rdm exercice methode de rotation N°2

Cours RDM 4 Anne 2007/2008 Contrle dAvril 2008

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Rsistance des matriaux 4

Contrle

Exercice 1 :

Une petite grue, de poids propre G=400kN soulve une charge Q=100kN. Elle se dplace sur une poutre isostatique AB de longueur 12m. On suppose que le poids propre de la grue sapplique au barycentre des nuds CDE. Calculer M et V dans la poutre AB Reprsenter sur un dessin sans rien calculer le signe des efforts normaux dans les barres de la grue. Rponse : Les efforts dappui de la grue en C et D sont donnes par FC+FD=500kN 100kN*4m-FD*2m+400kN*1m=0 (moment nul en C) Les efforts valent donc respectivement FC= 100kN et FD= 400kN Les ractions dappui de la poutre sont alors donnes par: RA+RB=500kN RB*12m-400kN*5m-100kN*3m=0 (moment nul en A) Donc RB=191.7kN et RA=308.3kN Tranchant, partir du nud B : V=-191.7kN entre B et D V=-191.7kN+400kN=208.3kN entre D et C V=308.3kN entre A et C Moment : A partir du nud B : Moment nul en B Variation linaire -> M=191.7*7=1341.9kNm en D Variation linaire -> M=1341.9-208.3*2=925.3kNm en C Variation linaire -> M=0 en A

QA B C D

E

G

F

3m 1 1 2m

12

Source: www.almohandiss.com



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Signe des efforts : La barre EF est tendue La barre CE est tendue Les autres sont comprimes

Exercice 2 :

Le treillis reprsent ci-dessous est entirement construit avec des nuds articuls. 1 Le treillis est-il isostatique ou hyperstatique ? 2 - Calculer les ractions dappui sous leffet de la charge F 3 Calculer les efforts normaux dans toutes les barres sous leffet de la charge F.

Rponse Le treillis est isostatique On note A B C D respectivement les nuds dappui gauche, central, de rotule et dappui de droite Les ractions dappui peuvent tre obtenues par quilibre des sous structures :

- Entre la rotule et lappui de rive droite : RD+RC==F ; RD*6*4=F*2*4 -> RD=F/3 ; RC=2F/3

- Les appuis de gauche : RA+RB=RC ; RB*6*4=RC*7*4 ; RB=7F/9 ; RA=-F/9 - Efforts normaux :

Le dessin joint prsente les efforts normaux dans les barres du treillis. Positif si tendu.

14*4m

5m

4m

F




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Exercice 3 : Lavant projet sommaire de pont sur le dtroit de Messine est un pont suspendu de 3300m de porte. Les ancrages en rive sont respectivement 960m et 810m des axes des pylnes Le tablier est compos de 3 caissons relis par des entretoises elles mmes portes par les suspentes de louvrage. Cette disposition est dicte par des considrations de stabilit arodynamique. Nous allons nous intresser aux cbles de suspension de louvrage : Les cbles porteurs sur chaque rive sont ancrs dans les cules, et reposent, en tte des pylnes, sur des appuis glissants. Ils ne transmettent donc aucun effort longitudinal en tte de pylne. La forme du cble dans la trave centrale peut tre assimile une parabole. Dans les traves de rive on pourra au besoin supposer que le cble a un trac rectiligne. Les charges porter sont : Tablier mtallique : 12.8t/ml Charges routires : 6 voies*3.5m0.5t/m= 10.5t/ml Charges ferroviaires : 10t/ml A lchelle de louvrage, la rigidit propre du tablier est ngligeable. Toutes les charges sont donc reprises par les cbles porteurs, et transmis aux pylnes. Les pylnes sont en bton. On tudiera les diffrents lments sous les charges permanentes, routires et ferroviaires, supposes rparties sur tout louvrage. Les contraintes admissibles sous ces charges non pondres sont de p=800MPa dans lacier des cbles et de b=10MPa dans le bton des pylnes. La densit de lacier des cbles est prise 100kN/m3 pour tenir compte de la protection anticorrosion et des lments de connexion entre les cbles et les suspentes. Le module apparent de lacier des cbles est de 190000MPa. On donne : la longueur dveloppe dune parabole de longueur en plan L et de flche f :

