Questionnaire examen final · 2019. 11. 11. · MTR1035D – Matériaux Examen final Hiver 2011 CORRIGÉ Page 1 de 13 Question N°1 Propriétés en traction (6 points) On réalise

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MTR1035D CORRIGÉ

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Identification de l’étudiant(e) Réservé Q1

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Nom : Prénom :

Signature : Matricule : Groupe :

Sigle et titre du cours Groupe Trimestre

MTR1035D Matériaux Tous Hiver 2011

Professeur Local Téléphone

Myriam Brochu A-453 3405

Jour Date Durée Heures

Mercredi 4 mai 2011 1 h 45 13 h 30 – 15h15

Documentation Calculatrice

X Aucune

Toute

Voir directives particulières

Aucune

Toutes

X Non programmable

Les cellulaires, agendas électroniques ou téléavertisseurs sont interdits.

Directives particulières

1. Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de points accordés à la question, le total est de 35 points.

2. Pour les questions nécessitant des calculs ou une justification, aucun point ne sera accordé à la bonne réponse si le développement n’est pas écrit.

3. Utilisez les espaces prévus ou la page opposée pour vos calculs. 4. Vous avez, en annexe, le formulaire général. Vous pouvez détacher cette page du

questionnaire.

Imp

ort

ant Cet examen contient 6 questions sur un total de 13 pages.

(ecluant cette page) La pondération de cet examen est de 30 % Vous devez répondre sur : X le questionnaire le cahier les deux Vous devez remettre le questionnaire : X oui non

L’étudiant doit honorer l’engagement pris lors de la signature du code de conduite.

MTR1035D – Matériaux Examen final Hiver 2011

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Question N°1 Propriétés en traction (6 points)

On réalise un essai de traction sur une éprouvette de section circulaire avec un diamètre D = 6 mm et une longueur calibrée L0 = 50 mm (voir Figure 1).

Figure 1 : Éprouvette de traction cylindrique

a) Sachant que la résistance mécanique, Rm, du matériau éprouvé est de 780 MPa, déterminez la capacité minimale Pmin, en kN, que doit avoir la machine de traction pour réussir l’essai de traction. (1 point)

Calculs :

On sait que :

où

.

alors :

≅ ,

Pmin = 22,1 kN



b) L’essai de traction doit être effectué à une vitesse de déformation de 3 % par minute. Sachant cela, quelle doit être la vitesse de déplacement vt de la traverse en mm/minute ? (1 point) Conseil : Faites l’hypothèse que seule la longueur calibrée se déforme et que cette

déformation est homogène.

Calculs :

La vitesse de déformation est de 3 %/min, c’est à‐dire de 0,03/mm/mm/min alors la vitesse de déplacement de la traverse vt, exprimée en mm/min sera de :

, ⁄ ,

vt = 1,5 mm/min

c) Après le bris de l’éprouvette, la section longueur calibrée mesure 57 mm. Quel est l’allongement à la rupture A, en %, de ce matériau ? (1 point)

Calculs :

%

%

A = 14 %



d) Sachant que le module d’Young du matériau est 90 GPa et qu’il n’y a pas eu de striction lors de l’essai (rupture à Rm), combien mesurait la longueur calibrée Lf, en millimètres, juste avant la rupture ? (3 points)

Calculs : Étant donné que la déformation plastique est homogène, la courbe de traction a l’allure suivante :

On trouve facilement que :

é , mais ∆ , ,

. Alors :

,

, ,

Lf = 57,43 mm

Question N°2 Architecture atomique et glissement (8 points)

Le cuivre a une structure cristalline cubique à faces centrées (CFC). Dans cette architecture compacte, les atomes sont tangents selon les directions appartenant à la famille ⟨110⟩. Le paramètre de maille du cuivre est 0,3615 nanomètre.

a) Identifiez deux directions, non parallèles, appartenant à la famille ⟨110⟩. (1 point)

Direction 1 : 2 directions à prendre parmi ces directions qui font partie

de la famille ⟨110⟩ : , , , , , , Direction 2 :

σ

ε εtotal

Rm

E E

A

εélastique



b) Calculez le rayon rCu, en nanomètre, de l’atome de cuivre. (2 points)

Calculs :

Dans une maille cubique à faces centrées, les atomes, assimilés à des sphères dures, sont tangents dans les directions ⟨110⟩.

On a : √ .

On en déduit que : √ , √

,

rCu = 0,1278 nm

c) Démontrez que la compacité des structures CFC est égale à 74 %. (2 points)

Calculs (démonstration) :

On a 4 atomes en propre dans une maille cubique à faces centrées. Et la compacité C est :

√ √

≅ ,

CQFD

⟨110⟩

d

a



d) Proposez un système de glissement typique pour la structure CFC. (1 point)

Plan : (111) Ou un autre plan de la famille {111}.

