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Rsum Rponse frquentielle Filtres lectriques

Un circuit (par exemple un circuit RLC srie) peut tre tudi sous diffrents aspects : temporel et frquentiel. On rappelle ci-dessous les rsultats obtenus lorsquon sintresse la tension aux bornes du condensateur C.

R

L

R ve vS

Rponse temporelle (rponse un chelon de tension : cas dune

charge oscillante)

Rq : les pseudo oscillations (ci-dessus) et lexistence dune rsonance (ci-contre) tmoignent dun facteur de qualit lev (rsistance faible ).

Rponse frquentielle (rsonance aux bornes de C)

Le mme circuit RLC srie peut tre tudi en sintressant la tension aux bornes de R. On obtient alors les rsultats suivants.

C L

Rve vS

Rponse temporelle (rponse un chelon de tension,

uR(t) = Ri(t) lors dune charge oscillante)

Rponse frquentielle (rsonance aux bornes de R)

De faon analogue, dans la suite, les circuits sont envisags sous laspect quadripolaire (2 bornes dentre et 2 bornes de sortie, lune des bornes dentre et lune des bornes de sortie tant souvent la masse). Le quadriple est suppos linaire.

On soumet lentre une excitation sinusodale ve (t) et on tudie la rponse en sortie vS (t).

ve vS

Quadriple Lexcitation tant de la forme ( ) cos( )

ee emv t v t = + et le circuit linaire, la rponse est de la forme ( ) cos( )SS Smv t v t = + .

Notion de filtre

Considrons le second circuit RLC srie (rponse vS aux bornes de R) : on dit que ce quadriple prsente un effet de filtrage, cest dire que vSm et S dpendent de la frquence. Dans ce cas prcis, le circuit se comporte comme un filtre passe-bande : lamplitude vSm ne prsente de valeur notable que dans un certain intervalle de frquence (au voisinage de la rsonance).

Dune faon gnrale, un circuit comportant des rsistances, des condensateurs et des bobines se comporte comme un filtre, cest dire slectionne certaines frquences (vSm de lordre de grandeur de vem pour ces frquences) et attnue les autres (vSm

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Filtres rels Une tude asymptotique du circuit permet, dans la plupart des cas, de dterminer sans calculs la nature du filtre :

en B.F., remplacer L et C par leurs modles limites (interrupteur ouvert ou ferm) et en dduire vS ;

faire de mme en H.F. conclure quant la nature du filtrage.

Fonction de transfert

Fonction de transfert en tension ( ) mm

S

e

vH H j

v= = . On pose . jH H e = .

Comprendre Dans un circuit srie, H sobtient immdiatement grce au diviseur de tension :

Circuit RLC srie aux bornes de R : 21 ( )R

R L C

Z jRCH

Z Z Z jRC j LC

= =

+ + + +

Ltude asymptotique (B.F. : 0 et H.F. ) de la fonction de transfert permet de retrouver la nature du filtre.

Le rapport H contient toutes les informations ncessaires pour calculer vS (t) ds que ve (t) est connue :

. .S em mm mS ev v H v H v= = = et arg( ) arg( ) arg( )S S e e

m mv H v = = + = + .

La reprsentation graphique de H et en fonction de la frquence est indpendante des caractristiques de ve (alors quune reprsentation de vSm et S dpendrait de vem et e).

H est donc le rapport de 2 polynmes en j.

Df. : on appelle ordre de la fonction de transfert, le degr du polynme en j le plus lev.

Rq : il existe dautres fonctions de transfert (en courant, puissance...).

Relation entre fonction de transfert et quation diffrentielle

Dans certains cas, il est possible dobtenir trs simplement l'quation diffrentielle vrifie par vS (t) partir de la fonction de transfert (aise calculer en gnral).

Conclusion : Lanalyse dun circuit comporte deux aspects : un aspect rponse temporelle (cf. rgimes transitoires, rponse un chelon...) partir

de la rsolution de l'quation diffrentielle ; un aspect rponse frquentielle (en rgime sinusodal forc avec le formalisme

complexe) partir de la fonction de transfert. Ces deux aspects sont lis.

Etude de la fonction de transfert

Gain en dcibels

puissance tension

Gain SPe

PG

P=

Sm

em

uG Hu

= =

Gain en dcibels (dB) 10log

SPdB

e

PGP

= 20log 20log 20log SmdBem

uG G Hu

= ==

Comprendre Le passage du facteur 10 au facteur 20 dans les dfinitions des gains en dcibels est justifi par le fait quaux bornes dune rsistance P est proportionnelle i2 donc u2.

Diagramme de Bode Un diagramme de Bode est la reprsentation de la fonction de transfert laide de deux courbes : la courbe de rponse en gain en dcibels en

fonction de la frquence (en TP) ou de la pulsation (en cours), porte en chelle logarithmique ;

la courbe de rponse en phase en fonction de la frquence ou de la pulsation, porte en chelle logarithmique.

GdB

log

log

Signifie : porten chelle log

En pratique : GdB est mesur laide dun dcibelmtre ou calcul partir des mesures des

tensions efficaces au voltmtre ; la frquence N est mesure au frquencemtre ; est mesur au phasemtre ou loscilloscope (mesure automatique ou non) ; les courbes sont traces sur papier semi-logarithmique (chelle millimtrique

usuelle verticalement et chelle logarithmique horizontalement).

Frquences de coupure - Bande passante