Référentiels non galiléens Notes de cours

physique année scolaire 2014/2015

Référentiels non galiléens

Notes de coursmardi 23 septembre 2013

I- Dynamique dans un référentiel en translation par rapport à un

référentiel galiléen

1. Rappel : référentiels galiléens

Référentiel galiléen dénitionun référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique : un objet isolé (c'està dire ne subissant aucune force) suit un mouvement rectiligne uniforme.Dans un référentiel galiléen R, le principe fondamental de la dynamique s'applique :

m~a/R(M) =∑

~f→M

Exemples de référentiels s'y retrouverLe référentiel de Copernic (dans lequel le centre du système solaire et trois étoiles lointaines sont xes)peut être considéré comme galiléen avec une excellente approximation.Le référentiel héliocentrique a pour point xe le centre du Soleil. Il est lui aussi galiléen avec uneexcellente approximation.Le référentiel géocentrique a pour point xe le centre de la Terre et trois étoiles lointaines. Le référentielgéocentrique est donc en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic. Il peut êtreconsidéré galiléen pour des expériences de durées courtes devant 1 an.Le référentiel terrestre est lié à la Terre. Il est en rotation uniforme autour d'un axe xe du référentielgéocentrique. Il peut être considéré galiléen pour des expériences de durées courtes devant 24 h.

Position du problème : s'y retrouverLe principe fondamental de la dynamique ne peut pas être appliqué directement dans un référentiel nongaliléen R′. En eet, les forces sont inchangées entre le référentiel galiléen R et le référentiel R′ pourtant,si R′ est accéléré par rapport à R, l'accélération du point M est diérente dans les référentiels R et R′

(ce que l'on va voir).L'objectif de ce chapitre est de généraliser le principe fondamental de la dynamique en référentiel nongaliléen. Cette généralisation est d'autant plus nécessaire que de très nombreuses études s'eectuent enréférentiel non galiléen.

spé PC page n 1 Janson de Sailly


2. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Position du problème s'y retrouverOn s'intéresse à deux référentiels :

• R est le référentiel galiléen muni d'un re-père (O,~ux, ~uy, ~uz) et d'une horloge ;

• R′ est un autre référentiel muni d'un re-père (O′, ~ux′ , ~uy′ , ~uz′) et d'une autre hor-loge.

Si l'on néglige les eets relativistes, le tempss'écoule de la même façon dans les deux réfé-rentiels.D'autre part, on suppose que R′ est en trans-lation par rapport à R. Aussi, on peut choisir ~ux′ = ~ux

~uy′ = ~uy~uz′ = ~uz

Un point matériel en M est repéré par

• −−→OM (t) = x (t) ~ux+y (t) ~uy+z (t) ~uz dansR ;

• et−−−→O′M (t) = x′ (t) ~ux+y′ (t) ~uy+z′ (t) ~uz

dans R′.

1 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translation théo-

rèmeLa vitesse ~v/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R′(M) du point M dans leréférentiel R′ par

~v/R(M) = ~v/R′(M) + ~ve

où ~ve est la vitesse d'entraînement du référentiel R′ par rapport à R.

Point coïncident dénition

Le point coïncident est le point P qui coïncide avec M à l'instant t mais qui serait xe dans R′.

Exemple de point coïncident s'y retrouversi un train (assimilé au référentiel R′ se déplace par rapport au sol (le référentiel R) et qu'on y lanceune balle (le point matériel M), la trace laissée sur le sol à l'instant t est le point coïncident P .

Vitesse d'entraînement et point coïncident s'y retrouver

La vitesse d'entraînement est la vitesse du point coïncident : ~ve = ~v/R(P ).

remarque

Le point coïncident change : à un instant t′ ultérieur, le point P est diérent du point M . On peut alorsdénir un nouveau point coïncident P ′.



2 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translationthéorèmeL'accélération ~a/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R′(M) du point Mdans le référentiel R′ par

~a/R(M) = ~a/R′(M) + ~ae

où ~ae est la vitesse d'entraînement du référentiel R′ par rapport à R.

