Introduction la rsistance des matriaux

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cole Centrale de Nantes

Jean-Pierre Basset Patrice Cartraud Christian Jacquot Antoine Leroy Bernard Peseux Pierre Vaussy

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Table des matires

GnralitsConcepts gnraux Reprsentation et repre Description lagrangienne

Petites dformations dun milieu continu

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Dplacement et transformation Interprtation gomtrique de la transformation Dformation autour dun point Variation dangle entre deux axes de rfrence Variation angulaire de deux directions quelconques Dilatation cubique lments propres de la matrice des dformations Invariants du tenseur des dformations Conditions dintgrabilit Reprsentation de Mohr

Contraintes dans un milieu continuquilibre dun domaine solide Notion de contraintes tat de contrainte en un point Proprits de la matrice des contraintes Reprsentation gomtrique des contraintes

Relation de comportement en lastostatiqueCoecients lastiques Essai de torsion Critres limites de dimensionnement

nergie de dformation dun milieu continu lastiquenergie de dformation Potentiel lastique

lasticit linairePosition du problme Rsolution Principe de Saint-Venant Applications

Introduction la thorie des poutresIntroduction Problme de Saint-Venant Une thorie approche des poutres

TreillisDnition Eort normal Contraintes et dformations quations cinmatiques nergie de dformation Rsolution

Thormes nergtiquesThorme de rciprocit de Maxwell-Betti Thorme de Castigliano

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Flexion des poutres droitesPoutre droite et notations gnrales quations locales Flexion plane

Assemblages hyperstatiques de poutresHyperstaticit des systmes plans Applications Poutre sur appuis dnivelables Mthode des trois moments

Eort tranchantPosition du problme Contraintes de cisaillement et eort tranchant dans une section droite Solution approche et formule de Bredt Centre de cisaillement

Torsion des poutresCentres de torsion et de cisaillement Poutres de section pleine Section pleine admettant un centre de symtrie Poutres de section paroi mince ferme

Stabilit de lquilibre des poutres lastiques longuesFormulation du problme Modlisation linaire du ambement Flambement des pices longues Inuence de leort tranchant Calcul de la charge critique dEuler Dversement des poutres en exion simple Torsion et traction/compression Stabilit des arcs et anneaux

A Problme de Saint-VenantMthode des dplacements Mthode des contraintes Comparaison des deux mthodes

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Gnralits

. Concepts gnrauxLa rsistance des matriaux, appele galement mcanique des corps dformables, fait appel aux notions dquilibre de la mcanique statique, aux notions de dplacements tudies en cinmatique et aux proprits des matriaux, auxquelles on a recours pour valuer les dimensions de pices structurales ou dlments de machines. Lobjet de cet enseignement est ltude statique des milieux continus dformables. La rsistance des matriaux est une partie de la mcanique qui a pour objectif le dveloppement de modles permettant de dimensionner les structures. Ces modles sont labors dans le cadre dhypothses simplicatrices. Ils constituent le premier niveau des mthodes de calcul des structures. Ils se rapportent en gnral des corps gomtriquement simples qui constituent les lments de base de la construction mcanique et du gnie civil : les corps lancs pour lesquels une dimension est beaucoup plus grande que les deux autres et qui sont appels poutres ; les corps minces, plaques et coques, pour lesquels une dimension, lpaisseur, est beaucoup plus petite que les deux autres. Ltude de la rsistance des matriaux a pour but dassurer quon utilise dans une pice donne, une quantit minimale de matriau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : Rsistance la pice doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposes ; Rigidit la pice ne doit pas subir de dformation excessive lorsquelle est sollicite ; Stabilit la pice doit conserver son intgrit gomtrique an que soient vites des conditions dinstabilit (ambement, dversement) ; Endurance la pice, si elle est soumise un chargement cyclique (rpt), doit pouvoir, sans rupture, supporter un certain nombre de cycles (fatigue). Dans les problmes traits, nous supposerons que les matriaux satisfont un certain nombre dexigences. Cela nous permettra la fois de rduire la complexit des

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. Gnralits

dveloppements mathmatiques et de conserver cependant une certaine gnralit. Les hypothses de base que nous posons sont les suivantes : . lchelle microscopique, la matire a une structure granulaire avec des liaisons rsultant dactions distance. On sintressera un matriau idal continu, sans ssure ni cavit. Cette hypothse de continuit du matriau permet disoler une partie innitsimale de celui-ci et dexprimer son comportement selon un systme de coordonnes, laide de fonctions mathmatiques continues ; . Pour des lments de machines ou de constructions, il est commode de travailler lchelle macroscopique. On peut alors, dans nombre de cas, reprsenter la matire par un modle idalis homogne, isotrope, continu. Un matriau continu prsente des proprits physiques et mcaniques qui peuvent tre variables mais suivent des lois continues et drives continues en fonction des coordonnes des points. Un matriau homogne a les mmes proprits en tout point. La plupart des matriaux dingnierie satisfont ce critre, du moins lchelle macroscopique. Mme des matriaux qui sont peu homognes (bton, bois, matriaux composites. . . ) peuvent tre considrs comme homognes pour des calculs simplis. Un matriau isotrope a, en un point donn, les mmes proprits dans toutes les directions. Les matriaux qui ont des orientations prfrentielles (bois, matriaux lamins. . . ) ne sont pas isotropes et ils font lobjet de mthodes de calcul spcialises ; . Les transformations correspondent des petits dplacements et des petites dformations, en statique, et sans change de chaleur ; . Les hypothses lies la gomtrie des poutres, des plaques ou des coques permettent de ramener les quations de la mcanique des milieux continus des quations direntielles ordinaires auxquelles on peut associer une forme gnrale de solution correspondant aux sollicitations type. La linarit des modles dvelopps permet la superposition des solutions lmentaires en vue du traitement dun problme pratique ; . Les liaisons internes la matire sont reprsentes par des forces de surface que lon appelle contraintes. Lquilibre dun lment courant lintrieur de la matire est assur sous laction des contraintes et des forces extrieures directement appliques dont celles des liaisons mcaniques du systme son environnement.

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. Reprsentation et repreSous laction de forces externes ou de changements de temprature, un corps dformable ragit de telle sorte que chacun de ses points se dplace dans lespace. On cherchera prciser la position des particules (ou points matriels) qui constituent

. Description lagrangienne

le corps dformable chaque instant. Pour tudier lvolution dun systme il est (D0 ) M0 (D)

Mx e3 X e1 O (R) e2

Figure . Repre et congurations initiale et dforme du systme tudi

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ncessaire de procder sa description et son reprage. Le solide est tudi dans un rfrentiel absolu ou galilen de repre orthonorm, centr en O : R(O, e1 , e2 , e3 ). Lensemble des particules constituant le corps dformable occupe chaque instant t, un ensemble de positions dans lespace euclidien : cest la conguration actuelle (D) du systme linstant t. Le reprage de la conguration peut se faire au moyen du vecteur position OM. On pourra dnir ce vecteur par ses coordonnes (X1 , X2 , X3 ) dans (R). On introduit aussi la notion de conguration de rfrence (ou conguration initiale) : cest la conguration particulire (D0 ) du systme linstant initial t0 . Les coordonnes des vecteurs positions OM0 dans le repre (R) seront notes (x1 , x2 , x3 ). Ainsi, on note OM0 = x de coordonnes (x1 , x2 , x3 ) et OM = X de coordonnes (X1 , X2 , X3 ).

. Description lagrangiennePour dnir le mouvement dun corps dformable dans le rfrentiel (R) on peut, ayant choisi une conguration de rfrence (D0 ), se donner chaque instant lexpression du vecteur position OM de la particule situe en M0 dans (D0 ) : OM = (OM0 , t) ou encore : X = (x, t) o est une fonction vectorielle qui vrie : x = (x, 0), M0 (D0 ), t (.) (.) (.)

On dit que lon se donne une description lagrangienne du mouvement du corps dformable puisque lon suit le mouvement dune particule que lon identie sur la conguration initiale. Pour que cette description reprsente eectivement un mouvement de milieu continu, on impose la fonction de satisfaire les conditions mathmatiques suivantes :

. Gnralits doit tre une bijection de (D0 ) sur (D) pour tout t. On dsigne par sa fonction rciproque telle que t, M0 (D0 ) et M (D) : OM0 = (OM, t) OM = (OM0 , t) (.) x = (X, t) X = (x, t)

et sont continues par rapport lensemble des variables despace et de temps. et sont en rgle gnrale supposes de classe C 1 , voire C 2 . Des hypothses ci-dessus, introduites pour formaliser les concepts de milieu continu, rsultent les consquences suivantes : . Deux points matriels qui occupent dans (D0 ) des positions inniment voisines, restent inniment voisins dans toute conguration ; . Des points matriels qui occupent dans (D0 ) un domaine connexe, occupent dans (D) un domaine connexe de mme ordre (volume, surface, courbe). Ce domaine, transport par le mouvement, est appel domaine matriel ; . Les points matriels qui se trouvent dans (D0 ), lintrieur dune surface ferme, restent tout instant t lintrieur de la surface transporte (surface matrielle) ; . Les points matriels situs sur la frontire (D0 ) dans (D0 ), demeurent sur cette frontire tout instant. Autrement dit, la frontire du systme est une surface matrielle ; . On dsigne par J(x, t) le jacobien de linstant t en (x1 ,x2 ,x3 ), cest--dire le dterminant de la matrice jacobienne des drives premires des Xi par rapport aux xj : J(x, t) = D(X1 , X2 , X3 ) D(x1 , x2 , x3 ) (.)

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et tant continment drivables, on en dduit que J(x, t) est continu par rapport x et t. De plus il ne peut tre ni nul ni inni, les matrices jacobiennes de et devant tre inversibles. Il conserve donc un signe constant sur (D0 ) et au cours du mouvement. En consquence puisque J(x, 0) = 1, M0 (D0 ), J(x, t) est positif et : 0 < J(x, t) < +, M0 (D0 ), t (.)

Le jacobien sinterprte comme la dilatation volumique dans le mouvement entre les congurations (D0 ) et (D).

Petites dformations dun milieu continu

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Nous travaillerons, comme il a t mentionn au chapitre , sur le problme quasi statique, sans change de chaleur avec lextrieur, du comportement dun milieu continu soumis des charges extrieures appeles sollicitations. Les petites dformations dun milieu continu (D0 ) limit par une surface (D0 ) munie en tout point dune normale extrieure sont connues quand, tant donn un point courant M0 appartenant (D0 ), on sait calculer les dplacements de M0 , les variations de longueur et dangle de deux segments de droite quelconques issus de M0 et la variation de volume dun lment courant en M0 .

. Dplacement et transformation.. Vecteur dplacementDans un repre xe, on note M0 (x) ou M0 (x1 , x2 , x3 ) un point dans la conguration initiale et M(X) ou M(X1 , X2 , X3 ), le point correspondant dans la conguration dforme. Le vecteur dplacement de M0 est M0M, il est not U(M0 ) : U(M0 ) = u1 (x1 , x2 , x3 )e1 + u2 (x1 , x2 , x3 )e2 + u3 (x1 , x2 , x3 )e3 (.)

