Résoudre des problèmes de géométrie.unemainlavelautre.net/2ieme_2019/2ieme_geometrie_01_resoudre_des... · Résoudre des problèmes de géométrie Correction exercice 4 1.Si ABCest

Résoudre des problèmes de géométrie

Résoudre des problèmes de géométrie.

Dans cette leçon nous allons rappeler beaucoup de résultats (noms, aires, vo-lumes) puis voir deux nouveautés : le projeté orthogonal qui est lié à la notion deperpendicularité et la géométrie repérée qui consiste à utiliser des coordonnées despoints en géométrie.

I Cercles.

×O

×A

×B

×C

CVocabulaire.Le cercle désigne une ligne tandis que ledisque désigne la surface délimité par lecercle.[OA] est appelé un rayon.[BC] est appelé un diamètre.[AB] est appelé une corde._

AB est appelé un arc.

Description du cercle.Le cercle C est l'ensemble des points du plan qui sont à la même distance de

O que le point A.

Formulaire.Longueur du cercle (ou périmètre du disque) : 2πOA.Aire du disque : πOA2.

Exercice 1Page 114 numéro 57. Aire du carré et du cercle.

Correction exercice 1Calculons l'aire Ab de la partie bleue de la �gure.

* L 'aire du disque bleu est

Ad = π(4√2)2

= 32π

* Déterminons la longueur x du coté du carré.

Adoptons les notations de la �gure ci-dessous.

-1-

http://unemainlavelautre.net/2ieme.html


A B

CD

ABC est rectangle enB, on en déduit successivement d'après le théorème de Pythagore :

AC2 = AB2 +BC2(2× 4

√2)2

= x2 + x2

82√22= 2x2

64× 2 = 2x2

32

2=

2x2

2

64 = x2

Puisque x représente une longueur donc un nombre positif :

8 = x

En raisonnant à la grecque et en découpant convenablement le carré il est aisé deretrouver ce résultat.

Nous en déduisons l'aire du carré :

Ac = x2

= 82

= 64

* Nous en déduisons �nalement l'aire de la partie bleue :

Ab = Ad −Ac

Ab = 32π − 64.

Fin de la correction

Exercice 2Page 114 numéro 60.

-2-



Correction exercice 2

1.

2.

•A

•B

•H

•C

3. Calculons CH.

AHC est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore :

AH2 +HC2 = AC2

On en déduit successivement :(AB

2

)2

+HC2 = 72(10

2

)2

+HC2 = 49

52 +HC2 = 49

25 +HC2 = 49

25 +HC2−25 = 49−25

HC2 = 24

HC étant une longueur c'est un nombre positif et donc :

HC =√24

=√

23 × 3

= 2√6

≈ 4,9

-3-



La haie doit être placée à plus de 4,9 m des piquets.


-4-



II Triangles.

A B

C

H

Vocabulaire.[HC] est appelé la hauteur de ABC issue de C.H est appelé le pied de la hauteur issue de C.

Description du triangle.Le triangle est un polygone à trois côtés.

Formulaire.Aire du triangle : 1

2 ×AB × CH.

Classi�cation des triangles.Les triangles peuvent être dit :� scalène si les longueurs des côtés sont toutes distinctes ;� isocèle en si deux côtés ont la même longueur ;� rectangle en si deux côtés sont perpendiculaires ;� isocèle-rectangle en si deux côtés sont perpendiculaires et ont la même lon-

gueur ;� équilatéral si les trois côtés ont la même longueur.

Remarque. L'expression � triangle quelconque � est utilisée pour parler d'untriangle choisi au hasard et qui peut donc être n'importe quel triangle y comprisceux ci-dessus.

Droites remarquables du triangle.

D3

D2

‖

‖

◦

◦D1

D4A

B

C

D1 est appelée la médiatrice du côté [AB].D2 est appelée la médiane issue de A.D3 est appelée la hauteur issue de B.D4 est appelée la bissectrice de ACB.Le point d'intersection des médiatrices est appeléle centre du cercle circonscrit au triangle.Le point d'intersection des médianes est appelé lecentre de gravité du triangle.Le point d'intersection des hauteurs est appelél'orthocentre du triangle.Le point d'intersection des bissectrices est appeléle centre du cercle inscrit dans le triangle.

