CHAP 4 : LA REPRESENTATION D’ETAT

I- INTRODUCTION

La description d’un système linéaire à l’aide de la fonction de transfert ne permet pas de

tenir compte de l’histoire du système à un moment donné car la fonction de transfert est

définie lorsque les toutes les conditions initiales sont nulles. La modélisation d’un système à

l’aide d’une fonction de transfert la prive de donc de sa mémoire, en plus, dans le cas d’un

système à plusieurs entrées et à plusieurs sorties, on ne sait pas définir une fonction de

transfert liant les sorties aux entrées. L’approche dite moderne des systèmes, plus

fructueuse résous ce problèmes posés par le modèle précédent. Elle est même applicable

aux systèmes non linéaires et aux systèmes variant dans le temps.

Cette approche est basée sur le concept d’état

II- NOTION D’ETAT

La notion d’état découle d’une importante caractéristique des systèmes dynamiques à savoir

que leur comportement dépend de leur histoire. Ainsi, à un instant t>to (instant initial), le

comportement de tel systèmes peut être déterminé connaissant premièrement l’entré du

système, deuxièmement l’état du système à l’instant to.

Tout système dynamique étant régis par une équation différentielle (ou équation aux

différences en temps discret), illustrons la notion d’état dans le cas du réseau RC.

Considérons le circuit électrique ci-dessous :

Ce système est régi par l’équation différentielle

Dans le cas de la charge du condensateur à travers la résistance, considérons qu’à l’instant

t=to on ferme l’interrupteur et cherchons l’évolution du courant i(t) dans le circuit :

Notons y(t) = i(t), et e(t) = Ri(t) + s(t),

e(t)

I(t)

S(t) Vc(t)

Y(t)

d’où on aura

s(t) étant l’étape intermédiaire pour trouver y(t), il est l’état du système :

s(t) dans cet exemple est l’état du système dont dépend de la sortie y(t). il (s(t)) suffit pour

déterminer y(t) pour tout instant t>to connaissant le signal d’entrée e(t).

III- VARIABLES ET EQUATIONS D’ETATS

Les variables d’états donnent une description de l’évolution du système la plus complète

possible. Dans un système donné, les paramètres décrivant les réservoirs d’énergies (tension

aux bornes d’un condensateur, courant dans une self) fournissent un jeu possible de

variables d’état dont le nombre qui qualifie l’ordre du système n’est pas toujours évident à

déterminer. Dans le cas d’un système à une entrée et à une sortie, la représentation d’état

est décrite par le système d’équation suivant

x(to) condition initiale de l’état.

En multipliant l’équation (1) par , on obtient

L’idée de la variable d’état et de la représentation interne des systèmes est issue de la

méthode de description des équations différentielles à l’aide de variables d’états ramène la

résolution d’une équation différentielle d’ordre n à la résolution d’une équation

différentielle d’ordre 1.

Soit une équation différentielle de la forme

On donne x(to), , … des conditions initiales connues .

On défini ici une variable

L’équation (3) peut donc s’écrire sous la forme

Equation d’état

Equation de sortie

x1, x2,x3,…,xn sont ici des variables d’état. Ces variables forment un espace de dimension n

appelé espace d’état. Une équation différentielle d’ordre n admet donc une représentation

d’état à n variables d’états dont la solution est obtenue de proche en proche en résolvant

des équations différentielles d’ordre 1.

IV- GENERALISATION DE LA RESOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT

Un système ayant plusieurs entrées et plusieurs sorties conduit à une représentation

matricielle des équations d’états obtenues dans le cas d’un système mono entré et mono

sortie.

Avec une matrice n , A une matrice n , X = , E = une

matrice , B une matrice , y = une matrice , C une matrice ,

D une matrice et X = le vecteur des conditions initiales.

A : matrice d’état ou matrice fondamentale

B : matrice d’entrée

C : matrice de sortie

D : matrice de couplage

X : vecteur d’entrée

Y : vecteur de sortie

La structure d’un système dans le cas de la représentation d’état est la même qu’il s’agisse

d’un système à une entrée et une sortie ou d’un système à plusieurs entrées et plusieurs

sorties d’où la le schéma bloc de la représentation d’état généralisé suivant :

Figure

IV 1- solution de l’équation d’état généralisée

La solution obtenue dans le cas d’un système à une entrée et à une sortie est

Cette solution nécessite l’évaluation de l’exponentielle de la matrice d’état. Plusieurs

méthodes permettent de le faire, notamment le développement en série de , la

diagonalisation de la matrice A, la transformée inverse de Laplace et l’application du

théorème de Hamilton-Cayley

IV 1 1- développement en série

Pour toute matrice carrée A, le développement en série de vaut

IV 1 2- diagonalisation de la matrice

Si la matrice d’état A est diagonale, alors vaut :

Avec

Si A n’est pas diagonale, mais diagonalisable, il existe alors une matrice M telle que :

où est une matrice diagonale constituée des valeurs propres de A.

On montre que dans ce cas,

La matrice diagonalisante M qui est la matrice de changement de base a ses colonnes

formées par les composantes des vecteurs propres de A.

IV 1 3- transformation de Laplace inverse

En appliquant la transformée de Laplace aux n équations de l’équation d’état matriciel et en

regroupant les termes sous forme matricielle, on obtient la transformée de Laplace de cette

équation qui vaut :

Par transformation inverse de Laplace, on a :

Par analogie à on conclut que

IV - 2 fonction de transfert d’un système défini par une équation d’état généralisé

La fonction de transfert d’un système est le rapport de la transformée de Laplace de la

sortie de ce système à la transformée de Laplace de son entrée aux conditions initiales

nulles.

E : entrée

Y : sortie

X(to)

TL à condition initiales nulles

De (1) on a

(3) dans (2) donne

Donc

Par transformée inverse de Laplace on a :

la réponse impulsionnelle h(t) est une matrice dont la colonne d’indice j est obtenue en

appliquant une impulsion de Dirac à l’entrée ej(t) de E(t), les autres entrées étant nulles et

en observant l’évolution des sorties y1(t), y2(t), … telles que

y1(t) = h1j , y2(t) = h2j …