Relativité générale concise

La relativité générale est une extension de la relativité restreinte où l'espace-tempspseudo-euclidien de Minkowski est remplacé par un espace-temps pseudo-riemannien, c'est-à-dire courbe. Elle ne s'applique, actuellement, qu'à lagravitation. La métrique peut s'obtenir à partir des équations d'Einstein, abordéesici uniquement dans le cas du vide de matière et d'énergie.

Sommaire

1 L'espace-temps courbe

2 Les coordonnées normales de Riemann

3 La métrique

4 Le tenseur de Riemann

5 Les équations d'Einstein dans le vide

6 Ondes gravitationnelles

7 Einstein et Newton

7.1 Equation d'Einstein radiale

7.2 Métrique de Minkowski à l'infini

7.3 Principe de correspondance

7.4 Transformation de Lorentz

7.5 Quatre dimensions

8 Références

L'espace-temps courbe

La relativité générale est basée sur la notion de courbure de l'espace-temps àquatre dimensions. La courbure est di!cile à concevoir et à manipuler, d'autantque la quatrième dimension, le temps, est particulière. Einstein la note x

4 = t ou it

où i est le nombre dont le carré vaut moins un. Il est commode de considérer laquatrième dimension comme une dimension d'espace en utilisant (x,y,z,w = ict), cétant la vitesse de la lumière et w un nombre imaginaire, mais homogène à unelongueur.

Les coordonnées normales de Riemann

De même qu'en relativité restreinte, on peut se limiter à deux dimensions, (x,y = t) ou, mieux, (x, y = ict), ce qui simplifie encore les équations en se ramenant àun espace euclidien (au lieu de l'espace pseudo-euclidien de Minkowski) grâce auxcoordonnées de Riemann. Nous utilisons, à l'endroit où nous sommes sur Terre,les coordonnées cartésiennes. Ailleurs nous devons utiliser des coordonnées ayantsubi une rotation fonction de la latitude et de la longitude. Il est bien connu queles Australiens ont tête en bas sans être gênés. C'est pourquoi les coordonnées deRiemann sont qualifiées de locales. Les coordonnées de Riemann sont, à peu près,des coordonnées cartésiennes dans le plan tangent à la Terre et, plusgénéralement à une surface ou un espace courbe.

La métrique

La métrique d'un espace euclidien représente, dans le plan, le théorème dePythagore sous forme di"érentielle :

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des coordonnées cartésiennes dans le plan tangent à la Terre et, plusgénéralement à une surface ou un espace courbe.

La métrique

La métrique d'un espace euclidien représente, dans le plan, le théorème dePythagore sous forme di"érentielle :

La métrique d'une surface courbe est, selon Gauss :

où les gij sont les coe!cients de la métrique.

Toute surface courbe peut être approchée localement par le paraboloïde osculateurqui devient le plan tangent z = 0 lorsque les courbures principales k

x et k

y

s'annulent :

En e"et, dans le référentiel utilisé, les axes Ox et Oy sont dans le plan tangentz = 0, l'origine des coordonnées, x = 0, y = 0 étant le point de contact. Lacourbure de Gauss est, par définition le produit des courbures principales :

Pour être en coordonnées de Riemann, il reste à orienter les axes Ox et Oy de telle

sorte que la métrique soit diagonale (le calcul est donné dans[1]

) :

où K = kxky est la courbure de Gauss. Dans cette expression, on a g

xx = 1, g

xy = 0

et

Il n'est pas nécessaire de déterminer les directions principales pour pouvoirtravailler en coordonnées de Riemann car les lois de la physiques sont, parhypothèse, invariantes par changement de référentiel. Il n'est donc pas nécessairenon plus de déterminer les changements d'échelles nécessaires pour obtenir descoe!cients de la métrique égaux à un au point de contact entre la surface courbeet le plan de Riemann. On retrouve la métrique euclidienne caractérisée par lethéorème de Pythagore pour K = 0 mais aussi à l'origine (x = 0, y = 0), quelle quesoit la valeur de K. En coordonnées de Riemann, on a la même métrique pour tousles paraboloïdes de même courbure de Gauss, y compris la sphère, approximéelocalement par un paraboloïde de révolution.

Le tenseur de Riemann

Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assezcompliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au

tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions[1]

.


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Le tenseur de Riemann

Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assezcompliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au

tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions[1]

.

Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à lacourbure totale de Gauss K :

On a aussi, par dérivation partielle des coe!cients de la métrique du paraboloïde :

On a bien zéro puisque gxx

= 0. On dérive de même gyy

:

On obtient une équation de Laplace triviale pour gxx

et une équation de Poisson

pour gyy

.

Les équations d'Einstein dans le vide

L'hypothèse d'Einstein est que la courbure de l'espace-temps est nulle dans le videqui est donc un espace plat. Cela se traduit par l'équation d'Einstein sans secondmembre. Lorsqu'on applique les équations d'Einstein à l'univers, on doit tenircompte de la présence de matière (étoiles, gaz…), ce qui entraîne un secondmembre non nul. Dans un espace de dimension supérieure à deux, on doit utiliserle tenseur de Ricci au lieu de celui de Riemann. Les équations d'Einstein s'écrivent,dans le vide :

Rik

est une fonction compliquée des di"érentes composantes du tenseur de

Riemann Rijkl

et des coe!cients de la métrique gik

. Le tenseur de Ricci, comme

celui de Riemann ne dépend que des coe!cients de la métrique, de sorte que lessymboles de Christo"el sont des intermédiaires superflus. En deux dimensions, letenseur de Ricci a deux composantes, R

xx et R

yy, chacune proportionnelle au

tenseur de Riemann Rxyxy

. Il n'y a, en deux dimensions, qu'une seule équation

d'Einstein. Pour annuler le tenseur de Ricci, il su!t donc d'annuler celui deRiemann :

Comme, en deux dimensions et en coordonnées de Riemann, le tenseur deRiemann est égal à la courbure de Gauss K, l'équation d'Einstein dit que, en deuxdimensions, la courbure est nulle, l'équation de Poisson devient celle de Laplace.


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d'Einstein. Pour annuler le tenseur de Ricci, il su!t donc d'annuler celui deRiemann :

Comme, en deux dimensions et en coordonnées de Riemann, le tenseur deRiemann est égal à la courbure de Gauss K, l'équation d'Einstein dit que, en deuxdimensions, la courbure est nulle, l'équation de Poisson devient celle de Laplace.Les deux coe!cients de la métrique satisfont alors à l'équation de Laplace#g

xx = 0 et #g

yy = 0. On peut donc dire que l'équation de Laplace décrit un espace

plat alors que celle de Poisson correspond à un espace courbe. En deuxdimensions, l'équation de Laplace diverge à l'infini sauf si les coe!cients de lamétrique sont constants, c'est-à-dire pour un espace plat. En trois dimensions, cen'est plus le tenseur de Riemann qui s'annule mais celui de Ricci (espace Ricci-plat). Le calcul est trop compliqué pour pouvoir être présenté ici. En quatredimensions, il l'est encore plus. Aucun mathématicien ne semble avoir obtenu leséquations d'Einstein en coordonnées radiales plus le temps (r et t, sans longitude" ni colatitude # ) comme pour l'équation de Laplace radiale.

Ondes gravitationnelles

En remplaçant y par ict dans l'équation de Laplace, on obtient l'équation ded'Alembert des ondes gravitationnelles planes pour les coe!cients de la métrique :

Lorsque les ondes gravitationnelles traversent le champ de gravitation d'une étoile,leur vitesse peut changer comme celle des ondes électromagnétiques. Ceci esttoutefois du domaine de l'hypothèse car les ondes gravitationnelles n'ont toujourspas été détectées. En quatre dimensions d'espace-temps, on obtient la loi deLaplace relativiste (ou de Poisson relativiste lorsque le second membre est di"érentde zéro).

Einstein et Newton

Equation d'Einstein radiale

On a obtenu une équation de Laplace en deux dimensions à partir de l'hypothèsed'une courbure de Gauss nulle d'un espace à deux dimensions. Le champ degravitation étant généralement faible, on peut admettre que l'équation de Laplacereste valable en trois dimensions d'espace plus une de temps. Pour retrouver la loide la gravitation universelle, on utilisera, pour l'espace physique, le laplacien encoordonnées sphériques de symétrie radiale, c'est-à-dire sans longitude nicolatitude. Dans l'hypothèse statique, les coe!cients de la métrique sontindépendants du temps, de sorte que les dérivées par rapport au tempsdisparaissent des équations d'Einstein qui se réduisent à l'équation de Laplacedans l'espace à trois dimensions. En utilisant le laplacien en coordonnées radiales,on se ramène à deux pseudo-dimensions, r et t ce qui nous évite l'utilisation dutenseur de Ricci. L'équation d'Einstein en r s'écrit alors, pour g

rr :


