Rapport juin 1999 - juin 2002 de l’equipe´ ANALYSE ...anum-maths.univ-rennes1.fr/files/Ananum1999-2002.pdf · Depuis juin 1999, l’e´quipe a connu les arrive´es et de´parts

Analyse numerique 1

Rapport juin 1999 - juin 2002 de l’equipe

ANALYSE NUMERIQUE

de l’IRMAR

I Composition de l’equipe 3

II Presentation generale et contexte 3

III Themes de recherche 5

1 Domaines d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.a Electromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.b Elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.c Milieux heterogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.d Mathematiques financieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.e Biomathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.f Mecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.g Representation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Methodes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.a Problemes a coins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.b Analyse multi-echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.c Equations differentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.d Optimisation de formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.e Systemes de reaction-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.f Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

2.g Theorie de l’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.h Methodes d’ordre eleve en elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.i Equations integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.j Schemas d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.k Homogeneisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Developpement de codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.a Melina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.b Exsiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.c fig4tex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IV Publications 32

1 Dans des revues internationales a comite de lecture . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Autres publications avec comite de lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Preprints, autres publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Theses et habilitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Ouvrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V Invitations, contrats. Accueil de chercheurs 42

1 Invitations - cooperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Accueil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

VI Organisation de seminaires et congres 44

Analyse numerique 3

I. COMPOSITION DE L’EQUIPE

Composition de l’equipe au 1er juin 2002:

Chercheur CNRS : M. Dauge (DR)

Professeurs : M. Briane (INSA), G. Caloz, M. Costabel, M. Crouzeix, A. Debussche (ENS Ker

Lann), A. Mignot, M. Pierre (ENS Ker Lann), P. Sablonniere (INSA), J.P. Yvon (INSA)

Maıtres de Conferences : A. Belmiloudi (INSA), M.M. Derriennic (INSA), M. Dambrine (Prag

ENS Ker Lann), Y. Lafranche, E. Le Gruyer (INSA), F. Mahe, D. Martin, J.L. Merrien

(INSA), N. Tchou

Etudiants en these : T. Briancon (AMN), Th. Henri (INSA, Moniteur), G. Vial (AMN)

Responsable : G. Caloz

Depuis juin 1999, l’equipe a connu les arrivees et departs suivants :

M. Briane nomme professeur a l’INSA en septembre 1999,

A. Debussche nomme professeur a l’Antenne Bretagne de l’ENS Cachan en septembre 1999,

J. Vancostenoble AMN et MCF a Toulouse depuis septembre 1999,

N. Boudiba ATER jusqu’en aout 1999,

P. Martinez agrege-preparateur a l’Antenne Bretagne de l’ENS Cachan et MCF a Toulouse

depuis septembre 2000,

P. Bergeret MCF a l’IUT-Lannion jusqu’en juin 2001,

E. Faou AMN et CR a l’IRISA rattache au projet ALADIN depuis septembre 2001,

C. Safa allocataire BDI et professeur en lycee depuis septembre 2001,

M. Dambrine AMN jusqu’en 2000 puis agrege-preparateur a l’Antenne Bretagne de l’ENS

Cachan depuis septembre 2001 et MCF a l’UTC Compiegne a la rentree prochaine.

Pendant l’annee universitaire 2001/2002, Mounir Rihani a ete detache de l’Universite de

Casablanca pour faire sa recherche a l’ENS Cachan a Ker Lann au sein du laboratoire de mathe-

matiques.

A la rentree de septembre, A. Mignot partira en retraite. Le poste sera repris par F. Castella,

actuellement CR CNRS a l’IRMAR.

II. PRESENTATION GENERALE ET CONTEXTE

Les activites de l’equipe d’analyse numerique couvrent un large spectre dans le domaine

des mathematiques appliquees. Fortement influences par les domaines d’applications : electro-

magnetisme, elasticite, hydrodynamique, biologie ou representation geometrique, les themes

de recherche abordent aussi bien l’analyse theorique des problemes, l’analyse numerique, la

mise en œuvre de schemas de resolution que la realisation de codes de calcul. La modelisation

mathematique et l’analyse numerique sont les deux directions dominantes de l’equipe.

Sur le plan de l’analyse, les principaux domaines de competence concernent l’analyse multi-

echelle, l’etude de singularites de problemes a coins ou aretes, l’homogeneisation, l’optimisation

4 II. Presentation generale et contexte

de forme, le controle. A ceux-ci s’ajoutent des travaux en theorie de l’approximation et en anal-

yse de schemas numeriques bases sur : les methodes spectrales, les elements finis, les equations

integrales, les techniques adaptees aux problemes evolutifs. Ces travaux sont souvent completes

par des calculs. Dans le domaine du calcul numerique la contribution la plus importante est cer-

tainement le developpement de la bibliotheque d’elements finis MELINA sur laquelle est basee

la majeure partie de nos essais numeriques. Ces aspects theoriques et pratiques se retrouvent

dans les travaux de theses de nos etudiants et dans les projets effectues en collaboration.

Parmi les equipes de l’IRMAR, celle d’analyse numerique est certainement la plus multi-

site au sens ou ses membres sont rattaches soit a l’Universite de Rennes 1, soit a l’INSA de

Rennes ou encore a l’ENS Cachan a Ker Lann. Ce regroupement recent des competences

en mathematiques appliquees se traduit par de nouvelles collaborations entre membres des

differentes institutions. Le renforcement du projet ALADIN a l’IRISA favorisera certainement

de nouveaux echanges avec des membres de l’equipe. Un seminaire hebdomadaire d’analyse

numerique est mis sur pied et un groupe de travail en mathematiques appliquees se reunit

regulierement sur le site de l’ENS Cachan a Ker Lann.

Les projets en collaboration avec des laboratoires du Centre Hospitalier Universitaire se

sont poursuivis, en particulier avec le Laboratoire de Resonance Magnetique en Biologie et

Medecine de l’Universite de Rennes 1. Nous relevons aussi les liens privilegies que plusieurs

personnes de l’equipe entretiennent avec le laboratoire SMP de l’ENSTA. Dans cette direc-

tion on peut mentionner les ateliers MELINA organises en 2000 et 2001 qui rassemblaient

majoritairement des chercheurs des deux laboratoires utilisant cette bibliotheque d’elements

finis. D’autres collaborations sont maintenues avec des centres de recherche nationaux. No-

tons encore que l’equipe entretient des liens internationaux bien etablis notamment avec les

Ecoles Polytechniques Federales de Lausanne et Zurich, les Universites de Goteborg, d’Oulu,

de Stuttgart, de Maryland,. . .

Concernant l’equipement informatique, chaque enseignant-chercheur dispose d’un poste de

travail, au meme titre que tous les membres de l’IRMAR. Il s’agit habituellement d’une sta-

tion independante, de type Sun, Mac ou PC, reliee au reseau de l’universite. Nous utilisons

egalement les services de l’Institut pour le stockage, le courrier, le web. En plus de 2 stations de

travail dediees, nous faisons usage des ressources de l’ENS Cachan a Ker Lann pour nos besoins

en calcul scientifique, a savoir 2 nœuds IBM Power3 quadriprocesseurs avec 4 Gos de memoire.

Pour ce faire nous avons developpe des competences informatiques au sein de l’equipe. L’aide

d’un ingenieur en calcul scientifique serait actuellement la bienvenue.

Finalement il est important de rappeler que les membres de l’universite de l’equipe assurent

l’enseignement des mathematiques appliquees dans les formations de l’UFR de Mathematiques

et qu’ils assurent la responsabilite du Magistere et de la MIM. La bibliotheque Elements finis de

base developpee localement est le support principal des travaux de programmation des etudiants

de la MIM. Par les stages exterieurs rattaches a ces formations, nous entretenons des contacts

reguliers avec des entreprises et des centres de recherche publics ou prives (CEA, CELAR,

CETIM, EDF, IFREMER,. . . ).

Analyse numerique 5

III. THEMES DE RECHERCHE

1 DOMAINES D’APPLICATIONS

Dans cette section nous presentons nos travaux dont l’origine est directement reliee a une

motivation “externe” venant par exemple de la physique, de la mecanique, de la medecine,

etc. . . et nous les classifions par leur domaine d’application. Ceci ne prejuge pas de l’extension

theorique de certains d’entre eux, qui sera presentee a son tour dans la section suivante “metho-

des d’analyse”.

1.a Electromagnetisme

Les questions relatives a l’electromagnetisme que nous avons considerees concernent les equa-

tions de Maxwell en regime harmonique rotE − iω µH = 0 et rotH + iω εE = J ou leurs

modeles simplifies, l’equation de Helmholtz et la magnetostatique. Nos contributions apportent

une connaissance precisee pour la regularite et les singularites des solutions en presence de

coins ou d’aretes dans le domaine, aboutissant a de nouvelles methodes d’approximation, ou

a des evaluations optimales d’anciennes methodes. Nous avons aussi aborde la question des

modes guides a haute frequence dans des guides d’onde. Dans le cadre d’une collaboration

en imagerie par resonance magnetique, nous avons ete amene a travailler sur des modeles de

la magnetostatique. Nous relevons encore une application en electrochimie et une autre en

formage electromagnetique.

1.a (i) Singularites de coins et d’aretes : M. COSTABEL, M. DAUGE

Les equations de Maxwell harmoniques sont posees dans un domaine Ω, avec les conditions

aux limites du conducteur parfait sur le bord de Ω. Si Ω est forme d’un materiau homogene

et isotrope, ε (la permittivite electrique) et µ (la permeabilite magnetique) sont des constantes.

Il est naturel que Ω ait une structure tridimensionnelle polyedrale (par exemple une cavite cu-

bique). Dans un tel cas, Ω a des coins et aretes non convexes et les champs E et H ne sont pas

dans l’espace de Sobolev H1(Ω), mais se decomposent sous la forme d’une partie dans H1(Ω)et d’un gradient qui porte les singularites les plus fortes. Dans [28] nous avons analyse et decrit

plus precisement et de facon optimale et complete la regularite et les singularites des champs Eet H et avons decrit leurs relations avec celles du Laplacien.

Dans [27] avec S. NICAISE de l’Universite de Valenciennes, nous avons considere la situ-

ation physiquement pertinente ou Ω est forme de la juxtaposition de plusieurs materiaux ho-

mogenes, remplissant des sous-domaines polyedraux Ωi de Ω. Maintenant les solutions admet-

tent en plus des comportements singuliers aux aretes et coins des interfaces. Les champs E et

H , qui sont au moins dans H1/2(Ω) dans la situation globalement homogene, peuvent avoir une

regularite limitee a Hδ(Ω) pour δ > 0 tres petit, si les rapports entre les differentes valeurs de εou µ sont eleves. Nous avons aussi donne une description complete des singularites.

1.a (ii) Regularisation a poids : M. COSTABEL, M. DAUGE

Une possibilite pour resoudre numeriquement le systeme de Maxwell harmonique 1.a (i) est

la transformation en systeme elliptique d’ordre 2 pour l’un des champs (par exemple E) par

6 III. Themes de recherche

elimination de l’autre et addition d’un terme en grad div (car E est a divergence nulle). Une

formulation variationnelle impliquant la forme bilineaire (u, v) 7→∫

Ω(roturotv + divudivv)

y est associee. Une alternative aux elements finis d’aretes est l’emploi d’elements finis stan-

dard (nodaux). Mais il existe une obstruction due a la presence de singularites non H1 dans la

solution, parce que 1) les elements finis nodaux, continus et analytiques par morceaux, sont eux-

memes H1 et que 2) l’espace H1 avec les conditions aux limites tangentielles est ferme dans

l’espace variationnel electrique. Nous avons etudie theoriquement et numeriquement cette ob-

struction dans [26, 107]. Le resultat remarquable est que les methodes d’approximation standard

convergent, mais vers une solution non physique et que l’approximation de certaines quantites

physiques importantes (par exemple la frequence de base d’un guide d’onde a section polygo-

nale non convexe) est simplement impossible.

D’abord des experiences numeriques, puis une analyse mathematique basee sur les resultats

[28] ont montre l’efficacite d’une nouvelle methode conservant les avantages de la regularisation

sans ses inconvenients: la regularisation a poids, le terme (u, v) 7→∫

Ωdivudivv est remplace

par (u, v) 7→∫

Ωr2divudivv ou r est la distance aux aretes non convexes. Dans [29] nous avons

demontre que la methode converge en h version des elements finis avec un taux hτ que l’on

peut estimer.

Nous continuons l’investigation de cette methode dans le cadre de la version hp des elements

finis avec C. SCHWAB de l’ETH Zurich. Le raffinement geometrique du maillage allie a

l’augmentation du degre permet une approximation optimale des singularites du Laplacien, et

se combine parfaitement avec la regularisation a poids pour l’approximation des singularites

Maxwell.

Nous avons realise de nombreux tests numeriques par elements finis grace a la bibliotheque

d’elements finis MELINA (voir 3.a) et avons propose des experiences type (benchmark) pour le

calcul de solutions singulieres Maxwell [129].

1.a (iii) Impedance avec coins: G. VIAL (these), G. CALOZ, M. DAUGE

Un corps de forme polygonale Ω est recouvert d’une couche mince Cε dielectrique d’epaisseur

ε. Le probleme est la possibilite de remplacer la couche mince par une condition aux limites sur

∂Ω sans commettre une erreur trop importante. Ici, on considere le cas simplifie d’equations

scalaires. La solution de ce probleme est bien connue si le bord de Ω est regulier (conditions

d’impedance). Nous avons exhibe le developpement asymptotique complet de la solution du

probleme sur Ω∪Cε en fonction de ε en presence de coins, ce qui permet d’evaluer precisement

pour la premiere fois la performance de la condition d’impedance habituelle. Si elle reste ac-

ceptable (en ε2) dans le cas ou Ω est convexe, elle se degrade serieusement en fonction des

l’ouvertures si Ω est non convexe.

1.a (iv) Guides d’onde: G. CALOZ, M. DAUGE, F. MAHE

Le guide est modelise par les equations de Maxwell dans l’espace entier avec µ constant et εvariable. Une direction z est invariante. On cherche les modes oscillants en z et en temps.

Nous avons determine [21] (en collaboration avec A.S. BONNET de l’ENSTA) pour un modele

scalaire (Helmholtz) une correlation asymptotique a haute frequence entre la frequence β en zet ω en temps. Nous avons donne aussi des criteres pour que des modes guides existent.

Le probleme scalaire obtenu sous les hypotheses de faible guidage a fait l’objet d’une etude

numerique [69] en utilisant et developpant la bibliotheque elements finis MELINA. La methode

Analyse numerique 7

utilise une condition transparente sur les frontieres verticales du domaine rectangulaire pour

permettre d’etudier les solutions specifiques a la structure stratifiee des guides. Les etudes de

convergence en fonction du pas du maillage, en fonction du rang de troncature de la serie inter-

venant dans la condition transparente et a haute frequence confirment les resultats theoriques.

Dans un travail en cours, nous attaquons le systeme primitif de Maxwell et determinons le

comportement des modes a haute frequence comme series entieres asymptotiques en puissance

de l’inverse de la haute frequence. Des nouveaux phenomenes de separation de valeurs propres

limite doubles apparaissent.

1.a (v) Antennes: M. COSTABEL, C. SAFA (these)

Les antennes imprimees qu’on utilise par exemple pour la communication avec des satellites

sont modelisees par un probleme aux limites pour les equations de Maxwell harmoniques dans

le domaine complementaire a une surface ouverte dans R3. Pour le calcul numerique des car-

acteristiques de rayonnement a des moyennes frequences, ou la longueur d’onde est compara-

ble aux dimensions de l’antenne, on utilise souvent des methodes d’equations integrales. Pour

obtenir des methodes “rapides”, ou le temps de calcul est proportionnel au nombre de degres de

liberte et non plus a sa puissance troisieme, il a ete propose par le laboratoire d’electronique

LCST de l’INSA de Rennes en collaboration avec le departement d’antennes du CNES de

Toulouse d’etudier des methodes d’ondelettes.

Dans la these de R. LOISON a l’INSA (2000) une telle methode a ete mise en œuvre

et son efficacite et la bonne correspondance des resultats numeriques avec des experiences

physiques ont ete mises en evidence. L’analyse theorique, aboutissant a la construction de bases

d’ondelettes adaptees, la definition d’un schema de compression, la demonstration de la sta-

bilite, convergence et complexite lineaire de ce schema et la construction de preconditionneurs

efficaces, etait le sujet de la these [147] de C. SAFA.

Pour pouvoir utiliser des bases d’ondelettes dans des espaces d’elements finis standard, il

fallait developper une nouvelle formulation variationnelle de l’equation integrale du champ

electrique (EFIE). Cette formulation variationnelle ainsi que des resultats obtenus dans [121]

sur les traces tangentielles des champs electromagnetiques, ont permis dans [24] l’analyse de la

EFIE et son approximation par elements finis sur des surfaces non regulieres.

1.a (vi) Magnetostatique: G. CALOZ

Les techniques d’imagerie par resonance magnetique nucleaire font usage de plusieurs champs

electromagnetiques. La modelisation de ces techniques passe par une connaissance precise

de ces champs : statiques, gradients, induits, haute frequence. Dans le cadre d’applications

aux tissus biologiques, nous avons mis au point des methodes numeriques adaptees au cal-

cul de champs dans des problemes de la magnetostatique. Cette problematique relevant au-

tant du domaine medical que de l’electromagnetisme, nous la developpons dans la section

biomathematique.

