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Épreuve finale Cahier de solutions

Concours Opti-math 2013

Concours Opti-math

GRMS

Secrétariat

1000, rue Saint-Antoine

Terrebonne, Québec

J6W 1P3

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Parrainé par l’Université Laval

Comité d’élaboration des épreuves

Responsable Martin Duchesne École secondaire de Mortagne

Comité de rédaction

Rédaction d’items Guy Breton Retraité

Ghislain Desmeules Retraité Patrick Desmeules Séminaire Marie-Reine-du-Clergé

Martin Duchesne École secondaire de Mortagne François Pelletier École secondaire Dalbé-Viau

Élizabeth Mercier Collège Jean-de-la-Mennais Marc Plourde Pavillon Wilbrod-Dufour

William Morin C.S. Beauce-Etchemin Pascal Roy École Sur Mesure

Bruno Bélanger C.S. des Patriotes

Sélection d’items Ghislain Desmeules Retraité

Révision et correction Nathalie Demers École secondaire De Rochebelle Guy Breton Retraité

Ghislain Desmeules Retraité Éric Lapointe Pavillon Wilbrod-Dufour

Daniel Ouellet Polyvalente Le Mistral Claude Boucher École secondaire Marcellin-Champagnat

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 3

Situation 1 Porte-bonheur

Voici la situation illustrée en tableau.

Âge d’Étienne

Nombre de pièce de 1¢

(valeur)

Nombre de pièce de 5¢

(valeur)

Nombre de pièce de

10¢ (valeur)

Nombre de pièce de

25¢ (valeur)

Nombre de pièce de 1$

(valeur)

Nombre de pièce de 2$

(valeur)

Montant total pour l’année

1 an 1 (0,01$) 0,01$

2 ans 2 (0,01$) 1 (0,05$) 0,07$

3 ans 3 (0,01$) 2 (0,05$) 1 (0,10$) 0,23$

4 ans 4 (0,01$) 3 (0,05$) 2 (0,10$) 1 (0,25$) 0,64$

5 ans 5 (0,01$) 4 (0,05$) 3 (0,10$) 2 (0,25$) 1 (1,00$) 2,05$

6 ans 6 (0,01$) 5 (0,05$) 4 (0,10$) 3 (0,25$) 2 (1,00$) 1 (2,00$) 5,46$

Nombre total de pièces

21 pièces 15 pièces 10 pièces 6 pièces 3 pièces 1 pièce

a) À son sixième anniversaire, il aura 21 15 10 6 3 1+ + + + + pièces de monnaie dans sa tirelire, pour un total de 56 pièces de monnaie.

b) À son sixième anniversaire, il recevra un montant de 5,46$.

c) La valeur totale des pièces de monnaie dans sa tirelire à ce moment sera de :

8,46$

Barème : a) Accordez 3 points pour une bonne réponse. b) Accordez 3 points pour une bonne réponse. c) Accordez 4 points pour une bonne réponse.

0 01 0 07 0 23 0 64 2 05 5 46, , , , , ,+ + + + + =

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 4

Situation 2 Les tétraminos

a) Les cinq formes possibles de tétraminos sont les suivantes:

b) Voici les 9 assemblages possibles de 3 tétraminos pour couvrir la surface donnée.

Barème : a) Accordez 3 points pour avoir représenté les 5 tétraminos seulement. N’accordez qu’un point pour avoir représenté 4 bons tétraminos.

N’accordez qu’un point si l’élève a représenté plus de 5 tétraminos ayant considéré certains tétraminos obtenus par rotation ou réflexion.

b) Accordez 7 points pour avoir représenté les 9 bons assemblages en 9 tentatives seulement. Accordez 5 points pour avoir représenté au moins 8 bons assemblages en un maximum de 10 tentatives. Accordez 3 points pour avoir représenté au moins 5 bons assemblages en un maximum de 11 tentatives. Accordez 1 point pour avoir représenté au moins 3 bons assemblages.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 5

Situation 3 Les lumières de Noël

On a dressé le tableau de l'état des lumières pour chaque assortiment pour les 60 premières secondes.

