Quelques repères autour des nombres… au cycle III et… après

Fractions et décimaux au CIII. 19.11.09 J.BOUBILA

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Quelques repères autour des nombres… au cycle III et… après

• Sources : TFM IUFM Créteil


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L’ensemble des entiers naturels IN = {0, 1, 2, …, n, …}

• À l’E.E., les expressions « entier naturel », « entier » et « naturel » sont synonymes.

• IN est un ensemble infini dit dénombrable.• IN a un plus petit élément : 0.• IN n’a pas de plus grand élément.• Chaque entier naturel n a un successeur unique, c’est n+1.

On dit aussi « le nombre juste avant » ou …« le nombre avant ».

• Chaque entier naturel n, sauf 0, a un prédécesseur unique : c’est n-1. On dit aussi « le nombre juste après» ou …« le nombre après».


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• Entre deux entiers naturels consécutifs, on ne peut intercaler aucun entier naturel

• Des entiers naturels particuliers et importants :consécutifs - on dit aussi « qui se suivent »- n et n+1pair / impair

- pairs : stabilité pour + et x- impairs : stabilité pour x

premier (2, 3, 5, 7, 11, …)- en particulier au CM : 2, 5 et donc 10 et

leurs puissances


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• Deux relations d’ordre : ≤ (ou <) càd « est inférieur ou égal à » dans IN, ordre total : deux

naturels quelconques sont comparables. Ex : 3 ≤ 17 ou 17 ≤ 3. | càd « divise », dans IN privé de 0, ordre partiel : existence de

naturels incomparables. Ex 3 ne divise pas 17 et 17 ne divise pas 3.

• aspect ordinal n < m : « n est avant m » droite graduée.• aspect cardinal n < m : nombre d’éléments d’un ensemble• Droite graduée avec des naturels : il y a de « grands trous ».• À l’E.E. : dès le CP, opérations + et x toujours faisables• Opérations - et division (exacte) : pas toujours faisables.


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L’ensemble des entiers relatifsZ = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}, n naturel

• Z est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.• Z n’a ni plus petit ni plus grand élément.• Chaque entier relatif a un successeur et un prédécesseur uniques.• Ordre ≤ (ou <) prolonge celui de IN, mais attention…• Entre deux entiers relatifs consécutifs, on ne peut intercaler aucun

entier relatif.• Droite graduée avec des entiers relatifs : il y a de « grands trous ».• Opérations + et x toujours faisables (stabilité).• Z est construit pour rendre la soustraction toujours faisable.


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• Division (exacte) pas toujours faisable.

• IN Z

• La relation | a cours dans Z privé de 0.

• À l’E.E. : hors sujet en mathématiques

• Au collège : dès la 6ème.


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L’ensemble Q des nombres rationnels

• Un élément de Q peut toujours être écrit sous forme de fraction, càd comme le quotient p / q de deux nombres entiers relatifs, où q ≠ 0.

• Q est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.

• IN Z Q

• Q n’a ni plus grand ni plus petit élément.

• Ni successeur ni prédécesseur pour un rationnel.

• On ne parle pas de rationnels consécutifs.


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• L’ordre ≤ (ou <) prolonge celui de Z.• Entre deux rationnels, on peut intercaler un (leur demi-

somme par ex.) (et même une infinité de ) rationnel(s). • Droite graduée avec des rationnels (des fractions) : il y a

toujours des …trous !• La relation |est triviale dans Q privé de 0.• Les opérations +, -, x sont toujours faisables dans Q :

stabilité.• La division est toujours faisable dans Q privé de 0 : stabilité.• Q est en effet construit pour rendre la division toujours

faisable, sauf par 0.


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• L’opposé d’un rationnel est un rationnel.• L’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel.• À l’E.E. : hors sujet sauf fraction-partage et fraction

décimale• Au collège : saut didactique majeur de la fraction-

partage à la fraction-quotient.• Un rationnel r peut avoir plusieurs écritures :

fractionnaire 17/37, -13/7- dont fractionnaire décimale 17/1000, 13/8 = …1625/1000

décimale avec période 0,594594…, -6,7878…, 1,6250


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• Ce qui caractérise un rationnel, c’est de pouvoir être écrit sous l’une au moins des 2 écritures : fractionnaire p /q où p et q entiers relatifs, q ≠ 0. décimale (à virgule) : partie entière, partie décimale comportant

une période. Il est toujours possible de passer de l’écriture fractionnaire à

l’écriture décimale et inversement (voir plus loin).


