Propagation d Onde Elastiques Dans Les Cristaux Phononiques-3

8/10/2019 Propagation d Onde Elastiques Dans Les Cristaux Phononiques-3

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Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche ScientifiqueUniversit Mouloud Mammeri, Tizi-Ouzou

Facult des SciencesDpartement de Physique

MEMOIRE DE MAGISTER

Spcialit : Physique

Option : Science de la matire

Prsent par :Sedik KHEFFACHE

Thme :

Propagation dondes lastiquesdans les cristaux phononiques

bidimensionnels

Devant la commission dexamen compose de :

Mr Omar Lamrous Professeur UMMTO PrsidentMr Belhadi Mehand Professeur UMMTO RapporteurMme Lalam Fadila Professeur UMMTO ExaminateurMr Hellal Slimane Professeur UMMTO ExaminateurMr Belkhir Abderrahmane Matre de Confrences (A) UMMTO Examinateur

Soutenu le : 28 / 09 / 2011


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i

Remerciements

Je remercie en premier lieu mon Dieu limpntrable qui ma

donn le courage pour complter la ralisation de mon travail.

Le travail prsent dans ce mmoire a t ralis au

laboratoire de physique et chimie des matriaux LPCM de

lUniversit Mouloud Mammeri de Tizi Ouzou sous la direction du

professeur Belhadi Mehand, que je tiens remercier infiniment et

chaleureusement pour sa rigueur, sa simplicit, sa gnrosit et sa

disponibilit durant toute la dure du travail. Ses conseils prcieux

mont permis de mener bien mon travail de mmoire.

Je remercie galement lensemble des enseignants qui ont

contribus ma formation. Que monsieur le prsident et lesmembres du jury trouvent ici lexpression de mon respect pour

avoir fait lhonneur dexaminer ce travail de mmoire de magister.

Ma gratitude va au personnel de la bibliothque et de la

scolarit sans oublier et heureux de remercier mes cher parents,

mes frres, mes proches, ainsi que tous mes amis pour leurs

soutient, leurs aides, leurs encouragements et le temps quils mont

consacr pour la ralisation de ce mmoire de magister.

Kheffache Sedik


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ii

Ddicace

Je ddie ce travail :

ma chre mre et mon cher pre;

mes surs et mon frre ;

mes oncles et mes tantes ;

toute ma famille et la famille hachi ;

A mes amis : Docteur Bettache Hachimi, G Youcef et sa fiance, Yefsah Ch, Hadjsaid

A, B mouhend , D Nacer, L abdenour, younes C. H , S. Amirouche, Tahar..

Eu fait je ddie ce travail tous mes amis(es) que jai connus depuis mon enfance la o

ils se trouvent, mes amis (es) de lcole primaire frres Kasdi, ainsi que mes amis (es) de

CEM et de lyce, sans doute mes amis (es) de luniversit, encore mes amis(es) que jeconnais sur le net, Ricardo, Pierre, Vamsi, Djaber, Toufik, Youcef, Mouhammed,

Nesrine, wafa, Douaa, Zineb, Zina, Natali, Entesare, Rose, Birsen, et autres ;

A tous mes amis de MLE : Kaci et son neveu Mensour, G. youcef, L. Athmane, K.

Mouloud, Lyes, Lahlou, Ali, Mourad, Abdelghani, Farid, Riad, Volta Giovanino,

Gabriele Tonelli, G. Antonio, B. Oualid, Bahri, Z. Mouhamed, A. Lorenzo et autres.

tous mes enseignants ;

A mes futurs amis(es) et aux chers lecteurs de ce mmoire.

KHEFFACHEKHEFFACHEKHEFFACHEKHEFFACHE SEDIKSEDIKSEDIKSEDIK


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TABLE DES MATIRES

iii

.

Table des matires

Remerciements i

Ddicace ii

Table des matires iii

Table des figures v

Introduction 01

Chapitre. I Les cristaux phononiques

1Structures priodiques 05

1.1 Rseau rciproque 06

1.2 Zone de Brillouin 07

2Ondes acoustiques et lastiques 08

2.1 Propagation des ondes dans les milieux lastiques 09

3Cristaux photoniques 13

3.1 Les cristaux photoniques bidimensionnels 13

3.2 Les cristaux photoniques tridimensionnels 14

3.3 Guides dondes cristaux photoniques. 14

4Les cristaux phononiques 15

4.1 Qu'est-ce qu'un cristal phononique ? 15

4.2 mergence des cristaux phononiques 16

4.3 Exprience sur la sculpture de Sempere 19

4.4 Notion de bande interdite 21

4.5 cartement du gap phononique 22

4.6 Guidage et filtre slectif 24

4.7 Comparaison entre les cristaux phononiques et

photoniques

26


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TABLE DES MATIRES

iv

Chapitre. II mthodes de rsolution des quations de propagation des ondes

1 Introduction 28

2 Mthode des lments finis 29

3 Mthodes de diffusion multiple 294 Mthode de dveloppement en ondes planes 30

4.1. Brve introduction la mthode 30

4.2 Description de la mthode 30

5 La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel 34

5.1 Introduction la mthode FDTD 34

5.2 Description de la mthode 34

5.3 Discrtisation du tenseur des contraintes 37

5.4 Critre de stabilit 39

6 Organigrammes de calcul 39

Chapitre. III Calcul de bandes interdites

1 Modele tudi 42

2 -Structure de bande 44

2.1 -Structure de bande calcule par la mthode FDTD 44

2.2 -Formules des diffrences finies 44

2.3 Fentre de calcul FDTD 46

2.4 -Conditions initiales 47

2.5 -Conditions aux limites priodiques 47

2.6 -Transformation en domaine de frquences 48

2.7 Courbe de dispersion 48

2.8 Structure de bande calcule par la mthode PWE 49

3 Influence des paramtres du systme sur le gap 53

3.1 Influence du paramtre de maille 53

3.2 Influence du rayon des cylindres 54

3.3 Influence de la fraction volumique 56

3.4 Influence de la densit des cylindres 56

Conclusion et perspectives 58

Rfrences bibliographiques 60

Annexe 64


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TABLE DES MATIRES

v


7/52

INTRODUCTION

~ 1 ~

INTRODUCTION

Dans un solide cristallin constitu datomes placs aux nuds dun rseau priodique,

le potentiel du rseau ionique cre des bandes dnergies pour la propagation des lectrons.

Les lectrons nont accs qu certains niveaux, spars entre eux par des bandes interdites.

Ce concept de bandes interdites a t dvelopp initialement dans le cadre de la thorie

lectronique des solides; cest le cas notamment des semi-conducteurs [1,2].

Les possibilits offertes par ces matriaux sur le contrle des fonctions d'ondes

lectroniques se devaient immanquablement de susciter, terme, quelques ides quant

l'application d'un principe similaire des ondes progressives de diffrentes natures. Il a fallu

attendre la fin des annes 80 pour rellement voir merger une extension de la notion de

bandes interdites au moins aux ondes lectromagntiques et ainsi assister la naissance des

cristaux photoniques [3].

Le concept de matriaux Bandes Interdites de Photons BIP (en anglais Photonic Band

Gap PBG) ou cristaux photoniques est apparu il y a une vingtaine dannes sous limpulsionde Yablonovitch [4]. Un cristal photonique est une structure dont lindice dilectrique est

modul de faon priodique. Grce lanalogie formelle qui existe entre les quations de

Maxwell rgissant la propagation des ondes lectromagntiques dans un milieu dilectrique et

lquation de Schrdinger pour les lectrons, on peut apprhender les cristaux photoniques

avec les outils et les concepts dvelopps en physique du solide [5].

La propagation des ondes lectromagntiques dans des milieux htrognes dots dunestructure indice dilectrique priodique, peut se dcrire par des bandes, dont certaines

peuvent tre interdites. Une radiation lumineuse avec une nergie situe dans la bande

interdite ne pourra pas pntrer dans le matriau priodique, quelle que soit son incidence ou

sa polarisation car la densit de modes photoniques ayant t modifie jusqu lannulation

par lenvironnement dilectrique priodique, il nexiste pas de mode avec une nergie

correspondante. Ces proprits rendent les cristaux photoniques intressants pour de

nombreuses applications dans les systmes optolectroniques telles que loptique intgre etles fibres microstructures [5].


8/52

INTRODUCTION

~ 2 ~

limage des cristaux photoniques un matriau composite dont la densit et les

constantes lastiques sont des fonctions priodiques de la position, peut prsenter sous

certaines conditions des bandes interdites pour les ondes acoustiques ou lastiques. Ce sont

des matriaux bandes interdites phononiques, encore appels cristaux phononiques.

Il a fallu au moins une dcennie pour assister une transposition de la plupart de ces

mmes phnomnes l'acoustique. Les cristaux phononiques, mentionns pour la premire

fois en 1993, sont des matriaux composites constitus de rseaux priodiques d'inclusions

une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice, [2, 6, 7]. Dans le domaine de

frquence dune bande interdite, un cristal phononique se comporte comme un miroir

acoustique parfaitement rflchissant. Ils consistent galement mettre profit les

phnomnes de diffusion se produisant dans un matriau composite priodique pour empcher

la propagation des ondes acoustiques et/ou lastiques dans toutes les directions de l'espace.

La mise en vidence des proprits lies la priodicit des cristaux phononiques

prsente un intrt certain d'un point de vue purement fondamental. Sils existent

naturellement ou sils sont fabriqus artificiellement ils prsentent une riche varit de

proprits physiques et un grand intrt pour la recherche fondamentale et applique ; ce qui

est intressant pour des applications telles que : dispositifs dondes acoustiques [8], systmes

d'isolation phonique [9,10], filtres frquentiels [11,12] et absorption de vibrations [13].

