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Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 1
LiSA 2004
Mémoire de fin d’études Licence de Statistique Appliquée
Sujet
Année Universitaire : 2003 - 2004
Université Mohammed V – Agdal Faculté des sciences
Département de Mathématiques & d’Informatique
-Rabat-
Sous la direction de : Driss MISANE Abdelhak ZOGLAT
Soutenu par : Ahmed MAHI Mohamed EZZAHDI
Analyse de risque du marché des actions
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 2
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Analyse de risque du marché des actions 3
Sommaire
Remerciements ........................................................................................................................... 5 Introduction ............................................................................................................................ 8
I. les différentes composantes du marché financier ............................................................... 9 I.1.le marché primaire ........................................................................................................ 9 I.2 le marché secondaire..................................................................................................... 9
II la société de bourse des valeurs de Casablanca................................................................ 10 II.1. présentation de la bourse des valeurs ....................................................................... 10 1I.2.les principaux intervenants ....................................................................................... 10 II.3 structure du marché boursier ..................................................................................... 12
III. les actions ....................................................................................................................... 12 III.1.les droits des actionnaires......................................................................................... 13 III.2. les différents types d’actions ................................................................................... 14 III.3 la forme juridique des actions .................................................................................. 15
IV.les obligations ................................................................................................................. 16
V. les obligations convertibles en actions ............................................................................ 16
VI. les certificats d’investissement....................................................................................... 16
I-les concepts de base........................................................................................................... 18 I.1 la rentabilité ................................................................................................................ 18 I.2. le risque...................................................................................................................... 18 I.3- la diversification ........................................................................................................ 18
II les portefeuilles efficients et frontière de Markowitz...................................................... 20 CALCUL DE LA FRONTIERE EFFICIENTE............................................................... 21
III. la droite de marché des capitaux .................................................................................... 28
IV-Le modèle de marché...................................................................................................... 29 Cas d’actions individuelles : ............................................................................................ 29
V la Mesure de la performance d’un portefeuille ................................................................ 30 V.1.La méthode de Treynor ............................................................................................. 31 V.2.la méthode de Sharpe ................................................................................................ 31 V.3.méthode de Jensen..................................................................................................... 32
I. Estimation du couple risque-rentabilité selon MArkowitz ............................................... 34 I.1.présentation des données : .......................................................................................... 34 I.2.calcul des rentabilités de chaque action : .................................................................... 34 -Rentabilités hebdomadaires-........................................................................................... 35 I.3 calcul de la variance de chaque action. ....................................................................... 35
II. Construction de la frontière efficience ............................................................................ 36 II.1.Calcul des rentabilités et risques des portefeuilles : ................................................ 36 II.2 La courbe efficiente : ................................................................................................. 39
Méthode de recherche taboue............................................................................................... 39 III. Maximisation de la fourchette basse .......................................................................... 40
Introduction .......................................................................................................................... 42 1 Choix de l’outil de programmation ............................................................................... 42 2 Présentation de l'application..................................................................................... 42
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Analyse de risque du marché des actions 4
CONCLUSION ........................................................................................................................ 48
Annexe 1 .................................................................................................................................. 50
Annexe 2 .................................................................................................................................. 51
Annexe 3 .................................................................................................................................. 52
Annexe 4 .................................................................................................................................. 53
REFERENCES BIBIOGRAPHIQUES.................................................................................... 55
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Analyse de risque du marché des actions 5
Remerciements Remerciements Remerciements Remerciements
Il nous est agréable de nous acquitter d’une dette de
reconnaissance auprès de toutes les personnes, dont l’intervention
au cours de ce projet, a favorisé son aboutissement.
Ainsi, nous exprimons notre profonde gratitude à notre
encadrant Monsieur Driss MISANE pour sa disponibilité et pour
son aide précieuse au long de ce projet et Monsieur Abdelhak
ZOGLAT pour ses orientations et ses conseils au cours de ce
projet.
Nos remerciements vont également aux personnels enseignants de
LISA pour leur déroulement tout au long de notre cursus. En
particulier, aux membre du jury d’avoir accepté de juger notre
travail.
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Analyse de risque du marché des actions 6
Ce travail a pour principal objectif l'application des théories financières d'analyse de
risque et de gestion des portefeuilles d'action au cas marocain (bourse de Casablanca).
La détermination de portefeuilles optimaux d'actions est le but de l’investisseur. Cette
détermination nécessite comme première étape le calcul de rentabilité espérée et le risque
anticipé de chaque action.
Le calcul est basé sur des données hebdomadaires pour éviter le bruit statistique. L'étape
suivant consiste à formuler le problème d'optimisation de Markowitz selon les contraintes
existent dans le marché marocain le résoudre pour obtenir les différentes pondérations puis
construite la frontière efficiente.
L’application décrite dans le dernier chapitre est un outil de programmation très important
pour notre étude.
Le présent rapport est organisé essentiellement en quatre chapitres, le premier chapitre est
consacré au fonctionnement du marché. Le deuxième chapitre donne la définition (selon le
modèle de Markowitz)du couple risque-rentabilité et traite le problème de la construction de
la frontière efficiente de Markowitz ; le modèle du marché des actifs financiers et les
différentes méthodes de la mesure de performance d’un portefeuille .Le troisième chapitre
décrit le travail pratique à savoir l'estimation, l'algorithme d'optimisation....Enfin le quatrième
chapitre donne une description de l'application informatique.
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Analyse de risque du marché des actions 7
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Analyse de risque du marché des actions 8
Introduction
Le marché financier doit son existence à la confrontation entre l´offre et la demande de
capitaux. C´est un système de collecte, de transformation et d’allocation de ressources
financières.
L´offre des capitaux provient des agents économiques possédant des ressources
disponibles qu´ils désirent rentabiliser à l’aide de placements sur le marché financier. Ces
agents : les personnes physiques, les organismes de placement collectif en valeurs mobilières
(OPCVM), les investisseurs institutionnels marocains ou étrangers et enfin les entreprises et
établissements de crédit.
La demande des capitaux provient des besoins de financement des différents agents
économiques que l´ on peut regrouper en trois catégories : l´Etat, les entreprises et les
instructions financières.
Le marché financier est scindé en deux sous marché complémentaires : le marché
primaire et le marché secondaire.
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Analyse de risque du marché des actions 9
I. les différentes composantes du marché financier I.1.le marché primaire Le marché primaire est le marché d’émission des titres. Sa fonction est de drainer le flux
de capitaux généré par l´épargne de ménages (offre de capitaux) et de le transformer en
ressource à long terme pour les organismes publics et privés (demande de capitaux).
