hm0,n0〉C=

∫R r(t)h∗m0,n0(t)dt

=∑

m

∑

n

bm,nej(θm,n−θm0,n0 )

×∫R ∫ ∆

0h(t− nT − τ)h(t− n0T )ej2π(m−m0)Ftκ(t, τ)e−j2πmFτdtdτ. (5.45)Notons dans un premier temps : ∆θm0,n0

m,n = θm,n − θm0,n0 . En supposant ensuite que le canalest statique, à savoir que κ(t, τ) = κ(τ), on peut ainsi réécrire l'équation précédente de lamanière qui suit :rm0,n0

=∑

m

∑

n

bm,nej∆θm0,n0

m,n

∫ ∆

0

κ(τ)e−j2πmFτ

[∫

<

h(t− nT − τ)h(t − n0T )ej2π(m−m0)Ftdt

]

︸ ︷︷ ︸

R(τ)

dτ(5.46)En s'appuyant sur la dénition de la fonction d'ambiguïté de la fonction h (voir annexe D.1.2) :Ah(τ, ν) =

∫

<h(t+

τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt, (5.47)nous obtenons :

140 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondeR(τ) =

∫

<h(t′ − (n− n0)T + τ

2)h(t′ +

(n− n0)T + τ

2)ej2π(m−m0)F (t′+nT+τ− (n−n0)T+τ

2)dt′

= ejπFT (m−m0)(n+n0)ejπ(m−m0)Fτ

×∫

<h(t′ − (n− n0)T + τ

2)h(t′ +

(n− n0)T + τ

2)ej2π(m−m0)Ft′dt′

= ejπ(m−m0)(n+n0)FT ejπ(m−m0)FτAh(τ + (n− n0)T, (m−m0)F ). (5.48)Au nal :rm0,n0 =

∑

m

∑

n

bm,nej∆θ

m0,n0m,n ejπ(m−m0)(n+n0)FT

×∫ ∆

0κ(τ)Ah(τ + (n − n0)T, (m−m0)F )e−jπ(m+m0)Fτdτ

= Km0,n0bm0,n0 + IES, (5.49)avec :Km0,n0 =

∫ ∆

0κ(τ)Ah(τ, 0)e

−j2πm0Fτdτ, (5.50)et :IES =

∑

m6=m0

∑

n 6=n0

bm,nej∆θ

m0,n0m,n ejπ(m−m0)(n+n0)FT

×∫ ∆

0κ(τ)Ah(τ + (n− n0)T, (m−m0)F )e−jπ(m+m0)Fτdτ (5.51)5.3.2 Cas de l'OFDM/OQAMEn prenant les caractéristiques propres de l'OFDM/OQAM, on trouve simplement que :

Km0,n0 =

∫ ∆

0κ(τ)Ah(τ, 0)e

−j2πm0Fτdτ, (5.52)et que :IES =

∑

m6=m0

∑

n 6=n0

am,nej π

2(m−m0+n−n0−(m+m0)(n−n0))

×∫ ∆

0e−jπ(m+m0)F0τh(τ)Ah(τ + (n− n0)τ0, (m−m0)F0)dτ (5.53)

5.3. Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec forme d'onde 1415.3.3 Cas de l'OFDM suréchantillonnéEn prenant les caractéristiques propres de l'OFDM suréchantillonné, avec FT = η > 1, ontrouve simplement que :Km0,n0 =

∫ ∆

0κ(τ)Ah(τ, 0)e

−j2πm0Fτdτ, (5.54)et que :IES =

∑

m6=m0

∑

n 6=n0

cm,nejπη(m−m0)(n+n0)

×∫ ∆

0e−jπ(m+m0)F0τh(τ)Ah(τ + (n − n0)T0, (m−m0)F0)dτ (5.55)5.3.4 AnalyseVérication de la validité des hypothèsesL'expression du signal reçu après démodulation (5.29) est obtenue en supposant que : le canal varie peu sur le pavé temps fréquence Ω∗

1,1, la forme d'onde h varie peu sur un intervalle de temps de durée ∆ (voir les calculsréalisés en 5.1.3 et 5.2).La première hypothèse est généralement vériée. En eet, tout comme pour l'OFDM, le di-mensionnement du système est réalisé de manière à satisfaire cette hypothèse. Cependant, laseconde hypothèse nécessite une vérication sur la base de quelques simulations.Dans la plupart des tests réalisés avec un canal multitrajet, le rapport ∆/T0 est au maxi-mum de 10%. La gure 5.11 nous donne l'évolution de la fonction d'ambiguïté pour les formesd'onde IOTA (avec b = 4), TFL (avec b = 1) et FS (avec b = 4) pour 64 porteuses sur unaxe de temps de l'ordre de 20% de la durée symbole T0. Nous observons que même sur cetintervalle de temps plus long que le rapport ∆/T0, la fonction d'ambiguïté de cette formed'onde varie peu. On peut donc la considérer comme constante et égale à 1 sur cet intervallede temps. Comme le montre la gure 5.11, cette propriété se vérie pour les formes d'ondeutilisées jusqu'à présent.En conséquence, en se référant à l'équation (5.52) pour l'OFDM/OQAM, on peut donc écrireque :Km0,n0 =

∫ ∆

0κ(τ)e−j2πm0Fτdτ. (5.56)On revient donc ainsi à l'expression du coecient de canal en (m0, n0), donné en (5.16). Onvérie ainsi que la seconde hypothèse permettant la mise en ÷uvre des solutions précédentesd'estimation de canal s'avère juste en première approximation. Cependant, pour espérer unemeilleure courbe que celle obtenue en estimation pseudo-parfaite présentée en 5.2.2, il estnécessaire de tenir compte des variations, certes minimes, de la fonction d'ambiguïté dans leséquations (5.52) et (5.54) pour l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné respectivement.

142 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde

00.99

0.992

0.994

0.996

0.998

1

1.002

Temps

Val

eur

de la

fonc

tion

d’am

bigu

ité

IOTATFLFS

Environ 20% de T0

Fig. 5.11 Fonction d'ambiguïté sur l'axe temporel des formes d'onde IOTA, TFL et FS pour64 porteuses.La première couronne est-elle susante ?On peut en eet se poser cette question car, aussi bien pour la méthode de la couronne quepour la méthode IAM, nous nous contentons du voisinage immédiat de la position (m0, n0)pour élaborer les méthodes d'estimation de canal. Il reste maintenant à vérier si considérerla première couronne est susant. Cela revient donc à montrer que la puissance contenue surles couronnes supérieures sont négligeables. En d'autres termes, il sut de montrer que lescoecients de la fonction d'ambiguïté ont une valeur susamment faible pour être négligée.Nous calculons alors :PC(k) =

∑

(p,q)∈Ψ∗k

Ah((n0 − q)τ0, (m0 − p)F0)2, (5.57)qui représente la puissance des coecients de la fonction d'ambiguïté sur la kième couronne

Ψ∗k (voir la gure 5.12 pour sa dénition).

5.3. Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec forme d'onde 143

6

6

Ψ∗1 Ψ∗

2

Ψ∗3

Fig. 5.12 Dénition des ensembles Ψ∗k, kième couronne autour d'une position de référence.Le tableau 5.3 donne donc les valeurs de PC(n) pour diérentes formes d'onde, ceci pour256 porteuses.Tab. 5.3 Valeur de PC(k) (en dB) pour diérentes formes d'onde d'un systèmeOFDM/OQAM à 256 porteuses.

k 1 2 3 4IOTA, Lh = 4T0 -0.06 -19.36 -26.57 -47.19SRRC, r = 0.5, Lh = 4T0 -0.62 -12.16 -11.72 -22.39TFL, Lh = T0 -0.24 -13.01 -23.25 -37.18TFL, Lh = 2T0 -0.09 -17.03 -28.31 -52.46TFL, Lh = 4T0 -0.04 -19.73 -31.60 -56.68FS, Lh = T0 -0.14 -18.53 -20.75 -34.05FS, Lh = 2T0 -0.10 -16.37 -31.61 -50.71FS, Lh = 4T0 -0.27 -12.85 -20.47 -41.96Ce tableau nous montre donc que l'écart de puissance entre la première et la secondecouronne est supérieur à 10 dB, l'écart devenant de plus en plus important à mesure que laforme d'onde est bien localisée en temps et fréquence. En eet, pour ces formes d'onde, onconcentre le maximum de puissance au centre de la forme d'onde. Ce tableau permet donc devérier que la restriction à la première couronne est tout à fait susante pour ces études.Rôle de l'orthogonalitéLes méthodes d'estimation de canal présentées ici ont pour rôle de trouver une estimée ducoecient de canal Km0,n0 , en certaines positions de référence, en analysant le terme d'IES.Pour les méthodes par préambule (couronne, IAM et POP), les coecients de canal sontestimés sur toutes les fréquences et on suppose que ces coecients varient peu en temps. Pour

144 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'ondeles méthodes par pilotes répartis (couronne et POP), on interpole les coecients de canalobtenus sur certains points de référence pour obtenir une estimation du canal sur tous lespoints du réseau temps-fréquence. On obtient donc une estimation des données transmises parl'équation :am,n = <

rm,n

Km,n

, (5.58)la prise de partie réelle provenant de l'orthogonalité réelle des fonctions de base du systèmeOFDM/OQAM.On peut aussi se demander si toutes ces solutions ne pourraient pas être utilisées pourl'OFDM suréchantillonné. En reprenant l'équation (5.55), ainsi que les hypothèses simplica-trices utilisées pour les méthodes de la couronne, IAM et POP, on trouve très facilement quece terme d'IES est une somme de termes faisant intervenir Ah(nT0,mF0), qui est nul pourune fonction prototype orthogonale. Dès lors, il n'est plus possible d'utiliser ce terme d'IESpour déterminer une estimée du coecient de canal.Au nal, le fait d'utiliser une orthogonalité réelle dans le cas de l'OFDM/OQAM per-met d'utiliser la partie imaginaire du terme d'interférence pour estimer le canal. Ceci n'estplus possible pour l'OFDM suréchantillonné du fait de l'orthogonalité complexe liée à cettemodulation.

5.3. Inuence du canal sur les signaux multiporteuses avec forme d'onde 145ConclusionsAu cours de ce chapitre, nous avons analysé les problèmes d'estimation de canal liés auxmodulations multiporteuses. Après avoir rappelé les tenants et les aboutissants de l'estimationde canal ainsi que les principaux types de solutions possibles pour l'estimation de canal enl'OFDM, nous avons expliqué la technique d'estimation de canal par la méthode de la couronnepour l'OFDM/OQAM, solution développée au sein de France Télécom R&D. Cette techniquepermet d'obtenir une solution simple d'estimation en récupérant en réception la valeur ducoecient de canal en un point donné du réseau temps-fréquence. Puis, nous avons décrit denouvelles solutions : les méthodes IAM et les méthodes POP. Ces méthodes s'appliquent à lafois pour l'estimation par préambule (IAM et POP) et par pilotes répartis (POP). Nous avonspu ainsi montrer que ces solutions, en particulier la solution IAM2, conduisent des résultatstout à fait intéressants.Nous avons également utilisé notre expression du signal unié pour analyser le problèmed'estimation de canal pour les deux modulations au c÷ur de cette thèse. Dans les deux cas,l'absence d'IG crée une IES qui peut naturellement pénaliser ces modulations lors de transmis-sions sur des canaux multitrajets ayant des délais de propagation importants. Si, par rapportà l'OFDM, l'OFDM/OQAM se distingue en plus par son orthogonalité réelle, cela n'est pas lecas de l'OFDM suréchantillonné qui est basé sur une orthogonalité complexe. Pour l'OFDMsuréchantillonné, les méthodes d'estimation peuvent donc s'inspirer davantage de celles del'OFDM, mais aussi de celles de la FMT [160] qui est une modulation équivalente. Enn, audelà des méthodes d'estimation qui supposent des dimensionnements appropriés, les perspec-tives sont naturellement d'aller, dans les cas de gure où le rapport retard de propagationsur le temps symbole est élevé, vers des techniques d'égalisation plus complexes, c'est-à-direà plus d'un coecient comme c'est par exemple le cas en OFDM/OQAM [10,58, 121, 122] ouen FMT [17,173]. Dans cette perspective, pour des canaux présentant des retards très élevéspar rapport à la durée symbole, on peut également envisager, pour les modulations avec formed'onde, des techniques issues de l'OFDM, réduisant la longueur de la réponse impulsionnelledu canal [101].

146 Chapitre 5. Estimation de canal pour les systèmes OFDM avec forme d'onde

Chapitre 6Application au courant porteur enligneDans les chapitres précédents, nous avons analysé les modulations OFDM/OQAM etOFDM suréchantillonnées sous un angle plutôt théorique. Nous avons cependant montré dansla partie 5.2 que les techniques d'estimation de canal proposées pouvaient parfaitement conve-nir dans un contexte de distribution radio comme celui déni par la norme IEEE 802.22 [87].Ces modulations peuvent bien sur être utilisées pour d'autres applications. Le cas du courantporteur en ligne (CPL ou PLC en anglais) se trouve être une application particulièrementintéressante concernant les modulations avec forme d'onde. En eet, dans ce contexte detransmission, la présence en particulier d'un canal multitrajet et de bruit à bande étroite rendl'utilisation des modulations multiporteuses tout à fait pertinente. En plus de cela, du fait dela présence d'autres applications dans la bande de fréquence allouée, les spécications exigentdes spectres d'émission très stricts. Dans ces conditions, les modulations OFDM/OQAM etOFDM suréchantillonnées présentent des avantages certains, comme on a pu déjà le voir aucours du chapitre 2. Ce chapitre a pour objectif d'étudier l'application de l'OFDM/OQAM àla transmission PLC. Ainsi, après avoir introduit les transmissions utilisant le courant porteuren ligne (partie 6.1), nous présenterons en section 6.2 les diérents acteurs présents sur l'étudedes PLC. Dans la partie 6.3, nous montrerons plus en détail certaines caractéristiques particu-lières des transmissions sur courant porteur. Enn, la section 6.4 donnera quelques résultatsde simulations utilisant les modulations avec forme d'onde dans ce contexte de transmission.6.1 Le courant porteur en ligneLe réseau électrique a été, à l'origine, conçu pour transporter de l'énergie électrique. Maistrès vite, ce réseau a été utilisé pour le transport d'information à bas débit pour des applica-tions telles que la télémétrie ou encore le contrôle à distance. Un peu plus tard, ce réseau a aussiété utilisé pour la communication d'appareils connectés entre eux. C'est alors qu'à commencéà germer l'idée du transport d'information à plus haut débit par ce moyen. Les PLC présententdonc une voie de recherche novatrice et originale pour la distribution, à terme, du réseau In-ternet. Ils présentent de plus l'avantage d'avoir une infrastructure déjà largement déployée,le réseau électrique connectant à travers le monde beaucoup plus d'habitations que le réseautéléphonique. Le réseau électrique peut être vu comme l'association de deux sous-parties : le réseau outdoor : utilisant les lignes moyenne et basse tension, ce réseau peut être147