Direction : Ou une autre direction de la famille⟨ ⟩ dont le produit saclaire avec la normale au plan choisi est nul.

e) Dans une structure cristalline quelconque, quel est le nom du défaut linéaire (1 dimension) qui facilite le glissement cristallographique ? (1 point)

Réponse : Une dislocation.

f) Nommez un défaut ponctuel (0 dimension) qui peut se retrouver dans une structure cristalline. (1 point)

Réponse : Une lacune, un atome en solution d’insertion ou un atome en solution de substitution.

Question N°3 Matériaux sous contrainte (5 points)

Une plaque trouée est soumise a un effort de traction P = 20 kN tel que schématisé à la Figure 2a. La plaque ne doit ni se déformer plastiquement ni se briser lorsque la force P est appliquée. La plaque peut‐être fabriquée en époxy ou en zinc, à la demande du client. Les propriétés mécaniques des deux matériaux sont données dans le tableau 1 à la page suivante ainsi qu’un abaque donnant le facteur de concentration de contrainte d’une plaque trouée (Figure 3).

P

P

d = 3 cm

a = 2 mm 20 cm

10 cm

t

2a) Dimensions de la plaque et orientation de la force P

2b) Fissure de profondeur a

Figure 2 : Schéma de la plaque trouée



Tableau 1 : Propriétés mécaniques de l’époxy et d’un alliage de zinc

E (GPa) Re (MPa) Rm (MPa) A (%) KIC (MPa∙m½)

Époxy 4 ‐‐‐‐‐ 67 ‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐

Alliage de zinc 85 320 404 5 15

a) Quelle épaisseur minimale, tmin, doit avoir la plaque pour qu’elle puisse être fabriquée en époxy et en zinc ? Justifiez votre réponse. (2 points)

Calculs :

La contrainte la plus faible est la résistance mécanique de l’époxy soit 67 MPa. Il faut donc que la contrainte locale au bord du trou demeure inférieure à 67 MPa.

,

En utilisant l’abaque pour obtenir le avec d/W = 0.3, on trouve = 2,37. Alors :

,

,

⁄ ,

tmin = 10,11 mm

Figure 3 : Abaque du facteur de concentration de contrainte d’une plaque trouée



b) Pour une plaque fabriquée en époxy ayant l’épaisseur déterminée en a), que se passera‐t‐il si l’on augmente la force appliquée P de 1 kN ? Justifiez votre réponse. (1 point)

Réponse et justification :

Puisque l’époxy est fragile, il y aura une rupture brutale puisque la contrainte locale dépassera la limite de traction Rm. Il n’y aura pas de déformation plastique.

Lors de la fabrication des plaques de zinc, une égratignure assimilable à une fissure a été produite en surface de la plaque dans une région éloignée du trou (Figure 2b). Cette fissure a une profondeur, a, de 2 millimètres et est caractérisée par un facteur géométrique α de 1,12.

c) Est‐ce que cette fissure causera la rupture brutale de la plaque de zinc dont vous avez déterminez l’épaisseur en a) ? (2 points)

Calculs et justification :

Si le facteur d’intensité de contrainte associée à la fissure, K, dépasse le KIC du matériau, il y

aura rupture brutale.

√ √

,,

, √

Cette valeur est inférieure à √ donc il n’y a pas de rupture brutale.

Rupture brutale ? (OUI ou NON) NON



Question N°4 Diagrammes d’équilibre et durcissement (6 points)

En utilisant le diagramme d’équilibre de la Figure 4 :

a) Quelle est la température de fusion de l’étain (Sn) ? (1 point)

Température : 231 °C

b) Identifiez une réaction eutectique en écrivant cette réaction sous la forme « phase A + phase B + … phase C + phase D + … » et en donnant la température de transformation. Spécifiez aussi, pour chaque phase à l’équilibre, sa composition chimique en % massique d’étain (Sn). (3 points)

2 réponses sont possibles :

Réaction : L (Mg) + Mg2Sn ou

L Mg2Sn + (Sn)

Température : 561 °C 203 °C

Figure 4 : Diagramme Mg ‐ Sn



Phase composition de la phase

(% massique Sn)

ou

Phase composition de la phase

(% massique Sn)

Liquide 36,9 % Liquide 97,87 %

(Mg) 14,48 % Mg2Sn 71 %

Mg2Sn 71 % (Sn) 100 %

c) Donnez la composition chimique d’un mélange de Mg et de Sn (en % massique d’étain, Sn) qui pourrait se prêter au durcissement structural. Justifiez votre réponse. (1 point)

Composition chimique (% massique Sn) : Entre 1 % et 14,48 %

Justifications :

Le mélange doit être monophasé et se situer dans une région où il y aura précipitation de l’élément en solution avec une baisse de la température. Donc tout mélange Mg qui contient entre 1 % et 14.48 % de Sn est une bonne réponse. L’efficacité du durcissement structural augmente avec le % de Sn.

d) Par quelle méthode pourriez‐vous durcir du magnésium (100 % Mg) ? (1 point)

Méthode : Par écrouissage ou par affinement de la taille des grains.

