Propriétés Des Options Sur Actions

7/25/2019 Proprits Des Options Sur Actions

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Proprits des options sur actionsBornes suprieure et infrieure du premium / Parit call put

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Taux dintrt, capitalisation, actualisation Taux dintret compossDu point de vue de linvestisseur, le taux dintrt

est la rmunration dun placement, du point de vue de lemprunteur cest

le cot de lemprunt. Le principe du taux compos est le rinvestissement

des intrts acquis de priode priode.

ExempleUn investisseur place un capital N, rmunrer sur un intervalle

de temps[0, T], lintrtrest vers tous lesT/nunit de temps (priode),avecn 1 entier. Son capital au temps Test donn par

ST=N (1+ rT/n)n.

Taux dintrt continuSi la frquence de capitalisation devient trs grande

(par exemple les intrts sont verss tous les jours) on tend vers une ca-

pitalisation continue. Le taux de cette capitalisation continue est appel

taux continu. Formellement, lorsque lon fait tendre nvers linfini, pour un

certain taux r limn+(1+ r/n)n1= er1. Lavantage du taux continu

est quil permet de calculer des capitalisations ou des actualisations (voir

ci-dessous) sur des dures arbitraires. Ainsi la valeur au temps tnoteStdune sommeN investit sur une dure au taux continurest donne par

t

[0,] : St=

Ne

rt

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La capitalisationpermet de calculer la valeur dun certain placement dans le

futur.

Lactualisation, au contraire, donne la valeur aujourdhui dun flux (ou dune suite

de flux) qui sera vers dans le futur.

Valeur actualise, pour un taux dactualisation ra la valeur actuelle (ou actuali-

se)S dun versement A horizon est

S =A/(1+ ra)

si raest un taux actuariel compos. La valeur actuelle dpend donc du taux

actuariel choisit.

ExempleLa valeur actuelle de 1000 euros reu dans un an au taux actuariel

annuel (compos) de 3% est de S1 = 1000/(1+0, 03)= 970, 87.

En composition continue (taux dintret continue) on a

S =Aera.

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Pourquoi actualise-t-on ? Pourquoi doit-on actualiser les flux futurs pour calculer

leur valeur vue daujourdhui ?

Considrons un acteurs qui peut aussi bien emprunter que placer son argent

un certain tauxret qui souhaite valuer un certain flux futur, disons de nominal

Ndans n priode. Pour lui, il est quivalent de placer la somme N(1+ r)n etdattendre que les intrts se capitalisent (au bout de n priodes il a acquis un

capital deN) ou dacheter le produit qui verse ce flux N la date spcifi.

Il sensuit que le prix de ce produit, cest dire en fait la valeur aujourdhui

du flux N vers dans n priodes est ncessairement gale N(1+ r)n. Le

contraire serait une opportunit darbitrage quon suppose en gnral ne pasexister. Examinons ce qui se passerait dans ce cas.

Si le prix du produit tait suprieur N(1+r)n, notre acteur aurait toujoursintrt placer cette somme taux rau lieu dacheter le produit puisque

la fin il aurait le mme capital pour investissement initial moindre. En

supposant que le taux r est un taux gnral qui sapplique tous les ac-

teurs, aucun deux nachterait le produit ce prix et la loi de loffre et de

la demande ferait baisser les prix.

Un mcanisme symtrique empche des prix suprieurs.

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Les options europennes sur actions

Une actionest un Titre de proprit representant une fraction du capital duneentreprise et donnant son porteur le droit de vote aux assembles, le droit a

linformation et aux benefices (nomms dividendes).

Notation: on noteraSle cours de laction, le prix dexercice dune option sur ac-

tion (strike)K, le temps restant parcourir jusqu lchanceT. Le taux annuel

sans risquer.C la valeur dun Call europen, Pla valeur dun put europen.

Hypothses Nous supposerons que il ny pas de cots de transaction. Tous

les gains doprations (nets de pertes) font lobjet du mme taux dimposition.

Lemprunt et le placement sont possibles au taux dintrt sans risque unique r.

Nous supposons galement que les acteurs du march sont prts tirer profitde toute opportunit darbitrage ventuelle. Cela signifie que les opportunits

darbitrage disparaissent rapidement, et donc que de telles opportunits sont

absentes.

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Bornes suprieures sur options europenne

Une option dachatne peut jamais valoir plus que laction quelle permet dob-

tenir. Ainsi

CS0

,

si cette relations ntait pas vrifie, un arbitragiste pourrait facilement raliser

un profit sans risque en achetant laction et en vendant le call.

Une option de ventene peut jamais valoir plus que son strike K, ainsi

PK,

en fait on peut facilement amliorer cette borne : tant donn que nous traitons

des options europennes, loption maturit ne peut pas valoir plus que K et

donc sa valeur daujourdhui ne peut tre suprieure la valeur actuelle de K :

PKerT

.

Si cette ingalit ntait pas vrifier un arbitragiste pourrait raliser un profit

sans risque en vendant loption et en plaant la somme ainsi obtenue au taux

sans risque.

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Bornes infrieures sur options europenne (ne versant pas de dividendes).