148 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligneutilisé comme moyen d'accès haut débit, le réseau indoor qui utilise les lignes basse tension présentes dans les installations privées.Dans des pays technologiquement avancés comme le nôtre, c'est ce réseau indoor quiconstitue le support de transmission le plus attractif.Dans cette thèse, nous examinons uniquement le cas indoor qui est le cas le plus réalistepour les environnements présents dans les pays développés.6.2 Les forums CPLJusqu'à présent, plus que les normes, comme par exemple IEEE P1901 [61], qui n'a pourl'instant pas pu établir de consensus, ce sont surtout des associations d'industriels qui pro-posent diérentes spécications.6.2.1 HomePlugHomePlug Powerline Alliance [60], fondée en 2000, est un regroupement d'entreprises ayantpour objectif de développer les PLC. Il associe des entreprises comme Motorola, Sharp, SPiD-COM, Texas Instruments ou France Télécom. La première spécication développée par cettealliance, appelée HomePlug 1.0, date de 2001 [1] et s'est concentrée sur les communicationsde type indoor. Cette spécication permet un débit maximal théorique de 13.78 Mbps. Dupoint de vue de la couche physique, la modulation choisie est l'OFDM à 84 porteuses utiles.Un intervalle de garde était aussi utilisé ainsi que des constellations diérentielles (DBPSK etDQPSK) pour éliminer le recours à l'égalisation.Les débits proposés étant relativement faibles, il a été proposé en 2005 un successeur àHomePlug 1.0, appelé HomePlug AV [2]. Le débit annoncé est ici supérieur à 200 Mbps etpropose des infrastructures plus évoluées. La modulation proposée est le Windowed OFDMutilisant 917 porteuses utiles. Les constellations utilisées peuvent aller jusqu'à la MAQ-1024,permettant ainsi de transporter 10 bits d'information par temps symbole et par porteuse etd'utiliser des techniques de bit loading.6.2.2 OPERACe consortium [113], qui a pour objectif de développer une spécication européenne detransmission par PLC, date de 2004. Cette alliance regroupe aussi bien des universités euro-péennes (Madrid, Dresde) mais aussi des entreprises comme Mitsubishi, Schneider Electric,EDF et surtout DS2. La spécication développée par OPERA propose des solutions actuelle-ment à débit théorique proche de celui de HomePlug AV en utilisant aussi des modulationsOFDM.6.2.3 Autres regroupementsD'autres associations existent et coexistent, rassemblant toutes un certain nombre d'in-dustriels. On peut citer par exemple : UPLC (United Power Line Council), organisation canadienne associée à Homeplug. CABA (Continental Automated Buildings Association), association canadienne associéeà Homeplug également.

6.3. Les particularités des transmissions par CPL 149 UPA (Universal Powerline Association), organisation internationale travaillant en colla-boration avec OPERA. PUA (PLC Utilities Alliance) ayant pour but de promouvoir le développement des PLCen Europe.Actuellement, ces diérents contributeurs présentent 3 propositions, menées par Home-Plug, UPA et Panasonic, pour tenter de débloquer la situation avec la norme IEEE P1901.6.3 Les particularités des transmissions par CPLLes transmissions par courant porteur utilisent un moyen de communication qui, à la base,n'était pas prévu pour le transfert de données numériques. En conséquence, cela impose descontraintes sévères quant aux systèmes à adopter.6.3.1 Bande de fréquences allouéeD'après les applications prévues dans un futur proche, la bande de fréquences allouée àla transmission sur PLC est désormais relativement importante. Par exemple, la spécicationHomePlug AV a pour objectif, à terme, de proposer en multi-services de la télévision numériquehaute dénition avec, par conséquent, un débit de l'ordre de 20 Mbps par programme. C'estla raison pour laquelle la bande allouée aux PLC pour le standard HomePlug AV va de 1.8à 30 MHz. Seulement, dans cette bande allouée aux PLC se trouve des bandes de fréquencesallouées à d'autres applications comme par exemple la radio amateur ou encore la radio ondescourtes. Ceci impose donc des contraintes très fortes sur les spectres d'émission des signauxPLC. Pour éviter des brouillages avec ces applications, le signal PLC doit disperser le minimumde puissance possible dans les bandes de fréquences déjà occupées. Ceci se traduit donc parun spectre de puissance possédant des encoches, la profondeur de ces encoches devant être laplus grande possible. Un exemple de masque de transmission pour les PLC est présenté à lagure 6.1.-6

fréquenceatténuation ^

bandes de fréquence déjà occupéesI 6 *

bandes de fréquence dédiées aux PLCFig. 6.1 Exemple de masque de transmission pour les applications PLC.

150 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligne6.3.2 Compatibilité électromagnétiqueD'un point de vue électromagnétique, envoyer un signal dans un câble électrique impliquela radiation d'un champ électromagnétique dans l'environnement. Le câble se comporte alorscomme une antenne à faible gain. Ce rayonnement peut être gênant en fonction de la fréquenceet de la puissance d'émission. Enn, les câbles électriques étant conçus pour un minimum deperte aux alentours de 50-60 Hz, les pertes peuvent devenir très importantes pour les signauxPLC. Il est donc nécessaire de limiter les puissances d'émission à cause de ces problèmes decompatibilité électromagnétique. Dans la pratique, les systèmes sont prévus avec une densitéspectrale de puissance maximale de l'ordre de -50 dBm/Hz [49].6.3.3 Le bruitDans le cas des transmissions radio, les analyses statistiques montrent que le bruit présentest très bien approché par le modèle de bruit blanc additif gaussien (AWGN). A contrario,dans le cas des PLC, ce modèle n'est plus valable car des bruits à structure particulière sontprésents et ne peuvent pas être négligés. Une analyse plus détaillée de ces bruits gure parexemple dans [102].Les bruits de fondDans ce contexte de transmission, il est possible de distinguer deux types de bruit de fond : le bruit de fond coloré : ayant une faible densité spectrale de puissance, DSP diminuantaussi avec la fréquence. Au delà de 2 MHz, on peut considérer sa DSP plate, de l'ordrede -110 dBm/Hz. le bruit à bande étroite : il est essentiellement créé par les ondes des émissions deradiodiusion.Leurs amplitudes RMS varient lentement en fonction du temps (en terme de minutes oumême d'heures). C'est la raison pour laquelle on les classe dans cette catégorie.Les bruits impulsifsCe sont des bruits variant beaucoup plus rapidement en fonction du temps. On peut lesséparer en trois catégories : les impulsions périodiques asynchrones avec les fréquences de la ligne. Elles se répètentà une fréquence de 50 à 200 kHz. Ce type d'impulsion est parfois classé dans la catégoriebruit de fond car son amplitude est faible (souvent plus faible que les bruits à bandeétroite). Il est engendré par les blocs d'alimentation des appareils électriques. les impulsions périodiques synchrones avec les fréquences de la ligne. Elles se répètent àune fréquence de 50 ou 100 Hz (en Europe). Ce type de bruit est généralement créé parles redresseurs de tension présents au sein des blocs d'alimentation à tension continue. les impulsions aléatoires asynchrones. Elles sont causées par l'étincelle provoquée à lacommutation d'appareils sur le réseau.Dans la suite de ce chapitre, nous nous pencherons essentiellement sur le cas du bruit à bandeétroite.

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 1516.3.4 Le canal de propagationLe contexte PLC est, du point de vue de la transmission, assez proche de celui de l'ADSL.Dans chaque cas, le canal génère des phénomènes d'échos et la transmission, contrairementà la radio, s'eectue en bande de base. Il existe dans la littérature des modèles de canauxdédiés aux PLC, le modèle le plus connu étant le modèle de Zimmerman [182]. Ce modèle estle suivant :H(f) =

N∑

i=1

gie−(a0+a1fk)die−j2πf(di/vp), (6.1)avec : N le nombre de trajets considérés, gi un facteur de poids. Il est à valeur complexe, di la longueur du trajet i, a0, a1 et k des paramètres liés à l'atténuation du signal, vp la vitesse de propagation.Il prend donc à la fois en compte le phénomène de multitrajet et d'atténuation spécique àchaque trajet. Ce modèle est plus particulièrement adapté à la description d'un schéma detransmission outdoor. Dans le cas indoor, il peut se simplier et se réduire à un simple canalmultitrajet comme celui utilisé dans [98]. Des modèles plus précis ont été aussi récemmentproposés par nos collègues de la Recherche et Développement de Lannion [159].6.4 Simulations dans le cadre des transmissions CPLCette partie a pour but de confronter principalement la modulation OFDM/OQAM aucontexte de transmission du courant porteur en ligne. Nous avons réalisé les simulations ense référant à la spécication HomePlug AV. Une partie de ces résultats sont issus de nosétudes publiées lors de la conférence ISPLC [150]. Nous allons, dans un premier temps, donnerquelques généralités concernant le standard HomePlug AV, la modulation Windowed OFDMet le bruit à bande étroite.6.4.1 GénéralitésLa spécication HomePlug AVIci, nous détaillons les paramètres de simulation que nous utilisons. La spécication Ho-mePlug AV préconise l'utilisation d'un total de 1536 porteuses et une FFT de taille 3072.Parmi les 1536 porteuses, seules 1058 sont utilisables (les autres fréquences étant en dehors dela bande allouée). Seulement, comme le montre la gure 6.1, nous devons prendre en comptele fait que d'autres applications sont présentes dans la bande de fréquence 1.8-30 MHz. Nousdevons donc masquer un certain nombre de porteuses, les porteuses correspondant aux fré-quences déjà occupées. Ainsi, parmi les 1058 porteuses utilisables, seules 917 peuvent contenirdes informations. La fréquence d'échantillonnage du système est de 75 MHz. La durée dutemps symbole est xé à 40.96 µs et plusieurs longueurs d'intervalle de garde sont possibles(5.56, 7.56 ou 40.96 µs). Enn, comme il a été précédemment dit, la constellation utilisée peutaller jusqu'à MAQ-1024. Toutes ces caractéristiques sont ainsi résumées dans le tableau 6.1.

152 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligneEn guise de comparaison, les caractéristiques de la spécication HomePlug 1.0 apparaissentaussi dans ce tableau.Tab. 6.1 Les standards HomePlug 1.0 and HomePlug AV.HomePlug 1.0 HomePlug AVM (Taille de FFT) 256 3072Mc (# porteuses) 128 1536

Mus (# porteuses utilisables) 84 1058Muc (# porteuses non masquées) 56 917Bande allouée (MHz) 4.3-20.9 1.8-30.00Constellation (au maximum) DQPSK4 1024-QAM

T0 (durée symbole, µs) 5.12 40.96T0 + IG (µs) 6.4 46.52/48.52/88.08Fréquence d'échantillonnage (Mhz) 50 75La modulation Windowed OFDMLa modulation, proposée comme solution possible dans le descriptif de la spécicationHomePlug, est le Windowed OFDM [170]. Cette évolution de la modulation OFDM consisteà ltrer un symbole OFDM avec intervalle de garde par un ltre en racine de cosinus surélevé(SRRC, déjà présenté dans la partie 1.6). Le Windowed OFDM est basé sur 3 paramètres : M : la longueur du symbole OFDM, LIG : la longueur du symbole OFDM avec IG, NRI : la longueur du ltre SRRC.Ainsi, à partir de ces paramètres, on en déduit que la longueur de l'IG est L0 = LIG −M ,la longueur de l'intervalle de Roll-o L1 = NRI − LIG et le Roll-O du ltre SRRC r =

NRI/LIG − 1. La gure 6.2 reporte ces diérents paramètres.temps

-

-

-

--M L0L1/2

LIG

NRI

-

OFDM IGFig. 6.2 Paramètres des modulations Windowed OFDM.D'un point de vue banc de ltres, la modulation Windowed OFDM peut être associée àun transmultiplexeur (comme présenté en annexe B) ayant pour ltres d'émission :

hm[k] = w[k]ej2πMm(k−LGI+M), (6.2)et pour ltres de réception :

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 153lm[k] = w[k]e−j

2πMm(k−LGI+M), (6.3)où w[k] est un ltre prototype. Cependant, du fait de la présence de l'intervalle de garde,le système Windowed OFDM n'est pas orthogonal. Mais il existe des systèmes, présentésdans [86], qui reposent sur ce principe mais qui peuvent être rendus orthogonaux grâce à unchoix approprié de la forme d'onde w. Mais quoi qu'il arrive, les systèmes Windowed OFDMintroduisent un intervalle de garde supplémentaire (le Roll-o Interval), ce qui a pour eetde réduire l'ecacité spectrale. Ce système est cependant meilleur que le système OFDM ouOFDM avec intervalle de garde en terme de DSP du fait du ltrage par le ltre SRRC.Le bruit à bande étroiteLe bruit blanc gaussien à bande étroite (BLWGN) constitue un brouilleur caractéristique entransmission PLC. En eet, ce bruit provient des applications de type radio amateur présentesdans la bande 1.8-30 MHz. On peut simuler ce bruit à bande étroite en considérant un bruitAWGN de DSP monolatérale égale à N0. Ce bruit est tout d'abord ltré par un ltre SRRCde roll-o égal à 0.5 et de bande passante à 3 dB égal à Bd/2. Dans un second temps, ce bruitltré est transposé à la fréquence fd qui est la fréquence centrale d'une des encoches danslesquelles le signal PLC ne doit pas être transmis. Dans le cadre de la version américaine deHomePlug AV, il existe 8 encoches. Les valeurs de fd et de Bd pour ces diérentes encochessont données dans le tableau 6.2.Tab. 6.2 Fréquence centrale et largeur de bande où la transmission PLC n'est pas autorisée(standard HomePlug AV américain).Encoche fd (en MHz) Bd (en kHz)1 3.785 5002 5.4 773 7.2 3004 10.202 505 14.3 3506 18.285 1007 21.38 4508 25.14 100Enn, à ce bruit à bande étroite, on ajoute un bruit de fond AWGN de DSP monolatérale

N1. On xe enn l'écart entre le bruit blanc AWGN et le bruit BLWGN à 30 dBm/Hz. Lagure 6.3 nous donne l'allure de la DSP du bruit global qui est appliqué au signal dans lecadre de HomePlug AV.

