Rappels sur les droites.unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_geometrie_01_rappels...Rappels sur les droites. Soient :. fune fonction dont l'ensemble de dé nition est D f,. x"D f,. hun

Rappels sur les droites.


Les droites sont un outils de base de la mathématique que nous retrouvons dansde nombreuses branches des mathématiques.

Nous allons les voir en lien avec l'analyse sous forme de fonctions a�nes.Puis avec l'approche géométrique moderne c'est-à-dire les vecteurs.En�n nous étudierons leurs équations cartésiennes.

I Les fonctions a�nes.

Dé�nition 1

Soit f ∶ R↦ R (dé�nie sur R et à valeur dans R).

f est dite a�ne si et seulement si il existe des nombres a et b réels tels quepour tout x ∈ R,

f(x) = ax + b.

Remarques.

1. Pour la fonction a�ne f ∶ x↦ ax+ b, a est appelé le coe�cient directeur (oupente) et b est appelé l'ordonnée à l'origine.

2. La courbe représentative d'une fonction a�ne est une droite qui admet uneéquation réduite. Nous justi�erons ceci un peu plus loin.

3. Les fonctions linéaires et constantes sont des cas particuliers de fonctionsa�nes.

(i) Si a = 0 la fonction a�ne est une fonction constante.

(ii) Si c'est b = 0 alors la fonction a�ne est une fonction linéaire.

4. Une fonction a�ne est une fonction polynomiale de degré 1 ou 0.

5. Le nom de b vient du fait que : b = f(0).6. Nous appellerons encore fonction a�ne une fonction x ↦ ax + b dont l'en-

semble de dé�nition est plus petit que R.

Représenter graphiquement une fonction a�ne.

Exercice 1. ♥Soit f la fonction dé�nie sur R par

f(x) = −0,5x + 2.

Tracez la courbe représentative de f sur [−2; 4].

-1-

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Correction exercice 1♥Pour tracer la courbe représentative d'une fonction, en général, il faut dessiner de

nombreux points et les relier, mais pour tracer la courbe représentative d'une fonctiona�ne il su�t de dessiner deux points et de les relier à la règle.

Choisissons deux abscisses très éloignées : −2 et 4. Dessinons les points de coordonnées(−2,f(−2)) et (4,f(−4)).

f(−2) = 3 donc le point (−2; 3) est sur la droite.f(4) = 0 donc le point (4; 0) est sur la droite.

x

y = f(x)

0 1

1

×

×

Cf

Exercice 2. Application.Soit f la fonction dé�nie sur R par

f(x) = −0,6x + 0,2

Tracez la courbe représentative de f sur [−3; 2].

Taux d'accroissement.

Dé�nition 2

-2-



Soient :

. f une fonction dont l'ensemble de dé�nition est Df ,

. x ∈ Df ,

. h un nombre non nul tel que x + h ∈ Df .

Le taux d'accroissement de f entre x et x + h est le nombre :

τf(x,h) =f(x + h) − f(x)

h

Remarques.

1. Le taux d'accroissement représente l'importance d'augmentation (s'il est po-sitif) ou de diminution (s'il est négatif) de la fonction f entre x et la valeurx + h.

•

x

f(x)•

x + h

f(x + h)

h

•

x

f(x)

•

x + h

f(x + h)

h

2. Si la fonction f représente la distance parcoure en fonction du temps écouléx, alors le taux d'accroissement est la vitesse moyenne entre les instants x etx + h.

Théorème 1 - Caractérisation des fonctions a�nes.

Une fonction f dé�nie sur R est a�ne si et seulement si quelques soient x ∈ Ret h ∈ R∗, le taux d'accroissement entre x et x + h vaut toujours la mêmevaleur a ∈ R.

Dans ce cas le taux d'accroissement est le coe�cient directeur de f .

Démonstration 1

1. Première étape (condition nécessaire) : montrons que si f est une fonctiona�ne alors son taux d'accroissement est constant.

-3-



Soient x ∈ R et h ∈ R∗.Par dé�nition du taux d'accroissement :

τf(x,h) =f(x + h) − f(x1)

h

Et comme f(x) = ax + b (c'est une fonction a�ne) :

τf(x,h) =[a(x + h) + b] − [ax + b]

h

τf(x,h) =ax + ah + b − ax − b

h

τf(x,h) =ah

h

Comme h est un facteur commun au numérateur et au dénominateur :

τf(x,h) = a

2. Seconde étape (condition su�sante) montrons que si une fonction a un tauxd'accroissement constant égale à a alors c'est forcément une fonction a�ne.

Alors en particulier pour x = 0 et quelque soit h nombre réel non nul :

a =f(0 + h) − f(0)

h

a =f(h) − f(0)

h

Ce qui équivatu successivement à :

a × h =f(h) − f(0)

h× h car h ≠ 0

ah = f(h) − f(0)ah + f(0) = f(h) − f(0) + f(0)ah + f(0) = f(h)

La fonction f ∶ h ↦ ah + f(0) est bien une fonction a�ne et pour h = 0 ellevaut bien f(0).

Remarques.

-4-



1. Ce résultat permet d'identi�er tout taux d'accroissement au coe�cient direc-teur d'une droite que nous appellerons une sécante à la courbe représentativeet que nous retrouverons bientôt.

