I - Prliminaire On considre deux lentilles minces de distances focales image respectives f1 et f2, de mme axe optique principal, et dont les centres optiques O1 et O2 sont distants de d = O1O2. On suppose O1 situ avant O2 selon le sens de propagation de la lumire :

(sens de propagation de la lumire)

O2O1

Remarque : le cas tudi est gnral, cest pourquoi les symboles des lentilles sur le schma ne correspondent ni des lentilles convergentes, ni des lentilles divergentes. 1. Dterminer, en fonction de d, f1 et f2, la position par rapport O2 de limage A dun point lumineux A situ linfini sur laxe optique principal. 2. Dans le cas particulier dun objet rel situ linfini, en dduire que deux lentilles minces accoles (pour d = 0) peuvent tre remplaces par une lentille mince unique de centre optique confondu avec les centres optiques (communs) des deux lentilles, et dont la distance focale image f12 est telle que :

1 f 12

= 1 f 1

+ 1 f 2

(ce rsultat est suppos valable gnralement pour la suite du problme).

II - tude simplifie dun objectif photographique bifocal (zoom). On tudie, de manire simplifie, le principe dun objectif photographique prsentant deux distances focales image possibles (pour deux positions des lentilles). 3. On considre un systme optique comprenant, sur un mme axe optique principal, trois lentilles minces L1, L2 et L3, de centres optiques respectifs O1, O2 et O3, et de foyers principaux image respectifs F1, F2 et F3. L1 et L3 sont des lentilles divergentes identiques, de distance focale image : f1 = O1F1 = f3 = O3F3 = -60 mm. L2 est une lentille convergente, de distance focale image : f2 = O2F2 = 35 mm. Dans la premire position (note position 1), les lentilles L1 et L2 sont accoles (O1O2 = 0). a) Dterminer, en fonction de f1 et f2, la position par rapport O1 du foyer image F12 de la lentille mince quivalente lensemble des deux lentilles L1 et L2. Effectuer lapplication numrique. b) En dduire, en fonction de f1 et f2, la distance e = O1O3 entre les lentilles L1 et L3 pour quun rayon incident parallle laxe optique principal ressorte du systme parallle cet axe (on dit dans ce cas que le systme est afocal). Effectuer lapplication numrique.

c) Dterminer, en fonction de f1 et f2, le rapport 1 = D

D (appel largissement) entre le diamtre D du

faisceau mergent et le diamtre D du faisceau incident correspondant (parallle laxe optique principal). Effectuer lapplication numrique. 4. a) Montrer que si lon dplace, suivant la direction de laxe optique, la lentille L2 jusqu la lentille L3 (L1 et L3 restant fixes) alors on obtient galement un systme afocal. Cette seconde position (O2O3 = 0) est note position 2.

b) Dterminer dans ce cas (O2O3 = 0), en fonction de f1 et f2, le rapport 2 = D

D entre les diamtres du

faisceau mergent du faisceau incident. Effectuer lapplication numrique. 5. a) Construire le trac, travers le systme dans la position 1, dun faisceau lumineux incident de rayons parallles (entre eux), inclin dun angle par rapport laxe optique principal.

b) En dduire, en fonction de f1 et f2, le rapport G1 =

(appel grossissement) entre langle de sortie et

langle dentre du faisceau. Effectuer lapplication numrique. c) Quelle est la relation entre G1 et 1 ? d) En dduire la valeur, en fonction de f1 et f2, du grossissement G2 du systme dans la position 2. Effectuer lapplication numrique. 6. On dispose ensuite, derrire la lentille L3, une lentille mince convergente L4 de distance focale image : f4 = O4F4 = 50 mm. a) O doit-on placer le film photographique pour obtenir une image nette dun objet linfini ( travers lensemble du dispositif) ? La distance entre L3 et L4 a-t-elle de limportance ? Justifier. b) O doit-on placer la lentille L4 pour que lencombrement du systme lentilles-film soit le plus faible possible ? Quelle est alors la distance entre L1 et le film photographique ? c) Quelle est, sur le film, la dimension de limage AB dun objet AB situ linfini, et caractris par son diamtre apparent , dans chacune des deux positions (prcdemment nommes 1 et 2, pour L2 confondue avec L1 ou L3) ? Effectuer les deux applications numriques pour = 5. d) On appelle distance focale f de lobjectif (compos des lentilles L1, L2, L3 et L4) la longueur gale au quotient

entre la taille de limage AB et langle : f = A B

. Dterminer les valeurs numriques de cette distance focale

dans les positions 1 et 2.

