103433 flexion hyperstatique

Patrick.PAQUET IUT GTE PAU

Version 17/03/11 page 1

ETUDE DE LA FLEXION D'UNE POUTRE EN MONTAGE HYPERSTATIQUE

1 Buts du TP Les objectifs de ce TP sont les suivants : Comprendre les notions de flèches, de déformée et d'efforts aux appuis. Mesurer et calculer les déformations d'une poutre en montage hyperstatique dans différentes conditions de charges. Utiliser la méthode de superposition pour la résolution d'un problème. Aborder l'aspect énergétique des déformations.

2 Présentation du problème L'étude de la déformation d'une poutre en montage isostatique se conduit en deux temps

� Etude statique : on détermine complètement les actions exercées sur la poutre

� Etude de résistance des matériaux : on détermine les contraintes et les déformations

Dans le cas d'une étude en montage hyperstatique, l'étude statique ne permet pas de déterminer complètement les actions exercées sur la poutre. Il faut écrire les équations de déformations et les conditions de mises en position pour pouvoir déterminer les efforts. C'est calculs peuvent être longs et fastidieux. L'exemple montre l'impossibilité de connaître les efforts avec les seuls outils de la statique et la méthode de base pour résoudre ce type de problème. Cette méthode n'est pas l'objet de l'étude. L'exercice a pour but de montrer que cette étude peut être résolu à l'aide des éléments de résolution des poutres isostatiques et du principe observé expérimentalement.



A

x

→A

2.1 Exemple

Soit l'étude d'une poutre sur trois appuis simples (bilatéraux) soumise à une action F1 connue.

L'étude statique de la poutre permet d'obtenir deux équations algébriques. (1) actions proj /y A + F1 + C + E = 0 (2) moments /z b F1 + c C + e E = 0

La résolution complète de ce système n'est pas possible : 3 inconnues A, C, E, 2 équations.

Le système est dit hyperstatique Il faut donc écrire les équations de déformation pour compléter le système. zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤b

)x(M)x("yEI fgz = (Voir cours)

Ax)x(Mf = (Calcul du moment fléchissant en x) Ax)x("yEI 1gz =

1

2

1gz C2

Ax)x('yEI += (Calcul de la primitive)

21

3

1gz CxC6

Ax)x(yEI ++= (Calcul de la deuxième primitive)

zone b≤≤≤≤x≤≤≤≤c )bx(FAx)x(M f −+= 1 (Calcul du moment

fléchissant en x) bFx)FA()x(M f 11 −+= (Mise en forme du

polynome) bFx)FA()x("yEI 112gz −+=

31

2

12gz CbxF

2x)FA(

)x('yEI +−+=

43

2

1

3

12gz CxC

2bxF

6x)FA(

)x(yEI ++−+=

A B C E

b

c

e

→1F

A B

b

x

→1F

→A



A B C

b

x c

→1F

→A →

C

zone c≤≤≤≤x≤≤≤≤e

)cx(C)bx(FAx)x(M f −+−+= 1 )CcbF(x)CFA()x(M f +−++= 11

)CcbF(x)CFA()x("yEI 113gz +−++=

51

2

13gz Cx)CcbF(

2x)CFA(

)x('yEI ++−++=

65

2

1

3

13gz CxC

2x)CcbF(

6x)CFA(

)x(yEI +++−++=

A ce stade de l'étude il y a 9 inconnues ( A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) Ecriture des éléments connus de la déformée pour obtenir des équations. zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤b (3) y1(0)=0 appui en A zone b≤≤≤≤x≤≤≤≤c (4) y1(b)=y2(b) continuité de la poutre au point B (5) y1'(b)=y 2'(b) absence de point anguleux au point B (6) y2(c)=0 appui en C zone c≤≤≤≤x≤≤≤≤e (7) y3(c)=0 appui en C (8) y2'(c)=y 3'(c) absence de point anguleux au point C (9) y3(e)=0 appui en E La présence d'un appui supplémentaire (cause de l'hyperstatisme) permet d'écrire une équation de plus et d'obtenir 9 équations.



