1

Traitement du signal (15 h)Jean-Hugh Thomas (jean-hugh.thomas@univ-lemans.fr)

1 Signaux aléatoires

2 Analyse spectrale

3 Systèmes linéaires stochastiques• Modèles AR, MA, ARMA

• Prédiction linéaire

• Estimation spectrale «moderne»

4 Temps-fréquence, temps-échelle (Ondelettes)

Programme complet : perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/syll_5a_ts.html

perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/fiches/fiches.htmlFiches TP :

Bibliographie• Théorie et traitement des signaux(F. de Coulon),

Dunod, 1984.• Traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses

polytechniques romandes, 1984.• Méthodes et techniques de traitement du signal et

applications aux mesures physiques(J. Max), Tome 1 Masson, 1985.

• Techniques modernes de traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses polytechniques romandes, 1991.

Bibliographie (suite)

• Traitement numérique du signal une introduction(A.W.M. Van Den Enden, N.A.M. Verhoeckx), Masson 1992.

• Signaux et systèmes linéaires(Y. Thomas), Masson, 1994.

• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.

4

Bibliography

• Modern Spectral Estimation (S. M. Kay), Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1988.

• Discrete-Time Signal Processing(A. V. Oppenheim and R. W. Schafer) Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1989.

• Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (J. G. Proakis and D. G. Manolakis), Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall, 1996.

• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat), Academic Press, 1999.

5

Signaux aléatoires

1 Concept

2 Représentations statistiques

3 Stationnarité

4 Ergodicité

5 Spectres

6 Signaux particuliers

6

Signaux aléatoires

3 expériences

X(t)

x3(t)

x2(t)

x1(t)

Processusaléatoire

7Processus aléatoire

8

F(x)

x

1

0

F

F

( )

( )

−∞ =+∞ =

0

1

Fonction de répartition

Densité de probabilité

f(x)

x0 µ µ µ µ X

9

Exemples de signaux aléatoires

• Electrocardiogramme

• Signal de parole

• Roulis d’un navire

• Consommation d’électricité

• Pression dans chambre de combustion d’un moteur

10

Exemples

3

6

15

30

Temps

Temps

Puissanceen kW

Température en °C

11

Moyenne et variance

1 1000 2000 3000 4000 5000850

900

950

1000Pression atmosphériqueen mbar

x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( )

Echantillons

m t( )

m t t( ) ( )± σ

12

Exemples de signaux aléatoires

• Electrocardiogramme

• Signal de parole

• Roulis d’un navire

• Consommation d’électricité

• Pression dans chambre de combustion d’un moteur

13

Ergodicité

tMoyennes d’ensemble

[ ]E X tN

tN i

i

N

x( ) ( )lim=→∞ =

∑1

1

Moyennes temporelles

14

Ergodicité

[ ]m E X tT

x t dtT T

T

= =→∞ −∫( ) ( )lim

1

2

[ ] ( )2 2 21

2σ = = −→∞ −∫E X t

Tx t m dtc

T T

T

( ) ( )lim

[ ]XT T

T

R E X t X tT

x t x t dt( ) ( ) ( ) ( ) ( )limτ τ τ= − = −→∞ −∫

1

2

15

Analyse spectrale

1 Estimation

2 Périodogramme

3 Périodogramme moyenné

4 Périodogramme modifié

5 Corrélogramme

16

Chaîne de mesure

Filtreanti-repliement

Echantillonnage

FFT⊗

Fenêtrage

Signal x(t)

Spectre| X(f) |

17

• : Vecteur de variables inconnues

• : Vecteur de variables mesurées

x

y

Estimation

x y

• : Estimation$x

( )g y$x

Système

Bruit

18

• Biais de l’estimateur

• Matrice de variance-covariance

• Variance (cas monovariable)

• Erreur quadratique moyenne

• Estimateur consistant

Qualité d’un estimateur

[ ]b E X x= −$

[ ]( ) [ ]( )[ ]Σ X

T

E X E X X E X= − −$ $ $ $

[ ]( )[ ]σ X E X E X22

= −$ $

( )[ ]E X x bX$ − = +

2 2 2σ

NN

NNb

→∞ →∞= =lim lim σ 2 0

19

Estimation de corrélation

0 N-1

Temps

xn

−−−−ττττ N-1- ττττTemps

τ < 0xn+ττττ

N-1- ττττ−−−−ττττ

τ > 0

Taille du support de RXττττ

????1-N 0 N-1

ττττ

20

Estimation de corrélation

0 N-1

n

xn

Support de n????

