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Instabilités 15 - 1
�����,QVWDELOLWpV• Motivation [Frey, T. II, Chap. 20-21]
• Types d’instabilités
• Flambement élastique– par divergence, par bifurcation
– calcul de la charge critique eulérienne
• Imperfections industrielles– causes de l’origine de la flexion initiale
Instabilités 15 - 2
• la conception de structures exige aujourd’hui
– économie
– légèreté
– matériaux à haute résistance
• réduction progressive des sections résistantes
• contraintes en service importantes
,QVWDELOLWpV
Instabilités 15 - 3
7\SHV�G¶LQVWDELOLWpV• danger d’instabilité dans toute structure
comprimée– flambement (compression pure)
– déversement (flexion)
– voilement (torsion)
• phénomènes d’instabilité– locaux (barres de treillis, voilement, …)
– globaux (flambement d’ensemble, ...)
flambement plan
flambementpar torsion
flambementspatial
seul flambementétudié ici
Instabilités 15 - 5
,QVWDELOLWpV�ORFDOHV���H[HPSOH
voilement de l’âme minced’une poutre en acier.effet de l’effort tranchant
Instabilités 15 - 6
,QVWDELOLWpV�JOREDOHV���H[HPSOH
flambement d’ ensemblede la membruresupérieure des poutres entreillis d’ un pont dechemin de fer(Russie, vers 1890)
Instabilités 15 - 7
)ODPEHPHQW�GHV�SRXWUHV• flambement par divergence
OD�SRXWUH�VH�GpUREH�j�O¶HIIRUW�QRUPDO�GHFRPSUHVVLRQ�HQ�IOpFKLVVDQW�WUDQVYHUVDOHPHQW
– le phénomène est non linéaire
– il doit exister une flexion initiale
– exemples : courbure initiale, excentricité de
l’ effort normal ...
Instabilités 15 - 8
+\SRWKqVHV�GH�PRGpOLVDWLRQ• une étude rigoureuse nécessite la prise en compte
– des non linéarités géométriques (grands déplacements)
– des non linéarités matérielles
• ici, on postule
– grands déplacements mais rotations modérées
– linéarité matérielle (loi de Hooke)
Instabilités 15 - 9
�
�
&RXUEXUH�LQLWLDOH• La poutre est légèrement courbe
1cos;sin;tg1,dxdy
tg 0000000
0 ===⇒<<= θθθθθθθ
00
0
0
FsinFT
)x(FyM
FcosFN
θθ
θ
≈=
=
≈=
TRACTION COMPRESSION flexion composée M+Nprincipe de superposition ?F ⇒ courbure ↓ ⇒ M ↓ F ⇒ courbure ↑ ⇒ M ↑
Instabilités 15 - 10
6WDELOLWp�GH�OD�GLYHUJHQFH
\\\ \\\\
\\
Flambement stable Flambement instable
Instabilités 15 - 11
$XWUHV�FDXVHV�GH�IOH[LRQ�LQLWLDOH
\ \
Excentricité de la charge Charges axiales et transversale
Exemples d’ application : ressorts, étuis à lunettes ... phénomène non linéaire :
il faut se placer dans la configuration déformée
Instabilités 15 - 12
7KpRULHV�QRQ�OLQpDLUHV�GX�IODPEHPHQW• actions des forces sur la configuration GpIRUPpH
⇒ le principe de superposition n’ est plus valable
• souvent, le flambement se produit alors que lastructure est peu déformée ⇒ hypothèse des rotations modérées (2ème ordre)
• le flambement est accentué par la plasticité– phénomène non pris en compte ici
Instabilités 15 - 13
0RGpOLVDWLRQ�GX�IODPEHPHQW
( )
( )EI
,...F,yMy
,...F,yMM
EIM
R1
yR1
−=′′⇒
=
−=
′′=équation
non linéaire !
équation à résoudre
rotations modérées
flexion plane
Instabilités 15 - 14
3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW/
) )H [
[:
:�¶\
\�[�
( )
( ) 0yeEIF
y
yeFM
=++′′
⇓
+=
Instabilités 15 - 15
3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW( )
ekxcosCkxsinCy
ekyky
0yeEIF
y
21
22
−+=
−=+′′
=++′′ équation de la déforméeposons k2=F/EI
SGEH+SPENH
Equation de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants
( )( ) ( )2
kLcos
eC
0C
02Ly
02Ly
2
1
=
=
=
=−conditions aux limites
Instabilités 15 - 16
3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW( )
−===
−=
12
kLseceyya
12
kLcos
kxcosey
0max (formule de la sécante)
équation de la déformée(pas linéaire en F !)
0a12
kLsec0k0F =⇒=⇒=⇒= la tangente a pour équation
EI8L
Fea2
=
321321 aaaFFF ∆∆∆∆∆∆ <<⇒== si on augmente la charge, le flambement est divergent
Instabilités 15 - 17
3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQWEI8L
Fea2
= flèche linéaire de M = Fe
( )2kLcos
FeMmax =
2
2
crL
EIF
n22
kLssi0
2kL
cos
π
ππ
=
+==
charge critique indépendante de e !
