Proba

Probabilits pour la prpa

Paul PichaureauProfesseur en CPGE

Cours et 353 exercices corrigs

MPSI PCSI PTSIMP PC PSI PT

Table des matires

Comment utiliser ce livre ? 3

I Univers finis 9

I Dnombrement 11I.1 Ensembles finis cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.2 Dnombrements lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.3 Coecients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Exercices de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Exercices dentranement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Probabilit 43II.1 Lunivers des possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.2 vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.3 La notion de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.4 Comment dfinir une probabilit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II.5 Un exemple fondamental : la probabilit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 51


III Indpendance, probabilit conditionnelle 65III.1 Deux points de vue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III.2 Probabilit conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III.3 vnements indpendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.4 Trois formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


IV Variable alatoire relle finie 91IV.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.2 Loi dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92IV.3 Fonction dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.4 Esprance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.5 Variance et cart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.6 Deux ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100IV.7 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5

6 Table des matires

IV.8 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103IV.9 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


V Vecteurs alatoires rels finis 127V.1 Couple de variables alatoires, lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127V.2 Modliser, cest rflchir dans le bon ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130V.3 Couple de variables alatoires indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131V.4 Fonction de deux variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134V.5 Thorme de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137V.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139V.7 Gnralisation au cas de n variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


II Univers infinis dnombrables 175

VI Univers dnombrables Tribus 177VI.1 Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VI.2 Tribus et vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


VII Probabilit dans un univers dnombrable 193VII.1 Une nouvelle dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193VII.2 Comment dfinir une probabilit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194VII.3 Deux exemples et quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195VII.4 Proprits des probabilits dans les espaces dnombrables . . . . . . . . . . . 197VII.5 Probabilit conditionnelle Indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


VIII Variable alatoire discrte 211VIII.1 Une nouvelle dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211VIII.2 Vecteurs alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214VIII.3 Loi gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217VIII.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219VIII.5 Un exemple de loi conditionne : loi de Poisson/loi binomiale . . . . . . . . . 222VIII.6 Indpendance de variables alatoires discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223VIII.7 Fonctions de deux variables alatoires discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Table des matires 7


IX Esprance 245IX.1 Le problme de la somme infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245IX.2 Esprance dune variable alatoire relle discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . 247IX.3 Proprits de lesprance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249IX.4 Thormes dexistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251IX.5 Variance dune variable alatoire relle discrte infinie . . . . . . . . . . . . . . 252IX.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254IX.7 Fonctions gnratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257


X Convergence et approximations 279X.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279X.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280X.3 Ingalits de Markov et de Bienaym-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 283


Annexes 295

A Dautres horizons 295A.1 Tribus et borliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295A.2 Quelle probabilit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297A.3 Une tribu, pour quoi faire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298A.4 Le tour de passe-passe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299A.5 Et vogue, plein desprance ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Index 301

Premire partie

Univers finis

MPSI PCSI PTSI

Chapitre I

Dnombrement

Jai 6 centimes deuro dans ma poche. Combien de pices ai-je ? De combien de faonspuis-je les aligner sur la table ? Et si jai n centimes deuro avec n quelconque ?

Au fait, combien y a-t-il dentiers ? Et les nombres complexes ? Y en a-t-il autant ou plus quedentiers ?

Avec un papier, un crayon et un peu de patience, il est facile de rpondre aux deux premiresquestions. Mais la troisime et les suivantes exigent une bonne organisation. Lobjet de cechapitre est prcisment de sapprter aronter des situations de plus en plus complexes.

Dans ltude du nombre dlments dun ensemble on rencontre deux grosses dicults.La premire est de pouvoir parler densembles complexes dcrire et la seconde de pouvoirparler densembles infinis.

De faon tout fait remarquable, la mthode intuitive la plus simple va nous donner la clde ces deux problmes. Comment compte-t-on le nombre de personnes dans une pice ? Etbien on attribue un et un seul numro chaque personne, dans lordre : 1, 2, 3, etc., jusquaudernier numro qui donne le nombre de personnes. Peu importe qui reoit le numro 1 ou lenumro 25, lessentiel est que chaque personne ait un unique numro et que chaque numrosoit associ une seule personne.

Lide mathmatique qui est derrire ce procd est dtablir une bijection entre lensembledes entiers {1, 2, . . . , n} et lensemble des personnes. Lentier n dsigne prcisment le nombrecherch. rigeons ce beau principe en dfinition.

Df. I.1 On dira que deux ensembles non vides E et F ont le mme cardinal si et seulementsi il existe une bijection entre E et F.

Nous avons suppos les ensembles non vides pour viter de nous retrouver dans des situa-tions logiques un peu dlicates. Le mot cardinal , emprunt aux grammairiens, dsigne ici laquantit, le nombre dlments dun ensemble.

Appliquons ce concept des ensembles simples, par exemple des ensembles finis. Quest-cequun ensemble fini ? La premire ide qui vient lesprit est quelque chose comme {a, b, c} ou{1, 2, 3}. Cest une bonne ide... une bijection prs !

12 I. Dnombrement

I.1 Ensembles nis cardinal

Df. et thm. I.2 Un ensemble E non vide est un ensemble fini si et seulement si il existeun entier non nul n tel que les ensembles E et 1 ; n sont en bijection.

Dans ce cas, lentier n est unique. Il sappelle le cardinal de E et se note card E.Si E=, par convention E est fini et card E= 0.

La dmonstration de lunicit de n est assez technique, cest pourquoi je ne la donne pas.Cet entier n correspond lide intuitive du nombre dlments. On le note aussi #E ou |E|.