154 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligne

0 5 10 15 20 25 30−55

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

Fréquence (MHz)

Den

sité

Spe

ctra

le d

e P

uiss

ance

(dB

m)

Fig. 6.3 DSP du bruit global dans le cadre du standard HomePlug AV.6.4.2 Etude de la DSPLe fait de pouvoir utiliser des formes d'onde ayant de bonnes propriétés spectrales rend lesmodulations OFDM/OQAM et OFDM suréchantillonnées intéressantes pour les applicationsde type PLC. Pour mettre ceci en évidence, nous avons réalisé des simulations de la DSP dansle contexte HomePlug AV décrit dans le paragraphe 6.4.1. Nous avons choisi une constella-tion de type MAQ-4 et les formes d'onde utilisées sont d'une part la forme d'onde TFL delongueur 3072 et d'autre part, la forme d'onde FS de longueur 12288. Des comparaisons sontréalisées avec la modulation Windowed OFDM avec les paramètres M = 3072, LIG = 3489 etLRI = 3861. Pour ces deux modulations, nous plaçons des données utiles uniquement sur lesfréquences positives (les 1536 premières voies sont mises à 0 pour le calcul de la DSP). Les 917fréquences où des données sont transmises, sont déterminées en se basant sur les données dutableau 6.2. La gure 6.4 donne les DSP pour les diérents systèmes présentés ci-dessus. Pourune analyse plus ne des résultats de cette gure, nous donnons sur la gure 6.5 les réponsesen temps et en fréquence des diérentes formes d'onde que nous avons utilisées.En revenant à la gure 6.4, on remarque que, pour les basses fréquences (jusqu'à 2 MHz)et pour les hautes fréquences (supérieures à 28 MHz), le Windowed OFDM ore les meilleuresatténuations. Ceci se vérie en observant la réponse en fréquence du ltre SRRC sur la -gure 6.5 qui est la meilleure des 4 proposées. Mais la modulation OFDM/OQAM se rattrapelorsque l'on observe l'allure de la DSP à l'intérieur de la bande. La DSP des modulationsOFDM/OQAM ne présente pas d'oscillations à l'intérieur de la bande, contrairement à lamodulation Windowed OFDM. Ceci est dû à la présence d'un intervalle de garde, phénomènedéjà analysé au cours du chapitre 2. Aussi, pour les nes bandes de fréquences non autorisées,comme la 4ième par exemple (voir la gure 6.6), on observe des comportements bien diérents.

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 155

0 5 10 15 20 25 30−150

−140

−130

−120

−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

Fréquence (MHz)

Den

sité

Spe

ctra

le d

e P

uiss

ance

(dB

m)

Windowed OFDMOFDM/OQAM (TFL de long. M)OFDM/OQAM (FS de long. 4M)Fig. 6.4 Densités Spectrales de Puissance pour diérents systèmes OFDM/OQAM compa-rées avec le Windowed OFDM.

0 T0 2T0 3T0 4T0−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Temps

Am

plitu

de

0 5 10 15−150

−100

−50

0

Fréquence normalisée Mν (0 ≤ ν ≤ 15/M)

Gai

n no

rmal

isé

(en

dB)

0 1/8 1/4 3/8 1/2−200

−150

−100

−50

0

Fréquence normalisée

Gai

n no

rmal

isé

(en

dB)

PorteSRRCTFL de long. MFS de long. 4M

Fig. 6.5 Réponses en temps et en fréquence des formes d'onde utilisées.

156 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligne

9.6 9.7 9.8 9.9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6−110

−90

−70

−50

Fréquence (MHz)

Den

sité

Spe

ctra

le d

e P

uiss

ance

(dB

m)

Windowed OFDMOFDM/OQAM (TFL de long. M)OFDM/OQAM (FS de long. 4M)Fig. 6.6 Zoom de la gure 6.4 autour de la 4ième encoche.Ainsi, le spectre de la modulation Windowed OFDM possède des atténuations assez faiblesalors que celles liées aux modulations OFDM/OQAM sont bien plus intéressantes car elles des-cendent beaucoup plus bas. En eet, enWindowed OFDM, le ltrage par le ltre SRRC n'inueque sur les bords du spectre. Ainsi, à l'intérieur de la bande, la modulation est équivalenteà une modulation OFDM avec intervalle de garde dont elle conserve les mêmes caractéris-tiques, à savoir des oscillations dans la bande et un spectre ayant de fortes remontées. On voitde plus que, même pour des formes d'ondes courtes comme la forme d'onde TFL proposéeici, on arrive à obtenir des atténuations tout à fait acceptables et allant même au delà desconditions imposées par les spécications. Enn, il existe un autre avantage de la modulationOFDM/OQAM. Cet avantage apparaît clairement sur la gure 6.6 et s'explique grâce à lagure 6.5. En eet, on observe que la forme d'onde FS possède une réponse fréquentielle avecun lobe principal très n. Ceci se répercute sur les spectres par une DSP ayant une pentetrès raide sur ses bords. Ceci se traduit par une possibilité de placer un nombre importantde porteuses utiles sur les bords du spectre tant en vériant les conditions imposées par lesspécications en terme de spectre d'émission (phénomène illustré sur la gure 6.7). Ceci apour corollaire une augmentation du débit utile en utilisant ce type de forme d'onde.Dans [164], une autre modulation a été proposée pour les PLC. Il s'agit du Wavelet OFDMqui est basée sur un banc de ltre modulé en cosinus (CMFB : Cosine Modulated Filter Bank).Cette solution est à rapprocher avec le DWMT (Discrete Wavelet Multi Tone) [163], le plussouvent basé sur un banc en cosinus. Cette solution possède l'avantage de générer un signalà valeurs réelles tout en gardant la possibilité de choisir des formes d'onde autres que rec-tangulaires. Le cas de l'OFDM/OQAM est diérent car basé sur des bancs MDFT (ModiedDiscrete Fourier Transform) et génère alors un signal à valeur complexe. Nous avons alorstransmis des données utiles sur les fréquences positives (en respectant la spécication) et des

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 157-

nombre de porteusesutiles + importantlimite (spécication)FO avec pente raideFO avec pente plus grande

Fig. 6.7 Inuence de la pente des formes d'onde utilisées sur le débit utile.zéros sur les fréquences négatives an de nous rapprocher du formalisme de transmission duWavelet OFDM. Les liens bien identiés entre OFDM/OQAM et bancs de ltres MDFT etCMFB [144] font que, comme nous l'indiquons dans [150], les modulations OFDM/OQAM etWavelet OFDM sont comparables sur bien des points. En particulier, les conditions d'ortho-gonalité du ltre prototype sont exactement les mêmes (voir eq. (1.41)).6.4.3 Robustesse au bruit à bande étroiteLa description du bruit à bande étroite est donnée en 6.4.1. Nous étudions dans ce pa-ragraphe l'eet de ce bruit particulier sur la modulation OFDM/OQAM, en supposant quele canal de transmission est idéal, c'est-à-dire qu'il possède un gain unité quelle que soit lafréquence. Nous restons dans le même contexte que pour l'étude de la DSP à savoir le contexteHomePlug AV. Les formes d'onde utilisées en OFDM/OQAM sont aussi les mêmes que lors del'étude de la DSP. Nous comparons enn les performances de la modulation OFDM/OQAMavec celles de la modulation Windowed OFDM. La gure 6.8 présente le taux d'erreur binaire(TEB) en fonction du rapport signal à bruit (SNR) pour diérents systèmes OFDM/OQAMet pour la modulation Windowed OFDM. La puissance de bruit considérée est celle du bruitAWGN. Nous avons aussi superposé les courbes de TEB en présence du seul bruit AWGN.Ces courbes montrent un aspect très intéressant des modulations OFDM/OQAM par rap-port au Windowed OFDM. En présence uniquement de bruit blanc gaussien, ces systèmesdonnent les mêmes performances. La courbe de TEB correspondante est celle d'une modu-lation MAQ-4 en présence d'AWGN. Mais lorsque l'on ajoute le bruit à bande limitée, onobserve des comportements diérents. Alors que la modulation Windowed OFDM voit sesperformances se dégrader, la modulation OFDM/OQAM conserve la même courbe de TEBet ceci pour les deux formes d'onde considérées. Ceci est à lier avec les résultats obtenuspour les DSP (gure 6.4) et à l'allure du bruit (gure 6.3). En eet, comme les spectres de

158 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligne

−10 −5 0 5 10 1510

−4

10−3

10−2

10−1

100

SNR

TE

B

Windowed OFDM (AWGN)Windowed OFDM (AWGN+BLWGN)TFL de long. 3072 (AWGN)TFL de long. 3072 (AWGN+BLWGN)FS de long. 12288 (AWGN)FS de long. 12288 (AWGN+BLWGN)

Fig. 6.8 TEB en fonction du rapport signal à bruit pour un système Windowed OFDM etdiérents systèmes OFDM/OQAM dans un contexte de transmission HomePlug AV.l'OFDM/OQAM sont mieux connés que celui du Windowed OFDM (à condition que la formed'onde soit bien choisie), en particulier dans les encoches de fréquences où intervient le bruit àbande étroite, le signal OFDM/OQAM est très peu touché par le bruit BLWGN en comparai-son de la modulation Windowed OFDM. Le signal OFDM/OQAM, grâce à une bonne DSP,n'est quasiment pas atteint par le bruit BLWGN ce qui explique que les courbes en AWGNet en AWGN+BLWGN soient aussi proches. Enn, les courbes étant exprimées en fonctiondu rapport signal à bruit, il n'apparaît pas le gain en débit en faveur de l'OFDM/OQAM parrapport au Windowed OFDM. Ainsi, ces mêmes courbes exprimées en Ebu/N0 montreraientdes écarts encore plus importants.6.4.4 Etude du PAPRIl semble aussi intéressant d'analyser le comportement du signal OFDM/OQAM dans lecontexte HomePlug AV. La forme d'onde utilisée est un ltre FS pour 3072 porteuses et delongueur 3072. Nous comparons ce système avec le système Windowed OFDM équivalent, lePAPR étant calculé sur NRI échantillons (voir la gure 6.2). La gure 6.9 présente la CCDFdu PAPR pour ces signaux. On y a aussi superposé les CCDF obtenues par l'expressionthéorique (3.38), ceci pour deux valeurs de M correspondant à la taille de la FFT et aunombre de porteuses.Cette gure nous montre donc que la CCDF du PAPR des systèmes OFDM/OQAMet Windowed OFDM sont diérents, avec un avantage pour l'OFDM/OQAM de l'ordre dequelques dixièmes de dB. Ceci provient du choix de l'intervalle de calcul du PAPR pour leWindowed OFDM qui est ici NRI . Si on choisit M échantillons pour calculer le PAPR, on

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 159

7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 1210

−3

10−2

10−1

100

γ (en dB)

Pr(

PA

PR

>γ)

CCDF théorique pour 1536 porteusesCCDF théorique pour 3072 porteusesOFDM/OQAM Windowed OFDMFig. 6.9 CCDF du PAPR dans le contexte HomePlug AV.trouve des distributions du PAPR identiques, résultat qui concorde alors avec le théorème3.2. Cette gure nous indique également que la CCDF du PAPR de l'OFDM/OQAM se situeentre les deux courbes théoriques, cependant nettement plus près du cas M = 3072, taille dela FFT. Ainsi, même si de nombreuses porteuses sont éteintes en HomePlug AV, c'est surtoutla taille de la FFT qui impose l'évolution de la CCDF du PAPR. La diérence existante entrela courbe obtenue par simulation et la courbe théorique pour M = 3072 peut s'expliquerjustement par le fait que le signal ne porte pas d'information sur toutes ses porteuses et quececi peut modier les valeurs du PAPR, et par conséquent sa distribution.6.4.5 Etude des performances de l'estimation de canalLes résultats, qui sont présentés dans ce paragraphe, sont issus des travaux de C. Lélésur l'estimation de canal pour l'OFDM/OQAM dans le contexte des transmissions par PLCen utilisant le standard HomePlug 1.0 [93]. Nous reprenons ici les résultats de simulationréalisés pour l'OFDM/OQAM sur un canal issu du modèle statique de Ma pour les PLC[98]. Des études complémentaires sont en cours de réalisation pour le modèle multitrajets deZimmermann [182]. Le tableau 6.3 nous indique quelques paramètres pris en compte dans lachaîne de transmission considérée.Notons aussi que le bruit à bande étroite n'est pas considéré dans ces simulations. Nouscomparons enn les performances des méthodes d'estimation IAM1, IAM2 et POP, méthodesdécrites en 5.2. Nous utilisons enn, pour l'OFDM/OQAM, la forme d'onde TFL de longueur128 et la forme d'onde IOTA de longueur 512. La gure 6.10 présente les résultats en estimationparfaite, la gure 6.11 présente, quant à elle, les résultats en estimation réaliste.

160 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligneTab. 6.3 Valeur de certains paramètres de simulation.Fréquence d'échantillonnage 10 MHzNombre de trajets 4Prol de puissance (linéaire) 0.2,0.1,0.02,0.01Prol des délais (µs) 0,0.4,0.6,0.7Taille de la FFT 128Intervalle de garde 10 échantillons (1.0 µs)Constellation MAQ-4Codage type convolutif avec K = 7, g1 = (133)0, g2 = (171)0, R = 1/2Trame 41 symboles

12 13 14 15 16 17 1810

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Ebu/N0

BE

R

OFDM

OQAM

Fig. 6.10 Courbes obtenues en estimation parfaite.

15 16 17 18 19 20 21 2210

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Ebu/No

BE

R

OFDMIAM2 (IOTA)IAM1 (IOTA)POP (IOTA)IAM2 (TFL)IAM1 (TFL)POP (TFL)

Fig. 6.11 Résultats de simulation en estimation réaliste dans le contexte HomePlug 1.0.

6.4. Simulations dans le cadre des transmissions CPL 161Les courbes de cette dernière gure conrment bien les conclusions que nous avions expri-mées en 5.2.5 pour la norme IEEE 802.22, à savoir que la méthode d'estimation IAM2 produitles meilleurs résultats en terme d'estimation de canal. Les raisons de ces bonnes performancessont évidemment les mêmes que celles avancées dans le contexte IEEE 802.22.ConclusionsCe chapitre a montré que, en prenant le cas particulier de l'OFDM/OQAM, les solutionsmultiporteuses sont parfaitement applicables aux transmissions PLC, en utilisant par exemplela spécication HomePlug. Nous avons ainsi mis en évidence le fait que les densités spectralesde puissance de ces modulations s'adaptaient tout à fait aux exigences des masques de trans-mission de cette spécication. En corollaire, cette modulation devient quasiment insensible auxbruits à bande étroite, bruit qui peut devenir très gênant pour d'autres modulations. L'étudede la CCDF du PAPR a pu aussi mettre en évidence que cette dernière est déterminée, enpremière approximation, par la valeur de la taille de la FFT qui est ici de 3072. Enn, nousavons pu montrer, cette fois-ci dans un contexte de transmission HomePlug 1.0, que les solu-tions réalistes d'estimation de canal, en particulier la méthode IAM2, donnaient des résultatstout à fait satisfaisants. Des résultats complémentaires et nouveaux sont aussi en cours dedéveloppement au sein de France Télécom Recherche et Développement par l'intermédiairedes travaux de C. Lélé (pour les méthodes d'estimation de canal) et de H. Lin (pour uneversion réelle du signal OFDM/OQAM qui serait plus en adéquation avec les caractéristiquesdes transmissions sur PLC).