Ce processus de transformation donne lieu à l´émission, par les entreprises, des valeurs
mobilières représentant les droits acquis par les épargnants. Les titres émis (ou valeurs
mobilière) sont des actions, des obligations ou des titres de créances.
Les entreprises émettent des actions afin d´augmenter leur capitaux en numéraire, et ce pour
deux raisons :
-le renforcement des fonds propres ;
-ou l’introduction en bourse.
L’Etat et les entreprises, publiques ou privées, émettent des obligations pour se procurer
des capitaux permanents.
Notons que la part grandissante des marchés financiers dans les grands pays industriels donne
lieu au phénomène de désintermédiation ou marchéisation.
On définit le taux d’intermédiation d´une économie comme le rapport entre les crédits
accordés par les institutions financières et le total des financements de crédit de ces
financements de cette économie, ou encore comme le part des ressources collectées par les
établissements de crédit dans l’ensemble des placements.
I.2 le marché secondaire Au Maroc, il existe deux marchés secondaires : le marché secondaire de bons du trésor et
la bourse des valeurs de Casablanca. Nous restreindrons à l’étude de cette dernière.
La principale fonction de la bourse des valeurs de Casablanca est d’assurer la liquidité
et la mobilité de l’épargne investie à long terme. De part sa fonction de négociation des titres
anciens, la bourse assure le bon fonctionnement du marché primaire.
Les investisseurs ont la possibilité de négocier à tout moment les valeurs mobilières qui
constituent leurs portefeuilles et d’en acquérir de nouvelles. Cette liquidité du marché leur
confère le pouvoir de réaliser des arbitrages de portefeuille.
Il est important de savoir que le marché secondaire fonctionne d’autant mieux que la
liquidité est importante.
La liquidité est mesurée par :
-la capitalisation boursière ;
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Analyse de risque du marché des actions 10
-le flottant ;
-le volume de transaction ;
-certaines combinaisons de ces critères.
II la société de bourse des valeurs de Casablanca
II.1. présentation de la bourse des valeurs
La bourse des valeurs de Casablanca est aujourd’hui une société anonyme privée dont le
capital social s’élève à 11.818.300 dh. Ce capital est toujours détenu à parts égales par l’ensemble
des sociétés de bourse, lesquelles sont actuellement au nombre de treize.
Les récentes réformes ont profondément modifié le fonctionnement de la bourse des valeurs
de Casablanca. Elles s’inscrivent dans un processus global de modernisation de l’économie
nationale par l’intermédiaire de l’ouverture du capital des entreprises marocaines.
Ainsi, la bourse des valeurs de Casablanca s’efforce de mettre en place une organisation respectant
des normes internationalement reconnues afin de renforcer sa crédibilité et d’obtenir plus de
transparence et de sécurité dans le déroulement des transactions.
Les missions de la bourse des valeurs de Casablanca sont au nombre cinq :
-procéder l’introduction et à la radiation des valeurs mobilières à la cote de la bourse des valeurs ;
-veiller au respect des lois et réglementes relatifs aux opérations effectuées par les sociétés de
bourse ;
-communiquer au CDVM les éventuelles infractions constatées ;
-enregistrer les opérations relatives aux valeurs mobilières le jour où elles sont effectuées ;
-procéder à l’organisation de compensation livraison et règlement des titres.
1I.2.les principaux intervenants II.2.1 la société de bourse des valeurs de Casablanca (SBVC)
La SBVC est une anonyme privée à qui le ministère des finances a concédé la gestion de la
bourse. Son capital est détenu à parts égales les sociétés de bourse. Le dahir portant loi de 1993 a
assigné à la SBVC les missions suivantes :
-gérer la bourse, enregistrer et publier les transactions ;
-prononcer les introductions et les radiations des valeurs ;
-assurer le règlement des transactions et la livraison des titres ;
-veiller à la conformité des opérations de bourse avec le règlement.
II.2.2 le conseil déontologique des valeurs mobilières (CDVM).
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Analyse de risque du marché des actions 11
Le CDVM est un établissement public, doté de la personnalité morale et l’autonomie financière. Il
est l’autorité de contrôle du marché des valeurs mobilières ayant pour mission de :
Protéger l'économie ;
Contrôler l’information devant être fournie, par les personnes morales faisant appel
public à l’épargne, aux porteurs de valeurs mobilières et au public ;
-veiller au bon fonctionnement du marché des valeurs mobilières ;
-assister le gouvernement dans l’exercice de ses attributions en matière de réglementation du
marché des valeurs mobilières.
II.2.3. le dépositaire central (maroclear)
Dépositaire central assure la conservation des titres et tient les comptes de ses affiliés, à
savoir : les émetteurs, les banques et les sociétés de bourse.
II.2.4. les sociétés de bourse
SDB exercent le monopole de la négociation boursière, autrement dit toute opération
d’achat ou vente de valeurs mobilières cotées à la bourse de Casablanca doit obligatoirement
transiter par une société de bourse. Les SDB peuvent également :
-assurer la garde de titres ;
-gérer des portefeuilles de valeurs mobilières en vertu d’un mandat ;
-conseiller et démarcher la clientèle pour l’acquisition ou vente de valeurs mobilières ;
-conseiller et démarcher les entreprises pour une éventuelle introduction en bourse.
II.2.5.l’association professionnelle des sociétés de bourse (APSB)
L’APSB est une association regroupant touts les négociateurs opérant à la bourse de
Casablanca, elle est la porte parole des sociétés de bourse vis-à-vis de l’organisme de tutelle et des
partenaires socio-économiques. Ses objectifs sont :
-veiller à l’observation des dispositions des lois et règlements organisants l’activité des sociétés
de bourse ;
-défendre les intérêts collectifs et individuels de ses membres ;
-veiller au respect de la déontologie, à la cohésion entre ses membres et à l’innovation dans les
métiers boursiers.
II.2.6.les organismes de placement collectif en valeurs mobilières (OPCVM)
Les OPCVM ont pour objet la gestion de portefeuilles de titres et liquidités.
Autrement dit, les OPCVM permettent aux épargnants d’investir en bourse par délégation. Il
existe deux sortes d’OPCVM.
