Cours de Proba++++++

5/9/2018 Cours de Proba++++++ - slidepdf.com

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C o u r s d e P r o b a b i l i t é s

1 . D é n o m b r e m e n t

2 . P r o b a b i l i t é s

3 . V a r i a b l e s a l é a t o i r e s r é e l l e s

P o u r B C P S T 1

A n n é e s c o l a i r e : 2 0 0 4 / 2 0 0 5

1 6 j u i n 2 0 0 5

M o h a m e d T A R Q I



T a b l e d e s m a t i è r e s

1 D é n o m b r e m e n t 3

1 . 1 G é n é r a l i t é s . R a p p e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 2 E n s e m b l e d e p a r t i e s d e E ,

P (E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 1 . 3 I n c l u s i o n e n t r e e n s e m b l e s " ⊂" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 4 C o m p l é m e n t a i r e d ' u n e p a r t i e e t n é g a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 1 . 5 R é u n i o n , i n t e r s e c t i o n e t p r o d u i t d ' e n s e m b l e s . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 2 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 3 E n s e m b l e s n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 3 . 1 E n s e m b l e s é q u i p o t e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 3 . 2 P r o p r i é t é s d e s c a r d i n a u x d e s e n s e m b l e s n i s . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 4 D é n o m b r e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 4 . 1 N o m b r e d ' a p p l i c a t i o n d e E p s u r E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 4 . 2 N o m b r e d ' i n j e c t i o n s d e E p s u r E n , ( 1 ≤ p ≤ n ) . . . . . . . . . . . . 8

1 . 4 . 3 N o m b r e d e p a r t i e s a y a n t p é l é m e n t s d ' u n e n s e m b l e n i . . . . . . . . 1 0

1 . 5 A p p l i c a t i o n s ( E x e m p l e s d e t i r a g e s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 5 . 1 T i r a g e a v e c r e m i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 5 . 2 T i r a g e s a n s r e m i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 5 . 3 T i r a g e s i m u l t a n é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

2 P r o b a b i l i t é s 1 4

2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 2 C o n c e p t s d e b a s e d e s p r o b a b i l i t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 2 . 1 É p r e u v e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 2 . 2 E n s e m b l e Ω d e s é v e n t u a l i t é s . É v é n e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

2 . 3 P r o b a b i l i t é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 3 . 1 D é n i t i o n s e t p r o p r i é t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 3 . 2 E x e r c i c e s r é s o l u s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

2 . 4 P r o b a b i l i t é c o n d i t i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

2 . 4 . 1 D é n i t i o n s e t p r o p r i é t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

2 . 4 . 2 F o r m u l e d e s p r o b a b i l i t é s t o t a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

2 . 5 I n d é p e n d a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1



3 V a r i a b l e s a l é a t o i r e s r é e l l e s 2 8

3 . 1 L o i d e p r o b a b i l i t é d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 1 . 1 v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 1 . 2 L o i d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 2 C a r a c t é r i s t i q u e s d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . 1 F o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . 2 E s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e s ( l a m o y e n n e ) . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 2 . 3 V a r i a n c e e t É c a r t - t y p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 2 . 4 I n é g a l i t é d e B i e n y a m é - T c h e b y c h e v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 . 3 L o i s u s u e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

3 . 3 . 1 L o i u n i f o r m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

3 . 3 . 2 L o i s d e t i r a g e a v e c r e m i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

3 . 3 . 3 L o i h y p e r g é o m è t r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

3 . 4 C o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 4 . 1 L o i s m a r g i n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 4 . 2 L o i s c o n d i t i o n n e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

3 . 4 . 3 L ' i n d é p e n d a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

3 . 4 . 4 C o v a r i a n c e , c o e c i e n t d e c o r r é l a t i o n l i n é a i r e . . . . . . . . . . . . . 4 6

A P r o b l è m e I 5 1

B P r o b l è m e I I 5 3

C P r o b l è m e I I I 5 5

2



C h a p i t r e 1

D é n o m b r e m e n t

C o n t e n t s

1 . 1 G é n é r a l i t é s . R a p p e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 3 E n s e m b l e s n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 4 D é n o m b r e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 5 A p p l i c a t i o n s ( E x e m p l e s d e t i r a g e s ) . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 1 G é n é r a l i t é s . R a p p e l s

1 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n

O n s u p p o s e a c q u i s e l a n o t i o n i n t u i t i v e d ' e n s e m b l e e t n o u s a d m e t t o n s q u e x ∈ E ( q u i

s e l i t a a p p a r t i e n t à E ) e s t u n e n o t a t i o n c o m p r i s e p a r t o u s . L a n o t a t i o n x ∈ x e s t i n t e r d i t e .

R e m a r q u o n s q u e c e t t e i n t e r d i c t i o n à a u n e a u t r e i n t e r d i c t i o n : O n n e p e u t p a s p a r l e r d ' u n

e n s e m b l e Ω d o n t l e s é l é m e n t s s e r a i e n t t o u s l e s e n s e m b l e s , c a r o n d e v a i t a v o i r Ω ⊂ Ω.

E n g é n é r a l , o n d é t e r m i n e u n e n s e m b l e s o i t , e n e x p l i c i t a n t s e s é l é m e n t s : E = 1, a, ,

s o i t p a r c o m p r é h e n s i o n : E = x/x v e r i é l a p r o p r i é t é P .

P a r e x e m p l e :

N = x/x e n t i e r = 0, 1, 2,...

Z = x/x e n t i e r r e l a t i f = ..., −2, −1, 0, 1, 2,...

1 . 1 . 2 E n s e m b l e d e p a r t i e s d e E ,

P (E )

D é n i t i o n 1 . 1 . 1 . S o i t E u n e n s e m b l e . N o u s a d m e t t r o n s q u e t o u t e s l e s p a r t i e s d e E c o n s t i -

t u e n t u n n o u v e l e n s e m b l e a p p e l é e n s e m b l e d e s p a r t i e s d e E e t n o t é P (E )

E n p a r t i c u l i e r :

•P (∅)= ∅

•P (a)= a, ∅

•P (a, b)= a, b, a, b, ∅

3



1 . 1 . 3 I n c l u s i o n e n t r e e n s e m b l e s " ⊂

"

D é n i t i o n 1 . 1 . 2 . S o i t E u n e n s e m b l e . N o u s d i r o n s q u e A e s t i n c l u s d a n s E ( o u s o u s

e n s e m b l e d e E ) s i t o u t é l é m e n t d e A e s t é l é m e n t d e E e t o n n o t e A⊂

E

O n a d o n c :

A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A =⇒ x ∈ E )

A ⊂ E ⇐⇒ (A ∈ P (E ))

O n r a p p e l l e q u e p o u r t o u t x o n a :

(x ∈ E ) ⇐⇒ (x ⊂ E ) ⇐⇒ (x ∈ P (E ))

1 . 1 . 4 C o m p l é m e n t a i r e d ' u n e p a r t i e e t n é g a t i o n

D é n i t i o n 1 . 1 . 3 . É t a n t d o n n é e u n e n s e m b l e E e t u n e p a r t i e A d e E . O n a p p e l l e c o m p l é -

m e n t a i r e d e A d a n s E e t o n n o t e AE l ' e n s e m b l e d e t o u s l e s é l é m e n t s d e E n ' a p p a r t i e n t p a s

à A .

D o n c

AE = x ∈ E/x /∈ A

e n p a r t i c u l i e r

∅E = E e t E ∅ = ∅

1 . 1 . 5 R é u n i o n , i n t e r s e c t i o n e t p r o d u i t d ' e n s e m b l e s

D é n i t i o n 1 . 1 . 4 . S o i t A e t B d e u x e n s e m b l e s . O n d é n i t l e s e n s e m b l e s s u i v a n t e s

1 . A × B = (x, y)/x ∈ A et y ∈ B, p r o d u i t c a r t é s i e n d e Ae t B .

2 . A ∪ B = x/x ∈ A oux ∈ B, r é u n i o n d e A e t B .

3 . A ∪ B = x/x ∈ A etx ∈ B, i n t e r s e c t i o n d e A e t B .

S i A ∩ B = ∅, o n d i t q u e A e t B s o n t d i s j o i n t e s .

G é n é r a l i s a t i o n :

S o i t I u n e n s e m b l e n o n v i d e , p o u r t o u t i ∈ I , o n s e d o n n e u n e n s e m b l e E i . o n d é n i t

l e s e n s e m b l e s s u i v a n t e s :

a )

i∈I

E i = x/∃i ∈ I , tel que x ∈ E i r é u n i o n d e l a f a m i l l e d ' e n s e m b l e s (E i)i∈I

b )

i∈I

E i =

x/

∀i

∈I, x

∈E i

i n t e r s e c t i o n d e l a f a m i l l e d ' e n s e m b l e s (E i)i∈I

P r o p o s i t i o n 1 . 1 . 1 . ( L o i s d e M o r g a n ) Q u e l s q u e s o i e n t l e s é l é m e n t s A e t B d e P (E )o n a :

C A∩BE = C AE ∪ C BE

C A∪BE = C AE ∩ C BE

4



D é m o n s t r a t i o n :

E n e e t :

(∀

x∈

E ), o n p e u t é c r i r e :

non(x ∈ A e t x ∈ B) ⇐⇒ (x /∈ A) ou (x /∈ B)

non(x ∈ A o u x ∈ B) ⇐⇒ (x /∈ A) et (x /∈ B)

c ' e s t à d i r e :

C A∩BE = C AE ∪ C BE

C A∪BE = C AE ∩ C BE

D é n i t i o n 1 . 1 . 5 . S o i t A e t B d e u x p a r t i e s d ' u n e n s e m b l e E . O n a p p e l l e d i é r e n c e d e s

e n s e m b l e s A e t B e t o n n o t e A

\B l ' e n s e m b l e d e s é l é m e n t s d e A n ' a p p a r t i e n t p a s à B .

D o n c :

A \ B = x ∈ E/x ∈ A et x /∈ B

E x e r c i c e 1 . 1 .

S o i t (Ai)1≤i≤n u n e f a m i l l e d e p a r t i e s d ' u n e n s e m b l e E

1 . M o n t r e r q u e :

i=ni=1

Ai

C

=i=ni=1

AC i e t

i=ni=1

Ai

C

=i=ni=1

AC i .

2 . P o u r t o u t e s p a r t i e s A e t B d e E , o n p o s e :

AB = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

M o n t r e r q u e : AB = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A).

1 . 2 A p p l i c a t i o n s

S o i e n t E e t F d e u x e n s e m b l e s n o n v i d e s , e t f u n e a p p l i c a t i o n d e E source d a n s F but.

•O n d i t q u e f e s t u n e a p p l i c a t i o n surjective o u u n e surjection s i t o u t é l é m e n t d e

b u t e s t l ' i m a g e d ' u n é l é m e n t a u m o i n s d e l a s o u r c e . C ' e s t à d i r e :

(∀ ∈ E ), (∃x ∈ E ) tel que y = f (x)

•O n d i t q u e f e s t u n e a p p l i c a t i o n injective o u u n e injection s i t o u t é l é m e n t d e b u t

e s t l ' i m a g e d ' u n é l é m e n t ( a u p l u s ) d e l a s o u r c e . C ' e s t à d i r e :

(∀x, y ∈ E ), [f (x) = f (y) =⇒ x = y]

•O n d i t q u e f e s t u n e a p p l i c a t i o n bijective o u u n e bijection s i t o u t é l é m e n t d e b u t

e s t l ' i m a g e d ' u n é l é m e n t u n i q u e d e l a s o u r c e . C ' e s t à d i r e :

(∀y ∈ E ), (∃!x ∈ E ) tel que y = f (x)

5



D o n c u n e a p p l i c a t i o n e s t u n e b i j e c t i o n s i e t s e u l e m e n t s i e l l e e s t à l a f o i s s u r j e c t i v e e t

i n j e c t i v e .

•S i u n e a p p l i c a t i o n f : x

→y = f (x) e s t u n e b i j e c t i o n d e E d a n s F , a l o r s e l l e a d m e t

u n e f o n c t i o n r é c i p r o q u e , n o t é e f −1, d é n i e d e F d a n s E . O n p e u t é c r i r e :

(∀x, y ∈ E × F ), [y = f (x) ⇐⇒ x = f −1(y)]

1 . 3 E n s e m b l e s n i s

1 . 3 . 1 E n s e m b l e s é q u i p o t e n t s

S i n e t p s o n t d e u x e n t i e r s n a t u r e l s t e l s q u e p ≤ n, o n p o s e [ p,n] = p,p + 1,...,nD é n i t i o n 1 . 3 . 1 . É t a n t d o n n é s d e u x e n s e m b l e s E e t F . S ' i l e x i s t e u n e b i j e c t i o n d e E d a n s F , o n d i t q u e E e t F s o n t é q u i p o t e n t s

E x e m p l e s

1 . S o i t P l ' e n s e m b l e d e s e n t i e r s p a i r s e t I c e l u i d e s e n t i e r s i m p a i r s , a l o r s P e t I s o n t

é q u i p o t e n t s , e n e e t l ' a p p l i c a t i o n

φ : P −→ I n −→ n + 1

e s t u n e b i j e c t i o n .

2 . L ' a p p l i c a t i o n ϕ, d é n i e p a r :

ϕ : R \ 1 −→ R \ 2x −→ 2x+1

x−1

e s t u n e b i j e c t i o n , d o n c R \ 1e t R \ 1

s o n t é q u i p o t e n t e s .

3 . L ' a p p l i c a t i o n ψ , d é n i e p a r :

χ : ] − 1, 1[ −→ R

x −→ x1−x2

e s t u n e b i j e c t i o n , d o n c ] − 1, 1[ e t R s o n t é q u i p o t e n t e s .

D é n i t i o n 1 . 3 . 2 . O n d i t q u ' u n e n s e m b l e E e s t n i s ' i l e x i s t e u n e n t i e r n a t u r e l n o n n u l

n t e l q u e E s o i t é q u i p o t e n t à [1, n]. C e n o m b r e n e s t a p p e l é l e cardinal d e E , o n é c r i t

c a r d E = n

•O n p o s e , p a r c o n v e n t i o n , c a r d ∅ = 0

•U n e n s e m b l e non fini e s t a p p e l é e n s e m b l e infini , p a r e x e m p l e N,Z,Q,R,C s o n t d e s

e n s e m b l e s i n n i s .

• c a r d ♠, ♣,,,, ♦,,, ℵ, ♥ = 10• c a r d [1, n] = n.• card[ p,n] = n − p + 1.

6



1 . 3 . 2 P r o p r i é t é s d e s c a r d i n a u x d e s e n s e m b l e s n i s

T h é o r è m e 1 . 3 . 1 . É t a n t d o n n é s d e u x e n s e m b l e s n i s E e t F e t u n e a p p l i c a t i o n f d e E d a n s F . f e s t u n e b i j e c t i o n s i e t s e u l e m e n t s i c a r d E =c a r d F .

T h é o r è m e 1 . 3 . 2 . É t a n t d o n n é s d e u x e n s e m b l e s n i s E e t F .

·S i E ⊂ F a l o r s c a r d E ≤ cardF .

·S i (E ⊂ F e t E = F ) a l o r s c a r d E < cardF

T h é o r è m e 1 . 3 . 3 . É t a n t d o n n é e u n e a p p l i c a t i o n f d e E n i d a n s F n i .

· S i f e s t s u r j e c t i v e c a r d E ≥ cardf (E ) = cardF · S i f e s t i n j e c t i v e c a r d E = cardf (E ) ≤ cardF · S i f e s t b i j e c t i v e c a r d E = cardf (E ) = cardF

T h é o r è m e 1 . 3 . 4 . Q u e l s q u e s o i t l e s e n s e m b l e s n i s E e t F o n a :

card(E ∪ F ) = cardE + cardF − card(E ∩ F )

E x e r c i c e 1 . 2 .

1 . E ,F,G é t a n t t r o i s e n s e m b l e s n i s , d é m o n t r e r q u e :

c a r d (E ∪ F ∪ G) = cardE + cardF + cardG − card(E ∩ F ) − card(E ∩ G) − card(F ∩G) + card(E ∩ F ∩ G)

2 . A e t B é t a n t d e u x p a r t i e s d ' u n e n s e m b l e n i E , d é m o n t r e r q u e :

. c a r d E = cardA + cardA (A = AE = E

\A)

. c a r d E = card(A ∩ B) + card(A ∩ B) + card(A ∩ B) + card(A ∩ B)

T h é o r è m e 1 . 3 . 5 . Q u e l s q u e s o i e n t l e s e n s e m b l e s n i s E e t F , o n a :

card(E × F ) = cardE × cardF

R è g l e

S i u n o b j e t a p e u t ê t r e c h o i s i d e n f a ç o n s e t q u ' u n o b j e t b p e u t ê t r e c h o i s i d e m f a ç o n s ,

l a p a i r e (a, b), p r i s e d a n s c e t t e o r d r e , p e u t ê t r e c h o i s i e d e nm f a ç o n s .

G é n é r a l i s a t i o n

Q u e l s q u e s o i e n t l e s e n s e m b l e s n i s E 1, E 2,...,E p , o n a :

card(E 1 × E 2 × ... × E p) = cardE 1 × cardE 2 × ... × cardE p

E n p a r t i c u l i e r :

cardE n = (cardE )n

7



1 . 4 D é n o m b r e m e n t

O n n o t e E n (n ≥ 1) u n e n s e m b l e q u e l c o n q u e n i a n é l é m e n t s .

1 . 4 . 1 N o m b r e d ' a p p l i c a t i o n d e E p s u r E n

T h é o r è m e 1 . 4 . 1 . L e n o m b r e d ' a p p l i c a t i o n s d e E p s u r E n e s t n p.


P o s o n s F (E p, E n) l ' e n s e m b l e d ' a p p l i c a t i o n s d e E p s u r E n . S o i t l ' a p p l i c a t i o n :

ψ : F (E p, E n) −→ E n × E n × ... × E n = E pnf −→ (f (a1), f (a2),...,f (a p))

a v e c

E p = a1, a2,...,a pψ e s t b i e n d é n i e b i j e c t i v e , d o n c :

cardF (E p, F n) = cardE pn = n p

D é n i t i o n 1 . 4 . 1 . S o i t E u n e n s e m b l e e t p u n e n t i e r n o n n u l . U n é l é m e n t (x1, x2,...,x p)d e E p = E × E × ... × E e s t a p p e l é u n e p - l i s t e d ' é l é m e n t s d e E .