Instabilités 15 - 18
3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOH
( )
( ) 0yyky
yyFM
02
0
=++′′
⇓
+=
/
) ) [[
:
:�¶
\ �
\�[� (, FVWH\
Instabilités 15 - 19
3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOH( )
Lx
sinakyky
Lx
sinaxy
022
00
π
π
−=+′′
= courbure initiale
Equation de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants
( )( ) 0Ly
00y
=
=conditions aux limites
( )cr
cr0
22
20
FF1
FFa
2Lya
Lx
sin1
Lk
ay
−==⇒
−= π
πmême Fcr
Instabilités 15 - 20
3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOHcr
0 FFaa = flèche linéaire
−+=
cr
cr0max
FF1
FFa
aFM
2
2
crL
EIF
π= charge critique indépendante de a0 !
autres cas : 2cr
L
EICF = toujours indépendant de la flexion initiale
Instabilités 15 - 21
/LPLWDWLRQV�GHV�UpVXOWDWV�REWHQXV• hypothèse des rotations modérées
linéaire
rotations modérées
grands déplacements
F > Fcr est WKpRULTXHPHQW possible SUDWLTXHPHQW les déplacements sont déjà trop grands
( )( )
EI,...F,yM
y1
y
23
2−=
′+
′′
Instabilités 15 - 22
)ODPEHPHQW�SDU�ELIXUFDWLRQ• Fcr est indépendant de l’ origine de la flexion
initiale et de son importance
• il existe une charge critique même si la poutre est
parfaitement rectiligne, libre de toute force
transversale et soumise à une force de compression
parfaitement centrée
• flambement eulérien par bifurcation
Instabilités 15 - 23
)ODPEHPHQW�SDU�ELIXUFDWLRQ
compressionpure
point de bifurcation= coexistence de
2 situations d’ équilibrecompression et flexion initiale
0elim→
le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite)il n’ existe pas mais donne une bonne approximation de Fcr
Instabilités 15 - 24
/
) ) [
[
:
:�¶\\�[�
0yky
FyM
2 =+′′
=
7KpRULH�G¶(XOHU
(, FVWH
y(x) est l ’ esquisse de la déformée= mode de flambement
(dépend des conditions d’ appui)équation de Helmholtz
Instabilités 15 - 25
kxcosCkxsinCy
0yky
21
2
+=
=+′′
solution générale
( )( ) πnkL
0ytrivialcas
0kLsinC
0C
0Ly
00y
1
2
=⇒=⇒
==
⇒
==
conditions aux limites
7KpRULH�G¶(XOHU
2
22
L
EInF
π= modes de flambement
Instabilités 15 - 26
2K
2
crL
EIF
π=
7KpRULH�G¶(XOHU���JpQpUDOLVDWLRQ• charge critique d’ Euler
– proportionnel à EI (module de rigidité en flexion)
– quel I ? le plus faible !
– LK = longueur de flambement (dépend des CL)
����SHUPHW�GH�WURXYHU�XQH�DSSUR[LPDWLRQ�GH�OD�FKDUJHFULWLTXH�TXHOOHV�TXH�VRLHQW�OHV�FRQGLWLRQV�G¶DSSXL
Instabilités 15 - 27
/RQJXHXU�GH�IODPEHPHQW• esquisser le premier mode (respect des appuis !)
Instabilités 15 - 28
IAL
E
AL
EIAF
2K
2
2K
2cr
crππσ ===
eODQFHPHQW• nombre sans dimensions
• quantifie la sensibilité au flambement
élancementIAL2
K2 =λ
0 ≤ λ < 20 : risque faible20 ≤ λ < 50 : risque moyen
50 ≤ λ < 80 : risque fort80 ≤ λ : risque extrême
Instabilités 15 - 29
9DOLGLWp�GH�OD�WKpRULH�G¶(XOHU• hypothèse de linéarité matérielle (loi de Hooke)
• valable si −≤= p2
2
crE σ
λπσ
�
�
(λ πσ −=
(limite de proportionnalité)
Instabilités 15 - 30
$XWUHV�IRUPHV�G¶LQVWDELOLWp
flambement déversement
voilementcloquage
Instabilités 15 - 33
)ODPEHPHQW�GHV�SLqFHV�LQGXVWULHOOHV• imperfections = défauts inévitables
– imperfections géométriques• poutres pas rectilignes
• forces toujours légèrement excentrées
• dimensions réelles diffèrent des dimensions nominales
– imperfections matérielles• contraintes résiduelles
• matériau hétérogène
Instabilités 15 - 34
,PSHUIHFWLRQV�JpRPpWULTXHV
Instabilités 15 - 37
,PSRUWDQFH�GHV�LPSHUIHFWLRQV• rôle décisif des imperfections
– (…) géométriques → flambement par divergence
– (…) matérielles → affaiblissement de la résistance
• le flambement a WRXMRXUV lieu par divergence
– la charge critique d’ Euler est néanmoins utilisée dans les
méthodes de dimensionnement
Instabilités 15 - 38
,QVWDELOLWpV���HQ�UpVXPp• flambement élastique d’ Euler
– calcul de la charge critique
– limitations du modèle
• flambement par divergence– causes de l’ origine de la flexion initiale
– imperfections industrielles