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Analyse de risque du marché des actions 12
Les SICAV (sociétés d’investissement à capital variable) sont dotées de la personnalité
morale. Ce sont des sociétés anonymes dont le capital évolue en fonction des achats et ventes par
leurs actionnaires ;
Les FCP (fonds communs de placement) n’ont pas de personnalité morale. Ce sont des
copropriétés des valeurs mobilières et de liquidités qui émettent des parts représentatives des
valeurs mobilières détenues dans le portefeuille.
II.3 structure du marché boursier L’activité de la bourse de Casablanca s’articule autour de deux marchés : le marché
central et le marché de blocs.
Le marché central occupe une position privilégiée du fait que toutes les transactions
sur les valeurs mobilières, excepté les transactions de blocs, doivent nécessairement transiter
par celui-ci.
Ainsi, le marché boursier marocain, dynamisé par l’activité des sociétés de bourse, est un
marché centralisé et régi par les ordres d’achat et de vente des valeurs mobilières.
Le marché de blocs : il arrive parfois que certains ordres d’investisseurs institutionnels
ne puissent être exécutés intégralement au moment où ils sont présentés, du fait d’une
insuffisante contrepartie sur la feuille de marché.
De tels ordres sont alors négociés directement sur le marché de blocs à un cours obtenu par la
feuille du marché.
Les transactions sur le marché de blocs sont tenues de satisfaire les deux contraintes
suivantes :
-le cours de chaque valeur doit nécessairement appartenir à une fourchette des prix moyens
pondérés (FMP), calculée automatiquement à partir de la feuille de marché tout le long de la
séance.
-le nombre de titres négociés doit être supérieur à la taille minimale de bloc.
III. les actions Définition :
L’action est un titre d’associé qui représente un droit de propriété négociable sur une
fraction du capital social. Elle confère à son propriétaire plusieurs doits et prérogatives dont
principalement :
-le droit au vote qui permet une participation active à la vie de la société émettrice à travers
les assemblées générales des actionnaires ;
-le droit de percevoir, proportionnellement au bénéfice distribué, une part de revenus sous
forme de dividendes ;
-le droit préférentiel de souscription lors d’une augmentation de capital ;
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Analyse de risque du marché des actions 13
-le droit d’attribution lors d’une augmentation de capital par incorporation des réserves ;
-le droit de communication sociale.
Les actions sont des valeurs à revenus variables.
III.1.les droits des actionnaires Les différents droits qui sont conférés par les actions à leurs détenteurs peuvent être
regroupés en grandes catégories :
- les droits à caractère pécuniaire;
- les droits à caractère extrapatrimoniaux.
Droits à caractères pécuniaires Droits à caractères extrapatrimoniaux
-droit aux dividendes
-droit aux actions gratuites
-droit préférentiel de souscription
-droit aux augmentations de capital
-droit au remboursement de l’apport et au
boni de liquidation
-droit à l’information
-droit de vote
-participation indirecte à la gestion
Les droits à caractère pécuniaire :
Comme on peut voir sur le tableau précédent, les droits à caractère pécuniaire sont les
suivants :
• Le droit au dividende :
Définition : le dividende est de revenu de l’action.
Les dividendes proviennent des résultats bénéficiaires de l’entreprise : ils
correspondent à la part du bénéfices net distribué aux actionnaires.
Ainsi les actionnaires n’obtiennent des revenus des actions que lorsque la société a réalisé
des bénéfices et a décidé d’en distribuer une partie ou la totalité.
• Le droit de recevoir des actions gratuites :
Lors de l’augmentation du capital d’une société par incorporation de réserves, bénéfices
ou primes d’émissions, les actionnaires ont le droit de disposer d’actions nouvelles qui
leur sont distribuées gratuitement.
Ce droit, appelé droit d’attribution, est négociable et cessible en bource, tout comme le
droit de souscription.
Les sommes versées aux actionnaires augmentent lorsque la société procède à une
distribution d’actions gratuites avec maintien du coupon sur les nouveaux titres. Le
marché du titre devient alors plus liquide.
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Analyse de risque du marché des actions 14
Lors du détachement du droit d’attribution, la valeur du titre baisse légèrement, mais
revient souvent à son niveau antérieur rapidement.
Sa valeur en bourse dépend du l’offre et la demande du moment.
• Le droit préférentiel de souscription :
Ce droit correspond au droit de souscrire aux nouvelles actions, aux obligations
convertibles en actions et aux obligations avec bons de souscription d’actions.
Lorsqu’une société décide d’augmenter son capital en numéraire suite à la décision d’une
assemblée générale extraordinaire, des droits préférentiels de souscription sont accordés
aux anciens actionnaires.
L’exercice de ce droit n’est pas obligatoire. Le droit préférentiel de souscription peut être
cédé. Dans ce cas il devient négociable durant la période de souscription.
La valeur minimale du prix d’émission correspond à la valeur nominale de l’action. De
plus, ce prix d’émission est inférieur de 20% environ du cours de l’action en bourse, la
différence constituant la prime d’émission.
• Le droit aux augmentations de capital.
• Le droit au remboursement et au boni de liquidation :
Ce droit consiste au remboursement éventuel de la valeur nominale de l’action et au boni
de liquidation à la dissolution ou à la liquidation de la société.
Les droits à caractère extra-patrimonal :
• Le droit d’information :
Les actionnaires peuvent accéder à tout instant aux informations relatives à la société
telles que : les statuts de la société, les documents sociaux relatifs aux derniers
exercices…
• Le droit de vote :
Il correspond au droit de vote aux assemblées générales ordinaires et extraordinaires.
Il est proportionnel au nombre d’actions détenues. Certaines actions peuvent avoir un
droit de vote multiple.
• La participation indirecte à la gestion :
On distingue :
-le droit d’éligibilité aux fonctions d’administrateurs ;
-le droit d’exercer certaines actions en justice.
III.2. les différents types d’actions On recense cinq grands types d’actions
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Analyse de risque du marché des actions 15
1. les actions du capital :
Ce sont des actions ordinaires qui ont été souscrites en numéraire :
-au moment de la création de la société ;
-lors d’une augmentation de capital ;
-lors d’une distribution d’actions gratuites.
2. les actions d’apport :
Ce sont des actions attribuées aux personnes physiques ou morales qui ont fait des
apports matériels à la société. Les actions d’apport ont les mêmes droits que les actions de
capital.
3. les actions prioritaires :
Les actions prioritaires donnent soit de vote double, soit un droit prioritaire sur les
bénéfices sans droit de vote.
4. les actions de jouissance :
La valeur en capital de ces actions est préalablement remboursée aux actionnaires par
l’intermédiaire d’une stipulation statutaire ou après décision de l’assemblée générale
extraordinaire et ce, grâce aux bénéfices distribuables.