3. Force d'inertie d'entraînement

3 Expression de la force d'inertie d'entraînement : théorème

dans R′ non galiléen, il faut ajouter aux forces ~F la force d'inertie d'entraînement :

~fie = −m.~ae

4. Exemples de translations

Loi galiléenne de composition des vitesses s'y retrouverSi R′ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, la vitesse d'entraînement est partout lamême et constante au cours du temps : ~ve(M) = ~v0 =

−−→cste

~v/R(M) = ~v/R′(M) + ~v0

4 Ensemble des référentiels galiléens théorème

Tout référentiel R′ en translation rectiligne par rapport à un autre référentiel galiléen R est lui mêmegaliléen.

5 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'unetranslation uniformément accélérée théorèmeDans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0~ux, alors la force d'inertie d'entraînementdérive de l'énergie potentielle Ep = ma0 x.

Voiture qui freine schéma

La gure 1 représente une voiture (le référentiel R′) qui est en translation rectiligne dans le référentiel(R) du sol (~ve = +v(t) ~ux), mais qui freine : ~ae = −a~ux. La force d'inertie d'entraînement "pousse" lespassagers vers l'avant du véhicule.

Grande roue schéma

La gure 2 représente une cabine (le référentiel R′) de grande-roue (de rayon R0) qui est en translation

circulaire uniforme dans le référentiel (R) du sol (~ve = +v0 ~uθ) : ~ae = − v20R0~ur.



Figure 1 Voiture qui freine

Figure 2 Grande roue



II- Dynamique dans un référentiel en rotation par rapport à un réfé-

rentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

Position du problème s'y retrouverOn s'intéresse à deux référentiels :

• R est le référentiel galiléen muni d'un re-père (O,~ux, ~uy, ~uz) et d'une horloge ;

• R′ est un autre référentiel muni d'un re-père (O′, ~ux′ , ~uy′ , ~uz′) et d'une autre hor-loge.

Si l'on néglige les eets relativistes, le tempss'écoule de la même façon dans les deux réfé-rentiels.D'autre part, on suppose que R′ est en rota-tion par rapport à un axe xe dans R. Aussi,on peut choisir :

O′ en O et ~uz′ = ~uz~Ω = Ωz~uz avec Ωz = dθ

dt

Un point matériel en M est repéré par

• −−→OM = x~ux + y ~uy + z ~uz dans R ;

• et−−−→O′M = x′ ~ux′ + y′ ~uy′ + z ~uz dans R′.

6 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation théorème

La vitesse ~v/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v/R′(M) du point M dans leréférentiel R′ par

~v/R(M) = ~v/R′(M) + ~ve

où ~ve est la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse du point coïncident.

7 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotationthéorèmeL'accélération ~a/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération ~a/R′(M) du point Mdans le référentiel R′ par

~a/R(M) = ~a/R′ + ~ae + ~aC (M)

où l'accélération de Coriolis est~aC = 2.~ΩR′/R ∧ ~v/R′(M)

et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :

~ae = ~a/R(P )

.



8 Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen enrotation : théorèmedans R′ non galiléen, il faut ajouter aux forces ~f→M la force d'inertie d'entraînement :

~fie = −m.~ae = −m.~a/R(P )

et la force d'inertie de Coriolis :

~fiC = −m.~aC = −2.m.~ΩR′/R ∧ ~vM/R′

9 Tige tournant par rapport au sol exercice

On s'intéresse à une tige (le référentiel R′),qui fait à l'instant t un angle θ(t) avec l'axeOx xe dans le référentiel R du sol supposégaliléen. Cette tige tourne autour de l'axe Ozavec une vitesse angulaire θ. Une perle est as-similée à un point matériel M sur cette tige àune distance r(t) de O à l'instant t.

Déterminer le mouvement du point coïncident P dans R et celui de M dans R′. En déduire dans R′ la vitesse du point M et dans R la vitesse du point coïncident P et celle du pointM . Vérier la loi de composition des vitesses. Déterminer dans R′ l'accélération du point M et dans R l'accélération du point coïncident P et celledu point M . Vérier la loi de composition des accélérations.

2. Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre

10 Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angu-laire constante : théorèmeDans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentielgaliléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie est centrifuge : ~fie = m.r.ω2~ur en coordonnéescylindriques d'axe Oz.

11 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'unerotation à vitesse angulaire constante : théorèmeDans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentielgaliléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielleEp = − 1

2mr2 ω2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz.

12 Calcul de la force d'inertie d'entraînement à la surface de la Terre : exerciceOn peut supposer que le référentiel géocentrique est galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestreest en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotation Ω = 2π

24h~uz, où ~uz est orienté du PôleSud vers le Pôle Nord.Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centrede la Terre : r = RT (le rayon de la Terre), θ = π

2 − λ (λ est la latitude) et ϕ, la longitude. Montrer

que la force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de masse m en ce point est ~fie =m.RT . cosλ.ω2. (cosλ.~ur − sinλ.~uθ).



Le poids : dénitionOn dénit le poids comme la somme de deux forces :- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet ~fG ;- la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre ~fie.

Direction du poids schéma

La gure 3 représente un point P à la surface de la Terre, de latitude λ. Un point matériel M de massem coïncident avec P subit :

• l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre de masse MT est, dans les coordonnées sphériques~fG = −Gm.MT

R3T

−−→OP ;

• et la force d'inertie d'entraînement ~fie = m.Ω2−−→HP .La force d'inertie d'entraînement est une correction devant l'attraction gravitationnelle. Elle s'oppose enpartie à cette dernière.La direction indiquée par un l à plomb est celle du champ de pesanteur ~g. Elle ne passe pas a priori parO, le centre de la Terre.

Figure 3 Direction du poids

Inhomogénéités du champ de pesanteur à la surface de la Terre : s'y retrouverLa force d'inertie d'entraînement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de l'axede rotation. C'est donc à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plusgrand.De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle est faible, et plus la forced'inertie est forte : un objet est moins lourd en altitude.



3. Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre

13 Propriétés de la force d'inertie de Coriolis théorèmeLa force d'inertie de Coriolis n'existe que si le point matériel M se déplace dans le référentiel nongaliléen R′. Un point immobile dans le référentiel R′ ne subit donc, outre les forces habituelles, que laforce d'inertie d'entraînement.Le travail de la force d'inertie de Coriolis est toujours nul.

14 Calcul de la force d'inertie de Coriolis sur un manège : exerciceOn s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaire ω par rapport à un référentiel galiléenautour de son axe xe Oz vertical. Montrer que la force d'inertie de Coriolis ressentie par un pointmatériel de masse m qui se déplace avec une vitesse ~v horizontale tend à faire tourner le point matérielvers la droite si le manège tourne dans le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dansle sens horaire.

Le pendule de Foucault photo

Foucault met au point au XIXième siècle un pendule qui oscille susamment longtemps pour qu'on aitle temps de voir son plan d'oscillation tourner dans le référentiel terrestre. Aujourd'hui, on peut voir unpendule de Foucault au musée des Arts et Métiers, à Paris.La déviation du plan d'oscillation s'explique par la force d'inertie de Coriolis qui tend à dévier vers ladroite la masse dans l'hémisphère nord, et vers la gauche dans l'hémisphère sud.Vous pouvez retrouver la photo sur le site alain.lerille.free.fr.

La déviation vers l'est : schéma

La gure 4 représente un point matériel de masse m lâché en A sans vitesse initiale dans le référentielterrestre R′. Il est dévié vers l'est lors de sa chute. En eet, sa vitesse initiale dans le référentiel géocentriqueR supposée galiléen est non nulle et plus importante que celle du sol (en B), plus proche de l'axe derotation.

Figure 4 La déviation vers l'est :



Technique à maîtriserjeudi 25 septembre 2013

I- Capacités

1. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation parrapport à un référentiel galiléen

ce qu'il faut savoir faire capacités

Relier les lois de composition des vitesses (transformation de Galilée) dans le cas d'un référentiel entranslation rectiligne uniforme par rapport à un autre à la relation de Chasles et au caractère supposéabsolu du temps.Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dansle cas d'un référentiel en translation par rapport à un autre.Dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen, déterminer la forced'inertie d'entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique etla loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentielgaliléen.

2. Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation parrapport à un référentiel galiléen


Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dansle cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe.Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,exprimer la force d'inertie axifuge. Associer la force d'inertie axifuge à l'expression familière forcecentrifuge .Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétiquedans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel.Associer les marées à un terme gravitationnel diérentiel et comparer l'inuence de la Lune et du Soleilpour analyser des documents scientiques.Établir et utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement volumique.

3. Eet des forces d'inertie de Coriolis dans un référentiel en rotation par rapportà un référentiel galiléen


Citer et utiliser l'expression de l'accélération de Coriolis.Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen,exprimer la la force d'inertie de Coriolis.Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétiquedans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.Utiliser l'expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientiques portant sur leseets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins.



II- Methodes

A) Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétiquedans un référentiel non galiléen : méthodedans R′ non galiléen, il faut ajouter aux forces ~F la force d'inertie d'entraînement :

~fie = −m.~ae (M)

et la force d'inertie de Coriolis :

~fiC = −m.~aC (M) = −2.m.~ΩR′/R ∧ ~vM/R′


B) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen entranslation par rapport à un référentiel galiléen : méthodeDans le cas d'une translation uniformément accélérée ~ae = a0~ux, alors la force d'inertie d'entraînementdérive de l'énergie potentielle Ep = ma0 x.


C) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen enrotation par rapport à un référentiel galiléen : méthodeDans le cas d'un référentiel R′ qui tourne à une vitesse angulaire ω constante par rapport à un référentielgaliléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielleEp = − 1

2mr2 ω2 en coordonnées cylindriques d'axe Oz.


D) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléenpour la force d'inertie de Coriolis : méthodeLa force d'inertie de Coriolis ne travaille pas.

III- Exercices supplémentaires


1.1) Pendule dans un ascenseur

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache leréférentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en Odans l'ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale.

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.



1) Déterminer la période T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants :1.a) L'ascenseur est immobile ;1.b) L'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.c) L'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz.

1) T = 2.π.√

lg+az

.

1.a) L'ascenseur est immobile : T = 2.π.√

lg .

1.b) L'ascenseur commence à monter : T = 2.π.√

lg+a .

1.c) L'ascenseur commence à descendre : T = 2.π.√

lg−a .

1.2) Pendule dans une voiture

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attachele référentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d'accélération~a = a.~ux.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en Odans le véhicule. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale (cet angle étant orienté,avec ~uz pointant vers nous, (~ux, ~uy, ~uz) étant un trièdre direct).

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = g.~uy.1) Déterminer l'équation diérentielle suivie par θ.2) Déterminer la position d'équilibre repérée par l'angle α que fait le l avec la verticale.3) Quelle est la période des petites oscillations autour de α ?On donne sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ et cos (α± β) = cosα. cosβ ∓ sinα. sinβ.

1) θ + g. sin θ−a. cos θl = 0.

2) α = arctan(ag

).

3) T = 2.π.√

lg. cosα+a. sinα .

1.3) Ressort vertical dans un ascenseur

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache leréférentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

On suspend en un point O de l'ascenseur un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à videl0 qui soutient un point matériel M de masse m (initialement immobile dans l'ascenseur).

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.1) Déterminer l'altitude z de M au cours du temps :

1.a) si l'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.b) si l'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz.

2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même siM n'est pas au repos initialement ?

1) z = z0. cos

(√km t+ ϕ

)− l0 − m

k (g + az).

Initialement, z0 = 0.1.a) L'ascenseur commence à monter : z = −l0 − m

k (g + a).1.b) L'ascenseur commence à descendre : z = −l0 − m

k (g − a).2) L'axe z peut être gradué pour az.

1.4) Avion "zéro g"

On suppose que l'intensité du champ de pesanteur est constante et vaut g = 10 m · s−2.1) Pour entraîner à l'impesanteur, un avion "zéro g" est, pendant une phase de durée ∆t, en chute libre.

Montrer que les passagers sont alors en impesanteur.