Une bijection entre E et 1 ; n sappelle une numration de E : cest une faon possiblede compter les lments de E. Ainsi un ensemble fini peut tre crit sous une des deux formes

E=

(1),(2), ,(n)

= {x1, x2, , xn}

en utilisant, une des bijections entre 1 ; n et E, ou bien en utilisant une notation indicielle.Deux ensembles de mme cardinal sont en bijection, comme nous pouvons le vrifier

rapidement.

Prop. I.3 Si deux ensembles finis non vides E et F ont le mme cardinal alors il existe unebijection entre E et F.

Dm. Si E et F ont le mme cardinal, alors il existe une bijection de 1 ; n dans E et une bijection de1 ; n dans F dans 1 ; n. Alors 1 est une application de E dans F qui est bijective, car elle est lacompose de deux bijections.

Les ensembles de cardinal n forment une classe densembles invariante par la bijection.Autrement dit, et cest un point important, nimporte quel ensemble fini de cardinal n peutservir de rfrence dans notre travail de dnombrement.

Thm. I.4 Thorme de dnombrement Soient E un ensemble fini non vide et F unensemble quelconque. Sil existe une bijection entre E et F, alors F est de cardinal fini, et card E=card F.

Dm. Notons n le cardinal de lensemble E. Il existe une bijection de 1 ; n dans E et une bijection de E dans F. Alors est une bijection de 1 ; n dans F. Cela assure que lensemble F est fini et decardinal n.

Cest la mthode de dnombrement par excellence. Pour dterminer le cardinal dun en-semble fini E, il sut de le dcrire en tablissant une bijection avec un ensemble bien connu.

Principe daddition Dessinons une grille 4 4. Combien de carrsa-t-on dessin en tout ? Les carrs peuvent avoir plusieurs tailles : leurscts peuvent mesurer une unit, deux units, etc. Une ide toutesimple consiste compter les carrs de chaque taille et additionnerles rsultats entre eux. On trouve respectivement 16 carrs de ct 1,

I.1 Ensembles finis cardinal 13

9 de ct 2, 4 de ct 3 et 1 carr de ct 4. Ainsi, le nombre total de carrs est exactement de16+ 9+ 4+ 1= 30 1.

Ce raisonnement illustre le principe le plus lmentaire du dnombrement. On partitionnelensemble dnombrer en sous-ensembles deux deux disjoints. Le thorme de base utilisest que le cardinal de lunion de deux ensembles finis disjoints est gal la somme des cardinaux.

Thm. I.5 Principe daddition Soient E et F deux ensembles finis disjoints. Alors E F estfini et card(E F) = card E+ card F.

Dm. Nous allons utiliser le thorme de dnombrement. Notons n= card E et p = card F. Il sagit doncdexhiber une bijection entre 1 ; n+ p et E F. Pour cela, partons dune bijection entre 1 ; n et E etdune bijection entre 1 ; p et F.Dfinissons lapplication entre 1 ; n+ p et E F de la faon suivante :

k 1 ; n+ p si 1 k n (k) = (k)si p+ 1 k n+ p (k) = (k p)

La fonction est surjective, puisque

1 ; n= E et p+ 1 ; n+ p = Fdonc E F= 1 ; n p+ 1 ; n+ p 1 ; n+ p

De plus, elle injective. En eet, si deux entiers k et k vrifient (k) = (k), alors ou bien (k) E,auquel cas 1((k)) = 1((k)) implique k = k, ou bien (k) est dans F et on trouve aussi k = k enappliquant 1.Lapplication est donc une bijection de 1 ; n+ p dans EF, et donc EF est fini et de cardinal n+p.

Ce rsultat se gnralise par rcurrence lunion disjointe de plusieurs ensembles finis.

Cor. I.5.1 Soient E1, E2, . . . , Ep p ensembles finis (p 2). Si ces ensembles sont disjointsdeux deux, alors E1 E2 Ep est fini et

card(E1 E2 Ep) =p

k=1

card(Ek)

En particulier, si A1 , A2 , . . . , Ap est une partition de E, alors card E=k=p

k=1

card Ak.

Le principe daddition permet de dmontrer plusieurs proprits utiles du cardinal. Dmon-trons tout dabord, partir du principe dadditivit, que les sous-ensembles dun ensemble sontfinis.

Thm. I.6 Soient E un ensemble fini et A une partie de E.Alors A est un ensemble fini et card A card E.Si, de plus, card A = card E alors A = E.

1. En guise dexercice, on pourra traiter le cas gnral dune grille n n.

24 I. Dnombrement

Formulaire : combinaisons sommes finies

Ex. I.2n

k=1

k =n(n+ 1)

2n N

Ex. I.2n

k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6n N

n

k=1

k3 =n2(n+ 1)2

4n N

nk

=n!

k! (n k)!(n, k) N2, 0 k n

Symtrie

nk

=

nn k

n N, k Z

Formule de Pascal

nk

+

nk+ 1

=

n+ 1k+ 1

n N, k Z

Petite formule k

nk

= n

n 1k 1

n N, k Z

Formule de Vandermondea+b

k=0

ak

bn k

=

a+ bn

(a, b, n) N2

Ex. I.2n

k=p

kp

=

n+ 1p+ 1

(k, n, p) N2

Ex. I.27

pk

np

=

nk

n kp k

(k, n, p) N2

Ex. I.28p

k=0

p km

kn

=

p+ 1m+ n+ 1

(m, n, p) N2

Exercices de rfrence 25

Exercices de rfrence

Exercice de rfrence I.1 Anagrammes

1. Combien y a-t-il danagrammes du mot ANGELOT ?2. Combien y a-t-il danagrammes du mot BAOBAB ?

Solution

Les anagrammes dun mot sont obtenus par permutation des lettres de ce mot.