1.a (vii) Formage electromagnetique de metaux liquides: T. BRIANCON, M. CROUZEIX,

M. DAMBRINE, M. PIERRE, M. RIHANI

Les problemes en optimisation de formes examines d’un point de vue theorique trouvent leur

origine, en particulier, dans la modelisation des formes d’equilibre prises par la frontiere liq-

uide/air de metaux liquides dans des champs electromagnetiques. On peut penser a des applica-

tions modeles comme la levitation electromagnetique de bulles de metal liquide (modele 3-D)


ou le formage de jets verticaux de metal liquide (modele 2-D) ou le confinement electromagne-

tique. Tout naturellement, la frontiere d’equilibre peut etre cherchee parmi celles minimisant

l’energie totale du systeme. Celle-ci comprend l’energie electromagnetique, obtenue a partir

de la solution d’un probleme de type Dirichlet, l’energie de tension superficielle, donnee par

le perimetre du domaine occupe par le liquide. L’optimisation est sous contrainte de volume

impose. Les questions examinees concernent l’etude de la stabilite des formes d’equilibre a

partir des derivees secondes de formes et l’etude de la regularite des formes optimales.

1.a (viii) Capteurs electrochimiques : J.P. YVON, A. VIEL (these a Compiegne)

Le probleme pose est l’etude du comportement de sondes a oxygene, capteurs qui sont main-

tenant largement utilises dans l’industrie automobile pour mesurer, a la sortie du moteur, la

richesse des gaz brules. Ce type de question est generique des capteurs a gaz dont la modelisation

conduit a des systemes analogues a ceux que l’on rencontre pour les semi-conducteurs.

Le principe de base est d’utiliser un cristal dope, c’est-a-dire dans lequel on a cree un certain

nombre de lacunes qui permettent le passage d’ions gazeux, mouvement qui s’accompagne

d’un flux de charges electriques et qui est donc a l’origine d’un courant et d’une difference de

potentiel entre les deux faces du cristal.

La construction de modeles precis est faite dans [113]. On aboutit finalement dans un cas

simplifie a un systeme analogue a celui des semi-conducteurs avec la difference essentielle que

les petits parametres ne sont pas de meme nature et que les comportements asymptotiques sont

sensiblement differents. Le travail de these de A. VIEL a mis en evidence un comportement

singulier des couches limites qui ne s’expliquait pas en utilisant la mise a l’echelle classique des

semi-conducteurs. Une analyse plus fine a necessite l’introduction de nouvelles normalisations

qui conduisent a de nouveaux problemes singuliers dont l’etude, essentiellement presentee dans

[103], complete les resultats de la litterature (tels que ceux de B. Louro, J. Henry, F. Brezzi, par

exemple).

A cette occasion on a mis en evidence un phenomene, qui n’etait pas prevu, concernant la

dependance qualitative de la solution asymptotique par rapport a la concentration des porteurs

a la frontiere.

Ces travaux ont donne lieu a la these :

A. VIEL: Etude de quelques problemes issus de la modelisation des capteurs a oxygene, Uni-

versite de Technologie de Compiegne, 2000.

1.b Elasticite

Nos sujets d’interet sont d’une part les domaines minces (plaques et coques) sous l’angle de

l’analyse multi-echelle et d’autre part des problemes lies a la presence de fissures dans un

materiau (ou plus generalement d’aretes).

1.b (i) Plaques minces (analyse multi-echelle): M. DAUGE, E. FAOU

Les equations de l’elasticite isotrope lineaire sont posees sur un corps tridimensionnel Ω qui a

la forme d’une plaque mince, c’est-a-dire Ω = Ωε := ω× (−ε, ε) avec le parametre d’epaisseur

ε “petit” et ω la surface moyenne dans le plan. Elles decrivent les petites deformations de

la plaque. Si la limite de ces equations est bien connue (le modele de Kirchhoff-Love), la

Analyse numerique 9

facon dont cette limite approche les solutions sur Ωε n’etait pas connue de maniere optimale et

systematique pour tout type de condition aux limites laterale sur ∂ω × (−ε, ε) (encastrement,

support simple, glissant, conditions libres, etc...).

Par une analyse multi-echelle permettant de resoudre l’aspect singulierement perturbe de ce

probleme quand ε → 0, nous avons mis en evidence dans [49] le developpement asymptotique

compose des solutions sur Ωε : celui-ci combine des termes ou la seule variable rapide est X3,

la variable transverse x3 divisee par ε, avec des termes de couche limite le long du bord lateral

∂ω × (−ε, ε) qui comportent les deux variables rapides X3 et R = r/ε, avec r la distance a

∂ω dans le plan moyen. Cette analyse fournit par troncature des developpements asymptotiques

de precision arbitrairement grande et permet des reponses optimales sur les rapports entre les

problemes sur Ωε et le probleme limite. Nous avons degage les differences qui existent dans le

degre d’influence des couches limites selon le type de condition aux limites. Dans le cadre de

la these (au laboratoire d’analyse numerique de Paris VI) de G. ANDREOIU, nous avons etendu

ce genre de resultats a des coques faiblement courbees, c’est-a-dire dont les courbures restent

un O(ε), voir [48, 67].

Dans [47] nous avons etudie l’asymptotique des valeurs propres du probleme de l’elasticite

sur Ωε. Seule la limite des valeurs propres λεj classees par ordre croissant etait connue: il s’agit

de la suite des ε2Λj ou les Λj sont les valeurs propres de l’operateur biharmonique associe au

materiau de Ωε (il s’agit du modele de Kirchhoff de flexion plane). Nous avons montre que

les λεj admettent un developpement en serie entiere en ε et aussi que les valeurs propres se

classifient naturellement en flexion et membrane, selon les symetries des vecteurs propres par

rapport au plan median. Les plus petites valeurs propres sont pour ε assez petit de type flexion.

La famille des valeurs propres de membrane converge vers les valeurs propres de l’elasticite en

contrainte plane sur ω, donc sont en O(1) quand ε → 0.

Dans [128] nous avons demarre l’etude asymptotique et l’approximation de valeurs propres

d’un probleme de “buckling” dans des plaques: on doit maintenant tenir compte d’une con-

trainte pre-existante et le probleme spectral est du type Au = λBU ou, a priori, A et B sont

d’ordre 2 tous les deux. Pour un domaine Ω de forme quelconque, on ne peut en general rien

calculer, car les eventuelles valeurs propres sont noyees dans le spectre essentiel. Par contre,

dans le cas de plaques minces, il existe une borne inferieure strictement positive pour le spectre

essentiel, independamment de ε. Comme on demontre par ailleurs que les valeurs propres se

comportent en O(ε2) quand ε→ 0, on recupere la possibilite de calculer le spectre ponctuel.

Les travaux cites dans cette section ont implique des collaborateurs a l’universite de Stuttgart

(A. ROSSLE et I. DJURDJEVIC), a l’Universite de Maryland BC (M. SURI) et dans l’equipe de

mecanique de l’IRMAR (I. GRUAIS).

1.b (ii) Plaques minces (analyse numerique): M. DAUGE

La premiere partie de ces contributions consiste des articles [43, 44, 45], tous en collabora-

tion avec Z. YOSIBASH de Beer Sheva. Leur but est de deduire des informations quantita-

tives precises des travaux mathematiques de la rubrique precedente 1.b (i) de facon a pouvoir

illustrer numeriquement les phenomenes de convergence plus ou moins non-standard etudies

theoriquement. Ainsi, dans [43], nous avons mis en evidence des composantes du tenseur

des taux de deformation ou les couches limites se manifestent avant le deplacement limite de


Kirchhoff-Love. Dans [45], nous avons explore des situations ou le comportement asympto-

tique degenere (le deplacement limite de Kirchhoff-Love est nul) a cause de l’annulation de

certains moments transverses.

Enfin dans [44], nous avons compare theoriquement et numeriquement les asymptotiques

des premieres valeurs propres pour les equations tri-dimensionnelles et le modele de Reissner-

Mindlin: nous avons montre que pour les plaques encastrees les developpements asymptotiques

different des le deuxieme terme, et que les deviations peuvent devenir plus importantes dans

le cas de materiaux anisotropes. Les experimentations numeriques ont ete pratiquees par la p-

version des elements finis (degre p ≤ 8) dans le cadre d’un code dedie a l’elasticite developpe

a Saint Louis, USA.

La deuxieme partie, en collaboration avec C. SCHWAB [46], se base aussi sur les resultats

du 1.b (i) pour proposer et analyser une methode de type hp en elements finis, adaptee a la

geometrie d’une plaque mince: la region laterale de couche limite est discretisee en vrai tridi-

mensionnel, alors que la region “centrale” a une discretisation basee sur le plan median, a

l’instar des modeles hierarchiques.

1.b (iii) Coques: E. FAOU

Les equations de l’elasticite lineaire pour un materiau homogene et isotrope sont posees sur un

domaine Ω ayant la forme d’une coque mince, c’est-a-dire que Ω est diffeomorphe a une variete

Ωε = S × (−ε, ε) ou S est une surface reguliere compacte avec bord plongee dans l’espace

euclidien. Le petit parametre ε represente l’epaisseur transverse de la coque et est suppose petit

devant les grandeurs de S (diametre et courbure). La deformation de la coque est represente par

un deplacement u. Si S est un ouvert du plan, la coque est une plaque. On note x3 ∈ (−ε, ε) la

variable transverse qui represente la distance a la surface moyenne.

Dans le cadre de l’analyse multi-echelle (voir 2.b) on introduit dans [64, 68, 145] des an-

neaux de series formelles en puissances de ε permettant de calculer exactement les operateurs

tensoriels intrinseques apparaissant en theorie des coques. Le principal resultat est la reduction

du probleme en series formelles tridimensionnel a un probleme en series formelles pose sur

la surface moyenne. Ce probleme reduit fait intervenir une serie formelle operateur dont les

premiers termes peuvent etre compares aux operateurs bidimensionnels classiques du type de

celui de Koiter qui s’ecrivent M + ε2B ou M est l’operateur de membrane et B un operateur

de flexion.

L’operateur de membrane M n’est inversible que dans le cas ou la surface S est elliptique.

Dans ce cadre, et sous l’hypothese supplementaire que la coque est encastree le long de son

bord lateral, on peut effectuer l’analyse multi-echelle complete. Dans [66, 145] on montre que

u admet un developpement asymptotique complet comprenant 3 types de termes. Parmi ces

termes 2 ont des types semblables a ceux des plaques: des termes ou la seule variable rapide est

X3 = x3/ε et des termes de couches limites dependants de X3 et R = r/ε ou r est la distance

(geodesique) au bord de S. Le dernier type de termes est forme de termes de couches limites

dependants de X3 et T = r/√ε.

Dans [66, 145] on montre qu’on peut trouver le developpement asymptotique complet de

la solution z du modele bidimensionnel de Koiter. Ce developpement contient des termes

independants de ε et des termes de couches limites en r/√ε. En utilisant ce resultat on peut

Analyse numerique 11

estimer exactement la difference dans n’importe quelle norme entre u et z ou entre u et un

deplacement polynomial en x3 dependant de z.

1.b (iv) Fissures: M. COSTABEL, M. DAUGE

La structure des solutions (deplacements, contraintes) aux fronts de fissures est d’essentielle

importance pour l’application (et la validite meme) des criteres de propagation. En dimension

2, pour une fissure droite, il est connu que les deplacements ont une asymptotique (en coor-

donnees polaires r, θ centree au front de fissure) r1/2ϕ1(θ) + r3/2ϕ2(θ) + . . .. Par contre, si la

fissure est courbe, et plus generalement en dimension 3, la theorie generale de Kondrat’ev laisse

prevoir des termes supplementaires en r3/2 log rψ2(θ) + . . .. Et pour un operateur elliptique

general, il pourrait aussi apparaıtre des termes logarithmiques r1/2 log rψ1(θ) des le premier

niveau. Dans [29], nous avons trouve des conditions tres generales assurant l’absence de ter-

mes logarithmiques dans la partie principale (i.e. en r1/2) et dans [122], avec R. DUDUCHAVA

de Tbilissi, nous avons demontre la totale absence de logarithmes dans l’asymptotique bi- et

tri-dimensionnelle des solutions de l’elasticite homogene (mais non necessairement isotrope)

autour d’un front de fissure (qui est soit un arc regulier soit une surface reguliere). Ce resultat

est la demonstration d’une conjecture formulee il y a une dizaine d’annees et a des retombees

pour d’autres types de problemes ou interviennent des fissures.

1.b (v) Exposants de singularite et facteurs d’intensite de contrainte: M. COSTABEL, M.

DAUGE

Les equations de l’elasticite posees dans une domaine polyedral Ω admettent des singularites

tout le long des aretes de Ω qui ont (en simplifiant) une structure tensorielle∑

i ci(z)rαiϕi(θ),

ou z est une abscisse le long de l’arete. Les αi sont des nombres (en general complexes)

caracteristiques du materiau et de l’angle d’ouverture de l’arete. On les appelle exposants de

singularite. Leur determination numerique, basee sur des formules semi-analytique, voir [31],

fait l’objet d’un code de calcul, cf 3.c.

Les coefficients ci dependent des donnees du probleme (chargement, tractions) et leur valeur

donne une mesure de la concentration des contraintes. Leur determination est donc importante

du point de vue mecanique. Si de nombreuses formules abstraites existent pour la determination

theorique des ci, aucune n’a jusqu’a present pu donner lieu a une implementation numerique

suffisamment generale du fait de la complexite des problemes auxiliaires a resoudre. Avec Z.

YOSIBASH nous avons propose dans [123] une methode ou des moments des coefficients sont

approches par des integrales sur des portions cylindriques de rayon R autour de l’arete avec

une erreur en Rκ ou κ est un nombre positif connu specifique de la methode et de la geometrie

du probleme. La solution du probleme qui porte les singularites d’arete doit etre prealablement

calculee, ainsi que les solutions d’un nombre fini de probleme en dimension 1 (dans la variable

angulaire θ). Le calcul des integrales pour 3 valeurs differentes de R permet une estimation

plus precise de la limite par extrapolation.

1.c Milieux heterogenes

La modelisation des milieux physiques conduit souvent a des problemes comportant de nom-

breuses heterogeneites (grains, pores, fissures, canaux tres fins, etc.) les rendant de ce fait


numeriquement inexploitables. L’homogeneisation est une methode mathematique qui permet

d’obtenir des problemes asymptotiques equivalents en faisant tendre la taille des heterogeneites

vers zero.

Les travaux presentes ont pour objet l’etude de problemes d’homogeneisation, qui, du fait de

certaines singularites sortent du champ d’application de l’homogeneisation classique, develop-

pee dans la fin des annees 70, notamment par F. Murat et L. Tartar par les problemes ho-

mogeneises obtenus ou les techniques utilisees. On peut distinguer les domaines d’applications

suivants :

– la modelisation de milieux poreux (domaines faiblement connectes),

– les problemes de conduction a faible conductivite (perte d’ellipticite),

– les problemes de conduction a forte conductivite (perte de bornitude),

– les bornes pour des melanges de materiaux en conduction (bornes en homogeneisation),

1.c (i) Modelisation de milieux poreux. M. BRIANE

Dans un milieu poreux fracture le fluide circule dans des fractures formees entre les roches

quasi-impermeables. Le reseau des fractures est represente par un domaine periodique (a tres

petite periode) connexe, constitue par un nombre donne de composantes principales relies par

des canaux tres fins. La pression du fluide est solution d’un probleme de Neumann dans ce

domaine faiblement connecte. L’etude mathematique (cf section 2.k (i)) de tels milieux conduit

a des phenomenes de couplage macroscopiques, mis en evidence dans [8], [11] et [14], qui sont

tres eloignes (en particulier dans [11]) des equations microscopiques.

1.c (ii) Problemes de conduction a faible conductivite. M. BRIANE

On s’interesse a des problemes de conduction dans des milieux tres heterogenes comportant

des regions de tres faible conductivite. Comme dans le cas des milieux poreux, on met en

evidence dans [9] des comportements macroscopiques tres differents des problemes de conduc-

tion microscopiques. L’etude mathematique (cf section 2.k (ii)) de ces comportements atypiques

montre qu’ils sont etroitement lies a la repartition et a la valeur de la conductivite (en particulier

dans [10]) de ces zones faiblement conductrices.

1.c (iii) Problemes de conduction a forte conductivite. M. BRIANE & N. TCHOU

On etudie des problemes de conduction dans des milieux tres heterogenes comportant des

regions, cette fois-ci de tres forte conductivite, notamment les milieux renforces par des fibres

tres conductrices dans [16], [15] et [118]. Sous certaines conditions precisees dans [13], la forte

conductivite induit des effets non locaux macroscopiques inexistant au niveau microscopique.

L’etude mathematique (cf section 2.k (iii)) montre la encore, que ces effets non locaux, predits

par la theorie du potentiel, sont largement tributaires de la geometrie et des valeurs de la con-

ductivite.

1.d Mathematiques financieres: N. TCHOU

Un modele a volatilite stochastique. Collaboration avec Y. ACHDOU. ([94] et [96])

Nous considerons un produit financier dont le prix est donne par l’equation dXt = µXt dt+σtXt dWt, ou µXtdt est un terme de derive, (Wt) est un mouvement Brownien standard, (σt)


la volatilite. Les modeles les plus simples considerent σt constante. Ces modeles n’arrivent

pas a decrire l’evolution des prix observes sur les marches. Un modele plus realiste consiste

a supposer que la volatilite est donnee aussi par un processus stochastique du type Orstein-

Uhlenbeck: c’est une fonction d’un processus Yt, σt = f(Yt) ou Yt verifie l’EDS dYt = α(m−Yt)dt + βdZt ou α, m et β sont des constantes positives, et Zt est un mouvement Brownien

standard eventuellement correle a Wt.