D'autres applications videntes sont rapidement envisages telles que les structures

antisismiques [14]. Rcemment, pour rduire limpact des tremblements de terre sur les

structures, Shi et ses collaborateurs, [11] fabriquent une base priodique avec des carts de

frquence faible bande, ce qui est tout fait diffrent de lapproche traditionnelle utilise en

gnie civil.

En revanche, les dimensions mises en uvre dans les cristaux phononiques, structures

artificielles cres par la main de l'homme, sont beaucoup plus importantes. Elles vont de

quelques mtres pour les plus imposantes cent nanomtres. A cette chelle, la matire

apparat comme continue et les lois de la mcanique classique peuvent tre employes avec

une bonne confiance. Cest l'chelle microscopique que les cristaux phononiques ont le plus

de potentiel.


9/52

INTRODUCTION

~ 3 ~

Les principes des cristaux phononiques s'expriment de la mme faon quelle que soit

l'chelle choisie pour leur ralisation, seules les frquences de fonctionnement changent.

Cependant leurs concepts peuvent tre dmontrs l'chelle, c'est--dire avec des structures

dont les dimensions sont relativement grandes, donc facilement accessibles. En raison des

avances rcentes dans les techniques de fabrication, le dveloppement des micros et des

nanotechnologies, des cristaux phononiques de plus en plus petits peuvent tre raliss par des

procds qui ressemblent ceux de la microlectronique, employs par exemple pour la

ralisation des microprocesseurs de nos ordinateurs. La microlectronique a dbut il y a

cinquante ans, la photonique suit depuis une vingtaine d'anne et arrive maturit ; l'avenir

dira si la nanophononique pourra suivre ces exemples prestigieux [7].

Plus rcemment, l'attention s'est tourne vers la propagation des ondes dans des bandes

passantes la fois au dessus et au dessous de la bande interdite, le cas inhabituel la rfraction

ngative [15,16]. Les tudes thoriques et exprimentales de la propagation des ondes

lastiques et/ou acoustiques dans des matriaux composites constitus de rseaux priodiques

d'inclusions une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice ont t concernes

principalement en termes de leur relation de dispersion. Aujourdhui, la communaut

scientifique dispose de nombreuses mthodes numriques efficaces pour simuler la

propagation des ondes lastiques ou acoustiques au sein des cristaux phononiques.

Le travail prsent dans ce mmoire de magister sinscrit dans le cadre dune contribution

ltude thorique lie la propagation dondes lastiques dans les cristaux phononiques

bidimensionnels (2D). Ces derniers sont constitus dun rseau priodique de cylindres infinis

dans une matrice avec application des cylindres en Duralumin insrs dans une matrice

dpoxy.Ce travail, porte sur le dveloppement et lapplication de mthodes analytiques et de

simulations numriques utilises pour la rsolution des quations de propagation dondeslastiques dans les cristaux phononiques bidimensionnels (2D),en loccurrence la mthode

de dveloppement en ondes planes (PWE) et la mthode des diffrences finies dans le

domaine temporel (FDTD). Et ce pour le calcul de bande interdite phononique dans le cas

dune polarisation transversale ; ceci constitue le sujet principal de notre travail.


10/52

INTRODUCTION

~ 4 ~

Le premier chapitre du prsent travail est consacr aux rappels de quelques notions de la

physique du solide et quelques notions de base des ondes lastiques et acoustiques, ainsi que

leur propagation. Un aperu sur les cristaux photoniques et les cristaux phononiques qui font

lobjet de notre tude ont t rigoureusement dtaills.

Le deuxime chapitre, est consacr la prsentation des diffrentes mthodes thoriques

utilises pour ltude des cristaux phononiques. La mthode de dveloppement en ondes

planes et la mthode de discrtisation des quations de propagation dans le domaine temporel

et dans lespace, FDTD (Finite Diffrence Time Domaine) y sont introduites. Il existe, bien

entendu, dautres mthodes thoriques disponibles dans la littrature scientifique pour traiter

les sujets dtudeet nous mentionnons de certaines de ces mthodes dans cette partie.

Dans le troisime chapitre, nous prsentons les rsultats numriques lis la propagation

dondes lastiques dans les cristaux phononiques bidimensionnels (2D), dont nous avons

appliqu les deux mthodes sur lesquelles sappuie notre travail de calcul de la structure de

bande phononique ; les diffrents diagrammes de bandes obtenues par ces dernires sont

prsents et comments ainsi que leffet de certains paramtres du systme sur les

caractristiques du gap phononique savoir leffet du rseau dans lequel les cylindres sont

insrs, leffet du paramtre de maille, du rayon des cylindres, de la fraction volumique et de

la nature et de la densit des cylindres.

Le travail prsente une conclusion gnrale et certaines perspectives offertes par notre

approche dans ce domaine. Le lecteur trouvera galement en annexe certains points discuts

en dtails.


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CHAPITRE. I CRISTAUX PHONONIQUES

~ 5 ~

Chapitre 1

Les cristaux phononiques

La propagation dondes acoustiques dans les milieux htrognes dots dune structure

priodique fait lobjet dun grand intrt depuis quelques dcennies. Un grand nombre de

structures priodiques a t tudi et des approches thoriques varies ont t employes.

Toutes ces mthodes ont mis en vidence lexistence de proprits physiques telles que la

prsence de bandes interdites (Gap) correspondant une forte attnuation et des bandes

passantes dattnuation moindre des ondes lectromagntiques.

limage des cristaux photoniques qui ont la proprit dempcher la lumire de sepropager dans certaines gammes de frquence, on peut concevoir des matriaux composites

qui rflchissent totalement les ondes ultrasonores ou le son. Ces matriaux permettent

dlaborer des isolants phoniques bien plus efficaces que les isolants usuels.

Cet tat de lart revient sur les concepts ncessaires la comprhension des matriaux

bandes interdites phononiques. A ce titre, il svertue dans un premier temps fournir

quelques notions fondamentales sur les structures priodiques, les ondes lastiques et les

cristaux phononiques.

I.1 Structures priodiques

Un cristal est un matriau solide constitu dun arrangement priodique datomes ou de

molcules reparties dans les trois directions de lespace. La physique de ltat condens est

alors largement consacre les tudier. La priodicit de la structure dun cristal, est

reprsente par un ensemble de points gomtriques rgulirement disposs dans lespace.

Cet ensemble est appel rseau cristallin ou rseau deBravaiset les points le constituant sontappels nuds du rseau, qui peuvent tre imagins comme les sommets des mailles.

La structure est alors reconstruite par simple translation de la maille, dans lespace trois

dimensions, le rseau est dfini par les trois vecteurs de translation fondamentaux appels

vecteurs de base , ,. Pour une translation quelconque partir dun point, onobtient [1]:

. (I.1)


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~ 6 ~

O u, v, wsont des entiers et lensemble des points dfinis par lquation (I.1) pour toutesles valeurs des entiers u, v, w dfinit un rseau. Un rseau est un arrangement priodique

rgulier de points dans lespace, ainsi donc la structure cristalline nest forme que lorsque

lon attache la mme base datomes chaque nud du rseau, alors :

Structure cristalline = rseau + base

Le rseau et les vecteurs de translation sont dits primitifs si un couple quelconque de

points dfinis par , autour desquels larrangement atomique est identique, satisfait larelation (I.1) pour un choix convenable des entiers u, v, w.

I.1.1 Rseau rciproque

A toute structure cristalline est associe deux rseaux : le rseau direct et le rseau

rciproque. Une figure de diffraction dun cristal est une carte du rseau rciproque du cristal,

quand nous faisons subir une rotation, nous faisons subir la mme rotation au rseau direct et

au rseau rciproque [17]. Si, et sont les vecteurs primitifs du rseau cristallin, un nudde ce rseau est repr par un vecteur tel que :

.(I.2)

Et si, , sont les vecteurs primitifs du rseau rciproque, un nud de ce rseau estrepr par un vecteur tel que :

. (I.3)Ou u, v, wsont les coordonnes dun nud du rseau direct et h, k, l les indices de Miller

dfinissants un nud du rseau rciproque. Les deux rseaux sont relis par les dfinitions

suivantes :

. 2 , . 2 et . 2 avec: , et avec . .

Le facteur 2nest pas utilis par les cristallographes mais il est pratique en physique du

solide. Les vecteurs du rseau cristallin (direct) ont les dimensions dune [longueur] ; les

vecteurs du rseau rciproque ont les dimensions dune [longueur]-1

.


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~ 7 ~

I.1.2 Zone de Brillouin

Lnonc le plus important de la condition de diffraction pour la physique de ltat solide

fut donn par Brillouin. Cest la seule construction utilise dans la thorie des bandes

dnergie pour les lectrons dun cristal et dans lexpression des excitations lmentaires descristaux. Par raison de symtrie, la zone de Brillouin est par dfinition la maille de Wigner-

Seitz du rseau rciproque; nous reprsentons les vecteurs joignant un site du rseau

rciproque tous les sites voisins, puis on dessine les plans bissecteurs perpendiculaires ces

vecteurs. Le volume le plus petit autour du site choisi limit par ces plans est appel zone de

Brillouin.

Nous pouvons construire les zones suprieures de Brillouin de la mme manire, la ime

zone de Brillouin est lespace limit dune part par les plans bissecteurs perpendiculaires aux

vecteurs joignant le site lorigine aux ime sites voisins et dautre part les plans bissecteurs

des zones de Brillouin inferieures. La figure I.1 montre les zones de Brillouin du rseau

rciproque de structure carre [17].

Figure I.1(a) 1ere, (b) 2ieme, (c) 3ieme zone de Brillouin dun rseau carr.