(3) 0C2 =

(4) 43

3

1

3

121

3

266CbC

bFb)FA(CbC

Ab ++−+

=++

(5) 3

2

1

2

11

2

22CbF

b)FA(C

Ab +−+

=+

(6) 026 43

2

1

3

1 =++−+

CcCbcFc)FA(

(7) 026 65

2

1

3

1 =+++

−++

CcCc)CcbF(c)CFA(

(8) 51

2

131

2

1

22Cc)CcbF(

c)CFA(CbcF

c)FA(++−

++=+−

+

(9) 026 65

2

1

3

1 =+++

−++

CeCe)CcbF(e)CFA(

9 équations, 9 inconnues (A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) la résolution est possible.

2

1

3

162

33

52

2

1

3

1433

2

1

3

133

2

12

3

11

1

1

2

beF

6

eFC1d00000

2

ce

6e

6e

0C0101000

2c0

2

bcF

6

cFC1c00000

3

c

6

c

2

bcF

6

cFC001c0000

6c

2

bFC000101000

3

bFC001b1b000

0E000010000

bFC000000ec0

FA000000111

+−−

−

+−−

+−=

−−

−−−

−

−



La solution de cette équation matricielle AX= B est la matrice X=A-1B Application numérique

F a b d -10 300 500 900

1 1 1 0 0 0 0 0 0 A 10 0 500 900 0 0 0 0 0 0 C 3000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E 0 0 0 0 300 1 -300 -1 0 0 C1 90000000 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 C2 450000

2E+07 0 0 0 0 500 1 0 0 C3 -166666667 2E+07 -41666667 0 0 0 0 0 500 1 C4 -166666667

0 125000 0 0 0 1 0 -1 0 C5 0 1E+08 -81000000 0 0 0 0 0 900 1 C6 0

SOLUTIONS A 2,9333 C 8,4 E -1,333 C1 -95556 C2 0 C3 -5E+05 C4 5E+07 C5 504444 C6 -1E+08

La résolution par cette méthode est simple mais longue et fastidieuse. Elle devient très lourde lorsque le nombre de nœuds augmente car on introduit deux inconnues d'intégration à chaque tronçon d'étude supplémentaire.



2.2 Méthode de superposition

Le principe est le suivant : on décompose le problème en deux (ou plus) problèmes isostatiques dont la superposition est équivalente au problème complet. Dans ce cas l'appui C est remplacé par une force FC qui aurait le même effet. Une force qui maintiendrait une déformation nulle de la poutre au point C Première poutre isostatique

(1) A1 + F1 + E1 = 0 (2) b F1 +e E1 = 0

2 équations, 2 inconnues

ebF

E 11 −=

e)be(F

A 11

−−=

avec fc1+fc2=0

A B C E

b

c e →1F

A B C E

b e

→1F

fc1

A B C E

c

e

→Fc

fc2

A B C E

b

c e →1F

→

Fc



On retrouve la même configuration que dans les deux premières zones de l'étude de la poutre hyperstatique zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤b

)x(M)x("yEI fgz = xA)x(M 1f =

xA)x("yEI 11gz =

1

2

11gz C

2xA

)x('yEI +=

21

3

11gz CxC

6xA

)x(yEI ++=

zone b≤≤≤≤x≤≤≤≤e

)bx(FxA)x(M 11f −+= bFx)FA()x(M 111f −+=

bFx)FA()x("yEI 1112gz −+=

31

2

112gz CbxF

2x)FA(

)x('yEI +−+=

43

2

1

3

112gz CxC

2bxF

6x)FA(

)x(yEI ++−+=

zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤b (3) y1(0)=0 appui en A zone b≤≤≤≤x≤≤≤≤e (4) y1(b)=y2(b) continuité de la poutre au point B (5) y1'(b)=y 2'(b) absence de point anguleux au point B (6) y2(e)=0 appui en E Ceci permet de déterminer la fonction de la déformée de la poutre zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤b

