théorie des options MEFI

Théorie des options

F. Wellers

Plan du cours

0. Philosophie et structure du cours

1. Introduction aux produits dérivés

2. Introduction aux options

3. Les modèles de pricing par arbre

4. Le modèle de Black & Scholes

F. Wellers (2)

4. Le modèle de Black & Scholes

5. Grecs et stratégies

6. Les Caps, Floors, Collars

7. Options exotiques

8. Crédits dérivés

9. Produits structurés

Partie optionnelle

1 Introduction aux produits dérivés

1.1 Définition d’un produit dérivé

1.2 Les différents types d’intervenants

1.3 L’organisation des marchés

1.4 Les forwards

F. Wellers (3)

1.4 Les forwards

1.5 Forwards et futures

1.6 Pricing des forwards

1.1 Définition d’un produit dérivé

• Un produit dérivé est un instrument dont lavaleur dépend de la valeur d’instrumentsplus simples

Exemples de sous-jacents Exemples de dérivés

F. Wellers (4)

Exemples de sous-jacents• Actions

• Indices

• Taux d’intérêts

• Taux de change

• Matières premières

Exemples de dérivés• Contrats forwards

• Contrats futures

• Options

• Swaps, Caps, Floors, Collars, Swaptions

• Dérivés de crédit

• Dérivés climatiques

1.2 Les types d’intervenants

• Banques– Market-makers

– Arbitragistes

– Compte propre

• Clients– Institutionnels

• Asset-Managers

• Assurances

– Entreprises

F. Wellers (5)

• Intermédiaires– Courtiers

– Maisons de titres

– Brokers/Dealers

– Entreprises

– Etats

– Supranationaux,agences d’états

– Contrepartistes

– Particuliers

1.3 Les marchés organisés

• Montants, date d’échéance, devises, prix d’exercicestandardisés

• Affichage permanent des fourchettes de prix, desprix traités, des volumes, des positions ouvertes

• Des market-makers s’engagent sur une qualité decotation

F. Wellers (6)

cotation• Une contrepartie unique : la chambre de

compensation• Un dépôt de garantie initial pour couvrir les

risques de défaut• Dépôt réactualisé quotidiennement en fonction de

la valeur de marché des positions (appels demarge)

1.3 Les marchés OTC

• Liquidité et souplesse : tout est négociablemême si la majorité des transactions senégocie sur des dates et des montantsstandards

F. Wellers (7)

• Ils représentent l’essentiel du volume globaldes transactions

• Régis par des organismes internationaux(ISDA, FFB, AFTI, ISMA,…)

1.3 L’organisation des marchés

• Produits négociés sur un marché organisé– Produits standardisés

– Trading sur le floor ou trading électronique

– Peu de risque de crédit

F. Wellers (8)

• Produits négociés de gré à gré (marché OTC)– Produits sur-mesure

– Risque de crédit

1.4 Les forwards

• Un contrat forward est un engagement fermed’acheter ou de vendre un actif à une certaine datefuture et à un certain prix (le prix de livraison)

• Il diffère du contrat spot qui est un engagementd’acheter ou de vendre immédiatement

F. Wellers (9)

d’acheter ou de vendre immédiatement

• Le contrat forward est un engagement de gré à gréentre deux contreparties

• La contrepartie qui prend l’engagement d’acheter(de vendre) entre dans une position longue (short)

• Il n’y a pas de flux quand le contrat est négocié, lerèglement intervient à l’échéance

1.4 Exemples de forwards

• FRA (forward de taux)• Opération de change à terme : FX forward• Achat/vente à terme de commodities

– carcasses de porc– jus d’orange– pommes de terre

F. Wellers (10)

– pommes de terre– coton

• Achat/vente à terme d’énergie– pétrole (Brent ou WTI)– gaz– fuel– électricité– marge de raffinage

• Achat/vente à terme d’indice boursier

1.5 Forwards vs. futures

• Forward– Contrat privé entre 2

parties

– Contrat sur-mesure

– Date d’échéance (livraison) spécifique

• Future– Traité sur un marché

organisé

– Contrat standard

– Liste de dates de livraison

F. Wellers (11)

(livraison) spécifique

– Compensé à l’échéance

– Cash settlement

livraison

– Compensé quotidiennement

– En général fermé avant l’échéance (roll-over)

1.5 Les marchés de futures

• Différents marchés de futures– MONEP-LIFFE (France)

– EUREX (Allemagne, Suisse)

– CBoT (USA)

F. Wellers (12)

– CME (USA)

– TIFFE (Tokyo)

– KFSE (Séoul)

1.6 Pricing des forwards (1)

Définitions

• Base = spot - future

• Forward = spot + portage

• Actions• coût de portage = intérêts à payer – dividendes

F. Wellers (13)

• coût de portage = intérêts à payer – dividendes

• Obligations• coût de portage = intérêts à payer – coupon couru

• Arbitrage Cash&Carry• Opération qui consiste à acheter un actif, le financer

sur une maturité et vendre le forward de la mêmematurité


• L’arbitrage Cash&Carry est risque-neutre, puisque après lamaturité je n’ai de toutes façons plus aucune position

• Donc tous les flux doivent être équilibrés• On en déduit le prix à terme (forward) d’un actif sans

dividende ni intérêt :F = FV(S)

F. Wellers (14)

F = FV(S)– Où F = prix du forward

S = SpotFV = Future Value

• Inversement le P&L d’un forward F en cours de vie est :P&L = S – PV(F)

– Où F = prix du forwardS = SpotPV = Present Value


• A l’échéance le payoff d’un forward F acheté (resp.vendu), c’est-à-dire sa valeur de marché est :

Payoff = S – F (resp. F – S)– Où F = prix du forward

S = Spot

F. Wellers (15)

S = Spot

• Ce payoff est linéaire (droite), ce qui implique quela couverture du forward est statique : je laconstitue grâce à l’arbitrage Cash&Carry etj’attends l’échéance– En outre cette droite est de pente +1 (-1 si j’ai vendu), et

ma couverture sera donc la vente (resp. l’achat) de spot àhauteur de 1 spot pour 1 forward

2 Introduction aux options

2.1 Définitions2.2 Options et assurance2.3 Vocabulaire et usages2.4 Premiers exemples

F. Wellers (16)

Premiers exemples2.5 Options et effet de levier2.6 Éléments de valorisation des options

Paramètres requisLa parité Call-Put (européennes)Américaine vs. Européenne

2.7 Quelques stratégies statiques

2.1 Définitions

• Un Call (resp. Put) est …– le droit …– mais non l’obligation …– d’acheter (resp. de vendre) …– un sous-jacent fixé …

F. Wellers (17)

– un sous-jacent fixé …– à un prix fixé …– à une date fixée

• Ce droit a un prix, payé par l’acheteur auvendeur

• Il y a dissymétrie entre les 2 contreparties

2.2 Options et assurance

• Qui porte le risque de marché ?– Le vendeur a un risque non borné

– L’acheteur a un risque limité à la valeur de laprime

• Qui porte le risque de contrepartie

F. Wellers (18)

• Qui porte le risque de contrepartie(défaillance de l’autre partie) ?– L’acheteur est en risque sur le vendeur

– Le vendeur ne porte pas de risque decontrepartie

2.3 Vocabulaire et usages (1)

• Premium : prime, prix de l’option• Strike price : prix d’exercice (K)• Spot price : prix marché (S)• Maturity : date limite d’exercice• Underlying asset : actif sous-jacent• Type