162 Chapitre 6. Application au courant porteur en ligne

ConclusionLe principal objectif de cette thèse était d'étudier le comportement des modulations avecforme d'onde comme l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné vis-à-vis de certains as-pects importants des communications numériques, que ce soit au niveau de l'émission ou biende la réception.Nous avons ainsi décrit dans un premier temps ces modulations avec forme d'onde à partirde la modulation OFDM. En observant que l'OFDM est basée sur une forme d'onde rectan-gulaire, mal localisée en fréquence, il était intéressant de trouver une modulation ayant lesmêmes avantages que l'OFDM du point de vue de l'orthogonalité et de l'ecacité spectraletout en utilisant une forme d'onde ayant de meilleures propriétés spectrales. Le théorème deBalian-Low stipule qu'il n'est pas possible d'avoir à la fois une modulation orthogonale pos-sédant une forme d'onde bien localisée en temps et en fréquence et une ecacité spectraleidentique à l'OFDM. Nous avons pu ainsi introduire dans un premier temps la modulationOFDM/OQAM. Cette modulation a pour principe de relâcher les contraintes d'orthogona-lité1, tout en conservant une ecacité spectrale identique à l'OFDM. Dans un second temps,l'OFDM suréchantillonné est introduite en relâchant la contrainte d'ecacité spectrale maxi-male mais en gardant l'orthogonalité dans le corps des complexes.Ces deux modulations permettent l'utilisation de formes d'onde ayant des meilleures pro-priétés spectrales que la forme d'onde rectangulaire. Nous avons donc examiné l'impact dela forme d'onde sur la densité spectrale de puissance en l'absence, puis en présence de non-linéarités. Nous avons ainsi établi, puis validé par simulation, l'expression théorique de ladensité spectrale de puissance en l'absence de non-linéarité. Il apparaît que, pour des formesd'onde comme TFL, on observe de très fortes atténuations hors-bande. On peut ainsi obtenirdes écarts avec l'OFDM de l'ordre de 70 dB. Avec des formes d'onde FS, on observe alorsdes spectres bien mieux connés que celui de l'OFDM, ayant ainsi très peu d'énergie perdueen dehors de la bande du signal. L'étude des non-linéarités induites par les amplicateurs depuissance sur la DSP a aussi été abordée. Nous avons pu ainsi déterminer une expression théo-rique de la DSP après une non-linéarité de type cubique. D'autres modèles de non-linéarité,comme les modèles de Saleh [130], de Rapp [125] et de Ghorbani [45], ont aussi été simuléspour étudier leurs impacts respectifs sur l'allure de la DSP dans le cas de l'OFDM/OQAM.Les simulations indiquent que l'OFDM/OQAM conserve un avantage certain, de l'ordre d'unedizaine de dB et beaucoup plus si on augmente la valeur de l'IBO. Nous avons aussi pu obser-ver que l'OFDM/OQAM semblait être plutôt robuste aux perturbations en amplitude maisbeaucoup moins aux perturbations en phase. Un prolongement assez naturel de cette thèse1on passe d'une orthogonalité dans le corps des complexes en OFDM à une orthogonalité dans le corps desréels en OFDM/OQAM 163

164 Conclusionserait bien entendu d'étudier le comportement de l'OFDM suréchantillonné en présence de cesmêmes non-linéarités.Comme l'OFDM, l'OFDM/OQAM et l'OFDM suréchantillonné sont deux modulationsà enveloppe non constante. C'est la raison pour laquelle l'étude statistique du PAPR s'estavérée importante. Nous avons alors démontré, en utilisant le formalisme à temps discret,une formule théorique de la CCDF du PAPR pour les modulations OFDM/OQAM et OFDMsuréchantillonnés, valable quelle que soit la forme d'onde utilisée. La seconde partie de l'étudeconsistait alors à trouver pour quelles formes d'onde cette CCDF du PAPR était la meilleure.Pour la modulation OFDM/OQAM, on obtient alors la meilleure CCDF pour les formesd'onde orthogonales. L'expression de la CCDF optimale devient alors identique à celle d'unsystème OFDM à même nombre de porteuses, ce qui nous a permis de conclure que lessystèmes OFDM/OQAM et OFDM étaient comparables en termes de PAPR. Pour l'OFDMsuréchantillonné cependant, pour un rapport de suréchantillonnage strictement supérieur à 1,il n'est pas possible d'obtenir exactement la même distribution du PAPR qu'en OFDM. Deplus, pour un rapport de suréchantillonnage xé, il n'existe pas de lien entre orthogonalité etle fait que la CCDF soit optimale pour ce rapport de suréchantillonnage. Les coecients dela forme d'onde doivent alors vérier une relation particulière. Malgré tout, les pertes restentraisonnables. Cette étude a enn été étendue au formalisme à temps continu et elle a pumontrer que l'ensemble des résultats que nous venons de mentionner restent valables dansce formalisme. Nous avons pu alors en déduire des expressions empiriques, proches de cellesobtenues en temps discret, des CCDF du PAPR.Suite à l'étude théorique du PAPR, il semblait judicieux de développer une technique deréduction du PAPR adaptée à ces modulations avec forme d'onde. Nous avons alors choisid'adapter la technique de Selective Mapping qui, pour l'OFDM, propose un excellent compro-mis entre réduction du PAPR, complexité et dégradation en termes de débit utile et de TEB.Seulement, nous avons montré que l'application stricte de cette méthode aux modulations avecforme d'onde engendrait un signal qui n'était pas démodulable avec les récepteurs originaux.Nous avons donc dû adapter la technique SLM aux particularités de l'OFDM/OQAM et del'OFDM suréchantillonné. Nous avons ainsi développé un algorithme de réduction du PAPRque l'on a baptisé OSLM. L'étude des performances de cet algorithme a montré que plus laforme d'onde utilisée était courte, plus la réduction du PAPR était ecace, dépassant mêmede 0.5 dB les performances pour la technique SLM de l'OFDM. Lorsque le support de la formed'onde augmente, les performances de l'algorithme se dégradent assez vite, ce phénomène étantencore plus visible dans le cas de l'OFDM suréchantillonné. Nous avons aussi analysé, par lamême occasion, le cas de la métrique cubique, mesure introduite pour améliorer les prévisionsdu comportement d'un système multiporteuses vis-à-vis de l'amplication non-linéaire. Nousavons également montré que notre algorithme OSLM s'applique également dans le cas de cettemesure. Les résultats obtenus avec la métrique cubique pour diérentes valeurs des paramètresvont dans le même sens que ceux obtenus pour le PAPR.Suite à ces études réalisées au niveau de l'émetteur, nous avons observé comment ces si-gnaux multiporteuses avec forme d'onde se comportent vis-à-vis d'un canal de transmission.Nous nous sommes alors intéressés au problème d'estimation de canal pour les modulationsavec forme d'onde, en particulier l'OFDM/OQAM. Nous avons ainsi rappelé en détails latechnique de la couronne, solution développée au sein de France Télécom Recherche et Dé-veloppement. Nous avons alors proposé deux nouvelles méthodes d'estimation de canal. La

Conclusion 165première solution, appelée IAM, tend à rechercher une approximation de la valeur de l'IESgrâce à une structure particulière de préambule. La seconde, la méthode POP, utilise deuxpilotes consécutifs en temps pour trouver une estimation du coecient de canal. Des simu-lations réalisées dans le contexte de la norme IEEE 802.22 montrent que la solution IAMprésente des résultats intéressants en comparaison de la méthode POP. La solution IAM2présente même un gain de 1 dB par rapport à l'OFDM. L'extension de cette étude à l'OFDMsuréchantillonné peut être une perspective future intéressante en s'inspirant des solutions exis-tantes pour l'OFDM et le FMT dans la mesure où toutes ces modulations sont basées sur uneorthogonalité complexe.En dernier lieu, nous avons étudié ces modulations dans le contexte de certaines normes detransmission en cours d'établissement pour les PLC. Nous nous sommes ainsi penchés sur laspécication HomePlug AV qui présente de fortes contraintes spectrales an d'éviter les pertur-bations apportées par des applications utilisant des bandes de fréquence voisines. Nous avonsainsi mis en évidence que les modulations avec forme d'onde, en particulier l'OFDM/OQAM,présentaient des avantages certains du fait d'un spectre d'émission remplissant parfaitementles critères stricts liés à cette spécication. Ces modulations présentent de la même manièreune excellente robustesse vis-à-vis du bruit à bande étroite. On observe alors des gains del'ordre de 3 dB avec l'OFDM. Enn, les techniques d'estimation de canal développées aucours du chapitre 5 sont tout à fait applicables à ce type de transmission particulier et orentpar la même occasion des performances tout à fait intéressantes.Cette thèse tend à montrer que les modulations avec forme d'onde, comme l'OFDM/OQAMou l'OFDM suréchantillonné, sont très proches de la modulation OFDM en ce qui concerne lesproblèmes de PAPR et de réduction du PAPR. Mais surtout, elles possèdent des atouts certainsen ce qui concerne leurs spectres d'émission respectifs. Ainsi, pour des applications comme lesPLC, cet atout peut être exploité. Nous avons également vu que les critères d'optimisationpouvaient inuer assez nettement sur les résultats. Il peut donc être toujours protable de réa-liser des optimisations spéciques pour obtenir des formes d'ondes, parfois appelées agiles [69],pouvant s'adapter à diérents contextes de transmission. De plus, cette thèse montre que leproblème d'estimation de canal peut être en partie résolu grâce à des techniques propres à cesmodulations. Naturellement, d'autres nombreux travaux restent à mener pour pouvoir abou-tir à des chaînes de transmission complètes de type OFDM/OQAM ou oversampled OFDMpouvant rivaliser avec des systèmes basés sur l'OFDM conventionnel. La diculté étant d'amé-liorer notablement les performances, sans trop accroître la complexité. Ainsi la recherche desystèmes simples et ecaces d'égalisation et de synchronisation reste d'actualité. Il est éga-lement nécessaire de pouvoir régler, avec ces nouvelles modulations, les problèmes liés auxtechniques d'accès par codes ainsi qu'à l'augmentation de débit par des techniques MIMO.Quelques résultats ont déjà été obtenus pour l'OFDM/OQAM ( [51, 91, 92] : couplage avecle CDMA et [41] : MIMO) ainsi que pour le FMT [161] mais ceux-ci restent relativementpréliminaires et méritent d'être approfondis dans les années à venir.

166 Conclusion

Annexe ANotationsA.1 GénéralitésSoient x un réel, m et n deux entiers naturels. On note ainsi : bxc : la partie entière de x par valeur inférieure. dxe : la partie entière de x par valeur supérieure. δm,n : le symbole de Kronecker (valant 1 si m = n et 0 sinon).On note de plus les vecteurs et les matrices en caractères gras (de cette manière : A).A.2 Ensembles usuelsDans l'ensemble de cette thèse, nous appellerons : R : l'ensemble des réels. Z : l'ensemble des entiers positifs et négatifs. N : l'ensemble des entiers naturels. C : l'ensemble des complexes.A.3 Ensemble des complexesSoit z un nombre complexe, s'écrivant donc z = zR + jzI, avec zR et zI deux réels, on dénitainsi : zR : la partie réelle de z, notée aussi < (z) zI : la partie imaginaire de z, notée aussi = (z) z∗ : le complexe conjugué de z, égal à zR − jzIA.4 Opérations sur les ltresA.4.1 En temps continuOn note en minuscules la réponse impulsionnelle d'un ltre et en majuscule la réponse fré-quentielle. Ainsi, pour un ltre h donné, sa réponse impulsionnelle est h(t) et sa réponsefréquentielle est :H(ν) = TF(h(t)) =

∫R h(t)e−j2πνtdt,167

168 Annexe A. Notationsoù TF est la transformée de Fourier du ltre h. On note enn le produit de convolution entreh et f de la manière suivante :

(f ⊗ h) (t) =

∫R f(t− τ)h(τ)dτA.4.2 En temps discretOn note h[n] la réponse impulsionnelle d'un ltre h en temps discret. Sa transformée en z estdonnée par :H(z) =

∑

n∈Zh[n]z−n.Le produit de convolution entre h et f est donné par :(f ⊗ h) [n] =

∑

k∈Z f [n− k]h[k].A.5 Variables aléatoires et probabilitésSoit x une variable aléatoire. On note ainsi : E x l'espérance mathématique. Cette grandeur représente aussi la moyenne de x. σ2x = E xx∗ la variance de x, σx étant alors l'écart type de x.On note Pr(E) la probabilité de l'évènement E. On appelle ainsi CDF (Cumulative DensityFunction) la courbe donnant Pr(x < γ) en fonction de γ. Aussi, la CCDF (ComplementaryCDF) est la courbe donnant Pr(x > γ) = 1 − Pr(x < γ) en fonction de γ

Annexe BLien entre les modulations OFDMavec forme d'onde et la théorie desbancs de ltresB.1 Bancs d'analyse et bancs de synthèseOutre des ltres, les bancs de ltres d'analyse et de synthèse comportent respectivement desopérateurs de décimation, notés ici par N précédé d'une èche descendante, et d'expansion,notés ici par N précédé d'une èche ascendante. La décimation par N consiste à réduire lacadence d'un signal x[n] en ne prenant qu'un échantillon tous les N échantillons de signal. Lesignal sortant est alors y[n] = x[nN ]. L'expansion par N tend à augmenter la cadence d'unsignal x[n] en insérant N − 1 zéros entre les échantillons d'origine :y[n] =

x(n/N) si n est multiple de N ,0 sinon.Ces notions de ltrage multicadence et les formalismes mathématiques associés sont décritsdans plusieurs ouvrages de langue française [14] ou anglaise, en particulier la référence [166].Dans la suite de cette annexe, nous nous intéressons plus particulièrement à une certainefamille de bancs de ltres : les bancs de ltres uniforme [172], qui ont la particularité d'avoirle même facteur de décimation et d'expansion sur chaque voie.B.1.1 Banc d'analyseLa gure B.1 nous montre un banc d'analyse uniforme à M voies.La relation entrée-sortie d'un banc de ltres d'analyse s'écrit :

∀m ∈ 0, . . . ,M − 1 , ym[n] =

+∞∑

k=−∞lm[nN − k]x[k]. (B.1)