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disparaissent des équations d'Einstein qui se réduisent à l'équation de Laplacedans l'espace à trois dimensions. En utilisant le laplacien en coordonnées radiales,on se ramène à deux pseudo-dimensions, r et t ce qui nous évite l'utilisation dutenseur de Ricci. L'équation d'Einstein en r s'écrit alors, pour g

rr :

et, de même pour l'équation en gtt dont la solution est le potentiel de Coulomb en

1/r avec, en tout quatre constantes d'intégration A, A' , B, B' , à déterminer :

Pour obtenir les constantes d'intégration A et A’ on applique le principe decorrespondance avec la relativité restreinte pour r = $ :

Métrique de Minkowski à l'infini

On doit retrouver la métrique de Minkowski à l'infini :

En identifiant les deux métriques, on a A = A' = 1. Comme ds est imaginaire, onpréfère souvent utiliser l'intervalle de temps propre d% au lieu de l'intervalled'espace-temps ds.

Principe de correspondance

Pour obtenir B’, on applique le principe de correspondance entre la relativitégénérale et la loi de la gravitation universelle de Newton. Pour cela considérons unrayon lumineux en rotation autour d'un astre (par exemple un trou noir)su!samment attractif pour qu'un photon ait une trajectoire circulaire de rayonr = R. Dans ce cas dr = 0, ce qui simplifie la métrique :

On a ds = 0 lorsque v = dr/dt = c : le chemin utilisé par un photon dansl'espace-temps de Minkowski est nul. On admet que cela reste vrai en relativitégénérale, ce qui permet d'obtenir la trajectoire du rayon lumineux, qui est courbeet non rectiligne comme en relativité restreinte. On a donc la condition :

En mécanique newtonienne, l'énergie cinétique est égale à l'énergie potentielle degravitation. G est la constante de gravitation universelle, M la masse de l'astreattracteur, m la masse de l'astre attiré et c la vitesse de la lumière. On a, dansl'hypothèse newtonienne,

En éliminant R des deux relations précédentes on obtient :


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l'hypothèse newtonienne,

En éliminant R des deux relations précédentes on obtient :

Transformation de Lorentz

En appliquant cette fois la transformation de Lorentz à la chute d'un corps dans unchamp de gravitation, la dilatation du temps s'accompagne d'une contraction deslongueurs égale, ce qui conduit à prendre B = $ B'. La métrique devient uneapproximation de celle de Schwarzschild en champ faible et en coordonnéessphériques radiales :

Dans cette métrique, à la fois le temps et l'espace physique sont courbes, d'où lecoe!cient 2 par rapport à la version de 1911 de la relativité générale où seul letemps était courbe.

De même que la transformation de Lorentz, les équations d'Einstein peuvents'écrire en deux dimensions. Elles expriment la nullité de la courbure de Gauss,c'est-à-dire qu'un espace à deux dimensions, vide de matière, ne peut être courbe,l'espace correspondant est plat comme un plan, un cône, une feuille de papier ouencore comme l'espace-temps à deux dimensions de Minkowski.

Quatre dimensions

En quatre dimensions, il n'en est plus de même, le tenseur de Riemann n'est plusnul, c'est le tenseur de Ricci qui l'est; on dit que l'espace est Ricci-plat. Pourobtenir d'autres solutions des équations d'Einstein, comme la métrique de

Schwarzschild[1]

ou celle de Friedmann, on ne peut plus se contenter descoordonnées locales de Riemann car la symétrie sphérique est globale. Il estnécessaire d'utiliser les coordonnées de Gauss, en l'occurrence les coordonnées

sphériques en quatre dimensions d'espace-temps r, #, ", t.[2]

. Les manuels nedonnent généralement du calcul que la marche à suivre.

Dans la matière, comme à l'intérieur de la Terre où s'applique classiquementl'équation de Poisson, les équations d'Einstein ont un second membre. Elles ontpour solution un espace-temps vraîment courbe: le tenseur de Ricci est alorsdi"érent de zéro. Les équations d'Einstein avec second membre sont nécessairesen cosmologie, vu que l'Univers n'est pas vide de matière dans son ensemble.

Les calculs présentés ici sont très simplifiés et parfois approximatifs mais ilspermettent de comprendre la relativité générale sans avoir à passer par leséquations compliquées habituelles.


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