Projet utilisé pour la couverture de ce document · Projet utilisé pour la couverture de ce document : Centre Pompidou-Metz© Shigeru Ban Architects Europe et Jean de Gastines Architectes,

Projet utilisé pour la couverture de ce document : Centre Pompidou-Metz© Shigeru Ban Architects Europe et Jean de Gastines Architectes, avec Philip Gumuchdjian pour la conception du projet lauréat du concours / Metz Métropole / Centre Pompidou-Metz

- Entreprise Générale : Demathieu & Bard

- Bureau d’Etudes Structure : CTE

- Photo : Christophe Prenel

Guide de validation Effel

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SOMMAIRE

1. INTRODUCTION............................................................................................................................................15 1.1. Codification des fiches de description des tests........................................................................15 1.2. Exemple codification fiche de description de test ......................................................................17 1.3. Exemple codification fiche de comparaison des résultats ........................................................17 1.4. Marge d’erreur................................................................................................................................17 1.5. Fiche synthétique de la version 2012...........................................................................................18

2. DESCRIPTION DETAILLEE DES TESTS.....................................................................................................23 2.1. Test n° 01-0001SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire en porte-à-faux .........................................23

2.1.1. Fiche de description ........................................................................................................23 2.1.2. Présentation ....................................................................................................................23 2.1.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ..........................................24 2.1.4. Fiche de résultats............................................................................................................24

2.2. Test n° 01-0002SSLLB_MEF: Système de deux barres à trois rotules......................................25 2.2.1. Fiche de description ........................................................................................................25 2.2.2. Présentation ....................................................................................................................25 2.2.3. Déplacement du modèle en C.........................................................................................26 2.2.4. Contraintes dans les barres ............................................................................................26 2.2.5. Modélisation aux éléments finis ......................................................................................26 2.2.6. Forme du diagramme des contraintes.............................................................................27 2.2.7. Fiche de résultats............................................................................................................27

2.3. Test n° 01-0003SSLSB_MEF: Plaque circulaire sous charge uniforme ....................................28 2.3.1. Fiche de description ........................................................................................................28 2.3.2. Présentation ....................................................................................................................28 2.3.3. Déplacement vertical du modèle au centre de la plaque.................................................29 2.3.4. Fiche de résultats............................................................................................................30

2.4. Test n° 01-0004SDLLB_MEF: Poutre élancée de section variable (encastrée-libre) ................31 2.4.1. Fiche de description ........................................................................................................31 2.4.2. Présentation ....................................................................................................................31 2.4.3. Fréquences propres ........................................................................................................32 2.4.4. Fiche de résultats............................................................................................................33

2.5. Test n° 01-0005SSLLB_MEF: Poutre sous-tendue......................................................................34 2.5.1. Fiche de description ........................................................................................................34 2.5.2. Présentation ....................................................................................................................34 2.5.3. Effort de traction dans la barre CE ..................................................................................35 2.5.4. Moment fléchissant au point H ........................................................................................36 2.5.5. Déplacement vertical au point D .....................................................................................37 2.5.6. Fiche de résultats............................................................................................................38

2.6. Test n° 01-0006SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince encastré en deux points ....................39 2.6.1. Fiche de description ........................................................................................................39 2.6.2. Présentation ....................................................................................................................39 2.6.3. Fréquences propres ........................................................................................................40 2.6.4. Fiche de résultats............................................................................................................41

2.7. Test n° 01-0007SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 0 °) .............42 2.7.1. Fiche de description ........................................................................................................42 2.7.2. Présentation ....................................................................................................................42 2.7.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α ..................................................................43 2.7.4. Fiche de résultats............................................................................................................43

2.8. Test n° 01-0008SDLSB_MEF: Plaque mince encastrée sur un bord (α = 15 °) .........................44


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2.8.1. Fiche de description ........................................................................................................44 2.8.2. Présentation ....................................................................................................................44 2.8.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α ..................................................................45 2.8.4. Fiche de résultats............................................................................................................45

2.9. Test n° 01-0009SDLSB_MEF: Plaque mince encastrée sur un bord (α = 30 °) .........................46 2.9.1. Fiche de description ........................................................................................................46 2.9.2. Présentation ....................................................................................................................46 2.9.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α ..................................................................47 2.9.4. Fiche de résultats............................................................................................................47

2.10. Test n° 01-0010SDLSB_MEF: Plaque mince encastrée sur un bord (α = 45 °) .........................48 2.10.1. Fiche de description ........................................................................................................48 2.10.2. Présentation ....................................................................................................................48 2.10.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α ..................................................................49 2.10.4. Fiche de résultats............................................................................................................49

2.11. Test n° 01-0011SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1)......................................................................................................................................50 2.11.1. Fiche de description ........................................................................................................50 2.11.2. Présentation ....................................................................................................................50 2.11.3. Fréquences propres ........................................................................................................51 2.11.4. Fiche de résultats............................................................................................................51



2.14. Test n° 01-0014SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique ....56 2.14.1. Fiche de description ........................................................................................................56 2.14.2. Présentation ....................................................................................................................56 2.14.3. Fréquences propres ........................................................................................................57 2.14.4. Fiche de résultats............................................................................................................58

2.15. Test n° 01-0015SSLLB_MEF: Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu ........................59 2.15.1. Fiche de description ........................................................................................................59 2.15.2. Présentation ....................................................................................................................59 2.15.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ..........................................60 2.15.4. Fiche de résultats............................................................................................................61

2.16. Test n° 01-0016SDLLB_MEF: Poutre bi-encastrée......................................................................62 2.16.1. Fiche de description ........................................................................................................62 2.16.2. Présentation ....................................................................................................................62 2.16.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ..........................................63 2.16.4. Fréquences propres du modèle dans le domaine linéaire élastique ...............................63 2.16.5. Fiche de résultats............................................................................................................65

2.17. Test n° 01-0017SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre) .............66 2.17.1. Fiche de description ........................................................................................................66 2.17.2. Présentation ....................................................................................................................66 2.17.3. Fréquences propres ........................................................................................................67 2.17.4. Fiche de résultats............................................................................................................68


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2.18. Test n° 01-0018SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (excentrés)...........................69 2.18.1. Fiche de description ........................................................................................................69 2.18.2. Présentation ....................................................................................................................69 2.18.3. Fréquences propres ........................................................................................................70 2.18.4. Fiche de résultats............................................................................................................72

2.19. Test n° 01-0019SDLSB_MEF: Plaque carrée mince encastrée sur un bord..............................73 2.19.1. Fiche de description ........................................................................................................73 2.19.2. Présentation ....................................................................................................................73 2.19.3. Fréquences propres ........................................................................................................74 2.19.4. Fiche de résultats............................................................................................................75

2.20. Test n° 01-0020SDLSB_MEF: Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords...............................................................................................................................................76 2.20.1. Fiche de description ........................................................................................................76 2.20.2. Présentation ....................................................................................................................76 2.20.3. Fréquences propres ........................................................................................................77 2.20.4. Fiche de résultats............................................................................................................78

2.21. Test n° 01-0021SFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien.....................................79 2.21.1. Fiche de description ........................................................................................................79 2.21.2. Présentation ....................................................................................................................79 2.21.3. Charge critique au nœud 5..............................................................................................80 2.21.4. Fiche de résultats............................................................................................................80

2.22. Test n° 01-0022SDLSB_MEF: Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu (structure à répétitivité circulaire) ................................................................................................81 2.22.1. Fiche de description ........................................................................................................81 2.22.2. Présentation ....................................................................................................................81 2.22.3. Fréquences propres ........................................................................................................82 2.22.4. Fiche de résultats............................................................................................................82

2.23. Test n° 01-0023SDLLB_MEF: Flexion d’un portique symétrique...............................................83 2.23.1. Fiche de description ........................................................................................................83 2.23.2. Présentation ....................................................................................................................83 2.23.3. Fréquences propres ........................................................................................................84 2.23.4. Fiche de résultats............................................................................................................85

2.24. Test n° 01-0024SSLLB_MEF: Poutre élancée sur deux appuis encastrés ................................86 2.24.1. Fiche de description ........................................................................................................86 2.24.2. Présentation ....................................................................................................................86 2.24.3. Effort tranchant en G.......................................................................................................88 2.24.4. Moment fléchissant en G ................................................................................................89 2.24.5. Déplacement vertical en G..............................................................................................90 2.24.6. Réaction horizontale en A ...............................................................................................91 2.24.7. Fiche de résultats............................................................................................................91

2.25. Test n° 01-0025SSLLB_MEF: Poutre élancée sur trois appuis ..................................................92 2.25.1. Fiche de description ........................................................................................................92 2.25.2. Présentation ....................................................................................................................92 2.25.3. Moment fléchissant en B.................................................................................................93 2.25.4. Réaction en B..................................................................................................................93 2.25.5. Déplacement vertical en B ..............................................................................................94 2.25.6. Fiche de résultats............................................................................................................94

2.26. Test n° 01-0026SSLLB_MEF: Bilame - poutres encastrées reliées par un élément indéformable ..................................................................................................................................95 2.26.1. Fiche de description ........................................................................................................95 2.26.2. Présentation ....................................................................................................................95 2.26.3. Flèche en B et D .............................................................................................................96 2.26.4. Réaction verticale en A et C............................................................................................97 2.26.5. Moment fléchissant en A et C .........................................................................................97


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2.26.6. Fiche de résultats............................................................................................................97 2.27. Test n° 01-0027SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion plane ..........................................98

2.27.1. Fiche de description ........................................................................................................98 2.27.2. Présentation ....................................................................................................................98 2.27.3. Déplacements en B.........................................................................................................99 2.27.4. Fiche de résultats..........................................................................................................100

2.28. Test n° 01-0028SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion hors plan..................................101 2.28.1. Fiche de description ......................................................................................................101 2.28.2. Présentation ..................................................................................................................101 2.28.3. Déplacements en B.......................................................................................................102 2.28.4. Moments en θ = 15° ......................................................................................................102 2.28.5. Fiche de résultats..........................................................................................................102

2.29. Test n° 01-0029SSLLB_MEF: Arc mince bi-articulé en flexion plane ......................................103 2.29.1. Fiche de description ......................................................................................................103 2.29.2. Présentation ..................................................................................................................103 2.29.3. Déplacements en A, B et C...........................................................................................104 2.29.4. Fiche de résultats..........................................................................................................105

2.30. Test n° 01-0030SSLLB_MEF: Portiques à liaisons latérales ....................................................106 2.30.1. Fiche de description ......................................................................................................106 2.30.2. Présentation ..................................................................................................................106 2.30.3. Déplacements en A.......................................................................................................107 2.30.4. Moments en A ...............................................................................................................108 2.30.5. Fiche de résultats..........................................................................................................108

2.31. Test n° 01-0031SSLLB_MEF: Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle .......109 2.31.1. Fiche de description ......................................................................................................109 2.31.2. Présentation ..................................................................................................................109 2.31.3. Déplacements en C et D ...............................................................................................110 2.31.4. Fiche de résultats..........................................................................................................110

2.32. Test n° 01-0032SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités libres...............................111 2.32.1. Fiche de description ......................................................................................................111 2.32.2. Présentation ..................................................................................................................111 2.32.3. Moment fléchissant et déplacement en C .....................................................................112 2.32.4. Déplacements en A.......................................................................................................113 2.32.5. Fiche de résultats..........................................................................................................113

2.33. Test n° 01-0033SFLLA_MEF: Pylône EDF..................................................................................114 2.33.1. Fiche de description ......................................................................................................114 2.33.2. Présentation ..................................................................................................................114 2.33.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ........................................116 2.33.4. Fiche de résultats..........................................................................................................118

2.34. Test n° 01-0034SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités articulées .......................119 2.34.1. Fiche de description ......................................................................................................119 2.34.2. Présentation ..................................................................................................................119 2.34.3. Déplacement et réaction d’appui en A ..........................................................................120 2.34.4. Déplacement et moment de flexion en D ......................................................................121 2.34.5. Fiche de résultats..........................................................................................................122

2.35. Test n° 01-0035SSLPB_MEF: Plaque en flexion et cisaillement dans son plan .....................123 2.35.1. Fiche de description ......................................................................................................123 2.35.2. Présentation ..................................................................................................................123 2.35.3. Contraintes planes en (x,y) ...........................................................................................123 2.35.4. Fiche de résultats..........................................................................................................124

2.36. Test n° 01-0036SSLSB_MEF: Plaque carrée simplement supportée.......................................125 2.36.1. Fiche de description ......................................................................................................125 2.36.2. Présentation ..................................................................................................................125


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2.36.3. Déplacement vertical en O...........................................................................................126 2.36.4. Fiche de résultats..........................................................................................................126

2.37. Test n° 01-0037SSLSB_MEF: Poutre caisson en torsion .........................................................127 2.37.1. Fiche de description ......................................................................................................127 2.37.2. Présentation ..................................................................................................................127 2.37.3. Déplacement et contrainte en deux points ....................................................................128 2.37.4. Fiche de résultats..........................................................................................................129

2.38. Test n° 01-0038SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression radiale uniforme......................130 2.38.1. Fiche de description ......................................................................................................130 2.38.2. Présentation ..................................................................................................................130 2.38.3. Contraintes en tous points.............................................................................................131 2.38.4. Déformations du cylindre en tous points .......................................................................131 2.38.5. Fiche de résultats..........................................................................................................131

2.39. Test n° 01-0039SSLSB_MEF: Plaque carrée en contraintes planes ........................................132 2.39.1. Fiche de description ......................................................................................................132 2.39.2. Présentation ..................................................................................................................132 2.39.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ........................................133 2.39.4. Fiche de résultats..........................................................................................................134

2.40. Test n° 01-0040SSLSB_MEF: Membrane raidie.........................................................................135 2.40.1. Fiche de description ......................................................................................................135 2.40.2. Présentation ..................................................................................................................135 2.40.3. Résultats du modèle dans le domaine linéaire élastique ..............................................136 2.40.4. Fiche de résultats..........................................................................................................137

2.41. Test n° 01-0041SSLLB_MEF: Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement ..................................................................................................................................138 2.41.1. Fiche de description ......................................................................................................138 2.41.2. Présentation ..................................................................................................................138 2.41.3. Déplacement vertical du modèle dans le domaine linéaire élastique ............................139 2.41.4. Fiche de résultats..........................................................................................................139

2.42. Test n° 01-0042SSLSB_MEF: Cylindre mince sous charge axiale uniforme ..........................140 2.42.1. Fiche de description ......................................................................................................140 2.42.2. Présentation ..................................................................................................................140 2.42.3. Contrainte en tous points ..............................................................................................141 2.42.4. Déformation du cylindre à l’extrémité libre ....................................................................141 2.42.5. Fiche de résultats..........................................................................................................142

2.43. Test n° 01-0043SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression hydrostatique..........................143 2.43.1. Fiche de description ......................................................................................................143 2.43.2. Présentation ..................................................................................................................143 2.43.3. Contraintes....................................................................................................................144 2.43.4. Déformation du cylindre ................................................................................................144 2.43.5. Fiche de résultats..........................................................................................................145

2.44. Test n° 01-0044SSLSB_MEF: Cylindre mince sous son poids propre ....................................146 2.44.1. Fiche de description ......................................................................................................146 2.44.2. Présentation ..................................................................................................................146 2.44.3. Contraintes....................................................................................................................147 2.44.4. Déformation du cylindre ................................................................................................147 2.44.5. Fiche de résultats..........................................................................................................147

2.45. Test n° 01-0045SSLSB_MEF: Tore sous pression interne uniforme .......................................148 2.45.1. Fiche de description ......................................................................................................148 2.45.2. Présentation ..................................................................................................................148 2.45.3. Contraintes....................................................................................................................149 2.45.4. Déformation du cylindre ................................................................................................149 2.45.5. Fiche de résultats..........................................................................................................149


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2.46. Test n° 01-0046SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous pression interne .................................150 2.46.1. Fiche de description ......................................................................................................150 2.46.2. Présentation ..................................................................................................................150 2.46.3. Contraintes....................................................................................................................151 2.46.4. Déformation du cylindre ................................................................................................151 2.46.5. Fiche de résultats..........................................................................................................152

2.47. Test n° 01-0047SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous son poids propre................................153 2.47.1. Fiche de description ......................................................................................................153 2.47.2. Présentation ..................................................................................................................153 2.47.3. Contraintes....................................................................................................................154 2.47.4. Déformation radiale du cylindre.....................................................................................154 2.47.5. Fiche de résultats..........................................................................................................155

2.48. Test n° 01-0048SSLSB_MEF: Coque cylindrique pincée..........................................................156 2.48.1. Fiche de description ......................................................................................................156 2.48.2. Présentation ..................................................................................................................156 2.48.3. Déplacement vertical au point A....................................................................................157 2.48.4. Fiche de résultats..........................................................................................................157

2.49. Test n° 01-0049SSLSB_MEF: Coque sphérique trouée ............................................................158 2.49.1. Fiche de description ......................................................................................................158 2.49.2. Présentation ..................................................................................................................158 2.49.3. Déplacement horizontal au point A ...............................................................................159 2.49.4. Fiche de résultats..........................................................................................................159

2.50. Test n° 01-0051SSLSB_MEF: Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme........................................................................................................................................160 2.50.1. Fiche de description ......................................................................................................160 2.50.2. Présentation ..................................................................................................................160 2.50.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ............................161 2.50.4. Fiche de résultats..........................................................................................................161

2.51. Test n° 01-0052SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme........................................................................................................................................162 2.51.1. Fiche de description ......................................................................................................162 2.51.2. Présentation ..................................................................................................................162 2.51.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ............................163 2.51.4. Fiche de résultats..........................................................................................................163

2.52. Test n° 01-0053SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme........................................................................................................................................164 2.52.1. Fiche de description ......................................................................................................164 2.52.2. Présentation ..................................................................................................................164 2.52.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque ............................165 2.52.4. Fiche de résultats..........................................................................................................165

2.53. Test n° 01-0054SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec effort et moments ponctuels .....................................................................................................................166 2.53.1. Fiche de description ......................................................................................................166 2.53.2. Présentation ..................................................................................................................166 2.53.3. Déplacement vertical en C ............................................................................................167 2.53.4. Fiche de résultats..........................................................................................................167

2.54. Test n° 01-0055SSLSB_MEF: Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne .......................................................................................................................................168 2.54.1. Fiche de description ......................................................................................................168 2.54.2. Présentation ..................................................................................................................168 2.54.3. Déplacement vertical en C ............................................................................................169 2.54.4. Fiche de résultats..........................................................................................................169

2.55. Test n° 01-0056SSLLB_MEF: Système triangulé de barres articulées....................................170 2.55.1. Fiche de description ......................................................................................................170


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2.55.2. Présentation ..................................................................................................................170 2.55.3. Effort de traction dans la barre BD ................................................................................171 2.55.4. Déplacement vertical en D ............................................................................................171 2.55.5. Fiche de résultats..........................................................................................................171

2.56. Test n° 01-0057SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme..............................................................................................172 2.56.1. Fiche de description ......................................................................................................172 2.56.2. Présentation ..................................................................................................................172 2.56.3. Déplacement vertical en C ............................................................................................173 2.56.4. Fiche de résultats..........................................................................................................173

2.57. Test n° 01-0058SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme..........................................................................................174 2.57.1. Fiche de description ......................................................................................................174 2.57.2. Présentation ..................................................................................................................174 2.57.3. Déplacement vertical en C ............................................................................................175 2.57.4. Fiche de résultats..........................................................................................................175




2.61. Test n° 01-0062SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .................................................................................................182 2.61.1. Fiche de description ......................................................................................................182 2.61.2. Présentation ..................................................................................................................182 2.61.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)..................................................183 2.61.4. Fiche de résultats..........................................................................................................183

2.62. Test n° 01-0063SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .............................................................................................184 2.62.1. Fiche de description ......................................................................................................184 2.62.2. Présentation ..................................................................................................................184 2.62.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)..................................................185 2.62.4. Fiche de résultats..........................................................................................................185

2.63. Test n° 01-0064SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.02 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .................................................................................................186 2.63.1. Fiche de description ......................................................................................................186 2.63.2. Présentation ..................................................................................................................186 2.63.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)..................................................187 2.63.4. Fiche de résultats..........................................................................................................187

2.64. Test n° 01-0066SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.1 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle .................................................................................................188 2.64.1. Fiche de description ......................................................................................................188


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2.64.2. Présentation ..................................................................................................................188 2.64.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)..................................................189 2.64.4. Fiche de résultats..........................................................................................................189

2.65. Test n° 01-0067SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans l’espace (cas 1) ............................................................................................................................190 2.65.1. Fiche de description ......................................................................................................190 2.65.2. Présentation ..................................................................................................................190 2.65.3. Fréquences propres ......................................................................................................191 2.65.4. Fiche de résultats..........................................................................................................191



2.68. Test n° 01-0077SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D...............196 2.68.1. Fiche de description ......................................................................................................196 2.68.2. Présentation ..................................................................................................................196 2.68.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D...................197 2.68.4. Fiche de résultats..........................................................................................................197

2.69. Test n° 01-0078SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D...............198 2.69.1. Fiche de description ......................................................................................................198 2.69.2. Présentation ..................................................................................................................198 2.69.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D...................199 2.69.4. Fiche de résultats..........................................................................................................199

2.70. Test n° 01-0084SSLLB_MEF: Poutre courte sur deux appuis articules ..................................200 2.70.1. Fiche de description ......................................................................................................200 2.70.2. Présentation ..................................................................................................................200 2.70.3. Résultats de référence ..................................................................................................200 2.70.4. Fiche de résultats..........................................................................................................200

2.71. Test n° 01-0085SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-libre (β=5)....................................................................................................................201 2.71.1. Fiche de description ......................................................................................................201 2.71.2. Présentation ..................................................................................................................201 2.71.3. Résultats de référence ..................................................................................................202 2.71.4. Fiche de résultats..........................................................................................................205

2.72. Test n° 01-0086SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-encastrée ....................................................................................................................206 2.72.1. Fiche de description ......................................................................................................206 2.72.2. Présentation ..................................................................................................................206 2.72.3. Résultats de référence ..................................................................................................206 2.72.4. Fiche de résultats..........................................................................................................207

2.73. Test n° 01-0089SSLLB_MEF: Portique plan articule en pied ...................................................208 2.73.1. Fiche de description ......................................................................................................208 2.73.2. Présentation ..................................................................................................................208 2.73.3. Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence...................................209 2.73.4. Valeurs de référence.....................................................................................................209 2.73.5. Fiche de résultats..........................................................................................................209


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2.74. Test n° 01-0090HFLSB_MEF: Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique.........................................................................................................................210 2.74.1. Fiche de description ......................................................................................................210 2.74.2. Présentation ..................................................................................................................210 2.74.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ........................................211 2.74.4. Fiche de résultats..........................................................................................................212

2.75. Test n° 01-0091HFLLB_MEF: Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique......................................................................................................................................213 2.75.1. Fiche de description ......................................................................................................213 2.75.2. Présentation ..................................................................................................................213 2.75.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ........................................214 2.75.4. Fiche de résultats..........................................................................................................214

2.76. Test n° 01-0092HFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique......................................................................................................................................215 2.76.1. Fiche de description ......................................................................................................215 2.76.2. Présentation ..................................................................................................................215 2.76.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique ........................................215 2.76.4. Fiche de résultats..........................................................................................................216

2.77. Test n° 01-0094SSLLB_MEF: Structure spatiale à barres avec appui élastique ....................217 2.77.1. Fiche de description ......................................................................................................217 2.77.2. Présentation ..................................................................................................................217 2.77.3. Résultats .......................................................................................................................218 2.77.4. Fiche de résultats..........................................................................................................222

2.78. Test n° 01-0095SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse centrée............223 2.78.1. Fiche de description ......................................................................................................223 2.78.2. Données du test ............................................................................................................223 2.78.3. Résultats de référence ..................................................................................................224 2.78.4. Fiche de résultats..........................................................................................................227

2.79. Test n° 01-0096SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse ou inertie excentrée ......................................................................................................................................228 2.79.1. Fiche de description ......................................................................................................228 2.79.2. Données du problème...................................................................................................228 2.79.3. Fréquences de référence ..............................................................................................229 2.79.4. Fiche de résultats..........................................................................................................230

2.80. Test n° 01-0097SDLLB_MEF: Double croix a extrémités articulées ........................................231 2.80.1. Fiche de description ......................................................................................................231 2.80.2. Données du problème...................................................................................................231 2.80.3. Fréquences de référence ..............................................................................................232 2.80.4. Fiche de résultats..........................................................................................................233

2.81. Test n° 01-0098SDLLB_MEF: Poutre sur appuis simples en vibration libre...........................234 2.81.1. Fiche de description ......................................................................................................234 2.81.2. Données du problème...................................................................................................234 2.81.3. Fréquences de référence ..............................................................................................235 2.81.4. Fiche de résultats..........................................................................................................236

2.82. Test n° 01-0099HSLSB_MEF: Membrane avec point chaud.....................................................237 2.82.1. Fiche de description ......................................................................................................237 2.82.2. Données du problème...................................................................................................237 2.82.3. Contrainte σyy au point A : ............................................................................................239 2.82.4. Fiche de résultats..........................................................................................................239

2.83. Test n° 01-0100SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0).....................................240 2.83.1. Fiche de description ......................................................................................................240 2.83.2. Solutions de références ................................................................................................241 2.83.3. Fiche de résultats..........................................................................................................242

2.84. Test n° 01-0101SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k → ∞)...................................243


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2.84.1. Fiche de description ......................................................................................................243 2.84.2. Présentation ..................................................................................................................243 2.84.3. Solutions de références ................................................................................................244 2.84.4. Fiche de résultats..........................................................................................................245

2.85. Test n° 01-0102SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m) ....................246 2.85.1. Fiche de description ......................................................................................................246 2.85.2. Présentation ..................................................................................................................246 2.85.3. Solutions de références ................................................................................................247 2.85.4. Fiche de résultats..........................................................................................................248

2.86. Test n° 01-0103SSLLB_MEF: Système de barres réticulées (linéaire) ....................................249 2.86.1. Fiche de description ......................................................................................................249 2.86.2. Présentation ..................................................................................................................249 2.86.3. Solutions de références ................................................................................................250 2.86.4. Fiche de résultats..........................................................................................................251

2.87. Test n° 01-0104SSNLB_MEF: Système de barres réticulées (non linéaire) ............................252 2.87.1. Fiche de description ......................................................................................................252 2.87.2. Présentation ..................................................................................................................252 2.87.3. Solutions de références ................................................................................................253 2.87.4. Fiche de résultats..........................................................................................................254

2.88. Test n° 02-0111SDLLA_MEF: Réponse dynamique d’une poutre bi-encastrée......................255 2.88.1. Fiche de description ......................................................................................................255 2.88.2. Présentation ..................................................................................................................255 2.88.3. Référence NE/Nastran V8.............................................................................................256 2.88.4. Fiche de résultats..........................................................................................................257

2.89. Test n° 02-0112SMLLB_P92: Etude d’un mât soumis à un séisme .........................................258 2.89.1. Fiche de description ......................................................................................................258 2.89.2. Présentation du modèle ................................................................................................258 2.89.3. Modèle RDM .................................................................................................................258 2.89.4. Hypothèses sismiques suivant le règlement PS92........................................................259 2.89.5. Analyse Modale.............................................................................................................259 2.89.6. Etude spectrale .............................................................................................................260 2.89.7. Fiche de résultats..........................................................................................................262

2.90. Test n° 02-0156SSLLB_NBN: Générateur climatique selon la norme NBN-B03-002..............263 2.90.1. Fiche de description ......................................................................................................263 2.90.2. PRESENTATION ..........................................................................................................263 2.90.3. Calcul théorique selon la norme NBN-B03-002.............................................................264 2.90.4. Fiche de résultats..........................................................................................................264

2.91. Test n° 02-0158SSLLB_B91: Filaire en flexion composée avec traction- sans aciers comprimés - Section partiellement tendue................................................................................265 2.91.1. Fiche de description ......................................................................................................265 2.91.2. Présentation ..................................................................................................................265 2.91.3. Calcul des armatures ....................................................................................................266 2.91.4. Fiche de résultats..........................................................................................................268

2.92. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés ....................269 2.92.1. Fiche de description ......................................................................................................269 2.92.2. Calcul des armatures ....................................................................................................270 2.92.3. Fiche de résultats..........................................................................................................271

2.93. Test n° 02-0167SSLPB_B91: Outils Beton – Section rectangulaire en flexion simple- sans aciers comprimés ...............................................................................................................272 2.93.1. Fiche de description ......................................................................................................272 2.93.2. Présentation ..................................................................................................................272 2.93.3. Calcul des armatures ....................................................................................................272 2.93.4. Fiche de résultats..........................................................................................................273


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2.94. Test n° 02-0168SSLPG_B91: Outils Beton - Filaire en T en flexion composée avec compression- avec aciers comprimés .......................................................................................274 2.94.1. Fiche de description ......................................................................................................274 2.94.2. Présentation ..................................................................................................................274 2.94.3. Calcul des armatures ....................................................................................................275 2.94.4. Fiche de résultats..........................................................................................................275

2.95. Test n° 03-0198SSLPA_SEC: Section carrée de 0,20 m en béton............................................276 2.96. Test n° 03-0199SSLPA_SEC: Section circulaire pleine de 0,30 m en acier.............................277 2.97. Test n° 03-0200SSLPA_SEC: Section triangulaire en acier......................................................278 2.98. Test n° 03-0201SSLPA_SEC: Section circulaire creuse en acier.............................................279 2.99. Test n° 03-0204SSLLG_C71 : Dimensionnement d'une structure bois 3D..............................280

2.99.1. Données........................................................................................................................280 2.99.2. Résultats Effel Structure ...............................................................................................281 2.99.3. Résultats Effel Expertise CB71 .....................................................................................282

2.100. Test n° 03-0205SSLLG_EC3: Dimensionnement d'une structure 3D en métal .......................288 2.100.1. Données........................................................................................................................288 2.100.2. Résultats Effel Structure ...............................................................................................289 2.100.3. Résultats Effel Expertise EC3 .......................................................................................290


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1. INTRODUCTION

Avant sa sortie officielle, chaque version des logiciels de Graitec, et notamment Arche - Effel, subit une série de tests de validation, issues de la base de "tests standards".