F. Wellers (19)

– Call/Put• Style d’exercice

– American style : possible pendant toute la durée de vie del’option

– European style : possible seulement à la maturité• Delivery : mode de règlement-livraison à l’exercice

– Physical delivery : l’actif est réellement acheté/vendu– Cash-settlement : l’actif est évalué et le vendeur de l’option paye

à l’acheteur la différence entre le prix marché et le prix d’exercice


• Intrinsic value : valeur qu’aurait l’option si on était déjà àl’échéance– Call = max (0,S-K)– Put = max (0,K-S)

• Time value : valeur de l’option – valeur intrinsèque• In the money : valeur intrinsèque > 0 (Exercice avantageux)

F. Wellers (20)

• In the money : valeur intrinsèque > 0 (Exercice avantageux)• Out of the money : valeur intrinsèque = 0 (pas d’exercice)• At the money (ATM) : S=K (exercice indifférent)• Exercise : exercice ou levée de l’option, qui perd sa valeur par

la réalisation de la transaction sous-jacente• Partial exercise : l’exercice d’une partie de l’option (ou de

plusieurs parties successivement) peut être autorisé ou nonpar le contrat initial


• Options OTC/listées– Listed options : négociées sur un marché organisé, avec chambre

de compensation et appels de marges– OTC, Over The Counter : négociées de gré à gré entre

contreparties• Warrants

– Options qui sont aussi des titres, émis par une banque ou uneentreprise, donc négociables comme des actions. On ne peut pas

F. Wellers (21)

– Options qui sont aussi des titres, émis par une banque ou uneentreprise, donc négociables comme des actions. On ne peut pasen vendre à découvert, « to go short »

• Contrats cadres et confirmations (OTC)– Master agreements : la documentation juridique est souvent

signée une fois pour toutes (ex. ISDA)– Trade confirmations : à chaque transaction les contreparties

s’échangent une confirmation, qui se réfère au contrat cadre etne détaille que les spécificités financières propres à latransaction

Document Microsoft

Word


• Nature des actifs sous-jacents …

• … toutes :– Actions et indices

– Change

F. Wellers (22)

– Change

– Taux (swaps)

– Obligations

– Matières premières – énergie

– Dérivés climatiques

– Autres …


Global OTC derivatives market turnover1

Daily averages in April, in billions of US dollars 1995 1998 2001 2004

Foreign exchange turnover 688 959 853 1,292 Outright forwards and foreign exchange swaps 643 862 786 1,152

Currency swaps 4 10 7 21 Options 41 87 60 117

Other 1 0 0 2

Interest rate turnover 151 265 489 1,025

F. Wellers (23)

Interest rate turnover 151 265 489 1,025 FRAs 66 74 129 233

Swaps 63 155 331 621 Options 21 36 29 171

Other 2 0 0 0 Total derivatives turnover2 880 1,265 1,385 2,410

Turnover at April 2004 exchange rates 825 1,350 1,600 2,410

Exchange-traded derivatives3 1,221 1,382 2,180 4,657 Currency contracts 17 11 10 23

Interest rate contracts 1,204 1,371 2,170 4,634 1 Adjusted for local and cross-border double-counting. 2Including estimates for gaps in reporting. 3Sources: FOW TRADEdata; Futures Industry Association; various futures and options exchanges. Reported monthly data were converted into daily averages on the assumption of 18.5 trading days in 1995, 20.5 days in 1998, 19.5 days in 2001 and 20 days in 2004. Source BIS (2004)


Jul-Dec Jan-Jun Jul-Dec Jan-Jun Jul-Dec Jan-Jun Jul-Dec Jan-Jun

2003 2004 2005 2005 2003 2004 2004 2005

GRAND TOTAL 197 167 220 058 251 823 270 100 6 987 6 395 9 243 10 694

A. FX contracts 24 475 26 997 29 580 31 075 1 301 867 1 546 1 141

Outright forwards and forex swaps 12 387 13 926 15 242 16 031 607 308 643 464Currency swaps 6 371 7 033 8 223 8 236 557 442 745 549

Options 5 717 6 038 6 115 6 809 136 116 158 129

Exchange-traded contracts 118 98 164 170

The global OTC derivatives marketAmounts outstanding in billions of US dollars

Notional amounts Gross market values

F. Wellers (24)

Exchange-traded contracts 118 98 164 170

B. Interest rate contracts 141 991 164 626 190 502 204 393 4 328 3 951 5 417 6 698

FRAs 10 769 13 144 12 788 13 573 19 29 22 29Swaps 111 209 12 757 150 631 163 749 3 918 3 562 4 903 6 077

Options 20 012 23 912 27 082 27 071 391 360 492 592

Exchange-traded contracts 33 917 49 385 42 769 53 794

C. Equity-linked contracts 3 787 4 521 4 385 5 145 274 294 498 717

Forwards and swaps 601 691 756 1 176 57 63 76 89Options 3 186 3 829 3 629 3 968 217 231 422 627


D. Commodity contracts 1 406 1 270 1 443 1 693 128 166 169 271

Gold 344 318 369 288 39 45 32 24Other 1 062 952 1 074 1 406 88 121 137 247

Forwards and swaps 420 503 558 738 0 0 0 0Options 642 449 516 668 0 0 0 0

E. Other 25 508 22 644 25 913 27 793 957 1 116 1 613 1 866

GROSS CREDIT EXPOSURE 1 969 1 478 2 075 1 900


Source BIS (Nov. 2005)

2.4 Premiers exemples

15

20

25

Opti

on

0,6

0,7

0,8

0,9

1

F. Wellers (25)

0

5

10

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Spot

Opti

on

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Gre

c

CallEu Intrinsic PutEu Intrinsic - -

2.5 Options et effet de levier (1)

• Comparons les prix– du sous-jacent 100 €

– du C ATM, 90j 3,5 €

– du P ATM, 90j 2,5 €

F. Wellers (26)

• L’exposition au risque pour un mêmemontant investi est donc …– …28 à 40 fois plus importante dans ces

exemples

2.5 Options et effet de levier (2)

• Observons des variations de cours– À la hausse

• S 100 € -> 110 € +10%• C 3,5 € -> 11,2 € +220% +22 fois• P 2,5 € -> 0,3 € -88% -8,8 fois

– À la baisse• S 100 € -> 90 € -10%

F. Wellers (27)

• S 100 € -> 90 € -10%• C 3,5 € -> 0,3 € -91% +9 fois• P 2,5 € -> 9,4 € +280% -28 fois

– On a une amplification des variations relatives, c’est l’effetde levier (leverage)

• Attention ! Ces variations ne sont pas proportionnelles : lesoptions sont des instruments non-linéaires

• Quel instrument de marché a un levier encore plus grand ?– Comment cet effet de levier est-il réduit ?

2.6 Valorisation des optionsParamètres requis

• On suppose l’actif sans coupon/dividende• Ceux qui dépendent de l’option (données

contractuelles)– Strike– Maturité

• Ceux qui dépendent des conditions de marché

F. Wellers (28)

• Ceux qui dépendent des conditions de marchéactuelles– Spot– Taux sans risque

• Autres paramètres ?– Volatilité– Tendance NON !!!