5. les actions de capital non amorti :
La valeur en capital de ce type d’actions n’a pas encore été amortie, contrairement aux
actions de jouissance : elle le sera progressivement par la suite
III.3 la forme juridique des actions
Les actions peuvent être en deux types nominatives :
1. les actions nominatives :
Un titre nominatif est attribué au propriétaire de ces actions ; son nom est alors inscrit
sur le registre de transfert de la société. Lors du transfert de la propriété de ces titres, le
nom du nouveau propriétaire figurera dorénavant sur le registre. Les actions nominatives
ne sont pas matérialisées.
Ces titres nominatifs présentent deux avantages majeurs pour la société émettrice :
-connaître l’identité de ses actionnaires ;
-pouvoir éviter des opérations défavorables relatives au contrôle de celle-ci.
Cependant, les frais de gestion des actions nominatives sont assez lourds.
2. les actions au porteur :
Ce sont des titres anonymes transmissibles par simple traduction. L’avantage de ces
titres réside dans simplicité de leur gestion, contrairement aux titres nominatifs ;
Cependant, la société ne maîtrise pas le contrôle de cession/transfert de son capital.
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Analyse de risque du marché des actions 16
IV.les obligations D’après l’article N° 292 de la loi N° 17-95, « les obligations sont des titres négociables
qui, dans une même émission, confèrent les mêmes droits de créance pour une même valeurs
nominales ».
Définition : les obligations sont des titres représentatifs d’une créance à long terme,
négociable et à revenu fixe.
La différence existant entre l’actionnaire et l’obligataire est que le premier est un associé
de l’entreprise, tandis que le second en est un créancier.
Les seules institutions autorisées à émettre des emprunts obligataires sont :
- l’état (le trésor) ;
- les entreprises publiques ou semi-publiques autorisées ou garanties par l’état (BNDE,
CIH, CNCA…) ;
- les sociétés anonymes ayant deux ans ou plus d’existence et un capital entièrement
libéré.
V. les obligations convertibles en actions Les obligations convertibles en actions sont des titres hybrides entre les actions et les
obligations. Seules les sociétés anonymes ayant plus de deux ans d’existence, un capital
entièrement libère et non détenu à plus de 50% par l’état, sont autorisés à émettre ces titres.
L’exemple le plus célèbre d’obligations convertibles en actions est celui des bons de
privatisation.
VI. les certificats d’investissement Les certificats d’investissement sont des titres créés suite à la décision d’une assemblée
générale extraordinaire. Leur détenteur renonce alors à son droit de vote, il ne conserve que le
droit pécuniaire.
La proportion de certificats d’investissement émis par une société ne peut en aucun cas
dépasser le quart de son capital social. Le certificat d’investissement est négociable en bourse.
De plus, sa valeur est égale à la valeur nominale d’une action.
Les certificats d’investissement ont pour principal objectif l’augmentation du capital de
la société tout en permettant aux anciens actionnaires d’en garder le contrôle. Il est à noter que
le certificat d’investissement peut se transformer en action ordinaire après acquisition d’un
certificat de droit de vote.
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Analyse de risque du marché des actions 17
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Analyse de risque du marché des actions 18
I- les concepts de base
I.1 la rentabilité
Le taux de rentabilité :
Le taux de rentabilité d’un actif financier obtenue par un investisseur au cours d’une période t
(c'est-à-dire entre la fin de la période t-1 et la fin de la période t) se définit comme suit :
RT= (PT - PT-1)/ PT-1 + DT/PT-1
Où :
DT : dividende encaissé pendant la période T ;
PT : cours du titre à la fin de la période T ;
PT-1 : cours du titre à la fin de la période T-1 ;
Le taux de rentabilité se divise donc en deux composantes :
-le taux de rendement du titre : DT/PT-1 ;
-la plus value ou moins value réalisée entre T-1 et T ;
-la plus value ou moins value réalisée entre T-1 et T : (PT - PT-1)/ PT-1 ;
Et l’estimation de la rentabilité espérée s’écrit comme la moyenne des RT
_
R =h1 ∑
=
h
t
tR1
Où h est le nombre de périodes utilisées pour l’estimation
I.2. le risque Le risque d’un actif financier se définit comme l’incertitude résidant dans la
connaissance des valeurs de cet actif à des dates futures. Le risque d’un investissement dans
une valeur mobilière est mesuré par la dispersion ou variabilité de sa rentabilité.
Pour l’actif i, à la fin de la période t : risque i=var (Rt)
La mesure de variabilité la plus couramment utilisée est l’écart type σ (RT)= )var( TR
et avec l’utilisation des données historiques la variance peut être estimer par
σ²= )2
1
(1 RRh
h
t
t −∑=
Où Rt est le taux de rentabilité pendant la période t.
Et h est le nombre de périodes utilisées pour l’estimation.
Il faut savoir que le risque-rentabilité est indissociable : les valeurs à haut risque sont
généralement celles qui donnent une rentabilité élevée et inversement.
I.3- la diversification
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 19
Il existe un moyen pour l’investisseur de réduire le risque inhérent à chaque actif. Pour
cela, il lui faut constituer un portefeuille contenants plusieurs actifs.
La rentabilité du portefeuille est alors définie comme la moyenne des rentabilités des
actifs qui le composent, pondérée par les poids respectifs de ces actifs dans le portefeuille.
Pour un portefeuille composé de n actifs, le taux de rentabilité du portefeuille P est
simplement la moyenne des taux de rentabilité des actions qui le composent pondérée par
leurs proportions dans le portefeuille.
Autrement dit : Rp= i
n
i
Rx i∑= 1
avec 11
=∑=
n
i
ix .
En passant à l’espérance mathématique, on obtient la rentabilité espérée du portefeuille P :
rp=E(Rp)= i
n
i
rx i∑= 1
Lorsqu’on utilise des données historiques, on estime la rentabilité espérée du portefeuille
par :
∑=
=n
i
iip RxR1
______
le risque du portefeuille quand à lui n’est pas une moyenne pondérée des risques des
actifs qui lui le composent : il dépend à la fois du risque de ces actifs , chacun pris isolément,
mais aussi de la façon dont leur rentabilité est affectée par les événements perturbateurs des
cours boursiers. Cette interdépendance entre les rentabilités se mesure par les covariances et
les coefficients de corrélations des différents cours boursiers.