Cette validation a lieu en parallèle et en complément de la période de Bêta-Test en vue de l'attribution du statut "version opérationnelle".

A l'heure de rédaction de ce document, cette base de test automatique comporte 115 tests qui sont codifiés et archivés de façon précise.

Chaque test fait l'objet de plusieurs documents de référence :

■ Une fiche de description du test.

■ Une fiche de résultats

■ Le fichier informatique correspondant au modèle testé.

La codification des fiches de description des tests est détaillée ci-après.

1.1. Codification des fiches de description des tests

La codification des fiches de tests est résumé dans le tableau suivant:

Année Numéro Domaine Type Type de Type de Comparaison Normes

du test d'application d'analyse comportement modèle des résultats

O1 OOO1 Mécanique Statique Linéaire Linéique A une référence Eléments

O2 OOO2 des structures S L L théorique finis

. OOO3 S Dynamique B MEF

. . D Non linéaire Surfacique A un maillage Eurocode X

. . Flambement N S normalisé ECX

. . Thermomécanique eulérien N BAEL

H F Plan (2D) A un autre B91

Spectrale P logiciel CM66

M A C66

Transitoire Discret En aveugle CB71

Thermique T D G C71

T Stationnaire . P .

■ La première colonne du tableau correspond aux deux derniers chiffres de l’année de création

du test.

■ La deuxième colonne du tableau indique le numéro du test sur 4 digits. Le premier test porte le numéro 0001. (9999 tests peuvent donc être créés chaque année.)

■ Les colonnes 3 à 6 du tableau sont issues du Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structure de l’AFNOR. Elles concernent l’ensemble des progiciels GRAITEC en fonction de leurs domaines d’application respectifs.

■ Concernant le choix du type d’analyse, si pour un même test deux types d’analyse sont utilisés, on retient pour la codification celle de degré le plus élevé, c’est à dire celle de niveau le plus bas dans la colonne correspondante; par exemple : un test calculé en statique puis en dynamique a la dénomination Dynamique (D) comme type d’analyse.

■ Concernant le choix du type de modèle, la dénomination surfacique comprend les modèles constitués uniquement d’éléments surfaciques ainsi que les modèles constitués d’éléments surfaciques et linéiques.

■ La colonne comparaison des résultats permet de connaître la référence prise en compte pour valider le résultat obtenu avec les logiciels GRAITEC.


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■ La dernière colonne permet d’identifier la norme utilisée pour le test :

Métier Normes Code utilisé

Climatique NV65-84 N65

DIN-1055 D55 NBE-EA-95-EHE NBE NBN-B03 NBN RSA-98 R98 STAS 10101/21-92/20-90 S01

Sismique NCSE94 N94

P100-92 P00 PS69 P69 PS92 P92 RPA88 R88 RPA99 R99 RSA-98 S98 SI413 S13

Béton armé ACI ACI

BAEL B91 DIN DIN EC2 EC2 EHE EHE STAS 10107/0-90 S07

Construction métallique CM66 C66

EA-95 E95 EC3 EC3

Construction bois CB71 C71

Eléments finis MEF MEF

■ La codification des fiches de description de tests est composée de ces 8 colonnes. Pour les

fiches de comparaison de résultats, le numéro de la version utilisée est ajouté à la suite (sans point).


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1.2. Exemple codification fiche de description de test

1.3. Exemple codification fiche de comparaison des résultats

1.4. Marge d’erreur

La marge d’erreur acceptable pour la validation d’un test est :

Statique 2%

Dynamique 5% Flambement eulérien 5%

Spectrale 5% Stationnaire 5% Transitoire 5% Climatique 5% Sismique 5%

Béton armé 10% Construction métallique 10%

Construction bois 10%

01-0001SSLLA_MEF-092N

92N : Version utilisée pour le calcul du test

01-0001SSLLA_MEF 01 : Date

SSLL : Analyse

A : Comparaison des résultats

MEF : Norme utilisée

0001 : Numéro du test

01-0001SSLLA_MEF-101M

101M: Version utilisée pour le calcul du test


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1.5. Fiche synthétique de la version 2012

Logiciel Module Solveur Code Titre Version

réf. Ecart ELFI

Ecart CM2

Effel Structure ELFI + CM2 01-0001SSLSB_MEF Plaque rectangulaire en porte-à-faux - -1.34% -1.24%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0002SSLLB_MEF Système de deux barres à trois rotules - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0003SSLSB_MEF Plaque circulaire sous charge uniforme - -0.46% -0.46%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0004SDLLB_MEF Poutre élancée de section variable (encastrée-libre) - 0.50% -1.14%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0005SSLLB_MEF Poutre sous-tendue 12.1 H (SP4) 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0006SDLLB_MEF Anneau circulaire mince encastré en deux points - 0.45% 0.84%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0007SDLSB_MEF Plaque losange mince encastrée sur un bord (a = 0°) - -0.65% -0.65%



Effel Structure ELFI + CM2 01-0010SDLSB_MEF Plaque losange mince encastrée sur un bord (a = 45°) - 1.62% 6.29%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0011SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1) - 0.91% 0.91%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0012SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 2) - 0.66% 2.59%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0013SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 3) - -1.34% -1.34%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0014SDLLB_MEF Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique - 0.03% 0.29%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0015SSLLB_MEF Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0016SDLLB_MEF Poutre bi-encastrée - 0.00% 1.78%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0017SDLLB_MEF Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre) - 1.38% 2.90%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0018SDLLB_MEF Poutre courte sur appuis simples (excentrés) - 4.88% 0.14%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0019SDLSB_MEF Plaque carrée mince encastrée sur un bord - -0.65% -1.06%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0020SDLSB_MEF Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords - -0.14% -0.93%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0021SFLLB_MEF Poutre console en flambement eulérien - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0022SDLSB_MEF Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu - 1.05% -2.60%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0023SDLLB_MEF Flexion d'un portique symétrique - -0.23% -0.23%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0024SSLLB_MEF Poutre élancée sur deux appuis encastrés - 0.00% 0.00%


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Logiciel Module Solveur Code Titre Version réf.

Ecart ELFI

Ecart CM2

Effel Structure ELFI + CM2 01-0025SSLLB_MEF Poutre élancée sur trois appuis - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0026SSLLB_MEF Bilame: poutres encastrées reliées par un élément indéformable - 0.02% 0.02%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0027SSLLB_MEF Arc mince encastré en flexion plane - -0.05% 0.05%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0028SSLLB_MEF Arc mince encastré en flexion hors plan - -0.42% 0.40%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0029SSLLB_MEF Arc mince bi-articulé en flexion plane - 1.57% 0.09%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0030SSLLB_MEF Portique à liaisons latérales - 1.27% 0.14%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0031SSLLB_MEF Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle - -0.25% 0.65%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0032SSLLB_MEF Poutre sur sol élastique, extrémités libres - 0.36% 0.36%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0033SFLLA_MEF Pylône EDF - 2.17% 2.17%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0034SSLLB_MEF Poutre sur sol élastique, extrémités articulées - -0.26% 0.62%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0035SSLPB_MEF Plaque en flexion et cisaillement dans son plan 12.1 H (SP4) 0.11% 0.80%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0036SSLSB_MEF Plaque carrée simplement supportée - 1.27% 1.27%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0037SSLSB_MEF Poutre caisson en torsion - 0.00% 0.16%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0038SSLSB_MEF Cylindre mince sous pression radiale uniforme - 0.00% -0.35%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0039SSLSB_MEF Plaque carée en contraintes planes - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0040SSLSB_MEF Membrane raidie - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0041SSLLB_MEF Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0042SSLSB_MEF Cylindre mince sous charge axiale uniforme - 0.32% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0043SSLSB_MEF Cylindre mince sous presion hydrostatique - -0.35% -0.35%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0044SSLSB_MEF Cylindre mince sous son poids propre - 0.67% 0.67%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0045SSLSB_MEF Tore sous pression interne uniforme - 0.24% 0.24%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0046SSLSB_MEF Calotte sphérique sous pression interne - 0.48% 0.60%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0047SSLSB_MEF Calotte sphérique sous son poids propre - -3.69% 1.55%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0048SSLSB_MEF Coque cylindrique pincée - -0.53% 0.53%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0049SSLSB_MEF Coque sphérique trouée 12.1 H (SP4) 0.06% 1.31%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0051SSLSB_MEF Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme - -2.92% -1.67%


20


Ecart ELFI

Ecart CM2

Effel Structure ELFI + CM2 01-0052SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme - -0.40% -0.32%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0053SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme - -1.36% -1.33%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0054SSLSB_MEF Plaque rectangulaire sur appuis simples avec efforts et moments ponctuels - 1.19% 1.51%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0055SSLSB_MEF Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne - 0.66% 0.85%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0056SSLLB_MEF Système triangulé de barres articulées - 0.25% 0.24%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0057SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme - -0.21% -0.77%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0058SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01333 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme - 0.38% -0.03%



Effel Structure ELFI + CM2 01-0061SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.1 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme - 1.11% -0.61%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0062SSLSB_MEF Plaque d'épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle - -0.88% -1.23%




Effel Structure ELFI + CM2 01-0067SDLLB_MEF Mode de vibration d'un coude de tuyauterie mince dans l'espace (cas 1) - -3.93% -3.93%



Effel Structure ELFI + CM2 01-0077SSLPB_MEF Actions aux appuis et moments sur un portique 2D (Arbalétriers) - 0.00% 0.03%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0078SSLPB_MEF Actions aux appuis et moments sur un portique 2D (Poteaux) - 0.00% 0.22%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0084SSLLB_MEF Poutre Courte sur Deux Appuis Articulés - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0085SDLLB_MEF Poutre Elancée Section Rectangul. Variable Encastrée-libre (beta = 5) - 3.43% 3.43%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0086SDLLB_MEF Poutre Elancée Section Rectangul. Variable Encastrée-encastrée - 1.81% 1.81%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0089SSLLB_MEF Portique Plan Articulé en pied - 0.00% 0.00%

Effel Structure CM2 01-0090HFLSB-MEF Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique - - -0.75%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0091HFLLB_MEF Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique - - 0.02%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0092HFLLB _MEF Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique - - 0.00%


21


Ecart ELFI

Ecart CM2

Effel Structure ELFI + CM2 01-0094SSLLB_MEF Structure spatiale à barres avec appui élastique - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0095SDLLB_MEF Poutre Elancée Encastrée – Libre avec Masse Centrée - 10.23% 10.23%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0096SDLLB_MEF Poutre Elancée Encastrée – Libre avec Masse ou Inertie Excentrée - 0.00% 0.06%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0097SDLLB_MEF Double Croix à Extremités Articulées - -2.32% -2.32%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0098SDLLB_MEF Poutre sur appuis simples en vibration libre - -5.27% -5.27%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0099HSLSB_MEF Membrane avec point chaud - - 1.74%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0100SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0) - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0101SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k tend vers l'infini) - 0.00% 0.02%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0102SSNLB_MEF Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m) - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0103SSLLB_MEF Système de barres réticulées (linéaire) - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 01-0104SSNLB_MEF Système de barres réticulées (non linéaire) - 0.00% 0.00%

Effel Structure ELFI + CM2 02-0111SDLLA_MEF Réponse dynamique d’une poutre bi-encastrée -5.75% -5.75%

Effel Structure ELFI + CM2 02-0112SMLLB_P92 Etude d'un mât soumis à un séisme 0.00% 0.06%

Effel Structure ELFI + CM2 02-0156SSLLB_NBN Génération des charges climatiques selon la norme NBN-B03 - OK

Effel Expert BA ELFI + CM2 02-0158SSLLB_B91 Filaire en flexion composée avec traction et sans aciers comprimés - OK

Effel Expert BA ELFI + CM2 02-0162SSLLB_B91 Filaire en flexion simple sans aciers comprimés - OK

Effel Outils BA Aucun 02-0167SSLPB_B91 Filaire en flexion simple sans aciers comprimés - OK

Effel Outils BA Aucun 02-0168SSLPG_B91 Section en T en flexion composée avec compression et aciers comprimés - OK

Effel Outils Section Aucun 03-0198SSLPA_SEC Section carrée de 0,20 m en béton V12.1H SP4 OK

Effel Outils Section Aucun 03-0199SSLPA_SEC Section circulaire pleine de 0,30 m en acier V12.1H SP4 OK

Effel Outils Section Aucun 03-0200SSLPA_SEC Section triangulaire en acier V12.1H SP4 OK

Effel Outils Section Aucun 03-0201SSLPA_SEC Section circulaire creuse en acier V12.1H SP4 OK

Effel Expert Bois ELFI + CM2 03-0204SSLLG_C71 Dimensionnement d'une structure bois 3D V12.1H SP4 OK

Effel Expert CM ELFI + CM2 03-0205SSLLG_EC3 Dimensionnement d'une structure 3D en métal V12.1H SP4 OK

Test 01-0001SSLSB_MEF

23

2. DESCRIPTION DETAILLEE DES TESTS

2.1. Test n° 01-0001SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire en porte-à-faux

2.1.1. Fiche de description

■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS 01/89.

■ Type d’analyse : statique linéaire. ■ Type d’élément : surfacique.

2.1.2. Présentation

La plaque d’une longueur de 1 m est encastrée à l’une de ses extrémités et supporte une charge surfacique p.

Unité

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : e = 0.005 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m.

Propriétés des matériaux

■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


24

Conditions aux limites

■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune. Chargements

■ Externe : Charge uniforme p = -1700 Pa sur la face supérieure, ■ Interne : Aucun.

2.1.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique

Solution de référence

Le déplacement de référence est calculé pour l’extrémité libre située en x = 1m.

u = bl4p8EIz =

0.1 x 14 x 1700

8 x 2.1 x 1011 x 0.1 x 0.0053

12 = -9.71 cm

Modélisation aux éléments finis

■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 1100 nœuds, ■ 990 quadrangles surfaciques.

Forme de la déformée

2.1.4. Fiche de résultats

Comparaison des résultats : déplacement vertical

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart

ELFI Extrémité libre cm -9.71 -9.58 -1.34% CM2 Extrémité libre cm -9.71 -9.59 -1.24%

Test 01-0002SSLLB_MEF

25

2.2. Test n° 01-0002SSLLB_MEF: Système de deux barres à trois rotules


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL 09/89 ;

■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : filaire.


Une charge ponctuelle F est suspendue à 2 barres rotulées entre elles et articulées à leur extrémité.

Effel2001 - Structure - 10.1 Système de deux barres à trois rotules Ech=1/33

01-0002SSLLB_MEF

4.500 m

30° 30°

4.500 m

AA BB

CC

FF

X

Y

Z X

Y

Z

Unités

S.I.

Géométrie

■ Angle des barres par rapport à l’horizontale : θ = 30°, ■ Longueur des barres : l = 4.5 m, ■ Section des barres : A = 3 x 10-4 m2.


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.


■ Externes : Articulation en A et B, ■ Internes : Rotule en C.


26

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle en C : F = -21 x 103 N. ■ Interne : Aucun.

2.2.3. Déplacement du modèle en C


uc = -3 x 10-3 m


■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 21 nœuds, ■ 20 filaires.

Forme du déplacement

2.2.4. Contraintes dans les barres Solutions de référence

σbarre AC = 70 Mpa σbarre BC = 70 Mpa

2.2.5. Modélisation aux éléments finis

■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 21 nœuds, ■ 20 filaires.


27

2.2.6. Forme du diagramme des contraintes




ELFI En C cm -0.30 -0.30 0.00% CM2 En C cm -0.30 -0.30 0.00%

Comparaison des résultats : contrainte de traction


ELFI barre AC Mpa 70 70 0.00% CM2 barre AC Mpa 70 70 0.00% ELFI barre BC Mpa 70 70 0.00% CM2 Barre BC Mpa 70 70 0.00%


28

2.3. Test n° 01-0003SSLSB_MEF: Plaque circulaire sous charge uniforme


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS 03/89 ;

■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque circulaire d’épaisseur 5 mm et de 2 m de diamètre est soumise à un chargement uniforme perpendiculaire au plan de la plaque.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de la plaque circulaire : r = 1m, ■ Epaisseur de la plaque circulaire : h = 0.005 m.




29


■ Externes : Plaque encastrée au bord (en tout point de son périmètre), Pour la modélisation, on ne considère que le quart de la plaque et on impose des conditions de symétrie à certains nœuds (voir modèle page suivante ; condition de symétrie plan yz : nœuds bloqué en translation suivant x et en rotation suivant y et z ; condition de symétrie xz : nœuds bloqué en translation suivant y et en rotation suivant x et z),

■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge uniforme perpendiculaire à la plaque : pZ = -1000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.3.3. Déplacement vertical du modèle au centre de la plaque


Formulaire des plaques circulaires :

u = pr4

64D = -1000 x 14

64 x 2404 = - 6.50 x 10-3 m

avec D le coefficient de raideur de la plaque : D = Eh3

12(1-ν2) = 2.1 x 1011 x 0.0053

12(1-0.32)

D = 2404


■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 70 nœuds, ■ 58 surfaciques.


30




Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI Centre de la plaque mm -6.50 -6.48 -0.31% CM2 Centre de la plaque mm -6.50 -6.47 -0.46%

Test 01-0004SDLLB_MEF

31

2.4. Test n° 01-0004SDLLB_MEF: Poutre élancée de section variable (encastrée-libre)


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL 09/89 ;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres pour une poutre de section variable soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur de la poutre : l = 1 m,

■ Section droite initiale (en A) : □ Hauteur : h1 = 0.04 m, □ Largeur : b1 = 0.04 m, □ Section : A1 = 1.6 x 10-3 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz1 = 2.1333 x 10-7 m4,


32

■ Section droite finale (en B) : □ Hauteur : h2 = 0.01 m, □ Largeur : b2 = 0.01 m, □ Section : A2 = 10-4 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz2 = 8.3333 x 10-10 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : 7800 Kg/m3.


■ Externe : Encastrement en A, ■ Interne : Aucune.

Chargement

■ Externes : Aucun, ■ Internes : Aucun.

2.4.3. Fréquences propres

Solutions de référence

Calcul exact par intégration numérique de l’équation différentielle de la flexion des poutres (théories d’Euler-Bernouilli) :

∂2

∂x2 (EIz ∂2v∂x2 ) = -ρA

∂2v∂t2 où Iz et A varient avec l’abscisse.

On obtient : fi = 12π λi

h2l2

E12ρ

λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

23.289 73.9 165.23 299.7 478.1


■ Elément filaire : poutre variable, maillage imposé, ■ 31 nœuds, ■ 30 filaires.


33

Forme des modes propres


Comparaison des résultats : fréquences propres

Solveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 Hz 54.18 54.45 0.50% CM2 Mode 1 Hz 54.18 54.07 -0.20% ELFI Mode 2 Hz 171.94 172.69 0.44% CM2 Mode 2 Hz 171.94 171.24 -0.41% ELFI Mode 3 Hz 384.4 385.43 0.27% CM2 Mode 3 Hz 384.4 381.99 -0.63% ELFI Mode 4 Hz 697.24 697.46 0.03% CM2 Mode 4 Hz 697.24 691.11 -0.88% ELFI Mode 5 Hz 1112.28 1109.77 -0.23% CM2 Mode 5 Hz 1112.28 1099.57 -1.14%


34

2.5. Test n° 01-0005SSLLB_MEF: Poutre sous-tendue


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL 13/89;

■ Type d’analyse : statique, thermoélastique (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


La poutre renforcée par un système de barres articulées est soumise à une charge linéaire uniforme p.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : □ AD = FB = a = 2 m, □ DF = CE = b = 4 m, □ CD = EF = c = 0.6 m, □ AC = EB = d = 2.088 m, □ Longueur totale : L = 8 m,

■ Poutres AD, DF, FB :

□ Section : A = 0.01516 m2, □ Section réduite : Ar = A / 2.5, □ Moment d’inertie : I = 2.174 x 10-4 m4,


35

■ Barre CE : □ Section : A1 = 4.5 x 10-3 m2,

■ Barres AC, EB : □ Section : A2 = 4.5 x 10-3 m2,

■ Barres CD, EF: □ Section : A3 = 3.48 x 10-3 m2.


■ Matériau élastique linéaire isotrope, ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Module de cisaillement : G = 0.4x E.


■ Externes : Articulation en A, Appui à rouleau en B (translation verticale bloquée), ■ Internes : Rotules aux extrémité des barres : AC, CD, EF, EB.

Chargement

■ Externe : Charge linéaire uniforme p = -50000 N/ml , ■ Interne : Raccourcissement du tirant CE de δ = 6.52 x 10-3 m (coefficient de

dilatation : αCE = 1 x 10-5 /°C et variation de température ΔT = -163°C).

2.5.3. Effort de traction dans la barre CE


La solution est établie en prenant en considération les effets des déformations d’effort tranchant et d’effort normal :

μ = 1 - 43 x

aL

k = AAr

= 2.5

t = IA

γ = (L/c)2 x (1+ (A/A1) x (b/L) + 2 x (A/A2) x (d/a)2 x (d/L) + 2 x (A/A3) (c/a)2 x (c/L)

τ = k x [(2Et2) / (GaL)]

ρ = μ + γ + τ

μ0 = 1 – (a/L)2 x (2 – a/L)

τ0 = 6k x (E/G) x (t/L)2 x (1 + b/L)

ρ0 = μ0 + τ0

NCE = - (1/12) x (pL2/c) x (ρ0 /ρ) + (EI/(Lc2)) x (δ/ρ) = 584584 N


Elément filaire : sans maillage, ■ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant), ■ AC, CD, EF, EB : barre, ■ CE : poutre, 6 nœuds.


36

Diagramme des efforts

2.5.4. Moment fléchissant au point H


MH = - (1/8) x pL2 x [1- (2/3) x (ρ0/ρ)] – (EI/(Lc)) x (δ/p) = 49249.5 N


Elément filaire : sans maillage, ■ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort tranchant), ■ AC, CD, EF, EB : barre, ■ CE : poutre, 6 nœuds.


37

Forme du moment

2.5.5. Déplacement vertical au point D


Le déplacement vD de référence fourni par l’AFNOR est déterminé par moyenne des résultats de plusieurs progiciels mettant en œuvre la méthode des éléments finis. vD = -0.5428 x 10-3 m


■ Elément filaire : sans maillage, □ AD, DF, FB : poutre C (prise en compte des déformations dues à l’effort

tranchant), □ AC, CD, EF, EB : barre, □ CE : poutre,

■ 6 nœuds.


38



Comparaison des résultats : Effort de traction


ELFI Barre CE N 584584 584580 0.00% CM2 Barre CE N 584584 584580 0.00%


39

2.6. Test n° 01-0006SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince encastré en deux points



■ Type d’analyse : analyse modale, problème plan ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un anneau circulaire encastré en deux points soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = OB = R = 0.1 m, ■ Ecartement angulaire des points A et B : 120° ; ■ Section droite rectangulaire :

□ Epaisseur : h = 0.005 m, □ Largeur : b = 0.010 m, □ Section : A = 5 x 10-5 m2, □ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 1.042 x 10-10 m4,

■ Coordonnées des points : □ O (0 ;0),

□ A (-0.05 3 ; -0.05),

□ B (0.05 3 ; -0.05).


40


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 7.2 x 1010 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : ρ = 2700 Kg/m3.


■ Externe : Encastrement en A et en B, ■ Interne : Aucune.

Chargement




La déformée de l’anneau encastré est calculée à partir des déformées propres de l’anneau mince libre - libre : ■ Mode symétrique :

u’i = i cos(iθ) v’i = sin (iθ)

θ’i = 1-i2R sin (iθ)

■ Mode antisymétrique :

u’i = i sin(iθ) v’i = -cos (iθ)

θ’i = 1-i2R cos (iθ)

La méthode de résolvante de Green permet d’obtenir :

fj = π21

λj ⋅2R

h 12E

ρ avec un angle d’appui de 120°.

i 1 2 3 4 Mode symétrique 4.8497 14.7614 23.6157

Mode antisymétrique 1.9832 9.3204 11.8490 21.5545


■ Elément filaire : poutre, sans maillage, ■ 32 nœuds, ■ 32 filaires.



41



Solveur

Nature du mode propre Ordre du mode propre j i

Unité Référence Effel Ecart

ELFI Mode 1 1 anti 1 Hz 235.3 236.36 0.45% CM2 Mode 1 1 anti 1 Hz 235.3 236.36 0.45% ELFI Mode 2 2 sym 1 Hz 575.3 578.61 0.58% CM2 Mode 2 2 sym 1 Hz 575.3 578.61 0.58% ELFI Mode 3 3 anti 2 Hz 1105.7 1112.72 0.63% CM2 Mode 3 3 anti 2 Hz 1105.7 1112.72 0.63% ELFI Mode 4 4 anti 3 Hz 1405.6 1414.44 0.63% CM2 Mode 4 4 anti 3 Hz 1405.6 1414.44 0.63% ELFI Mode 5 5 sym 2 Hz 1751.1 1760.28 0.52% CM2 Mode 5 5 sym 2 Hz 1751.1 1760.28 0.52% ELFI Mode 6 6 anti 4 Hz 2557 2570.38 0.52% CM2 Mode 6 6 anti 4 Hz 2557 2570.38 0.52% ELFI Mode 7 7 sym 3 Hz 2801.5 2777.85 -0.84% CM2 Mode 7 7 sym 3 Hz 2801.5 2777.85 -0.84%

Test 01-0007SDLSB_MEF

42

2.7. Test n° 01-0007SDLSB_MEF: Plaque losange mince encastrée sur un bord (α = 0 °)

2.7.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS

02/89; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.7.2. Présentation La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : t = 0.01 m, ■ Côté : a = 1 m, ■ α = 0° ■ Coordonnées des points :

□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 ) □ C ( 0 ; a ; 0 ) □ D ( a ; a ; 0 )

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : ρ = 7800 Kg/m3.


43


■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe : Aucun, ■ Interne : Aucun.

2.7.3. Fréquences propres en fonction de l’angle α


La formulation de M.V. Barton pour un losange de côté a, conduit aux fréquences :

fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2

ν−ρ avec un i = 1,2, où λi

2 = g(α).

α = 0

λ12 3.492

λ22 8.525

M.V. Barton mentionne la sensibilité du résultat à l’ordre du mode et à l’angle α. Il reconnaît que les valeurs λi ont été déterminées avec un développement limité d’ordre insuffisant, ce qui a conduit à prendre pour valeur de référence un résultat expérimental, vérifié par une moyenne de sept progiciels de calcul par la méthode des éléments finis.






Solveur Nature du mode propore Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 Hz 8.7266 8.67 -0.65% CM2 Mode 1 Hz 8.7266 8.67 -0.65% ELFI Mode 2 Hz 21.3042 21.23 -0.35% CM2 Mode 2 Hz 21.3042 21.21 -0.44%


44

2.8. Test n° 01-0008SDLSB_MEF: Plaque mince encastrée sur un bord (α = 15 °)


■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS 02/89;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.


La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.


□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 ) □ C ( 0.259a ; 0.966a ; 0 ) □ D ( 1.259a ; 0.966a ; 0 )



45

Conditions aux limites ■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.





fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 15°

λ12 3.601

λ22 8.872







Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 Hz 8.999 8.95 -0.54% CM2 Mode 1 Hz 8.999 8.95 -0.54% ELFI Mode 2 Hz 22.17 21.71 -2.07% CM2 Mode 2 Hz 22.17 21.69 -2.16%


46


2.9.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS

02/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.9.2. Présentation La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.


□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 )

□ C ( 0.5a ; 3 2 a ; 0 )

□ D ( 1.5a ; 3 2 a ; 0 )



47


■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Aucun, ■ Interne : Aucun.




fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 30°

λ12 3.961

λ22 10.19







Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 Hz 9.90 9.82 -0.81% CM2 Mode 1 Hz 9.90 9.81 -0.91% ELFI Mode 2 Hz 25.46 23.52 -7.80% CM2 Mode 2 Hz 25.46 23.48 -7.71%


48



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLS 02/89 ;

■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : surfacique.


La plaque losange d’épaisseur 1 cm est encastrée sur un côté et est soumise uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : t = 0.01 m, ■ Côté : a = 1 m, ■ α = 45° ■ Coordonnées des points :

□ A ( 0 ; 0 ; 0 ) □ B ( a ; 0 ; 0 )

□ C ( 22

a ; 22

a ; 0 )

□ D (2

22 +a ;

22

a ; 0 )


49


Conditions aux limites ■ Externes : Côté AB encastré, ■ Internes : Aucune.





fj = ⋅⋅π 2a21

λi2

)1(12Et

2

2


2 = g(α).

α = 45° λ1

2 4.4502 λ2

2 10.56







Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 Hz 11.12 11.30 1.62% CM2 Mode 1 Hz 11.12 11.27 1.35% ELFI Mode 2 Hz 26.39 28.17 6.74% CM2 Mode 2 Hz 26.39 28.05 6.40%


50

2.11. Test n° 01-0011SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans le plan (cas 1)



■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m et encastré à ses extrémités est soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 )


51




■ Externes : Encastrement aux points A et B, ■ Internes : Aucune.

Chargement




La méthode de Rayleigh appliquée à un élément de poutre courbe mince permet de déterminer des paramètres tels que : ■ flexion dans le plan :

fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,


■ Elément filaire : poutre, ■ 11 nœuds, ■ 10 filaires.




Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Dans le plan 1 Hz 119 120.09 0.91% CM2 Dans le plan 1 Hz 119 120.09 0.91% ELFI Dans le plan 2 Hz 227 227.10 0.04% CM2 Dans le plan 2 Hz 227 227.10 0.04%


52


2.12.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL

14/89; ■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.12.2. Présentation Un coude de rayon de courbure 1 m prolongé par deux éléments droits de longueur L est soumis uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 0.6 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


53




■ Externes : □ Encastrement aux points C et D, □ En A : translation bloquée suivant y et z, □ En B : translation bloquée suivant x et z,


Chargement





fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,






Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart

ELFI Dans le plan 1 Hz 94 94.62 0.66% CM2 Dans le plan 1 Hz 94 94.62 0.66% ELFI Dans le plan 2 Hz 180 184.68 2.61% CM2 Dans le plan 2 Hz 180 184.67 2.59%


54




■ Type d’analyse : analyse modale (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m prolongé par deux éléments droits de longueur L est soumis uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 2 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


55






Chargement





fj = 2

2i

R2 ⋅π

λ

AEIz

ρ avec un i = 1,2,






Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Dans le plan 1 Hz 25.30 24.96 -1.34% CM2 Dans le plan 1 Hz 25.30 24.96 -1.34% ELFI Dans le plan 2 Hz 27.00 26.71 -1.07% CM2 Dans le plan 2 Hz 27.00 26.71 -1.07%


56

2.14. Test n° 01-0014SDLLB_MEF: Anneau circulaire mince suspendu par une patte élastique



■ Type d’analyse : analyse modale, problème plan ; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un anneau circulaire suspendu par une patte élastique et soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OB = R = 0.1 m, ■ Longueur de la patte : AB = 0.0275 m ;


57

■ Section droite rectangulaire : □ Anneau

Epaisseur : h = 0.005 m, Largeur : b = 0.010 m, Section : A = 5 x 10-5 m2, Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 1.042 x 10-10 m4,

□ Patte

Epaisseur : h = 0.003 m, Largeur : b = 0.010 m, Section : A = 3 x 10-5 m2, Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe vertical : I = 2.25 x 10-11 m4,

■ Coordonnées des points :

□ O ( 0 ; 0 ), □ A ( 0 ; -0.0725 ), □ B ( 0 ; -0.1 ).




■ Externe : Encastrement en A, ■ Interne : Aucune.

Chargement




La solution de référence a été établie à partir des résultats expérimentaux d’un anneau en aluminium usiné dans la masse.




58




Solveur Nature du mode propre Ordre du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Mode 1 antisymétrique Hz 28.80 28.81 0.03% CM2 Mode 1 antisymétrique Hz 28.80 28.81 0.03% ELFI Mode 2 Symétrique Hz 189.30 189.72 0.22% CM2 Mode 2 Symétrique Hz 189.30 189.72 0.22% ELFI Mode 3 antisymétrique Hz 268.80 269.41 0.23% CM2 Mode 3 antisymétrique Hz 268.80 269.41 0.23% ELFI Mode 4 antisymétrique Hz 641.00 642.21 0.19% CM2 Mode 4 antisymétrique Hz 641.00 642.21 0.19% ELFI Mode 5 Symétrique Hz 682.00 684.01 0.29% CM2 Mode 5 Symétrique Hz 682.00 684.01 0.29% ELFI Mode 6 antisymétrique Hz 1063.00 1065.85 0.27% CM2 Mode 6 antisymétrique Hz 1063.00 1065.85 0.27%


59

2.15. Test n° 01-0015SSLLB_MEF: Poutre bi-encastrée avec ressort en son milieu


■ Référence :test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire; ■ Type d’élément : filaire.


On considère la poutre bi-encastrée décrite ci-dessous. Cette poutre comporte quatre éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ l = 1 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0001 m4




■ Externes : □ Encastrement aux 2 extrémités x = 0 et x = 4 m, □ Appui élastique de rigidité k = EI/l


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -10000 N en x = 2m, ■ Interne :Aucun.


60



Le déplacement vertical v3 de référence est calculé au milieu de la poutre en x = 2 m. Matrice de rigidité d’un élément poutre plane:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

=

llll

llll

ll

llll

llll

ll

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EIEIEIEI

460260

61206120

00l

ES00ES

260460

61206120

00ES-00ES

K

22

2323

22

2323

e

Compte tenu de la symétrie /X et du chargement de la structure, il est inutile de considérer les degrés de liberté associés aux efforts normaux (u2, u3, u4). Cette même symétrie permet également de déduire que : ■ v2 = v4 ■ β2 = -β4 ■ β3 = 0

( )( )( )( )( )( )654321

000

00

4626

612612

268026

612024612

268026

6120124612

268026

612024612

2646

612612

5

5

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

22

22

22

22

22

22

22

22

22

22

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−−−

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

−

−−−

−

−

MR

P

MR

v

v

v

v

v

EI

β

β

β

β

β

llll

llll

lllll

lllll

lllll

llllll

lllll

lllll

llll

llll

33

333

333

333

33


61

En effet, la matrice de rigidité élémentaire du ressort dans son repère local,

[ ])()(

1111

6

35 U

UEIk ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

l, doit être exprimée dans le repère global par le biais des matrices de

rotation (rotation de 90°), soit :

[ ]

( )( )( )( )( )( )6

6

6

3

3

3

5

000000010010000000000000010010000000

β

β

vu

vu

EIK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=l

→ 344332 43 0826 vvllll

−=⇒=++ βββ

→ 344332332 024612 vvvv =⇒=+−−

lllβ

→ t)normalemen (inutile 026826244423222

vvvv =⇒=+−++ βββlllll

(3) → ( ) m 10 11905.03

612124612 032

3

34243332223−−=

+−=⇒−=−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−−EIl

PvEIPvvv

llllllββ


■ Elément filaire : poutre, maillage imposé, ■ 6 nœuds, ■ 4 éléments filaires + 1 ressort.


Remarque : le déplacement est exprimé ici en μm



Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI Milieu de la poutre Mm -0.11905 -0.11905 0.00% CM2 Milieu de la poutre Mm -0.11905 -0.11905 0.00%


62

2.16. Test n° 01-0016SDLLB_MEF: Poutre bi-encastrée


■ Référence : test interne GRAITEC (théorie des poutres) ; ■ Type d’analyse : statique linéaire, analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique.


On considère la poutre bi-encastrée décrite ci-dessous. Cette poutre comporte huit éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : l = 16 m, ■ Section axiale : S=0.06 m2 ■ Inertie I = 0.0001 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique ρ = 7850 kg/m3


■ Externes : Encastrement aux 2 extrémités x = 0 et x = 8 m, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -10000 N en x = 4m, ■ Interne : Aucun.


63



Le déplacement vertical v5 de référence est calculé au milieu de la poutre en x = 2 m.

m 05079.00001.0111.2192

1650000192

33

5 =××

×==

EEIPlv


■ Elément linéique : poutre, maillage imposé, ■ 9 nœuds, ■ 8 éléments.


2.16.4. Fréquences propres du modèle dans le domaine linéaire élastique


Sachant que les quatre premières fréquences propres d'une poutre bi-encastrée sont données par la relation suivante :

SIE

Lf nn .

...2 2

2

ρπχ

= d’où pour les 4 premières fréquences propres

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

→=

→=

→=

→=

Hz 26.228=f 8.199

Hz 15.871=f 9.120

Hz 8.095=f 67.61

Hz 2.937=f 37.22

424

323

222

121

χ

χ

χ

χ




64

Déformées modales


65


1 Comparaison des résultats : déplacement vertical


ELFI Au milieu de la poutre m -0.05079 -0.05079 0.00%

CM2 Au milieu de la poutre m -0.05079 -0.05079 0.00%

2 Comparaison des résultats : fréquences propres

Solveur Mode propre Unité Référence Effel Ecart

ELFI 1 Hz 2.937 2.94 0.10%

CM2 1 Hz 2.937 2.94 0.10%

ELFI 2 Hz 8.095 8.09 -0.06%

CM2 2 Hz 8.095 8.09 -0.06%

ELFI 3 Hz 15.870 15.79 -0.50%

CM2 3 Hz 15.870 15.79 -0.50%

ELFI 4 Hz 26.228 25.76 -1.78%

CM2 4 Hz 26.228 25.76 -1.78%


66

2.17. Test n° 01-0017SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (sur la fibre neutre)





Recherche des premières fréquences propres d’une poutre sur appuis simples (les appuis se trouvant au niveau de la fibre neutre).

Unités

S.I.

Géométrie

■ Hauteur : h = 0.2 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m, ■ Section : A = 2 x 10-2 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 6.667 x 10-5 m4.


67




■ Externes : □ Articulation en A ( déplacements horizontal et vertical nuls), □ Appui simple en B.


Chargement

■ Externe : Aucun. ■ Interne : Aucun.



L’équation de flexion des poutres donne en se superposant les effets de la flexion simple, des déformations d’effort tranchant et l’inertie de rotation , la formulation de Timoshenko. Les fréquences propres de référence sont déterminées par une simulation numérique de cette équation, indépendante de tout progiciel. Les fréquences propres en traction-compression sont données par :

fi = ⋅π

λl2

i ρE

avec λi = 2

)1i2( −


■ Elément filaire : poutre C, maillage imposé, ■ 10 nœuds, ■ 9 filaires.



68



Solveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart

ELFI Mode 1 Hz 431.555 437.53 1.38% CM2 Mode 1 Hz 431.555 437.53 1.38% ELFI Mode 2 Hz 1265.924 1264.32 -0.13% CM2 Mode 2 Hz 1265.924 1264.32 -0.13% ELFI Mode 3 Hz 1498.295 1541.72 2.90% CM2 Mode 3 Hz 1498.295 1541.72 2.90% ELFI Mode 4 Hz 2870.661 2925.95 1.93% CM2 Mode 4 Hz 2870.661 2925.95 1.93% ELFI Mode 5 Hz 3797.773 3754.54 -1.14% CM2 Mode 5 Hz 3797.773 3754.54 -1.14% ELFI Mode 6 Hz 4377.837 4309.15 -1.57% CM2 Mode 6 Hz 4377.837 4309.15 -1.57%


69

2.18. Test n° 01-0018SDLLB_MEF: Poutre courte sur appuis simples (excentrés)





Recherche des premières fréquences propres d’une poutre sur appuis simples (les appuis sont excentrés par rapport à la fibre neutre).

Unités

S.I.

Géométrie

■ Hauteur : h = 0.2 m, ■ Longueur : l = 1 m, ■ Largeur : b = 0.1 m, ■ Section : A = 2 x 10-2 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 6.667 x 10-5 m4.


70




■ Externes : □ Articulation en A (déplacements horizontal et vertical nuls), □ Appui simple en B.


Chargement




Le problème n’ayant pas de solution analytique, la solution est établie par moyenne de plusieurs progiciels : modèle de Timoshenko avec effets des déformations d’effort tranchant et de l’inertie de rotation. Les modes de flexion et de traction-compression sont couplés.


■ Elément filaire : poutre C, maillage imposé, ■ 10 nœuds, ■ 9 filaires.



71


72



Solveur Nature du mode

propre Unité Référence Marge de la

référence Effel Ecart

ELFI Mode 1 Hz 392.8 ± 2.5% 393.91 0.28% CM2 Mode 1 Hz 392.8 ± 2.5% 393.91 0.28% ELFI Mode 2 Hz 902.2 ± 5% 946.23 4.88% CM2 Mode 2 Hz 902.2 ± 5% 946.23 4.88% ELFI Mode 3 Hz 1591.9 ± 3% 1599.95 0.51% CM2 Mode 3 Hz 1591.9 ± 3% 1599.95 0.51% ELFI Mode 4 Hz 2629.2 ± 5% 2531.66 -3.71% CM2 Mode 4 Hz 2629.2 ± 5% 2531.66 -3.71% ELFI Mode 5 Hz 3126.2 ± 4% 3128.15 0.06% CM2 Mode 5 Hz 3126.2 ± 4% 3128.15 0.06%


73

2.19. Test n° 01-0019SDLSB_MEF: Plaque carrée mince encastrée sur un bord



■ Type d’analyse : analyse modale; ■ Type d’élément : surfacique.


Recherche des premières fréquences propres d’une plaque carrée mince encastrée sur un bord.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Epaisseur : t = 1 m, ■ Coordonnées des points en mètre :

□ A (0 ;0 ;0) □ B (1 ;0 ;0) □ C (1 ;1 ;0) □ D (0 ;1 ;0)




74


■ Externes : Côté AD encastré. ■ Internes : Aucune.

Chargement




La formulation de M.V. Barton pour une plaque carrée de côté a, conduit à :

fj = 2a2

1⋅π

λi2

)1(12Et

2

2

ν−ρ avec un i = 1,2, . . .

i 1 2 3 4 5 6 λi 3.492 8.525 21.43 27.33 31.11 54.44


■ Elément surfacique : coque, ■ 959 nœuds, ■ 900 surfaciques.



75




ELFI Mode 1 Hz 8.7266 8.67 -0.65% CM2 Mode 1 Hz 8.7266 8.67 -0.65% ELFI Mode 2 Hz 21.3042 21.23 -0.35% CM2 Mode 2 Hz 21.3042 21.21 -0.44% ELFI Mode 3 Hz 53.5542 53.08 -0.89% CM2 Mode 3 Hz 53.5542 53.13 -0.79% ELFI Mode 4 Hz 68.2984 67.74 -0.82% CM2 Mode 4 Hz 68.2984 67.73 -0.83% ELFI Mode 5 Hz 77.7448 77.16 -0.75% CM2 Mode 5 Hz 77.7448 77.13 -0.79% ELFI Mode 6 Hz 136.0471 134.80 -0.92% CM2 Mode 6 Hz 136.0471 134.61 -1.06%


76

2.20. Test n° 01-0020SDLSB_MEF: Plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur les bords





Recherche des premières fréquences propres d’une plaque rectangulaire mince simplement appuyée sur son pourtour.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : a = 1.5 m, ■ Largeur : b = 1 m, ■ Epaisseur : t = 0.01 m,


77

■ Coordonnées des points en mètre : □ A (0 ;0 ;0) □ B (0 ;1.5 ;0) □ C (1 ;1.5 ;0) □ D (1 ;0 ;0)




■ Externes : □ Appui simple sur tous les côtés, □ Pour la modélisation : articulation en A, B et D.


Chargement




La formulation de M.V. Barton pour une plaque rectangulaire posée sur les quatre côtés conduit à :

fij = 2π

[ ( ai

)2 + ( bj

)2] )1(12

Et2

2

ν−ρ

avec : i = nombre de demi-longueurs d’onde selon y (dimension a) j = nombre de demi-longueurs d’onde selon x (dimension b)




78




Solveur Nature du mode propre i j

Unité Référence Effel Ecart

ELFI 1 1 Hz 35.63 35.58 -0.14% CM2 1 1 Hz 35.63 35.58 -0.14% ELFI 2 1 Hz 68.51 68.28 -0.34% CM2 2 1 Hz 68.51 68.28 -0.34% ELFI 1 2 Hz 109.62 109.67 0.05% CM2 1 2 Hz 109.62 109.97 0.32% ELFI 3 1 Hz 123.32 122.71 -0.49% CM2 3 1 Hz 123.32 123.00 -0.26% ELFI 2 2 Hz 142.51 141.93 -0.41% CM2 2 2 Hz 142.51 141.94 -0.40% ELFI 3 2 Hz 197.32 195.64 -0.85% CM2 3 2 Hz 197.32 195.49 -0.93%

Test 01-0021SFLLB_MEF

79

2.21. Test n° 01-0021SFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien


■ Référence : test interne GRAITEC (théorie d’Euler) ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0002 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.0 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1.


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -100000 N en x = L, ■ Interne : Aucun.

Test 01-0021SFLLB_MEF

80

2.21.3. Charge critique au nœud 5


La charge critique de référence établie par Euler est :

98696.010000098696 98696

4P 2

2

critique ==⇒== λπ NLEI


■ Elément surfacique : poutre, maillage imposé, ■ 5 nœuds, ■ 4 éléments.



Comparaison des résultats : charge critique

Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart

ELFI Au nœud 6 cm -1.017 -1.017 0.00% CM2 Au nœud 6 cm -1.017 -1.017 0.00%


81

2.22. Test n° 01-0022SDLSB_MEF: Plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu (structure à répétitivité circulaire)





Recherche des fréquences propres d’une plaque mince annulaire encastrée sur un moyeu.

Unités S.I.

Géométrie ■ Rayon intérieur : Ri = 0.1 m, ■ Rayon extérieur : Re = 0.2 m, ■ Epaisseur : t = 0.001 m.



82


■ Externes : Encastrement sur un moyeu pour tout point r = Ri. ■ Internes : Aucune.

Chargement




La solution du déterminant des fréquences établie à partir des fonctions de Bessel conduit à la formule :

fij = 1

2πRe2 λij

2 Et2

12ρ(1-ν2)

avec : i = nombre de diamètres nodaux j = nombre de cercles nodaux et λij

2 tels que : j \ i 0 1 2 3

0 13.0 13.3 14.7 18.5 1 85.1 86.7 91.7 100


■ Elément surfacique : plaque, ■ 360 nœuds, ■ 288 surfaciques.



Solveur Nature du mode propre i j

Mode propre correspondant sous Effel

Unité Référence

Effel Ecart

ELFI 0 0 1 Hz 79.26 80.09 1.05% CM2 0 0 1 Hz 79.26 79.05 -0.26%ELFI 0 1 18 Hz 518.85 519.99 0.22% CM2 0 1 18 Hz 518.85 521.84 0.58% ELFI 1 0 2 Hz 81.09 81.62 0.65% CM2 1 0 2 Hz 81.09 80.52 -0.70%ELFI 1 1 20 Hz 528.61 528.20 -0.08%CM2 1 1 20 Hz 528.61 529.49 0.17% ELFI 2 0 4 Hz 89.63 89.87 0.27% CM2 2 0 4 Hz 89.63 88.43 -1.34%ELFI 2 1 22 Hz 559.09 552.8 -1.13%CM2 2 1 22 Hz 559.09 552.43 -1.19%ELFI 3 0 7 Hz 112.79 112.46 -0.29%CM2 3 0 7 Hz 112.79 110.27 -2.23%ELFI 3 1 25 Hz 609.70 594.88 -2.43%CM2 3 1 25 Hz 609.70 593.83 -2.60%


83

2.23. Test n° 01-0023SDLLB_MEF: Flexion d’un portique symétrique



■ Type d’analyse : analyse modale; ■ Type d’élément : filaire.


Recherche des premières fréquences propres d’un portique symétrique encastré en pied.


84

Unités

S.I.

Géométrie

■ Sections droites rectangulaires des traverses et des poteaux : ■ Epaisseur : h = 0.0048 m, ■ Largeur : b = 0.029 m, ■ Section : A = 1.392 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 2.673 x 10-10 m4, ■ Coordonnées des points en mètre :

A B C D E F x -0.30 0.30 -0.30 0.30 -0.30 0.30 y 0 0 0.36 0.36 0.81 0.81




■ Externes : Encastrement en A et B. ■ Internes : Aucune.

Chargement




Méthode de la raideur dynamique (théorie des poutres élancées).




85

Formes de la déformée




ELFI 1 anti Hz 8.8 8.78 -0.23% CM2 1 anti Hz 8.8 8.78 -0.23% ELFI 2 anti Hz 29.4 29.43 0.10% CM2 2 anti Hz 29.4 29.43 0.10% ELFI 3 sym Hz 43.8 43.85 0.11% CM2 3 sym Hz 43.8 43.85 0.11% ELFI 4 sym Hz 56.3 56.30 0.00% CM2 4 sym Hz 56.3 56.30 0.00% ELFI 5 anti Hz 96.2 96.06 -0.15% CM2 5 anti Hz 96.2 96.06 -0.15% ELFI 6 sym Hz 102.6 102.71 0.11% CM2 6 sym Hz 102.6 102.71 0.11% ELFI 7 anti Hz 147.1 147.09 -0.01% CM2 7 anti Hz 147.1 147.09 -0.01% ELFI 8 sym Hz 174.8 174.97 0.10% CM2 8 sym Hz 174.8 174.97 0.10% ELFI 9 anti Hz 178.8 178.93 0.07% CM2 9 anti Hz 178.8 178.93 0.07% ELFI 10 anti Hz 206 206.24 0.12% CM2 10 anti Hz 206 206.24 0.12% ELFI 11 sym Hz 266.4 266.63 0.09% CM2 11 sym Hz 266.4 266.63 0.09% ELFI 12 anti Hz 320 319.98 -0.01% CM2 12 anti Hz 320 319.98 -0.01% ELFI 13 sym Hz 335 334.98 -0.01% CM2 13 sym Hz 335 334.98 -0.01%


86

2.24. Test n° 01-0024SSLLB_MEF: Poutre élancée sur deux appuis encastrés





Une poutre droite élancée encastrée à ses extrémités est soumise à un chargement uniforme ainsi qu’à plusieurs forces ponctuelles et un couple.


87

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 1 m, ■ Inertie de la poutre : I = 1.7 x 10-8 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A et B, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : □ Charge uniformément répartie de A à B : py = p = -24000 N/m, □ Charge ponctuelle en D : Fx = F1 = 30000 N, □ Couple en D : Cz = C = -3000 Nm, □ Charge ponctuelle en E : Fx = F2 = 10000 N, □ Charge ponctuelle en E : Fy = F = -20000 N.

■ Interne : Aucun.


88

2.24.3. Effort tranchant en G


Solution analytique : ■ Effort tranchant en G : VG

VG = 0.216F – 1.26 LC



Forme des résultats


89

2.24.4. Moment fléchissant en G


Solution analytique : ■ Moment fléchissant en G : MG

MG = pL2

24 - 0.045LF – 0.3C





90

2.24.5. Déplacement vertical en G


Solution analytique : ■ Déplacement vertical en G : vG

vG = pl4

384EI + 0.003375FL3

EI + 0.015CL2

EI





91

2.24.6. Réaction horizontale en A


Solution analytique : ■ Réaction horizontale en A : HA

HA = -0.7F1 –0.3F2




1 Comparaison des résultats : effort tranchant


ELFI En G N -540 -540 0.00% CM2 En G N -540 -540 0.00%

2 Comparaison des résultats : moment fléchissant


ELFI En G Nm 2800 2800 0.00% CM2 En G Nm 2800 2800 0.00%



ELFI En G cm -4.90 -4.90 0.00% CM2 En G cm -4.90 -4.90 0.00%

4 Comparaison des résultats : réaction horizontale


ELFI En A N -24000 -24000 0.00% CM2 En A N -24000 -24000 0.00%


92

2.25. Test n° 01-0025SSLLB_MEF: Poutre élancée sur trois appuis



■ Type d’analyse : statique (problème plan); ■ Type d’élément : filaire.


Une poutre droite élancée sur trois appuis est soumise à deux forces ponctuelles.

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 3 m, ■ Inertie de la poutre : I = 6.3 x 10-4 m4.

Propriétés des matériaux Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa.

Conditions aux limites ■ Externes :

□ Articulation en A, □ Appui élastique en B (Ky = 2.1 x 106 N/m), □ Appui simple en C.



93

Chargement

■ Externe : 2 charge ponctuelles F = Fy = -42000N. ■ Interne : Aucun.

2.25.3. Moment fléchissant en B


La résolution du système hyperstatique conduit pour une poutre élancée à :

k = Ky3LEI6

■ Moment fléchissant en B : MB

MB = ± 2L

)k8(F)k26(

++−




2.25.4. Réaction en B


■ Effort de compression dans le ressort : VB

VB = -11F8 + k




94

2.25.5. Déplacement vertical en B


■ Flèche au droit du ressort : vB

vB = 11F

Ky(8 + k)






Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En B Nm 63000 63000 0.00% CM2 En B Nm 63000 63000 0.00%


Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En B cm - 1.00 -1.00 0.00% CM2 En B cm - 1.00 -1.00 0.00%

3 Comparaison des résultats : réaction

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En B N 21000 21000 0.00% CM2 En B N 21000 21000 0.00%


95

2.26. Test n° 01-0026SSLLB_MEF: Bilame - poutres encastrées reliées par un élément indéformable





Deux poutres encastrées à l’une de leurs extrémités reliées rigidement à une poutre indéformable sont soumises à une charge ponctuelle.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueurs : □ L = 2 m, □ l = 0.2 m,

■ Moment d’inertie des poutres : I = (4/3) x 10-8 m4, ■ Les sections des poutres sont carrées de côté : 2 x 10-2 m.


96


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A et C, ■ Internes : Les tangentes à la déformée des poutres AB et CD en B et D restent

horizontales ; concrètement, on bloque les translations suivant x et z aux nœuds B et D.

Chargement

■ Externe : En D : charge ponctuelle F = Fy = - 1000N. ■ Interne : Aucun.

2.26.3. Flèche en B et D


La théorie de la flexion des poutres élancées (formulation d’Euler-Bernouilli) conduit à une flèche en B et D : La résolution du système hyperstatique conduit pour une poutre élancée à :

vB = vD = FL3

24EI





97

2.26.4. Réaction verticale en A et C


Solution anlytique.



2.26.5. Moment fléchissant en A et C


Solution anlytique.


■ Elément filaire : poutre, ■ 4 nœuds, ■ 3 filaires


1 Comparaison des résultats : flèche


ELFI En B m -0.125 -0.125 0.00% CM2 En B m -0.125 -0.125 0.00% ELFI En D m -0.125 -0.125 0.00% CM2 En D m -0.125 -0.125 0.00%

2 Comparaison des résultats : réaction verticale


ELFI En A N 500 500 0.00% CM2 En A N 500 500 0.00% ELFI En C N 500 500 0.00% CM2 En C N 500 500 0.00%

3 Comparaison des résultats : Moment fléchissant


ELFI En A Nm 500 500.08 0.02% CM2 En A Nm 500 500.08 0.02% ELFI En C Nm 500 500.08 0.02% CM2 En C Nm 500 500.08 0.02%


98

2.27. Test n° 01-0027SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion plane



■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un arc de cercle encastré à l’une de ses extrémités est soumis à deux forces ponctuelles et à un couple à son extrémité libre.


99

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon moyen : R = 3 m , ■ Section circulaire creuse :

□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.


Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa.


■ Externes : Encastrement en A. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : En B : □ charge ponctuelle F1 = Fx = 10 N, □ charge ponctuelle F2 = Fy = 5 N, □ moment de flexion autour de Oz, Mz = 8 Nm.


2.27.3. Déplacements en B


Au point B :

■ déplacement parallèle à Ox : u = R2

4EI [F1πR + 2F2R + 4Mz]

■ déplacement parallèle à Oy : v = R2

4EI [2F1πR + (3π - 8)F2R + 2(π - 2)Mz]

■ rotation autour de Oz : θ = R

4EI [4F1R + 2(π - 2)F2R + 2πMz]




100



1 Comparaison des résultats : déplacement horizontal


ELFI En B m 0.3791 0.3789 -0.05% CM2 En B m 0.3791 0.3789 -0.05%



ELFI En B m 0.2417 0.2417 0.00% CM2 En B m 0.2417 0.2417 0.00%

3 Comparaison des résultats : rotation autour de l’axe z


ELFI En B rad 0.1654 0.1654 0.00% CM2 En B rad 0.1654 0.1654 0.00%


101

2.28. Test n° 01-0028SSLLB_MEF: Arc mince encastré en flexion hors plan





Un arc de cercle encastré à l’une de ses extrémités est soumis à une force ponctuelle perpendiculaire au plan en son extrémité libre.

Unités

S.I.

Géométrie


□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


102


■ Externes : Encastrement en A. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Force ponctuelle en B perpendiculaire au plan : Fz = F = 100 N. ■ Interne : Aucun.

2.28.3. Déplacements en B


Déplacement hors plan du point B :

uB = FR3

EIx [ π4 +

EIx KT

(3π4 - 2)]

avec KT rigidité de torsion pour une section circulaire (de constante de torsion égale à 2Ix).

KT = 2GIx = EIx

1 + ν ⇒ uB = FR3

EIx [ π4 + (1 + ν) (

3π4 - 2)]



2.28.4. Moments en θ = 15°


■ Moment de torsion : Mx’ = Mt = FR(1 - sinθ) ■ Moment fléchissant : Mz’ = Mf = -FRcosθ




1 Comparaison des résultats : déplacement hors plan

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En B m 0.13462 0.13516 0.40% CM2 En B m 0.13462 0.13516 0.40%

2 Comparaison des résultats : moment de torsion

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En θ = 15° Nm 74.1180 74.10 -0.02% CM2 En θ = 15° Nm 74.1180 74.10 -0.02%


Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En θ = 15° Nm -96.5925 -97.00 -0.42% CM2 En θ = 15° Nm -96.5925 -96.5925 -0.00%


103

2.29. Test n° 01-0029SSLLB_MEF: Arc mince bi-articulé en flexion plane






104

Unités

S.I.

Géométrie


□ de = 0.02 m, □ di = 0.016 m, □ A = 1.131 x 10-4 m2, □ Ix = 4.637 x 10-9 m4.




■ Externes : □ Articulation en A, □ En B : rotation permise suivant z, déplacement vertical bloqué suivant y.


Chargement

■ Externe : Force ponctuelle en C : Fy = F = - 100 N. ■ Interne : Aucun.

2.29.3. Déplacements en A, B et C


■ Rotation autour de l’axe z :

θA = - θB = ( π2 - 1)

FR2

2EI

■ Déplacement ;

Vertical en C : vC = π8

FREA + (

3π4 - 2)

FR3

2EI

Horizontal en B: uB = FR

2EA - FR3

2EI




105

Forme des déplacements



Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En A rad -0.030774 -0.03078 0.02% CM2 En A rad -0.030774 -0.03078 0.02% ELFI En B rad 0.030774 0.03078 0.02% CM2 En B rad 0.030774 0.03078 0.02%


Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En C cm -1.9206 -1.9202 0.02% CM2 En C cm -1.9206 -1.9202 0.02%


Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart ELFI En B cm 5.3912 5.3860 -0.09% CM2 En B cm 5.3912 5.3860 -0.09%


106

2.30. Test n° 01-0030SSLLB_MEF: Portiques à liaisons latérales





Unités

S.I.

Géométrie

Poutre Longueur Moment d’inertie AB lAB = 4 m IAB =

643 x 10-8 m4

AC lAC = 1 m IAC = 112 x 10-8 m4

AD lAD = 1 m IAD = 112 x 10-8 m4

AE lAE = 2 m IAE = 43 x 10-8 m4


107

■ G est au milieu de DA. ■ Les poutres sont de section carrée :

□ AAB = 16 x 10-4 m □ AAD = 1 x 10-4 m □ AAC = 1 x 10-4 m □ AAE = 4 x 10-4 m


Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa,


■ Externes : □ Encastrement en B, D et E, □ Articulation en C,


Chargement

■ Externe : □ Force ponctuelle en G : Fy = F = - 105 N, □ Force répartie sur la poutre AD : p = - 103 N/m.