2.6 Valorisation des optionsLa parité Call-Put (européennes)

• Formule (indépendante du modèle)

C + PV(K) = P + S

• Comment la démontrer ?1. Considérons 2 portefeuilles

1. Portefeuille 1 : Call + Trésorerie du Strike

F. Wellers (29)

1. Portefeuille 1 : Call + Trésorerie du Strike

2. Portefeuille 2 : Put + Actif sous-jacent

2. Comparons leurs valeurs à l’échéance1. vaut : max (0,S-K) + K = max (K,S)

2. vaut : max (0,K-S) + S = max (S,K)

3. Ces portefeuilles ayant la même valeur finale et uneévolution fixée dans le temps sont donc équivalents

2.6 Valorisation des optionsAméricaine vs. Européenne

• La valeur de l’option américaine est forcément …• … supérieure (ou égale) à l’européenne,• car elle correspond à un droit supérieur : celui

d’exercer avant l’échéance• Exercice anticipé optimal : oui pour les Puts, non

pour les Calls. Pourquoi ?

F. Wellers (30)

pour les Calls. Pourquoi ?• A cause du financement de la position sous-

jacente (pas de coupon/dividende) : détenir l’actif(vs. détenir le Call) coûte et être « short » de l’actif(vs. détenir le Put) rapporte en trésorerie

• Finalement : CA=CE, PA>=PE• NB : dans le cas d’un actif qui rapporterait plus qu’il ne coûterait en

financement (obligations high yield, ou emerging…) le raisonnement seraitinversé entre Call et Put

2.7 Quelques stratégies (1)

• Achat de Call et vente du Stock= « Synthetic Put »

• Achat de Put et achat du Stock= « Synthetic Call »

F. Wellers (31)

= « Synthetic Call »

• Achat de Call et vente de Put (même strike,même maturité, Européens)= « Synthetic Forward »

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Straddle– Achat de Call et Put de mêmes strikes

• Strangle– Achat de Call et Put de strikes différents

F. Wellers (32)

– Achat de Call et Put de strikes différents

• Butterfly– Achat de Strangle et vente de Straddle

• Condor– Achat de Strangle et vente de Strangle

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Les spreads– Achat et vente de Calls de strikes différents

• Bull spread

• Bear spread

– Idem avec des Puts

F. Wellers (33)


• Les calendar spreads– Achat et vente de Calls de maturités différentes


Feuille de calcul

Microsoft Excel

3 Les modèles par arbre

3.1 Définitions - hypothèses

3.2 Exemple numérique à une période

3.3 Formule générale à une période

3.4 Univers risque-neutre

F. Wellers (34)


3.5 Modèle CRR à plusieurs périodes

3.6 Relation entre u d et σ3.7 Autres méthodes numériques

3.1 Définitions - hypothèses

• Non-arbitrage– méthode d’évaluation de prime d’option qui consiste à construire

un portefeuille « sans risque » à partir d’une option et de sonactif sous-jacent : C(S,t) – ∆(S,t).S(t)

• Réplication de portefeuille– méthode d’évaluation de prime d’option C qui consiste à

reproduire l’évolution d’une option dans le temps par unequantité variable de sous-jacent et une opération de trésorerie

F. Wellers (35)

quantité variable de sous-jacent et une opération de trésoreriesans risque : C(S,t)=∆(S,t).S(t)+B(S,t)

• N.B. : les 2 méthodes sont équivalentes

• Arbre binomial (Cox-Ross-Rubinstein 1979)– graphe représentant l’évolution possible du prix d’un actif dans

le temps (discrétisé) pendant la durée de vie d’une option– il permet de pricer des options simples mais aussi des

instruments très complexes• Je suppose qu’à tout moment, je peux acheter ou vendre

l’actif S dans la quantité voulue, sans coût de transaction

3.2 Exemple à 1 période (1)

• Je me place en t0=0, l’actif vaut S

• Je veux construire un portefeuille « sans risque »entre t0 et t1, comprenant une option (un call destrike K par ex.) et du sous-jacent

• Je suppose que le prix de l’actif S ne peut prendre

F. Wellers (36)

• Je suppose que le prix de l’actif S1 ne peut prendreque 2 valeurs en t1 : Su= uS et Sd= dS

• Je me contente de supposer la possibilitéd’atteindre Su ou Sd (le marché est alors complet)

• Je ne fais aucune hypothèse sur les probabilitésrespectives d’occurrence de Su et Sd


• Évaluation d’un Call de strike 21 €, 3 mois• Pas de dividende, r = 12%, S0 = 20 €• Coefficient d’actualisation = e-rt = 97,04%

Su= uS

S

= 22 €

F. Wellers (37)

Sd= dS

S

= 20 €= 18 €

Cu=

Cd=

C

1 €

0 €

= ? €


• On veut construire un portefeuille qui aura la même valeur àl’échéance, quelle que soit l’évolution du marché– sous la forme : C – ∆.S (∆ est à déterminer)– i.e. on achète 1 Call et on vend ∆ actifs

Cu-∆∆∆∆Su

C-∆∆∆∆S

= 1 - ∆.22 €

= 0 – 18€/4= - 4,5 €

F. Wellers (38)

Cd-∆∆∆∆Sd

C-∆∆∆∆S= ? – ∆.20 €

= 0 - ∆.18 €

=

• L’équation qui détermine le ∆ est donc :1 - 22∆ = 0 - 18∆soit 4∆ = 1soit ∆ = ¼ = 25%

• Le portefeuille est sans risque, donc à l’origine il vaut sa valeurfinale actualisée, et connaissant le ∆, on en déduit CC – 20∆ = - 4,367C = - 4,367 + 20/4 = 5 – 4,367 = 0,633 €

0 – 18€/4= - 4,5 €

= - 4,5 € * 97% = - 4,367 €

3.3 Généralisation à 1 période (1)

• On veut construire un portefeuille qui aura la même valeur àl’échéance, quelle que soit l’évolution du marché– sous la forme : C – ∆.S (∆ est à déterminer)– i.e. on achète 1 Call et on vend ∆ actifs

Cu-∆∆∆∆Su

C-∆∆∆∆S

= Cu - ∆uS

=Cu-(Cu-Cd)u/(u-d)

F. Wellers (39)

Cd-∆∆∆∆Sd

C-∆∆∆∆S= ? – ∆.S

= Cd - ∆dS

=

• L’équation qui détermine le ∆ est donc :Cu - uS∆ = Cd - dS∆soit ∆.S(u-d) = Cu - Cd

soit ∆ = (Cu - Cd) / S.(u-d)• Le portefeuille est sans risque, donc à l’origine il vaut sa valeur

finale actualisée, et connaissant le ∆, on en déduit CC – ∆.S = e-rt.(uCd-dCu)/(u-d)C = (Cu - Cd)/(u-d) + e-rt.(uCd-dCu)/(u-d)

Cu-(Cu-Cd)u/(u-d) = (uCd-dCu)/(u-d)

= e-rt.(uCd-dCu)/(u-d)

3.3 Généralisation à 1 période (2)

• C = (Cu-Cd)/(u-d) + e-rt.(uCd-dCu)/(u-d)= e-rt.(Cu.(ert-d) /(u-d) + Cd.(u-ert)/(u-d))

• J’appelle p = (ert-d)/(u-d)• Alors 1 – p = (u-d-ert+d)/(u-d) = (u-ert)/(u-d)

F. Wellers (40)

• D’où C = e-rt.( p.Cu + (1-p).Cd)• ∆ = (Cu - Cd) / S.(u - d)

• C est la moyenne pondérée de Cu et Cd par p et 1-p,actualisée au taux r

• Comment interpréter p ?