C’est ainsi que l’on peut constituer un portefeuille tel que les coefficients de corrélation
des actifs qui le constituent soient de signe opposé et de ce fait, permettent de réduire, sinon
d’annuler le risque global du portefeuille.
La variance du portefeuille s’écrit :
== ∑=
)()(1
i
n
i
iP RxVarRVar ),(2)(1
2 jij
ji
ii
n
ii RRCovxxRVarx ∑∑
≠=+
Où Cov (Ri ,Rj) est la covariance entre les taux de rentabilité Ri et Rj
Souvent la covariance s’écrit sous la forme : Cov(Ri ,Rj)=ρσiσj
Où ρ le coefficient de corrélation entre les variables Ri et Rj, défini par : ρ= σij/σiσj
Le coefficient de corrélation vérifie toujours la double inégalité : -1≤ ρ 1≤
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 20
Si ρ=1 on parle de corrélation parfaite et positive. Elle est dite parfaite et négative si ρ=-1 et
nulle si ρ=0.
II les portefeuilles efficients et frontière de Markowitz Cette partie consiste à trouver le meilleur portefeuille pour l’investisseur ce problème
est résolu avec la réduction du risque autrement dit c’est chercher les proportions xi qui
donnent un risque minimum avec une rentabilité fixé pour cette portefeuille.
** Markowitz (1959) a développé une méthode de solution générale du problème de la
structure des portefeuilles qui incorpore le traitement quantifié du risque. Cette méthode
utilise uniquement les concepts de moyenne pour la rentabilité espérée et de variance pour
l’incertitude d’associée à cette rentabilité, d’ou le nom de critère « moyenne- variance »
associé à l’analyse de Markowitz .
La sélection d’un portefeuille est généralement précédée par l’analyse financière d’un
ensemble d’actions individuelles. Si l’objet de l’investisseur est de maximiser ses gains
futurs ou son espérance de gains futurs, son portefeuille ne sera constitué d’une seule valeur,
celle qui assure la rentabilité espérée maximale.
Cependant aucun investisseur ne détient simplement une valeur mais plutôt un portefeuille
diversifié. Si la rentabilité est grande, le risque qu’elle ne soit pas réalisée est généralement
élevé et il semble préférable à aucun de répartir les risques sur un ensemble de « bonnes »
valeurs. Ainsi on va montré statistiquement comment la diversification réduisait le risque total
d’un portefeuille.
Si on représente sur un graphique chaque action individuelle caractérisée par son risque
et sa rentabilité espérée, on obtient la figure1. En combinant ces actions en des portefeuilles
on peut arriver à réduire le risque pour une même rentabilité. En les combinant en des
proportions diverses on obtient un ensemble de portefeuilles représentés par la courbe (fig
2) qui joint les points représentatifs de deux actions A et B. En effectuant toutes les
combinaisons possibles de portefeuilles de valeurs mobilières. On obtient un ensemble de
portefeuilles optimaux généralement appelé frontière efficiente, laquelle est représentée sur
la figure 3 par la linge AB. Ces portefeuilles optimaux ou efficients sont tels pour un niveau
de risque donné ils minimisent le risque.
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Analyse de risque du marché des actions 21
rentabilité rentabilité espérée Χ espérée B Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ A fig1 fig2 risque risque
rentabilité espérée
B Χ Χ Χ Χ Χ Χ X Χ Χ Χ A Χ Χ X Χ Fig3 Risque
CALCUL DE LA FRONTIERE EFFICIENTE Formulation mathématique du problème:
M i nx x x n
P x i x j i jji1 2
2
, , . . ,σ σ= ∑∑
Sous les contraintes:
x E E
x
j j Pj
jj
=∑
=∑ 1
NB : Il s'agit d'un problème d'optimisation sous contraintes.
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Analyse de risque du marché des actions 22
Sous forme matricielle :
Min X' X
X
Ω
Sous les contraintes:
X'E = EP x'U = 1
x vecteur n×1 des pondérations
Ω matrice n×n des variances et covariances
E vecteur n×1 des rentabilités attendues
U vecteur n×1 unitaire
U = [1, 1, 1, ..., 1]'
La solution est obtenue en appliquant la technique des multiplicateurs de Lagrange.
Principaux résultats (pour le détail des calculs, voir plus loin)
1. Composition d'un portefeuille efficient:
X = G EP + H
G, H : vecteur n×1
H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum
ayant une rentabilité attendue nulle
G+H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant
une rentabilité attendue égale à l'unité
E P
σP
1−−
c
a--c
H
1G+H
2. Equation de la frontière efficiente:
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Analyse de risque du marché des actions 23
σ P P Pk E k E k22
21 0= + +
3. Portefeuille optimal
Le portefeuille optimal M est caractérisé par le fait que la droite rfM est tangente à la
frontière efficiente au point M. ou rf est la rentabilité de l’actif sans risque c’est à dire que
cet actif vérifie :
E(Rf)=rf ; Var(Rf)=0 et cov(Rf ,Ri)=0 pour tout i .
Ro peut être le taux d’intérêt correspondant à l’horizon de placement de l’investisseur.
M
r f
E(r)
σ
Pour identifier M:
1. déterminer l'équation de la tangente
2. égaler l'ordonnée à l'origine avec le taux sans risque
3. en déduire EM
f
fM rkk
rkkE
21
10
2
2
++
−=
Connaissant EM, on obtient X et σM2
-Développements mathématiques:
Le lagrangien à minimiser s'écrit:
U)X’-(12+E)X’-(E2+XX’=),L(X, 2P121 λλλλ Ω
Les conditions nécessaires sont:
0=1-XU’
0=E-XE’
0=U-E-X
P
21 λλΩ
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Analyse de risque du marché des actions 24
Il s'agit d'un système de n+2 équations linéaires à n+2 inconnues: X, λ1, λ2
De la première condition, on tire:
U+E=X -12
-11 ΩΩ λλ [1]
En remplaçant dans les deux autres conditions, on obtient:
1=UU’+EU
E=UE’+EE’1-
21-
1
P-1
2-1
1
ΩΩ
ΩΩ
λλλλ
'
Posons:
UE’=a -1Ω
EE’=b -1Ω
UU’=c -1Ω
2abcd −=
Il vient:
121
21
=+=+
ca
Eab P
λλλλ
qui a comme solution: d
aEb
d
acE PP −=−= 21 λλ
En remplaçant λ1 et λ2 dans [1]:
HGEX P +=
Avec:
Ud
aE
d
cG 11 −− Ω−Ω=
Ed
aU
d
bH 11 −− Ω−Ω=
Interprétation:
X est une fonction linéaire de EP avec
H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant
une rentabilité attendue nulle
G+H vecteur donnant la composition d'un portefeuille de risque minimum ayant
une rentabilité attendue égale à l'unité
EQUATION DE LA FRONTIERE EFFICIENTE:
XΩX’=2Pσ
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Analyse de risque du marché des actions 25
Des conditions nécessaires, il résulte:
2P1
21
212P
+E=
UX’+EX’=
U)l+E(X’=
λλλλλλσ
En remplaçant λ1 et λ2 par leurs valeurs, il vient:
d
bE
d
aE
d
cPPP +−= 222σ
Portefeuille de variance minimum:
c
aEP =
cP
12 =σ
La solution de ce problème point par point permet de tracer la frontière efficiente de
Markowitz.
