R E 3 I A R Q U E S S U R L A R t ~ S O L U T I O N , E X A C T E

E T A P P R O C H ~ ] E , D E Q U A T I O ~ _ D ' ] ~ V O L U T I O N

" S P A R A B O L I Q U E ~ : A C O E F F I C I E N T S N O N B O R ~ E S ( ~ )

J. L. Lto~s (Paris) - P. A. RAVIART (Rennes)

In t roduct ion .

Les mdthodes habituelles de r6solution et d'approximation de la solu- tion d'~quations (ou de syst~mes d'~quations) paraboliques lin6~dres ~ coef- ficients born6s s'6tendent - - sans difficult6 - - ~ certaines classes d'6quations i~ coefficients /~p,p < oo (classes que l'on rencontre, en partieulier, par lindarisation de syst~mes d'dvolutiou nou lindaires). On a donc, entre aatres, les r6sultats habituels (h de tr~s simples variantes techniques pros) pour l 'approximation par diff6rences finies de ces 6quations.

1. Th~orbme d 'exis tence et d'unieit~.

1.1. Notations et hypotheses.

Soient V e t H deux espaces de Hilbert s6parables, V c H , V-- -~H continue, V dense dans H ; ((,)) (resp. ( ,)) dgsigne le produit scalaire dans V (resp. H), I] If (resp. I]) la norme correspondante. On identifie H h son anti-dual; alors, V' d6signant l'anti-dual de V, on a :

V~ H c V' ;

( , ) d~signe encore le produit scalaire entre V' et V e t [] H. d6signe la norme (duale de [I [[) darts V'.

(*) Ricevuto il 5-1-1967.

222 J . L . L m s s - P. A. RAVIART: Remarques sur la rdsolut$on,

Soit t (le temps)E [0, T]; pour chaque t E[0, T] (ou presque tout t) a (t, u, v) ddsigne une forme sesquilingaire continue sur V~ la fonction

t - + a (t ; u, v)

~tant mesurable ~ u, v E V. Puisque v --+ a( t ; u, v) est continue sur V, on peut ficrire

t a ( t ; u , v ) = ( A ( t ) u , v ) , A(t) uE V',

I A ( t ) e 2 ( V ; V').

Soit A* (t) l 'adjoint de A (t). On introduit les espaces intermdttiaires [2] entre V e t H :

V ' - o = [ V , H ] o , 0 < 0 < 1 .

On a:

V c Vl-~ H, V 1-0 dense darts H , V dense dans V ' - ~

On d6signe par V-~+ ~ l 'anti-dual de VI -~ alors

H c V-~+~ V'.

Nous pouvons maintenant formuler les hypotheses:

(1.1) l il existe 2 = ~(t) E L i (0, T ) , ~ 0, telle que

(1.2)

l il existe 0 E ] 0, 1[ tel que les op~rateurs

u (t) - + A (t) u (t}, A * (t) u (0

I soient continues de L 2 C0, T ; V) fl Loo (0, T ; H) --+

L~ (o, T; v') + L3~ - (o, T; V-,+o) (,). 1+o

(l) Zp(0, T ; X ) ~ espace des (classes de) fonctions Z~ en t ~ valeurs dans X ;

(0, T ; Y') + L 2 ( 0 , 7 ' ; V -1+0) est muni de la topologie de dual de 1+o

i 2(0, T; Y) n L 2 (0, T; v l -~ 1-(/

exacte et a22rochde , d'dq~at~ons dYvolutio~ parabol~ques etc. 223

RE~ARQUE 1.1.

Les hypothbses habituelles (cf. par ex. [3]) sont que

I ~ ( t ; u, v) l <~Ml l u ll I I~ll,

(1.1) ayan t lieu avec une constante 2 (et (1.2) ayan t lieu avec 0--~ 0).

