Universite Paris Est- Creteil L3 Sciences de l’IngenieurAnnee 2009-2010 Mathematiques

C. Mammar, J. Nicod, F. Vigneron, M.Zani

Feuille 4

- Denombrements, Evenements, Probabilites -

Exercice 1On considere un jeu de 52 cartes.1) On pioche une carte: calculer les probabilites d’avoir

a) Le valet de piqueb) Un roic) Un coeur

2) Les mains du Poker: on pioche au hasard et sans remise 5 cartes. Calculerla probabilite qu’il y ait exactement:

a) 5 cartes de hauteurs differentesb) une paire (2 cartes de meme hauteur)c) un brelan (3 cartes de meme hauteur)d) un carree) un brelan et une paire (full)f) une double paire

3) On lance simultanement deux des. Calculer la probabilite d’avoir un 6comme somme des deux faces.4) On lance trois fois de suite une piece de monnaie equilibree. Calculer laprobabilite d’obtenir au moins une fois pile, puis au moins une fois pile etau moins une fois face.

Exercice 2Une entreprise possede trois machines A, B, et C, sur lesquelles travail-

lent N ouvriers, N ≥ 3. On note An l’evenement ”n ouvriers travaillent surla machine A” (respectivement Bn et Cn pour les machines B et C). Gracea ces notations, ecrire les evenements suivants

a) Personne ne travaille sur la machine A.b) 2 ouvriers (exactement) travaillent sur A, et 1 ouvrier (exactement)

sur B.c) Moins de 3 ouvriers travaillent sur A.d) Plus de trois ouvriers travaillent sur A.

1

e) 2 ouvriers (exactement) travaillent sur A et au moins un ouvrier tra-vaille sur B.

Exercice 3Dans une famille de 3 enfants, quelle est la probabilite d’avoir un garcon etdeux filles? Decrire la distribution du nombre de garcons dans une famillede 3 enfants.

Exercice 4On considere un espace probabilise Ω muni d’une probabilite P . Soient Aet B deux evenements.

a) Exprimer les probabilites P (A∩Bc), P (A∪B), P (A∪Bc) en fonctionde P (A), P (B) et P (A ∩B).

b) On suppose que A et B sont independants, c’est a dire P (A ∩ B) =P (A)P (B). Montrer qu’alors A et Bc le sont aussi, ainsi que Ac et B et Ac

et Bc.c) Soit C un troisieme evenement. Calculer P (A ∪B ∪ C).

Exercice 5Un lot de 120 vis contient 20 vis defectueuses.

a) On choisit au hasard et sans remise 6 vis. Calculer la probabilited’avoir: 6 vis correctes, exactement une vis defectueuse, au moins une bonnevis, au moins deux bonnes vis.

b) Meme question lorsque le tirage s’effectue avec remise.

Exercice 6Un examen comporte 20 sujets possibles. L’epreuve consiste a traiter unsujet parmi 3 possibles tires au hasard, sans remise. Si le candidat n’arevise que 12 sujets, quelle est la probabilite que le candidat obtienne aumoins un des sujets qu’il a revises?

2

Universite Paris 12 - Val de Marne L3 Sciences de l’IngenieurAnnee 2009 - 2010 Mathematiques

C. Mammar, J. Nicod, F. Vigneron, M.Zani

Feuille 5

- Probabilites conditionnelles, Independance, Variables aleatoires -

Exercice 1On dispose d’un jeu de 32 cartes, dans lequel une carte a ete perdue.

a) On pioche au hasard une carte dans ce jeu incomplet. Quelle est laprobabilite d’avoir l’as de coeur?

b) Sachant que l’on a pioche l’as de coeur, quelle est la probabilite d’avoirperdu l’as de trefle?

Exercice 2Le quart d’une population a ete vaccinee contre une maladie contagieuse.Au cours d’une epidemie, on constate qu’il y a parmi les malades un vaccinepour quatre non vaccines. On sait de plus qu’au cours de cette epidemie, ily avait un malade sur douze parmi les vaccines. Quelle etait la probabilitede tomber malade pour un individu non vaccine?

Exercice 31) On lance deux des. Soient les evenementsA: ’le premier de est pair’B: ’le deuxieme de est impair’C: ’La somme des deux des est paire’.Montrer que A,B, et C sont deux a deux independants. Sont-ils mutuelle-ment independants?

Exercice 4Soit X une variable aleatoire de loi de probabilite donnee par:P (X = 0) = 1/10 ; P (X = 1) = 3/10 ; P (X = 2) = 4/10P (X = 3) = 1/10 ; P (X = 4) = 1/20 ; P (X = 5) = 1/20.Calculer et representer graphiquement la fonction de repartition de X.