2) Quelle est alors la trajectoire de l'avion (assimilé à un point matériel) pendant cette phase ?3) L'altitude maximale de l'avion est h = 9000 m. Quelle est la durée maximale ∆tmax ?

∆tmax = 2√

2hg = 84 s.


2.5) Forces d'inertie sur un manège

On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaire ω par rapport à un référentiel galiléen autourde son axe xe Oz.

1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de masse m à une distancer de l'axe. Quel est son eet ?

2) Quel est l'eet de la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point matériel de masse m qui se déplaceavec une vitesse ~v horizontale ?

~fie = m.r.ω2~ur. La force d'inertie est donc centrifuge.La force d'inertie de Coriolis tend à faire tourner le point matériel vers la droite si le manège tourne dans

le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans le sens horaire.

2.6) Forces d'inertie d'entraînement sur la Terre

On peut supposer que le référentiel géocentrique est galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestreest en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotation Ω = 2π

24h~uz, où ~uz est orienté du Pôle Sud versle Pôle Nord.

Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centre de laTerre : r = RT (le rayon de la Terre), θ = π

2 − λ (λ est la latitude) et ϕ, la longitude.1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de masse m en ce point.

~fie = m.RT . cosλ.ω2. (cosλ.~ur − sinλ.~uθ).

2.7) Variations du poids sur la Terre

1) La direction indiquée par un l à plomb passe-t-elle par le centre de la Terre ?2) Comment varie le poids avec :

2.a) l'altitude ?2.b) la latitude ?

C'est à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus grand. Un objetest moins lourd en altitude.

2.8) Regulateur de Watt



Le régulateur de Watt est un système ingénieux mis en place dansdes machines pour réguler leur vitesse : plus la machine tournevite et plus les boules du régulateur se soulèvent, actionnant unevalve qui diminue l'arrivée de combustible, faisant ainsi diminuerla vitesse de rotation.Soit une boule de masse m assimilée à un point matériel M , lié parune tige de longueur L à un axe Oz qui tourne avec un vecteurrotation ~Ω = ω~ez. M se trouve à la distance r de Oz. On prendral'origine z = 0 de l'axe Oz à l'accroche de la tige.1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertied'entraînement ? On l'exprimera en fonction de θ. Exprimer l'éner-gie potentielle totale de M en fonction de θ et ω.2) En déduire l'altitude zM de M qui correspond à un équilibrestable. Vérier que l'expression a bien un sens.

2.9) Fluide en rotation

Soit un vase de rayon R contenant un liquide dont la surface libre est initialementà la hauteur h. On fait tourner le vase autour de son axe Oz à la vitesse angulaireω.1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie d'entraînement ?2) En déduire l'équation de la surface libre du liquide.

z = ω2 r2

2 g + cste.


3.10) Déviation vers l'est

La Terre (référentiel R′) est assimilée à unesphère homogène en rotation uniforme autour del'axe des pôles à la vitesse angulaire de moduleΩ = 2π

24h dans le référentiel géocentrique R sup-posé galiléen.On supposera ~g uniforme (|~g| = 9, 81 m · s−2).On s'intéresse à un point matériel qui tombe sansvitesse initiale. L'expérience a été faite dans unpuits de de profondeur h = 158 m , en Allemagne(de latitude λ = 55) de façon à négliger la résis-tance de l'air.Soit (~ex, ~ey, ~ez) la base orthonormée associée auréférentiel terrestre. ~ez est la verticale ascendante,~ex est suivant un méridien vers le sud et ~ey estsuivant un parallèle, vers l'est.1) Exprimer ~Ω dans la base (~ex, ~ey, ~ez) en fonc-tion de la latitude λ.

2) Ecrire le principe fondamental de la dynamique sous forme vectorielle dans R′ en fonction du poids etde la force d'inertie de Coriolis.

3) Dans la suite, la verticale est confondue avec la direction du poids. Projeter la précédente relation dansdans la base (~ex, ~ey, ~ez).



4) Simplier le système d'équations obtenues en tenant compte du fait que le déplacement suivant x et yreste faible par rapport à celui de z. On négligera les termes en dx

dt etdydt dans l'expression de la force de Coriolis.