On considere une option Europeenne sur l’actif ci-dessus (droit d’acheter (ou de vendre))

cet actif a la date d’expiration T et au prix h(XT ). On cherche le prix de l’option a t < T sous la

formeP (t, Xt, Yt). En utilisant un principe de non arbitrage et la formule de Ito, on peut prouver

que P est solution d’une EDP parabolique retrograde posee pour 0 < t < T et x > 0, y ∈ R.

Dans cette equation on peut distinguer quatre termes: un terme correspondant a l’equation de

Black and Scholes avec un coefficient f(y)2x2 devant la deuxieme derivee partielle par rapport

a la variable x, un terme du au processus de Ornstein Uhlenbeck, un terme de prime et un terme

de correlation.

Il reste a choisir la fonction f . Un modele propose par Stein & Stein est de prendre f(y) =|y|. Dans ce cas, on voit que l’operateur parabolique est degenere en y = 0 et x = 0. Nous

avons considere une formulation faible pour ce probleme dans des espaces a poids convenables,

nous avons etudie les proprietes du semi-groupe associe. Nous nous sommes interesses aux

proprietes qualitatives (par exemple au principe du maximum) et nous avons obtenu des resultats

de regularite qui nous ont permis de donner une approximation numerique simple de la solution

P (par differences finies et elements finis).

1.e Biomathematique

Les sujets abordes sont avant tout des questions de modelisation du processus d’imagerie par

resonance magnetique nucleaire. Recemment un nouveau theme est apparu en collaboration

avec l’equipe de mecanique sur la modelisation du fonctionnement d’un muscle.

1.e (i) Imagerie par resonance magnetique: G. CALOZ

Collaboration avec S. BALAC. Les techniques d’imagerie par resonance magnetique nucleaire

font usage de plusieurs champs electromagnetiques. La modelisation de ces techniques passe

par une connaissance precise de ces champs : statiques, gradients, induits, haute frequence. En

fonction de l’etude entreprise, on peut etre amene a en calculer certains. Pour des configurations

generales, il est necessaire de recourir a des methodes numeriques.

Dans les experiences d’IRM, la presence d’inhomogeneites dans le champ magnetique sta-

tique de base conduit a des defauts (artefacts) dans les images obtenues. Nous avons etudie

comment un materiau (implant) aux proprietes magnetiques differentes de celles des tissus en-

vironnants influe sur ces images.

Le cas des champs induits par des objets paramagnetiques est maintenant bien etudie. Il a

fait l’objet de plusieurs publications, voir [19], [106], [119].

Cette etude comporte des aspects relatifs a la modelisation en IRM, au calcul de champs

magnetiques et a l’analyse numerique de schemas de resolution. Nous sommes amenes a

resoudre deux problemes importants en IRM: le calcul des champs magnetiques statiques et


la reconstruction de l’image deformee a partir de la carte des champs induits. Ce travail a donne

lieu aux publications [17], qui aborde la modelisation complete du processus, [18] qui traite

d’une technique adaptee pour le calcul du champ induit par l’implant et [20] qui presente une

analyse numerique de la methode utilisee.

Dans le cadre de notre collaboration avec le LRMBM, nous abordons des problemes lies au

calcul de champs magnetiques utilises dans les appareils d’IRM. Par exemple pour ameliorer

les contrastes, les imageurs ont de plus en plus recours a de grandes variations de champs

magnetiques. Il est alors tres difficile de conserver un champ homogene a variation lineaire, utile

pour la localisation des signaux dans l’espace. Nous etudions des configurations permettant

d’obtenir des variations importantes tout en les conservant lineaires. Cette etude passe par la

mise au point de methodes numeriques pour le calcul des champs en lien avec une methode

d’optimisation de forme. Ce travail a donne lieu au travail [19]

Nous souhaitons orienter nos investigations, d’une part vers l’effet des champs radio-fre-

quences sur le processus, par exemple le chauffage par induction, et d’autre part vers un controle

des lignes de champs d’un electro-aimant, utilise pour manipuler les gradients de champs de

l’IRM. Des travaux concernant le chauffage par induction dans le cadre de sequences d’images

sont effectues par une etudiante en these au LRMBM. Nous souhaitons y apporter une contri-

bution complementaire en modifiant les methodes de calcul des champs induits par les champs

radio-frequence, qui sont actuellement tres couteuses en temps calcul. L’approche nouvelle que

nous proposons est basee sur une methode presentee dans [119]. Cette meme methode adaptee

a une configuration axisymetrique peut conduire a un algorithme d’optimisation de formes pour

le controle des lignes de champs.

1.e (ii) Biomecanique: A. BELMILOUDI, G. CALOZ

Un nouvel axe de recherche apparaıt en collaboration avec l’equipe de mecanique en direction

de la biomecanique. Un groupe de travail avec L. RAKOTOMANANA s’est recemment forme

pour modeliser et simuler numeriquement le fonctionnement d’un muscle. Pour le comporte-

ment elastique du muscle, nous nous ramenons a des modeles maintenant bien connus de liga-

ments par exemple. La grande difficulte est liee a la modelisation de la partie active du muscle.

Pour comprendre cette partie active, il est necessaire de se ramener au niveau d’un sarcomere et

d’en comprendre le mecanisme. Nous avons ete conduits a introduire une nouvelle variable qui

caracterise l’etat du muscle, c’est le nombre de sites actifs. Elle est introduite dans les lois de

comportement. Actuellement nous travaillons sur un couplage du systeme d’Hodgkin-Huxley

avec une nouvelle loi de comportement et pratiquons des essais numeriques pour ajuster des

parametres.

1.f Mecanique des fluides

1.f (i) Controle optimal pour des equations primitives de l’ocean et de l’atmosphere: A.

BELMILOUDI

Ce travail est consacre a l’etude de problemes de fluides gouvernes par des equations de type

Navier-Stokes (linearisees ou non lineaires) et tout particulierement a la modelisation des cou-

rants oceaniques et atmospheriques. Nous presentons l’analyse theorique et numerique, la mise

en œuvre de schemas de resolution et la realisation de codes de calcul.


D’un point de vue theorique, des travaux ont ete effectues en controle optimal, en analyse

de comportement asymptotique en fonction des donnees initiales et en etude de problemes de

regularites dans des domaines presentant des coins. D’un point de vue numerique, des schemas

d’approximations bases sur des elements finis, des elements finis mixtes, des methodes des

caracteristiques, des methodes d’optimisation ont ete etudies et des codes numeriques ont ete

developpes.

Les problemes ont ete etudies sur trois types de domaine : dans un domaine oceanique de

R3, puis dans un domaine ocean-atmosphere de R3 et enfin dans un domaine de R2 situe dans

une zone d’eau peu profonde. Dans ces trois zones, on a traite des problemes evolutifs et des

problemes de type non Cauchy-Kovalevsky, provenant de la mecanique des fluides non lineaire

(termes non lineaires dans les equations, dans les conditions aux limites ou dans les deux), mais

egalement des problemes linearises autour d’un etat stationnaire, et cycliques. Les modeles

cycliques sont deduits des equations linearises autour d’un etat stationnaire (qui correspond a

une circulation moyenne donnee) dans la zone equatoriale. On suppose que les variables d’etat

et les donnees sont de la forme : C(x, y, z, t) = eimxC(y, z, t) avec C(y, z, t) une fonction a

valeurs dans C. Le domaine d’etude se trouve alors dans le plan des variables d’espace (y, z).Le resultat physiquement significatif est donne par la partie reelle de C. La longueur d’onde

λ = 2πm

est fixee pour chaque experience numerique. De plus, compte tenu des caracteristiques

physiques de la circulation moyenne, on neglige sa dependance en x.

En collaboration avec F. MAHE, un code numerique utilisant la bibliotheque MELINA est

actuellement en cours de developpement pour comparer differentes methodes de resolutions

d’un probleme de controle optimal pour des equations de type shallow water.

Les principales contributions de ces travaux sont :

1. Etude de methodes de controle optimal pour un probleme de type Navier-Stokes avec

pression de surface comme observation [1], [104] et [115].

2. Modelisation et etude d’un systeme linearise d’equations primitives couplant la vitesse et

la densite avec une approximation hydrostatique [2].

3. Etude de methodes de controle optimal pour un systeme linearise d’equations primitives

couplant la vitesse, la pression et la densite avec une approximation de type Boussinesq, [3].

4. Etude de la regularite et du comportement asymptotique a l’infini de la solution des

equations primitives de l’ocean couplant la vitesse, la pression surfacique et la densite sous

l’hypothese de l’approximation hydrostatique avec viscosite verticale variable, [5].

5. Modelisation et etude de methodes de controle optimal pour un systeme de type shallow

water couplant la vitesse et la topographie de la surface de l’eau et avec des conditions aux

limites de type Dirichlet non homogene, [4], [105].

6. Modelisation et controle optimal de type Robin pour un systeme d’equations primitives

couplant la vitesse, la pression, la temperature et la salinite avec une approximation de type

Boussinesq, [6].

7. Etude de methodes de controle optimal pour un systeme linearise d’equations primitives

de l’ocean sous l’hypothese de l’approximation hydrostatique avec viscosite verticale variable

[116].


8. Modelisation et etude de methodes de controle optimal pour des equations primitives de

type CAO (coupled ocean-atmospher) couplant la vitesse, la pression surfacique et la tempe-

rature de l’ocean et de l’atmosphere sous l’hypothese de l’approximation hydrostatique avec

viscosite verticale variable et avec des conditions aux limites non lineaires a l’interface entre

l’ocean et l’atmosphere, [117].

1.f (ii) Simulations numeriques en mecanique des fluides: A. DEBUSSCHE

Une methode performante pour la simulation des modeles bi-fluides utilises dans l’industrie

nucleaire a ete developpee dans des travaux anterieurs. D’autre part, la realisabilite d’une

methode multi-echelle couplee a une decomposition de domaine pour les equations de Navier-

Stokes en dimension deux a ete etudiee. Ceci a conduit au co-encadrement de 2 theses.

F. MOUSSAOUI a soutenu une these en mars 1999, co-encadree avec J. LAMINIE : “Mise en

œuvre des methodes de Galerkin-moindres carres pour les ecoulements diphasiques”.

J. CORTES a soutenu une these en decembre 1999, co-encadree avec M. Grandotto et I. Toumi :

“Developpement de methodes numeriques pour des modeles bi-fluides d’ecoulements diphasi-

ques. Applications aux calculs 3D des cœurs et des generateurs de vapeur”.

1.g Representation geometrique : M.M. DERRIENNIC, J.L. MERRIEN,

P. SABLONNIERE

Nos recherches portent sur l’approximation de donnees en dimension 1 ou 2 par des polynomes,

des splines ou des fonctions definies par des algorithmes de subdivision. Elles se situent a

la fois en theorie de l’approximation et en dessin geometrique assiste par ordinateur (CAGD,

Computer-Aided Geometric Design). Nous participons activement au groupe AFA (Association

Francaise d’Approximation) de la SMAI, et plus generalement aux activites d’une communaute

internationale qui se reunit regulierement en France (congres de Chamonix, 1990-1993-1996

et de Saint Malo, 1999 et 2002) et en Norvege (1991-1994-1997-2000). Cette communaute

comporte des chercheurs developpant des methodes d’approximation et leurs applications au

dessin geometrique industriel (avions, bateaux, automobiles), mais aussi en imagerie (medecine

et chirurgie) et en animation (dessins animes). Les themes principaux sont developpes dans la

section suivante.

2 METHODES D’ANALYSE

Nous regroupons ici les domaines de competences mathematiques acquis et developpes par

les membres de l’equipe.

2.a Problemes a coins: M. COSTABEL, M. DAUGE

Les problemes a coins, c’est-a-dire l’etude des proprietes des solutions de problemes aux limites

elliptiques dans des domaines presentant des singularites ponctuelles ou d’aretes en dimension

> 2, est une specialite dans laquelle nous travaillons depuis longtemps. Tres schematiquement,


les outils d’analyse combinent les transformations de Mellin et de Fourier, et l’analyse fonc-

tionnelle parametrique (avec dependance meromorphe). Les contributions [108, 127] ont un

caractere de survey.

Dans 1.a (i) nous avons decrit les travaux dans ce sens relatif au systeme de Maxwell, ou nos

etudes ne se reduisent pas a une simple application des techniques generales, mais exploitent

toutes les specificites du systeme de Maxwell et degagent les multiples relations entre ses sin-

gularites et celle de differents problemes scalaire de type laplacien.

Les travaux presentes en 1.b (iv) ont en fait un domaine de validite qui depasse largement le

cadre de l’elasticite: les resultats d’absence de logarithme dans l’asymptotique pres d’un front

de fissure regulier se generalisent au cadre des systemes elliptiques au sens d’Agmon, Douglis,

Nirenberg, et ne necessite que l’hypothese suivante: les conditions aux limites appliquees sur

les deux faces de la fissure sont les memes.

Enfin en 1.b (v), la methode de calcul des coefficients de singularites le long des aretes a

l’aide de “fonctions quasi-duales” est ecrite pour un systeme d’ordre 2 general et ses principes

pourraient s’etendre plus largement.

2.b Analyse multi-echelle: M. DAUGE, E. FAOU, G. VIAL

Nous avons presente plusieurs applications ou surviennent de facon naturelle des problemes a

petits parametres: plaques et coques minces 1.b (i)–1.b (iii), couches minces 1.a (iii), inverse

d’une haute frequence 1.a (iv).

Le point commun dans leur traitement est l’analyse multi-echelle: on commence comme

dans l’analyse asymptotique classique par un Ansatz des solutions en serie entiere du petit

parametre ε. Tous les problemes consideres etant singulierement perturbes, un tel Ansatz n’est

jamais capable de resoudre le probleme dans son entier (typiquement une partie des conditions

aux limites reste insatisfaite). On homogeneise alors l’operateur dans les regions des conditions

aux limites manquantes, faisant apparaıtre de nouvelles variables (dites rapides) et on enrichit

l’Ansatz initial par une serie en les variables rapides. Et ainsi de suite jusqu’a solution complete.

Dans le cas des coques elliptique par exemple 1.b (iii), trois echelles sont necessaire pour avoir

une asymptotique complete des solutions.

Les relations regissant la construction de l’Ansatz ont ete formalisees d’une facon con-

densee et particulierement puissante par l’introduction de problemes dans des anneaux de series

formelles [64, 68].

2.c Equations differentielles stochastiques: A. DEBUSSCHE

Les EDPS de type dispersif ont ete etudiees, cette etude vise a mieux comprendre l’effet

d’une perturbation exterieure sur le comportement qualitatif des ondes non lineaires dispersives

aleatoires [58]. Des resultats d’existence et d’unicite pour le probleme de Cauchy associe ont

ete obtenus [52], [55], [62]. Il a aussi ete montre qu’un bruit blanc peut perturber radicalement

le phenomene d’explosion en temps fini. Un bruit regulier spatialement la favorise, [59].


Le comportement qualitatif a aussi ete etudie numeriquement. La propagation des ondes

solitaires en presence d’un bruit a ete simule, [51], [53]. Il a aussi ete observe qu’un bruit to-

talement decorrele peut inhiber l’explosion des solutions en regime surcritique, [60]. L’analyse

numerique des schemas a aussi ete etudiee, des travaux sont en cours de redaction.

Les EDPS de type parabolique ont ete etudiees de maniere theorique. Des resultats sur

l’equation de Kolmogorov associee ont ete obtenus [54]. Outre les informations qu’ils appor-

tent, ils ont permis de resoudre des problemes de controle associes a la turbulence [56]. Des

proprietes sur les mesures invariantes ont aussi ete montrees (inegalite de log-Sobolev, com-

pacite des injections de Sobolev en dimension infinie,...) [57].

Enfin, une methode nouvelle a ete developpee afin de montrer l’existence de solutions fortes

(au sens probabiliste) pour des equations paraboliques en dimension deux d’espace et en pre-

sence de bruit blanc spatio-temporel [61].

Dans cette problematique, deux etudiants sont en these : M. BARTON-SMITH (depuis

septembre 1999) : “Etude qualitative de l’equation de Schrodinger stochastique faiblement

amortie”; E. GAUTIER (depuis septembre 2000) : “Theoreme de support et estimation de

grandes variations pour des EDP stochastiques dispersives.”.

2.d Optimisation de formes: T. BRIANCON, M. DAMBRINE, M. PIERRE,

M. RIHANI

Un nouveau GDR vient de commencer sur ce theme, intitule Applications nouvelles de l’optimi-

sation de formes et dirige par Antoine Henrot de Nancy. Il accompagne l’activite internationale

importante sur cette thematique depuis quelques annees, qui s’explique en partie par la tres

grande variete des domaines d’application et l’importance de la demande industrielle en matiere

de modelisation et de simulation numerique de formes optimales. Deux aspects sont etudies

dans l’equipe.

2.d (i) Stabilite de formes d’equilibre et derivees secondes par rapport au domaine

Pour les publications, voir [40], [38], [39], [144], [87], [84].