1. Dans le cas du mot ANGELOT, on cherche le nombre des permutations de {A, N, G, E, L, O, T},soit 7 lettres distinctes. Cest directement une question de cours : il y en a 7!= 5040.

2. Dans le cas du mot BAOBAB, les choses se compliquent. On dispose des 3 lettres A, B, et Oet on cherche des mots crits avec 6 lettres dont 3 B et 2 A .Une premire faon de faire consiste choisir la place des lettres, parmi 7 places possibles. Dabord les places des 3 B , il y a

63

choix possibles ; puis les places des 2 A parmi les 3 restantes :

32

choix ; puis la dernire place pour le O .

63

32

=6 5 4 3 2

3! 2!=

6!3! 2!

= 60Il y a donc anagrammes.

Le lecteur consciencieux vrifiera que lordre de placement des lettres (dabord O , puis A , etc.) dans ce raisonnement na pas dimportance.

On peut aussi utiliser un principe de symtrie. Distinguons momentanment les 3 B etles 2 A . Il y a alors 6! permutations de {B1, A1, O, B2, A2, B3}. Mais la symtrie introduitefait la distinction entre les mots B1A1OB2A2B3 et B3A2OB1A1B2 par exemple. Il faut tenircompte des 3! faons de numroter les B et des 2! faons de numroter les A . Onregroupe les mots indics par paquets de 3!= 6 puis on eace la numrotation des B. Onse retrouve avec 6 fois moins de mots, de la forme BA1OBA2B et BA2OBA1B par exemple.

On fait ensuite de mme avec les A. On trouve encore6!

3! 2!anagrammes possibles.

Exercice de rfrence I.2 Une somme classique

1. Dmontrer que, pour (n, p) N2,n

k=p

kp

=

n+ 1p+ 1

.

2. Retrouver cette galit par un dnombrement : compter les sous-ensembles p+ 1 lments de1 ; n+ 1 daprs leur plus grand lment.

3. Retrouver quen

k=1k = n(n+1)2 (considrer le cas p = 1).

4. Calculern

k=1k(k 1) et retrouver

n

k=1k2.

Exercices dentranement 33

Exercices dentranement

Ex. I.10 Dans une pice il y a 25 personnes.

1. De combien de faons direntes peut-on les compter ?

2. De combien de faons si lon compte une certaine personne toujours en premier ?

3. Et sil y a 15 filles et 10 garons et que lon compte dabord les filles et ensuite les garons ?

Ex. I.11 1. Une compagnie daviation dessert n villes. Tous les trajets entre les villessont possibles. Combien de billets dirents doit-elle diter ?

2. Dans une soire, n personnes se serrent la main. Combien de poignes de main sontchanges ?

Ex. I.12 Code Morse Une lettre de lalphabet Morse est reprsente par une succession designaux courts (les points ) et de signaux longs (les traits ). Combien de lettres direntespeut-on coder avec des squences dau plus n symboles ? Trouver le plus petit n susant pourcoder les 26 lettres de lalphabet.

Ex. I.13 On constitue un comit de 8 personnes choisies parmi 15 femmes et 12 hommes.

1. Combien y a-t-il de comits possibles ?

2. Mme question si le comit contient 4 hommes et 4 femmes.

3. Mme question si le comit compte au moins 2 femmes.

Ex. I.14 Toujours des anagrammes On dispose de 10 jetons de Scrabble portant leslettres de lalphabet de A J .

1. Combien de mots peut-on crire avec ces dix lettres ?

2. Combien de mots peut-on crire avec ces dix lettres o B , A et C apparaissentdans cet ordre et cte cte ?

3. Combien de mots peut-on crire avec ces dix lettres o B , A et C apparaissentdans cet ordre ?

4. Combien de mots peut-on crire avec ces dix lettres o B prcde A et D pr-cde C ?

Ex. I.15 Soit E un ensemble fini de cardinal n> 0. Calculer la somme

XP (E)

card(X).

? Ex. I.16 Soit E un ensemble fini, non vide, n lments.1. Dterminer le nombre de partitions de E en deux sous-ensembles (lun pouvant tre

vide).

2. Dterminer le nombre de partitions de E en sous-ensembles contenant tous 2 lments(en supposant n pair).

3. On suppose que E a a b lments. Dterminer le nombre de partitions de E en a parties b lments.

Solutions 37

Solutions

Ex. I.10 1. Il sagit simplement de permuter 25 personnes, do 25! faons de les compter.2. On permute les 24 autres personnes, donc 24! comptages possibles.3. On permute filles puis garons. Daprs le principe de multiplication, 15! 10! mthodes possibles.

Ex. I.11 1. Les billets sont des couples (D, A) de villes (D pour la ville de dpart et A pour la villedarrive). Il sagit bien de couples et non de combinaisons, puisquil faut faire la distinction entre villede dpart et darrive. Cela fait un total de n(n 1) billets dirents.

2. Une poigne de main peut tre reprsente par une combinaison {p1, p2} de deux personnes, puisquonne fait pas de distinction entre deux personnes. Il y a

n2

= n(n 1)/2 poignes de mains changes.

Ex. I.12 Code Morse En introduisant k, la longueur dune lettre, avec 1 k n, on trouven

k=1 2k =

2n+1 1 lettres possibles. Il faut au moins 4 signaux pour coder 26 lettres, ce qui correspond lusage.

