Résoudre des problèmes

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Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d'un même «nœud-matière» et d'un même réseau de compétences.

Résoudre des problèmes : pas de problèmes !Ce guide propose aux enseignants des pistes méthodologiques accompagnées d'une «batterie» d'activités «prêtes à l'emploi» visant à développer des com-pétences de résolution de problèmes chez les enfants de 8 à 10 ans.

Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d'aborder les problèmes ? Quelles stratégies pourraient-ils mettre en place pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer ces apprentissages en classe ?

Au travers des activités proposées, l’ouvrage tente de répondre concrètement à toutes ces questions en s'appuyant sur des recherches et des expériences menées en classe par des enseignants.

2e édition revue

Collection dirigée par Françoise Lucas

RESPRO8ISBN 978-2-8041-5611-4

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8/10ans

Résoudredes problèmes :pas de problème !

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Isabelle DEMONTYAnnick FAGNANTMichèle LEJONG

Guide méthodologiqueet documents reproductibles

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9In t roduct ion

La résolution de problèmes constitue une activité désormais incontournable dans les apprentissages mathé-matiques. Les directives officielles ainsi que les travaux récents dans le domaine de la recherche en didactiquedes mathématiques s’accordent sur cette idée : la capacité à résoudre des problèmes constitue un élément cléde la compétence mathématique.

Bien plus, résolution de problèmes, élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont intime-ment liés : l’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes apparaît comme une démarcheprivilégiée pour développer des compétences et des connaissances durables chez les élèves. Cela permetnotamment de donner sens aux concepts mathématiques et de réinvestir des procédures dans un contexte quijustifie leur utilisation.

Dans une telle perspective, amener les enfants à être plus performants en mathématiques ne peut se limiter àdévelopper des savoirs et des savoir-faire. Apprendre à faire face à des situations problèmes variées constitueun objectif tout aussi important de la formation mathématique. Il s’agit donc d’offrir aux enfants la possibilitéde résoudre des problèmes. Si l’idée paraît simple, sa mise en œuvre pratique, en revanche, ne l’est pas : c’esttoute la question de l’aide à la résolution de problèmes qui se trouve ainsi posée (Julo, 1992, p. 1).

Comment apprendre à résoudre des problèmes ? Cette question est cruciale : résoudre un problème est loind’être évident pour bon nombre d’élèves. Nombreux sont ceux qui éprouvent d’importantes difficultés inhé-rentes aux situations problématiques elles-mêmes. Face à des problèmes arithmétiques, certains pensent qu’ilsuffit de faire une opération avec tous les nombres de l’énoncé ou d’appliquer la procédure qui vient d’êtrevue en classe. Pour d’autres, résoudre un problème, c’est faire le bon calcul ; il n’y a donc qu’une et une seule« bonne » façon d’arriver à l’unique solution acceptable. Certains ne répondent pas à la question posée ; d’au-tres proposent des réponses qui peuvent paraître complètement insensées (Verschaffel, Greer et De Corte,2000). Bien qu’elles permettent parfois d’aboutir à la réponse correcte face à certains problèmes, ces démar-ches superficielles (c’est-à-dire non fondées sur une analyse approfondie des situations) révèlent rapidementleurs limites lorsque les enfants sont confrontés à de véritables problèmes.

Comment les enfants appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches sponta-nées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’appréhender les situations ? Quels outils pour-raient-ils développer pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer en classe des apprentissagesqui prennent comme point de départ les démarches effectivement mises en œuvre par les enfants ?

Toutes ces questions sont actuellement peu envisagées dans les documents scolaires.

L’outil méthodologique proposé ici vise à apporter une aide en ce sens : fournir aux enseignants unbagage d’activités « prêtes à l’emploi » pour apprendre aux élèves de 8-10 ans à développer descompétences leur permettant de faire face à des problèmes variés.