Etant donne une forme d’equilibre, c’est-a-dire une forme en laquelle la derivee premiere

d’une fonctionnelle de forme s’annule, pour determiner si la fonctionnelle presente un minimum

local strict (= stabilite), une methode bien classique en calcul des variations est d’analyser la

positivite eventuelle de la derivee seconde. Or, dans ces problemes de formes, il se trouve que

souvent, quand la derivee seconde de forme est coercive (ou positive), elle l’est relativement a

une norme plus faible que celle pour laquelle la differentiabilite ainsi qu’une formule de Taylor

locale sont valides. On ne peut donc pas a priori en deduire l’existence d’un minimum strict

pour aucune des deux normes.

Nous avons d’abord analyse et resolu cette question pour un probleme d’optimisation de

forme associe au probleme de Dirichlet en dimension deux ([144]): nous avons montre qu’il y

avait, malgre tout, un minimum local strict, au moins pour la norme forte. L’argument essentiel

est une estimation fine de la variation de la derivee seconde couplant les deux normes en jeu.

Ceci s’etend en fait a toute dimension et a des fonctionnelles elliptiques tres generales comme


il est prouve dans [144], [38]. Le cas de conditions de Neumann est egalement examine dans

[39].

L’etude se poursuit pour determiner dans quelle mesure la coercivite de la derivee seconde

assure la minimalite locale par rapport a des perturbations peu regulieres. Des exemples mon-

trent que ce n’est pas le cas en general.

La description de la structure des derivees secondes de formes pour une fonctionnelle de

forme quelconque fait l’objet de [39].

2.d (ii) Existence et regularite dans les problemes d’optimisation de formes

Pour les publications, voir [143], [86].

L’existence de formes optimales est souvent obtenue par des outils d’analyse fonctionnelle

qui fournissent des ensembles optimaux “peu reguliers”, dont parfois on sait a priori qu’ils sont

seulement mesurables, meme si l’origine du probleme suggere qu’ils sont tres reguliers. Un des

problemes difficiles en optimisation de forme est de montrer une regularite minimale : qu’ils

sont ouverts deja, par exemple, puis, surtout, qu’ils ont une frontiere reguliere.

L’objet de la these [143] est d’etudier la regularite des formes optimales pour l’energie de

Dirichlet. Il est d’abord montre que, sous une hypothese de positivite, la solution de l’equation

d’etat est lipschitzienne, ceci assurant au moins que le domaine optimal cherche est ouvert.

C’est une generalisation en dimension quelconque d’un resultat obtenu precedemment en di-

mension deux (par M. Crouzeix) par des techniques purement bidimensionnelles. A partir de

cette premiere information, il est possible d’attaquer la question de regularite de la frontiere

dans l’esprit de travaux precedents de Alt, Caffarelli, Friedman. Il est essentiellement prouve

que la frontiere reduite du domaine optimal est analytique. Ceci repose sur la mise en œuvre

d’outils de mesure geometrique et sur une analyse assez difficile. Reste a estimer la taille de la

partie singuliere eventuelle de la frontiere.

L’existence de formes optimales est discutee dans [143] pour des problemes gouvernes par

le bilaplacien en dimension deux et trois (cas des plaques, par exemples).

D’autres problemes inverses d’identification de forme ont aussi ete abordes par la technique

d’ensembles de niveau. Des simulations numeriques sont en cours de developpement.

2.e Systemes de reaction-diffusion : N. BOUDIBA, M. PIERRE

Pour les publications voir [83], [7], [142].

Il s’agit ici de la continuation de la reflexion sur l’explosion ou la non-explosion en temps

fini pour des systemes de reaction-diffusion presentant deux proprietes tres frequentes dans les

applications:

- la positivite des solutions est preservee au cours du temps,

- la structure des termes non lineaires de reaction est telle que la masse totale des composants

est uniformement bornee en temps.

Ces deux proprietes assurent l’existence globale en temps de solutions classiques si les dif-

fusions sont identiques ou tout au moins voisines. Mais la situation est tres differente pour des

vitesses de diffusion differentes selon les composants.


Des resultats recents ont montre qu’il y a encore existence globale de solutions classiques,

par exemple pour un systeme 2× 2, si on sait que l’une des solutions est uniformement bornee.

Par contre, en general, les solutions peuvent exploser en temps fini, meme si leur masse reste

bornee. La preuve de ce resultat negatif fait l’objet de l’article [83] qui a ete selectionne par

SIAM Review parmi les papiers publies dans SIAM Journal on Mathematical Analysis pour

etre a nouveau publie sous une forme plus detaillee dans sa rubrique SIGEST (qui a vocation a

s’adresser a une plus large communaute).

Un resultat tres recent (en cours de redaction) montre qu’en fait, il y a presque toujours

existence d’une solution globale, mais faible. Cette solution, a valeur L1 pour tout temps, peut

sortir a certains moments de l’espace L∞: elle n’est donc generalement pas reguliere, mais

existe bien pour tout temps.

Des resultats dans de nouvelles directions sont aussi presentes dans [7], [142] : cas de

dependances non lineaires en les gradients des solutions, systemes couples en les diffusions,

donnees initiales seulement integrables.

2.f Controle

2.f (i) Controle et stabilisation : P. MARTINEZ, M. PIERRE, J. VANCOSTENOBLE

Stabilisation faible de systemes vibrants par des feedbacks nonlineaires, non monotones.

Que peut-on dire d’un systeme vibrant qu’on amortit par un feedback sur lequel on suppose

seulement qu’il diminue l’energie? Si le controle est suppose monotone et a croissance pas trop

forte, il est classique qu’il y a en general stabilisation forte, c’est-a-dire que l’energie tend vers

zero a l’infini. Nous montrons dans un cadre general abstrait qu’il y a toujours stabilisation

faible dans l’espace d’energie (ce cadre inclut ondes, poutres, plaques, controles internes sur

des ensembles fins de capacites positives, controles frontieres,...)

En dimension 1, pour des controles frontieres, nous montrons la stabilisation forte (ainsi que

l’existence globale) sous cette seule hypothese de decroissance de l’energie [85].

Stabilisation non lineaire. Outre celle decrite ci-dessus, une activite importante sur la stabil-

isation non lineaire etait assuree par P. MARTINEZ et J. VANCOSTENOBLE avant leur depart

de l’ENS pour rejoindre leur poste de maıtre de conferences a Toulouse. Il s’agissait d’etudier

la stabilisation de systemes vibrants (type equation des ondes) par divers controles dependant

non lineairement de la vitesse, avec un interet plus particulier pour l’estimation de la vitesse de

decroissance de l’energie vers zero. Plusieurs resultats ont ete obtenus: construction de nou-

veaux multiplicateurs dependant de la geometrie du domaine [70]; nouvelles methodes basees

sur la construction de fonctions poids adaptees au comportement de la nonlinearite du controle;

optimalite de taux de decroissance polynomiale,... [71], [72], [73], [74], [75].

2.f (ii) Methodes de ponderation en estimation de parametres : J.P. YVON

Les methodes de moindres carres sont tres largement utilisees pour l’estimation de parametres

presents dans des systemes gouvernes par des equations differentielles ou aux derivees par-

tielles. Les algorithmes d’optimisation utilises pour minimiser le critere ont souvent une con-

vergence tres lente en raison du mauvais conditionnement de la matrice hessienne.


Parmi les idees permettant de pallier ces problemes de convergence nous avons developpe

une approche qui consiste a introduire une classe d’operateurs de ponderation ayant pour effet

d’ameliorer le conditionnement de l’approximation de Gauss du Hessien [102]. Ce type de

question amene assez naturellement a considerer un probleme d’optimisation dont l’inconnue

est une matrice et dont les contraintes s’expriment par des conditions de positivite. Celui-ci

peut donc etre resolu par des methodes de type LMI (Linear Matrix Inequalities) qui conduisent

a des algorithmes efficaces.

Des equipes travaillant sur l’estimation de parametres de systemes biochimiques ont mis

en œuvre ces methodes et les resultats ont ete largement ameliores par rapport aux methodes

classiques de type Levenberg-Marquardt.

2.g Theorie de l’approximation

Les methodes mathematiques utilisees sont essentiellement celles de l’analyse hilbertienne

(Fourier et ondelettes) et de la theorie de l’approximation (polynomes et splines a une et deux

variables, elements finis, operateurs d’approximation). Pour les applications en CAGD, les ou-

tils fondamentaux sont d’une part les polygones ou reseaux de controle (pour les courbes et

surfaces de type Bezier ou spline, associes a des bases de type Bernstein ou B-splines) per-

mettant de controler la forme des objets dessines et d’autre part les algorithmes de subdivision

permettant de dessiner rapidement des courbes et des surfaces par points sans connaıtre leurs

equations.

Voici les principaux themes developpes au sein de l’equipe.

2.g (i) Etude et construction de courbes et de surfaces definies par des algorithmes de

subdivision : J.L. MERRIEN, P. SABLONNIERE

Lors du congres sur les splines et les ondelettes organise par S. DUBUC a Montreal debut 1998,

J.L. Merrien a commence une collaboration avec celui-ci dans le domaine de l’interpolation

d’Hermite par des courbes et des surfaces definies par des algorithmes de subdivision. Ceci a

donne lieu a plusieurs travaux [77], [78], [79], sur la convergence des algorithmes de subdi-

vision dans differents types d’espaces de fonctions ou de distributions. D’autre part, l’etude

de la convergence est liee a celle de certains produits infinis de matrices et aux proprietes du

rayon spectral joint. Ces problemes difficiles se rencontrent aussi dans la definition de certaines

ondelettes (par exemple celles de Daubechies).

Plus recemment, J.L. MERRIEN et P. Sablonniere ont publie des resultats sur la construc-

tion d’interpolants C1 (en dim 1) preservant la monotonie ou la convexite des donnees: c’est

un probleme de base en CAGD et les solutions proposees sont souvent lourdes et complexes,

contrairement a ce qui est propose ici, [80],[81], [137]. L’extension aux surfaces de classe C1

et aux courbes de classe C2 (suite au travail [76]) est en cours.


2.g (ii) Etude et construction de courbes et de surfaces preservant la monotonie ou la

convexite des donnees : J.L. MERRIEN, P. SABLONNIERE

Comme on l’a vu ci-dessus, le probleme de la construction de courbes et surfaces interpolantes

de classe C1 ou C2 preservant la monotonie (dans une direction) ou la convexite des donnees

a approcher est un probleme de base en CAGD. Il a ete traite en utilisant des splines et des

elements finis ou des algorithmes de subdivision (cf section 2.g (i) ci dessus). Pour la premiere

methode, voir [98], [99], [100], [112].

2.g (iii) Etude et construction de B-splines et de quasi-interpolants splines sur des reseaux

uniformes de la droite ou du plan : P. SABLONNIERE

Depuis plusieurs annees, P. SABLONNIERE travaille avec deux equipes d’Oujda (Maroc) et de

Granada (Espagne). Un des principaux themes etudies est la construction de B-splines (dans

le sens de fonctions polynomiales par morceaux a support borne) sur des partitions uniformes

(subdivisions et triangulations) de la droite ou du plan, ainsi que de certaines familles d’opera-

teurs d’approximation appeles quasi-interpolants. Ces derniers sont caracterises par l’absence

de resolution de systemes d’equations (lineaire ou non) dans leur construction et par leur ex-

cellent ordre d’approximation pour des donnees assez regulieres. La construction des B-splines

est assez complexe techniquement et necessite toute la puissance de la representation dite de

Bernstein-Bezier pour les polynomes de degre eleve definis sur des triangles et les raccorde-

ments de ces polynomes a la frontiere de deux triangles voisins. En general, on commence par

definir des B-splines a support simple et on construit des B-splines plus complexes par convo-

lution des premieres avec des fonctions caracteristiques de triangles, de losanges ou de carres

ou des B-splines continues affines par morceaux. Les B-splines simples sont definies par leurs

equations locales sur chaque triangle de leur support. Les B-splines composees sont calculees a

l’aide d’algorithmes de subdivision issus de la convolution, voir [101], [110], [140]. Les quasi-

interpolants utilisent les valeurs des fonctions donnees (ou eventuellement de certaines de leurs

derivees partielles) aux sommets de la partition, ou encore des moyennes locales de la fonction

approchee dans un voisinage de ces sommets. La encore, la difficulte consiste a construire des

operateurs simples a calculer et ayant un ordre d’approximation le plus eleve possible. Rap-

pelons que toute analyse multiresolution d’un signal necessite une premiere approximation de

ce signal qui est souvent fournie par un quasi-interpolant. Les travaux realises avec les equipes

d’Oujda et de Granada concernent ces differents points. Plusieurs theses ont ete realisees ou

sont en cours d’achevement :

A. MAZROUI: Construction de B-splines simples et composees sur un reseau uniforme du plan

et etude des quasi-interpolants associes. These d’Etat, Universite d’Oujda (Maroc), 1er juillet

2000. (Codirection Sablonniere-Sbibih).

O. NOUISSER: Construction de B-splines et des quasi-interpolants associes sur le reseau quadri-

directionnel uniforme du plan. These, Universite d’Oujda, 14 fevrier 2002 (Codirection Sablonniere-

Sbibih).

E.B. AMEUR: Construction d’interpolants splines cardinaux. Decomposition en bases d’onde-

lettes des surfaces fermees sur la sphere. These, Universite d’Oujda. Soutenance prevue en

2002 (Codirection Sablonniere-Sbibih).

M.J. IBANEZ-PEREZ: Casi-interpolantes splines discretos sobre particiones uniformes de la

recta o del plano. These, Universite de Granada. Soutenance prevue en 2003 (Codirection


Sablonniere-Barrera-Rosillo).

2.g (iv) Etude et construction de quasi-interpolants et de multiresolutions splines sur la

sphere : P. SABLONNIERE

Recemment,P. SABLONNIERE et l’equipe d’Oujda ont generalise des travaux de Lyche et Schu-

maker sur les quasi-interpolants et les analyses multiresolution sur la sphere. On sait l’importance

des approximants definis sur celle-ci pour les applications pratiques, par exemple pour le traite-

ment des donnees concernant la Terre ou son atmosphere. Ces travaux ont ete detailles dans

les theses de E.B. AMEUR etO. NOUISSER, et presentes recemment au congres de Marrakech

([138], [139]).

2.g (v) Construction de courbes de type Bezier : M.M. DERRIENNIC

Il s’agit de construire des courbes de type Bezier pour une famille finie de points de controle

a l’aide de nouveaux systemes de fonctions de base (blending systems). Par analogie avec la

base de Bernstein, ces fonctions de base sont obtenues a partir d’operateurs lineaires positifs se

substituant a l’operateur de Bernstein classique et possedant des proprietes remarquables: totale

positivite, propriete de diminuer le nombre de changements de signe d’une fonction. La totale

positivite de l’operateur donne un systeme totalement positif et, par consequent, un procede

de construction des courbes qui conserve la convexite et diminue la longueur, la variation an-

gulaire et le nombre de points d’inflexions par rapport a ceux du polygone de controle. Ces

proprietes de bonne conservation des formes s’accompagnent, comme toujours, de proprietes

d’approximation relativement mauvaises et leur ordre de grandeur a ete etudie. Des exemples

de courbes polynomiales algebriques et trigonometriques (pour les courbes fermees) ont ete

mis au point a l’aide d’operateurs de type Bernstein et d’operateurs de de la Vallee Poussin.

Les courbes parametriques obtenues sont des sommes de Fourier ou de Fourier–Jacobi avec

multiplicateurs dont les coefficients sont des sommes discretes. Le principal interet de la con-

struction proposee est le dessin geometrique. Pour creer une courbe satisfaisante, on peut jouer

sur les points de controle mais aussi sur le degre des fonctions de base. Ce travail fait l’objet de

l’article [63].

2.g (vi) Quasi-interpolants de type Bernstein : P. SABLONNIERE

L’article [111] met en lumiere les liens etroits entre certains operateurs de type Bernstein-

Durrmeyer ou Szasz-Mirakyan-Durrmeyer et les polynomes orthogonaux de Jacobi ou de La-

guerre generalises. Ceux-ci apparaissent dans les coefficients des operateurs differentiels line-

aires representant ces operateurs et leurs inverses sur les espaces de polynomes.

2.g (vii) Approximants d’Hermite-Pade de l’exponentielle : P. SABLONNIERE

L’article [137] presente deux algorithmes de calcul des approximants d’Hermite-Pade (AHP) de

l’exponentielle. Le premier est base sur leur representation sous forme de difference divisee. Le

second est base sur leur representation integrale avec les B-splines comme noyaux de Peano. En

exploitant les proprietes classiques des B-splines, en particulier en utilisant leur representation

polynomiale locale dans la base de Bernstein, on peut exprimer les AHP en fonction des ap-

proximants de Pade classiques bien connus. On peut aussi exprimer des AHP d’ordre eleve en

fonction d’AHP d’ordre plus faible. Ceci sera detaille dans un prochain travail.


2.h Methodes d’ordre eleve en elements finis: M. COSTABEL, M. DAUGE

Les methodes d’ordre eleve consistent a construire des espaces discrets d’elements finis en

utilisant des polynomes de “haut” degre p, c’est-a-dire, pratiquement p > 2, avec une limite

superieure variant selon les codes (mais sans limite en theorie). Dans la librairie MELINA 3.a,

cette limite est actuellement p ≤ 10.

