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Probabilits Loi de probabilit densit Exercices corrigs

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1

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Exercice 1 : densit de probabilit (fonction dfinie sur un intervalle)

Exercice 2 : densit de probabilit (fonction dfinie sur une runion dintervalles)

Exercice 3 : loi de probabilit densit

Exercice 4 : variable alatoire continue et calculs de probabilits

Exercice 5 : variable alatoire continue et calcul de probabilit conditionnelle

Exercice 6 : esprance d'une variable alatoire continue

Probabilits Loi de probabilit densit

Exercices corrigs



2

Montrer que la fonction dfinie sur [ ] par ( ) est une densit de probabilit sur [ ].

Rappel : Densit de probabilit

Soit un intervalle. On appelle densit de probabilit sur toute fonction continue et positive sur telle que :

( )

Remarque : Pour tous rels et tels que , on a :

Si [ ], alors ( )

( )

Si [ [, alors ( )

( )

Si ] ], alors ( )

( )

Soit la fonction dfinie sur [ ] par ( ) .

1) Etudions la continuit de la fonction sur [ ].

est le produit du rel par la fonction carr, continue sur , donc continue sur [ ]. Par consquent, est

continue sur [ ].

2) Etudions le signe de la fonction sur [ ].

Pour tout [ ], . Par consquent, est positive sur [ ], comme tant le produit de deux

nombres positifs.

3) Vrifions que ( )

( )

[

]

(

)

De ces trois rsultats, il dcoule que une densit de probabilit sur [ ].

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de lexercice 1 Retour au menu



3

Prciser si la fonction dfinie par ( ) { [

]

] ]

est une densit de probabilit sur [ ].

1) Etudions la continuit de la fonction sur [ ].

Dune part, sur [ [, ( ) . Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue.

Dautre part, sur ] ], ( ) . Sur cet intervalle, est une fonction affine ; elle est donc continue.

Par consquent, est continue sur [ [ ]

].

Rappel : Continuit dune fonction en un point

Soit une fonction dfinie sur et soit .

est continue en si et seulement si a une limite en gale ( ), cest--dire si et seulement si

( ) ( ). En particulier est continue en si et seulement si

( )

( ) ( ).

Remarque :

On note indiffremment la limite gauche de la fonction en :

( ) ou

( ).

On note indiffremment la limite droite de la fonction en :

( ) ou

( ).

Enfin,

( )

( )

et

( )

( )

.

Par consquent,

( )

( ). Autrement dit, est continue en

.

En dfinitive, est continue sur [ ].

2) Etudions le signe de la fonction sur [ ].

Dune part, sur [ ], est une fonction affine de taux daccroissement positif. Elle est donc croissante.

Ainsi, , cest--dire ( ).

Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen




4

Dautre part, sur ] ], est une fonction affine de taux daccroissement ngatif. Elle est donc dcroissante.

Ainsi, , cest--dire ( ).

En dfinitive, est positive sur [ ].

3) Vrifions si ( )

Rappel : Relation de Chasles

Soit une fonction continue sur un intervalle . Pour tous nombres rels , et de tels que ,

( )

( )

( )

En utilisant la relation de Chasles, on a :

( )

( )

( )

( )

( )

[ ]

[

]

(

)

( ) (

) (

( )

)

Autrement dit, ( )

En tenant compte de ce dernier rsultat, la fonction ne peut pas tre une densit de probabilit sur [ ].

Remarque importante :

On pouvait galement reprsenter la fonction dans un repre orthonorm ( ) et observer que laire du

domaine situ entre la courbe reprsentative de , laxe des abscisses et les droites dquation et

tait suprieure une unit daire.

Etape 1 :

Etape 2 :



5

Etape 3 :

Etape 4 :



6

Indiquer, pour chacune des quatre fonctions reprsentes ci-dessous, si elle peut tre une fonction de densit

de probabilit sur lintervalle donn.

1) [ ]

2) [ ]

3) [ ]

4) [ ]

Rappel : Loi de probabilit densit

Soit une variable alatoire continue valeurs dans un intervalle et soit une densit de probabilit sur .

Dire que est la loi de probabilit de densit de signifie que, pour tout intervalle , la probabilit

( ) est gale laire du domaine { ( ) ( )}.

Remarque : Pour tous rels et tels que , on a :

Si [ ], alors ( ) ( )

Si [ [, alors ( ) ( )

Si ] ], alors ( ) ( )

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile




7

1)

La fonction reprsente peut tre une densit

de probabilit sur [ ] car :

est continue sur [ ] est positive sur [ ]

( )

Remarque : La fonction reprsente est dfinie sur [ ] par ( ) { [ ] [ ]

.