−−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1

n

xn+τ

τ 0≤Somme sur N+ττττ

échantillons

τ τ τ τ donné

21

Estimation de corrélation

0 N-1

n

xn

Support de n????

−−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1

n

xn+ττ 0≥

τ τ τ τ donné Somme sur N-ττττ

échantillons

22

Estimateur de corrélation

( ) 0ˆ ' =τXRbBiais

( )N

N − τ 2Variance proportionnelle à Estimateurconsistant

01ˆ

1

0

' ≥−

= +

−−

=∑ τ

τ τ

τ

τ n

N

nnX XX

NR

01ˆ

1' <

+= +

−

−=∑ τ

τ ττ

τ n

N

nnX XX

NR

ττ XX RRE =]ˆ[Espérance

23

( )ττ

τXX R

NRb −=ˆ

Estimateur de corrélation

Biais

1

NVariance proportionnelle à

Estimateurconsistant

$RN

X XX nn

N

nτ

τ

τ τ= ≥=

− −

+∑1

00

1

$RN

X XX nn

N

nττ

τ τ= <= −

−

+∑1

01

τττ BXX wRRE =]ˆ[Espérance

24

1 Calcul par FFT de la TFD de {Xn} sur N points.

2 FFT-1 de ( )X f2

Algorithme de calcul

3 Calcul de ( ) ( )( )$RN

FFT X fXτ τ=

−−1 1 2

( )( )211ˆ fXFFTN

RX−=

τou de

25

Périodogramme simple

( )x nTFD

( )Xs f$1 2

N.

( )x nTFD

( )Xs f$

$rbiaisé

Transformée de Fourier de l’estimation biaisée de l’autocorrélation du signal pondéré par une fenêtre

26Périodogramme

( )( ) ( )σ N X XS f S f2 2$ ≈

Biais

Variance

Estimateurinconsistant

( ) ( ) 21ˆ fXNT

fSe

X =

( )( ) kfiX

N

NkX eR

N

kfSb

k

π21

1

ˆ −−

+−=∑−=

)()()](ˆ[ fWfSfSE BXX ∗=Espérance

27

Périodogramme moyenné

x0

L points

xL-1 xN-1x2L-2

K fenêtresrectangulaires

Bartlett (1948)

pas de recouvrement

28

Périodogramme moyenné

i=0,1...K-1

Segment

$ ( ) $ ( )( )s fK

s fXB

Xi

i

K

==

−

∑1

0

1

x n x n i Li ( ) ( )= +i=0,1...K-1

n=0,1...L-1

( ) ( )21

0

2)(ˆ ∑−

=

−=L

n

nfji

eiX enx

L

Tfs π

29Périodogramme moyenné

( )( )b S fk

LR k eX

B

k N

N

Xi f k$ ( )= −

=− +

−−∑

1

12 π Biais

Estimateurconsistant

( )( ) ( )( )σ σN XB

L XiS f

KS f2 21

$ $ ( )≈ Variance

$ ( ) $ ( )( )S fK

S fXB

Xi

i

K

==

−

∑1

0

1

)()()](ˆ[ fWfSfSE BXBX ∗= Espérance

30

Périodogramme modifié

x0

L points xL-1

D points

xD-1

xD+L-2

xN-1x2D-2

M fenêtres

Recouvrement : L - D points(M - 1) D + L = N

Welch (1967)

31

Périodogramme de Welch

i=0,1...M-1Segment

$ ( ) $ ( )( )s fM

s fXW

Xi

i

M

==

−

∑1

0

1

UL

w nn

L

==

−

∑1 2

0

1

( )

( ) ( )21

0

2)( )(ˆ ∑−

=

−=L

n

nfji

eiX enwnx

LU

Tfs π

32

Périodogramme de Welch

Espérance

Estimateur consistant

( )( ) ( )( )σ σN XW

L XiS f

MS f2 21

$ $ ( )≈ Variance

$ ( ) $ ( )( )S fM

S fXW

Xi

i

M

==

−

∑1

0

1

( )[ ] ( ) ( )fSfSfS WXWX *ˆ =Ε

33

$rX

( )x nTFD

( )$s fX

Corrélogramme

Blackman et Tukey (1958)

