Rappel math base 1 - HEC

INTRODUCTION

Ce premier rappel des mathématiques de base présente des notions élémentaires de

calcul numérique, les opérations sur les ensembles et plusieurs autres applications.

Nous débuterons la première section avec un bref rappel sur les nombres entiers, les

nombres décimaux et les opérations sur ceux-ci comme l’addition, la soustraction, la

multiplication et la division. Dans la section 2, nous étudierons les fractions et les

différentes opérations sur les fractions. Finalement, dans la section 3, nous verrons

les rapports et les pourcentages ainsi que les applications concrètes en gestion

(taxes, rabais…).

2 Mathématiques de base 1

LES NOMBRES

1.1 Les nombres entiers

Les nombre entiers sont {…,-3,-2,-1,0, +1, +2, +3,…}. Parmi ces nombres on

distingue :

o les entiers positifs : nombres composés d’un entier précédé du signe +.

Ex. : +5 ou +12. Un nombre entier positif peut être écrit sans son signe (+5 = 5 )

Dans ce qui suit nous allons noter les nombres entiers positifs sans leur signe.

o les entiers négatifs : nombres composés d’un entier précédé du signe

-. Ex. : -5 ou -12. Un nombre entier négatif ne peut pas être écrit sans son signe.

o le nombre nul : 0

Les nombres naturels {0, 1, 2, 3,….} sont les nombres entiers positifs ou nuls.

Deux nombres entiers non nuls sont dits opposés s’ils sont de signes contraires.

o Ex. : -5 et 5 sont opposés.


On désigne par :

o est l’ensemble des nombres entiers : = {…,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,…} o +

est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls : + = {0, 1, 2, 3…} o - est l’ensemble des nombres entiers négatifs ou nuls :

- = {…,-3,-2,-1, 0} o * est l’ensemble des nombres entiers non nuls : * = {…,-3,-2,-1, 1, 2, 3…} o est l’ensemble des nombres naturels : = {0, 1, 2, 3…} o * est l’ensemble des nombres naturels non nuls : * = {1, 2, 3…}

Propriétés des nombres entiers :

Tout nombre entier positif est plus grand que tout nombre entier négatif.

o Ex. : 5 > -2

Quand deux nombres entiers sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus

petite valeur absolue.

o Ex. : -2 > -5

Pour placer un ensemble de nombres entiers en ordre croissant, on les place du plus petit au plus grand.


Le produit (ou le quotient) de deux nombres entiers de même signe est un nombre entier positif.

o Ex. : 3 x 2 = 6 o Ex. : ( -3) x ( -2) = 6 o Ex. : 10 ÷ 2 = 5 o Ex. : ( -10) ÷ ( -2) = 5

Le produit (ou le quotient) de deux nombres entiers de signes contraires est un nombre entier négatif.

o Ex. : 3 x ( -2) = -6

o Ex. : 10 ÷ ( -2) = -5

Le produit d’un nombre entier par 0 est égal à 0.

o Ex. : ( -2) x 0 = 0

o Ex. : 0 x 5 = 0

La division par 0 n’est pas définie. Le quotient de deux nombres entiers n’est pas toujours un nombre entier.

o Ex. : ( -5) ÷ 2 = -2,5 o Ex. : 6 ÷ 8 = 0,75

Nous verrons les nombres décimaux dans la prochaine section.


Exercices 1. Représentez chaque situation par un nombre entier. a) Une perte de 20 $. b) Une altitude de 3500 m. c) 5 degrés celcius sous zéro. d) Une perte de poids de 3 Kg. 2. Placez sur la droite numérique ci-dessous les nombres : 5, -3, 2, -2, et -5

3. Rangez dans l’ordre croissant les nombres suivants : 12, -10, -12, 4, 0, -1 4. Effectuez : a) 5 + 3 b) 8 + (-10) c) (-14) + (-6) d) (-5) + 1 e) 0 + (-1) f) (-10) + 10 g) (-12) + 8 h) 5 + (-15) i) (-12) + 31 5. Effectuez: a) 5 – (-10) b) 3 – (-1) c) (-3) – 2 d) (-5) – (-7) e) 0 – (-1) f) (-10) – (-10) 6. Effectuez : a) 5 x (-3) b) (-2) x (-10) c) (-2) x 7 d) 2 x 5 e) (-15) ÷ (-3) f) (-18) ÷ 2 7. Effectuez : a) 5 - 10 b) -3 - 12 c) -2 + 10 d) -1 – 8 e) 0 – 5 f) -9 + 3

g) 5 + 2 h) -9 – 3 i) -4 – (-4)


8. Effectuez : a) -3 + 2 – 5 b) -5 – 7 + 1 c) -10 + 1 – 8 d) -2 + 5 – 6 e) 12 – 10 + 8 f) 4 – 12 – 1

Réponses 1. a) –20 b) +3500 c) –5 d) –3 2.