Lumière allumée correspond à « o ». Lumière éteinte correspond à « x". 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A o x o o x o o x o o x o B o x x o o o x x o o o x C o x x x o o x x x o o x 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A o x o o x o o x o o x o B x o o o x x o o o x x o C x x o o x x x o o x x x 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 A o x o o x o o x o o x o B o o x x o o o x x o o o C o o x x x o o x x x o o 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 A o x o o x o o x o o x o B x x o o o x x o o o x x C x x x o o x x x o o x x 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A o x o o x o o x o o x o B o o o x x o o o x x o o C x o o x x x o o x x x o

a) Outre au départ, les lumières sont toutes allumées à la 6e seconde, à la 10e seconde et à la 15e seconde. La suite continue en suivant la règle : +1, +5, +4, +5.

La suite est 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25, 30, 31, 36, 40, 45, 46, 51, 55 et 60. Elles seront allumées ensemble pendant 16 secondes.

b) Outre au départ, elles sont toutes éteintes à la 2e seconde, à la 8e seconde et à la 17e

seconde. La suite continue en suivant la règle : +6, +9.

La suite est 2, 8, 17, 23, 32, 38, 47 et 53.

Elles seront éteintes ensemble pendant 8 secondes. Barème : a) Accordez 5 points pour une bonne réponse

Accordez 3 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure. Accordez 1 point pour une démarche partiellement bonne. b) Accordez 5 points pour une bonne réponse Accordez 3 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure. Accordez 1 point pour une démarche partiellement bonne.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 6

Situation 4 Les cartes

a) Il y a 6 numéros pairs et 15 manières de les grouper 2 par 2.

2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 2-6 4-8 6-10 8-12 2-8 4-10 6-12 2-10 4-12 2-12

De celles-ci, 6 ( les encadrées) ont une somme divisible par 4.

On obtient 6 chances sur 15 ou 2 chances sur 5.

b) Il y a 7 numéros impairs et 35 manières de les grouper 3 par 3.

1-3-5 1-5-7 1-7-9 1-9-11 1-11-13 1-3-7 1-5-9 1-7-11 1-9-13 1-3-9 1-5-11 1-7-13 1-3-11 1-5-13 1-3-13

3-5-7 3-7-9 3-9-11 3-11-13 3-5-9 3-7-11 3-9-13 3-5-11 3-7-13 3-5-13

5-7-9 5-9-11 5-11-13 5-7-11 5-9-13 5-7-13

7-9-11 7-11-13 7-9-13

9-11-13

De celles-ci, 13 (les encadrées) ont une somme divisible par 3.

On obtient 13 chances sur 35. Barème : a) Accordez 4 points pour avoir clairement trouvé 6 possibilités sur 15. Accordez 3 points pour avoir clairement trouvé au moins 5 possibilités sur un maximum de 16. Accordez 2 points pour avoir clairement trouvé au moins 4 possibilités sur un maximum de 17. Accordez 1 point pour avoir trouvé au moins 4 possibilités sur un maximum 17 avec une démarche imprécise. b) Accordez 6 points pour avoir clairement trouvé exactement 13 possibilités sur 35. Accordez 5 points pour avoir clairement trouvé au moins 12 possibilités sur un maximum de 36. Accordez 4 points pour avoir clairement trouvé au moins 11 possibilités sur un maximum de 37. Accordez 3 points pour avoir clairement trouvé au moins 10 possibilités sur un maximum 38. Accordez 2 points pour avoir trouvé au moins 9 possibilités sur un maximum 39 avec une démarche imprécise.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 7

Situation 5 Le taux d’occupation

a) On pose 5 unités comme mesure du côté d’un carré. Par déduction, la mesure de la petite base du trapèze de gauche est de 2 unités et la mesure de la grande base est de 3 unités.

L’aire du trapèze est ( ) ( ) 2unités5 2 3

12 52 2

h b B+ += = , .

La grande base du trapèze de droite est 2 et la petite base est 1.

L’aire du trapèze est ( ) ( )unités carrés unités carrés,

+ +⇒ =

h b B 5 1 27 5

2 2.