•

x

f(x)•

x + h

f(x + h)

h

•

x

f(x)

•

x + h

f(x + h)

h

2. Cela nous fournit une méthode de lecture graphique du coe�cient directeurd'une droite dessinée dans un repère.

En e�et pour h = 1 le taux d'accroissement est simplement a = f(x+1)−f(x).♥

•

x

f(x)

•

x + 1

f(x + 1)

1

a = 2 •

x

f(x)

•

x + 1

f(x + 1)

1

a = −1.5

-5-



Exercice 3. ♥Déterminez, si possible, les expressions algébriques des fonctions dont les courbes repré-sentatives seraient les droites D1, D2, D3 et D4 représentées ci-dessous.

x

y

0 1

1

D1

D2

D3

D4

Correction exercice 3

x

y

0

1

D1

D2

D3A•

B•

C•

D•

E•

F •

1

−3 = m3

Méthode générale : il faut choisir deux points de la droite dont les coordonnées sontfaciles à lire puis déterminez l'équation de la droite les reliant.

Équation de D1 Les points A(−1, − 2) et B(−1,1) appartiennent à D1.

-6-



A et B ont la même abscisse, −1,donc

D1 ∶ x = −1

Équation de D2 Les points C(−3,0) et D(−2,2) appartiennent à D2. C et D n'ont pas lamême abscisse donc D2 admet une équation réduite : y = m2x + p2.

(a) Recherchons m2.

D'après le cours :

m2 =yD − yCxD − xC

=2 − 0

−2 − (−3)= 2

(b) Recherchons p2.

C ∈ D2 donc :

yC = m2 ⋅ xC + p2

D'où

p2 = yC −m2 ⋅ xC

p2 = 0 − 2 × (−3)= 6

(c) Conclusion :D2 ∶ y = 2x + 6

Équation de D3 Dans certains cas il est possible de gagner du temps en procédant à unelecture graphique astucieuse.

D3 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnés elle admet donc une équationréduite : y = m3x + p3.

(a) Recherchons m3.

Choisissons deux points de la droite dont les abscisses ne di�èrentque de 1.

E(0,2) et F (1, − 1) appartiennent à D3. Donc m3 = −3.

(b) Recherchons p3.

Par lecture graphique, p3 = 2.

-7-



Exercice 4. Application.Nous avons dessiné ci-dessous des droites D , ∆ et d représentant respectivement lesfonctions a�nes f , g et h.

0 1

1

x

y

∆

D

d

Par lecture graphique déterminez les expressions algébriques de f , g et h.

Correction exercice 4f ∶ x↦ 3x + 1.g ∶ x↦ − 1

2.

h ∶ x↦ 1.

Exercice 5. Application.Nous avons dessiné ci-dessous des droites D , ∆ et d représentant respectivement lesfonctions a�nes f , g et h.

0 1

1

x

y

∆

D

d

Par lecture graphique déterminez les expressions algébriques de f , g et h.

-8-



Correction exercice 5f ∶ x↦ 2x − 1.g ∶ x↦ 1

2x − 1.

h ∶ x↦ −x.

Exercice 6.Créez deux fonctions Python qui prennent en arguments les coordonnées de deux pointset qui renvoient pour l'une le coe�cient directeur de la droite reliant deux points etpour l'autre l'ordonnée à l'origine.


def pente(xA,yA,xB ,yB):

return ((yB-yA)/(xB -xA))

def ordoorigi(xA,yA ,xB ,yB):

return(yA-xA*pente(xA ,yA,xB,yB))

Exercice 7. Application.Deux fonctions a�nes g et h sont représentées ci-dessous. Déterminez leurs expressionsalgébriques.

x

y

0 1

1

Cg

Ch

Correction exercice 7g ∶ x↦ 1

3x + 2.

h ∶ x↦ 3x − 8.

-9-



Tableaux de signe et variation.

Le coe�cient directeur a, parce qu'il représente la pente de la droite, joue unrôle fondamental pour le signe et les variations de la fonction a�ne.

Proposition 1 - Variations d'une fonction a�ne.

Soit f une fonction a�ne dont le coe�cient directeur est a ∈ R.

� Si a > 0 alors la fonction a�ne f est strictement croissante.� Si a < 0 alors la fonction a�ne f est strictement décroissante.� Si a = 0 alors la fonction a�ne f est constante.

Démonstration 2Si a = 0 la fonction est évidemment constante.

Démontrons l'un des deux cas l'autre se traitant de la même façon. Supposonspar exemple que a < 0. Il faut démontrer que f est strictement décroissante.

Montrons que quels que soient les nombres réels x1 et x2 si x1 < x2 alorsf(x1) > f(x2).

Soient x1 et x2 deux nombres réels tels que x1 < x2.Cette inégalité est successivement équivalente à :

ax1 > ax2 car a < 0

ax1 + b > ax2 + b

f(x1) > f(x2)On a donc démontrer que si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2). Autrement dit

f est strictement décroissante.

Exercice 8. Application.Donnez le sens de variation des fonctions suivantes.

1. f ∶ x↦ 2x + π.

2. g ∶ x↦ −x + 3.

3. h ∶ x↦ −17.

4. k ∶ x↦ x.


1. f est une fonction a�ne avec a = 2 et b = π. a > 0 donc

f est strictement croissante.

-10-



2. g est une fonction a�ne avec a = −1 et b = 3. a < 0 donc

g est strictement décroissante.

3. h est une fonction a�ne avec a = 0 et b = −17. a = 0 donc

h est constante (croissante et décroissante).

4. k est une fonction a�ne avec a = 1 et b = 0. a > 0 donc

k est strictement croissante.

