Relations et fonctions

Une relation est un lien ( un rapport ) existant entre des choses, des situations et/ou des personnes.

Exemple:

La mathématique permet de quantifier et/ou de qualifier ces différentes relations.

Un bureau de médecin offre 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale.

x

On aimerait trouver une manière permettant de calculer le salaire de la secrétaire.

et yle salaire de la secrétaire par une autre lettre soit

En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit

x

on peut décrire la relation suivante:

Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées

y = 20 $ X

y = 20 x

Cette règle signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire .

Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées.

En donnant des valeurs à , on peut calculer des valeurs pour y. x

x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre.

y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec x .

x Dans ce genre de situations, les lettres ( ici, et y ) sont appelées des variables

car elles varient ( elles prennent plusieurs valeurs ) dans une même situation.

Heures travaillées : x

Salaire ($):

1

20

2

40

3

60

4

80

5

100

0

0

6

120

7

140

8

160y x = 20 X

le salaire dépend du nombre d’heures travaillées.

Certaines relations portent le nom de fonctions.

Ce qui les distingue des autres relations est le lien particulier existant entre les variables.

Une relation entre deux variables est dite fonctionnelle, ou toutsimplement une fonction, lorsque à chaque valeur de la variable indépendante est associée au plus une valeur de la variable dépendante.

Dans l’exemple de la secrétaire, celle-ci ne peut pas faire deux salaires différents pour un même nombre d’heures travaillées.

Cette relation est donc une fonction.

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une valeur d’abscisse

Ce sont toutes des fonctions.

( x )

( y ) .ne peut avoir plus qu’une ordonnée

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une abscisse ne peut avoir plus qu’une ordonnée.

Ce ne sont pas des fonctions.

Ici, chaque abscisse possède 2 ordonnées différentes.

Ce sont quand même des relations.

Chaque valeur de x possède 2 valeurs de y.

Détermine si les graphiques suivants représentent des fonctions.

x

y

ouix

y

x

y

x

y

x

y

x

y

non non

oui oui oui

Afin de distinguer les fonctions des autres types de relations, on utilise une notation particulière appelée notation fonctionnelle.

On sait que l’exemple du bureau de médecin offrant 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale est une fonction.

Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées

y = 20 xOn pourrait écrire:

mais on écrira: f(x) = 20 x

Ce symbole signifie que les valeurs de la fonction (les valeurs de la variable dépendante) se calculeront

en fonction des valeurs données à la variable indépendante.

Exemple: f(x) = 20 x

f(5) =

f(8) =

donc f(5) = 100 soit le couple ( 5 , 100 )

donc f(8) = 160 soit le couple ( 8 , 160 )

car c’est une fonction.

20 X 5 = 100

20 X 8 = 160

Lorsqu’on travaille avec plusieurs fonctions simultanément, on les désigne par des lettres différentes.

Exemples: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 h(x) = x / 100

Une fonction sera désignée par la notation fonctionnelle.

f(x) = x

Une relation sera désignée par

f(x) et x y et x

y2 = - x2 + 1

Exercice 1

Voici deux fonctions: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6

Calcule f (13) : f(x) = 2x + 5

f(13) = 2 X 13 + 5 =

Calcule g(4) : g(x) = x2 + 5x + 6

g(4) = 42 + 5 X 4 + 6 = 42

31

Calcule f (0) : f(x) = 2x + 5

f(0) = 2 X 0 + 5 = 5

Calcule g(0) : g(x) = x2 + 5x + 6

g(0) = 02 + 5 X 0 + 6 = 6

La relation réciproque

Une fonction traduit une relation de cause à effet.

La relation réciproque, c’est retrouver la cause connaissant l’effet.

Dans l’exemple de la secrétaire, le salaire est l’effet du calcul effectué avec les valeurs

données à x à raison de 20,00 $ de l’heure.

Heures travaillées : x 0 1 2 3 4 5 6 7 …

Salaire : f(x) = 20 x 0 20 40 60 80 100 120 140 …

Temps (heures)

0

140

120

100

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Salaire ( $ )

Salaire d’une secrétaire médicale

La relation réciproque

Pour représenter cette situation dans une table de valeurs ou dans un graphique, il faut inverser les valeurs des deux variables.

On pourrait aussi de demander: « Son salaire provient de quelle quantité d’heures de travail. »

La variable dépendante devient alors la variable indépendante et la variable indépendante, la dépendante.

La relation réciproque

Temps (heures)

Salaire ( $ )

0

140

120

100

80

60

40

20

0 1 2 3 4 5 6 7

Salaire d’une secrétaire médicale

…

…

140120100806040200Salaire : y = 20 x

76543210Heures : x

0

1

2

3

4

5

6

7

0 14012010080604020

Salaire : xHeures y = x/20

Courbe de la fonction de départ.

Courbe de la réciproque.

La relation réciproque

La réciproque est utile avec des fonctions plus complexes.

Les réciproques des fonctions ne sont pas toutes des fonctions.

Exemple :

Ici, la réciproque est également une fonction car chaque valeur de la nouvelle variable indépendante n’a qu’une valeur pour la nouvelle variable dépendante.

Courbe de la fonction de départ.

Courbe de la réciproque

y

x

La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ?

x

-2

-1

0

1

2

y

4

1

0

1

4

x

y

01 2

1

2

3

4

-1-2 -1

-2

-4

-3

y

x0

1

2

1 2 3 4

-1

-2

-1-2-4 -3

4

1

0

1

4

-2

-1

0

1

2

x y Cette relation n’est pas une fonction car un même x a 2 valeurs de y.

C’est quand même une relation.

La réciproque d’une fonction n’est pas toujours une fonction.

Fonction de départ

Sa réciproque