169

170 Annexe B. Lien entre les modulations OFDM avec forme d'onde et la théorie des bancs defiltres-

-

-

-

-

-

↓ N

↓ N

↓ N

-

-

-

y0[n]

y1[n]

yM−1[n]

x[k]L0(z)

L1(z)

LM−1(z)Fig. B.1 Banc d'analyse uniforme à M voies.B.1.2 Banc de synthèseLa gure B.2 nous montre un banc de synthèse uniforme à M voies.-

-

-

-

-

-

m?-

m- -

H0(z)

H1(z)

HM−1(z)

↑ N

↑ N

↑ N y[k]

x0[n]

x1[n]

xM−1[n]Fig. B.2 Banc de synthèse uniforme à M voies.La relation entrée-sortie d'un banc de ltres de synthèse s'écrit :y[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

xm[n]hm[k − nN ]. (B.2)B.2 Lien avec l'OFDM/OQAMOn rappelle que le signal OFDM/OQAM àM = 2N porteuses à temps discret s'écrit (voiréquation (1.35)) :s[k] =

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nh[k − nN ]ej2π2N

m(k−D/2)ejπ2(m+n)e−jπmn. (B.3)Soit :

B.3. Lien avec l'OFDM suréchantillonné 171hm[k] = h[k]ej

2π2N

m(k−D−N2 ), (B.4)alors :

hm[k − nN ] = h[k − nN ]ej2π2N

m(k−nN−D−N2 )

= h[k − nN ]ej2π2N

m(k−D2 )ej

π2me−jπmn, (B.5)d'où :

s[k] =

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nhm[k − nN ]e−jπ2mejπmnej

π2(m+n)e−jπmn

=

+∞∑

n=−∞

2N−1∑

m=0

am,nej π

2nhm[k − nN ]. (B.6)En rapprochant cette dernière équation avec l'équation (B.2), on peut donc armer que lesignal OFDM/OQAM peut être généré grâce à un banc de synthèse modulé par les ltres

hm sous réserve d'envoyer xm[n] = am,nej π

2n. Ceci explique donc la présence du terme depré-modulation ej π

2n au début du modulateur.Les équations de démodulation s'écrivent :

am,n = <

+∞∑

k=−∞h∗[D − k]ej

2π2N

m(k−D+N2 )e−j

π2ns[D + nN − k]

. (B.7)Sachant que D = αN − β, on obtient :am,n−α = <

+∞∑

k=−∞h∗[D − k]ej

2π2N

m(k−D+N2 )e−j

π2(n−α)s[nN − k − β]

. (B.8)En rapprochant cette dernière équation avec la relation entrée-sortie (B.1), on en déduit quel'on obtient la structure du démodulateur en prenant un banc d'analyse modulé par les ltres :lm[k] = h∗[D − k]ej

2π2N

m(k−D+N2 ) (B.9)sous réserve de retarder le signal s de β échantillons et de déphaser les données en sortie dubanc d'analyse par e−j π

2(n−α) puis de prendre la partie réelle. On aboutit donc bien au TMUXproposé sur la gure 1.5.B.3 Lien avec l'OFDM suréchantillonnéOn rappelle que le signal OFDM suréchantillonné à M porteuses à temps discret s'écrit(voir équation (1.47)) :s[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

cm,nh[k − nN ′]ej2πMm(k−D/2). (B.10)

172 Annexe B. Lien entre les modulations OFDM avec forme d'onde et la théorie des bancs defiltresLe fait d'utiliser un produit scalaire complexe nous permet d'introduire un déphase quelconqueau signal s sans perdre les caractéristiques d'orthogonalité du système. Ainsi, nous introduisonsle déphasage ψm,n = −2πN′

Mmn et ainsi :s[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

cm,nh[k − nN ′]ej2πMm(k−D/2)ejψm,n . (B.11)Soit :

hm[k] = h[k]ej2πMm(k−D

2 ), (B.12)alors :hm[k − nN ′] = h[k − nN ′]ej

2πMm(k−nN ′−D

2 )

= h[k − nN ′]ej2πMm(k−D

2 )ejψm,n , (B.13)d'où :s[k] =

+∞∑

n=−∞

M−1∑

m=0

cm,nhm[k − nN ′]. (B.14)En rapprochant cette dernière équation avec l'équation (B.2), on peut donc armer que lesignal OFDM suréchantillonné peut être généré grâce à un banc de synthèse modulé par lesltres hm envoyant les données xm[n] = cm,n.Les équations de démodulation s'écrivent :cm,n =

+∞∑

k=−∞h∗[D − k]ej

2πMm(k−D

2 )s[D + nN ′ − k]. (B.15)Sachant que D = αN ′ − β, on obtient :cm,n−α =

+∞∑

k=−∞h∗[D − k]ej

2πMm(k−D

2 )s[nN ′ − k − β]. (B.16)En rapprochant cette dernière équation avec la relation entrée-sortie (B.1), on en déduit quel'on obtient la structure du démodulateur en prenant un banc d'analyse modulé par les ltres :lm[k] = h∗[D − k]ej

2πMm(k−D

2 ) (B.17)sous réserve de retarder le signal s de β échantillons. On aboutit donc bien au TMUX proposésur la gure 1.7.

Annexe CRésultats complémentaires sur la DSPdes systèmes avec forme d'ondeC.1 DSP d'un signal en fonction de la DSP de son enveloppecomplexeSoit un signal sR d'enveloppe complexe s. Le lien entre les deux signaux est donc le suivant :sR(t) = <

s(t)ej2πFct

, (C.1)où Fc est la fréquence de transmission du signal. Nous considérons désormais s(t) comme égalau signal unié donné en (1.61). Nous avons donc dans un premier temps :

sR(t) =1

2

[s(t)ej2πFct + s∗(t)e−j2πFct

], (C.2)par conséquent, nous obtenons que :

sR(t)s∗R(t− τ) =1

4

[s(t)ej2πFct + s∗(t)e−j2πFct

] [

s∗(t− τ)e−j2πFc(t−τ) + s(t− τ)ej2πFc(t−τ)]

=1

4

[

s(t)s∗(t− τ)ej2πFcτ + s(t)s(t− τ)ej2πFc(2t−τ)

+s∗(t)s∗(t− τ)e−j2πFc(2t−τ) + s∗(t)s(t− τ)e−j2πFcτ]

. (C.3)Ainsi, en prenant l'espérance dans la dernière équation, nous obtenons :E sR(t)s∗R(t− τ) =

1

4

[

E s(t)s∗(t− τ) ej2πFcτ + E s(t)s(t− τ) ej2πFc(2t−τ)

+ E s∗(t)s∗(t− τ) e−j2πFc(2t−τ) + E s∗(t)s(t− τ) e−j2πFcτ]

. (C.4)Nous connaissons ainsi la valeur de E s(t)s∗(t− τ) (et aussi de E s∗(t)s(t− τ) grâce auxrésultats obtenus à la section 2.1.2. De plus, nous savons aussi que la valeur de E s(t)s(t− τ)(respectivement E s∗(t)s∗(t− τ)) est directement liée à la valeur de E bm,nbp,q (respecti-vement Eb∗m,nb

∗p,q

). Or d'après les équations en (3.22), on en déduit que :E bm,nbp,q = E

b∗m,nb

∗p,q

= 0, (C.5)173

174 Annexe C. Résultats complémentaires sur la DSP des systèmes avec forme d'ondeet ainsi :E s(t)s(t− τ) = E s∗(t)s∗(t− τ) = 0. (C.6)En poursuivant le raisonnement comme en 2.1.2, on trouve que :

ΓsR(τ) =

1

4

[Γs(τ)e

j2πFcτ + Γs∗(τ)e−j2πFcτ

]. (C.7)Ainsi :

γsR(ν) =

1

4[γs(ν + Fc) + γs∗(ν − Fc)] . (C.8)Or comme, en général, Fc est choisi comme étant plus grand que la bande du signal, le secondterme dans (C.8) concerne les fréquences négatives donc ne nous intéresse pas dans notre cadrede travail. Ainsi, nous pouvons dire que :

γsR(ν) =

1

4γs(ν + Fc). (C.9)La DSP du signal réel se déduit donc simplement (par translation) de la DSP de son enveloppecomplexe.C.2 Cas de validité de l'équation (2.24)Nous avons vu que pour obtenir l'équation (2.24), nous avons supposé que la variance dusignal s est constante. Le calcul de la variance du signal s est détaillé dans la section 3.2 etest donné dans l'équation (3.23). Ainsi, la variance du signal s est constante si et seulementsi :

∑

n∈Zh[k − nP ]2 = Cste . (C.10)C.2.1 En OFDMPour la modulation OFDM, comme la forme d'onde utilisée est la porte de longueur T0(donc sur M échantillons en temps discret) et que P = M ici, on vérie immédiatement quela condition (C.10) est vériée.C.2.2 En OFDM/OQAMPour l'OFDM/OQAM, il sut d'observer les conditions de reconstruction parfaite citées en1.3.3 et réécrite dans l'équation (3.77) pour voir que les formes d'onde orthogonales permettentde conclure que le signal résultant a une variance constante en fonction de t. Ainsi, l'équation(2.24) est valable pour tout système OFDM/OQAM avec une forme d'onde orthogonale.

C.2. Cas de validité de l'équation (2.24) 175C.2.3 En OFDM suréchantillonnéPour l'OFDM suréchantillonné, les conditions d'orthogonalité ne susent pas pour concluresur la validité de l'expression. Cependant, comme expliqué en 3.4.2, il est tout à fait envisa-geable de générer des formes d'onde ayant cette propriété car cette propriété est identique àcelle donnée en (3.79) pour obtenir une CCDF du PAPR optimale.

176 Annexe C. Résultats complémentaires sur la DSP des systèmes avec forme d'onde

Annexe DLa fonction d'ambiguïté : dénitionset applicationsD.1 Dénition de la fonction d'ambiguïtéD.1.1 Le cas continuLa fonction d'ambiguïté d'une fonction h a été introduite par P.M. Woodward dans [176],initialement pour des applications de type radar. Cependant, son utilisation peut aussi êtreétendue dans le domaine des communications numériques comme on a pu le voir par exempledans le chapitre 5. Ainsi, par dénition, par ailleurs aussi reprise dans [57], cette fonctions'écrit :A1h(τ, ν) =

∫R h(t+τ

2)h∗(t− τ

2)e−j2πνtdt. (D.1)Cependant, il n'est pas rare de trouver d'autres dénitions dans la littérature, comme parexemple dans [126] où la fonction d'ambiguïté est dénie par :

A2h(τ, ν) =

∫R h(t+τ

2)h∗(t− τ

2)ej2πνtdt. (D.2)D'autre part, on voit parfois apparaître, comme dans [52], la dénition suivante de la fonctiond'ambiguïté :

A3h(τ, ν) =

∫R h(t)h∗(t+ τ)e−j2πνtdt, (D.3)la dénition suivante étant aussi suggérée dans [126]A4h(τ, ν) =

∫R h(t+ τ)h∗(t)ej2πνtdt = A3h(τ, ν)

∗. (D.4)Cependant, dans notre étude, toutes les fonctions h (les ltres prototypes) sont symétriqueset à valeurs réelles ; nous aboutissons donc aux relations suivantes :A1h(τ, ν) = A2

h(τ, ν) = ejπντA4h(τ, ν) = ejπντA3

h(τ, ν)∗. (D.5)Ainsi, au cours de cette thèse, nous prenons les dénitions (D.1) et (D.2) qui sont strictementidentiques. 177

178 Annexe D. La fonction d'ambiguïté : définitions et applicationsD.1.2 Quelques propriétés de la fonction d'ambiguïtéNous donnons ici quelques propriétés intéressantes concernant la fonction d'ambiguïté.Dans un premier, on peut voir que pour une fonction h symétrique et à valeurs réelles, lafonction d'ambiguïté est à valeurs réelles. En eet, dans ce cas de gure :Ah(τ, ν) =

∫R h(t+τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt

=

∫R+h(t+

τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt+

∫R−

h(t+τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt

=

∫R+h(t+

τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt+

∫R+h(−t+

τ

2)h(−t− τ

2)e−j2πνtdt

=

∫R+h(t+

τ

2)h(t− τ

2)ej2πνtdt+

∫R+h(t− τ

2)h(t+

τ

2)e−j2πνtdt

= 2

∫R+h(t+

τ

2)h(t− τ

2) cos(2πνt)dt ∈ R. (D.6)D'autre part, la fonction d'ambiguïté permet de simplier les conditions d'orthogonalitéen OFDM/OQAM et en OFDM suréchantillonné. Ainsi, en OFDM/OQAM, les équationsd'orthogonalité d'un ltre prototype h peuvent se réécrire [52, 80] :

∀(m,n) ∈ Z2, Ah(2nτ0, 2mF0) = 0. (D.7)En OFDM suréchantillonné, elles se réécrivent :∀(m,n) ∈ Z2, Ah(nT0,mF0) = 0. (D.8)D.1.3 Le cas discretDans notre cadre de recherche, nous sommes souvent amenés à raisonner en temps discret.En conséquence, il est nécessaire de pouvoir transposer les calculs utilisant la fonction d'am-biguïté en discret, tout en conservant les propriétés de la fonction d'ambiguïté, surtout le lienentre la fonction d'ambiguïté et l'orthogonalité. Il est dès lors primordial d'avoir une expres-sion de la fonction d'ambiguïté sous forme discrète. Une dénition de la fonction d'ambiguïtéen discret a été donnée dans [13] par :

Ah(2η, 2k) =∑

n

h[n+ k]h∗[n− k]e−j2nη +∑

n

h[n+ 1 + k]h∗[n− k]e−j(2n+1)η , (D.9)et :Ah(2η, 2k+1) =

∑

n

h[n+k+1]h∗[n−k−1]e−j2nη+∑

n

h[n+1+k]h∗[n−k]e−j(2n+1)η. (D.10)Cette dénition n'étant pas facilement utilisable, nous allons introduire une autre dénitionde la fonction d'ambiguïté en discret. Sachant qu'en continu :

D.2. Importance de la phase dans l'estimation de canal par la technique de la couronne 179Ah(τ, ν) =

∫R h(t+τ

2)h∗(t− τ

2)ej2πνtdt (D.11)

= ejπντ∫R h(t+ τ)h∗(t)ej2πνtdt. (D.12)L'expression (D.12) risque de poser problème lors de la discrétisation du fait de la présence duterme τ/2. En eet, au passage en temps discret, τ sera remplacé par un index temporel l. Ladénition sera alors problématique dans la mesure où elle ne pourra être posée que pour lesindices temporels pairs. C'est la raison pour laquelle nous avons transposé la relation (D.12)en temps discret ce qui nous donne :

A(d)h (l, ν) = ejπνl

∑

k

h[k + l]h∗[k]ej2πkν , (D.13)où ν peut être vu ici comme une fréquence normalisée. On montre, par simulation, que pourles fonctions prototypes h orthogonales, nous avons eectivement en OFDM/OQAM :A