1

Exercice 5Lors d’une competition sportive, un athlete a une probabilite 1/n de reussirun saut de n metres. La competition se deroule de la facon suivante: l’athletecommence par un saut de 1 metre, puis un de 2 metre s’il a reussi leprecedent, puis de 3 metres, et ainsi de suite... Il n’a droit qu’a un es-sai par saut, et est elimine des qu’il echoue. Soit X la variable aleatoireegale au nombre de sauts effectues. Quelle est la loi de X?

Exercice 6En lancant une piece de monnaie, on obtient “face” avec probabilite p ∈]0, 1[.On lance la piece plusieurs fois et on s’arrete lorsque l’on obtient “face”. SoitX le nombre total de lancers. Pour m ∈ N∗, que vaut P (X > m)? Donnerla loi de X.

Exercice 7Soit un entier n ≥ 1, et p ∈ ]0, 1[. Soit X une variable aleatoire qui suitune loi binomiale B(n, p). On definit une nouvelle variable aleatoire Y de lafacon suivante:Si X = k et k ≥ 1, alors Y = k.Si X = 0, alors Y prend une valeur au hasard dans 1, · · · , n, de faconequiprobable.Determiner la loi de Y et calculer son esperance.

2

Universite Paris 12 - Val de Marne L3 Sciences de l’IngenieurAnnee 2009-2010 Mathematiques

C. Mammar, J. Nicod, F. Vigneron, M.Zani

Feuille 6

- Variables aleatoires continues -

Exercice 1Soit X une variable aleatoire reelle de densite f . Calculer la densite desvariables aleatoires suivantes:

−X , e−X , |X| , X2 .

Exercice 2Soient X et Y deux variables aleatoires normales centrees, de variance σ2

independantes. En utilisant la fonction caracteristique, montrer que ∀θ ∈R , (cos θ)X + (sin θ)Y ∼ N (0, σ2) .

Exercice 3Donner les fonctions caracteristiques des densites x → 1l[0,1](x) et x →x1l[0,1](x) + (2− x)1l[1,2](x) .

Exercice 4Soient (Un)n et (Vn)n deux suites de variables aleatoires independantesmutuellement et de meme loi uniforme sur [0, 1]. On definit une nouvellesuite de v.a. par

Xn =

1 si U2

n + V 2n ≤ 1

0 sinon.

On definit alors

Zn = 4X1 + · · ·+Xn

n.

1) Determiner la loi de Xn.2) Montrer que Zn converge p.s. vers π.3) Soient 0 < α < 1 et ε > 0. En utilisant l’inegalite de Bienayme–

Tchebycheff, montrer qu’il existe n0 tel que ∀n ≥ n0,

P (|Zn − π| > ε) ≤ α .

1

Universite Paris Est- Creteil L3 Sciences de l’IngenieurAnnee 2012-2013 Mathematiques

L. Liao

Corriges Probabilites.

Feuille 4

Exercice 11) a) 1/52, b) 4/52, c) 1/4.

2) a) (13

5

)· 45/(52

5

)b) (

13

1

)(4

2

)(12

3

)· 43/(52

5

)c) (

13

1

)(4

3

)(12

2

)· 42/(52

5

)d) (

13

1

)(4

4

)(12

1

)· 4/(52

5

)e) (

13

1

)(4

3

)(12

1

)(4

2

)/(52

5

)f) (

13

2

)(4

2

)(4

2

)(11

1

)· 4/(52

5

)3) 5/36.4) 7/8, 3/4.

Exercice 2a) A0.b) A2 ∩B1.c) A0 ∪A1 ∪A2 ∪A3.d) ∪n≥3An.e) A2 ∩ (∪n≥1Bn).

Exercice 3

1

3/8.

Exercice 4a) P (A)− P (A ∩B), P (A) + P (B)− P (A ∩B), 1− P (B) + P (A ∩B).b)

P (A∩Bc) = P (A)−P (A∩B) = P (A)−P (A)P (B) = P (A)·(1−P (B)) = P (A)P (Bc).

c)

P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C).

Exercice 5a) (

1006

)(1206

) (ou100

120× 99

119× 98

118× 97

117× 96

116),

(1005

)(201

)(1206

) , 1−(206

)(1206

) , 1−(206

)(1206

) − (1001 )(205 )(1206

) .

b) (100

120

)6

,

(100

120

)5(200

120

)1(6

1

),

1−(

20

120

)6

, 1−(

20

120

)6

−(

100

120

)1(200

120

)5(6

1

).

Exercice 6

1−(123

)(203

) .

Feuille 5

Exercice 1a) Notons A1 l’evenement “la perdue est l’as coeur¨ et A2 l’evenement

“la perdue n’est pas l’as coeur¨. Notons B l’evenement “la piochee est l’ascoeur¨. Alors

P (B) = P (A1) · P (B/A1) + P (A2) · P (B/A2) =31

32× 1

31+

1

32× 0 =

1

32.

2

b) Notons C1 l’evenement “la perdue est l’as trefle¨ et C2 l’evenement“la perdue n’est pas l’as trefle¨. Alors,

P (C1/B) =P (C1 ∩B)

P (B)=P (C1)P (B/C1)

P (B)=

132 ×

131

132

=1

31.