( ) kfjM

MkX

BTX ekwkRfS π2

1

1

)()(ˆˆ −−

−=∑=

34

Corrélogramme

Espérance

Estimateur consistant

Variance

( )[ ] ( ) ( )fWfSfS BXBTX *ˆ =Ε

( )[ ] ( )

≈ ∑−

−=

1

1

222 )(1ˆ

M

MmX

BTXN mw

NfSfSσ

35

Systèmes linéaires stochastiques

1 Transmission d’un signal aléatoire dans un système linéaire

2 Processus générateurs d’un signal aléatoire : filtres formeurs du 1er ordre

36

Transmission d’un signal aléatoire dans un système linéaire

Xn YnH(z)

• Valeur moyenne de la sortie ?

• Intercorrélation entre la sortie et l’entrée ?

• Autocorrélation de la sortie ?

• Densité spectrale de puissance de la sortie ?

• Moyenne

• Intercorrélation

Interspectre

• Autocorrélation

DSP

37Paramètres statistiques

[ ]Ε ΧΥn nh= ∗

YX XR R hτ τ τ= ∗

Υ Χτ ττ τR h h R= ∗ ∗−

( ) ( ) ( )fff SSY ΧΗ= 2

( ) ( ) ( )fff SSYXΗ=

Χ

38

Y a Y Xt t t+ = +1 avec a< 1

[ ]E X Vt2 =

[ ]E Xt = 0 [ ]E Y y0 0=

( )[ ]E Y y P0 0

2

0− =

[ ]E X Xt t − = ∀ ≠τ τ0 0

Filtres formeurs du 1er ordre

[ ]E X Yt t − = ∀ ≥τ τ0 0

39

Filtre formeur du 1er ordre

{Y t}

{X t}

tt-ττττ1111t-ττττ1111−−−−1111 t-ττττ2 t+1111 τ = τ = τ = τ = −−−−1111

[ ]E X Yt t − = ∀ ≥τ τ0 0Yt-ττττ et Xt corrélés ?

40

Xt YtBruit blanc centré de variance V

Analyse

1er ordre

Caractéristiques statistiques de Yt ?

• Moyenne ?• Variance ?• Autocorrélation ?

41

Filtre formeur du 1er ordre

{Y t}

{X t}

t+ττττ-1

Yt corrélé à Xt , Xt+1 , ... Xt+ττττ-2 , Xt+ττττ-1 ?

t

42

Caractéristiques statistiques de la sortie du processus du 1er ordre

[ ]E Y a y ytt

t= =0

Moyenne

P a P a a a Vtt t= + + + + −2

02 4 2 21 L

P a P Vt t+ = +12 lim

ttP

V

a→∞=

−1 2

Variance

( )R a

V

aYτ

τ=−1 2Autocorrélation

43

Synthèse

xt yt

?

R P aYτ

τ=

( )H zz

az=

−

−

−

1

11( )V a P= −1 2

44

Modélisation paramétrique

1 Modèle AR

2 Prédiction linéaire

3 Modèles MA, ARMA

4 Estimation spectrale

5 Exemples

45

Processus générateurs :MA, AR, ARMA

xn ynH(z)

Bruit blanccentré

( )Η z b zii

Ni=

=

−∑0

Signal MA, filtre FIR

( )Η za zi

i

Ni

=+

=

−∑

1

11

Signal AR, filtre IIR

( )Η zb z

a z

ii

Ni

ii

Ni

=+

=

−

=

−

∑

∑

0

1

1

Signal ARMA

46

Bruit blanc centré de variance V

Modélisation autorégressive

• Réponse impulsionnelle

hi du filtre ?

• Puissance de Yt ?

• Autocorrélation de Yt ?

Xt Yt

( )Η za zi

i

Ni

=+

=

−∑

1

11

47

hV

RV

R a RYX Y i Yi

N

iτ τ τ τ= = +

+=∑

1 1

1

R a RY i Yi

N

iτ τ= −

−=∑

1

R V a RY i Yi

N

i01

= −=∑

Processus générateur AR

• Réponse impulsionnelle du filtre :

• Puissance :

• Autocorrélation :τ > 0

48

Equations de Yule Walker

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ

Υ

Υ Υ Υ

0 1 2

1 0 1 1

2 2

0

1 0

1

0

0

0

1

2

R R R RR R R RR R

RR R R

N

N

N

N N

a

a

a

V

N

.

.

. . .

