744 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 5 - OCT.-NOV. 1955

Quelques résultats théoriques récents concernant les écoulements

des nappes d'eau souterraines

A few récent theoretical results concerning ground water flow (*)

PAR K. M E Y E K

INGÉNIEUR AU LAliORATOIRE DAUPHINOIS D ' H Y O B A U I . I Q U E , GRENOBLE

La présente partie de cet article contient les justifications théoriques des assertions énoncées précédemment et concernant l'étude de l'ap­proximation de Dupuit et l'étude des nappes de faible épaisseur d'une façon gértérale. Elle con­tient aussi un certain nombre de remarques d'ordre physique. Ainsi on montre que les écou­lements transitoires dans une nappe sont com­parables aux phénomènes de houle et d'ondes dans les canaux : tous ces phénomènes sont des « ondes de surface » et disparaissent quand on s'éloigne trop de cette surface. Néanmoins, alors que les ondes à l'air libre ont en général un amortissement très petit, celles se propageant dans les nappes s'amortissent très rapidement à cause de la dissipation de l'énergie. Vue sons cet angle l'approximation de Dupuit est le pen­dant de la « shallow water theory » des écou­lements à surface libre et les simplifications à faire pour arriver à ces approximations sont fort semblables. Par contre l'analogie s'arrête là dans le cas de ces approximations; le calcul effectif des écoulements est fort différent et, en général, plus aisé dans le cas des nappes d'eau souterraines. En effet les êqiiation's sont du type « chaleur » alors que celles de la « shallow water theory » sont du type « onde » . L'équation de la. chaleur a des propriétés de régularisation très nettes (un peu comparables à celles des équations du type « elliptique » ) . Les solutions en sont donc, en' général plus simples que celles des équations du type onde (surtout quand il y a de multiples réflexions).

This section of the article contains theoretical justifications of statements mode previously in connection with Dupuit's approximation, and a gênerai investigation of shallow ground water. It also contains a number of observations of a physical nature. It is shown that transient flows of ground water can be compared with swell and wave phenomena in canals, for ail such phenomena are " surface waves " and vanish when the distance from the surface hecomes great. However dumping in free sur­face waves is usually slight, whereas the dissipation of energy expended by waves propagated in ground water causes them lo die away rapidly. Looked at in this way Dupuil's approximation is the counterpart of the shallow water theory in free surface flows, and the simplifications that have to be made to obtain the approximations are very similar. But here the analogy stops short, for where ground water is concerned the actnal flow calculations are qnite différent and are usually much easier. In actual fact the équations are in the " heat " category whilst those connected with the shal­low water theory are wave équations.

The heat équation has very marked regulariza-tion properties and for this reason is to some extent comparable with elliptic type équations. Its solutions are generally simpter than those of wave équations, especially where there are multiple reflections.

.(*) Cf. La Houille Blanche, n" 1, 1955.

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955058

OCT.-NOV. 1055 - N° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E

S O M M A I R E

745

O H A P I T E E I I I . — C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S

3-1. — ÉQUATIONS DE L'ÉCOULEMENT DE VEAU DANS LES MILIEUX POREUX.

3-2. — VARIATIONS SINUSOÏDALES DANS UNE NAPPE SANS ÉCOULEMENT MOYEN ET SUR UNE ASSISE IMPERMÉABLE HORIZONTALE.

3-3. — APPROXIMATION DE DUPU1T, OU DES « NAPPES DE FAIBLE ÉPAISSEUR » , EN RÉGIME SINUSOÏDAL.

3-4. — NAPPES DE FAIBLE ÉPAISSEUR EN GÉNÉRAL.

3-5. — DISCUSSION PHYSIQUE DES HYPOTHÈSES ET RÉSULTATS DU PARA­GRAPHE 3-4.

(Ici s'arrête la publication réservée au présent numéro)

3-6. —- NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3-7. — SURPRESSIONS SUR LES MURS DE QUAI DUES A LA MARÉE.

3-8. — PHÉNOMÈNES NON SINUSOÏDAUX DANS LES NAPPES DE GRANDE ÉPAISSEUR.

3-9. — CONCLUSIONS DU CHAPITRE III.

C H A P I T R E I I I

C O N S I D É R A T I O N S T H É O R I Q U E S

Comme il a été exposé dans la première partie de cet article, le chapitre I I I cont ient les just i­fications théoriques des assertions énoncées pré­cédemment et quelques remarques d'ordre phy­sique. On aura avantage, au cours du chapi­tre I I I , à se repor ter souvent aux figures corres­pondantes de la première partie.

3-1. — Equations de l'écoulement de l'eau dans les milieux poreux.

Nous ne voulons ici que rappeler br ièvement les équations de l 'écoulement et les hypothèses de base. Ces équations sont d'ailleurs traitées dans de nombreuses publications classiques (voir par exemple [ 2 ] ; [ 3 ] ) ; [4] ( * ) ; e t c . ) .

HYPOTHÈSES PHYSIQUES DE BASE

a) La loi de Darcy généralisée s'applique par­tout au sein de la région étudiée :

(*) Les chiffres entre crochets [ ] renvoient à la bibl io­graphie, p. 758.

v = — K. grad h

—> Q —» v = -7T- . e

S : surface plane située dans le mi l ieu poreux, perpendiculaire au flux moyen d'eau qui y passe et grande devant les dimensions des particules du mi l i eu poreux.

Q : débit passant par S.

e : vecteur unitaire perpendiculaire à S.

v : vecteur appelé : « vitesse de filtration » ou plus souvent « vitesse » (ce n'est pas une vitesse moyenne de l'eau puisque la sur­face S comprend également des parties solides).