Toutefois, les portefeuilles se trouvant à l’intérieur de l’hyperbole ou sur la branche inférieure
sont des portefeuilles inefficients car ils sont dominés par des portefeuilles de la branche
supérieure ; et par conséquent la frontière efficiente de markowitz se confond avec la branche
supérieure de l’hyperbole.
E P
σP
1−−
c
a--c
H
1G+H
DETERMINATION DU PORTEFEUILLE OPTIMAL:
Equation de la tangente au point M :
)()( MM
MM d
dEErE σσ
σ−+=
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Analyse de risque du marché des actions 26
La pente de la tangente s'écrit:
P
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Ekk
dE
dd
d
d
d
d
dE
d
dE
212
2
2
2 22+
=== σσσσ
σσ
σσ
L'ordonnée à l'origine est égale au taux sans risque:
fMM
MM r
d
dEE =− σ
σ
fM
MM r
EkkE =
+−
21
2
2
2σ
En remplaçant 2Mσ par sa valeur en fonction de EM, on obtient la rentabilité attendue du
portefeuille optimal:
f
fM rkk
rkkE
21
10
2
2
++
−=
Connaissant EM, on obtient X et 2Mσ
Conséquences importantes :
1. toute combinaison linéaire de portefeuilles efficients et aussi un portefeuille efficient.
2. deux portefeuilles efficients quelconques distincts de S (ou S défini le portefeuille de
risque minimum) génèrent toute la frontière efficiente.
On prend maintenant le cas d’un investisseur k qui décide de placer une partie de sa
richesse dans un portefeuille efficient d’actions P et le reste dans l’actif sans risque. Donc le
portefeuille Pk, détenu par l’investisseur k, s’écrit :
Rk=xRp + (1-x)R0
En passant à l’expérience mathématique, on obtient sa rentabilité espérée :
(1) rk=xrp + (1-x)r0
Et en passant à la variance, on obtient :
Var(Rk)=x²Var(Rp )
Donc, le risque du portefeuille Pk, mesuré par l’écart type, s’écrit :
(2) σk=x σp
En remplaçant dans l’équation (1) x par sa valeur tirée de l’équation (2), on obtient :
rk= ro + kp
op rr σσ−
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Analyse de risque du marché des actions 27
Donc, il existe une relation linéaire entre la rentabilité espérée du portefeuille Pk et son
risque, mesuré par l’écart- type. Cette relation est représentée, dans le graphique ci-dessous,
par une demi-droite, qui n’est autre que l’ensemble des portefeuilles pk.
rp
p
ro
σp
les portefeuilles situés sur la demi-droite Dp et se trouvant à droite du portefeuille
efficient P correspondent à x> 1 , ce qui signifie que l’investisseur k a emprunté pour
acquérir le portefeuille pk. Cette opération va augmenter la rentabilité espérée de son
portefeuille pk mais aussi son risque.
Une nouvelle frontière efficiente.
Sachant que p
p rrσ
0− est la pente de demi-droite Dp et que l’investisseur k va chercher à
maximiser son gain, le choix de ce dernier va se porter sur le portefeuille T qui correspond à
la pente la plus forte. Ce portefeuille est le point tangent avec la frontière de Markowitz des
actifs risqués.
rp
r0 T
σp
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Analyse de risque du marché des actions 28
On remarque que tout portefeuille de la frontière efficiente des actifs risqués est dominé
par un portefeuille de la demi-droite DT ainsi, on obtient une nouvelle frontière efficiente qui
présente deux avantages :
-elle permet de simplifier la frontière efficiente qui devient une droite :
-elle permet aussi de l’améliorer.
III. la droite de marché des capitaux Ayant repéré la nouvelle frontière efficiente, tous les investisseurs vont placer de leurs
richesse (pouvant être supérieure à 1) dans le portefeuille T et l’autre partie dans l’actif non
risqué. Les portefeuilles des investisseurs ne diffèrent donc que par la proportion investie
dans le portefeuille T. Il devient alors de caractériser ce portefeuille.
La nouvelle frontière efficiente est une demi-droite dont l’équation devient :
pM
Mp
rrrr σσ0
0−+= ( *)
On appelle cette demi-droite la droite de marché des capitaux.
La penteM
M rrσ
0−donne une mesure de la rémunération du risque. Toutefois, la formule ne
s’applique qu’aux portefeuilles situés sur cette droite.
M rM ro σM σp
Cette relation linéaire entre la rentabilité espérée et le risque (mesuré par l’écart -type)
n’est valable que pour les portefeuilles P efficients.
Par ailleurs, en utilisant l’égalité σp=x σM , on obtient la relation
rp=r0+x(rM-r0)
Où x est la proportion investie dans le portefeuille M et rM- ro est appelée la prime de risque
du marché. Cette prime est positive afin d’inciter les investisseurs à acquérir des actifs
risqués.
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Analyse de risque du marché des actions 29
IV-Le modèle de marché Le modèle le plus simple pour décrire le couple risque –rentabilité est le modèle de
marché.
Le modèle de marché se base sur le principe que deux causes sont à l’origine des
fluctuations des cours des valeurs mobilières :
l’influence du marché en général qui se reflète dans le risque systématique de chaque
actif.
les caractéristiques spécifiques à chaque actif qui s’intègrent dans la partie risque
spécifique du risque total de l’actif.
Ainsi :
Risque Total=Risque Systématique +Risque Spécifique
Les deux composantes du risques total seront explicitées plus loin.