1.2. Enoncd du rdsultat.

TK]~OR~IE 1.1. On suppose que (1.1)et (1 .2)out lielt. Soit f donnde dans L2(0, T ; V'), u o dou~td darts tL II existe alors uue fonction u et une

seule ayant les propridtds suivantes :

(1.3) u ~L~(O, T ; V) n L ~ (0, T ; H) ,

( 1 . 4 ) du ~- --~ A (t) u -----f,

( 1 . 5 ) u (0 ) -=-- u o .

L'application f , Uo--+ u est continue de .52(0 , T ; V ' ) X H----~ L2 (O, T ; V) ~I L ~ (0, T ; H) .

RE.~IARQUE 1.2.

II rgsulte de (1.2) et (1.4) que

(1.6) d--t E L 2 (0, T ; V') -~- L 2_~._ (0, T ; V- l+~

Comme par ailleurs [2]

on vgrifie que

(1.7)

de sorte que

(1.8)

fl ~ I I ~ - o = IIv II,-o ~ c II v i i l -o i ~ i o (~),

Z2(0, T ; V) N L~ (O, T ; H ) ~ L 2 (O, T ; V 1-~ ) 1--0

u~L2(0 , T ; v ) n h 2 (0, T ; Vl-e). 1--0

(~) Les c dgsignent des constantes diverses.

224 J. L. LioNs - P. A. RAVIART: Ret~b($~'qUe8 8~" l(~ rdsol~tion~

M~fis d ' ap r~s [4], ( 1 . 8 ) e t (1.6) e n t r a i n e n t que u es t p .p . 6gale ~ une f o n c t i o n

(encore not6e u) contb~ue de [0, T ] - - - > H , de so r t e que (1.5) a u n s e n s .

RE3~&RQUE 1.3.

D ' a p r ~ s [4] (1.8) e t (1.6) on a la <~ fo rmu le de G r e e n ~>:

(1.9)

a

R e . l \ d t , U d t = v lu(~ v ] u ( O ) ] 2 , O < o ~ T. 0

1.3. Ddmonstration de lqtnicitd clans le thdorOme 1.1.

Si f = O , u 0 = 0 d a n s (1.4) (1.5), on en d d d u i t

a a

fH'* ) f Re \dt ' U dt + Re (A (t) u~ u) dt = O

0 0

d 'o l t avee (1.1) e t (1.9):

o o"

0 0

d~o~ u = O.

1.4. Ddmonstratiou de l'existence clans le thdorOme 1.1.

On u t i l i s e la m 6 t h o d e de F a e d o - G M e r k i n . So i t w I . . . ,w .. . . . . une s u i t e d~61g -

mer i t s de V, t e l s que p o u r t o u t m, w i ... w,,~ so i en t l i n ~ a i r e m e n t i n d ~ i p e n d a n t s

e t que les c o m b i n a i s o n s l i n6a i r e s f inies des wj s o i e n t dense s d,~ns V. S i

[ w i , . . . w,~] d6s igne l ' e s p a c e e n g e n d r 6 p a r w I ... w,~, on ddf in i t la <~ s o l u t i o n

app roch6e >> u,~ p a r :

l u~ (t)E [w i , . . . , w,,]

(1.10) ~ (u~ (t), v) + a (t ; u,,, (t), v) = (f( t) , v) ~ v ~ [ w i , . . . , win],

I u~ (0) = Uo~ ~ [~t'i, " '" , w.~]

o~

(1.11) u0,~--+ uo d a n s H lo r sque m ---+ c~.

exacte et r d'dq~tat~o.~s d~dvol~tgot~ ~varaboliques etc. 225

Rempla~ant darts (1.10) v par ~t, (t) et ut i l isaat (1,1), on a :

1 d [ u . (t)[u + ~ II u~ (t)II ~ ~ :~ (t)] u~ (t)[2 --t-lit(t)I[. II ~,. (t)[I 2 dt

1 ~ ( t ) l~t,~ (t)I e + ~ 1 1 um (t)I1~ + 2--~ - IIf(t)ll~

(~ ~ 0 quelconque) d'oh t

L ~,,~ (t)I ~ + (2~ - ~ ) f l l ~ - (o)II ~ ~o 0

(1.12) t t

0 0

D'apr~s le lemme de Gronwall, on en d6dtlit :