Proposition 2

Soient a et b deux nombres réels, a ≠ 0, f la fonction a�ne dé�nie par :

∀x ∈ R, f(x) = ax + b

Si a > 0, alors :

x

f(x)

−∞ − ba

+∞

− 0 +

Si a < 0, alors :

x

f(x)

−∞ − ba

+∞

+ 0 −

Démonstration 3Il y a deux cas di�érents, a > 0 et a < 0, à véri�er.

Montrons par exemple le cas a > 0.

Recherchons pour quelles valeurs de x, f(x) > 0.

f(x) > 0⇔ ax + b > 0

⇔ ax + b − b > 0 − b

⇔ ax > −b

Et comme a > 0 :

f(x) > 0⇔axa > −

ba

⇔ x > −ba

⇔ x ∈ ]− ba ;+∞[

-11-



Recherchons de même pour quelles valeurs de x, f(x) = 0.

f(x) = 0⇔ ax + b = 0

⇔ x = −ba

Exercice 9. ♥Étudiez le signe des fonctions suivantes dé�nies sur R :

1. f ∶ x↦ 2x + 8,

2. g ∶ x↦ −4x + 10.

Correction exercice 9Voici deux rédactions types possibles ma préférence va à la seconde. Nous verrons une

troisième rédaction lorsque nous aurons étudiés les variations des fonctions a�nes.

1. Étudions le signe de f .

Nous allons appliquer directement la proposition. Pour cela il faut s'assurer que leshypothèses de la proposition sont bien véri�ées.f est une fonction a�ne avec a = 2 et b = 8.Comme a > 0 (la fonction a�ne est strictment croissante et nous en déduisonsl'ordre des signes dans le tableau) et − b

a= − 8

2= −4, d'après le cours :

x

f(x)

−∞ −4 +∞

− 0 +

2. Étudions le signe de g.

Nous allons retrouver le signe g en résolvant des inéquations et inéquations.

Soit x ∈ R.

*

g(x) > 0⇔ −4x + 10 > 0

⇔ −4x > −10

⇔ x <−10

−4car − 4 < 0

⇔ x ∈ ]−∞;5

2[

* De même : g(x) = 0⇔ x = 5

2.

-12-



Donc :

x

g(x)

−∞ 5

2+∞

+ 0 −

Exercice 10. Application.Dressez le tableau de signe de la fonction f lorsque pour tout x réel :

1. f(x) = 2x + 3.

2. f(x) = −0,5x + 10.

3. f(x) = −3x + 4,8.

4. f(x) = 1,5x − 7,5.

5. f(x) = −3x.

6. f(x) = −4 − 2x.


1.

x

f(x)

−∞ − 3

2+∞

− 0 +

2.

x

f(x)

−∞ 20 +∞

+ 0 −

3.

x

f(x)

−∞ 1,6 +∞

+ 0 −

4.

-13-



x

f(x)

−∞ 5 +∞

− 0 +

5.

x

f(x)

−∞ 0 +∞

+ 0 −

6.

x

f(x)

−∞ −2 +∞

+ 0 −

-14-



Exercice 11. Application.Le graphique suivant donne l'évolution du montant des soins hospitaliers en France entre2000 et 2012.

2,000 2,002 2,004 2,006 2,008 2,010 2,0120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Source : INSEE

Montant des soins hospitaliers(en milliards d'euros courants).

•

• •

• • •

52,7

81,2

1. Calculez l'accroissement moyen annuel du montant des soins hospitaliers sur lapériode 2000-2010.

2. On modélise l'évolution du montant des soins hospitaliers entre 2000 et 2012 parune fonction a�ne. Estimez le montant des soins hospitaliers pour 2005, 2007, 2011et 2012, en arrondissant à 0,1 milliards d'euros près. Vous véri�erez à chaque fois

le montant estimé avec un ordre de grandeur du montant réel lu sur le graphique.

3. En supposant que l'évolution se poursuit, déterminez l'année à partir de laquellele montant de soins devient supérieur à 100 milliards d'euros.


1. τ(2000; 10) = 81,2−52,710

= 2,85.

2. f(x) = ax + b avec A = 2,85. Comme f(2000) = 52,7, forcément b = 52,7 − 2000 ∗2,85 = −5647,3.

Année 2005 2007 2011 2012Montant 66,95 72,65 84,05 86,9

3.

f(x) ⩾ 100

-15-



équivaut successivement à :

2,85x − 5647,3 ⩾ 100

2,85x ⩾ 5747,3

x ⩾5747,3

2,85car 2,85 > 0

Or 5747,3

2,85≈ 2016,5964 donc

le montant des soins dépassera 100 milliards à partir de 2017.

II La dé�nition moderne d'une droite.

Dé�nition 3

Soient A et B deux points distincts du plan E2.

Nous noterons (AB), et nous appellerons droite passant par A et B, l'ensembledes points du plan E2 dé�ni par

(AB) = {M ∈ E2 ∣ ∃λ ∈ R,−−→AM = λ

−−→AB} .

Remarques.

1. Rappelons que ∃, qui est appelé un quanti�cateur existentiel, signi�e � ilexiste � ou � on peut trouver �.

2. Dans la pratique nous utiliserons assez peu cette dé�nition. C'est un point dedépart théorique pour construire et démontrer les autres résultats que nousutiliserons dans les exercices. Il est plus pertinent de se souvenir que l'aligne-ment équivaut à un certaine colinéarité. E qui dit colinéarité dit utilisationdu déterminant.

3. Cette dé�nition suppose l'unicité de la droite passant par A et B, ce qui n'estpas di�cile à établir.

4. Le vecteur−−→AB, ou n'importe quel vecteur qui lui soit colinéaire et non nul

est appelé un vecteur directeur de la droite.