L’outil s’inscrit dans la lignée d’un outil méthodologique comparable destiné aux élèves de 10/12 ans (Fagnant& Demonty, 2005). Dans une perspective de continuité des apprentissages, il est intéressant d’utiliser le mêmetype d’approche avec les élèves tout au long de la scolarité : les apprentissages réalisés en fin d’enseignementprimaire pouvant dès lors d’autant mieux s’appuyer sur ceux réalisés au cycle précédent.

INTRODUCTION

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L’intégralité de la formation mathématique des enfants de cet âge n’est pas envisagée ici : l’enseignement del’ensemble des compétences disciplinaires n’est pas directement visé dans les situations proposées. Commeson titre l’indique, l’outil méthodologique que nous avons développé porte explicitement sur larésolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés, mais ce n’est pas leur appren-tissage proprement dit qui est au centre des préoccupations.

L’outil proposé est le résultat de trois années de recherche commanditée par le Ministèrede la Communauté française (Administration Générale de l’Enseignement et de laRecherche Scientifique – Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Ensei-gnement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises) et réalisée enétroite collaboration avec des enseignants et des inspecteurs. Ainsi, une vingtaine d’en-seignants se sont « jetés à l’eau » pour découvrir l’outil méthodologique et essayer lesactivités avec leurs élèves. C’est grâce à la richesse des échanges que le matériel proposé a pu être retravaillé afinde s’adapter au mieux à la réalité des classes. C’est également grâce à ces essais quel’ensemble du document a pu être illustré par des productions d’enfants et des avisd’enseignants. Cette collaboration fructueuse devrait donc permettre de déboucher sur un documentpratique et utilisable directement par les professionnels de terrain. Nous espérons que tel est le cas.

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A. CARACTÉRISTIQUES D’UNE SOLUTION BIEN COMMUNIQUÉE – PROBLÈMES ET SOLUTIONS : QUELLE PAGAILLE !

1. Aperçu de la séquence

Ce qui est visé…

Repérer les éléments utiles à une bonne communication de la solution d’un problème, enindiquant la réponse et l’unité.

Il n’y a qu’une et une seule façon de résoudre un problème.La réponse du problème se situe toujours derrière le signe d’égalité.

LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS

COMMUNICATION

De questions enréponses

Les séquences d’activités

Caractéristiques d’une solution bien communiquée

Probl. / solutions :quelle pagaille !

Aperçu

Outils élèves

Les problèmes à la suite

Aperçu

Outils élèves

Situations où la communication est un enjeu important

Les jeux olympiques

Aperçu

Outils élèves

Les olympiades rigomathiques

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants Outils enseignants Outils enseignants Outils enseignants

apprendre

désapprendre

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174 La communicat ion de la so lu t ion

Les grandesétapes

Le déroulement Durée

1. Résolutiondes problèmeset élaborationdes fiches desolution.

2. Correctiondes problèmes.

3. Associationdes solutionsaux problè-mes.

4. Mise encommun desproductions etsynthèse.

� Résolution d’un des quatre pro-blèmes écrits au tableau : chaqueenfant recopie le calcul et la réponsesur une fiche.

� Correction de chacun des quatreproblèmes au tableau en indiquanten dessous de chaque problème lasolution et l’unité.� Mettre en évidence les ressem-blances et les différences entre lesproblèmes.

� Association des solutions et desproblèmes.� Seules les solutions bien commu-niquées pourront être associées à unseul problème.

� Mise en commun des productionset analyse des divergences.� Synthèse.� Insister sur deux caractéristiquesd’une solution bien communiquée :réponse identifiée et unité appro-priée.

� Choisir une série de 4problèmes.� Les recopier au tableau.� Distribuer une fiche àchaque enfant.

� Recopier au tableauquelques fiches d’enfants.� Choisir des fichesvariées au niveau de lacommunication.

� Compléter la feuille desynthèse. Après avoirrésolu un problème, il fautcommuniquer la solutiontrouvée.