0

(1.13) t t

0 0

Comme ~ E L t (0, 1')~ on voit donc que

(1.14) l u,~ demeure d~Lns un bornd de Lu(0~ T ; V) fl L~ (0, T ; H) et doric

(par (1.7)) darts un born~ de L., (07 T; Vl-~ 1--0

On dddait de (1.14) que l 'on pea t

(1.15)

Soit

(1.16)

extra i re une suite u~, de u,, telle que

l u~--~w darts L2(O,T; V) fi~ible, dans L2__(0, T ; V 1-~ faible 1--0

et dans L~ (07 T , / / ) (~ weak star ~>.

rt~ o

9 = X ~ j @ w j , Fj~C~IO, T), Fj (T) ---- 0. j = i

226 J. L. Lions- P. A. RAVIART : Re~arq~te8 8ur la rdsolut~on~

U~ilisant (1.10) avec m = tt ~ mo~ on en d~duit

T T

f [ - - ( U . , ~ ' ) - } - ( u . , A ~ ( t ) ~ ) ] d t - - - - - f ( f , ~ ) d t + ( u o , . o o

, w (o))

et passant /~ la l imi te :

T T

(1.17) ; [ - - ( w , y f ) - ~ ( w , A * ( t ) y J ) ] d t = ; ( j~w)d t -~ - (Uo , yJ(O)) . o

0 0

ceci ~ ~/J de la forme (1.16). Par passage ~ la limite en V, (1.17) a lieu ~ E L 2 ( 0 , T ; V) tel que , j EL2(0, T ; H ) , ~(T)---- O.

Doric w satisfait /t (1.14) et on peut prendre u ~ w ce qui achieve la ddmonstrat ion du thgor~me.

1.5. .Exemples.

Notons ceci :

LEM~IE 1.1. Si a (t ; u, v) vgrifie

(1.18) l a ( t ; u , v ) l ~ M N u l l l l v l l + K ( t ) ] l u l l l ] v l [ ~ _ o ,

o/~

(1.19) K E L 2/0 (07 T)

alors on a (1.2).

u, v E V

Ddmonstration : T

Vu (1), il suffit de v~rifier "'que u, v - - + f a (t ;

0 Z~(9, T; V) x (LEO, T; V)n L 2 (0, T; VI-~

1--0 (On a davantage que (1.2): A (t) (et A* (t)) est lin~aire cont inue

L2(0 , T~ V) dans /~2(0, T ; V') - t - L 2 (0, T ; V-l+~ Or 1-t-0

u (t), v (t) dt est cont inue sur

de

T T T

/ a ( t i u (t),v(t))dt I ~ M / H u(t),, ,, v(t)H dt-}- f K(t)Hu(t)], N u(t),,l_o dt o o o

d~ofi le rdsultat d~apr~s HS]der.

exacte et ayprochde ~ d'dq~at~ons d'dvolutgon zvaraboliff~tes etc. 227

Voici m a i n t e n a n t un exemple choisi le phes s imple pos s ib l e : soit ~2 un

o u v e r t de 1R ~, V = H01 (~2) {s), H ----- L~ (E2),

= - - d x + ~(x ,~) -~vdx i=1 . ] OXi ~Xi

~2 [2

(1.2o)

off

(1.21) yJ donnde dans L 4(Q), Q ~ 2 X ] 0 , T[ .

Alors (1.1) e t (1.2) ont l ieu avee 0 ~ 1/2. E n effet

(t ; u, v) = ((u, v)) + r (t ; u, v)

(1.22)

f r (t ; u, v) ----- ~ x i ~a ~2

Or

t r (t ; u, v) ] ~ l u l I v l -~ H v} (t)llL~(~) ll u tl II v l[L~(~, .