Cas d’actions individuelles : Les sociétés cotées en bourse ont des réalisations différentes face aux perturbations du
marché. Le modèle de marché permet d’étudier la relation existante entre la rentabilité d’un
titre d’une entreprise donnée et celle du marché. La rentabilité du marché est une donnée
statistique calculée à partir d’un indice de marché se basant sur les valeurs du marché,
comme par exemple MASI pour la bourse de Casablanca , le Dow Jones pour Wall Street, le
Nikkei pour Tokyo ou encore le CAC40 pour la place parisienne.
Le principe du modèle de marché consiste à affirmer que la rentabilité de chaque titre est
une fonction linéaire de la rentabilité du marché. Il s’agit donc de construire ce qu’on appelle
« la droite de marché » qui correspond à la droite de régression de la rentabilité de chaque
titre sur la rentabilité du marché. L’équation de cette droite est la suivante :
itmtiiit RR εβα ++=
Où
itR = taux de rentabilité de l’action i, pendant la période t.
mtR =taux de rentabilité du marché mesuré par un indice général pendant la période t.
iβ = paramètre propre à chaque action i et qui indique la relation qui existe entre les
fluctuations de l’action i et les fluctuations de l’indice général du marché ; on l’appelle
coefficient de volatilité ou coefficient Bêta.
itε Paramètre spécifique à l’action i.
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Analyse de risque du marché des actions 30
iα =paramètre dont la valeur est telle que la valeur espérée de itε est nulle (ou valeur
espérée de itR lorsque mtR est nulle).
En passons à la variances dans le modèle de Sharpe on obtient :
Le risque total d’un actif s’exprime alors par la relation :
)(2222 iMii εσσβσ +=
Miσβ : Risque systématique ou risque de marché.
)( iεσ : Risque spécifique.
Comme nous l’avons déjà précisé, le risque d’un actif comporte donc deux composantes.
Si tous les points sont exactement sur la droite de marché, alors le risque de l’actif a un
caractère systématique uniquement.
Si les points ne sont pas exactement sur la droite, alors le risque de l’actif possède en plus
un caractère spécifique ou non systématique.
Le coefficient bêta étant le coefficient de régression de la rentabilité de l’actif sur la
rentabilité du marché, on a :
2m
imi σ
σβ =
Il est égal à la covariance des taux de rentabilité de l’action i avec de l’indice de marché
divisé par ( 2mσ ).
Les actifs peuvent être classés selon leur volatilité c'est-à-dire selon bêta, en plusieurs
catégories :
Bêta proche de 1 : une variation donnée de la rentabilité du marché implique la même
variation de la rentabilité;
Bêta supérieur à 1 : les actifs sont alors dits « volatiles » dans la mesure où la
variation de leur rentabilité (à hausse ou à la baisse) est supérieure à celle du marché ;
Bêta inférieur à 1 : les actifs, peu volatiles ont une variation de rentabilité inférieure à
celle du marché.
V la Mesure de la performance d’un portefeuille En matière d’investissement, le risque n’est pas un vain mot; le niveau des cours
boursiers reflète cette aversion des investisseurs pour le risque. Les méthodes démesure de
performance consistent à ajuster la rentabilité d’un portefeuille par son risque, afin de fournir
une base et adéquate à des fins de comparaison.
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Analyse de risque du marché des actions 31
Ces méthodes sont au nombre de trois et ont été successivement proposées par
Treynor , Sharpe et Jensen .
V.1.La méthode de Treynor Le modèle de marché, selon lequel le risque systématique ou non diversifiable d’un titre
ou d’un portefeuille peut être estimé en régressant ses taux de rentabilité périodiques avec
ceux du marché, a été exposé en régressant ses taux de rentabilité périodiques avec ceux du
marché que Treynor appelle droite caractéristique. Elle spécifiée par l’équation suivante
pmppp RR εβα ++= .
Sa pente est le bêta du portefeuille et mesure l’élasticité du portefeuille par rapport aux
fluctuations du marché.
L’indice de performance de Treynor est le ratio rentabilité –volatilité. Il est exprimé par
rapport de l’excès de rentabilité du portefeuille par rapport au taux sans risque à la volatilité
du portefeuille :
pfpP RRT β/)( −= = (prime de risque) / bêta
La méthode de mesure et de comparaison des performances de Treynor est représentée
sur la figure suivante.
pR A MEDAF B T1 Rf T2 Bêta
Le portefeuille A a montré une meilleure performance sur la période que le portefeuille
B puisque T1 est supérieur à T2
V.2.la méthode de Sharpe L’indice de performance de Sharpe est aussi représenté par un ratio rentabilité / risque.
Comme précédemment, la rentabilité périodiques par rapport au taux sans risque. Le risque
est mesuré par la variabilité ou l’écart –type. Plus élevé est le ratio, meilleur est la
performance.
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Analyse de risque du marché des actions 32
Le ratio de Sharpe se définit ainsi de manière suivante :
PfPP RRS σ/)( −=
Où RP représente la moyenne des taux de rentabilité périodique pendant la période de mesure,
Rf les rentabilité de l’investissement sans risque calculés de la même façon , et σp la
variabilité des excès des taux de rentabilité au-de là du taux sans risque .
V.3.méthode de Jensen Comme l’indice de Treynor, l’indice de Jensen est fondé sur le MEDAF et la position,
par rapport à la droite de marché, des portefeuilles dont on cherche à mesurer la performance.
Jensen mesure la performance des portefeuilles avec le terme JP défini par :
pfmfPP RRRRJ β)()( −−−=
Le premier terme entre parenthèses représente l’excès de rentabilité du portefeuille par
rapport au taux sans risque tandis que les termes de la seconde parenthèse représentent l’excès
de la rentabilité réalisée par le marché. L’indice de Jensen JP mesure donc la distance
verticale qui sépare la rentabilité réaliser par le portefeuille p de la droite de marché ex post.
Ainsi, des valeurs positives.
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Analyse de risque du marché des actions 33
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Analyse de risque du marché des actions 34
I. Estimation du couple risque-rentabilité selon MArkowitz
I.1.présentation des données :
Les données dont nous disposons sont :
les valeurs journalière de tous les actions de puis la date mise en opération jusqu’au
07 avril 2004 ;
l’indice masi de 24 mois derniers ;
Source:site de la bource de Casablanca.
La figure ci-dessous contient les données historiques sur l’action bmc entre 1997 et 2004
I.2.calcul des rentabilités de chaque action : La rentabilité espérée est calculée comme la moyenne des taux de rentabilité réalisés lors
des périodes précédentes :
∑=
=n
t
tRn
R1
1
Avec n le nombre de périodes passées utilisées pour l’estimation.
