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PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé n°1 6 / 9 /14
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PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°1 6 septembre 2014
PROBLEME 1 : ASSOCIATION DE CIRCUITS RC On analyse, à l'aide d'un oscilloscope, le circuit ci-contre comportant un générateur de tension E,r( ) , représenté dans le cadre pointillé, en série avec une résistance connue R, un condensateur C et un interrupteur K. L'interrupteur est fermé à t = 0 alors que le condensateur est déchargé. Les voies A et B de l'oscilloscope sont reliées aux deux bornes de la résistance R. On note u( t ) la tension aux bornes du condensateur et i( t ) l’intensité circulant dans le circuit.
L'enregistrement des signaux de l'oscilloscope donne l'oscillogramme suivant, avec les sensibilités 1 V/carreau en vertical et 0,1 ms/carreau en horizontal. Les deux curseurs (lignes horizontales en pointillés) sont réglés pour correspondre respectivement à 10 % et 90 % de l'amplitude maximale du signal (1). I Réponse indicielle d’un circuit RC 1) Identifier, en le justifiant, les enregistrements (1) et (2) aux voies A et B
2) Etablir les lois de u( t ) , tension aux bornes du condensateur, et i( t ) courant dans le circuit. On précisera la constante de temps τ et on déterminera l'expression de t1 pour lequel : u( t1 ) = 0,9E .
3) Préciser l’expression de la tension au point P. Sachant que R =100 Ω, déterminer les caractéristiques E,r( ) du générateur de tension, puis en déduire la valeur de la capacité C. 4) On veut appliquer un échelon de tension au dipôle RC : sur quel paramètre du montage doit-on agir, et comment ? Le signal de sortie s’appelle alors réponse indicielle. Pourquoi peut-on dire que l’étude de la réponse indicielle renseigne sur la “réactivité “ d’un circuit ?
R
C r
voie B
E
K
voie A
P
(1)
(2) •
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2 II Réponse harmonique d’un circuit RC On considère maintenant le circuit RC soumis à une excitation sinusoïdale e( t ) = Ecos(!t ) 5) Déterminer la fonction de transfert H 1( j! ) en sortie ouverte (rien n’est relié à la sortie) de ce circuit, et préciser l’expression de la pulsation de coupure à –3 dB, que l’on notera !0 . 6) En épreuve de travaux pratiques, on demande de fabriquer un filtre de fréquence de coupure (à –3 dB) f0 = 5 kHz, et de gain (en dB) nul dans la bande passante. La tension de sortie est observée sur un oscilloscope dont l’entrée peut être modélisée par l’association en parallèle d’une résistance Re = 1 MΩ et d’un condensateur de capacité Ce = 30 pF On dispose pour fabriquer ce filtre de deux résistances, respectivement de 4,7 kΩ et 680 kΩ, et de deux condensateurs de capacité 6,8 nF et 47 pF. Choisir les composants permettant de réaliser ce filtre et d’observer au mieux à l’oscilloscope le signal de sortie. Une réponse argumentée et quantifiée est attendue. On pourra en particulier comparer les valeurs du gain en bande passante et de la fréquence de coupure avec ou sans l’oscilloscope branché. III Deux circuits RC en cascade
7) On associe maintenant deux modules RC en cascade. Déterminer la fonction de transfertH 2( j! ) en sortie ouverte de ce circuit, et préciser l’expression de !2 , la pulsation de
coupure à –3 dB, en fonction de !0 .
8) Montrer que H 2( j! ) peut se mettre sous la forme H 2( j! ) =H0
1+ j !!"
#
$%&
'(1+ j !
!)
#
$%
&
'(
,
et exprimer !" et !" en fonction de !0 9) Les deux modules RC sont maintenant associés par l’intermédiaire d’un amplificateur opérationnel (AO) idéal. fonctionnant en régime linéaire. On précise que dans ce cas, les potentiels aux bornes d’entrée + (non inverseuse) et – (inverseuse) sont égaux, et qu’aucun courant ne rentre dans l’AO par les bornes + et – a) Justifier l’appellation de suiveur donné à l’AO dans ce montage. b) Déterminer la fonction de transfert en sortie ouverte de ce circuit, et préciser l’expression de ,
la pulsation de coupure à –3 dB, en fonction de . c) Quel est l’intérêt d’utiliser des AO en suiveur dans les associations de cellules RC ? 10) Représenter sur un même graphe les diagrammes de Bode en amplitude associés aux fonctions de transfertH 2 et H 3 . Commenter. 11) Proposer un montage pour fabriquer un filtre passe bas présentant une atténuation de 80 dB / décade pour des pulsations grandes devant !0 .