Mais ( th~or~me de Sobolev f rac t ionna i re )

II V IlL. (~) ~ C II V 1t1/2

(la d imens ion 2 i n t e rv i en t ici) ; posan t II y~(t)IIL~(P-)== m (t) on a :

et comme m ~ L 4(0, T) d 'apr~s (1.21)~ on a d6j~ (1.2) d 'apr~s le lemme 1.1. E n s u i t e :

I r (t ; v, v)] ~ ] v [2 ~_ c m (t)II v II 3/2 I v 111 '~

d 'oh (1.1).

(a) Espace de $obolev: H 1(/2)-~- v l v , - - , - - ~ L ~ ( / 2 ) , v - - - - 0 sur ~/2 . ~x i Ox~

228 J. L. Lmss - P. A. RAVIAICT : Rvmarques sur la rdsolutio~ b

2. Approximation.

2.1. hrotations et hypotheses.

Soit h uan param~tre de ~ q - [0}, des t in6 ~ t end re vers 0 e t soi t Vh un espace de d imens ion finie d6peandaant du pa ram~t re h, avec dim Vh--~ + c~ lorsque h ~ O. On muanit chaque Vh de t rois normes hilbertieannes (6videm- meant 6quivaleantes mais non uni]brmdment dquivalentes en h lorsque h - - + 0) :

(2.1) I ll II~, i I~, II I1~',

( ( , ) )h , ( , )h p rodu i t s scala i res a t t achds h II II^,

I I~ r e spec t ivemen t ,

II ]lZ ~tant ~a anorme duale de II lib par r a p p o r t ~ ( , h .

(2.2)

Oi l a

vh E Va, off ean p r a t i que C (h) --> + c~

lo rsque h --~ 0.

De maaii~re aanalogue /~ [2], on i n t rodu i t les anormes [ ]h , t -o , 0 < 0 < 1 : Oil d6fianit A n E W ( V h, Vh) opdra t eu r hermitiean ddfini-posi t i f par

(2.3)

et on pose

(2.4:)

(uh, vh)h = (Ah uh, v^)h,

1--0

Uh ~ Vh ~ Vh

~ vh E V h.

Alors il es t c la i r que

(2.5) [Vh]h, 1-o ~ i! I ~ IIX - ~ l ~ I~ �9

On no te []h*,t-o la no rme duale de []a, t -o pa r r a p p o r t ~t ( , ) a (4).

(4) Vh e s t u n e ~ a p p r o x i m a t i o n ~ de V, V 1-8, ~ V 0-1, V r selon la aortae consid6r6e ~u~ v h, i.~. II Irh,[ h . ~ - o , r Ih,[ ]~,~-e,l l I1~.

exaote et ap2rochde, d'dtl~atio~s d'dvohtt~oT~ parabol~qttes etc. 229

Soi t 5 r u n param~tre ent ier ~ 0 dest ind ~ tendre vers -{- c~ et soit

T At ~-- -~ le pas de temps . On se donne Y formes sesqui l ingai res snr Vh, s0it

a~ (ua, va), n ~ 0, 1, . . . , Y - 1, avec les hypo theses su ivan tes (comparer ~ (1.1)

et (1.2)):

il exis te Y cons t an t e s s 0 i nd6pendan te s de h,

h r _ l

(2.6) n ----- 0, 1, . . . , ~Y-- 1~ avec At ~ )." ~ o I {5) et

il exis te une cons t an t e M ~ 0 ind6pendan te de h e t At et N

cons tan te s K '~ ~ 0 ind~pendan tes de h, ~ ----- 0, l , . . . , h r - 1, uvec

(2.7) ,v-: At ,Y (K~)2/e ~ c 2 et

n ~ 0

On pose enfin

(2.8) (A'~uh,Vh)h a~(,0~,~'~), ~ u h , v ~ V~, ~ ~ ( V ~ , V~).

2.2. Schgma explicite ~ Premier rdsultat de stabilitd.

On se donne

1 .f~E Vh, n - - ~ O , l , . . . , N - - 1 ,

u ~ ~ Vh.