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~ 8 ~

I.2 Ondes acoustiques et lastiques

Les ondes acoustiques et lastiques font partie de notre exprience quotidienne et de notre

environnement le plus immdiat. Les ondes sonores se propagent dans l'atmosphre. Elles

vhiculent la parole humaine et nous informent sur ce qui nous entoure. Les ondesacoustiques sont utilises dans des domaines aussi bien diversifis tels que l'imagerie

chographique du corps humain, la dtection et la localisation d'objets sous-marins (le sonar),

l'tude des sismesetc.

Nos tlphones portables et nos tlvisions comportent des filtres lectroniques exploitant

des ondes acoustiques haute frquence dans des cristaux synthtiques exotiques. Toutes les

ondes acoustiques sont composes de vibrations progressives des atomes composant le milieu

de propagation; donc elles ne se propagent que dans des milieux matriels: gaz, liquide, ou

solide. Notons que dans ce dernier cas, les atomes sont contraints de rester en moyenne autour

de leur position d'quilibre, et l'onde se propage en mettant en mouvement une succession de

plans cristallins; on parle alors d'ondes lastiques.

Dans le cas des ondes sonores dans l'air, ou des ondes acoustiques dans l'eau, les atomes

du fluide ne sont pas assujettis rester en une position donne de l'espace, mais l'onde

reprsente toujours un mouvement collectif communiquant d'atome en atome dans unedirection donne.

Le schma ci-dessous indique les principales applications des ondes sonores, acoustiques

et lastiques en fonction de la frquence des signaux employs.

Figure I.2Domaines frquentiels des ondes acoustiques


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~ 9 ~

I.2.1 Propagation des ondes dans des milieux lastiques

La thorie de llasticit a pour objectif dtudier les phnomnes mcaniques mis en jeu

lors de lapplication dune force un corps donn, cette dernire affectant la forme comme le

volume du corps tudi. Chaque point du corps subit donc un changement de position mesurpar un vecteur dplacement u. Notamment la cristallographie permet de classer les matriaux

selon leurs types de symtries, chaque symtrie est directement associe un tenseur de

quatrime ordre appel tenseur de rigidit not et reliant les dformations auxcontraintes , cest la loi de Hooke donne par [18] :

.

, (I.4)

avec . (I.5)Ce tenseur est symtrique. Ses termes non diagonaux sont relis aux dformations par

cisaillement alors que les lments diagonaux correspondant aux allongements sont

indpendants. Notons que les tenseurs de contraintes et de dformations tant symtriques par consquent, la permutation des deux premiers indices ou des deuxderniers indices des constantes lastiques

caractrisant le matriau est telle que :

. (I.6)En termes de dplacements, la loi de Hooke, devient :

. (I.7)Comme , les deux sommations du ct droit de lquation (I.7) sont gales, alors : . (I.8)La relation ci-dessus rduit le nombre de constantes lastiques. En effet il est alors possible

dutiliser des notations contractes et la loi de Hooke devient :

. , (I.9)


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~ 10 ~

avec

.

A partir de la relation fondamentale de la dynamique ; en tenant compte de la loi de Hooke et

la loi de la conservation de la quantit de mouvement, lquation du mouvement scrit [3] :

. (I.10) dsigne la densit du corps (matriau) et Fi les forces extrieures mises en jeu. Unereformulation de cette dernire quation en utilisant la relation (I.8) permet dobtenir

lquation de propagation, qui en absence de forces extrieures ( F i ) se ramne :

. (I.11)Pour un solide isotrope le tenseur des rigidits lastiques prsente une invariance vis--

vis des axes de rfrence du systme. Cependant, les proprits du solide sont les mmes

quelle que soit la direction de lespace considr. Dans ce cas, deux paramtres suffisent

caractriser la relation liant les contraintes aux dformations, il sagit des coefficients de

Lam tel que : 2, , /2. (I.12)Ainsi donc le tenseur des rigidits lastiques est de la forme :

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0


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~ 11 ~

Les constantes lastiques sont exprimes comme suite :

. (I.13)Pour les contraintes normales : 2. (I.14)Pour les contraintes tangentielles (i j) :

, (I.15)do

2 , .

La combinaison des quations (I.14) et (I.15) permet de reformuler lquation (I.4) et

dobtenir : 2 , (I.16)avec est le symbole de Kronecker.

En remplaant les expressions (I.5) et les coefficients de Lam dans lquation (I.16), la

loi de Hooke, peut sexprimer comme suit [3] :

2 2 , (I.17)do, lquation de propagation scrit :

. (I.18)Les cristaux se rpartissent dans sept systmes qui se subdivisent en trente-deux classes.

Un cristal appartenant un systme possde obligatoirement certains lments de symtrie.

Le fait que le comportement dun cristal est le mme dans toute position symtrique dune

position de rfrence, il diminue le nombre de constantes ncessaires la description de ce

comportement. Ainsi, le nombre de constantes de rigidit qui interviennent dans la loi de

Hooke natteint heureusement pas le chiffre. Les fluides peuvent tre traits comme des

solides isotropes, moyennant une adaptation du tenseur des rigidits lastiques (injection, par

exemple, des coefficients de compressibilit).


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~ 12 ~

I.2.2 Diffrents types d'ondes

Nous avons vu que la propagation des ondes lastiques rsultait d'un quilibre entre les

forces appliques au solide faisant office de milieu de propagation et les forces lastiques

internes de rappel . Dans un volume, ces forces peuvent tre des forces de compression ou

de cisaillement, impliquant ainsi la propagation d'ondes du mme type. Ces ondes peuvent se

propager de faon dcouple (milieu isotrope) ou non (solide anisotrope). Mais les milieux

lastiques peuvent aussi, dans le cas o le substrat de propagation est de dimension finie,

supporter d'autres types d'ondes, dont les proprits de propagation sont lies aux conditions

aux limites imposes. Nous donnons ici quelques notions gnrales sur la propagation des

ondes lastiques dans diffrentes configurations.

I.2.2.1 Les ondes de LambLes ondes de Lamb, (appeles aussi ondes de plaque), sont des ondes acoustiques qui se

propagent dans des milieux de faible paisseur, (de l'ordre d'une fraction de longueur d'onde).

Elles peuvent tre aussi la superposition de deux ondes de surface qui se propagent sans

interaction, sur chacune des interfaces libres de la plaque tant que lpaisseur de cette dernire

est grande devant la longueur donde . Lorsque lpaisseur de la plaque devient comparable

la longueur donde, les deux ondes de surfaces se couplent pour former une onde de Lamb qui

a t mise en vidence par le gophysicien anglais Lamb en 1917 [19]. Ces ondes de plaques,sont dispersives et ont la particularit de mettre en mouvement la totalit de lpaisseur de la

plaque, et peuvent se propager sur une grande distance. Elles sont utilises gnralement pour

tudier les structures de bande des cristaux phononiques dpaisseur finie [20-22].

I.2.2.2 Ondes de Rayleigh

Si l'on impose maintenant une limite physique au milieu de propagation, comme par

exemple une surface libre homogne, les conditions aux limites mcaniques comme

lectriques induites vont affecter les proprits des ondes se propageant dans le milieu. Dans

ce cas prcis, il existe un type particulier d'ondes dont l'amplitude dcrot exponentiellement

avec la profondeur et n'affecte donc le substrat que sur une paisseur de l'ordre de la longueur

d'onde du mode. Ces ondes de surface prsentent en effet un vecteur de dplacement dont la

composante normale est vanescente. Cette famille de modes est bien connue des

gophysiciens; elles sont dites ondes de Rayleigh, elles ne sont pas dispersives et prsentent

une attnuation quasi-nulle lors de leur propagation dans un substrat. Les ondes de Rayleigh

peuvent en effet tre aisment gnres la surface d'un cristal phononique [23,24].


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~ 13 ~

I.3 Cristaux photoniques

Cest en 1987 que E. Yablonovitch, [25] et S.John, [26] introduisent pour la premire

fois lide de bandes interdites photoniques (BIP) dans les cristaux photoniques. Ces cristaux

qui prsentent une variation priodique dindice de rfraction de lordre de la longueur

donde, interdisent la propagation des ondes lumineuses dans certaines gammes de longueur

donde situes lintrieur de la bande interdite, et ceci quel que soit langle dincidence.

Il existe diffrents types de cristaux photoniques, classer selon leur dimensionnalit.

A une dimension, on trouve les biens connus miroirs de Bragg (figure I.3) forms dune

alternance de couches de bas et haut indice. Le principe des miroirs de Bragg peut tre

gnralis deux ou trois dimensions, constituant des cristaux photoniques 2D ou 3D.

Figure I.3reprsentation Schmatique des cristaux photoniques 1D, 2D ou 3D Les

diffrentes couleurs reprsentent des matriaux de constantes dilectriques diffrentes [27].

I.3.1 Les cristaux photoniques bidimensionnels

A deux dimensions, les cristaux photoniques sont composs dun rseau priodique de

piliers de dilectrique dans lair ou de trous dair percs dans un dilectrique. Les deux

rseaux les plus courants pour lorganisation des piliers (ou des trous) sont le rseau carr et

le rseau triangulaire (ou hexagonal). La figure I.4, prsente ces deux rseaux avec leurs

zones de Brillouin respectives [27].

Figure I.4a) Rseau carr et sa zone de Brillouin associe, b) Rseau triangulaire et sazone de Brillouin associe [27].


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~ 14 ~

I.3.2 Les cristaux photoniques tridimensionnels

Les cristaux photoniques tridimensionnels permettent dobtenir une bande interdite

omnidirectionnelle. Le premier cristal photonique tridimensionnels, appel Yablonovite, fut

fabriqu en 1991 par E. Yablonovitch [4] en perant mcaniquement des trous selon des

angles bien choisis dans un bloc de plexiglas, de faon trouver la structure cristalline du

diamant (cubique face centre).

Comme exemples de cristaux photoniques tridimensionnels, citons la structure tas de

bois et les Yablonovite, reprsentes sur la figure I.5[27,28].