Ces methodes sont a priori mieux adaptees pour l’approximation de solutions regulieres (et

surtout analytiques). Mais il s’avere qu’elles conviennent bien aussi aux solutions qui ont des

singularites de coins ou d’aretes (qui sont, aussi, analytique, mais dans un sens generalise).

Plusieurs types d’analyse y sont connectes: la p-version des elements finis ou l’on fait ten-

dre p → ∞ sur un maillage fixe, les methodes spectrales qui sont de la p-version ou l’on

sous-integre les integrants (condensation de masse), et enfin les methodes hp ou l’on combine

l’augmentation du degre avec un raffinement geometrique et localise du maillage.

En methodes spectrales, nous avons la contribution [148] avec C. BERNARDI et Y. MADAY

de l’Universite Paris VI, ou nous avons etudie specifiquement des problemes axisymetriques.

En methodes hp, voir 1.a (ii) pour Maxwell et 1.b (ii) pour l’elasticite, les deux avec C.

SCHWAB de l’ETH Zurich.

Les calculs presentes dans 1.b (ii) font appel aussi a la p-version, en combinaison avec des

elements anisotropes pour capturer les termes de couches limites.

2.i Equations integrales

Nous avons etudie des equations integrales de frontiere et leur approximation numerique pour

les equations de Maxwell, voir 1.a (v), pour des equations paraboliques, pour l’elasticite et pour

des problemes a frontiere libre.

2.i (i) Elements finis de frontiere pour les equations de Maxwell: M.COSTABEL, C. SAFA

Dans le travail [121] avec A. BUFFA (Pavia) et D. SHEEN (Seoul) nous etudions les traces tan-

gentielles des champs de H(rot) sur une surface lipschitzienne. Nous trouvons les generalisa-

tions correctes de resultats connus pour le cas de surfaces regulieres, notamment des car-

acterisations de l’espace H−1/2(div) suffisamment concretes pour permettre la demonstration

de decompositions de Hodge sur des surfaces lipschitziennes.

Avec ces outils nous avons developpe dans [24] avec A. BUFFA (Pavia) et C. SCHWAB

(Zurich) une nouvelle theorie de l’equation integrale du champ electrique sur des surfaces lips-

chitziennes. Des resultats sur la regularite des solutions et sur la convergence de l’approximation

par elements finis de frontiere ont ete obtenus.

Le cas des surfaces regulieres avec bord a ete etudie dans [147], ou des decompositions de

Hodge dans H−1/2(div) et son dual sont demontrees et la construction et l’analyse complete

d’une methode d’approximation par ondelettes de la EFIE sont donnees.

2.i (ii) Equations integrales de frontiere pour des problemes paraboliques: Methodes de

collocation: M.COSTABEL

Comme methodes numeriques pour les equations integrales de frontiere, les methodes de col-

location sont parmi les plus faciles a implementer et en consequence parmi les plus utilisees


en pratique. En revanche, leur analyse theorique est notoirement difficile, et le progres dans

ce domaine est tres lent. Seuls les bords unidimensionnels dans le plan ont trouve un traite-

ment adequat avec un choix entre plusieurs approches. Pour les cas pratiques de 3 dimensions

d’espace ou des problemes en espace-temps ou donc le bord du domaine est de dimension au

moins deux, peu de resultats sont connus. En fait, pour certaines des methodes les plus utilisees

en pratique depuis longtemps, il n’existe aucune demonstration de stabilite ou de convergence!

En geometrie torique, on peut utiliser des methodes d’analyse Fourier, ce qui avait ete

fait auparavant pour des problemes elliptiques. En geometrie cylindrique pour des problemes

paraboliques, en collaboration avec J. SARANEN (Oulu) nous avons generalise [22], [25] cette

approche d’analyse de Fourier. La difficulte est qu’on a bien une sorte d’ellipticite anisotrope,

mais les dimensions spatiales et temporelles demandent des techniques differentes que nous

avons reussi a combiner pour la premiere fois.

Il a meme ete necessaire d’avancer un peu la theorie generale des operateurs pseudodiffe-

rentiels paraboliques [23] en vue d’estimations precises en normes Sobolev anisotropes.

Ce travail est poursuivi pour eventuellement pouvoir inclure des coefficients et domaines

variables dans le temps ainsi que des domaines peu reguliers.

2.i (iii) Singularites des probleme de fissures par la methode de Wiener-Hopf: M. COSTA-

BEL, M.DAUGE

Une fissure correspond a un probleme de Neumann en elasticite tridimensionnelle dans le do-

maine exterieur a une surface bornee avec bord, et il est naturel de traiter ce probleme par des

methodes integrales sur la surface. Par une generalisation de la methode d’Eskin, on peut con-

struire le developpement asymptotique des solutions pres du front de la fissure par une methode

de Wiener-Hopf. En collaboration avec R. DUDUCHAVA (Tbilissi), nous avons trouve une

classe d’operateurs pseudodifferentiels pour laquelle ce developpement asymptotique ne con-

tient jamais de termes logarithmiques. Cette classe contient les operateurs integraux de frontiere

classiques de l’elasticite anisotrope tridimensionnelle, et nous avons ainsi obtenu dans [122]

pour ce cas une deuxieme methode de demonstration d’un resultat sur l’absence de logarithmes

qui peut se demontrer aussi par une methode de transformation de Mellin, voir 1.b (iv).

2.i (iv) Methodes d’elements finis de bord et problemes non lineaires : M. CROUZEIX

En collaboration avec P. FEAT et J. SAYAS (Saragosse, Espagne).

Les problemes a frontieres libres aboutissent assez naturellement a des formulations par

equations integrales frontieres fortement non lineaires. Nous avons acheve l’etude, sur un exem-

ple, de l’approximation numerique par methodes de collocation ou de Galerkin en utilisant des

polynomes trigonometriques ou des fonctions splines, la principale difficulte etait l’obtention

de resultats de stabilite [36].

2.j Schemas d’approximation

2.j (i) Approximation numerique de problemes d’evolution. Theorie des operateurs: M.

CROUZEIX

Avec G. AKRIVIS et CH. MAKRIDAKIS, nous avons etendu notre etude des schemas multi-

pas implicites-explicites pour l’approximation de problemes paraboliques a la prise en compte


de non-linearites plus importantes [32] et ensuite a des methodes numeriques plus generales

[124]. Apres avoir obtenu avec V. THOMEE [34] des resultats d’analyticite uniforme, pour

l’approximation du semi-groupe de la chaleur, sans hypotheses de quasi-uniformite sur le mail-

lage, nous avons mis en evidence des proprietes de contractivite dans Lp [37].

La theorie des operateurs fournit des outils tres utiles a l’analyse des approximations nume-

riques des problemes d’evolution. Nous inspirant d’un travail de B. et F. Delyon, nous avons

montre l’existence d’un calcul fonctionnel hilbertien borne pour les operateurs maximaux secto-

riels [33]. En collaboration avec B. DELYON, ces resultats ont ete ensuite ameliores, et etendus

a des operateurs bandes [125]. Dans la meme direction nous avons obtenu des bornes nouvelles

pour les fonctions de matrices d’image numerique donnee [126].

2.j (ii) Influence d’un pas variable dans des approximations abstraites de problemes

d’evolution :M. PIERRE, M. RIHANI

Nous montrons dans [88] que l’introduction d’un pas variable dans des formules d’approximation

classiques de semi-groupes non lineaires, peut, de facon assez etonnante, generer de fortes in-

stabilites, voire meme un defaut de consistance. Il s’agit essentiellement de formules de Cher-

noff, incluant les produits classiques de Lie-Trotter (methodes des directions alternees). Nous

donnons aussi des conditions suffisantes tres generales permettant d’eviter ces surprises.

2.j (iii) Approximation polynomiale, meilleures constantes de Sobolev: M. CROUZEIX

L’erreur d’approximation d’une fonction par un polynome, dans les methodes d’elements finis,

est generalement analysee via le passage a un element de reference. Cette technique n’est

cependant pas optimale, particulierement lorsqu’on s’interesse a des situations non triangulaires

(elements courbes, quadrilateraux, avec degenerescence, hexaedre, . . . ). Nous avons choisi de

travailler directement sur l’element. Le cas le plus simple, approximation par une constante,

nous a amene a revisiter les problemes de meilleures constantes de Sobolev, et a obtenir des

caracterisations geometriques nouvelles [35].

2.j (iv) Methode des elements finis: A. MIGNOT

On releve plusieurs themes developpes dans l’analyse numerique de methodes d’elements finis.

Theme 1 : Etude de methodes d’elements finis anisotropes.

L’etude de problemes de calcul des structures, de thermique ou de mecanique des fluides fait

souvent apparaıtre des comportements differents de la solution selon les directions ou bien des

couches limites le long du bord d’un domaine et donc conduit lorsqu’on veut approcher ce

type de problemes par des methodes d’elements finis, a distinguer les directions et les erreurs

d’interpolation selon les directions d’elements finis anisotropes.

L’objet du travail a ete de justifier de telles estimations d’erreur pour des elements finis bidi-

mensionnels de type triangulaire ou parallelogramme. Un exemple d’application a ete effectue

pour un probleme de thermique. Ce travail est publie dans [82] et a ete presente dans [133].

Theme 2 : Etude en elasticite de methodes d’elements finis mixtes et hybrides basees sur des

tenseurs de deformation ou des tenseurs de contrainte augmentes.

On montre en partant du principe variationnel de Hu-Washizu que certaines methodes con-

duisent a des problemes mixtes non conformes. On etudie differents types d’elements finis

verifiant les hypotheses de coercivite et la condition inf-sup associee et ainsi libre de blocage.

Ce travail est en cours de redaction en collaboration avec C.SURRY.


Theme 3 (avec A. TOUZALINE, en these d’Etat a l’Universite des Sciences et de la Technologie

d’Alger) : Etude du probleme quasi-statique de contact sans frottement et avec frottement de

Coulomb, local ou non local d’un corps elastique avec un support.

Il s’agit de montrer l’existence d’une solution et la convergence de schemas d’approximation

par elements finis. Des resultats partiels ont ete obtenus et sont en cours de revision.

2.j (v) Differences finies pour le Laplacien de Heisenberg dans R3: N. TCHOU

L’operateur ∆H , Laplacien de Heisenberg, est donne par :

∆H = ∂2

xx + ∂2

yy + (4y2 + 4x2)∂2

zz + 4y∂2

xz − 4x∂2

yz.

Le Laplacien de Heisenberg est associe au groupe non commutatif des translations de Heisen-

berg. On propose et analyse le schema aux differences finies

−∆Hu(ξ) ≈1

h2

(

4u(ξ) − u(ξ ⊕−he1) − u(ξ ⊕ he1) − u(ξ ⊕−he2) − u(ξ ⊕ he2))

.

ou les translations et homotheties sont celles du groupe des translations de Heisenberg. La

“grille” est obtenue en translatant a droite l’origine par des vecteurs de coordonnees entieres

puis par une homothetie. Dans [97] en collaboration avec Y. ACHDOU, en utilisant l’analogue

discret du commutateur ci-dessus, on montre une inegalite de Poincare discrete et donc la sta-

bilite du schema. Comme le schema est aussi d’ordre deux, on a un resultat de convergence.

2.k Homogeneisation.

2.k (i) Domaines faiblement connectes. M. BRIANE

Les domaines faiblement connectes permettent de modeliser, entre autres, les milieux poreux

fractures. Dans un tel milieu le fluide circule dans les fractures formees entre les roches quasi-

impermeables. Le reseau des fractures, suppose periodique, est represente par un domaine con-

nexe constitue par un nombre fixe n de composantes principales relies par des canaux tres fins.

Ces composantes se dissocient asymptotiquement d’ou la terminologie “faiblement connecte”.

La pression du fluide est solution d’un probleme de Neumann dans le domaine faiblement con-

necte. Le probleme homogeneise est un systeme couple de taille n, forme d’EDP lineaires du

second ordre, dont les termes de couplage sont d’ordre zero [8]. On a aussi construit [11] un

domaine faiblement connecte de R3 comportant un nombre croissant n→ +∞ de composantes

principales pour lequel que le probleme limite est une e.d.p. lineaire du second ordre posee dans

un cylindre de R4. Cette augmentation de dimension correspond a un continuum du couplage

obtenu avec un nombre fixe de composantes.

Plus recemment on a montre ([14]) que, pour un domaine faiblement connecte ε-periodique

general (sans hypothese geometrique supplementaire), la taille du systeme couple limite est en

fait donnee par le comportement asymptotique du spectre du probleme local pose dans la cellule

de periodicite. Plus precisement cette dimension est egale au plus petit entier n tel que la n-

ieme valeur propre non nulle du probleme de Neumann dans la periode du domaine faiblement

connecte verifie Λn(ε) ε−2 → +∞.


2.k (ii) Perte d’ellipticite. M. BRIANE

Les problemes avec perte d’ellipticite sont des problemes de conduction lineaires ou non, dans

lesquels la conductivite prend des valeurs tres faibles dans certaines parties du domaine. Comme

dans le cas des domaines faiblement connectes la repartition des zones de faible conductivite

peut induire des effets de couplage a la limite.

Dans le cas d’operateurs monotones periodiques, on a donne [10] une condition optimale

sous laquelle le probleme limite est un probleme de conduction de meme nature. On a aussi

montre sur certains exemples [9], qu’un couplage apparaıt dans le probleme limite lorsque cette

condition n’est plus satisfaite. En outre, on a presente un probleme de conduction tridimension-

nel [9] sans phenomene de couplage a la limite et dans lequel, pourtant, la plus petite valeur

propre de la matrice de conductivite tend vers zero en chaque point du domaine ; dans ce cas,

la forte anisotropie de la matrice et la geometrie de la micro-structure compensent cette perte

uniforme d’ellipticite.

2.k (iii) Perte de bornitude. M. BRIANE & N. TCHOU

Dans les problemes avec perte de bornitude, les zones de forte conductivite peuvent induire des

effets d’ordre zero et des effets non locaux. Conformement a la formule de representation de

Beurling-Deny des formes de Dirichlet, l’energie limite se compose, en effet, outre le terme de

diffusion fortement local classique, eventuellement d’un terme d’ordre zero local et d’un terme

non local. La situation est, dans un certain sens, plus favorable a celle avec perte d’ellipticite

car dans ce dernier cas, on a montre [12] que la formule de Beurling-Deny n’est en general pas

valable.

Comme pour la perte d’ellipticite et dans le cas d’operateurs monotones periodiques, on a

donne [13] une condition optimale sous laquelle ces effets n’apparaissent pas. En reprenant

l’exemple, introduit par E.Ya. Khruslov et etendu par Bellieud, Bouchitte, d’un materiau ren-

force par des fibres de forte conductivite, on a montre que des effets locaux sont induits des que

cette condition n’est plus satisfaite.

En fait, dans le cas d’une distribution ε-periodique generale de fibres unidirectionnelles de

forte conductivite [118], on a aussi montre que cette condition est equivalente a un comporte-

ment limite classique sans effet d’ordre zero ou non locaux. Plus generalement, on a obtenu a la

limite un systeme couple dont la dimension n’est pas liee au nombre de fibres par periode mais

est egale (comme dans le cas des domaines faiblement connectes) au plus petit entier n tel que

la n-ieme valeur propre du probleme spectral local (pose dans la periode), pondere par la forte

conductivite, verifie Λn(ε) ε−2 → +∞. Ainsi, les effets d’ordre zero et non locaux apparaissent

si et seulement si n > 1 ou de maniere equivalente Λ1(ε) = O(ε2).

Nous avons obtenu [16] des effets non locaux tres particuliers a partir de reseaux de fibres

fortement conductrices. Ainsi, nous avons produit un terme d’energie non local dont la mesure

associee est la mesure de Lebesgue sur l’espace produit. Pour obtenir un tel terme non local

nous avons considere des reseaux de fibres tres conductrices dans les trois directions de l’espace

et situees a une distance tres petite mais non nulle du bord du domaine. Nous avons aussi

montre [15] que les couplages obtenus a la limite et par suite les effets non locaux sont tres

sensibles a cette distance des fibres au bord.

2.k (iv) Operateurs elliptiques degeneres. N. TCHOU

Collaboration avec M. BIROLI, S.MATALONI, U.MOSCO, C.PICARD et V.V. ZHIKOV.


Nous considerons des problemes de conduction lineaires ou non, ou la matrice de conduc-

tivite est degeneree et nous etudions plusieurs problemes d’ homogeneisation classique pour ces

operateurs. Plus precisement il s’agit d’operateurs associes a des formes de Dirichlet-Poincare

fortement locales qui sont des formes bilineaires symetriques definies sur L2

m fortement locales

verifiant une inegalite de Poincare-Wiertinger et une inegalite de duplication de la mesure mpour les boules intrinseques (distance associee a la forme). Par exemple non seulement les

operateurs fortement elliptiques, mais aussi les carres de Hormander (par ex. Heisenberg) et les

operateurs a poids w ∈ A2 (par ex. w(x) = |x|α, −N < α < N), verifient ces hypotheses.

Nous avons etudie surtout l’homogeneisation des milieux degeneres perfores, avec des con-

ditions de Dirichlet homogenes sur le bord. Voici la liste de nos contributions pour la periode:

• Nous determinons un pavage de l’espace adapte a l’operateur de Heisenberg pour obtenir

un terme etrange constant. D’autres types de conditions au bord sont etudiees pour cet

operateur. Voir [89].