K : tenseur de perméabil i té . En général on le considère c o m m e un scalaire : K.

h : charge hydraul ique au poin t considéré et rapportée à un plan de référence un ique pour tout l ' écoulement h — z + (p /w) : z : cote du po in t considéré à partir du plan de référence; p : pression sur la sur­face S; w : poids spécifique de l'eau.

5

746 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 5 - O C T . - N O V . 1955

b) L e fluide et le mi l ieu poreux sont ineom- h0 : charge dans l'eau libre,

pressibles, d'où l 'équation : e) A la surface libre de l'eau souterraine, on a:

div v = 0

qui s'applique également dans tout l 'écoulement . \dx ) \dy J \dz J dz K 9/

c) Sur les obstacles fixes et imperméables on admet : et h — z.

9 / j oxyz : trièdre de référence; V" ~ ~dn~ ~® o z '• verticale (posi t ive vers le haut") ;

n : normale à la surface de l'obstacle. 1 '' t e m P s ' J, o , r , t , m : porosité effective; a) Sur les surfaces de contact entre 1 eau libre

et l'eau souterraine, on a : f) On admet que les paramètres K et m ne va-

h — h0 r ient pas dans le temps.

EQUATIONS DK DÉPART TIRÉES DES HYPOTHÈSES DE BASE :

On peut él iminer v entre les deux équations valables dans tout le mi l i eu poreux d'où :

d i v ( K ' g r a d A ) = 0 au sein du mi l i e u ;

- J ^ - = 0 sur les obstacles imperméables ; on

h = hi} sur les surfaces de contact avec l'eau libre.

m dh / dh \ » . / 3/j \ 2 , / 3/i \ 2 dh i H- i K dt \ dx ) \ dy \ dz j dz > à la surface libre.

ii = z)

L'ensemble des équations ( I ) permet théor iquement de résoudre le problème.

HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES NÉCESSAIRES AUX CALCULS EXPOSÉS CI-APRÈS :

a) K est un scalaire ne prenant qu 'un nombre l imité de valeurs constantes.

Dans une région où K = C s t e , on a alors :

 3 f t = FJ

' 3 ~ dx2 + dy* + 3F

b) En vue de la linéarisation du problème ainsi défini, on admet que l 'écoulement cherché reste voisin d'un certain écoulement donné par h — H (x, y, z, t) et dont il ne diffère que par les con­ditions aux l imites sur les surfaces de contact avec l'eau libre. Nous posons alors pour notre écoule­ment : h = H -j- hx.

Comme H et h sont deux écoulements satisfaisant à toutes les équations I, sauf à h = /?„, on a:

A S H = 0; A 3 h = A 3 H -f- A 8 /i, = 0 : dans tout le m i l i e u ;

/ 3H \ „ dh 3H . 9/i, „ , K . i ' ' = u , —— = —— -F- — - = u : sur les obstacles; 3n J ' dn dn dn

; H — z; 9 H Y . / 3 H \ 2 . 9H 3H m 9H

+ r ^ 7 + i "57

\

dx j ' V 9?/ / 1 \ dz J dz K dt

dx J ^ { dy j ^ \ dz } dz ^ " dx dx ^ dy dn + 1JF dz l s u r t a c e

» l ibre

r V dx J ' { dy J ' \ dz I dz K V dt ' dt J' + 1

OCT.-NOV. J955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 747

D'où , par soustraction des deux séries d'équations :

A 3 / i j = 0 : dans tout le mil ieu poreux,

0 : sur les obstacles imperméables, dn

2 2 ÔH _,_ m dhj _ m dh, ^

dx dx dy dy dz dz dz K dt j à la

surface

libre

Seule la t rois ième équation est non linéaire. Si les perturbat ions par rappor t à l 'écoulement H sont faibles, on peut la linéariser; ceci revient à égaler à zéro le membre de droite. E n plus, si hx

est petit, la surface libre peut être considérée c o m m e étant en z = H.

Nos équations de départ seront donc les équat ions suivantes (on suppr ime l ' indice 1) :

, A 3 h = 0 : dans tout le mi l ieu poreux;

dh

dn = 0 : sur les obstacles imperméables ;

II h = h0 ; sur les surfaces de contact.

9 3 H _ _ 9 ^ L , 9 ^ H _ a h . , 2 i Ë L dx dx " dy dy dz dz

dh m_ dh ( à la surface libre

~dz ~~ K ~dt\ f i u i est en z — H

Si l 'écoulement H (,x, y, z, t) est le repos absolu, on a : H = 0, d'où

' A„ h = 0 : dans le mi l i eu ;

dh

III

= 0 : sur les parois imperméables ;

ÎS surfaces de contact ave

= 0 : à la surface libre qui est en z — .r„ = (>" ' .

dn

h — h0 : sur les surfaces de contact avec l'eau l ibre;

dh m_ dh

'dz ' K dt

Nous discuterons par la suite la légi t imité de la l inéarisation.

3-2. — Variat ions sinusoïdales dans une n a p p e sans écoulement moyen située sur une assise imperméable horizon­tale.

La figure 34 mont re cette nappe. Les équations de départ sont les équations ( I I I ) ; on place le plan xoz dans le plan de la surface libre de l«a nappe au repos.

Comme le problème est linéaire, i l existe des écoulements tels que toutes les grandeurs varient sinusoïdalement. Ce sont ces écoulements que nous allons étudier maintenant. Pour cela, posons :

h (z; y; z; t) = H 0 (x; y; z) cos (<o t + ?)

Les calculs se simplifient beaucoup si on

adopte les notations complexes de FRESNEL ( * ) :

h = 61 [H e'*'] avec H = H 0 & f

<R.[...} : partie réelle d e . . .

, -onde (surface libre) '0

! r assise imperméable

T T r f y f ' rv' r ' FH r \ i \ r \ t \' Km. 34

(*) Ce mode de calcul est employé entre autres par les électriciens pour l'étude des courants alternatifs.