E x e m p l e s

1 . L e n o m b r e p o s s i b l e d e r é s u l t a t s , à l ' i s s u e d e t r o i s l a n c e r s s u c c e s s i f s d ' u n e p i è c e d e

m o n n a i e e s t 23 = 8. E n e e t , u n r é s u l t a t e s t u n e 3 − liste d ' é l é m e n t s d e P, F 2 . S u p p o s o n s q u e l ' o n a i t r b o u l e s n u m é r o t é e s 1, 2,...,r q u e l ' o n r é p a r t i t a u h a s a r d

d a n s n u r n e s n u m é r o t é e s 1, 2,...,n e t q u e l ' o n s ' i n t é r e s s e a u x d i é r e n t e s r é p a r t i t i o n s

d e c e s r b o u l e s . L ' e n s e m b l e d e s r é p a r t i t i o n s p e u t ê t r e a s s i m i l é à l ' e n s e m b l e :

(x1, x2,...,xr) o ù xi l e n o m b r e d e l ' u r n e q u ' o c c u p e l e b o u l e i

I l y a d o n c nrt e l l e r é p a r t i t i o n .

1 . 4 . 2 N o m b r e d ' i n j e c t i o n s d e E p s u r E n , ( 1

≤p

≤n)

T h é o r è m e 1 . 4 . 2 . L e n o m b r e d ' i n j e c t i o n s d e E p s u r E n e s t n(n − 1)...(n − p + 1)


O n a s s i m i l e E p à l ' e n s e m b l e 1, 2,...,p.

P o u r c o n s t r u i r e u n e i n j e c t i o n d e E p d a n s E n , i l f a u t c h o i s i r l ' i m a g e d e 1 p a r m i né l é m e n t s d e E n , u n e f o i s l ' i m a g e d e 1 e s t c h o i s i ; o n c h o i s i t l ' i m a g e d e 2 d i é r e n t d u c h o i x

8



d e l ' i m a g e d e 1, i l y a n − 1 c h o i x , p u i s o n c h o i s i t l ' i m a g e d e 3 d i é r e n t d e l ' i m a g e d e 1 e t

d e l ' i m a g e d e 2, e t a i n s i d e s u i t e . . . , d o n c l e n o m b r e d e c h o i x d ' i n j e c t i o n s v a u t :

n(n − 1)...(n − p + 1) = n!(n − p)!

O n n o t e :

A pn = n(n − 1)...(n − p + 1) =

n!

(n − p)!

A p p l i c a t i o n s

D é n i t i o n 1 . 4 . 2 . É t a n t d o n n é u n e n s e m b l e n i E , c a r d E = n, un a r r a n g e m e n t d e pé l é m e n t d e E e s t u n e p - l i s t e d ' é l é m e n t s d e u x à d e u x d i s t i n c t s p r i s p a r m i c e u x d e E .

P r o p o s i t i o n 1 . 4 . 1 . L e n o m b r e d e p - a r r a n g e m e n t s d ' u n e n s e m b l e a n é l é m e n t s (1 ≤ p ≤ n)e s t A p

n .

R e m a r q u e s

·S i p > n, A p

n = 0 : I l n ' y a a u c u n e i n j e c t i o n d e E p d a n s E n .

· S i p = n, Ann = n! c ' e s t l e n o m b r e d ' a p p l i c a t i o n s b i j e c t i v e s ( p e r m u t a t i o n s ) d e E p

s u r E n .

· S i p = 0, o n p o s e p a r c o n v e n t i o n A0n = 1.

E x e m p l e s

1 . U n e a g e n c e d e v o y a g e s o u m e t à c e s c l i e n t s u n e l i s t e d e h u i t v i l l e . E l l e p r o p o s e d e

c h o i s i r u n c i r c u i t d e c i n q v i l l e s p a r m i c e s h u i t , e n i n d i q u a n t l ' o r d r e d e v i s i t e d e s c i n q

v i l l e s c h o i s i e s .

L e n o m b r e d e c i r c u i t s p o s s i b l e s e s t A58 = 336

2 . C o m b i e n d e c l a s s e m e n t s p e u t - o n f o r m e r a v e c 2 3 é l è v e s ( o n s u p p o s e q u ' i l n ' y a p a s

d ' e x - a e q u o ) : c ' e s t A2323 = 23!

3 . D o u z e c h e v a u x p a r t i c i p e n t à l a c o u r s e d u t i e r c é . U n t i e r c é e s t u n t r i p l e t (c1, c2, c3)(ci ∈[1, 12]). I l y a A3

12 = 1320 t i e r c é s p o s s i b l e d a n s lordre. ( o n s u p p o s e q u ' i l n ' y a p a s

d ' e x - a e q u o )

E x e r c i c e 1 . 3 .

C o m b i e n p e u t - o n f o r m e r d e m o t s a v e c t o u t e s l e s l e t t r e s d u m o t AHMED , c h a q u e l e t t r e

é t a n t u t i l i s é e u n e s e u l e f o i s ?

C o m b i e n e n e x i s t e - t - i l c o m m e n ç a n t p a r A e t n i s s a n t p a r D

9



1 . 4 . 3 N o m b r e d e p a r t i e s a y a n t p é l é m e n t s d ' u n e n s e m b l e n i

S o i t E u n e n s e m b l e n i a y a n t n é l é m e n t s (n ≥ 1) . D é s i g n o n s p a r P p(E ) l ' e n s e m b l e d e

p a r t i e s d e E a y a n t p é l é m e n t s ( p≤

n).

T h é o r è m e 1 . 4 . 3 . L e n o m b r e d e p a r t i e s a y a n t p é l é m e n t s d ' u n e n s e m b l e à n é l é m e n t s

(0 ≤ p ≤ n) e s t

n! p!(n− p)! .

O n n o t e pn =

n

p

= n!

p!(n− p)! .


S o i e n t M u n e n s e m b l e a p é l é m e n t s e t E u n e n s e m b l e a n é l é m e n t s . P o s o n s (M, E )

l ' e n s e m b l e d ' i n j e c t i o n s d e M d a n s E e t P p(E ) l ' e n s e m b l e d e p a r t i e s d e E a p é l é m e n t s .

S o i t ϕ l ' a p p l i c a t i o n :

(M, E )

−→ P p(E )

i −→ A = i(M ) = i1, i2,...,i pO n a :

(M, E ) = ∪A∈P p(E )ϕ−1(A) ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) , d ' o ù c a r d (M, E ) = p!.cardP p(E )

p u i s c a r d P p(E ) = n! p!(n− p)! = pn .

D é n i t i o n 1 . 4 . 3 . U n s o u s - e n s e m b l e d e E d e c a r d i n a l p e s t a p p e l é c o m b i n a i s o n d e pé l é m e n t s d i s t i n c t s p r i s p a r m i c e u x d e E .

R e m a r q u e

S i p > n, pn = 0, E n e e t , i l n ' y a p a s d e s o u s - e n s e m b l e d e E a y a n t u n c a r d i n a l

s t r i c t e m e n t s u p é r i e u r e d e c e l u i d e E . I l e s t c l a i r q u e q u e l q u e s o i t l ' e n t i e r n a t u r e l n, o n a :

0n = nn = 1

E x e m p l e s

1 . L ' a g e n c e d e v o y a g e s ( l ' e x e m p l e p r é c é d e n t ) p r o p o s e é g a l e m e n t à c e s c l i e n t s u n e f o r -

m u l e " l i b e r t é " p o u r l a q u e l l e l e t o u r i s t e c h o i s i t c i n q v i l l e s s a n s p r é c i s e r l ' o r d r e d a n s

l e q u e l c e s v i l l e s s e r o n t v i s i t é e s . L e n o m b r e d e f o r m u l e s " l i b e r t é " e s t 58 = 56

2 . I l y a

A3

12

3! = 220 t i e r c é s d a n s l e d é s o r d r e d a n s u n e c o u r s e r é u n i s s a n t d o u z e c h e v a u x .

3 . L e n o m b r e d e t i r a g e s d e c i n q c a r t e s d ' u n j e u d e 5 2 c a r t e s e s t 552 = 2598960.

E x e r c i c e 1 . 4 .

M o n t r e r q u e l e n o m b r e d e s u i t e s (x1, x2,...,x p) ∈ N p q u i s o n t s o l u t i o n s e n n o m b r e s e n t i e r s

p o s i t i f s d e l ' é q u a t i o n x1 + x2 + ... + x p = n ( p e t n x é s ) e s t n+ p−1

n .

P r o p r i é t é s d e s n o m b r e s pn ( T r i a n g l e d e P a s c a l )

P r o p o s i t i o n 1 . 4 . 2 . É t a n t d o n n é n e t p e n t i e r s n a t u r e l s (0 ≤ p ≤ n), a l o r s pn = n− p

n e t

pn = pn−1 + p−1n−1

1 0




· S o i t E u n e n s e m b l e n i a n é l é m e n t s .

S i A⊂

E e s t u n e p a r t i e a p é l é m e n t s a l o r s A = A

E e s t u n e p a r t i e d e E a n

− p é l é m e n t s

d o n c l ' a p p l i c a t i o n :

ϕ : P p(E ) −→ P n− p(E )A −→ A

e s t u n e b i j e c t i o n . D o n c P p(E ) e t P n− p(E ) o n t m ê m e c a r d i n a l , c ' e s t à d i r e : pn = n− pn

A u t r e m e n t d i t : I l y a a u t a n t d e d e p a r t i e s a n − p é l é m e n t s q u ' i l y a d e p a r t i e s a pé l é m e n t s

·S o i t a ∈ E.

L e s p a r t i e s a p é l é m e n t s p e u v e n t s e r e g r o u p e r e n d e u x c a t é g o r i e s d i s j o i n t e s : d ' u n e p a r t

c e u x q u i c o n t i e n t l ' é l é m e n t a e t d ' a u t r e p a r t c e u x q u i n e c o n t i e n t p a s a.L e s p r e m i e r s s ' o b t i e n t e n a d j o i g n a n t à a n ' i m p o r t e q u e p a r t i e a p−1 é l é m e n t s d e E \a.

I l y e n a d o n c

p−1

n−1.L e s a u t r e s s o n t f o r m é s d e p é l é m e n t s p r i s p a r m i E \a. I l y e n a pn−1

E n c o n c l u s i o n : pn = p−1n−1 + pn−1 .

T h é o r è m e 1 . 4 . 4 . ( F o r m u l e d e b i n ô m e d e N e w t o n ) É t a n t d o n n é s a e t b r é e l s o ù

c o m p l e x e s e t u n e n t i e r n a t u r e l n , a l o r s :

(a + b)n =

p=n p=0

pnan− pb p

E x e m p l e s

S o i t n ∈ N∗, o n a :

• 0n + 1n + 2n + ... + nn =

p=n p=0

pn = (1 + 1)n = 2n

.

• 0n − 1n + 2n − 3n + ... + (−1) p pn + ... + (−1)nnn =

p=n p=0

pn(−1) p = (−1 + 1)n = 0.

• 0n + 21n + 222n + ... + 2 p pn + ... + 2nn

n = p=n p=0

pn2 p = 3n.

1 . 5 A p p l i c a t i o n s ( E x e m p l e s d e t i r a g e s )

O n d i s p o s e d ' u n e u r n e o ù s e t r o u v e n t N b o u l e s , d e k c o u l e u r s d i é r e n t e s (k

≤N ), O n

n o t e N i(i ∈ [1, k]) l e n o m b r e d e b o u l e s d e l a c o u l e u r i , o n a : N 1 + N 2 + ... + N k = N N o u s a l l o n s t i r e r a u h a s a r d n b o u l e s d e c e t t e u r n e , o n d i s t i n g u e t r o i s t y p e s d e t i r a g e s .

1 . 5 . 1 T i r a g e a v e c r e m i s e

O n t i r e l e s n b o u l e s u n e à u n e , e n r e m e t t a n t à c h a q u e f o i s l a b o u l e t i r é e d a n s l ' u r n e

a v a n t d e p r é c é d e r a u t i r a g e s u i v a n t , l e r é s u l t a t e s t u n n− u p l e t d e b o u l e s d e l ' u r n e , t o u t e s

l e s r é p é t i t i o n s s o n t p o s s i b l e s , i l e x i s t e d o n c N n r é s u l t a t s p o s s i b l e s .

1 1



S o i e n t n1, n2,...,nk d e s e n t i e r s t e l s q u e n1 + n2 + ... + nk = n. Q u e l e s t l e n o m b r e d e

n- u p l e t s q u i c o n s t i t u é s d e n1 b o u l e s d e l a c o u l e u r 1, n2 b o u l e s d e l a c o u l e u r 2,...,nk b o u l e s

d e l a c o u l e u r k .

P r o p o s i t i o n 1 . 5 . 1 . C e n o m b r e ( N o m b r e d e t i r a g e s p o s s i b l e s ) é g a l à

n!n1!n2!...nk!

N n1

1 N n2

2 ...N nkk .

1 . 5 . 2 T i r a g e s a n s r e m i s e

L e r é s u l t a t i c i e s t u n n- u p l e t f o r m é d e b o u l e s d i s t i n c t e s . I l s ' a g i t d o n c d ' u n n- a r r a n g e m e n t

s a n s r é p é t i t i o n d e s N b o u l e s d e l ' u r n e , p a r c o n s é q u e n t , i l e x i s t e AnN r é s u l t a t s p o s s i b l e s .

Q u e l e s t l e n o m b r e d e n−u p l e t s q u i s o n t c o n s t i t u é s d e n1 b o u l e s d e l a c o u l e u r 1 , n2

b o u l e s d e l a c o u l e u r 2,...,nk b o u l e s d e l a c o u l e u r k .

P r o p o s i t i o n 1 . 5 . 2 . C e n o m b r e ( N o m b r e d e t i r a g e s p o s s i b l e s ) é g a l à

n!n1!n2!...nk!

An1

N 1An2

N 2...Ank

N k.

1 . 5 . 3 T i r a g e s i m u l t a n é

E e c t u o n s u n t i r a g e s i m u l t a n é d e n b o u l e s , l e r é s u l t a t e s t i c i u n e p a r t i e a n é l é m e n t s

d e l ' e n s e m b l e d e s b o u l e s d e l ' u r n e . L e n o m b r e d e c a s p o s s i b l e s e s t d o n c nN .

U n é c h a n t i l l o n d e t y p e (n1, n2,...,nk) s i g n i e q u e c e t t e p a r t i e e s t c o n s t i t u é d e n1 b o u l e s

d e l a c o u l e u r 1 p r i s e p a r m i N 1, n2 b o u l e s d e l a c o u l e u r 2 p r i s e p a r m i N 2,...,nk b o u l e s d e

l a c o u l e u r k p r i s e p a r m i N k .

P r o p o s i t i o n 1 . 5 . 3 . L e n o m b r e d e c a s f a v o r a b l e s e s t : n1

N 1n2

N 2...nk

N k.

E x e r c i c e 1 . 5 .

U n s a c c o n t i e n t 4 b o u l e s r o u g e s , 2 n o i r e s e t 3 b l a n c h e s . O n t i r e d e c e s a c d e u x b o u l e s a v e c

r e m i s e . C o m b i e n y a - t - i l d e t i r a g e s c o n t e n a n t :

a ) u n e b o u l e r o u g e e t u n e b o u l e b l a n c h e ;

b ) 2 b o u l e s d e m ê m e c o u l e u r ;

c ) a u m o i n s u n e b o u l e b l a n c h e .

S o l u t i o n

N o t o n s :

•A l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t u n e b o u l e r o u g e e t u n e b o u l e b l a n c h e ;

•B l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t d e u x b o u l e s d e m ê m e c o u l e u r ;

• C l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t a u m o i n s u n e b o u l e b l a n c h e .

a ) c a r d A = 2!1!×0!×1!4

1 × 20 × 31 = 24b ) O n p e u t é c r i r e B = B1 ∪ B2 ∪ B3 ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) a v e c :

. . B1 l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t d e u x b o u l e s r o u g e s ;

. . B2 l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t d e u x b o u l e s n o i r e s ;

. . B3 l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t d e u x b o u l e s b l a n c h e s .

1 2



D o n c :

cardB = cardB1 + cardB2 + cardB3

= 2!2! × 0! × 0!

42 × 20 × 30 + 2!0! × 2! × 0!

40 × 22 × 30 + 2!0! × 0! × 2!

40 × 20 × 32

= 29

c ) C = C 1 ∪ C 2 ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) a v e c :

. . C 1 l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t u n b o u l e b l a n c h e e t u n e b o u l e r o u g e ;

. . C 2 l ' e n s e m b l e d e t i r a g e s c o n t e n a n t u n e b o u l e b l a n c h e e t u n e b o u l e n o i r e ;

. . C 3 = B3.A l o r s :

cardC = cardC 1 + cardC 2 + cardB3

=

2!

1! × 1! × 0! 4

2

× 2

1

× 3

0

+

2!

0! × 1! × 1! 4

0

× 2

1

× 3

1

+

2!

0! × 0! × 2! 4

0

× 2

0

× 3

2

= 85

E x e r c i c e 1 . 6 .

R e f a i t e l e m ê m e e x e r c i c e d a n s l e s c a s s u i v a n t s : T i r a g e s a n s r e m i s e e t T i r a g e s i m u l t a n é .

• • • • • • • • • •

1 3



C h a p i t r e 2

P r o b a b i l i t é s

C o n t e n t s

2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 2 C o n c e p t s d e b a s e d e s p r o b a b i l i t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 3 P r o b a b i l i t é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 4 P r o b a b i l i t é c o n d i t i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

2 . 5 I n d é p e n d a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

2 . 1 I n t r o d u c t i o n

L o r s q u ' u n p h é n o m è n e e s t d é t e r m i n é p a r u n e l o i c o n n u e , o n p e u t u t i l i s e r c e t t e l o i p o u r

f a i r e d e s prvisions . P a r e x e m p l e , c o n s i d é r o n s u n p o i n t m o b i l e s u r u n e d r o i t e . S i n o u s

c h o i s i s s o n s u n o r i g i n e e t u n s e n s s u r c e t t e d r o i t e , à c h a q u e i n s t a n t l e p o i n t e s t r e p é r é p a r

s o n a b s c i s s e .