5. Le vecteur directeur contient l'information de la pente (l'inclinaison) de ladroite c'est-à-dire son coe�cient directeur.

6. Cette dé�nition a l'avantage d'être indépendante du choix d'un repère contrai-rement à une fonction ou une équation cartésienne.

-16-



7. Pour dé�nir une droite il faut et il su�t que nous en connaissions un pointet un vecteur directeur −→u . Nous avions besoin de deux points et nous avonsà nouveau besoin de deux informations.

Exercice 12. ♥Sans justi�cation donnez les coordonnées de 3 vecteurs directeurs de la droite D repré-

sentée ci-dessous dans un repère (O,−→i ,−→j ).

x

y

O −→i

−→j

D

Correction exercice 12Il su�t de trouver les coordonnées d'un vecteur � porté � par la droite. Pour avoir

davantage de vecteurs directeurs on peut lire d'autres coordonnées ou prendre les coor-données du précédent vecteur multiplié par n'importe quel nombre.

x

y

O −→i

−→j

D

6−→i

−3−→j

−→u

Les vecteurs de coordonnées ( 6−3

), ( 2−1

), (−63).

Exercice 13. Application.On considère un point A(4; 3).Tracez quatre droites d1 à d4 passant par A et admettant respectivement pour vecteurs

directeurs −→u1 (31), −→u2 (

1−2

), −→u1 (31), −→u3 (

−50) et −→u4 (

03).

-17-



Correction exercice 13L'idée principale est la suivante pour tracer une droite nous devons en connaître deux

points. Nous connaissons déjà A il faut en trouver un autre. Le plus simple est de prendre

le point B tel que−−→AB =

−→u . Une autre façon de dire les choses nous cherchons l'image, B,de A par la translation de vecteur −→u .

x

y

O −→i

−→j

d1

3−→i

−→j

−→u1

•A

•B

En procédant de même pour les autres vecteurs :

x

y

O −→i

−→j

d1

−→u1

d2

−→u2

d3

−→u3

d4−→u4

•A

Exercice 14. ♥Dans chacun des cas suivants, indiquez si le vecteur u⃗ est un vecteur directeur de ladroite (AB).

1. A(−7; 3), B(5; 1) et u⃗ (−61).

2. A(5; 2), B(0;−3) et u⃗ ( 2−2

).

3. A(4;−2), B(3;−4) et u⃗ (4,59

).


-18-



1. Déterminons si−−→AB et −→u sont colinéaires.

det (−−→AB;−→u) =»»»»»»»»5 − (−7) −6

1 − 3 1

»»»»»»»»= 12 × 1 − (−6) × (−2)= 0

Ainsi−−→AB et −→u sont colinéaires donc :

−→u est un vecteur directeur de (AB).


det (−−→AB;−→u) =»»»»»»»»

0 − 5 2−3 − 2 −2

»»»»»»»»= (−5) × (−2) − (−5) × 2

= 20

≠ 0

Ainsi−−→AB et −→u ne sont pas colinéaires donc :

−→u n'est pas un vecteur directeur de (AB).


det (−−→AB;−→u) =»»»»»»»»

3 − 4 4,5−4 − (−2) 9

»»»»»»»»= (−1) × 9 − (−2) × 4,5

= 0

Ainsi−−→AB et −→u sont colinéaires donc :

−→u est un vecteur directeur de (AB).

-19-



Exercice 15. Application.Dans chacun des cas suivants, calculez les coordonnées de trois vecteurs directeurs de(AB).

1. A(2; 3) et B(−1; 2).2. A(−5; 4) et B(3; 1).3. A(7; 8) et B(7; 9).


1. Puisque A et B sont distincts−−→AB est un vecteur directeur de la droite (AB). 2

−−→AB et

3−−→AB sont donc deux autres vecteurs directeurs de (AB).

(−3−1

), (−6−2

) et (−9−3

) sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de (AB).

2. ( 8−3

), (16−6

) et (24−9

) sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de (AB).

3. (01), (0

2) et (0

3) sont les coordonnées de trois vecteurs directeurs de (AB).

Proposition 3

Deux droites sont parallèles si et seulement si deux de leurs vecteurs directeursrespectifs sont colinéaires.

Exercice 16. Application.

On considère une droite d passant par le point A(3; 1) et de vecteur directeur u⃗ (−23).

Soient B(7;−5), C(−4; 6) et D(3;−4).1. Tracez la droite d puis placez B, C et D.

2. Le point B est-il sur d ?

3. Les droites d et (CD) sont-elles parallèles ?


1.


det (−−→AB;−→u) =»»»»»»»»

7 − 3 −2−5 − 1 3

»»»»»»»»= 4 × 3 − (−6) × (−2)= 0

-20-



Ainsi−−→AB et −→u sont colinéaires donc B appartient à la droite passant ar A et de

vecteur directeur −→u .

B appartient à d.

3. Déterminons si−−→CD et −→u sont colinéaires.

det (−−→CD;−→u) =»»»»»»»»3 − (−4) −2−4 − 6 3

»»»»»»»»= 7 × 3 − (−10) × (−2)= 1

Ainsi−−→CD et −→u ne sont pas colinéaires donc :

d et (CD) ne sont pas parallèles.

III Les équations cartésiennes de droites.

Équation cartésienne.

Proposition 4

Soit (O,−→i ,−→j ) un repère du plan euclidien.