Nous supposerons que les dplacements ui sont petits devant les dimensions du domaine (D) tudi. Les Xi seront reprsents par des fonctions uniformes et continues des xj , en consquence : sont exclus les problmes de chocs, de ssuration et de glissement qui correspondent des discontinuits de la transformation ; un point initial M0 correspond un seul point matriel M aprs dformation : il sagit dune transformation bijective ; seuls les cas o les ui et les ui /xj peuvent tre reprsents par des fonctions continues qui restent des grandeurs du premier ordre sont considrs.

. Petites dformations dun milieu continu

.. Transformation gomtriqueDans la conguration initiale, considrons deux points voisins M0 (x1 , x2 , x3 ) et P0 (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ). Le vecteur M0P0 se transforme en MP comme dcrit sur la gure .. P0 dx M0 e3 x X O e1 e2Figure . Champ de dplacement

U + dU P M dX

U

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X1 = x1 + u1 (x1 , x2 , x3 ) M X2 = x2 + u2 (x1 , x2 , x3 ) X3 = x3 + u3 (x1 , x2 , x3 ) On a : MP = dX = dx + dU et aprs direntiation, on obtient : dXi = dxi +

X1 + dX1 = x1 + dx1 + u1 (x1 , x2 , x3 ) + du1 P X2 + dX2 = x2 + dx2 + u2 (x1 , x2 , x3 ) + du2 X3 + dX3 = x3 + dx3 + u3 (x1 , x2 , x3 ) + du3 (.)

(.)

ui u u dx + i dx + i dx x1 1 x2 2 x3 3

(.)

autrement dit, sous forme matricielle : dX1 dx1 1 u1 2 u1 3 u1 dx1 dX = dx + u u u dx 2 2 1 2 2 2 3 2 2 dX3 dx3 1 u3 2 u3 3 u3 dx3 dX = dx + H dx = (I + H) dx ou encore sous forme tensorielle : dX = (I + H) dx (.) ui xj

avec

j u i =

(.)

soit, en criture contracte :

(.)

avec H tenseur gradient des dplacements et H, sa matrice dans la base (e1 e2 e3 ). La transformation est linaire et bijective.

. Interprtation gomtrique de la transformation

.. Dcomposition du tenseur des gradient des dplacementsEn tout point M0 de (D0 ), nous allons dcomposer H en une somme de deux matrices, lune symtrique, lautre antisymtrique. Posons : (M0 ) = H (M0 ) + H (M0 )t ; 2 (M0 ) = H (M0 ) H (M0 )t 2 (.)

les deux matrices dont les composantes sont : ij = 1 ui uj + ; 2 xj xi ij = 1 ui uj 2 xj xi (.)

Lquation (.) devient alors : dX = (I + + ) dx (.)

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Nous montrerons que (M0 ) est la matrice des dformations pures et (M0 ), la matrice de rotation.

. Interprtation gomtrique de la transformationLa relation (.) permettant de passer dun vecteur lmentaire quelconque M0P0 son transform MP peut tre compose en une somme dapplications linaires : une translation (on retrouve M0P0 ) ; une rotation de vecteur = 1/2 rotU reprsente par la matrice ; une dformation pure dnie par la matrice . Le rotationnel sinterprte comme une rotation densemble daxe rot U autour du point M0 condition que le dplacement rsultant dU soit inniment petit devant dX. Il nintroduit pas de dformation au voisinage de M0 si : ui 1 xj (.)

Cette hypothse est trs forte, elle limite ltude des dformations des milieux continus tudis ici celles des dformations innitsimales. Si elle nest pas respecte, il faut faire appel la thorie des grandes dformations.

(D0 ) M0

+

Figure . Transformation par composition dune translation, dune rotation et dune dformation

. Petites dformations dun milieu continu

. Dformation autour dun point.. Variation de longueur dun segment et dilatation liniqueLe vecteur MP est de longueur dX, de mme, le vecteur M0P0 est de longueur dx et son vecteur unitaire est l0 de cosinus directeurs (1 , 2 , 3 ) et on peut crire : M0P0 = dx = dxl0 on a donc : dX2 = dXt dX = dxt (I + Ht )(I + H)dx = dxt I + (Ht + H) + Ht H dx (.) (.)

Avec lhypothse des petites transformations, cest--dire lorsque les termes de H sont petits devant lunit, on peut ngliger le terme quadratique Ht H devant H et il vient :

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dX2 dxt (I + 2)dx avec : = H + Ht 2

(.)

(.)

et en dveloppant : dX2 dx2 lt (I + 2)l0 = dx2 (1 + 2lt l0 ) 0 0 (.)

La matrice est, dans la base (e1 e2 e3 ), la matrice du tenseur des petites dformations (partie symtrique du tenseur gradient des dplacements) et donc les composantes de cette matrice symtrique sont : ij = 1 ui uj + 2 xj xi (.)

La dilatation linique dans la direction l0 , note l , est dnie par : l = dX dx dx (.)

En exprimant : dX2 dx2 (dX dx)(dx + dX) = dx2 dx2 et compte tenu de lhypothse des petites dformations, on peut crire : dX2 dx2 (dX dx)(dx + dx) (dX dx) =2 = 2l dx dx2 dx2 (.) (.)

et partir de (.), en calculant (.), on dduit quavec lhypothse des petites perturbations, la dilatation linique dans la direction l0 est donne par : l = lt l0 = 2 11 + 2 22 + 2 33 + 21 2 12 + 22 3 23 + 23 1 31 0 1 2 3 (.)

. Dformation autour dun point

Elle sexprime donc en fonction des six composantes de la matrice des dformations et des cosinus directeurs de la direction l0 . Les ii sont les dilatations liniques dans chacune des directions des axes du rfrentiel. Pour vrier cette proposition, considrons successivement e1 = (1, 0, 0)t , e2 = (0, 1, 0)t et e3 = (0, 0, 1)t . Il vient par identication : 11 = e1 22 = e2 33 = e3 (.)

La dilatation linique dans la direction l0 peut tre obtenue par une autre dmarche. Compte tenu de lexpression du tenseur des dformations et de lhypothse sur lordre de grandeur des termes de H, on en dduit que les termes de la matrice des dformations sont petits devant lunit, l0 tant lunitaire, il sensuit que : dX = 1 + 2lt l0 1 + lt l0 0 0 dx et donc que : (.)

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lt l0 = 0

dX dx dx

(.)

Il apparat ainsi que lt l0 , caractrise la variation relative de longueur l (dilatation 0 linique) dans la direction l0 , au point considr.

.. Vecteur dformationUn vecteur courant M0P0 = dxl0 se dforme en M0P dunitaire l. Le vecteur P0P not M0P est le vecteur dformation tel que P0P = D(M0 , l0 ) dx avec D(M0 , l0 ) = l0 . On a D(M0 , l0 ) = (D l0 ) l0 + l0 (D l0 ), soit D(M0 , l0 ) = lt l0 l0 + gt0 o g = tt l0 . En 0 0 t0 P l

M0 dx P0 N l0Figure . Dcomposition du vecteur dformation

projetant M0P sur l0 et sur t0 , vecteur directement perpendiculaire l0 , la dformation se traduit dans le plan M0 P0 P pour M0P0 par deux composantes, celle sur l0 correspondant lallongement, celle sur t0 correspondant la dviation angulaire de la direction l0 : P0P = M0P = P0N + NP = M0P0 (M0 , l0 )l0 + M0P0 g(M0 , l0 )t0 soit : D(M0 , l0 ) = (M0 , l0 )l0 + g(M0 , l0 ), t0 (.) (.)

o P N est lallongement de M0P0 donc (M0 , l0 ) = l est lallongement relatif suivant 0 l0 et NP = tan() est la dviation angulaire de l0 , note g(M0 , l0 ).

. Petites dformations dun milieu continu

. Variation dangle entre deux axes de rfrenceNous allons montrer que la diminution de chaque angle droit du rfrentiel sexprime en fonction des quantits 2gi appeles glissements et nots : 12 = 2g3 = 12 13 = 2g2 = 13 23 = 2g1 = 23 (.)

Considrons deux unitaires e1 , e2 de la base locale. Compte tenu de la dcomposition du vecteur dformation pure ( (M0 , 0 ) , g (M0 , 0 )) de lquation (.), nous allons tudier la variation de langle droit (e1 , e2 ) avec lhypothse des petites perturbations. On a : g (M0 , e1 ) = e1 (D(e1 ) e1 ) g (M0 , e2 ) = e2 (D(e2 ) e2 ) (.)

Dans le plan (e1 , e2 ), on a pour la diminution de langle (e1 , e2 ) :

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12 = g(M0 , e1 )e2 + g(M0 , e2 )e1 = (e1 , D(e1 ) e1 , e2 ) + (e2 , D(e2 ) e2 , e1 ) = D(e1 ) e2 + D(e2 ) e1 = 212 = 2g3 = 12

= (D(e1 ) e1 ) e3 + (D(e2 ) e2 ) e3 = (e1 , D(e1 ), e3 ) + (D(e2 ), e2 , e3 )

(.)

On trouve des rsultats similaires pour les autres angles entre les axes du rfrentiel. Les coecients ij de la matrice sont appels les demi glissements gk . Ils caractrisent la variation des angles droits entre les axes du rfrentiel.

. Variation angulaire de deux directions quelconquesDans la conguration initiale, en un point M0 , on considre deux directions quelconques M0P0 = dx = dxl et M0Q0 = dx = dx l , qui font entre elles un angle . Ces directions sont transformes en MP = dX et MQ = dX qui font entre elles un angle + d. Nous allons calculer la variation angulaire + d. On a dune part : dX dX = dX dX cos( + d) = dX dX cos( + d) soit encore daprs (.) : cos( + d) = dX dX dX dX = dX dX dx(1 + l ) dx (1 + l ) (.) (.)

dautre part, en tenant compte de (.) : dX dX = dxt (I + Ht )(I + H) dx et donc : cos( + d) = lt (I + 2)l (1 + l )(1 + l ) (.) dxt (I + 2) dx = dxlt (I + 2)l dx (.)

. Dilatation cubique Avec lhypothse des petites dformations, d est petit et : cos( + d) = cos sin d

(.)

et dans le cas particulier o les deux directions initiales l et l sont perpendiculaires, la variation angulaire (diminution algbrique) est note + d = (l, l ) et : 2 (l, l ) = lt (I + 2)l (1 + l )(1 + l ) (.)

Or, dans lhypothse des petites dformations, (l, l ) est petit et en tenant compte de l l = 0, une approximation de la relation prcdente est donne par : (l, l ) = 2lt l (.)

Lorsque les directions l et l concident avec les directions (e1 , e2 , ou e3 ) du repre, les relations (.) sont restitues.

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. Dilatation cubiqueUn paralllpipde lmentaire dcoup dans le solide avant dformation a pour volume dv0 = dx1 dx2 dx3 et devient aprs dformation : dv = dX1 (x1 , x2 , x3 ) dX2 (x1 , x2 , x3 ) dX3 (x1 , x2 , x3 ) La dilatation cubique relative est : (M0 ) = dv dv0 dv0 (.) (.)

Les Xj tant des fonctions continues des xi , on a bien sr comme pour tout changement de variables : dv = D(Xi ) dv = J dv0 D(xj ) 0 (.)