Ex. I.13 1. Il sagit dune combinaison de 8 personnes parmi les 27 possibles : il y en a27

8

.

2. On choisit dabord 4 femmes parmi les 15, puis 4 hommes parmi les 12 :15

4

12

4

comits possibles.

3. Lensemble complmentaire est celui des comits avec au plus une femme. Il y a12

8

comits sans

femme et15

1

128

comits avec une femme. Il y a donc27

8

12

8

15

1

128

comits avec au moinsdeux femmes.

Ex. I.14 Toujours des anagrammes1. Il y a 10! anagrammes dun mot crit avec 10 lettres distinctes.2. En considrant BAC comme une lettre unique, il y a 8 lettres placer : 8! mots possibles.3. On choisit dabord 3 places parmi les 10 possibles, ce qui fait

103

choix possibles. On y place B , A et C dans cet ordre. Puis on fait un anagramme avec les 7 lettres restantes que lon place tellesquelles aux places restantes :

103

7! mots possibles.4. Mme principe : on choisit les places de B et A , puis de D et C , puis on place les 6 lettres

restantes dans un ordre quelconque :10

2

82

6! mots possibles.

Ex. I.15 On procde en rangeant les parties de X par cardinal

XP (E)

card X =n

k=0

XP (E)card X=k

card X =n

k=0

XP (E)card X=k

k

Dans la seconde somme, il y a autant de termes que de sous-ensembles de E k lments, cest--diren

k

.De plus tout ces termes ont la mme valeur, do

XP (E)

card X =n

k=0

nk

k = n2n1 cf. exercice I.25

Ex. I.16 1. Choisissons un des 2n sous-ensembles quelconques A de E. On lui associe alors une parti-tion de E : {A, A}. Mais une partition en deux sous-ensembles {A, B} de E on peut associer lun desdeux sous-ensembles A ou B.Il y a donc 2n/2= 2n1 partitions de E en deux sous-ensembles.

2. Choisissons dabord un ensemble A1 2 lments de E : il y en an

2

. Puis un second ensemble A2 de

2 lments parmi les n 2 restants :n2

2

, et ainsi de suite jusqu An/2, pour puiser les lments de

E. On a ainsin/2

k=0

n2k2

= n!2n/2

choix possibles.

Toutes les permutations de (A1, A2, . . ., An/2) correspondent la mme partition de E. Daprs le

principe de symtrie, on trouve doncn!

2n/2(n/2)!partitions de cette sorte.

Chapitre II

Probabilit

II.1 Lunivers des possibles

Si alatoire est compris au sens d imprvisible , alors toute exprience humainementralisable est alatoire. Cela parat vident avec une exprience aussi simple que le lancerdun d. Ce lancer est dterministe : avec une capacit de calcul illimite et une connaissanceparfaite des conditions initiales, le rsultat du lancer pourrait tre calcul. Mais la moindreimprcision dans la mesure des conditions initiales, le plus petit changement dans les conditionsde lexprience modifieront normment ce rsultat. Et comme, justement, une prcisionillimite ou un contrle parfait sont impossibles raliser en pratique, on prfre qualifier cetteexprience dalatoire.

Dans le cadre de la mcanique quantique, lalatoire devient une donne constitutive dessystmes. Rien nest prvisible exactement. Les vnements surviennent avec une certaineprobabilit (prvisible, dans une certaine mesure). Sans aller jusqu de tels extrmes, touteexprience ralisable dans un laboratoire est fortement teinte dalatoire. Les imprcisionsexprimentales, les incertitudes de mesure, la complexit des systmes (des systmes vivants,notamment) engendrent un inconnu que les scientifiques recouvrent dun voile pudique marqu alatoire .

Pourtant cet alatoire studie de faon relativement commode. La premire tape de cettemodlisation consiste choisir un ensemble de rfrence dont les lments reprsenteronttous les rsultats possibles de lexprience. Il faut bien comprendre que ce choix dunivers estarbitraire, et quil simplifie normment le problme initial.

Un d 6 faces Lorsque lon lance un d, un rsultat de lexprience serait la position du ddans le rfrentiel terrestre, la position de lexprimentateur, la temprature de la pice, etc.Aprs tout, il ny a aucune raison de se limiter la lecture dun simple numro sur une seuledes faces du d.

Mais il est clair que la modlisation la plus vidente est de prendre = 1 ; 6, lensembledes entiers de 1 6.

Deux lancers dun d 6 faces Lanons ce mme d deux fois. Ici, la reprsentation la plusnaturelle des rsultats est lensemble des couples de deux nombres compris entre 1 et 6

=

(i, j) avec i 1 ; 6 , j 1 ; 6

= 1 ; 62

Le premier entier dune paire reprsente le rsultat du premier lancer, le second le rsultat dusecond lancer.

Chapitre III

Indpendance, probabilit conditionnelle

La plupart du temps, lorsquun processus exprimental complexe est mis en jeu, le rsultatfinal est dicile dcrire directement. Il est prfrable de dcomposer lexprience globale enplusieurs tapes. La notion de probabilit conditionnelle permet dtudier sparment chacunedes tapes.

III.1 Deux points de vue

A

BReplaons-nous au carrefour du dbut du cha-

pitre II. Deux observateurs A et B comptent les voi-tures grises. Lobservateur A se situe avant lem-branchement et observe toutes les voitures arri-vant. Lobservateur B se situe sur lembranche-ment de droite et nobserve que les voitures surcette partie de la route.

Lobservateur A compte N voitures, dont NGsont grises. Lobservateur B compte ND voitures ayant tourn droite, dont NGD sont grises.