H 3( j! ) !3
!0
s
R e
C
R e
C s
R
C
s AO
R
- +
C
R
e C B A
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3 PROBLEME 2 : MODELISATION ET ANALYSE D’UN FILTRAGE Un quadripôle est constitué de deux dipôles D1 et D2 , disposés comme l’indique la figure. Seules les bornes d’entrée et de sortie sont accessibles à l’expérimentateur. Ce dernier alimente le filtre par un générateur de tension sinusoïdale parfait e( t ) = E0 cos!t , et effectue une étude en fréquence de la réponse du système. Il relève le tracé expérimental suivant qui a été modélisé avec un tableur à l’aide de la fonction de transfert
H( j! ) = 1
1+ jQ !!0
"!0
!#$%
&'(
1) Déterminer les valeurs numériques de 0ω et Q. 2) Effet du filtre sur un signal non sinusoïdal.
On peut décomposer les signaux périodiques de période T = 2!"
, d’entrée et de sortie sous la forme :
e( t ) = Enn=0
!
" cos( n#t + $n ) et s( t ) = Snn=0
!
" cos( n#t +$n ) .
On définit le taux de distorsion harmonique par ! =Sn2
n=2
"
#S1
.
a) Relier nS à nE grâce à la fonction de transfert. b) On applique un signal périodique avec T =1 ms et E0 = 1 V de la forme suivante :
D1
D2
1,16 kHz
f
GdB
- 3
0
0,34 kHz
t
La décomposition de Fourier de ce signal est donnée par l’expression :
avec .
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4 Montrer que le signal de sortie pour T =1 ms et E0 = 1 V est, en bonne approximation, sinusoïdal. c) On s’intéresse maintenant au signal suivant, toujours de période T =1 ms, et avec et E0 = 1 V: Peut-on encore considérer le signal de sortie comme sinusoïdal ? 3) Résolution de problème : détermination des composants du filtre. On sait que le constructeur a utilisé pour construire le filtre un seul résistor de résistance R, un seul condensateur de capacité C et une seule bobine d’inductance L. Ces trois dipôles ont été associés en série ou en parallèle de façon à former les dipôles D1 et D2 . Pour avoir des informations supplémentaires sur le
filtre, l’expérimentateur relie l’entrée du filtre à un générateur de tension continu de f.e.m U0 = 15 V, la
sortie étant ouverte. Il mesure alors en régime établi un courant d’entrée d’intensité I0 = 15 mA. a) Déterminer la disposition des composants dans le quadripôle. b) Déterminer la valeur numérique des composants. PROBLEME 3 : ETUDE D’UN DISPOSITIF TMD (TUNED MASS DAMPER) Exploiter le document joint en annexe pour répondre aux questions suivantes. On modélisera une construction par un système masse-ressort subissant un amortissement. 1) En exprimant la fréquence d’oscillation du système, justifier qualitativement la relation donnée dans le document entre la taille des bâtiments et leur fréquence d’oscillation. 2) Donner l’expression de l’amplitude de vibration du système relaxant au cours du temps. Justifier alors quantitativement l’affirmation relative à la tour Citicorp : «…avec une période de 6,5 s et une diminution d’amplitude de 1% par cycle, il faut une bonne dizaine de minutes pour que la vibration s’éteigne d’elle même ». 3) Tracer l’allure de la courbe de la réponse du système à une excitation sinusoïdale. Vérifier que : «… lorsque les vibrations de la tour sont rapides, la masse tend à rester immobile par rapport au sol. » en donnant un sens physique explicite à l’expression « vibrations rapides ». 4) Le document dit que « La tour Taipei 101 oscille avec une période de 6,8 s et une amplitude maximale de quelques dizaines de centimètres ». Calculer la valeur numérique de l’amplitude de son accélération et vérifier qu’elle est de l’ordre « de quelques centièmes de l’accélération de la pesanteur ». Comparer ces valeurs avec celle d’un bateau pour vérifier que l’oscillation de cette tour peut « donner la nausée. » 5) A quel type d’oscillateur est comparé le dispositif avec la boule d’acier installé pour limité les oscillations de la tour Tapei 101 ? Vérifier que la fréquence propre de cet oscillateur est comparable à celles des grattes ciels données par le document.
t en ms
La décomposition de Fourier de ce signal est cette fois-ci donnée par :
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5 PC*1 / PC*2 / PC CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°1 6 septembre 2014
PROBLEME 1 : ASSOCIATION DE CIRCUITS RC I Réponse indicielle d’un circuit RC 1) La tension aux bornes d’un condensateur est continue. La courbe (1), image de u( t )est relevée sur la voie B. La courbe (2) est l’image de la tension aux bornes du générateur.