3. -12; -10; -1; 0; 4; 12 4. a) 8 b) –2 c) –20

d) –4 e) –1 f) 0

g) –4 h)-10 i) 19

5. a) 15 b) 4 c) –5

d) 2 e)1 f) 0

6. a) –15 b) 20 c) –14

d) 10 e) 5 f) –9

7. a) –5 b) –15 c) 8

d) –9 e) –5 f) –6

g) 7 h) –12 i) 0

8. a) –6 b) –11 c) –17

d) –3 e) 10 f) –9


1.2 Les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre composé d’une partie entière et d’une partie décimale séparées par une virgule.

Ex. :

partie entière partie décimale 12 est la partie entière et ,345 est la partie décimale. Pour cette dernière, 3

est le chiffre des dixièmes, 4 le chiffre des centièmes et 5 le chiffre des millièmes.

À chaque nombre décimal correspond un point unique sur la droite numérique.

Ex. : Aux nombres 1,4 et 1,47 correspondent les lettres A et B.

Pour arrondir un nombre décimal au dixième près, on procède de la façon suivante :

Oui Non

1. Le chiffre à droite de celui des dixièmes est-il supérieur ou égal à 5 ?

2’. On ne change pas le chiffre des dixièmes

2. On augmente de 1 le chiffre des dixièmes

3. On supprime tous les autres chiffres à droite du chiffre des dixièmes


Ex. : 2,3645 est arrondi à 2,4 au dixième près car 6 qui est le chiffre à droite de celui des dixièmes est supérieur à 5. Ce procédé se généralise. Le même nombre sera arrondi à 2 (à l’unité près), à 2,36 (au centième près) et à 2,365 (au millième près).

Si deux nombres décimaux n’ont pas la même partie entière, le plus grand

des deux nombres est celui qui a la plus grande partie entière. Ex. : 12,35 > 7,42 Ex : -4,58 > -11,87 Si deux nombres décimaux positifs ont la même partie entière, le plus grand des deux nombres est celui qui contient le plus grand nombre de dixièmes, et, en cas d’égalité, le plus grand nombre de centièmes, etc… Ex. : 12,354 > 12,347 (Ici, 5 est plus grand que 4) Si deux nombres décimaux négatifs ont la même partie entière, le plus petit des deux nombres est celui qui contient le plus grand nombre de dixièmes, et, en cas d’égalité, le plus grand nombre de centièmes, etc… Ex. : -12,354 < -12,347


Exercices 1. Pour chacun des nombres décimaux suivants, indiquez la partie entière, la partie

décimale, le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes, le chiffre des centièmes et le chiffre des millièmes.

a) 123,456 b) 3,14 c) 2,103 d) 1,002 2. On désire verser 0.625 litre de parfum dans des flacons pouvant contenir 0,1 litre;

0,01 litre ou 0,001 litre. Combien de flacons de chaque grandeur doit-on utiliser ? 3. Situez sur la droite numérique les nombres décimaux suivants : a) 1,32 b) 1,34 c) 1,345 d) 1,349 4. Arrondissez chacun des nombres décimaux suivants à l’unité près, au dixième

près puis au centième près. a) 1,312 b) 2,641 c) 1,702 d) 1,999 5. Rangez les nombres suivants en ordre croissant : a) 34,43 ; 34,34 ; 34,44 ; 34,334 ; 43,33 b) 0,101 ; 0,11 ; 0,1 ; 0,111 ; 0,1011

6. Répondez aux questions suivantes:

a) Une caisse renferme 2,5 Kg de pommes, 3,75 Kg de poires et 2 Kg de pêches. Si la caisse vide pèse 600 g, quel est le poids total de la caisse pleine ?

b) 238 personnes ont assisté à une pièce de théâtre. Si chaque spectateur paye 12,95 $ pour assister à la pièce, déterminez les recettes du théâtre pour cette pièce.

c) Un terrain de 1 000 m2 coûte 68 500 $. Quel est le prix du terrain au mètre carré ?

d) Un magasin vend un certain jeu vidéo à 34,95 $. Combien d’exemplaires de ce jeu peut-on acheter avec une somme de 276 $ ?


Réponses 1.

Partie entière

Partie décimale

Chiffre dizaines

Chiffre dixièmes

Chiffre centièmes

Chiffre millièmes

a) 123 456 2 4 5 6 b) 3 14 0 1 4 0 c) 2 103 0 1 0 3 d) 1 002 0 0 0 2

2. 6 flacons de 0,1 litre, 2 flacons de 0,01 litre, 5 flacons de 0,001 litre. 3.

4.

a) 1 ; 1,3 ; 1,31.

b) 3 ; 2,6 ; 2,64.

c) 2 ; 1,7; 1,70.

d) 2; 2,0; 2,00.