Le dterminant J est le jacobien de la transformation dnie au chapitre . La gnralisation de (.) i = 1, 2, 3 entrane : D(Xj ) 1 X 1 2 X 1 3 X 1 1 + 1 u 1 2 u 1 3 u 1 = 1 X 2 2 X 2 3 X 2 = 1 u 2 1 + 2 u 2 3 u 2 D(xi ) 1 X 3 2 X 3 3 X 3 1 u 3 2 u 3 1 + 3 u 3

(.)

En dveloppant le jacobien et en ngligeant les termes dordre suprieur un, il vient : dv = dv0 (1 + 1 u1 + 2 u2 + 3 u3 ) = dv0 (1 + ) soit, partir de U(M0 ) = (u1 (M0 ), u2 (M0 ), u3 (M0 ))t : = div U(M0 ) (.) (.)

. Petites dformations dun milieu continu

. lments propres de la matrice des dformationsLa matrice est une matrice hermitienne qui admet trois valeurs propres relles et trois vecteurs propres perpendiculaires associs. Dans la base propre locale (eI eII eIII ), la matrice est diagonale : I = II

(.)

III

Les directions eI , eII et eIII sont les directions principales des dformations et I , II et III sont les dilatations liniques principales. Pour les directions principales, les glissements sont nuls.

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. Invariants du tenseur des dformationsLes trois invariants du tenseur des dformations sont dnis partir de lquation caractristique : det( I) = 3 + I1 2 I2 + I3 et on obtient : I1 () = div U = trace = I + II + III = 1 + 2 + 3 = (M0) 1 I2 () = (trace )2 trace()2 2 = I II + II III + III I 2 2 2 = 1 2 + 2 3 + 3 1 g3 g2 g1 I3 () = I II III = det (.)

(.)

(.) (.)

. Conditions dintgrabilitCe sont les conditions que doivent vrier les composantes de la matrice symtrique pour que cette matrice soit celle des dformations innitsimales. Il faut, daprs (.) : 1 = (H t + H) 2 (.)

o H sexprime en fonction de U champ de vecteur dplacement innitsimal. Il faut donc quil existe un champ de vecteur U, dont les neuf drives partielles premires ui satisfassent aux six quations scalaires (.) o la matrice est donne. Les Xj conditions cherches sont dites conditions dintgrabilit du vecteur U ou encore

. Reprsentation de Mohr

conditions de compatibilit des composantes ij de la matrice . Pour les obtenir, on part de la dnition (.). En drivant deux fois les six quations qui donnent les ij , il vient : 3 u j 1 3 u i = + xk xl 2 xk xl xj xk xl xi 2 ij xk xl 2 lj 2 ik 2 lk = xk xi xk xi xj xi 2 ij i, j, k, l = 1, 2, 3 (.)

Une combinaison linaire de ces relations conduit aux conditions de compatibilit des dformations : i, j, k, l = 1, 2, 3 (.)

On dmontre que ces conditions ncessaires sont galement susantes.

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. Reprsentation de Mohr.. Directions perpendiculaires une direction principaleEn un point M0 , supposons que lon connaisse la direction principale eIII des dformations [], le plan (e1 , e2 ) perpendiculaire la direction eIII est alors plan principal des dformations. Dans ce plan, on cherche les deux autres directions principales et les dformations liniques principales associes ainsi que les directions de glissement maximum. Cette recherche peut se faire dune manire algbrique en cherchant les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice : 11 12 0 = 12 22 0 0 0 III

(.)

Nous allons ici entreprendre cette recherche dune manire gomtrique en utilisant la reprsentation plane de Mohr des dformations en travaillant dans le plan principal (e1 , e2 ) et en considrant uniquement la matrice 2 2 reprsentative de ltat de dformation dans ce plan comme dcrit sur la gure (.). Si les directions (eI , eII ) et 21 e 2 22 e2 e 1 12 M0 e1 11

Figure . Plan principal des dformations (e1 , e2 )[] Cest le cas lorsquon considre un point M0 de la surface libre dune pice de normale eIII .

. Petites dformations dun milieu continu

dformations principales (I , II ) sont connues, alors la dilatation linique dans une direction l0 = (cos , sin ) est donne par (.) : l = I cos2 + II sin2 (.)

La distorsion angulaire entre les directions l0 et t0 , perpendiculaires [], scrit : 1 1 (l0 , t0 ) = lt = g = (I II ) sin cos 2 2 soit encore, en exprimant ces relations en fonction de langle double : I + II I II + cos 2 2 2 g = I II sin2 2 l = (.) (.)

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Lorsque dans le plan (eI , eII ), ou bien (e1 , e2 ), on fait varier langle de la direction l0 , dans le plan (g), le point Ml reprsentatif de ltat de dformation dans cette direction dcrit le cercle C(C, R) de centre C = (0, I +II ) et de rayon R = I II . Cest le 2 2 cercle de Mohr des dformations du plan principal (eI , eII ). Lorsque langle varie g g3 I 11 g3 22 II g3 I g g3 11 22 II III

D(M, e2 )

D(M, e1 )

(a) Cercle de Mohr dans le plan (eI , eII )

(b) Tricercle de Mohr

Figure . Direntes congurations du cercle de Mohr

de dans le plan (eI , eII ), le point Ml dcrit compltement le cercle C(O, R). En considrant successivement les trois plans principaux de dformations, on peut construire trois cercles de Mohr et on obtient ainsi le tricercle de Mohr des dformations. Dautre part, on peut montrer que pour une direction n quelconque, le point reprsentatif de ltat de dformation dans le plan (, g) avec = nt n et g = |n n| se situe dans la partie dlimite par les trois cercles de Mohr correspondant aux plans principaux. Sur le tricercle de Mohr, le point o le glissement g est maximum (gal au rayon du grand cercle de Mohr) est /2 des points reprsentatifs des directions principales donc, dans le plan (eI , eIII ), les directions l et t de distorsion angulaire maximum sont les directions bissectrices des directions principales.[] On rappelle que les directions l0 et t0 sont telles que la base (t0 , l0 , eIII ) est directe.

. Reprsentation de Mohr

.. ExtensomtrieLa dformation en un point peut tre value exprimentalement laide de rosettes.

Description de la rosetteUne jauge de dformation peut tre assimile une rsistance mtallique constitue dun l rectiligne trs n, que lon colle sur la surface de la structure tudie. On transmet ainsi au l de la rsistance les dformations de la structure, do une variation de sa longueur, qui produit une variation de sa rsistance, quon mesure grce un pont de Wheastone. On peut alors en Figure . Jauge dduire la dformation du l, ce qui correspond une mesure de dformation de la dilatation linique dans sa direction. On peut ainsi obtenir avec prcision lallongement linique x selon la direction x de la jauge. Pour mesurer la dilatation linique dans une direction donne, il sut de coller une jauge dans cette direction. Cependant dans le cas gnral de dformation dans un plan (e1 , e2 ), il faut trois mesures de dformations pour connatre exactement ltat de dformation en un point : 11 , 22 et 12 ou bien ltat de dformation principal comprenant les dformations liniques I , II et directions (eI , eII ). Ces mesures se font laide de rosettes qui donnent les dformations dans les directions a, b, c. Dans la pratique, on trouve des rosettes et (voir gure .). b b

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c

c

a

aFigure . Rosettes

Dpouillement partir de a , b et c , les dilatations liniques dans trois directions a, b et c, on peut dterminer les valeurs principales des dformations. En notant ltat de dformation principal en un point M0 dune surface par : I (eI ,eII ) = (.) II a = I + II I II + cos 2a 2 2 (.)

la dformation linique dans une direction faisant un angle a, a(cos a, sin a), par rapport la direction eI , est donne par la relation (.) :

. Petites dformations dun milieu continu

de mme dans les directions b et c, on obtient si est langle de la rosette, soit = (a, b) = (b, c) : b = I + II I II + cos 2(a + ) 2 2 + c = I II + I II cos 2(a + 2) 2 2 (.) (.)

Le systme de trois quations (.), (.) et (.) permet de dterminer les deux dformations liniques principales I , II et langle not a entre la direction principale eI et la direction a.

Rosette Langle des directions (a, b) et (b, c) est , donc les relations (.) et (.) scrivent : a = I + II I II + cos 2a 2 2 + b = I II + I II cos 2a + 2 2 2 I + II I II c = + cos(2a + ) 2 2 I + II I II + cos 2a 2 2 + b = I II I II sin 2a 2 2 I + II I II c = cos 2a 2 2 a = et on dduit par exemple en posant : d= que : I = d + r avec : d= a + c ; 2 r= 1 (c a )2 + (a + c 2b )2 ; 2 tan 2a = b d c d (.) et II = d r (.) I + II 2 et r= I II 2 (.)

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(.)

soit :

(.)

Rosette Langle des directions (a, b) et (b, c) est , donc les relations (.), (.) et (.) scrivent maintenant : a = I + II I II + cos 2a 2 2 + 2 b = I II + I II cos 2a + 2 2 3 I + II I II 4 c = + cos 2a + 2 2 3

(.)

. Reprsentation de Mohr soit : I + II I II + cos 2a 2 2 I + II I II 1 3 2a + sin 2a b = 2 2 2 2 I + II I II 1 3 c = + cos 2a + sin 2a 2 2 2 2 a = et on dduit : a + b + c 3 1 (2a b c )2 + 3(c b )2 r= 3 3 c b tan 2a = 3 a d d=

(.)

(.)

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Contraintes dans un milieu continu. quilibre dun domaine solidecel-00594957, version 1 - 22 May 2011.. Bilan de forcesAu sein dun solide homogne, isolons par la pense un domaine de volume V et de frontire S. Ce domaine (D) peut tre sollicit par deux types de forces : les forces de volume qui sexercent sur toutes les particules de (D). Ce sont des actions distance. Si dV est un domaine lmentaire de (D) centr au point M, la force lmentaire volumique peut scrire : dFv (M) = fv (M)(M) dV (.)

o fv est un vecteur densit de force et (M), la masse volumique locale. La norme de dFV (M) tend vers zro comme dV ; si on considre une dimension caractristique du volume lmentaire comme un inniment petit du premier ordre, dFV (M) est donc un inniment petit dordre trois. les forces de surface qui sexercent uniquement sur les particules de la surface S frontire de V []. Elles reprsentent les actions de contact produites par le milieu environnant contigu S. Si dS est une surface lmentaire de S centre en M la force lmentaire surfacique peut scrire : dFS (M) = fs (M) dS (.)

o fs (M) a la dimension dune pression. La norme de dFs (M) tend vers zro comme dS(M) ; dFs (M) est donc un inniment petit dordre deux. R Si, parmi les forces surfaciques, il existe des forces ponctuelles ou descouples, de module ni, on ne peut videmment pas dnir de vecteur fs (M) pour ces eorts dits concentrs.[] Il peut sagir, par exemple, de la pression sur un corps immerg dans un uide.