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L’ensemble IR des nombres réels

• Il y a d’abord les rationnels, ceux qui peuvent s’écrire sous forme de fraction à numérateur et dénominateur entiers relatifs, ce dernier étant ≠ 0.

• Il y a surtout les autres, les irrationnels comme √2, π, e, cos, ils sont « beaucoup plus nombreux ».

• IR n’est pas dénombrable, IR est continu.• L’ordre ≤ (ou <) de IR prolonge celui de Q.• Donc ni successeur, ni prédécesseur d’un réel.• On peut graduer une droite avec des réels sans qu’il y ait

de trous (c’est pour cela qu’on parle de la droite réelle…).


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• On ne peut pas parler de réels consécutifs.

• Toutes les opérations sont faisables dans IR sauf la division par 0, y compris « l’ extraction de la racine carrée », càd trouver x tel que x2 = 123456789 ,sauf …celle d’un nombre négatif.

• Écriture d’un irrationnel : partie décimale non périodique. Ex : 0,1020030004… ou

0,123214565478987…quel algorithme d’écriture ? impossibilité de l’écrire sous forme de fraction

• IN Z Q R


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L’ensemble C des nombres complexes

• Dans IR, l’équation x2 = - 1 n’a pas de solution, pas plus que l’équation x2 + x + 1 = 0.

• On construit C pour que toute équation à coefficients réels y ait des solutions. Ce qui explique l’expression « C est la clôture algébrique de IR (mais pas de …Q) ».

• Un complexe s’écrit sous la forme a + bi où a et b sont des réels et i est tel que i2 = -1.

• Tout réel est complexe.• L’ordre ≤ (ou <) de IR n’y a plus cours.• Étude en Terminale S.• IN Z Q IR C• On pourrait continuer ce cheminement, STOP !


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La fraction, c’est le passage obligé au CM, des naturels vers qui donc…


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Des rationnels aux décimaux…

• Écrire sous forme décimale un rationnel donné sous forme de fraction. À la machine : utiliser la touche / ou ÷, observer, identifier la

période (attention …chiffres cachés et arrondi automatique) et conclure. Ici : affichage à 12 chiffres 19 / 11 = 1, 72727272727 donc 19 / 11 = 1,72. 127 / 80 = 1,5875 donc 127 / 80 = 1,587507 / 6 = 1,16666666667 donc 7 / 6 = 1,16 19 / 7 = 2,71428571429 donc… 19 / 7 = 2,714285

À la main : diviser le numérateur par le dénominateur, observer, identifier la période et conclure. Ex 1 : 127 / 80 = 1,58750. Ex 2 : 19 / 7 = 2,7142857… donc 19 / 7 = 2,714285


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• Écrire sous forme fractionnaire un rationnel donné sous forme décimale. Ex 1 : r = 12,3 = 12,3333…

Faire 10 x r = 123,3333…Faire 10 x r - r = 111 Déduire 9 x r = 111 Conclure r = 111 / 9.

Ex 2 : r = 12,34 = 12,343434… Faire 100 x r = 1234,3434…Faire 100 x r - r = 1222Conclure r = 1222 / 99


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• Et que dire de r = 0,9 ? Faire 10 x r = 9,9 Faire 9 + r = 9,9 Déduire 10 x r = 9 + r Conclure r = 0,9999… = 0,9 = 1

• De même 1,29999… = 1,29 = 1,3

• De même 4,9999… = 4,9 = …5

• Et oui…0,999999… = 1 ! !


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Enfin…le voici…l’ensemble ID des décimaux

• Les rationnels qui ont 0 pour période peuvent être écrits sous forme :

d’écriture décimale 7,80 = 7,8d’écriture fractionnaire 7,80 = 78 / 10 = 780 / 1000 = …

• La fraction 78 / 100 ou 780 / 1000 ou …est une fraction décimale.

• Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, …, 10n, où n naturel ≥ 1 et de numérateur un entier relatif.

• Un décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire sous forme de fraction décimale, càd sous la forme a / 10n, où

a Z et n IN.


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• Tout décimal est un rationnel. • Mais il y a des rationnels non décimaux.