• Calculons l’espérance de S à l’échéance selon la loide probabilités (p,1-p) où p = (ert-d)/(u-d)E(S)= puS + (1-p)dS

= uS.(ert-d)/(u-d) + dS.(u-ert)/(u-d)= Sert(u-d)/(u-d) - duS/(u-d) + udS/(u-d)= Sert

F. Wellers (41)

= Sert

• En suivant la loi de probabilité (p,1-p), on trouve lamême espérance E(S) que si S était un actif sansrisque

• p peut être vu comme la pseudo-probabilité« risque-neutre » de passage de S à uS

• Attention, ce n’est pas une probabilité, et l’univers ne doit pas êtresupposé risque-neutre. En revanche, pour effectuer les calculs, onpeut faire « comme si » S était un actif sans risque

3.5 Modèle CRR à plusieurs périodes (1)

• L’arbre à 1 période n’est pas réaliste : le marché estcontinu (ou quasi-continu)

• Mais aucune hypothèse n’a été faite quant aupayoff final -> on peut reproduire le raisonnementde non-arbitrage, calcul du ∆, etc., quel que soit leprofil de risque de l’option, donc en cours de vie

F. Wellers (42)

profil de risque de l’option, donc en cours de viepar exemple (pas nécessairement à l’échéance)

• En outre les branches de l’arbre se recoupent– on part de S on va à (uS, dS)– on repart de (uS, dS) on va à (u2S, udS, d2S)

• On peut donc construire un arbre à plusieurspériodes et itérer les calculs vus plus haut


• Exemple d’arbre à 2 périodes, u=1,07 et d=0,93

Su= uS

Su2= u2S

= 22,9 €

F. Wellers (43)

Su= uS

Sd= dS

S Sud= udS

Sd2= d2S

= 20 €

= 21,4 €

= 18,6 €

= 19,9 €

= 17,3 €


• Arbre à 2 périodes, u = 1,07 et d= 0,93

• r = 12%, K = 21 €, T = 3 mois, e-rt = 98,5%, p = 0,609

C = 1,14€

Cu2= 1,9 €

S= 22,9 €

F. Wellers (44)

Cu= 1,14€

Cd= 0

C = 0,68 € Cud= 0

Cd2 = 0

S = 19,9 €S = 20 €

S = 21,4 €

S = 18,6 €

S= 22,9 €

S = 17,3 €

∆∆∆∆ = 0

∆∆∆∆ = 1,9/3 = 63%

∆∆∆∆ = 1,14/2,8 = 41%

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Le modèle de CRR est applicable à tout type depayoff « non path dependant »– i.e. : qui permette de remonter l’arbre de la droite vers la

gauche sans savoir l’histoire de l’option (y.c. des optionsexotiques)

F. Wellers (45)

• Adaptation aux options américaines– à chaque pas, on réévalue le prix de l’option en le

comparant à sa valeur intrinsèque

• Sous-jacents avec flux (dividendes ou intérêts)– Il faut modifier les valeurs de S sur l’arbre aux endroits où

se placent les flux

Feuille de calcul

Microsoft Excel

3.6 Relation entre u d et σ (1)

( ) ( ) ∑===i

iii Xn1

XXEXEspérance

( ) ( )( ) ( ) ( )2i2i

2

ii XEXEXXEXVariance −=−=

VarianceσtypeEcart ==

F. Wellers (46)

• Soit (Si) une suite de prix quotidiens d’un actif S

• La suite (ln(Si+1/Si)) représente les rendements quotidiens

• L’espérance annualisée (multipliée par 253) de cette suite est µ• L’écart type annualisé (*√253 ) de cette suite est σ, la volatilité

historique, observée sur une période donnée

• Loi d’évolution : dS/S = µdt + σdz

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Le modèle de CRR est non-probabiliste• La méthode de couverture doit le rendre insensible

(localement) aux mouvements de marché• Le modèle doit donc être insensible au rendement

espéré du sous-jacent

F. Wellers (47)

espéré du sous-jacent• De fait on peut montrer qu’à la limite (grand

nombre de petites périodes élémentaires) le prix duproduit dérivé est indépendant du choix de u et dmais ne dépend que du rapport u/d

• Il converge vers la valeur en temps continu (Black& Scholes, cf. infra), qui elle-même ne dépend pasnon plus de la tendance anticipée µ


• La relation qui existe entre u, d et σ est

u/d = e2σ√t

– où σ est la volatilité annuelle

– et t =T/n est l’intervalle de temps élémentaire de CRR

• Dans leur article original, CRR ont choisi

F. Wellers (48)

• Dans leur article original, CRR ont choisi

u = eσ√t et d = e-σ√t

mais ce n’est pas nécessaire• Pour ma part, j’ai toujours utilisé p=1/2, ce qui fixe u et d, pour

optimiser notablement le temps de calcul, puisqu’il n’y a plusqu’une suite d’additions et une seule multiplication à effectuer


• A retenir, si t = T/n (nombre de pas)C = e-rt.( p.Cu + (1 - p).Cd)∆ = (Cu – Cd) / S.(u - d)u = eµt+σ√t et d = eµt-σ√t

F. Wellers (49)

u = e et d = ep = (ert - d)/(u - d)

• On prend souvent µ=0 : u = eσ√t et d = e-σ√t

• On peut aussi forcer p=1/2u = 2ert/(1 + e-2σ√t)d = e-2σ√t.u = 2ert/(1 + e2σ√t)

3.7 Autres méthodes numériques

• La convergence de CRR est très lente

• Arbres trinomiaux– On autorise une valeur inchangée en plus de u et d

• Arbres auto-adaptatifs– On autorise une variation du pas de la numérisation avec

F. Wellers (50)

– On autorise une variation du pas de la numérisation avecplus de précision près de l’échéance

• Monte-Carlo– On tire au sort de nombreuses trajectoires possibles et on

les suit dans l’univers risque-neutre

– Avantage : on peut évaluer des dérivés path-dependant

– Inconvénient : très consommateur de ressources

4 Le modèle de Black&Scholes

4.1 Processus stochastiquesPropriété de MarkovProcessus de WienerProcessus d’Itô

4.2 Lemme d’Itô

F. Wellers (51)

4.2 Lemme d’Itô4.3 Cas des actions, log-normalité4.4 Hypothèses de B&S4.5 « Démonstration »4.6 Solutions de l’équation de B&S4.7 Où est passé µ ?

4.1 Propriété de Markov

• Un processus suit la propriété de Markov siseule sa valeur présente est utile pouranticiper sa distribution future– Le prix présent contient toute l’information

passée

F. Wellers (52)

passée– Forme faible de l’efficience des marchés– Les valeurs passées, les trajectoires passées

sont sans influence sur la distribution du prixdans le futur

– En revanche les propriétés statistiques du passépeuvent être utilisées

4.1 Processus de Wiener standard

• Processus en temps continu dont la variation suitune loi normale, indépendamment pour desintervalles successifs

δz = ε.√δtoù ε suit une loi normale φ(0,1)

• Pourquoi la √ ?

