Réalisé par

R. MARRAKHA. KHAYAR

Khayar-marrakh

Université Hassan-IIFaculté des sciences Aïn chock

Casablanca

Professeurs assistants - département de physique

sphériques

Les coordonnées cartésiennes

employées habituellement pour

représenter un point dans l'espace à

trois dimensions ne sont pas toujours

les plus appropriées. On retiendra deux

autres types de coordonnées pour

repérer un point ou décrire un champ

( scalaire ou vectoriel ) : les

coordonnées cylindriques et les

coordonnées sphériques.

Les coordonnées cartésiennes

employées habituellement pour

représenter un point dans l'espace à

trois dimensions ne sont pas toujours

les plus appropriées. On retiendra deux

autres types de coordonnées pour

repérer un point ou décrire un champ

( scalaire ou vectoriel ) : les

coordonnées cylindriques et les

coordonnées sphériques.

Khayar-marrakh

Pré requis :

Objectifs :

Au terme de ce travail le participant doit être capable de :

Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques

Grandeurs scalaires et vectorielles

Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte…

Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques

Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes

Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant

une symétrie sphérique

Coordonnées sphériques

Khayar-marrakh

y

x

z

Oy

x

z

O

Peut on repérer le point M dans le demi

plan constante par de nouvelles coordonnées ?

On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques.

CoordonnéesDomaine de

variation

Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r

Khayar-marrakh

y

x

z

O

z( , , )

z

Voici un point M dans l’espace.

r = OM ] 0 , + [

= ( Ox+, Om) [ 0 , 2 [

Ox+ le demi-axe positif

(origine des phases)

m

r = ( Oz+, OM) [ 0 , ]

Oz+ le demi-axe positif

(origine des phases)

r

Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , et .

Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques.

et l’angle .

Comment le repérer ?

Origine : le point O

Question :Réponse :

M

Considérons le triangle rectangle Om′m.

Khayar-marrakh

exprimons x et y en fonction de et

z

y

x

h ( r , )

P

P

y

x

z

M

m

Dans ce triangle on a :

cos z r

sin r

r sz co

r sin

Soient r, et les coordonnées du point M.

exprimons et z en fonction de ret

Considérons le triangle rectangle OO′M.

r

Dans le demi-plan P

z

O

O

z OO′

M

r

r cos

r sin

Dans ce triangle on a :

Dans le plan P ( Oxy )

m′

x

y

y

m

m′ x

O

cos x

sin y

osx c

iny s

cos

sin

r sin cos

r sin sin

Expressions de r, et en fonction de x , y et z.

Objectif : On cherche à exprimer x , y et z en fonction

de r , et

f ( r , )

g ( r , )

y

x tg

2 2

2

x y

z tg

2 2 2x y z r

Surfaces de Coordonnées

Deuxième surface de coordonnée

0 ( ret varient respectivement de 0 à + et de 0 à 2 )

Troisième surface de coordonnée

0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à )

Première surface de coordonnée

r =r0 (et varient respectivement de 0 à et de 0 à 2 )

Définition :

Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante.

Khayar-marrakh

Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon ro sin .

Pour = 2 , = , - et - :

Pour θ quelconque :

On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin i ( i = 2 , 3…)

1

Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et ?

Khayar-marrakh

L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon ro. [ 0 , 2[

Lorsque on fait varier θ de façon continue … Question : rr0

m

Réponse :

O

z

y

x

Si on fixe r( rr

Soit M un point de coordonnées r, et .

[ 0 , ]

Pour = :

Dans une rotation = 2…

Première surface de coordonnée r = ro

r0 sin θ1

r0 sin θ1

O'M

r0 sin θ2

r0 sin θ2

2

r0

Conclusion :

C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées

sphériques

La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère

de centre O et de rayon ro.

Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r1 sin . Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ?

Lorsque on fait varier r de façon continue …

Soit M un point de coordonnées r, et .

Réponse :

Khayar-marrakhz

L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sin θo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet .

On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons ri sin o ( i = 2 , 3…).

Si on fixe ( Pour r quelconque :

M

M

M

[ 0 , 2[

Question :

r

m

Oy

x

Pour r = r : Dans une rotation = 2…

Pour rr , r = r3 et r = r4 … r1

M

r2

r3

r4

z

] 0 , [

Deuxième surface de coordonnée = o

Conclusion :

La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet o.

Pour rr , r = r3 et r = r4 …

Dans une rotation = …

Khayar-marrakh

r2

2

r4

2

rr1

m

M

r1

2

r2

z

M

r3

M

r4

M

r3

2

O

Réponse :Si on fixe (

Pour r quelconque :

[ 0 , ]

Question :

] 0 , [

Pour r = r :

x

y

Conclusion :

La troisième surface de coordonnée décrite par le

point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz

pour frontière et faisant un angle 0 avec l’axe Ox+ .

Troisième surface de coordonnée = 0

Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r1 .

L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon infini demi-plan. On obtient des demi-cercles de centre O

et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …).

Soit M un point de coordonnées r, et .

Lorsque on fait varier r de façon continue …

Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ?

Khayar-marrakh

Axes de Coordonnées

Axe des

r = ro et =o

Axe des

r = ro et = o

Axe des r

= o et = o

Définition :

Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de

coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant

les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.