Ex : 2/3 ou 4/30 ou ….• Tout entier naturel est un décimal.• Mais il y a des décimaux qui ne sont pas des

entiers naturels. Ex : 3,24• IN Z D Q IR C


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• Quand on parle de « la fraction décimale égale à … », on signifie qu’il s’agit de l’écriture fractionnaire dont le dénominateur est la puissance de dix la plus petite possible.

• Sinon, on parle d’ « une fraction décimale égale à … ».

• Les décimaux, ça existe surtout pour les utilisateurs de mathématiques. Ce sont des entiers relatifs déguisés. Comment ? Tout simplement en changeant d’unité.


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• ID est stable pour +, - et x.• L’opposé d’un décimal est un décimal.• L’inverse d’un décimal n’est pas en général

décimal. Si l’inverse de 0,32 est bien 3,125, celui de 3,25 = 325 / 100, est, dans Q, 100 / 325 qui a la curieuse idée de ne pas être décimal.

• Le quotient de 2 décimaux n’est pas en général un décimal.

• Comment écrire un décimal ?


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• Sous forme de : Fraction décimale : 23 / 100 237 / 10 200 / 10 Écriture décimale : 0,23 23,7 2 Écriture a x 10p : 23 x 10-2 237 x 10-1 2 x 100

Écriture scientifique : 2,3 x 10-1 2,37 x 101 2 x 100

Écriture ingénieur : 230 x 10-3 Écriture en lettres vingt-trois centièmes deux cent trente et un dixèmes

Écriture comme somme de fractions décimales Décomposition « canonique » 23,7= 2x10 + 3 + 7x1/10 Décomposition autre 23,7 = 23 + 7x1/10 = 237/10


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• Comment reconnaître si une fraction est un décimal ? À la machine : utiliser la touche / ou ÷, observer, identifier la période

(attention …chiffres cachés et arrondi automatique) et conclure qu’il est décimal si la période est 0 (*). Ici : affichage à 12 chiffres

Ex 1 : 19 / 11 = 1, 72727272727 donc 19 / 11 = 1,72. Non décimal 127 / 80 = 1,5875 donc 127 / 80 = 1,58750. Décimal.

À la main : poursuivre la division du numérateur par le dénominateur, conclure qu’il est décimal si la division s’arrête.

Ex 1 : 127 / 80 = 1,58750… Décimal Ex 2 : 19 / 7 = 2,7142857… donc 19 / 7 = 2,714285. Non décimal.


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• Raisonnement : écrire le dénominateur sous forme d‘une puissance de 10 Si c’est possible : décimal. Ex 1 : 30 / 12 = 10 / 4 = 10 x 25 / 4 x 25 =

250 / 100 = 2,5 Ex 2 : 127 / 80 = 12 7 x 125 / 80 x 125 = 15 875 / 10 000 = 1,5875

Sinon : non décimal. Ex 10 / 12 = 5 / 6

L’objet mathématique 2,1 / 7,8 n’a pas de sens à l’école Il est souvent utile de mettre au format des écritures de décimaux pour

opérer sur ou comparer ces nombres. Idn


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• Comment comparer des décimaux ?Être au clair sur le sens des mots et expressions

DécimalDécimaleÉcriture décimale (à virgule)Fraction décimale Partie décimaleNumération décimaleDixième, centième,…Chiffre des …, nombre de …Partie entièreMettre au format


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• Données : deux décimaux d et ∂ (> 0) sous forme d ’écriture décimale (on suppose qu’ils ont au maximum 3 chiffres dans

leur partie décimale) Identifier leur partie entière Si partie entière de d (∂) < partie entière de ∂ (d), alors conclure d < ∂ (∂ < d).

Fin. Sinon : partie entière de d = partie entière de ∂, continuer.Méthode 1 : mise au format

mettre d et ∂ au même format Identifier leurs parties décimalesLes comparerConclure


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Méthode 2 : par balayage des chiffres décimaux

Comparer les chiffres des dixièmes • Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin

• Sinon comparer les chiffres des centièmes– Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin.

– Sinon comparer les chiffres des millièmes

» Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin.

» Sinon, d = ∂.


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• Méthode 3 (conseillée) : sur un exemple 6,74 et 6,8 comparer 7 dixièmes et 8 dixièmes

ou comparer 74 centièmes et 80 centièmes. conclure.


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Alors, on dit quoi ?