(d)h (2n, 2m) = 0, (D.14)et en OFDM suréchantillonné :A

(d)h (n,m) = 0. (D.15)D.2 Importance de la phase dans l'estimation de canal par latechnique de la couronneD.2.1 Les termes de phase en OFDM/OQAMAu cours du chapitre 1, nous avons mis en évidence le fait que le choix de la phase φm,n enOFDM/OQAM n'est pas xe. Ainsi, nous avons, par exemple, les 2 choix suivants qui s'orentà nous :

φ(1)m,n =

π

2(m+ n) (D.16)

φ(2)m,n =

π

2(m+ n) − πmn. (D.17)Ces diérents termes de phase ont une inuence sur les structures des transmultiplexeurs,les termes de prémultiplication en entrée du TMUX étant diérents selon le choix de la phase(voir aussi l'annexe B) mais ne changent pas les conditions d'orthogonalité d'une forme d'onde

h. Ainsi, les signaux issus des phases (D.16) et (D.17) sont diérents ce qui peut impliquerdes modications sur les équations d'estimation de canal.D.2.2 Réécriture des équations d'annulation d'IES sur la première cou-ronneSelon le terme de phase choisi, les valeurs de χm0,n0m,n dièrent. Ainsi, l'équation d'annulationd'IES sur la première couronne, donnée en (5.24), est écrite pour la phase (D.16). Pour la phase(D.17), l'équation d'annulation de l'IES sur la première couronne s'écrit :

180 Annexe D. La fonction d'ambiguïté : définitions et applicationsα(am0,n0+1 − am0,n0−1) + β(−1)m0(am0+1,n0 − am0−1,n0)

− γ (am0+1,n0−1 + am0+1,n0+1 + am0−1,n0−1 + am0−1,n0+1) = 0. (D.18)Ceci met donc en évidence que le choix de la phase en OFDM/OQAM a une inuence surles structures de données autour du pilote an d'annuler l'interférence entre symbole. Il estaussi à noter que si l'on choisit les dénitions (D.3) ou (D.4) pour la fonction d'ambiguïté, leséquations d'annulation d'IES sur la première couronne se retrouvent aussi modiées.D.3 Démonstration de l'équation (5.36)Dans cette section, nous montrons que, pour une forme d'onde h orthogonale :S =

M−1∑

m=0

∑

n∈Z ∣∣∣〈h〉m0,n0m0+p,n0+q

∣∣∣

2= 2. (D.19)Nous choisissons le formalisme à temps discret pour cette démonstration. Nous avons ainsi :

∣∣∣〈h〉m0,n0

m0+p,n0+q

∣∣∣

2=∑

k∈Z∑l∈Z h[l]h[k]h[k + nN ]h[l + nN ]ej2πMm(k−l), (D.20)ce qui peut être réécrit de la manière suivante :

S =∑

k∈Z∑l∈Z h[l]h[k]∑n∈Z h[k + nN ]h[l + nN ]M−1∑

m=0

(

ej2πM

(k−l))m

︸ ︷︷ ︸

Ak,l

. (D.21)Un calcul simple permet ainsi d'obtenir :Ak,l =

1 − ej2π(k−l)

1 − ej2πM

(k−l) . (D.22)Deux cas de gure sont ainsi possibles : k − l 6= aM avec a ∈ Z, alors Ak,l = 0, k − l = aM = 2aN avec a ∈ Z, alors Ak,l = M .ce qui nous mène à :S = M

∑

k∈Z∑a∈Zh[k + 2aN ]h[k]∑

n∈Z h[k + nN ]h[k + (n+ 2a)N ]. (D.23)En utilisant les conditions d'orthogonalité qui ont été par exemple données dans l'équation(3.76), pour a 6= 0, nous pouvons écrire :∑

n∈Zh[k + nN ]h[k + (n+ 2a)N ] = 0, (D.24)alors que pour a = 0, nous obtenons :

D.3. Démonstration de l'équation (5.36) 181∑

n∈Zh[k + nN ]2 =1

N. (D.25)Dès lors :

S =M

N

∑

k∈Zh[k]2︸ ︷︷ ︸

=1 énergie unité = 2. (D.26)Enn, comme 〈g〉m0,n0m0,n0

= 1, nous en déduisons que :∑

(p,q)6=(0,0)

| 〈h〉m0,n0m0+p,n0+q

|2= 1. (D.27)

182 Annexe D. La fonction d'ambiguïté : définitions et applications

ContributionsArticles de conférence A. Skrzypczak, J.-P. Javaudin, et P. Siohan, Reduction of the Peak-to-Average PowerRatio for the OFDM/OQAM Modulation, dans VTC '06 Spring, volume 4, Melbourne,Australie, Mai 2006, pages 2018-2022. A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Analysis of the Peak-to-Average PowerRatio of the oversampled OFDM, dans ICASSP '06, volume 4, Toulouse, France, Mai2006, pages 309-312. A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Analysis of the Peak-to-Average PowerRatio for OFDM/OQAM, dans SPAWC '06, Cannes, France, Juillet 2006. A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Power Spectral Density and Cubic Metricfor the OFDM/OQAM Modulation, dans ISSPIT '06, Vancouver, Canada, Août 2006,pages 846-850. A. Skrzypczak, J.-P. Javaudin, et P. Siohan, Overlapped Selective Mapping for Pulse-Shaped Multi-Carrier Modulations, dans VTC '06 Fall, Montréal, Canada, Septembre2006. A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Application of the OFDM/OQAM Modu-lation to Power Line Communications, dans ISPLC '07, Pise, Italie, Mars 2007, pages71-76. C. Lélé, J.-P. Javaudin, R. Legouable, A. Skrzypczak, et P. Siohan, Estimation Methodsfor Preamble-Based OFDM/OQAM Modulations, dans European Wireless '07, Paris,France, Avril 2007. N. Chotkan, A. Skrzypczak, M. Djoko-Kouam, et P. Siohan, Analysis of the PSD ofOFDM and OFDM/OQAM for Various Nonlinear Amplication Systems, article enpréparation, 2007.Articles de revue C. Lélé, J.-P. Javaudin, R. Legouable, A. Skrzypczak, et P. Siohan, Estimation Methodsfor Preamble-Based OFDM/OQAM Modulations, soumis à European Transactions onTelecommunications, 2008. 183

184 ContributionsBrevets C. Lélé, J.-P. Javaudin, et A. Skrzypczak, Procédé d'émission et de réception d'un signalmultiporteuses comprenant un préambule, dispositifs et produits programme d'ordina-teur correspondants, Brevet français 06/06216, 2007. C. Lélé, J.-P. Javaudin, et A. Skrzypczak, Procédé d'émission et de réception d'un signalmultiporteuses comprenant un préambule comprenant des éléments de données, dispo-sitifs et produits programme d'ordinateur correspondants, Brevet français 06/06370,2007.Divers Présentation intitulée Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avecforme d'onde, au cours du séminaire SCEE à Supélec, Février 2007. Livrable interne à la division Recherche et Développement de France Télécom intituléAn Analysis of the Power Spectral Density and Peak-to-Average Power Ratio of Pulse-Shaped Multicarrier Modulations, Mars 2007.

Bibliographie[1] HomePlug 1.0 White Paper. www.homeplug.org/en/products/whitepapers.asp, 2001.[2] HomePlug AV White Paper. www.homeplug.org/en/products/whitepapers.asp, 2005.[3] 3GPP TSG-RAN WG1 LTE, Cubic Metric in 3GPP-LTE, Tdoc R1-060023, Janvier2006.[4] 3GPP TSG-RAN WG1 LTE, Cubic Metric Performance of Optimum Spectrum-Shaping Functions for PAPR Reduction, Tdoc R1-060227, Janvier 2006.[5] 3GPP TSG-RAN WG4 # 31, Comparison of PAR and Cubic Metric for Power De-Rating, Tdoc R1-040522, Mai 2004.[6] 3GPP TSG-RAN WG4 # 32, Evaluation of Cubic Metric as a Means to Predict PABehaviour, Tdoc R4-040476, Août 2004.[7] A. Abdi, K. Wills, H. A. Barger, M.-S. Alouini, et M. Kaveh, Comparison of the LevelCrossing Rate and Average Fade Duration of Rayleigh, Rice, and Nakagami FadingModels with Mobile Channel Data, dans VTC '00, Boston, USA, Septembre 2000,pages 1850 1857.[8] M. Alard et R. Lassalle, Principes de modulation et de codage canal en radiodiusionnumérique vers des mobiles, revue de l'UER, numéro 224, pages 168 190, Août 1987.[9] J. Armstrong, Peak-to-Average Power Reduction for OFDM by Repeated Clipping andFrequency Domain Filtering, Electronics Letters, volume 38, numéro 8, pages 246247,Février 2002.[10] A. Assalini, M. Trivellato, et S. Pupolin, Performance Analysis of OFDM/OQAM Sys-tems, dans WPMC '05, Aalborg, Danemark, Septembre 2005.[11] R. W. Bäuml, R. F. H. Fischer, et J. B. Huber, Reducing the Peak-to-Average PowerRatio of Multicarrier Modulation by Selected Mapping, Electronics Letters, volume 32,numéro 22, pages 20562057, Octobre 1996.[12] A. Behravan et T. Eriksson, Some Statistical Properties of Multicarrier Signals andRelated Measures, dans VTC '06 Spring, volume 4, Melbourne, Australie, Mai 2006,pages 18541856.[13] E. Bekir, Unaliased Discrete-Time Ambiguity Function, J. Acoust. Soc. of Amer.,volume 94, pages 817 826, Août 1993.[14] M. Bellanger, Traitement numérique du signal. Editions Masson, 1981.[15] S. Ben Slimane, Peak to Average Power Ratio Reduction of OFDM Signals Using PulseShape, dans Globecom '00, San Fransisco, USA, Novembre 2000, pages 1412 1416.185

186 BIBLIOGRAPHIE[16] S. Ben Slimane, Reducing the Peak-to-Average Power Ratio of OFDM Signals withPrecoding, IEEE Trans. on Vehicular Technology, volume 56, numéro 2, pages 686695, Mars 2007.[17] N. Benvenuto, S. Tomasin, et L. Tomba, Equalization Methods in OFDM and FMTSystems for Broadband Wireless Communications, IEEE Trans. on Communications,volume 50, numéro 9, pages 14131418, Septembre 2002.[18] D. Bhatoolaul, An Investigation into the Implementation and Performance of SpectrallyShaped Orthogonal Frequency Division Multiplex, Thèse de Doctorat, University ofPlymouth, 1999.[19] H. Bölcskei, Advances in Gabor Analysis. Birkhäuser, 2003, chapitre Orthogonalfrequency division multiplexing based on oset QAM, pages 321352.[20] S. Boyd, Multitone Signals with Low Crest Factor, IEEE Trans. on Circuits and Sys-tems, volume 33, numéro 10, pages 1018 1022, Octobre 1986.[21] M. Breiling, S. H. Müller-Weinfurtner, et J. B. Huber, SLM Peak-Power ReductionWithout Explicit Side Information, IEEE Communications Letters, volume 5, numéro 6,pages 239241, Juin 2001.[22] C. Brutel et P. Mege, Estimation d'un canal de transmission avec des symboles pilotesrépartis selon une structure maillée, 2003, brevet international WO 03/036898 A1.[23] C. Brutel et P. Mege, Signal multiporteuse, procédé de poursuite d'un canal de trans-mission à partir d'un tel signal et dispositif pour sa mise en ÷uvre, 2003, brevet inter-national WO 03/024041 A1.[24] R. W. Chang, Synthesis of Band-Limited Orthogonal Signals for Multi-Channel DataTransmission, Bell. Syst. Tech. Journal, volume 45, pages 17751796, Décembre 1966.[25] F. Chapeau-Blondeau et A. Monir, Numerical Evaluation of the Lambert W Functionand Application to Generation of Generalized Gaussian Noise with Exponent 1/2, IEEEJournal on Signal Processing, volume 50, numéro 9, pages 2160 2165, Septembre 2002.[26] W. Chauvet, Etude des ltres LPTV numériques - Applications aux communicationsnumériques, Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse, 2004.[27] H. Chen et A. M. Haimovic, Iterative Estimation and Cancellation of Clipping Noisefor OFDM Signals, IEEE Communications Letters, volume 7, numéro 7, pages 305307,Mars 2003.[28] G. Cherubini, E. Eleftheriou, et S. Ölçer, Filtered Multitone Modulation for VeryHigh-Speed Subscriber Lines, IEEE Journal on Selected Areas in Communications,volume 20, numéro 5, pages 1016 1028, Juin 2002.[29] P. R. Chevillat et G. Ungerboeck, Optimum FIR transmitter and receiver lters for datatransmission over band-limited channels, IEEE Trans. on Communications, volumeCOM-30, numéro 8, pages 19091915, Août 1982.[30] N. Chotkan, Comparaison de modulations multiporteuses avec forme d'onde après am-plication, Rapport de DEA, Ecole Louis de Broglie, Rennes, 2007.[31] N. Chotkan, A. Skrzypczak, M. Djoko-Kouam, et P. Siohan, Analysis of the PSD ofOFDM and OFDM/OQAM for Various Nonlinear Amplication Systems, 2007, articleen préparation.