. Contraintes dans un milieu continu

.. quations dquilibreConditions dquilibre dun solidePour quune position (S0 ) dun solide (S), dans un espace galilen, soit une position dquilibre, il faut et il sut que, au repos, le torseur des eorts extrieurs sur (S) plac dans la position (S0 ) soit le torseur nul. R Les conditions dquilibre dun solide (S) fournissent six quationsscalaires (trois dans le cas dun systme plan). Supposons que le torseur des eorts extrieurs soit la somme dun torseur deorts donns Td (S) et dun torseur deorts inconnus (de liaison) Tl (S), les conditions dquilibre du solide S scrivent alors : Td (S) + Tl (S) = (0, 0)

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autrement dit, six quations scalaires. Si le nombre dinconnues de liaison est gal six, ces six quations permettent de les calculer. Le solide est dit isostatique. Si le nombre dinconnues est suprieur six, le solide est dit hyperstatique.

Le solide considr tant suppos xe par rapport un repre galilen de rfrence, lquilibre statique du volume matriel V se traduit par les deux quations vectorielles : fS (M) dS + fV (M)(M) dV + Fi (Pi ) = 0 S V S

OM fS (M) dS +

i

(.)i

V

OM fV (M)(M) dV +

OPi Fi (Pi ) +

Cj = 0j

o S fS (M) dS reprsente les eorts rpartis sur la surface, V fV (M)(M) dV, les forces de volume, j Fi (Pi ) reprsente lensemble des eorts concentrs appliqus en certains points de la surface et j Cj , lensemble des moments concentrs appliqus en certains points de la surface.

. Notion de contraintes.. HypothsesLes dplacements du milieu sont faibles devant ses dimensions et les dformations sont des termes inniment petits du premier ordre voir chapitre . Il en rsulte que : leet des forces nest pas modi par les dplacements quelles provoquent ; le calcul des contraintes est eectu dans la conguration initiale du milieu et non dans ltat dform.

. Notion de contraintes

.. Vecteur contrainteSi un solide est en quilibre sous laction deorts extrieurs, il existe en un point courant M du solide des forces intrieures qui assurent la cohsion interne de ce solide. Ces eorts intrieurs sont appels contraintes. On peut mettre en vidence ces forces en divisant le solide en deux parties (I) et (II) par une surface plane Sc quelconque passant par M comme indiqu sur la gure .. Lquilibre du solide (SI ) (I) M dSc Sc

dF n (II)

Figure . Division par la pense dun solide en deux parties

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tant assur, toute partie de ce solide est elle-mme en quilibre. On admet que les actions de (II) sur (I) (ce sont des actions de contact) sont rparties de manire continue sur Sc . crivons lquilibre de la partie (I). La section Sc de (I) est munie dune normale unitaire n, extrieure (I). La partie (I) est en quilibre sous laction : des forces extrieures volumiques qui sexercent sur toutes les particules de (I) ainsi que des forces extrieures rparties ou concentres qui sexercent sur la surface SI du solide ; des forces surfaciques sur Sc reprsentant laction de (II) sur (I). Sur toute surface lmentaire dSc centre en M appartenant Sc , laction de (II) sur (I) peut tre dnie par le vecteur force lmentaire dF(M). Cette force lmentaire est une force extrieure dans les quations dquilibre de la partie (I) mais devient une force intrieure dans les quations dquilibre de la totalit du solide considr. On appelle vecteur contrainte en M, relativement la direction n, le vecteur : T(M, n) = lim dF(M) dSc 0 dSc (.)

Le vecteur contrainte est donc dni en un point du solide et sa dtermination dpend de lorientation de la surface lmentaire (ou facette) sur laquelle il sexerce. Il a la dimension dune pression et sexprime dans lunit lgale le Pascal (Pa = N/m2 ) ou lun de ses multiples le mgapascal (MPa).

.. Dcomposition du vecteur contrainteLe vecteur contrainte en M sur une facette dSc centre en M peut tre projet sur la normale n la facette et dans son plan.

. Contraintes dans un milieu continu On appelle contrainte normale sur dSc : n T(M, n) = T(M, n) n et contrainte tangentielle ou de cisaillement : M dSC = T(M, n) n = n (T(M, n) n) Il y a quelques cas particuliers intressants : si T n = = 0, la facette dSc est soumise un cisaillement pur ; si = 0, la facette est soumise une traction ou une compression pures. (.) (.)

Figure . Dcomposition du vecteur contraintes

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. tat de contrainte en un pointLtat de contrainte en un point M du solide sera parfaitement connu si, en ce point, et quelle que soit lorientation de la facette centre en M, on peut dterminer le vecteur contrainte T(M, n). e3 Montrons que la connaissance du vecteur C n contrainte sur trois facettes orthogonales deux deux, de sommet commun M, sut pour de2 terminer le vecteur contrainte sur une facette M dorientation quelconque (centre en M). B e1 Considrons un volume lmentaire tel que A le ttradre de la gure . o les sommets A, Figure . Volume lmentaire B et C sont susamment proches de M pour pouvoir supposer que le vecteur contrainte est constant sur chacune de ses quatre faces. Les trois facettes (MBC), (MAC) et (MAB) sont respectivement de normale extrieure e1 , e2 et e3 . Dcomposons le vecteur contrainte sur ces trois facettes en sa composante normale et sa composante tangentielle, elle-mme projete sur la base (e1 , e2 , e3 ), on obtient : T(M, e1 ) = T(M, e1 ) = (11 e1 + 21 e2 + 31 e3 ) T(M, e2 ) = T(M, e2 ) = (12 e1 + 22 e2 + 32 e3 ) T(M, e3 ) = T(M, e3 ) = (13 e1 + 23 e2 + 33 e3 ) La facette (ABC) est de normale extrieure n dont les cosinus directeurs sont , et . Soit S son aire. Celle des trois autres facettes sexprime en fonction de S et des cosinus directeurs de n ; on a SMBC = S, SMAC = S et SMAB = S. La premire des quations dquilibre du ttradre scrit : T(M, e1 )S + T(M, e2 )S + T(M, e3 )S + T(M, n)S + fV (M)VMABC = 0 (.)

(.)

. tat de contrainte en un point

La force volumique tant un inniment petit dordre suprieur celui des termes surfaciques, il vient, lorsque S tend vers zro : T(M, e1 )S + T(M, e2 )S + T(M, e3 )S + T(M, n)S = 0 do la proprit annonce : T(M, n) = T(M, e1 ) + T(M, e2 ) + T(M, e3 ) (.) (.)

Appelons X, Y et Z les composantes du vecteur contrainte sur la facette de normale extrieure n, on obtient, par projection de lquation dquilibre (.) : X = 11 + 12 + 13 Y = 21 + 22 + 23 (.) Z = 31 + 32 + 33 ou sous forme matricielle : 11 12 13 (M) = 21 22 23 31 32 33

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T(M, n) = (M)n

avec

(.)

Pour un point M x, n est un vecteur arbitraire et T(M, n) un vecteur indpendant de la base choisie, donc la matrice (M) est la matrice dun endomorphisme. Exemple Traction pure On considre le barreau de la gure . soumis un eort normal N. Le barreau est coup en deux parties (I) et (II) spares par une section droite Sc . En supposant la contrainte uniforme sur cette section de normale n e1 , la matrice des

11 N Sc (I) (II) e1

Figure . Essai de traction pure contraintes en M est : 11 (M) = 0 0 0 0 0 0 0 0

(.)

Le vecteur contrainte en M sur une facette de normale n, dangle avec e1 , est : T(M, n) = 11 n = 11 cos e1 (.)

. Contraintes dans un milieu continu

. Proprits de la matrice des contraintesRcrivons les quations dquilibre dun domaine de volume V et de surface frontire S : pour la rsultante : T(M, n) dS + fV (M)(M) dV = 0 (.)S V

pour le moment : OM T(M, n) dS + OM fV (M)(M) dV = 0S V

(.)

.. quations dquilibreDans lquation (.), lintgrale de surface peut tre transforme en une intgrale de volume laide de la formule dOstrogradski et devient : T(M, n) dS = (M)n dS = div (M) dV (.)S S V

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La premire quation dquilibre scrit alors : (div (M) + fV (M)(M)) dV = 0V

(.)

Cette quation devant tre vrie quel que soit le volume choisi, lintgrand doit tre nul, do : div (M) + fV (M)(M) = 0 M D (.)

sachant que div (M) = ij,j (M)ei pour i = 1, 2, 3, lquation vectorielle peut scrire : ij,j + f Vi = 0 i [1, 2, 3] (.)

ce qui conduit aux trois quations dquilibre au point M dans la base (e1 , e2 , e3 ) : 11 12 13 + + + f V1 = 0 x1 x2 x3 21 22 23 + + + f V2 = 0 x1 x2 x3 31 32 33 + + + f V3 = 0 x1 x2 x3 R Les quations dquilibre (.) peuvent aussi scrire en coordonnescylindriques : rr 1 r + + rr + rz + f Vr = 0 r r z r 1 + + 2r + z + f V = 0 r r z rz 1 z + + 2rz + zz + f Vz = 0 r r z

(.)

. Proprits de la matrice des contraintesavec : rr (M) = r zr r z rz z zz

.. Rciprocit des cisaillementsEectuons maintenant la mme opration sur lquation (.) de faon nous ramener une seule intgrale de volume. En posant T(M, n) = ij nj ei , ou pour une composante k quelconque, Tk = kl nl , lintgrale de surface devient : OM T(M, n) dS = ijk xj Tk ei dS = ei ijk xj kl nl dS S S S (.) ijk (xj kl ),l dV = ei ijk (xj,l kl + xj kl,l ) dV = eiV V

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mais xj,l kl = jl kl = kj , do : OM T(M, n) dS = ei ijk (kj + xj kl,l ) dVS V

(.)

Dautre part : OM fV (M)(M) dV = ei ijk xj f Vk dVV V

(.)

En regroupant les deux intgrales de volume, lquation (.) devient : ei ijk (xj,l kl + xj (kl,l + f Vk )) dV = 0V

(.)

qui, compte tenu de lquation (.), se simplie pour donner : ijk xj,l kl dV = 0 eiV

(.)

mais xj,l kl = jl kl = kj , donc : ei ijk kj dV = 0V

(.)

Ces trois relations constituent une proprit des contraintes en un point M appele rciprocit des cisaillements. Par exemple, sur deux facettes orthogonales centres en M, de normales extrieures e1 et e2 et en supposant 13 nulle, les deux

Cette relation ne peut tre vraie pour toute forme de volume V, que si, en chaque point ijk kj = 0 soit en dveloppant, et en ne gardant que les termes non nuls : 123 32 + 132 23 = 0 32 = 23 (.) 231 13 + 213 31 = 0 13 = 31 312 21 + 321 12 = 0 21 = 12

e2 T(M, e2 )

. Contraintes dans un milieu continu e2 21 M 12 e1 e1 T(M, e1 )

M

Figure . Illustration de lgalit 12 = 21

vecteurs contraintes T(M, e1 ) et T(M, e2 ) sont tels que 12 = 21 , galit illustre sur la gure .. Plus gnralement, si t et n sont deux vecteurs unitaires orthogonaux quelconques, alors :

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n T(M, t) = t T(M, n)

(.)

La matrice des contraintes en un point quelconque M du milieu tudi est donc symtrique et prend la forme suivante dans une base quelconque (e1 , e2 , e3 ) : 11 12 13 [(M)] = 12 22 23 13 23 33

(.)