748 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 5 - OCT.-NOV. 1955

L a fonc t ion H (z, y, z) satisfait alors aux équa­tions :

A, H = 0 : dans le mi l ieu (3; 4)

3H

dz 0 : pour z — — H 0 ;

JËL + "*j « H = 0 : pour z = 0. dz K

et aux conditions aux l imites en pian détermi­nant l 'excitat ion de pulsation w. On résoud ces équations par la méthode classique des fonc­tions propres, qui se décomposent ici en produi t de fonctions :

H = S A ( z ; n).B (x; y; n) n

On déduit de (3,4) :

• U ) A " , à2 B ( x . y ) ^ x 2 ( = C s t e )

B

A., = - ^ - T - -t-3x 2

3y 2

D'où :

A = C cos (X z + o)

A 2 B = X2 B

L a condi t ion ( 3 H / 3 z ) — 0 pour z = exige que «p = X H 0 ,

H 0

d'où :

A == C cos X (z -f H 0 )

La condi t ion à la surface libre exige que :

allons étudier de plus près deux cas part iculiers importants pour la suite : écoulement plan et écoulement de révolut ion. Dans ces deux cas, B(x;y;n) est également décomposable en une somme de produits de fonctions orthogonales.

Dans le premier cas :

B (x; y; n) se réduit à B (x; n)

D o n c :

B" -— X2 B = 0

B = E e** + F e-**

D 'où :

H — S cos X„ (z + H„) F E „ + F „ c-*-*]

Les E „ et F » sont à déterminer par les condi­tions aux l imites en plan. Soit par exemple :

H H 2 (z) en z — L

H = H x (z) en x = 0

point considéré

bordée la naÇPe\-

réflexion

réflexions-

~\ bordée nappe

FIG. 35

X sin X H 0 = ; cos X H 0 (3 ; 5) On en déduit :

Cette équation possède une infinité (.dénom-brable) de solutions complexes : X„.

Ht (z) = S cos X„ (z + H 0 ) ( E „ + F » )

H 2 (z) = S cos X„ (z + H 0 ) ( E „ + F „ e - * « L )

D 'où :

Le théorème de F O U R I E R permet de calculer H = S c o s X n ( z + H 0 ) B ( x ; z / ; n ) (3; 6) E „ et F B :

ru

Les fonctions B ( x ; y ; n) sont à déterminer à J-n^ H l ^ °°S ^K ^ ^ d z

partir dès condit ions aux l imites en plan. Nous ^ » + F " ~ "h 0/2 -j- [ l / f 4 X„) 1 sin 2 X„ ~ 9 l ^

OCT.-NOV. 1955 - N° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 749

E „ e * » L + F „ e - ^ L =

D 'où finalement :

H = S cos X„ (z -f- H 0 )

On appelle l 'expression :

H „ = cos X„ (z + H 0 )

I Hx (z) cos Xn (z 4 - H 0 ) y - H „

H „ / 2 + [ l / ( 4 X n ) ] s i n 2 X „ H 0

<?i (n) sh X„ ( L — x) -f ? 2 C"0 sh Xn x sh X„ L

?! (n) sh X„ ( L — x) -f cp2 (n ) sh X„ a: sh X„ L

onde élémentaire d'ordre « n » .,11 est donc la superposition d'une infinité d'ondes élémentaires.

On peut écrire H „ sous une autre forme :

H„. = cos X, (z + H 0 ) -j ?! (n ) [ E - * - — e - x < * + 2 < L — » _ e - x < * + 2 I . >

_J_ e - \ < * » - t » 2 L + 2 ( L - * ) > ± . . . j _|_ Ç2 (n) [ e - X < L - X > E - X < L - A . - + 2.T>

g - X < L — J + 2 1 > .L. g - X < l - I + 2 I . + 2I> ± . . . ] }•

Sous cette forme on voit que l 'onde <f± part de x — 0, passe au poin t considéré, se réfléchit sur x = L , repasse au point considéré, se réflé­chit sur x = 0, etc. De même pour l 'onde ?o (voir fig. 35).

On voi t donc c o m m e n t les ondes sont engen­drées par les condit ions aux l imites. L 'onde pure sans réflexion est de la forme :

H„ = cos X„, (z + H 0 ) e~x'*'

Physiquement , c'est la seule intéressante, les autres s'en déduisant par des réflexions.

Dans le cas d'un écoulement de révolut ion :

B(x;y;n) se réduit à B ( p ; n )

et est donné par :

B " + . l / p B ' — X„ 2 B = 0

Donc :

B = E I 0 A » P ) + F K 0 ( X „ 9 )

On pourrai t faire les mêmes calculs que pour le cas précédent. On t rouve finalement qu ' i l existe aussi ici des ondes pures d'ordre n, mais il y en a de deux sortes : l 'une provenant de la l imite intérieure, l 'autre de la l imite extérieure. Dans le cas d'un écoulement plan, il y a une seule espèce d'onde parce que les deux l imites j ouen t exactement le même rôle.

Etudions de plus près les ondes pures. Les nombres X,t H 0 sont donnés par l 'équation (3,5) que nous pouvons écrire :

(X„ H 0 ) tg (X s H 0 ) = j o) m H 0

K

Les solutions X» H 0 ne sont l 'onction que du paramètre w m H 0 / K . On peut se faire une idée de ces solutions en traçant le réseau isotherme Z = z . t g z . Ce réseau est schématisé sur la fi­gure 36. On y a tracé en traits pleins quelques courbes sur lesquelles la partie imaginaire de Z est constante et en traits pointi l lés la courbe sur laquelle la part ie réelle est nulle. Les solutions de l 'équation en X„ H 0 se t rouvent év idemment sur cette dernière courbe.