2) On a l’équation de maille E = R + r( )i( t )+ u( t ) avec i( t ) =C dudt
soit dudt
+ u!= E!
avec ! = R + r( )C
de solution générale u( t ) = Aexp ! t"
#$%
&'(+ E
Par continuité de u( t ) , 0 = A+ E ce qui conduit à u( t ) = E 1! exp ! t"
#$%
&'(
#$%
&'(
On déduit i( t ) =C dudt
soit i( t ) =CE!exp " t
!#$%
&'(= ER + r
exp " t!
#$%
&'(
On a u( t1 ) = E 1! exp !t1"
#$%
&'(
#
$%&
'(= 0,9E soit exp !
t1"
#$%
&'(= 0,1 et t1 = Ln10( )! t1 = 2,3!
3) Le point P correspond à la tension e( t ) = E ! ri( t ) aux bornes du générateur à l’instant t = 0+ :
soit e( t ) = E 1! rR + r
exp! t"
#$%
&'(
et e( 0+ ) = RR + r
E
Pour t!" , u! E : on lit 6 carreaux soit 6 V E = 6 V
Le point P est situé à 4 carreaux : RR + r
E = 4V . Avec R = 100 Ω, on trouve r = 50 Ω
L’intersection de la courbe (1) avec le niveau 90% a lieu à t1= 4 × 0,1 = 0,4 ms
On en déduit ! =t12,3
= 0,17 ms puis C = !R + r
soit C = 1,1 µF
4) Un échelon de tension est un signal du type e( t ) = 0 pour t < 0, et e( t ) = E pour t ≥ 0. Il faut idéalement un générateur de résistance interne nulle, ou en pratique, négligeable devant R. La réponse indicielle donne accès à la constante de temps ! = RC du circuit seul, qui est un ordre de grandeur du temps nécessaire à l’établissement du régime permanent. II Réponse harmonique d’un circuit RC 5) Question de cours : on est en présence d’un pont diviseur, on a immédiatement
H 1( j! ) =SE= ZCZC + R
=
1jC!1jC!
+ R= 11+ jRC!
. On reconnaît un passe bas d’ordre 1 de la forme
H 1( j! ) ==1
1+ j !!0
de pulsation de coupure ( à –3 dB) !0 =1RC
6) Avec f0 =!0
2"= 12"RC
= 5.103 Hz , on trouve RC = 32 µs
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6 On vérifie facilement que les associations (R = 4,7 kΩ , C = 6,8 nF) et (R = 680 kΩ , C = 47 pF) conduisent toutes les deux à RC = 31,96 µs. Elles sont équivalentes pour une observation en sortie ouverte. En prenant en compte l’entrée de l’oscilloscope, le circuit est équivalent à :
La fonction de transfert H 1' =SE=
ZequZ equ + R
avec Zequ = C // Ce // Re soit 1Zequ
= 1Re
+ jC! + jCe!
H 1' =1
1+ RZequ
= 1
1+ R 1Re
+ j C +Ce( )!"#$
%&'
= 1
1+ RRe
+ jR C +Ce( )!=
ReR + Re
1+ jRReR + Re
C +Ce( )!
On retrouve l’expression d’un passe bas d’ordre 1 de pulsation de coupure !0 ' =R + Re
RRe C +Ce( ) et de gain
en basse fréquenceH10 ' =Re
R + Re.
On a H10 ' !1 si Re >> R et dans ce cas !0 ' "1RC
si de plus C >> Ce .
Il faut donc choisir R = 4,7 kΩ et C = 6,8 nF. III Deux circuits RC en cascade
7) En notant VA le potentiel en A, le pont diviseur en sortie
donne : SV A
= 11+ jRC!
soit V A = 1+ jRC!( )S
et la loi des nœuds appliquée en A : E !V A
R= V A ! S
R+V A ! 0ZC
soit E !V A =V A ! S + jRC"V A
puis : E = !S + 2 + jRC!( )V A = !S + 2 + jRC!( ) 1+ jRC!( )S = 1+ 3 jRC! " R2C 2!2( )S
et finalement : H 2( j! ) =1
1+ 3 jRC! " R2C 2!2
En posant x = !!0
, H 2( jx ) =1
1+ 3 jx ! x2
G2(!2 ) =
G2max2
soit avec G2max =1 et G2( x ) =1
1! x2( )2 + 9x2 , la pulsation réduite de coupure à – 3dB
est donnée par 1! x2( )2 + 9x2 = 2 ou en posant X = x2 , X 2 + 7X !1= 0
de solution X = !7+ 532
(seule la solution positive est acceptable) soit x = !7+ 532
= 0,37
La pulsation de coupure est !2 = 0,37!0
s
R e
C
oscillo
R e
C s
R
C
A
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7 8) Il suffit de factoriser le dénominateur D de H 2( jx ) :
D = !x2 + 3 jx +1= 0 a pour racines x1/2 =!3 j ± j 5
!2= 3± 5
2j de la forme ju1 et ju2 soit
D = ! x1 ! x( ) x2 ! x( ) = ! ju1 ! x( ) ju2 ! x( ) = u1 + jx( ) u2 + jx( )
et enfin D = 1+ j xu1
!