. .

. .

. .

−

−

−

=

R a V=

49Algorithme de Durbin-Levinson• 1.

• 2.

• 3.

• 4.

• 5.

• 6.

N = 0

0 0 01

0,,a V R= = Υ

N Nn

N

N nV R aN n

+−

== −

+ −∑1

1

0 1Γ Υ ,

( )N N NV V+ += −1 1

21 Γ

N n N n N N N n

N

a a a+ + + −

+

= +

1 1 1

1

1

, , ,ΓΓ

N N= + 1

n = 0

n N= + 1

1≤ ≤n N

si

si

si

50

Bruit blanc centré de variance VN

Synthèse d’un signal AR

• Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYττττ}

Processus aléatoire

• Calcul des a N, i et VN par l’algorithme de Levinson

Xt Yt( )Η za zN i

i

Ni

=+

=

−∑

1

11

,

yt

(τ(τ(τ(τ = 0,... N )

51

Prédiction linéaire

t-1

{ y1 t }

{ y2 t }

t Temps

Valeurs de y1 et y2à l’instant t ?

ty2ˆ

ty1ˆ

y2 t

y1 t

E Y Yt t t= − $

52

Analogie

Yt EtH-1 (z)

Xt YtH (z)

Filtre MA prédicteur d’erreur

Filtre AR

53

Equations de Yule Walker

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ

Υ

Υ Υ Υ

0 1 2

1 0 1 1

2 2

0

1 0

1

0

0

0

1

2

R R R RR R R RR R

RR R R

N

N

N

N N

a

a

a

V

N

.

.

. . .

. .

. .

. .

−

−

−

=

R a V=

54

Bruit blanc centré de variance V

Modélisation moyenne mobile

• Réponse impulsionnelle hidu filtre ?

• Puissance de Yt ?

• Autocorrélation de Yt ?

Xt Yt

( )Η z b zii

Ni=

=

−∑0

55

h bi i=

∑=

−=N

iiiY hhVR

τττ

R V hY ii

N

0

2

0

==∑

Processus générateur MA

• Coefficients du filtre :

• Puissance :

• Autocorrélation :

τ ≤ N

56

Bruit blanc centré de variance V

Synthèse d’un signal MA

• Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYτ τ τ τ }

Processus aléatoire

• Calcul des bi par programmation non linéaire

Xt Yt( )Η z b zi

i

Ni=

=

−∑0

yt

(τ(τ(τ(τ = 0,... N )

57

Bruit blanc centré de variance V

Modélisation autorégressive et moyenne mobile

Autocorrélation de Yt ?

Xt Yt

( )Η zb z

a z

ii

Ni

ii

Ni

=+

=

−

=

−

∑

∑

0

1

1

Y b X a Yt ii

N

t i ii

N

t i= −=

−=

−∑ ∑0 1

58

τ = N

Processus générateur ARMAAutocorrélation :

τ > N

[ ]R a R b E X YY ii

N

Y ii

N

t i tiτ τ τ= − += =

− −∑ ∑−1 0

R a RY ii

N

Y iτ τ= −

=∑ −

1

R a R b b VY ii

N

Y NN N i= − +

=∑ −

10

59

Modélisation ARMA

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ Υ Υ

Υ Υ

Υ

Υ Υ Υ

N N N

N N N

N

N

N N N

R R R RR R R RR R

RR R R

a

a

a

b b V

N

N− −

+

+

−

=

1 1 0

1 1

2 2

2 2 1

1

0

0

0

1

2

0.

.

. . .

. . . .

. .

. .

Equations de Yule Walker

60

Bruit blanc centré de variance V

Synthèse d’un signal ARMA

1 Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYττττ}

Processus aléatoire

2 Calcul des a N, i par l’algorithme de Levinson

Xt Yt

b zii

Ni

=

−∑0

yt

1

11

+=

−∑a zN ii

Ni

,Ut

(τ(τ(τ(τ = N,... 2N )

61

Synthèse d’un signal ARMA3 Détermination des { Ut }

4 Estimation de la séquence d’autocorrélation { RUτ τ τ τ }}}}

5 Calcul des bi par programmation non linéaire

U Y a Yt t ii

N

t i= +=

−∑1

R V b bU i ii

N

τ τ

τ

= +=

−

∑0

b N0 1= ≤, τ

Choix de l’ordre du modèle

2ˆ)1(

)1()( NNM

NMNFPE σ

+−++=

2ˆln2

)( NM

NNAIC σ+=

2ˆlnln

)( NM

MNNMDL σ+=

21

2 ˆˆ1

)(N

N

i i M

NM

M

iM

MNCAT

σσ−−

−= ∑=

Final Prediction Error(Akaike)

Akaike Information Criterion

Minimum Description Length(Rissanen)

Criterion Autoregressive

Transfer(Parzen)

62

63

Estimation de la DSP à partir du modèle AR du signal

• Estimation de la séquence d’autocorrélation {Ry(k)}.

