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Exercices rdigs sur les suites numriques Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

EXERCICES RDIGS SUR LES SUITES DE NOMBRES RELS

Exercice 1 Quelques rsultats thoriques

Dmontrer que :

1. Toute suite convergente est borne.

2. Toute suite croissante et non majore diverge vers +.

3. Si une suite converge, alors sa limite est unique.

4. La suite de terme gnral (-1)nn'a pas de limite.

5. Si (un) est borne et (vn) converge vers 0 alors (unvn) converge vers 0.

6. Toute suite convergente d'entiers relatifs est stationnaire et a pour limite un entier relatif.

7. Toute suite divergente vers +est minore.

Exercice 2 Comportement asymptotique des suites gomtriques

1. Dmontrer l'ingalit de Bernoulli :pour tout relxpositif et tout entier naturel n, on a : ( )1+x

n1 +nx

2. Soit (un) une suite dfinie par : un=anavec a!. Dmontrer que :

Si a]1 ; +[ alors (un) est divergente (vers +)

Si a=1 alors (un) est constante (donc convergente vers 1)

Si a]-1 ; 1[ alors (un) est convergente vers 0

Si a]-; -1] alors (un) n'a pas de limite.

Exercice 3tude d'une suite rcurrente

Soit la fonction dfinie sur [-1, +[ par :(x) =1

2

x+

1. tudier les variations de .

2. Soit (un) la suite dfinie par :0

1

1

2( )n n

u

u u+

= =

a. Dmontrer que, pour tout n", on a : 0 < un< un+1< 1

b. En dduire que la suite (un) converge.

c. Dmontrer que, pour tout n", on a :

|un+1-1| #1

2|un-1|

d. En dduire que, pour tout n", on a :

|un-1| #1

2

n

|u0-1|

En dduire la limite de la suite (un).
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Exercice 4 Sries de Riemann

On appelle "srie" toute suite dfinie par une somme.

Les sries de Riemann sont les suites dfinies pour n"*par :

un=1

1n

k ka

=

Nous allons tudier le comportement de ces sries pour certaines valeurs entires de a.

0. Dmontrer que la suite (un) est croissante. (Quelle que soit la valeur de a")

1. Dans cette question, a=1. On a donc :

un=1

1n

kk

=

(Cette srie porte encore le nom d"harmonique")

a. Dmontrer que, pour tout n":

u2n 12

+un

b. En dduire que (un) diverge.

2. Dans cette question, on suppose a=2. On a donc :

un= 21

1n

k k=

a. Dmontrer que, pour tout entier k2, on a :

2

1

k

#1

1k-

-1

kb. En dduire que (un) est majore par 2.

Pour a=2, la suite (un) est croissante et majore, donc convergente.

3. Dans cette question, on suppose a3.

Dmontrer que (un) converge.

Exercice 5 Suites de Hron

Soient a!+* et la fonction dfinie sur !*par :

(x) =1

2

ax

x +

1. Dmontrer que pour toutx!*, on a :

'(x) =( ) ( )

22

x a x a

x

- +

En dduire le tableau de variations de sur !*.

2. On considre la suite (un) dfinie par :

( )01

1

( )n n

u E a

u u+

= +

=

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a) Dmontrer, par rcurrence, que pour tout n", on a :

a < un+1< un#u0

En dduire que la suite (un) est convergente.

b) Dmontrer que, pour tout n":

un+1- a 0, on a aussi 1 +x> 0. En multipliant l'ingalit ci-dessus par (1 +x), on obtient :

( )11+ +x n (1 +nx)(1 +x)

Or : (1 +nx)(1 +x) =1 +x+nx+nx2 =1 +(n+1)x+nx2

Comme nx20, on a : (1 +nx)(1 +x) 1 +(n+1)x

D'o : ( )11+ +x n 1 +(n+1)x

Ce qui est (n+1).

Bilan : on a (0) et pour tout nde ": (n) (n+1)

Donc, pour tout nde ", on a : (n)

( )1+xn1 +nx

2. tude du comportement asymptotique des suites gomtriques.

Supposons a]1 ; +[. Posonsx=a-1. Alorsx]0 ; +[.

D'aprs l'ingalit de Bernoulli :

na = ( )1+x n1 +nx

Or, limn+

1 +nx=+. Par comparaison, on en dduit :

limn+

na =+

La suite (un) diverge donc vers +.

Si a=1, le rsultat est vident.

Supposons maintenant a]-1 ; 1[.

Si a=0, le rsultat est vident.

Si a0, posons : a'=1

| |a

Ainsi : a']1 ; +[

D'aprs le rsultat prcdent : limn+

na =+

Par passage l'inverse, nous obtenons : limn+

| |na =0

D'o : limn+

na =0

La suite (un) converge donc vers 0.

Remarque : on peut tendre

cette ingalit x]-1, +[

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Supposons a]-; -1].

Raisonnons par l'absurde : supposons que la suite (an) converge vers un certain entier l.