10 min

20 min

20 min

15 min

Organisation de la séquence

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2. Les outils d’apprentissage pour les élèves

Nombres et opérations





COMMUNICATION





Aperçu

Outils élèves


Aperçu

Outils élèves


Les jeux olympiques

Aperçu

Outils élèves


Aperçu

Outils élèves


Problèmes proposés Domaine mathématique Particularités

Série 1 –Billes et poissons� La partie de billes� Echange de poissons� Les sacs de billes� Les poissons rouges

Série 2 – Bonbons et œufs� Les bonbons d’Anna� Les œufs� Les bonbons d’Éric� Les crêpes

Série 3 –Cartouches et livres� Joyeux anniversaire� M. Jaimelire fait ses comptes� Les économies de Jordan� La bibliothèque

Série 4 – Cartes et enfants� Le train fantôme� Martin range ses cartes� La journée sportive� La collection de Martin

Série 5 –Dalles et carrelages� La salle de bain� La terrasse� La cuisine� Le chemin en bois

Les différents problèmes de la série induisent deuxtypes de calcul : soit un calcul à trou, soit un calculoù la réponse est isolée dans un seul membre del’égalité.

Cf. série 1, mais avec des multiplications.

Cf. série 1 mais avec des plus grands nombres et unedonnée numérique perturbante dans chaque pro-blème.

Cf. série 2 mais avec des plus grands nombres et unedonnée numérique perturbante dans chaque pro-blème.

Chaque problème de la série comporte deux étapes etimplique des transformations d’unités.

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Grandeurs (masse nette, massebrute, tare)

Série 6 – Grammes et Tonnes� Les petits pois� Les cailloux� Les camions miniatures� Les motos géantes

Feuille de synthèse à compléter.Après avoir résolu un problème, il faut communiquer la solution trouvée.

A quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ?

Cf. série 1 en ce qui concerne les deux types decalculs que les problèmes induisent.De plus, il y a chaque fois une donnée cachée(donnée numérique importante présentée sous uneforme chiffrée).

Problèmes proposés Domaine mathématique Particularités

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Première série : billes et poissons– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

La partie de billesPendant la récréation, Jordan et Cédric jouent une partie de billes. Avant de commencer, Jordan compte sesbilles : il en a 15. Pendant la partie, Cédric, qui n’est pas très en forme, perd toutes ses billes. A la fin de lapartie, Jordan compte les billes qu’il a. Il est très content : il en a 32.Combien de billes Jordan a-t-il gagnées en jouant contre Cédric ?

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Échange de poissonsLucas et Sophie ont des poissons rouges. Sophie décide de donner ses 15 poissons rouges à Lucas. Lucas lesmet dans son aquarium. Il est très content, car il a maintenant 32 poissons rouges. Combien de poissons Lucasavait-il avant que Sophie ne lui donne les siens ?

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Les sacs de billesJordan et Cédric ont chacun un sac de billes. Cédric compte ses billes : il en a 17. Jordan, lui, en a un peumoins. Quand Cédric et Jordan mettent leurs billes ensemble, ils en ont 32. Combien de billes Jordan a-t-il ?

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Les poissons rougesLucas et Sophie ont chacun un aquarium.Dans son aquarium, Sophie a 17 poissons rouges. Lucas, lui en a un peu moins. A eux deux, ils ont 32 pois-sons rouges.Combien Lucas a-t-il de poissons ?

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Deuxième série : bonbons et œufs– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Les bonbons d’AnnaPour fêter son anniversaire, Anna a invité ses cinq meilleurs amis et elle a acheté des bonbons pour le goûter.Les six enfants mangeront chacun le même nombre de bonbons. En tout, Anna a prévu 24 bonbons. Combienchaque enfant mangera-t-il de bonbons ?

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Les œufsÉric va faire les courses au magasin près de chez lui. Il achète six boîtes d’œufs et se demande si c’est assez.Il compte le nombre d’œufs : il y en a 24 au total. Éric se dit que c’est suffisant. Combien d’œufs y avait-il danschaque boîte ?

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Les bonbons d’ÉricÉric a vendu des bonbons pour rapporter de l’argent à son club de football. Ses quatre meilleurs amis lui ontacheté chacun le même nombre de bonbons. En tout, Éric a vendu 24 bonbons. Combien de bonbons chaqueenfant a-t-il achetés ?