5.

a) 34,334 < 34,34 < 34,43 < 34,44< 43,33

b) 0,1 < 0,101 < 0,1011 < 0,11 < 0,111

6. a) 8,85 kg b) 3082,10$ c) 68,5$/m2 d)7


1.3 L’ordre des opérations Dans une chaîne d’opérations, on respecte l’ordre de priorité suivant :

1. On effectue les opérations dans les parenthèses selon l’ordre en 2 et 3

2. On effectue les divisions et les multiplications dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite)

3. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite)

Ex. : 5 + 2 x (7 – 3) – 6 ÷ (5 – 3) 1. On effectue les opérations à l’intérieur des parenthèses :

= 5 + 2 x 4 – 6 ÷ 2 2. On effectue les multiplications et les divisions dans l’ordre d’écriture :

= 5 + 8 – 3 3. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture :

= 10

La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction.

cabacba )(

cabacba )(

Ex. : 5 x (7 + 4) = 5 x 7 + 5 x 4 = 35 + 20 = 55 Ex. : 5 x (7 – 4) = 5 x 7 – 5 x 4 = 35 – 20 = 15


Nous pourrions aussi calculer les expressions ci- haut de la façon suivante :

Ex. : 5 x (7 + 4) = 5 x (11) = 55

Ex. : 5 x (7 – 4) = 5 x 3 = 15

Exercices 1. Calculez : a) 2 x 5 – 2 x 3 + 15 ÷ 5 b) 24 + 6 x 2 + 5 x 2 – 1 c) 3 + 5 x (12 – 4) – (5 + 3) ÷ 2 d) 18 ÷ (5 + 4) – 2 x (5 – 4) + 12 ÷ 2 + 3 2. Effectuez : a) 12 – (4 + 6) b) 12 – (4 – 6) c) -12 – (9 – 1) d) (12 – 8) – (8 – 1) e) (-3 + 9) + (5 – 7) f) (-1 + 12 – 15) – (3 – 5 + 9)


3. Effectuez de deux façons différentes : a) 3 x (5 + 2) b) 5 x (7 – 2) c) 2 x (5 – 8) d) 2 x (-5 + 8) e) 3 x (-2 – 7) f) -3 x (-5 + 1) g) -2 x (-3 – 4) h) -5 x (-3 – 4 + 2) 4. Effectuez : a) -2 x (5 – 3 + 2) + 5 x (-2 – 4) b) (-2 + 5) x (3 – 7) c) (-3 + 2 – 5) x (2 – 7 + 1)

d) (-3 + 5 – 7) x (-3 + 1) – (2 – 8) x (3 – 5) Réponses 1. a) 7 b) 45 c) 39 d) 9 2. a) 2 b) 14 c) –20

d) –3 e) 4 f) –11

3. a) 21 b) 25 c) –6 d) 6

e) –27 f) 12 g) 14 h)25

4. a) –38 b) –12 c)24 d) –2


1.4 Puissance d’un nombre

Le produit 2 x 2 x 2 x 2 où apparaissent quatre facteurs égaux à 2 s’écrit sous la forme exponentielle : 24.

On lit “2 à la puissance 4” ou “2 exposant 4”. La puissance 24 est composée de la base 2 et de l’exposant 4. En général, pour tout nombre a et tout nombre naturel n, on a :

an = a x a x a x ….. x a n

a1 = a

a0 = 1 si a ≠ 0

Ex. : 53 = 5 x 5 x 5 = 125 51 = 5 50 = 1

Ex. : (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125 (-5)1 = -5 (-5)0 = 1

n facteurs


Lois des exposants

Titre Loi Exemple

Produit de puissance de même base

nmnm aaa

322222 53232

Puissance d’un produit nnn baab

10025452)52( 222

Quotient de puissances de

même base

nm

n

m

aa

a 16222

2 437

3

7

Puissance d’un quotient n

nn

b

a

b

a

9

4

3

2

3

22

22

Puissance d’une puissance nmnm aa 6422)2( 62323

Pour tout nombre a non nul et pour tout nombre naturel n, on a :

n

n

aa

1

Remarquons que :

n

n

n

n

a

b

b

a

b

ab

a

11

0a ; 0b

Ex. : 4

9

2

3

3

222


Les exposants et les priorités d’opérations : S’il y a des exposants dans une chaîne d’opérations, voici l’ordre à respecter :

1. On effectue les opérations d’exponentiation (si les exposants sont appliqués à un bloc d’opérations, effectuez ces dernières en premier selon l’ordre en 2, 3 et 4).

2. On effectue les opérations dans les parenthèses selon l’ordre en 3 et 4.

3. On effectue les divisions et les multiplications dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite).

4. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite).