SoitI=3

;2 2

l l.Iest un intervalle ouvert centr en l. D'aprs notre hypothse, il existe un rang N partir

duquel, on aura :anI

Autrement dit :2l < an< 3

2l

Or, si est npair alors an> 0, d'o : 0 b0, on a pour tout n": anbn

Bien que ce rsultat ne soit pas une hypothse ncessaire du thorme des suites adjacentes, on l'utilise pour

prouver les suivants :

En effet, d'une part, pour tout n": an+1# 2n na b+

# 2n na a+

#an

Donc la suite (an) est dcroissante.

D'autre part, pour tout n": bn+1-bn= n na b -bn= nb ( na - nb ) 0

(par croissance de t a t sur !+)

Donc la suite (bn) est croissante.

On considre maintenant la proprit dfinie pour n"par :

(n) : an-bn#2n

a b-

* On a bien sr (0).

* Montrons que pour tout n", (n) (n+1) :

Supposons (n) : an-bn#2n

a b-

Utilisons la proprit : 0 #X#Y (Y-X)2#Y2-X2

(Pour le dmontrer, il suffit de multiplier l'ingalit Y-X#Y+Xpar Y-X0)

Comme 0 #bn#an, on a :

(an+1-bn+1)2# 2 21 1n na b+ +-

(1)

#

2

2

n na b-

( )n

#

2

2 2

( )

2 n

a b

+

-

Et par croissance de t a t sur !+: |an+1-bn+1| # 1| |

2na b

+

-

Et comme, bn#anpour tout n, on a (n+1).

Du principe de raisonnement par rcurrence, on dduit :

pour tout n", (n) : an-bn#2n

a b-

D'o, par comparaison : limn+

(an-bn) =0

On a donc prouv que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.

Elles convergent donc vers une mme limite (appele moyenne arithmtico-gomtrique de a et b. On ne

connat pas d'expression de cette limite mais elle est lie aux intgrales elliptiques de 2meespce...)

Exercice 8Divergence des suites (cos n) et (sin n)

Supposons que la suite (cos n) converge vers un certain rel l[-1, 1].

On sait que : cos(n+1) =cos ncos 1 -sin nsin 1

Les suites (cos(n+1)) et (cos n cos 1) ont, par hypothse, une limite.

On en dduit, par diffrence que la suite (sin nsin 1) aussi.

Nous faisons un raisonnement

par l'absurde.

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Comme sin 1 est non nul, la suite (sin n) converge vers un certain rel k=(cos1 1)

sin1

-l

Ce rel kest non nul car cos 1 1.

En outre, on sait que : sin(2n) =2 cos nsin n

En passant la limite, on aurait : k =2 lk

Et comme k0 : l= 12

Par ailleurs, on sait que : cos(2n) =cos2n-sin2n

En passant la limite, on aurait : l=l2-(1 -l2)

D'o : 2l2-l-1 =0

l=1 ou l=-1

2D'o une contradiction.

Donc les suites (cos n) et (sin n) divergent.

Exercice 9 Suite dfinie de faon implicite

1. La fonctionPntant polynomiale, elle est drivable sur !et pour toutx!:

nP (x) =1

1

nk

k

kx -

=

On a donc : nP > 0 sur !+*

D'o : Pnest strictement croissante sur !+.

(La stricte monotonie sur !+dcoule du fait que la drive ne s'annule qu'en un seul point sur !+)

De plus,Pnest continue sur !+et pour tout n2, on a :

Pn(0)Pn(1) =-1 (n-1) < 0

On en dduit (thorme de bijection appliqu Pnsur ]0, 1[) quePnadmet une unique racine andans ]0, 1[.

tude du cas n=2 : on a alors pour toutx!:

P2(x) =x2 +x-1

Les racines deP2sont :1 5

2

- -< 0 et

1 5

2

- +]0, 1[

On a donc : a2=1 5

2

- +

2. On a, pour tout n2 :

Pn+1(an+1) =1

11

1n

kn

k

+

+=

a - = 11 11

1n

k nn n

k

++ +

=

a + a - =Pn(an+1) + 11nn++a

Or,Pn+1(an+1) =0 et11

nn

++a > 0, d'o : Pn(an+1) < 0

De plus,Pn(an) =0. L'ingalit ci-dessus s'crit :

Pn(an+1)

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an+1< an

Ce qui prouve que la suite (an) est dcroissante.

Comme elle est de plus minore par 0, elle converge.

3. a. Pour toutx1, on a d'aprs la formule de sommation de termes conscutifs d'une suite gomtrique :

Pn(x) =

( 1)

1

nx x

x

-

- -1 =

1 2 1

1

nx x

x

+ - +

-

Comme, pour tout n2, on aPn(an) =0, il vient :

1nn

+a -2an+1 =0

b. La suite (an) tant strictement dcroissante, on a videmment pour tout n 2:

an< a2

(Ceux qui n'en sont pas convaincus peuvent le dmontrer par rcurrence)

Et comme a2]0, 1[ (vu la question 1), on a bien pour tout n2 :

an< a2< 1

Par stricte croissance, sur !+, de l'application t a1nt + , il vient :

1nn

+a < 12n+a

Et d'aprs la question 3.a. : 2an-1

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