Corrig

1. La position, par rapport O1, de limage A de A par L1 correspond : 1/O1A = 1/O1A + 1/f1 = 1/f1 cest--dire O1A = f1 (un point linfini donne une image dans le plan focal image). La position de A par rapport O2 correspond : O2A = O2O1 + O1A = f1 - d. La position, par rapport O2, de limage A de A correspond : 1/O2A = 1/O2A + 1/f2 cest--dire : O2A = (f1 - d) f2/(f2 + f1 - d). 2. En particulier pour d = 0 : O2A = f1 f2/(f1 + f2). Ceci montre que, si une lentille mince quivalente existe, sa distance focale image est : f12 = f1 f2/(f1 + f2), ce qui correspond : 1/f12 = 1/f1 + 1/f2. remarque : cette condition ncessaire, tudie dans le cas particulier dun objet linfini, nest pas forcment suffisante ; plus prcisment, limage, par la premire lentille, dun point A quelconque est un point A tel que : 1/OA = 1/OA + 1/f1 (pour O1 et O2 confondus en O) ; son image par la seconde lentille est telle que : 1/OA = 1/OA + 1/f2 = 1/OA + 1/f1 + 1/f2 ; ceci peut scrire : 1/OA = 1/OA + 1/f12, si on pose ici encore : 1/f12 = 1/f1 + 1/f2, ce qui est bien en accord avec le calcul prcdent. 3.a. Daprs la relation prcdente : O1F12 = f12 = f1 f2/(f1 + f2) = 84 mm (lensemble est convergent). 3.b. Pour quun rayon incident (quelconque) parallle laxe optique ressorte parallle laxe optique, il faut et il suffit que limage dun point linfini (faisceau incident parallle) soit une image linfini (faisceau sortant parallle). Cela correspond dire que limage par L3 du foyer image de {L1+L2} est linfini, et donc que le foyer image de {L1+L2} est confondu avec le foyer objet de L3.

O3O1 O2 F3F'12

Ceci donne : e = O1O3 = O1F12 + F3O3 = f1 f2/(f1 + f2) + f3 = f1(f1 +2 f2)/(f1 + f2) = 24 mm. 3.c. Daprs le thorme de Thals : 1 = D/D = f3/f12 = -(f1 + f2)/f2 = 0,71. 4.a. Par symtrie, le dispositif est aussi afocal :

F'1 O3O1 O2F23

4.b. Daprs le thorme de Thals : 2 = D/D = f23/f1 = -f2/(f1 + f2) = 1,4. 5.a. On obtient le trac suivant :

O3O1 O2 F3F'12

les rayons incidents parallles ressortent de {L1+L2} en se recoupant (virtuellement, cause de la prsence de L3) dans le pan focal image de {L1+L2} (galement plan focal objet de L3) ; cette intersection est sur le rayon incident passant par le centre optique commun {L1+L2} (rayon non dvi lors de la traverse de {L1+L2}). celui, parmi les rayons ainsi convergents, qui passe par O3 nest pas dvi ; il donne donc la direction (angle ) des rayons sortants (parallles entre eux). 5.b. Daprs le thorme de Thals : tan()/tan() = f12/f3 = -f2/(f1 + f2) = 1,4. Pour des petits angles (conditions de Gauss), on obtient donc : G1 = / -f2/(f1 + f2) = 1,4. 5.c. On dduit de ce qui prcde : G1 1/1. 5.d. Dune faon analogue (par symtrie) : G2 = / f1/f23 = -(f1 + f2)/f2 = 0,71 = 1/2. 6.a. Le dispositif donne, sur la plaque photographique, une image (dun point linfini) dans le plan focal image de L4. Pour une lentille L4 donne, la position de limage ne dpend que de langle (elle correspond au rayon dangle et passant par O4, qui nest pas dvi par L4). Or, ne dpend que de langle ; par consquent, il semble que limage obtenue soit indpendante de la position de L4. Le schma prcdent montre toutefois que, plus la lentille L4 est loigne de L3, plus le faisceau sortant scarte de laxe optique et tend passer au bord de L4 (voire mme ct, au moins en partie) : les points aux bords des limites du champ de vision correspondent des rayons passant prs des bords de L4 et donnent des images floues et dformes (les conditions de Gauss sont mal respectes) ; un loignement trop grand diminue dautant la luminosit des point la priphrie de limage (voire mme : les rend non visibles). Le mieux est donc de placer L4 immdiatement accole derrire L3. 6.b. Pour que lencombrement du systme soit le plus faible, il faut de mme placer L4 immdiatement accole derrire L3. La distance entre L1 et le film photographique est alors : O1O3 + f4 = e + f4 = 74 mm. 6.c. Un objet de diamtre apparent correspond des points extrmes donnant des faisceaux parallles dangles respectifs /2 (pour les rayons incidents parallles provenant du bord suprieur de lobjet ; cas du schma suivant) et -/2 (pour les rayons incidents parallles provenant du bord infrieur de lobjet ; cas symtrique du schma suivant, correspondant au point image B). Les points images correspondants sont de part et dautre de laxe optique principal une distance : AB/2 = -f4 tan(/2) ; ceci donne donc une image de dimension : AB -f4 .

O4

F'4

A'

B'

laant lil derrire le dispositif, la place de lensemble {L4 + film} ; ceci provient uniquement du fait que lil qui regarde utilise une convention dorientation oppose au sens de laxe optique principal. 6.d. Dans la mesure o, pour une lentille simple, lobtention dune image dans le plan focal correspond : AB -f , on peut inversement dfinir la distance focale quivalente de lobjectif par : f = -AB/. Ceci donne respectivement : dans la premire position : f f4 G1 = 70 mm ; dans la seconde position : f f4 G2 = 35,7 mm.

I - Prliminaire