La gure . rappelle la signication des termes de la matrice (M). Le terme ij reprsente la composante dans la direction ei du vecteur contrainte sur la facette de normale ej . La connaissance de ltat de contrainte en un point M du milieu ncessite e3 33 31 11 e1 21 12 13

23 32 22 e2

Figure . Termes ij avec 12 = 21 , 13 = 31 et 32 = 23

donc la dtermination des six grandeurs 11 , 22 , 33 , 12 , 23 et 31 .

. Proprits de la matrice des contraintes

.. Contraintes principalesLa matrice des contraintes (M) tant symtrique, elle est diagonalisable. Il existe donc au moins un repre (M; eI eII eIII ) dans lequel la matrice scrit : I 0 (M) = II 0 III

(.)

Les valeurs propres de la matrice (M) sont les contraintes normales principales I, II et III en M, sexerant sur trois facettes orthogonales deux deux, dont les directions des normales (appeles directions principales des contraintes) sont dnies par les vecteurs propres associs aux valeurs propres. Chaque facette dont la normale est colinaire une direction principale ne subit donc aucun cisaillement et travaille uniquement en traction ou compression suivant le signe de la contrainte normale principale associe.

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.. Conditions aux limitesEn un point M de (S), frontire du domaine de normale extrieure n, le vecteur contrainte T(M, n) est gal la rpartition surfacique fs (M) : T(M, n) = n = fs (M) (.)

.. Cas particuliersIl existe quelques cas particuliers de rpartition des contraintes : tat non contraint : les trois contraintes principales sont nulles, le vecteur contrainte T(M, n) est nul quelle que soit lorientation de la facette centre en M ; tat anti-plan : deux des trois contraintes principales sont nulles ; tat plan : une des trois contraintes principales est nulle ; tat isotrope : les trois contraintes principales sont gales ; tat axisymtrique : deux des trois contraintes principales sont gales.

.. Invariants scalairesLquation caractristique issue de det((M) I) = 0 scrit, aprs dveloppement :2 2 2 3 (11 +22 +33 )2 (11 22 +22 33 +33 11 12 23 31 )det (M) = 0 (.)

or les contraintes normales principales ne dpendent que de ltat de contrainte au point M, ce qui signie que les racines de lquation caractristique ne dpendent pas de la base dans laquelle est exprime (M) ou encore que les coecients de lquation caractristique sont invariants. On peut donc dnir (de la mme faon

. Contraintes dans un milieu continu

que pour les dformations) trois invariants scalaires : S1 = 11 + 22 + 33 = I + II + III2 2 2 S2 = 11 22 + 22 33 + 33 11 12 23 31 = I II + II III + III I

(.)

S3 = det((M)) = I II III

.. Dcomposition en parties sphrique et dviatoirePosons : (M) = S1 I + D (M) 3 (.)

Le terme D (M) est appel partie dviatoire de (M), elle est de trace nulle et a mmes directions propres que (M) ; les valeurs propres valent :

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I

S1 ; 3

II

S1 ; 3

III

S1 3

(.)

Le terme S (M) = S1 I est appel partie sphrique de (M), elle a mme trace que 3 (M), trois valeurs propres gales S1 /3 et admet donc toute direction comme direction propre. Il sensuit que la partie du vecteur contrainte T(M, n) due S (M) est normale la facette et que son module ne dpend pas de n (valeurs propres confondues), et dautre part que la partie dviatoire D (M) est seule responsable du cisaillement et de la dirence de avec S1 /3.

. Reprsentation gomtrique des contraintesn t M T(M, n) On reprsente le vecteur contrainte T(M, n) en un point M, dans un plan contenant M et dni par les axes n et t, supports respectivement de la composante normale et de la composante tangentielle du vecteur contrainte T(M, n) = n + t. Le vecteur t est tel que : Si n nappartient pas un plan principal, alors = t et = T2 2 ; Si n appartient au plan principal orthogonal eI alors le triplet (t, n, eI ) est une base di-

Figure . Vecteur T(M, n)

Dans la base principale des contraintes (M; eI eII eIII ), le vecteur contraintes T(M, n) a pour expression : T(M, n) = nI I eI + nII II eII + nIII III eIII (.)

recte et = T(M, n) t.

. Reprsentation gomtrique des contraintes

o nI , nII et nIII sont les cosinus directeur de n dans la base principale. On en dduit immdiatement que :2 2 2 T2 (M, n) = 2 + 2 = n2 I + n2 II + n2 III I II III

(.)

et enn : = T(M, n) n = nI I + nII II + nIII III avec n2 + n2 + n2 = 1. De ces trois quations aux trois inconnues n2 , on tire : I II III J n2 = I 2 + 2 (II + III ) + II III (I II )(I III ) 2 + 2 ( + ) + I III I III n2 = II (II I )(II III ) 2 + 2 (I + II ) + I II n2 = III (III I )(III II ) II III , pour raliser n2 J 0 0 0 (.) 0, il faut donc vrier : (.)

(.)

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En supposant I

2 + 2 (II + III ) + II III 2 + 2 (I + III ) + I III 2 + 2 (I + II ) + I II

Lextrmit du vecteur contrainte dans le plan (, ) ne peut donc appartenir qu la zone grise limite par les trois cercles de III II I Mohr de diamtres I II , II III et I III . La reprsentation dans le plan de Mohr de lextrmit du vecteur contrainte sur une facette dorientation quelconque par rapport la base principale nest pas particulire- Figure . Vecteur contrainte ment simple. Nous nous limiterons dans la sur une facette dorientation quelconque dans le plan de Mohr suite au trac dans le plan de Mohr de ltat de contrainte sur une facette dont la normale est orthogonale une des directions principales. Supposons, par exemple, que la facette a sa normale orthogonale eI . Dans ce cas nI est nul et la premire inquation devient une quation. Lextrmit du vecteur contrainte appartient donc au cercle de diamtre II III , et de centre C( II +III , 0). En gnral, le problme se pose ainsi : tra2 cer les cercles de Mohr relatifs ltat de contrainte en M reprsent par la matrice : I 0 0 (M) = 0 22 32 0 23 33

(.)

connue dans une base (eI , e2 , e3 ) dont une des directions de la base est principale.

. Contraintes dans un milieu continu

Convention de Mohr Pour chaque facette dont la normale est orthogonale une direction principale, on dnit une base directe (t, n, eI ). Dans le plan de Mohr, T(M, n) sera reprsent par : = n T(M, n) et = t T(M, n) e2 = n e3 22 32 M 33 23 (.)

e3

T(M, e2 )

T(M, e3 )

e2 = n

.e1

t

.e1

M

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(a) = 22 , = 32

(b) = 33 , = 23

Figure . Vecteur contrainte dans une base locale

do :

Sur une facette de normale n quelconque faisant un angle avec e2 , le vecteur contrainte T(M, n) de composantes et est donn par : I 0 0 0 0 cos = cos + sin 0 22 T(M, n) = (.) 22 23 23 0 23 33 sin 23 cos + 33 sin = t T(M, n) = 22 sin cos + 23 sin2 23 cos2 33 sin cos = n T(M, n) = 22 cos2 + 223 sin cos + 33 sin2 (.)

avec t = n eI = sin e2 cos e3 , soit, en passant larc double : 22 + 33 22 33 + cos 2 + 23 sin 2 2 2 33 = 22 sin 2 23 cos 2 2 = (.)

On obtient lquation du cercle de Mohr dans le plan principal (e2 , e3 ). La connaissance des deux vecteurs, T(M, e2 ) et T(M, e3 ) indiqus sur la gure . sut pour tracer le cercle reprsentant ltat de contrainte sur toute facette centre en M et de normale orthogonale eI . Les extrmits des deux vecteurs sont des points diamtralement opposs du cercle. Ce cercle est centr sur laxe des abscisse (22 + 33 )/2 et son rayon vaut : R= 22 33 22 2 + 23

(.)

. Reprsentation gomtrique des contraintes 32 III T(M, e3 ) 33 22 II I

23

T(M, e2 )

Figure . Direntes congurations du cercle de Mohr Exemple On scrit : 1 (M) = 0 2 considre ltat de contrainte en M, dont la matrice dans la base (e1 e2 e3 ) 0 2 2 0 0 5

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(les composantes sont en hbar)

(.)

Il a pour reprsentation dans le plan de Mohr de la gure .. On trouve III = 3 + 2 2 = 5,8 hbar, I = 3 2 2 0,171 hbar, II = 2 hbar et max = 2,5 + 2 = 3,9 hbar. On rappelle que 1 hbar = 10 MPa.

. Contraintes dans un milieu continu

II n 3 III

2 3 IIII t

II

I

(a)

(b)

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II

2 1

n

III II I

1

II

I

It(c) (d)

II

IIIt

I

II 2 2 (f)

III

2

I n(e)

Figure . Reprsentation dans le plan de Mohr de lextrmit du vecteur contrainte sur une facette dorientation quelconque

. Reprsentation gomtrique des contraintes

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max II M(e2 ) - I - - - - - Figure . Extrmit du vecteur contrainte sur une facette dorientation quelconque dans le plan de Mohr M(e3 ) III M(e1 )

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Relation de comportement en lastostatiqueBase sur lhypothse des petites perturbations, la thorie des dformations du chapitre a t dveloppe partir dune formulation linarise en fonction des composantes du gradient des dplacements. Cette premire linarit dite gomtrique a permis de scinder la transformation du milieu sous laction du champ de dplacement U en une dformation et une rotation reprsentes respectivement par les oprateurs ij et ij en tout point du milieu. En faisant lhypothse dun tat de contrainte indpendant de la rotation, ce dernier ne dpend plus que de ltat de dformation ij . Lorsque les dformations nexcdent pas une valeur de lordre de %, on met en vidence un deuxime type de linarit concernant les relations entre contraintes et dformations. Dans un domaine restreint, la relation entre contraintes et dformations est linaire : cest la linarit de comportement. Ces deux linarits vries simultanment sont lorigine du chapitre dtaillant llasticit linaire.

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. Coecients lastiquesLes solides sont caractriss par le fait que des dformations ne peuvent exister que si des contraintes sont, ou ont t, appliques. Si on se restreint aux matriaux mtalliques, dans un domaine limit en contraintes, les dformations sont rversibles, cest le domaine dlasticit. Pour des contraintes plus leves, des dformations irrversibles (plastiques) apparaissent. Enn, il existe un troisime phnomne extrmement important engendr par les sollicitations, cest lendommagement qui conduit la rupture. Les relations liant contraintes et dformations sont fondes sur lexprimentation et principalement sur les essais mcaniques de traction/compression et de torsion. Nous nous limitons ici aux essais mcaniques appliqus des matriaux isotropes. Signalons galement que les relations contraintes-dformations sont formules dans un cadre thermodynamique cohrent et en accord avec dirents principes de la physique.

. Relation de comportement en lastostatique

.. Essais mcaniques et caractristiques mcaniquesLobjet des essais mcaniques est dobtenir une relation entre contraintes et dformations. Le rve du praticien de lidentication serait un appareil ralis autour dun petit cube reprsentant llment de volume et permettant dappliquer indpendamment les six composantes du tenseur des contraintes ou les six composantes du tenseur des dformations. Dans la ralit, ce sont des machines de traction-compression ou des machines de traction-torsion ou plus rarement des machines dessais bidimensionnelles et tridimensionnelles. Ajoutons la possibilit de faire des essais en temprature et lon aura la panoplie complte de lexprimentateur en lois de comportement.