M a t h é m a t i q u e m e n t , l e m o u v e m e n t e s t d o n c r e p r é s e n t é p a r u n e f o n c t i o n :

f : I −→ R

t −→ x = f (t)

P a r a p p l i c a t i o n d e d e c e t t e l o i , o n p e u t p r é v o i r e t d é t e r m i n e r l a p o s i t i o n d u m o b i l e à

c h a q u e i n s t a n t .

C e p e n d a n t t o u t e s l e s s i t u a t i o n s n e s o n t p a s a u s s i s i m p l e s : p a r e x e m p l e , d a n s u n e

p a r t i e d e p i l e o u f a c e , o n n e p e u t p a s d i r e à l ' a v a n c e s i c ' e s t p i l e q u i s o r t i r o u s i f a c e . U n

t e l p h é n o m è n e s e m b l e é c h a p p e r à t o u t e p r é v i s i o n . O n d i t q u ' i l e s t a l é a t o i r e .

L ' o b j e t d e s p r o b a b i l i t é s e s t d ' é t u d i e r , d ' u n p o i n t d e v u e t h é o r i q u e l e s p h é n o m è n e s a l é a -

t o i r e s

2 . 2 C o n c e p t s d e b a s e d e s p r o b a b i l i t é s

2 . 2 . 1 É p r e u v e

D é n i t i o n 2 . 2 . 1 . O n d i t q u ' u n e e x p é r i e n c e o u u n e é p r e u v e e s t u n e e x p e r i e n c e a l é a t o i r e

s ' e l l e e s t r é p é t é d a n s l e s m e m e s c o n d i t i o n s c o n d u i t à d e s r é s u l t a t s d i é r e n t s , d o n c d a n s

u n e e x p é r i e n c e a l é a t o i r e , o n n e s a i t p a s d ' a v a n c e l e r é s u l t a t .

1 4



E x e m p l e s

1 . S o i t l ' é p r e u v e " l a n c e r u n e p i è c e d e m o n n a i e t r o i s f o i s d a n s l ' a i r " . O n p e u t o b t e n i r

s o i t p i l e , s o i t f a c e p o u r l e p r e m i e r c a s , p u i s , s o i t p i l e , s o i t f a c e p o u r l e d e u x i è m e

l a n c e r , e t c . . .

2 . " T i r a g e d ' u n e c a r t e d ' u n j e u d e 5 2 c a r t e s "

3 . D a n s u n e u r n e o n d é p o s e s e p t b o u l e s r o u g e s , q u a t r e n o i r e s e t d e u x b o u l e s v e r t e s "

O n t i r e s u c c e s s i v e m e n t d e u x b o u l e s s a n s l e s r e m e t t r e d a n s l ' u r n e "

2 . 2 . 2 E n s e m b l e Ω d e s é v e n t u a l i t é s . É v é n e m e n t s

D é n i t i o n 2 . 2 . 2 . C o n s i d é r o n s u n e e x p é r i e n c e a l é a t o i r e . L ' e n s e m b l e d e s é v e n t u a l i t é s

a s s o c i é à c e t t e é p r e u v e e s t l ' e n s e m b l e d e s r é s u l t a t s p o s s i b l e s . O n n o t e c e t t e e n s e m b l e Ω

E x e m p l e s

1 . C o n s i d é r o n s l e j e u d e l a p i è c e l a n c é e t r o i s f o i s . O n p e u t r e p r é s e n t e r t o u t e s l e s p o s s i -

b i l i t é s à l ' a i d e d e l ' a r b r e s u i v a n t :

1

erlancer P F

2

elancer P F P F

3

elancer P F P F P F P F

D a n s c e c a s :

Ω = P P P , P P F , P F P , P F F , F P P , F P F , F F P , F F F 2 . D a n s l ' e x p é r i e n c e " l a n c e r d e u x f o i s d ' u n d é "

Ω = [1, 6]2

3 . A u j e u d e l a r o u l e t t e q u i c o n t i e n t 3 7 c h i r e s , 0 , 1 , 2 , . . . , 3 6 . L ' e s p a c e d e s é v e n t u a l i t é s

e s t :

Ω = n ∈ N/0 ≤ n ≤ 364 . L ' e s p a c e d e s é v é n e m e n t s a s s o c i é à l ' é p r e u v e " l a n c e r d ' u n e p i è c e d e m o n n a i e e t d ' u n

d é " e s t :

Ω =

P, F

×[1, 6]

D é n i t i o n 2 . 2 . 3 . S o i t Ω l ' e s p a c e d e s é v e n t u a l i t é s a s s o c i é à u n e é p r e u v e e t P (Ω) l ' e n -

s e m b l e d e s e s p a r t i e s . C h a q u e é l é m e n t d e P (Ω), c ' e s t - à - d i r e c h a q u e p a r t i e d e Ω e s t a p p e l é

é v é n e m e n t .

E x e m p l e s

D a n s l e j e u d e l a p i è c e d e m o n n a i e l a n c é e t r o i s f o i s , l ' é v é n e m e n t " p i l e s o r t e n p r e m i e r

" e s t P P P , P P F , P F P , P F F . A u j e u d e d é l ' é v é n e m e n t " r é s u l t a t p a i r " e s t 2, 4, 6.

1 5



É v é n e m e n t s p a r t i c u l i e r s

· ∅ e s t d i t é v é n e m e n t i m p o s s i b l e .

·Ω e s t d i t é v é n e m e n t c e r t a i n .

·D e u x é v é n e m e n t s A e t B s o n t d i t s d i s j o i n t s o u i n c o m p a t i b l e s s i l ' é v é n e m e n t A e t B

e s t i m p o s s i b l e , c ' e s t à d i r e A ∩ B = ∅.·

C h a q u e p a r t i e d e Ω p o s s é d a n t u n s e u l é l é m e n t ( u n s i n g l e t o n ) e s t a p p e l é é v é n e m e n t

é l é m e n t a i r e , l e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s s o n t d i s j o i n t s d e u x à d e u x .

E x e m p l e s

D a n s l e j e u d e l a p i è c e d e m o n n a i e l a n c é e t r o i s f o i s :

1 ) L ' é v é n e m e n t c a r a c t é r i s é p a r " s o r t i r c i n q f o i s p i l e " e s t i m p o s s i b l e . D e m ê m e

l ' é v é n e m e n t " o b t e n i r u n e f o i s p i l e e t d e u x f o i s p i l e " e s t i m p o s s i b l e .

2 ) L e s é v é n e m e n t s " o b t e n i r u n e f o i s p i l e " e t o b t e n i r d e u x f o i s p i l e " s o n t i n c o m p a -

t i b l e s .

2 . 3 P r o b a b i l i t é

2 . 3 . 1 D é n i t i o n s e t p r o p r i é t é s

D é n i t i o n 2 . 3 . 1 . U n e p r o b a b i l i t é p e s t u n e a p p l i c a t i o n d e P (Ω) d a n s [0, 1] q u i v é r i e :

p(∅) = 0, p(Ω) = 1

e t p o u r t o u t c o u p l e d ' é v é n e m e n t s t e l s q u e A ∩ B = ∅ o n a :

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

O n a p p e l l e e s p a c e p r o b a b i l i s é l e t r i p l e t (Ω, P (Ω), p) , s i Ω e s t n i o n d i t q u e (Ω, P (Ω), p) e s t

u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i .

E x e m p l e

O n l a n c e u n e p i è c e d e m o n n a i e u n e f o i s .

I c i Ω = P, F L ' a p p l i c a t i o n :

p : P (Ω) −→ [0, 1]P

−→12

F −→ 12

e s t u n e p r o b a b i l i t é e t (Ω, P (Ω), p) e s t u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 1 . S o i t (Ω, P (Ω), p) e s t u n e s p a c e p r o b a b i l i s é .

1 . ∀A, B ∈ P (Ω), p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

2 . ∀A, B ∈ P (Ω) t e l s q u e A ⊂ B, p(A) ≤ p(B).

3 . ∀A ∈ P (Ω), p(A) = 1 − p(A), a v e c A = A

Ω

1 6




1 . ∀A, B ∈ P (Ω) o n a :

A ∪ B) = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B)

e t l e s t r o i s p a r t i e s A − B, B − A, A ∩ B s o n t d e u x à d e u x d i s j o i n t e s .

O n a d o n c :

p(A ∪ B) = p(A − B) + p(B − A) + p(A ∩ B)

D ' a u t r e p a r t :

A = (A − B) ∪ (A ∩ B) e t (A − B) ∩ (A ∩ B) = ∅

B = (B − A) ∪ (A ∩ B) e t (B − A) ∩ (A ∩ B) = ∅

O n a a l o r s :

p(A) = p(A − B) + p(A ∩ B)

p(B) = p(B − A) + p(A ∩ B)

E n p o r t a n t l e s v a l e u r s p(A − B) e t d e p(B − A) d a n s ( 1 ) , o n a :

p(A

∪B) = p(A)

− p(A

∩B) + p(B)

− p(A

∩B) + p(A

∩B)

d ' o ù :

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

2 . S o i t A, B ∈ P (Ω) t e l s q u e A ⊂ B.

O n a : B = A ∪ AΩ = A ∪ (B − A) e t A e t B − A s o n t d i s j o i n t s , d o n c :

p(B) = p(A) + p(B − A) ≥ p(A) (carp(B − A) ≥ 0)

3 . Ω = A ∪ A, d o n c

1 = p(Ω) = p(A) + p(A)

D é n i t i o n 2 . 3 . 2 . S o i t (Ω, P (Ω), p) u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i , p o s o n s Ω = a1, a2,...,an.O n d i t q u e l e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s s o n t é q u i p r o b a b l e s s i t o u s l e s p(ai) s o n t é g a u x .

P r o p o s i t i o n 2 . 3 . 2 . S o i t (Ω, P (Ω), p) e s t u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i t e l q u e l e s é v é n e m e n t s

é l é m e n t a i r e s s o i e n t é q u i p r o b a b l e s . O n a a l o r s :

· ∀a ∈ Ω, p(a) = 12

· S i A = ai1 , ai2 ,...,aip ⊂ Ω, p(A) = pn = cardA

cardΩ = nombre de cas f avorablesnombre de cas possibles

1 7



P r e u v e :

· O n a : Ω = a1, a2,...,an, d o n c :

1 = p(a1) + p(a2) + ... + p(an), d ' o ù ∀i, p(ai) = 1

n

· p(A) = p(ai1 , ai2 ,...,aip) = k. 1n = kn

E x e m p l e s

1 . L ' e x e m p l e d e j a é t u d i e r d ' u n e p a r t i e d e p i l e o u f a c e t r o i s l a n c e r s e s t u n c a s p a r t i c u l i e r

o ù l e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s s o n t é q u i p r o b a b l e s .

2 . C o n s i d é r o n s l e j e t d ' u n d é à s i x f a c e s n u m é r o t é s d e 1 à 6 . S i l e d é à u n e f o r m e

r é g u l i è r e ( c u b e ) e t s ' i l e s t f a i t d ' u n e m a t i è r e h o m o g è n e , c h a q u e n u m é r o a l a m ê m e

p r o b a b i l i t é , c ' e s t

16 . c e p e n d a n t o n p e u t f a b r i q u e r d e s d é s o ù l e c e n t r e d e g r a v i t é

n ' e s t p a s à l a m ê m e d i s t a n c e d e c h a q u e f a c e . D a n s c e c a s i l f a u d r a r e j e t e r l ' h y p o t h è s e

d ' é q u i p r o b a b i l i t é .

3 . S i o n l a n c e u n d é t r u q u é c o m p o r t e l e s n u m é r o s 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, d a n s c e c a s Ω =1, 2, 3, 4, 5 m a i s l e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s n e s o n t p a s é q u i p r o b a b l e s : l a p r o b a -

b i l i t é d e s o r t i r 6 e s t l e d o u b l e d e c e l l e s o r t i r 1 .

2 . 3 . 2 E x e r c i c e s r é s o l u s

E x e r c i c e 2 . 1 .

p e s t u n e p r o b a b i l i t é d é n i e s u r l ' u n i v e r s Ω =

ω1

, ω2

, ω3

, ω4

, ω5

, ω6

. L e t a b l e a u c i - d e s s o u s

i n d i q u e l e s p r o b a b i l i t é s d e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s :

ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6

pi415 x 1

4112

112 y

C a l c u l e r x e t y , p o u r q u e :

p(ω1, ω2, ω3) = 2 p(ω4, ω5, ω6).

O n a d ' u n e p a r t :

415

+ x + 14

+ 112

+ 112

+ y = 1 o u x + y = 1960

d ' a u t r e p a r t :

4

15+ x +

1

4= 2(

1

12+

1

12+ y) o u

31

60+ x =

1

3+ 2y

L ' u n i q u e s o l u t i o n e s t x = 320 e t y = 1

6

1 8



E x e r c i c e 2 . 2 .

p e s t u n e p r o b a b i l i t é s u r l ' u n i v e r s Ω. A e t B s o n t d e u x é v é n e m e n t s t e l s q u e :

p(A) =1

3 , p(B) =2

5e t p(A ∩ B) =

1

6

C a l c u l e r p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(B ∩ A), p(A ∩ B).

· A ∩ B e t A ∩ B s o n t d e u x é v é n e m e n t s i n c o m p a t i b l e s d o n t l a r é u n i o n e s t A , d o n c :

p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B),

d ' o ù :

p(A ∩ B) =1

3− 1

6=

1

6

· p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), d ' o ù :

p(A ∪ B) =17

30

· p(B ∩ A) + p(B ∩ A) = p(B) , d o n c p(B ∩ A) = 730

· A ∩ B = A ∪ B , d o n c p(A ∩ B) = 1 − p(AB) = 1330 .

E x e r c i c e 2 . 3 .

O n l a n c e d e u x f o i s d e s u i t e u n e p i è c e d e m o n n a i e . D é t e r m i n e r l ' e n s e m b l e Ω p o u r c e j e u ,

p u i s P (Ω) e t i n d i q u e r p o u r c h a q u e p a r t i e d e Ω l a p r o b a b i l i t é a s s o c i é e .

I l e s t c l a i r q u e

Ω = P, F × P, F = (P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )

e t

P (Ω) = A ∪ B ∪ C ∪ D

a v e c

A = ∅, Ω

B =

(P, P )

,

(P, F )

,

(F, P )

,

(F, F )

C = (P, P ), (P, F ), (P, P ), (F, P ), (P, P ), (F, F ), (P, F ), (F, P ), (P, F ), (F, F ), (F, P ), (F, F

D = (P, P ), (P, F ), (F, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F ), (F, F ), (P, P ), (P, F ), (F, F ), (P, P ), (F, P )O n s u p p o s e q u e l e s d e u x d é s n e s o n t p a s t r u q u é s , d o n c , p a r é q u i p r o b a b i l i t é , o n a :

∀E ∈ P (Ω), p(E ) = cardE 24

, d ' o ù :

p(∅) = 0 e t p(Ω) = 1

∀E ∈ B, p(E ) =1

16

1 9



∀E ∈ C, p(E ) =2

16

∀E

∈D, p(E ) =

3

16

E x e r c i c e 2 . 4 .

U n e u r n e c o n t i e n t 1 b o u l e n o i r e , 2 b o u l e s r o u g e s , 3 b o u l e s v e r t e s .

1 . O n p r é l è v e s u c c e s s i v e m e n t e t s a n s r e m i s e d e u x b o u l e s d e l ' u r n e e t o n n o t e l e u r c o u -

l e u r . O n s u p p o s e q u e t o u s l e s t i r a g e s s o n t é q u i p r o b a b l e s . Q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é d e s

é v é n e m e n t s s u i v a n t s : A : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s v e r t e s ” B : ” o b t e n i r a u m o i n s u n e

b o u l e r o u g e ” C : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s d e c o u l e u r s d i é r e n t e s ”.

2 . M ê m e s q u e s t i o n s q u ' a u 1 ) O n p r é l è v e s u c c e s s i v e m e n t d e u x b o u l e s a v e c r e m i s e ( l a

p r e m i è r e e s t r e m i s e d a n s l ' u r n e a v a n t l e t i r a g e d e l a d e u x i è m e ) .

3 . M ê m e s q u e s t i o n s , e n s u p p o s a n t q u e l ' o n p r é l è v e d e u x b o u l e s s i m u l t a n é m e n t .

S o l u t i o n

P o u r d i s t i n g u e r l e s b o u l e s d e m ê m e c o u l e u r , o n s u p p o s e q u e l e s b o u l e s s o n t n u m é r o t é e s

N 1, R2, R3, V 4, V 5, V 6.

1 . S o i t Ω l ' u n i v e r s a s s o c i é à c e p r e m i e r t y p e d e t i r a g e , d o n c c a r d Ω e s t l e n o m b r e d ' a r -

r a n g e m e n t s d e d e u x é l é m e n t s ( l e s d e u x b o u l e s t i r é e s ) d ' u n e n s e m b l e à s i x é l é m e n t s

( s i x b o u l e s d a n s l ' u r n e ) d o n c c a r d

Ω=

A26 = 6 × 5 = 30.· P o u r q u e A s o i t r é a l i s a b l e i l f a u t t i r e r d e u x b o u l e s v e r t e s s u c c e s s i v e m e n t e t s a n s

r e m i s e , l ' u r n e c o n t i e n t t r o i s b o u l e s v e r t e s , d o n c c a r d A= 3 × 2 = 6.