Ainsi, la somme des deux trapèzes est 20 unités et l’aire totale est : ( ) unités carrés unités carrés× ⇒ × =c c5 5 25 125 .

L’aire de la zone colorée représente %20 16125

= du territoire ABDC.

b) On pose 12 unités comme mesure du côté d’un carré. Par déduction, la base du

triangle mesure 20 unités et sa hauteur mesure 15 unités. L’aire du triangle est

unités carrés unités carrés× ×⇒ =

b h 20 15 1502 2

.

L’aire totale est unités carrés unités carrés× ⇒ × =b h 48 36 1728 .

L’aire de la zone colorée représente % %150 8 68 91728

≈ ≈, du territoire ABDC.

c) On pose 15 comme mesure du côté d’un carré. Par déduction, la base du triangle

mesure 35 unités et sa hauteur mesure 21 unités.

L’aire du triangle est unités carrés unités carrés,× ×⇒ =

b h 35 21 367 52 2

.

L’aire totale est unités carrés unités carrés.× ⇒ × =b h 75 45 3375

L’aire de la zone colorée représente % %367 5 10 89 113375

≈ ≈, , du territoire ABDC.

Barème : a) Accordez 3 points pour une bonne réponse et une démarche acceptable. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse due à une erreur mineure (ex : arrondissement) et une démarche acceptable.

b) Accordez 3 points pour une bonne réponse et une démarche acceptable. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse due à une erreur mineure (ex : arrondissement) et une démarche acceptable.

c) Accordez 4 points pour une bonne réponse et une démarche acceptable. Accordez 3 points pour une mauvaise réponse due à une erreur mineure (ex : arrondissement) et une démarche acceptable.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 8

1516  𝑑𝑚 5

16  𝑑𝑚

7564  𝑑𝑚

Situation 6 Le drapeau

Largeur de la première bande noire : dm34

Largeur de la première bande blanche : dm dm⎛ ⎞× =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 13 4 4

Largeur de la deuxième bande noire : dm dm⎛ ⎞× =⎜ ⎟⎝ ⎠

15 1 154 4 16

Largeur de la deuxième bande blanche : dm dm⎛ ⎞× =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 15 53 16 16

Largeur de la troisième bande noire : dm dm15 5 754 16 64⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Ainsi, la largeur du drapeau est de : !!𝑑𝑚 + !

!𝑑𝑚 + !"

!"𝑑𝑚 + !

!"𝑑𝑚 + !"

!"𝑑𝑚 = !"#

!"𝑑𝑚 = 3,421875  𝑑𝑚

On trouve l’aire du drapeau en faisant :

𝑏×ℎ21964 𝑑𝑚×3  𝑑𝑚 =

𝟔𝟓𝟕𝟔𝟒 𝒅𝒎𝟐 = 𝟏𝟎,𝟐𝟔𝟓𝟔𝟐𝟓  𝒅𝒎𝟐

Barème : Dans tous les cas, enlevez un point pour avoir arrondi une ou des réponses. Considérez ensuite que la réponse peut être bonne. Accordez 10 points pour une bonne réponse et une démarche complète et claire. Accordez 8 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure (autre qu’arrondir) et une démarche complète et claire.

Accordez 6 points pour une bonne réponse et une démarche bonne et imprécise. Accordez 4 points pour une mauvaise réponse et une démarche partiellement bonne et claire. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse et une démarche partiellement bonne et imprécise.

34  𝑑𝑚

14  𝑑𝑚

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 9

Situation 7 Les nombres chanceux

En résumé, de la suite des nombres naturels jusqu’à 50 de la première ligne, on élimine un entier sur deux, soient les nombres pairs. Dans la deuxième ligne, on élimine un entier sur trois, car le nombre chanceux suivant est 3, soient les nombre 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41 et 47. Dans la troisième ligne, on élimine un entier sur sept, car le nombre chanceux suivant est 7, soient les nombre 19 et 39. Dans la quatrième ligne, on élimine un entier sur neuf, car le nombre chanceux suivant est 9, soit le nombre 27. Finalement, dans la cinquième ligne, on élimine un entier sur 13, car le nombre chanceux suivant est 13, soit le nombre 45. Par la suite, il devient inutile de continuer, car les nombres à éliminer sont tous plus grand que 50. Dans cette suite, il ne reste que les nombres chanceux.

a) L’ensemble des nombres chanceux inférieurs à 50 est :

b) Par essais et erreurs, on déduit que les deux seuls nombres chanceux différents dont la somme est 54 sont 21 et 33.