• Calcul des aN,i et VN par l’algorithme de Levinson.

• Détermination de la Densité Spectrale de Puissance :

( ) 2

1

2,1 ∑

=

−+=

N

n

TnfjnN

NY

eea

VfS

π

64

Estimateur de DSP

( ) ( )1 11 3 1− +− −z z

24

52

31

40sin sin

π πt t

+

Bruit blanc centré de variance 1

Signal MA

+

+Estimateur

de DSP

65

Estimateur de DSP

Bruit blanc centré de variance 1

1

1 145 0811 2− +− −. .z zEstimateur

de DSP

Bruit de mesurede variance σ σ σ σ 2

Signal AR

1

66

Analyse par ondelettes

1. Intérêt d’une Représentation Temps-fréquence

2. La transformée en ondelettes continue

3. Comparaisons avec la transformée de Fourier à court terme (bancs de filtres)

4. Ondelettes discrètes ou analyse multirésolution

5. Quelques applications

67

Représentation temporelle

100 200 300 400 500

2

1

0

-1

-2

Temps [ nombre d’échantillons]

Amplitude

Signal synthétisé sur 512 points, fe=2 kHz

2

68

Représentation fréquentielle(Fourier)

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0-2 0

-1 0

0

1 0

2 0

3 0

Fréquence [Hz]

Moduledu

spectre[dB]

3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz

69

Intérêt d’une représentation en temps et en fréquence

«La représentation d’un signal comme fonction du temps exhibe mal le spectre des fréquences en jeu, alors qu’au contraire son analyse de Fourier masque l’instant d’émission et la durée de chacun des éléments du signal.»

R. Balian dans Les ondelettes algorithmes et applicationsY. Meyer. Armand Colin 1992

Notes ���� fréquences

Blanche, noire… ���� durée

3

70

Représentation temps-fréquenceou temps-échelle

100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

Temps [ nombre d’échantillons]

Echelleou

fréquence

370 Hz

200 Hz

80 Hz

71

Représentation en 3D

Temps [ nombre d’échantillons]

Fréquence [Hz]

4

72

50 100 150 200 250

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Représentation temporelle

Temps [ nombre d’échantillons]

Amplitude

Signal synthétisé sur 256 points, fe=5 kHz

Contenu : modulations de fréquence (2), impulsions (1 BF, 2 HF), fréquence pure (1)

73

Représentation fréquentielle(Fourier)

Fréquence [Hz]

DensitéSpectrale

de Puissance[dB]

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0- 1 5

- 1 0

- 5

0

5

1 0

5

74

Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes

continues

Temps [ nombre d’échantillons]

Echelleou

fréquence

800 Hz

400 Hz

270 Hz

200 Hz

160 Hz

50 100 150 200 250

5

10

15

20

25

0

10

20

30

40

50

60

75

Transformée de Fourier à court terme (short time Fourier transform)

M fenêtres

dtetwtxfSTFT ftjx

πττ 2)(*)(),( −+∞

∞−∫ −=

M transformées de Fourier

6

76

Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier

à fenêtre glissante

fen= 128 ech., dt= 2 ech.

df=

39.

0625

Hz

80 100 120 140 160 180

0

500

1000

1500

2000

2500 0

20

40

60

80

100

120

77

Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier

à fenêtre glissante

fen= 64 ech., dt= 8 ech.

df=

78.