D ' o ù :

p(A) =6

30=

1

5

· D e m ê m e p(B) = 1 − p(B), B : ” a u c u n e b o u l e r o u g e ”. P o u r q u e B s o i t r é a l i -

s a b l e i l f a u t t i r e r l e s d e u x b o u l e s , s u c c e s s i v e m e n t e t s a n s r e m i s e , p a r m i l e s 4 b o u l e s

N 1, V 4, V 5, V 6. d o n c c a r d B = 4 × 3 = 12

D ' o ù

p(B) = 1

− p(B) = 1

−

12

30

=3

5· p(C ) = 1 − p(C ) a v e c C : ” d e u x b o u l e s d e m ê m e s c o u l e u r s ”

C = C 1 ∪ C 2 ( r é u n i o n d i s j o i n t e )

a v e c : C 1 : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s v e r t e s ” C 2 : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s r o u g e ” d o n c

c a r d C = 2 × 1 + 3 × 2 = 8 e t

p(C ) = 1 − 8

30=

11

15

2 0



2 . I c i c a r d Ω e s t l e n o m b r e d ' a p p l i c a t i o n d ' u n e n s e m b l e d e s i x é l é m e n t s d a n s u n e n s e m b l e

à 2 é l é m e n t s , d o n c c a r d Ω = 62 = 36.

D e f a ç o n s i m i l a i r e , o n t r o u v e c a r d A = 3

×3 = 9 e t c a r d B = 4

×4

P o u r C, o n a C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) a v e c :

C 1 : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s v e r t e s ”

C 2 : ” o b t e n i r d e u x b o u l e s r o u g e ”

C 3 " o b t e n i r d e u x b o u l e s n o i r e s "

D ' o ù

cardC = cardC 1 + cardC 2 + cardC 3 = 3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 = 14

A i n s i

p(A) =9

36

=1

4

, p(B) = 1

−

16

36

=5

9

, e t p(C ) = 1

− p(C ) = 1

−

14

36

=11

18

.

3 . O n o b t i e n t e x a c t e m e n t l e s m ê m e s r é s u l t a t s q u ' à l a q u e s t i o n 1 ) ; l ' o r d r e d e s b o u l e s

t i r é e s n ' i n t e r v i e n t p a s ; c a r d Ω = 26 = 15, d o n c i l y a 15 i s s u e s p o s s i b l e s d o n t 3r é a l i s e n t A, 6 r é a l i s a n t B e t 4 r é a l i s a n t C.

E x e r c i c e 2 . 5 .

E s t - i l p r o b a b l e d ' a m e n e r a u m o i n s u n e f o i s u n s i x a v e c u n d é e n q u a t r e c o u p s q u e d ' a m e n e r

u n d o u b l e s i x a u m o i n s u n e f o i s a v e c d e u x d é s e n 2 4 c o u p s ? ( O n s u p p o s e q u e l e s d é s n e

s o n t p a s t r u q u é s )

S o l u t i o n

A v e c u n d é :

L ' e x p é r i e n c e c o n s i s t e à l a n c e r q u a t r e f o i s u n d é e t à n o t e r l e s n u m é r o s o b t e n u s ; Ω e s t

l ' e n s e m b l e 1, 2, 3, 4, 5, 64, d o n c c a r d Ω = 64.

S o i t A l ' é v é n e m e n t : " o b t e n i r a u m o i n s u n e f o i s 6 " ; a l o r s A = 1, 2, 3, 4, 54d o n c c a r d A = 54 e t p(A) = 1 − 54

64 = 0. 5177A v e c d e u x d é s ( u n b l e u e t u n n o i r ) :

L ' e x p é r i e n c e c o n s i s t e à l a n c e r 2 4 f o i s l e s d e u x d é s e t à n o t e r l e s c o u p l e s (b, n) o b t e n u s ;

b d é s i g n e l e n u m é r o o b t e n u a v e c l e d é b l e u e t n a v e c l e d é n o i r . I l y a 62 = 36 c o u p l e s

p o s s i b l e s e t c a r d Ω = 3624 . S o i t B l ' é v é n e m e n t : ” o b t e n i r a u m o i n s u n e f o i s u n d o u b l e 6”;c a r d B = 3524 d o n c p(B) = 1 − 3524

3624 = 0. 4914C o n c l u s i o n :

I l e s t p l u s p r o b a b l e d ' a m e n e r a u m o i n s u n e f o i s u n s i x a v e c u n d é e n q u a t r e c o u p s q u e

d ' a m e n e r u n d o u b l e s i x a u m o i n s u n e f o i s a v e c d e u x d é s e n 2 4 c o u p s .

2 1



2 . 4 P r o b a b i l i t é c o n d i t i o n n e l l e

2 . 4 . 1 D é n i t i o n s e t p r o p r i é t é s

P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 1 . S o i t (Ω, P (Ω), p) u n e s p a c e p r o b a b i l i s é e t B u n é v é n e m e n t d e p r o b a -

b i l i t é n o n n u l l e . l a p r o b a b i l i t é d e A s a c h a n t q u e B e s t r é a l i s é e s t l e n o m b r e n o t é p(A/B)

o u pB(A), d o n n é p a r p(A/B) = p(A∩B) p(B) .

L ' a p p l i c a t i o n : pB

: P (Ω) −→ [0, 1] e s t u n e p r o b a b i l i t é s u r Ω : C ' e s t l a p r o b a b i l i t é

c o n d i t i o n n e l l e s a c h a n t B .


• pB

(Ω) = p(Ω∩B) p(B) = p(B)

p(B) = 1

• ∀A, A ⊂ Ω, t e l s q u e A ∩ A = ∅ o n a :

pB

(A

∩A) = p[(A∩A)∩B]

p(B) = p[(A∩B)∩(A∩B)] p(B) = p(A∩B)

p(B) + p(A∩B) p(B) = p

B(A) + p

B(A)

E x e m p l e

O n t i r e u n e c a r t e d ' u n j e u d e 3 2 c a r t e s :

♠ 1 R D V 10 9 8 7

♥ 1 R D V 10 9 8 7

♦ 1 R D V 10 9 8 7

♣ 1 R D V 10 9 8 7

O n c o n s i d é r e l e s t r o i s é v é n e m e n t s :

R : ” tirer un roi ”

T : ” tirer un trefle ”R ∩ T : ”tirer un roi de trefle ”I c i c a r d Ω = 32 p(T ) = 8

32 = 14 , p(R ∩ T ) = 1

32 e t

p(R∩T ) p(T ) = 1

8O n a r r i v e m a i n t e n a n t à s a v o i r , a v a n t d e d é c o u v r i r l a c a r t e , q u ' i l s ' a g i t d ' u n t r è e . D a n s

c e c a s l ' e s p a c e d e s é v é n e m e n t s e s t Ω = 1,R,D,V, 10, 9, 8, 7 ( l e s h u i t c a r t e s d e t r è e )

D o n c t i r e r u n r o i d a n s c e s c o n d i t i o n s - l à e s t u n é v é n e m e n t d e Ω. C ' e s t t i r e r u n r o i

s a c h a n t q u e l ' o n t i r é u n t r è e . C e t é v é n e m e n t e s t n o t é R/T e t p(R/T ) = 18

O n a b i e n p(R/T ) =p(R∩T )

p(T ) .

R e m a r q u e s

· I l e s t p a r f o i s a i s é d e d é t e r m i n e r

p(A/B). O n p e u t a l o r s d é d u i r e

P (A ∩ B)e n é c r i v a n t

P (A ∩ B) = P (A/B) × P (B).· D e m ê m e , s i P (A) = 0, P (A ∩ B) = P (B/A) × P (A).

P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 2 . S o i t A e t B d e u x é v é n e m e n t s d ' u n e s p a c e p r o b a b i l i s é (Ω, P (Ω), p) t e l s

p(A) = 0 e t p(B) = 0, i l y a é q u i v a l e n c e e n t r e l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

1 . P (A/B) = P (A)

2 . P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

3 . P (B/A) = P (B).

2 2



2 . 4 . 2 F o r m u l e d e s p r o b a b i l i t é s t o t a l e s

D é n i t i o n 2 . 4 . 1 . S o i t A1, A2,...,An d e s é v é n e m e n t s d ' u n e s p a c e Ω. O n d i t q u e A1, A2,...,An

f o r m e n t u n e p a r t i t i o n d e Ω s i :

1 ) ∀i ∈ 1, 2,...,n, Ai = ∅.

2 ) ∀i, j ∈ 1, 2,...,n, s i i = j a l o r s Ai ∩ A j = ∅

3 ) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω

E x e m p l e

D a n s u n e u r n e o n d é p o s e 7 b o u l e s r o u g e s , 4 b o u l e s n o i r e s e t 2 b o u l e s v e r t e s . O n t i r e

s u c c e s s i v e m e n t d e u x b o u l e s s a n s l e s r e m e t t r e d a n s l ' u r n e . P o u r i = 1 o u 2, o n n o t e : Ri

l ' é v é n e m e n t ” t i r e r u n e b o u l e r o u g e a u iemet i r a g e ” N i l ' é v é n e m e n t ” t i r e r u n e b o u l e n o i r e

a u iemet i r a g e ” V i l ' é v é n e m e n t ” t i r e r u n e b o u l e v e r t e a u ieme

t i r a g e ” O n a :

1 ) R1 = ∅, N 1 = ∅, V 1 = ∅2 )

R1 ∩ N 1 = ∅, V 1 ∩ R1 = ∅, N 1 ∩ V 1 = ∅3 ) R1 ∪ N 1 ∪ V 1 = ΩN 1, V 1, R1 f o r m e n t u n e p a r t i t i o n d e Ω.D e m ê m e N 2, V 2, R2 f o r m e n t u n e p a r t i t i o n d e Ω.

P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 3 . ( F o r m u l e d e s p r o b a b i l i t é s t o t a l e s )

S o i t A u n é v é n e m e n t d ' u n e s p a c e p r o b a b i l i s é (Ω, P (Ω), p) e t A1, A2,...,An d e s é v é n e -

m e n t s f o r m a n t u n e p a r t i t i o n d e Ω. A l o r s :

p(A) =i=ni=1

p(A/Ai) × p(Ai)

P r e u v e :

p(A) = p(A ∩ Ω) c a r A ⊂ Ω

= p(A ∩ (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)

= p((A ∩ A1) ∪ (A ∩ A2) ∪ ... ∪ (A ∩ An))

= p(A ∩ A1) + p(A ∩ A2) + ... + p(A ∩ An)) c a r A1, A2,...,An s o n t d e u x à d e u x d i s j o i n t s

= p(A/A1) × p(A1) + ... + p(A/An) × p(An) c a r p(A ∩ B) = p(A) × p(B).

E x e m p l e

U n i n d i v i d u e s t c h o i s i a u h a s a r d d a n s u n e p o p u l a t i o n p o s s é d a n t l a p r o p o r t i o n p ∈]0, 1[d e t r i c h e u r s . O n f a i t t i r e r u n e c a r t e d ' u n j e u d e 5 2 c a r t e s c e t i n d i v i d u e t o n a d m e t q u e s i

c e t i n d i v i d u e s t u n t r i c h e u r i l e s t s u r d e r e t o u r n e r u n a s . Q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é q u e c e t

i n d i v i d u r e t o u r n e u n a s ?

S o i t T l ' é v é n e m e n t ” l ' i n d i v i d u c h o i s i e s t u n t r i c h e u r ”, e t A l ' é v é n e m e n t ” l ' i n d i v i d u

r e t o u r n e u n a s ” .

2 3



O n a :Ω = T ∪ T ,

a i n s i :

p(A) = p(T ) p(A/T ) + p(T ) p(A/T )

= p.1 + (1 − p).1

13

=1 + 12 p

13

( p(A/T ) = 113 , s i l ' i n d i v i d u n e t r i c h e , i l 4 c h a n c e s s u r 5 2 d e r e t o u r n e r u n a s )

P r o p o s i t i o n 2 . 4 . 4 . ( F o r m u l e d e B a y e s )

S o u s l e s m ê m e s c o n d i t i o n s d e l a p r o p o s i t i o n p r é c é d e n t e , s i d e p l u s p(B) > 0, o n a , p o u r

t o u t e n t i e r k

∈ 0, 1,...,n

, l ' i d e n t i t é :

p(Ak/B) =p(B/Ak) × p(Ak)

i=ni=1

p(B/Ai) × p(Ai)

P r e u v e :

∀k ∈ 0, 1,...,n, o n p e u t é c r i r e :

p(Ak/B) =p(B ∩ Ak)

p(B)

=p(B/Ak) p(Ak)

i=ni=1

p(B/Ai) × p(Ai)

E x e m p l e

U n m a î t r e e t s o n é l è v e t i r e n t à l ' a r c s u r u n e c i b l e . L a p r o b a b i l i t é p o u r q u e l ' a r c a i l l e

à l ' é l è v e e s t 0.8 ; d a n s c e c a s , l a p r o b a b i l i t é q u e l a è c h e a i l l e a u b u t e s t 0.5. P a r c o n t r e ,

s i l a è c h e e s t t i r é e p a r l e m a î t r e , l a p r o b a b i l i t é d e s u c c è s e s t 0.7 . U n e è c h e p a r t a u b u t ;

q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é q u ' e l l e a i t é t é t i r é e p a r l e m a î t r e ?

N o t o n s :

A l ' a r c v a a u m a î t r e

B l a è c h e v a a u b u t

D o n c l a p r o b a b i l i t é d e m a n d é e e s t l a p r o p b a b i l i t é c o n d i t i o n n e l l e p(A/B).

p(A/B) = p(B/A) p(A)

p(B/A) p(A) + p(B/A) p(A)

d ' o ù p(A/B) = 0.7×0.20.7×0.2+0.5×0.8 = 0.2592

2 4



2 . 5 I n d é p e n d a n c e

S o i t A e t B d e u x é v é n e m e n t s d e p r o b a b i l i t é s n o n n u l l e s .

R e m a r q u o n s q u e s i l a r é a l i s a t i o n d e l ' é v é n e m e n t

B ( p(B) = 0)n ' a g i t p a s s u r l a p r o b a -

b i l i t é d e l a r é a l i s a t i o n d e l ' é v é n e m e n t A ( p(A) = 0), c ' e s t à d i r e p(A/B) = p(A) , a l o r s l a

f o r m u l e d e s p r o b a b i l i t é s c o m p o s é e s d e v i e n t :

p(A ∩ B) = p(A) × p(B)

D é n i t i o n 2 . 5 . 1 . D e u x é v é n e m e n t s A e t B d ' u n e s p a c e p r o b a b i l i s é (Ω, P (Ω), p) s o n t d i t s

i n d é p e n d a n t s s i p(A ∩ B) = p(A) × p(B) .

R e m a r q u e s

·L ' i n d é p e n d a n c e e s t u n e r e l a t i o n s y m é t r i q u e e n t r e l e s é v é n e m e n t s .

· S i

p(A) = 0o u

p(B) = 0, l e s d e u x é v é n e m e n t s s o n t i n d é p e n d a n t s

( p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0)

E x e m p l e s

1 . O n t i r e u n e c a r t e d ' u n j e u d e 3 2 c a r t e s . O n c o n s i d è r e l e s t r o i s é v é n e m e n t s :

R : ” t i r e r u n r o i ”

T : ” t i r e r u n t r è e ”

R ∩ T : ”t i r e r u n r o i d e t r è e ”

L e s é v é n e m e n t s R : ” t i r e r u n r o i ” e t T : ” t i r e r u n t r è e ” s o n t i n d é p e n d a n t s , e n

e e t :

p(R) =

1

8 , p(T ) =

1

4 et p(R ∩ T ) =

1

32 ,

d o n c

p(R ∩ T ) = p(R) × p(T ).

A u t r e m e n t d i t , s a v o i r o u n o n q u e T e s t r é a l i s é n ' i n t e r v i e n t p a s d a n s l a p r o b a b i l i t é

d e R.

2 . C o n s i d é r o n s l e s d i é r e n t e s r é p a r t i t i o n s p o s s i b l e s d e s s e x e s d e s e n f a n t s d ' u n e f a m i l l e

a y a n t n e n f a n t s .

C o n s i d é r o n s l ' é v é n e m e n t M : l a f a m i l l e a d e s e n f a n t s d e d e u x s e x e s e t l ' é v é n e m e n t

F : l a f a m i l l e a a u p l u s u n e l l e .

N o t o n s n l ' e n s e m b l e d e c e s r é p a r t i t i o n s . c a r d n = 2n.

C a s : n = 2

2 = (G, G), (G, F ), (F, G), (F, F )A l o r s

M = (G, F ), (F, G), F = (G, G), (G, F ), (F, G) e t M ∩ F = M

d ' o ù

2 5



p(M ) =2

4=

1

2, p(F ) =

3

4, p(M ∩ F ) =

1

2

d ' o ù

p(M ∩ F ) = p(M ).p(F ), M e t

F n e s o n t p a s i n d é p e n d a n t s d a n s c e c a s .

C a s : n = 3

O n a d a n s c e c a s :

3 = (G,G,G), (G,G,F ), (G,F,F ), (F,G,F ), (F,G,G), (F,F,G), (G,F,G), (F,F,F )

M = (G,G,F ), (G,F,F ), (F,G,F ), (F,G,G), (F,F,G), (G,F,G)F = (G,G,G), (G,G,F ), (F,G,G), (G,F,G)

e t

M ∩ F = (G,G,F ), (F,G,G), (G,F,G)d ' o ù

p(M ) =6

8=

3

4, p(F ) =

4

8=

1

2, p(M ∩ F ) =

3

8

D a n s c e c a s p(M ∩ F ) = p(M ).p(F ). M e t F s o n t i n d é p e n d a n t s .

E x e r c i c e 2 . 6 .

M o n t r e r q u e , p o u r n > 3, M e t F n e s o n t p a s i n d é p e n d a n t s .

P r o p o s i t i o n 2 . 5 . 1 . S o i e n t A e t B d e u x é v é n e m e n t s d ' u n e s p a c e p r o b a b i l i s é (Ω, P (Ω), p).

S i A e t B s o n t i n d é p e n d a n t s , a l o r s A e t B s o n t i n d é p e n d a n t s . D e m ê m e p o u r l e s é v é n e m e n t s

A e t B e t p o u r l e s é v é n e m e n t s A e t B.