.. prouvettes dessaisDune faon gnrale, on appelle prouvette la pice qui permet disoler un lment de volume reprsentatif servant identier le comportement du matriau considr. Sa gomtrie est laboutissement dune rexion, issue dun certain nombre de critres. La norme europenne EN reprend la norme internationale ISO et xe les modalits dessai de traction pour les matriaux mtalliques comme celle indique sur la gure .. La principale Figure . prourgle est le respect de la taille du volume lmentaire revettes de traction prsentatif (V.E.R.). La dimension de llment de volume reprsentatif (V.E.R.) devra tre gale fois la dimension de lhtrognit lmentaire du matriau considr.

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.. Essai de traction simpleLa gure . reprsente une machine de traction et son dispositif dacquisition. Cette machine permet de caractriser le matriau considr en traction ou compression

Figure . Machine de traction M.T.S. avec son systme dacquisition

jusqu la phase ultime de la rupture. Durant lessai mcanique de traction, lprou-

. Coecients lastiques

vette est sollicite par une force cre par un vrin hydraulique. Durant lessai, on tudie comment varie la contrainte normale dans laxe de lprouvette 11 en fonction de la dformation normale axiale 11 . Dans le cas dune prouvette constitue dun matriau homogne isotrope, on peut dterminer le module dYoung E et le coecient de Poisson du matriau considr. Ces deux coecients caractrisent le matriau dans son domaine dlasticit.

.. Mesure de la dformationOn utilise un extensomtre mcanique ou optique qui mesure le dplacement relatif de deux repres distants dune longueur L0 tracs sur lprouvette. Au dpart, la longueur entre les deux repres est L0 , aprs sollicitation de lprouvette la longueur entre les deux repres devient L. La dformation 11 dans laxe de lprouvette est la quantit scalaire suivante :

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11 =

L L0 L0

(.)

Un autre moyen pour la mesure de dformation est la jauge de dformation l rsistant colle sur lprouvette dessai. La jauge se dforme de manire proportionnelle lprouvette. La jauge ne peut pas tre dcolle pour une autre utilisation.

.. Mesure de la contrainteLa contrainte est inaccessible la mesure directe. Un systme dynamomtrique permet dobtenir la force F cre par la machine dessai. La contrainte axiale uniformment rpartie dans la section S de lprouvette est dnie par : 11 = F S (.)

Courbe dcrouissageLa courbe dcrouissage reprsente la contrainte axiale 11 en fonction de la dformation axiale 11 . Elle est le rsultat de lessai de traction ou de compression simple. La gure . reprsente la courbe dcrouissage pour dirents matriaux. 11 11 e e IJ 11 11 11 IJ 11 e IJ

Figure . Courbes dcrouissage obtenues avec une machine de traction

. Relation de comportement en lastostatique

Domaine dlasticitTant que la contrainte reste infrieure une certaine valeur e , le phnomne de dformation ne met en jeu que des mouvements relatifs datomes rversibles et linaires par rapport la contrainte. On dnit : E, le module dYoung () qui exprime la raideur de lprouvette ; , le coecient de Poisson. Une jauge place normalement laxe de traction, mesure la dformation de contraction transversale. Son rapport avec la dformation longitudinale est constant et permet de dnir le coecient de Poisson : = 22 11 (.)

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On peut montrer que dans le cas des matriaux isotropes, seuls deux coecients sont ncessaires pour caractriser le comportement du matriau dans le domaine lastique. Certaines valeurs sont listes dans le tableau ..matriaux acier XC acier inoxydable A T/ bre carbone et rsine poxy duralumin AUG bton bois (sens bre) rsine poxy polymre araldite caoutchouc E (MPa) , , , , , , , , , , , T (C)

Dans le domaine dlasticit |11 | e , la loi dlasticit unidimensionnelle est dnie, dans la base (e1 , e2 , e3 ), par : 11 0 0 11 0 0 11 0 0 0 ; = 0 ; = 11 = (.) 0 11 E 0 0 11 0 0 0

Tableau . Caractristiques de quelques matriaux

.. Limite dlasticitLes mcanismes responsables des non linarits de la courbe dcrouissage sont dpendants des matriaux. Les propos suivants sont relatifs aux matriaux mtalliques. partir de e , il apparat des dformations permanentes ou plastiques dues des dplacements de couches datomes par glissements. Les dformations lastiques e continuent dexister lchelle des atomes, les dformations plastiques prennent

. Essai de torsion

naissance lchelle plus grande des assemblages datomes ou plutt des dfauts dempilement des atomes. Au lieu dtre bien organiss en maille gomtrique, les mtaux contiennent des lignes de dfauts dempilement dues aux champs lectromagntiques locaux irrguliers, les dislocations. Lors de sollicitations lasto-plastiques du matriau, la dformation totale est = e + p . Si ces dislocations nexistaient pas, les mtaux seraient environ cent fois plus rsistants mais on ne pourrait pas les mettre en formes, ils seraient lastiques mouvement relatif datome et fragiles dcohsion des atomes. Ces dislocations permettent le glissement des couches datomes dans des plans. Les dformations plastiques saccompagnent dune consolidation du matriau, cest le phnomne dcrouissage. Hors du domaine dlasticit, la courbe est non linaire et la contrainte monotone croissante. Cette courbe est la caractristique de plasticit du matriau.

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.. Endommagement et ruptureLessai de traction se poursuivant, des micro-cavits ou micro-ssures samorcent par dcohsion datomes au voisinage de dfauts ou impurets l o les sollicitations extrieures crent des concentrations de contraintes. Cest le phnomne dendommagement. Il se situe une chelle plus grande que la plasticit, lchelle des cristaux (/ / mm). Des micro-ssures se rejoignent pour former une macro ssure qui se propage jusqu rupture de lprouvette en deux parties pour la contrainte ultime e ou la dformation rupture r . La dgradation d du matriau peut tre mise en vidence par le changement du module dYoung lors du chargement : d = 1 E E (.)

On distingue classiquement lendommagement fragile qui conduit la rupture sans dformation plastique apprciable (bton), lendommagement ductile qui saccompagne de grandes dformations plastiques (aciers faiblement allis), lendommagement de fatigue qui est provoqu par la rptition de sollicitations durant un grand nombre de cycles.

. Essai de torsionDans le cas des matriaux isotropes, cet essai est utilis pour dterminer le module de cisaillement du matriau considr. Lprouvette est rigidement maintenue une extrmit et sollicite sur lautre extrmit par un couple appliqu perpendiculairement laxe du barreau. La gure . reprsente un essai de torsion. Le rapport de la contrainte de cisaillement la dformation de cisaillement reprsente le module dlasticit de cisaillement. Si on dveloppe en plan une surface cylindrique de rayon r de lprouvette en dcoupant cette surface suivant une gnratrice dforme,

. Relation de comportement en lastostatique

analogue celle tudie pour introduire le cisaillement. La distorsion angulaire est reli la contrainte tangentielle par la loi de Hooke : G= avec G= E 2(1 + ) (.)

On constate que : = r L avec = L (.)

avec , angle unitaire de torsion. Lexpression de la contrainte est = Gr. r T e3 e1 e2

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21

L

T

L

2r(a) (b) (c)

Figure . Essai de Torsion

.. Loi dlasticit linaire tridimensionnelleTant que la contrainte reste infrieure la limite dlasticit caractrise par , les dformations sont rversibles et le plus souvent linaires. La loi de Hooke () traduit ces proprits dans le cas de sollicitations unidimensionnelles tendues plus tard aux cas tridimensionnels. La loi de Hooke sapplique tous les solides dans leur domaine dlasticit pour rendre compte de leur dformation lastique qui ne dpassent jamais 0, 2%, 0, 5% ou au plus % (sauf le caoutchouc). Un matriau est isotrope sil possde les mmes proprits mcaniques lastiques dans toutes les directions en un point quelconque du corps. Un matriau isotrope est caractris par deux constantes lastiques indpendantes. Lorsque le matriau ne prsente pas une forme quelconque de symtrie lastique, il est dit anisotrope. Un matriau anisotrope est caractris par constantes lastiques indpendantes. Lorsquun matriau possde trois plans perpendiculaires de symtrie lastique, il est dit orthotrope (neuf constantes lastiques indpendantes). Un matriau est dit lastique linaire sil existe une relation linaire bi-univoque entre le tenseur des contraintes et le tenseur des dformations : ij = Cijkl kl et ij = Sijkl kl (.)

. Essai de torsion

o les tenseurs des modules Cijkl et des complaisances Sijkl dlasticit sont inverses lun de lautre. Le respect des symtries matrielles impose : Cijkl = Cjikl car est symtrique Sijkl = Sijlk car est symtrique (.)

Le tenseur des modules est donc dni par composantes indpendantes. La convexit de lnergie libre impose la relation suivante : Cijkl = Cklij (.)

Le tenseur des modules Cijkl est donc compos de constantes lastiques indpendantes pour un matriau anisotrope.

.. Matriaux isotropes et loi de Hooke

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Un matriau pour lequel les composantes du tenseur Cijkl sont identiques dans toutes les directions en un point quelconque est fonction de deux paramtres et est dit isotrope. Le tenseur des modules se dcompose sous la forme suivante : Cijkl = ( ik jl + il jk ) + ij kl (.)

Les coecients et reprsentent les coecients de Lam. Le tenseur des complaisances Sijkl dlasticit scrit aussi en fonction du module dYoung et du coecient de Poisson. En fonction des coecients de Lam et ou des constantes dlasticit E et , les relations contraintes dformations scrivent : ij = 2ij + kk ij soit : 11 = ( + 2)11 + (22 + 33 ) 22 = ( + 2)22 + (11 + 33 ) 33 = ( + 2)33 + (11 + 22 ) ou : 11 = 1 ( (22 + 33 )) E 11 1 22 = (22 (33 + 11 )) E 1 33 = (33 (11 + 22 )) E 12 3 = G G 23 1 23 = = G G 31 2 = 31 = G G 12 = et (.) et par inversion ij = 1+ E ij E kk ij (.)

(.)

Les relations entre les coecients et et le module dYoung et le coecient de Poisson sont : = E ; 2(1 + ) = E (1 + )(1 2) (.)