(i) Pour toute droite D il existe des réels a, b et c (avec a et b non simul-tanément nuls) tels que D est formée de tous les points M(x,y) avecax + by + c = 0.

(ii) Réciproquement étant donné des réels a, b et c (avec a et b non simulta-nément nuls), l'ensemble des points M(x; y) tels que ax + by + c = 0 estune droite.

Démonstration 4♡

(i) Soient A(xA,yA) et B(xB ,yB) deux points distincts de D .

-21-



M ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R,−−→AM = λ

−−→AB

⇔ det (−−→AM ;−−→AB) = 0

⇔»»»»»»»»x − xA xB − xAy − yA yB − yA

»»»»»»»»= 0

⇔ (x − xA)(yB − yA) − (y − yA)(xB − xA) = 0

⇔ (yB − yA)x − (xB − xA)y − xA(yB − yA) + yA(xB − xA) = 0

Donc en posant a = yB−yA, b = −(xB−xA) et c = −xA(yB−yA)+yA(xB−xA)nous obtenons bien que x et y sont solution de l'équation ax + by + c = 0.

(ii) Cette démonstration est plus technique et astucieuse. Nous n'en présenteronsici que la trame.

Pour s'assurer que l'équation est celle d'une droite nous devons trouver unedroite qui lui corresponde, i.e. un point et un vecteur directeur de cette droite.

Pour le point nous choisirons (− ca; 0) si a ≠ 0 et (0;− c

b) sinon.

Pour le vecteur directeur nous choisissons −→u (−ba) (ce choix astucieux s'inspire

de la démonstration de (i)).

Il ne reste plus, en faisant comme au (i), qu'à véri�er que l'équation carté-sienne obtenue pour ce point et ce vecteur directeur est bien : ax+ by+ c = 0.

Remarques.

1. Une équation cartésienne n'est pas unique : x+ 3y + 1 = 0 et 2x+ 6y + 2 = 0sont deux équations cartésiennes d'une même droite, la seconde étant obtenueen multipliant la première par 2.

2. Dans la suite de la leçon nous distinguerons trois types de droites correspon-dant à deux types d'équations di�érentes.

3. Le choix du vecteur directeur au (ii) de la démonstration est à retenir : siune droite à une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 alors les

vecteur de coordonnées (−ba) en est un vecteur directeur.

Exercice 17. ♥

Soient (O,−→i ,−→j ) un repère cartésien, A(3;−1) un point et −→u ( −4−102

).

1. Déterminez une équation cartésienne de la droite D passant pas A et de vecteurdirecteur −→u .

2. Démontrer que B (0;− 155

2) ∈ D .

-22-




1. La méthode de la détermination d'une équation cartésienne à partir d'un point etd'un vecteur directeur est à connaître.

Notons D la droite passant pas A et de vecteur directeur −→u .

Déterminons une équation cartésienne de D .

Soit M(x; y) ∈ D .

M ∈ D si et seulement si−−−→AM et −→u sont colinéaires, ce qui équivaut encore succes-

sivement à

det (−−−→AM ;−→u) = 0

»»»»»»»»xAM xuyAM yu

»»»»»»»»= 0

»»»»»»»»x − 3 −4

y − (−1) −102

»»»»»»»»= 0

(x − 3) × (−102) − (y + 1) × (−4) = 0

−102x + 4y + 310 = 0

D ∶ −102x + 4y + 310 = 0.

2. La méthode pour véri�er qu'un point appartient à une droite dont on connaît uneéquation est à savoir.

Véri�ons que B ∈ D .

B ∈ D si et seulement si ses coordonnées véri�ent une équation cartésienne de D .

Or

−102xB + 4yB + 310 = −102 × 0 + 4 × (−155

2) + 310

= 0

donc

B ∈ D .

-23-



Exercice 18. Application.Déterminez une équation cartésienne de la droite D passant A et de vecteurs directeuru⃗.

1. A(3; 4) et u⃗ (−12).

2. A(−2; 5) et u⃗ ( 0−3

).

3. A(5;−10) et u⃗ (31).

4. A(0; 4) et u⃗ ( 5−1

).


1. D ∶ 2x + y − 10 = 0.

2. D ∶ −3x − y − 1 = 0.

3. D ∶ x + 3y + 25 = 0.

4. D ∶ x − 5y + 20 = 0.

Exercice 19. Application.Déterminez une équation cartésienne de la droite D passant par A et B.

1. A(2; 1) et B(5;−6).2. A(−3; 0) et B(1; 1).3. A(−1; 7) et B(0; 3).4. A(6; 8) et B(3; 2).


1. −7x − 3x + 17 = 0.

2. x − 4y + 3 = 0.

3. −4x − y + 3 = 0.

4. 6x − 3y − 12 = 0

Exercice 20. Application.Soient A(−3; 4) et B(2; 1) et C(−1;−3).

1. Calculez les coordonnées du point M milieu de [AC].2. Déduisez-en une équation cartésienne de la médiane issue de B dans ABC.

-24-




1. M (−2; 1

2).

2. 1

2x − 4y + 3 = 0.

Exercice 21. Application.Déterminez une équation cartésienne de la droite D parallèle à (AB) et passant par C.

1. A(5; 4), B(−1; 2) et C(4;−3).2. A(−5;−1), B(6; 4) et C(1; 2).

Correction exercice 21(AB) et D sont parallèles si et seulement si tout vecteur directeur de l'une est vecteur

directeur de l'autre droite.

1. −2x + 6y + 26 = 0.

2. 5x − 11y + 17 = 0.