• Nous avons montre, [91], qu’a chaque mesure dans l’espace des mesures absolument

continues par rapport a la capacite associee a un operateur degenere correspond au moins

une suite de problemes definis sur des milieux degeneres perfores.

• Nous etudions, [92], le problemes des correcteurs pour des operateurs degeneres non

symetriques.

• Nous montrons, [95], des resultats sur la vitesse de convergence des solutions des proble-

mes elliptiques degeneres sur les domaines perfores vers la solution homogeneisee.

• Nous etudions le probleme de la regularite (critere de Wiener et mesures de Kato) des

solutions des problemes degeneres lineaires et non. Ces resultats sont aussi une etape

fondamentale dans la comprehension du comportement de la vitesse de convergence. Voir

[90], [93].

• Nous donnons, [91], une construction explicite d’une suite de domaines perfores pour

lesquels on obtient a la limite un comportement macroscopique souhaite.

• Nous etudions, [134], le problemes des correcteurs pour des operateurs degeneres non

lineaires.

3 DEVELOPPEMENT DE CODES

3.a Melina: D. MARTIN

Le code MELINA est une bibliotheque de procedures pour la resolution de problemes aux limites

par des methodes d’elements finis en dimension 2 ou 3. Il s’agit d’un code de recherche dont

l’evolution est en etroite interaction avec les themes developpes dans l’equipe.

Le traitement numerique d’un probleme avec MELINA consiste essentiellement en l’ecriture

de deux fichiers. Le premier decrit en langage ‘naturel’ les termes de la formulation varia-

tionnelle (description sous forme de listes d’objets); dans le second, l’utilisateur orchestre les

procedures (macro-operations agissant sur les objets) decrivant l’algorithme de resolution sans

se preoccuper de la representation en machine des tableaux ou des donnees (geres par des struc-

tures de donnees internes et l’allocation dynamique des tableaux).


La structure du code permet d’ajouter de nouvelles fonctionnalites sans en modifier les

autres composantes : nouvel element, nouvel integrand... Recemment des elements de haut

degre (jusqu’a Q10) ont ete introduits pour l’etude des singularites des problemes a coins.

MELINA s’est enrichi de nouveaux outils : un ensemble de procedures matlab permet

la creation de maillages 2D courbes de haut degre (mailme), d’autre part la visualisation de

maillages 2D au format MELINA, d’origine et de degre quelconque, est desormais possible

(mevisu). Enfin la visualisation de resultats issus de MELINA (traces d’isovaleurs, par exem-

ple) est assuree par l’utilitaire grame developpe par P. GENTIL (technicien en informatique a

l’IRMAR).

MELINA est dote d’un ensemble de commandes (shells de type unix et makefile) qui

permettent a l’utilisateur de s’orienter dans l’arborescence de la distribution du code et de met-

tre a jour ses librairies et executables sans en connaıtre les details d’installation. Ces ‘shells’

rendent le code aisement portable sur differentes plateformes ou differents OS (Darwin, Linux,

OSF, AIX, IRIX, SunOS) et permettent son utilisation en double precision quand l’option de

compilation ad’hoc existe.

Le code est dote d’une importante documentation en ligne au format hmtl donnant acces

a son fonctionnement depuis l’installation, a la documentation et au tutorial, a l’ensemble des

procedures par liste ou par index de mots-cles, a divers exemples et a une liste d’articles et

theses ou figurent des resultats issus du code [132].

La diffusion de MELINA a fait l’objet de deux seminaires de formation (cours, travaux

pratiques et exposes scientifiques), baptises ‘Ateliers MELINA’, en Mai 2000 et Juin 2001, le

second ayant ete finance dans le cadre des actions de formation du CNRS.

Au sein de l’equipe, MELINA est utilise pour la resolution de problemes relevant essen-

tiellement de l’electromagnetisme (Maxwell), de l’elasticite et de l’hydrodynamique (Navier-

Stokes). Il est aussi developpe en collaboration avec le laboratoire SMP de l’ENSTA (URA CNRS

853) ou il est utilise pour le traitement numerique de problemes exterieurs (methodes de cou-

plage elements finis/representation integrale ou elements finis localises en electromagnetisme

ou acoustique en ecoulement). Le code est egalement utilise a des fins pedagogiques (2nd et

3eme cycles) a l’UFR de mathematiques de Rennes, au LORIA de Nancy, a l’ENSTA et a l’ENIT

de Tunis. Il a aussi fourni les illustrations numeriques accompagnant de nombreuses theses.

3.b Exsiel: Y. LAFRANCHE

Il s’agit d’un programme qui calcule les quantites qui caracterisent les solutions singulieres des

equations de l’elasticite lineaire lorsque le domaine ou est pose le probleme comporte des coins

(en dimension 2) ou des aretes (en dimension 3). Ces quantites sont les exposants de singularite

et les fonctions singulieres angulaires associees. Elles permettent d’obtenir le comportement de

la solution au voisinage du coin ou de l’arete que l’on considere.

La methode de calcul est une application directe de resultats theoriques obtenus par M.

COSTABEL et M. DAUGE, qui rendent possible un calcul rapide et precis. En effet, une phase

essentielle de la methode se reduit ainsi a l’exploitation d’une expression quasi-explicite. Les

autres phases font appel a des methodes de resolution numerique. Le detail de la methode et de

sa mise œuvre a donne lieu a la publication d’un article paru en 2001 (voir [31]).


Le programme est ecrit en Fortran. Il est portable et une procedure d’installation sous UNIX

a ete developpee. Un effort particulier a ete fait pour faciliter son utilisation puisqu’une docu-

mentation hypertexte a ete ecrite. Elle est disponible a l’adresse http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜lafr

.

Au voisinage du coin ou de l’arete, le domaine est suppose decomposable en sous-domaines,

en forme de secteurs angulaires, chacun correspondant a un materiau homogene regi par les lois

classiques de l’elasticite lineaire, dans le cadre de la mecanique du solide. La loi de comporte-

ment de chaque materiau est donnee par l’intermediaire de ses constantes d’elasticite. Certains

cas particuliers couramment rencontres en pratique sont pris en compte : materiau isotrope ou

orthotrope. Les conditions aux limites classiques (Dirichlet ou Neumann) peuvent etre fixees,

mais aussi des conditions mixtes, ou bien des conditions de transmission dans le cas de l’etude

d’une fissure.

L’utilisation premiere du programme est le calcul d’exposants de singularite dans un do-

maine du plan complexe choisi par l’utilisateur. Au dela de cette utilisation basique, il existe

plusieurs possibilites de faire varier tel ou tel parametre en vue d’obtenir le graphe des exposants

de singularite en fonction de ce parametre. Par ailleurs, pour les exposants selectionnes, il pos-

sible egalement d’obtenir le graphe des fonctions singulieres angulaires correspondantes.

Afin de faciliter la production des graphiques, une interface conversationnelle a ete develop-

pee dans l’environnement Matlab. Elle permet d’exploiter simplement les resultats prealablement

fournis par le programme.

3.c fig4tex: Y. LAFRANCHE

Il s’agit d’une bibliotheque de procedures (appelees macros) utilisables dans l’environnement

TEX ou LATEX, permettant de creer une figure agrementee de sa legende. Il existe deja quelques

bibliotheques ayant plus moins le meme objectif, mais, a notre connaissance, aucune ne remplit

simultanement toutes les conditions suivantes:

• Seul le compilateur TEX est necessaire, y compris pour la generation du dessin ; aucun

logiciel annexe n’a lieu d’etre employe pour creer le dessin qui devrait ensuite etre “im-

porte”.

• En consequence, toute l’information utile est localisee dans un seul endroit, a savoir le

document TEX en cours de composition, ce qui facilite le travail de gestion de l’utilisateur.

• Le “produit fini” est une boıte TEX dont les dimensions dependent de la taille du dessin,

qui peut lui-meme aisement etre modifie ou bien mis a l’echelle. La mise en page est

donc entierement du ressort de TEX, via les instructions prevues a cet effet.

• La conception des macros est basee sur la geometrie ; les outils elementaires, tels que

les points, les vecteurs, les transformations, permettent toutes sortes de constructions

geometriques et rendent de ce fait la generation du dessin tout a fait naturelle.

• A condition d’utiliser ces fonctionnalites, notamment les transformations, la forme geo-

metrique finale peut-etre modifiee en changeant seulement une donnee “amont”, par ex-

emple une coordonnee d’un point, la direction d’un vecteur. . .

32 IV. Publications

• La position de chaque texte inscrit sur le dessin est lie a la geometrie du dessin ; en

d’autres termes, le texte “suit” le dessin si celui-ci est modifie.

• Chaque dessin est stocke dans un fichier PostScript dont le nom est choisi par l’utilisateur.

Une seule compilation suffit pour prendre en compte les modifications et mettre a jour le

document.

• Les constructions geometriques peuvent etre bi-dimensionnelles ou tri-dimensionnelles ;

en 3D, le dessin final est bien sur issu d’une projection selectionnee par l’utilisateur, selon

la direction d’observation de son choix.

• L’ergonomie est renforcee par la fonctionnalite “objet” : les formes geometriques definies

par l’utilisateur peuvent etre manipulees comme des objets, auxquels il est possible d’ap-

pliquer des transformations.

La bibliotheque fig4tex remplit toutes ces conditions et, a ce titre, se distingue des autres

systemes que nous avons jusqu’a present utilises.

Une documentation complete a ete ecrite. On y trouve les principes d’utilisation ainsi que

leur mise œuvre sur de nombreux exemples concrets. Un guide de reference au format hyper-

texte a egalement ete ecrit. Il est disponible sur le reseau internet aux adresses

http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜lafranch/

http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜dmartin/

IV. PUBLICATIONS

1 DANS DES REVUES INTERNATIONALES A COMITE DE LECTURE

[1] A. BELMILOUDI . A nonlinear optimal control problem for assimilation of surface data

in a Navier-Stokes type equations related to oceanography. Num. Func. Anal. Opti. 20(1)

(1999) 1–26.

[2] A. BELMILOUDI , F. BROSSIER , L. MONIER. Mathematical and numerical modelization

of large-scale oceanic waves. Math. Meth. Appl. Sci. 22 (1999) 967–999.

[3] A. BELMILOUDI . Regularity results and optimal control problems for the perturbation

of Boussinesq equations of the ocean. Num. Func. Anal. Opti. 21(5) (2000) 623–651.

[4] A. BELMILOUDI . Existence and characterization of an optimal control for the problem

of long waves in a shallow-water model. SIAM Journal on Control and Optimization

39(5) (2001) 1558–1584.

[5] A. BELMILOUDI . Asymptotic behaviour of the perturbation of the primitive equations

of the ocean with vertical viscosity. The Canadian Applied Mathematics Quarterly 8(2)

(2001).

[6] A. BELMILOUDI . Robin-type boundary control problems for the nonlinear Boussinesq

type equations. J. Math. Anal. Appl. (2002) A paraıtre.

[7] N. BOUDIBA , M. PIERRE . Global existence for coupled reaction-diffusion systems. J.

Math. Ana. and Appli. 250 (2000) 1–12.


[8] M. BRIANE. The convergence of the spectrum of a weakly connected domain. Ann. Mat.

Pura Appl. (4) 177 (1999) 1–35.

[9] M. BRIANE. Increase of dimension by homogenization. Potential Anal. 14(3) (2001)

233–268.

[10] M. BRIANE. Optimal conditions of convergence and effects of anisotropy in the homog-

enization of non-uniformly elliptic problems. Asymptot. Anal. 25(3-4) (2001) 271–297.

[11] M. BRIANE. Homogenization of a class of non-uniformly elliptic monotonic operators.

Nonlinear Anal. 48(1, Ser. A: Theory Methods) (2002) 137–158.

[12] M. BRIANE. Non-Markovian quadratic forms obtained by homogenization. Boll. U.M.I.

(2002) A paraıtre.

[13] M. BRIANE. Homogenization of non-uniformly bounded operators. Archive for Rational

Mechanics and Analysis (2002) A paraıtre.

[14] M. BRIANE. Homogenization in general periodically perforated domains by a spectral

approach. Calculus of Variations and P.D.E.’s (2002) A paraıtre.

[15] M. BRIANE , N. TCHOU. Boundary effects in fibered-reinforced media. C. R. Acad. Sci.

Paris Ser. I Math. 333(3) (2001) 173–177.

[16] M. BRIANE , N. TCHOU. Fibered microstructures for some nonlocal Dirichlet forms.

Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa (2002) A paraıtre.

[17] G. CALOZ , S. BALAC. Mathematical modeling and numerical simulation of magnetic

susceptibility artifacts in magnetic resonance imaging. Computer Methods in Biome-

chanics and Biomedical Engineering 3 (2000) 335–349.

[18] G. CALOZ , S. BALAC. Integral method for numerical simulation of MRI artifacts in-

duced by magnetic implants. Magnetic Resonance in Medicine 45 (2001) 724–727.

[19] G. CALOZ, S. BALAC. Finite element and integral representation coupling methods to

solve a magnetostatic problem. IEEE Trans. Magn. 32(2) (2001) 393–396.

[20] G. CALOZ, S. BALAC. Induced magnetic field computations using a boundary integral

representation. Appl. Num. Math. (2002) A paraıtre.

[21] A. S. BONNET-BENDHIA, G. CALOZ, M. DAUGE, F. MAHE. Study at high frequencies

of a stratified waveguide. IMA J. Appl. Math. 66(3) (2001) 231–257.

[22] M. COSTABEL , J. SARANEN. Spline collocation for convolutional parabolic boundary

integral equations. Numer. Math. 84(3) (2000) 417–449.

[23] M. COSTABEL , J. SARANEN. Parabolic boundary integral operators symbolic represen-

tation and basic properties. Integral Equations Operator Theory 40(2) (2001) 185–211.

[24] A. BUFFA, M. COSTABEL , C. SCHWAB. The spline collocation method for

parabolic boundary integral equations on smooth curves. Numer. Math. (DOI) (2001)

10.1007/s002110100372.

34 IV. Publications

[25] M. COSTABEL , J. SARANEN. The spline collocation method for parabolic boundary in-

tegral equations on smooth curves. Numer. Math. (DOI) (2002) 10.1007/s002110200405.

[26] M. COSTABEL , M. DAUGE. Maxwell and Lame eigenvalues on polyhedra. Math. Meth-

ods Appl. Sci. 22(3) (1999) 243–258.

[27] M. COSTABEL , M. DAUGE, S. NICAISE. Singularities of Maxwell interface problems.

M2AN Math. Model. Numer. Anal. 33(3) (1999) 627–649.

[28] M. COSTABEL , M. DAUGE. Singularities of electromagnetic fields in polyhedral do-

mains. Arch. Ration. Mech. Anal. 151(3) (2000) 221–276.

[29] M. COSTABEL , M. DAUGE. Crack singularities for general elliptic systems. Math.

Nach. 235 (2002) 29–49.

[30] M. COSTABEL , M. DAUGE. Weighted regularization of Maxwell equations in polyhe-

dral domains. Numer. Math. (DOI) (2002) 10.1007/s002110100388.

[31] M. COSTABEL , M. DAUGE, Y. LAFRANCHE . Fast semi-analytic computation of elastic

edge singularities. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 (2001) 2111–2134.

[32] G. AKRIVIS, M. CROUZEIX , C. MAKRIDAKIS. Implicit-explicit multistep methods for

quasilinear parabolic equations. Numer. Math. 82(4) (1999) 521–541.

[33] M. CROUZEIX. Une majoration du type von Neumann pour les fractions rationnelles

d’operateurs sectoriels. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 330(6) (2000) 513–516.

[34] M. CROUZEIX. Sur la meilleure constante dans une injection de Sobolev. C. R. Acad.

Sci. Paris Ser. I Math. 332(3) (2001) 229–232.

[35] M. CROUZEIX , V. THOMEE. Resolvent estimates in lp for discrete Laplacians on irregu-

lar meshes and maximum-norm stability of parabolic finite difference schemes. Comput.

Methods Appl. Math. 1(1) (2001) 3–17.

[36] M. CROUZEIX , P. FEAT, F.-J. SAYAS. Theoretical and numerical study of a free bound-

ary problem by boundary integral methods. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 35(6)

(2001) 1137–1158.

[37] M. CROUZEIX. Contractivity and analyticity of some approximation of the heat equation.

Numerical Algorithms (2002) A paraıtre.

[38] M. DAMBRINE . About the variations of the shape hessian and sufficient conditions of

stability for critical shapes. R. Real Academia de Ciencias (2002) A paraıtre.

[39] M. DAMBRINE , J. SOKOLOWSKI, A. ZOCHOWSKI. On stability analysis in shape op-

timisation: critical shapes for Neumann problem. Control and Cybernetics (2002) A

paraıtre.

[40] M. DAMBRINE , M. PIERRE. About stability of equilibrium shapes. M2AN Math. Model.

Numer. Anal. 34(4) (2000) 811–834.


[41] A. BONNET-BENDHIA, M. DAUGE, K. RAMDANI. Analyse spectrale et singularites

d’un probleme de transmission non coercif. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 328(8)

(1999) 717–720.

[42] C. BERNARDI, M. DAUGE, Y. MADAY. Compatibilite de traces aux aretes et coins d’un

polyedre. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 331(9) (2000) 679–684.

[43] M. DAUGE, Z. YOSIBASH. Boundary layer realization in thin elastic 3-D domains and

2-D hierarchic plate models. Internat. J. Solids Structures 37 (2000) 2443–2471.