−++−−= x)b3

ee2(

6bF

e6x)be(F

EI1

)x(y b2

1

3

1

gz

1

zone b≤≤≤≤x≤≤≤≤e

−++−=

3

12

1

2

1

3

1

gz2 6

bF)x

ebe2(

6bF

2bxF

e6bxF

EI1

(x)y

Application numérique

F en N b en mm c e E en MPa Igz en mm4 -10 300 500 900 74000 45

A1 E1

6,66666667 3,33333333 y2(500)= -37,370704



Deuxième poutre isostatique Par analogie avec la première poutre isostatique

A2 + Fc + E2 = 0 c Fc +e E2 = 0

2 équations, 2 inconnues

ecF

E c2 −=

e)ce(F

A c2

−−=

zone 0≤≤≤≤x≤≤≤≤c

−++−−= x)c3

ee2(

6cF

e6x)ce(F

EI1

)x(y c2

c

3

c

gz

3

zone c≤≤≤≤x≤≤≤≤e

−++−=

3c

2c

2c

3c

gz4 6

cF)x

ece2(

6cF

2cxF

e6cxF

EI1

(x)y

Pour que cette deuxième poutre convienne il faut que y3(500)+y2(500)=0

−++−−

−=

500)c3e

e2(6c

e6500)ce(

EI)500(yF

c23

gz2c

Application numérique

A1 E1 6,66666667 3,33333333

A2 Fc E2 -3,73333333 8,4 -4,66666667

A=A1+A2 C=Fc E=E1+E2 2,93333333 8,4 -1,33333333

Courbes en annexe



3 Travail demandé

3.1 Mesures

On se propose de vérifier expérimentalement le principe de superposition � Mettre en place les comparateurs pour mesurer les flèches en

� X1= 150 � X2= 400 � X3= 600 � avec b= 300 c= 500 e= 800 section 5*20

� Effectuer les mesures en faisant varier F1 et F2 � Reporter les mesures sur les tableaux

3.2 Vérification

� Compléter le tableau de mesure en calculant les valeurs des chargements multiples (F1>0 et F2>0), à partir des mesures obtenues lors des chargements simples (F1=0 ou F2=0)

� Comparer résultats des mesures et résultats des calculs. Conclusion.

3.3 Calcul informatique

� Rédiger un cahier des charges de calcul pour le groupe RDM afin de Calculer les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement maximum, en précisant : � Les dimensions utiles � Le chargement � Les caractéristiques de la poutre � Les résultats attendus

� Comparer les résultats fournis par le groupe RDM avec vos mesures.

A B C D E

b

d

c

e

→1F

→2F

h



3.4 Calcul

Pour ces calculs vous utiliserez dans la mesure du possible les résultats littéraux développés dans l'exemple ou le formulaire, attention les valeurs numériques du cas à traiter sont différentes de l'exemple. � Déterminer les 3 poutres isostatiques équivalentes au problème posé � En notant b2 le b du formulaire, exprimer b2 et L du formulaire en fonction

de b et e de l'exemple. Montrer que les deux formules de flèches sont équivalentes.

� En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple, calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F1.

� Etudier l'équilibre de la poutre isostatique faisant apparaître F2 � En utilisant les expressions générales de la flèche donnée dans le formulaire,

calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F2.

� Ecrire la condition devant être respectée par la troisième poutre isostatique, en déduire la force exercée sur cette poutre. (on se servira, en les adaptant, des résultats de l'exemple)

� En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple, calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la troisième poutre isostatique.

� Calculer les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement maximum pour la poutre hyperstatique.

� Comparer avec les résultats de vos mesures et du groupe RDM. � Conclure

Pat

rick.

PA

QU

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TE

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Ver

sio

n 17

/03

/11

pag

e 1

1

�

-45

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

y1

y2

Y1 poutre isostatique1

y3

y4

Y2 poutre isostatique2

somme Y1et Y2







Comparateur 1

F1 F2 0 5 N 10 N 20 N

0

2 N mesure calcul mesure calcul mesure calcul



Comparateur 2

F1 F2 0 5 N 10 N 20 N

0




Comparateur 3

F1 F2 0 5 N 10 N 20 N

0






R

Tableau des résultats

X1 X2 C X3

Poutre Isostatique 1



Poutre Hyperstatique

Informatique

Mesure

Ecart relatif

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