Question N°5 Propriétés en service (7 points)

Un arbre en rotation de diamètre D1 est soumis à un moment de flexion M. Ce chargement se traduit par une sollicitation qui oscille périodiquement entre une contrainte de traction de +400 MPa et une contrainte de compression de ‐400 MPa. Le cycle de traction – compression se produit à chaque révolution de l’arbre. La vitesse de rotation de l’arbre est 300 rpm (tours/minute).

L’acier dont est fabriqué l’arbre est caractérisé par un seuil de propagation, Ks, de 10 MPa∙m½. Les courbes d’endurance qui caractérisent cet acier sont données à la Figure 5.



En utilisant les informations pertinentes, répondez aux questions suivantes et justifiez vos réponses par des calculs.

a) Quel est le rapport de contrainte R qui caractérise ce chargement cyclique ? (1 point)

Calculs :

R = ‐1

Figure 5 : Courbes d’endurance de l’acier

1 102 10 103 104 105 106 107

Nombre de cycles N à la rupture

R = 0,5

R = -1

R = 0

R = 0,2



b) Quelle est l’amplitude de contrainte σa, en MPa, de ce chargement cyclique ? (1 point)

Calculs :

σa = 400 MPa

c) Quelle est la fréquence f, en Hertz (Hz), de ce chargement cyclique ? (1 point)

Calculs :

À chaque tour il y a 1 cycle. L’arbre tourne à 300 tours par minute donc :

La fréquence est le nombre de cycles (ou tours) par seconde, d’où f = 5Hz.

f = 5 Hz

d) Quelle est la durée de vie t, en minutes, de cet arbre ? (2 points)

Calculs :

En utilisant l’amplitude de contrainte de 400 MPa et le rapport de contrainte R = ‐1, il faut d’abord faire une lecture sur le graphique pour obtenir le nombre de cycles à la rupture.

On lit un nombre de cycles à la rupture N = 10 3.5 cycles = 3162.27. Il y aura rupture après 3162 tours.

Avec la fréquence de 5 cycles par seconde, le nombre de minutes pour obtenir 3162 tours est :

,

t = 10,54 minutes



e) D’au moins quel facteur, n, faudrait‐il multiplier le diamètre D1 de l’arbre pour atteindre une vie en fatigue infinie (D2 = n D1) ? (2 points) Formule de la contrainte d’un arbre en flexion :

| |4

où M est le moment de flexion et r le rayon de l’arbre.

Calculs :

À l’aide du graphique, on détermine d’abord que pour avoir une vie infinie, a ≤ 300 MPa.

À R = ‐1, cela implique que max = │min│ ≤ 300 MPa.

On cherche :

où r1 est le rayon de l’arbre soumis à une contrainte maximale 1max = 400 MPa et r2 est le

rayon de l’arbre soumis à une amplitude de contrainte 2max = 300 MPa

Pour trouver n, on utilise l’équation qui donne les contraintes maximales et minimales d’un arbre soumis à un moment de flexion M, on peut poser les équations suivantes :

| | et | | alors :

Où, après simplifications, on a : et ,

n = 1,1006

Question N°6 Notions théoriques diverses (3 points)

Dites si les affirmations suivantes sont vraies (V) ou fausses (F).

Attention : Une mauvaise réponse annule une bonne réponse.

La température de transition ductile‐fragile des métaux CC (cubique centré) augmente lorsque l’on augmente la vitesse de l’essai de résilience Charpy.

V

La déformation plastique produite par les mécanismes de fluage est instantanée. F

Après la trempe, le revenu de la martensite permet d’augmenter la limite d’élasticité de l’acier.

F

Bonne chance! Bonnes vacances! Myriam Brochu, responsable du cours Richard Lacroix, chargé de cours



Formulaire général

1 x x y zE nda

C KdN

1 y y x zE

nF

tAim corr

1 z z x yE

oxMa

Moxa

m

m

2 1

E

G

S

lR

z

y

z

x

ee en

0

sth a

E2R

ttee enen

c

z

b

y

a

x

n

l

n

k

n

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Eexp g

0

cbar wvu 1P9,1P9,0EE 20

r

a21nomy nP

mm eRR 0

coscos0S

F

E

vfRR m .

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2 vfR

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