Devoir surveillé 2

Stockage de l'énergie électrique

Durée : 2h

Samedi 13 octobre

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérier que l'erreur ne vient pas

de lui.

LES CALCULATRICES SONT AUTORISÉES.

Le sujet comporte 2 exercices indépendants.

MPSI Devoir surveillé 2 - Stockage de l'énergie électrique 2018-2019

1 Batterie d'accumulateurs

Une batterie au plomb est un ensemble de six accumulateurs (cel-lules électrochimiques plomb-acide sulfurique) raccordés en série et réu-nis dans un même boîtier. Une batterie possède un caractère générateurdurant sa décharge et un caractère récepteur durant sa charge (conver-sion réversible entre énergie électrique et énergie chimique). Ce typede batterie est largement utilisé dans l'industrie, dans l'équipement desvéhicules automobiles ou pour stocker de l'énergie produite par intermit-tence (énergie solaire ou éolienne).

1.1 Étude d'un accumulateur

On ne s'intéresse pour le moment qu'à un seul des six accumulateursde la batterie.

Par dénition, sa tension à vide Eaccu est la tension à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun courant.On donne ci-dessous (gure 1) la courbe représentant la tension à vide d'un accumulateur en fonctionde son pourcentage de charge.

Lorsque l'accumulateur débite un courant I non nul, la tension U à ses bornes devient inférieure à satension à vide.

On donne ci-dessous (gure 2) la courbe représentant la tension U aux bornes d'un accumulateurchargé à 50% en fonction du courant I qui le traverse en convention générateur.

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Dans cette partie, la charge de l'accumulateur étudié sera constamment comprise en 20% et 90%.

1.1 Un accumulateur est-il un dipôle linéaire ou non, actif ou passif, symétrique ou polarisé (justier lesréponses) ?

1.2 Justier que l'on puisse modéliser l'accumulateur par l'association en série d'une source idéale def.é.m. constante Eaccu et d'un résistor de résistance r accu et donner la représentation de Théveninéquivalente à un accumulateur. Exprimer alors la tension à ses bornes U en fonction de Eaccu ,raccuet I l'intensité du courant qui le traverse en convention générateur.

1.3 Déterminer graphiquement les valeurs numériques de Eaccu et raccu.

1.2 Caractéristiques de la batterie

La batterie étudiée comporte un ensemble de six accumulateurs identiques à celui étudié précédemment.

1.4 Comment doit-on associer ces six accumulateurs de façon à obtenir une batterie de tension à videEbat maximale ?

1.5 Donnez la représentation de Thévenin équivalente à la batterie alors constitué. On précisera lavaleur de Ebat et celle de rbat, la résistance interne de la batterie.Quel est le nom de cet ingénieur dont le théorème éponyme énonce qu'un réseau électrique linéairevu de deux points est équivalent à un générateur de tension parfait dont la force électromotrice estégale à la diérence de potentiels à vide entre ces deux points, en série avec une résistance égale àcelle que l'on mesure entre les deux points lorsque les générateurs indépendants sont rendus passifs.De quelle école est-il diplômé ?

1.3 Charge de la batterie

On étudie maintenant la "charge" d'une batterie initialement complètement déchargée (pourcentagede charge nul), on considère alors Ebat = 0. Au fur et à mesure de la charge Ebat augmentera.De façon à eectuer la charge, on utilise une alimentation électrique modélisée par un générateur de forceélectromotrice E = 16 V constante et de résistance interne négligeable.

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On réalise le montage représenté gure 3 ci-dessous : on a placé deux résistors de résistances respectivesR1 = 2, 0 Ω et R2 = 5, 0 Ω pour contrôler la charge de la batterie.

1.6 Au début de la charge, la batterie est totalement déchargée, on considère alors Ebat = 0 V. À queldipôle passif la batterie est-elle alors équivalente ? En déduire, par la méthode de votre choix, lavaleur i0 de l'intensité i du courant la traverse. Faire l'application numérique.

1.7 Lorsque Ebat n'est pas nul, c'est-à-dire en cours de charge, montrer, par la méthode de votre choix,

que i =ER2 − (R1 +R2)Ebat

(R1 +R2)rbat +R1R2

1.8 Pour quelle valeur de Ebat l'intensité i s'annule-t-elle ? D'après le graphe de la gure 1, quel seraalors le pourcentage de charge des accumulateurs de la batterie ?

1.9 On souhaite que i s'annule lorsque la batterie est chargée à 100 %. Quelle sera alors la valeur deEbat ? On conserve R1 = 2, 0 Ω. Quelle valeur numérique faut-il maintenant donner à R2 ?

On cherche à estimer la durée de la charge ainsi que le rendement de cette charge. Pour cela, on vaidéaliser la courbe représentant la tension à vide en fonction de son pourcentage de charge :

1.10 Sur la batterie, on lit qu'elle peut stockée une charge q = 50 A · h. Déduire de la courbe et desrésultats précédent la durée qu'il faut pour charger la batterie à 100%. Faire l'application numérique.

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1.11 Déterminer l'expression de la puissance dissipée par eet Joule dans l'ensemble du circuit de charge.En déduire l'énergie dissipée par eet Joule pendant la durée de la charge. Faire l'applicationnumérique.

1.12 On dénit le rendement de la charge de la façon suivante

ρ =Énergie stockée dans la batterie

Énergie fournie par le générateur.

Donner l'expression du rendement et calculer sa valeur.

2 Utilisation d'un condensateur

De façon à utiliser un système de stockage plus "portable" que la batterie étudiée précédemment,on décide d'utiliser un condensateur de capacité C élevée. Ce condensateur réel comporte des élémentsrésistifs que l'on modélisera par une résistance Rf dit "résistance de fuite" placée en parallèle avec C(gure 4).

On donne : C = 100µF et Rf = 10 MΩ.

On considèrera le condensateur comme initialement complètement déchargé.

2.1 Charge d'un condensateur réel à travers un résistor

On place un interrupteur K, une résistance R = 10 Ω et le condensateur réel de capacité C et derésistance de fuite Rf en série aux bornes d'un générateur de tension idéal de force électromotrice constanteE = 12 V (gure 4).

À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.

2.1 Déterminez la valeur uC(0+) et uC(∞) de la tension uC(t) respectivement juste après la fermeture deK et au bout d'un temps très long (inni). Justiez vos réponses (sans utiliser de calcul diérentiel).

2.2 Même question pour i, l'intensité du courant qui traverse R : on donnera i(0+) et i(∞).

2.3 On se place à t ≥ 0.

2.3.1 Etablir l'équation diérentielle à laquelle obéit uC(t) sous la forme :

duCdt

+uCτ

=E

RC

Expliciter la quantité τ en fonction de R, Rf et C.

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2.3.2 En déduire l'expression de la tension uC(t) pour t ≤ 0.

2.3.3 Tracez l'allure de la courbe représentative de la fonction uC(t). On fera apparaître la tangenteà l'origine et l'asymptote.

2.4 Exprimez l'énergie EC(∞) stockée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonctionde C, R, Rf et E. Calculer numériquement EC(∞).

2.5 Quelle est la puissance dissipée par eet Joule dans le condensateur réel lorsque sa charge estterminée ? Faites l'application numérique pour Rf = 10 MΩ. Commentez.

2.6 On déconnecte le condensateur. En combien de temps sera-t-il déchargé ?

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