Exercice 22. Application.Déterminez une équation cartésienne de la droite (AB) puis véri�ez si A, B et C sontalignés.

1. A(−2; 4), B(7; 2) et C(11; 1).2. A(−4;−1), B(4; 3) et C(44; 23).3. A(−26; 20), B(51; 6) et C(30; 10).4. A(20; 18), B(72; 40) et C(124; 62).


1. 2x − 9y + 40 = 0 Non.

2.

3.

-25-



Vecteur directeur et équation cartésienne.

Nous allons utiliser la remarque faites précédemment : si une droite a pour

équation cartésienne ax + by + c = 0 alors u⃗ (−ba) en est un vecteur directeur.

Exercice 23. ♥Déterminez un vecteur directeur de la droite d.

1. d ∶ 4x − 3y + 1 = 0.

2. d ∶ x − 5y + 2 = 0.

3. d ∶ −x + 2y − 5 = 0.


1. (−ba) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0.

Or ici a = 4, b = −3 et c = 1 donc (34) est un vecteur directeur de d.

2. Voici une autre façon de déterminer un vecteur directeur d'une droite mais un

peu plus lourde. Trouvons deux points distincts A et B de d et alors−−→AB sera un

vecteur directeur de d. Pour trouver un point choisissons une valeur de x au hasardet cherchons une valeur de y correspondante e sorte que ce soit un point de la droite.

Cherchons (si possible) A ∈ d de sorte que xA = 0 alors on devrait avoir xA−5yA+

2 = 0 et donc yA =2

5. A (0; 2

5) est un point de la droite.

De même si xB = 1 alors yB =3

5et B ∈ d.

Donc−−→AB est un vecteur directeur de d.

3. (−ba) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0.

Or ici a = −1, b = 2 et c = −5 donc (−2−1

) est un vecteur directeur de d.

Exercice 24. ♥Dites si les droites d et d′ sont strictement parallèles, confondues ou sécantes.

1. d ∶ 2x − 6y + 5 = 0 et d′ ∶ x − 3y + 2 = 0.

2. d ∶ 4x − 3y + 1 = 0 et d′ ∶ 5x − 4y + 2 = 0.

3. d ∶ 3x + 9y + 2 = 0 et d′ ∶ 12x + 36y + 8 = 0.

4. d ∶ 3x + 9y + 2 = 0 et d′ ∶ 12x + 36y + 8 = 0.


-26-



1. Déterminons la position relative de a et d′.

La position relative de deux droites (position de l'une par rapport à l'autre) dansla plan (coplanaires) n'admet que deux possibilités qui s'excluent mutuellement :� les droites sont sécantes,� les droites sont parallèles (et en particulier éventuellement confondues).

À ce stade de la leçon pour démontrer le parallélisme nous allons utiliser les vecteursdirecteurs.

(−ba) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0

donc : −→u (62) est un vecteur directeur de d et −→v (3

1) est un vecteur directeur de d′.

Déterminons si −→u et −→v sont colinéaires.

det (−→u ;−→u ) =»»»»»»»»xu xvyu yv

»»»»»»»»=

»»»»»»»»6 32 1

»»»»»»»»= 6 × 1 − 2 × 3

= 0

Les vecteurs directeurs −→u et −→v sont colinéaires donc d et d′ sont parallèles.Deux droites parallèles sont confondues si et seulement si elles ont au moins unpoint en commun. Or P (0; 5

6) ∈ d mais P ∉ d

′ donc

d et d′ sont strictement parallèles.

2. −→u = (34) et −→v = (4

5). det (−→u ;−→v ) = −1. d /∥ d′.

3. −→u = (−93) et −→v = (−36

12). det (−→u ;−→v ) = 0. d ∥ d′. P (− 2

3; 0) ∈ d et P ∈ d

′ donc d = d′

(droites confondues).

Équations réduites.

Les équations réduites sont des équations cartésiennes simpli�ées qui font lelien entre équation cartésienne et fonction a�ne.

Considérons une droite D d'équation cartésienne ax+ by+ c = 0 dans un repère

(O; i⃗; j⃗).On distingue deux cas.

-27-



* Premier cas : la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

Donc le vecteur directeur u⃗ (−ba) est colinéaire à j⃗ et par conséquent : −b = 0 et

a ≠ 0.

Ainsi l'équation cartésienne de D se simpli�e en ax + c = 0. Et puisque a ≠ 0 :x = −c

a.

* Second cas : la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

Donc le vecteur directeur u⃗ (−ba) n'est pas colinéaire à j⃗ et nécessairement : b ≠ 0.

Ainsi l'équation cartésienne de D peut s'écrire : y = −abx + −c

b.

On résume cette étude en disant

* Si D est parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet une équationréduite de la forme : x = r avec r une constante réelle.

* Si D n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors elle admet uneéquation réduite de la forme : y = mx+p avec m et p des constantesréelles.

IV Exercices.

Exercice 25. ♥Résolvez l'inéquation −2(x + 1)(−7 − x) ⩾ 0 dans R.

Correction exercice 25Notons f ∶ x↦ −2(x + 1)(−7 − x) quelque soit x réel.Nous devons trouver pour quelles valeurs de x, f(x) est positif ou nul.

Étudions le signe de f .

* −2 est strictement négatif.

* x↦ x+1 est une fonction a�ne avec a = 1 et b = 1, elle s'annule en −1 et, son coe�cientdirecteur étant strictement positif elle est strictement croissante.