2.30.3. Déplacements en A


Rotation en A autour de l’axe z :

On pose : kAn = EIAnlAn

avec n = B, C, D ou E

K = kAB + kAD + kAE + 34 kAC

rAn = kAnK

C1 = FlAD

8 - plAB

2

12

θ = C14K




108


2.30.4. Moments en A


■ MAB = plAB

2

12 + rAB x C1

■ MAD = - FlAD

8 + rAD x C1

■ MAE = rAE x C1

■ MAC = rAC x C1




Comparaison des résultats de déplacement : rotation θ autour de l’axe z

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En A rad 0.227118 0.227 0.00% CM2 En A rad 0.227118 0.227 0.00%

Comparaison des résultats des moments : moment fléchissant

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En A (MAB) Nm 11023.72 11021.07 -0.02% CM2 En A (MAB) Nm 11023.72 11021.07 -0.02% ELFI En A (MAC) Nm 113.559 113.72 0.14% CM2 En A (MAC) Nm 113.559 113.72 0.14% ELFI En A (MAD) Nm -12348.588 -12347.46 -0.01% CM2 En A (MAD) Nm -12348.588 -12347.46 -0.01% ELFI En A (MAE) Nm 1211.2994 1212.67 0.11% CM2 En A (MAE) Nm 1211.2994 1212.67 0.11%


109

2.31. Test n° 01-0031SSLLB_MEF: Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle





Unités

S.I.

Géométrie

Eléments Longueur (m) Aire (m2) AC 0.5 2 2 x 10-4 CB 0.5 2 2 x 10-4 CD 2.5 1 x 10-4 BD 2 1 x 10-4




■ Externes : Articulation en A et B, ■ Internes : Aucune.


110

Chargement ■ Externe : Force ponctuelle en D: Fy = F = - 9.81 x 103 N. ■ Interne : Aucun.

2.31.3. Déplacements en C et D

Solution de référence Méthode des déplacements.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre, ■ 4 nœuds, ■ 4 filaires.


2.31.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : déplacement horizontal

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En C mm 0.26517 0.26469 -0.18% CM2 En C mm 0.26517 0.26690 0.65% ELFI En D mm 3.47902 3.47531 -0.11% CM2 En D mm 3.47902 3.47531 -0.11%


Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En C mm 0.08839 0.08817 -0.25% CM2 En C mm 0.08839 0.08817 -0.25% ELFI En D mm -5.60084 -5.595 -0.10% CM2 En D mm -5.60084 -5.595 -0.10%


111

2.32. Test n° 01-0032SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités libres

2.32.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLL

15/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.32.2. Présentation Un poutre soumise à trois forces ponctuelles repose sur un sol de raideur linéique constante.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = (π 10 )/2, ■ I = 10-4 m4.




■ Externes : □ Extrémités A et B libres, □ Sol de raideur linéique constante ky = K = 840000 N/m2.



112

Chargement

■ Externe : Forces ponctuelles en A, C et B: Fy = F = - 10000 N. ■ Interne : Aucun.

2.32.3. Moment fléchissant et déplacement en C


β = 4

K/(4EI) ϕ = βL/2 λ = sh (2ϕ) + sin (2ϕ) ■ Moment fléchissant :

MC = (F/(4β))(ch(2ϕ) - cos (2ϕ) – 8sh(ϕ)sin(ϕ))/λ

■ Déplacement vertical : vC = - (Fβ/(2K))( ch(2ϕ) + cos (2ϕ) + 8ch(ϕ)cos(ϕ) + 2)/λ



Digramme du moment fléchissant


113

2.32.4. Déplacements en A


■ Déplacement vertical : vA = (2Fβ/K)( ch(ϕ)cos(ϕ) + ch(2ϕ) + cos(2ϕ))/λ


θA = (-2Fβ2/K)( sh(ϕ)cos(ϕ) - sin(ϕ)ch(ϕ) + sh(2ϕ) - sin(2ϕ))/λ






ELFI En C Nm 5759 5780 0.36% CM2 En C Nm 5759 5780 0.36%



ELFI En C m -0.006844 -0.006844 0.00% CM2 En C m -0.006844 -0.006844 0.00%



ELFI En A m -0.007854 -0.007861 -0.09% CM2 En A m -0.007854 -0.007861 -0.09%

4 Comparaison des résultats : rotation θ autour de l’axe z


ELFI En A rad 0.000706 0.000707 0.14% CM2 En A rad 0.000706 0.000707 0.14%

Test 01-0033SFLLA_MEF

114

2.33. Test n° 01-0033SFLLA_MEF: Pylône EDF

2.33.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire, Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie


115




■ Externes : □ Articulation aux quatre pieds du pylône, □ Pour la modélisation, un encastrement et 4 poutres ont été rajoutées au

niveau des pieds du pylône. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charges ponctuelles correspondant à un chargement de type vent : □ FX = 165550 N, FY = - 1240 N, FZ = - 58720 N sur les bras principaux, □ FX = 50250 N, FY = - 1080 N, FZ = - 12780 N sur le bras supérieur, □ FX =11760 N, FY = 0, FZ = 0 sur les 2 cadres inférieurs,



116



Logiciel ANSYS 5.3 NE/NASTRAN 7.0 Flèche maxi (m) 0.714 0.714

λcritique mode prépondérant 2.77 2.77




117


Déformée modale de flambement (mode prépondérant)


118


1 Comparaison des résultats : déplacement


ELFI En tête de pylône m 0.714 0.7125 -0.21% CM2 En tête de pylône m 0.714 0.7125 -0.21%

2 Comparaison des résultats : mode de flambement prépondérant

Solveur Mode Unité Référence Effel Ecart

ELFI λcritique - 2.77 2.83 2.17% CM2 λcritique - 2.77 2.83 2.17%


119

2.34. Test n° 01-0034SSLLB_MEF: Poutre sur sol élastique, extrémités articulées


16/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.34.2. Présentation Un poutre soumise à une force ponctuelle, une force uniformément répartie et deux couples repose sur un sol de raideur linéique constante.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = (π 10 )/2, ■ I = 10-4 m4.




■ Externes : □ Extrémités A et B libres, □ Sol de raideur linéique constante ky = K = 840000 N/m2.



120

Chargement

■ Externe : □ Force ponctuelle en D: Fy = F = - 10000 N, □ Force uniformément répartie de A à B : fy = p = - 5000 N/m, □ Couple en A : Cz = -C = -15000 Nm, □ Couple en B : Cz = C = 15000 Nm.


2.34.3. Déplacement et réaction d’appui en A


β = 4

K/(4EI) ϕ = βL/2 λ = ch(2ϕ) + cos(2ϕ)

■ Réaction d’appui verticale :

VA = -p(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) - 2βFch(ϕ)cos(ϕ) + 2β2C(sh(2ϕ) - sin(2ϕ)) x 1

2βλ


θA = p(sh(2ϕ) – sin(2ϕ)) + 2βFsh(ϕ)sin(ϕ) - 2β2C(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) x 1

(K/β)λ





121

2.34.4. Déplacement et moment de flexion en D


■ Déplacement vertical :

vD = 2p(λ - 2ch(ϕ)cos(ϕ)) + βF(sh(2ϕ) – sin(2ϕ)) - 8β2Csh(ϕ)sin(ϕ) x 1

2Kλ

■ Moment fléchissant :

MD = 4psh(ϕ)sin(ϕ) + βF(sh(2ϕ) + sin(2ϕ)) - 8β2Cch(ϕ)cos(ϕ) x 1

4β2λ



Digramme du moment de flexion


122


1 Comparaison des résultats : rotation autour de z


ELFI En A rad -0.003045 -0.0030433 -0.06% CM2 En A rad -0.003045 -0.0030433 -0.06%

2 Comparaison des résultats : réaction verticale


ELFI En A N 11674 11644 -0.26% CM2 En A N 11674 11644 -0.26%



ELFI En D cm -0.423326 -0.423297 -0.01% CM2 En D cm -0.423326 -0.4207 -0.62%



ELFI En D Nm -33840 -33836 -0.01% CM2 En D Nm -33840 -33836 -0.01%

Test 01-0035SSLPB_MEF

123

2.35. Test n° 01-0035SSLPB_MEF: Plaque en flexion et cisaillement dans son plan

2.35.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLP

01/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : surfacique. ■ Tolerance CAO 0.1 mm


Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 1 mm, ■ Longueur : L = 48 mm, ■ Hauteur : H = 12 mm.




■ Externes : Encastrement en tout point du bord x = 0. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Force uniformément répartie en tout point x = 48 mm : fy = p = - 3333.33 N/m.


2.35.3. Contraintes planes en (x,y)


Méthode analytique par fonction d’Airy :

■ σxx = 12Py(x - L)

H3

■ σyy = 0


124

■ σxy = 6P(

H2

4 - y2)

H3




1 Comparaison des résultats : contrainte plane σxx


ELFI En (0, H/2) MPa 80 79.91 -0.11% CM2 En (0, H/2) MPa 80 79.91 0.11%

2 Comparaison des résultats : contrainte plane σxx


ELFI En (0, -H/2) MPa -80 -79.91 0.11% CM2 En (0, -H/2) MPa -80 -79.91 0.11%

3 Comparaison des résultats : contrainte plane σxy


ELFI En tout point y = 0 MPa -5 -4.92 -1.6% CM2 En tout point y = 0 MPa -5 -5.03 -0.6%


125

2.36. Test n° 01-0036SSLSB_MEF: Plaque carrée simplement supportée

2.36.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLS

02/89; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque simplement appuyée sur son contour est soumise uniquement à son poids propre.

Unités S.I.

Géométrie ■ Côté = 1 m, ■ Epaisseur h = 0.01m.



□ Appui simple sur le contour de la plaque, □ Pour la modélisation, on place un encastrement en B.



126

Chargement

■ Externe : Poids propre (pesanteur = 9.81 m/s2). ■ Interne : Aucun.

2.36.3. Déplacement vertical en O


D’après l’hypothèse de Love-Kirchhoff, le déplacement w en un point (x,y) : w(x,y) = Σ wmnsinmπxsinnπy

avec wmn = 192ρg(1 - ν2)

mn(m2 + n2)π6Eh2







ELFI En O μm -0.158 -0.16 1.27% CM2 En O μm -0.158 -0.16 1.27%


127

2.37. Test n° 01-0037SSLSB_MEF: Poutre caisson en torsion




Une poutre caisson encastrée à l’une de ses extrémités est soumise à de la torsion.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur ; L = 1m, ■ Section carrée de côté : b = 0.1 m, ■ Epaisseur h = 0.005 m.




■ Externes : Poutre encastrée à l’extrémité x = 0 ; ■ Internes : Aucune.


128

Chargement

■ Externe : Moment de torsion M = 10N.m appliqué à l’extrémité libre (soit pour la modélisation, 4 forces de 50 N).


2.37.3. Déplacement et contrainte en deux points


La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis.

Coordonnées des points : ■ A (0,0.05,0.5) ■ B (-0.05,0,0.8)

Nota : le point O est l’origine du repère (x,y,z).





129


1 Comparaison des résultats : déplacement


ELFI En A micron -0.617 -0.617 -0.00% CM2 En A micron -0.617 -0.616 0.16% ELFI En B micron -0.987 -0.987 0.00% CM2 En B micron -0.987 -0.987 0.00%



ELFI En A rad 0.123 x 10-4 0.123 x 10-4 0.00% CM2 En A rad 0.123 x 10-4 0.123 x 10-4 0.00% ELFI En B rad 0.197 x 10-4 0.197 x 10-4 0.00% CM2 En B rad 0.197 x 10-4 0.197 x 10-4 0.00%

3 Comparaison des résultats : contrainte σxy


ELFI En A MPa -0.11 -0.11 0.00% CM2 En A MPa -0.11 -0.11 0.00% ELFI En B MPa -0.11 -0.11 0.00% CM2 En B MPa -0.11 -0.11 0.00%


130

2.38. Test n° 01-0038SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression radiale uniforme


06/89; ■ Type d’analyse : élastique statique ; ■ Type d’élément : surfacique.

2.38.2. Présentation Un cylindre de longueur L et de rayon R est soumis à une pression interne uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 4 m, ■ Rayon : R = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.02 m.

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


□ Conditions libres, □ Pour la modélisation, on considère seulement ¼ de cylindre et on applique

des conditions de symétrie. D’autre part, on bloque des déplacements pour certains nœuds afin de rendre le modèle stable.



131

Chargement ■ Externe : Pression interne uniforme : p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.38.3. Contraintes en tous points

Solution de référence Contraintes dans le repère des éléments surfaciques (l’axe x est parallèle à la longueur du cylindre) : ■ σxx = 0

■ σyy = pRh

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, ■ 209 nœuds, ■ 180 surfaciques.

2.38.4. Déformations du cylindre en tous points

■ Déformation radiale :

δR = pR2

Eh

■ Déformation longitudinale :

δL = -pRνL

Eh


1 Comparaison des résultats : contrainteσxx


ELFI en tous points MPa 0 0 0.00% CM2 en tous points MPa 0 0 0.00%

2 Comparaison des résultats : contrainteσyy


ELFI en tous points MPa 0.5 0.5 0.00% CM2 en tous points MPa 0.5 0.5 0.00%

3 Comparaison des résultats : déformation radiale du cylindre δR


ELFI en tous points micron 2.38 2.39 0.42% CM2 en tous points micron 2.38 2.38 0.00%

4 Comparaison des résultats : déformation longitudinale du cylindre δL


ELFI en tous points micron -2.86 -2.85 -0.35% CM2 en tous points micron -2.86 -2.85 -0.35%


132

2.39. Test n° 01-0039SSLSB_MEF: Plaque carrée en contraintes planes

2.39.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC ; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique (membrane).

2.39.2. Présentation La plaque carré de 2 x 2 m est encastrée sur 3 côtés et supporte une charge surfacique p sur sa face supérieure.

[ ]1;1, −∈ηξ

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : e = 1 m, ■ 4 éléments carrés de coté h = 1 m.


Conditions aux limites ■ Externes : Encastrement sur 3 cotés, ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe : Charge uniforme p = -1. 108 N/ml sur la face supérieure, ■ Interne : Aucun.


133



Les déplacements de référence sont calculés aux nœuds 7 et 9.

v9 = -6ph(3 + ν)(1 - ν2)

E(8(3 - ν)2 - (3 + ν)2) = -0.1809 x 10-3 m,

v7 = 4(3 - ν)3 + ν v9 = -0.592 x 10-3 m,

Pour l’élément 1.4 : (Pour les contraintes calculées ci-dessous, le point d’abscisse (x = 0;y = 0) correspond au nœud 8.)

σyy = E

1 - ν2 (v9 - v7)

2h (1 + ξ) soit pour

σxx = νσyy soit pour

σxy = E

1 + ν (v9 + v7) + η(v9 - v7)

4h (1 + ξ) soit pour


■ Elément surfacique : membrane, maillage imposé, ■ 9 nœuds, ■ 4 quadrangles surfaciques.


ξ = -1 ; σyy = 0 ξ = 0 ; σyy = -47.44 Mpa ξ = 1 ; σyy = -94.88 Mpa

ξ = -1 ; σxx = 0 ξ = 0 ; σxx = -14.23 Mpa ξ = 1 ; σxx = -28.46 Mpa

η = -1 ; ξ = 0 ; σxy = -47.82 Mpa η = 0 ; ξ = 0 ; σxy = -31.21 Mpa η= 1 ; ξ = 0 ; σxy = -14.61 Mpa


134




ELFI Élément 1.4 nœud 7 mm -0.592 -0.592 0.00% CM2 Élément 1.4 nœud 7 mm -0.592 -0.592 0.00% ELFI Élément 1.4 nœud 9 mm -0.1809 -0.1809 0.00% CM2 Élément 1.4 nœud 9 mm -0.1809 -0.1809 0.00%

2 Comparaison des résultats : contraintes σxx


CM2 Élément 1.4 en x = 0 m MPa 0 0 - ELFI Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -14.23 -14.23 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -14.23 -14.23 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 1 m MPa -28.46 -28.46 0.00%

3 Comparaison des résultats : contraintes σyy


CM2 Élément 1.4 en x = 0 m MPa 0 0 - ELFI Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -47.44 -47.44 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 0.5 m MPa -47.44 -47.44 0.00% CM2 Élément 1.4 en x = 1 m MPa -94.88 -94.88 0.00%

4 Comparaison des résultats : contraintes σxy


CM2 Elément 1.4 en x = 0 m Mpa -14.66 -14.66 -0.00% ELFI Elément 1.4 en x = 0.5 m Mpa -31.21 -31.21 0.00% CM2 Elément 1.4 en x = 0.5 m Mpa -31.21 -31.21 0.00% CM2 Elément 1.4 en x = 1 m MPa -47.82 -47.82 0.00%


135

2.40. Test n° 01-0040SSLSB_MEF: Membrane raidie

2.40.1. Fiche de description ■ Référence : Klaus-Jürgen Bathe - Finite Element Procedures in Engineering

Analysis, Example 5.13; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique (membrane).


La plaque 8 x 12 cm en son milieu est encastrée sur 3 cotés et supporte une charge ponctuelle P sur son unique nœud libre A.

[ ]1;1, −∈ηξ

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : e = 0.1 cm, ■ Longueur : l = 8 cm, ■ Largeur : B = 12 cm.


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 30 x 106 N/cm2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


■ Externes : Encastrement sur 3 cotés, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge uniforme Fx = F = 6000 N en A, ■ Interne : Aucun.


136

2.40.3. Résultats du modèle dans le domaine linéaire élastique


L’origine du repère utilisée pour les positions des résultats est le point B.

( ) ( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=σ=ξ−=−=σ=ξ

=σ−=ξξ+

ν+−=σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==σ−=η==σ=η

=σ=ηνσ=σ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==σ−=η==σ=η

=σ=ηη−

ν−=σ

=+

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ν++

ν−

== −

MPa 96.17N/cm 1796 ;1MPa 98.8N/cm 898 ;0

0 ;1 pour soit 1

b8u

1E

MPa 55.11N/cm 1155 ;1MPa 77.5N/cm 577 ;0

0 ;1 pour soit

MPa 49.38N/cm 3849 ;1MPa 24.19N/cm 1924 ;0

0 ;1 pour soit 1

a2u

1E

cm3410.97510.367410.2

6000

a2ES

1b1

1a2

3eabE

FKFu

2xy1

2xy1

xy1A

1xy

2yy1

2yy1

yy1

1xx1yy

2xx1

2xx1

xx1A

21xx

466

222

A


■ Elément surfacique : membrane, maillage imposé, ■ 6 nœuds, ■ 2 quadrangles surfaciques et 1 élément barre.



137


Il est important de noter que le solveur ELFI permet de donner les contraintes uniquement au centre des mailles.



ELFI Elément 1 en A cm -9.34 10-4 -9.34 x 10-4 0.00% CM2 Elément 1 en A cm -9.34 10-4 -9.34 x 10-4 0.00%

2 Comparaison des résultats : contrainte σxx


CM2 Elément 1 en y = 0 cm MPa 38.49 38.49 0.00% ELFI Elément 1 en y = 3 cm MPa 19.24 19.24 0.00% CM2 Elément 1 en y = 3 cm MPa 19.24 19.24 0.00% CM2 Elément 1 en y = 6 cm MPa 0 0 -

3 Comparaison des résultats : contrainte σyy


CM2 Elément 1 en y = 0 cm MPa 11.55 11.55 0.00% ELFI Elément 1 en y = 3 cm MPa 5.77 5.77 0.00% CM2 Elément 1 en y = 3 cm MPa 5.77 5.77 0.00% CM2 Elément 1 en y = 6 cm MPa 0 0 -

4 Comparaison des résultats : contrainte σxy


CM2 Elément 1 en x = 0 cm MPa 0 0 - ELFI Elément 1 en x = 4 cm MPa -8.98 -8.98 0.00% CM2 Elément 1 en x = 4 cm MPa -8.98 -8.98 0.00% CM2 Elément 1 en x = 8 cm MPa -17.96 -17.96 0.00%


138

2.41. Test n° 01-0041SSLLB_MEF: Poutre sur deux appuis avec prise en compte du cisaillement

2.41.1. Fiche de description ■ Référence : Test interne GRAITEC ; ■ Type d’analyse : statique linéaire (problème plan) ; ■ Type d’élément : linéique.


La poutre d'une longueur totale de 300 cm reconstitue un profilé en I d’une hauteur totale de 20.04 cm ayant une âme d’épaisseur de 0.96 cm et des semelles de largeur 20.04 cm d’épaisseur égale à 1.46 cm.

Unités S.I.

Géométrie

l = 300 cm h = 20.04 cm b= 20.04 cm tw = 1.46 cm tf = 0.96 cm Sx= 74.95 cm2 Iz = 5462 cm4 Sy = 16.43 cm2

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2285938 daN/cm2, ■ Module d’élasticité transversal G = 879207 daN/cm2 ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


□ Appui simple au nœud 11, □ Pour la modélisation, articulation au nœud 1 ( au lieu d’être un appui simple).



139

Chargement ■ Externe : Charge ponctuelle verticale P = -20246 daN au nœud 6, ■ Interne : Aucun.

2.41.3. Déplacement vertical du modèle dans le domaine linéaire élastique


Le déplacement de référence est calculé au milieu de la poutre au nœud 6.

( )cm 017.1105.0912.0

43.16x3.012

2285938x4

300x202465462x2285938x48

300x20246GS4Pl

EI48Plv

3tranchant

y

flexion

z

3

6 −=−−=

+

−+

−=+=

876876


■ Elément surfacique : Poutre C, maillage imposé, ■ 11 nœuds, ■ 10 éléments filaires.





ELFI Au nœud 6 cm -1.017 -1.017 0.00% CM2 Au nœud 6 cm -1.017 -1.017 0.00%


140

2.42. Test n° 01-0042SSLSB_MEF: Cylindre mince sous charge axiale uniforme


07/89 ; ■ Type d’analyse : Elastique statique ; ■ Type d’élément : surfacique .


Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à une charge axiale uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Longueur : L = 4 m, ■ Rayon : R = 1 m.



□ Déplacement axial nul à l’extrémité gauche : vz = 0, □ Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre.


Chargement ■ Externe : Chargement axial uniforme q = 10000 N/m, ■ Interne : Aucun.


141

2.42.3. Contrainte en tous points


L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre.

σxx = qh

σyy = 0


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques .

2.42.4. Déformation du cylindre à l’extrémité libre


■ Déformation longitudinale du cylindre δL :

δL = qLEh

■ Déformation radiale du cylindre δR :

δR = -qνREh


■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques.

Forme de la déformation


142




ELFI En tous points MPa 0.5 0.5 0.00% CM2 En tous points MPa 0.5 0.5 0.00%



ELFI En tous points MPa 0 0 - CM2 En tous points MPa 0 0 -

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale δL


ELFI A l’extrémité libre micron 9.52 9.55 0.32% CM2 A l’extrémité libre micron 9.52 9.55 0.00%

4 Comparaison des résultats : déformation radiale δR


ELFI A l’extrémité libre micron -0.714 -0.714 0.00% CM2 A l’extrémité libre micron -0.714 -0.714 0.00%


143

2.43. Test n° 01-0043SSLSB_MEF: Cylindre mince sous pression hydrostatique


08/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à une pression hydrostatique.

Unités S.I.



Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre, donc on

impose des conditions de symétrie aux nœuds parallèles à l’axe du cylindre. ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Pression interne radiale variant linéairement avec la hauteur p = p0 zL ,



144

2.43.3. Contraintes


L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre. σxx = 0

σyy = p0RzLh



2.43.4. Déformation du cylindre



δL = -p0Rνz2

2ELh


δR = p0R2zELh



Forme de la déformation


145




ELFI En tous points MPa 0 0 - CM2 En tous points MPa 0 0 -



ELFI En z = L/2 MPa 0.5 0.5 0.00% CM2 En z = L/2 MPa 0.5 0.5 0.00%

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale du cylindre δL


ELFI Extrémité inférieure micron -2.86 -2.85 -0.35% CM2 Extrémité inférieure micron -2.86 -2.85 -0.35%

4 Comparaison des résultats : déformation radiale du cylindre δR


ELFI En z = L/2 micron 2.38 2.38 0.00% CM2 En z = L/2 micron 2.38 2.38 0.00%


146

2.44. Test n° 01-0044SSLSB_MEF: Cylindre mince sous son poids propre



2.44.2. Présentation Un cylindre de rayon R et de longueur L est soumis à son poids propre.

Unités S.I.


Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : γ = 7.85 x 104 N/m3.


□ Déplacement axial nul en z = 0, □ Pour la modélisation, on ne considère qu’un quart du cylindre, donc on

impose des conditions de symétrie aux nœuds parallèles à l’axe du cylindre. ■ Internes : Aucune.


147

Chargement ■ Externe : Poids propre du cylindre, ■ Interne : Aucun.

2.44.3. Contraintes

Solution de référence L’axe x du repère local des éléments surfaciques est parallèle à l’axe du cylindre. σxx = γz σyy = 0

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 697 nœuds, ■ 640 quadrangles surfaciques.




δL = γz2

2E


δR = -γνRz

E





Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI En tous points MPa 0 0 - CM2 En tous points MPa 0 0 -


Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart ELFI pour z = L MPa 0.314 0.310 -0.04% CM2 pour z = L MPa 0.314 0.312 -0.02%

3 Comparaison des résultats : déformation longitudinale δL

Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart ELFI pour z = L micron 2.99 2.99 0.00% CM2 pour z = L micron 2.99 2.99 0.00%


Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart ELFI pour z = L micron -0.449 -0.45 0.67% CM2 pour z = L micron -0.449 -0.45 0.67%


148

2.45. Test n° 01-0045SSLSB_MEF: Tore sous pression interne uniforme



2.45.2. Présentation Un tore de rayon a et dont la section transversale a pour rayon b, est soumis à une pression interne uniforme.

Unités S.I.

Géométrie ■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon de la section transversale : b = 1 m, ■ Rayon de courbure moyen : a = 2 m.


Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère qu’un huitième du cylindre, donc

on impose des conditions de symétrie aux nœuds d’extrémités. ■ Internes : Aucune.


149

Chargement ■ Externe : Pression interne uniforme p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.45.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation) Si a – b ≤ r ≤ a + b

σ11 = pb2h

r + ar

σ22 = pb2h

Modélisation aux éléments finis ■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 quadrangles surfaciques.


Solution de référence ■ Déformation radiale du tore δR :

δR = pb

2Eh (r - ν(r + a))

Modélisation aux éléments finis ■ Élément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 quadrangles surfaciques .


1 Comparaison des résultats : contraintes σ11

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI pour r = a - b Pa 7.5 x 105 7.43 x 105 -0.06% CM2 pour r = a - b Pa 7.5 x 105 7.48 x 105 -0.02% ELFI pour r = a + b Pa 4.17 x 105 4.09 x 105 -0.07% CM2 pour r = a + b Pa 4.17 x 105 4.11 x 105 -0.05%

2 Comparaison des résultats : contrainte σ22

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI pour tout r Pa 2.50 x 105 2.50 x 105 0.00% CM2 pour tout r Pa 2.50 x 105 2.49 x 105 -0.01%

3 Comparaison des résultats : déformations radiales du tore δR

Solveur Modèle Unité Référence Effel Ecart ELFI pour r = a - b m 1.19 x 10-7 1.2 x 10-7 0.24% CM2 pour r = a - b m 1.19 x 10-7 1.2 x 10-7 0.24% ELFI pour r = a + b m 1.79 x 10-6 1.80 x 10-6 0.17% CM2 pour r = a + b m 1.79 x 10-6 1.80 x 10-6 0.17%


150

2.46. Test n° 01-0046SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous pression interne




Une calotte sphérique de rayon R2 est soumise à une pression interne.


151

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon : R2 = 1 m, ■ θ = 90° (hémisphère).




■ Externes : Appui simple (déplacement vertical selon y nul) sur le périmètre de la calotte. Pour la modélisation, on ne considère que la moitié de l’hémisphère, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y) ; de plus, le nœud situé au sommet de la calotte est bloqué en translation suivant x pour assurer la stabilité de la structure lors du calcul),


Chargement

■ Externe : Pression interne uniforme p = 10000 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.46.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation) Si 0° ≤ θ ≤ 90°

σ11 = σ22 = pR2

2

2h


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 343 nœuds, ■ 324 surfaciques .



■ Déformation radiale de la calotte δR :

δR = pR2

2 (1 - ν) sin θ 2Eh


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 343 nœuds, ■ 324 surfaciques.


152





ELFI pour tout θ Pa 2.50 x 105 2.50 x 105 0.00% CM2 pour tout θ Pa 2.50 x 105 ok 2.49 x 105 -0.40%



ELFI pour tout θ Pa 2.50 x 105 2.49 x 105 -0.40% CM2 pour tout θ Pa 2.50 x 105 ok 2.49 x 105 -0.40%

2 Comparaison des résultats : déformations radiales δR


ELFI pour θ = 90° m 8.33 x 10-7 8.37 x 10-7 0.48% CM2 pour θ = 90° m 8.33 x 10-7 ok 8.38 x 10-7 0.60%


153

2.47. Test n° 01-0047SSLSB_MEF: Calotte sphérique sous son poids propre


17/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique . ■ Tolerance CAO 0.5 mm


Un calotte sphérique de rayon R2 est soumise à son poids propre.


154

Unités

S.I.

Géométrie

■ Epaisseur : h = 0.02 m, ■ Rayon : R2 = 1 m, ■ θ = 90° (hémisphère).


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique : γ = 7.85 x 104 N/m3.


■ Externes :

Appui simple (déplacement vertical selon y nul) sur le périmètre de la calotte. Pour la modélisation, on ne considère que le quart de l’hémisphère, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical yz en translation suivant x et en rotation suivant y et z + blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y),


Chargement

■ Externe : Poids propre, l’axe vertical est l’axe y, ■ Interne : Aucun.