P r e u v e :

O n a A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) e t c e t t e r é u n i o n e s t d i s j o i n t e , d ' o ù

p((A ∩ B) = p(A) − p(A ∩ B)

= p(A) − p(A).p(B)

= p(A)(1 − p(B))

= p(A).p(B)

d o n c l e s é v é n e m e n t s A e t B s o n t i n d é p e n d a n t s , e t p a r s y m é t r i e A e t B s o n t a u s s i i n d é p e n -

d a n t s . C o m m e B e t A s o n t i n d é p e n d a n t s . a l o r s B e t A s o n t i n d é p e n d a n t s .

D é n i t i o n 2 . 5 . 2 . S o i t (Ak)1≤k≤n u n e s u i t e n i e d ' é v é n e m e n t s d ' u n e s p a c e p r o b a b i l i s é

(Ω, P (Ω), p). O n d i t q u e l e s é v é n e m e n t s A1, A2,...,An s o n t m u t u e l l e m e n t i n d é p e n d a n t s s i

p o u r t o u t e s u i t e n i e Ai1 , Ai2 ,...,Aik d ' é v é n e m e n t s d i s t i n c t s , o n a :

p(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik) = p(Ai1).p(Ai2).....p(A)ik

2 6



R e m a r q u e

S i l e s é v é n e m e n t s A1, A2,...,An s o n t m u t u e l l e m e n t i n d é p e n d a n t s , a l o r s i l s s o n t i n d é -

p e n d a n t s d e u x à d e u x , m a i s l a r é c i p r o q u e e s t e s t f a u s s e e n g é n é r a l . V o i c i u n c o n t r e e x e m p l e .

E x e m p l e

O n l a n c e d e u x d é s n o n t r u q u é s d o n t l e s r é s u l t a t s s o n t n o t é s a e t b . C o n s i d é r o n s l e s

é v é n e m e n t s s u i v a n t s A = a p a i r , B = b i m p a i r e t C = a e t b d e m ê m e p a r i t é O n

a : p(A) = p(B) = p(C ) = 12 e t p(A ∩ B) = p(A ∩ C ) = p(B ∩ C ) = 1

4 d o n c A, B e t

C s o n t d e u x à d e u x i n d é p e n d a n t s , m a i s p(A ∩ B ∩ C ) = 0 = 18 : A, B e t C n e s o n t p a s

m u t u e l l e m e n t i n d é p e n d a n t s .

• • • • • • • • •

2 7



C h a p i t r e 3

V a r i a b l e s a l é a t o i r e s r é e l l e s

C o n t e n t s

3 . 1 L o i d e p r o b a b i l i t é d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 2 C a r a c t é r i s t i q u e s d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 3 L o i s u s u e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

3 . 4 C o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 1 L o i d e p r o b a b i l i t é d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e

3 . 1 . 1 v a r i a b l e s a l é a t o i r e s

D é n i t i o n 3 . 1 . 1 . O n a p p e l l e v a r a i b l e a l é a t o i r e r é e l l e ( e n a b r é g é v . a . r ) t o u t e a p p l i c a t i o n

d e

Ωd a n s

R.

N o t a t i o n s

S o i t X u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e r é e l l e d e Ω d a n s R :

1 . X −1(x) = ω ∈ Ω/X (ω) = xs e n o t e X = x.

2 . X −1(]a, +∞[) = ω ∈ Ω/X (ω) > a s e n o t e X > a.

3 . X −1([a, b[) = ω ∈ Ω/a ≤ X (ω) < bs e n o t e a ≤ X ≤ b.

4 . X −1(] − ∞, a]) ∩ X −1(] − ∞, b]) s e n o t e (X ≤ a, X ≤ b) .

E x e m p l e s

1 . O n l a n c e u n e p i è c e d e m o n n a i e , l ' u n i v e r s a s s o c i é à c e t t e e x p é r i e n c e e s t Ω = P, F ,

s o i t X l a v a r i a b l e d é n i e p a r X (P ) = 1 e t X (F ) = 0, a l o r s

p(X = 0) = p(X = 1) =1

2

2 . S o i t u n e u r n e à d e u x c a t é g o r i e s c o n t e n a n t d e s b o u l e s b l a n c h e s e n p r o p o r t i o n p e t

d e s b o u l e s n o i r e s e n p r o p o r t i o n 1 − p. O n t i r e d e c e t t e u r n e n b o u l e s a v e c r e m i s e , à

c h a q u e t i r a g e ω d e n b o u l e s o n p e u t f a i r e c o r r e s p o n d r e l e n o m b r e X (ω) d e s b o u l e s

b l a n c h e s o b t e n u e s . D a n s c e c a s o n a X (Ω) = [0, n].

2 8



3 . U n t o u r n o i d e f o o t b a l l s e j o u e e n t r e q u a t r e é q u i p e s . C h a q u e é q u i p e d o i t r e n c o n t r e r

u n e f o i s e t u n e f o i s s e u l e m e n t l e s t r o i s a u t r e s . À c h a q u e m a t c h , o n a t t r i b u e 2 p o i n t s

à l ' é q u i p e g a g n a n t e , 0 p o i n t à l ' é q u i p e p e r d a n t e e t 1 p o i n t à c h a q u e é q u i p e s ' i l y a

m a t c h n u l .

S o i t X l e n o m b r e d e p o i n t s m a r q u é s p a r u n e é q u i p e d o n n é e à l a n d u t o u r n o i . I c i

X (Ω) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3 . 1 . 2 L o i d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e

P r o p o s i t i o n 3 . 1 . 1 . ( e t d é n i t i o n ) S o i t X u n e v . a . r d é n i e s u r (Ω, P (Ω), p), a l o r s

l ' a p p l i c a t i o n :

pX : X (Ω) −→ [0, 1]a

−→p(X = a)

e s t u n e p r o b a b i l i t é s u r X (Ω), s ' a p p e l l e l a l o i d e p r o b a b i l i t é d e X . O n d i t a u s s i q u e l a v . a . r

X s u i t l a l o i d e p r o b a b i l i t é pX .


• O n a :

X (Ω) =

a∈Ω

(X = a)

d o n c

pX (X (Ω)) =a∈Ω

p(X = a) = 1

• S o i e n t B e t Bd e u x p a r t i e s d i s j o i n t e s d e X (Ω) , d o n c i l s e x i s t e n t d e u x p a r t i e s d i s j o i n t e s

A e t Ad e Ω t e l s q u e : X (A) = B e t X (A) = B

, d o n c :

pX (B ∪ B) = p(

a∈B∪B

X = a)

= p(A ∪ A)

= p(A) + p(A)

= p(X −1(A)) + p(X −1(A))

= pX (B) + pX (B)

E x e m p l e

U n s a c c o n t i e n t s i x j e t o n s : d e u x j e t o n s p o r t e n t l e n u m é r o 1 ; t r o i s p o r t e n t l e n u m é r o

2 ; u n j e t o n p o r t e l e n u m é r o 3 .

O n s u p p o s e q u e l e s j e t o n s o n t m ê m e p r o b a b i l i t é d ' a p p a r i t i o n .

O n t i r e s i m u l t a n é m e n t t r o i s j e t o n s d u s a c . S o i t X l a v . a . r a s s o c i é e à l a s o m m e d e s

n o m b r e s p o r t é s p a r l e s j e t o n s t i r é s .

2 9



D é t e r m i n e r l a l o i d e X .

L ' u n i v e r s Ω a s s o c i é à c e t t e é p r e u v e e s t l ' e n s e m b l e d e s p a r t i e s à t r o i s é l é m e n t s ( j e t o n s )

p a r m i l e s s i x q u e c o n t i e n t l e s a c .

D ' o ù :

cardΩ = 36 = 20

O n p e u t a v o i r d e s t y p e s d ' é v e n t u a l i t é s s u i v a n t s :

1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3

D o n c X p r e n d l e s v a l e u r s : 4, 5, 6, 7, c ' e s t - à - d i r e X (Ω) = 4, 5, 6, 7.

p(X = 4) =22

13

20=

3

20

p(X = 5) =12

23 + 22

11

20

=7

20 p(X = 6) =

1213

11 + 33

20=

7

20

p(X = 7) =23

11

20=

3

20

L a l o i d e p r o b a b i l t é d e X s e r é s u m e d a n s l e t a b l e a u s u i v a n t :

xi ∈ X (Ω) 4 5 6 7

p(X = xi) 320

720

720

320

3 . 2 C a r a c t é r i s t i q u e s d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e

3 . 2 . 1 F o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n

D é n i t i o n 3 . 2 . 1 . S o i t X u n e v . a . r d é n i e s u r u n e s p a c e p r o b a b i l i s é (Ω, P (Ω), p), o n a p -

p e l l e f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e d e X l a f o n c t i o n n u m é r i q u e F X d é n i e s u r R p a r :

∀x ∈ R, F X (x) = p(X ≤ x)

E x e r c i c e 3 . 1 .

U n s a c c o n t i e n t 3 b o u l e s r o u g e s e t 3 b o u l e s v e r t e s . O n t i r e u n e à u n e l e s 6 b o u l e s d u s a c (

s a n s r e m i s e )

S o i t X l a v . a . r q u i à c h a q u e t i r a g e d e s s i x b o u l e s a s s o c i e l e n o m b r e d e b o u l e s v e r t e s

t i r é e s a v a n t l ' a p p a r i t i o n , p o u r l a p r e m i è r e f o i s , d ' u n e b o u l e r o u g e .

1 ) Q u e l l e s s o n t l e s v a l e u r s p r i s e s p a r X ?

2 ) Q u e l l e e s t l a l o i d e X ?

3 ) D é n i r l a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e X .

3 0



S o l u t i o n

1 . L e r é s u l t a t d e c e t t e é p r e u v e e s t u n e p e r m u t a t i o n d e s 6 b o u l e s e t , s i o n d é s i g n e p a r

Ω l ' u n i v e r s d e s é v e n t u a l i t é s , a l o r s :

cardΩ = 6!

I l e s t é v i d e n t q u e X (Ω) = 0, 1, 2, 3 ( c a r l a p r e m i è r e b o u l e r o u g e p e u t a p p a r a î t r e

a u 1ert i r a g e ( a l o r s X = 0) , o u a u 2me

t i r a g e ( a l o r s X = 1 ) , o u a u 3met i r a g e ( a l o r s

X = 2) o u a u 4met i r a g e ( a l o r s X = 3) )

2 . p(X = 0) = p(E 0)

E 0 é t a n t l ' é v é n e m e n t c o n s t i t u é d e s p e r m u t a t i o n s d e s 6 b o u l e s d u s a c o ù u n e r o u g e

g u r e e n 1erp o s i t i o n , d o n c

cardE 0 = 135!

(13

e s t l e n o m b r e d e c h o i x d e l a b o u l e r o u g e t i r é l a

1

f o i s ,

5!e s t l e n o m b r e d e

p e r m u t a t i o n s d e s 5 a u t r e s b o u l e s ) , a l o r s :

p(X = 0) =135!

6!=

1

2

p(X = 1) = p(E 1)

E 1 é t a n t l ' é v é n e m e n t c o n s t i t u é d e s p e r m u t a t i o n s d e s 6 b o u l e s d u s a c o ù g u r e u n e

v e r t e e n 1erp o s i t i o n , e t u n e r o u g e e n 2 p o s i t i o n , d o n c

cardE 1 = 13134!

(1

3p o u r l a v e r t e t i r é l a

1

f o i s ,

1

3p o u r l a r o u g e t i r é e l a

2

f o i s ,

4!e s t l e n o m b r e d e

p e r m u t a t i o n s d e s q u a t r e a u t r e s b o u l e s ) , d o n c :

p(X = 1) =13

134!

6!=

3

10

p(X = 2) = p(E 2)

E 2 é t a n t l ' é v é n e m e n t c o n s t i t u é d e s p e r m u t a t i o n s d e s 6 b o u l e s d u s a c o ù g u r a n t u n e

v e r t e e n 1erp o s i t i o n , u n e v e r t e e n 2 p o s i t i o n e t u n e r o u g e e n 3

p o s i t i o n , d o n c

cardE 2 = A23

133!

(A

2

3c o r r e s p o n d a n t a u x a r r a n g e m e n t s d e s d e u x b o u l e s v e r t e s g u r a n t e n 1 e t 2 p o s i -

t i o n s , 13 c o r r e s p o n d à l a r o u g e t i r é e l a 3 f o i s , 3! e s t l e n o m b r e d e p e r m u t a t i o n s d e s

t r o i s a u t r e s b o u l e s ) , d o n c :

p(X = 2) =A23

133!

6!=

3

20

p(X = 3) = p(E 3)

E 3 é t a n t l ' é v é n e m e n t c o n s t i t u é d e s p e r m u t a t i o n s d e s 6 b o u l e s d u s a c o ù g u r a n t l e s

t r o i s v e r t e s s u i v i e s d e s t r o i s r o u g e s ) , d o n c c a r d E 3 = 3!3!

3 1



(3! d é s i g n a n t l e n o m b r e d e p e r m u t a t i o n s d e s t r o i s b o u l e s v e r t e s o u d e s t r o i s b o u l e s

r o u g e s ) , o n a :

p(X = 2) =3!3!

6!=

1

20L a l o i d e p r o b a b i l i t é d e X e s t r é s u m e d a n s l e t a b l e a u s u i v a n t :

k ∈ X (Ω) 0 1 2 3

p(X = k) 12

310

310

110

3 . F o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e X . S o i t x ∈ RS i x < 0, F X (x) = 0

S i x ∈ [0, 1[, F X (x) = p(X = 0) = 12

S i x ∈ [1, 2[, (X ≤ x) = (X = 0) ∪ (X = 1) ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) d o n c :

F X (x) = p(X ≤ x) = p(X = 0) + p(X = 1) =8

10

S i x ∈ [2, 3[ (X ≤ x) = (X = 0) ∪ (X = 1) ∪ (X = 2) ( r é u n i o n d i s j o i n t e ) d o n c :

F X (x) = p(X ≤ x) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) =19

20

S i x ∈ [3, +∞[ (X ≤ x) = (X = 0) ∪ (X = 1) ∪ (X = 2) ∪ (X = 3) ( r é u n i o n

d i s j o i n t e ) d o n c :

F X (x) = p(X ≤ x) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) =20

20= 1

D ' o ' u

F X (x) =

0 si x < 012 si x ∈ [0, 1[810 si x ∈ [1, 2[1920 si x ∈ [2, 3[1 si x ≥ 3

T h é o r è m e 3 . 2 . 1 . S o i t X u n e v.a.r . e t s o i t F X s a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n . A l o r s F X p o s s è d e

l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

1 ) F e s t u n e f o n c t i o n c r o i s s a n t e ( a u s e n s l a r g e )

2 ) F e s t c o n t i n u e à d r o i t e e n t o u t p o i n t d e R.

3 )

limx→−∞F X (x) = 0e t

limx→+∞F X (x) = 1

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 1 . S o i t X u n e v.a.r . e t s o i t F X s a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n . O n a :

1 ) ∀a, b ∈ R, a < b, P (a < X ≤ b) = F X (b) − F X (a)2 )

∀a ∈ R, p(X = a) = F X (a) − F X (a−), (F X (a−) = limx→a−

F X (x))

3 2



3 . 2 . 2 E s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e s ( l a m o y e n n e )

D é n i t i o n 3 . 2 . 2 . S o i t X u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e r é e l l e d é n i e s u r u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i

( Ω, P (Ω), p) a v e c X (Ω) =

x1

, x2

,...,xn

. O n a p p e l l e e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e d e l a v . a . r

X l e n o m b r e n o t é E (X ), d é n i p a r :

E (X ) =i=ni=1

xi p(X = xi)

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 2 . S o i t X u n e v . a . r e t U u n e f o n c t i o n d e R d a n s R, d é n i e s u r DX . O n

a :

E (U (X )) =i=ni=1

U (xi) p(X = xi)

a v e c X (Ω) =

x1, x2,...,xn

E n p a r t i c u l i e r s i Y = aX + b, a l o r s E (Y ) = aE (X ) + b.

D é n i t i o n 3 . 2 . 3 . S o i t X u n e v . a . r , o n p o s e Y = X − E (X ).

Y s ' a p p e l l e l a v . a . r c e n t r é e a s s o c i é e à X , o n a E (X ) = 0 .

D e m a n i è r e g é n é r a l e s i E (X ) = 0, X e s t d i t e c e n t r é e .

3 . 2 . 3 V a r i a n c e e t É c a r t - t y p e

D é n i t i o n 3 . 2 . 4 . S o i t X u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e r é e l l e d é n i e s u r u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i

( Ω, P (Ω), p) a v e c X (Ω) = x1, x2,...,xn .

· O n a p p e l l e v a r i a n c e d e l a v.a.r X l e r é e l n o t é V ar(X ), d é n i p a r :

V ar(X ) =i=ni=1

[xi − E (X )]2 p(X = xi)

·O n a p p e l l e é c a r t - t y p e d e X l e n o m b r e σ(X ) d é n i p a r :

σ(X ) =

V ar(X )

R e m a r q u e

1 . L a v a r i a n c e e s t u n n o m b r e p o s i t i f c a r V ar(X ) =i=n

i=1 [xi − E (X )]2 p(X = xi) : C ' e s t

l a s o m m e d e p r o d u i t s p o s i t i f s [xi − E (X )]2 e t p(X = xi).

3 3



2 . L a v a r i a n c e p e u t ê t r e c a l c u l e r a u t r e m e n t : E n e e t :

V ar(X ) =i=n

i=1

[xi −

E (X )]2 p(X = xi)

=i=ni=1

[x2i − 2xiE (X ) + E 2(X )] p(X = xi)

=i=ni=1

x2i p(X = xi) − 2E (X )

i=ni=1

xi p(X = xi) + E 2(X )i=ni=1

p(X = xi)

= E (X 2) − 2E 2(X ) + E 2(X ) (i=ni=1

p(X = xi) = 1)

= E (X 2) − E 2(X )

d ' o ù :

V ar(X ) = E (X 2) − E 2(X )

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 3 . S o i t X u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e r é e l l e d é n i e s u r u n e s p a c e p r o b a b i l i s é

n i ( Ω, P (Ω), p) e t a, b d e s r é e l s , a l o r s :

V ar(aX + b) = a2V ar(X ) et σ(aX + b) = |a| σ(X )


O n a d ' u n e p a r t :

V ar(aX + b) = E [(aX + b)2] − E 2(aX + b)

= a2E (X 2) + 2abE (X ) + b2 − a2E 2(X ) − 2abE (X ) − b2

= a2[E (X 2) − E 2(X )]

= a2V ar(X )

e t d ' a u t r e p a r t :

σ(aX + b) =

V ar(aX + b)

=

a2V ar(X )

= |a|

V ar(X )

= |a| σ(X )

D é n i t i o n 3 . 2 . 5 . L a v a r i a b l e a l é a t o i r e Y = X−E (X)

σ(X) e s t a p p e l é l a v a r i a b l e c e n t r é e -

r é d u i t e a s s o c i é e à X .