• 3 est un décimal.• 3,14 est un décimal;• π est un décimal.• π est un rationnel.• La fraction 4 / 3 est un décimal.• La fraction 3 / 4 est un décimal.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à

partir d’un certain rang.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.• Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.• Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir

d’un certain rang.


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• Toute fraction est plus petite que 1.• La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite

sous forme de fraction décimale.• Le quotient de deux réels est une fraction.• Un entier naturel a une écriture fractionnaire.• Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal

0,988.• Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.• Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.• Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale

ou sous forme de somme de fractions décimales.• L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.


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• 455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.• 31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.• Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune

fraction.• Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune

fraction décimale.• Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.• Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.• Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000• Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.• Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.• 1,234 = 12/10 + 34/100• Mettre au format les décimaux 5,678 et 5,6779, c’est les remplacer le

premier par 5,6780.


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• De deux décimaux ayant la même partie entière, le plus grand est celui dont la partie décimale est la plus longue.

• 1,234 > 1,24.

• Une fraction décimale est toujours inférieure à 1.


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Un best-off des « théorèmes-élèves »

• 3/4 confondu avec 3,4.• 12/10 identifié à 12,1.• 12/100 identifié à 12,1.• 120/10 identifié à 110.• 3/4 < 75/100 car 3 < 75 et 4 < 100.• Chez Leclair, l’essence coûte 1,49€ le litre. Chez Ochant, elle ne coûte que

1,5€ le litre.• De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est

celui qui a la partie décimale la plus longue.• De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est

celui qui a la partie décimale la plus grande.• On lit 3,257 « trois virgule deux cent cinquante sept ». Le chiffre des

centièmes est donc 2.


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• Fatou a 2 pièces de 1€, 2 pièces de 20 cent et de 9 pièces de 1 cent. John dispose lui de 2 pièces de 1€ et d’une pièce de 50 cents. Fatou qui a davantage de pièces que John a donc davantage d’argent..

• On ne peut pas donner avec nos pièces une somme comprise entre 6,78€ et 6,79€. Il n’y a donc pas de décimal à intercaler entre 6,79 et 6,79.

• Graduation d’une droite « lue » comme graduation régulière.• Partage d’une quantité, d’une grandeur « lu » comme partage

égalitaire (équitable).• 1/2, 3/5, 7/10,… sont des décimaux, ayant chacun une écriture

décimale. Donc 2/3 qui a aussi une écriture décimale est …décimal.• 1/2, 3/5, 7/10… sont des décimaux. Il s’écrivent avec une virgule.

Donc seuls les nombres à virgule peuvent être décimaux. Pas un entier !


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• Repérer un décimal sur une droite régulièrement graduée sans avoir identifié les graduations. Par ex, graduation régulière de 2 en 2 entre 4 et 5 lue comme graduation régulière de 1 en 1.

• 34,56 est plus grand que 35,5 car le premier a plus de chiffres que le second.

• Compter en dixièmes à partir de 7,8 : 7,9 7,10 7,11 etc…• Compter en centièmes à partir de 7,97 : 7,98 7,99 7,100 7,101 …• 7,50 = 7,5 donc 12,05 = 12,5.• Suite à une soustraction, on trouve 07,05. Donc le résultat est 7,5.• 4 dixièmes = 4,10, 6 centièmes = 6,100 ou 6 centièmes = 6,001 ou 6

centièmes = 6,01.


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Alors, on dit quoi ? C’est …faux

• 3 est un décimal.• 3,14 est un décimal;• π est un décimal.• π est un rationnel.• La fraction 4 / 3 est un décimal.• La fraction 3 / 4 est un décimal.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir

d’un certain rang.• Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.• Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.• Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir

d’un certain rang.


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• Toute fraction est plus petite que 1.• La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite

sous forme de fraction décimale.• Le quotient de deux réels est une fraction.• Un entier naturel a une écriture fractionnaire.• Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal

0,988.• Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.• Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.• Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale

ou sous forme de somme de fractions décimales.• L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.


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• 455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.• 31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.• Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune

fraction.• Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune

fraction décimale.• Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.• Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.• Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000• Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.• Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.• 1,234 = 12/10 + 34/100• Mettre au format les décimaux 5,678 et 5,6779, c’est les remplacer le

premier par 5,6780.


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• De deux décimaux ayant la même partie entière, le plus grand est celui dont la partie décimale est la plus longue.

• 1,234 > 1,24.

• Une fraction décimale est toujours inférieure à 1.

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