Reservoirs Spheriques

8/17/2019 Reservoirs Spheriques..

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Réservoirs sphériques

Solution en symétrie sphérique

Pour résoudre le problème du réservoir sphérique, nous allons étudier la solution générale

des équations de l'élasticité (loi de Hooke) pour un problème à symétrie sphérique !npeut alors a""irmer que le déplacement est radial et ne dépend que du rayon r

ur = u ( r ) uθ = uφ = 0

#ette hypothèse permet d'enclencher le schéma général de solution (


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de sorte que finalement

solution générale des équations de l'élasticité de Hooke en symétrie sphérique. Cette

solution fait intervenir deux constantes d'intégration A et B.

Calcul des contraintes

Les contraintes ont déjà été calculées mais la solution o!tenue pour u va nous suggérerune forme plus simple. "n effet les déformations sont

ce qui correspond à la décomposition du tenseur des déformations en partie sphérique etdéviateur. #r nous avons vu que dans cette décomposition la loi de Hooke se ramenait à

deux lois scalaires indépendantes (


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où er = m est le vecteur unitaire dans la direction radiale.

On remarque au passage que ce tenseur est symétrique, le rotationnel de u est donc bien

nul, et nous obtenons, pour la déformation, le résultat obtenu plus haut avec comme

déformation principale ∂ u / ∂ r dans la direction radiale et u / r dans les deux directions

perpendiculaires. La dilatation ε I = εii = div u est donc

ce qui permet, comme plus haut, de trouver la forme de u à partir des équations de Navier.Le formulaire en coordonnées sphériques est indispensable pour traiter des problmesplus complexes, mais on peut ici s!en passer.

Le réservoir sphérique sous pression

"este à déterminer les deux constantes d!intégration A et B,ce que permettront les conditions aux limites. #our le

réservoir sous pression (


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La contrainte σ r varie, comme l'on pouvait s'y attendre, entre − P o ( r = a ) et

0 ( r = b ), tandis que la contrainte σ θ est positive, ce qui correspond à une tension.

Pour un réservoir métallique on remarque que le déviateur est

forme identique à celle que nous avons obtenue en traction simple, si l'on pose

Le critère de Tresca ou de von Mises s'écrira donc en tout point

La valeur la plus élevée est atteinte à l'intérieur, pour r = a, et la condition de résistances'écrira donc

Cette condition permet de dimensionner le réservoir, c'estàdire de déterminer l'épaisseurnécessaire pour résister à une pression donnée. !n constate toutefois qu'un réservoir

sp"érique ne pourra #amais résister à une pression intérieure supérieure à 2 σ e / 3.

Laissons au lecteur méticuleu$ le soin d'écrire le critère de %an&ine, mais il ne viendrait, #'espère, à l'esprit de personne de construire un tel réservoir avec un matériau fraile.

Deux cas limites

Lorsque b devient très rand, on obtient en première appro$imation

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Cette solution correspond à une cavité sphérique sous pression dans un massif infini,

problème important dans les sols et là, le cas d'un matériau fragile peut prendre toute sonimportance.

Dans le cas d'un réservoir mince (l'épaisseur e = b − a est petite devant le rayon la

contrainte radiale σ r varie tou!ours entre 0 et − P o , tandis que la contrainte

circonférentielle vaut en première appro"imation ( b / r ~ 1

#lle est donc grande par rapport à la contrainte radiale qui peut alors $tre négligée, et onécrira en première appro"imation

résultat que l'on peut d'ailleurs obtenir en écrivant l'équilibred'une demi%sphère (enveloppe & ga la contrainte

circonférentielle σ θ appliquée sur la couronne de rayon a et

d'épaisseur e devant équilibrer la pression P o appliquée sur

le cercle de rayon a

2 π a e σ θ = π a 2 P o

)n remarquera que ce résultat est basé sur les seuleséquations d'équilibre. *l ne dépend donc pas de la loi decomportement, contrairement à ce que nous avons fait aupréalable.

Autres problèmes

+a solution générale que nous avons construite peut également s'appliquer pour traiterd'autres problèmes à symétrie sphérique.

ous avons dé!à traité, par passage à la limiteb

, le cas d'une cavité sphérique dans

un massif infini.

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Le cas d'une enveloppe sphérique soumise à une pression

externe P 1 se traiterait exactement de la même manière et

donne comme solution

Remarquons simplement que là encore, et contrairement à ce que certains auraient pu

attendre, les points les plus sollicités seront toujours à l'intérieur r = a.

Si maintenant le réservoir est soumis à une pression externe P 1 et une pression interne

P o , il suffit de superposer les deux solutions principe de superposition, toujours vala!le

dans une théorie linéaire".

#onsidérons maintenant le cas d'une !oule compositeconstituée de deux matériaux $ et % et soumise à une

pression externe P 1. La solution aura, dans chaque

matériau, la forme &énérale o!tenue plus haut, avectoutefois des constantes différentes

puisque B2 doit disparatre pour éviter une sin&ularité à l'ori&ine. #ette solution fait

intervenir trois constantes d'inté&ration que l'on déterminera en écrivant

( la condition de pression en r = a,

( les conditions de raccord pour u et σ r en r = b.

)ttention * la contrainte circonférentielle σ t sera en &énéral discontinue (


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Nous avons choisi d'exploiter la symétrie sphérique sur le vecteur déplacement ; c'étaitbien naturel, mais il peut être instructif de l'exploiter directement sur les contraintes. Lasymétrie sphérique se traduit alors par la forme suivante

et les équations d'équilibre (

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