Exercice 3Page 116 numéro 71. Bissectrice.

-5-




1.

A

B C

D

E F

G

H

M

2. Soit H le pied de la hauteur issue de A.

Puisque ABC est isocèle en A, (AH) est aussi la médiatrice de [BC].

Démontrons que [BC] est la médiatrice de [EF ].

Notons M le point d'intersection de (AH) et de (EF ).

HAM est plat ce qui équivaut successivement à

180 = HAB + BAE + EAM

180 = HAB + 90 + EAM

90− HAB = EAM (E1)

De même nous établirions que

90− HAC = FAM (E2)

Puisque ABC est isocèle en A, HAC = HAB et nous déduisons de (E1) et (E2)

que EAM = FAM .

Autrement dit (AM) est la bissectrice de EAF .

Puisque AE = AF (AEF est isocèle en A) la bissectrice de EAF est aussi lamédiatrice de [EF ].

Nous en déduisons que (AH) ⊥ (BC) et (AH) ⊥ (EF ) donc

(BC) ‖ (EF ).



-6-




1. Si ABC est rectangle ce ne peut être qu'en C puisque AB est le plus grand côté.

Or AB2 = 132 = 169 et AC2 + CB2 = 52 + 122 = 169 donc, d'après le théorèmede Pythagore ABC est rectangle en C.

Célia a raison.

2. Pour que les trois parcourent la même distance elles doivent se retrouver au centredu cercle circonscrit à ABC.

3. Le triangle étant rectangle en C le centre du cercle circonscrit est le milieu del'hypoténuse.

Amélie et Bintou doivent se diriger l'une vers l'autre.


-7-



III Trigonométrie.

A B

C

α

cos(α) =AB

BC,

sin(α) =AC

BC,

tan(α) =AC

AB.

Remarque : tan(α) = sin(α)cos(α) .

Proposition 1

Soient :

. ABC un triangle rectangle A,

. α une mesure de l'angle ABC.

On a :cos2(α) + sin2(α) = 1.

Démonstration 1Calculons cos2(α) + sin2(α).

cos2(α) + sin2(α) =

(AB

BC

)2

+

(AC

BC

)2

=AB2

BC2+AC2

BC2

=AB2 +AC2

BC2

ABC est un triangle rectangle en A, donc, d'après le théorème de Pythagore :

cos2(α) + sin2(α) =BC2

BC2

= 1

Fin de la démonstration

-8-




-9-



IV Quadrilatères.

Quadriltère.

Parallélogramme.

Rectangle. Losange.

Carré.

1

2 3

4 5

Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme (1) il fautet il su�t que nous démontrions au choix que :

� ses côtés opposés sont parallèles deux à deux,� ses diagonales se coupent en leur milieu.Si nous savons de plus que le quadrilatère n'est pas croisé il faut et il su�t que

nous démontrions au choix que :� les côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;� deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;� les angles opposés ont même mesure deux à deux ;� ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Pour démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle (2) il faut etil su�t que nous démontrions au choix que :

� il possède un angle droit ;� les diagonales ont même longueur.

Pour démontrer qu'un parallélogramme est un losange (3) il faut et ilsu�t que nous démontrions au choix que :

� il possède deux côtés consécutifs de même longueur ;� les diagonales sont perpendiculaires.

Pour démontrer qu'un rectangle est un carré (4) il faut et il su�t quenous démontrions au choix que :

� il possède deux côtés consécutifs de même longueur ;� les diagonales sont perpendiculaires.

Pour démontrer qu'un losange est un carré (5) il faut et il su�t quenous démontrions au choix que :

� il possède un angle droit ;� les diagonales ont même longueur.

Exercice 6Page 113 numéro 40. Trapèze.

-10-



Exercice 7Page 113 numéro 42. Parallélogramme de Varignon.


-11-



V Solides.