"#$
%&1+ j x
u2
!
"#$
%&= 1+ j '
u1'0
!
"#$
%&1+ j '
u2'0
!
"#$
%&
en remarquant que le produit u1u2 = 3+ 52
!
"#
$
%&3' 52
!
"#
$
%& =1
On a bien la forme demandée avec !" = 3+ 52
!0 = 2,61!0 et !" =3# 52
!0 = 0,38!0
9) a) VB =VE! et VE! =VE+ =VA par hypothèse : en terme de potentiel, tout se passe comme si les bornes A et B étaient reliées : le montage à AO ne modifie pas le potentiel appliqué.
b) Comme aucun courant ne rentre dans l’AO, on a un pont diviseur en sortie et en entrée :
SV B
= 11+ jRC!
et V A
E= 11+ jRC!
soit avec V A =V B : H 3 =1
1+ j !!0
"#$
%&'
2
La pulsation de coupure à – 3dB est donnée par 1+ jx( )2 = 2 soit 1+ x2( )2 = 2 et 1+ x2( )2 = 2
puis : 1+ x2 = 2 et x = 2 !1 " 0,64 !3 = 0,64!0 c) Contrairement au montage direct (sans AO) , la fonction de transfert des deux cellules en cascade est le produit des fonctions de transfert de chacune des cellules.
10) On constate que les deux courbes évoluent en haute fréquence vers une asymptote oblique de pente – 40 dB par décade, mais que le montage avec suiveur présente une cassure plus nette. Le montage direct présente deux cassures, avec un tronçon intermédiaire de pente -20 dB/ décade. 11) Il suffit d’associer en cascade 4 cellules RC séparées par des AO montés en suiveur : le diagramme asymptotique est la superposition de 4 passe bas d’ordre 1 de pulsation de coupure!0
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8 PROBLEME 2 : MODELISATION ET ANALYSE D’UN FILTRAGE
1) Pour exploiter la bande passante du graphe, on peut introduire la pulsation réduite x = !!0
H( jx ) = 1
1+ jQ x ! 1x
"#$
%&'
et G( x ) = 1
1+Q2 x ! 1x
"#$
%&'
2
Le gain maximum est obtenu pour x =1 soit pour ! = !0 . Numériquement, !0 = 2"f0 !0 =7,29.103 rad.s-1
La bande passante à -3 dB est définie par G( x ) =Gmax2
= 12
soit par Q2 x ! 1x
"#$
%&'
2
=1 ou x ! 1x= 1Q
On remarque que si x est solution, 1x
l’est également. En notant x1 et x2 =1x1
ces deux solutions,
!x = x1 " x2 = x1 "1x1
= 1Q
avec x1 > x2
On en déduit : !""0
= !ff0
= 1Q
donc Q =!0
"!=f0"f
Q = 3,41
On dispose des deux relations : LC == 12!f0
et RC = 12!"f
On en déduit C = 12!R"f
et L = 14!2 f0
2 2!R"f =R"f2!f0
2 AN : C = 468 nF L = 40 mH
2) a) En régime sinusoïdal forcé, SnEn
= H jn!( ) = 1
1+Q2 n!!0
"!0
n!#$%
&'(
2
b) Une période T = 1 ms correspond à un fondamental de fréquence f = 1T= 103 Hz, et à des
harmoniques (impaires) de fréquences 3 kHz, 5kHz,…. En calculant x = n!!0
= nff0
,
Pour f = 1 kHz, x = 0,86 et G = 0,707 et l’amplitude de sortie vaut 8!20,707 = 0,57V
Pour f = 3 kHz, x = 2,58 et G = 0,13 et l’amplitude de sortie vaut 89!2
0,13 = 0,004V
Pour f = 5 kHz, x = 4,31 et G = 0,07 et l’amplitude de sortie vaut : 825!2
0,07 = 0,002 V
Le fondamental est transmis avec une amplitude 142 fois plus importante que la première harmonique : on peut admettre que pratiquement seul le fondamental est transmis, et le signal de sortie est sinusoïdal de fréquence 1 kHz et d’amplitude 0,57 V. Le signal de sortie produit par le triangle est quasisinusoidal. Son taux de distortion est très faible : δ =10-2. c) Le spectre du signal carré décroit moins rapidement (en 1/n ) : les harmoniques de rang 3, 5, .. seront partiellement transmises. On observera un signal sinusoïdal mais déformé.