F. Wellers (53)

• Pourquoi la √ ?– Lorsque des variations aléatoires se combinent, on ajoute

les moyennes et les variances, pas les écarts-types• Si on décompose la période T en petits intervalles

δt, T=N δt, alorsz(T)-z(0)=Σi(εi.√δt)

• Les εi étant indépendants, les variances s’ajoutentet σT=√T

4.1 Processus de Wiener général

• Processus en temps continu x construit à partird’un processus de Wiener standard z

dx = a.dt + b.dz

δx = a.δt + b.ε.√δtoù ε suit une loi normale φ(0,1)

F. Wellers (54)

où ε suit une loi normale φ(0,1)

• a est un drift (tendance) et b est un écart typeunitaire

• Alors δx suit une loi normale d’espérance aδt et devariance b2δt, d’écart type b√δt

• Sur période T, ∆x suit une loi normale d’espéranceaT, de variance b2T, d’écart type b√T

4.1 Processus d’Itô

• Processus en temps continu x qui généralise unprocessus de Wiener, en ce sens que lesparamètres a et b ne sont pas nécessairementconstants

dx = a(x,t).dt + b(x,t).dzδx = a(x,t).δt + b(x,t).ε.√δt

F. Wellers (55)

δx = a(x,t).δt + b(x,t).ε.√δtoù ε suit une loi normale φ(0,1)

• a(x,t) est un drift local (tendance) et b(x,t) est unécart type unitaire local

• Alors δx suit une loi normale d’espérance a(x,t)δt etde variance b2(x,t)δt, d’écart type b(x,t)√δt, pourautant que a(x,t) et b(x,t) puissent être considéréscomme constants pendant δt

4.2 Lemme d’Itô

• Soit G(x,t) une fonction de la variable aléatoire x etdu temps t, où x est un processus d’Itô

dx = a(x,t).dt + b(x,t).dz

• Alors on a :

( ) ( ) ( )GG1GG 2 ∂ ∂∂∂

F. Wellers (56)

• Par rapport au calcul différentiel non stochastique,la nouveauté est le terme en dérivée seconde, quivient du terme en √δt : δx2 ≈ b2(x,t)ε2δt devient nonstochastique quand δt->0, car E(ε2)=1

( ) ( ) ( )dztx,bxG

dt tx,bxG

21

tG

tx,axG

dG 22

2

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

4.3 Cas des actions, log-normalité

• Le drift et l’écart type du processus doivent êtreproportionnels au prix de l’action– argument : la division du nominal d’une action (par exemple) ne

doit pas changer la perception du risk/returndS/S = µdt + σdz

• Application du lemme d’Itô

F. Wellers (57)

−≈

+

−=

=∂∂−=

∂∂=

∂∂=

TσT,2σ

µNormaleSS

ln

σdzdt 2σ

µ dG

0tG

S1

SG

S1

SG

ln(S)G

2

0

T

2

22

2

4.4 Hypothèses de B&S

• S suit une loi log-normale, µ et σ sont constants

• Les shorts sont possibles sans surcoût

• Pas de frais de transaction

• Divisibilité parfaite des actifs

• Actif sans dividende ni intérêt

F. Wellers (58)

• Actif sans dividende ni intérêt

• Marché continu

• Le taux sans risque r est constant

• Il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage

• On veut valoriser un produit dérivé f(S,t)

4.5 « Démonstration » (1)

• Construction d’un portefeuille Π ∆-neutre– on veut éliminer le terme stochastique dans les équations

d’évolution de S et f

– i.e. s’immuniser contre les variations locales de S

– on achète donc 1 option f(S,t)

– et on achète (ou vend selon le signe) -∂f/∂S actions

F. Wellers (59)

– et on achète (ou vend selon le signe) -∂f/∂S actions

– Π = f(S,t) – ∂f/∂S.S

• Équations d’évolution

dt SσSf

21

tf

dSSf

- dfdΠ

σSdzSf

dt SσSf

21

tf

µSSf

dfσSdzµSdtdS

222

2

222

2

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=+=

4.5 « Démonstration » (2)

• Π est un portefeuille sans risque puisque le termestochastique a été éliminé– donc il évolue suivant le taux sans risque r

222

2

dt SσSf

21

tf

dΠavecrdtSSf

-f Π.rdt dΠ

∂∂+

∂∂=

∂∂==

F. Wellers (60)

• C’est l’EDP de B&S, valable quel que soit le produitdérivé f– Ce qui va différencier les solutions (Call, Put, autre) sont

les conditions aux limites = le payoff

44444444444444 344444444444444 21

2

222

2

Sf

Sσ21

Sf

rStf

rf

S2tS

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂ ∂

Retour au θ

4.6 Solutions de l’équation de B&S

• Dans le cas des options vanille Call et Put, lesconditions aux limites :

• CT = max( 0, ST-K ) et P = max( 0, K-ST )

déterminent les solutions :

due1

cumuléenormaleloiN(x) où

)dSN()dN(KeP)N(dKe)SN(dCx

u12

rT2

rT1

2

==

−−−=−=

∫−

−−

F. Wellers (61)

• Pour cela on peut :– Résoudre l’EDP, ou vérifier que les formules sont solutions– Ou bien remonter le temps en intégrant le payoff selon la

probabilité « risque-neutre »

Tσdd,Tσ

/2)Tσ(rln(S/K)d et

due2π

1cumuléenormaleloiN(x) où

12

2

1

x2

−=++=

== ∫ ∞−

4.6 Quelques remarques sur B&S

• La parité Call-Put est bien respectée– car N(d)+N(-d)=1

– donc C – P = S – Ke-rt

• Il existe des formules approchées de N(d)

F. Wellers (62)

• Il existe des formules approchées de N(d)permettant un calcul rapide

• On peut démontrer que si u/d = e2σ√t, alorsB&S est la limite de CRR quand le nombreN de périodes tend vers +∞, où t = T/N

4.7 Où est passé µ ? (1)

• La tendance µ a disparu non seulement de lasolution de B&S, mais aussi de l’EDP, pourquoi ?– A cause de la méthode de couverture en ∆ neutre

– La méthode de couverture de l’option est incluse dans lemodèle, et elle est donc cohérente par construction avec« les formules »

F. Wellers (63)

« les formules »

– On s’est volontairement insensibilisé à l’espérance derendement anticipé sur l’actif sous-jacent S, ce qui l’a faitdisparaître du modèle

• N.B. : cette propriété fondamentale n’est pas spécifique au profil depayoff des options vanille C et P, elle est liée à l’hypothèse de non-arbitrage, qui est à la base de toutes les méthodes d’évaluation deproduits dérivés

1.5 Où est passé µ ? (2)

• Mais alors pourquoi σ ne disparaît-il pas aussi ?

• Parce que l’option est un instrument non-linéaire,ce qui implique que le hedge est nécessairementdynamique et local

• C’est le « prix de l’incertitude » : sans calcul, on

F. Wellers (64)

• C’est le « prix de l’incertitude » : sans calcul, ondevine que plus grande est la volatilité, plus chèresera l’option– en ∆ (ajustements fréquents de couverture)

– en couverture du risque de marché

– ou en spéculatif

5 Grecs et stratégies

5.1 Définitions des grecs

5.2 Propriétés des grecs

5.3 Qu’est ce que la volatilité ?

5.4 Smile, skew, etc.

F. Wellers (65)

5.4 Smile, skew, etc.

5.5 Grecs et gestion de position

5.6 Que se passe-t’il à l’exercice ?

5.7 Travaux pratiques

5.1 Définitions des grecs (1)

• Pour un Call :

SC

∆Delta∂∂==

2C∆ ∂∂

TC

θTheta∂∂==

C∂

F. Wellers (66)

2

2

SC

S∆

ΓGamma∂∂=

∂∂==

σC

Vega∂∂=

rC

ρRho∂∂==

Ceci n’est pas une lettre grecque !!!