Les deux observateurs nobservent pas les mmes vnements. Le premier peut estimer laprobabilit de lvnement G une voiture arrivant au carrefour est grise . De son point devue P(G) ' NG/N. Lobservateur B ne voit pas les mmes voitures que A. Il ne peut estimer quela probabilit quune voiture qui a tourn droite soit grise. On peut la noter PD(G) et estimerque PD(G)' NGD/ND.

Essayons de calculer la probabilit quune voiture arrivant lembranchement soit grise ettourne droite. On cherche donc P(GD). Bien sr P(GD) ' NGD/N. Seul lobservateur Aa accs cette probabilit. De l o il est plac, B ne peut pas la calculer.

Pour le premier observateur, lunivers est lensemble des voitures arrivant lembranche-ment, pour le second cest lensemble D des voitures ayant tourn droite. Mais D est unsous-ensemble de . Les probabilits que calcule B sont donc accessibles A. Par exemple

PD(G)'NGD

ND=

NGDN

NND'

P(GD)P(D)

En gnralisant cette galit, on dfinit une probabilit sur lunivers D issue de la probabilitsur lunivers complet de lexprience.

Chapitre IV

Variable alatoire relle finie

IV.1 Dnition

Revenons sur un point de vocabulaire. Considrons une exprience alatoire bucolique :choisir un brin dherbe dans une prairie verdoyante. Quappelle-t-on rsultat de cette exp-rience ? Lensemble des brins dherbes collects ? La prairie ? La prairie et la couleur du ciel, laposition des vaches, le sourire de la crmire ?

Soyons srieux un instant. En bons scientifiques, nous voudrions que le rsultat soit unequantit mesurable : un nombre rel. Par exemple le poids du brin dherbe, sa teneur en eau,sa concentration en chlorophylle, etc. Considrons sa taille en centimtres, qui est un nombrerel entre 0 et 100. Est-ce que ce nombre permet de remonter au rsultat de lexprience ?Bien sr que non : il la rsume, mais lensemble 0 ; 100 nest pas lunivers de lexprience.Ce nombre rel dpend du rsultat de lexprience ; il est alatoire dans le sens o sa valeurest issue dune exprience alatoire.

Cette faon dassocier une valeur numrique chaque rsultat de lexprience est si couranteque lon dfinit

Df. IV.1 Variable alatoire relle finie Soit (, P) un espace probabilis fini et E unensemble non vide. On appelle variable alatoire toute application de dans E.

Lorsque E R, on parle de variable alatoire relle.

Nous nabordons dans ce chapitre que les variables alatoires valeurs relles.

Support Lensemble des valeurs prises par X, not X(), sappelle le support de la variablealatoire. Comme est fini, cet ensemble lest galement. On peut le noter

X() = {x i , i 1 ; p }

vnements associs Une variable alatoire ne fait pas que transformer les vnementslmentaires en rels : elle redfinit compltement lespace dtude. Ainsi, tout sous-ensemblede R va devenir un vnement tudiable . Soyons plus prcis.

Thm. IV.2 Soit X une variable alatoire sur un espace probabilis fini (, P). Alors pourtout sous-ensemble A deR, lensemble X1 A est un vnement.

Chapitre V

Vecteurs alatoires rels finis

V.1 Couple de variables alatoires, lois

Exemple V.1 Considrons une exprience alatoire en deux temps : une urne contient 6boules numrotes de 1 6. On en tire une et on note son numro X. On retire alors toutesles boules dont le numro est strictement suprieur X. On tire une nouvelle boule, dont lenumro est not Y.

La premire de ces deux expriences est classique ; on sait que X suit la loi uniformesur 1 ; 6. La seconde est fortement lie la premire. Lvnement (X = k) tant ralis(avec k 1 ; 6), Y suit la loi uniforme sur 1 ; k .

Une telle faon de dcrire un processus alatoire est plutt naturelle. On ralise une succes-sion dtapes, en ayant une connaissance parfaite du lien entre une tape et la suivante. Notreobjectif est alors dexpliciter compltement la variable alatoire finale Y.

On va utiliser le principe de modlisation suivant : nous nous plaons dans un univers trs large et tudions X et Y comme un tout, comme une seule variable alatoire (X, Y) valeursdansR2. Rien ne nous empchera ensuite den extirper quelques informations utiles, comme laloi de X ou celle de Y. Ainsi le couple (X, Y) prend ses valeurs dans lensemble

X,Y = {(i, j), 1 i j 6}

On peut reprsenter cet ensemble par un nuage de points ou par un tableau a deux entres(que nous rempliront progressivement par les probabilits).

i

j 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

ij

Figure V.1 : Deux reprsentations de X,Y .

Mais on va justement sloigner de cet ensemble limit et prendre nos aises. Les valeurs deX stalent de 1 6. De mme, Y va de 1 6 : mme si les valeurs de Y dpendent des valeurs

Deuxime partie

Univers infinis dnombrables

MP PC PSI PT

Chapitre VI

Univers dnombrables Tribus

VI.1 Ensembles dnombrables

Des ensembles tels que N, Z, Q, R ou C sont qualifis d infinis car on pourra toujourstrouver N lments distincts de ces ensembles, quel que soit le nombre N fix davance.

Dans le premier chapitre de ce livre, nous avions donn la dfinition suivante de lexpression avoir le mme cardinal

Df. VI.1 On dira que deux ensembles non vides E et F ont le mme cardinal si et seulementsi il existe une bijection entre E et F.

Essayons donc de savoir si ces dirents ensembles infinis ont le mme cardinal, cest--direle mme nombre dlments.

