GEL4200: Communications numériques 2016 Examen final

Université Laval Département de génie électrique Professeur: Leslie A. Rusch et de génie informatique

GEL4200: Communications numériques2016 Examen final

Mercredi le 22 avril 2016; Durée: 11h30 à 13h20 Documentation fournie; une calculatrice permise

Problème 1 (10 points sur 100)

Voici les courbes de probabilité d’erreur (BER) par bit vs le rapport Eb/N0 pour la transmission BPSK. Le graphique à droit présente les courbes pour le BER sans codage, avec un code convolutif A. Le graphique à gauche présente les courbes pour le BER sans codage, avec un autre code convolutif B.

A. (5 points) L’un des codes convolutifs a une longueur de contraint de K = 4 et l’autre K = 7. Indiquez le quel code (A ou B) a K = 7 et justifiez votre choix.

B. (5 points) Quelle est la définition de seuil de codage (FEC threshold)? Identifier le seul de codage pour le code A et le code B.

.

GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016

Problème 2 (20 points sur 100) Voici les équations de parité pour un code en bloc.

1 1 2 4

2 1 3 4

3 1 2 3

4 2 3 4

p m m mp m m mp m m mp m m m

= + += + +

= + +

= + +

A. (3 points) Trouvez n, la longueur des mots de codes, k, la longueur des messages de données, et r, le taux de code.

B. (8 points) Donnez la matrice génératrice pour un code systématique. C. (9 points) Trouvez la distance minimale du code.

Problème 3 (25 points sur 100) A. (10 points) Pourquoi la connaissance du canal est-elle requise pour

l’égalisation à maximum de vraisemblance (MLSE)? Comment les informations de canal sont-elles exploitées?

B. (15 points) Contraster l’égaliseur « zero forcing » et l’égaliseur à erreur quadratique minimale. Comment sont-ils semblables? Comment sont-ils différents? Quand sont-ils équivalents? Quel égaliseur est le plus performant?

Page 2


Problème 4 (25 points sur 100)

A. (10 points) En supposant que nous commençons à l’état a, trouvez la sortie de l’encodeur pour une entrée de 00 11 01 10 00

B. (5 points) Choisir la meilleure correspondance entre les mots de codes et les symboles de 8PSK. Justifiez votre choix.

Option 1 Option 2

C. (10 points) En utilisant l’option choisi en partie 4B, trouvez la séquence de symboles (A, B etc.) transmise pour une entrée de 00 11 01 10 00.

Voici un encodeur TCM.

Page 3


Problème 5 (20 points sur 100) Considérons le treillis d’encodage suivant pour un code convolutif.

00

10

01

11

000

001

Trouvez la distance libre df du code convolutif en supposant que les décisions sont fermes. Combien de chemins y a-t-il à cette distance minimale?

SVP utilisez les feuilles de treillis de décodage fournies. Mettez ces feuilles dans votre cahier bleu.

Page 4


00

10

01

11

00

10

01

11

00

10

01

11

Page 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 QPSK coherent

Eb/N0

prob

abili

té d

'err

eur

Plan de l’efficacité spectrale (Bandwidth Efficiency Plane)

0 5 10 15 20 25.001

.01

.1

1

10

points indique Pe =10 -5

PSK, M=8 PSK, M=32 QAM, M=4

QAM, M=16 QAM, M=64

FSK, M=4

FSK, M=16

FSK, M=1024

FSK, M=4096Limite de Shannon

10

1

.1

.01

.001

0BE N

()

RW

bs

Hz

BPSK

(en dB)

(en dB)


1

Récepteur d’échantillonnage

décision( )z T γ<>

t=Tfiltreh(t) ( )z t ( )z T

Σ

( )n t

( )is t( )r t m̂

MAP: i qui maximise p(z|si) p(si) i qui minimise ( )2

0 lni iN P− −r s s

( ) probabilité a priori de symbole i iP =s s ML: i qui maximise p(z|si) i qui minimise 2

i−r s

Raised cosine ( ) ( ) ( )2 2 2

sin cos1 4

s s

s s

t T r t Tv t

t T r t Tπ π

π=

−

Énergie moyenne

[ ]

2

1

1

1

1 énergie du signal

M

moy iiM

i

EM

iM

=

=

=

=

∑

∑

s

Énergie par bit v. énergie par symbole 2logb sE M E=

QAM 2log Mη = † Conversion de l’espace I/Q vers espace du signal

cas rectangulaire (carrée) M=L2

( ) n2

20

2mi

63log12 o1 g1

l1

be

LdEMP QM NM L

= − − =

−

Borne d’union

minmin

00

2 22

be

EDK KP Q Q dM M NN

≈ =

K est le nombre des paires des signaux séparés par la distance minimale Dmin

Distance minimale dans l’espace du signal

min min i ki kD

≠= −s s et min

min 2 b

DdE

=

( )0

2 be

EP BPSK QN

=

( )0

be

EP OOK QN

=

( )0

22 be

EP QPSK QN

≈

Perte par rapport à QPSK

min 102 perte 10logd x x= = −

Pour une modulation orthogonale

( ) ( ) 21e b e

MP bit P P symbolM

= =−

Pour une modulation non-orthogonale avec codage de gray

( ) ( )2log

ee b

P symbolP bit P

M= =

Efficacité spectrale 1 1 bits/s/Hzb

b

RW T W

η = =

( )( ) ( )