3IR/E Zir Sir/2 3ir

Fie. 36

71T/2

On voi t que la partie réelle de X„ H 0 est c o m ­prise entre n r. et n % ~f T-/2.

Dans le cas d'un écoulement plan, l 'onde pure d'ordre n est donnée par une expression du genre :

H „ = e - « » (*/H.) . cos ( b ^ ~ ~ ) ^ ± b n w m • cos ( A B - ~ -

ou

X„ H 0 = an -f j bn

(3; 7)

On voi t qu ' i l y a des ondulations suivant les deux axes Ox et Oz. Ent re O et — H 0 , il y en a juste « n » (pour l 'onde d'ordre « n » ) . Les on­dulations s'éteignent dans le sens ox et ceci

5*

750 L À H O U I L L E B L A N C H E N » 5 - OCT.-NOV. 1955

d'autant plus rapidement que n est grand. Pra­t iquement, X n + 1 H 0 — X„ H 0 est réel et de l 'ordre de 7t. '

Le rapport des amortissements de deux ondes

d'ordre n + 1 et n est donc de l 'ordre de :

Si les ondes ont une intensité comparable au départ et si on se contente d'une précision de 5 %, on peut négliger les ondes d'ordre supé­rieur à :

— zéro : à partir de x ^ H 0

— un : à partir de x ^ (1 /2) H 0

— deux : à partir de . x ^ ( l / 3 ) H 0, e tc . .

A l'aide des formules de développement asymp-totiques des fonctions I 0 et K 0 , on vérifie qu ' i l en est de même dans le cas des écoulements de révo­lution. D'une façon générale on peut démontrer que le mil ieu poreux « filtre » les ondes. P o u r x ^ H 0, on peut en général se contenter de la première onde et écrire :

H = cos X0 (z + H 0 ) [ E 0 e*<* + F 0 ]

dans le cas des écoulements plans;

et :

H = cos X 0 (z + H 0 ) B (x ; y; 0) (3; 8)

avec :

A , B — X0- B = 0

dans le cas général.

On en déduit dans le cas général :

3-H , 3 2 H , , „

Sx 2 a i , *

(3; 9)

Vues de cette façon, les ondes d'ordre élevé apparaissent comme des perturbations transi­toires rapidement amorties dans l'espace ser­vant à ajuster les conditions aux limites. Le même phénomène a lieu — d'une façon beau­coup plus marquée d'ailleurs — dans le cas de la houle (voir par exemple l 'article de M M . BIE-SEL et SUQUET dans la Houille Blanche, n° 4, jui l let-août 1951, page 476), et d'une façon géné­rale dans le cas des ondes sans dissipation d'énergie.

D'une façon encore plus intuit ive, on peut dire que le phénomène devient à deux dimensions si le point considéré est distant de la l imite de la nappe de plusieurs fois l'épaisseur de la nappe. Ceci est un phénomène général et bien connu ; il permet de réduire le nombre des dimensions à considérer dans un problème physique donné

et de parler physiquement par exemple de pla­ques ou de poutres (considérées c o m m e inl ini-ment minces) . Il est néanmoins intéressant de pouvoi r chiffrer dans chaque cas ( c o m m e cela vient d'être fait i c i ) la distance m i n i m u m à respecter à partir des limites.

3-3. — Approx imat ion de Dupuit en régime sinusoïdal.

Etudions d'abord cette approximat ion dans le cas d'une nappe au repos sur une assise imper­méable horizontale. On peut alors la rattacher aisément aux calculs faits au paragraphe 3-2.

D'abord si H 0 est faible, la région x ^ H 0 est très petite, donc on n'a pas à se préoccuper des ondes d'ordre plus élevé que zéro. En outre, on peut expr imer faci lement X0 en fonct ion de M m H n / K si ce nombre est peti t devant 1.

Dans ce cas, l 'équation :

(X0 H 0 ) tg (Xo H 0 ) = j

peut s'écrire :

m H„

(X0 H 0 ) 2 + l / 3 F / 0 H 0 ) 4 + . . . = = ; . ça m H„

K

ou :

.. „ / o) m H„ N 1 / 2 I 1 + 7 , 1-—/ rrrOimHo , X . H o ^ — — , [ - ^ i + V V f ~ T J ! +

L'approx imat ion de DUPUIT revient jus tement à admettre que <» m H 0 / K est petit devant 1 et qu 'on peut écrire :

X0 H 0 : •' co m H» y / 2 1 -f j

K ) V F

L 'équat ion (3; 9) devient alors :

3x 2

1 % 2

(3; 10)

Ceci est l 'équation de base des études des nappes dans l ' approximat ion de D U P U I T .

Remarquons que H donne directement la cote de la surface libre en fonct ion de x et y.

On peut faci lement évaluer les erreurs c o m ­mises en employant cette approximat ion . Il y en a deux sortes :

a) Erreurs dues aux ondes d'ordre supérieur; leur ordre de grandeur est g - n O " / ^ ) e n v a _ leur relative;

O C T . - N O V . 1955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 751

b) Erreurs dues à l ' approximat ion de la valeur A 0 H 0 ; ils sont de l 'ordre de :

_ V - ( i " » ï i i l / ! ce

l ___ g 12 \ K I HO

En outre, on néglige en général le facteur :

cos l 0 (z -f H n )

cos X0 H p

ce qui revient à l 'admettre égal à 1. Il est mini ­m u m en z = — H 0 et égal à l / c o s X 0 H 0 .

On peut aussi obtenir l 'équation ( 3 ; 10 ) par une autre méthode qui consiste à faire, à pr ior i , des hypothèses sur l 'écoulement. Nous allons em­ployer cette méthode pour t rouver une équation plus générale que ( 3 ; 1 0 ) .