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 4 . L a m o y e n n e d ' u n e v . a . r c e n t r é e - r é d u i t e Y e s t n u l l e e t s a v a r i a n c e e s t

é g a l e à u n , d e m ê m e E (Y 2) = 1

3 4




· E (Y ) = E (X−E (X)

σ(X) ) = 1σ(X) [E (X ) − E (E (X ))] = 1

σ(X) [E (X ) − E (X )] = 0

· V ar(Y ) = (1

σ(X))2

V ar(Y ) = 1 (c a r

V ar(Y ) = σ2

(Y ))· V ar(Y ) = 1 =⇒ E (Y 2) − E 2(Y ) = 1 ⇒ E (Y 2) = 1

E x e m p l e

D a n s l ' e x e m p l e p r é c é d e n t , E x e r c i c e 3 . 1 , o n a :

E (X ) =

k∈X(Ω)

kp(X = k)

= 0 × 1

2+ 1 × 3

10+ 2 × 3

20+ 3 × 1

20

=

3

4

E (X 2) =

k∈X(Ω)

k2 p(X = k)

= 02 × 1

2+ 12 × 3

10+ 22 × 3

20+ 32 × 1

20

=27

20

D o n c

V ar(X ) = E (X 2)

−(E (X ))2 =

27

20 −(

3

4

)2 =63

80e t

σ(X ) =

V ar(X ) = 0.88741

L a v a r i a b l e Y = X−E (X)σ(X) =

574X−3

3 e s t u n e v . a . r c e n t r é e r é d u i t e .

3 . 2 . 4 I n é g a l i t é d e B i e n y a m é - T c h e b y c h e v

P r o p o s i t i o n 3 . 2 . 5 . S o i e n t X u n e v . a . r s u r u n u n i v e r s Ω n i , m s a m o y e n n e e t σ s o n

é c a r t - t y p e . A l o r s , p o u r t o u t n o m b r e r é e l s t r i c t e m e n t p o s i t i f ε :

p(

|X

−m

| ≥ε)

≤σ2

ε2

p r e u v e :

N o u s s a v o n s q u e :

σ2 = V ar(X )

=

xi∈Ω

(X (xi) − m)2 p(X = xi) avec Ω = x1, x2,...,xn

3 5



O n p o s e :

Ω = |X − m| ≥ ε = xi ∈ Ω / |X (xi) − m| ≥ εa l o r s

σ2 =

xi∈Ω

(X (xi) − m)2 p(X = xi)

≥ ε2 p(Ω) p(X = xi)

≥ ε2 p(Ω) = ε2 p(|X − m| ≥ ε)

d ' o ù

p(|X − m| ≥ ε) ≤ σ2

ε2

R e m a r q u e

E n c o n s i d é r a n t l ' é v é n e m e n t c o n t r a i r e ΩC , n o u s o b t e n o n s l ' i n é g a l i t é s u i v a n t e :

p(|X − m| < ε) ≥ 1 − σ2

ε2

E n e e t , 1 − p(Ω) ≥ 1 − σ2

ε2 , c ' e s t - à - d i r e p(|X − m| < ε) ≥ 1 − σ2

ε2 (ΩC = |X − m| < ε)

3 . 3 L o i s u s u e l l e s

3 . 3 . 1 L o i u n i f o r m e

S o i t X u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e s u r u n u n i v e r s Ω a v e c X (Ω) = x1, x2,...,xnD é n i t i o n 3 . 3 . 1 . O n d i t q u ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e X s u i t l a l o i u n i f o r m e s u r X (Ω) e t

o n é c r i t X → U n s i p(X = xi) = 1n .

O n a :

E (X ) =1

n

ni=1

xi et V ar(X ) =1

n

ni=1

x2i − E 2(X )

C a s p a r t i c u l i e r :

S i X (Ω) = 1, 2,...,n, a l o r s l a l o i d e X p e u t ê t r e f a c i l e m e n t r é s u m é e p a r :

· P (X = xi) = 1n , i = 1, 2,...,n

· E (X ) =n+12

· V ar(X ) = n2−112

3 . 3 . 2 L o i s d e t i r a g e a v e c r e m i s e

L o i d e B e r n o u l l i

D é n i t i o n 3 . 3 . 2 . O n d i t q u ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e X e s t u n e v.a.r d e B e r n o u l l i s i e l l e

n e p r e n d q u e d e u x v a l e u r s 0 e t 1 a v e c d e s p r o b a b i l i t é s n o n n u l l e s . O n d i t X s u i t l a l o i d e

B e r n o u l l i d e p a r a m è t r e p e t o n é c r i t X → β (1, p)

3 6



E x e m p l e

O n l a n c e u n e p i è c e d e m o n n a i e o ù l a p r o b a b i l i t é d ' a m e n e r p i l e e s t n o t é e p ∈]0, 1[. L a

v . a . r X d é n i e p a r X = 1 s i l e r é s u l t a t e s t p i l e e t X = 0 s i n o n . X e s t u n e v.a.r d e B e r n o u l l i .

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 1 . S o i t X → β (1, p), a l o r s

E (X ) = 0(1 − p) + 1.p = p et V (X ) = (0 − p)2(1 − p) + (1 − p)2 p = p(1 − p) = pq

.

L o i b i n o m i a l e ( S c h é m a d e B e r n o u l l i )

O n d i s p o s e d ' u n e u r n e q u i c o n t i e n t d e u x t y p e s d e b o u l e s , d e s n o i r e s e t d e s b l a n c h e s

p a r e x e m p l e .

D a n s c e t t e u r n e , l a p r o p o r t i o n d e s b o u l e s b l a n c h e s e s t p, c e l l e d e s n o i r e s e s t q = 1

− p.

C h a q u e f o i s q u e l ' o n t i r e u n e b o u l e , o n l a r e m e t d a n s l ' u r n e . O n a , à c h a q u e t i r a g e , l a

p r o b a b i l i t é p(B) d e t i r e r u n e b o u l e b l a n c h e e s t p(B) = p e t c e l l e d e t i r e r u n e b o u l e n o i r e

e s t p(N ) = q = 1 − p.C e t t e s i t u a t i o n i l l u s t r e c e q u i p o r t e l e n o m d e s c h é m a d e B e r n o u l l i :

D é n i t i o n 3 . 3 . 3 . U n e é p r e u v e d o n n e l i e u à d e u x i s s u e s p o s s i b l e s B ( s u c c è s ) e t N ( é c h e c ) .

L a p r o b a b i l i t é d u s u c c è s e s t p e t c e l l e d ' é c h e c e s t q = 1 − p c e t t e é p r e u v e e s t e x é c u t é n f o i s .

O n d i t q u ' o n a c o n f r o n t é à u n s c h é m a d e B e r n o u l l i c a r a c t é r i s é p a r l e s n o m b r e s n( n o m b r e d ' é p r e u v e s ) e t p ( p r o b a b i l i t é d e s u c c è s à c h a q u e é p r e u v e )

U n i v e r s a s s o c i é à u n s c h é m a d e B e r n o u l l i

S o i t u n s c h é m a d e B e r n o u l l i d e p a r a m è t r e s n e t p.

C h a q u e s é r i e d e n t i r a g e s p e u t ê t r e r é s u m é e p a r u n e l i s t e d e n l e t t r e s , c h a c u n e é t a n t

B o u N .

I l y a d o n c 2nl i s t e s p o s s i b l e s q u i s o n t l e s é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s .

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 2 . U n s c h é m a d e B e r n o u l l i d e p a r a m è t r e s n e t p d o n n e l i e u à u n u n i v e r s

Ωn a y a n t 2né l é m e n t s .

S o i t X l a v a r i a b l e a l é a t o i r e q u i d o n n e l e n o m b r e d e b o u l e s b l a n c h e s o b t e n u e s à l a n

d e c e s n t i r a g e s . N o u s a v o n s :

X (Ωn) = 0, 1,...,nT h é o r è m e 3 . 3 . 1 . D a n s u n s c h é m a d e B e r n o u l l i d e p a r a m è t r e s

ne t

p, é t a n t d o n n é

ke n t i e r c o m p r i s e n t r e 0 e t n , l a p r o b a b i l i t é d e l ' é v é n e m e n t (X = k) e s t k

n pk(1 − p)n−k


E n e e t : L ' é v é n e m e n t (X = k) e s t f o r m é d e k

n é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s . É t u d i o n s , p a r

e x e m p l e , l ' é v é n e m e n t é l é m e n t a i r e B...B k

f o i s

N...N n−k

f o i s

C h a q u e t i r a g e d ' u n e b o u l e e s t i n d é p e n d a n t

d e s a u t r e s , i l v i e n t a l o r s p(B...BN...N ) = p...p k

f o i s

q...q n−k

f o i s

= pk(1 − p)n−k

3 7



D ' a u t r e s p a r t l e s kn é v é n e m e n t s é l é m e n t a i r e s q u i c o n s t i t u e n t (X = k) o n t l a m ê m e

p r o b a b i l i t é , c a r l e n o m b r e d e l e t t r e s B e s t l e m ê m e d a n s t o u s l e s c a s . S e u l l ' o r d r e q u i

c h a n g e , c ' e s t - à - d i r e P (X = k) = kn pk(1

− p)n−k

D é n i t i o n 3 . 3 . 4 . é t a n t d o n n é u n s c h é m a d e B e r n o u l l i d e p a r a m è t r e s n e t p, l a p r o b a b i l i t é ,

s u r l ' u n i v e r s Ωn q u i l u i e s t a s s o c i é , d é n i e p a r p(X = k) = kn pk(1− p)n−k

p o r t e l e n o m d e

l a l o i b i n o m i a l e . O n l a n o t e B(n, p) e t o n d i t q u e X s u i t u n e l o i b i n o m i a l e d e p a r a m è t r e s

n e t p . O n é c r i t X → B(n, p)

E x e m p l e

S u p p o s o n s q u e d a n s d e s c o n d i t i o n s n o r m a l e s d e f o n c t i o n n e m e n t , l a q u a n t i t é d e p i è c e s

d é f e c t u e u s e s u s i n é e s p a r u n e m a c h i n e e s t 1%.E n c o n s i d é r a n t q u e l a m a c h i n e e s t b i e n r é g l é e , l e n o m b r e X d e p i è c e s d é f e c t u e u s e s d a n s

u n e c a i s s e d e 100 p i è c e s , s u i t l a l o i ÿ (100, 10−2).L a p r o b a b i l i t é p o u r q u ' i l y a i t m o i n s d e

2p i è c e s d é f e c t u e u s e s d a n s l a c a i s s e e s t d o n c :

1 − p(X < 2) = 1 − p(X = 0) − p(X = 1)

= 1 − 01000.010(1 − 0.01)100 − 11000.011(1 − 0.01)99

= 1 − 0.99100 − 0.9999

= 0.26424

E x e r c i c e 3 . 2 .

D a n s u n g r o u p e d e 1 0 0 p e r s o n n e s , q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é p o u r q u e 2 p e r s o n n e s e x a c t e m e n t

s o i e n t n é e s l e m ê m e j o u r ?

S o l u t i o n

O n s u p p o s e q u e :

· L a p r o b a b i l i t é d e n a i s s a n c e e s t l e m ê m e t o u t e l ' a n n é e

·I l y a i n d é p e n d a n c e e n t r e l e s n a i s s a n c e s .

·I l n ' y a p a s d ' a n n i v e r s a i r e l e 2 9 f é v r i e r ( O n n e t i e n t p a s c o m p t e d e s a n n é e s b i s s e x t i l e s

)

P o u r u n j o u r d o n n é , à c h a q u e i n d i v i d u , o n a s s o c i é u n e v . a . r d e B e r n o u l l i é g a l e à 1 s i

s o n a n n i v e r s a i r e , 0 s i n o n .

L e n o m b r e d e p e r s o n n e s n é e s c e j o u r l à e s t d o n c u n e v a r i a b l e b i n o m i a l e X →ÿ (100, p)a v e c p = 1

365 .L a p r o b a b i l i t é c h e r c h é e e s t d o n c :

p(X = 2) = 2100 p2(1 − p)98

=100 × 99

2(

1

365)2(1 − 1

365)98

= 0.0284

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 3 . S o i t X → B(n, p) a l o r s E (X ) = np e t V (X ) = npq

3 8




· P a r d é n i t i o n , o n a :

E (X ) =n

k=0

kp(X = k) =n

k=0

kkn pk(1 − p)n−k =

nk=1

kkn pk(1 − p)n−k

( l e 1

ett e r m e e s t n u l ) e t

kkn =

n!

(k − 1)!(n − k)!

d o n c

E (X ) = n p

nk=1

(n − 1)!

(k − 1)!(n − k)! pk−1(1 − p)n−k

= np

n−1i=1

(n − 1)!i!(n − i − 1)! pi(1 − p)n−1−i

= np( p + 1 − p)n−1

= np

· O n p e u t é c r i r e :

V ar(X ) = E (X (X − 1)) + E (X ) − E 2(X )

= E (X (X − 1)) + np − n2 p2

C a l c u l o n s E (X (X − 1)) .

E (X (X − 1)) =n

k=0

k(k − 1)kn pk(1 − p)n−k

=

nk=2

k(k − 1)kn pk(1 − p)n−k( l e s d e u x p r e m i e r s t e r m e s s o n t n u l s )

m a i s

k(k − 1)kn = n(n − 1)k−2

n−2

d o n c

E (X (X − 1)) = n(n − 1)

n

k=2

k−2

n−2 p

k

(1 − p)

n−k

= n(n − 1) p2n

k=2

k−2n−2 p

k−2(1 − p)n−k

= n(n − 1) p2n−2i=0

in−2 p

i(1 − p)(n−−2)−i (avec i = k − 2)

= n(n − 1) p2( p + 1 − p)n−2

= n(n − 1) p2

3 9



D ' o ù :

V ar(X ) = E (X (X − 1)) + np − n2 p2 = n(n − 1) p2 + np − n2 p2 = npq

E x e r c i c e 3 . 3 .

U n d é t é t r a é d i q u e a s e s q u a t r e f a c e s n u m é r o t é e s 1, 2, 3, 4. S o i t pi l a p r o b a b i l i t é p o u r q u e l e

d é r e p o s e s u r l a f a c e n u m é r o t é e i a p r è s u n l a n c e r (i = 1, 2, 3, 4). O n d o n n e :

p1 =1

12, p2 =

7

36, p3 =

11

36, 4 =

5

12

S o i t X l a v . a . r q u i a s s o c i e à u n j e t d e c e d é l a s o m m e d e s n o m b r e s p o r t é s s u r l e s f a c e s

v i s i b l e s . O n l a n c e l e d é 5 f o i s d e s u i t e . Q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é p o u r q u e l ' é v é n e m e n t A

X e s t p a i r s e r é a l i s e

a ) d e u x f o i s e x a c t e m e n t ?

b ) a u m o i n s u n e f o i s ?

c ) a u p l u s u n e f o i s ?

3 . 3 . 3 L o i h y p e r g é o m è t r i q u e

O n c o n s i d è r e u n e u r n e q u i c o n t i e n t N b o u l e s , N p b o u l e s b l a n c h e s e t N q b o u l e s n o i r e s ,

a v e c p l a p r o p o r t i o n d e s b o u l e s b l a n c h e s e t 1 − p c e l l e d e s b o u l e s n o i r e s .

D é n i t i o n 3 . 3 . 5 . O n c o n s i d è r e l ' u r n e p r é c é d e n t e , o n t i r e

nb o u l e s d e c e t t e u r n e , s a n s

r e m i s e , e t o n a p p e l l e X l a v . a . r é g a l e a u n o m b r e d e b o u l e s b l a n c h e s o b t e n u e s e t o n d i t q u e

X s u i t u n e l o i h y p e r g é o m è t r i q u e d e p a r a m è t r e s N, n e t p. N o u s é c r i v o n s X → (N,n ,p)

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 4 . S i X → (N,n ,p), a l o r s X (Ω) ⊂ [0, n] e t ∀k ∈ [0, n] p(X = k) =

kN p×

n−kN q

nN

P r o p o s i t i o n 3 . 3 . 5 . S o i t X → (N,n ,p), o n a E (X ) = np e t V (X ) = npq N −nN −1

R e m a r q u e i m p o r t a n t e

O n m o n t r e q u e

kN p×

n−kN q

nN t e n d v e r s

kn p

k

(1 − p)n−k

q u a n d

N t e n d v e r s

+∞.O n d i t q u e

X c o n v e r g e e n l o i v e r s u n e v a r i a b l e b i n o m i a l e d e p a r a m è t r e s n e t p.

S i N e s t a s s e z g r a n d , o n p e u t , d a n s u n c a l c u l d e p r o b a b i l i t é , r e m p l a c e r l a l o i h y p e r -

g é o m è t r i q u e (N,n ,p) d é p e n d a n t d e t r o i s p a r a m è t r e s p a r l a l o i b i n o m i a l e

B(n, p) q u i n e

d é p e n d q u e d e d e u x p a r a m è t r e s n e t p . D a n s l a p r a t i q u e , o n a d m e t q u e c e t t e a p p r o x i m a t i o n

e s t s a t i s f a i s a n t e l o r s q u e N > 10n.