Barème : a) Accordez 8 points pour une bonne réponse. Accordez 4 points pour une mauvaise réponse suite à une erreur mineure. Accordez 1 point pour une mauvaise réponse et une démarche partielle. b) Accordez 2 points pour une bonne réponse. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse en raison d’une erreur à la question b).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45 49

1 3 7 9 13 15 21 25 27 31 33 37 43 45 49

1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 45 49

1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 10

Situation 8 Le triple support

Il est facile de déduire que la mesure intérieure du support est de 107,28 cm car on enlève deux fois 100 mm de 127,28 cm.

Pour faire nos morceaux trapézoïdaux, on économise en découpant notre deuxième morceau en sens inverse. On obtient donc (un trait de scie + une grande base + trait de scie + petite base + trait de scie + grande base + trait de scie).

Ce qui nous donne cm 64,3622,028,1272,028,1072,028,1272,0 =++++++

On peut ainsi acheter un madrier de 3,65 m pour 17,99$ car deux madriers de 2,44 m vont coûter plus cher.

Barème : Accordez 10 points pour une bonne réponse et une démarche claire et complète (avoir trouvé 362,64 cm).

Accordez 8 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une démarche complète et claire. Accordez 6 points pour une bonne réponse et une démarche généralement bonne et claire (ne pas avoir trouvé le 362,64 cm).

Accordez 4 points pour une mauvaise réponse et une démarche généralement bonne et claire. Accordez 2 points pour une démarche partiellement bonne.

0,2 cm 127,28 cm 0,2 cm 127,28 cm 107,28 cm 0,2 cm 0,2 cm

107,28 cm cm

100 mm 100 mm

100 mm

127,28 cm cm

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 11

Situation 9 Henri et ses blocs

Comme il doit y avoir un vide de 1,5 mm (0,15 cm) de chaque côté et que l’épaisseur des parois de chaque cube mesure 0,45 cm, il y a une différence de 1,2 cm entre l’arête de chaque cubes consécutifs.

Voici un tableau montrant les dimensions des différents blocs :

Bloc # Longueur de l’arête extérieure du cube 1 17 cm 2 15,8 cm 3 14,6 cm 4 13,4 cm

1er construit 12,2 cm 2e construit 11 cm 3e construit 9,8 cm 4e construit 8,6 cm 5e construit 7,4 cm 6e construit 6,2 cm 7e construit 5 cm 8e construit 3,8 cm 9e construit 2,6 cm 10e construit 1,4 cm

a) La mesure du côté latéral extérieur du 1er bloc construit par Martin sera de 12,2 cm.

b) Comme le 3e bloc construit par Martin a un côté extérieur de 9,8 cm, on n’a qu’à lui enlever 2 fois 0,45 cm pour obtenir la mesure du côté à l’intérieur du cube. On obtient alors 8,9 cm de côté latéral à l’intérieur du cube.

c) Un 11e bloc est impossible, car il n’aurait que 0,2 cm de côté, ce qui est contradictoire avec le matériau utilisé de 0,45 cm d’épaisseur. Ainsi, il est possible de construire 10 blocs.

Barème : a) Accordez 3 points pour une bonne réponse et une bonne démarche. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une bonne démarche. Accordez 1 point pour une mauvaise réponse et une démarche partiellement bonne et claire.

b) Accordez 3 points pour une bonne réponse et une bonne démarche. Accordez 2 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une bonne démarche. Accordez 1 point pour une mauvaise réponse et une démarche partiellement bonne et claire.

c) Accordez 4 points pour une bonne réponse et une bonne démarche. Accordez 3 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une bonne démarche. Accordez 1 point pour une mauvaise réponse et une démarche partiellement bonne et claire.

