QUANTUM HALL EFFECT

Από τον Von Klitzing στους Κβαντικούς Υπολογιστές

QUANTUM HALL EFFECT

Από τον Von Klitzing στους Κβαντικούς Υπολογιστές

V.C. Karavolas

Physics Department, Solid State Section, University of

Athens, Panepistimiopolis, 157 84 Zografos, Athens,

Greece

Discovery of Hall Effect

Ανακαλύφθηκε το 1879 από έναν αμερικανό φυσικό τον E.H. Hall. Το φαινόμενο αυτό έχει μελετηθεί σε βάθος και είναι πλήρως κατανοητό σε μέταλλα και ημιαγωγούς.

Όταν ένα ηλεκτρικό ρεύμα διαπερνά μια μεταλλική επιφάνεια μέσα σε ένα κάθετο σε αυτήν μαγνητικό πεδίο τα ηλεκτρόνια εκπτρέπονται προς την άκρη της επιφάνειας δημιουργώντας μια ηλεκτρική διαφορά δυναμικού σε διεύθυνση κάθετη στο ηλεκτρικό ρεύμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο Hall.

Στις πειραματικές μετρήσεις του φαινομένου Hall, έχει βρεθεί ότι η αντίσταση Hall (RH ) αυξάνεται γραμμικά σαν συνάρτηση του εφαρμοζόμενου μαγνητικού πεδίου B.

Μια εντελώς νέα φυσική μας αποκαλύπτεται όταν το φαινόμενο αυτό μελετάται σε διδιάστατα συστήματα.

In 1980 ο von Klitzing έδειξε ο σε διδάστατα συστήματα η αγωγιμότητα Hall έχει διάκριτες τιμές . (Nobel 1985)

Experimental ResultsV. Klitzing :H ειδική αντίσταση Hall ενός silicon MOSFET’s as συνάρτηση της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων είναι σταθερή μέσα σε μια συγκεκριμένη περιοχή γύρω από κάθε ακέραιο συνετελεστή κατάληψης

ρxy=1i

h

e2 i= 1,2,3 ,. .. .

Η διαγώνια συνιστώσα της ειδικής αντίστασης μηδενίζεται

Η αγωγιμότητα Hall παράμένει σταθερή.

σ yx=ie2

h

i=1,2 ,3,. .. .

σ xx=0

Για Β < 4,3 Τ στη συμπεριφορά της ρxy παρατηρούμε το ΑΚΕΡΑΙΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ HALL

Για ισχυρότερα μαγνητικά πεδία παρατηρείται η ιεραρχία των καταστάσεων του Κλασματικού Κβαντικού Φαινομένου Hall γύρω από τον συντελεστή κατάληψης ν=1/2.

Ξεκάθαρες ομοιότητες ανάμεσα στις ταλαντώσεις Shubnikof deHaas και στην ιεραρχία των καταστάσεων γύρω από τον συντελεστή κατάληψης ν=1/2

Τα 2 Φαινόμενα Hall οφείλονται σε διαφορετικούς φυσικούς μηχανισμούς

Ακέραιο: Το μαγνητικό πεδίο διαχωρίζει τους φορείς φορτίου

Κλασματικό: Κάθε φορέας φορτίου συνδέεται με κβάντα μαγνητικής ροής

Θεωρία Σε ισχυρά μαγνητικά πεδία η ενέργεια των φορτίων κβαντίζεται.

Οι τιμές της ενέργειας αυτής δίνονται

Εn=n+12 ℏωc

Όπου είναι η συχνότητα κυκλότρουωc=eBm

n = 0,1,2,…

Παρουσία ενός ισχυρού μαγνητικού πεδίου οι συντελεστές μεταφοράς μετατρέπονται σε τανυστές.

σ=σ xx σ xy

σ yx σ yy ρ= ρxx ρxy

ρ yx ρ yy Η και είναι η παράλληλη και η Hall αγωγιμότητες σ x x σ x y

Ο συντελεστής Κατάληψης

n=νeBh

eBh

Εδώ το ν is είναι ο συντελεστής κατάληψης.