Figure I.5Reprsentation des structures de la Yablonovite et de tas de bois [28].

I.3.3 Guides dondes cristaux photoniques

En introduisant un dfaut linaire (omission dune ou plusieurs ranges de trous) dans lecristal photonique, il est possible de guider la lumire selon une direction choisie. Un photon

restera confin dans le guide dondes si son nergie reste lintrieur de la bande interdite.

Des composants divers sont ralisables partir de dfauts linaires (figure I.6). La

transmission au travers de ces dispositifs peut tre optimise en modifiant la taille ou la forme

des trous au niveau du virage ou de la jonction, afin de minimiser le couplage entre le mode

guid et les modes rayonns au niveau des courbures [27].

Figure I.6Diffrents composants base de dfauts linaires a)guide droit, b) virage 1200 et c) jonction Y


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I.4 Les cristaux phononiques

Imaginez une fort dans laquelle des arbres seraient plants suivant un plan rgulier

parfaitement priodique. Dans cette fort, le diamtre des troncs varie fort peu d'un arbre ses

voisins et la distance qui les spare est partout rigoureusement la mme. La structure

priodique bidimensionnelle que forment les arbres est intuitivement similaire un

arrangement parfaitement ordonn des atomes dans un cristal, pour peu que l'on fasse

abstraction de la diffrence d'chelle. Un promeneur suivant un chemin trac dans cette fort

aurait la surprise de constater que les sons lui parviennent dforms. Plus prcisment, d'un

orchestre jouant proximit, il entendrait distinctement les sons graves des contrebasses ou

les sons aigus des violons, mais s'apercevrait que toute une partie du spectre sonore entre ces

deux extrmes manque l'appel ! Cette attnuation d'une certaine bande de frquence est la

signature de l'existence d'une bande interdite pour le son, elle-mme consquence de

l'arrangement priodique des arbres. Une telle fort est un exemple de ce que les physiciens

nomment un cristal phononique[6,29].

I.4.1 Qu'est-ce qu'un cristal phononique?

Les cristaux phononiques sont les analogues lastiques des matriaux bandes interdites

photoniques et ont t propos en 1993 par Kushwaha et ses collgues de lUniversit de Lille

en France [30]. Ce sont des matriaux composites constitus de rseaux priodiques

d'inclusions une, deux ou trois dimensions insres dans une matrice. Dans le domaine de

frquence dune bande interdite, un cristal phononique se comporte comme un miroir

acoustique parfaitement rflchissant. Un excellent isolant phonique est alors obtenu si la

bande interdite apparat pour les plus basses des frquences audibles (de 2Hz 20 kHz).

Un cristal phononique unidimensionnel est un composite stratifi obtenu en empilant en

alternance des couches de matriaux de caractristiques physiques diffrentes (proprits

lastiques diffrentes). Dans ces structures unidimensionnelles, les domaines de frquence

o les bandes interdites apparaissent dpendent de la direction de propagation de londe

incidente [2]. Ces cristaux phononiques unidimensionnels conduisent de nombreuses

applications dans lisolation acoustique basse frquence. En raison de leurs structures, il est

facile dobtenir de grandes bandes interdites. La figure I.7 montre un cristal phononique

unidimensionnel compos de deux matriaux diffrents A et B [31].


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Figure I.7Reprsentation schmatique dun cristal phononique unidimensionnel.

Dans le cas d'un cristal phononique bidimensionnel, les inclusions sont des cylindres de

section quelconque que l'ont peut disposer par exemple suivant un rseau carr ou triangulaire

(figureI.8). Les inclusions peuvent aussi tre composes d'un matriau diffrent de celui de la

matrice qui peut tre de simples trous. L'essentiel est que la diffusion (linterfrence) des

ondes acoustiques et/ou lastiques sur ces inclusions soit trs efficace, [2].

Figure I.8Reprsentation schmatique dun cristal phononique deux dimensions.

On distingue plusieurs classes de cristaux phononiques selon la nature physique des

constituants, tels que les composites solide/solide (respectivement fluide/fluide) dont tous les

constituants sont des solides (respectivement fluides) et les composites mixtes forms la fois

de solides et de fluides.

I.4.2 mergence des cristaux phononiques

Depuis les travaux pionniers de E. Yablonovitch [25] et S. John [26] qui reposent sur

ltude des phnomnes physiques des structures priodiques de diffuseurs dilectriques

(matriaux composites), autrement appels cristaux photoniques ouvrent la voie aux

premires ralisations exprimentales et la conception de composants optiques trs efficaces.


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Les prdictions thoriques et exprimentales ont montr que ces types de matriaux

empchent la propagation des ondes lumineuses dans une plage de frquences ou de longueur

dondes, qualifie de bande interdite (band gap) [25,26]. Par ailleurs, une analogie a t

promptement formule afin que ces essences soient tendues ltude de la propagation des

ondes lastiques et acoustiques dans des structures priodiques, avec des proprits lastiques

diffrentes; cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux phononiques.

Le point de dpart de ces cristaux phononiques, postrieur lapparition des cristaux

photoniques synthtiques, peut tre fix vers 1993. A cette date M. S. Kushwaha [30] publie

un article prsentant le calcul de la structure de bandes dun matriau composite priodique

bidimensionnel, dont le diagramme de bande est reproduit sur la figure I.9. Ce matriau est

constitu par des cylindres daluminium insrs dans une matrice de nickel. Il prsente unebande interdite absolue, c'est--dire capable de bloquer la propagation des ondes incidentes

quelque soit leur direction.

Figure I.9Structure de bandes pour un cristal phononique parfait consistant en un

arrangement de tiges d'aluminium dans une matrice de nickel

Bien aprs, ltude des structures priodiques bandes interdites phononiques fait lobjet

dun domaine de recherche dactualit en plein dveloppement. Les proprits des ces bandes

interdites ont t tudies thoriquement et exprimentalement. En effet, la premire

dmonstration exprimentale dune bande interdite dans le domaine de lacoustique audible a

t effectue sur une structure objectivement non prvue pour cela, puisquil sagit dune

sculpture minimaliste de lartiste Eusebio Sempere [7] (la description de lexprience sera

dcrite dans le paragraphe imminent).


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La mise en vidence des proprits lies la priodicit du matriau prsente un intrt

certain d'un point de vue purement fondamental, les possibilits d'applications des cristaux

phononiques justifient plus encore leur tude: structures antivibratoires ou encore

transducteurs figurent parmi les premiers systmes voqus. D'autres applications videntes

sont rapidement envisages: systmes d'isolation phonique [8,9], structures antisismiques

[32], filtrage et traitement du signal acoustique, etc.

Dun point de vue exprimental, les cristaux phononiques bnficient en revanche d'un

avantage considrable par rapport leurs homologues optiques. Cet avantage apparat tout

dabord la fabrication : la structuration a lieu des chelles macroscopiques, en rapport avec

la longueur donde attnue (les ondes lastiques existent en effet sur une trs large gamme de

frquence s'tendant du Hertz, dans le cas des ondes sismiques, au giga Hertz, comme dans

les rseaux de tlcommunication sans fil [7]), donc aisment contrlable. Ensuite, du point

de vue de la mesure, les acousticiens ont leur disposition lamplitude et la phase grce aux

transducteurs pizolectriques, tandis que les dtecteurs optiques sont intrinsquement limits

la mesure de lintensit du champ. Enfin, les paramtres mis en jeu dans lapparition des

bandes interdites sont beaucoup plus riches en acoustique quen optique [33].

Une nouvelle forme des cristaux phononiques, structures priodiques constitues de

matriaux pizolectriques ou pizomagntiques vient de se raliser. Il convient de noter que

la propagation des ondes lastiques/acoustiques, et lectromagntiques dans ces systmes a

t tudie rcemment. En outre, les cristaux phononiques composs de matriaux intelligents

(par exemple, pizolectrique, pizomagntique, ferrolectrique, pyrolectrique,,,) ont t

tudis en profondeur, toutefois, la pluparts des tudes sont principalement axes sur les

structures unidimensionnelles et bidimensionnelles, les cristaux phononiques

tridimensionnelles reoivent moins dattention [34].

Ces types de cristaux phononiques sont largement utiliss en imagerie mdicale,

transducteurs ultrason, et dans les capteurs navals. Combinant par exemple une cramique et

un polymre passif afin de concevoir des capteurs ultrasons, ce procd offre des avantages

substantiels, la nouveaut rsultante ne rside pas dans les constituants mais dans la faon

dont ils sont assembls (structure priodique) pour produire des matriaux avec des proprits

adaptes chaque demande spcifique [35].


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Depuis, de nombreux composites pertinents ont t proposs. Dans le domaine acoustique

les cristaux phononiques sont qualifis comme cristaux soniques, ultrasoniques et

hypersoniques, selon la frquence de fonctionnement. Chaque classe mne diffrentes

applications et comporte diffrentes approches technologiques. Lobjectif tant dans un

premier temps de concevoir des cristaux soniques capables d'attnuer les ondes acoustiques

dans les frquences audibles [38]. Ces dernires s'tendent de 20 Hz 20 kHz. Les cristaux

phononiques se doivent de prsenter des dimensions au-del du mtre, ce qui limite

grandement les possibilits de mise en place d'un tel systme antibruit. Par ailleurs, dans

le rgime ultrasonique (20 kHz - 1GHz) dont les longueurs d'onde beaucoup plus courte

que dans le rgime sonique et puis les cristaux phononiques sont galement beaucoup plus

faibles(de quelques centimtres des fractions de millimtres).

Dans la gamme hypersonique (> 1 GHz) les longueurs d'ondes sont plus courtes

que celles du rgime ultrasonique. Le comportement des phonons hypersonique est crucial

pour de nombreux phnomnes physiques dans les matriaux, titre d'exemple, l'interaction

entre les lectrons et les phonons haute frquence et linteraction acousto-optique.