Ex. : 2 x (5 + 2 x (7 – 4)) 2 – (16 ÷ (2) 3) – 3

1. On effectue les opérations à l’intérieur de la parenthèse avec un exposant :

= 2 x (5 + 2 x (7 – 4)) 2 – (16 ÷ (2) 3) – 3 = 2 x (5 + 2 x 3) 2 – (16 ÷ (2) 3) – 3 = 2 x (5 + 6) 2 – (16 ÷ (2) 3) – 3 = 2 x (11)2 – (16 ÷ (2) 3) – 3

On effectue les opérations d’exponentiation : = 2 x 121 – (16 ÷ 8) – 3

2. On effectue les opérations à l’intérieur des parenthèses : = 2 x 121 – (2) – 3

3. On effectue les multiplications et les divisions dans l’ordre d’écriture :

= 242 – 2 – 3

4. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture : = 240 – 3 = 237


Exercices 1. Calculez : a) 53 b) (-2)3 c) (-1)5 d) 34 e) (-3)4 f) 3)2,0( 2. Quelles conditions doit-on poser sur la base a et sur l’exposant n pour que

an soit négatif ? 3. Calculez: a) 2 x 32 b) (2 x 3)2 c) 22 x 3

d) 22 x 32 e) 2

3

2

f) 3

22

g) 23

2 h)

3

3

3

2 i) 22

j) (-2)2 k) -22 l) -(-2)2 4. Calculez:

a) 0

3

2

b) 2

3

2

c)

3

3

2

d) 23

2 e)

3

22

f) 3

)2( 2

5. Calculez: a) (32)3 b) [(-3)2]3 c) [(-2)3]0

d) 4

6

8

8 e) (2 x 5)3 f)

2

3

2

g) 2

3

)2(

)2(

h) 2

3

2

4


6. Calculez: a) 102 b) 10-1 c) 10-2 d) 10-3 e) 2-5 f) (-2)-3

g) -(-5)-2 h) (-3)-4 i) 2

5

2

j) 4

3

2

k)

3

2 4 l)

3

2 4

7. Soit a et b deux nombres non nuls. Simplifiez: a) a2 x a3 b) (3a)2 c) (a2b)3

d) a4 x a-2 e) [(a2b3)2]3 f) 53

34

6

12

ba

ba

g) (a3b) x (a2b) h) (a2b)2 x (ab2)3 i) 2

3

2

b

a

j) (3a2b) x (2ab)2 k) (a-2b3)2 x (a4b-6) l) (-2a2b-3)-1 8. Calculer: a) 2 x [1 + (5 + 22)]3 ÷ 10 – 1 b) [(1 – 2)3 + (6 – 2)2] x 23

c) [1 + (6 ÷ 3 + 2)2] ÷ 2 – [(3 – 1)3] -1 x 4


Réponses 1. a) 125 b) –8 c)-1 d) 81 e) 81 f)0,008 2. a < 0 et n impair. 3. a) 18 b) 36 c) 12 d) 36

e) 4/9 f) 4/3 g) 2/9 h) 8/27

i) 4 j) 4 k) –4 l) –4

4. a) 1 b) 4/9 c) –8/27

d) –2/9 e) –4/3 f) 4/3

5. a) 729 b) 729 c) 1 d) 64

e) 1000 f) 4/9 g) –2 h) 16

6. a) 100 b) 1/10 c) 1/100 d) 1/1000

e) 1/32 f) –1/8 g) –1/25 h) 1/81

i) 25/4 j) 81/16 k) 1/48 l) –1/48

7. a) a5 b) 9a2 c) a6b3 d) a2

e) a12b18 f) 2a/b2 g) a5b2 h)a7b8

i) a4/b6 j) 12a4b3 k) 1 l) –b3/2a2

8.

a) 199 b) 120 c) 8


1.5 Racine carrée

La racine carrée d’un nombre positif ou nul a , notée a , est le nombre

positif ou nul b tel que b2 = a.

abba 2 0a ; 0b

Ex. : 25 = 5 car 52 = 25.

Un nombre est un carré parfait s’il est égal au carré d’un nombre naturel. Ex. : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … sont des carrés parfaits car : 0 = 02, 1 = 12, 4 = 22,

9 = 32,…

Si a est un nombre naturel non carré parfait alors a est un nombre ayant une partie décimale infinie non périodique.

Ex. : 2 = 1, 4142136… 3 = 1,7320508…

Propriétés des racines carrées :

baab 0a ; 0b

b

a

b

a 0a ; 0b

2/1aa 0a

2/2/1 bbb aaa 0a


Ex.: - 636182182

- 5252

50

2

50

- 6061036101235212532

- 9333 22/44 Les racines carrées et les propriétés des opérations :

1. On effectue les opérations à l’intérieur des racines carrées selon l’ordre en

3, 4 et 5.

2. On calcule les racines carrées.

3. On effectue les opérations dans les parenthèses selon l’ordre en 4 et 5.

4. On effectue les divisions et les multiplications dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite).

5. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite).