Volumes des prismes et cylindres de révolution : V = B × h, où B estl'aire de la base et h la longueur de la hauteur.

Volumes des cônes de révolution et pyramides : V =1

3B × h, où B est

l'aire de la base et h la longueur de la hauteur.

-12-


http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_espace_01_volumes_05_cylindre.gif

http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_espace_01_volumes_01_cone.gif


Volumes des boules (intérieur de la sphère) : V =4

3πR3 où R est la longueur

d'un rayon de la sphère.

Exercice 9Page 114 numéro 56. Volume du cône.

Exercice 10Page 117 numéro 77. Tétraèdre et médiane.

Exercice 11Page 117 numéro 78. Prisme et octogone.

-13-


http://unemainlavelautre.net/2ieme/2ieme_espace_01_volumes_sphere_01.gif


VI Géométrie repérée.

VI-1 Repère.

Dé�nition 1

Soit O, I et J trois points distincts du plan.

1. Le repère (O,I,J) est dit orthogonal lorsque le triangle OIJ est rectangleen O.

2. Le repère (O,I,J) est dit orthonormal, ou orthonormé, lorsque le triangleOIJ est isocèle rectangle en O.(

O,−→i)est l'axe des abscisses et

(O,−→j)est l'axe des ordonnées.

Exemples.

•O

•I

•J•A(1,2)

•O

•I

•J•A(1,2)

•O

•I

•J•A(1,2)

Remarques.

1. On pourrait ajouter un nouveau point K et considérer le repère (O,I,J,K)pour passer d'un espace à deux dimensions à un espace à trois dimensions.

2. Dans un couple de coordonnées la première coordonnée est (toujours) l'abs-cisse et la seconde l'ordonnée.

VI-2 Distance.

Exercice 12 pour s'entraîner.

Dans un repère orthonormé (O,I,J) sont choisis des points W (1; 5) et V (5; 2).

1. Dessinez les points W et V dans le repère (O,I,J).

2. Dessinez le point S(1; 2). Nous admettrons que VWS est un triangle rectangle (car (O,I,J)est orthonormé).

3. Donnez :

(a) SV en fonction des abscisses xV et xW respectivement de V et W .

(b) WS en fonction des ordonnées yV et yW respectivement de V et W .

puis les valeurs numériques de SV et SW .

-14-



4. Déterminez la longueur WV en fonction de xV , xW , yV et yW . Déduisez-en la valeurnumérique de WV .

Dé�nition 2

Dans un repère (O,I,J) orthonormé sont placés deux points A et B dont lescoordonnées sont respectivement (xA; yA) et (xB ; yB).

La distance (euclidienne) de A à B est dé�nie par

AB =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2

Remarques.

1. Cette dé�nition n'est valable que pour les repères orthonormés. Ce peut êtreun indice dans les exercices.

2. Cette formule se généralise en trois dimensions.

3. Cette formule permet de calculer (les distances donc) les longueurs en géo-métrie repérée.

4. Les coordonnées sont une idée de Descartes, mais le domaine d'applicationdes coordonnées était, à l'origine, la géométrie dont Euclide est considérécomme le père. Son ouvrage le plus célèbre, les Éléments (PDF ou epub), futla base d'apprentissage de la plupart des mathématiciens jusqu'à nos jours. Ily construit de façon déductive (logique) la géométrie en partant de postulatsou axiomes (choses admises, évidentes) puis en démontrant les autres.

Exercice 13Les points N(1; 1), P (−2;−1) et Q(3;−2) sont placés dans un repère orthonormé duplan.Démontrez que le triangle NPQ est isocèle en N .

Correction exercice 13NPQ est isocèle en N si et seulement si NP = NQ.

Calculons NP et NQ.

Le repère est orthonormé donc

NP =√

(xN − xP )2 + (yN − yP )2

=√

(1− (−2))2 + (1− (−1))2

=√13

-15-


http://unemainlavelautre.net/2ieme/livre_euclide_elements.pdf

http://unemainlavelautre.net/2ieme/livre_euclide_les_elements_de_geometrie.epub


et

NQ =√

(xN − xQ)2 + (yN − yQ)2

=√

(1− 3)2 + (1− (−2))2

=√13

Donc NP = NQ et

NPQ est isocèle en N .