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Les crêpesCe soir, c’est la fête ! Anna a invité ses amis et ils vont manger des crêpes. Pour préparer les crêpes, elle aacheté quatre boîtes d’œufs. Sachant qu’Anna a maintenant 24 œufs, combien d’œufs y avait-il dans chaqueboîte ?

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Troisième série : cartouches et livres– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Joyeux anniversaireJordan et Kelly collectionnent des cartouches d’encre vides. Kelly possède 150 cartouches vides et 120 car-touches pleines. Ensemble, Jordan et Kelly possèdent 320 cartouches vides. Combien de cartouches videsJordan possède-t-il ?

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Monsieur Jaimelire fait ses comptesDans la bibliothèque, il y a deux étagères : une grande et une petite. Sur la grande étagère, 150 livres sont déjà rangés mais il reste encore beaucoup de place. La petite étagère contient 120 livres et estpleine à craquer. Monsieur Jaimelire décide de remplir la grande étagère avec des livres de contes. Après cela,il y a 320 livres sur la grande étagère. Combien Monsieur Jaimelire a-t-il ajouté de livres de contes sur lagrande étagère ?

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Les économies de JordanJordan et Kelly ont chacun des cartouches d’encre vides. Kelly en possède 170 et Jordan en a beaucoup plus.Jordan décide de garder 120 cartouches et de donner toutes les autres à Kelly. Grâce à cela, Kelly a mainte-nant 320 cartouches.Combien de cartouches Jordan a-t-il données à Kelly ?

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La bibliothèqueDans la bibliothèque, il y a une grande étagère qui comprend les livres de contes et les romans. Les livresscolaires sont rangés sur une petite étagère ; elle comporte 120 livres. Sur la grande étagère, il y a 170romans. En tout, la grande étagère contient 320 livres. Combien y a-t-il de livres de contes sur la grandeétagère ?

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Quatrième série : cartes et enfants– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Le train fantômeLors d’une excursion, les enfants de 8 ans vont dans un train fantôme. Les 33 élèves de 10 ans visitent quantà eux le palais des glaces.Les 11 wagons du train fantôme peuvent accueillir les 77 enfants de 8 ans. Combien d’enfants y a-t-il danschaque wagon sachant que les enfants se sont répartis équitablement dans les wagons ?

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Martin range ses cartesMartin décide de ranger sa collection de cartes dans un album. Les 33 premières pages de l’album sont occu-pées et il reste 11 pages vides. Martin voudrait que les 11 dernières pages aient toutes le même nombre decartes. Combien de cartes doit-il mettre sur chaque page pour arriver à coller ses 77 cartes ?

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La journée sportivePour la journée sportive, 33 jeux différents ont été organisés. Les enfants doivent constituer 7 équipes conte-nant chacune le même nombre de joueurs. Combien d’enfants doit-il y avoir dans chaque équipe sachant qu’ily a 77 enfants au total ?

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La collection de MartinSimon a donné sa collection de 33 cartes postales à Martin, son grand frère. Martin voudrait compléter cettecollection et décide d’aller acheter de nouvelles cartes. Il rassemble ses économies et se rend chez le libraireoù il achète 7 paquets de cartes. En rentrant chez lui, il les compte et constate qu’il en a acheté 77. Sachantque tous les paquets avaient le même nombre de cartes, combien de cartes y avait-il dans chaque paquet ?

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Cinquième série : dalles et carrelages– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

La salle de bainSonia veut carreler les murs de sa salle de bain. Elle désire acheter des carrelages de 100 cm2.Sonia se dit qu’il y a un risque de casser des carrelages pendant les travaux. Par prudence, elle décide doncd’acheter 830 carrelages.Combien de carrelages supplémentaires Sonia a-t-elle achetés par prudence ?

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La terrasseChristophe voudrait réaliser une terrasse avec des petites dalles en bois de 10 cm de côté. Sa terrasse mesure8 m2.Au magasin, des dalles gratuites sont offertes en fonction de différentes quantités d’achats. Grâce à cette pro-motion, Christophe rentre chez lui avec 830 dalles.Combien de dalles Christophe a-t-il en trop ?