125

Hz

50 100 150 200

0

500

1000

1500

2000

2500 0

20

40

60

80

100

120

7

78

( )ψ αt e ei c t t= − 2 2 2

Types d’ondelettes

Ondelette de Morlet Chapeau mexicain

( ) ( )ψ t a e tt= −− 2 2 21

79Ondelettes analysantes

Ondelette mère

Dilatation Contraction

)(1

)(, a

t

ata

τψψ τ−=

)(tψ

8

80

Principe de la transformée en ondelettes

Temps

x(t)

ψψψψτ,τ,τ,τ,a(t)

ττττ1111 ττττ2222

dta

ttx

aaCWTx )(*)(

1),(

τψτ −= ∫∞+

∞−

81

Comparaison STFT-CWT

dtetwtxfSTFT ftjx

πττ 2)(*)(),( −+∞

∞−∫ −=Analyse

dta

ttx

aaCWTx )(*)(

1),(

τψτ −= ∫∞+

∞−Reconstruction

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−= dfdtgfSTFT

Etx fx

w

ττ τ )(),(1

)( ,ftj

f etwtg πτ τ 2

, )()( −=

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−=

2, )(),(1

)(a

dadtaCWT

Ktx ax

τψτ τψ

9

82

Comparaison STFT-CWT

⊗

e j f−2 π τ

( )w e j f* − τ π τ2x( )τ ( )X fτ ,

x( )τ 1

a aψ

τ

( )CWT ax τ ,

Transformée en ondelettes continue

Transformée de Fourier à court terme

83

Comparaison CWT, STFT : Bancs de filtres

Tempsfréquence

STFT

CWTTempséchelle

f/fe0.1

0 0.50.40.30.20.1 f/fe

0.50.40.30.20

10

84

Pavage des plans temps fréquence, temps échelle

-1

1

1 256

Fréquence

Temps

Temps

Echelle

85

Implantation de la transformée en ondelettes continue

⊗

( )CWT ax τ ,

x( )τ

1

a aψ

τ

FFT

FFT

FFT -1

11

86

Discrétisation du plan temps-échelle

x1 x2 x16x8

j=0

j=3

j=2

j=1k

ψ k j,

( ) ( )ψ ψk j

jjt t k, = −

−−2 22

a j= 2 τ = k j2

87

Analyse multirésolution : Algorithme

2H(z) 2H(z)2H(z)

2G(z)

2G(z)

2G(z)

{xn}={ak,0} {ak,1} {ak,J-1}

{dk,J}

{dk,2}

{dk,1}

{ak,J}

12

88

Gabarit des filtres

f

1

1/2

1/2 1/2

|H||G|

|G||H|

f f0

1

fe /2j+1 fe /2j+1fe /2j fe /2j

Filtres miroirsen quadrature

89

Analyse multirésolution : exemple 1

3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz

fe=2 kHz

[fe/4, fe/2]

[fe/8, fe/4]

[fe/16, fe/8]

[fe/32, fe/16]

[0, fe/4]

[0, fe/8]

[0, fe/16]

[0, fe/32]

[256, 512 Hz]

[128, 256 Hz]

[64, 128 Hz]

13

90

Analyse multirésolution : exemple 2

fe=5 kHz

[fe/4, fe/2]

[fe/8, fe/4]

[fe/16, fe/8]

[fe/32, fe/16]

[0, fe/4]

[0, fe/8]

[0, fe/16]

[0, fe/32]

91

Applications des ondelettes

� Extraction de caractéristiques

� Identification de phénomènes

� Débruitage

� Compression

14

92

Identification de phénomènes

Objectif : Suivi de l’évolution du frottement entre le piston et la chemise au cours de la phase de rodage

Etude de F. Magand, O. Giraud, Actes Conf. « Méthodes de surveillance et techniques de diagnostic acoustiques et vibratoires » :

Suivi de l’état tribologique d’un moteur diesel à partir de mesures accélérométriques

93Identification de phénomènes

Résultat : obtention d’un critère énergétique de rodage permettant d’estimer l’importance du frottement

15

94Extraction de caractères :

Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006

Etude de Z. Hamou Mamar du LIMOS (Laboratoire d’Informatique de Modélisation et Optimisation des Systèmes, Clermont-Ferrand) :

Diagnostic de l’usure des galets du système de guidage d’un tramway sur pneumatique

95

Extraction de caractères :

Z. Hamou Mamar, LIMOS,Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006

Scalogramme + réduction (SVD) + classification (k-PPV, RBF, SVM)

16

96

Références

• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.• Ondes et ondelettes la saga d’un outil mathématique

(B. Burke Hubbard), Pour La Science, 1995.• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat),

Academic Press, 1998.• Les ondelettes et leurs applications(M. Misiti, Y. Misiti,

G. Oppenheim, J.-M. Poggi), Hermès, 2003.