Pour f = 1 kHz, S = 4!0,707 = 0,9V Pour f = 3 kHz, S = 4
!0,133
= 0,054V …
Son taux de distortion est plus important : δ ≈10-1.
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9 3) a) Un courant continu peut traverser l’association de D1 etD2 en série : le condensateur qui se comporte comme un coupe circuit en régime continu est forcément en parallèle avec un autre composant. Il y a quatre cas possibles pour D1+D2 : a) R//C + L ; b) L//C + R ; c) R + L//C ; d) L + R // C Le tracé expérimental montre que le circuit est un passe bande : s est nul en très basse et très haute fréquence. En exploitant les comportements asymptotiques, soit condensateur équivalent à un coupe circuit en HF, et à un circuit ouvert en BF, et le contraire pour la bobine, on a pour a) , b) et d) : s = e ; et pour c) : s = 0 en BF et HF. On retient le montage ci contre :
b)H( j! ) = ZZ + R
avec Z =jL! 1
jC!
jL! + 1jC!
= jL!1" LC!2 soit
H( j! ) =
jL!1" LC!2
jL!1" LC!2 + R
= jL!jL! + R 1" LC!2( ) =
1
1+ RjL!
+ jC!= 1
1+ jRC! " j RL!
et H( j! ) = 1
1+ jR CL
LC! " 1LC!
#$%
&'(
soit la forme demandée avec Q = R CL
et !0 =1LC
En essai continu, le courant traverse la résistance et la bobine se comportant comme un fil ; on en déduit
R =U0
I0 AN : R = 1 k!
On dispose des deux relations : LC == 12!f0
et RC = 12!"f
On en déduit C = 12!R"f
et L = 14!2 f0
2 2!R"f =R"f2!f0
2 AN : C = 46 nF L = 40 mH
PROBLEME 3 : ETUDE D’UN DISPOSITIF TMD (TUNED MASS DAMPER) 1) Les bâtiments les plus grands, donc les plus lourd vibrent à des fréquences plus basses : cette relation est générale pour tous les systèmes oscillants : on peut l’établir le plus simplement dans le cas d’un système
masse ressort où la fréquence propre est donnée par f0 =12!
km
2) En modélisant la tour comme un oscillateur harmonique amorti linéaire, l’oscillation u( t ) est solution, en
régime libre, de l’équation différentielle d2udt 2
+ 1!dudt
+"02u = 0
de solution pseudopériodique u( t ) = Aexp ! t2!
"#$
%&'cos (t +)( )
L’essentiel est de constater une décroissance exponentielle de l’amplitude
Ainsi u( t )! u( t +T )
u( t )=1! exp ! T
2"#$%
&'(
et pour une décroissance de 1% par cycle, 1! exp ! T2"
#$%
&'(= 0,01
soit T2!
= "Ln( 0,99 ) et 2! = " TLn( 0,99 )
Avec T = 6,5 s, on trouve 2! = 647 s ≈ 10,7 min : l’ordre de grandeur proposé est correct.
L
C
R
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10 3) La courbe ci contre représente l’allure typique de la réponse d’un oscillateur amorti à une excitation sinusoïdale. Pour une excitation rapide, ie de fréquence bien supérieure à la fréquence propre de la tour (de 10Hz à 0,2 Hz selon la taille du bâtiment) , la réponse est négligeable. 4) L’accélération d’un oscillateur de pulsation ω et d’amplitude A est de l’ordre de a =!2A
Avec A = 10 cm et ! = 2"T
= 0,92 ≈ 1 s, on trouve a ! 0,1 m.s-2 ≈ g100
= 0,098 m.s-2
On a bien une accélération de l’ordre d’un centième de g pour 10 cm d’amplitude. L’affirmation est validée. Par ailleurs, cette amplitude et cette période sont plausibles pour le roulis d’un navire, et donc susceptible de provoquer un mal de mer et des nausées.
5) En assimilant le dispositif à un pendule pesant !, la fréquence d’oscillation est de 12!
lg
= 0,17 Hz
Cette valeur est cohérente avec les fréquences propres de gratte ciels données par le document, de l’ordre de 0,2 Hz. Par ailleurs, la masse importante permet au pendule de prendre une partie de l’énergie d’oscillation.
f
u
f0