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La cuisineLucien veut carreler les murs de sa cuisine. Il a décidé d’acheter des carrelages de 100 cm2.Il doit couvrir une surface de 8 m sur 4 m.Pour être sûr d’en avoir assez, Lucien décide d’acheter 30 carrelages supplémentaires.Combien de carrelages Lucien va-t-il acheter ?

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Le chemin en boisPascal veut construire un petit chemin en bois pour aller de sa terrasse à son potager.Il a décidé d’acheter des dalles de 10 cm sur 10 cm. Le petit chemin qu’il veut réaliser devra mesurer 8 m delong sur 1 m de large.Par prudence, Pascal décide d’acheter 30 dalles supplémentaires par rapport à ses calculs.Combien de dalles Pascal va-t-il acheter ?

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Sixième série : grammes et tonnes– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Les petits poisAu village des petits hommes, tout le monde adore les petits pois en conserve. Quand on égoutte les petits pois,on retire cinq grammes d’eau. La boîte de petits pois vide pèse 8 grammes. La masse de petits pois qui resteà manger est donc importante pour les petits hommes puisque la boîte pleine et fermée pèse 33 grammes.Quelle masse de petits pois y a-t-il réellement dans la boîte ?

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Les caillouxAu village des géants, tout le monde adore les cailloux en conserve. Quand on égoutte les cailloux, on retirecinq tonnes d’huile. La boîte de cailloux vide pèse 8 tonnes. La boîte pleine et fermée pèse 33 tonnes. Quellemasse de cailloux y a-t-il réellement dans la boîte ?

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Les camions miniaturesAu village des petits hommes, les camions sont un peu bizarres. Les camions vides et sans les roues pèsentseulement huit grammes. Quand on ajoute les quatre roues, ils pèsent 5 grammes de plus. Lorsqu’ils sontchargés de provisions, ils pèsent 33 grammes. C’est fou toute la charge qu’ils peuvent transporter. Peux-tutrouver de combien il s’agit ?

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Les motos géantesAu village des géants, il y a de drôles de motos. Sans les roues, la moto de Luc-le-géant pèse huit tonnes.Quand on ajoute les deux roues, elle pèse 5 tonnes de plus. Lorsque Luc-le-géant monte dessus, elle pèse33 tonnes. Combien pèse Luc-le-géant ?

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© De Boeck 2007


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À quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ?

Après avoir résolu un problème,

il faut communiquer la solution trouvée

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3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant

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Étape 1 - Résolution des problèmes et élaboration des fiches de solution

� Recopier les quatre problèmes au tableau et demander aux élèves d’en résoudre un (par exemple,le premier problème est confié à la première rangée, le deuxième à la deuxième rangée, etc.).

� Après la résolution, les élèves recopient le calcul et la réponse sur une petite fiche.

Si certains élèves sont plus rapides que d’autres, ils sont invités à résoudre unautre problème.

Étape 2 - Correction des problèmes

� Réaliser une correction des quatre problèmes et écrire au tableau les solutions (réponses etunités) en dessous de chacun d’eux.

Écrire la réponse et l’unité en dessous de chaque problème facilitera l’étape 4 demise en commun et de correction des associations effectuées.

� Faire découvrir aux enfants les ressemblances entre les différents énoncés : les 4 problèmesimpliquent le même triplet de nombres, les unités et les réponses sont les mêmes par paire deproblèmes.

Illustrons ces particularités des énoncés au départ de la première série (Billes etpoissons) : cette série implique le triplet de nombres 15, 17 et 32. On trouvel’unité « billes » pour les problèmes 1 et 3 et l’unité « poissons » pour les problè-mes 2 et 4 ; « 17 » est la réponse des problèmes 1 et 2, et « 15 » est celle des pro-blèmes 3 et 4.

COMMUNICATION





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Outils élèves


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Les jeux olympiques

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Étape 3 - Association des solutions aux problèmes

� Choisir quelques fiches complétées par les enfants (6 fiches au maximum) et recopier les solutionsau tableau. Choisir des solutions qui sont correctes au niveau de la résolution et qui sont variées auniveau de la communication.