Déjà construits

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 12

Situation 10 Les polygones numériques

a) En comparant la 4e ligne et la 4e colonne, on déduit que le pentagone vaut 31. En soustrayant 31 à la quatrième colonne, on déduit que les valeurs du carré et le cercle totalisent 90. En utilisant ce dernier résultat sur la deuxième ligne, on déduit que les valeurs du cercle et de l'hexagone totalisent 93. Ce dernier résultat appliqué à la 1ère colonne indique que l’hexagone vaut 52, le cercle vaut 41 et le carré vaut 49.

b) En soustrayant la 1ère colonne de la 3e ligne, on déduit que le cercle vaut 59.

En soustrayant la valeur de 2 cercles à la 2e ligne, on déduit que les valeurs d'un hexagone et d'un pentagone totalisent 104. En soustrayant les valeurs du cercle, d'un hexagone et d'un pentagone, on déduit que la valeur de l'hexagone est 61. Par la suite on déduit que le carré vaut 36 et le pentagone 43

Barème : a) Accordez 5 points avoir trouvé la valeur des 4 formes géométriques. Accordez 3 points pour une seule mauvaise réponse due à une erreur très mineure.

b) Accordez 5 points avoir trouvé la valeur des 4 formes géométriques. Accordez 3 points pour une seule mauvaise réponse due à une erreur très mineure.

Le concours prend fin ici pour les élèves de secondaire 1.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 13

Situation 11 Les magasins de vélos

a) Posons pour le Vélo Bois Dormant :

x : nombre de monocycles 2x : nombre de tandems

4x : nombre de bicyclettes On trouve ensuite le nombre de guidons et le nombre de roues dans le magasin.

On a x(0 guidon) + 2x(2 guidons) + 4x(1 guidon) = 8x guidons On a x(1 roue) + 2x(2 roues) + 4x(2 roues) = 13x roues

Comme il y a 15 roues de plus que de guidons, on a : 13x = 8x + 15

x = 3 On trouve ainsi qu’il y a 3 monocycles, 12 bicyclettes et 6 tandems au Vélo Bois Dormant.

b) Posons pour le Cycle du Soleil :

y : nombre de monocycles 2y+1 : nombre de tandems

6y+3 : nombre de bicyclettes On trouve ensuite le nombre de roues dans le magasin.

On a y(1 roue) + (2y+1)(2 roues) + (6y+3)(2 roues) = (17y+8) roues Comme il y a un total de 39 roues au Vélo Bois Dormant (3 monocycles, 12 bicyclettes et 6 tandems), on a l’équation suivante :

39 ‒ 3 = (6/7)(17y+8)

On trouve : y = 2 On déduit qu’il y ainsi 2 monocycles, 15 bicyclettes et 5 tandems au Cycle du Soleil.

Barème : Accordez 10 points pour une bonne réponse et une démarche complète et claire.

Accordez 8 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une démarche complète et claire. Accordez 5 points pour une mauvaise réponse et une démarche généralement bonne et claire. Accordez 2 points pour une démarche partiellement bonne.

Concours Opti-math 2013 Cahier de solutions 14

Situation 12 Le party de volley-ball

Suite à plusieurs déductions, on obtient le tableau suivant :

ÉquipeÉquipe

↓→

Alligators Bulldogs Cervidés Diablotins Total des points

"pour" (dénominateurs)

Alligators 2927 18

25 2520 72

Bulldogs 2729 25

18 2025 72

Cervidés 2518 18

25 2725 70

Diablotins 2025 25

20 2527 70

Total des points "contre"

(numérateurs) 72 72 68 72 Total : 284

a) Les Alligators ont marqué 29 points contre les Bulldogs, qui en ont marqué 27.

b) Les Cervidés ont marqué 27 points contre les Diablotins, qui en ont marqué 25.

Barème : a) Accordez 5 points pour une bonne réponse. Accordez 4 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une bonne démarche. b) Accordez 5 points pour une bonne réponse. Accordez 4 points pour une mauvaise réponse due à une erreur très mineure et une bonne démarche.