Est-ce que N et N ont le mme cardinal ? En dautre termes, y a-t-il une bijection entre Net N ? La rponse est oui ! Par exemple, lapplication f dfinie sur N par

n N f (n) = n+ 1

et qui est valeurs dans N ralise un dcalage vers la droite de lensemble N.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10N

f

Figure VI.1 : Un exemple de bijection entreN etN.

Cette application est bien bijective : sa bijection rciproque est le dcalage vers la gauchedfini sur N par

n N f 1(n) = n 1

Mais une minute... ainsi N aurait autant dlments quun de ses sous-ensembles ? Cestsurprenant ! Puisque N est strictement inclus dans N, il devrait tre plus petit que N, non ?Tout dpend de ce quon appelle petit . Au sens de linclusion, N est bien strictement plus

Chapitre VII

Probabilit dans un univers dnombrable

VII.1 Une nouvelle dnition

Nous navons pas fini dtudier lexprience lancer une pice de monnaie jusqu obtenirFace . Nous avons vu au chapitre prcdent que cette exprience prenait sa place dans lunivers

= {0, 1}N

des suites infinies de 0 et de 1. Ici 0 rprsente Pile et 1 reprsente Face. Comme je lai djdit, cet univers nest pas dnombrable, et son tude complte dpasse donc les limites de notreprogramme.

Pourquoi ne pas prendre un univers plus simple ? Par exemple celui qui scrit

= {, 1, 01, 001, 0001, . . .}

Cest lensemble des suites ne contenant que des Piles et se terminant par un Face. On lui ajoutelvnement qui correspond une suite infinie de Piles.

Il y a une bijection naturelle entre etN : la fonction qui fait correspondre lentier0, et qui fait correspondre aux autres rsultats le nombre de Piles observs. Lunivers est doncdnombrable. Conformment ce que nous avions dit lexemple VI.2.4 (p. 185) du chapitreprcdent, la tribu naturelle dtude estP ().

Comment dfinir une probabilit sur un tel univers ? Les axiomes II.3 ne susent plus, caril ne permettent pas de traiter des unions infinies dvnements (comme par exemple lunionde tous les vnements de ). Transformons le second axiome pour inclure ce cas.

Df. VII.1 Axiomes des probabilits Soit (,T ) un espace probabilisable. On appelleprobabilit sur (,T ) la donne dune fonction P : T [0 ; 1 ] telle que

i) P() = 1ii) pour toute suite dvnements (An)nN deux deux incompatibles

P

nNAn

=

nN

P(An) additivit

La donne dun espace probabilisable (,T ) et dune probabilit P sur cet espace dfinit unespace probabilis (,T , P).

Chapitre VIII

Variable alatoire discrte

VIII.1 Une nouvelle dnition

Tout comme au chapitre prcdent, nous nous plaons dsormais dans le cadre gnraldes univers infinis. La notion de variable alatoire doit alors tre redfinie, et nous allons enprofiter pour lui donner une plus grande gnralit.

Df. VIII.1 Soit (,T , P) un espace probabilis. On appelle variable alatoire discrte valeurs dans un ensemble E toute application X de dans E telle que

i) lensemble X() est au plus dnombrable ;ii) si x X() alors lensemble X1 {x} est un vnement :

x E X1 {x} T

Lide sous-jacente est que lon veut sassurer que X = x puisse bien sinterprter commeun vnement. Si X est une variable alatoire discrte et si x X(), lensemble X1 {x}, quidonc est un vnement, est not plus simplement (X = x).

Cette dfinition sapplique aussi bien des variables support fini qu des variables support infini dnombrable. Comme les variables finies ont fait lobjet de la premire partie decet ouvrage, nous supposerons frquemment que X() est dnombrable.

Cette dfinition gnralise la prcdente dans deux directions. La premire est que len-semble darrive E nest pas ncessairement R : il peut sagir de R2, C, etc. Nous tirons partide ce point pour tudier les variables alatoires discrtes et les couples de variables alatoiresdiscrtes dans ce mme chapitre (voir un peu plus bas).

Exemple VIII.1 Dans le cas o E= R, on parle de variable alatoire relle discrte. Dans cecas, les vnements (X = x) sont vides, sauf pour des points isols de R.

Lensemble X() est un ensemble infini qui ne contient pas dintervalles de R (sinon ilne serait pas dnombrable). Dun point de vue topologique, puisque X() ne contient aucunvoisinage de ses points, tous les points de X() sont isols. Typiquement X() est N, N, Z, etc.

Chapitre IX

Esprance

Nous poursuivons notre revue des modifications apporter la thorie dans le cas desvariables alatoires discrtes. Au chapitre prcdent nous les avons dfinies, ainsi que leur loi.

Dans le cadre des variables alatoires finies, nous avons rencontr les notions desprance,variance, etc. Comment les dfinir ici ?

IX.1 Le problme de la somme innie

Pour dfinir lesprance dune variable alatoire relle discrte X on voudrait gnraliser laformule

E(X) =

xX()

x P(X = x)

bien tablie dans le cas dun support X() fini.Si le support est dnombrable, on peut le noter X() = {x i , i N}. Lesprance deviendrait-

elle alorsE(X) =

iN

xn P(X = xn) ?

Mais cest une somme infinie ? Elle doit tre convergente ! Mieux ! Elle doit tre absolumentconvergente ! Essayons de comprendre pourquoi.

Du point de vue technique, la notion de somme infinie pose deux dicults principales. Lapremire est bien connue : cest celle de la convergence de la somme. Par exemple la somme dela famille de rels

1 1 1 1 1

na pas de sens en tant que nombre rel. Cette somme eectue terme aprs terme prendalternativement les valeurs 1 et 1. Ces sommes partielles ne convergent vers aucune valeur.La somme de ces rels ne semble pas pouvoir tre dfinie.