Soit une nappe de faible épaisseur coulant sur une assise imperméable (fig. 3 7 ) .

Pour arriver à l 'équation de l 'écoulement, compte tenu de l 'hypothèse de D U P U I T , nous ferons les hypothèses suivantes :

1) La vitesse de l'eau est constante sur chaque

vert icale;

2) Les variations des caractéristiques de la nappe et de l'assise imperméable sont suffisam­ment petites.

La première hypothèse revient à admettre qu'une fonct ion analogue à cos X0 (z -J- H 0 ) est à peu près constante entre la surface libre et le fond de la nappe. La deuxième garantit que les réflexions des ondes dues aux changements de caractéristiques sont faibles.

Moyennant ces hypothèses, nous allons étu­dier les nappes de faible épaisseur.

Soient :

H 0 (x ; y) : l'épaisseur d'un écoulement non per­turbé au point x; y (fig. 4) ;

h(x;y;t): la différence entre l'épaisseur d'un écoulement perturbé et H 0 ( x ; j / ) ;

U 0 ; V „ : vitesse de l 'écoulement non per turbé;

u ; v : (idem ~ h) ;

j , ; iv : pente des coupes de l'assise imper­méable par des plans parallèles aux plans de coordonnées.

L 'équat ion de cont inui té est alors :

9 [ ( H 0 + / i ) (U„ + a)1 , 9 [ ( H 0 + ft) ( V „ + o ) ]

3x ^ dy

m dh

dt

La loi de DARCY donne :

U 0 + n = — K 9 ( H 0 + / i ) , • _ — _ F~ ix

dx

v , + „ _ _ k [ » & ± » + , ,

i assise imperméable

Fto. 37

en tenant compte des équations analogues pour l 'écoulement non perturbé et en linéarisant on obtient (si K est constant) :

H 0 K A 2 h — ( U 0 — K

dx "*

9H f t \ dh

dx J dx

9 V 0

dy — m

V 0 -

dh

dt

K 9 H 0 \ 3/

dx J dy

( 3 ; 1 1 )

Si H 0 == Cste, donc U 0 — V „ = 0, on re tombe pour les régimes sinusoïdaux sur l 'équation ( 3 ; 10).

3-4. — Approx imat ion de Dupui t en général .

Jusqu' ici nous avons supposé que le régime de la nappe variait s inusoïdalement dans le temps. Etudions maintenant des régimes plus complexes .

Si on soumet une nappe à des excitations non sinusoïdales, on peut calculer l 'écoulement en décomposant l 'excitation en série ou en inté­grale de F O U R I E R . Par t ransformat ion de F o u -RIER inverse, l 'équation ( 3 ; 1 0 ) devient :

9-h _j_ d-h m dx2

% 2

9/i

K H f l dt

= 0

qui a été étudiée très en détail par divers au­teurs (équat ion dite « de la chaleur » ) . L 'équa­t ion ( 3 ; 11) est d'un type un peu plus compl iqué .

C'est cette équation que nous allons étudier dans le cas H„ = C s t c ; U 0 = C B t e ; V „ = 0.

Elle devient alors :

H 0 K A 2 h — U 0 - g - = m { 3 ; 1 2 )

Elle donne l 'écoulement d'une nappe coulant

752 — — • • • — L A H O U I L L E B L A N C H E N* 5 - Ocr.-Nov. 1955

un i fo rmément sur une assise imperméable de pente constante et perturbée par une cause quel­conque (fig. 38). L 'axe Ox est suivant les lignes de plus grande pente; on a évidemment :

U 0 - Kf

-assise imperméable FIG. 38

Pra t iquement , les perturbations les plus inté­ressantes sont : les pompages et les inject ions. Nous allons étudier une in jec t ion ponctuel le .

L 'équat ion (3; 12) est une équation de la cha­leur avec source mobi le . On en connaît une solu­tion fondamentale.

A_

t hi (x; y; t)

Cette solution satisfait à

lm— (rjd/BtXp-f-yg

h — 0 pour x et y ~ » oo, quel que soit t,

h~Q pour t = 0, sauf en .r --~ y 0.

Si on calcule le vo lume d'eau injecté V en fonc­tion du temps :

V (f) — A m

on t rouve :

lh (x; y; t) dx dy

4 r. A K H„

Ce vo lume est constant. La solution :

4 % K-H„ t ,e

représente donc l 'écoulement obtenu par une in­jec t ion ponctuel le et instantanée d'un vo lume d'eau V 0 au temps t = 0 et au point x — y — 0.

Si on injecte un débit Q 0 cont inu et constant à partir de l 'instant t = 0, on obtient :

n = f* Qoàdh, (t-Jo

•6)

Posons t -— ? = u, d'où ;

h— f Q 0 hx (u) du Jo.

Introduisons des variables sans dimensions

H0 K

U 0

2 *

% 2 H„ K ; n

V . • 02 _ ?2 _!_ Tl2 2 H 0 K ' • K + !

• ,, u o 2 » • r f e 4 s K H 0 . 2 H0 K m ' 2 H 0 K m ' d C Q 0 -

On en- déduit :

du _ £ ± j f / dp _ILR£>±HE . n di

Jo O Jo V

On pose (v- + p 2 ) / 2 v p = a, la relation entre œ et P est alors schématisée par la courbe de la figure 39.

F I G . 39

+ ( / Y

C 2e p V a 2 — 1 » : si i> < s

O n a donc

< P ; 9t = «* / c? a

, E - A P '

? : 3C = ei

Jl/Z(p/r+T/p) V * " — t

T = P : SC = ei K 0 (p )

K u (?) + / — - — — e - g p

x ; ne 2 K f l (p)

D 'une façon générale, nous écrirons :

Si on fait l ' approximat ion consistant à admet­tre U 0 négligeable (donc aussi 0» on obt ient :

OCT.-NOV. 1955 - N " 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 753

Cette approximat ion est bonne dans le cas où T est petit .