Ex. : 3 - 2) 16( 3 7))(3 x 2 (5 x 2

1. On effectue les opérations à l’intérieur des racines carrées :

= 3 - 2) 16( 3 10) x 2 (5 x 2

= 3 - 2) 16( 3 20) (5 x 2

= 3 - 2) 16( 3 25 x 2

2. On calcule les racines carrées : = 3-2)(4 3 5 x 2

3. On effectue les opérations à l’intérieur des parenthèses : = 3- )2 ( 3 5 x 2

4. On effectue les multiplications et les divisions dans l’ordre d’écriture :

= 3 - 6 01

5. On effectue les additions et les soustractions dans l’ordre d’écriture : = 3-16 =13


Exercices 1. Calculez: a) 81 b) 64 c) 16

d) 25

16 e) 25,0 f) 09,0

g) 205 h) 3532 2. Calculez: a) 246 b) 25182 c) 5253

d) 8

27

3

2 e) 32273 f)

5

35

5

122

3. Calculez:

a) 232 b) 423 c)

222352

d) 42 e) 23 f) 62

4. Calculez :

a) 282 b) 2434

c) 2)92(12 d) 34)23(1

Réponses 1.a) 9 b) 8 c) –4 d) 4/5 e) 0,5 f) 0,3 g) 10 h)30

2.a)12 b)60 c)30 d) 3/2 e) 54 f) 12

3.a) 12 b) 324 c) 360 d) 4 e) 3 f) 8

4.a) 22 b) 22 c) 0 d) 1


2. LES FRACTIONS

2.1 Définition

La fraction 3/4 est composée de deux termes : le terme 3 appelé le numérateur et le terme 4, appelé le dénominateur.

À chaque fraction correspond un point unique de la droite numérique. À la

fraction 3/4 correspond le point A.

Deux fractions sont équivalentes si elles ont la même valeur.

Ex. : Les tablettes de chocolat ci-dessous ont les mêmes dimensions. Karen mange les 4/6 tandis que David mange les 2/3. On observe alors l’équivalence suivante :

3

2

6

4

6

4

3

2

Deux fractions sont équivalentes si et seulement si les produits croisés

sont égaux. On a en effet 4 x 3 = 6 x 2.

6

4

3

2


On obtient une fraction équivalente à une fraction donnée en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Ex. : 10

6

25

23

5

3

10

6 est une fraction équivalente à

5

3

Ex. : 3

2

618

612

18

12

3

2 est une fraction équivalente à

18

12

Exercices 1. Exprimez par une fraction la partie coloriée des figures ci-dessous : a) b) c) 2. Représentez sur la droite numérique :

a) 4

1

b) 3

1


c) 3

2

d) 4

5

e) 3

7

3. Déterminez quelle fraction de 1 heure représente une durée de : a) 15 min. b) 300 sec. c) 12 min. et 36 sec. d) 1h 12 min. et 6 sec. 4. Déterminez si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

a) 7

4

27

15 b)

12

4

12

9 c)

24

16

6

4

5. Complétez les égalités suivantes pour obtenir des propositions vraies.

a) 204

3 b)

75

5

3 c)

4

3

100 d)

5

2

25

6. Indiquez par quel nombre naturel on a divisé successivement numérateur

et dénominateur pour réduire la fraction 126

84.

3

2

21

14

63

42

126

84

7. Dans un groupe de 24 étudiants, on dénombre 6 hommes âgés de moins

de 20 ans, 4 hommes âgés de plus de 20 ans, 8 femmes âgées de moins de 20 ans et 6 femmes âgées de plus de 20 ans. Exprimez par une fraction irréductible :

a) la fraction du groupe de sexe masculin. b) la fraction du groupe composé d’hommes âgés de moins de 20 ans. c) la fraction des hommes âgés de moins de 20 ans. d) la fraction du groupe composé de personnes âgées de moins de 20 ans.


Réponses 1. a) 5/12 b) 3/8 c) 1/ 2 2.

a)

b)

c)

d)

e)

3. a) 1/4 b) 1/12 c) 756/3600 = 21/100 d) 4326/3600 = 721/600 4. a) F b) F c) V 5. a) 3/4= 15/20 b) 3/5 = 75/125

c) 75/100 =3/4 d) 10/25 = 2/5

6. 84/126 = 42/63 = 14/21 = 2/3 2 3 7 7. a) 5/12 b) 1/4 c) 3/5 d) 7/12


2.2 Les opérations sur les fractions

Simplifier ou réduire une fraction consiste à déterminer une fraction équivalente en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre et à répéter cette procédure jusqu’à l’obtention d’une fraction irréductible (fraction admettant 1 pour seul diviseur commun).

Ex. : Ici, nous avons respectivement divisé par 2 et divisé par 3 les numérateurs et les dénominateurs.

Mettre deux fractions au même dénominateur signifie déterminer deux

fractions ayant le même dénominateur et équivalentes aux fractions données.

Ex. : Mettons 5

2 et

4

3 au même dénominateur.