( )2 2

1

, ,I Q I Qsn n n nM

I Qn n

i

M Ea a a aa a

=

⋅=

+ ∑

coordonnées, espace du signal

coordonnées, espace I/Q


2

MPSK cohérent 2log Mη = †

( )0

2

0

22 sin

2 log2 sin

se

b

EP M QN M

E MQN M

π

π

≈

=

MFSK cohérent 22 log1M

Mη =

+†

( ) ( ) 2

0 0

log1 1s be

E E MP M Q M QN N

= − = −

Séparation minimale 1/2Ts

DPSK incohérent 012

bE NeP e−=

~1 dB de perte entre DPSK et BPSK

MFSK incohérent 2log MM

η = †

021( )2

bE NeP BFSK e−=

~1 dB de perte BFSK cohérente vs. incohérente

Séparation minimale 1/Ts

Loi de Shannon

( )2log 1C W SNR= + 0

bESNRN

η=

( )0

2 1C WbE WN C

= − 0

0 1.6bEC dBW N

→ ⇒ →−

Relations trigonométriques Processus Gram Schmidt

( ) ( )1 11

1t s tE

ψ = où ( )21 10

TE s t dt= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1,t s t s t t tθ ψ ψ= −

( ) ( ) ( )22

2 20 22

T tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1,

i

i i i k kk

t s t s t t tθ ψ ψ−

=

= −∑

( ) ( ) ( )2

0

T ii ii

i

tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

cos sin tan0 1 0 0

8 .85 .38 .41

4 1 2 1 2 1

3 1 2 3 2 32 0 1

θ θ θ θ

π

π

ππ ∞

( )tanarctan

y xy x kπ

=

⇔ = +

( )2 1cos 1 cos 22

θ θ= +

( )sin sin sincos cos

α β α βα β

+ =

+( )cos cos cos

sin sinα β α β

α β+ =

−

† en supposant une impulsion Nyquist idéale


3

Corrélation croisée

( ) ( )0

T

ij j iz s t s t dt∫

Matrices de Hadamard

1n n

nn n

H HH

H H+

=

Le canal binaire symétrique (BSC)

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

BPSK avec AWGN: ( )02 bp Q E N=

Codes en bloc m = message à encoder, u = mot de code généré

[ ]T T

=

= =

k

n-k

G P I U = mG

H I P S rH

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

min 12

dt − =

Code Hamming (n,k)=(2m-1,2m-1-m) Distance de Hamming

d(u,v) = # de positions de bits avec des valeurs différents dans les deux vecteurs u et v

Distance minimale ( ) ( )

, 2min , min wj j ji j j

d>

=u v u

Probabilité d’erreur de bit p Probabilité d’avoir plus que t erreurs de bits parmi un block de N bits

( ) ( ) 11

11 1

1

NN k N tk t

k t

N Np p p p

k t− − −+

= +

− ≈ − +

∑

( )!

! !N Nk k N k

≡ −

Tableau Standard • Première rangé – mots de codes valides • Première colonne – erreurs corrigibles • Tous les 2n mots de codes possibles sont inclus dans la table • Il n’y a pas de répétition des mots de code

Corriger une erreur 1. Détecter l’erreur 0 erreur≠ ⇒TS = rH v

2. Identifier la rangé avec T Tje H = rH

i.e. le syndrome identifie le coset 3. Corriger l’erreur en calculant jU = r + e

(le mot de code dans la colonne de tableau standard où on trouve )

Codes convolutifs


4

Algorithme de Viterbi



Chapitre 7 GEL10280/64486 60

43

Focus: le point de terminaison –le chemin vient d’ou?

Gain de codage: 2 2

10 min,sans codage10 log fd d

Borne supérieur de gain de codage (en dB) 1010 log frd r = taux de codage = k/n

Distance libre = distance minimale =df

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

12

fdt

− =


5

TCM Taux de codage = 1/n

pour le TCM et les décisions souples Chapitre 9 GEL10280/64486 7

Exemple

[ ][ ]

1

2

1 1 1

1 0 1

g

g

=

=

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1

3 2 2

codage convolutif

u X m X g X

u m X g X

=

=

1 1

(pas codé)u m=

Chapitre 9 GEL10280/64486 10

Correspondence de Gray

Correspondence pour TCM

Chapitre 9 GEL10280/64486 13

Coordonnées dans l’espace du signal

( ) ( ) ( )2 2 22 7 3 7 5 7 3 36fd = − + − + − =

Chapitre 9 GEL10280/64486 22

Calculer les distances locales

a=00

b=10

c=01

d=11

(14,6)

(10,2

)

(14,6)

(12,4)(8,0)

(8,0)

(12,4)

(4,4)

(0,8)

(4,4)(2,6)(2,10)

(2,10)

(2,6)

(12, 4)( 8, 0)

(4,4)(0,8)

(6,2)(2,6)

Z = -5 1 -7 3

(10,2)(0,8)

Chapitre 9 GEL10280/64486 25

Calculer les distances globalest=3

a=00

b=10

c=01

d=11

(---, 6)(---, 2)

(---,

2)

(---, 6)

(---, 4)

(---, 0)

(---, 0)

(---, 4)

distancechemin chemin cheminen haut en bas gagnant

4

0

0

4

BAS

HAUT

BAS

BAS


6


7

Documents

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