BIBLIOGRAPHIE 187[32] L. J. Cimini, Analysis and Simulations of a Digital Mobile Channel Using OrthogonalFrequency Division Multiplexing, IEEE Trans. on Communications, volume COM-33,numéro 7, pages 665675, Juillet 1985.[33] T. Cooklev, Wireless communication standards, série IEEE standards wireless networks.New York : IEEE Press, 2004.[34] I. Daubechies, The Wavelet Transform, Time-Frequency Localization and Signal Ana-lysis, IEEE Trans. on Information Theory, volume 36, numéro 5, pages 9611005, Sep-tembre 1990.[35] J. A. Davis et J. Jedwab, Peak-to-Mean Power Control in OFDM, Golay Comple-mentary Sequences and Reed-Müller Codes, IEEE Trans. on Information Theory, vo-lume 45, numéro 7, pages 2397 2417, Novembre 1999.[36] M. de Courville, Utilisation de bases orthogonales pour l'algorithmique adaptative etl'égalisation des systèmes multiporteuses, Thèse de Doctorat, ENST, 1996.[37] M. Doelz, E. Heald, et D. Martin, Binary Data Transmission Techniques for LinearSystems, Proceedings of IRE, volume 45, pages 656661, Mai 1957.[38] M. I. Doroslova£ki, Product of Second Moments in Time and Frequency for Discrete-Time Signals and the Uncertainty Limit, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 67,numéro 1, Mai 1998.[39] J. Du et S. Signell, Time Frequency Localization of Pulse Shaping Filters inOFDM/OQAM Systems, dans SSoCC (Swedish System-o-Chip Conference) '07, Gull-marsstrand, Suède, Mai 2007.[40] O. Edfors, M. Sandell, J. v. Beek, S. Wilson, et P. Börjesson, OFDM Channel Estima-tion by Singular Value Decomposition, IEEE Trans. on Communications, volume 46,numéro 7, pages 931939, Juillet 1998.[41] M. El Tabach, J.-P. Javaudin, et M. Hélard, Spatial Data Multiplexing overOFDM/OQAM Modulations, dans ICC '07, Glasgow, Ecosse, Juin 2007.[42] N. Ermolova, Nonlinear Amplier Eects on Clipped-Filtered Multicarrier Signals,IEE Proc.-Communications, volume 153, numéro 2, pages 213218, Avril 2006.[43] H. G. Feichtinger et T. Strohmer, Gabor analysis and algorithms. Birkhäuser, Boston,1998.[44] N. J. Fliege, Orthogonal Multiple Carrier Data Transmission, European Transactionson Telecommunications, volume 3, numéro 3, pages 255264, MaiJuin 1992.[45] A. Ghorbani et M. Sheikhan, The Eect of Solid State Power Ampliers (SSPAs) Non-linearities on MPSK and M-QAM Signal Transmission, dans International Conferenceon Digital Processing of Signals in Communication, 1991, pages 193197.[46] D. R. Gimlin et C. R. Patisaul, On Minimizing the Peak-to-Average Power Ratio forthe Sum of N Sinusoids, IEEE Trans. on Communications, volume 41, numéro 4, pages631 635, Avril 1993.[47] M. Golay, Complementary Series, IEEE Trans. on Information Theory, volume 7,numéro 2, pages 8287, Avril 1961.[48] L. J. Greenstein et P. J. Fitzgerald, Phasing Multitone Signals to Minimize Peak Fac-tors, IEEE Trans. on Communications, volume 29, numéro 7, pages 10721074, Juillet1981.

188 BIBLIOGRAPHIE[49] M. Götz, M. Rapp, et K. Dostert, Power Line Channel Characteristics and Their Eecton Communication Design, IEEE Communications Magazine, volume 42, numéro 4,pages 7886, Avril 2004.[50] D. Guel, Y. Louët, et J. Palicot, A Geometric Method for PAPR Reduction in a SignalAdding Context for OFDM Signals, dans DSP '07, Cardi, Royaume-Uni, Juillet 2007,pages 347350.[51] J. Guo, Performance of a Wavelet-Based OFDM-CDMA High Speed Power Line Com-munication System, dans Proc. of the 7th International Power Engineering Conference(IPEC), Décembre 2005.[52] R. Haas, Application des transmissions à porteuses multiples aux communications radio-mobiles, Thèse de Doctorat, ENST, France, 1996.[53] S. H. Han et J. H. Lee, An Overview of Peak-to-Average Power Ratio Reduction Tech-niques for Multicarrier Transmission, IEEE Wireless Communications, volume 12, nu-méro 2, pages 56 65, Avril 2005.[54] L. Hanzo, M. Münster, B. J. Choi, et T. Keller, OFDM and MC-CDMA for broadbandMulti-Users communications, WLANs and Broadcasting. IEEE press. Wiley Series,2003.[55] B. Hirosaki, An Orthogonally Multiplexed QAM System Using the Discrete FourierTransform, IEEE Trans. on Communications, volume 29, numéro 7, pages 982989,Juillet 1981.[56] B. Hirosaki, An Analysis of Automatic Equalizers for Orthogonally Multiplexed QAMSystems, volume COM-28, numéro 1, pages 7383, Janvier 1980.[57] F. Hlawatsch et G.-F. Boudreaux-Bartels, Linear and Quadratic Time-Frequency Si-gnals Representations, IEEE Signal Processing Magazine, volume 9, numéro 2, pages2167, Avril 1992.[58] R. Hleiss, Conception et égalisation de nouvelles structures de modulations multipor-teuses, Thèse de Doctorat, ENST, 2000.[59] R. Hleiss, P. Duhamel, et M. Charbit, Oversampled OFDM Systems, dans Interna-tional Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Grèce, Juillet 1997, pages329332.[60] HomePlug Powerline Alliance. Visible en ligne : http://www.homeplug.org/home[61] IEEE P1901. Visible en ligne : http://grouper.ieee.org/groups/1901/[62] A. J. E. M. Janssen et H. Boelcskei, Equivalence of Two Methods for Constructing TightGabor Frames, IEEE Signal Processing Letters, volume 7, numéro 4, pages 7982, Avril2000.[63] J.-P. Javaudin, D. Lacroix, et A. Rouxel, Pilot-Aided Channel Estimation forOFDM/OQAM, dans VTC '03 Spring, volume 3, Jeju Island, Corée du Sud, Avril2003, pages 1581 1585.[64] A. D. S. Jayalath et C. R. N. Athaudage, On the PAPR Reduction of OFDM SignalsUsing Multiple Signal Representation, IEEE Communications Letters, volume 8, nu-méro 7, pages 425427, Juillet 2004.[65] A. D. S. Jayalath et C. Tellambura, Adaptative PTS Approach for Reduction of Peak-to-Average Power Ratio of OFDM Signals, Electronics Letters, volume 36, numéro 14,pages 1226 1228, Juillet 2000.

BIBLIOGRAPHIE 189[66] A. D. S. Jayalath et C. Tellambura, The Use of Interleaving to Reduce the Peak-to-Average Power Ratio of an OFDM Signal, dans GlobeCom '00, volume 1, San Francisco,USA, Novembre 2000, pages 8286.[67] M. Joindot et A. Glavieux, Communications Numériques. Edition Masson, 1996.[68] A. E. Jones, T. A. Wilkinson, et S. K. Barton, Block Coding Scheme for Reduction ofPeak-to-Mean Envelope Power Ratio of Multicarrier Transmission Scheme, ElectronicsLetters, volume 30, numéro 25, pages 20982099, Décembre 1994.[69] Journées d'étude des nouvelles formes d'onde de la SEE, 17-18 Mars 2005, Paris.[70] P. Jung et G. Wunder, Iterative Pulse Shaping for Gabor Signaling in WSSUS Chan-nels, dans SPAWC '04, Lisbonne, Portugal, Juillet 2004, pages 368 372.[71] S. W. Kang, J. Heo, et K. H. Chang, Robust Channel Estimation Scheme to the IntrinsicInterference of IOTA Fuction in OFDM/OQAM-IOTA System, dans VTC '06 Fall,Montréal, Canada, Septembre 2006.[72] W. Keasler, Reliable data communications over the voice bandwidth telephone channelusing orthogonal frequency division multiplexing, Thèse de Doctorat, University ofIllinois, 1982.[73] W. Kozek et A. F. Molish, Nonorthogonal Pulseshapes for Multicarrier Communicationover Doubly Dispersive Channels, IEEE Journal on Selected Areas in Communications,volume 16, numéro 8, Octobre 1998.[74] W. Kozek, A. F. Molish, et E. Bonek, Pulse Design for Robust Multicarrier Transmissionover Doubly Dispersive Channels, dans International Conference on Telecommunica-tions, volume 2, Porto Carras, Grèce, Juin 1998, pages 313317.[75] B. S. Krongold et D. L. Jones, PAR Reduction in OFDM via Active Constellation Ex-tension, IEEE Trans. on Broadcasting, volume 49, numéro 3, pages 258268, Septembre2003.[76] B. S. Krongold et D. L. Jones, An Active Set Approach for OFDM PAR Reductionvia Tone Reservation, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 52, numéro 2, pages495509, Février 2004.[77] N. Lacaille, Relations bancs de ltres - modulations multiporteuses et application àl'OFDM/OQAM, Rapport de DEA, Université de Rennes 1, 1998.[78] D. Lacroix et J.-P. Javaudin, A New Channel Estimation Method for OFDM/OQAM,dans 7th International OFDM Workshop, Hambourg, Allemagne, Septembre 2002.[79] F. Langlet, H. Abdulkader, D. Roviras, A. Mallet, et F. Castanie, Comparison of NeuralNetwork Adaptive Predistortion Techniques for Satellite Down Links, dans IJCNN '01,Washington, USA, Juillet 2001, pages 709714.[80] B. Le Floch, M. Alard, et C. Berrou, Coded Orthogonal Frequency Division Multiplex,Proceedings of the IEEE, volume 83, numéro 6, pages 982 996, Juin 1995.[81] X. Li et L. J. Cimini, Eects of Clipping and Filtering on the Performance of OFDM,IEEE Communications Letters, volume 2, numéro 5, pages 131133, Mai 1998.[82] Y. Li, Orthogonal Frequency Division Multiplex for Wireless Communications. Sprin-ger, 2006, chapitre Channel Estimation, pages 145197.[83] Y. Li et G. Stüber, Orthogonal Frequency Division Multiplexing for Wireless Communi-cations. Springer, 2006.

190 BIBLIOGRAPHIE[84] G. Lin, On the Design and Optimization of OFDM Systems, Thèse de Doctorat,Norwegian University of Science and Technology, NTNU, 2006.[85] Y.-P. Lin, C.-C. Li, et S.-M. Phoong, A Filterbank Approach to Window Designs forMulticarrier Systems, IEEE Circuits and Systems Magazine, volume 7, numéro 1, pages19 30, Janvier 2007.[86] Y.-P. Lin et S.-M. Phoong, Window Designs for DFT-Based Multicarrier Systems,IEEE Trans. on Signal Processing, volume 53, numéro 3, pages 1015 1024, Mars 2005.[87] C. Lélé, J.-P. Javaudin, R. Legouable, A. Skrzypczak, et P. Siohan, Channel EstimationMethods for Preamble-Based OFDM/OQAM Modulations, dans Euro Wireless '07,Paris, France, Avril 2007.[88] C. Lélé, J.-P. Javaudin, R. Legouable, A. Skrzypczak, et P. Siohan, Channel EstimationMethods for Preamble-Based OFDM/OQAM Modulations, 2007, soumis à EuropeanTransactions on Telecommunications.[89] C. Lélé, J.-P. Javaudin, et A. Skrzypczak, Procédé d'émission et de réception d'unsignal multiporteuses comprenant un préambule comprenant des éléments de données,dispositifs et produits programme d'ordinateur correspondants, 2007, brevet français06/06370.[90] C. Lélé, J.-P. Javaudin, et A. Skrzypczak, Procédé d'émission et de réception d'un signalmultiporteuses comprenant un préambule, dispositifs et produits programme d'ordina-teur correspondants, 2007, brevet français 06/06216.[91] C. Lélé, P. Siohan, R. Legouable, et M. Bellanger, CDMA Transmission with ComplexOFDM/OQAM, à paraître dans EURASIP, Special Issue on MCM, 2007.[92] C. Lélé, P. Siohan, R. Legouable, et M. Bellanger, OFDM/OQAM for Spread SpectrumTransmission, dans MCSS '07, Herrsching, Allemagne, Mai 2007.[93] C. Lélé, P. Siohan, R. Legouable, et J.-P. Javaudin, Preamble-Based Channel Estima-tion Techniques for OFDM/OQAM over the Powerline, dans ISPLC '07, Pise, Italie,Mars 2007, pages 5964.[94] Y. Louët, A. Le Glaunec, et P. Leray, Concaténation de séquences complémentairespour réduire le facteur de crête d'un signal OFDM, dans GRETSI '01, Toulouse, France,Septembre 2001.[95] Y. Louët et J. Palicot, Power Ratio Denitions and Analysis in Single Carrier Modu-lations, dans EUSIPCO '05, Turkey, Septembre 2005.[96] J. Louveaux, Filter Bank Based Multicarrier Modulation for xDSL Transmission,Thèse de Doctorat, Université Catholique de Louvain, 2000.[97] D. G. Luenberger, Introduction to linear and non-linear programming. Addison-Wesleypublishing company, 1973.[98] Y. H. Ma, P. L. So, et E. Gunawan, Performance Analysis of OFDM Systems forBroadband Powerline Communications Under Impulsive Noise and Multipath Eects,IEEE Trans. on Power Delivery, volume 20, numéro 2, pages 674682, Avril 2005.[99] H. S. Malvar, Modulated QMF Filter Banks with Perfect Reconstruction, ElectronicsLetters, volume 26, numéro 13, pages 906 907, Juin 1990.[100] H. S. Malvar, Fast Algorithm for Modulated Lapped Tranform, Electronics Letters,volume 27, numéro 9, pages 775 776, Avril 1991.

BIBLIOGRAPHIE 191[101] R. K. Martin et C. R. Johnson, Adaptive Equalization : Transitioning from Single-Carrier to Multicarrier Systems, IEEE Signal Processing Magazine, volume 22, nu-méro 6, pages 108122, Novembre 2005.[102] H. Meng, Y. L. Guan, et S. Chen, Modeling and Analysis of Noise Eects on BroadbandPower-Line Communications, IEEE Trans. on Power Delivery, volume 20, numéro 2,pages 630637, Avril 2005.[103] M. Minoux, Programmation mathématique : théorie et algorithmes. Tome 1. Dunod,1987.[104] S. H. Müller et J. B. Huber, A Novel Peak Power Reduction Scheme for OFDM, dansPIMRC '97, volume 3, Helsinki, Finlande, Septembre 1997, pages 10901094.[105] S. H. Müller et J. B. Huber, OFDM with Reduced Peak-to-Average Power Ratio byOptimum Combinaison of Partial Transmit Sequences, Electronics Letters, volume 33,numéro 5, pages 368369, Février 1997.[106] B. Mongol, T. Yamazato, H. Okada, et M. Katayama, On the Second-order Statistics ofthe Channel Parameters for BFDM/OQAM Systems, dans ISWCS '05, Sienne, Italie,Septembre 2005, pages 534538.[107] R. Mosier, A Data Transmission System Using Pulse Phase Modulation, IRE Conven-tion record of First Nation Convention on Military Electronics, pages 233238, Juin1957.[108] B. Muquet, Z. Wang, G. Giannakis, M. de Courville, et P. Duhamel, Cyclic Prexingor Zero Padding for Wireless Multicarrier Transmissions, IEEE Trans. on Communi-cations, volume 50, numéro 12, pages 2136 2148, Décembre 2002.[109] S. Narahashi et T. Nojima, New Phasing Scheme of N -Multiple carriers for ReducingPeak-to-Average Power Ratio, Electronics Letters, volume 33, pages 13821383, Août1994.[110] H. Ochiai et H. Imai, On the Distribution of the Peak-to-Average Power Ratio in OFDMsignals, IEEE Trans. on Communications, volume 49, numéro 2, pages 282 289, Fé-vrier 2001.[111] H. Ochiai et H. Imai, Performance Analysis of Deliberately Clipped OFDM Signals,IEEE Trans. on Communications, volume 50, numéro 1, pages 89101, Janvier 2002.[112] R. O'Neill et L. B. Lopes, Envelope Variations and Spectral Splatter in Clipped Mul-ticarrier Signals, dans PIMRC '95, volume 1, Toronto, Canada, Septembre 1995, pages7175.[113] Open PLC European Research Alliance. Visible en ligne : http://www.ist-opera.org/[114] M. Pauli et H.-P. Kuchenbecker, On the Reduction of the Out-of-Band Radiation ofOFDM Signals, dans ICC '98, volume 3, Atlanta, USA, Juin 1998, pages 13041308.[115] A. Peled et A. Ruiz, Frequency Domain Data Transmission Using Reduced Computa-tional Complexity Algorithms, dans ICASSP '80, volume 3, Denver, USA, Avril 1980,pages 964967.[116] S.-M. Phoong, Y. Chang, et C.-Y. Chen, DFT-Modulated Filterbank Transceivers forMultipath Fading Channels, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 53, numéro 1,pages 182 192, Janvier 2005.