Si on choisit 20 pour dénominateur commun, on obtient :

20

8

45

42

5

2

et 20

15

54

53

4

3

On obtient respectivement 20

8 et

20

15 .

Addition et soustraction

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant un même dénominateur, on additionne (ou retranche) les numérateurs et on conserve le dénominateur.

Ex. : 4

3

4

2

4

1 ;

5

2

5

1

5

3


Pour additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents, on les met d’abord au même dénominateur et ensuite on additionne (ou retranche) les dénominateurs ensemble.

Ex. : 20

23

20

15

20

8

4

3

5

2

La méthode suivante, illustrée par l’exemple ci-dessous, permet d’additionner deux fractions:

(1) On simplifie quand c’est possible chaque fraction. (2) On met les fractions au même dénominateur. (3) On additionne les numérateurs. (4) On simplifie le résultat s’il y a lieu.

Ex. : Additionner 18

15 et

10

3

10

3

6

5

10

3

18

15 (1)

=30

9

30

25 (2)

=30

34 (3)

=15

17 (4)

Toute fraction supérieure à 1 peut s’écrire sous la forme d’un nombre fractionnaire composé d’un entier naturel et d’une fraction inférieure à 1.

Ex. : 26

52

6

5

6

12

6

17 et

6

52

6

5

Pour additionner (ou soustraire) des nombres fractionnaires, on peut

d’abord transformer chacun des ces nombres en fraction, mettre ensuite les fractions au même dénominateur et additionner (ou soustraire) les dénominateurs.

Ex. : 9 17 27 68 95

4 3 12 12 12

12

117


Exercices 1. Réduisez les fractions suivantes pour qu’elles deviennent des fractions

irréductibles:

a) 24

36 b)

45

72 c)

35

56 d)

225

75

e) 36

16 f)

110

132 g)

52

169 h)

72

108

2. Mettre les fractions suivantes au même dénominateur et les additionner:

a) 3

2 et

7

5 b)

6

5 et

12

7 c)

15

7 et

6

5

d) 15

4 et

25

3 e)

16

3 et

9

2 f)

3

5 ,

4

3 et

9

2

3. Illustrez les opérations suivantes sur un schéma puis effectuez l’opération :

a) 4

2

4

1

b) 7

2

7

5

c) 8

2

8

5


4. Effectuez les opérations suivantes :

a) 2

5

3

2 b)

7

2

4

3 c)

6

1

3

5

d) 3

21 e)

5

45 f) 2

3

5

g) 2

13

3

12 h)

8

12

4

35 i)

8

52

4

13


a) 6

5

2

3

3

2 b)

6

3

4

1

12

5

c) 14

3

8

5 d)

5

4

15

2

25

3

6. On mélange 3/4 de litre de peinture bleue avec 2/3 de litre de peinture jaune. Combien de litres de peinture verte obtient-on ? 7. Valérie se rend chaque matin à son travail en métro, puis en autobus. Si elle parcourt les 3/10 du trajet en métro, quelle fraction du trajet parcourt-elle en autobus ? Réponses 1. a)3/2 b)8/5 c)8/5 d)1/3

e) 4/9 f) 6/5 g) 13/4 h)3/2

2.

a) 14 15 29

21 21 21 b)

12

17

12

7

12

10 c)

14 25 39 13

30 30 30 10

d) 75

29

75

9

75

20 e)

144

59

144

32

144

27 f)

36

95

36

8

36

27

36

60


3. a) 3/4 b) 3/7 c) 3/8 4. a) 19/6 b) 13/28 c) 3/2 d) 5/3 e) 21/5

f) 11/3 g) 35/6 h) 29/8 i) 5/8

5. a) 4/3 b) 2/3 c) 7/8 d) 59/75 6. 17/12 litres de peinture verte ou 1 litre et 5/12 de peinture verte 7. 7/10


Multiplication et Division

Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, on multiplie le numérateur par ce nombre et on conserve le dénominateur.

Ex. : 110

105

10

2

Ex. : Nathalie possède 120$. Elle dépense les 2/5.

Le montant dépensé par Nathalie est calculé par le produit 1205

2 .

485

240

5

1202120

5

2

.

Nathalie dépense donc 48$.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et

les dénominateurs entre eux.

Ex. : 15

8

53

42

5

4

3

2

Il est préférable de simplifier, s’il y a lieu, l’expression avant d’effectuer le produit.

Ex. : 15

2

53

12

25

4

12

10

Nous avons simplifié 5

2

25

10 et

3

1

12

4 , donc il n’est pas obligatoire

de simplifier 12

10 séparément de

25

4.

Deux nombres non nuls sont des inverses multiplicatifs l’un de l’autre si le

produit de ces nombres égale 1.

Ex. : 5

2 et

2

5 sont des inverses multiplicatifs l’un de l’autre car 1

2

5

5

2 .