D'autres structures susceptibles d'attnuer largement les ondes lastiques ont t

rapportes par l'quipe de Zhengyou Liu l'universit de Hong Kong [7,39]. L'ide estd'introduire localement des diffuseurs rsonants qui permettent au matriau de prsenter des

constantes lastiques ngatives dans une gamme de frquences bien dfinie. Une rotation de

45 degrs de tous les diffuseurs dun cristal de maille carre permet douvrir une large bande

interdite. Avec une telle technique, il devient possible de commander distance le filtrage

dun faisceau sonore.

Les cristaux bande interdite totale sont galement de bons candidats pour la ralisation

de guides dondes : il est dsormais possible de modifier la direction dun faisceau sonore

grce des guides en forme de L [33, 40, 41]. Dautres types darrangements des cristaux

ont galement t conus, ils permettent de modifier la direction de propagation sans requrir

de bande interdite totale [33,42].

Lintgralit de ces dmonstrations thoriques et exprimentales a conduit une croissance

considrable et incontestable de beaucoup de travaux ddis aux cristaux phononiques,

engouement qui n'a cess de crotre l'heure actuelle comme l'illustre la figure I.10 [36].


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Figure I.10volution du nombre de publications ayant trait aux matriaux bandes interditeslastiques de 1988 aot 2006 [36].

I.4.3 Exprience sur la sculpture de Sempere

En 1995, Rosa Martinez-Sala, et ses collgues (J. Sancho, J. Sanchez, V. V. Gomez, J. J.

Llinares, F. Meseguer) de l'universit de Valence ont en effet employ comme objet de travail

une sculpture minimaliste de l'artiste espagnol Eusebio Sempere expose dans les jardins de la

Juan March Fundation Madrid [7] (figure I.11) ont dtermin exprimentalement lesproprits de filtrage sonore, en disposant des microphones autour de la sculpture constitue

de cylindres en acier de 2,9 cm de diamtre disposs selon un rseau carr de 10 cm de

paramtre de maille.

Figure I.11Sculpture minimaliste de lartiste Eusebio Semper [7].


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Leurs mesures ont montr l'attnuation du signal transmis dans une fine gamme de

frquence autour de 2 kHz. Lattnuation rside dans les interfrences entre les multiples

ondes diffuses par les tubes d'acier. Du fait de la disposition priodique de ces tubes, ces

interfrences peuvent tre constructives ou destructives suivant la frquence des ondes. Dans

le cas o les interfrences sont destructives, on parle de bande interdite car les ondes

acoustiques sont rapidement attnues la traverse du cristal phononique. Des tudes

thoriques postrieure [7, 33, 37] montrent quil ne sagit pas de bandes interdites totales,

mais plutt de pseudo-gaps (bande interdite directionnelles) car lattnuation introduite par la

structure dpend de la direction du vecteur donde incident.

I.4.4 Notion de bande interdite

La propagation des ondes mcaniques dans un milieu est gnralement dcrite par une

relation de dispersion entre frquence et vecteur d'onde k. Le mcanisme rgissant la

constitution de bande interdite est bas sur les rflexions de Bragg en raison de la priodicit

du cristal.

En gnral, la rgularit de l'agencement des lments de dispersion des cristaux

phononiques donne lieu des rflexions de Bragg l'intrieur du cristal. La notion de bande

interdite peut tre comprise en reprsentant les interfrences des ondes multiplement diffuses

dans le cristal phononique. L'interfrence constructive ou destructive des ondes cre des

gammes de frquences pour lesquelles les ondes peuvent se propager travers le cristal ou

sont bloques par le cristal.

Un cristal phononique unidimensionnel est un composite stratifi obtenu en empilant en

alternance des couches de matriaux de caractristiques physiques diffrentes. Dans ces

structures unidimensionnelles, lensemble des diffuseurs est rparti de faon priodique, les

ondes sont trs fortement diffuses d'un obstacle l'autre. Elles interfrent de faonconstructive ou destructive suivant la frquence de l'onde incidente. Une bande interdite

apparat quand les ondes diffuses interfrent destructivement dans une direction de

propagation de londe incidente donne de sorte que leur rsultante dcroisse lors de la

traverse du cristal phononique.

Un cristal unidimensionnel n'a pas de bande interdite complte parce que ses proprits

lastiques sont priodiques dans une direction. Lorsque le vecteur d'onde se forme


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perpendiculairement la direction de propagation, il ne sera pas traduit, alors il n'y aura pas

de bande interdite dans cette direction.

Dans une structure bidimensionnelle et tridimensionnelle, en revanche, il est possible

dobtenir des bandes interdites absolues ou omnidirectionnelles, cest- dire quune onde defrquence appartenant une telle bande interdite ne peut pas se propager, quelque soit son

angle dincidence. On peut ainsi montrer quun rseau cubique faces centres (c.f.c.) de

bulles dair dans de leau prsente une ou plusieurs bandes interdites absolues, condition que

les sphres occupent au moins 10 % du volume total du composite. De mme, en plaant dans

lair des cubes dacier de taille adquate aux diffrents nuds dun rseau (c.f.c.), on peut

aussi obtenir une bande interdite dans les trois directions [2].

I.4.5 cartement du gap phononique

Comme nous lavons indiqu dans les sections antcdentes, les ondes lastiques ou

acoustiques se propagent dans les structures priodiques souvent appels cristaux

phononiques [6]. Ces derniers sont composs dun milieu lastique, par exemple, rseau

priodique de cylindres dans un systme bidimensionnel insrs dans une matrice de proprit

lastique diffrente [43]. Bien que, ces structures ninterdisent la propagation des ondes

acoustiques / lastiques que dans le plan du rseau et non dans lespace, elles sont desstructures bandes interdites phononiques. Elles se prtent plus aisment la ralisation de

guides dondes et de filtres acoustiques [44].

Cependant, lcartement de la bande interdite phononique dpend fortement de la

symtrie et de la forme du diffuseur ainsi que de son orientation. Cette dpendance est une

caractristique commune aux cristaux phononiques et photoniques. Leffet de la forme et de

la symtrie des diffuseurs sur le gap phononique dun cristal phononique bidimensionnel a t

tudi rcemment par Kuang [43]. Par ailleurs, les cristaux phononiques peuvent tre

faonns dans plusieurs rseaux principalement, hexagonaux, triangulaires et carrs ; les

diffuseurs prennent des formes multiples notamment hexagones, cercles, triangles et carrs,

telle que le montre la figure I.12.

Nanmoins, pour une symtrie donne du rseau, lcart de la bande interdite phononique

apparait et mme plus large lorsque la forme et lorientation des diffuseurs correspondaient

celles du rseau, c'est--dire des diffuseurs de forme hexagonale insrs dans un rseau


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hexagonal, des diffuseurs de forme carre incrs dans uns rseau carr, des diffuseurs de

forme rectangulaire incrs dans un rseau rectangulaireetc [43].

Figure I.12Modles des cristaux phononiques bass sur les diffrents types derseaux couplant les diffrentes formes de diffuseurs : (a, b, c et d) rseauxcarrs de paramtre a ;(e, f, g et h) rseaux rectangulaire de paramtres L1 etL2 ; (i, j, k, et l) rseaux triangulaire de paramtre a. en (a, b, c) les diffuseurssous forme de cercle de rayon r0 ;en (b, f, j) hexagone rgulire de longueurlatral b ; en (c, j, k) carr ; en (d, h, l) rectangle de longueur l 1et l2.

De plus, pour une forme donne de diffuseur, le gap se manifeste galement plus large et

ceci lorsque le rseau a la plus grande coordination, car la symtrie du cristal nest pas rduite

par les diffuseurs, ce moment le gap phononique peut tre contrl en ajustant lorientationet la taille des diffuseurs [43]. cet effet, des tudes ont t effectues dans le but de voir

linfluence de certains paramtres structurels des tiges (inclusions) et de la matrice en

particulier la densit de masse sur la bande interdite phononique, alors deux classes de

cristaux phononiques se prsentent ; ceux avec des tiges de haute densit insrs dans une

matrice de faible densit, et ceux avec des tiges de faible densit noyes dans une matrice de

haute densit.Par consquent lcartement du gap phononique apparait plus notable dans les

structures contenant des diffuseurs de haute densit noys dans une matrice de faible densit ;

ce qui nest pas le cas dans la seconde classe dont le gap apparait plus troit.

Les paramtres rgissant les cristaux phononiques bidimensionnels ont fait lobjet

dtudes approfondies ; Economou, Sigalas, Kushwaha et Halevi [33, 45,46] tablissent

quelques rgles de base pour le dimensionnement de structures bidimensionnelles bandes

interdites compltes. Les paramtres ayant une influence significative sont la topologie du

rseau, le contraste de vitesse et de densit et la fraction volumique des inclusions.


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La topologie cermet, constitue de diffuseurs isols, semble gnralement prfrable la

topologie rseau, dans laquelle les diffuseurs sont interconnects. Diminuer la symtrie de la

maille semble gnralement fournir de bons rsultats : un arrangement cubique faces

centres est a priori plus favorable quun arrangement cubique simple ou centr. En ce qui

concerne les composites solide-solide, un contraste de densit important est crucial pour

lapparition de bandes interdites totales. Plus spcifiquement, des diffuseurs de forte densit

dans une matrice de faible densit semblent favorables, alors que cest loppos pour les

composites liquide-liquide. Quant la fraction volumique optimale dapparition dune large

bande interdite absolue (dfinie par le rapport de sa largeur sur sa frquence centrale), stend

de 10 50 %, et dpend fortement des autres paramtres [2].