On peut faci lement évaluer l 'ordre de gran­deur de l 'erreur commise . En effet, pour ( T / O ) = 6

petit, on peut écrire :

/ ( p ; T ) C - ( P V 2 T ) «

I+e 2 V I — ( 4 e 2 / u 2 ) du

En posant ( P 2 / 2 T) == y et en développant par rapport à e2, on trouve :

/ ( p ; = — Ë i (— Y ) — « 2 Y [e-y + y Ei (— v ) 1

L 'e r reur relative est donc de l 'ordre :

•0 # e2

T

-Ei ( — y ) + T

L ' approx ima t ion est donc bonne si P est grand devant T et si l est petit devant 1. Le régime permanent fourni par T —> °o n'est absolument pas comparable, quelque petit soit z. A partir de SC = et f ( P ; T) , on peut tracer les lignes de courant de l 'écoulement. 3t est une hauteur ré­duite mesurée à partir du plan h = ix. Les vi­tesses étant fournies par les hauteurs mesurées à partir d'un plan horizontal , nous in t roduirons la hauteur 7̂ = h-— ix (le sens des axes est

F I G . 40

défini par la figure 40; sur cette figure, z est posi t i f ) .

Qo 4 K K H,

•eif ( P ; T ) — 2 H 0 Ç

Posons

# e 3 = /z,

d'oïi :

9Ci =ei.f (O;T)

4 r, KJ1„

8 « K H 0

2

Qo

Les lignes % = C s t e sont orthogonales aux

lignes de courant . La forme du réseau des lignes de courant dépend donc de deux paramètres : T et p = (.8 % K H 0 / Q o ) . En régime permanent , P seul intervient .

En pratique, p est toujours très grand (au moins de l 'ordre de 100). Les formes du réseau d 'écoulement sont alors déterminées par des va­leurs l et 7) très faibles en général. Considérons par exemple l 'écoulement figure 41 représentant

F I G . 41

une inject ion au point O dans une nappe en écou­lement parallèle. La forme de l 'ensemble de l 'écoulement est déterminée par ce qui se passe au voisinage de O. La distance O P donne une mesure de ce « voisinage » . En P, la vitesse sui­vant O % est nulle et P = On en déduit :

3tx = ei K 0 (S) — PÊ

( 3 # e , / 3 Ç ) = 0 donne e« [ K „ (?) — K, « ) ] P

Or, si p est grand, la solution \ de cette der­nière équation est forcément petite, donc :

e « # l ; Ko ( \ ) négligeable devant K,, (Ç)

et : Ki (S) #

On en déduit : O P # l / p .

Par ailleurs, tant que l et P sont de l 'ordre de quelques 1/p seulement, on a :

K 0 ( e ) # — l o g e et e « # l

Les formes des lignes de courant sont donc les mêmes que celles du réseau dt = — log P — p i . Ce réseau est isotherme et dérive du champ à potentiel : Z = p z -F log z (z — l + ; T,). On se rend aisément compte que si le réseau des lignes de courant est déterminé pour les faibles valeurs de ? et de S, il l'est également pour les grandes.

Le réseau entier de courant a donc pra t ique­ment la forme d'un réseau isotherme. Il n'en est pas du tout de même pour la graduation des lignes d'égale hauteur 3t. Sur l'axe Or, par exem­ple, 3t croî t dans un cas c o m m e — log -o, dans

754 LA HOUILLE BLANCHE N " 5 - OCT.-NOV. 1955

l 'autre c o m m e K 0 (-n). Or, si T, - » » : log t\ -> — « et K 0 0|) - * 0 (fig. 42).

Pour les grandes valeurs de r„ l 'erreur devient de plus en plus grande et tend vers l ' infini.

F inalement , i l semble donc bien que les ré­seaux isothermes donnent dans tous les cas une image très bonne des lignes de courant en régime permanent. Par contre, la cotation des lignes Se = C s t p donnée par ces réseaux est en général fausse. En plus, cette schématisation n'a pas de sens en régime transitoire.

Jusqu'à présent nous avons admis la nappe i l l imi tée de tous les côtés. P ra t iquement elle est toujours l imitée. Nous allons étudier quelques cas de nappes limitées.

Si la nappe est l imitée par une paroi verticale (ou s implement dont la pente est beaucoup plus grande que f), le flux d'eau à travers une telle paroi est nulle. Pour faire apparaître les flux, on peut écrire l 'équation (3; 12) sous la forme :

9 f H W 3 / 1

3 x \ ° 9Ï* 3 ? A 3?/ dt

On peut également comparer l 'écoulement que nous venons d'étudier à l 'écoulement sur une assise imperméable horizontale (fig. 43).

*, il < r s i Kl v r'K \ '- terrain imperméable

FIG. 43

Dans ce cas on a (sans linéarisation) :

3 l . H U ) , 3 ( H V ) n , . . . . -J — — = 0 : continui té . dx 3?/

U = — K 3H

3x l f l n i loi de DARCY

3H V = — K - ^ - \

Donc :

A ( H 2 ) = 0

Les écoulements de ce type sont donnés par des réseaux isothermes gradués en H 2 . Les lignes de courant sont celles du réseau isotherme; par contre, les valeurs absolues des vitesses ne sont pas données par la graduation des équipotentiel-les, mais sont en plus fonction de la hauteur locale de H.

3

dl 1 dSl \

T " 3 T ~ ^ J +

1 dst\ 2 3*1 )

dSC

Les expressions entre parenthèses sont mani­festement les flux supplémentaires dus à la per­turbation de l 'écoulement . Soit un écoulement avec un puits à l 'origine de coordonnées et une paroi recti l igne dont l 'équation est :

l cos a + t\ sin a = d (fig. 44).