Όπου e είναι το φορτίο τοη ηλεκτρονίου h είναι η σταθερά του Plank.

Είναι ο αριθμός των καταστάσεων σε κάθε επίπεδο Landau

Aν το ν είναι ακέραιο έχουμε το Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall (IQHE)

Aν το ν είναι κλάσμα έχουμε το Kλασματικό Κβαντικό Φαινόμενο Hall (FQHE)

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ HALL

Σύνδεση m κβάντα μαγνητικής ροής με κάθε

φορέα φορτίου (CF)

Το Κλασματικό Κβαντικό Φαινόμενο Hall σε

συντελεστή κατάληψης ν=1/2 είναι το

Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall τω CFs

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ HALL

ν=k

2 mk ±1

ρto t= ρCS+ ρCF=[ ρxx −ρxy−ρcs

ρxy+ ρcs ρxx ]− Ιεραρχία των CFs

− Ειδική αντίσταση

του συστήματος − Ορος Chern-Simmons

στην ειδική αντίστασση

των CF

ρCS=2πℏ m

e2

FQHE- ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ

N σωματίδια χωρίς σπιν , φορτίου -e, και μάζας M

A^m είναι το στατιστικό δυναμικό

Ισχυρά Μαγνητικά Πεδία (Χαμηλότερο Επίπεδο Landau)

H=∑j=1

N

1

2M [ p j−ec

A x j ]2

+eA 0 x j ∑i<j

V ∣xi−x j∣

SCS=∫ d 3 xq4

emνλ Am F νλ

ec

Aec

A+A eA0 eA0+ A0Μετασχηματισμός Chern-Simmons

Y z1 ,. . . ,zN =∏i< j

zi−z j m−1c1 z1 , . .. ,zN Κυματοσυνάρτηση του Jain

(m-1 αριθμός μαγνητικών ροών)

Η δουλειά μας

Μοντέλα Αγωγιμότητας – Ισχυρά B

Diagonal

Conductivity

Density of States

Non Diagonal Conductivity

σ x x=−e2

π ℏ2∑N ,s∫ d E−∂ f E

∂E λ N x x

λN ,s

2

π 2 l2 λN ,sD λ N,sE 2

DλN,s=1

2πl21

2π λ N,s

e− E−E N,s

2/2λN,s

2

σ xy =-eB ∑N,s

dEf E DN,s E

DN,s=1

2πl21

2π Γ N,s

e−E−E N,s

2/2ΓN,s

2

Density of

Extended States

l= ℏ /eB

λN , s< ΓN , s

1

2 π l2Magnetic Length Number of States in a LL

ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ – ΑΣΘΕΝΗ B

− Diagonal Conductivity

− Density of States

− Non Diagonal Conductivity

Β μq < 1

Fermi Energy

σ xx=σ 0

1+ω2 τ s2 1

2ω2 τs2

1+ω2 τ s2

Δgg0

σ xy=σ0ωτs

1 + ω2τ s2 1−

13ω2 τ s2

1+ ω2 τs2ω2τ s

2Δgg 0

Δgg0

=2∑r=1

∞

e−pr/ωτq

2 rXsinh rX

cos2π rEF

ℏω−πr

g = g0+ Δ g

E F =pℏ2 ne/mX=2π2k B T /ℏ ω

IQHE (Wiedemann-Franz)

− Small LL broadening – WF Law is violated

Karavolas and Triberis Phys.Rev.B 59 750 (1999)

− Large LL broadening – WF Law is valid

FQHE (ν=1/2) resisitivityKaravolas, Triberis and Peeters Phys.Rev.B 56 15289 (1997)

FQHE (ν=1/2) thermopowerKaravolas, Triberis and Peeters Phys.Rev.B 56 15289 (1997)

FQHE (ν=3/2) resistivityKaravolas and Triberis Phys.Rev.B 63 35313 (2001)

− Parallel conduction between electrons – CF's

FQHE Higher LL thermopowerKaravolas and Triberis Phys.Rev.B 66 155315 (2002)

− Parallel conduction between electrons – CF's

FQHE - High Fields (Wiedemann-Franz)