2.47.3. Contraintes


(Voir description des contraintes sur le premier schéma de présentation)

σ11 = γR2

1 + cosθ

σ22 = -γR2 ( 1

1 + cosθ - cosθ)


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 2071 nœuds, ■ 2025 surfaciques . ■ Tolérance CAO = 0.0005 m

2.47.4. Déformation radiale du cylindre


δR = -γR2

2 sinθ E (

1 + ν1 + cosθ - cosθ)


■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 2071 nœuds, ■ 2025 surfaciques .


155




ELFI pour tout θ = 90° Pa 7.85 x 104 7.71 x 104 -1.78% CM2 pour tout θ = 90° Pa 7.85 x 104 7.73 x 104 -1.55%



ELFI pour tout θ = 90° Pa -7.85 x 104 -7.56 x 104 -3.69% CM2 pour tout θ = 90° Pa -7.85 x 104 -7.87 x 104 -0.13%



ELFI pour tout θ = 90° m 4.86 x 10-7 4.84 x 10-7 -0.41% CM2 pour tout θ = 90° m 4.86 x 10-7 4.83 x 10-7 -0.62%


156

2.48. Test n° 01-0048SSLSB_MEF: Coque cylindrique pincée




Un cylindre de longueur L est pincé par 2 forces F diamétralement opposées.


157

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 10.35 m (longueur totale), ■ Rayon : R = 4.953 m, ■ Epaisseur : h = 0.094 m.




■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère que la moitié du cylindre, donc on impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan horizontal xz en translation suivant y et en rotation suivant x et z ),


Chargement

■ Externe : 2 forces ponctuelles F = 100 N, ■ Interne : Aucun.

2.48.3. Déplacement vertical au point A


La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis. Incertitude de 2% sur la solution de référence.





Solveur Positionnement Unité Référence Marge de la référence Effel Ecart

ELFI Au point A m -113.9 x 10-3 ± 2% -113.3 x 10-3 -0.53% CM2 Au point A m -113.9 x 10-3 ± 2% -113.3 x 10-3 -0.53%


158

2.49. Test n° 01-0049SSLSB_MEF: Coque sphérique trouée


21/89 ; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique .


Une coque sphérique trouée est soumise à 4 forces diamétralement opposées deux à deux.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon : R = 10 m, ■ Epaisseur : h = 0.04 m, ■ Angle d’ouverture du trou : ϕ0 = 18°.




159

Conditions aux limites ■ Externes : Pour la modélisation, on ne considère que le quart de la coque, donc on

impose des conditions de symétrie (blocage des nœuds situés dans le plan vertical yz en translation suivant x et en rotation suivant y et z + blocage des nœuds situés dans le plan vertical xy en translation suivant z et en rotation suivant x et y),


Chargement ■ Externe : Forces ponctuelles F = 1 N suivant le schéma, ■ Interne : Aucun.

2.49.3. Déplacement horizontal au point A

Solution de référence La solution de référence a été établie par moyenne de résultats de plusieurs progiciels de calcul mettant en œuvre la méthode des éléments finis. Incertitude de 2% sur la solution de référence.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : coque, maillage imposé, ■ 99 nœuds, ■ 80 quadrangles surfaciques.



Comparaison des résultats : déplacement horizontal

Solveur Positionnement Unité Référence Marge de la référence Effel Ecart ELFI Au point A(R,0,0) m 94.0 x 10-3 ± 2% 94.06 x 10-3 0.06% CM2 Au point A(R,0,0) m 94.0 x 10-3 ± 2% 92.68 x 10-3 -1.31%


160

2.50. Test n° 01-0051SSLSB_MEF: Plaque carrée sur appuis simples avec chargement uniforme


24/89; ■ Type d’analyse : statique, élastique linéaire ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque carrée simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = b = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,




■ Externes : Appui simple sur le périmètre de la plaque (déplacement nul suivant l’axe z),



161

Chargement

■ Externe : Pression normale à la plaque p = pZ = -1.0 Pa, ■ Interne : Aucun.

2.50.3. Déplacement vertical et moments de flexion au centre de la plaque


Théorie des plaques minces de Love-Kirchhoff.


■ Elément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 361 nœuds, ■ 324 surfaciques.




ELFI Au centre de la plaque mm 4.43 4.35 -0.70% CM2 Au centre de la plaque mm 4.43 4.36 -0.61%

2 Comparaison des résultats : moments de flexion MX


ELFI Au centre de la plaque Nm 0.0479 0.0465 -2.92% CM2 Au centre de la plaque Nm 0.0479 0.0471 -1.67%

3 Comparaison des résultats : moment de flexion MY




162

2.51. Test n° 01-0052SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme




Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Largeur : a = 1 m, ■ Longueur : b = 2 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,







163

Chargement













ELFI Au centre de la plaque Nm 0.1017 0.1002 -1.47% CM2 Au centre de la plaque Nm 0.1017 0.1017 0.00%





164

2.52. Test n° 01-0053SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec chargement uniforme




Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un chargement uniforme.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Largeur : a = 1 m, ■ Longueur : b = 5 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,







165

Chargement


















166

2.53. Test n° 01-0054SSLSB_MEF: Plaque rectangulaire sur appuis simples avec effort et moments ponctuels



2.53.2. Présentation Une plaque rectangulaire simplement appuyée est soumise à un effort et à des moments ponctuels.

Unités S.I.

Géométrie ■ Largeur : DA = CB = 20 m, ■ Longueur : AB = DC = 5 m, ■ Epaisseur : h = 1 m,

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E =1000 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.

Conditions aux limites ■ Externes : Appui ponctuel en A, B et D (déplacement nul suivant l’axe z), ■ Internes : Aucune.

Chargement ■ Externe :

□ En A : MX = 20 Nm, MY = -10 Nm, □ En B : MX = 20 Nm, MY = 10 Nm, □ En C : FZ = -2 N, MX = -20 Nm, MY = 10 Nm, □ En D : MX = -20 Nm, MY = -10 Nm,



167

2.53.3. Déplacement vertical en C









ELFI Au point C m -12.480 -12.628 1.19% CM2 Au point C m -12.480 -12.668 1.51%


168

2.54. Test n° 01-0055SSLSB_MEF: Plaque en cisaillement perpendiculaire à la surface moyenne


27/89; ■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique.


Une plaque rectangulaire encastrée sur un de ses bords est soumise à 2 forces.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 12 m, ■ Largeur : l = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.05 m,


■ Module d’élasticité longitudinal : E =1.0 x 107 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.25.


■ Externes : Bord AD encastré, ■ Internes : Aucune.

Test 01-0055SSLSB_MEF4

169

Chargement

■ Externe : □ En B : Fz = -1.0 N, □ En C : FZ = 1.0 N,




Solution analytique.






Solveur Positionnement Unité Référence Marge de la référence Effel Ecart

ELFI Au point C mm 35.37 ± 3% 35.35 -0.06% CM2 Au point C mm 35.37 ± 3% 35.67 0.85%


170

2.55. Test n° 01-0056SSLLB_MEF: Système triangulé de barres articulées


12/89; ■ Type d’analyse : statique (problème plan) ; ■ Type d’élément : filaire.

2.55.2. Présentation Un treillis de barres articulées sur 3 appuis ponctuels (soumis à des déplacements imposés) est soumis à 2 forces ponctuelles et à un chargement thermique sur toutes les barres.

Unités S.I.

Géométrie ■ θ = 30°, ■ Section A1 = 1.41 x 10-3 m2, ■ Section A2 = 2.82 x 10-3 m2.

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E =2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de dilatation linéique : α = 10-5 °C-1.


□ Articulation en A (uA = vA = 0), □ Appuis à rouleaux en B et C ( uB = v’C = 0),



□ Déplacement d’appuis : vA = -0.02 m ; vB = -0.03 m ; v’C = -0.015 m , □ Forces ponctuelles : FE = -150 KN ; FF = -100 KN, □ Effet de dilatation de toutes les barres pour un écart de 150° par rapport à la

température de montage (géométrie de référence), ■ Interne : Aucun.


171

2.55.3. Effort de traction dans la barre BD

Solution de référence Détermination de l’inconnue hyperstatique par la méthode des coupures.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre C, maillage automatique, ■ 11 nœuds, ■ 17 poutre C + 1 Poutre C rigide pour la modélisation de l’appui simple en C.

2.55.4. Déplacement vertical en D

Solution de référence Le déplacement vD a été déterminé par moyenne de plusieurs progiciels mettant en œuvre la méthode des éléments finis.

Modélisation aux éléments finis ■ Elément filaire : poutre C, maillage automatique, ■ 11 nœuds, ■ 17 poutre C + 1 Poutre C rigide pour la modélisation de l’appui simple en C.



1 Comparaison des résultats : effort de traction FX

Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI Barre BD N 43633 43741 0.25% CM2 Barre BD N 43633 43738 0.24%


Solveur Positionnement Unité Référence Effel Ecart ELFI Au point D m -0.01618 -0.01617 -0.06% CM2 Au point D m -0.01618 -0.01617 -0.06%


172

2.56. Test n° 01-0057SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une pression uniforme

2.56.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV



Plaque carrée de côté a, pour la modélisation, on ne considère que le quart de la plaque.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Epaisseur : h = 0.01 m,

■ Elancement : λ = ah = 100.


■ Acier, ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3.


■ Externes : Bords AB et BD encastrés, Pour la modélisation, on impose des conditions de symétrie aux bords CB (déplacement bloqué suivant x et rotations bloquées autour de y et z) et CD (déplacement bloqué suivant y et rotations bloquées autour de x et z),


Chargement

■ Externe : Pression uniforme de 1MPa, ■ Interne : Aucun.


173



Ce problème n’a de solution analytique exacte que pour les plaques minces. On propose donc les solutions obtenues avec des éléments Serendip à 20 nœuds ou des éléments de plaque dite épaisse à 4 nœuds. Le résultat attendu doit donc être compris entre ces valeurs à ± 5%.






ELFI Au point C m 0.66390 0.66249 -0.21% CM2 Au point C m 0.66390 0.65880 -0.77%


174


2.57.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV




Unités

S.I.

Géométrie

■ Côté : a = 1 m, ■ Épaisseur : h = 0.01333 m,

■ Élancement : λ = ah = 75.






Chargement



175





■ Élément surfacique : plaque, maillage imposé, ■ 289 nœuds, ■ 256 quadrangles surfaciques.




ELFI Au point C m 0.28053 0.28160 0.38% CM2 Au point C m 0.28053 0.28045 -0.03%


176



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SSLV 09/89;

■ Type d’analyse : statique ; ■ Type d’élément : surfacique.



Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



177











178







Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



179









ELFI Au point C mm 0.55474 0.52999 -4.46% CM2 Au point C mm 0.55474 0.55170 -0.55%


180







Unités

S.I.

Géométrie








Chargement



181









ELFI Au point C micron 65.520 à 78.661 66.250 1.11% CM2 Au point C micron 65.520 à 78.661 78.180 -0.61%


182

2.61. Test n° 01-0062SSLSB_MEF: Plaque d’épaisseur 0.01 m encastrée sur son pourtour et soumise à une force ponctuelle





Plaque carrée de côté a.

Unités

S.I.

Géométrie






■ Externes : Bords encastrés, ■ Internes : Aucune.


183

Chargement

■ Externe : Force ponctuelle appliquée au centre de la plaque: FZ = -106 N, ■ Interne : Aucun.

2.61.3. Déplacement vertical au point C (centre de la plaque)










184







Unités

S.I.

Géométrie








185

Chargement












186







Unités

S.I.

Géométrie








187

Chargement










ELFI Au point C cm 3.7454 3.6648 -2.15% CM2 Au point C cm 3.7454 3.6982 -1.26%


188







Unités

S.I.

Géométrie






189



Chargement










ELFI Au point C mm 0.42995 0.41209 -4.15% CM2 Au point C mm 0.42995 0.41209 -4.15%


190

2.65. Test n° 01-0067SDLLB_MEF: Mode de vibration d’un coude de tuyauterie mince dans l’espace (cas 1)



■ Type d’analyse : analyse modale (problème spatial) ; ■ Type d’élément : filaire.


Un coude de rayon de courbure 1 m et encastré à ses extrémités est soumis uniquement à son poids propre.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 )


191




■ Externes : Encastrement aux points A et B, ■ Internes : Aucune.

Chargement




La méthode de Rayleigh appliquée à un élément de poutre courbe mince permet de déterminer des paramètres tels que : ■ flexion transverse :

fj = μi

2

2π R2 GIpρA avec un i = 1,2.







ELFI Transverse 1 Hz 44.23 44.12 -0.25% CM2 Transverse 1 Hz 44.23 44.12 -0.25% ELFI Transverse2 Hz 125 120.09 -3.93% CM2 Transverse2 Hz 125 120.09 -3.93%


192



■ Référence : Guide de Validation des Progiciels de Calculs de Structures, test SDLL 14/89;

■ Type d’analyse : analyse modale (dans l’espace); ■ Type d’élément : filaire.



Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 0.6 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


193






Chargement





fj = μi

2







Serveur Nature du mode propre Unité Référence Effel Ecart ELFI Transverse 1 Hz 33.4 33.19 -0.63% CM2 Transverse 1 Hz 33.4 33.19 -0.63% ELFI Transverse2 Hz 100 94.62 -5.38% CM2 Transverse2 Hz 100 94.62 -5.38%


194




■ Type d’analyse : analyse modale (problème spatial) ; ■ Type d’élément : filaire.



Unités

S.I.

Géométrie

■ Rayon de courbure moyen : OA = R = 1 m, ■ L = 2 m, ■ Section droite circulaire creuse : ■ Diamètre extérieur : de = 0.020 m, ■ Diamètre intérieur : di = 0.016 m, ■ Section : A = 1.131 x 10-4 m2, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe y : Iy = 4.637 x 10-9 m4, ■ Moment d’inertie de flexion par rapport à l’axe z : Iz = 4.637 x 10-9 m4, ■ Inertie polaire : Ip = 9.274 x 10-9 m4. ■ Coordonnées des points (en m):

□ O ( 0 ; 0 ; 0 ) □ A ( 0 ; R ; 0 ) □ B ( R ; 0 ; 0 ) □ C ( -L ; R ; 0 ) □ D ( R ; -L ; 0 )


195






Chargement





fj = μi

2



■ Élément filaire : poutre, ■ 41 nœuds, ■ 40 filaires.





ELFI Transverse 1 Hz 17.900 17.65 -1.40% CM2 Transverse 1 Hz 17.900 17.65 -1.40% ELFI Transverse2 Hz 24.800 24.43 -1.49% CM2 Transverse2 Hz 24.800 24.43 -1.49%


196

2.68. Test n° 01-0077SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D


■ Référence : Conception et calcul des structures métalliques. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Filaire


Calcul des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D. Le but de ce test est de vérifier les résultats issus d'EFFEL STRUCTURE pour l’étude R.D.M d’un portique 2D.

Géométrie du portique

Soit un portique symétrique d’une portée de 20 mètres, dont les poteaux (de même inertie que les arbalétriers), sont articulés en pieds et hauts de 7.5 mètres, et le faîtage est à 10 mètres d’altitude. Les profilés sont choisis identique pour le poteau et les arbalétriers.

Sollicitations du portique

Le portique est soumis successivement à : Une charge linéique q=100 daN/ml sur les arbalétriers, perpendiculaire à ceux-ci.


197

2.68.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D

Les résultats RDM, pour la charge linéique perpendiculaire aux arbalétriers, sont :

2qLVV EA == ( ) ( ) H

fh3f3k²hf5h8

32²qLHH EA =

++++

==

HhMM DB −== ( )fhH8

²qLMC +−=


Comparaison entre les résultats théoriques et les résultats obtenus par les deux solveurs d’EFFEL STRUCTURE pour la charge linéique perpendiculaire aux arbalétriers

Solveur Efforts Unités Référence EFFEL Ecart

ELFI Réaction verticale VA = VE DaN 1000 1000 0.00% Réaction horizontale HA = HE DaN 332.9 332.9 0.00% MB = MD DaN.m -2496.8 -2496.42 -0.02% MC DaN.m 1671 1671.44 0.03%

CM2 Réaction verticale VA = VE DaN 1000 1000 0.00% Réaction horizontale HA = HE DaN 332.9 332.9 0.00% 7 MB = MD DaN.m -2496.8 -2496.42 -0.02% MC DaN.m 1671 1671.44 0.03%


198

2.69. Test n° 01-0078SSLPB_MEF: Actions aux appuis et moments sur un portique 2D


■ Référence : Conception et calcul des structures métalliques. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Filaire


Calcul des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D. Le but de ce test est de vérifier les résultats issus d'EFFEL STRUCTURE pour l’étude R.D.M d’un portique 2D.

Géométrie du portique

Soit un portique symétrique d’une portée de 20 mètres, dont les poteaux (de même inertie que les arbalétriers), sont articulés en pieds et hauts de 7.5 mètres, et le faîtage est à 10 mètres d’altitude. Les profilés sont choisis identique pour le poteau et les arbalétriers.

Sollicitations du portique

Le portique est soumis successivement à : Une charge linéique q=100 daN/ml sur le poteau, perpendiculaire à ceux-ci.


199

2.69.3. Calcul R.D.M des moments et des actions aux appuis sur un portique 2D

Les résultats RDM, pour la charge linéique perpendiculaire au poteau, sont les suivants:

L2²qhVV EA −=−=

( )( ) ( )fh3f3k²h

fh26kh516

²qhHE +++++

= qhHH EA −=

hH2

²qhM EB −= ( )fhH4

²qhM EC +−= hHM ED −=


Comparaison entre les résultats théoriques et les résultats obtenus par les deux solveurs d’EFFEL STRUCTURE pour la charge linéique perpendiculaire au poteau

Solveur Efforts Unités Référence EFFEL Ecart

ELFI Réaction verticale VA = -VE DaN -140.6 -140.6 0.00% Réaction horizontale HA DaN 579.1 579.17 0.01% Réaction horizontale HE DaN 170.9 170.83 -0.04% MB DaN.m 1530.8 1531.29 0.03% MC DaN.m -302.7 -302.04 -0.22% MD DaN.m -1281.7 -1281.21 -0.04%

CM2 Réaction verticale VA = -VE DaN -140.6 -140.6 0.00% Réaction horizontale HA DaN 579.1 579.17 0.01% Réaction horizontale HE DaN 170.9 170.83 -0.22% MB DaN.m 1530.8 1531.29 -0.04% MC DaN.m -302.7 -302.04 0.03% MD DaN.m -1281.7 -1281.21 -0.22%


200

2.70. Test n° 01-0084SSLLB_MEF: Poutre courte sur deux appuis articules


■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul structures, test SSLL 02/89 ■ Type d’analyse : Statique linéaire (problème plan) ■ Type d’élément : Linéique

2.70.2. Présentation Poutre courte sur deux appuis articules

Unités S.I.

Géométrie ■ Longueur : L = 1.44 m, ■ Aire : A = 31 x 10-4 m² ■ Inertie :I = 2810 x 10-8 m4 ■ Coefficient de cisaillement : az = 2.42 = A/Ar

Propriétés des matériaux ■ E = 2 x 1011 Pa ■ ν = 0.3 Conditions aux limites

■ Articulation à l’extrémité x = 0, ■ Articulation à l’extrémité x = 1.44 m

Chargement Force répartie uniformément sur la poutre AB d’intensité p = -1. X 105 N/m.

2.70.3. Résultats de référence Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence La flèche au milieu d’une poutre non élancée avec prise en considération des déformations d’effort tranchant est donnée par la fonction de Timoshenko :

GA8pl

EIpl

3845v

r

24

+=

avec ( )υ+=

12EG et

zr a

AA =

où Ar est l’aire réduite et az le coefficient de cisaillement calculé sur la section transversale. Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.

Valeurs de référence

Point Grandeur et unité Valeur C V, flèche (m) -1.25926 x 10-3


Comparaison des résultats

Solveur Point Grandeur et unité Valeur de référence Effel Ecart ELFI C V, flèche (mm) -1.25926 -1.25926 0.00% CM2 C V, flèche (mm) -1.25926 -1.25926 0.00%


201

2.71. Test n° 01-0085SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-libre (β=5)



■ Type d’analyse : Analyse modale (problème plan) ■ Type d’élément : linéique


Poutre élancée de section rectangulaire variable (encastre-libre)

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 1 m, ■ Section droite initiale :

□ h0 = 0.04 m □ b0 = 0.05 m □ A0 = 2 x 10-3 m²

■ Section droite finale : □ h1 = 0.01 m □ b1 = 0.01 m □ A1 = 10-4 m²


■ E = 2 x 1011 Pa ■ ρ = 7800 kg/m3


■ Externes : □ Encastrement à l’extrémité x = 0, □ Libre à l’extrémité x = 1


Chargement


Test 01-0085SDLLB_EC3

202

2.71.3. Résultats de référence

Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence Calcul exact par intégration numérique de l’équitation différentielle de la flexion des poutres (théorie d’Euler-Bernouilli)

²t²A

²x²EIz

x2

2

δνδ

ρ−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛δ

νδδδ

où Iz et A varient avec l’abscisse.

On obtient :

( ) ρβαλπ

= 12E

²l1h,i

21fi avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ο

=β

=ο

=α

51b

b

41h

h

λ1 λ2 λ3 λ4 λ5

β = 5 24.308 75.56 167.21 301.9 480.4

Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.


Nature du mode propre Fréquence (Hz) 1 56.55 2 175.79 3 389.01 4 702.36

Flexion

5 1117.63


203

Test 01-0085SDLLB_EC3

204


205

2.71.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : fréquences propres

Serveur Nature du mode propre : Flexion Unité Référence Effel Ecart

ELFI 1 Hz 56.55 58.49 3.43% CM2 1 Hz 56.55 58.49 3.43% ELFI 2 Hz 175.79 177.67 1.07% CM2 2 Hz 175.79 177.67 1.07% ELFI 3 Hz 389.01 388.87 -0.04% CM2 3 Hz 389.01 388.87 -0.04% ELFI 4 Hz 702.36 697.38 -0.71% CM2 4 Hz 702.36 697.38 -0.71% ELFI 5 Hz 1117.63 1106.27 -1.02% CM2 5 Hz 1117.63 1106.27 -1.02%


206

2.72. Test n° 01-0086SDLLB_MEF: Poutre élancée de section rectangulaire variable encastrée-encastrée

2.72.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul structures, test SDLL 10/89 ■ Type d’analyse : Analyse modale (problème plan) ■ Type d’élément : linéique


Poutre élancée de section rectangulaire variable (encastre-encastre)

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 0.6 m, ■ Epaisseur constante : h = 0.01 m ■ Section initiale :

□ b0 = 0.03 m □ A0 = 3 x 10-4 m²

■ Variation de la section : □ avec (α = 1) □ b = b0e-2αx □ A = A0e-2αx


■ E = 2 x 1011 Pa ■ ν = 0.3 ■ ρ = 7800 kg/m3


■ Externes : □ Encastrement à l’extrémité x = 0, □ Encastrement à l’extrémité x = 0.6 m.


Chargement

■ Externe : Aucun, ■ Interne :Aucun.


Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence

La pulsation ωi est donnée par les racines de l’équation :

( ) ( ) ( ) ( ) 0rlsinslshrs2

²r²sslchrlcos1 =−

+−

avec

( ) 0²²s;²r;EIA 2

isi2

i2i

zo

2i04

i >α−λ⎯→⎯α−λ=λ+α=ωρ

=λ


207

Les composantes de translation ν du mode φi(x) sont alors :

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

+−=Φ α ))sx(rsh)rxsin(s()rlsin(s)sl(rsh

)sl(ch)rlcos(sxchrxcosex xi

Incertitude sur la solution de référence : Solution analytique.


Mode propre φi(x)* Ordre du mode propre

Fréquence (Hz) x = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 143.303 0 0.237 0.703 1 0.859 0.354 0 2 396.821 0 -0.504 -0.818 0 0.943 0.752 0 3 779.425 0 0.670 0.210 -0.831 0.257 1 0 4 1289.577 0 -0.670 0.486 0 -0.594 1 0

* Modes propres φi(x)* normés à 1 au point d’amplitude maximale

Modes propres

2.72.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : fréquences propres

Serveur Nature du mode propre : Flexion Unité Référence Effel Ecart ELFI 1 Hz 143.303 145.89 1.81% CM2 1 Hz 143.303 145.89 1.81% ELFI 2 Hz 396.821 400.27 0.87% CM2 2 Hz 396.821 400.27 0.87% ELFI 3 Hz 779.425 783.16 0.48% CM2 3 Hz 779.425 783.16 0.48% ELFI 4 Hz 1289.577 1293.45 0.30% CM2 4 Hz 1289.577 1293.45 0.30%


208

2.73. Test n° 01-0089SSLLB_MEF: Portique plan articule en pied

2.73.1. Fiche de description ■ Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, test SSLL 14/89. ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Linéique


Calcul des actions aux appuis sur un portique 2d.

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 20 m, ■ I1 = 5.0 x 10-4 m4 ■ a = 4 m ■ h = 8 m ■ b = 10.77 m ■ I2 = 2.5 x 10-4 m4


■ Matériau élastique linéaire isotrope. ■ E = 2.1 x 1011 Pa


Pieds de poteaux A et B articulés (uA = vA = 0 ; uB = vB = 0).


209

Chargement

■ p = -3 000 N/m ■ F1 = -20 000 N ■ F2 = -10 000 N ■ M = -100 000 Nm

2.73.3. Méthode de calcul utilisée pour obtenir la solution de référence

■ K = (I2/b)(h/I1) ■ p = a/h ■ m = 1 + p ■ B = 2(K + 1) + m ■ C = 1 + 2m ■ N = B + mC ■ VA = 3pl/8 + F1/2 – M/l + F2h/l ■ HA = pl²(3 + 5m)/(32Nh) + (F1l/(4h))(C/N) + F2(1-(B + C)/(2N)) + (3M/h)((1 +

m)/(2N))

2.73.4. Valeurs de référence

Point Grandeur et unité Valeur A V, réactionverticale (N) 31 500.0 A H, réaction horizontale (N) 20 239.4 C vc (m) -0.03072

2.73.5. Fiche de résultats Comparaison des résultats : effort

Solveur Point Grandeur Unité Référence EFFEL Ecart ELFI A Réaction verticale V N 31500 31500 0.00%

A Réaction horizontale H N 20239.4 20239.4 0.00% CM2 A Réaction verticale V N 31500 31500 0.00%

A Réaction horizontale H N 20239.4 20239.4 0.00%


Solveur Point Grandeur Unité Référence EFFEL Ecart ELFI C Déplacement vc m -0.03072 -0.03072 0.00% CM2 C Déplacement vc m -0.03072 -0.03072 0.00%

Test 01-0090HFLSB_MEF

210

2.74. Test n° 01-0090HFLSB_MEF: Poutre sur appuis simples en flambement Eulérien avec charge thermique

2.74.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : Surfacique.


La poutre d'une longueur totale de 300 cm reconstitue un profile en I d’une hauteur totale de 20.04 cm ayant une âme d’épaisseur de 0.96 cm et des semelles de largeur 20.04 cm d’épaisseur égale à 1.46 cm.

Unités

S.I.

Géométrie

L = 300 cm h = 20.04 cm b= 20.04 cm tw = 0.96 cm tf = 1.46 cm

Section Sx cm² Sy cm² Sz cm² Ix cm4 Iy cm4 Iz cm4

PRS 74.952 (20.04-0.46) x 0.96=18.58

2x20.04x1.46=58.52

46.54 1959.63 5462.06


211

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2285938 daN/cm2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Module d’élasticité transversal : G = 879207 daN/cm2, ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001.

Conditions aux limites ■ Externes : Ames simplement appuyées en Z = 0 et Z = 300 cm, ■ Internes : Aucune

Chargement ■ Externe : Aucune, ■ Interne : Charge thermique ΔT = 100°C dans l’âme correspondant à un effort

normal de compression de : ( ) daN 4077410000001.096.046.104.202285938TESN =×××−×=Δα=

2.74.3. Déplacement du modèle dans le domaine linéaire élastique Solution de référence


daN 491243300

632.19592285938L

EIN 2

2

2

2

k =××π

=π

=

Pour prendre en compte l’effet de l’effort tranchant, on corrige cette charge en posant :

93.1140774

486597daN 486597N9905.0

GSN

1

NN k

z

k

kk ==λ⇒=×=

+=′

Modélisation aux éléments finis ■ Elément surfacique : Coque E, maillage imposé, ■ 2025 nœuds, ■ 1920 éléments.

Efforts thermiques


212

Forme de la déformée du mode 1

2.74.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats

Solveur CAS Grandeur Unité Référence EFFEL Ecart

CM2 101 Effort Normal total* daN -40774 -41051 0.68% 102 Coefficient critique - 11.93 11.84 -0.75%

* Pour obtenir cet effort, sélectionner les appuis à une des extrémités de la poutre et afficher les actions aux

appuis sur cette sélection.

Test 01-0091HFLLB_MEF

213

2.75. Test n° 01-0091HFLLB_MEF: Poutre bi-encastrée en flambement Eulérien avec charge thermique

2.75.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

L = 10 m Section Sx m² Sy m² Sz m² Ix m4 Iy m4 Iz m4

Vx m3 V1y m3 V1z m3 V2y m3 V2z m3 IPE200 0.002850 0.001400 0.001799 0.0000000646 0.0000014200 0.0000194300

0.00000000 0.00002850 0.00019400 0.00002850 0.00019400


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3. ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune


214

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle FZ = 1 N en x = L/2 (charge permettant d’initialiser la déformée),

■ Interne : ΔT = 5°C correspondant à un effort normal de compression de : kN 925.29500001.000285.011E1.2TESN =×××=Δα=




93.3724.117925.29Nk 724.117

2L

EIP 2

2

critique ==λ⇒=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

π=

Remarque : dans ce cas, la charge thermique n’a aucun effet sur le coefficient critique



Forme de la déformée du mode 1

2.75.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats : effort normal

Solveur CAS Nœud Grandeur Unité Référence EFFEL Ecart CM2 101 6 Effort Normal kN -29.925 -29.93 0.02%

102 6 Effort Normal kN -117.724 -117.75 0.02% Impossible de lancer le solveur de flambement ELFI en raison de la présence de charges thermiques.