Pour diviser une fraction par une fraction non nulle, on multiplie la première fraction par l’inverse multiplicatif de la deuxième.

Ex. : 20

21

4

7

5

3

7

4

5

3

Pour multiplier ou diviser des nombres fractionnaires, il est plus simple de

les écrire sous forme de fraction. Ensuite on applique la règle de multiplication ou de division des fractions.

Ex. : 2

7

3

7

2

3

3

12

2

11

13

6

13

4

2

3

4

13

2

3

4

13

2

11

Exercices 1. Calculez :

a) 123

2 b) 24

4

3 c) 10

3

2

d) 12

560 e) 36

4

1 f)

45

32

2. Dans un groupe de 36 étudiants, les 2/3 ont plus de 20 ans. Combien d’étudiants ont moins de 20 ans ? 3. Dans un groupe de 24 étudiants, les 2/3 sont de sexe masculin. Si 3/4 des étudiants de sexe masculin ont plus de 20 ans, combien y a-t-il d’étudiants : a) de sexe féminin b) de sexe masculin ayant moins de 20 ans ? 4. Une étude montre que 3/5 des étudiants ont réussi leur cours de

mathématiques et que parmi ceux-ci, les 2/3 ont réussi leur cours de comptabilité. Quelle fraction de tous les étudiants de l’école représente le nombre d’étudiants ayant réussi les deux cours ?



a) 6

5

4

3 b)

15

3

12

5 c) 10

6

5

d) 3

15

2

13 e)

10

8

12

5

4

3 f)

4

7

16

10

15

12

g) 6

5

3

2 h)

5

23 i) 2

6

5

6. Calculez:

a) 25

3

2

3

2

b) 75

5

3

5

3

c)

32

3

2

d) 12

5

2

5

2

e) 2

10

3

5

2

f) 32

3

413

52

7. Une cuve renferme 12 litres de vin. On veut verser le contenu dans des bouteilles de capacité égale à 3/4 de litre. Combien de bouteilles peut-on remplir ? 8. Une voiture perd 1/5 de sa valeur chaque année. Si le prix d’achat de la voiture est de 15 000$, quelle sera sa valeur après 3 ans ? 9. Un boulanger vend la moitié de ses pains le matin, le quart à midi, et les

2/10 en soirée. Combien avait-il de pains le matin s’il lui reste 12 pains à la fermeture ?

10. On compte un total de 12 000 plantes dans une serre. Les 3/4 des plantes sont des fleurs, les 2/3 des fleurs sont des roses, le 1/6 des fleurs sont des tulipes et le reste des fleurs sont des glaïeuls. Combien dénombre-t-on de : a) plantes qui ne sont pas des fleurs ? b) glaïeuls ?


Réponses

1. a) 8 b)18 c) 20/3 d) 25 e) 9 f) 24/5 2. 12 3. a) 8 b) 4 4. 2/5 5. a) 5/8 b) 1/12 c) 25/3 d) 56/3 e) 1/4

f) 7/8 g) 4/5 h) 15/2 i) 5/12

6. a) 27/8 b) 25/9 c) 729/64

d) –125/8 e) 625/9 f) 13

7. 16 bouteilles 8. 7680$ 9. 240 pains 10. a) 3000 b) 1500


3. LES RAPPORTS ET LES POURCENTAGES

Le rapport de deux nombres pris dans un ordre donné est le quotient du premier nombre par le deuxième nombre.

Ex. : Le rapport du nombre 7 avec le nombre 10 est le quotient 10

7 qui

admet 0,7 pour représentation décimale.

Un pourcentage est un rapport dont le deuxième terme est 100.

Ex. : Le rapport 100

20 est un pourcentage, on le note 20% et on lit : « 20

pour cent ».

Pour exprimer une fraction en pourcentage, on transforme la fraction en un nombre décimal, puis on exprime le résultat obtenu en pourcentage.

Ex. : 5

4 = 0,8 = 80 %

Pour évaluer la quantité correspondant à un pourcentage, on peut :

- exprimer le pourcentage en nombre décimal et effectuer la multiplication. ou - exprimer le pourcentage en fraction et effectuer la multiplication.

Ex. : Jean a parcouru 80 % de la distance Montréal-Toronto (540 Km). La distance parcourue est 432 Km.

En effet, 80% x 540 = 0,8 x 540 = 432

ou

80% x 540 = 100

80 x 540 = 432


Prix avant taxe et prix après taxe

Pour un prix de vente donné, si on veut calculer le prix à payer après taxe, on respecte les étapes suivantes :

- On calcule d’abord le montant à payer en taxe.

- On ajoute ce montant au prix initial pour obtenir le prix avec taxe.

Ex. : Marie veut acheter une robe à 150$. Sachant que la taxe de vente est de 14%,

combien Marie doit-elle payer au total pour son achat ?