. Relation de comportement en lastostatique

.. Cas particulierstat de dformations planesUn tat de dformations planes, est caractris par un champ des dplacements bidimensionnel (composantes non nulles suivant e1 et e2 ) et tel que 33 = 13 = 23 = 0. Dans ces conditions : 1 11 = (11 (22 + 33 )) E 1 (.) 22 = (22 (33 + 11 )) E 12 = 12 = 3 G G et 33 = (11 + 22 ). Les coecients de Lam sont dnis par la relation (.).

tat de Contraintes planes

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Un tat de contraintes planes, est caractris par un champ des dplacements bidimensionnel (composantes non nulles suivant e1 et e2 ) et tel que 33 = 13 = 23 = 0. Dans ces conditions : 1 1 11 = (11 22 ); 22 = (22 11 ); 12 = 3 ; 33 = ( + ) (.) E E G E 11 22 Dans ce cas, les coecients de Lam deviennent : E E = ; = (.) 2) (1 + )(1 2) 2(1 +

. Critres limites de dimensionnementLes critres limites de dimensionnement, ou critres de rupture, sont utiliss lorsque lon cherche concevoir une pice, pour sassurer que celle-ci est capable de rsister aux sollicitations quon lui fait subir. Ils reposent sur lhypothse dun comportement lastique fragile. Ils sont en gnral dduits des critres de limite dlasticit utiliss notamment pour lanalyse du comportement en plasticit des matriaux mtalliques. Dans le cas unidimensionnel (traction) cette vrication se rduit assurer que |11 | e avec e , la limite lastique en traction. Dans le cas tridimensionnel, il faut vrier un critre de limite dlasticit qui scrit : f () e (.)

o f () est une fonction relle, la fonction seuil lastique. Il existe un grand nombre de critres, certains sont valables pour des matriaux isotropes fragiles (fontes, bton), dautres pour des matriaux ductiles (alliages cuivreux, alliages daluminium, aciers doux). Il nexiste pas de critres universels valables pour tous les matriaux.

.. Critre de CoulombCe critre est dni par une relation linaire entre la contrainte normale et le cisaillement. Il est applicable aux sols mais pas aux mtaux.

. Critres limites de dimensionnement plastique lastique plastique lastique

(a) sable

(b) argile

Figure . Critre de Coulomb

.. Critre de TrescaCe critre sapplique plutt aux matriaux ductiles. Des essais sur des matriaux ductiles conrment que le dbut de la plastication en traction a lieu suivant des plans inclins par rapport la direction de chargement. Cette direction correspond un tat de contrainte de cisaillement maximum et e est la contrainte tangentielle de cisaillement : 1 (.) sup |I III | e ou sup |I III | e 2 e

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III

I

Figure . Critre de Tresca

.. Critre de Mohr-CacquotSi on considre une prouvette et son tat de contrainte en un point quelconque (M) associ un chargement donn, si lon trace pour chaque chargement le plus grand cercle de Mohr correspondant au passage dans le domaine plastique, on constate quils admettent une enveloppe suppose unique ne dpendant que du matriau : la courbe intrinsque. Cest une courbe souvent ouverte obtenue partir dessais simples : traction, compression cisaillement. On peut approcher la courbe intrinsque par deux droites tangentes aux cercles de Mohr de traction pure et de compression pure.

plastique point de dcohsion lastique

. Relation de comportement en lastostatique

(a) sable

(b) argile

Figure . Critre de Mohr-Cacquot

R Si la limite lastique en traction e est gale la limite lastique en compression e on retrouve le critre de Tresca.

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On peut galement approcher la courbe intrinsque par une parabole. Dans le plan (, ), lquation gnrale est : = A 2 + B (.)

les constantes A et B dpendent du matriau. Si on choisit la parabole tangente aux cercles de Mohr de traction et compression, on a : = 2 2 e e e + e 8(e + e )

(.)

et le critre de plasticit scrit : (I III )2 (e + e )(I + III ) e e

(.)

.. Critre de Von MisesCe critre sapplique galement aux matriaux ductiles et met en uvre lnergie de distorsion. Notant quun tat de contrainte hydrostatique change seulement le volume et non la forme du matriau, le critre scrit : 3 Tr(D D ) 2 e avec 1 Dij = ij Tr() ij 3 (.)

nergie de dformation dun milieu continu lastique

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. nergie de dformation.. Expression gnrale et relation avec le travail des forcesIsolons un corps (D) lastique auquel nous ferons subir une transformation quasi statique et sans change de chaleur le faisant passer dun tat initial (i) un tat nal (f ) sous laction de forces extrieures directement appliques. Si on note : dQ, la quantit de chaleur fournie (nulle ici) ; dTe , le travail des forces extrieures ; dTi , le travail des forces intrieures ; dEc , la variation dnergie cintique (nulle ici) ; dU, la variation dnergie interne,

alors, lquation de conservation qui scrit : dQ + dTe = dEc + dU et le thorme de lnergie cintique : dEc = dTe + dTi (.) (.)

vont nous permettre dexprimer le travail des forces intrieures en ngligeant la quantit de chaleur fournie et la variation dnergie cintique : dTe + dU dTi (.)

Le travail des forces extrieures appliques un milieu continu se dformant trs lentement en restant une temprature voisine de lambiante est gal sa variation dnergie interne (potentiel lastique). Il est gal et oppos au travail des forces intrieures (forces rsistantes). Il ne dpend que de ltat nal et de ltat initial tant donn la rversibilit de la transformation.

. nergie de dformation dun milieu continu lastique

.. Potentiel lastique en fonction des contraintes et dformationsCompte tenu de la loi de comportement linaire, lnergie de dformation : ne dpend que de ltat initial et de ltat nal ; peut sexprimer partir des paramtres de la dformation. Ceux de la translation et de la rotation ninterviennent pas ; est un scalaire, nous pourrons travailler avec nimporte quels axes, en particulier avec des axes locaux et principaux. On peut par un raisonnement simple, calculer lnergie de dformation en fonction des contraintes et des dformations et ramener le rsultat une expression en fonction des seules contraintes ou des seules dformations en utilisant la loi de comportement. Lnergie de dformation sexprime en fonction des sollicitations et des dplacements. En un point courant dun solide, considrons un paralllpipde lmentaire principal, de cts dXI , dXII , dXIII . Les faces sont soumises respectivement des contraintes principales qui prennent pour valeur I , II , III en n de transformation. Par hypothse de comportement lastique, au cours de la transformation les forces extrieures et les contraintes qui en rsultent voluent progressivement. Supposons qu tout instant, lors de leur application, les forces extrieures soient proportionnelles un paramtre voluant lentement, et tel que partant dune valeur nulle avant application, il atteigne lunit en n de dformation. un instant courant les contraintes principales valent I , II et III . Les dformations qui en rsultent sont I , II et III . On peut reconstituer le processus de dformation en imaginant quau voisinage dune valeur courante si lon donne une variation d, les contraintes ont pour valeurs ( + d)I , ( + d)II , ( + d)III . Les forces correspondantes appliques sur chaque face, vont travailler dans des dplacements lmentaires, soit d I dX I , d II dX II , d III dX III . Le travail fournir pour obtenir la dformation est la somme des travaux eectus par les contraintes rparties respectivement sur les facettes perpendiculaires XI , XII , XIII lorsque passe de 0 1 [] : T I dXII dXIII I dXI dW(4) = II dXI dXIII II dXII d III dXI dXII III dXIII1 0

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(.)

Pour un volume lmentaire dv = dXI dXII dXIII on a [] : dW(3) =1

d I I + II II + III III dXI dXII dXIII

avec0

d =

1 2

(.)

donc par unit de volume : dW 1 = I I + II II + III III dv 2[] Dans lquation (.), lexposant (4) indique que dW est une direntielle du quatrime ordre [] Dans lquation (.), lexposant (3) indique que dW est une direntielle du troisime ordre

(.)

. Potentiel lastique

Lnergie est linvariant linaire du tenseur associ , cest--dire dans des axes quelconques : dW 1 1 = trace() = (11 11 + 22 22 + 33 33 ) + 12 12 + 13 13 + 23 23 dv 2 2 (.)

En utilisant la loi de Hooke pour liminer les dformations ou les contraintes, on remarque que : lnergie de dformation sexprime en fonction des contraintes seules : dW 1 2 = I () 2(1 + )I2 () dv 2E 1 avec (cf chapitre ) : I1 () = I + II + III = 11 + 22 + 332 2 2 I2 () = 11 22 + 22 33 + 33 11 12 13 23

(.)

(.)

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lnergie de dformation sexprime en fonction des dformations seules : dW 1 = ( + 2)I2 () 4I2 () 1 dv 2 avec (chapitre ) : I1 () = 11 + 22 + 33 I2 () = 11 12 + 22 33 + 33 11 2 2 2 12 31 23 et les coecients de Lam (chapitre ) : = E ; (1 + )(1 2) = E 2(1 + ) (.) (.) (.)

Lnergie totale de dformation dun solide est gale : W= 1 2 11 11 + 22 22 + 33 33 + 2(12 12 + 23 23 + 13 13 ) dv (.)

D

autrement dit : W= avec : = {11 , 22 , 33 , 12 , 23 , 31 } = {11 , 22 , 33 , 12 , 23 , 31 } vecteur contrainte vecteur dformation (.) 1 2D

t dv

(.)

. Potentiel lastique.. Travail des sollicitations extrieuresSoit un systme matriel lastique initialement en quilibre. Appliquons lui progressivement un systme de sollicitations (forces et couples) lamenant jusqu un nouvel

. nergie de dformation dun milieu continu lastique

tat dquilibre. Les forces extrieures (charges et forces de liaison) qui constituent tout instant un systme en quilibre, eectuent un travail non nul indpendant du repre choisi. Ce travail se retrouve bien sr intgralement en travail des forces lastiques puisque nous avons suppos que pour toutes ces transformations, il ny avait pas dnergie cintique, dnergie dissipe sous forme de chaleur et que nous supposerons toujours que les ractions des liaisons intrieures ne travaillent pas.

.. nergie interne en fonction des forces extrieuresFj Mj M i Mi M j nj

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ni

Fi

Figure . Application des eorts extrieurs

Soient Mi et Mj deux points courants du solide o sont appliques les forces Fi , Fj de supports dnis respectivement par les vecteurs unitaires ni , nj , comme indique sur la gure .. Nous noterons vi la composante sur ni , du dplacement de Mi . On lappelle che. La linarit des dformations en fonction des eorts nous permet dobtenir les dplacements en un point Mi sous la forme gnrale : vi =j

Aij Fj

(.)

Les coecients Aij reprsentent la che cre en Mi par une force unit applique en Mj . On les appelle coecients dinuence. Considrons un paramtre dapplication progressive des eorts. Au voisinage de pour une volution d : Fi passe de Fi (1 + d)Fi ; vi passe de vi (1 + d)vi , do un accroissement du dplacement suivant ni de dvi . Le travail lmentaire correspondant est dT = Fi vi d et pour toute la transformation et pour toutes les forces : 1 1 T= Fi vi = Aij Fi Fj (.) 2 2i j i

donc : T=D

t dV =

1 2

Aij Fi Fjj i

(.)

. Potentiel lastique R Les eorts extrieurs peuvent tre des forces ou des couples ; avec cesderniers, les dplacements sont dnis, par analogie aux ches, de la manire suivante : en un point courant Mi , le vecteur rotation local d toutes les forces et tous les couples appliqus donne la rotation i , analogue de vi , par projection sur laxe du moment du couple appliqu en Mi : i =j

Bij j

T=

1 2

i i =i

1 2

Bij i ji j

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lasticit linaireCe chapitre sintresse lvolution dun systme mcanique qui, partir dun tat initial non charg (les contraintes sont nulles en tout point), va atteindre un nouvel tat dquilibre sous laction de sollicitations extrieures. On propose de dterminer ce nouvel tat, la connaissance des contraintes dans le systme permettant lanalyse de sa tenue aux sollicitations, laide des critres vus prcdemment. Ltude est limite un systme constitu dun matriau homogne et isotrope, comportement lastique linaire [], subissant des dformations isothermes, sous laction de sollicitations extrieures appliques trs progressivement. La prsentation comprend le systme dquations rsoudre ainsi que des mthodes utiles la la recherche dune solution analytique, cur de la thorie de llasticit linaire. Il convient de prciser quune solution analytique nest accessible que dans des situations relativement simples, et que pour traiter un problme pratique, lingnieur doit en gnral avoir recours des mthodes numriques. Cependant, il est souvent possible dapprocher un problme complexe par un problme simpli, dont on connat la solution analytique, ce qui permet une analyse critique des rsultats obtenus par des mthodes numriques. Dautre part, la thorie de llasticit peut rsoudre une grande varit de problmes et est la base de thories simplies telle que la thorie des poutres utilise en Rsistance des Matriaux.