[44] M. DAUGE, Z. YOSIBASH. Eigen-frequencies in thin elastic 3-D domains and Reissner-

Mindlin plate models. Math. Methods Appl. Sci. 25(1) (2002) 21–48.

[45] M. DAUGE, A. ROSSLE, Z. YOSIBASH. Higher-order responses of three-dimensional

elastic plate structures and their numerical illustration by p-FEM. Internat. J. Numer.

Methods Engrg. 53(6) (2002) 1353–1376.

[46] M. DAUGE, C. SCHWAB. hp-fem for three-dimensional elastic plates. M2AN Math.

Model. Numer. Anal. (2002) A paraıtre.

[47] M. DAUGE, I. DJURDJEVIC, E. FAOU, A. ROSSLE. Eigenmode asymptotics in thin

elastic plates. J. Math. Pures Appl. (9) 78(9) (1999) 925–964.

[48] G. ANDREOIU, M. DAUGE, E. FAOU. Developpements asymptotiques complets pour

des coques faiblement courbees encastrees ou libres. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math.

330(6) (2000) 523–528.

[49] M. DAUGE, I. GRUAIS , A. ROSSLE. The influence of lateral boundary conditions on

the asymptotics in thin elastic plates. SIAM J. Math. Anal. 31(2) (1999/00) 305–345

(electronic).

[50] G. DA PRATO, A. DEBUSSCHE . Control of the stochastic Burgers model of turbulence.

SIAM Journal on Control and Optimization 37(4) (1999) 1123–1149.

[51] A. DEBUSSCHE , J. PRINTEMS. Numerical simulation of the stochastic Korteweg-de

Vries equation. Physica D 134 (1999) 200–226.

[52] A. DE BOUARD, A. DEBUSSCHE . A stochastic nonlinear Schrodinger equation with

multiplicative noise. Communications in Mathematical Physics 205 (1999) 161–181.

[53] A. DEBUSSCHE , J. PRINTEMS. Effect of a localized random forcing on the Korteweg-de

Vries equation. Journal of Computational Analysis and Applications (2002) A paraıtre.

[54] G. DA PRATO, A. DEBUSSCHE . Maximal dissipativity of the Dirichlet operator corre-

sponding to the Burgers equation on L2(H, ν). Canadian Marthematical Society Con-

ference Proceeding 28 (2000).

[55] A. DE BOUARD, A. DEBUSSCHE , Y. TSUTSUMI. White noise driven Korteweg-de

Vries equation. Journal of Functional Analysis 169(2) (1999) 532–558.

[56] G. DA PRATO, A. DEBUSSCHE . Dynamic programming for the stochastic Navier-Stokes

equations. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 34(2) (2000) 459–476.

36 IV. Publications

[57] G. DA PRATO, A. DEBUSSCHE , B. GOLDYS. Invariant measures of non symmetric

dissipative stochastic systems. Prob. Theory and Rel. Fields (2002) A paraıtre.

[58] A. DE BOUARD, A. DEBUSSCHE , L. DIMENZA. Theoretical and numerical aspects

of stochastic nonlinear Schrodinger equations. Monte-Carlo Methods and Applications

(2002) A paraıtre.

[59] A. DE BOUARD, A. DEBUSSCHE . On the effect of a noise on the solutions of supercrit-

ical Schrodinger equation. Prob. Theory and Rel. Fields (2002) A paraıtre.

[60] A. DEBUSSCHE , L. DIMENZA. Numerical simulation of focusing stochastic nonlinear

Schrodinger equations. Phys. D (2002) A paraıtre.

[61] G. DA PRATO, A. DEBUSSCHE . 2D-Navier-Stokes equations driven by a space-time

white noise. Journal of Functional Analysis (2002) A paraıtre.

[62] A. DE BOUARD, A. DEBUSSCHE . The stochastic nonlinear Schrodinger equation in

H1. Stochastic Analysis and Applications (2002) A paraıtre.

[63] M. DERRIENNIC . Shape preserving polynomial curves. Comp. Math. (2002) A paraıtre.

[64] E. FAOU. Elasticite linearisee tridimensionnelle pour une coque mince: resolution en

serie formelle en puissances de l’epaisseur. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 330(5)

(2000) 415–420.

[65] E. FAOU. Developpements asymptotiques dans les coques elliptiques: modele de Koiter.

C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333(2) (2001) 139–143.

[66] E. FAOU. Developpements asymptotiques dans les coques elliptiques: equations tridi-

mensionnelles linearisees. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 333(4) (2001) 389–394.

[67] G. ANDREOIU, E. FAOU. Complete asymptotics for shallow shells. Asymptot. Anal.

25(3-4) (2001) 239–270.

[68] E. FAOU. Elasticity on a thin shell: Formal series solution. Asymptot. Anal. (2002) A

paraıtre.

[69] F. MAHE. Computing guided modes for an unbounded stratified medium in integrated

optics. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 35(4) (2001) 799–824.

[70] P. MARTINEZ. Uniform stabilization of the wave equation in almost star-shaped do-

mains. SIAM J. on Control and Optimization (2002) A paraıtre.

[71] P. MARTINEZ. A new method to obtain decay rate estimates for dissipative systems.

Esaim : Control, Opt. and Calc. of Var. (2002) A paraıtre.

[72] P. MARTINEZ. Decay of solutions of the wave equation with a local highly degenerate

dissipation. Asymptotic Analysis 19(1) (1999).

[73] P. MARTINEZ. A new method to obtain decay rate estimates for dissipative systems with

localized damping. Revista Matematica Complutense (2002) A paraıtre.


[74] P. MARTINEZ. Uniform stabilization of elastodynamic systems of cubic crystals by

nonlinear feedbacks. Nonlinear Analysis, TMA (2002) A paraıtre.

[75] P. MARTINEZ , J. VANCOSTENOBLE . Exponential stability for the wave equation with

weak nonmonotone damping. Portugaliae Mathematica (2002) A paraıtre.

[76] J. MERRIEN. Interpolants d’Hermite C2 obtenus par subdivision. M2AN Math. Model.

Numer. Anal. 33 (1999) 55–65.

[77] S. DUBUC, J. MERRIEN. Dyadic Hermite interpolation on a rectangular mesh. Adv. in

Comp. Math. 10 (1999) 342–365.

[78] S. DUBUC, J. MERRIEN. A 4-point Hermite subdivision scheme. Mathematical methods

for Curves and Surfaces (Oslo 2000) (2001) 112–122.

[79] S. DUBUC, D. LEMIRE, J. MERRIEN. Fourier transform of 2-point Hermite interpola-

tory subdivision schemes. J. Fourier Anal. and Appl. 7 (2001) 537–552.

[80] J. MERRIEN , P. SABLONNIERE . Monotone and convex C1 Hermite interpolants gen-

erated by an adaptive subdivision scheme. C.R. Acad. Sci. Paris, Serie I 233 (2001)

493–497.

[81] J. MERRIEN , P. SABLONNIERE . Monotone and convex C1 Hermite interpolants gener-

ated by a subdivision scheme. Constructive Approximation (2002) A paraıtre.

[82] A. MIGNOT, C. SURRY. Estimation de l’erreur d’interpolation pour des elements finis

anisotropes. Bull. Soc. Sci. Lett. Łodz Ser. Rech. Deform. 32 (2000) 81–91.

[83] M. PIERRE , D. SCHMITT. Blowup in reaction-diffusion systems with dissipation of

mass. SIAM Review 42 (2000) 93–106.

[84] E. BEDNARCZUK, M. PIERRE , E. ROUY, J. SOKOLOWSKI. Tangent sets in some func-

tional spaces. J. of Nonlinear Analysis 42 (2000) 871–886.

[85] M. PIERRE , J. VANCOSTENOBLE . Strong decay for one-dimensional wave equations

with nonmonotone boundary damping. Control and Cybernetics 29 (2000) 473–484.

[86] A. NOVRUZI, M. PIERRE. Domain continuity for an elliptic operator of fourth order.

Comm. in Contemporary Math. 4 (2002) 1–14.

[87] A. NOVRUZI, M. PIERRE. Structure of shape derivatives. J. Math. Anal. Appl. (2002) A

paraıtre.

[88] M. PIERRE , M. RIHANI. Effects of a variable step-size in some abstract product formu-

las. J. of Evolution Equations (2002) A paraıtre.

[89] M. BIROLI, N. A. TCHOU, V. V. ZHIKOV. Homogenization for Heisenberg operator

with Neumann boundary conditions. Ricerche Mat. 48(suppl.) (1999) 45–59. Papers in

memory of Ennio De Giorgi (Italian).

[90] M. BIROLI, N. TCHOU. Nonlinear subelliptic problems with measure data. Rend. Accad.

Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. (5) 23 (1999) 57–82.

38 IV. Publications

[91] M. BIROLI, N. TCHOU. Relaxation for Dirichlet problems involving a Dirichlet form.

Z. Anal. Anwendungen 19(1) (2000) 203–225.

[92] S. MATALONI, N. A. TCHOU. Limits of relaxed Dirichlet problems involving a non-

symmetric Dirichlet form. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 179 (2001) 65–93.

[93] M. BIROLI, N. TCHOU. Relaxed Dirichlet problem for the subelliptic p-Laplacian. Ann.

Mat. Pura Appl. (4) 179 (2001) 39–64.

[94] Y. ACHDOU, N. TCHOU. The Black and Scholes equation with stochastic volatility.

Variational methods. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 332(11) (2001) 1031–1036.

[95] M. BIROLI, D. PICARD, N. TCHOU. Error estimates for relaxed Dirichlet problems

involving a Dirichlet form. Adv. Math.Sci. Appl. (2002) A paraıtre.

[96] Y. ACHDOU, N. TCHOU. Variational analysis for the Black and Scholes equation with

stochastic volatility. M2AN Math. Model. Numer. Anal. (2002) A paraıtre.

[97] Y. ACHDOU, N. TCHOU. A finite difference scheme for solutions of a periodic problem

associated with the Heisenberg group. Numer. Math. 89(3) (2001) 401–442.

[98] J. LORENTE-PARDO, P. SABLONNIERE , M. SERRANO-PEREZ. Subharmonicity and

convexity properties of Bernstein polynomials and Bezier nets on triangles. Computer

Aided Geom. Design 16 (1999) 287–300.

[99] J. LORENTE-PARDO, P. SABLONNIERE , M. SERRANO-PEREZ. On the convexity of

Bezier nets of quadratic Powell-Sabin splines on 12-fold refined triangulations. J. of

Comput. and Appl. Math. 115 (2000) 383–396.

[100] J. LORENTE-PARDO, P. SABLONNIERE , M. SERRANO-PEREZ. On the convexity of C1

surfaces associated with some quadrilateral finite elements. Adv. in Comp. Math. (2002)

A paraıtre.

[101] A. MAZROUI, D. SBIBIH, P. SABLONNIERE . Existence and construction of H1-splines

of class Ck on a three-direction mesh. Adv. in Comp. Math. (2001) A paraıtre.

[102] J. HENRY, M. OUARIT, J. YVON. Optimal weighting design for distributed parameter

systems estimation. Optimal Control Applications and methods 22 (2001) 37–49.

[103] J. HENRY, A. VIEL, J. YVON. On a new scaling for semiconductor device equations

and its asymptotic analysis. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences

11(8) (2001) 1432–1456.

2 AUTRES PUBLICATIONS AVEC COMITE DE LECTURE

[104] A. BELMILOUDI . Studies in linear and nonlinear optimal control problems for viscous

flows equations. In B. CHESHANKOV, M. TODOROV, editors, Application of mathematics

in Engineering, Proceedings of the XXVI Summer School Sozopol, pages 181–188. Heron

Press, Sofia 2001.


[105] A. BELMILOUDI . On some control problems in a shallow-water model. In Proceed-

ings of the 40th IEEE CDC, Orlando, Florida, pages 4956–4961. IEEE Control Systems

Society 2001.

[106] S. BALAC, G. CALOZ. Finite element and integral representation coupling methods to

solve a magnetostatic problem, 2001.

[107] M. COSTABEL , M. DAUGE, D. MARTIN. Numerical investigation of a boundary pe-

nalization method for Maxwell equations. In P. NEITTAANMAKI, T. TIIHONEN, P. TAR-

VAINEN, editors, Proceedings of the 3rd European Conference on Numerical Mathematics

and Advanced Applications, pages 214–221. World Scientific, Singapore 2000.

[108] M. DAUGE. Singularities of corner problems and problems of corner singularities. In

Actes du 30eme Congres d’Analyse Numerique: CANum ’98 (Arles, 1998), pages 19–40

(electronic). Soc. Math. Appl. Indust., Paris 1999.

[109] A. LE MEHAUTE, Y. LAFRANCHE . Node insertion and node deletion for radial basis

functions. In Recent progress in multivariate approximation (Witten-Bommerholz, 2000),

pages 193–209. Birkhauser, Basel 2001.

[110] P. SABLONNIERE . New families of B-splines on uniform meshes of the plane. In CRM

Proceedings and Lecture Notes, pages 89–100. Universite de Montreal, Montreal 1999.

[111] P. SABLONNIERE . Representation of quasi-interpolants as differential operators and

applications. In New Developments in Approximation Theory. ISNM, volume 132, pages

233–253. Birkhauser-Verlag 1999.

[112] J. LORENTE-PARDO, P. SABLONNIERE , M. SERRANO-PEREZ. On the convexity of

Powell-Sabin finite elements. In Advances in Computational Mathematics. LNPAM, vol-

ume 202, pages 395–404. Marcel Dekker 1999.

[113] J. HENRY, A. VIEL, J. YVON. Modelling of oxygen sensors. Research notes in mathe-

matics 396 (1999).

[114] J. HENRY, A. VIEL, J. YVON. Some new problems occuring in modeling of oxygen

sensors. Lecture notes in pure and applied mathematics 216 (2001) 301–316.

3 PREPRINTS, AUTRES PUBLICATIONS

[115] A. BELMILOUDI , F. BROSSIER. Numerical study of a control method computing a

three-dimensional flow from the observed surface pressure. Preprint 00-53, Universite de

Rennes 1 2000.

[116] A. BELMILOUDI . Mathematical analysis and optimal control problems for the perturba-

tion of the primitive equations of the ocean with vertical viscosity. Preprint (2002).

[117] A. BELMILOUDI . Mathematical modellization and optimal control problems for the

perturbation of the primitive equations with vertical viscosity in a coupled atmosphere-

ocean model. Preprint (2002).

40 IV. Publications

[118] M. BRIANE. A new approach for the homogenization of high-conductivity periodic

problems. Application to a general distribution of one-directional fibers. Preprint (2002).

[119] S. BALAC, G. CALOZ. On the computation of the magnetic field from the reduced scalar

potential in a permeable region. Preprint (2002).

[120] S. BALAC, G. CALOZ. On the computation of the magnetic field from the reduced scalar

magnetic potential through an integral formula, 2002.

[121] A. BUFFA, M. COSTABEL , D. SHEEN. On traces for H(curl,Ω) in Lipschitz domains.

Preprint IAN-CNR 1185, University of Pavia 2000.

[122] M. COSTABEL , M. DAUGE, R. DUDUCHAVA. Asymptotics without logarithmic terms

for crack problems. Preprint 00-50, Universite de Rennes 1 2001.

[123] M. COSTABEL , M. DAUGE, Z. YOSIBASH. A quasidual function method for extracting

edge stress intensity functions. Preprint 02-26, Universite de Rennes 1 2002.

[124] G. AKRIVIS, M. CROUZEIX . Linearly implicit methods for nonlinear parabolic equa-

tions, 2001.

[125] M. CROUZEIX , B. DELYON. Some estimates for analytic functions of strip or sectorial

operators, 2001.

[126] M. CROUZEIX. Bounds for analytic functions of matrices, 2002.

[127] M. DAUGE. “Simple” Corner-Edge Asymptotics. Web publication, dec. 2000

http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜dauge/publis/corneredge.html.

[128] M. DAUGE, M. SURI. Numerical approximation of the spectra of non-compact operators

arising in buckling problems. Preprint 01-54, Universite de Rennes 1 2001.

[129] M. DAUGE. Benchmark computations for Maxwell equations for the approximation of

highly singular solutions. Web publication, janv. 2002

http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜dauge/benchmax.html.

[130] M. DERRIENNIC . Courbes polynomiales preservant les formes. Colloque Modelisation

Geometrique et Approximation. CIRM Luminy, 2000.

[131] M. DERRIENNIC . Sur un approximant de de la Vallee Poussin discret. Colloque

Modelisation Geometrique et Approximation. CIRM Luminy, 2001.

[132] D. MARTIN. Melina. On line documentation:

http://www.maths.univ-rennes1.fr/˜dmartin.

[133] A. MIGNOT, C. SURRY. Algebraic functions and eigenfunctions, 2000.

[134] M. BIROLI, D. PICARD, N. TCHOU. Asymptotic behaviour of some nonlinear subellip-

tic relaxed problems. 58 pages.

[135] P. SABLONNIERE . H-splines and quasi-interpolants on three-directional meshes of the

plane. Preprint 02-11, Universite de Rennes 1 2002.


[136] P. SABLONNIERE . Bernstein bases and corner-cutting algorithms for C1 Merrien’s

curves. Preprint 01-33, Universite de Rennes 1 2001.

[137] P. SABLONNIERE . Two algorithms for the computation of Hermite Pade approximations

to the exponential function. Preprint 01-56, Universite de Rennes 1 2001.