Par exemple, une fiche où la réponse n’est pas identifiée, une où l’unité n’est pasindiquée, une complète, une où seul le calcul apparaît.

� Demander aux enfants de retrouver le problème qui correspond à chaque solution écrite autableau. Il est conseillé d’organiser un travail en groupes pour que de premiers débats puissent êtremenés.

Certains enfants penseront peut-être à associer plusieurs problèmes à une mêmesolution.

Étape 4 - Mise en commun des productions et synthèse

� La mise en commun des réponses des différents groupes permet d’obtenir un tableau récapitulatifcomme celui présenté ci-après, obtenu dans une classe qui avait résolu la première série de pro-blèmes : « billes et poissons ».

Si le travail n’a pas été mené en groupes, le plus simple est de réaliser le tableaurécapitulatif au départ de quelques réponses choisies au hasard dans la classe.L’important est de faire ressortir des contradictions : pourquoi tous les enfantsn’ont-ils pas associé le même problème à la solution donnée ?


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Exemple de tableau récapitulatif réalisé dans une classe.

L’enseignant a recopié les quatre énoncés au tableau puis a demandé aux enfants de donner les solutions desquatre problèmes. Il a ensuite recopié chaque solution en dessous de l’énoncé correspondant (commeindiqué dans l’étape 2).

Le tableau suivant a été complété en demandant à chaque groupe le problème correspondant à chacune dessolutions. Ainsi par exemple, les trois groupes ont associé la première production à l’énoncé « Les sacs debilles ». Pour les autres productions, des divergences apparaissent. Par exemple, pour la sixième solution, lesgroupes 1 et 3 ont associé le problème « Échange de poissons » alors que le groupe 2 propose le problème« Les poissons rouges ».

La partie de billes

Pendant la récréation, Jordan et Cédric jouentune partie de billes. Avant de commencer,Jordan compte ses billes : il en a 15. Pendant lapartie, Cédric, qui n’est pas très en forme, perdtoutes ses billes. A la fin de la partie, Jordancompte les billes qu’il a. Il est très content :il en a 32. Combien de billes Jordan a-t-ilgagnées en jouant contre Cédric ?

17 billes

Les sacs de billes

Jordan et Cédric ont chacun un sac de billes.Cédric compte ses billes : il en a 17. Jordan,lui, en a un peu moins. Quand Cédric et Jordanmettent leurs billes ensemble, ils en ont 32.Combien de billes Jordan a-t-il ?

15 billes

Echange de poissons

Lucas et Sophie ont des poissons rouges.Sophie décide de donner ses 15 poissonsrouges à Lucas. Lucas les met dans son aqua-rium. Il est très content, car il a maintenant32 poissons rouges. Combien de poissonsLucas avait-il avant que Sophie ne lui donne lessiens ?

17 poissons

Les poissons rouges

Lucas et Sophie ont chacun un aquarium.

Dans son aquarium, Sophie a 17 poissonsrouges. Lucas, lui en a un peu moins. A euxdeux, ils ont 32 poissons rouges. CombienLucas a-t-il de poissons ?

15 poissons


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Productions relatives aux problèmes Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3

32-17=15 Les sacs de billes Les sacs de billes Les sacs de billesJordan a 15 billes dans son sac

15 billes+17 billes=32 billes La partie de billes Les sacs de billes La partie de billes

32-17=15 Echange de Les sacs de billes Echange de poissons poissons

Les sacs de billes

+17 poissons Echange de Echange de Les poissons poissons poissons rouges

15 32 Les poissons poissons poissons rouges

32=17+15 Les sacs de billes Les sacs de billes Les poissons Les poissons rougesrouges

32-17=15 Echange de Les poissons Echange de Lucas: 15 poissons + 17 poissons poissons rouges poissons=32 poissons

� L’analyse du tableau se centre sur les associations problématiques.