215

2.76. Test n° 01-0092HFLLB_MEF: Poutre console en flambement Eulérien avec charge thermique

2.76.1. Fiche de description ■ Référence : Théorie d’Euler ; ■ Type d’analyse : Flambement Eulérien ; ■ Type d’élément : linéique.


Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ S=0.01 m2 ■ I = 0.0002 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.0 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1. ■ Coefficient de dilatation thermique : α = 0.00001


■ Externes : Encastrement à l’extrémité x = 0, ■ Internes : Aucune

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -100000 N en x = L, ■ Interne : ΔT = -50°C (Contraction équivalente à l ‘effort de compression)

( 5000001.00005.001.010.2

100000100 −×=Δ==

×−

== TESN αε )




98696.010000098696 98696

4P 2

2

critique ==⇒== λπ NLEI

Remarque : dans ce cas, la charge thermique n’a aucun effet sur le coefficient critique

01-0092HFLLB_MEF

216





Comparaison des résultats : effort normal

Solveur CAS Nœud Grandeur Unité Référence EFFEL Ecart CM2 101 5 Déplacement vertical v5 cm -1.00 -1.00 0.00%

101 A Effort Normal N -100000 -100000 0.00% 102 A Effort Normal N -98696 -98699 0.00%

Impossible de lancer le solveur de flambement ELFI en raison de la présence de charges thermiques.


217

2.77. Test n° 01-0094SSLLB_MEF: Structure spatiale à barres avec appui élastique

2.77.1. Fiche de description ■ Référence : GRAITEC Interne ; ■ Type d’analyse : statique linéaire ; ■ Type d’élément : linéique.


Soit le système de barres suivant :

Unités

S.I.

Géométrie

Pour toutes les barres : ■ H = 3 m ■ B = 3 m ■ S = 0.02 m2

Elément Nœud i Nœud j 1 (barre) 1 5 2 (barre) 2 5 3 (barre) 3 5 4 (barre) 4 5

5 (ressort) 5 6


■ Matériaux élastique linéaire isotrope ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 E8 N/m2,


■ Externes : Au nœud 5 : K = 50000 kN/m ; ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge verticale au nœud : P = -100 kN, ■ Interne : Aucun.


218

2.77.3. Résultats

Résolution du système

Et 2

22 BHL += . Par ailleurs, U1 = V1 = U5 = U6 = V6 = 0

■ Matrice de rigidité de l’élément barre 1

( ) ( )

1L2x=avec

u.121u.1

21)(uu.

Lxu).

Lx1()x(u jiji

−ξ

ξ++ξ−=ξ⇔+−=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

)v()u()v()u(

0000010100000101

LES

)u()u(

1111

LESd

41

41

41

41

LES2=

dL2

21

21

2121

ESdxBBESdVBHBk : local repère en

j

j

i

i

j

i1

1

1

1

L

0

Te

T

v1

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=ξ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

ξ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−===

∫

∫∫∫

−

−

d’où [ ]

)v()u()v()u(

0000010100000101

LESk

5

5

1

1

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=


219

La matrice élémentaire [ ]ek exprimée dans le repère global XY s'écrit (θ angle permettant de passer de la base globale à la base locale) :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθθ−θθ−θθθθθ−θ−

θ−θθ−θθθθθ−θ−θθθ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ−θθ

θθ−θθ

==−

22

22

22

22

e

eeeT

ee

sinsincossinsincossincoscossincoscos

sinsincossinsincossincoscossincoscos

LESK

cossin00sincos00

00cossin00sincos

Ravec RkRK

Sachant que LHsin et

2LBcos =θ=θ alors :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=θθ

=θ

=θ

2

2

22

2

22

L2HBcossin

LHsin

L2Bcos

[ ]

)V()U()V()U(

H2

HBH2

HB2

HB2

B2

HB2

B

H2

HBH2

HB2

HB2

B2

HB2

B

LESK:)

DH( arctan=5,1 noeuds 1 élémentl' pour oùd'

5

5

1

1

22

22

22

22

31

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=θ→

■ Matrice de rigidité de l’élément ressort 5

[ ])v()u()v()u(

0000010100000101

K)u()u(

1111

Kk : local repère en

4KK posant En

j

j

i

i

j

i5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

′=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−′=

=′

[ ]

)V()U()V()U(

101000001010

0000

'KK:90=6,5 noeuds 5 élémentl' pour oùd'

6

6

5

5

5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=°θ→


220

■ Système [ ]{ } { }FQK =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′−

′−′+−−

−−

−−

−−

6Y

6X

5X

1Y

1X

6

6

5

5

1

1

233

233

3

2

33

2

3

233

233

3

2

33

2

3

RR

PRRR

VUVUVU

K0K000000000

K0KHLES

2HB

LESH

LES

2HB

LES

002

HBLES

2B

LES

2HB

LES

2B

LES

00HLES

2HB

LESH

LES

2HB

LES

002

HBLES

2B

LES

2HB

LES

2B

LES

Comme U1 = V1 = U5 = U6 = V6 = 0 alors :

m 001885.0

4KH

LES

4P

KHLES

4P

V2

32

3

5 −=+

−=

′+

−=

Et N 23563V

4KRN 1436VH

LESR

0RN 1015V2

HBLESRN 1015V

2HB

LESR

56Y52

31Y

6X535X531X

=−==−=

=−===−=

Remarques : ■ Les valeurs indiquées aux appuis par Effel correspondent à des actions, ■ La valeur de RY6 calculée est à multiplier par 4 en raison de la double symétrie, ■ La valeur de Rx1 est comparable à celle trouvée par Effel en divisant celle ci par

2

Effort dans la barre 1 :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

17591759

NN

uu

1111

LES et

VUVU

2LB

LH00

LH

2LB00

002L

BLH

00LH

2LB

vuvu

5

1

5

1

5

5

1

1

5

5

1

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθ−θθ

θθ−θθ

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

5

1

5

1

5

5

1

1

5

5

1

1

NN

uu

1111

LES et

VUVU

cossin00sincos00

00cossin00sincos

vuvu


221


Point Grandeur Unité Valeur 5 V2 m -1.885 10-3

Toutes barres Effort normal N -1759 Appuis 1,3,4 et 5 Action Fz N -1436 Appuis 1,3,4 et 5 Action Fx=Fy N 7182/1015 ±=

Appuis 6 Action Fz N 23563 x 4=94253


■ Elément linéique : poutre, maillage auto, ■ 5 nœuds, ■ 4 filaires.


222


Diagramme des efforts normaux

2.77.4. Fiche de résultats Comparaison des résultats

Solveur Nœud Grandeur Unité Référence Effel Ecart 5 V2 mm -1.885 -1.885 0.00%

Toutes barres Effort normal N -1759 -1759 0.00% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fz N -1436 -1436 0.00% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fx=Fy N -718 -718 0.00%

ELFI

Appuis 6 Action Fz N 94253 94253 0.00% 5 V2 mm -1.885 -1.885 0.00%

Toutes barres Effort normal N -1759 -1759 0.00% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fz N -1436 -1436 0.00% Appuis 1,3,4 et 5 Action Fx=Fy N -718 -718 0.00%

CM2

Appuis 6 Action Fz N 94253 94253 0.00%


223

2.78. Test n° 01-0095SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse centrée


15/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutre droite élancée, Couplage flexion-

torsion, Flexion dans le plan, Flexion transversale, Masse ponctuelle

2.78.2. Données du test

Unités

S.I.

Géométrie

■ Diamètre extérieur : de = 0.35 m, ■ Diamètre extérieur : di = 0.32 m, ■ Longueur de la poutre : l = 10 m, ■ Aire : A = 1.57865 x 10-2 m2

■ Inertie polaire: IP = 4.43798 x 10-4m4 ■ Inertie : Iy = Iz = 2.21899 x 10-4m4 ■ Masse ponctuelle : mc = 1000 kg ■ Masse propre de la poutre : M


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : ρ = 7800 kg/m3

■ Coefficient de Poisson : ν=0.3 (ce coefficient n’étant pas précisé dans le test AFNOR, la valeur de 0.3 semble la plus adaptée pour obtenir la bonne valeur de fréquence de mode n°8 avec NE/NASTRAN)


224


■ Externes :Encastrement au point A, x = 0, ■ Interne : aucune

Chargement

Aucun pour l’analyse modale


Fréquence de référence

Pour le premier mode, la méthode de Rayleigh donne la formule approchée

)M24.0m(IEI3

x2/1fc

3z

1 +Π=

Mode Forme Unité Référence

1 Flexion Hz 1.65 2 Flexion Hz 1.65 3 Flexion Hz 16.07 4 Flexion Hz 16.07 5 Flexion Hz 50.02 6 Flexion Hz 50.02 7 Traction Hz 76.47 8 Torsion Hz 80.47 9 Flexion Hz 103.2

10 Flexion Hz 103.2

Commentaire : La sous matrice masse consistente associée à la torsion d’un élément poutre à 2 nœuds s’exprimant sous la forme :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

××ρ12/12/11

3Il P

Et dans la mesure où Effel utilise une matrice de masse condensée la valeur de l’inertie

massique en torsion introduite dans le modèle est fixée à : 3

Il p××ρ

Incertitude sur les fréquences de référence

■ Mode 1 solution analytique ■ Autres modes : ± 1%


■ Type de l’élément filaire AB: Poutre ■ Maillage de la poutre : 20 éléments.


225

Déformées modales


226

Remarque : la forme de la déformée du mode n°8 qui ne correspond pas vraiment à une déformée de torsion est en fait le résultat de la visualisation des translations et non des rotations. Ceci est confirmé par les valeurs de rotations du mode correspondant.

Vecteur Propre Mode 8

Noeud DX DY DZ RX RY RZ 1 -3.336e-033 6.479e-031 -6.316e-031 1.055e-022 5.770e-028 5.980e-028 2 -5.030e-013 1.575e-008 -1.520e-008 1.472e-002 6.022e-008 6.243e-008 3 -1.005e-012 6.185e-008 -5.966e-008 2.944e-002 1.171e-007 1.214e-007 4 -1.505e-012 1.365e-007 -1.317e-007 4.416e-002 1.705e-007 1.769e-007 5 -2.002e-012 2.381e-007 -2.296e-007 5.887e-002 2.206e-007 2.289e-007 6 -2.495e-012 3.648e-007 -3.517e-007 7.359e-002 2.673e-007 2.774e-007 7 -2.983e-012 5.149e-007 -4.963e-007 8.831e-002 3.106e-007 3.225e-007 8 -3.464e-012 6.867e-007 -6.618e-007 1.030e-001 3.506e-007 3.641e-007 9 -3.939e-012 8.785e-007 -8.464e-007 1.177e-001 3.873e-007 4.023e-007 10 -4.406e-012 1.088e-006 -1.049e-006 1.325e-001 4.207e-007 4.371e-007 11 -4.863e-012 1.315e-006 -1.267e-006 1.472e-001 4.508e-007 4.684e-007 12 -5.310e-012 1.556e-006 -1.499e-006 1.619e-001 4.777e-007 4.964e-007 13 -5.746e-012 1.811e-006 -1.744e-006 1.766e-001 5.015e-007 5.210e-007 14 -6.169e-012 2.077e-006 -2.000e-006 1.913e-001 5.221e-007 5.423e-007 15 -6.580e-012 2.353e-006 -2.265e-006 2.061e-001 5.396e-007 5.605e-007 16 -6.976e-012 2.637e-006 -2.539e-006 2.208e-001 5.541e-007 5.755e-007 17 -7.357e-012 2.928e-006 -2.819e-006 2.355e-001 5.658e-007 5.874e-007 18 -7.723e-012 3.224e-006 -3.104e-006 2.502e-001 5.746e-007 5.965e-007 19 -8.072e-012 3.524e-006 -3.393e-006 2.649e-001 5.808e-007 6.028e-007 20 -8.403e-012 3.826e-006 -3.685e-006 2.797e-001 5.844e-007 6.065e-007 21 -8.717e-012 4.130e-006 -3.977e-006 2.944e-001 5.856e-007 6.077e-007

Avec NE/NASTRAN, les résultats associés au mode n°8 sont :


227



Solveur Mode Forme Unité Référence Effel Ecart (%)

1 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 2 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 3 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06% 4 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06%

ELFI 5 Flexion Hz 50.02 49.99 -0.06% 6 Flexion Hz 50.02 49.99 -0.06% 7 Traction Hz 76.47 76.46 -0.01% 8 Torsion Hz 80.47 88.70 10.23% 9 Flexion Hz 103.20 103.13 -0.07% 10 Flexion Hz 103.20 103.13 -0.07% 1 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 2 Flexion Hz 1.65 1.65 0.00% 3 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06% 4 Flexion Hz 16.07 16.06 -0.06%

CM2 5 Flexion Hz 50.02 49.99 -0.06% 6 Flexion Hz 50.02 49.99 -0.06% 7 Traction Hz 76.47 76.46 -0.01% 8 Torsion Hz 80.47 88.70 10.23% 9 Flexion Hz 103.20 103.13 -0.07% 10 Flexion Hz 103.20 103.13 -0.07%

Commentaire : L’écart entre la fréquence de référence en torsion (mode n° 8) et celle trouvée par Effel peut s’expliquer par le fait que Effel utilise une matrice de masse condensée (cf. fiche de description correspondante).


228

2.79. Test n° 01-0096SDLLB_MEF: Poutre élancée encastrée – libre avec masse ou inertie excentrée


15/89 ; ■ Type d’analyse : analyse modale ; ■ Type d’élément : linéique. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutre droite élancée, Couplage flexion-

torsion , Flexion dans le plan, Flexion transversale, Masse ponctuelle

2.79.2. Données du problème

Unités

S.I.

Géométrie

■ Diamètre extérieur : de = 0.35 m, ■ Diamètre extérieur : di = 0.32 m, ■ Longueur de la poutre : l = 10 m, ■ Distance BC : lBC = 1 m ■ Aire : A =1.57865 x 10-2 m2

■ Inertie : Iy = Iz = 2.21899 x 10-4m4 ■ Inertie polaire : Ip = 4.43798 x 10-4m4 ■ Masse ponctuelle : mc = 1000 kg


■ Module d’élasticité longitudinal de l’élément AB : E = 2.1 x 1011 Pa, ■ Masse volumique de l’élément AB : ρ = 7800 kg/m3 ■ Coefficient de Poisson : ν=0.3 (ce coefficient n’étant pas précisé dans le test

AFNOR, la valeur de 0.3 semble la plus adaptée pour obtenir la bonne valeur de fréquence des modes n°4 et 5 avec NE/NASTRAN)

■ Module d’élasticité de l’élément BC : E = 1021 Pa ■ Masse volumique de l’élément BC : ρ = 0 kg/m3


229


Encastrement au point A, x = 0,

Chargement


2.79.3. Fréquences de référence


Les différentes fréquences propres sont déterminées avec un modèle par éléments finis de poutre d’Euler (poutre élancées).

fz + t0 = flexion x,z + torsion fy + tr = flexion x,y + traction

Mode Unité Référence

1 (fz + t0) Hz 1.636 2 (fy + tr) Hz 1.642 3 (fy + tr) Hz 13.460 4 (fz + t0) Hz 13.590 5 (fz + t0) Hz 28.900 6 (fy + tr) Hz 31.960 7 (fz + t0) Hz 61.610 1 (fz + t0) Hz 63.930

Incertitude sur les solutions de référence

L’incertitude sur les solutions de référence : ± 1%


■ Type de L’élément filaire AB : Poutre ■ Maillage imposé : 50 éléments. ■ Type de L’élément filaire BC : Poutre ■ Maillage : Sans

Déformées modales


230



Solveur Mode Unité Référence Effel Ecart (%)

1 (fz + t0) Hz 1.636 1.64 0.00% 2 (fy + tr) Hz 1.642 1.64 0.00% 3 (fy + tr) Hz 13.46 13.45 -0.06% 4 (fz + t0) Hz 13.59 13.65 -0.06%

ELFI 5 (fz + t0) Hz 28.90 29.72 -0.06% 6 (fy + tr) Hz 31.96 31.96 -0.06% 7 (fz + t0) Hz 61.61 63.08 -0.01% 8 (fy + tr) Hz 63.93 63.92 -0.02% 1 (fz + t0) Hz 1.636 1.636 0.00% 2 (fy + tr) Hz 1.642 1.642 0.00% 3 (fy + tr) Hz 13.46 13.45 0.00% 4 (fz + t0) Hz 13.59 13.65 0.00%

CM2 5 (fz + t0) Hz 28.90 29.72 -0.06% 6 (fy + tr) Hz 31.96 31.96 -0.06% 7 (fz + t0) Hz 61.61 63.08 -0.06%

8 (fy + tr) Hz 63.93 63.92 -0.06%

Note : fz + t0 = flexion x,z + torsion fy + tr = flexion x,y + traction

Remarque : le fait que la matrice de masse d’Effel soit condensée et non consistente

fait que les modes de torsion ainsi obtenus ne prennent pas en compte l’inertie de masse en rotation propre de la poutre.


231

2.80. Test n° 01-0097SDLLB_MEF: Double croix a extrémités articulées

2.80.1. Fiche de description ■ Référence : NAFEMS, test FV2 ■ Type d’analyse : Analyse modale. ■ Fonctions testées : Fréquences propres, Poutres croisées, Flexion dans le plan.


Unités

S.I.

Géométrie

Section carrée pleine : ■ Longueur bras : L = 5 m ■ Dimensions : a x b = 0.125 x 0.125 ■ Aire : A = 1.563 10-2 m2 ■ Inertie : IP = 3.433 x 10-5m4

Iy = Iz = 2.035 x 10-5m4


232


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Masse volumique : ρ = 8000kg/m3


■ Externes : Points A, B, C, D, E, F, G, H bloqués suivant x et y ; ■ Internes : Aucune.

Chargement



Fréquences de référence

Mode Unité Référence 1 Hz 11.336

2,3 Hz 17.709 4 à 8 Hz 17.709

9 Hz 45.345 10,11 Hz 57.390

12 à 16 Hz 57.390


■ Type des éléments filaires : Poutre ■ Maillage imposé : 4Eléments/Bras

Déformées modales


233



Solveur Mode Unité Référence Effel Ecart (%)

1 Hz 11.336 11.332 -0.04% 2, 3 Hz 17.709 17.661 -0.27%

ELFI 4 à 8 Hz 17.709 17.690 -0.11% 9 Hz 45.345 45.014 -0.73% 10, 11 Hz 57.390 56.056 -2.32% 12 à 16 Hz 57.390 56.341 -1.83% 1 Hz 11.336 11.332 -0.04% 2, 3 Hz 17.709 17.661 -0.27%

CM2 4 à 8 Hz 17.709 17.690 -0.11% 9 Hz 45.345 45.014 -0.73% 10, 11 Hz 57.390 56.056 -2.32% 12 à 16 Hz 57.390 56.341 -1.83%


234

2.81. Test n° 01-0098SDLLB_MEF: Poutre sur appuis simples en vibration libre


■ Référence : NAFEMS, FV5 ■ Type d’analyse : Analyse modale. ■ Fonctions testées : Effort tranchant, fréquences propres.


Unités

S.I.

Géométrie

Section carrée pleine : ■ Dimensions : a x b = 2m x 2 m ■ Aire : A = 4 m2 ■ Inertie : IP = 2.25 m4

Iy = Iz = 1.333 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3. ■ Masse volumique : ρ = 8000kg/m3


235


□ x = y = z = Rx = 0 en A ; □ y = z =0 en B ;


Chargement Aucun pour l’analyse modale


Fréquences de référence

Mode Forme Unité Référence

1 Flexion Hz 42.649 2 Flexion Hz 42.649 3 Torsion Hz 77.542 4 Traction Hz 125.00 5 Flexion Hz 148.31 6 Flexion Hz 148.31 7 Torsion Hz 233.10 8 Flexion Hz 284.55 9 Flexion Hz 284.55

Commentaire : Du fait de la nature condensée et non consistente de la matrice de

masse d’Effel, les valeurs de fréquences des modes 3 et 7 ne peuvent être trouvées par ce logiciel. La même modélisation faite avec NE/NASTRAN donnerait respectivement pour les modes 3 et 7 : 77.2 et 224.1 Hz.


■ Eléments droits : élément filaire ■ Maillage imposé : 5 mailles

Déformées modales


236



Solveur Mode Forme Unité Référence Effel Ecart (%)

1 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 2 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 3 Torsion Hz 77.542 4 Traction Hz 125.00 124.49 -0.4%

ELFI 5 Flexion Hz 148.31 149.38 0.7% 6 Flexion Hz 148.31 149.38 0.7% 7 Torsion Hz 233.10 8 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.27% 9 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.27% 1 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 2 Flexion Hz 42.649 43.11 1.08% 3 Torsion Hz 77.542 4 Traction Hz 125.00 124.49 -0.4%

CM2 5 Flexion Hz 148.31 149.38 0.7% 6 Flexion Hz 148.31 149.38 0.7% 7 Torsion Hz 233.10 8 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.56% 9 Flexion Hz 284.55 269.55 -5.56%

Test 01-0099HSLSB_MEF

237

2.82. Test n° 01-0099HSLSB_MEF: Membrane avec point chaud


■ Référence : NAFEMS, Test T1 ■ Type d’analyse : Statique, thermo-élasticité. ■ Fonctions testées : Contraintes.


Remarque : le système d’unités du test initial NAFEMS initialement défini en mm a été transposé en m pour des raisons de facilité de saisie. Ceci a néanmoins aucune incidence sur les valeurs de résultats.

Unités

S.I.


238

Géométrie / maillage

Un quart de la structure est modélisé en intégrant les conditions de symétries.

Épaisseur : 1 m


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 1 x 1011 Pa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Coefficient d’allongement α = 0.00001.


■ Externes : □ Pour tous les nœuds en y = 0, uy =0; □ Pour tous les nœuds en x = 0, ux =0;


Chargement

■ Externe : aucun ■ Internes : Au point chaud, charge thermique ΔT = 100°C ;


239

2.82.3. Contrainte σyy au point A :

Solution de référence :

Valeur de référence : σyy = 50 Mpa en A

Modélisation aux éléments finis :

■ Eléments surfaciques : membranes, ■ 28 surfaciques, ■ 39 nœuds.



Solveur Quantité Unité Référence Effel Ecart (%)

CM2 σyy en A Mpa 50 50.87 1.74%

Remarques : Il est indispensable avec CM2 d’afficher les résultats avec l’option « Lissage des régions Iso » désactivée. Les résultats d’ELFI étant exprimés aux CDG des éléments, il est impossible d’atteindre la valeur objectif.

Test 01-0100SSNLB_MEF

240

2.83. Test n° 01-0100SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = 0)

2.83.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique non linéaire; ■ Type d’élément : filaire, butée.

Présentation

On considère la poutre sur 3 appuis décrite ci-dessous. Cette poutre comporte 2 éléments de même longueur et de caractéristiques identiques.

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 10 m ■ Section : IPE 200, Iz = 0.00001943 m4




■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky = 0,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle verticale P = -100 N en x = 5 m, ■ Interne : Aucun.


241

2.83.2. Solutions de références

ky étant nulle, le modèle non linéaire se comporte de la même façon que la structure sans appui 3.

Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000153.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

m 00153.0Lk2EI316

PL3v

rad 000153.0Lk2EI3EI16

LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 2502

MM4

PL)m5x(M

0Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

=+

=

=


■ Elément filaire : poutre C, maillage auto, ■ 3 nœuds, ■ 2 éléments filaires + 1 butée.



242

Diagramme des moments



Solveur Nature Positionnement Unité Référence Effel Ecart

Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000153 -0.000153 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000153 0.000153 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00153 0.00153 0.00%

ELFI Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000153 0.000153 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz2 Nœud 2 N.m 0 0 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -250 -250 0.00% Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000153 -0.000153 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000153 0.000153 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00153 0.00153 0.00%

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000153 0.000153 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz2 Nœud 2 N.m 0 0 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -250 -250 0.00%


243

2.84. Test n° 01-0101SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k → ∞)




Unités

S.I.

Géométrie





■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky → ∞ (1.1030N/m),


Chargement



244


ky étant infini, le modèle non linéaire se comporte de la même façon qu’une poutre sur 3 appuis.

Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000038.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

0Lk2EI316

PL3v


LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

−=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 13.2032

MM4

PL)m5x(M

N.m 75.93Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

−=+

=

=





245





Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000115 -0.000115 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000077 0.000077 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0 0 0.00%

ELFI Rotation β3 Nœud 3 rad -0.000038 -0.000038 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz2 Nœud 2 N.m -93.75 -93.65 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -203.13 -203.18 0.00% Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000115 -0.000115 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000077 0.000077 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0 0 0.00%

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad -0.000038 -0.000038 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz2 Nœud 2 N.m -93.75 -93.65 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -203.13 -203.18 0.02%


246

2.85. Test n° 01-0102SSNLB_MEF: Poutre sur 3 appuis avec butée (k = -10000 N/m)




Unités

S.I.

Géométrie





■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y (x = 0), □ Appui au nœud 2 bloqué suivant y (x = 10 m), □ Butée de rigidité ky = -10000 N/m (le signe – correspond au blocage vers le

haut) , ■ Internes : Aucune.

Chargement



247


Déplacements

( )( )

( )( )

( )( )

( ) rad 000034.0Lk2EI3EI32

LkEI6PL

m 00058.0Lk2EI316

PL3v


LkEI3PL


LkEI2PL3

3yzz

3yz

2

3

3yz

3

3

3yzz

3yz

2

2

3yzz

3yz

2

1

=+

+−=β

=+

−=

=+

+−=β

−=+

+=β

Moments Mz

( )( )

N.m 9.2202

MM4

PL)m5x(M

N.m 15.58Lk2EI316

PLk3M

0M

1z2zz

3yz

4y

2z

1z

−=−

+==

−=+

=

=





248





Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000129 -0.000129 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000106 0.000106 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00058 0.00058 0.00%

ELFI Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000034 0.000034 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz21 Nœud 2 N.m -58.15 -58.12 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -220.9 -220.9 0.00% Rotation β1 Nœud 1 rad -0.000129 -0.000129 0.00% Rotation β2 Nœud 2 rad 0.000106 0.000106 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m 0.00058 0.00058 0.00%

CM2 Rotation β3 Nœud 3 rad 0.000034 0.000034 0.00% Moment Mz1 Nœud 1 N.m 0 0 0.00% Moment Mz2 Nœud 2 N.m -58.15 -58.12 0.00% Moment Mz milieu travée 1 N.m -220.9 -220.9 0.00%


249

2.86. Test n° 01-0103SSLLB_MEF: Système de barres réticulées (linéaire)

2.86.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique linéaire; ■ Type d’élément : filaire, barre.


On considère le système de barres décrit ci-dessous. Ce système comporte 4 éléments de même longueur et de section S (barres 1 à 4) ainsi que 2 diagonales de longueur

2L et de section 2

S(barres 5 et 6).

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 5 m ■ Section S = 0.005 m2


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2.


■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y, □ Appui au nœud 2 bloqué suivant x et y,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle horizontale P = 50000 N au nœud 3, ■ Interne : Aucun.


250


Déplacements

m 000108.0ES11PL5v

m 000541.0ES11PL25u

m 000129.0ES11PL6v

m 000649.0ES11PL30u

4

4

3

3

==

==

−=−

=

==

Efforts normaux N

N 32141P11

25N N 22727P115N

N 38569P11

26N N 27272P116N

N 22727P115N 0N

4243

1323

1412

−=−===

==−=−=

===


■ Elément filaire : barre , maillage sans, ■ 4 nœuds, ■ 6 éléments filaires.



251

Efforts normaux




Déplacement u3 Nœud 3 m 0.000649 0.000649 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000129 -0.000129 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.000541 0.000541 0.00% Déplacement v4 Nœud 4 m 0.000108 0.000108 0.00%

ELFI Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 0.00% Effort normal N23 Elément 2 N -27272 -27272 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 22727 22727 0.00% Effort normal N14 Elément 4 N 22727 22727 0.00% Effort normal N1 3 Elément 5 N 38569 38569 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N -32141 -32141 0.00% Déplacement u3 Nœud 3 m 0.000649 0.000649 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000129 -0.000129 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.000541 0.000541 0.00% Déplacement v4 Nœud 4 m 0.000108 0.000108 0.00%

CM2 Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 0.00% Effort normal N23 Elément 2 N -27272 -27272 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 22727 22727 0.00% Effort normal N14 Elément 4 N 22727 22727 0.00% Effort normal N1 3 Elément 5 N 38569 38569 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N -32141 -32141 0.00%


252

2.87. Test n° 01-0104SSNLB_MEF: Système de barres réticulées (non linéaire)

2.87.1. Fiche de description ■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : statique non linéaire; ■ Type d’élément : filaire, barre, tirant.


On considère le système de barres décrit ci-dessous. Ce système comporte 4 éléments de même longueur et de section S (barres 1 à 4) ainsi que 2 diagonales de longueur

2L et de section 2

S(tirants 5 et 6).

Unités

S.I.

Géométrie

■ L = 5 m ■ Section S = 0.005 m2


Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2.


■ Externes : □ Appui au nœud 1 bloqué suivant x et y, □ Appui au nœud 2 bloqué suivant x et y,


Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle horizontale P = 50000 N au nœud 3, ■ Interne : Aucun.


253


En non linéaire sans grand déplacement, l’introduction de tirants pour les diagonales revient à supprimer la barre 5 (le test test n°0103SSLLB_MEF permet de trouver un effort de compression dans cette barre en calcul linéaire).

Déplacements

0v

m 000238.0ESPLv

m 001195.0ES11PL5uu

4

3

43

=

−=−=

===

Efforts normaux N

0N 0NN 70711P2N N 50000PN

0N 0N

4243

1323

1412

==

==−=−=

==


■ Elément filaire : barre , maillage sans, ■ 4 nœuds, ■ 6 éléments filaires.