5.1 Définitions des grecs (2)

• Pour un Put :– Idem, remplacer C par P

• Lorsque l’on traite une position constituée de Noptions identiques, on multiplie les grecs d’1 optionpar N pour prendre en compte la taille de la

F. Wellers (67)

par N pour prendre en compte la taille de laposition

• Les grecs sont algébriques : si l’on a vendu Noptions, on prend en compte le facteur –N

• Idem pour les obligations, cotées en % du nominal,on multiplie les grecs unitaires par le nominal de laposition

5.2 Propriétés des grecs (1)

• A savoir absolument (pour 1 option)– Le ∆ varie

• De 0 à 1 pour un Call

• De -1 à 0 pour un Put

– Le Γ est toujours > 0

F. Wellers (68)

– Le Γ est toujours > 0

– Le Vega est toujours > 0

– Le θ est souvent < 0• dans quels cas ne l’est-il pas et pourquoi ?

Feuille de calcul

Microsoft Excel

5.2 Propriétés des grecs (2)

• Options européennes

• D’où viennent ces (in)égalités, sans calcul ?– ∆ Call = ∆ Put +1

– Γ Call = Γ Put

F. Wellers (69)

– Γ Call = Γ Put

– Vega Call = Vega Put

– θ Call <> θ Put

– ρ Call <> ρ Put

Feuille de calcul

Microsoft Excel

5.3 La Volatilité (1)

• La volatilité est …

• … l’écart type de la distribution log-normale

• Oui mais c’est une donnée historique, quireflète le passé et ne prédit pas l’avenir

F. Wellers (70)

reflète le passé et ne prédit pas l’avenir

• Or les marchés ont besoin d’anticiper : pourbien pricer une option, il faudrait connaîtrela volatilité sur la période à venir

• Cette volatilité estimée sur une périodepassée s’appelle « historical volatility »


• La volatilité est …• … « ce qu’il faut mettre dans la formule

B&S (ou CRR) pour obtenir le prix demarché de l’option »

• Oui mais pour un même actif, elle est

F. Wellers (71)

• Oui mais pour un même actif, elle estsusceptible de varier– d’une option à une autre à un moment donné– dans le temps, pour une même option

• Ces volatilités estimées d’après les prix demarché s’appellent « implied volatilities »


• Alors, historique ou implicite ?– Quel est le métier du trader d’options ?

• Réponse :– Acheter et vendre des options en permanence– Les couvrir pour ne pas prendre de risque en ∆– Les vendre plus cher qu’elles n’ont été achetées (ou vice-

F. Wellers (72)

– Les vendre plus cher qu’elles n’ont été achetées (ou vice-versa)

– Réévaluer sa position à prix de marché (Mark-to-Market)pour déterminer s’il a gagné ou perdu de l’argent

• On choisira bien entendu les volatilités implicites,au prix d’une complexité accrue dans la gestion dela position, puisque chaque option pourra êtreévaluée à un niveau de vol différent


• Vendre une option plus cher qu’elle n’a été achetée (ou vice versa),pour les mêmes conditions de marché (S), revient à avoir :– σvente > σachat

– Pourquoi ?• Parce que Vega > 0, toujours (cf. supra)

– Pour une même option, son prix de vente est supérieur à son prixd’achat ssi le niveau de vol qui sert à l’évaluer est supérieur à la ventequ’à l’achat

F. Wellers (73)

qu’à l’achat• Que se passe-t’il maintenant si le marché (S) a bougé (un peu) entre

l’achat et la vente ?– Le trader a couvert sa position en ∆ dès l’achat, il est insensible à une

petite variation de S : Valeur de la position = C1 – ∆1S1

– Il réévalue sa position « option + sous-jacent » : une patte gagne, l’autreperd, l’ensemble est neutre : C2 – ∆1S2 = C1 – ∆1S1

– Il vend son option à un niveau de vol supérieur (Vega > 0) et engrangedonc un gain : C’2 > C2

– En même temps, il déboucle sa position de sous-jacent (au prix S2,inchangé), ce qui est neutre en résultat


• Dans un monde idéal où tous les acteurs auraient exactement lemême modèle, le trader pourrait afficher des fourchettes « bid-offer »exprimées en vol et non en primes d’options

• C’est le cas sur des marchés extrêmement liquides et standardiséstels que les options vanille sur Forex

• Sur d’autres marchés OTC, plutôt que de coter sur des strikes fixesen ajustant en permanence ses prix aux moindres variations de S,on préfère afficher des primes d’option sur des niveaux de strikes

F. Wellers (74)

on préfère afficher des primes d’option sur des niveaux de strikesqui assurent l’invariance de la prime, par exemple : ATM, ATM+1,ATM-1, etc., sur des échantillons de maturités (30j, 90j, 180j, …),les autres options étant cotées à la demande

• Sur les marchés d’options listées, les échéances sont fixes, on coteen général ATM, etc.

• Dans le cas des warrants, les strikes sont fixés à l’émission, on doitdonc en permanence ajuster les prix en suivant les moindresvariations de S

• Chez les courtiers interbancaires, on traite entre professionnels,donc en général on négocie le ∆ en même temps, ce qui fixe le strike


• Que se passe-t’il si l’on n’arrive pas à vendre la même option quecelle qu’on a achetée, mais une autre de strike voisin ?

• Il se constitue une position résiduelle qui peut devenir extrêmementcomplexe avec l’accumulation d’options de strikes et de maturitésdivers, qu’il faut analyser sous toutes ses variations possibles

• Les vols implicites étant, comme on l’a vu, dépendantes du strike etde la maturité, il faudra souvent faire une analyse du portefeuillepar tranches de maturités et de strikes

F. Wellers (75)

par tranches de maturités et de strikes• Le comportement (variation dans le temps) des vols de marché peut

en effet être très inhomogène d’une tranche à une autre, et il seraitdangereux de considérer que toutes les vols évoluent de la mêmemanière

• Par exemple il arrive fréquemment après un choc que les volscourtes augmentent fortement, alors que les vols longues restentquasi-stables

• Quand la position est Vega+(resp. Vega-), on se valorise sur la volBid (resp. Offer)– Pourquoi ?


• Les grecs sont des indicateurs de gestion cumulés (éventuellementpar tranche), et de limites de risque de marché à ne pas dépasser

– Le ∆ ...• … n’est jamais strictement nul• il indique la sensibilité du P&L à une petite variation de S

– Le Γ ...• … indique la déformation du P&L en réponse à de plus grandes variations de S

F. Wellers (76)

• … indique la déformation du P&L en réponse à de plus grandes variations de S• son signe est essentiel pour estimer si la position est en risque en cas de

grands mouvements• son amplitude renseigne sur les niveaux auxquels il faudra réajuster le ∆ par

des achats/ventes de couverture (sous-jacent)– Le θ …

• … indique la sensibilité au passage du temps (qui est inévitable)– Le Vega …

• … renseigne sur l’influence de la vol• il permet de savoir si on doit plutôt acheter ou vendre des options pour

diminuer l’exposition de la position


• Pour résumer, « l’actif financier » que traite le trader d’optionsest la (les) volatilité(s) implicite(s) de l’actif sous-jacent

• Comme dans tout métier de trading, il doit l’acheter moinscher qu’il ne la vend

• Il s’immunise contre les petits mouvements de marché enajustant son ∆

F. Wellers (77)

• Il construit une position complexe, produit de l’accumulationdes demandes clients et des mouvements de marché