* x↦ −7− x est une fonction a�ne avec a = −1 et b = −7, elle s'annule en −−7−1= −7 et,

son coe�cient directeur étant strictement négatif, elle est strictement décroissante.

Nous en déduisions :

-28-



x

−2

x + 1

−7 − x

f(x)

−∞ −7 −1 +∞

− − −

− − 0 +

+ 0 − −

+ 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation −2(x + 1)(−7 − x) ⩾ 0 estS = ]−∞;−7] ∪ [−1;+∞[.

Exercice 26. Application.

1. (x − 5)(−2x + 6) ⩾ 0

2. (3x − 5)(x + 4) > 0

3. (x + 3)(−x + 6) ⩽ 0

4. (−x + 4)(3x + 2) > 0

5. (10x + 5)(−3x + 4) > 0

6. (x − 4)(3 − x) ⩽ 0

7. (−2x + 3)(5 + x) > 0

8. 3x(3x − 5) < 0

9. −(x + 1)2(2x − 1) ⩾ 0

10. −2x(x − 1)(4 − x) ⩽ 0

11. x2(4 − x)(−2x + 1) > 0

12. x3(x + 1) < 0

13. (x2 + 1)(x − 1) ⩾ 0

14. (x − 2)(4 − x) < 0

15. ( 3

4− x) (x − 7

6) ⩾ 0

16. (x +√

3)(x − 4) ⩾ 0

17. (3x − 7)(7 − 3x) ⩽ 0

Correction exercice 26Dans tous les cas nous noterons P (x) l'expression factorisée (i.e. sous forme de pro-

duit).Le corrigé ici ne détail pas l'étude du signe de chaque facteur.

1.

x

x − 5

−2x + 6

P (x)

−∞ 3 5 +∞

− − 0 +

+ 0 − −

− 0 + 0 −

-29-



L'ensemble des solutions de l'inéquation (x − 5)(−2x + 6) ⩾ 0 estS = [3; 5].

2.

x

3x − 5

x + 4

P (x)

−∞ −45

3+∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation (3x − 5)(x + 4) > 0 estS = ]−∞; 4[ ∪ ] 5

3;+∞[.

3.

x

x + 3

−x + 6

P (x)

−∞ −3 6 +∞

− 0 + +

+ + 0 −

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (x + 3)(−x + 6) ⩽ 0 estS = ]−∞;−3] ∪ [6;+∞[.

4.

x

−x + 4

3x + 2

P (x)

−∞ − 2

3 4 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (−x + 4)(3x + 2) > 0 estS = ]− 2

3; 4[.

-30-



5.

x

10x + 5

−3x + 4

P (x)

−∞ − 1

2

4

3+∞

− 0 + +

+ + 0 −

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (10x + 5)(−3x + 4) > 0 estS = ]− 1

2; 4

3[.

6.

x

x − 4

3 − x

P (x)

−∞ 3 4 +∞

− − 0 +

+ 0 +− −

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (x − 4)(3 − x) ⩽ 0 estS = ]−∞; 3] ∪ [4;+∞[.

7.

x

−2x + 3

5 + x

P (x)

−∞ −53

2+∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (−2x + 3)(5 + x) > 0 estS = ]−5; 3

2[.

8.

-31-



x

3x

3x − 5

P (x)

−∞ 05

3+∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation 3x(3x− 5) < 0 est S = ]0; 5

3[.

9.

x

−1

(x + 1)2

2x − 1

P (x)

−∞ 01

2+∞

− − −

+ 0 + +

− − 0 +

+ 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation −(x + 1)2(2x − 1) ⩾ 0 estS = ]−∞; 1

2].

10.

x

−2

x

x − 1

4 − x

P (x)

−∞ 0 1 4 +∞

− − − −

− 0 + + +

− − 0 + +

+ + + 0 −

− 0 + 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation −2x(x − 1)(4 − x) ⩽ 0 estS = ]−∞; 0] ∪ [1; 4].

-32-



11.

x

x2

4 − x

−2x + 1

P (x)

−∞ 01

2 4 +∞

+ 0 + + +

+ + + 0 −

+ + 0 − −

+ 0 + 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation x2(4 − x)(−2x + 1) > 0 estS = ]−∞; 0[ ∪ ]0; 1

2[∪]4;+∞[.

12.

x

x3

x + 1

P (x)

−∞ −1 0 +∞

− − 0 +

− 0 + +

+ 0 − 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation x3(x+ 1) < 0 est S =]− 1; 0[.

13.

x

x2 + 1

x − 1

P (x)

−∞ 1 +∞

+ +

− 0 +

− 0 +

L'ensemble des solutions de l'inéquation (x2 + 1)(x − 1) ⩾ 0 estS = [1;+∞[.

14.

-33-



x

x − 2

4 − x

P (x)

−∞ 2 4 +∞

− 0 + +

+ + 0 −

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (x − 2)(4 − x) < 0 estS =] −∞; 2[∪]4;+∞[.

15.

x

3

4− x

x − 7

6

P (x)

−∞ 3

4

7

6+∞

+ 0 − −

− − 0 +

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation ( 3

4− x) (x − 7

6) ⩾ 0 est

S = [ 3

4; 7

6].

16.

x

x +√

3

x − 4

P (x)

−∞ −√

3 4 +∞

− 0 + +

− − 0 +

− 0 + 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (x +√

3)(x − 4) ⩾ 0 estS = [

√3; 4].

17.

-34-



x

3x − 7

7 − 3x

P (x)

−∞ 7

3+∞

− 0 +

+ 0 −

− 0 −

L'ensemble des solutions de l'inéquation (3x − 7)(7 − 3x) ⩽ 0 estS = R.