Lorsquelle peut ltre, nous rencontrons une autre dicult. Considrons par exemple lafamille de rels

1 112

12

13

13 =

1n

, n N

1n

, n N

Comment dfinir la somme des termes de cette famille ? Le lecteur de ces lignes peut penser additionner les termes dans lordre dans lequel je les lui donne ci-dessus. On trouve alorssuccessivement 1, puis 0, puis 1/2, puis 0, puis 1/3, puis 0, etc. Les sommes partielles impaires

Chapitre X

Convergence et approximations

X.1 Introduction

Si vous le souhaitez, vous pouvez sauter cette introduction et commencer votre lecture lasection suivante.

La tlpathie, a marche ! Enfin cest ce quun jour une de mes aimables voisines bulgaresma arm avec vhmence. Sous le sceau du plus grand secret (aujourdhui bris), elle marvl que sa sur et elle sont si proches quelles peuvent lire dans les penses lune de lautre.

Jtais plus que curieux de voir un tel phnomne se produire. Aussi leur ai-je demand unepetite dmonstration. Aucun problme, me dit Boyana (ma voisine). Jappelle tout de suitema sur Albana, et nous allons nous livrer une exprience qui te convaincra srement !

Voici ce dont nous avions convenu : Boyana sassoirait dans une pice calme, en face dunefeuille de papier. Pour ma part, je me tiendrais derrire elle. intervalles rguliers, jenverraiun SMS sa sur Albana contenant un chire au hasard entre 0 et 9. Albana penserait trs fort ce chire, Boyana le devinerait par tlpathie et lcrirait sur une feuille de papier.

Nous ralismes lexprience avec une premire srie de 10 chires. la fin de lexprience,Boyana avait lair dpit. Javais du mal me concentrer, je ne sais pas si a a bien march. Jai alors vrifi les correspondances : il y en avait 3.

Incroyable, Paul ! sexclama Boyana. En moyenne, jaurais d trouver une seule corres-pondance, or jen trouve trois. Nest-ce pas extraordinaire ?

Je rflchis un moment. Supposons que les deux surs ne soient pas tlpathes et queBoyana crive un chire compltement au hasard sur la feuille. La probabilit quelle y parvienne un coup donn est 1/10. Si je suppose (pour me simplifier ltude) que les choix se fontindpendamment les uns des autres, le nombre de correspondances suit une loi binomiale deparamtres 10 et 1/10.

Comme le dit justement Boyana, le nombre moyen de correspondances est donc de 1.

Boyana trouve exceptionnel que le rsultat observ sloigne de la moyenne attendue. Maisen cela elle a tort. Comme beaucoup de gens, Boyana pense que lesprance est la valeur la plusprobable dune variable alatoire. Ce nest en gnral pas le cas.

Pourtant, dans le cas de la loi binomialeB (10, 1/10), Boyana a raison, comme on le voitsur la table de cette loi.

Annexe A

Dautres horizons

Lorsquon essaye de munir un espace quelconque dune probabilit, de nombreuses di-cults thoriques et pratiques surgissent. Et pourtant les mathmaticiens ont tendu cette pro-babilisation des domaines extrmement varis, aussi bien en mathmatiques fondamentalesquappliques ( la biologie, aux finances, aux statistiques, etc.).

Jaimerais, pour finir, vous donner un aperu de ses dicults, afin de mieux clairer leslimites et les choix des programmes de CPGE.

A.1 Tribus et borliens

Le point de dpart demeure un ensemble qui contient tous les rsultats possibles dune ex-prience alatoire. Mais cet ensemble est dsormais indnombrable. Cest le nombre de che-mins possibles allant dun point un autre, ou bien lensemble des programmes informatiques,ou encore lensemble des thormes nonables en mathmatiques, etc.

Bien que tout vnement soit un sous-ensemble de , il nest pas possible, en gnral, dedvelopper une thorie des Probabilits satisfaisante en supposant que tout sous-ensemble de est un vnement. Au lieu de cela, la dnomination vnement va tre rserve unepartie seulement des sous-ensembles de .

Sur cette partie des sous-ensembles de , les oprations ensemblistes prcdentes doiventtoujours avoir un sens. Cela motive la dfinition des tribus vue au chapitre VII. Rappelons-la.

Df. A.1 Axiomes des tribus Une partie T deP () est une tribu (ou une algbre)si et seulement si

i) T ;

ii) si A T alors A T ;

iii) si (An)nN est une suite dlments de T alors

nNAn T .

Ces trois proprits susent pour que toutes les oprations ensemblistes aient un sens. Cestune sorte de pralable la dfinition dune probabilit sur .

La mthode de raisonnement la plus courante consiste partir dune famille de sous-ensembles de , les appeler vnements , puis utiliser la plus petite tribu possible quicontient ces vnements (les vnements de dpart ne formant pas ncessairement une tribu).