• Il gère sa position en– anticipant les mouvements de volatilités– utilisant les grecs– négociant des options chez ses confrères pour réduire son

exposition à tel ou tel grec dans les diverses tranches destrike/maturité de sa position

5.4 Smile skew etc. (1)

• Dans la réalité, le trader réévalue sa position avecune matrice de volatilités (plus ou moins complète)dont les 2 dimensions sont– le strike– la maturité

• Il observe aussi les grecs en les projetant sur ces

F. Wellers (78)

• Il observe aussi les grecs en les projetant sur cesmêmes 2 axes (sauf le ∆), car il serait illusoire decouvrir une option de strike et maturité donnés parune autre très différente : si la couverture est justeà l’instant t, et aux conditions de marché actuelles,elle se déformera dans le temps et avec lesvariations de spot (mismatch)


• Dans la pratique, la loi de distribution implicite n’est pas log-normale, les queues de distribution sont plus épaisses, et lesparties intermédiaires moins représentées

• Les événements extrêmes sont plus fréquents que prévus etl’appétence des acteurs à se couvrir du risque de grandesvariations augmente

F. Wellers (79)

variations augmente

• Il en résulte que les vols « loin de la monnaie » sont plusélevées qu’ATM : la courbe de vols (pour une maturitédonnée) présente la forme de smile

• C’est le cas pour des marchés « symétriques » entre hausse etbaisse, en terme d’appétence au risque, par exemple lemarché des changes


10%

12%

14%

16%

18%

20%

Vol 30j

F. Wellers (80)

0%

2%

4%

6%

8%

10%

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Vol 30jLog-normaleDistribution implicite


• Certains marchés estiment différemment les risques à lahausse et la baisse, par exemple celui des actions

• Pourquoi, et quelle est la différence avec le marché deschanges ?

• Ces marchés ne sont pas « à somme nulle » : il y a du« stock », ce qui n’est pas le cas sur les devises

F. Wellers (81)

• Si le marché monte (baisse), l’ensemble des acteurs, priscomme une masse globale s’enrichit (s’appauvrit)

• Le besoin de protection est donc plus fort « à la baisse », c’est-à-dire sur des strikes bas qu’ « à la hausse », sur des strikeshauts

• Il en résulte que les vols « à la baisse » (« à la hausse ») sontplus élevées (faibles) qu’ATM : la courbe de vols (pour unematurité donnée) présente un skew, et est généralementdécroissante


10%

12%

14%

16%

18%

20%Vol 30jLog-normaleDistribution implicite

F. Wellers (82)

0%

2%

4%

6%

8%

10%

80 85 90 95 100 105 110 115 120

5.5 Grecs et gestion de position (1)

• Qu’est-ce que le Vega ?– La sensibilité de la position à une variation unitaire de

volatilité

• Être Vega+(-), c’est …– … avoir acheté (vendu) des options

• Le trader se met Vega+(-) quand il pense que …

F. Wellers (83)

• Le trader se met Vega+(-) quand il pense que …– …les volatilités vont monter (baisser)– De cette façon il pourra retourner sa position couverte

avec un gain

• Où trouve-t’on du Vega ?– ATM– Options longues

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Qu’est-ce que le Γ ?– La sensibilité du ∆ de la position à une variation du Spot

• Être Γ+(-), c’est …– … avoir acheté (vendu) des options

• Le trader se met Γ+(-) quand il pense que …

F. Wellers (84)

• Le trader se met Γ+(-) quand il pense que …– …le marché sous-jacent va plus (moins) s’agiter– De cette façon il pourra profiter des mouvements de

marché pour gagner sur les couvertures (moins subir lesmouvements de marché que prévu en ajustant moins sacouverture)

• Où trouve-t’on du Γ ?– ATM– Options courtes

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Qu’est-ce que le θ ?– La sensibilité de la position au passage du temps

(inéluctable)• Le θ est une variable fortement liée au Γ (signes

opposés), hors effet financement• Le trader se met θ−(+) quand il pense que …

F. Wellers (85)

• Le trader se met θ−(+) quand il pense que …– …le marché sous-jacent va plus (moins) s’agiter– De cette façon il pourra profiter des mouvements de

marché pour gagner sur les couvertures (moins subir lesmouvements de marché que prévu en ajustant moins sacouverture)

• Où trouve-t’on du θ ?– ATM– Options courtes

Feuille de calcul

Microsoft Excel

Retour sur l’EDP de B&S


• Et le ρ ?– La sensibilité de la position à la courbe de taux

d’intérêt

• Le ρ doit être suivi (risque de taux), mais cen’est pas une variable de prise de position

F. Wellers (86)

n’est pas une variable de prise de positionen tant que telle

• Comment le couvrir ?– Couverture classique de taux, par contrats

futures, swaps, options de taux, …

Feuille de calcul

Microsoft Excel


• Les Γ-vols ?– On a vu que les effets de smile ou de skew modifient le

comportement de courbe de vols en fonction du strike

– Donc si le marché bouge de dS, la position en ∆ va bougerà cause du ∆ lui-même mais aussi de sa dépendance à lavol :

F. Wellers (87)

vol :

– On pourra donc être amené à couvrir la position en ∆effectif (sticky ∆) en prenant en compte ce calcul

SmilePosPos PenteVegaS

Pos

S

Pos

dS

Posd

+∆=∂∂

∂∂+

∂∂= σ

σ)()()(

5.6 Exercice des options (1)

• Exercer une option fait-il gagner ou perdre ?• A l’échéance

– on est neutre en MtoM : le « gain » que l’on réalise en achetant(vendant) un actif moins (plus) cher que le marché (S-K ou K-S)est déjà totalement pris en compte par la réévaluation de l’option

– on exercera donc ssi la valeur intrinsèque est positive (ITM)• En cours de vie :

F. Wellers (88)

• En cours de vie :– La valeur temps est positive sauf …

• … pour les options européennes pour lesquelles la couverture coûte,• … mais dans ce cas, on ne peut pas exercer

– Exercer revient à annuler la valeur temps• On n’exercera donc pas une option avant son échéance, mais

on la revendra– Exception : l’exercice optimal loin ITM, qui correspond à une

valeur temps strictement nulle, avec un coût de financement dela couverture

Feuille de calcul

Microsoft Excel

5.6 Exercice des options (2)

• Une situation qui peut être très délicate à l’échéance :– être short d’une option exactement ATM– le ∆ change brutalement de 0 (1) à -1 (0)– le Γ vaut -∞– si on couvre « exactement » en suivant tous les mouvements de marché,

on peut perdre sans limite• Alors quelle stratégie de couverture ?