192 BIBLIOGRAPHIE[117] D. Pinchon, C. Siclet, et P. Siohan, New Design Techniques for Oversampled ModulatedFilterbanks and OFDM/OQAM Modulations, dans ICT '04, Fortaleza, Brésil, Août2004.[118] D. Pinchon, P. Siohan, et C. Siclet, Design Techniques for Orthogonal Modulated Fil-terbanks based on a Compact Representation, IEEE Trans. on Signal Processing, vo-lume 52, numéro 6, pages 1682 1692, Juin 2004.[119] B. M. Popovic, Synthesis of Power Ecient Multitone Signals with Flat AmplitudeSprectrum, IEEE Trans. on Communications, volume 39, numéro 7, pages 10311033,Juillet 1991.[120] J. G. Proakis, Digital Communications. McGraw-Hill, 1983.[121] L. Qin, Perfectionnement aux techniques de transmission à porteuses multiples, Thèsede Doctorat, Conservatoire National des Arts et Métiers, 1998.[122] L. Qin et M. Bellanger, Adaptive Sub-Channel Equalization in Multicarrier Transmis-sion, dans ICASSP '97, volume 3, Munich, Allemagne, Avril 1997, pages 2321 2324.[123] S. Ragusa, Ecrêtage Inversible pour l'Amplication Non-Linéaire des Signaux OFDMdans les Terminaux Mobiles, Thèse de Doctorat, Université Joseph Fourier, Grenoble,2006.[124] R. Ranck, Draft Standard for Broadband over Power Line Networks : Medium AccessControl and Physical Layer Specications, HomePlug Powerline Alliance, Ince, RapportTechnique, 2006.[125] C. Rapp, Eects of HPA-Nonlinearities on a 4-DPSK/OFDM Signal for a Digital SoundBroadcasting System, dans ECSC '91, Liège, Belgique, Octobre 1991.[126] M. Richman, T. Parks, et R. Shenoy, Discrete-Time, Discrete-Frequency, Time-Frequency Analysis, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 46, numéro 6, pages1517 1527, Juin 1998.[127] T. Roman, Advanced Receiver Structures for Mobile MIMO Multicarrier Communica-tion Systems, Thèse de Doctorat, Helsinki University of Technology, 2006.[128] C. Rössing et V. Tarokh, A Construction of OFDM 16-QAM Sequences Having LowPeak Powers, IEEE Trans. on Information Theory, volume 47, numéro 5, pages 2091 2094, Juillet 2001.[129] W. Rudin, Some Theorems on Fourier Coecients, Proceedings of American Mathe-matics Society, volume 10, pages 855859, Décembre 1959.[130] A. Saleh, Frequency-Independant and Frequency-Dependant Nonlinear Models of TWTAmpliers, IEEE Trans. on Communications, volume COM-29, numéro 11, pages 17151720, Novembre 1981.[131] B. R. Saltzberg, Performance of an Ecient Parallel Data Transmission System, IEEETransactions on Communication Technology, volume 15, numéro 6, pages 805811, Dé-cembre 1967.[132] H. Sari, G. Karam, et I. Jeanclaude, Transmission Techniques for Digital TerrestrialTV Broadcasting, IEEE Communications Magazine, Février 1995.[133] I. Sasase, M. Shinriki, et S. Mori, Signal-to-Noise Ratio of Arbitrary Power-Series Non-linear Amplier, IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, volume AES-19,numéro 1, pages 4048, Janvier 1983.

BIBLIOGRAPHIE 193[134] A. Scaglione, G. Giannakis, et S. Barbarossa, Redundant Filterbank Precoders andEqualizers - Part I : Unication and Optimal Designs and Part II : Blind Channel Es-timation, Synchronization and Direct Equalization, IEEE Trans. on Signal Processing,volume 47, numéro 7, pages 19882022, Juillet 1999.[135] M. R. Schroeder, Synthesis of Low-Peak-Factor Signals and Binary Sequences with LowAutocorrelation, IEEE Trans. on Information Theory, volume 16, numéro 1, pages 8589, Janvier 1970.[136] H. Shapiro, Extremal Problems for Polynomials and Power Series, Thèse de Doctorat,Massachusetts Institute of Technology, 1951.[137] M. Sharif, M. Gharavi-Alkhansari, et B. H. Khlaj, On the Peak-to-Average Power ofOFDM Signals Based on Oversampling, IEEE Trans. on Communications, volume 51,numéro 1, pages 72 78, Janvier 2003.[138] M. Sharif et B. H. Khalaj, Peak-to-Mean Envelop Power Ratio of oversampled OFDMSignals : an Analytical Approach, dans ICC '01, Helsinki, Finlande, Juin 2001, pages14761480.[139] C. Siclet, Application de la théorie des bancs de ltres à l'analyse et à la conception demodulations multiporteuses orthogonales et biorthogonales, Thèse de Doctorat, Uni-versité de Rennes 1, France, 2002.[140] C. Siclet et P. Siohan, Design of BFDM/OQAM Systems Based on Biorthogonal Mo-dulated Filter Banks, dans Globecom 2000, San Francisco, USA, Novembre 2000, pages701705.[141] C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon, Perfect Reconstruction Conditions and Design ofOversampled DFT-Modulated Transmultiplexers, EURASIP Journal on Applied SignalProcessing, volume 2006, pages 114, 2006.[142] P. Siohan, J.-P. Javaudin, et G. Degoulet, OFDM/OQAM Modulation : an Overviewand Some Comparisons with COFDM, dans DVB-TM-T2 Meeting, Stockholm, Suède,Octobre 2006.[143] P. Siohan et C. Roche, Cosine-Modulated Filterbanks Based on Extended GaussianFunctions, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 48, numéro 11, pages 3052 3061, Novembre 2000.[144] P. Siohan, C. Siclet, et N. Lacaille, Analysis and Design of OFDM/OQAM Systemsbased on Filterbank Theory, IEEE Trans. on Signal Processing, volume 50, numéro 5,pages 1170 1183, Mai 2002.[145] A. Skrzypczak, J.-P. Javaudin, et P. Siohan, Overlapped Selective Mapping for Pulse-Shaped Multi-Carrier Modulations, dans VTC '06 Fall, Montréal, Canada, Septembre2006.[146] A. Skrzypczak, J.-P. Javaudin, et P. Siohan, Reduction of the Peak-to-Average PowerRatio for the OFDM/OQAM Modulation, dans VTC '06 Spring, volume 4, Melbourne,Australie, Mai 2006, pages 20182022.[147] A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Analysis of the Peak-to-Average PowerRatio for OFDM/OQAM, dans SPAWC '06, Cannes, France, Juillet 2006.[148] A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Analysis of the Peak-to-Average PowerRatio of the oversampled OFDM, dans ICASSP '06, volume 4, Toulouse, France, Mai2006, pages 309312.

194 BIBLIOGRAPHIE[149] A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Power Spectral Density and Cubic Metricfor the OFDM/OQAM Modulation, dans ISSPIT '06, Vancouver, Canada, Septembre2006, pages 846850.[150] A. Skrzypczak, P. Siohan, et J.-P. Javaudin, Application of the OFDM/OQAM Modu-lation to Power Line Communications, dans ISPLC '07, Pise, Italie, Mars 2007, pages7176.[151] D. Slepian, Prolate Spheroïdial Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty, V :the Discrete Case, Bell System Technical Journal, volume 57, numéro 5, pages 13711430, Mai 1978.[152] E. Sofer et G. Chouinard, WRAN Channel Modelling, Doc : IEEE802.22-05.0055r7,Août 2005.[153] V. Soula et F. Gourgue, Linearization of Power Ampliers Modelling and Simulations,dans GlobeCom '94, San Francisco, USA, Novembre 1994, pages 14561461.[154] J. Stern, J. de Barbeyrac, et R. Poggi, Méthodes pratiques d'étude des fonctions aléa-toires. Techniques de l'automatisme. Edition Dunod, 1967.[155] J. Tellado-Mourelo, Peak-to-Average Power Ratio Reduction for Multicarrier Modula-tion, Thèse de Doctorat, Stanford University, 1999.[156] C. Tellambura, Phase Optimization Criterion for Reducing Peak-to-Average Power Ra-tio in OFDM, Electronics Letters, volume 34, numéro 2, pages 169170, Janvier 1998.[157] C. Tellambura, Computation of the Continuous-Time PAR of an OFDM Signal withBPSK Subcarriers, IEEE Communications Letters, volume 5, numéro 5, pages 185 187, Mai 2001.[158] C. Tellambura et M. Friese, Orthogonal Frequency Division Multiplex for Wireless Com-munications. Springer, 2006, chapitre Peak Power Reduction Techniques, pages 199244.[159] M. Tlich, A. Zeddam, F. Moulin, F. Gauthier, et G. Avril, A Broadband PowerlineChannel Generator, dans ISPLC '07, Pise, Italie, Mars 2007, pages 505510.[160] A. Tonello, Performance Limits for Filtered Multitone Modulation in Fading Channels,IEEE Trans. on Wireless Communications, volume 4, numéro 5, pages 21212135, Sep-tembre 2005.[161] A. Tonello et F. Picile, A Filtered Multitone Modulation Modem for Multiuser PowerLine Communications with an Ecient Implementation, dans ISPLC '07, Pise, Italie,Mars 2007, pages 155160.[162] M. Trivellato, Windowed/Shaped OFDM and OFDM-OQAM : Alternative MulticarrierModulations for Wireless Applications, Rapport de DEA, Department of InformationEngineering, Université de Padoue, Italie, 2005.[163] M. A. Tzannes, M. D. Tzannes, J. Proakis, et P. Heller, DMT Systems, DWMT Systemsand Digital Filter Banks, dans ICC '94, volume 1, New-Orleans, USA, Mai 1994, pages311315.[164] D. Umehara, H. Nishiyori, et Y. Morihiro, Performance Evaluation of CMFB Transmul-tiplexer for Broadband Power Line Communications under Narrowband Interference,dans ISPLC '06, Orlando, USA, Mars 2006, pages 5055.

BIBLIOGRAPHIE 195[165] A. Vahlin et N. Holte, Optimal Finite Duration Pulses for OFDM, dans Globecom'94,San Francisco, USA, Novembre 1994, pages 258262.[166] P. P. Vaidyanathan, Multirate systems and lter banks. Englewood Clis, New-York,New Jersey : Prentice Hall, 1993.[167] L. Valbonesi et R. Ansari, Low Complexity Method for PAPR Reduction in OFDMbased on Frame Expansion Parameter Selection, dans Eusipco '05, Antalya, Turquie,Septembre 2005.[168] R. Vallet et K. Haj Taieb, Fraction Spaced Multi-Carrier Modulation Transmission,IEEE Wireless Personal Communications, volume 2, pages 97103, Mars 1995.[169] R. van Nee et A. de Wild, Reducing the Peak-to-Average Power Ratio of OFDM, dansVTC '98 Spring, Ottawa, Canada, Mai 1998, pages 20722076.[170] R. van Nee et R. Prasad, OFDM for Wireless Multimedia Communications. ArtechHouse Publishers, 2000.[171] L. Vangelista et N. Laurenti, Ecient Implementations and Alternative Architecturesfor OFDM-OQAM Systems, IEEE Trans. on Communications, volume 49, numéro 4,pages 664 675, Avril 2001.[172] M. Vetterli, A Theory of Multirate Filterbanks, IEEE Trans. on Acoustics, Speech andSignal Processing, volume ASSP-35, numéro 3, pages 356372, Mars 1987.[173] T. Wang, J. Proakis, et J. Zeidler, Interference Analysis of Filtered Multitone Modu-lation Over Time-Varying Frequency-Selective Fading Channel, IEEE Trans. on Com-munications, volume 55, numéro 4, pages 717727, Avril 2007.[174] S. B. Weinstein et P. M. Ebert, Data Transmission by Frequency-Division MultiplexingUsing the Discrete Fourier Transform, IEEE Trans. on Communications, volume 19,pages 628634, Octobre 1971.[175] T. A. Wilkinson et A. E. Jones, Performance of Reed-Müller Codes and a Maximum Li-kelihood Decoding Algorithm for OFDM, IEEE Trans. on Communications, volume 49,numéro 7, pages 949 952, Juillet 1999.[176] P. M. Woodward, Probability and Information Theory with Application to Radar. NewYork, McGraw-Hill, 1965.[177] D. Wulich et L. Goldfeld, Reduction of Peak Factor in Orthogonal Modulation by Am-plitude Limiting and Coding, IEEE Trans. on Communications, volume 47, numéro 1,pages 18 21, Janvier 1999.[178] S. Zabré, Amplication non-linéaire d'un multiplex de porteuses modulées à fort facteurde crête, Thèse de Doctorat, Université de Rennes 1, 2007.[179] R. Zayani, R. Guedria, et R. Bouallegue, Compensation of the OFDM Non-linear Dis-tortions by the Inverse Model Method, dans ICACT '06, volume 3, Phoenix Park, Coréedu Sud, Février 2006, pages 20992112.[180] X. Zhou et J. Caery, A new Distribution Bound and Reduction Scheme for OFDMPAPR, dans WPMC '02, volume 1, Honolulu, Hawaii, USA, Octobre 2002, pages 158 162.[181] X. Zhuang et F. Vook, Iterative Channel Estimation and Decoding for a Turbo-CodedOFDM System Via the EM Algorithm, dans ICASSP '02, Orlando, USA, Mai 2002,pages 23372340.

196 BIBLIOGRAPHIE[182] M. Zimmermann et K. Dostert, A Multipath Model for the Powerline Channel, IEEETrans. on Communications, volume 50, numéro 4, pages 553559, Avril 2002.