I.4.6 Guidage et filtres slectifs

Il est possible de raliser des guides dondes et des filtres en frquences trs slectifs en

modifiant localement la structure priodique du cristal bidimensionnel (2D). Ainsi, en

enlevant une ou plusieurs ranges de cylindres dans une structure bidimensionnelles 2D, on

cre un guide creux (figureI.13a) permettant la propagation pratiquement sans perte dondes

de frquence appartenant la bande interdite du cristal parfait [2]. De plus, en enlevant dans

la direction perpendiculaire ce guide creux un ou plusieurs cylindres, on donne naissance

un rsonateur de taille finie (figure I.13b) qui a pour effet dempcher la transmission de

certaines frquences. Ces zros de transmission peuvent aussi tre obtenus en crant des

cavits au voisinage du guide (figureI.13c). Des gomtries de guide plus complexes peuvent

tre envisages. Par exemple, en enlevant des cylindres dans deux directions perpendiculaires,

on cre un guide coud en forme de L (figureI.13d), cependant une onde de frquence

bien dtermine peut se propager en suivant la forme coude du guide [2].

Figure I.13 Diffrentes gomtries de guides donde et de filtres obtenues partir duncristal phononique deux dimensions : (a) guide linaire, (b) rsonateur, (c) cavit cre au

voisinage du guide linaire, (d) guide coud. La flche indique la direction de propagation dufaisceau donde incident.


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l'gard de filtre slectif, cela consiste changer la nature dune range de cylindres

dans le cristal phononique bidimensionnel (2D). Ltude a montr quun systme composite

mixte form dun rseau carr de barreaux dacier insrs dans de leau ; une range de

barreaux a t remplace par des cylindres creux dont le volume intrieur est aussi rempli

deau et de mme diamtre extrieur (figureI.14) [2]. Le signal se propageant dans le cristal

phononique perturb a t normalis par le signal se propageant dans un mme volume deau.

Ainsi donc il rsulte de cette normalisation des transmissions lgrement suprieures lunit.

Le cristal phononique parfait prsente une bande interdite allant de 105 210 kHz et il

apparat pour une frquence de 148 kHz un pic de transmission situ lintrieur de la bande.

Le dfaut rectiligne insr dans la structure parfaite a donn naissance au pic de

transmission, un filtre frquentiel slectif a t ainsi obtenu. Cette proprit peut tre utilisepour sparer partir dun signal incident une large bande de frquences spcifiques. Il suffit

pour cela de remplacer dans la structure parfaite plusieurs ranges de cylindres par des tubes

de diamtres intrieurs diffrents [44,47].

Figure I.14 Systmes composites mixtes forms dun rseau carr de barreaux dacier insrsdans de leau ; une range de barreaux a t remplace par des cylindres creux dont le volumeintrieur est aussi rempli deau et de mme diamtre extrieur. La flche indique la direction

de propagation du faisceau donde incident.

I.4.7 Comparaison entre les cristaux phononiques et photoniques

Les cristaux phononiques tels quils sont dfinies auparavant, sont des structures

priodiques. Cependant, il y a de fortes analogies entre la propagation des lectrons dans les

cristaux ordinaires et les ondes lectromagntiques et lastiques dans les cristaux photoniques

et phononiques respectivement. Les proprits fondamentales rgissant la propagation des

ondes lectroniques, lectromagntiques et lastiques dans les structures priodiques

tridimensionnelles isotropes sont rsumes sur le tableau I.1 [48].


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~ 26 ~

proprits Cristal lectronique Cristalphotonique Cristalphononique

Matriaux

Cristallin (naturel ou

obtenu parcroissance)

Compos de deux

matriauxdilectriques.

Compos de deux matriaux

lastiques.

ParamtresConstantes

universelles nombresatomiques

Constantesdilectriques des

constituants.

Densits, vitesse du sondans les constituants

Constantes demaille

1-5 (microscopique)0.1m -1cm

(msoscopiques oumacroscopiques)

msoscopiques oumacroscopiques

Ondes De Broglie(lectron)

lectromagntiquesou lumineuses(photon) E.B

Vibration ou sonores(phonon) u

Polarisation Spin (haut et bas)Transversale :. 0

.

Trans. Longit :.

quationdiffrentielle

c

milieu isotrope

Particuleslibres

(electron)

(photons) (phonons)

Bandesinterdite

Augmente avec lepotentiel dans lecristal ; pas dtat

lectronique possible.

Augmente avec ; pas

de photons, pas de

lumire.

Augmente avec ;pas de vibration, pas de son

Gammespectrale

Ondes radio, micro-ondes, optiques,rayons X

Micro-ondes,optique

Tableau I.1Proprits cls pour ltude des structures de bandes dans les matriauxtridimensionnels isotropes.


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~ 27 ~

Bien que la structure de bandes phononiques dun cristal gap phononique est analogue

la structure de bande dun cristal gap photonique, celle-ci est aussi analogue la structure de

bande lectronique dun semi-conducteur. Le concept de bandes interdites dvelopp

initialement dans le cadre de la thorie lectronique des solides peut tre tendu dautres

types dondes se propageant dans les matriaux composites.

La propagation des ondes lectromagntiques et/ou lastiques acoustiques dans les

matriaux composites a fait lobjet dune attention particulire. Ces derniers en loccurrence

les cristaux photoniques et phononiques respectivement, existent naturellement, ou sont

fabriqus artificiellement. Ils montrent une grande varit dintrt de proprits physiques,

la fois sur le plan de la recherche fondamentale et celui de la recherche applique.

Les cristaux phononiques ont des proprits qui concordent avec celles des cristaux

photoniques, toute fois il existe une certaine nuance entre eux. Les cristaux photoniques

peuvent tre caractriss par deux paramtres indpendants, savoir le rapport de la fonction

dilectrique et la fraction volumique occupe par un de ces composants ; tandis que pour les

cristaux phononiques plusieurs paramtres peuvent dterminer la propagation des ondes, tels

que : le rapport des vitesses transversales et longitudinales, la densit, la fraction

volumiqueetc. [49]. Dans les deux cas la propagation des ondes dpend de la structure.

En outre, ces dernires annes, il a t dmontr que les cristaux photoniques sous

certaines conditions, se comportent comme des matriaux indice de rfraction ngatif et que

ces types de matriaux peuvent tre utiliss dans la fabrication de super lentilles. En parallle,

de fortes rsonances apparaissent des faibles frquences et ceci ouvre la possibilit de

produire des lentilles phoniques [49].


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CHAPITRE. II MTHODES DE RSOLUTION

~ 28 ~

CHAPITRE II

METHODES DE RESOLUTION DES EQUATIONS

DE PROPAGATION DES ONDES ELASTIQUES

II.1. Introduction

Lide quun matriau composite constitu de rseaux priodiques dinclusions une,

deux ou trois dimensions peut agir fortement sur la propagation des ondes lastiques ou

acoustiques nest pas ancienne. Cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux

phononiques comme nous lavons dj voqu dans le chapitre prcdent. Ceci en fait un

domaine de recherche dbullition exponentielle et en volution permanente.

Aujourdhui, la communaut scientifique dispose de nombreuses mthodes numriques

efficaces pour simuler la propagation des ondes lastiques ou acoustiques au sein des cristaux

phononiques telles que : la mthode de diffusion multiple (multiple scattering method)

(MSM) [50], la mthode de la masse condense (lumped mass method) (LMM) [51], la

mthode des petites ondelettes (wavelet based method) (WBM) [52], la mthode matrice de

transfert (transfer matrix method) (TMM) [53,54], la mthode variationnelle (variational

method) (VM) [55], la thorie dadaptation des modes propres (Eigen-mode matching theory)(EMMT) [56] , la mthode des lments finis (finite element method) (FEM) [57] incluant la

mthode de dveloppement en ondes planes (plane wave) (PW) [48,58-60], et la mthode des

diffrences finies dans le domaine temporel (finite difference time-domain method) (FDTD)

[61-63].

Toutes ces mthodes ont t dveloppes pour dterminer les structures des bandes

lectroniques ; elles sont tendues pour calculer celles des cristaux photoniques etphononiques, en particulier celles des cristaux phononiques bidimensionnels.


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~ 29 ~

II.2. Mthode des lments finis

La mthode des lments finis (FEM) est une mthode numrique adapte la rsolution

des quations aux drives partielles, elle est base sur la description gomtrique de la

structure sous forme dun maillage.

Dans le cadre de ce modle, le cristal phononique est considr comme un arrangement

priodique infini dans les directions X et Y. Le domaine est ensuite fragment en cellules

lmentaires indexes par la paire d'entiers (m, p), chacune tant compose d'un trou unique

entour du matriau constitutif de la matrice. Cette cellule lmentaire est ensuite divise en

lments connects par des nuds. On excite alors la structure complte avec une onde plane,

caractrise par un vecteur d'onde rel k [7]. La mthode des lments finis est capable de

simuler des structures phononiques de dimension finie ou infinie avec ou sans dfauts. Cette

mthode a connu un dveloppement prodigieux mais elle ncessite de grands espaces

mmoires pour des structures gomtrie complexe.

II.3. Mthode de diffusion multiple

La mthode de diffusion multiple (MSM) dcoula de la mthode Korring- Kohn-

Rostoker (KKR) [15,35, 50], dveloppe initialement pour le calcul de la structurelectronique des solides. Le succs de cette mthode rside dans le calcul des structures de

bandes lectroniques et lectromagntiques. Son application a t tendue des problmes

acoustiques ou lastiques, pour calculer les structures de bande phononique. Elle est

galement susceptible de calculer la transmission de ces ondes dans les matriaux composites

structure priodiques et alatoires ; ce qui nest pas le cas pour la mthode de

dveloppement en ondes planes, alors que la MSM semble tre numriquement efficace.

Dans un systme priodique ou alatoire form de tiges (diffuseurs), par exemple,

parallles une direction donne, de section quelconque (circulaire, carr, rectangulaire,

elliptique) insres dans une matrice, londe incidente sur chaque diffuseur est la somme

des ondes diffuses par tous les autres diffuseurs. Dou lappellation diffusion multiple.

