Propriétés de Courbes et Surfaces

Marc Neveu

Vecteur Tangent

• courbe p(u). • pu :dérivée par rapport

à u

• En pi le vecteur tangent est pi

u

• vecteur tangent unitaire

• droite passant par pi // à ti : q = pi + a ti 

O

ti

a ti

pi

pi + a ti

tangente

ui

i ui

pt

p

Plan Normal

• Plan normal à p(u) au point pi : plan passant par pi et orthogonal à ti

• équation : (q-pi).ti = 0 q : point qcq du plan normal.

• (q-pi).piu = 0

• avec q = (x,y,z)

q

pi

ti

0

T ui i

ui i

ui

x x x

y y y

z z z

Normale principale

• dans le plan normal• pointe sur le centre de

courbure• Plan osculateur défini par

piu et pi

uu • Module de la projection

de piuu sur pi

u

• on construit le centre de courbure m orthogonal à pi

u

piu pi

u=piuu

piu+pi

u

l

m

piu

(piuu.pi

u)/|piu|

(piuu.pi

u).piu/|pi

u|2

piuu

ki=piuu-(pi

uu.piu).pi

u/|piu|2

O

ti

ni

.u

uu ii u

i

pp

p

Plan osculateur

• equation

ph

pi

pj

ti

ni

u uui i i

u uui i i

u uui i i

x-x x x

( 0 c'est à dire y-y 0

z-z

u uui i iq p p p y y

z z

Vecteur binormal , Plan rectifiant

• bi = ti ni

• Plan normale principale

• (r-pi).ni=0• r = pi + u.ti + v.bi

Plan normal

Plan osculateur

Plan rectifiant

b

tn

i ni

Courbure

i = 1/i 3

1u uui i

ui i

p p

p

i est le rayon de courbure

Points d’inflexion

0u uui ip p

Plan tangent

• Normale

• Plan tangent(q-p).(pu pv) = 0

n

pv

pu

q

u v

u v

p pn

p p

0

u v

u v

u v

X x x x

Y y y y

Z z z z

Courbure Normale• En p, on construit le plan tangent T, et une droite

qcq t passant par p dans ce plan • Tous les plans P coupant T et contenant t

coupent la surface famille de courbes paramétriques.

• Toutes ces courbes passent par p et ont t pour tangente en p .

• De plus le plan osculateur de n’importe laquelle de ces courbes est le plan P qui contient cette courbe.

• une infinité de courbes non planes de S, passant par p, de tangente t en p qui ont P comme plan osculateur.

• Elles ont toutes– le même centre de courbure,– le même rayon de courbure,– le même vecteur de courbure k,– la même normale principale.

• La courbe c dans le plan P est une des ces courbes.

T

P

t

S

dudv

kkn

n

pv

pu

q

Courbure Normale : kn : projection du vecteur de courbure k sur n : vecteur de courbure normale à la courbe de la surface en p kn= (k . n)n. La composante de k dans la direction de n est la courbure normale de c en p notée n ( n = k . n)

Courbure Principale

• Parmi tous les P possibles : ceux contenant n

• Quand on tourne P autour de n, la courbure n varie 2 valeurs minimale et

maximale : courbures normales principales notées 1 et2.

• kn= cte point ombilical. • courbures principales = solutions

de l’équation : • (EG-F2)2 – (EN+GL-2FM) + (LN-

M2) = 0

n

Courbure Principale

• Pour trouver les lignes de courbure principale:– soit h = du/dv.– (EG-F2)h2 – (EN+GL-2FM)h + (LN-M2) = 0 possède 2 racines (une maximum = une direction et une minimum = une direction )

=>directions de courbure principale.

• Formes fondamentales– première forme fondamentale : I = dp.dp= Edu2+Fdudv+Gdv2

– E = pu.pu, F = pu.pv, G = pv.pv (coefficients de la première forme fondamentale).

– seconde forme fondamentale  : II = -dp.dn = Ldu2+2Mdudv+Ndv2

– L = -pu.nu, M= -1/2(pu.nv+pv.nu), N= -pv.nv (coefficients de la seconde forme fondamentale).

– L = puu.n, M = puv.n , N = pvv.n

Courbure Gaussienne, moyenne

• On appelle courbure Gaussienne K :

• On appelle courbure moyenne H :

2

2

LN-MK= 1 2 =

EG-F

2

1 21 2

2 2( )

EN GL FMH

EG F

Et les maillages?• Seulement C0 ! => Approximation :

Surface résultante (courbure positive) découpe d'un secteur et recollement

découpe d'un segment et recollement d'un secteur Surface résultante (courbure négative)

Courbure discrète

• D’après le Theorema Egregium de Gauss

• Défaut angulaire : 2π-i