Le plan étant muni d'un repère orthonormé (O,I,J), les points K(−1; 7), L(−1; 4) et M(3; 4)sont choisis.

Démontrez que le triangle KLM est rectangle en L.

Correction exercice 14Démontrons que KLM est rectangle en L.

Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, en calculant les longueursdes di�érents côtés.

Puisque le repère est orthonormé

KL =√

(xK − xL)2 + (yK − yL)2

=√

(−1− (−1))2 + ((7− 4)2)2

= 3

De même

LM = 4

MK = 5

Comme {KL2 + LM2 = 32 + 42 = 25MK2 = 52 = 25

par transitivité : KL2 + LM2 =MK2.Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore,

KLM est rectangle en L.


Exercice 15Rédigez un programme qui détermine la longueur AB en fonction des coordonnées despoints A et B dans un repère orthonormé.

-16-



VI-3 Milieu d'un segment


On se place dans un repère (O,I).Déterminez sans justi�er le milieu M du segment [AB] dans les cas suivants en précisant son

abscisse :� A(3) et B(5),� A(2) et B(5),� A(2,75) et B(4,5),� A(

√3) et B(

√13)

Proposition 2

Dans un repère (quelconque) (O,I,J) sont placés deux points A et B dont lescoordonnées sont respectivement (xA; yA) et (xB ; yB).

Les coordonnées du milieu M de [AB] sont(xA + xB

2;yA + yB

2

)

Exercice 17Soient R(2; 5) et S(−256;−1002) deux points du plan qu'on a muni d'un repère (O,I,J).Déterminez précisément le point d'intersection du segment [RS] et de sa médiatrice.

Exercice 18Soient A(6; 5) et S(2; 3) deux points d'un repère (O,I,J).Déterminez les coordonnées du point A′ symétrique de A par rapport à S.


Rédigez un programme qui donne les coordonnées du milieu d'un segment dont les coordon-nées des extrémités sont connues.

VII Projeté orthogonal.

VII-1 Généralités.

Dé�nition 3

Soient M un point et ∆ une droite du plan euclidien.

On appelle projeté orthogonal de M sur ∆ le point d'intersection de ∆ et de laperpendiculaire à ∆ passant par M .

-17-



Remarques.

1. L'utilisation de l'article dé�ni � le � sous-entend l'unicité ce que nous n'avonspas démontré mais que nous admettrons.

Exemples.

1. Dans un triangle ABC le pied de la hauteur issue de A est le projeté ortho-gonal de A sur [BC].

Exercice 20Page 117 numéro 83. Construction de projetés orthogonaux.

Proposition 3

Le projeté orthogonal H d'un pointM sur une droite ∆ est le point de la droite∆ le plus proche du point M .

Démonstration 2

×M

H

Pour montrer que H est le point le plus proche, nous allons démontrer que tousle autres points de la droite sont plus loin de M que H.

Il s'agit de démontrer une propriété universelle (� pour tout �, � quelque soit �),nous commençons donc la rédaction par :

Soit N un point de ∆.

×M

H×N

-18-



Démontrons que MN >MH.

Il est naturel de penser ici à l'inégalité triangulaire puisque nous souhaitonscomparer des longueurs de côtés de triangles. Cependant le résultat à démontrerfait à appel à la notion de projeté orthogonal donc d'angle droit. Il faut donc faireappel à un résultat sur les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

MNH est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore :

MN2 = MH2 +HN2

Les nombres considérés étant tous positifs on en déduit :

MN2 >MH2

Si le résultat peut sembler naturel dès cette étape il faut en fait détailler commesuit :

MN2 −MH2 > 0

(MN −MH)(MN +MH) > 0

Puisque MN +MH > 0 :

MN −MH > 0

MN >MH

Nous avons démontré que, quelque soit le point N choisi sur ∆, MN > MH.Autrement dit

H est le point de ∆ le plus proche de M .