Fin. 44

Le flux perpendicula i rement à cette paroi est :

•9e ) cos a + - 1 - ^ p - sua * f i dse

\ 2 Z\ "~ ) ' 2 3-n

Le problème est donc le suivant :

On cherche une fonct ion St satisfaisant à ;

A2 se dse dse 3; dx

dans un demi-plan et à la condit ion :

dse dsf - 5 = - cos a -f sin a = 2 St cos a

ai 3r)

sur la droite D : ; cos a -f- t i sin tt = d

OCT.-NOV. 1955 - N° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E ?55

l imi tant ce demi-plan, et qui en plus se com­porte à l 'or igine c o m m e le puits étudié précé­demment , c'est-à-dire c o m m e :

8t = etf{$\x)

Pour résoudre ce problème, nous int roduirons deux nouveaux systèmes d'axes, comme le mon­tre la figure 45.

et % à :

pu/fs—1

F I G . 45

D'où la condit ion (3#£/3v) — 2&Z cos a = 0 sur la droite D : v = 0.

Posons :

3 # e 2 m COS A

# satisfait alors à l 'équation

3<I> 3 #

dl dt '

à la condit ion f» = 0 sur v = 0

et, au point -ri = 5 = 0 (pui ts ) , à :

*= * 1 = = [ _A - _ 2 c o s *\e*.f (g; * ) ]

La solution de ce problème est donc la somme de et de son image par rapport à D. Cette image est vis iblement :

* 2 = — 1 + 2 cos a ) [ * & . / ( e x ; T ) ]

La solution en 9t du problème est donnée par :

3v 2 36 COS a = # ! + * 2

On peut décomposer 3t et écrire :

où 5€I satisfait à :

-2ére1cos* = * l

3v 2 3€ 2 cos a = $o

On a évidemment :

5 € 1 = = e ê . / ( ? ; T )

est donnée par une équation différentielle linéaire. On peut faci lement explici ter 9€2 sous forme d'une intégrale por tant sur ek.f (o, ; -r) .

pbrp,

7/

FIG. 46

•V,. paroi

/ - ,

/ /

FIG, 47

756 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 5 - O C T . - N O V . 1955

Pour abréger les écritures, nous étudierons par E n intégrant par partie, on obtient : la suite le cas a = 0. Dans ce cas on a :

^p--2% = - ( ~ - + 2 ) [e**-t.f(9l;x]

— .... c^d-i / ( F L ; T ) + / ' A ( P I ; T ) 9i ..

La métbode classique de résolution donne :

-Sv > ( p 2 ; ^ ) + f , 2 ( p 2 ^ ) ^

avec :

?22> = = ^ + ( ! ) _ 2 d ) 2

Comme :

ifC'j ~> 0 si l — » =c-, on a : C — ce

On peut écrire cette dernière intégrale :

p e-i» ev if ( p a ; 4- f „ ( P 2 ; t ) ] }• dy

J —os

Si T est petit devant p, le deuxième terme est négligeable. On trouve alors :

Dans le cas a ^ O , ce deuxième terme est en-^ y core plus négligeable; pour a. = (rc/2) il est abso­

lument nul,

#e2 = — . / ( P l ; t )

représente l ' image au sens habituel de :

3Cx^ei.f ( P I ; T )

Résumons le calcul que nous venons d'ex­poser :

La présence d'une paroi imposai t à 3t une

FIG. 48 a

FIG. 48 c FIG. 48 d

Fœ. 48 b

OCT.-NOV. 1955 - N° 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 757

condi t ion du type m i x t e ; pour résoudre le pro­blème il a suffi de changer de fonct ion pour se ramener à une condi t ion * = 0 sur la paroi. On trouve que la solution en 3C contient une image « un peu déformée » du puits par rapport à la paroi. L a méthode employée ici est générale ainsi que le résultat t rouvé.

Les problèmes de paroi introduisent donc des images, c'est-à-dire des combinaisons de singula­rités. D 'une façon plus générale, on peut étudier d'autres combinaisons de singularités.

Ains i l 'écoulement d'une source dans une bande (fig. 46) s'obtient en considérant une infi­nité de singularités situées sur une droite per­pendiculaire aux bords de la bande. De même on peut obtenir des écoulements autour d'obsta­cles (exemple fig. 47). On peut aussi étudier des doublets constitués de plusieurs sources et puits inf iniment voisins. Ainsi :

lit — C •= l K j ( p ) — M

est un écoulement permanent de ce genre. On se rend compte de la mul t ip l i c i t é des cas de figures en ne discutant que le cas de deux sources sim­ples (fig. 48).

D 'une façon générale, les remarques faites au sujet de la schématisation des écoulements per­manents par des réseaux d'isothermes restent pra t iquement valables dans tous ces cas.

3-5. — Discussion physique des hypothèses et

résultats du p a r a g r a p h e 34.

A u paragraphe 34, nous n'avons pas appro­fondi les discussions soulevées par l ' approxima­t ion de D U P U I T , et ceci pour alléger le texte qui contient de nombreux calculs. Nous allons main­tenant discuter les différents points importants suivants :

cr) Influence de la courbure de la surface libre, obstacles et irrégulari tés locales de la nappe;

b) Conditions aux l imi tes ;

c) Régimes non sinusoïdaux.