254

Efforts normaux




Déplacement u3 Nœud 3 m 0.001195 0.001195 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000238 -0.000238 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.001195 0.001195 0.00% Déplacement v4 Nœud 4 m 0 0 0.00%

ELFI Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 0.00) Effort normal N23 Elément 2 N -50000 -50000 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 0 0 0.00% Effort normal N14 Elément 4 N 0 0 0.00% Effort normal N1 3 Elément 5 N 70711 70711 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N 0 0 0.00% Déplacement u3 Nœud 3 m 0.001195 0.001195 0.00% Déplacement v3 Nœud 3 m -0.000238 -0.000238 0.00% Déplacement u4 Nœud 4 m 0.001195 0.001195 0.00% Déplacement v4 Nœud 4 m 0 0 0.00%

CM2 Effort normal N12 Elément 1 N 0 0 0.00% Effort normal N23 Elément 2 N -50000 -50000 0.00% Effort normal N43 Elément 3 N 0 0 0.00% Effort normal N14 Elément 4 N 0 0 0.00% Effort normal N1 3 Elément 5 N 70711 70711 0.00% Effort normal N42 Elément 6 N 0 0 0.00%

Test 02-0111SDLLA_MEF

255

2.88. Test n° 02-0111SDLLA_MEF: Réponse dynamique d’une poutre bi-encastrée


■ Référence : NE/Nastran V8 ; ■ Type d’analyse : réponse modale ; ■ Type d’élément : linéique.


On considère la poutre bi-encastrée décrite ci-dessous. Cette poutre comporte huit éléments de même longueur et de caractéristiques identiques. Une charge verticale (50000 N) et un moment (10000 m.N) sinusoïdaux sont appliqués dans sa partie médiane. 2 fréquences d’excitation sont étudiées : 2 et 3.0 Hz

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : l = 16 m, ■ Section axiale : S=0.06 m2 ■ Inertie I = 0.0001 m4


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 2.1 x 1011 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.3, ■ Masse volumique ρ = 7850 kg/m3


■ Externes : Encastrement aux 2 extrémités x = 0 et x = 8 m, ■ Internes : Aucune.

Chargement

■ Externe : Charge ponctuelle P = -50000 sin (2π f t) N, M = 10000 sin (2π f t) N.m en x = 4m,



256

2.88.3. Référence NE/Nastran V8


Les fréquences propres trouvées sont identiques à celles trouvées au test n°16, soit pour les 4er modes :

S.I.E

L..2f 2

2n

n ρπχ

=

d’où pour les 4 premières fréquences propres

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

→=χ

→=χ

→=χ

→=χ

Hz 26.228=f 8.199

Hz 15.871=f 9.120

Hz 8.095=f 67.61

Hz 2.937=f 37.22

424

323

222

121

La réponse modale est effectuée avec 14 modes. Le déplacement vertical v5 de référence est calculé au milieu de la poutre en x = 4 m.

Logiciel NE/NASTRAN 8.0 Déplacement vertical maxi (f = 2 Hz) au nœud 5 0.155 m Déplacement vertical maxi (f = 3 Hz) au nœud 5 2.266 m

Réponse au milieu de la poutre avec f = 2 Hz


257

Réponse au milieu de la poutre avec f = 3 Hz


■ Elément linéique : poutre, maillage imposé, ■ 9 nœuds, 8 éléments.


Comparaison des résultats : déplacement vertical au nœud 5


ELFI Déplacement vertical maxi (f = 2 Hz) au nœud 5

m 0.155 0.154 -0.64%

Déplacement vertical maxi (f = 3 Hz) au nœud 5

m 2.266 2.12 -6,44%

CM2 Déplacement vertical maxi (f = 2 Hz) au nœud 5

m 0.155 0.154 -0.64%

Déplacement vertical maxi (f = 3 Hz) au nœud 5

m 2.266 2.12 -6,44%

Test 02-0112SMLLB_P92

258

2.89. Test n° 02-0112SMLLB_P92: Etude d’un mât soumis à un séisme


■ Référence : test interne GRAITEC; ■ Type d’analyse : analyses modale et spectrale ; ■ Type d’élément : linéique, masse.

2.89.2. Présentation du modèle

La structure ci-dessous formée de 2 éléments poutres et 2 éléments masses ponctuelles, est soumise à un séisme latérale suivant X.

2.89.3. Modèle RDM

Unités

S.I.

Géométrie

■ Longueur : L = 35 m, ■ Rayon extérieur : Rext = 3.00 m ■ Rayon intérieur : Rint = 2.80 m

■ Section axiale : S= 6.644 m2 ■ Inertie polaire : Ip = 30.68 m4 ■ Inerties de flexion : Ix =15.34 m4

Iy = 15.34 m4

Masses

■ M1 =203873.6 Kg ■ M2 =101936.8 Kg


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 1.962 x 1010 N/m2, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.1, ■ Masse volumique ρ = 25 kN/m3


259


■ Externes : Encastrement en X = 0, Y = 0 m,

Chargement

■ Externe : Excitation sismique de direction X


Élément linéique : poutre, maillage auto,

2.89.4. Hypothèses sismiques suivant le règlement PS92

■ Zone : Nice Sophia Antipolis ( Zone II ). ■ Site : S1 ( Sol moyen, 10m d’épaisseur ). ■ Classe de l’ouvrage : B ■ Coefficient de comportement : 3 ■ Amortissement du matériau : 4% ( Béton armé ).

2.89.5. Analyse Modale

Solution de référence périodes propres

On déduit la valeur des périodes propres horizontales de la structure par résolution de l’équation suivante :

( ) 0MKdet 2 =ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−≡

2

1

3

M00M

M

25516

L7EI48K

Mode propre Unité Référence

1 Hz 2.085 2 Hz 10.742

Vecteurs modaux

Pour ω1 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χ⇒=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−055.31

UU

0UU

M00M

25516

L7EI48

2

11

2

1

12

2

211

3

Pour ω2 :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χ

655.01

UU

2

12

Normalisation par rapport à la masse

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

χ−

−

3

4

1 10842.210305.9

; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×−×

χ−

−

3

3

2 10316.11001.2


260

Forme des déformées modales

2.89.6. Etude spectrale

Spectre de dimensionnement

Les accélérations nominales : 2

n1 sm5411.5a 2.085Hzf =⇒=

2n2 sm25.6aHz742.01f =⇒=

Remarque : l'écart entre les pulsations est supérieur à 10%, donc les réponses modales peuvent être considérées comme indépendantes.


261

Facteurs de participation de référence Δχ=γ Mii

séismedudirectionladedirecteurVecteur: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅Δ

Mode propre Référence 1 479.427 2 275.609

Pseudo-accélération

iiii a χ×γ×ξ×=Γ en (m/s2)

4.0%5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

=ξ : Coefficient correctif de l’amortissement.

η : Amortissement de la structure.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ

8.25562.7026

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Γ

2.4783-3.7852

1

Déplacements modaux de référence

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=ψ024.814E021.576E

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=ψ

045.446E-048.318E

2

Forces statiques équivalentes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=058.415E055.510E

F1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

052.526E-057.717E

F2

Déplacement en tête de mât

( ) ( )( )221 04E446.502E81.4U −−+−=

Unité Référence

m 4.814 E-02

Effort tranchant en tête de mât

( ) ( )( )3

05E526.205E415.8T

22

1+−++

=

3 : Etant le coefficient de comportement sur les efforts

Unité Référence N 2.929 E+05

Moment d’encastrement en pied

( ) ( )( ) ( ) ( )( )3

05E717.705E510.55.1705E526.205E415.835M

2222 +++×++++×=

Unité Référence N.m 1.578 E+07


262


Comparaison des résultats : fréquences

Solveur Modes Unité Référence Effel Ecart

ELFI 1 Hz 2.085 2.08 -0.24% CM2 2.085 2.08 -0.24% ELFI 2 Hz 10.742 10.74 -0.01% CM2 10.742 10.74 -0.01%

Comparaison des résultats : Vecteurs propres

Solveur Modes Nœud Référence Effel Ecart

ELFI 1 9.305 E-04 9.305 E-04 0.00% ELFI 1 2 2.842 E-03 2.842 E-03 0.00% CM2 1 9.305 E-04 9.305 E-04 0.00% CM2 1 2 2.842 E-03 2.842 E-03 0.00% ELFI 1 2.010 E-03 2.010 E-03 0.00% ELFI 2 2 -1.316 E-03 -1.316 E-03 0.00% CM2 1 2.010 E-03 -2.010 E-03 0.00% CM2 2 2 -1.316 E-03 1.316 E-03 0.00%

Comparaison des résultats : Facteurs de participation

Solveur Modes Référence Effel Ecart

ELFI 1 479.43 479.43 0.00% CM2 479.43 479.43 0.00% ELFI 2 275.61 275.61 0.00% CM2 275.61 -275.61 0.00%

Comparaison des résultats : Déplacement en tête de mât

Solveur Unité Référence Effel Ecart

ELFI cm 4.814 4.81 -0.08% CM2 cm 4.814 4.81 -0.08%

Comparaison des résultats : Effort en tête de mât

Solveur Unité Référence Effel Ecart

ELFI kN 292.9 292.78 -0.04% CM2 kN 292.9 292.78 -0.04%

Test 02-0156SSLLB_NBN

263

2.90. Test n° 02-0156SSLLB_NBN: Générateur climatique selon la norme NBN-B03-002


■ Référence : EC2 Dan Belge (NBN-B03-002). ■ Type d’analyse : génération de charges climatiques ■ Type d'éléments : structure 3D

2.90.2. PRESENTATION

Le but est de générer automatiquement les charges climatiques sur le portique 3D suivant :

`

Unités :

■ Length : cm ■ Load : kN/m²

Description de la structure:

■ 4 portiques d'une portée de 6m et espacés de 5m.

Facteurs de réduction

■ Environnement de classe = I ks = kt = kθ = 1

Test 02-0156SSLLB_NBN

264

2.90.3. Calcul théorique selon la norme NBN-B03-002

Calcul de vm:

vm = ks × kt × kθ × vmb vmb = vref × α × ln(Z/Z0)

avec vref = 23.35 m/s Z0 = 0.005m (pour un environnement de classe I) α = 0.166 (pour un environnement de classe I)

z = 5m vmb = 26,775 m/s

Calcul de Qb:

Qb = ρ /2 × vmb² × (1+7×Iv) Avec ρ = 1.226kg/m³

Iv : β/(ln(Z/Z0)) β = 1 (pour un environnement de classe I) Iv = 0.14476

Qb = 885 N/m² = 88.5 daN/m²



Nature Unités Résultats théoriques Effel Ecart (%) Pression sur surfacique 39 – cas 4 daN/m² 88.5 92 3.90%

Test 02-0158SSLLB_B91

265

2.91. Test n° 02-0158SSLLB_B91: Filaire en flexion composée avec traction- sans aciers comprimés - Section partiellement tendue


■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan


Poutre à 8 travées isostatiques soumises à des charges uniformes et des efforts normaux de traction.

Unités ■ Forces : kN ■ Moment :kN.m ■ Contraintes : Mpa ■ Densité d’aciers : cm²

Géométrie ■ Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht ■ Longueur : l = 48 m en 8 travées de 6m,

Propriétés des matériaux ■ Module d’élasticité longitudinal : E = 20000 MPa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.


□ Articulation à l’extrémité x = 0, □ Appui vertical au niveau de tous les autres appuis

■ Internes : Rotule z à chaque extrémité de poutres (isostatique)


□ Cas 1 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur toutes les travées sauf 8) Fx = 10 kN en x = 42m : Ng = -10 kN pour travées 6 à 7 Fx = 140 kN en x = 32m : Ng = -150 kN pour travée 5 Fx = -50 kN en x = 24m : Ng = -100 kN pour travée 4 Fx = 50 kN en x = 18m : Ng = -50 kN pour travée 3 Fx = 50 kN en x = 12m : Ng = -100 kN pour travée 2 Fx = -70 kN en x = 6m : Ng = -30 kN pour travée 1

□ Cas 10 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (travée 8) Fx = 10 kN en x = 48m : Ng = -10 kN Fx = -10 kN en x = 42m

□ Cas 2 à 8(EXP): charge linéaire uniforme q = -9 kN/m (sur les travées 1, 3 à 7) charge linéaire uniforme q = -15 kN/m (sur la travée 2) Fx = 30 kN en x = 6m (cas 2 travée 1) Fx = -50 kN en x = 6m (cas 3 travée 2) Fx = 50 kN en x = 12m (cas 3 travée 2) Fx = -40 kN en x = 12m (cas 4 travée 3) Fx = 40 kN en x = 18m (cas 4 travée 3) Fx = -100 kN en x = 18m (cas 5 travée 4) Fx = 100 kN en x = 24m (cas 5 travée 4) Fx = -150 kN en x = 24m (cas 6 travée 5) Fx = 150 kN en x = 30m (cas 6 travée 5) Fx = -8 kN en x = 30m (cas 7 travée 6) Fx = 8 kN en x = 36m (cas 7 travée 6) Fx = -8 kN en x = 36m (cas 8 travée 7) Fx = 8 kN en x = 42m (cas 8 travée 7)


266

□ Cas 9 (ACC) : charge linéaire uniforme a = -25 kN/m (sur la 8ème travée) Fx = 8 kN en x = 36m (cas 9 travée 8) Fx = -8 kN en x = 42m (cas 9 travée 8) Comb BAELUS: 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application supérieure à 24h (comb 101, 104 à 107) Comb BAEULI : 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application comprise entre 1h et 24h (comb 102) Comb BAELUC : 1.35xCP + 1.5xEXP avec durée d’application inférieure à 1h (comb 103) Comb BAELS : 1xCP + 1*EXP (comb 108 à 114) Comb BAELA : 1xCP + 1xACC (comb 115)


Hypothèses de calcul Béton armé :

Tous les enrobages sont fixés à 5 cm Calcul BAEL 91 selon additif 99

Travée Béton Aciers Application Repris Bet Fiss 1 B20 HA fe500 D>24h Non Non préju 2 B35 Adx fe235 1h<D<24h Non Non préju 3 B50 HA fe 400 D<1h Oui Non préju 4 B25 HA fe500 D>24h Oui Préju 5 B25 HA fe500 D>24h Non Très préju 6 B30 Adx fe235 D>24h Oui Préju 7 B40 HA fe500 D>24h Oui 160 MPa 8 B45 HA fe500 D<1h Oui Non préju

2.91.3. Calcul des armatures


Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 fc28 20 35 50 25 25 30 40 45 ft28 1.8 2.7 3.6 2.1 2.1 2.4 3 3.3 fe 500 235 400 500 500 235 500 500 teta 1 0.9 0.85 1 1 1 1 0.85 gamb 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.15 gams 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1 h 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1 1.6 1.6 fbu 11.33 22.04 33.33 14.17 14.17 17.00 22.67 39.13 fed 434.78 204.35 347.83 434.78 434.78 204.35 434.78 500.00 sigpreju 250.00 156.67 264.00 250.00 250.00 156.67 160.00 252.76 sigtpreju 200.00 125.33 211.20 200.00 200.00 125.33 160.00 202.21 g 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 q 9.00 15.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 25.00 pu 20.25 29.25 20.25 20.25 20.25 20.25 20.25 30.00 pser 14.00 20.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 G -30.00 -100.00 -50.00 -100.00 -150.00 -10.00 -10.00 -10.00 Q -30.00 -50.00 -40.00 -100.00 -100.00 -8.00 -8.00 -8.00 l 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 Mu 91.13 131.63 91.13 91.13 91.13 91.13 91.13 135.00 Nu -85.50 -210.00 -127.50 -285.00 -352.50 -25.50 -25.50 -18.00 Mser 63.00 90.00 63.00 63.00 63.00 63.00 63.00 Nser -60.00 -150.00 -90.00 -200.00 -250.00 -18.00 -18.00 Vu 60.75 87.75 60.75 60.75 60.75 60.75 60.75 90.00 calcul des aciers long aux ELU


267

Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 Mu/A 74.03 89.63 65.63 34.13 20.63 86.03 86.03 131.40 ubu 0.161 0.100 0.049 0.059 0.036 0.125 0.094 0.083 a 0.221 0.133 0.062 0.077 0.046 0.167 0.123 0.108 z 0.410 0.426 0.439 0.436 0.442 0.420 0.428 0.430 Au 6.12 20.57 7.97 8.35 9.18 11.27 5.21 6.46

calcul des aciers long en fissuration préjudiciable aux ELS Mser/A 51.000 60.000 45.000 23.000 13.000 59.400 59.400 0.000 a 0.4186 0.6678 0.6303 0.4737 0.4737 0.6328 0.6923 0.6157 Mrb 87.53 220.78 302.44 121.16 121.16 182.01 258.82 267.55 A 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 B -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 C -0.4533 -0.8511 -0.3788 -0.2044 -0.1156 -0.8426 -0.8250 0.0000 D 0.4533 0.8511 0.3788 0.2044 0.1156 0.8426 0.8250 0.0000 alpha1 0.238 0.432 0.428 z 0.414 0.385 0.386 Aserp 10.22 10.99 10.75

calcul des aciers long en fissuration très préjudiciable aux ELS Mser/A 51.00 60.00 45.00 23.00 13.00 59.40 59.40 0.00 a 0.47 0.72 0.68 0.53 0.53 0.68 0.69 0.67 Mrb 96.93 231.67 319.66 132.43 132.43 192.27 258.82 283.60 A 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 B -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 -3.0000 C -0.5667 -1.0638 -0.4735 -0.2556 -0.1444 -1.0532 -0.8250 0.0000 D 0.5667 1.0638 0.4735 0.2556 0.1444 1.0532 0.8250 0.0000 alpha1 0.203 z 0.420 Asertp 14.049

calcul des aciers transversaux tu 0.68 0.98 0.68 0.68 0.68 0.68 0.68 1.00 k 0.57 0.40 0.00 -0.14 -0.41 0.92 0.00 0.00 At/st 1.87 7.08 4.31 3.90 4.77 0.18 3.45 4.44

Récapitulation Aflex 6.12 20.57 7.97 10.22 14.05 11.27 10.75 6.46 e0 -0.95 -1.67 -1.43 -3.17 -3.97 -0.29 -0.29 -0.13 Aminfsimp 0.75 2.38 1.86 0.87 0.87 2.11 1.24 1.37 Aminfcomp 0.83 2.54 2.01 0.90 0.90 2.80 1.65 0.30 At 1.87 7.08 4.31 3.90 4.77 0.18 3.45 4.44 Atmin 1.60 3.40 2.00 1.60 1.60 3.40 1.60 1.60


■ Eléments filaires : poutres à maillage imposé ■ 29 nœuds, ■ 28 filaires.


268



Solveur Modèle Unité Référence Expert BA Ecart

Fer long inf T1 cm2 6.12 6.12 0.00% Fer long sup T1 cm2 0 0 0.00% Fer long min T1 cm2 0.75 0.75 0.00% Fer trans T1 cm2 1.87 1.87 0.00% Fer long inf T2 cm2 20.57 20.54 -0.15% Fer long sup T2 cm2 0 0 0.00% Fer long min T2 cm2 2.38 2.38 0.00% Fer trans T2 cm2 7.08 7.08 0.00% Fer long inf T3 cm2 7.97 7.97 0.00% Fer long sup T3 cm2 0 0 0.00% Fer long min T3 cm2 1.86 1.86 0.00% Fer trans T3 cm2 4.31 4.31 0.00% Fer long inf T4 cm2 10.22 10.23 0.10% Fer long sup T4 cm2 0 0 0.00% Fer long min T4 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T4 cm2 3.90 3.90 0.00% Fer long inf T5 cm2 14.05 14.05 0.00% Fer long sup T5 cm2 0 0 0.00% Fer long min T5 cm2 4.2 4.2 0.00% Fer trans T5 cm2 4.77 4.77 0.00% Fer long inf T6 cm2 11.27 11.27 0.00% Fer long sup T6 cm2 0 0 0.00% Fer long min T6 cm2 2.11 2.11 0.00% Fer trans T6 cm2 0.18 0.18 0.00% Fer long inf T7 cm2 10.75 10.76 0.09% Fer long sup T7 cm2 0 0 0.00% Fer long min T7 cm2 1.24 1.24 0.00% Fer trans T7 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T8 cm2 6.46 6.52 0.93% Fer long sup T8 cm2 0 0 0.00% Fer long min T8 cm2 1.37 1.37 0.00% Fer trans T8 cm2 4.44 4.44 0.00%


269

2.92. Test n° 02-0162SSLLB_B91: Filaire en flexion simple- sans aciers comprimés

2.92.1. Fiche de description ■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan

Présentation

Poutre à 8 travées isostatiques soumises à des charges uniformes.

Unités

■ Forces : kN ■ Moment :kN.m ■ Contraintes : Mpa ■ Densité d’aciers : cm²

Géométrie

■ Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht ■ Longueur : l = 42 m en 7 travées de 6m,


■ Module d’élasticité longitudinal : E = 20000 MPa, ■ Coefficient de Poisson : ν = 0.


■ Externes : □ Articulation à l’extrémité x = 0, □ Appui vertical au niveau de tous les autres appuis

■ Internes : Rotule z à chaque extrémité de poutres (isostatique)

Chargement

■ Externe : □ Cas 1 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur toutes les travées

sauf la 8) Cas 2 à 8(EXP) : charge linéaire uniforme q = -9 kN/m (sur les travées 1, 3 à 7) charge linéaire uniforme q = -15 kN/m (sur la travée 2)

□ Cas 9 (ACC) : charge linéaire uniforme a = -25 kN/m (sur la 8ème travée) □ Cas 10 (CP) : charge linéaire uniforme g = -5 kN/m (sur la 8ème travée)

Comb BAELUS: 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application supérieure à 24h (comb 101, 104 à 107) Comb BAEULI : 1.35xCP+1.5xEXP avec durée d’application comprise entre 1h et 24h (comb 102) Comb BAELUC : 1.35xCP + 1.5xEXP avec durée d’application inférieure à 1h (comb 103) Comb BAELS : 1xCP + 1*EXP (comb 108 à 114) Comb BAELUA : 1xCP + 1xACC (comb 115)



270


■ Tous les enrobages sont fixés à 5 cm ■ Calcul BAEL 91 selon additif 99

Travée Béton Aciers Application Repris Bet Fiss 1 B20 HA fe500 D>24h Non Non préju 2 B35 Adx fe235 1h<D<24h Non Non préju 3 B50 HA fe 400 D<1h Oui Non préju 4 B25 HA fe500 D>24h Oui Préju 5 B60 HA fe500 D>24h Non Très préju 6 B30 Adx fe235 D>24h Oui Préju 7 B40 HA fe500 D>24h Oui 160 MPa 8 B45 HA fe500 D<1h Oui Non préju



Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 fc28 20 35 50 25 60 30 40 45 ft28 1.8 2.7 3.6 2.1 4.2 2.4 3 3.3 fe 500 235 400 500 500 235 500 500

teta 1 0.9 0.85 1 1 1 1 0.85 gamb 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.15 gams 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1

h 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1 1.6 1.6

fbu 11.33 22.04 33.33 14.17 34.00 17.00 22.67 39.13 fed 434.78 204.35 347.83 434.78 434.78 204.35 434.78 500.00

sigpreju 250.00 156.67 264.00 250.00 285.15 156.67 160.00 252.76 sigtpreju 200.00 125.33 211.20 200.00 228.12 125.33 160.00 202.21

g 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 q 9.00 15.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 25.00

pu 20.25 29.25 20.25 20.25 20.25 20.25 20.25 30.00 pser 14.00 20.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00

l 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 Mu 91.13 131.63 91.13 91.13 91.13 91.13 91.13 135.00

Mser 63.00 90.00 63.00 63.00 63.00 63.00 63.00 Vu 60.75 87.75 60.75 60.75 60.75 60.75 60.75 90.00

calcul des aciers long aux ELU ubu 0.199 0.147 0.068 0.159 0.066 0.132 0.099 0.085 a 0.279 0.200 0.087 0.217 0.086 0.178 0.131 0.111 z 0.400 0.414 0.434 0.411 0.435 0.418 0.426 0.430

Au 5.24 15.56 6.03 5.10 4.82 10.67 4.91 6.28 calcul des aciers long en fissuration préjudiciable aux ELS

A 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 B -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 C -0.56000 -0.89362 -0.87500 D 0.56000 0.89362 0.87500

alpha1 0.367 0.442 0.438 z 0.395 0.384 0.384

Aserp 6.38 10.48 10.25 calcul des aciers long en fissuration très préjudiciable aux ELS

A 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 B -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 -3.00 C -0.70 -1.60 -0.66 -0.70 -0.61371 -1.12 -0.88 0.00


271

Travée 1 Travée 2 Travée 3 Travée 4 Travée 5 Travée 6 Travée 7 Travée 8 D 0.70 1.60 0.66 0.70 0.61371 1.12 0.88 0.00

alpha1 0.381 z 0.393

Asertp 7.030 calcul des aciers transversaux

tu 0.68 0.98 0.68 0.68 0.68 0.68 0.68 1.00 k 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

At/st 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Récapitulation

Aflex 5.24 15.56 6.03 6.38 7.03 10.67 10.25 6.28 Aminflex 0.75 2.38 1.86 0.87 1.74 2.11 1.24 1.37

At 0.69 1.79 4.31 3.45 3.45 7.34 3.45 4.44 Atmin 1.60 3.40 2.00 1.60 1.60 3.40 1.60 1.60


■ Eléments filaires : poutres à maillage imposé ■ 29 nœuds, ■ 28 filaires.



Modèle Unité Référence Expert BA Ecart Fer long inf T1 cm2 5.24 5.24 0.00% Fer long sup T1 cm2 0 0 0.00% Fer long min T1 cm2 0.75 0.75 0.00% Fer trans T1 cm2 0.69 0.69 0.00% Fer long inf T2 cm2 15.56 15.56 0.00% Fer long sup T2 cm2 0 0 0.00% Fer long min T2 cm2 2.38 2.38 0.00% Fer trans T2 cm2 1.79 1.79 0.00% Fer long inf T3 cm2 6.03 6.03 0.00% Fer long sup T3 cm2 0 0 0.00% Fer long min T3 cm2 1.86 1.86 0.00% Fer trans T3 cm2 4.31 4.31 0.00% Fer long inf T4 cm2 6.38 6.38 0.00% Fer long sup T4 cm2 0 0 0.00% Fer long min T4 cm2 0.87 0.87 0.00% Fer trans T4 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T5 cm2 7.03 7.04 0.00% Fer long sup T5 cm2 0 0 0.00% Fer long min T5 cm2 1.74 1.74 0.00% Fer trans T5 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T6 cm2 10.67 10.67 0.00% Fer long sup T6 cm2 0 0 0.00% Fer long min T6 cm2 2.11 2.11 0.00% Fer trans T6 cm2 7.34 7.34 0.00% Fer long inf T7 cm2 10.25 10.27 0.00% Fer long sup T7 cm2 0 0 0.00% Fer long min T7 cm2 1.24 1.24 0.00% Fer trans T7 cm2 3.45 3.45 0.00% Fer long inf T8 cm2 6.28 6.35 0.00% Fer long sup T8 cm2 0 0 0.00% Fer long min T8 cm2 1.37 1.37 0.00% Fer trans T8 cm2 4.44 4.44 0.00%

Il faut appliquer la méthode "Mu critique" si l'on veut obtenir les mêmes résultats.

Test 02-0167SSLPB_B91

272

2.93. Test n° 02-0167SSLPB_B91: Outils Beton – Section rectangulaire en flexion simple- sans aciers comprimés


■ Référence : Cours de Béton Armé de J. Perchat (CHEC) ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan


Dimensionnement d’aciers dans une poutre rectangulaire soumise à des torseurs d’efforts.

Unités


Géométrie

Dimensions de la poutre : 0.2 x 0.5 ht

Chargement

■ Externe : ELU : Fx = 0 ; Fy = 60.75 kN ; Mz = 91.13 kN.m ELS : Fx = 0 ; Fy = 42 kN ; Mz = 63 kN


Tous les enrobages sont fixés à 5 cm Calcul BAEL 91 selon additif 99 Béton : fc28 = 20 Mpa Aciers : fe = 500 Mpa Durée d’application des charges supérieure à 24 heures Pas de reprise de bétonnage Fissuration non préjudiciable Section de poutre



Calcul des aciers inférieurs : En fissuration non préjudiciable, le calcul des aciers se fait à l’ELU ■ fbu = (0.85fc28)/( γb) = (0.85*20)/(1*1.5) = 11.333Mpa ■ fed = fe/γb = 500/1.15 = 434.783 MPa ■ ft28 = 0.6 +0.06 fc28 = 1.8 MPa ■ ubu = Mu/(b0 d² fbu) = 91.13/(0.2 * 0.45² * 11333) = 0.1985 < ulu ■ α = 1.25(1-racine (1-2*ubu)) = 0.279 ■ z = d*(1-0.4*α) = 0.4 ■ A = Mu/(z fed) = 91.13/(0.4 * 434783) = 5.24 e-4 m² = 5.24 cm² ■ Amin = 0.23 b0 d ft28 / fe = 0.23*0.2*0.45*1.8/500 = 7.45 e- m² = 0.75cm²

Test 02-0167SSLPB_B91 Archive 02-0167SSLPB_B91.oba

273

Calcul des aciers transversaux : ■ τu = Vu/ b0 d = 60.75/ (0.2* 0.45) = 675 kPa = 0.675 Mpa ■ τu lim = Min ( 0.20 fc/γb ; 5 Mpa) = 2.67Mpa ■ At/st = b0 ( τu –0.3kft28)/0.9 fed = 0.2*(0.675 –0.3*1.8)/(0.9 * 434.783)

= 6.9 e-5 m²/ml = 0.69 cm²/ml ■ At/st (min) = 0.4 bo / fe = 0.4*0.2/500 = 1.6 e-4 m²/ml = 1.6 cm²/ml

Vérification des contraintes : On calcule le moment statique fonction de la position de l’axe neutre :

ms = boy²/2 - 15 A (d – y) = 10y² + 78.6y – 3557 = 0 y est donné par la solution positive de cette équation soit y = 15.34 cm On calcule l’inertie de la section

I = b0 y3/3 + 15 A (d-y)² = 20*15.343/3 + 15*5.24*(45-15.34)²=93210 cm4

Les contraintes sont données par les formules suivantes : σbc = Mser y/I = 15.34e-2*63e-3/156145e-8 = 10.368 Mpa < 0.6fc28 = 12 Mpa σs = 15 σbc ( d – y)/y = 300.7 Mpa

Principe du test

Après saisie des données, les résultats sortis sont ceux donnés par le dimensionnement des aciers.