5) En déduire sous ces hypothèses des expressions approchées de x(t), y(t) et z(t).6) Evaluer y au moment où la masse tombe sur le sol. Faire l'application numérique.

La déviation a lieu vers l'est de 23gΩ cosλ

(√2hg

) 32

= 5, 0 cm.

3.11) Le pendule de Foucault

Le pendule de Foucault est un pendule sans frottement, à petites oscillations. La pointe du mobile trace unsillon dans le sable le long de sa trajectoire.

1) Montrer que le plan d'oscillation du pendule tourne.2) Quelle serait la période du phénomène si le pendule de Foucault était suspendu au pôle nord ?3) La latitude de Paris est : λ ≈ 50N . Quelle est la période du phénomène observé au Panthéon ?

Au Pôle Nord, la période est de 23h56′.



Résolution de problèmevendredi 26 septembre 2013

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

2001 - L'Odyssée de l'espace

D'après les scènes du lmde Stanley Kubrick

Comment créer une pesanteur articielle dans l'espace ?

Dans le lm "2001 l'odyssée de l'espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial constitué d'un tore derayon R tourne autour de son axe Oz avec une vitesse angulaire ~Ω = ω.~ez constante dans un référentiel galiléen.

A gauche : ache du lm où l'on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du vaisseau.

Enoncé

1) Alors qu'ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore comme sur Terre : ils sontsoumis à une gravité articielle. Evaluer les valeurs numériques de R et de ω pour que les astronautes subissentune gravité articielle de valeur g = 9, 81 m · s−2, à 10% près entre les pieds et la tête.

2) Dans une des scènes du lm, un astronaute (Poole) fait un jogging dans le tore. Expliquer pourquoi ilpeut être très fatigant pour Poole de courir dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pourillustrer le raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?

Travaux pratiquesvendredi 26 septembre 2013

La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur les dipôles électrocinétiques.



Approche documentairevendredi 26 septembre 2013

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Castellan Matthieu et Cherki Léa feront un exposé.

La courbe antisecousse

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQIdées de physique c© Pour la Science - n 425 - Mars 2013

La spirale de Cornu, ou clothoïde, est utilisée en travaux publics dans l'amorcedes virages : cette courbe évite aux véhicules des secousses intempestives

Comment construire une route ou une voie de chemin de fer quiserpente ? Les amateurs de modélisme réalisent leurs circuits avec desrails rectilignes et en arcs de cercle. Ils ignorent que, lors de la tran-sition entre un rail droit et un rail circulaire, un passager serait fortincommodé par une secousse brutale ! Il existe pourtant une solution :construire les virages en forme de clothoïde, aussi nommée spirale deCornu. Ce tracé, où la courbure en chaque point est proportionnelle àla distance parcourue jusqu'à ce point, est notamment au service desbretelles d'autoroute et des loopings des montagnes russes.

Éviter les discontinuités de l'accélérationLa force subie par un véhicule est proportionnelle à son accéléra-

tion, c'est-à-dire à la variation de sa vitesse par unité de temps. Cettevariation peut porter sur la valeur de sa vitesse, par exemple lorsdu démarrage ou d'un freinage, mais aussi résulter d'un changementde direction. An d'éviter que la force résultante ne soit trop élevéeet ne fasse déraper le véhicule, cette variation doit être progressive.C'est pourquoi, en dehors des croisements, les routes et les voies dechemin de fer sont constituées de segments droits reliés par des seg-ments courbes. En choisissant des courbes en arc de cercle, donc d'unrayon de courbure constant, la force centrifuge subie par le véhiculeest constante si ce dernier a une vitesse constante en module. Ainsi, le véhicule ne dérape pas s'il entame lacourbe à la vitesse appropriée.

L'arc de cercle serait-ildonc la courbe idéale ? Ceraisonnement ignore une pro-priété répandue : l'élasticité.Un objet élastique se dé-forme proportionnellement àla force qui lui est appliquée. Sicette force s'annule d'un coup,toute l'énergie élastique sto-ckée est instantanément libé-rée. Pour en comprendre lesconséquences sur un véhicule,considérons un modèle simplede montagnes russes : un arcde cercle vertical se prolon-geant en son point le plus baspar une ligne horizontale (voirla gure 1).