Alors on d6 te rmine ua, At ~ [u~ E Vh; a ~ 0, 1, ... , N} par

1 (2.9) /I-7 (u~+1 - - u~), -~- A"a u] ~-J'~' , n = O, 1, ... , N - - 1.

TH]~OR~:E 2.1. On suppose que (2.6) et (2.7) ont lieu. 0~ suppose en outre que [condition de stabilitd]

(2.10) A t S ~ ( h ) ~ 2 a ( 1 - v ) , n ~ 0 , 1 , . . . , N - - 1 ,

(s) Darts la suite, lesc i d6signeront des eonstantes ind6peadantes do h e t At.

230 J. L. LioNs . P. A. R.~VIAaT: tlomarques sur let rdsolutfon~

o~ ~ > 0 est une constante arbitraireme~t petite incld~engante de h et At et oir

(2 .u ) S " ( h ) = [ M C ( h ) - ~ - K " C ( h ) a - o ] L

Alors _pour 1 ~ p ~ N

(2.12) p--I p--1

2 2 I,,i' I,, + ~ 2 at z II ,~, II,~ <- ~ (,7)(I uO II + At • II.t~" liD. ~z~O --~0

R E M A R Q U E 2 .1 .

On a ~videmment intgr~t ~ prendre un pas de temps de temps At. va- riable avec u. R6sultat et dgmonstration analogues.

RE~XRQUE 2.2.

La condition (2.10) est en particulier v~rififie si At C (h) 2 est assez pet i t ; en effet

At (K ~)2 C (h): (i-0) ~ (At C (h)2) 1-e (At (K ~)2/e)a

et At (K")2/~ est major(i par % (cf. Hypoth~se (2.7)), doric

At 8 ~ (h) ~ c 4 (At C (h) 2 + (At C (h)2p -~

&off le rgsultat.

2.2. Ddmonstration du thdorOme 2.1.

Mgme mdthode que dans [6]. On multiplie scalairement (2.9) d 'abord

par u~ (et pour simplifier l '6criture on supprime t o u s l e s indices h):

d'o~

(2.13)

1 12 u" 12) - - 1 u"+l u" I 2 2At(I *:+* - - I ~ 7 - - + ~ II ' : II 2

[If" [:* [J u'~ II --1- x*~ I u" 12,

I I ."+' I ~ - I , : 12 - [ : + 1 _ , : I" + (2~ - ~) at II , : II 2 <-

+ At l l f" [1.2 A-- 2~-At I u-12.

On multiplie ensuite scalairement (2.9) par u "+1 - - u n :

1 A~l~: '+1 - - ,e, [ 2 < i l l u-II II : + 1 - - : II + ~ " II u= II [ : § - - : ] , - o +

+ H/~ IF" II : + 1 _ , : II,

exaete et approehde, d'dquat~on.~ dYvolution paraboliques etc. 231

et d'apr~s (2.2), (2.5)

+ c ( h ) I t / " II" I u"+, - ,," l, done pour 0 queleonque

(2.14) l u n + ~ - - n n , ~ A t ~ S n ( h ) l[u'~[[~(l "~'~)'-~ At2C(h)~(i-~- ~-) ,[J'~ [[*~.

Uti l isant (2.14) dans (2.13), il vient

(2.15)

<(1._I_ At C(h)2 (1-~-~) )At ] ] f~ l l2 , -~-2)J~At[u '~ l ~.

Grhce ~ (2.10), on peut choisir ~ ( = a~]e) et ~ ( = ~) de sorte que

et (2.15) donne en sommant de n : 0 ~ p - - 1 :

~ 0

]uO[2._~ 1 .at_AtC(h) 2 1--~- At Z [If~[~*2-at-2At X 2"[u '~ ~I~0 71=0

(2.16)

le th6or~me par _hr--1

Comme At ~ 2 ' ~ c i et que At C ( h ) ~ % , on en dgduit n ~ 0

utilisation du lemme de Gronwall diseret.