Nous avons vu que la solution exacte d'un pro­blème d 'écoulement en mi l ieu poreux était don­née par la résolution d'un ensemble d'équations et de condit ions aux l imites très compl iqué à résoudre. Cette résolut ion étant difficile, on peut penser expr imer la solut ion au moyen d'une sé­rie. M . FRIEDERICHS [6] a mont ré (à propos des écoulements à surface l ibre) c o m m e n t on pou­

vait former une série en fonct ion de la courbure de la surface libre. Sa méthode peut être adaptée à notre cas. On voi t ( c o m m e dans le cas des écou­lements à surface l ibre) que le premier terme du développement est précisément la solution du problème posé en faisant l 'hypothèse de D U P U I T . Des calculs de ce genre ont d'ailleurs été faits par plusieurs chercheurs à la suite des travaux or iginaux de BOUSSINESQ [ 7 ] . La deuxième approx imat ion (ou le deuxième te rme de la série) fourn i t l ' approximat ion dite des « ondes cnoïdales » .

Dans le cas des mi l i eux poreux, M . JAEGER [4] a t rouvé une méthode très intéressante et très simple pour t rouver la deuxième approxima­tion. Signalons d'ailleurs que différentes métho­des mènent à des résultats un peu différents. Nous ne voulons pas entrer ic i dans le détail de ces résultats très intéressants mais seulement rappeler que l ' approximat ion de D U P U I T n'est va­lable que tant que la courbure de la surface libre reste faible, de même d'ailleurs que sa pente (ce dernier poin t aussi à cause de la linéarisa­t ion qui a fait supprimer un terme en i 2 ) .

Quand on résoud un problème à l'aide de l'ap­p rox ima t ion de D U P U I T , deux cas peuvent se présenter :

1) La solution trouvée cont ient des parties pour lesquelles la courbure de la surface n'est pas négligeable;

2) La courbure de la surface libre est par tout négligeable.

Seuls les cas de la première espèce posent un problème. Il est bon de les connaître à p r io r i . Pou r cela, il faut faire appel à l 'ensemble des connaissances existantes. Rappelons que (.con­trairement à ce qui se passe pour les écoule­ments à l'air l ibre) , la surface libre ne peut que s'abaisser le long des filets fluides et par ailleurs toutes les ondulations ont tendance à disparaî­tre, le mi l ieu étant fo r tement filtrant. Les fortes courbures ne peuvent donc apparaître qu 'au voi ­sinage des l imites ou des variat ions rapides de l'assise imperméable . On peut étudier certains de ces cas, en part icul ier ceux où l ' écoulement est plan (dans des sections vert icales) . Nous revien­drons sur ce sujet dans un autre art icle. Les zones de variations rapides de l'assise imperméa­ble peuvent être exclues du domaine des nappes par des frontières (fig. 49).

Ces zones doivent être étudiées à trois dimen­sions.

S'il est licite de linéariser les équations indé­finies, il est tout aussi l ici te d 'appliquer des con­ditions aux l imites linéaires pour peu qu 'on ad­mette c o m m e l imi te une front ière fictive dis-

758 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCT.-NOV. 1955

F I G . 49

tante de quelques fois l'épaisseur de la nappe de la frontière réelle. Les condit ions à la l imite possèdent alors la forme :

dn 1

Ainsi par exemple dans le cas de la rencontre d'une nappe avec un plan d'eau à l'air libre plu­sieurs cas peuvent se présenter (fig. 50).

Il est physiquement clair que le coefficient k dépend essentiellement de la dénivellation entre la nappe au loin et le plan d'eau de la rivière, rapportée à l'épaisseur de la nappe. Plus cette dénivellation est grande en valeur absolue, plus k est petit.

Dans le cas C on a k = ce, c'est-à-dire la con­dition à la l imi te devient :

H = 0

En ce qui concerne les écoulements non sinu­soïdaux, on peut les décomposer en série ou intégrale de F O U R I E R . On voit alors facilement que les écoulements sont bien représentés quand

les variations sont lentes, ils sont par contre très mal représentés quand les variations sont rapi­des. Néanmoins, c o m m e le mi l ieu poreux est « filtrant » par rapport aux ondes sinusoïdales

F I G . 50

et qu ' i l arrête les ondes rapides, les erreurs com­mises sont en général peu importantes , sauf au voisinage des l imites . Nous verrons ce point plus en détail dans le prochain paragraphe.

(A suivre.)

BIBLIOGRAPHIE

[ 1 ] P O L U B A R I N O V A K O T C H I N A . — noJiyôapimOBa - KOMHIla-TEOPHH JLBHJKEHHH rpyHTOBHX Bofl" Gostekhizdat,

Moscou ( 1 9 5 2 ) .

[ 2 ] M U S K A T . — « The flow of homogeneous Fluids through porous média » . J. W. EDWARDS Inc. Ann Arbor Michigan ( 1 9 4 6 ) .

[ 3 ] T I S O N . — « Cours d'hydraulique » , 2" partie, Gand, 1950.

[ 4 ] JAUGER. — « Hydraulique technique » (traduction de Mme M. L A R O N D E ) . Dunod, 1954, Paris.

[ 5 ] JAHNKE-EMDE. — « Tables of Functions » . Dover Publications ( 1 9 4 5 ) , New-York.

[ 6 ] F R I E D R I C H S . —- Appendice intitulé « On the Dérivation of the Shallow Water Theory » à l'article : « The formation of Breakers and Bores » de Mr. J. STOKER dans Communications on Applied Mathe-matics, vol. 1, n° 1, pp. 81 et suivantes.

[ 7 ] BOUSSINESQ. —• « Essai sur la théorie des eaux cou­rantes » dans les « Mémoires présentés à l'Aca­démie des Sciences » , Sciences mathématiques et physiques. Tome 23", pp. 252 et suivantes. Impri­merie Nationale, Paris ( 1 8 7 7 ) .

[8J F R I T Z John. •— « Waves in the présence of an in-clined barrier » publié dans Communications on Applied Mathematics, vol. 1, n" 2. pp. 149 et sui­vantes.