� Certaines solutions ne conviennent que pour un seul problème. Elles présentent certainescaractéristiques : la réponse au problème apparaît clairement (elle est bien identifiée) etl’unité est indiquée.

� D’autres solutions peuvent convenir à plusieurs problèmes. Les élèves expliquent pourquoiils les ont associées à ces problèmes et les autres élèves valident ou non leur démarche. Lesélèves essaient ensuite d’expliquer ce qu’il aurait fallu indiquer pour que la solution neconvienne qu’à un problème précis.

Si l’occasion se présente, l’enseignant peut ouvrir un débat sur les erreurs d’écri-ture dans les calculs :– présence de l’unité en fin de calcul, mais pas dans le calcul

(par exemple : 17 + 15 = 32 billes) ;– enchaînement incorrect de fausses égalités : 17 + 10 = 27 + 5 = 32.

� Synthèse : les élèves dégagent les éléments qui doivent figurer sur les fiches de solution pour que lacommunication soit complète. Ce travail peut se réaliser en deux temps : d’abord en petits groupes,puis en collectif. La synthèse élaborée à cette étape n’est en rien définitive : elle sera complétée à lasuite des autres activités.


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Exemple de synthèse réalisée par des enfants après avoir résolu la quatrièmesérie de problèmes « Cartes et enfants ».

À quoi faut-il être attentif lorsque je communique la solution ?

� Je dois écrire la solution en dessous du calcul.

� Je ne dois pas oublier d’écrire l’unité.

� Je dois relire la question posée pour voir si je réponds bien à ce qu’on demande.

Il ne s’agit que d’un exemple de synthèse réalisée dans une classe. Ceci ne doiten rien servir de modèle. D’autres formulations sont possibles et des précisionspeuvent encore être apportées.

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Un calcul, ce n’est pas une solution


Après avoir résolu un problème,

il faut communiquer la solution trouvée

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277Tab le des mat iè res

REMERCIEMENTS 5

INTRODUCTION 7

1. Les étapes de la résolution de problèmes 112. La méthodologie d’enseignement proposée 153. La structure de l’outil méthodologique 184. Références 23

LA REPRÉSENTATION DU PROBLÈME 25

DE QUESTIONS EN RÉPONSES 27

1. Pourquoi représenter un problème ? 282. Que demande une bonne représentation ? 293. Faut-il apprendre aux enfants à représenter un problème ? 334. Comment apprendre aux enfants à bien représenter un problème ? 37

LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS 39

A. La représentation dessinée 39

1. Aperçu de la séquence 392. Les outils d’apprentissage pour les élèves 413. Les outils méthodologiques pour l’enseignant 51

B. La reformulation écrite 69


LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE DU PROBLÈME 93


1. Qu’est-ce que résoudre un problème ? 962. Comment apprendre à résoudre un problème ? 100


A. Lien entre représentation et résolution 101


B. Variété des démarches de résolution 114


TABLE DES MATIÈRES

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278 Tab le des mat iè res

C. Quel est le bon calcul ? Et s’il y en avait plusieurs ? 144


D. Variété des solutions 153


LA COMMUNICATION DE LA SOLUTION 163


1. Qu’est-ce que communiquer sa solution ? 1662. Faut-il apprendre à communiquer sa solution ? 1703. Comment apprendre à communiquer sa solution ? 172


A. Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Problèmes et solutions : quelle pagaille ! 173


B. Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Les problèmes à la suite ! 189


C. Situations où la communication est un enjeu important – Les jeux olympiques 203


D. Situations où la communication est un enjeu important – Les olympiades rigomathiques 221


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279Tab le des mat iè res

LA VÉRIFICATION DE LA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION 231


1. Qu’est-ce que la phase de vérification ? 2342. Faut-il apprendre aux élèves à vérifier ? 2373. Comment apprendre aux élèves à vérifier ? 239

LA SÉQUENCE D’ACTIVITÉS 240

A. Construction d’un outil de vérification 240


INDEX PAR CONTENU 269

INDEX PAR COMPÉTENCES 273

TABLE DES MATIÈRES 277

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Documents

Résoudre des problèmes