Lâchons une roue le long del'arc et imaginons qu'elle roule



dessus sans frottement. Elle accélère à mesure qu'elle descend. Dans son référentiel, la roue subit, outre sonpoids, deux forces radiales : la force centrifuge appliquée à son centre d'inertie et la réaction centripète du railappliquée sur son bord. Sa vitesse est maximale au bas de l'arc de cercle, et il en est de même de la forcecentrifuge et de la réaction du rail.

Sous l'eet de ces deux forces, la roue se comprime et va entamer son mouvement sur le segment droit dans unétat de déformation maximale. Or à cet endroit, la trajectoire devient subitement rectiligne : la force centrifugedisparaît, la roue se détend et l'énergie élastique stockée se libère. Le calcul montre que cette libération peutprovoquer un rebond : alors que la jonction entre les rails est continue et sans arête, la roue est susceptible dedécoller ! Ce rebond n'existerait pas si l'on modélisait la roue par un point (une tentation de théoricien...). Quelsque soient la nature et le lieu de la déformation (moyeu, amortisseur, etc.), le rebond est dû à la discontinuitéde l'accélération et montre qu'il convient de s'intéresser aux variations temporelles de celle-ci.Une douce spiraleChacun a pu ressentir une telle secousse, par exemple lorsque le

conducteur d'un véhicule freine et ne relâche pas la pédale juste avantl'arrêt. Au cours de la phase de décélération, les passagers du véhiculesubissent une force d'inertie orientée vers l'avant. La vitesse décroîtprogressivement, jusqu'à s'annuler à l'arrêt du véhicule. À cet instant,la décélération et la force d'inertie cessent brusquement et nous avonsl'impression d'être projetés sur le dossier du siège. Pour éviter ce désa-grément, il ne sut pas de réduire l'accélération : dans ce cas précis, ilfaut qu'elle s'annule au même instant que la vitesse. C'est pourquoi leconducteur ajuste la pression qu'il exerce sur la pédale de frein justeavant l'arrêt.

Intéressons-nous maintenant au cas d'un véhicule roulant à vitesseconstante (en module). Comment assurer une accélération qui soitcontinue tout au long du parcours ? En tout point, l'accélération estproportionnelle à la courbure de la trajectoire, c'est-à-dire à l'inversedu rayon de courbure (et dirigée vers le centre de courbure).

Avec une courbure constante, on garantit évidemment la continuitéde l'accélération, mais les trajectoires sont alors soit des droites, soitdes cercles. La solution la plus simple pour varier les trajectoires est defaire appel à des courbes dont la courbure (et, partant, l'accélération)augmente linéairement avec la distance parcourue. Une telle courbe,qui s'enroule peu à peu sur elle-même, n'est autre que la clothoïde,connue également sous les noms de spirale de Cornu, spirale d'Eulerou encore spirale de Fresnel.

Les bretelles qui relient une route à une autre ont souvent la formede clothoïde, notamment dans les échangeurs d'autoroute. Elle esten eet particulièrement adaptée pour joindre un segment droit à unsegment en arc de cercle, puisque sa courbure peut varier continûmentde zéro, à son début, jusqu'à la valeur du rayon de l'arc de cercle (voir la gure 2). La combinaison clothoïde -arcde cercle- clothoïde permet même de relier deux segments droits. Par ailleurs, pour qu'un véhicule de vitesseconstante suive une route en clothoïde, le conducteur doit tourner son volant à vitesse angulaire constante, uneman÷uvre plus aisée que d'autres. Enn, la force centrifuge subie par les passagers augmente de façon continueet leur confort est donc maximal.Des loopings plus confortablesOn retrouve la clothoïde dans les chemins de fer et notamment pour les trains rapides. Dans les virages où

la vitesse est élevée, la voie présente un dévers, c'est-à- dire une inclinaison choisie de façon que la résultante dupoids et de la force centrifuge soit perpendiculaire au plan de la voie. Les rails ne subissent alors pas de forceslatérales de la part du train. Un calcul simple montre que le dévers doit être proportionnel à l'accélération,donc à la courbure. Pour que le dévers évolue de façon continue à partir d'une voie horizontale, il faut donc quel'accélération en fasse de même, d'où l'intérêt des clothoïdes.