2.4. Deuxi~me rdsultat de stabilitL

Soit Eat (0, T ; Vh) l 'espace des suites vh, at de la forme

Vh.n~={v~eVh; n = 0,1, ... , 57 - -1} .

On d6finit sur 3~dt (0, T ; Vh) la norme IN ]Hh, ~t par

1--0 1

(2.17)

232 J . L . L I o s s - P. A. RAWART: R e m a r q u e s sur la r~solut ion,

et sa no rme dua le III IIl~,~,(~) p a r

(2.18)

hr--I At --Y (V~ , ~Wh) h

Ill v~ .,Ill,,; A , . = i n f

Alors on vo i t a i sgmen t que

(2.19) III v ~ . , IIl~t ~, = i n f Vh, At = ah, At 4- flh. At

ah, At, flh, At E E dt (0' T; Vh)

1+__~o

n~O h, 1 - -0

1

+ ~t .x I[ Y,~ . n ~ O

On suppose m a i n t e n a n t que l ' on p e u t ddeompose r c h a q u e o p g r a t e u r A'/, en

(2.20)

avec

(2.21)

(2.22)

IIA;:,, v~ lih<~ M II v~ [I,,,

2 ~'hlh, ~ - o < [v^]h, ~ - o vh E Vh.

Si uh, at es t la so lu t ion de (2.9), on pose

I 1 ( u h + ' - - U ~ ) ; n = O ' l ' N - - 1 1 E { E , t t ( O , T ; Vh)}. (2.23) Vat ua, at ~ , ~ "'" ,

T ~ O R ~ ) ~ E 2.2. Sous les conditions d'application du thdor~me 2.1 et sous les hypotheses (2.20)~ (4.21), (2.22), on a :

I x--~ i:/2 (2.24) IIIV.,.h,.,lll.,.,<-.o(~) l'u~ - A t 2 IIf,,~]l~ ". �9 ~,~0

(6) EAt(O, T ; Vh) m u n i de la no rme I]] [lib, dt (reap �9 Ill ]11~, a t ) e s t une (~ app rox ima t ion~)

de L ~ ( O , T ; V) f ' l L 2 (0, T ; V 1 - 0 ) (resp. de L ~(O ,T ; V' ) § L 2 (0, T ; v - - l + 0 ) ) .

i---~ 1+o

exaete et a~prochde, d~dquations d~dvolut~on paraboliques etc.

Ddmonstration : Compte tenu de (2.9) et (2.19), on obtient

IIIV~,,u~,~,lll~,,~,~o ~ ~lt z IIAT,,uTIl,< +

Mais d'apr~s (2.21)

1 + 0 1 ) :,), n n ' #2 / t I-{-0) T + At z [A,,,~ + At Z IIf~' ~t h ]h, 1-- 0

)1,2 (N # n = 0 h, 1 h - - n = O

et d'apr~s (2.22)

i+o

At _Y [A" u~] ~O I , ~ 0 h, 2 h, 1--0

grhce ~ Fhypothi~se (2.7). Il sumt alors pour obtenir le rdsultat.

( ,v-2(K,,)elo)T ( ~-: )~12 ~

&appliquer la majoration

2.5. Remarques diverses.

233

(242)

1) Des exemples de la si tuation prdc6dente s 'obt iennent par discr6- t isation (comme duns [6]) des exemples d u n o 1.

2) Ajou tan t des hypotheses de consistance comme duns [l] ou [6] on aura la convergence de uh, ~ (convenablement interpold) vers % solution du probl~me (< cont inu >> considgr6 au n o 1.

3) On peut consid@er, sous les hypotheses de cette note, des m6tho- des de pus fraet ionnaires [5] [8] [9] 10]. De m~m% on peu t t ra i ter des m6thodes ~ pus multiples comme dans [7].

234 �9 J . L. LIo~s - P. A. RAVIART : Remarque~ sur la r6solution,

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