++++=

LfLf

fL

LfLLdev

222

2

2 164ln

8161

21 (la flche f de la parabole est la diffrence

daltitude entre le point le plus bas, au centre de la trave, et les points les plus hauts, au niveau des selles de dviation)

Question 1 : Calculer, en fonction de la flche totale f du cble : - La tension totale dans les cbles en fonction de leur section (ne pas oublier le poids propre des cbles dans les charges reprendre). Pour cette question on pourra assimiler la longueur dveloppe des cbles leur projection horizontale - le poids des cbles par mtre linaire, de faon respecter la contrainte limite de 800MPa.




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Rponse : Les cbles sont ncessairement funiculaires. Les charges tant uniformes, la tension dans les cbles dans la trave principale vaut : T=(Pcble+Ptablier+Q)*l/8f O l est la longueur de la trave centrale Pour respecter la contrainte admissible, on a le poids linique des cbles : Pcble=T*dp/p Soit :

( )p

ptablier

p

pcble f

dlQP

fdl

P

88

1

1 22 +

=

Question 2 Le ratio habituel pour les ponts suspendus est de f=L/10 Calculer le poids des cbles. Dterminer la section en tte des pylnes pour respecter la contrainte limite de compression de 10MPa dans le bton.

Rponse - Le cble fait 0.35MN/ml - La section de bton en tte des pylnes vaut (en assimilant la longueur des cbles leur projection horizontale) : Spylne=(Pcble+Ptablier+Q)*(l+l1+l2)/b o l1 et l2 sont les longueurs des traves de rive

Question 3 Calculer, sous leffet des surcharges seules, le dplacement horizontal des selles de dviation. Pour cela on calculera la surtension dans les cbles porteurs, et donc les allongements des cbles dans les traves de rive.

Rponse La surtension due aux surcharges vaut T=Q*l/8f Les surcharges seules conduisent donc une contrainte de 275MPa dans les cbles porteurs. La dformation est donc de 0.00145. Soit des dplacements horizontaux de 0.00145*960=1.388m 0.00145*810=1.175m

Question 4 Estimer la flche mi-porte sous leffet des surcharges seules : Elle peut tre considre comme la somme de 2 phnomnes :

- Le dplacement des selles dancrage -> f1 - Lallongement propre du cble entre les 2 ancrages -> f2




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Rponse Pour f1 : on crit que L a chang entre selles, mais que Ldev, la longueur dveloppe de la parabole, est inchange.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

++++

++

++=

++++=

21

21

2211

1

221

2

21

121

222

2

2

164ln

8161

21

164ln

8161

21

LffLff

ffL

LffL

LfLf

fL

LfLLdev

avec 1=1.388, 2=1.175m on obtient f1=4.86m Pour f2, on crit au contraire que L est identique, mais que Ldev a augment suite lallongement de 0.00145

( )

( )( ) ( )

++++

++

++=

+

++++=

LffLff

ffL

LffL

LfLf

fL

LfLLdev

22

22

2

222

222

2

2

164ln

8161

21

00145.01164

ln8

16121

On trouve f2=9.507 La flche totale est donc de 9.507+4.86=14.37m

Question 5 Leffet du vent sur un ouvrage de cette envergure sanalyse en dynamique par des moyens informatiques complexes. En premire analyse, pour simplifier, on considrera que le vent exerce un effort horizontal de 3kN/m sur le tablier, qui fait 4.5m de hauteur. On supposera que, transversalement, la raideur du tablier est ngligeable, comme elle ltait verticalement. Calculer le dplacement transversal d au vent.

Rponse Leffort de vent est de 0.0135MN/ml, comparer un effort vertical sous charges permanentes de 0.12+0.35=0.47MN/ml. Soit un ratio de 0.029. La flche verticale est de 330m. La flche horizontale attendre est donc, compte tenu de nos hypothses de non participation du tablier, de 330*0.029=9.6m.



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