Cas des CallOn va montrer que

CS0KerT.

On commence sur un

Exemple: On suppose que S0 = 20, K= 18, r= 10%et T= 1(1an), on a doncS0 Ke

rT= 3, 71. Supposons que la valeur du call soit de3. Un arbitragiste

peut acheter le call et vendre laction dcouvert et donc encaisser203= 17.

Ces17 sont investis 10% pendant un an et permettent dobtenir17 e0.1 =18.79. Ou bout dun an loption arrive chance si le cours de laction est

au dessus de 18, le trader exerce son option dnoue sa vente dcouvert et

encaisse un profit de 18.79-18=0.79. Dans le cas contraire il achte laction sur

le march dnoue sa vente dcouvert et fait un profit. Donner un exemple de

gain.Pour le cas gnral on considre 2 portefeuilles :

Portefeuille A : une option dachat europenne et un montant de liquidits gal

KerT

Portefeuille B : une action.

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Cas des PutOn va montrer que

P

Ke

rT

S0.

On commence sur un

ExempleOn suppose que S0 = 37, K= 40, r= 5% et T= 0, 5(6mois), on adonc KerTS0 = 2, 01. Considrons le cas ou la valeur du put est de1. Un

arbitragiste peut emprunter38pour 6 mois pour acheter la fois le put et laction

sous jacente. Au bout des 6 mois, il rembourse son emprunt dun montant gale38e0.050.5 = 38.96. Si le le cours de laction est infrieure 40il exerce son

option de vente rembourse son emprunt et donc encaisse4038, 96 = 1, 04.

Si par contre le cours de laction est suprieure 40 il nexerce pas son option

mais vend son action et fait un gain plus important. Donner un exemple.

Pour le cas gnral on considre les portefeuilles suivants :Portefeuille C : une option de vente europenne et une action sous-jacente,

Portefeuille D : un montant de liquidit gal KerT.

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Parit Call Put On peut maintenant montrer une relation importante liant Cet

P. On considre les portefeuilles suivants :

Portefeuille A : une option dachat europenne et un montant de liquidits gal

KerT,

Portefeuille C : une option de vente europenne et une action sous-jacente.

La valeur de ces deux portefeuilles au temps Tvaut max(ST, K). Puisque lesoptions sont europenne elles ne peuvent tre exerces avant la date dchance.

Les portefeuilles doivent par consquent avoir la mme valeur aujourdhui, do

C+KerT=P+S0.

Cette relation exprime le fait que la valeur dun call (put) europen, caractris

par un certain prix dexercice et une date dchance, peut tre dduite de la va-

leur dun put (call) europen dot des mmes caractristiques (prix dexercice,

date dchance, action sous jacente).

Remarque :La relation de parit est indpendante du modle du prix de

laction, elle ne permet pas de donner un prix aux options.

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Le modle une priode 2 tats possibles

On considre un modle de fluctuation dune action, dont le cours est notS

trs simple, il se rsume au graphe suivant :

S0

ST=S

ST=S+

oTest la date dchance de doption pour cette action. But : donner le prix dune option dachat europenne pour ce modle, et

dterminer un portefeuille de couverture. Pour cela on se place du point

de vue du vendeur de loption. Le vendeur va crer un portefeuille de

couverture :

Portefeuille t= 0 :X0 = +S0, et t= T :XT= erT+ST.

On veut que quelle que soit lvolution du march le vendeur soit couvert

par son portefeuille, ce qui scrit,

XT g(ST), og(ST)= (STK)+

.

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Lhypothse dabsence dopportunit darbitrage(on ne peut pas gagner

de largent sans prendre de risque), implique

XT= g(ST)

ainsi et vrifient le systme dquation suivant,

e

rT+S

+=

g(S+

),erT+S = g(S).

On en dduit la quantit dactif risqu et non-risqu et donc le portefeuille

couvrant parfaitement le risque endoss par le vendeur :

= (g(S+)g(S))/(S+S),

= 1/2erT

g(S+)+g(S) S++SS+S(g(S+)g(S))

.

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Rsum : au temps t = 0, lacheteur donne C= X0 =+ S0 au vendeur.

Au temps T, soit lactif vaut S+, et dans ce cas le vendeur donne g(S+) lacheteur, soit lactif vaut S et le vendeur donneg(S) lacheteur.Remarque

Le prix de loption et en particulier la composition du portefeuille de cou-verture(,)ne dpend pas de la probabilit que lactif Sprenne la valeurS+ ouS.

En fait le vendeur se couvre dans tous les cas de figures : la fois en

cas de hausse ou de baisse du prix de lactif. Le raisonnement que lon a

effectu ici est purement dterministe.

Notion de probabilit risque neutre :

On peut interprter le prix de loption comme lesprance de gain de son ache-

teur, non pas sous la probabilit relle qui nintervient pas dans la formule de

prix mais sous une autre probabilit,la probabilit risque neutre. Cette proba-

bilit (dans le cas de notre exemple avec une option dachat europenne), estdfinie de la faon suivante :

P [ST=S

+]=erTS0S

S+S p, P [ST=S

]= 1p.

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