2)

La fonction reprsente peut tre une densit

de probabilit sur [ ] car :

est continue sur [ ] est positive sur [ ]

( )

Remarque : La fonction reprsente est dfinie sur [ ] par ( ) .

3)

La fonction reprsente ne peut pas tre une

densit de probabilit sur [ ] car :

Mme si est continue sur [ ] Et mme si est positive sur [ ]

( )




8

4)

La fonction reprsente ne peut pas tre une

densit de probabilit sur [ ] car :

Mme si est continue sur [ ] nest pas positive sur [ ]

( )




9

Soit la fonction dfinie sur [ [ par ( )

.

1) Montrer que est une densit de probabilit sur [ [.

Soit une variable alatoire telle que ( ) [ [ et dont la loi de probabilit admet comme densit.

2) Calculer ( ).

3) Calculer ( ).

1) Montrons que est une densit de probabilit sur [ [.

Rappel : Limite de la compose de deux fonctions

, et dsignent des rels, ou . et sont deux fonctions.

Si

( ) et si

( ) , alors on a :

( )( )

( ) .

La fonction est la compose de la fonction , continue sur [ [, par la fonction

,

continue sur ([ [) [ [. Par consquent, est continue sur [ [.

Par ailleurs, pour tout [ [, . est donc le quotient de deux nombres positifs. Par consquent,

est positive sur [ [.

Enfin, on a :

( )

[

]

(

(

))

(

)

Or,

et

( ) donc, daprs le thorme sur la limite de la compose de deux

fonctions,

( )

( ) . Par consquent, par somme des limites,

(

) ,

cest--dire :

( )

De ces trois rsultats, il vient que est une densit de probabilit sur [ [.

Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen


( ) ( )

( ( ))

( )



10

2) Calculons ( ).

( ) ( )

[

]

(

)

3) Calculons ( ).

Les vnements ( ) et ( ) sont deux vnements contraires. Par consquent, il vient que :

( ) ( ) ( )

[

]

[

]

Remarque : On pouvait galement utiliser la mthode suivante.

( )

( )

[

]

(

(

))

(

)

Or,

et

( ) donc, daprs le thorme sur la limite de la compose de deux

fonctions,

( )

( ) . Par consquent, par somme des limites,

(

)

,

cest--dire ( )

.



11

est une variable alatoire suivant une loi de probabilit de densit dfinie sur [ ] par ( )

.

1) Dterminer la valeur du rel .

2) Montrer que ( ) est un nombre rationnel.

3) Calculer ( )( ).

1) Dterminons la valeur du rel .

Tout dabord, remarquons que est une fonction continue sur [ ] comme tant le produit du rel par la

fonction inverse, continue sur [ ]. Remarquons par ailleurs que est positive sur [ ] si et

seulement si . Enfin, la variable alatoire suit une loi de probabilit de densit dfinie sur [ ] si

et seulement si :

( )

[ ]

( )

( ) ( ( ))

Finalement, suit une loi de probabilit de densit dfinie par ( )

sur [ ].

2) Montrons que ( ) est un nombre rationnel.

( ) ( )

[ ]

( )

( )

( ) est bien un nombre rationnel.

3) Calculons ( )( ).

Rappel : Probabilits conditionnelles (conditionnement par un vnement)

Soit une loi de probabilit dfinie sur un ensemble . Soient et deux vnements tels que ( ) .

La probabilit de lvnement sachant lvnement , note ( ), est dfinie par :

( ) ( )

( )

( )( ) (( ) ( ))

( ) ( )

( )

[ ]

[ ]

( )





12

Soit un rel et soit la fonction dfinie sur [ ] par ( ) ( ).

1) Dterminer de sorte que soit une densit de probabilit sur [ ].

est une variable alatoire qui suit la loi de densit de probabilit .

2) Calculer lesprance de .

1) Dterminons de sorte que la fonction , dfinie sur [ ] par ( ) ( ), soit une densit

de probabilit sur [ ].

Tout dabord, notons que la fonction est continue sur [ ] comme tant la compose de la fonction carr

, continue sur , par la fonction affine ( ), continue sur ( ) .

Par ailleurs, pour tout [ ], . Do . Ainsi, ( ) si et seulement si

.

Enfin, est une densit de probabilit sur [ ] si et seulement si :

( )

( )

[

]

(

(

( )

))

(

)

Par consquent, est une densit de probabilit sur [ ] si et seulement si ( ) ( ).

2) Calculons lesprance de .

Rappel : Esprance dune variable alatoire continue

Lesprance dune variable alatoire continue de densit sur un intervalle est le nombre rel :

( ) ( )

( ) ( )

(

( ))

( )

( )

[

]

(

(

( )

( )

))

(

)



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