– avoir une vue directionnelle …

F. Wellers (89)

– avoir une vue directionnelle …• … faute de mieux

– couvrir la moitié de la position équivalente• de cette façon on symétrise les risques en dessous et au dessus du strike

• Conséquence sur les vols implicites très courtes :– elles sont très chères– il faut prévoir et gérer ses Γ à l’échéance en avance

• Inversement, quand on est acheteur, à quelle heure faut-il exercer(le cas échéant) ?– … le plus tard possible, 5 minutes avant l’heure limite, pour pouvoir

« faire ses Γ » le plus possible

Feuille de calcul

Microsoft Excel

5.7 Travaux pratiques (1)

• Prise en main du logiciel

• Montons une position et couvrons la

• Gérons le Γ– Essayons plusieurs stratégies de couverture

F. Wellers (90)

– Essayons plusieurs stratégies de couverture

• Profitons du Vega

• Observons le θ• Exerçons des options


• Application de gestion simplifiée de positiond’options

• Ce qu’elle ne fait pas :– Pas de pyramide de vol : 1 seule valeur

F. Wellers (91)

– Pas de pyramide de vol : 1 seule valeur

– Pas de courbe de taux : 1 seule valeur

– Pas de bid-offer : 1 seule valeur

– Pas de financement de la position


• Ce qu’elle fait :– Niveau serveur (maître)

• Gestion centralisée des positions (base SQLServer)• Saisie des paramètres de valorisation• Matching automatique (inutile de tricher)+ toutes fonctionnalités clientes

F. Wellers (92)

+ toutes fonctionnalités clientes

– Niveau client (étudiants)• Pricing d’options avec grecs• Consultation des paramètres de valorisation• Saisie des deals• Exercice des options (avec contrôles)• Blotter (état des opérations)• Analyse de P&L et risques (grecs) de la position• Profils de P&L (intervalles de spots et vols)

9 Produits structurés

9.1 Définitions/Utilité

9.2 Formes et structures juridiques

9.3 Case study : obligation indexée CAC

9.4 Case study : coupon booster

F. Wellers (93)

9.4 Case study : coupon booster

9.1 Produits structurésDéfinitions

• Un produit structuré est– un produit financier– élaboré sur mesure par une banque pour un client– qui présente un profil spécifique de rendement/risque– construit à partir de « briques élémentaires » plus simples

• dépôts, instruments de taux

F. Wellers (94)

• dépôts, instruments de taux• change• dérivés de taux• options (change, taux, actions, commodities, autres)

• A la différence d’un produit de gestion (AM), il estdéfini par un profil de rendement déterministe– Mais la gestion passive est très consommatrice de ces

produits

9.1 Produits structurésUtilité

• Besoins spécifiques et complexes du client en termes– d’exposition

– de garantie

• Ou bien client souhaitant un fort rendement courant, au prixd’un risque sur le principal

• Ou bien client souhaitant vendre (implicitement) des options

F. Wellers (95)

• Ou bien client souhaitant vendre (implicitement) des optionssans avoir de crédit auprès de la banque

• Typologie clientèle– Institutionnels (assurances, …)

– Asset Management en gestion passive

– Par ricochet, le retail• L’assemblage de différents instruments simples, mais parfois difficiles à pricer, peut

rendre le calcul de la marge obscur

9.2 Produits structurésFormes et structures juridiques (1)

• Un produit structuré peut être– un dépôt indexé (maturités très courtes)– un CD ou BT indexé (maturités courtes)– une émission obligataire indexée (maturités MT, LT)

• on utilisera souvent un programme EMTN (euro medium termnote) qui ne nécessite que l’écriture d’un Pricing Supplement

F. Wellers (96)

note) qui ne nécessite que l’écriture d’un Pricing Supplementpour chaque tranche

– un swap indexé (pas de principal)

• Dans le cas d’une émission, l’émetteur peut être– la banque elle-même– une de ses filiales consolidées (éventuellement off-shore)– une SPV/SPC (Special Purpose Vehicle/Company)– une autre banque, rémunérée pour louer son bilan


• Dans le cas d’une SPV, ou d’une filiale bancaire, leclient souhaitera avoir la garantie de la banque

• Cette garantie a un coût, qui rémunère la signaturede crédit de la banque– par exemple le desk de structuration devra « repasser » la

liquidité au desk « funding » aux conditions de marché,

F. Wellers (97)

liquidité au desk « funding » aux conditions de marché,compte tenu de la qualité de signature, sous la forme d’undépôt ou swap à BID – marge de qualité

– exemple : CLN Casino 5Y à EURIBOR + spread• BNPP émet à EURIBOR + 120 bps• Lehmann émet à EURIBOR + 125bps• Quelle est la plus favorable pour l’acheteur (la moins chère) ?• En fait c’est la CLN BNPP, bien qu’elle rapporte moins car le

spread de Lehmann en tant qu’émetteur vaut 90 bps


• Alternative possible, en particulier quand leremboursement à l’échéance est lié à un événementde crédit– structuration sans garantie bancaire

– comme dans un CDO, la SPV acquiert des actifs (et des

F. Wellers (98)

– comme dans un CDO, la SPV acquiert des actifs (et desdérivés) dont la valeur va « autogarantir » la structure

– le montant remboursable aux investisseurs est alors limitéà la valeur des actifs de la SPV

– l’existence et le détail des actifs déposés chez le Dépositairesont garantis par un « Trustee »

• On appelle ce montage « Limited Recourse », car lerecours des porteurs est limité aux actifs de la SPV

9.3 Produits structurésObligation indexée CAC40 (1)

• Imaginons que nous souhaitons émettre au pairune obligation 4 ans, indexée sur le CAC40, avecune garantie sur le capital à 100%

• Payoff :

α est le coefficient de leverage

−×+×= )CAC40

CAC40CAC40,0max(1100Final

i

ifα

F. Wellers (99)

α est le coefficient de leverage

• Le premier terme est un Zéro-coupon, qui vautmaintenant : 100/(1+r)t

• Le deuxième terme est une option dont la primenous est donnée par le market maker options

• Finalement le coefficient de leverage α nous estdonné par les éléments du montage et notre marge

9.3 Produits structurésObligation indexée CAC40 (2)

• Sensibilité du montage aux taux– Des taux élevés favorisent un levier important, car le prix du

zéro-coupon qui construit la garantie en capital est plus faible etlaisse plus de place à l’option

• Pricing de l’instrument– r = 3%, ZC = 100/(1,03)4 = 88,85 =100*(1 – 11,15%)– Option (4Y ATM Vol=19%) = 18% * Strike ATM

F. Wellers (100)

– Option (4Y ATM Vol=19%) = 18% * Strike ATM– Marge de structuration : 1%– Leverage = (11,15 – 1) / 18 = 57%– Le produit offrira au plus 57% de la hausse du CAC

• Si on veut plus de levier, il faut– baisser le niveau de garantie– ou allonger la maturité– ou capper la performance (remplacer le call par un call spread)– ou utiliser des options exotiques (conditions restrictives de type

fonds à promesses)

9.3 Produits structurésCoupon booster (1)

• Imaginons que nous souhaitons émettre au pair une note(USD) 2 ans, qui paie un fort coupon, mais dont le principalne peut être remboursé au pair que si le S&P500 n’a pasbaissé. En cas de baisse, le principal est diminué de 100% dela baisse relative du S&P

• Flux : coupon semi-annuel de x% p.a.

F. Wellers (101)

• Principal à l’échéance :

• Le taux USD 2 ans est de 5% (sur le BID)• Nous pouvons déjà offrir 5% à nos investisseurs avant prise

en compte de l’option• Le deuxième terme est une option que le client me vend

implicitement et qui me servira à majorer son coupon

−−×= )P500&S

P500&SP500&S,0max(1100Final

i

fi

9.3 Produits structurésCoupon booster (2)

• Pricing du coupon majoré– la prime de l’option que le client me vend est de 13%– marge de structuration : 1%– reste 12% pour le client– je redistribue cette prime sous forme de coupons semi

annuels (attention à l’actualisation des flux)

F. Wellers (102)

annuels (attention à l’actualisation des flux)– 12%/Σ(discount factors) = 12%/3,77 = 3,18% à chaque

coupon– le taux de coupon de l’obligation sera de

• 5% + 3,18%*2 = 11,36%

• En contrepartie de ce beau rendement, le clientprend le risque de ne pas être intégralementremboursé

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