Dans ce qui suit nous dtaillons les mthodes sur lesquelles sappuiera notre travail,

ventuellement la mthode de dveloppement en ondes planes (PWE) et la mthode des

diffrences finies dans le domaine temporel (FDTD).


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~ 30 ~

II.4- Mthode de dveloppement en ondes planes

II.4.1- Introduction la mthode

La Mthode de dveloppement en ondes planes(ou PWE Plane Wave Expansion),introduite en acoustique par Economou en 1993 [33], permet de calculer rapidement les

relations de dispersion des cristaux phononiques parfaits. A lorigine, cette mthode vient du

monde de la physique des solides, puisquelle est inspire de la mthode dite Augmented

Plane Wave Method (APW), qui a rencontr un grand succs pour les calculs de structures de

bandes [33]. Son principe repose sur la dcomposition en sries de Fourier des coefficients

lastiques du milieu htrogne, combine lutilisation du thorme de Floquet-Bloch [33].

II.4.2 Description de la mthode

Dans un solide homogne et isotrope le champ de dplacement ou vecteur de

dplacement lastique dpend du temps tet de la position , il peut se dcomposer sous laforme [2]:

, (II.1)

est la composante longitudinale c'est--dire parallle la direction de propagation delonde et la composante transversale ou perpendiculaire cette direction. A chaquecomposante et est associ une vitesse longitudinale et transversalerespectivement. Un solide homogne et isotrope peut tre alors caractris par sa densit etpar les deux vitesses .

Par ailleurs, un milieu inhomogne infini, dont les constituants sont des matriaux solides

supposs lastiquement isotropes. En tout point , ce milieu est caractris par la densit et par les deux constantes lastiques et . Le vecteur de dplacement lastique ,associ la propagation de londe lastique satisfait lquation suivante [2]:

2. , (II.2)avec 1,2,3, la composante de selon les axes du repre cartsien (O, X, Y, Z).


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~ 31 ~

En lasticit, pour un solide homogne et isotrope, les constantes lastiques et sont dfinies par les relations suivantes :

, (II.3) . (II.4)

Ces deux constantes ont la dimension dune pression, de mme pour un milieu

inhomogne, les constantes lastiques et sont donnes pars les expressionssuivantes, [43]:

, (II.5)

. (II.6)En remplaant les quations (II.5) et (II.6) dans lquation (II.2), cette dernire devient :

,

2. . (II.7)

Sont respectivement les vitesses longitudinale et transversale et dsigne la densit.Dans un cristal phononique infiniment tendu, les fonctions , sontinvariantes par translation dun vecteur du rseau direct. Par consquent, leurs transformes

de Fourier sur les vecteurs G du rseau rciproque, sont donnes par [43]:

, (II.8a)

, (II.8b)

. (II.8c)Lanalogie entre lquation de propagation (II.7) et lquation de Schrdinger [33,48],

nous permet dappliquer ici le thorme de Floquet-Bloch. Les solutions de lquation de

propagation dans un cristal phononique infini prennent donc la forme dondes planes (de

vecteur de BlochK), modules en amplitude par une fonction (r) respectant la priodicit du

cristal. Cette fonction peut elle aussi scrire comme une srie de Fourier sur les vecteurs G

du rseau rciproque :


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~ 32 ~

, exp. exp. . (II.9)wtant la frquence de londe.

En substituant les expressions (II.8a), (II.8b), (II.8c) et(II.9) dans lquation (II.7),

lquation du mouvement scrit :

. . 2 . 0. (II.10)

Si nous permettons G de prendre tout les points du rseau rciproque alors l'quation

(II.10) est un ensemble infini d'quations linaires pour les vecteurs propres . Pour unevaleur donne du vecteur de Bloch Kcet ensemble d'quations a des solutions pour certaines

valeurs propres o n = 1.2..En tenant compte de lhypothse que le cristal phononique en question est constitu de

deux matriaux diffrents nots aet b, chaque maille lmentaire est compose seulement de

ces deux matriaux. Les matriaux a et b sont caractriss par leurs constantes lastiques

respectivement : , , , , et . De plus les coefficients de remplissage desmatriaux a etbsont notsfet (f-1) respectivement.

En revanche, les coefficients de Fourier de lquation (II.8a) prennent une formeparticulirement simple, et sexpriment comme suite :

.. (II.11)Lintgration seffectue sur toute la cellule lmentaire,Vctant son volume, dans le cas

dun cristal bidimensionnel, que nous traiterons plus tard dans le chapitre suivant, estremplac par et le volume Vc remplac par laire de la cellule lmentaireAc.

Pour un vecteur donde du rseau rciproque nul (G = 0), lquation (II.11) donne

simplement la densit moyenne, par consquent :

0 1 . (II.12)Pour G 0, nous pouvons crire :

. .. (II.13)


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~ 33 ~

La premire intgration de lquation (II.13) couvre le matriau a, tandis que la seconde

couvre le matriau b, alors nous pouvons crire lquation (II.11) sous la forme suivante :

. .. (II.14)Le deuxime terme de lquation (II.14) correspond la fonction de structure note :

.. (II.15)Finalement, nous avons :

1 , 0, , 0. (II.16)

De faon similaire les quations (II.8b) et (II.8c) donnent :

1 , 0 , , 0, (II.17)

1 , 0, , 0. (II.18)

Finalement, si nous galons le terme G G dans la sommation de lquation (II.10), celle-

ci peut tre rcrite comme ceci :

| | . . . 2 . . 0 (II.19)

La relation de dispersion sobtient donc en rsolvant lquation ci-dessus pourchaque vecteur de Bloch K. Toutefois la rsolution dune telle quation est complique. La

difficult rside dans linsparabilit des diffrents modes de vibration.

De nombreuses mthodes de calcul ont t mises en uvre afin de permettre le

dimensionnement ou la prdiction du comportement des ondes lastiques au cours de leur

propagation dans des cristaux phononiques. Aprs avoir rappel la mthode de

dveloppement en ondes planes, nous nous attachons ici donner quelques rappels sur la

mthode des diffrences finies, communment dsigne par l'acronyme anglais FDTD (Finite

Difference Time Domain), qui a t largement employe pour le traitement thorique de cescristaux phononiques.


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~ 34 ~

II.5 -La mthode des diffrences finies dans le domaine temporel

II.5.1 -Introduction la mthode FDTD

La mthode des diffrences finies permet une rsolution numrique rigoureuse des

quations de Maxwell pour les ondes lectromagntiques dans les cristaux photoniques. Les

champs lectrique et magntique sont chantillonns dans le domaine de calcul en utilisant le

maillage de Yee [7] de faon pouvoir appliquer un schma de diffrences finies centres.

Elle a t introduite pour les cristaux phononiques par Sigalas et Garcia, [7] pour pallier aux

problmes de convergence numrique initialement rencontrs lors du calcul de diagrammes de

bandes pour des systmes mixtes (inclusions liquides dans une matrice solide ou inversement)

par la mthode de dcomposition en ondes planes [18].

La FDTD prsente un avantage considrable par rapport sa consur permettre de

modliser une onde incidente sur un cristal phononique que l'on peut spcifier comme tant de

dimension finie, sous la forme de paquets d'ondes, rsultant en un systme d'excitation plus

proche de l'exprience qu'un modle d'ondes planes. Cette mthode a t pralablement

exploite pour la simulation de matriaux priodiquement structurs, en particulier pour les

cristaux photoniques, l'image des travaux de Chan et al. [64] ou encore de Fan et al. [65].

Le principe consiste de faon trs sommaire discrtiser dans le domaine spatial comme

temporel les quations constitutives du problme ; fixer des conditions aux limites adaptes

et calculer de manire explicite l'volution dans le domaine temporel dune grandeur

physique, considrer par exemple le champ lectrique ou magntique dans le cas d'un cristal

photonique, ou le champ de dplacement ou de vitesse dans celui d'un cristal phononique.

II.5.2-Description de la mthodeLquation de propagation des ondes lastiques dans un solide inhomogne et isotrope est

donne par lquation(II.7).

1

.

Cette quation peut tre reformule sous une forme condense comme suit [31,51] :

, (II.20)


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~ 35 ~

avec 2 , (II.21.a)

/2. (II.21.b)

Dans les expressions ci-dessus :

: reprsente la iieme

composante du vecteur du dplacement lastique u(r).: Le tenseur de dformation: Le tenseur de contrainte,sont les coefficients de Lam, est la densit massique., sont relies aux vitesses de propagations des ondes lastiques dans le milieuconsidr par les relations suivantes :

, (II.23) 2 . (II.24)

sont les vitesses longitudinale et transversale respectivement.Nous traitons ici le cas dun cristal phononique bidimensionnels infini dans une direction

donne par exemple suivant Z. Pour un tel systme, il existe une symtrie de translation le

long de laxe Z, et les coefficients ,et ne dpendent pas de Z. Lquation depropagation de londe pour la composante z est alors dcouple des quations dondes pour

les composantesxety. Les quations dcrivant les composantesxetyscrivent [35,61] :

, (II.25)

, (II.26)

avec, 2 , (II.27) 2 , (II.28)

. (II.29)Ces quations constituent la base de la mthode FDTD dans les systmes

bidimensionnels, lapplication de cette dernire consiste diviser le domaine de simulation en

subdomaines (grilles) avec des dimensions ,et les composantes du vecteurde dplacement lastique sont discrtises, dfinies comme suit :

, , ,,, (II.30) avec, , , 1 , 1 0.


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~ 36 ~

Figure II.1Grille FDTD bidimensionnelle.

Figure II.2Echantillonnage temporel.