Exercice 27. Application.Une entreprise fabrique et vend de la pâte à papier. Le coût de production de q tonnesde pâte à papier est donné, en milliers d'euros par

C(q) = 0,02q2+ 0,1q + 9

pour q ∈ [0; 80].La recette, en milliers d'euros, engendrée par la vente de q tonnes de pâte à papier estdonnée par

R(q) = 1,2q

1. (a) Quel est le coût le fabrication d'une tonne de pâte à papier ?

(b) Quel est prix de vente d'une tonne de pâte à papier ?

(c) L'entreprise est-elle béné�ciaire lorsqu'elle vend et produit une tonne de pâteà papier ?

2. Avec la calculatrice conjecturez pour quelles quantités de pâte à papier l'entrepriseest béné�ciaire.

3. Démontrez que le béné�ce, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise lorsqu'ellevend q tonnes de pâte à papier est

B(q) = −0,02q2+ 1,1q − 9

4. Démontrez que B(q) = −0,02(q − 45)(q − 10) quelque soit q ∈ [0; 80].5. Déterminez pour quelles quantités de pâte à papier l'entreprise est béné�ciaire.


1. (a) C(1) = 9,12.

La fabrication d'une tonne de pâte à papier coûte 9,12 milliersd'euros.

-35-



(b) R(1) = 1,2.

La vente d'une tonne de pâte à papier rapporte 0,12 milliersd'euros.

(c) Étudions le béné�ce pour une tonne.

Le béné�ce pour une tonne est donné par

B(1) = R(1) − C(1) = −7,92

Pour une tonne produite et vendue l'entreprise ne réalise pas debéné�ce.

2. R et C sont dé�nies sur [0; 80] : 0 ≤ x ≤ 80. D'autre part avec le tableau de valeursde la calculatrice on remarque que, sur cet intervalle, C(q) ≤ 150.Nous en déduisons un paramétrage possible pour a�cher le graphique sur la calcu-latrice :

{ 0 ≤ x ≤ 800 ≤ y ≤ 150

Procédons à une lecture graphique.Analytiquement : il y a béné�ce lorsque la recette est supérieure au coût.Géométriquement : il y a béné�ce quand la courbe de la recette est au dessus de lacourbe du coût.D'après le graphique cela est vrai lorsque l'abscisse appartient à l'intervalle [10; 45].

Par lecture graphique l'entreprise semble réaliser un béné�celorsqu'elle produit entre 10 et 45 tonnes de papier.

3. Démontrons que pour tout q ∈ [0; 80] : B(q) = −0,02q2 + 1,1q − 9.

Soit q ∈ [0; 80].Par dé�nition du béné�ce (en mathématique) :

B(q) = R(q) − C(q)= [1,2q] − [0,02q

2+ 0,1q + 9]

Il s'agit d'une expression polynomiale que nous développons, ordonnons puis rédui-sons.

= 1,2q − 0,02q2− 0,1q − 9

= −0,02q2+ 1,2q − 0,1q − 9

= −0,02q2+ 1,1q − 9

-36-



Ainsi

Nous avons démontré que quelque soit q ∈ [0; 80]

B(q) = −0,02q2+ 1,1q − 9

4. Démontrons que quelque soit q ∈ [0; 80] : B(q) = −0,02(q − 45)(q − 10).

La méthode de factorisation d'une fonction polynomiale de degré 2 est au pro-gramme de première et donc, provisoirement impossible.

Nous allons donc véri�er que le résultat proposer par l'énoncé convient.

Soit q ∈ [0; 80].L'expression proposée est une expression polynomiale donnée sous forme factoriséenous allons la développer, l'ordonnée puis la réduire.

Avec la double distributivité :

−0,02(q − 45)(q − 10) = −0,02[q × q + q × (−10) + (−45) × q + (−45) × (−10)]= −0,02(q2 − 10q − 45q + 450)= −0,02(q2 − 55q + 450)= −0,02 × q

2+ (−0,02) × (−55q) + (−0,02) × (450)

= −0,02q2+ 1,1q − 9

= B(q)

Nous avons démontré que si q ∈ [0; 80] alors −0,02q2 + 1,1q− 9 = B(q). Autrement

dit :

Nous avons démontré que quelque soit q ∈ [0; 80]

B(q) = −0,02q2+ 1,1q − 9

5. Résolvons l'inéquation B(q) ≥ 0 sur [0; 80].

En e�et l'entreprise est béné�ciaire si B(x) ≥ 0.

* f(q) = q − 45 est une fonction a�ne avec : a = 1 et b = −45.

Le coe�cient directeur est a = 1 > 0 et f s'annule clairement pour x = 45.

* g(q) = q − 10 est une fonction a�ne avec : a = 1 et b = −10.

Le coe�cient directeur est a = 1 > 0 et f s'annule clairement pour x = 10.

Nous en déduisons (sans oublier le facteur −0,02)

-37-



q

−0,02

q − 45

q − 10

B(q)

0 10 45 80

− − −

− − 0 +

− 0 + +

− 0 + 0 −

Ce que nous interprétons sous la forme :

L'entreprise est béné�ciaire lorsqu'elle produit entre 10 et 45 tonnesde pâte à papier.

-38-


Documents

Rappels sur les droites.unemainlavelautre.net/1ieme/1ieme_geometrie_01_rappels...Rappels sur les droites. Soient :. fune fonction dont l'ensemble de dé nition est D f,. x"D f,. hun