4 0



3 . 4 C o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s

3 . 4 . 1 L o i s m a r g i n a l e s

S o i t (Ω, P (Ω), p) u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i e t C = (X, Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a -

t o i r e s , n o u s n o t r o n s

X (Ω) = x1, x2,...,xn e t Y (Ω) = y1, y2,...,ym pij = p((X = xi) ∩ (Y = y j)), p o u r (i, j) ∈ [1, n] × [1, m] pi. = p((X = xi), p o u r i ∈ [1, n] p.j = p(Y = y j)), p o u r j ∈ [1, m]

f : I → R

t → x = f (t)

D é n i t i o n 3 . 4 . 1 . S o i t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s .

1 ) L ' a p p l i c a t i o n

p : X (Ω) × Y (Ω) → [0, 1](xi, y j) → pij = p((X = xi) ∩ (Y = y j))

s ' a p p e l l e l a l o i c o n j o i n t e d u c o u p l e

C = (X, Y )2 ) L ' a p p l i c a t i o n

p · : X (Ω) → [0, 1]xi → pi. = p((X = xi)

s ' a p p e l l e l a p r e m i è r e l o i m a r g i n a l e d u c o u p l e

C = (X, Y ) ( c ' e s t t o u t s i m p l e m e n t l a l o i

d e X )

3 ) L ' a p p l i c a t i o n

p· : Y (Ω) → [0, 1]y j → p.j = p(Y = y j ))

s ' a p p e l l e l a d e u x i è m e l o i m a r g i n a l e d u c o u p l e ( c ' e s t l a l o i d e Y )

R e p r é s e n t a t i o n m a t r i c i e l l e d e s l o i s d e

−→C = (X, Y )

X\Y y1 y2 • • • ym L o i d e X

x1 p11 p12 p1m p1•x2 p21 p22 p2m p2•••

xn pn1 pn2 pnm pn•

L o i d e Y p•1 p•2 p•m 1

E x e m p l e

U n e u r n e c o n t i e n t 4 b o u l e s b l a n c h e s e t 3 b o u l e s n o i r e s . O n t i r e s u c c e s s i v e m e n t 2 b o u l e s

d e l ' u r n e . N o u s n o t e r o n s X l a v . a . r p r e n a n t l a v a l e u r 1 s i l a p r e m i è r e b o u l e t i r é e e s t b l a n c h e

4 1



e t 0 s i n o n . N o u s d é n i s s o n s d e m ê m e l a v . a . r Y c o n c e r n a n t l e t i r a g e d e l a d e u x i è m e b o u l e .

1

ercas :T i r a g e a v e c r e m i s e 2

ecas : T i r a g e s a n s r e m i s e

X\Y

0 1L o i d e X

0 949

1249

37

1 1249

1649

47

L o i d e Y

37

47 1

X\Y

0 1L o i d e X

0 17

27

37

1 27

27

47

L o i d e Y

37

47 1

T h é o r è m e 3 . 4 . 1 . S o i t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . A l o r s l e s l o i s m a r g i -

n a l e s d u c o u p l e s o n t d o n n é e s p a r :

• ∀x ∈ X (Ω), p(X = x) = j=m j=1

p(X = x, Y = y j)

• ∀y ∈ Y (Ω) , p(Y = y) =i=ni=1

p(X = xi, Y = y)

• i=ni=1

j=m j=1

p(X = xi, Y = y j) = 1


· ∀x ∈ X (Ω), o n p e u t é c r i r e :

(X = x) = (X = x) ∩ (

j=m j=1

Y = y j)

=

j=m

j=1

(X = xi, Y = y j) (r é u n i o n d i s j o i n t e )

d ' o ù

p(X = x) = p(

j=m j=1

(X = xi, Y = y j) =

j=m j=1

p(X = x, Y = y j )

· D e m ê m e , o n m o n t r e q u e :

∀y ∈ Y (Ω), p(Y = y) =

i=ni=1

p(X = xi, Y = y)

·O n a :

∀i = 1, 2,...,n

p(X = xi) =

j=m j=1

p(X = x, Y = y j ) =⇒ 1 =i=ni=1

p(X = xi) =i=ni=1

j=m j=1

p(X = x, Y = y j)

4 2



R e m a r q u e

L e t h é o r è m e p e u t s ' é c r i r e s o u s l a f o r m e :

· ∀i ∈ [1, n], pi· =

j=m j=1

pij

· ∀ j ∈ [1, m], p· j =i=ni=1

pij

·i=ni=1

j=m j=1

pij = 1

3 . 4 . 2 L o i s c o n d i t i o n n e l l e s

S o i t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s , a v e c :

X (Ω) =

x1, x2,...,xn

et (Ω) =

y1, y2,...,ym

pij = p((X = xi) ∩ (Y = y j)), p o u r (i, j) ∈ [1, n] × [1, m] pi. = p(X = xi), p o u r i ∈ [1, n] p.j = p(Y = y j)), p o u r j ∈ [1, m]

S i p(Y = y j) = 0, o n p e u t c o n s i d é r e r l e s n o m b r e s

p(X = xi/Y =yj ) =p((X = xi) ∩ (Y = y j))

p(Y = y j)=

pij

p· j

D e m ê m e s i p((X = xi) = 0, o n p e u t c o n s i d é r e r l e s n o m b r e s

p(Y = y j

/X=xi

) =p((X = xi)

∩(Y = y j))

p(X = xi)=

pij

p j·

d ' o ù l a d é n i t i o n s u i v a n t e :

D é n i t i o n 3 . 4 . 2 . S o i t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . O n a p p e l l e l o i c o n d i -

t i o n n e l l e d e X s a c h a n t Y = y j , l ' a p p l i c a t i o n d é n i e s u r X (Ω) , à v a l e u r s d a n s [0, 1] p a r l a

r e l a t i o n :

xi → p(X = xi/Y =yj ) =pij

p· j

D e m ê m e o n a p p e l l e l o i c o n d i t i o n n e l l e d e Y s a c h a n t X = xi , l ' a p p l i c a t i o n d é n i e s u r Y (Ω) ,

à v a l e u r s d a n s [0, 1] p a r l a r e l a t i o n :

yi → p(Y = yi/X=xi) = pij pi·

E x e m p l e

R e p r e n o n s l ' e x e m p l e p r é c è d e n t e t d é t e r m i n o n s t o u t e s l e s l o i s c o n d i t i o n n e l l e s :

a ) T i r a g e a v e c r e m i s e

X /Y = 0 0 1

p 37

47

X /Y = 1 0 1

p 37

47

4 3



p a r e x e m p l e : p(X = 0/Y =1) =9

493

7

= 37)

Y /X = 0 0 1

p 37

47

Y /X = 1 0 1

p 37

47

O n r e m a r q u e q u e l e c o n d i t i o n n e m e n t d e X ( o u d e Y ) p a r n ' i m p o r t e q u e l l e v a l e u r d e

Y ( o u d e X ) n ' a e c t e p a s l a l o i d e X ( o u Y ) , c ' e s t - à - d i r e X/Y = j = X e t Y/X=i = Y b ) T i r a g e s a n s r e m i s e

X /Y = 0 0 1

p 12

12

X /Y = 1 0 1

p 23

13

p a r e x e m p l e p(X = 0/Y =1) =2

73

7

= 23)

Y /X = 0 0 1

p 12

12

Y /X = 1 0 1

p 23

23

D a n s c e c a s , l e c o n d i t i o n n e m e n t a e u u n e e t . P a r e x e m p l e X/Y =0 = X o u Y/X=1 = Y.I l e s t n o r m a l q u e d a n s u n t i r a g e s a n s r e m i s e , l a c o n n a i s s a n c e d u r é s u l t a t d e l a p r e m i è r e

t i r a g e i n u e s u r l a l o i d e l a d e u x i è m e .

3 . 4 . 3 L ' i n d é p e n d a n c e

D é n i t i o n 3 . 4 . 3 . S o i t (Ω, P (Ω), p) u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i e t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e

v a r i a b l e s a l é a t o i r e s , o n d i t l e s v . a . r X e t Y s o n t i n d é p e n d a n t e s s i :

p((X = xi) ∩ (Y = y j )) = p(X = xi) × p(Y = y j )) pour (i, j) ∈ [1, n] × [1, m]

o u e n c o r e :

pij = pi· × p· j pour (i, j) ∈ [1, n] × [1, m]

E x e m p l e

L e s d e u x v a r i a b l e s X e t Y , c o n s i d é r é s d a n s l ' e x e m p l e p r é c è d e n t , s o n t i n d é p e n d a n t e s

d a n s l e c a s d e t i r a g e a v e c r e m i s e e t n e s o n t p a s i n d é p e n d a n t e s d a n s l e c a s d e t i r a g e s a n s

r e m i s e .

E x e r c i c e 3 . 4 .

U n e u r n e c o n t i e n t u n e b o u l e p o r t e l e n u m é r o 1 , d e u x b o u l e s p o r t e n t l e n u m é r o 2 e t t r o i s

b o u l e s p o r t e n t l e n u m é r o 3 . O n d é t e r m i n e u n e n t i e r n à t r o i s c h i r e s e n t i r a n t s u c c e s s i v e -

m e n t e t a v e c r e m i s e 3 b o u l e s d e l ' u r n e . O n s u p p o s e q u e l e s t i r a g e s s o n t é q u i p r o b a b l e s .

L a p r e m i è r e b o u l e t i r é e f o u r n i t l e c h i r e d e s c e n t a i n e s d e n , l e d e u x i è m e t i r a g e i n d i q u e

l e c h i r e d e s d i z a i n e s e t l e t r o i s i è m e t i r a g e i n d i q u e l e c h i r e d e s u n i t é s .

1 . C a l c u l e r l e s p r o b a b i l i t é s d e s l ' é v é n e m e n t s :

A ” o b t e n i r u n e n t i e r c o n s t i t u é p a r t r o i s c h i r e s i m p a i r s ”

B ” o b t e n i r u n n o m b r e p a i r ”

4 4



2 . S o i t X l a v a r i a b l e a l é a t o i r e é g a l e a u n o m b r e d e s c h i r e s p a i r s d a n s l ' e n t i e r n e t Y l a

v . a . r é g a l e 0 s i n p a i r e t 1 s i n i m p a i r .

a ) D o n n e r l a l o i d u c o u p l e (X, Y ).

b ) L e s v . a . r X e t Y s o n t - i l s i n d é p e n d a n t e s ?

S o l u t i o n

1 . P u i s q u e l e t i r a g e e s t a v e c r e m i s e a l o r s c a r d Ω = 63.

· A e s t r é a l i s é s i o n a t i r é t r o i s b o u l e s p a r m i l e s q u a t r e q u i p o r t e n t l e s n u m é r o s

i m p a i r s , d o n c c a r d A = 4 × 4 × 4 e t p(A) = (46)3 = 827

· B e s t r é a l i s a b l e s i e t s e u l e m e n t s i o n a o b t e n u , d a n s l e t r o i s i è m e t i r a g e , u n e b o u l e

p o r t a n t u n n u m é r o p a i r , d o n c c a r d B = 6 × 6 × 2 e t p(B) = 13 .

2 . a ) O n a :

X (Ω) = 0, 1, 2, 3 et Y (Ω) = 0, 1L ' é v é n e m e n t (X = 0, Y = 0) s i g n i e q u ' o n o b t i e n t u n n o m b r e p a i r q u i c o n t i e n t a u c u n

c h i r e p a i r , c e c i e s t i m p o s s i b l e d o n c p00 = p(X = 0, Y = 0) = 0

L ' é v é n e m e n t (X = 0, Y = 1) s i g n i e q u ' o n o b t i e n t u n n o m b r e i m p a i r q u i c o n t i e n t

a u c u n c h i r e p a i r , c ' e s t - à - d i r e A = (X = 0, Y = 1), d o n c p01 = p(A) = 827

L ' é v é n e m e n t (X = 1, Y = 0) s i g n i e q u ' o n o b t i e n t u n n o m b r e p a i r q u i c o n t i e n t u n

s e u l c h i r e p a i r ,

p10 = p(X = 1, Y = 0)

=4 × 4 × 2

63

=4

27

D e m ê m e o n t r o u v e :

p11 =8

27, p20 =

4

27, p21 =

2

27, p30 =

1

27, p31 = 0

X\Y 0 1 L o i d e X

0 0 827

827

1 427 827 1227

2 427

227

627

3 127 0 1

27

L o i d e Y 927

1827 1

b ) O n a , p a r e x e m p l e , p(X = 0, Y = 0) = 0 e t p(X = 0) × p(Y = 0) = 827 . 9

27 , d o n c

p(X = 0, Y = 0) = p(X = 0) × p(Y = 0) e t l e s v . a . r X e t Y n e s o n t p a s i n d é p e n -

d a n t e s .

4 5



E x e r c i c e 3 . 5 .

M o n t r e r l e r é s u l t a t s u i v a n t :

D e u x v a r i a b l e s a l é a t o i r e s s o n t i n d é p e n d a n t e s s i e t s e u l e m e n t s i , l e r a n g d e l a m a t r i c e

a s s o c i é e A (A = ( pij )1≤i≤n,1≤ j≤m) e s t é g a l à 1 .

3 . 4 . 4 C o v a r i a n c e , c o e c i e n t d e c o r r é l a t i o n l i n é a i r e

E s p é r a n c e d e u(X, Y )

S o i e n t X e t Y d e u x v . a . r s u r Ω.L ' e s p é r a n c e d e Z = u(X, Y ) ( u f o n c t i o n r é e l l e à d e u x v a r i a b l e s ) e s t d o n n é p a r l a

f o r m u l e s u i v a n t e :

E (Z ) = (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

u(x, y) p(X = x, Y = y)

C a s p a r t i c u l i e r s :

E (X + Y ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

(x + y) p(X = x, Y = y)

=

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

O r :

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) xp(X = x, Y = y) = x∈X(Ω)[ y∈Y (Ω) xp(X = x, Y = y)]

=

x∈X(Ω)

x[

y∈Y (Ω)

p(X = x, Y = y]

D e p l u s y∈Y (Ω)

p(X = x, Y = y) = p(X = x)

D ' o ù (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

xp(X = x, Y = y) =

x∈X(Ω)

xp(X = x) = E (X )

D e m ê m e , o n a : (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

yp(X = x, Y = y) = E (Y )

C o n c l u s i o n :

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

· E (XY ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) xyp(X = x, Y = y)

4 6



D e p l u s , s i X e t Y s o n t i n d é p e n d a n t e s , a l o r s :

E (XY ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

xyp(X = x, Y = y)

=

(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω)

xyp(X = x) p(Y = y)

=

x∈X(Ω)

xp(X = x)

y∈X(Ω)

yp(X = y)

= E (X )E (Y )

D o n c s i X e t Y s o n t d e u x v . a . r i n d é p e n d a n t e s , a l o r s

E (XY ) = E (X )E (Y )

C o v a r i a n c e

D é n i t i o n 3 . 4 . 4 . S o i t (Ω, P (Ω), p) u n e s p a c e p r o b a b i l i s é n i e t

C = (X, Y ) u n c o u p l e d e

v a r i a b l e s a l é a t o i r e s . L e n o m b r e :

E [(X − E (X ))(Y − E (Y )]

e s t a p p e l é c o v a r i a n c e d e X e t Y e t n o t é Cov(X, Y ).

P r o p o s i t i o n 3 . 4 . 1 . S o i e n t X e t Y d e u x v . a . r s u r Ω, a l o r s E [(X − E (X ))(Y − E (Y )] =E (X.Y ) − E (X )E (Y )

P r e u v e :

E n e e t : O n a :

E [(X − E (X ))(Y − E (Y )] = E [XY − E (Y )X − E (X )Y + E (X )E (Y )]

e t l ' e s p é r a n c e é t a n t u n a p p l i c a t i o n l i n é a i r e , i l v i e n t :

E [(X − E (X ))(Y − E (Y )] = E (XY ) − E (Y )E (X ) − E (X )E (Y ) + E (X )E (Y )

= E (X.Y ) − E (X )E (Y )

E x e m p l e

S o i e n t X e t Y d e l o i

B(1, p), a l o r s Cov(X, Y ) = p(X = 1, Y = 1)

− p2.

E n e e t , E (XY ) = (x,y)∈X(Ω)×Y (Ω) xyp(X = x, Y = y) = p(X = 1, Y = 1)

T h é o r è m e 3 . 4 . 2 . S o i t X,Y,X , Y d e s v a r i a b l e s a l é a t o i r e s s u r (Ω, P (Ω), p). A l o r s :

1 ) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X )2 ) Cov(X + X , Y ) = Cov(X, Y ) + Cov(X , Y ) e t Cov(X, Y + Y ) = Cov(X, Y ) +

Cov(X, Y )3 ) Cov(λX,Y ) = Cov(X,λY ) = λCov(X, Y )4 ) Cov(X, X ) = V ar(X ) ≥ 05 ) V ar(X + Y ) = V ar(X ) + 2Cov(X, Y ) + V ar(Y )6 ) S i X e t Y i n d é p e n d a n t e s a l o r s Cov(X, Y ) = 0

4 7



L a p r e u v e n e p o s e a u c u n p r o b l è m e .

L e m m e

S o i t X u n e v . a . r . S i V ar(X ) = 0 a l o r s X e s t c o n s t a n t e .

P r e u v e :

V ar(X ) =i=ni=1

[xi − E (X )]2 p(X = xi) = 0 ⇐⇒ ∀i ∈ [1, n], [xi − E (X )]2 p(X = xi) = 0

⇐⇒ ∀i ∈ [1, n], xi − E (X ) = 0

⇐⇒ ∀i ∈ [1, n]; xi = E (X )

d o n c X (Ω) = E (X ) e t p a r s u i t e X e s t l a v a r i a b l e c o n s t a n t e é g a l e à E (X ).