Le montant de la taxe est de : 150 x 14% = 150 x 0,14 = 21$

Le prix de vente avec taxe est donc : 150$ + 21$ = 171$

Remarque :

Le prix avec taxe peut être obtenu en multipliant le prix initial par (1+i )% où i% est le taux de taxe en %.

Dans l’exemple le prix avec taxe est de :

150 x (1 + 14%) = 150 x (1 + 0,14) = 150 x 1,14 = 171$

Si on dispose du prix avec taxe et si on veut déduire le prix avant taxe, on divise le prix avec taxe par (1+i )% où i% est le taux de taxe en %.

Ex. : Le prix avec taxe d’un bien est de 180$ et le taux de taxe en vigueur est de

20%,. Le prix avant taxe est alors : 180 ÷ (1 + 0,2) = 180 ÷ 1,2 = 150$


Exercices 1. Une boîte A contient 12 unités et coûte 18 $. Une boîte B contient 25

unités du même produit et coûte 34 $.

a) Déterminez le rapport entre le coût de la boîte A et le nombre d’unités qu’elle contient.

b) Déterminez le rapport entre le coût de la boîte B et le nombre d’unités

qu’elle contient.

c) Laquelle des deux boîtes est la plus avantageuse pour le consommateur ?

2. Exprimez par un pourcentage chacune des situations suivantes.

a) On annonce 15 $ de rabais pour un achat de 100 $.

b) Sur 100 personnes, 18 portent des lunettes.

c) On taxe 18 $ sur chaque achat de 200 $.

d) Sur 36 personnes interrogées, 9 personnes parlent anglais.


3. Complétez le tableau suivant :

Pourcentage Fraction Nombre décimal

25 %

10

3

0,18

60 %

5

2

0,15

2,5 %

4

3

0,01

170 %

2

5

0,008


4. Une enquête a été effectuée en interrogeant des hommes âgés de plus de 21 ans sur leur état civil.

a) Complétez le tableau ci-dessous en indiquant le pourcentage d’hommes dans chaque catégorie.

État civil Nombre % Célibataire 1050

Marié 1680 Veuf 210

Divorcé 630 Total 3570

b) Vérifiez que le total de la colonne % égale à 100.

5. Calculez mentalement la taxe de vente de 9 % sur les articles suivants : a) un parapluie (8 $) b) une paire de chaussures (70 $) c) un appareil photo (120 $) d) un disque (18 $) 6. On a interrogé 240 étudiants sur leur passe-temps favori.

a) Complétez le tableau ci-dessous en indiquant le nombre d’étudiants dans chaque catégorie.

Loisir % Nombre d’étudiants (effectif) Télévision 30 Musique 12

Sport 18 Cinéma 10 Lecture 24 Autres 6 Total

b) Vérifiez que le total de la colonne des effectifs égale 240.


7. Complétez le tableau suivant :

Prix régulier

Rabais (%) Rabais ($) Taxe (%) Taxe ($) Prix final

125 $ 9 % 240 $ 20 % 360 $ 25 % 8 %

6 % 455,80 $ 5 $ 125 $ 10 % 315 $ 531,25 $ 531,25 $ 20 % 5 % 104,16 $ 30 $ 13,50 $ 283,50 $

Réponses 1. a) 1,5$/unité b) 1,36$/unité c) la boîte B 2. a) 15% b) 18% c) 9% d) 25% 3. Pourcentage Fraction Nombre décimal 25 % 1/4 0,25 30 % 3/10 0,3 18 % 9/50 0,18 60 % 3/5 0,6 40 % 2/5 0,4 15 % 3/20 0,15 2,5 % 1/40 0,025 75 % 3/4 0,75 1 % 1/100 0,01 170 % 17/10 1,7 250 % 5/2 2,5 0,8 % 1/125 0,008

4. État civil Nombre % Célibataire 1050 29,4 Marié 1680 47,1 Veuf 210 5,9 Divorcé 630 17,6 Total 3570 100


5. a) 72¢ b) 6,30$ c) 10,80$ d) 1,62$ 6.

Loisir % Nombre d’étudiants (effectif) Télévision Musique

Sport Cinéma Lecture Autres

30 12 18 10 24 6

72 29 43 24 58 14

Total 100 240 7.

Prix régulier

Rabais (%) Rabais ($) Taxe (%) Taxe ($) Prix final

125 $ 9 % 11,25$ 136,25$ 240 $ 20 % 48$ 192$ 360 $ 25 % 90$ 8 % 21,60$ 291,60$ 430$ 6 % 25,80$ 455,80 $ 120$ 4,17 % 5,004 $ 125,004 $ 350$ 10 % 35$ 315 $

1062,50$ 50% 531,25 $ 531,25 $ 124$ 20 % 24,80$ 5 % 4,96$ 104,16 $ 300$ 10% 30 $ 5% 13,50 $ 283,50 $

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Rappel math base 1 - HEC