Khayar-marrakh

x

y

z

o

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des r

= = oet

Axe des r

On trace les deux surfaces de coordonnées:

r

Conclusion :

L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et

du demi-plan o; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est

appelée axe des r.

Khayar-marrakh

O

z

y

x

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des

Axe des

On trace les deux surfaces de coordonnées:

r = ro = oet

x

O

z

Conclusion :

L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro,

et du demi-plano; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est

porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des .

Khayar-marrakh

y

x

z

o

Axe des

r = ro = oet

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des

Conclusion :

L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro,

et du cône, de demi-angle au sommet o; forme une circonférence d’axe Oz. Ce

cercle est appelé axe des .

On trace les deux surfaces de coordonnées:

, et changent de direction et de sens, suivant la

position du

point M dans l’espace.

re

e

e

est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes

cylindrique et sphérique.

e

Khayar-marrakh

e

O′

Vecteurs unitaires

e

e

Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées.A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes.

eAxes des vecteurs unitaires

Pour un autre point M′

e

rr

er

M

e r

M ′

Conclusion :

sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes

des r, deset des dirigés dans le sens croissant des variables r,et .

re , e , e

z

O y

x

ayant le même sens que O r.

tangent à l’axe des et dans le sens de la

rotation tangent à l’axe des et

dans le sens de la rotation

re

r

e

Khayar-marrakh

zr sin coe e es

zcos e s ei e n

ee

Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique.

Etape 2 : passage au système cartésien.

Expressions de , et dans le système cartésien

z

M

ez

e

er

e

y

e

e

z

ez

P

y

O'e

M

er ee

z

x

O

x

O

z

r

er

er

rDans le demi-plan P

e

Procédure :

dans le système sphérique e

on a la configuration suivante :

et

dans le système cylindriquee

sont identiques

e

ez

e

er

e

e

e

Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien.

e e

x yee cos s n ei

x yesin cos e e

x zr y sin cos sin sin e e e os ec

Objectif :On cherche à exprimer , et dans le

système cartésien

er e e

Etape 2

Etape 1

Les des deux étapes donnent: résultat établi au diapositive 16(coordonnées

cylindriques)

x yee sin c eos

x y z cos cos cos sie e en e sin

O

z

y

xMM' = M2M' + M1M2 + MM1

Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire

dans ce système de coordonnées ? dl = MM'

r

r

d

r

MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M'

M2 M' =

Deuxième déplacement suivant l’axe des

Le déplacement élémentaire est le résultat

de trois déplacements :

de M à M'

Khayar-marrakh

MM1 =

M1 M2 =

M2 M' =

e

e

re

r sin d

r d

dr

Troisième déplacement suivant l’axe des r

d

M

Déplacement élémentaire

Soient M et M' deux points de l’espace.

Premier déplacement suivant l’axe des

de M vers M1MM1 =

r d drr sind

Question :Réponse :

de M1 vers M2

de M2 vers M'

N.B. : M’ est infiniment voisin de M.

e

e

re

M1 M2 =

M'

M1

M2

r sind

ou encore

M

r

M'

rdr

d

+ d

M M1

r

d

r

M1 M2

r

d

r

d

M2 M'

r

d

r + dr

d

O'

rd dr e r d e rsin d e ..............

Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des

y

x

z

O

suivi d’un autre suivant l’axe des ,

Surfaces élémentaires

r= constante

Un déplacement élémentaire MM’, sur la sphère r = constante définit un élément de surface .

On se trouve sur la

sphère derayon r.

dS = e

Λe

r d

dS

r2 sinddre

=

r sind

A retenir :

dS = r2 sindd

N.B. : M’ est infiniment voisin de M.

dS

on obtient un élément de surface dS

dr

dr sin

dS

M M’

Khayar-marrakh

Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des suivi d’un autre suivant l’axe des r,

= constante

Un déplacement élémentaire MM', sur la surface = constante, définit un élément de surface .

On se trouve sur la

surface latérale

du cône.

dS = e

Λ re

e

r sin drd=

M'M

r sind

dr

A retenir :

dS = r sindrd

N.B. : M’ est infiniment voisin de M.

dS

dS

dS

on obtient un élément de surface dS

z

O

x

y

Khayar-marrakh

Un déplacement élémentaire M M', sur la surface = constante, définit un élément de surface .

r drd

e

=

Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des suivi d’un autre suivant l’axe des r,

= constante

On se trouve sur

le demi-plan .

dS = re

Λ e

r d

dS dr

A retenir :

dS = r drd

MM'

dS

z

O

x

y

N.B. : M' est infiniment voisin de M.

dS

dSon obtient un élément de surface

et effectuons des déplacements élémentaires

le long de ces axes.

On obtient le volume élémentaire d

Khayar-marrakh

r d

r

d

= r2 sindrdd

Volume élémentaire

Soient M et M' deux points de l’espace.

N.B. : M' est infiniment voisin de M.

Un déplacement élémentaire MM' définit

un élément de volume d

re

e

Λe

d = ( )

Traçons d’abord les axes de coordonnées

Surface de la base

A retenir :

d = r2 sindrdd

M'M

dr

r sind

z

y

x

O

dr

Nous désirons exprimer nos

remerciements à tous les collègues qui,

par leur aide et leur encouragement,

nous ont permis d’achever ce travail.

Nous désirons exprimer nos

remerciements à tous les collègues qui,

par leur aide et leur encouragement,

nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2009