Les quations (II.25) (II. 29) cites ci-dessus, leurs drives spatiales et temporelles

sont approximes par les diffrences finies telles que [35-61] :

Pour les drives spatiales, nous utilisons les diffrences centres (central differences) :

,,

, , , , , , , (II.31)

,,

, , , , , , . (II.32)

Pour les drives temporelles, nous utilisons les diffrences en avant et en arrire

(forward and backward differences) :

,, , ,, (II.33)


43/52


~ 37 ~

avec,

, , , , 1 , , , (II.34)

, , , , , , 1 . (II.35)

A partir de lquation (II.25), en utilisant lexpansion (i, j, k) et en suivant la procdure

dcrite plus haut nous obtenons :

, , 1 2 , , , , 1

, , ,

, ,

, , , , , (II.36)

De mme, partir de lquation (II.26), en faisant lexpansion (i+1/2, j+1/2, k), nous

obtenons :

, , 1 2 , , , , 1,

, 1, , , ,,

, , 1, ,,. (II.37)

II.5.3 Discrtisation du tenseur de contrainte

Les composantes du tenseur des contraintes , peuvent s'crire suivant lemme principe que nous avons dvelopp pour discrtiser le vecteur du dplacement lastique

et cela partir de lquation (II.21a). Leurs expressions aprs discrtisation sont donnes

par [35] :


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~ 38 ~

, , 2 , ,,,, ,

, ,,,, . (II.38)

, , 2 , ,,,, ,

, ,,,, . (II.39)

, 1, 2 , 1 ,,,, ,

, 1

,,,, .

(II.40)

, , 2 , ,,,, ,

, ,,,, . (II.41)

, , , ,,,, , ,,,, .(II.42)

, , , ,,,, , 12 12,12,12,12, . (II.43)

1, , 1, ,,,, ,

1, ,,,, . (II.44)

Ti,j

, k i,j

,,,,

i , j

,,,,

. (II.45)

La discrtisation prsente dans les quations prcdentes assure de manire prcise la

drive centrale du second degr pour la drive spatiale. Cependant, ceci a comme

consquence, les composantes du champ de dplacement ou vecteur de dplacement lastique

ont t centres dans les diffrents points de lespace, , pour et , pour . Pour calculer les composantes , , du champ du dplacement qui nesont pas enregistres en mmoire, nous utilisons lexpression suivante :


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~ 39 ~

u i , j , k u i 1, j 1 , k u i 1, j , k u i, j 1 , k u i, j , k/4.Les ltape k+1sont calcules partir de leur valeurs de ltape k.

II.5.3 Critre de stabilit.

Afin dassurer la stabilit des calculs, un critre de stabilit est utilis [35] :

0.5/ (II.46)

La vitesse c est plus leve que les vitesses des ondes lastiques des composs du

composite, et ,sont souvent choisis comme 1/ndu paramtre du rseau.

De plus, pour le calcule de la bande interdite (le gap phononique) dans les structures

priodiques dans le plan X-Y, il est plus commode de supposer quune distribution dun

champ initial satisfait au thorme de Bloch linstant t = 0 ; ce qui est compatible aux

conditions aux limites priodiques, celles-ci seront traites en dtail dans le chapitre suivant

lors du calcul de la relation de dispersion du cristal phononique. Les rsultats obtenus dans ledomaine temporel sont ensuite transforms dans le domaine de frquences par la

transformation de Fourrier [61, 66,67].

II.6 Organigrammes de calcul.


46/52


~ 40 ~

Figure II.3 Organigramme de calcul pour la PWE

Declare variables

Calculate the band structure along the firstBrillouin zone

Eigen the dynamic matrix

Sort band gap

Plot band gap

Start program

End


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Figure II.3 Organigramme de calcul pour la FDTD.

Dclaration des variables

Fentre de calcul FDTD

Application du thorme de Bloch et discrtisation desquations de mouvement

Application des conditions initiales

Application des conditions aux limites

Start program

End

Application de la transform de Fourrier et transformationen domaine frquentiel

Identification des valeurs propres partir du spectrefrquentiel


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CONCLUSION .

~ 65 ~

Conclusions

Lide quun matriau composite constitu de rseaux priodiques dinclusions une,deux ou trois dimensions pouvant agir fortement sur la propagation dondes lastiques ou

acoustiques est dactualit. Cette nouvelle classe de matriaux est qualifie de cristaux

phononiques. Ceux-ci ont fait un domaine de recherche dbullition exponentielle et en

volution permanente. Un grand nombre de structures priodiques a t tudi et des

approches thoriques varies ont t employes. Toutes ont mis en vidence lexistence de

proprits physiques telles que la prsence de bandes interdites correspondant une forte

attnuation des bandes passantes.

Le travail prsent dans ce mmoire, sinscrit dans le cadre dune contribution ltude

thorique lie la propagation dondes lastiques dans les cristaux phononiques

bidimensionnels. Dans ce travail, nous avons calcul les relations de dispersion dun cristal

phononique bidimensionnels, constitu de cylindres en Duralumin disposs suivant un rseau

carr ou triangulaire insrs dans une matrice dpoxy dans le cas dune polarisation

transversale. Et ce, en utilisant les deux mthodes sur lesquelles sest appuy notre travail, en

loccurrence la mthode dondes planes (PWE) et la mthode des diffrences finies dans le

domaine temporel (FDTD).

Dans un premier temps, nous avons effectu un rappel sur les structures priodiques en

passant par les cristaux photoniques, lmergence des cristaux phononiques et leurs

applications, par la suite nous avons dcris en dtail les deux mthodes cits plus haut.

Le deuxime volet de notre travail est ddi aux calculs des proprits physiques lies la

propagation dondes lastiques dans un cristal phononique (duralumin/poxy). Des calculs

numriques montrent lexistence de bandes interdites compltes indpendamment da la

direction de propagation, toutefois il existe des bandes interdites non absolues dpendantes de

la direction de propagation.

Les relations de dispersion ont t calcules en premier lieu en utilisant la mthode

FDTD, les rsultats obtenus en utilisant la mthode dondes planes (PWE) concident

parfaitement avec les rsultats obtenus en utilisant la premire mthode(FDTD).


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CONCLUSION .

~ 66 ~

La mthode de dveloppement en ondes planes permet de dterminer rapidement la

structure de bandes, cependant le reste du travail de ce mmoire a t effectu en utilisant

cette dernire, notamment pour ltude de linfluence des paramtres du systme sur les gaps.

Nous avons vu linfluence des paramtres du systme sur le gap, tel que leffet de la

structure sur la bande phononique ; deux types de structures ont t tudis, le rseau carr et

le rseau triangulaire. Dans ces deux cas de figure il existe des bandes interdites compltes

stendant sur toute la zone de Brillouin, indpendamment de la direction de propagation. Le

plus grand nombre de gaps apparait dans la structure triangulaire.

Par ailleurs, ltude a t tendue dautres paramtres tels que le paramtre de maille, le

rayon des cylindres et la fraction volumique. Linfluence de ces derniers sur les gaps se

traduit par lapparition de deux grandes larges bandes interdites. Elles stalent sur une large

gamme de paramtres influant et elles stendent du domaine sonique au domaine

ultrasonique et ce pour les deux cas de structure triangulaire et carre.

Enfin nous avons termin nos calculs par linfluence de la densit des cylindres sur le gap

et paralllement linfluence de la densit de la matrice. Dans le premier cas, pour des

cylindres de haute densit insrs dans une matrice de faible densit la largeur du gap a t

augment tandis que dans le cas des cylindres de faible densit insrs dans une matrice a

forte densit, la largeur du gap est trs troite, quasiment nul. Lcartement de la bande

interdite dpend de la structure darrangement des cylindres, de la fraction volumique et de la

densit du milieu. Les structures possdant ce type de bandes interdites peuvent avoir des

applications dans diffrents domaines tels que les transducteurs, les guides dondes ou encore

les filtres frquentiels haute slectivit.

Ce travail, limit au calcul de la bande interdite pour des structures carres et

triangulaires dans le cas dune polarisation transversale peut tre tendu dautres

configurations comme les structures hexagonales ; idem pour la forme des inclusions, dans le

cas dune polarisation mixte. Dautres tudes savrent ncessaires et porteront sur : ltude

des cristaux anisotropes et des cristaux pizolectriques qui sont largement utiliss en pratique

ainsi que sur ltude de la diffusion dondes lastiques lorsquon introduit des dfauts dans la

structure, tout cela entrent dans nos perspectives.


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ANNEXES

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ANNEXE

Zones de Brillouin

Cette annexe a pour but de fournir quelques dfinitions fondamentales ayant trait aux

rseaux priodiques et en particulier la notion de zone irrductible de Brillouin. Elle est

largement inspire d'ouvrages traitant de la physique des semi-conducteurs, auxquels nous

suggrons au lecteur de se reporter pour de plus amples dtails [18].

La cellule de Wigner-Seitz est une cellule primitive rendant compte de la symtrie

lmentaire de la maille du systme tudi. Elle possde donc la symtrie du rseau de

bravais. Dun point de vue gomtrique, sa construction s'effectue dans le rseau direct en

trois tapes, illustres sur la figure A.1 :

On dfinit un point origine dans la maille cristalline, partir duquel on vient tracer des

segments liant ce point ses voisins immdiats,

On trace ensuite les bissectrices ces lignes de construction,

Le plus petit polyhdre compris entre les dites bissectrices est la cellule de wigner-seitz du

cristal.

Figure. A.1 : Mthode de construction de la cellule de Wigner-Seitz.

La premire zone de Brillouin est l'quivalent direct de cette cellule de Wigner-Seitz pour

le rseau rciproque1. Le tableau A.1 montre les cellules de Wigner-Seitz pour les rseaux

cubiques centrs (CC) et cubique fac

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Propagation d Onde Elastiques Dans Les Cristaux Phononiques-3