Solveur Modèle Unité Référence Outils BA Ecart

Ferrail haut cm2 0 0 0.00% Ferrail bas cm2 5.24 5.25 0.19% Ferrail min cm2 0.75 0.75 0.00% Ferrail cis cm2/ml 0.69 0.69 0.00% Ferrail cis min cm2 :ml 1.60 1.60 0.00% Contraintes Béton MPa 10.37 9.88 -4.73% Contraintes

Acier haut MPa Pas d’aciers Pas d’aciers 0.00%

Contraintes Acier bas

MPa 300.7 299.73 0.19%

Contraintes Acier max

MPa 500 500 0.00%

Contraintes de cisaillement

MPa 0.675 0.67 -0.74%

Contraintes de cisaillement max

MPa 2.67 2.67 0.00%

Test 02-0168SSLPG_B91

274

2.94. Test n° 02-0168SSLPG_B91: Outils Beton - Filaire en T en flexion composée avec compression- avec aciers comprimés


■ Référence : Outil Béton V 10.2E ■ Type d’analyse : statique linéaire ■ Type d’élément : Plan


Dimensionnement d’aciers dans une poutre rectangulaire soumise à des torseurs d’efforts.

Unités


Géométrie

Dimensions de la poutre : ■ H1 : 0.400 m ■ B1 : 0.500 m ■ H2 : 0.400 m ■ B2 : 0.700 m

Chargement

■ Externe : Num. Cas Fx Fy Mz

1 ELU 200.00 1000.00 3000.00 2 ELS 140.00 700.00 2200.00


L’enrobage bas est fixé à 0.10 m , le haut à 0.05 m Calcul BAEL 91 selon additif 99 Béton : fc28 = 25 Mpa Aciers : fe = 500 Mpa Durée d’application des charges supérieure à 24 heures Reprise de bétonnage Fissuration non préjudiciable Section de poutre

Test 02-0168SSLPG_B91 Archive 02-0168SSLPG_B91.oba

275


Solution de référence : note de calcul Outil BA V 10.2

Principe du test

Après saisie des données, les résultats sortis sont ceux donnés par le dimensionnement des aciers.



Solveur Modèle Unité Réf10.2E Outils BA Ecart

Ferrail haut cm2 44.37 44.37 0.00% Ferrail bas cm2 118.56 118.56 0.00% Ferrail min cm2 3.75 3.75 0.00% Ferrail cis cm2/ml 36.51 36.51 0.00% Ferrail cis min cm2 :ml 4.00 4.00 0.00% Contraintes de

cisaillement MPa 2.86 2.86 0.00%

Contraintes de cisaillement max

MPa 3.33 3.33 0.00%

Test 03-0198SSLPA_SEC

276

2.95. Test n° 03-0198SSLPA_SEC: Section carrée de 0,20 m en béton

Réf. V 12.1H SP4 V 2012 StatusNote de calcul 03-0198sslpa_sec Note de

calcul_V12.1H.rtf 03-0198SSLPA_SEC Note de

calcul_V2012.rtf


277

2.96. Test n° 03-0199SSLPA_SEC: Section circulaire pleine de 0,30 m en acier

Réf. V 12.1H SP4 V 2012 StatusNote de calcul 03-0199sslpa_sec Note de

calcul_V12.1H.rtf 03-0199SSLPA_SEC Note de

calcul_V2012.rtf


278

2.97. Test n° 03-0200SSLPA_SEC: Section triangulaire en acier

Réf. V 12.1H SP4 V 2012 Status

Note de calcul 03-0200sslpa_sec Note de calcul_V12.1H.rtf

03-0200SSLPA_SEC Note de calcul_V2012.rtf


279

2.98. Test n° 03-0201SSLPA_SEC: Section circulaire creuse en acier

Réf. V 12.1H SP4 V 2012 Status

Note de calcul 03-0201sslpa_sec Note de calcul_V12.1H.rtf

03-0201SSLPA_SEC Note de calcul_V2012.rtf

Test 03-0204SSLLG_C71

280

2.99. Test n° 03-0204SSLLG_C71 : Dimensionnement d'une structure bois 3D

2.99.1. Données ■ Modèle de calcul : Charpente BOIS simple ■ Cas de charge : Neige Vent au NV65/84 Vent région I Neige 2A alt 0m ■ Séisme : PS92 Zone de sismicité très faible Site S1 coef de comportement 2 en X,

1.25 en Z 1en Z ■ Charges permanentes ■ Combinaisons aux CB71

Cas de charge de la structure Code Num Type Titre CBG 1 Statique Charges permanentes + Poids propre CBV 2 Statique Surcharges de vent suivant +X en surpression CBV 3 Statique Surcharges de vent suivant +X en dépression CBV 6 Statique Surcharges de vent suivant +Z en surpression CBV 7 Statique Surcharges de vent suivant +Z en dépression CBN 10 Statique Surcharges de neige normale

CBNE 11 Statique Surcharges de neige extrême MASSE 0 Dynamique Masse de la structure

CBSI 15 Sismique Séisme X CBSI 16 Sismique Séisme Y CBSI 17 Sismique Séisme Z


281

2.99.2. Résultats Effel Structure

Champs de déplacement des cas de charges élémentaires

Déplacement Dmax en cm Déplacement Dmax en cm Déplacement Dmax en cm N° de cas 1 5.53 2 5.17 3 1.13 N° de cas 6 2.78 7 6.81 10 3.07 N° de cas 15 2.92 16 1.22 17 4.82

Analyse modale et spectrale

Masse totale Centre de masse Composantes

Xm Ym Zm MX MY MZ (m) (m) (m) (T) (T) (T)

12.53 7.52 27.56 211.33 211.33 211.33

Grandeurs cas sismique n°15 Mode Masse Modale Facteur de Accélération

N° Suivant X Participation sismique (T) (pct) (-) (m/s²)

1 56.48 26.72 237.65 1.8603 2 14.52 6.87 120.48 1.8682 3 22.12 10.47 148.74 1.9315 24 13.68 6.47 116.94 3.3099

Grandeurs cas sismique n°16

Mode Masse Modale Facteur de Accélération N° Suivant Y Participation sismique

(T) (pct) (-) (m/s²) 5 30.39 14.38 174.32 1.9134 7 9.63 4.56 98.13 1.9134

29 16.20 7.67 127.28 1.9135 30 5.33 2.52 73.01 1.9134

Grandeurs cas sismique n°17

Mode Masse Modale Facteur de Accélération N° Suivant Z Participation sismique

(T) (pct) (-) (m/s²) 4 144.17 68.22 379.69 2.1365 8 44.93 21.26 211.97 2.8664 9 5.12 2.42 71.56 2.8062

Enveloppe des Moment Mz (combinaisons CBCF) sur les éléments : ■ Poteau : de –41.42 à 41.42 Tm ■ Arcs : de –29.95 à 29.95 Tm ■ Pannes : de –0 à 4.77 Tm ■ Potelets : de –1.31 à 0.39 Tm ■ Linçoir : de –28.68 à 28.68 Tm

Enveloppe des Efforts normaux Nx (combinaisons CBCF) dans les barres de CVT : de –9.59 à 9.05 T

Enveloppe des contraintes (combinaisons CBCF1) sur les éléments : ■ Poteau : 10.49 Mpa ■ Arcs : 11.90 Mpa ■ Pannes : 9.09 Mpa ■ Potelets : 9.03 Mpa ■ Linçoir : 10.22 Mpa


282

2.99.3. Résultats Effel Expertise CB71

Hypothèses

Pour les poteaux , arcs et linçoirs ■ Classe Auto Flèche 1/200 ■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables

plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds fixes ■ Feu 60 min, pas de protection, K1=1.3 sur la face exposée ,1 sur les

faces latérales, et 0.7 sur la face non exposée Pour les arcs à inertie variable, pas de vérification au feu

Pour les pannes et les potelets ■ Classe Auto Flèche 1/200 ■ Flambement plan XY : Lf = 1*Lg éléments

plan XY : Lf = 1*Lg éléments ■ Feu 60 min, pas de protection, K1=1.3 sur la face exposée ,1 sur les

faces latérales, et 0.7 sur la face non exposée calcul auto Lds : pas de maintien

Pour les autres éléments : Pas de vérification

- Description des Essences -

Code s' MPa s MPa sf MPa t MPa H BOISC 13.6 16.4 14.7 2.2 15.0

- Courbe de Fluage -

s/sf Coefficient 0.00 1.000 0.20 1.000 1.00 4.000

Résultats

- Enveloppes et Optimisation – v2012

Label Essence Section début Section fin Tx Cas Solution Tx POTEAU BOISC R26*86 R26*86 105 R26*90 96 LINCOIR BOISC R16*94 R16*94 86 POTELET BOISC R16*78 R16*78 79

ARC BOISC R16*82 R16*94 100 R16*86/R16*94 94 PANNE BOISC R10*50 R10*50 110 R10*58 92


283

- Fiche de Pièce - Filaire n°1979.2 – LABEL POTEAU reference

Section R26*86 (en cm) - Matériau - Essence Flèche

instantanée cas n°10, Surcharges de neige normale L/999 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.995 totale L/822 < L/200 (24 %)

Contrainte majorée Flambement Lfy = 5.983 m Lfz = 2.991 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 0.97 Fx = -1.8 T Mz = 34.0 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 13.1 < 14.7 MPa (89 %) Stabilite cas no 125, 1.1G+Pn au feu ky = 1.00 kz = 0.74 Fx = -2.0 T Mz = 36.2 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf*2.25 25.8 < 33.1 MPa (78 %) Flambement : Fx comp < Fc / 1.40 2.8 < 410.0 T (cas no 129, 1 %)

- Fiche de Pièce - Filaire n°1979.2 - v14.1

Section R26*86 (en cm) - Matériau - Essence

Flèche instantanée cas n°2, Surcharges de vent suivant +X en surpression L/999 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.995 totale L/580 < L/200 (34 %) Contrainte majorée Flambement Lfy = 5.983 m Lfz = 2.991 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 0.97 Fx = -1.8 T Mz = 34.0 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 13.1 < 14.7 MPa (89 %) - Fiche de Pièce - Filaire n°1979.2 - v2012

Section R26*86 (en cm) - Matériau - Essence Flèche instantanée cas n°2, Surcharges de vent suivant +X en surpression L/999 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.995 totale L/580 < L/200 (34 %) Cisaillement Suivant y Cas n°125, 1.1G+Pn

sFy < t : 0.3 < 2.2 MPa (13%) Suivant z Cas n°121, G+SI

sFz < t : 0.0 < 3.3 MPa (0%) Contrainte majorée Flambement Lfy = 5.983 m Lfz = 2.991 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 0.97 Fx = -1.8 T Mz = 34.0 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 10.5 > 10.0 MPa (105 %) par rapport à la référence et v14.1


284

- Fiche de Pièce - Filaire n°3952 – LABEL ARC reference

Sections R16*82 - R16*94 (en cm) - Matériau - Essence

Flèche instantanée cas n°10, Surcharges de neige normale L/999 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.934 totale L/945 < L/200 (21 %)

Contrainte majorée Flambement Lfy = 3.460 m Lfz = 1.730 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 1.00 Fx = -21.9 T Mz = 18.8 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 14.6 < 14.7 MPa (99 %)

- Fiche de Pièce - Filaire n°3952 – v2012 Sections R16*82 - R16*94 (en cm) - Matériau - Essence Flèche instantanée cas n°2, Surcharges de vent suivant +X en surpression L/999 longue durée cas n°1, L/621, Coefficient de fluage = 1.934 totale L/250 < L/200 (80 %) par rapport à la référence

Cisaillement Suivant y Cas n°125, 1.1G+Pn


sFz < t : 0.0 < 3.3 MPa (0%) Contrainte majorée

Flambement Lfy = 3.460 m Lfz = 1.730 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 1.00 Fx = -21.5 T Mz = 18.4 T*m My = -0.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 11.7 > 11.6 MPa (100 %)


285

- Fiche de Pièce - Filaire n°854 – LABEL PANNE -reference


instantanée cas n°130, Pv+0.5Pn L/566 longue durée cas n°1, L/800, Coefficient de fluage = 1.658 totale L/260 < L/200 (77 %)

Contrainte majorée Flambement Lfy = 8.000 m Lfz = 8.000 m Vérification cas n°124, G-SI ky = 0.78 kz = 0.04 Fx = -3.5 T Mz = 2.3 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz < sf 28.4 > 25.7 MPa (110 %) Stabilite cas no 125, 1.1G+Pn au feu ky = 0.65 kz = 0.00 Fx = -0.0 T Mz = 4.0 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz < sf*1.75 111.9 > 25.7 MPa (435 %) Flambement : Fx comp < Fc / 1.40 0.0 < 0.0 T (cas no 125, 13 %) - Fiche de Pièce - Filaire n°854 – v2012 Sections R10*50 - Matériau - Essence Flèche instantanée cas n°130, Pv+0.5Pn L/566 longue durée cas n°1, L/800, Coefficient de fluage = 1.658 totale L/260 < L/200 (77 %)


sFy < t : 0.5 < 2.2 MPa (22%) Suivant z Cas n°115, 0,9G+1,1(Pve+0,5Pne)


Flambement Lfy = 8.000 m Lfz = 8.000 m Vérification cas n°124, G-SI ky = 0.78 kz = 0.04 Fx = -3.5 T Mz = 2.3 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz < sf 22.7 > 20.6 MPa (110 %)


286

- Fiche de Pièce - Filaire n°26 – LABEL POTELET -reference

Section R16*58 (en cm) - Matériau - Essence

Flèche instantanée cas n°133, Pv+0.5Pn L/156 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.000 totale L/156 > L/200 (128 %)

Contrainte majorée Flambement Lfy = 9.000 m Lfz = 9.000 m Vérification cas n°109, G+Pv+0.5Pn ky = 0.80 kz = 0.08 Fx = -4.3 T Mz = -0.0 T*m My = 2.2 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 14.7 < 14.7 MPa (100 %) Stabilite cas no 125, 1.1G+Pn au feu ky = 0.68 kz = 0.02 Fx = -5.9 T 1/k sFx < s'*2.00 86.9 > 27.2 MPa (319 %) Flambement : Fx comp < Fc / 1.40 5.9 > 2.3 T (cas no 125, 260 %)

- Fiche de Pièce - Filaire n°26 – v2012 Sections R16*58 - Matériau - Essence Flèche instantanée cas n°133, Pv+0.5Pn L/156 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.000 totale L/156 > L/200 (128 %)

Cisaillement Suivant y Cas n°119, G+SI

sFy < t : 0.0 < 3.3 MPa (0%) Suivant z Cas n°118, 0,9G+1,1(Pve+0,5Pne)


Flambement Lfy = 9.000 m Lfz = 9.000 m Vérification cas n°109, G+Pv+0.5Pn ky = 0.80 kz = 0.08 Fx = -4.2 T Mz = -0.0 T*m My = 2.1 T*m 1/k sf/s' sFx + sMz + sMy < sf 13.3 < 11.6 MPa (114 %)


287

- Fiche de Pièce - Filaire n°2866.4 – LABEL LINCOIR


instantanée cas n°10, Surcharges de neige normale L/999 longue durée cas n°1, L/999, Coefficient de fluage = 1.858 totale L/999 < L/200 (15 %)

Contrainte majorée Flambement Lfy = 6.670 m Lfz = 0.170 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 1.00 Fx = 6.6 T Mz = -23.3 T*m My = 0.0 T*m sf/s sFx + sMz + sMy < sf 12.5 < 14.7 MPa (85 %) Stabilite cas no 125, 1.1G+Pn au feu ky = 1.00 kz = 1.00 Fx = 7.0 T Mz = -24.9 T*m My = 0.0 T*m sf/s sFx + sMz + sMy < sf*2.25 35.1 > 33.1 MPa (106 %) Flambement : Fx comp < Fc / 1.40 0.0 < 908.3 T (cas no 129, 0 %)

- Fiche de Pièce - Filaire n°2866.4 – v2012 Sections R16*94 - Matériau - Essence Flèche instantanée cas n°10, Surcharges de neige normale L/930 longue durée cas n°1, L/483, Coefficient de fluage = 1.858 totale L/203 < L/200 (98 %)




Flambement Lfy = 6.670 m Lfz = 0.170 m Vérification cas n°105, G+Pn ky = 1.00 kz = 1.00 Fx = 6.5 T Mz = -22.9 T*m My = 0.0 T*m sf/s sFx + sMz + sMy < sf 10.0 < 11.6 MPa (86 %)

Test 03-0205SSLLG_EC3

288

2.100. Test n° 03-0205SSLLG_EC3: Dimensionnement d'une structure 3D en métal

2.100.1. Données ■ Modèle de calcul : Charpente métallique simple ■ Cas de charge : Neige Vent au NV65/84 Vent région I Neige 2A alt 0m ■ Séisme : PS92 Zone de sismicité moyenne Site S1 coef de comportement 5 en X,

3 en Z ■ Charges permanentes et charges d’exploitations ■ Combinaisons aux EC3DANF1

Cas de charge de la structure Code Num Type Titre ECG 1 Statique Poids propre + Charges permanentes de couverture ECV 2 Statique Surcharges de vent suivant +X en surpression ECV 3 Statique Surcharges de vent suivant +X en dépression ECV 6 Statique Surcharges de vent suivant +Z en surpression ECV 7 Statique Surcharges de vent suivant +Z en dépression ECN 10 Statique Surcharges de neige normale

ECNE 11 Statique Surcharges de neige extrême MASSE 0 Dynamique Masse de la structure

ECA 15 Sismique SEISME X ECA 16 Sismique SEISME Z ECQ 20 Statique Charge d'exploitation


289

2.100.2. Résultats Effel Structure

Champs de déplacement des cas de charges élémentaires

Déplacement Dmax en cm Déplacement Dmax en cm Déplacement Dmax en cm N° de cas 1 1.83 2 2.38 3 1.81 N° de cas 6 1.66 7 2.23 10 2.11 N° de cas 15 9.85 16 6.11 20 0.06

Analyse modale et spectrale

Masse totale Centre de masse Composantes

Xm Ym Zm MX MY MZ (m) (m) (m) (T) (T) (T)

16.26 7.84 24.01 129.53 129.53 129.53


N° Suivant X Participation sismique (T) (pct) (-) (m/s²)

1 115.21 88.94 339.43 3.9762


N° Suivant Z Participation sismique (T) (pct) (-) (m/s²)

3 101.82 78.61 319.10 5.4666

Enveloppe des Moment Mz (combinaisons ECELU) sur les éléments : ■ Poteau : de –23.04 à 23.2 Tm ■ Arbas : de –11.64 à 24.73 Tm ■ Pannes : de –1.92 à 2.28 Tm ■ Potelets : de –7.73 à 6.35 Tm ■ Lisses : de –1.38 à 1.08 Tm

Enveloppe des Efforts normaux Nx (combinaisons ECELU) dans les barres de CVT : de –10.82 à 14.48 T

Enveloppe des contraintes (combinaisons ECELUF) sur les éléments : ■ Poteau : 84.28 Mpa ■ Arbas : 97.97 Mpa ■ Pannes : 196.31 Mpa ■ Potelets : 148.17 Mpa ■ Lisses : 157.10 Mpa


290

2.100.3. Résultats Effel Expertise EC3

Hypothèses

Pour les poteaux ■ Classe Auto Flèche 1/150 ■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables

plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds fixes ■ Déversement calcul auto Ldi : maintien articulé

calcul auto Lds : maintien articulé

Pour les arbas ■ Classe Auto Flèche 1/200 ■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables

plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds fixes ■ Déversement calcul auto Ldi : Pas de maintien


Pour les pannes ■ Classe Auto Flèche 1/200 ■ Flambement plan XY : Lf = 1*Lg élément

plan XY : Lf = 1*Lg élément ■ Déversement calcul auto Ldi : maintien articulé

calcul auto Lds : pas de maintien

Pour les potelets ■ Classe Auto Flèche 1/150 ■ Flambement plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables

plan XY : Calcul Auto Structure à nœuds déplaçables ■ Déversement calcul auto Ldi : maintien articulé


Pour les lisses ■ Classe 3 Flèche 1/200 ■ Flambement plan XY : Lf = 1*Lg élément

plan XY : Lf = 1*Lg élément ■ Déversement Pas de déversement

Pour les autres éléments : Pas de vérification


291

Résultats

- Enveloppes et Optimisation -

Label Nuance Section début Section fin Tx Cas Solution Tx POTEAU ACIER HEA450 HEA450 40 125

ARBALETR ACIER HEA400 HEA400 72 125 RENFORT_G ACIER HEA600 HEA400 47 125 RENFORT_D ACIER HEA400 HEA600 46 125

PANNE ACIER IPE180 IPE180 294 125 IPE270 93 LISSE ACIER UAP175 UAP175 73 127

POTELET ACIER IPE300 IPE300 INF 125 IPE600 222

== Fiches de profilés ==

- Groupés par labels - Triés par taux de travail -

- Fiche de profilé - Filaire n°29.4 (Label POTEAU) - reference Flèche

1er critère cas n°15, SEISME X L/106 > L/150 (141 %) Stabilité des éléments Flambement LambdaFy = 125.0 LambdaFz = 1.4 Lfy = 23.655 m Lfz = 0.100 m Déversement LambdaDi = 1.4 LambdaDs = 1.4 Ldi = 0.100 m Lds = 0.100 m Vérification cas n°125, 1.35G+1.5S Xy = 1.000 Xz = 0.469 ky = 0.988 kz = 1.011 XLT = 1.000 kLT = 1.000

k = 1.000 kw = 1.000 C1 = 1.006 C2 = 0.000 C3 = 1.002yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 422335.1 T*m

Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.4 < 1.0 (40 %) Déversement Elancement réduit < 0.40 - (0 %)

Classe

Traction Classe 1 : caractéristiques plastiques Compression Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flexion Classe 1 : caractéristiques plastiques Flambement Classe 1 : caractéristiques plastiques Déversement Classe 1 : caractéristiques plastiques

Fiche de profilé - Filaire n°29.4 (Label POTEAU) v2012

2 Flèche cas n°15, SEISME X

L/107 > L/150 (141 %) 4 Stabilité des éléments

Longueurs de flambement

LambdaFy = 125.0 LambdaFz = 1.4 Lfy = 23.659 m Lfz = 0.100 m

Longueurs de déversement

LambdaDi = 1.4 LambdaDs = 1.4 Ldi = 0.100 m Lds = 0.100 m

Vérification Cas n°125 : 1.35G+1.5S Xy = 1.000 Xz = 0.469 ky = 0.988 kz = 1.011 XLT = 1.000 kLT = 1.000 k = 1.000 kw = 1.000 C1 = 1.006 C2 = 0.000 C3 = 1.002 yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 422330.3 T*m

Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.4 < 1.0 (40 %)

Déversement Elancement réduit < 0.40 - (0 %)


292

5 Classe Traction Compression Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flexion composée déviée

Classe 1 : caractéristiques plastiques

Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flambement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Déversement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1

- Fiche de profilé - Filaire n°27.5 (Label ARBALETR) -

Flèche 1er critère cas n°16, SEISME Z L/432 < L/200 (46 %) Stabilité des éléments Flambement LambdaFy = 131.0 LambdaFz = 40.4 Lfy = 22.057 m Lfz = 2.966 m Déversement LambdaDi = 224.0 LambdaDs = 46.9 Ldi = 16.441 m Lds = 3.441 m Vérification cas n°125, 1.35G+1.5S Xy = 0.918 Xz = 0.436 ky = 0.995 kz = 1.028 XLT = 0.563 kLT = 1.000


Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.4 < 1.0 (44 %) Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.7 < 1.0 (72 %)

Classe


Fiche de profilé - Filaire n°27.5 (Label ARBALETR) v2012

Flèche 1er critère Cas n°16 : SEISME Z

L/432 < L/200 (46 %) Stabilité des éléments Longueurs de flambement LambdaFy = 131.00 LambdaFz = 40.4

Lfy = 22.059 m Lfz = 2.966 m Longueurs de déversement LambdaDi = 224.0 LambdaDs = 46.9

Ldi = 16.441 m Lds = 3.441 m Vérification Cas n°125 : 1.35G+1.5S

Xy = 0.478 Xz = 0.436 ky = 0.987 kz = 1.028 XLT = 0.602 kLT = 0.999 k = 0.500 kw = 1.000 C1 = 0.712 C2 = 0.652 C3 = 1.070 yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 49.3 T*m


Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.7 < 1.0 (74 %)

Classe Traction Compression Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flexion composée déviée Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flambement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Déversement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1


293

- Fiche de profilé - Filaire n°42 (Label PANNE) -reference Flèche

1er critère cas n°11, Surcharges de neige extrême L/279 < L/200 (72 %)

Stabilité des éléments Flambement LambdaFy = 80.8 LambdaFz = 291.9 Lfy = 6.000 m Lfz = 6.000 m Déversement LambdaDi = 291.9 LambdaDs = 291.9 Ldi = 6.000 m Lds = 6.000 m Vérification cas n°125, 1.35G+1.5S Xy = 0.093 Xz = 0.760 ky = 1.500 kz = 1.255 XLT = 0.386 kLT = 0.108k = 1.000 kw

= 1.000 C1 = 1.132 C2 = 0.459 C3 = 0.525yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 1.8 T*m Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 2.9 > 1.0 (294 %) Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 2.3 > 1.0 (233 %)

Classe


Fiche de profilé - Filaire n°42 (Label PANNE) v2012

Flèche 1er critère Cas n°102 : G+S





Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 2.9 > 1.0 (286 %)

Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 2.3 > 1.0 (231 %)

Classe Traction Compression Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flexion composée déviée Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Flambement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1 Déversement Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1


294

- Fiche de profilé - Filaire n°167 (Label LISSE) -reference Flèche

1er critère cas n°104, G+1.2V L/916 < L/200 (22 %) Stabilité des éléments Flambement LambdaFy = 118.4 LambdaFz = 375.5 Lfy = 8.125 m Lfz = 8.125 m Déversement Pas de vérification au déversement Vérification cas n°130, 1.35G+1.5x1.2xV Xy = 0.056 Xz = 0.406 ky = 1.183 kz = 1.008 XLT = 1.000 kLT = 0.980k = 0.500 kw

= 1.000 C1 = 0.712 C2 = 0.652 C3 = 1.070yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 7.0 T*m Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 0.6 < 1.0 (61 %) Déversement Pas de vérification au déversement

Classe Traction Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques Flexion Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques Flambement Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques Déversement Non effectué

Fiche de profilé - Filaire n°167 (Label LISSE) v2012

Flèche 1er critère Cas n°104 : G+1.2V


Lfy = 8.125 m Lfz = 8.125 m Longueurs de déversement Pas de vérification au déversement Vérification Cas n°130 : 1.35G+1.5x1.2xV



Déversement Pas de vérification au déversement Classe Traction Compression Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques Flexion composée déviée Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques Flambement Classe 3 imposée : caractéristiques élastiques


295

- Fiche de profilé - Filaire n°209.1 (Label POTELET) -reference Flèche

1er critère cas n°15, SEISME X L/128 > L/150 (117 %) Stabilité des éléments Flambement LambdaFy = 153.0 LambdaFz = 598.5 Lfy = 19.066 m Lfz = 20.053 m

Déversement LambdaDi = 283.5 LambdaDs = 283.5 Ldi = 9.500 m Lds = 9.500 m Vérification cas n°125, 1.35G+1.5S Xy = 0.023 Xz = 0.323 ky = 1.500 kz = 1.420 XLT = 0.505 kLT = -8.969


Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 12.2 > 1.0 (1218 %) Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 12.2 > 1.0 (1218 %)

Classe

Traction Classe 2 : caractéristiques plastiques Compression Classification : Aile inf G de classe 1 : b/t = 7.009 Aile inf D de classe 1 : b/t = 7.009 Ame de classe 2 : b/t = 35.014 Aile sup G de classe 1 : b/t = 7.009 Aile sup D de classe 1 : b/t = 7.009 Flexion Classe 1 : caractéristiques plastiques Flambement Classe 2 : caractéristiques plastiques Déversement Classe 2 : caractéristiques plastiques

Fiche de profilé - Filaire n°209.1 (Label POTELET) v2012

Flèche 1er critère Cas n°15 : SEISME X

L/129 > L/150 (117 %) Stabilité des éléments Longueurs de flambement LambdaFy = 153.0 LambdaFz = 598.5



Xy = 0.023 Xz = 0.323 ky = 1.500 kz = 1.420 XLT = 0.505 kLT = -8.983 k = 1.000 kw = 1.000 C1 = 1.885 C2 = 0.000 C3 = 1.000 yg = 0.000 m yj = 0.000 m Mcr = 9.8 T*m

Flambement 1/Xmin Fx/(Sx fyd) + kz Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 12.2 > 1.0 (1220 %)

Déversement 1/Xy Fx/(Sx fyd) + kLT/XLT Mz/(Wz fyd) + ky My/(Wy fyd) < 1 12.2 > 1.0 (1220 %)

Classe Traction Compression Classe 2 : caractéristiques plastiques Classification :

Aile inf G de classe 1 : b/t = 7.009 Aile inf D de classe 1 : b/t = 7.009 Ame de classe 2 : b/t = 35.014 Aile sup G de classe 1 : b/t = 7.009 Aile sup D de classe 1 : b/t = 7.009

Flexion composée déviée Classe 1 : caractéristiques plastiques Toutes les parois de la section sont de classe 1


296

Flambement Classe 2 : caractéristiques plastiques Classification :


Déversement Classe 2 : caractéristiques plastiques Classification :


A chaque fois que l’on demande un calcul auto du flambement, la méthode au Ka-Kb est défavorable par rapport à la méthode au ρa-ρb

Documents

Projet utilisé pour la couverture de ce document · Projet utilisé pour la couverture de ce document : Centre Pompidou-Metz© Shigeru Ban Architects Europe et Jean de Gastines Architectes,