Une autre application des clothoïdes porte sur les montagnes russes (voir la gure 3). Les loopings modernesne sont plus forcément circulaires. En dehors du problème déjà évoqué de la secousse lors de la transition ducercle à la droite, un autre désagrément provient des accélérations subies par le passager. Si l'on souhaite qu'aupoint le plus haut, la force centrifuge compense le poids (avec la tête en bas, les épaules n'appuieront pas sur leharnais), on s'aperçoit que tout en bas, dans le cas d'un looping circulaire, elle lui serait cinq fois supérieure :l'accélération ressentie par le passager serait alors égale à 6g, six fois l'accélération de la pesanteur, valeurdicilement acceptable pour un public familial !



Cette forte accélération a pour origine le fait que la vitesse du wagon, donc la force centrifuge (à courbureconstante), diminue à mesure que le véhicule s'élève : la condition à respecter au sommet impose une vitessed'entrée dans le looping trop élevée. En choisissant un looping au moins partiellement en spirale de Cornu, onentame la montée avec des courbures faibles à vitesse élevée et on l'achève avec des courbures plus fortes, maisune vitesse inférieure. L'accélération ressentie peut ainsi être ramenée à des valeurs plus supportables (autourde 3g-4g), notamment pour les enfants.

Enoncé

1) Calculs préliminaires de l'accélération1.a) Exprimer l'accélération d'un véhicule assimilé à un point matériel dans le repère de Frénet (~ut, ~un)

en fonction de la courbure C (l'inverse du rayon de courbure) et de la norme de la vitesse v.1.b) Vérier que l'accélération ~a de ce véhicule "peut porter sur la valeur de sa vitesse, par exemple

lors du démarrage ou d'un freinage, mais aussi résulter d'un changement de direction".2) Le cas du trajet de la gure 1

2.a) Vérier que "en choisissant des courbes en arc de cercle, donc d'un rayon de courbure constant, laforce centrifuge subie par le véhicule est constante si ce dernier a une vitesse constante en module".

2.b) Est-ce que, lorsque "la trajectoire devient subitement rectiligne, la force centrifuge disparaît" ?2.c) Y a-t-il "discontinuité de l'accélération" lors du trajet de la gure 1 ?

3) Le cas du freinage d'une voiture en ligne droite3.a) Calculer l'accélération de la voiture avant (t < 0) et après (t > 0) l'arrêt.3.b) Montrer que "au cours de la phase de décélération, les passagers du véhicule subissent une force

d'inertie orientée vers l'avant."3.c) Sous quelle condition y a-t-il continuité de la force d'inertie à l'arrêt de la voiture ?

4) Le cas d'un train à vitesse constante dans un virage4.a) Faire un schéma des forces appliquées sur le train dans un virage de façon que "la résultante du

poids et de la force centrifuge soit perpendiculaire au plan de la voie". On fera apparaître l'angle φ d'inclinaisondes rails par rapport à l'horizontale.

4.b) Faire "un calcul simple [qui] montre que le dévers doit être proportionnel à l'accélération, donc àla courbure". On dénira pour cela le devers en fonction de φ.

5) Le cas des montagnes russes dans un looping circulaire5.a) Quelle est la condition sur la norme de la vitesse vh pour "qu'au point le plus haut, la force

centrifuge compense le poids" ?5.b) En appliquant un théorème énergétique au wagon de la montagne russe, déterminer alors la norme

de la vitesse vb "d'entrée dans le looping". On négligera les frottements.5.c) Quelle est alors "tout en bas [...] l'accélération ressentie par le passager" ? Comparer la valeur

trouvée avec celle de l'énoncé.

Devoir surveillésamedi 27 septembre 2013

Un DS commun aura lieu samedi 27 septembre 2013 de 8h à 12h, il portera sur toute la thermodynamique.


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