Fin de la démonstration

Remarques.

1. Ce résultat permet de dé�nir la distance d'un point à une droite comme étantla distance séparant ce point de son projeté orthogonal sur la droite.

Exercice 21Page 117 numéro 84. Bissectrices.

-19-



VII-2 Cercle et tangente.

Dé�nition 4

Soient C un cercle du plan et A un point de C .

Une droite T est appelée une tangente à C en A si et seulement si T a ununique point d'intersection avec C à savoir le point A.

Proposition 4

Soient C un cercle du plan de centre O et A un point de C .

Pour qu'une droite D soit tangente à C en A il faut et il su�t que

A ∈ D et D ⊥ (OA)

Corollaire 1

Étant donnés un cercle du plan et un point de ce cercle il existe une uniquetangente à ce cercle en ce point.

Exercice 22Choisissez deux points distincts A et B du plan.Tracez le cercle de centre A et de rayon AB ainsi que la tangente à ce cercle en B.


Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J) on considère le cercle C de centre O etqui passe par M(−1; 6).

Notons N(5; 7).Démontrez que (MN) est tangente à C .

VIII Exercices.


Exercice 25Dans un repère orthonormé, on donne les points : E(3;−2), F (−2;−3), G(−3; 2). Quelleest la nature du triangle EFG ?

-20-



Exercice 26Dans un repère orthonormé du plan sont donnés les points A(4; 2), B(6;−4) et C(0,−2).

1. Démontrez que le triangle ABC est isocèle.

2. On note H le pied de la hauteur issue de B. Calculez la longueur AH, puis lalongueur BH.


Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne les points :

A(4; 3), B(−1; 0) et K(3,− 1)

Montrez que K appartient à la médiatrice de [AB].


Exercice 28 page 192 du manuel Sésamath : triangle rectangle, médiatrice, distance.


Représentez les points proposés dans un repère orthonormé (O,I,J). Conjecturez la naturedu quadrilatère ainsi construit puis démontrez cette conjecture.

1. M(−1; 3), N(3; 2), P (3,− 2), Q(−2,− 1).

2. A(1; 3), B(5; 1), C(3,− 1), D(−1; 1).3. E(3; 1), F (2; 3), G(−4; 0), H(−3,− 2).

4. P (−3; 4), Q(−2; 1), R(1; 0), S(0; 3).

5. U(1; 3), V (3,− 1), W (−1,− 3), S(−3; 1).


1. Conjecturons le résultat en dessinant la situation.

x

y

0 1

1

••

••

M

N

P

Q

Le quadrilatère ne semble pas même être un parallélogramme.

2. ABCD semble être un parallélogramme démontrons-le.

Notons M le milieu de [AC]. Nous avons

-21-


http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=64971&ordre=1


xM =xA + xC

2

=1 + 3

2

= 2

yM =yA + yC

2

=3 + (−1)

2

= 1

Donc : M(2; 1).

Notons N le milieu de [BD]. Nous avons

xN =xB + xD

2

=5 + (−1)

2

= 2

yN =yB + yD

2

=1 + 1

2

= 1

Donc : N(2; 1)

Par conséquent : M = N .

Les diagonales de ABCD se coupant en leur milieu nous pouvons a�rmer que

ABCD est un parallélogramme.

3. Démontrons que EFGH est un rectangle.

Démontrons tout d'abord que EFGH est un parallélogramme.

Notons I le milieu de [EG]. Nous avons

xI =xE + xG

2

=3 + (−4)

2

= −1

2

yI =yE + yG

2

=1 + 0

2

=1

2Donc : I

(− 1

2; 12

).

Notons J le milieu de [FH]. Nous avons

xJ =xF + xH

2

=2 + (−3)

2

= −1

2

yJ =yF + yH

2

=3 + (−2)

2

=1

2Donc : J

(− 1

2; 12

).

Ainsi : I = J . Autrement dit les diagonales de EFGH se coupent en leur milieu etdonc EFGH est un parallélogramme.

Démontrons que le parallélogramme EFGH est un rectangle.