T h é o r è m e 3 . 4 . 3 . S o i t X, Y d e u x v a r i a b l e s a l é a t o i r e s s u r (Ω, P (Ω), p). A l o r s :

|Cov(X, Y )| ≤ σ(X )σ(Y )(∗)

L ' é g a l i t é a y a n t l i e u s i e t s e u l e m e n t s i Y = aX + b ( a, b d e s r é e l s )

P r e u v e :

O n p o s e , p o u r t o u t λ ∈ RT (λ) = V ar(λX + Y ), a l o r s :

T (λ) = V ar(λX + Y )

= V ar(λX ) + 2Cov(λX,Y ) + V ar(Y )

= λ2V ar(X ) + 2λCov(X, Y ) + V ar(Y )

·S i V ar(X ) = 0, T e s t u n t r i n ô m e d u s e c o n d d e g r é e n λ, t r i n ô m e

≥ 0 p o u r t o u t λ ∈ R

A i n s i

= [Cov(X, Y )]2 − V ar(X )V ar(Y ) ≤ 0

C ' e s t - à - d i r e

|Cov(X, Y )| ≤ σ(X )σ(Y ) (σ(X ) =

V ar(X ))

· S i V ar(X ) = 0 d a n s c e c a s X e t Y s o n t i n d é p e n d a n t e s e t Cov(X, Y ) = 0 , d o n c (∗) e s t

v é r i é .

C a s d ' é g a l i t é :

S i |Cov(X, Y )| = σ(X )σ(Y ), T (λ) a d m e t u n e r a c i n e d o u b l e c : T (c) = V ar(cX + Y ) =

0, cX + Y e s t d o n c u n e v . a . r c o n s t a n t e

b( d ' a p r è s l e l e m m e ) .

O n a d o n c cX + Y = b =⇒ Y = −cX + b = aX + b (c = −a).

C o e c i e n t d e c o r r é l a t i o n l i n é a i r e

D é n i t i o n 3 . 4 . 5 .

S o i t X e t Y d e u x v a r i a b l e s a l é a t o i r e s s u r (Ω, P (Ω), p). O n d i t q u e X e t Y s o n t c o r r é l é e s

l o r s q u e Cov(X, Y ) = 0).

O n a p p e l l e c o e c i e n t d e c o r r é l a t i o n l i n é a i r e d e X e t Y e t o n n o t e (X, Y ) l e n o m b r e

Cov(X,Y )σ(X)σ(Y ) .

4 8



P r o p o s i t i o n 3 . 4 . 2 . S o i t X, Y d e u x v a r i a b l e s a l é a t o i r e s s u r (Ω, P (Ω), p). A l o r s :

1 ) −1 ≤ (X, Y ) ≤ 12 ) X e t Y s o n t i n d é p e n d a n t e s =

⇒(X, Y ) = 0

3 ) S i (X, Y ) = 1 ( r e p . −1) , a l o r s i l e x i s t e a > 0 ( r e s p . a < 0) e t u n e c o n s t a n t e b t e l

q u e Y = aX + b.

E x e r c i c e 3 . 6 .

S o i t X u n e v a r i a b l e u n i f o r m e s u r −1, 0, 1, c ' e s t - à - d i r e :

X (Ω) = −1, 0, 1 et p(X = −1) = p(X = 0) = p(X = 1) =1

3

C a l c u l e r (X n, X m) a v e c (n, m) ∈ N2.

S o l u t i o n

∀k ∈ N∗, o n a : S i k e s t p a i r :

E (X k) = (−1)k p(X = −1) + 0k.p(X = 0) + 1k.p(X = 1) =2

3e t

V ar(X ) = E (X 2k) − E 2(X k) =2

3− (

2

3)2 =

2

9

S i k e s t i m p a i r

E (X k) = (−1)k p(X = −1) + 0k.p(X = 0) + 1k.p(X = 1)

= − p(X = −1)) + p(X = 1) = 0

e t

V ar(X ) = E (X 2k) − E 2(X k) =2

3− 0 =

2

3

C a l c u l o n s (X n, X m) =Cov(Xn,Xm)σ(Xn)σ(Xm)

(X n, X m) =E (X n+m) − E (X n)E (X m)

V ar(X n).V ar(X m)

· S i n e t m s o n t p a i r s .

(X n, X m) =23 − (23)2

29 × 2

9

= 1

·S i n e s t p a i r e t m i m p a i r o u s i n i m p a i r e t m p a i r .

(X n, X m) =0 − 0 × (23)2

29 × 2

3

= 0

4 9



· S i n e t m s o n t i m p a i r s .

(X n, X m) =23 − 0 × 0

23 × 23

= 1

• • • • • • • • • •

5 0



A n n e x e A

P r o b l è m e I

P r e m i è r e p a r t i e

U n e u r n e c o n t i e n t 7 b o u l e s : 5 b l a n c h e s e t 2 n o i r e s . U n j o u e u r e x t r a i t s i m u l t a n é m e n t

d e u x b o u l e s d e l ' u r n e .

1 . C a l c u l e r l a p r o b a b i l i t é q u ' i l t i r e d e u x b o u l e s b l a n c h e s .

2 . L e j o u e u r p a r t i c i p e m a i n t e n a n t a u j e u s u i v a n t :

( a ) s ' i l t i r e d e u x b o u l e s b l a n c h e s i l g a g n e x f r a n c s (x ≥ 0) ;

( b ) s ' i l t i r e d e u x b o u l e s n o i r e s i l p e r d 10x f r a n c s ;

( c ) s ' i l t i r e u n e b o u l e b l a n c h e e t u n e b o u l e n o i r e , i l p r o c è d e à u n s e c o n d t i r a g e d e

d e u x b o u l e s , s a n s r e m e t t r e l e s d e u x p r e m i è r e s b o u l e s t i r é e s : à l ' i s s u e d e s e c o n d

t i r a g e i l g a g n e y f r a n c s s ' i l t i r e d e u x b o u l e s b l a n c h e s , s i n o n i l p e r d 3 f r a n c s .

O n d é s i g n e p a r G l a v . a . r d o n t l e s v a l e u r s s o n t é g a l e s a u x g a i n s ( p o s i t i f s o u n é g a t i f s

) d u j o u e u r .

3 . D o n n e r l a l o i d e p r o b a b i l i t é d e l a v . a . r G.

4 . C a l c u l e r , e n f o n c t i o n d e y , l ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e d e G. d é t e r m i n e r y p o u r q u e

l e j e u s o i t é q u i t a b l e , c ' e s t à d i r e E (G) = 0 .

5 . s ' i l t i r e u n e b o u l e b l a n c h e e t u n e b o u l e n o i r e , i l p r o c è d e à u n s e c o n d t i r a g e d e d e u x

b o u l e s , s a n s r e m e t t r e l e s d e u x p r e m i è r e s b o u l e s t i r é e s : à l ' i s s u e d e s e c o n d t i r a g e i l

g a g n e y f r a n c s s ' i l t i r e d e u x b o u l e s b l a n c h e s , s i n o n i l p e r d 3 f r a n c s .

P o u r c e t t e v a l e u r d e y , c a l c u l e r l ' é c a r t - t y p e σ(G) d e l a v a r i a b l e G e n f o n c t i o n d e x.

D e u x i è m e p a r t i e

S o i t l a f o n c t i o n f , d é n i e p o u r t o u t r é e l x, p a r :

f (x) =

110x2 + 60

21

1 . D é t e r m i n e r l e r é e l α t e l q u e limx→+∞

[f (x) − αx] = 0

Q u e l e s t l e s i g n e d e f (x) − αx p o u r x ≥ 0 ?

5 1



2 . É t u d i e r l a f o n c t i o n f e t t r a c e r s a c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e (C ) e t s e s a s y m p t o t e s d a n s

u n r e p è r e o r t h o n o r m é ( u n i t é : 1.5 cm ) .

3 . D é t e r m i n e r l ' e n t i e r n a t u r e l x p o u r l e q u e l l ' é c a r t - t y p e σ(G) d e l a p r e m i è r e p a r t i e e s t

c o m p r i s e n t r e 7 e t 8.

• • • • • • • • •

5 2



A n n e x e B

P r o b l è m e I I

O n c o n s i d è r e l e j e u é l e c t r o n i q u e s u i v a n t :

U n p o i n t l u m i n e u x L s e d é p l a c e p a r s a u t s s u c c e s s i f s s u r u n a x e d ' o r i g i n e O , e t p e u t à

c h a q u e i n s t a n t s e s i t u e r e n l ' u n d e s c i n q p o i n t s P j d ' a b s c i s s e s j é g a l e s à : −2; −1;0;1;2.

L o r s q u e l e p o i n t L e s t e n P j , j ∈ −2, −1, 0, 1, 2 à l ' i n s t a n t t, l a p r o b a b i l i t é p o u r

q u ' i l s e p o s i t i o n n e e n P k, k ∈ −2, −1, 0, 1, 2à l ' i n s t a n t t + 1 e s t f o u r n i e p a r l e t a b l e a u

c i - d e s s o u s :

i n s t a n t

t\ i n s t a n t

t+1 P −2 P −1 P 0 P 1 P 2P −2 0 1 0 0 0

P −1 0.5 0 0.5 0 0

P 0 0 0.5 0 0.5 0

P 1 0 0 0.5 0 0.5

P 2 0 0 0 0 1

1 . O n d é s i g n e p a r X n l a v . a . r q u i p r e n d p o u r v a l e u r l ' a b s c i s s e d u p o i n t l u m i n e u x à

l ' i n s t a n t t = n

( a ) D é t e r m i n e r l e s l o i s d e p r o b a b i l i t é d e s v . a . r X i, i = 0, 1, 2, 3, 4. C a l c u l e r l ' e s p é -

r a n c e m a t h é m a t i q u e e t l a v a r i a n c e d e s v . a . r X i, i = 0, 1, 2, 3, 4.

( b ) C a l c u l e r l e c o e c i e n t d e c o r r é l a t i o n l i n é a i r e d u c o u p l e (X 3, X 4).

2 . ( a ) D é t e r m i n e r l a l o i d e p r o b a b i l i t é d e X n+1 e n f o n c t i o n d e l a l o i d e p r o b a b i l i t é d e

X n .

( b ) O n d é s i g n e p a r an l a p r o b a b i l i t é d e l ' é v é n e m e n t ”X n = 0”. É t a b l i r u n e r e l a t i o n

d e r é c u r r e n c e d e l a f o r m e :

αan+2 + βan + γan−2 = 0, n ≥ 2.

( c ) D é t e r m i n e r t o u t e s l e s s u i t e s (un)n∈N r é e l l e s v é r i a n t l a r e l a t i o n d e r é c u r r e n c e :

αun+1 + βun + γun−1 = 0, n ≥ 1.

5 3



( d ) E n d é d u i r e an. D é m o n t r e r q u e l a s u i t e (an)n∈N c o n v e r g e e t c a l c u l e r s a l i m i t e .

• • • • • • • • • •

5 4



A n n e x e C

P r o b l è m e I I I

O n d é s i r e é t u d i e r s u r u n c e r t a i n n o m b r e d ' a n n é e s l e s m o u v e m e n t s m i g r a t o i r e s d ' u n e

p o p u l a t i o n l o r s d e s v a c a n c e s d ' é t é .

L ' o b s e r v a t i o n d e c e t t e p o p u l a t i o n a c o n d u i t à l a c o n s t r u c t i o n d ' u n m o d è l e m a t h é m a -

t i q u e d o n t l e s h y p o t h è s e s s o n t l e s s u i v a n t e s :

H 1 : L e t e r r i t o i r e s u r l e q u e l é v o l u e l a p o p u l a t i o n d u r a n t l e s v a c a n c e s d ' é t é

e s t d i v i s é e n t r o i s r é g i o n s , n o t é e s 1, 2, 3.H 2 : C h a q u e a n n é e , t o u t i n d i v i d u d e l a p o p u l a t i o n é t u d i é e c h o i s i t u n e r é g i o n

e t u n e s e u l e p o u r y p a s s e r t o u t e s l e s v a c a n c e s d ' é t é .

H 3 : L e c h o i x d ' u n e r é g i o n p a r u n i n d i v i d u p o u r y p a s s e r s e s v a c a n c e s d ' é t é

e s t u n p h é n o m è n e a l é a t o i r e q u i é v o l u e d a n s l e t e m p s à p a r t i r d ' u n e a n n é e i n i t i a l e

a p p e l é e a n n é e 1.

O n n o t e Ai(n), p o u r i ∈ 1, 2, 3e t n ≥ 1, l ' é v é n e m e n t : c h o i s i r l a r é g i o n i p o u r y

p a s s e r s e s v a c a n c e s d ' é t é , l ' a n n é e n e t αi(n) = p[Ai(n)], i ∈ 1, 2, 3l a p r o b a b i l i t é d e

c h o i s i r l ' a n n é e n , l a r e g i o n i p o u r y p a s s e r s e s v a c a n c e s d ' é t é .

H 4 : α1(1) = 0.2; α2(1) = 0.45; α3(1) = 0.35H 5 : L a p r o b a b i l i t é d e c h o i s i r l a r é g i o n i , i ∈ 1, 2, 3, p o u r y p a s s e r s e s

v a c a n c e s l ' a n n é e n + 1 , n e d é p o n d q u e d u c h o i x e f f e c t u é l ' a n n é e n.

O n n o t e aij = p[Ai(n + 1)/A j(n)] , 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, l a p r o b a b i l i t é d e c h o i s i r l a

r é g i o n i l ' a n n é e n + 1, s a c h a n t q u e l ' a n n é e n, o n c h o i s i l a r é g i o n j.O n s u p p o s e q u e ∀i, j ∈ 1, 2, 3, aij e s t i n d é p e n d a n t d e l ' a n n é e c o n s i d é r é e e t

q u e l e s aij s o n t l e s é l é m e n t s d e l a m a t r i c e M s u i v a n t e :

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a31 a33

=

0.3 0.1 0.6

0.5 0.3 0.20.2 0.6 0.2

H 6 : O n s u p p o s e q u e l a p o p u l a t i o n é t u d i é e r e s t e i n c h a n g é e d u r a n t t o u t e s l e s

a n n é e s p r i s e s e n c o n s i d é r a t i o n d a n s c e m o d è l e .

Q u e s t i o n p r é l i m i n a i r e :

5 5



S o i t A1, A2,...,An u n e f a m i l l e d ' é v é n e m e n t s d ' u n u n i v e r s Ω, a v e c p(A1∩A2∩...∩Ai) = 0,

∀i = 1, 2,...,n − 1.M o n t r e r q u e

p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = p(A1) p(A2/A1) p(A3/A1∩A2

)...p(An/A1∩A2∩...∩An−1)

P a r t i e A

1 . ( a ) S o i t Bn l ' é v é n e m e n t c h o i s i r c h a q u e a n n é e l a r é g i o n 2 d u r a n t t o u t e s l e s np r e m i è r e s a n n é e s

C a l c u l e r p(B3).

E x p r i m e r p(Bn) e n f o n c t i o n d e n.

( b ) S a c h a n t q u ' u n i n d i v i d u c h o i s i t l a r é g i o n 1 l ' a n n é e 2, q u e l l e e s t l a p r o b a b i l i t é

q u ' i l a i t c h o i s i l a r é g i o n 2 l ' a n n é e 1 ?

( c ) C a l c u l e r l a p r o b a b i l i t é p o u r q u ' u n i n d i v i d u c h a n g e d e r é g i o n e n t r e l a p r e m i è r e

a n n é e e t l a d e u x i è m e a n n é e .

P a r t i e B

2 . ( a ) E x p r i m e r , e n l e j u s t i a n t , u n e r e l a t i o n e n t r e l e s m a t r i c e s

α1(n + 1)

α2(n + 1)α3(n + 1)

e t

α1(n)

α2(n)α3(n)

p u i s e n t r e l e s m a t r i c e s

α1(n + 1)α2(n + 1)α3(n + 1)

e t

α1(1)α2(1)α3(1)

( b ) O n m o n t r e l e r é s u l t a t s u i v a n t : I l e x i s t e u n e m a t r i c e P i n v e r s i b l e t e l l e q u e

M = P DP −1, a v e c

D =

1 0 0

0 λ 00 0 λ

(λ = −0.1+i

√0.11) e t P =

1 x x

1 y y

1 z z

O n p o s e P −1 =

a a a

b b b

c c c

M o n t r e r q u e M n = P

1 0 0

0 λn 00 0 λn

P −1

D é n i t i o n C . 0 . 6 . O n d i t q u ' u n e s u i t e d e m a t r i c e s (U n)n≥1 d e t y p e (m × q) à é l é -

m e n t s d e C, (U n = [uij (n)]1≤i≤m,1≤ j≤q) c o n v e r g e v e r s u n e m a t r i c e L = (lij )1≤i≤m,1≤ j≤q

q u a n d n t e n d v e r s l ' i n n i s i limn→+∞

uij (n) = l ∀(i, j) ∈ 1, 2,...,m × 1, 2,...,qO n n o t e a l o r s L = lim

n→+∞U n

5 6



P r o p o s i t i o n C . 0 . 3 . É t a n t d o n n é u n e s u i t e d e m a t r i c e s (U n)n≥1 d e t y p e (m × q) à

é l é m e n t s d e C , q u i c o n v e r g e v e r s l a m a t r i c e L , l o r s q u e n t e n d v e r s l ' i n n i e t V , W d e u x

m a t r i c e s t e l l e s q u e l e s p r o d u i t s V L e t LW s o i e n t d é n i s , o n a a l o r s : limn→+∞

V U n = V L

e t limn→+∞

U nW = LW.

3 . ( a ) M o n t r e r q u e l a s u i t e d e m a t r i c e s (M n)n≥1 c o n v e r g e e t c a l c u l e r s a l i m i t e .

( b ) S o i e n t U = (uij)1≤i≤3,1≤ j≤3 e t V = (vij)1≤i≤3,1≤ j≤3 d e u x m a t r i c e s t e l l e s q u e l a

s o m m e d e s é l é m e n t s d e c h a q u e c o l o n n e d e c h a c u n e d ' e l l e s s o i t é g a l e à 1 . M o n t r e r

q u ' i l e s t d e m ê m e p o u r l a m a t r i c e U V.

( c ) D é d u i r e d e c e q u i p r é c è d e l e s v a l e u r s d e s é l é m e n t s a, a, a d e l a m a t r i c e P −1.

4 . M o n t r e r q u e l e s s u i t e s [α1(n)]n≥1, [α2(n)]n≥1, [α3(n)]n≥1 c o n v e r g e n t . C a l c u l e r l e u r s

l i m i t e s .

• • • • • • • • • •

5 7

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