Exercice 2Nous avons

P (V ) =1

4, P (V/M) =

1

5, P (M/V ) = 1/12.

D’ou, P (V ) = 3/4. Par la formule des probqbilites totalees, on a

P (M) = P (V )P (M/V ) + P (V )P (M/V ) =1

12× 1

4+

3

4· P (M/V ).

D’apres la definition de prbabilites conditionnelle,

P (M) =P (V )P (M/V )

P (V/M)=

14 ×

112

15

.

Donc,1

12× 1

4+

3

4· P (M/V ) =

14 ×

112

15

.

On en deduit

P (M/V ) =1

9.

Exercice 3Les A,B, et C ne sont pas mutuellement independants.

Exercice 4La fonction de repartition de X : t 7→ P (X ≤ t).

3

Exercice 5

P (X = 1) =1

2, P (X = 2) =

1

2×(

1− 1

3

), P (X = 3) =

1

2× 1

3×(

1− 1

4

),

P (X = k) =1

2× 1

3× · · · × 1

k×(

1− 1

k + 1

), . . . .

Exercice 6

P (X > m) = (1− p)m

La variable aleatoire X suit la loi geomtrique.

P (X = k) = (1− p)k−1p.

Exercice 7Pour k ∈ 1, 2, . . . , n,

P (Y = k) =∑j 6=0,k

P (X = j)P (Y = k/X = j)

+P (X = k)P (Y = k/X = k) + P (X = 0)P (Y = k/X = 0)

= 0 + P (X = k)× 1 + P (X = 0)× 1

n

=

(n

k

)pk(1− p)n−k +

(n

0

)p0(1− p)n−0 × 1

n.

E(Y ) =

n∑k=1

k · P (Y = k)

=

n∑k=1

k

(n

k

)pk(1− p)n−k +

n∑k=1

k(1− p)n × 1

n

=n∑k=0

k

(n

k

)pk(1− p)n−k +

(1− p)n

n

n∑k=1

k

= E(X) +(1− p)n

n

n(n+ 1)

2

= np+(n+ 1)(1− p)n

2.

4

Feuille 6

Exercice 1Methode 1 : pour toute fonction ϕ bornee mesurable, nous avons

E(ϕ(−X)) =

∫ +∞

−∞ϕ(−x)f(x)dx =

∫ +∞

+∞ϕ(y)f(−y)(−dy)

=

∫ +∞

−∞ϕ(y)f(−y)dy.

Donc la densite de −X est f(−x).

Methode 2 : La fonction de repartition de −X est

F−X(t) = P (−X ≤ t) = P (X ≥ −t) =

∫ +∞

−tf(x)dx.

Donc la densite de −X est

(F−X(t))′ = f(−t).

Rappel :

d

dt

(∫ b(t)

a(t)f(t, x)dx

)= f(t, b(t))b′(t)− f(t, a(t))a′(t) +

∫ b(t)

a(t)ft(t, x)dx.

Pour les restes :

f(− log y)

y1l]0,+∞[, (f(y) + f(−y))1l[0,+∞[,

f(√y)

2√y

1l]0,+∞[.

Exercice 2Attention : Ici, on doit supposer que X et Y sont independqntes.On va montrer que ∀θ ∈ R , (cos θ)X + (sin θ)Y ∼ N (0, σ2) .Nous avons la fonction caracteristique de (cos θ)X + (sin θ)Y est

E(eit·((cos θ)X+(sin θ)Y )) = E(eit·((cos θ)X)) · E(eit·((sin θ)Y ))

= E(ei(t·cos θ)·X) · E(ei(t·sin θ)·Y )

= e−σ2

2(t cos θ)2 · e−

σ2

2(t sin θ)2

= e−σ2

2t2

Donc, (cos θ)X + (sin θ)Y ∼ N (0, σ2) .

5

Exercice 3La fonction caracteristique de la densite x→ 1l[0,1](x) :

E(eitX) =

∫ 1

0eitxdx =

1 si t = 0eit−1it sinon

.

Pour x→ x1l[0,1](x) + (2− x)1l[1,2](x) :

E(eitX) =

∫ 1

0eitxxdx+

∫ 2

1eitx(2− x)dx =

1 si t = 0(eit−1it

)2sinon

.

Remarque : La deuxieme densite est la convolution des deux fonctions x→1l[0,1](x) (la premiere fonction).

Exercice 41) Xn suit la loi de Bernoulli de parametre π/4.2) Loi des grands nombres.3) Par l’inegalite de Markov,

P (|Zn − π| > ε) ≤ E(|Zn − π|)ε

.

D’apres 2) et le theoreme de convergence dominnee (|Zn| ≤ 4), nous avons

E(|Zn − π|)→ 0.

D’ou le resultat.

6