Il su�t de montrer que, par exemple, ses diagonales sont de même longueur.

(O,I,J) étant orthonormé :

-22-



EG =√

(xE − xG)2 + (yE − yG)2

=√

[3− (−4)]2 + (1− 0)2

=√50

= 5√2

et

FH =√

(xF − xH)2 + (yF − yH)2

=√

[2− (−3)]2 + [3− (−2)]2

=√50

= 5√2

Donc : EG = FH. EFGH est donc un parallélogramme dont les diagonales ontmême longueur. Autrement dit :

EFGH est un rectangle.

4. Démontrons que PQRS est un losange.

Démontrons tout d'abord que PQRS est un parallélogramme.

Notons I le milieu de [PR]. Nous avons

xI =xP + xR

2

=−3 + 1

2

= −1

yI =yP + yR

2

=4 + 0

2

= 2

Donc : I (−1; 2).

Notons J le milieu de [QS]. Nous avons

xJ =xQ + xS

2

=−2 + 0

2

= −1

yJ =yQ + yS

2

=1 + 3

2

= 2

Donc : J (−1; 2).Ainsi : I = J . Autrement dit les diagonales de PQRS se coupent en leur milieu etdonc PQRS est un parallélogramme.

Démontrons que le parallélogramme PQRS est un losange.

Il su�t de montrer que, par exemple, que deux côtés consécutifs sont de mêmelongueur.

-23-




PQ =√

(xP − xQ)2 + (yP − yQ)2

=√

[−3− (−2))2 + (4− 1)2

=√10

et

QR =√

(xQ − xR)2 + (yQ − yR)2

=√

(−2− 1)2 + (1− 0)2

=√10

Donc : PQ = QR. PQRS est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifsont même longueur. Autrement dit :

PQRS est un losange.

5. Démontrons que UVWS est un carré.

Démontrons tout d'abord que UVWS est un parallélogramme.

Notons I le milieu de [UW ]. Nous avons

xI =xU + xW

2

=1 + (−1)

2

= 0

yI =yU + yW

2

=3 + (−3)

2

= 0

Donc : I (0; 0).

Notons J le milieu de [V S]. Nous avons

xJ =xV + xS

2

=3 + (−3)

2

= 0

yJ =yV + yS

2

=−1 + 1

2

= 0

Donc : J (0).

Ainsi : I = J . Autrement dit les diagonales de PQRS se coupent en leur milieu etdonc PQRS est un parallélogramme.

Démontrons que le parallélogramme UVWS est un losange.

Il su�t de montrer que, par exemple, que deux côtés consécutifs sont de mêmelongueur.


-24-



UV =√

(xU − xV )2 + (yU − yV )2

=√

(1− 3)2 + [3− (−1)]2

=√8

= 2√2

et

VW =√

(xV − xW )2 + (yV − yW )2

=√

[3− (−1)]2 + [−1− (−3)]2

=√8

= 2√2

Donc : UV = VW . UVWS est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifsont même longueur. Autrement dit c'est un losange.

Démontrons que le losange UVWS est un carré.

Il su�t par exemple de démontrer que UVWS a des diagonales de même longueur.


UW =√

(xU − xW )2 + (yU − yW )2

=√

[1− (−1)]2 + [3− (−3)]2

=√85

et

V S =√

(xV − xS)2 + (yV − yS)2

=√

[3− (−3)]2 + (−1− 1)2

=√85

Donc : UW = V S. UVWS est donc un losange dont les diagonales ont mêmelongueur. Autrement dit :

UVWS est un carré.


-25-



Exercice 30[AB] et [CD] sont deux diamètres quelconques d'un cercle C. Quelle est la nature duquadrilatère ACBD ?


Considérons un parallélogrammeABCD dans un plan muni d'un repère. Sachant queA(−1; 7),B(−20; 100), C(3; 107) et D(22; yD), déterminez l'ordonnée yD du point D.

Exercice 32Page 116 numéro 76. Tangente.

Exercice 33Page 116 numéro 75. Tangentes et angles.

-26-


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