[138] E. AMEUR, P. SABLONNIERE , D. SBIBIH. A general multiresolution method for fitting

functions on the sphere. Preprint 02-14, Universite de Rennes 1 2002.

[139] O. NOUISSER, P. SABLONNIERE , D. SBIBIH. A family of spline quasi-interpolants on

the sphere. Preprint 02-13, Universite de Rennes 1 2002.

[140] O. NOUISSER, P. SABLONNIERE , D. SBIBIH. Pairs of B-splines with small support on

the four directional mesh generating a partition of unity. Preprint 02-12, Universite de

Rennes 1 2002.

4 THESES ET HABILITATIONS

[141] A. BELMILOUDI . Etudes theoriques et numeriques de methodes de controle optimal

pour des equations primitives de l’ocean et de l’atmosphere. Habilitation a Diriger des

Recherches. Universite de Rennes 1, 2002.

[142] N. BOUDIBA. Existence globale dans les systemes de reaction-diffusion. Universite de

Rennes 1, 1999.

[143] T. BRIANCON. Problemes de regularite en optimisation de formes. Universite de Rennes

1, 2002.

[144] M. DAMBRINE . Hessiennes de forme et stabilite des formes critiques. ENS Cachan,

2000.

[145] E. FAOU. Developpements asymptotiques dans les coques minces lineairement

elastiques. Universite de Rennes 1, 2000.

[146] J.-L. MERRIEN. Interpolation d’Hermite par subdivisions et applications. Habilitation

a Diriger des Recherches. Universite de Rennes 1, 2001.

[147] C. SAFA. Resolution rapide d’equations integrales pour un probleme d’antennes par

des methodes d’ondelettes. Universite de Rennes 1, 2001.

5 OUVRAGES

[148] C. BERNARDI, M. DAUGE, Y. MADAY. Spectral methods for axisymmetric domains.

Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Medicales Elsevier, Paris 1999.

42 V. Invitations, contrats. Accueil de chercheurs

V. INVITATIONS, CONTRATS. ACCUEIL DE CHERCHEURS

1 INVITATIONS - COOPERATIONS

G. Caloz : 3 mois a l’EPF a Lausanne, decembre 2000 - fevrier 2001 lors de son CRCT,

cours sur l’approximation de problemes dependant de petits parametres; 2 semaines a PennState

State College, septembre 2000.

M. Costabel: 1 semaine a ETH Zurich (janvier 1999), 1 semaine a TU Chemnitz (mars

1999), 1 semaine a l’Universite Oulu (aout 1999), 2 semaines a UNSW Sydney (octobre 1999),

2 semaines a ANU Canberra (octobre 1999), 1 mois a ANU Canberra (novembre 2000), 1 se-

maine a ETH Zurich (novembre 2001), 1 semaine a TU Chemnitz (decembre 2001), 3 semaines

a TICAM Austin (mai 2002).

M. Costabel a ete invite dans les conferences suivantes: MAFELAP – Mathematics of Finite

Elements and Applications, Uxbridge, Angleterre, juin 1999; ICIAM – International Congress

of Industrial and Applied Mathematics, Edinburgh, Ecosse, juillet 1999; ENUMATH99 – Euro-

pean Congress of Numerical Mathematics, Jyvaskyla, Finlande, juillet 1999; Workshop Bound-

ary Integral Methods, UNSW, Sydney, octobre 1999; Mathematical Theory of Cracks and their

Propagation, Tbilisi, Georgie, octobre 2000; GAMM-Seminar – Numerical Methods in Electro-

magnetism, Kiel, Allemagne, janvier 2001; MPI-Numerik-Seminar, Leipzig, Allemagne, avril

2001; ICOSAHOM01 – International Conference on Spectral and High Order Methods, Upp-

sala, Suede, juin 2001; ENUMATH01 – European Congress of Numerical Mathematics, Ischia,

Italie, juillet 2001; Modern Aspects of Boundary Element Methods , Stuttgart, octobre 2001;

IABEM02 – International Association for Boundary Element Methods, Austin, Texas, mai 2002.

M. Crouzeix : 2 semaines a l’Universite de Geneve (fevrier 2000), 2 semaines a l’Universite

d’Ioannina (mars 2000), 2 semaines a l’Universite d’Heraklion (avril 2000), 1 semaine a l’Univer-

site de Saragosse (octobre 2000) et 1 semaine a l’Universite de Tuebingen (janvier 2001).

M. Crouzeix a ete invite dans les conferences suivantes : Anogia (juin 2000), Athenes

(septembre 2001), Marrakech (conf. pleniere, oct. 2001), mini-symposium CANUM (juin

2002) et Geneve (juin 2002).

M. Dambrine : 6 mois de postdoc TMR a l’Universite de Linz; 6 mois de postdoc a

l’Universite d’Oxford.

M. Dauge : 1 semaine a UMBC, Baltimore (avril 1999), 1 semaine PennState, State College

(avril 1999), 1 semaine a l’Universite d’Helsinki (aout 1999), 1 semaine a l’ETH Zurich (janvier

2000), 1 semaine a UMBC, Baltimore (avril 2000), 1 semaine a Pavie (novembre 2000),

M. Dauge a ete invitee dans les conferences suivantes : Mathematische Analyse von FEM

fur Probleme in der Mechanik, Oberwolfach, Allemagne, fevrier 1999; MAFELAP – Mathemat-

ics of Finite Elements and Applications, Uxbridge, Angleterre, juin 1999; ICIAM, Edinburgh,

Ecosse, juillet 1999; ENUMATH, Jyvaskyla, Finlande, juillet 1999; Elastic Shell Workshop,

Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Etats-Unis, avril 2000; Mathematical The-

ory of Cracks and their Propagation, Tbilissi, Georgie, octobre 2000; 3D-Singularities in Elas-

ticity - Theory, Numerics, Applications, Karlsruhe, Allemagne, novembre 2000; International

Conference On Spectral And High Order Methods”, ICOSAHOM-01, Uppsala, Suede, juin

2001; Equadiff10, Prague, Republique Tcheque, aout 2001; Pseudodifferential operators and


cracks, Stuttgart, Allemagne, octobre 2001; The treatment of corners in layered structures,

Karlsruhe, Allemagne, decembre 2001; Numerical Methods in Forward and Inverse Electro-

magnetic Scattering, Golden, Colorado, Etats-Unis, juin 2002.

A. Debussche est invite a la Scuola Normale Superiore di Pisa, Italie, une ou deux semaines

tous les ans depuis 1993.

A. Debussche a ete invite dans les conferences : Stochastic Climate Models, Chorin, Alle-

magne, juin 1999, organisee par L. Arnold, P. Imkeller, P. Mueller; Stochastic analysis, random

fields and applications, Ascona, Suisse, septembre 1999, organisee par R. Dalang, M. Dozzi et

F. Russo; Stochastic Partial Differential Equations and Applications, Levico Terme (Trento),

Italie, janvier 2000, organisee par G. Da Prato et L. Tubaro; Computational issues in stochastic

processes, Ecole Normale Superieure de Lyon, mai 2000, organisee par C. van den Broeck,

A. L. Garcia, L. Schimansky-Geier; Schrodinger equations with random forcing, novembre

2000, Warwick, Royaume-Uni, organisee par D. Elworhty, A. Stuart, R. Tribe; Computational

stochastic differential equations, mars 2001, Warwick, Royaume-Uni, organisee par A. Stu-

art; Stochastic evolution equations and applications, octobre 2001, Oberwolfach, Allemagne,

organisee par G. Da Prato, M. Rochner, J. Zabczyck; Fluid dynamics and stochastic partial

differential equations, novembre 2001, Sendai, Japon, organisee par H. Kozono, M. Takeda, Y.

Tsutsumi.

M. Pierre : 1 semaine a l’EPF Lausanne et au Weierstrass Institute a Berlin.

M. Pierre a ete invite dans les conferences : Optimisation de formes, Luminy, juin 99; In-

ternational Conference in Memory of S.N. Kruzhkov, Nonlinear Partial Differential Equations,

Besancon, juin 99; Colloque international FGI 2000 sur l’optimisation, Montpellier, septem-

bre 2000; Colloque Analyse non lineaire, Tetouan, Maroc, avril 2000; Journees Elliptiques,

Ecole Centrale de Lyon, decembre 2000; Rencontre : Evolution Equations, Oberwohlfach,

Allemagne, mars 2000; Colloque : Evolution equations, Blaubeuren, Allemagne, mai 2001;

49th Midwest PDE Seminar, Lexington, Kentucky, USA, mars 2002.

J.L. Merrien et P. Sablonniere: invitation au congres Multivariate Interpolation and Approx-

imation, Almunecar, septembre 2001.

P. Sablonniere: 2 semaines au departement de Mathematiques de l’Universite de Turin (jan-

vier 2001), cours sur les elements finis et les B-splines a 2 variables pour les doctorants de

mathematiques.

2 CONTRATS

M. Costabel: Responsable du cote francais du contrat europeen INTAS “Mathematical The-

ory of Cracks and their Propagation”, Rennes - Stuttgart - St. Petersburg - Tbilisi, 1998–2001.

A. Debussche : les travaux sur les EDPS dispersives sont soutenus par une ACI du ministere

de la recherche. Titre : Influence de termes aleatoires sur la propagation d’ondes non lineaires

dispersives. Montant : 200 kF.

M. Dauge et M. Costabel ont participe au programme europeen Procope “Analyse asymp-

totique pour des problemes de la mecanique des solides dans des structures minces et a bords

non reguliers” avec Stuttgart, Chemnitz et Valenciennes de 1999 a 2001.

44 VI. Organisation de seminaires et congres

M. Pierre : action integree Maroc-France, ENS Cachan, universites de Nancy 1, Paris

XI, Caddi Ayyad a Marrakech, Agadir, commencee en janvier 2002, sous la responsabilite de

M. Pierre.

P. Sablonniere : cooperations avec le Maroc et l’Espagne. Cooperation reguliere (depuis

1985 environ) avec le departement de mathematiques appliquees de l’Universite de Granada

(Espagne) et le departement de mathematiques et informatique de l’Universite d’Oujda (Maroc).

L’equipe de Granada comprend actuellement 3 personnes: Carmen Serrano-Perez (MdC), Do-

mingo Barrera-Rosillo (MdC) et Maria-Jose Ibanez-Perez qui doit soutenir sa these en 2003.

L’equipe d’Oujda comprend actuellement 5 personnes: Driss Sbibih (prof), Ahmed Tijini (prof),

Azzeddine Mazroui (MdC), et deux thesards, Otheman Nouisser et El Bachir Ameur. La

1ere cooperation a ete financee par les Relations Internationales de l’INSA et la seconde vient

d’obtenir cette annee un financement CNRS-CNRST (Maroc).

3 ACCUEIL

Pendant la periode 1999–2002, l’equipe a accueilli des chercheurs etrangers pour une duree

allant d’une semaine a 3 mois sur des postes de professeur invite ou CNRS (poste “rose”), ou

sur des invitations speciales de l’equipe – eventuellement par le projet Procope.

A Ker Lann ont ete invites :

R. Gariepy, University of Kentucky, Lexington, USA, 1 mois;

I. Mounir, Universite Caddi Ayyad, Marrakech, 1 mois;

P. Cannarsa, Universite de Rome 2, 1 mois;

U. Mosco, Universite de Rome, La Sapienza, 1 mois;

M.A. Horn, Vanderbilt University, Tennessee, USA, 1 mois;

K. Eppler, Universite de Chemnitz, Allemagne, 1 semaine.

A Beaulieu ont ete accueillis :

M. Picasso, EPF Lausanne, Suisse, 2 semaines, septembre 1999;

Y. Vassilevski, Academie des Sciences de Russie, Moscou, 3 mois, octobre-decembre 1999;

G. Kunnert, Tu-Chemnitz, Allemagne, 1 semaine, novembre 1999;

J. Saranen, Olou, Finlande, 1 mois, avril 2000;

M. Biroli, Politecnico de Milano, Italie, 2 semaines, mai 2000;

D. Arnold, Penn State, Pennsylvania, USA, 2 semaines, juillet 2000;

Z. Yosibash, Beer Sheva, Israel, 2 semaines, septembre 2000;

R Duduchava, Tbilissi, Georgie, 1 mois, mai 2001;

L. Rahmani, Tizi-Ouzou, Algerie, 1 mois, juin 2001;

G. Savare, Pavie, Italie, 2 semaines, juin 2001;

S. Anicic, en fin de these a Grenoble, 2 semaines, juin 2001;

V. Nesi, La Sapienza, Rome, Italie, 2 semaines, juillet 2001;

C. Schwab, ETH Zurich, Suisse, 1 semaine, septembre 2001;

S. Nazarov, St Petersbourg, Russie, 2 semaines, mai 2002;

B. Buffoni, EPF-Lausanne, Suisse, 2 semaines, mai 2002;

L. Rahmani, Tizi-Ouzou, Algerie, 1 mois, juin 2002;

D. Kapanadze, Tbilissi, Georgie, 2 semaines, juin 2002.


VI. ORGANISATION DE SEMINAIRES ET CONGRES

L’equipe organise un seminaire hebdomadaire sur le campus de Beaulieu et un groupe

de travail tous les 15 jours a Ker Lann. On trouve le programme du seminaire a l’adresse

http://maths.univ-rennes1.fr/ananum.

Le premier atelier MELINA a eu lieu a Dinard, Domaine de la Vicomte en mai 2000 et le

deuxieme atelier MELINA a eu lieu a l’Abbatiale du Tronchet en juin 2001. Ils ont ete organises

par D. Martin, M. Lenoir, M. Dauge et G. Caloz. Dans sa forme actuelle, le code MELINA

permet la resolution de nombreux problemes et il est largement utilise par les chercheurs de

l’equipe d’analyse numerique de l’IRMAR et par les chercheurs du SMP a l’ENSTA. Son utili-

sation a largement depasse le domaine des ondes acoustiques et electromagnetiques. Il permet

la resolution de problemes relevant de la mecanique des fluides, de la magnetostatique, de

l’adaptation de maillages,... Chacun des ateliers regroupait plus d’une vingtaine d’utilisateurs

ou futurs utilisateurs du logiciel, provenant de differents laboratoires francais. Le programme

comprenait les elements suivants : un tutorial utile aux nouveaux utilisateurs; la presentation

d’applications par les utilisateurs; des travaux pratiques de differents niveaux. Le deuxieme

atelier est entre dans le cadre de la formation permanente du CNRS. Nous allons certainement

renouveler cette experience en 2003.

G. Caloz a participe au comite de pilotage des Doctoriales Bretagne 99 et Bretagne 2000.

Il s’agit d’un seminaire residentiel s’adressant aux etudiants en these des universites bretonnes

pour les sensibiliser au monde de l’entreprise.

M. Costabel et M. Dauge ont organise un minisymposium dans le cadre de la 10e edition de

MAFELAP – Mathematics of Finite Elements and Applications, Uxbridge, Angleterre, (juin

1999); M. Costabel a organise un minisymposium avec J.-C. Nedelec dans le cadre ENU-

MATH99, Jyvaskyla, Finlande (juillet 1999);

M. Crouzeix a organise avec G. Akrivis une Euro-conference Numerical Methods for Evo-

lution Partial Differential Equations a Anogia (Crete), juin 2000 (40 participants).

M. Dauge a organise un minisymposium avec J. Pitkaranta dans le cadre de l’ICIAM (juil.

1999); M. Dauge et M. Costabel ont organise un minisymposium dans le cadre ENUMATH-01,

Ischia, Italie (juillet 2001).

A. Debussche a participe a l’organisation du projet ASCI : E.D.P. Non Lineaires, Methodes

Probabilistes et Calcul scientifique; (serie de journees thematiques en 1999/2000), ainsi qu’a

l’organisation de la conference : ”Equations aux Derivees Partielles Non Lineaires : Application

a la Mecanique des Fluides et a la Meteorologie” qui a eu lieu a Orsay en mars 2000.

A. Debussche est membre du comite scientifique pour les activites organisees a l’Universite

de Warwick dans le cadre d’une annee ”Stochastic Partial Differential Equations and Related

Topics”, annee 2000/2001, (http://maths.warwick.ac.uk/).

A. Debussche est organisateur d’un mini-symposium dans la Conference on Monte-Carlo

and Probabilistic methods for PDEs, Monte-Carlo, juillet 2000, organisee par D. Talay.

J.L. Merrien est l’un des organisateurs du congres international Courbes et Surfaces de

Saint-Malo en 2002 (27 juin-3 juillet).

M. Pierre avec J. Sokolowski a participe a l’organisation d’un d’un mini-symposium New

developments in shape optimization dans le cadre du congres ICIAM 99, Edimbourg. M. Pierre

46 VI. Organisation de seminaires et congres

a ete le co-organisateur des Journees d’analyse non-lineaire en l’honneur de Philippe Benilan

en octobre 2000.

M. Pierre est charge de mission au Comite National d’Evaluation (CNE), depuis fevrier

2001, pour l’evaluation des formations universitaires en mathematiques orientees vers les ap-

plications.

P. Sablonniere a ete l’un des organisateurs du congres international Courbes et Surfaces de

Saint-Malo en 1999 (1-7 juillet).

Documents

Rapport juin 1999 - juin 2002 de l’equipe´ ANALYSE ...anum-maths.univ-rennes1.fr/files/Ananum1999-2002.pdf · Depuis juin 1999, l’e´quipe a connu les arrive´es et de´parts