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. Position du problme.. quations de champsOn a vu, au chapitre , que les contraintes sont caractrises par six composantes, et rgies par trois quations dquilibre : div + f = 0 ce qui donne en coordonnes cartsiennes : ij,j + f i = 0[] Ce comportement suppose lhypothse des petits dplacements et des petites dformations.

(.)

(.)

. lasticit linaire

Il est vident que ces quations sont insusantes pour dterminer compltement les contraintes. Comme le suggre lexprience [], le matriau constitutif joue un rle dans la rponse du systme, il faut donc faire intervenir sa loi de comportement. Celle-ci scrit dans le cas dun matriau isotrope (chapitre ) : ij = kk ij + 2ij (.)

o et sont les coecients de Lam. Si on ajoute la relation dformations-dplacements, qui scrit en coordonnes cartsiennes : ij = 1 u + uj,i 2 i,j (.)

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on dispose de 3 + 6 + 6 = 15 quations de champs aux drives partielles pour 15 inconnues correspondant aux composantes des contraintes, des dformations et du dplacement. Ces quations poses sur le systme () sont compltes par des conditions aux limites portant sur la frontire . Dans la pratique, ces conditions aux limites permettent de xer les constantes dintgration qui apparaissent lors de lintgration des quations aux drives partielles.

.. Conditions aux limitesLes conditions aux limites font partie intgrante des donnes du problme et prcisent laction du milieu extrieur sur le contour du systme. Les conditions aux limites portent sur les dplacements ou les contraintes et en tout point de , on connat, dans trois directions orthogonales, la composante du dplacement ou du vecteur contrainte. Gnralement, on partitionne en = u avec u = et en imposant U = Ud sur u et T(M, n) = Td sur . On dit que sur u , les conditions aux limites portent sur les dplacements, alors que sur , elles portent sur les contraintes. On donne ci-dessous quelques exemples de conditions aux limites : . essai de traction sur une prouvette cylindrique dont la base a pour surface S, illustr sur la gure . : la frontire est lunion des bases du cylindre en x = 0 et x = l et de la surface latrale du cylindre Sl . En tout point de , le vecteur contrainte est connu ( u = ) : sur Sl : T(M, n) = 0 (condition de bord libre) ; en x = 0 : T(M, n) = F x avec n = e1 ; S en x = l : T(M, n) = F x avec n = e1 . S . solide x sur une partie de son contour u : U = 0 ; . solide en contact sans frottement avec un solide indformable : sur la surface de contact, on a : absence de frottement : e1 T(M, n) = e2 T(M, n) = 0 avec n = e3[] Il sagit, principalement, des essais de traction sur une prouvette en acier ou en aluminium.

. Position du problmeF S F S

e1 x=0 x=Figure . Essai de traction sur une prouvette cylindrique

contact persistant avec le solide indformable : e3 U = 0

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Sur ce dernier exemple, il apparat quen un point de , les conditions aux limites peuvent porter la fois sur les dplacements et les contraintes, mais que dans chaque direction, on connat soit la composante du vecteur contrainte, soit la composante du dplacement. Cette proprit est essentielle pour la dmonstration de lunicit de la solution dun problme dlasticit, on parle de problme rgulier ou bien pos.

e3 e2

Figure . Contact sans frottement

.. RcapitulatifLensemble des quations prcdentes constitue la formulation du problme dlasticit. Les donnes de ce problme sont : la gomtrie du systme ; la loi de comportement du matriau, soit les valeurs de et (ou E et ) ; les forces de masse ; les conditions aux limites. Le problme rsoudre scrit alors : trouver les champs U, [] et [] solutions de (en cartsiennes) : quations de champs : ij,j + f i = 0 ij = kk ij + 2ij 1 ij = (ui,j + uj,i ) 2 conditions aux limites o = u avec u = U = Ud sur u sur T(M, n) = Td (.a) (.b) (.c)

(.d) (.e)

. lasticit linaire

. RsolutionAvant daborder la rsolution des problmes dlasticit, il importe de sintresser aux problmes dexistence et dunicit de la solution. La question de lexistence de la solution dpasse le cadre de ce cours. On retiendra seulement que les donnes du problme doivent tre compatibles avec lquilibre global du systme. Cela signie que les donnes portant sur les forces de masse et les conditions aux limites doivent permettre la nullit du torseur des eorts extrieurs. Dans la pratique, ds lors que u nest pas vide et tel que lon ne peut avoir de mouvement densemble du solide, cette condition est automatiquement vrie. Dans le cas contraire, on doit vrier que le torseur des eorts extrieurs constitus des forces de masse et des eorts associs aux conditions aux limites portant sur les contraintes est nul []. Lunicit de la solution joue un rle fondamental dans la rsolution dun problme dlasticit. En eet, il nexiste pas de mthode gnrale pour rsoudre un problme. Ainsi, lapproche consiste proposer une solution puis vrier que toutes les quations du problme sont satisfaites. Le rsultat dunicit permet alors de conclure quon a obtenu la solution du problme. La linarit du problme entrane lunicit de la solution. Cette linarit exprime que pour un systme de gomtrie et de matriaux donns, si [] : (U1 , 1 , 1 ) est solution du problme de donnes (f1 , CL1 ) ; (U2 , 2 , 2 ) est solution du problme de donnes (f2 , CL2 ) ; alors le problme de donnes (1 f1 +2 f2 , 1 CL1+2 CL2) admet pour solution (1 U1 + 2 U2 , 1 1 +2 2 , 1 1 +2 2 ). Ce rsultat est encore appel principe de superposition. On peut alors montrer lunicit de la solution dun problme rgulier, en sappuyant sur le fait que lnergie de dformation lastique est une forme dnie positive. Nous admettrons ce rsultat ici. La notion dunicit de la solution mrite dtre prcise. En eet, la solution en contraintes et en dformations est eectivement unique, alors quen dplacement, elle est dnie ventuellement un dplacement de solide rigide prs (solution de (u) = 0), sauf si les conditions aux limites portant sur les dplacements permettent de dterminer compltement ce dplacement (dans le cas de lessai de traction, la solution en dplacement nest pas unique). On distingue deux approches pour la rsolution du problme, selon que la recherche de la solution est conduite en choisissant le champ de dplacement ou le champ de contraintes comme inconnue principale.

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.. Approche en dplacementCette mthode consiste choisir le champ de dplacement comme inconnue principale. Dans la pratique, on se donne une certaine forme pour ce champ, et on cherche vrier toutes les quations du problme. Ce champ doit satisfaire les conditions[] Il est possible de vrier cette condition sur lessai de traction dans lequel les forces de masse sont ngliges. [] Par la suite, les conditions aux limites seront dsignes par CL.

. Rsolution

aux limites en dplacement. Dautre part, partir de ce champ, on calcule sans dicult les dformations, puis les contraintes en utilisant la loi de comportement. On peut alors tudier si les quations dquilibre et les conditions aux limites portant sur les contraintes sont vries. Pour un matriau homogne, il est plus commode dexprimer directement les quations dquilibre en termes de dplacement. On obtient ainsi, en combinant les quations (.b) et (.c) du problme dlasticit : ij,j = kk,j ij + 2ij,j = kk,i + (ui,jj + uj,ij ) = kk,i + ui,jj + (uj,j ),i Or, on a kk = uk,k = uj,j , do les quations dquilibre en termes de dplacement, quations dites de Lam-Navier : ( + ) uk,k,i

(.)

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+ ui,kk + f i = 0

(.)

On pourra aussi utiliser ces quations sous la forme : ( + ) grad (div U) + u + f = 0 ou encore : ( + 2) grad(div U) rot (rot U) + f = 0 Si le champ de dplacement est irrotationnel, les quations se rduisent : ( + 2) grad(div U) + f = 0 (.) (.) (.)

ce qui implique que rot f = 0 et que f est de la forme f = grad d. Il sensuit quon obtient aprs intgration : ( + 2) div U + = cste Le processus de rsolution avec la mthode en dplacement est : postuler un champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites sur les dplacements ; vrier les quations de Lam-Navier ; vrier les conditions aux limites sur les contraintes. (.)

On conclut par unicit.

.. Approche en contraintesLa seconde mthode de rsolution consiste rechercher directement les contraintes. Le champ de contrainte doit vrier les conditions aux limites en contraintes et les quations dquilibre.

. lasticit linaire

Si tel est le cas, on pourra toujours lui associer une matrice en utilisant la loi de comportement sous sa forme inverse : 1+ ij kk ij (.) E E En revanche, on nest pas assur que cette matrice corresponde une matrice de dformations, cest--dire que lon puisse trouver un champ U tel que : ij = 1 u + uj,i (.) 2 i,j Ce problme a t abord dans le chapitre sur les dformations, o on a exprim les conditions ncessaires et susantes, dites de compatibilit des dformations, pour que le champ U existe. Ces six quations peuvent tre mises sous la forme : ij = ij + kk,ij jk,ik + ik,jk = 0 (.)

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En utilisant la loi de comportement, on peut exprimer ces relations en termes de contraintes de la faon suivante, sachant que x = x,mm : 1+ E ij E ll ij ou encore :,mm

+

1 2 1+ ll,ij jk,ik + ik,jk E E + + ll,jk ik = 0 E ll,ik jk

(.)

(1 + ) ij,mm ll,mm ij + ll,ij (1 + ) jk,ik + ik,jk = 0

(.)

Dans la pratique, on nutilise pas ces quations sous cette forme, on recombine avec les quations dquilibre. Dautre part, daprs la loi de comportement, on a : E 1 2 ll,mm et partir des quations de Lam-Navier, on tablit que : ll,mm = ( + ) uk,k,ii

(.)

+ ui,kk

,i

+ f i,i = 0

(.)

do lon tire que : ll,mm = et par suite : 1+ f 1 i,i On obtient alors les quations dites de Beltrami-Michell : ll,mm = ij,mm + (.) f i,i + 2 (.)

1 f l,l ij + + f j,i + f i,j = 0 (.) 1 1 + ll,ij Si le champ de contraintes propos vrie ces quations, on pourra alors intgrer le champ de dformations et obtenir le dplacement U dni un dplacement de solide rigide prs. Il restera alors satisfaire les conditions aux limites sur les dplacements. Le processus de rsolution est donc :

. Principe de Saint-Venant postuler un champ de contraintes ; vrier les conditions aux limites sur les contraintes ; vrier les quations dquilibre ; vrier les quations de Beltrami-Michell ; intgrer le champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites sur les dplacements.

On conclut par unicit. R Lorsque les forces de masse sont constantes, tout champ de contraintescon