Diagonal Component

− WF Law is violated for the qp components

Αλλες σειρές CFs

ν=3/8 Κατάσταση αντίστοιχη με το ν=3/2 Δυο αέρια Το πρώτο είναι 2-ροών-CF Το δεύτερο είναι 4-ροών-CF

Ανοιχτά Προβλήματα

Θερμοκρασία Δωματίου

Ν=5/2

Και άλλες σειρές καταστάσεων

Τοπολογικοί Κβαντικοί Υπολογιστές

Η περίεργη κατάσταση ν=5/2

ρxx=0

ρx y=2 h5 e

Κβαντικοί Υπολογιστές- Η Περίφημη Γάτα

Ταυτόχρονη ύπαρξη δύο καταστάσεων

Η γάτα είναι νεκροζώντανη

Τη στιγμή που πραγματοποιώ την μέτρηση το σύστημα πραγματώνει τη μια κατάσταση

Η αρχή αυτή χρησιμοποιείται σήμερα για την ανάπτυξη κβαντικών υπολογιστών

Kβαντικοί Υπολογιστές

•Ο κβαντικός υπολογιστής είναι μια υπολογιστική συσκευή που χρησιμοποιεί τις κβαντικές

ιδιότητες της υπέρθεσης αλλά και του συσχετισμού για τους υπολογισμούς της.

•Η βασική ιδέα πίσω από τους κβαντικούς υπολογιστές είναι ότι οι κβαντικές ιδιότητες μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για να αντιπροσωπεύσουν τα δεδομένα και να εκτελέσουν πράξεις.

•Η επαλληλία των πιθανών καταστάσεων δημιουργεί τα qubit (quantum bit).

•Οχι πια μόνο καταστάσεις 0 ή 1.

•Ενα qubit μπορεί να αντιπροσωπεύει ένα 0, ενα 1 ή οποιαδήποτε ενδιάμεση κατάσταση.

•Ενας κβαντικός υπολογιστής με n qubits μπορεί να βρίσκεται σε 2^n καταστάσεις ταυτόχρονα σε

αντίθεση με έναν κλασικό υπολογιστή που θα βρίσκεται σε μία από αυτές.

Τοπολογικοί Kβαντικοί Υπολογιστές (ΤΚΥ)

•Ένας τοπολογικός κβαντικός υπολογιστής είναι ένας κβαντικός υπολογιστής που

χρησιμοποιεί τα διδιαστατα ψευδοσωμάτια που ονομάζονται ανυόνια, των

οποίων οι κοσμικές γραμμές μπλέκονται στον 3 διάστατο χωρόχρονο (2 χωρικές

-1 χρονική) με τρόπο που να δημιουργούν “πλεξούδες”. Οι “πλεξούδες” αυτές

είναι οι λογικές πύλες του υπολογιστή.

• Ανυόνια είναι τα σύνθετα

φερμιόνια που βλέπουμε στο

Κλασματικό Κβαντικό

Φαινόμενο Hall.

• θ=2π s όπου s το σπιν (παίρνουμε τα

φερμιόνια θ=π και τα μποζόνια θ=2π)

• To 2005, οι Sankar

Das Sarma, Michael

Freedman, και

Chetan Nayak

πρότειναν μια διάταξη

που χρησιμοποιούσε

το κβαντικό

Φαινόμενο Hall η

οποία θα μπορούσε να

πραγματοποιήσει ένα

τοπολογικό qubit

(Phys. Rev. Lett. 94,

166802 (2005).

Η ν=5/2 κατάσταση και οι ΤΚΥ

ρxx=0

ρx y=2 h5 e

Room Temperature

Graphene

Room Temperature K. S. Novoselov et al.,

Science

on line 15 February 2007

Συμπεράσματα

− IQHE: Εξαιρετική μέτρηση της τιμής των φυσικών σταθερών

− FQHE: Κλασματική Στατιστική

− Το IQHE και το FQHE αν και παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά οφείλονται σε διαφορετικούς φυσικούς μηχανισμούς

− Κβαντικοί υπολογιστές

− Υπολογισμοί συντελεστών μεταφοράς για την κατάσταση ν=5/2 και για graphene σε θερμοκρασία δωματίου