Index

A-additivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193additivit finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47anagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33applications (dnombrement) . . . . . . . . 16arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

BBayes (formule de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Bernoulli, loi de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103bijections (dnombrement) . . . . . . . . . . . 18

Ccardinal dun ensemble fini. . . . . . . . . . . .12chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34coecient binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

petite formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21coecient de corrlation linaire . . . . 142

proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20continuit croissante . . . . . . . . . . . . . . . . 197continuit dcroissante . . . . . . . . . . . . . . 199convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . 246covariance

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 255cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139de deux variables alatoires finies in-

dpendantes . . . . . . . . . . . . . . 140proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

croissance de la probabilit . . . . . . . . . . . 48

Ddnombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

E

ensemble

au plus dnombrable . . . . . . . . . . . 179

dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

intersection dnombrable. . . . . . .183

union densembles dnombrables180

union dnombrable . . . . . . . . . . . . 183

quiprobabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

esprance

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 247

cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

dune loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 96

du produit de variables alatoires fi-nies indpendantes . . . . . . . . 138

linarit (cas dnombrable) . . . . 249

linarit (cas fini) . . . . . . 98, 138, 143

loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

loi gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 248

positivit (cas dnombrable) . . . . 249

positivit (cas fini) . . . . . . . . . . . . . . . 96

espace probabilis

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 193

cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . 182

vnement

A et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A implique B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A ou B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

associs une variable alatoire . . 91

associs une variable alatoire dis-

302 Index

crte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

dfinition (cas dnombrable) . . . 182

dfinition (cas fini) . . . . . . . . . . . . . . 45

impossible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

intersection dnombrable. . . . . . .183

ngligeable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

presque sr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

systme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

union dnombrable . . . . . . . . . . . . 183

F

fonction de deux variables alatoires finiesindpendantes . . . . . . . . . . . . 134

fonction gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

de la somme de deux variables ala-toires indpendantes . . . . . . 259

loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

loi gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 258

loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

formule

de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

de Knig-Huyghens (cas dnom-brable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

de Knig-Huyghens (cas fini) . . . . .99

de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . 23

des probabilits composes . . . . . . 70

des probabilits totales (cas dnom-brable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

des probabilits totales (cas fini) . 73

du binme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

petite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

I

ingalit

de Bienaym-Tchebychev (cas dnom-brable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

de Bienaym-Tchebychev (cas fini)101

de Markov (cas dnombrable) . . 283de Markov (cas fini) . . . . . . . . . . . . 100

indpendancede n variables alatoires finies . . 144de deux vnements (cas fini) . . . . 67de deux variables alatoires discrtes

223de deux variables alatoires finies132deux deux (vnements, cas dnom-

brable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202deux deux (vnements, cas fini)68mutuelle (vnements, cas dnom-

brable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202mutuelle (vnements, cas fini) . . 68

indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104injections (dnombrement) . . . . . . . . . . . 18

Llinarit de lesprance

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 249cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 138, 143

loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104conditionne (cas dnombrable) 216conditionne (cas fini). . . . . . . . . .130dune fonction de deux variables ala-

toires finies. . . . . . . . . . . . . . . .134dune variable alatoire (cas fini) . 92dune variable alatoire discrte.213de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103de la somme de deux variables ala-

toires finies. . . . . . . . . . . . . . . .134de la somme de deux variables ala-

toires discrtes . . . . . . . . . . . . 227de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219de Poisson (esprance) . . . . . . . . . 248de Poisson (variance). . . . . . . . . . .254gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217gomtrique (esprance) . . . . . . . 248gomtrique (variance). . . . . . . . .253

Index 303

gomtrique sur N . . . . . . . . . . . . . .218gomtrique sur N . . . . . . . . . . . . . 217marginale (cas dnombrable) . . . 216marginale (cas fini). . . . . . . . . . . . .130mutuelle (cas dnombrable) . . . . 216mutuelle (cas fini) . . . . . . . . . . . . . . 129uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 102uniforme (esprance). . . . . . . . . . . .96uniforme (variance) . . . . . . . . . . . . . 99

loi faible des grands nombres . . . . . . . . 283

M

momentdune variable alatoire discrte.252dune variable alatoire finie . . . . . 98

N

Newton (binme de). . . . . . . . . . . . . . . . . .22nombre

dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16dinjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18de bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18de surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

P

Pascal (formule de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21permutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18positivit de lesprance

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 249cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

probabilitadditivit finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48conditionnelle (cas dnombrable)201conditionnelle (cas fini). . . . . . . . . .66dfinition (cas dnombrable) . . . 193dfinition (cas fini) . . . . . . . . . . . . . . 47proprits usuelles. . . . . . . . . . . . . . .48sous-additivit . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

probabilits composes (formule) . . . . . 70probabilits totales

cas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 201cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ssomme de deux lois

binomiales indpendantes . . . . . . 136de Poisson indpendantes . . . . . . 227uniformes indpendantes . . . . . . . 135

sous-additivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200suite dvnements

croissante pour linclusion . . . . . . 197dcroissante pour linclusion . . . . 199

supportdune variable alatoire finie . . . . . 91

surjection (dnombrement). . . . . . . . . . .28systme complet dvnements . . . . . . . . 46

Tthorme

de dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . 12de transfert (cas dnombrable) . 249de transfert (cas fini). . . . . . . .97, 137

tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Uunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

VVandermonde

formule de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23variable alatoire

vnements associs (cas fini) . . . . 91centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98centre associe une variable ala-

toire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98centre rduite associe une va-

riable alatoire . . . . . . . . . . . . 100certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211discrtes indpendantes . . . . . . . . 223indpendantes (cas fini) . . . . . . . . 132indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104loi finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92loi (cas dnombrable) . . . . . . . . . . 213rduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100relle finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

304 Index

somme (cas dnombrable) . . . . . . 227uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

variancecas dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . 253cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98de la somme de n variables alatoires

144de la somme de n variables alatoires

indpendantes . . . . . . . . . . . . 145de la somme de deux variables ala-

toires finies indpendantes . 141interprtation de la (cas fini) . 100loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254loi gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 253loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 140

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