L’image ci-dessous représente la série chronologique des rentabilités hebdomadaires de
l’action ACRED.
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Analyse de risque du marché des actions 35
-Rentabilités hebdomadaires- I.3 calcul de la variance de chaque action. La variance est calculée comme suit :
2
1
2 )(1 RRn
n
t
t −= ∑=
σ Où tR est le taux de rentabilité pendant la période t.
Ce graphe ci-dessous illustre la dispersion des taux de rentabilités hebdomadaires de
l’action ACRED autour de sa rentabilité espérée ce qui montre bien les fluctuations du cours
de l’action ACRED.
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Analyse de risque du marché des actions 36
-60,0%
-40,0%
-20,0%
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
0,0% 50,0% 100,0% 150,0%
risque
rent
abilit
é
action de marcher
L’utilisation de toutes les données historiques ne permet pas de faire une bonne analyse
de risque des actions puisque les majorités des rentabilités des actions se pointent autour de
La valeur 0%.
Notre étude se base sur les 3 périodes :
• année 2001
• année 2002
• 2003-2004
II. Construction de la frontière efficience Une fois les données traitées et les rentabilités hebdomadaires déterminées, nous
passons à l’étape suivante qui consiste à formuler le programme d’optimisation sous
contraintes, le résoudre et enfin à interpréter les résultats obtenus.
Le problème à résoudre est celui qui a été présenté dans la partie précédente (page : 18) plus
une contrainte supplémentaire (les Xi≥0).
II.1.Calcul des rentabilités et risques des portefeuilles : Le calcul des rentabilités des portefeuilles est faite par l’application présenté en
chapitre : IV.
Pour illustrer graphiquement l'objectif de l'optimisation de portefeuille on a calculé la
rentabilité et le risque de quelques milliers de portefeuilles composés de 5 actions. L'axe des
abscisses représente le risque du portefeuille et l'axe des ordonnées son rentabilité. Les cinq
valeurs sont représentées par des points rouges.
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Analyse de risque du marché des actions 37
-Le nuage des portefeuilles constituer à partir de 5 titres-
Le nuage de portefeuilles n'occupe pas tout l'espace. Certaines zones sont
totalement inoccupées, ce qui veut dire qu'un grand nombre de combinaisons (risque,
rentabilité) est impossible à obtenir avec un portefeuille composé de ces valeurs. On peut dire
par exemple qu'il était impossible d'obtenir une rentabilité élevé avec un faible risque : il n'y a
en effet aucun point dans la partie haute à gauche du graphique.
-Les portefeuilles de risque inférieur à celui du titre le moins risqué-
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Analyse de risque du marché des actions 38
- La frontière efficiente-
Si on constitue un portefeuille, sur la base des valeurs retenue dans l'échantillon du
MADEX, au 23 juillet 2002 selon les proportions respectives de ces valeurs dans notre
portefeuille, nous obtenons des résultats très différents.
- nuage des portefeuilles constituer à partir des titres MADEX (2003-2004)- L’application nous a donné les portefeuilles de risque minimal suivants (MADEX) :
• 2003-2004:( 10.58, 23.25) • tout l'historique:(13.29,3.89)
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Analyse de risque du marché des actions 39
II.2 La courbe efficiente : Nous considérons le problème de la sélection optimale de titre parmi un ensemble de
titre disponible en utilisant le modèle de Markowitz. Ce problème sous forme classique est un
problème d’optimisation quadratique convexe, pour lequel il existe une méthode permettant
de le résoudre de façon exacte (voir page 19). En pratique certaine contrainte supplémentaire
sont à prendre en compte dans la réalité, ce qui rende le problème np-difficille par exemple
une contrainte sur le nombre des titres à sélectionner.
Dans notre cas la contrainte supplémentaire est la positivité des proportions des titres
investies dans un portefeuille, cette contrainte nous exige d’utiliser l’une des méthodes
heuristique.
Ces méthodes donnent des solutions proches de la solution optimale en des temps
raisonnables et en consommant moins de ressources. Les trois méthodes heuristiques les plus
connues à savoir la méthode de recherche tabou qu’on va utiliser pour résoudre le problème
d'optimisation, le recuit simulé et les algorithmes génétiques.
Méthode de recherche taboue.
La méthode de recherche taboue vise à diriger l’exploration de l’espace de solutions vers
la découverte de bonnes solutions ou de solutions optimales.
Généralement, deux mécanismes sont utilisés pour guider la recherche. Le premier
mécanisme vise à prévenir que la recherche ne fait pas de cycle à travers une liste taboue qui
garde une trace des solutions récemment visitées lors de la recherche. Le second mécanisme
utilise une ou plusieurs mémoires pour diriger la recherche dans des régions prometteuses ou
vers des régions non encore explorées de l’espace des solutions.
Une procédure de recherche taboue peut être vue comme une combinaison de trois
phases principales : recherche locale, intensification de la recherche dans des régions
identifiées comme prometteuses de l’espace de solutions et enfin, redémarrage de la recherche
dans une région de l’espace non encore explorée (diversification).
Voici un diagramme représentant le mécanisme de recherche taboue :
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Analyse de risque du marché des actions 40
Diagramme de transition de recherche taboue
III. Maximisation de la fourchette basse
Soit X un variable aléatoire associe à la rentabilité d’un portefeuille on veut trouver
l’intervalle de confiance de niveau 90% pour un tel portefeuille de rentabilité X soit de risque
minimum
Pour cela on maximise la fourchette base : max PP(E (RP) -2σp <X)=90%.
Il faut maximiser « pPE σ2− »
Cette dernière est maximale pour le portefeuille de risque minimum soit p’
Donc la probabilité %90)2( =<− XEP pP σ nous permet de donner l’intervalle de
confiance de niveau 90% pour X
Donc] [∞+− , 2EP Pσ c’est l’intervalle de confiance de 90% pour qu’un portefeuille de
rentabilité X soit de risque minimum.
Pour l'année 2003-2004
Le portefeuille de risque minimum : sa rentabilité =20 son risque=4.17.
Donc ] [ , 11,66 ∞+ c’est l’intervalle de confiance de 90% pour qu’un portefeuille de
rentabilité X soit de risque minimum.
Initiation
Recherche locale
Test1
Diversification
Intensification
Test1
Critère
d’arrêt
FIN
OUI
NON
OUI
NON
OUI
DEBUT
Nuage
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Analyse de risque du marché des actions 41
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Analyse de risque du marché des actions 42
Introduction Nous proposons dans ce chapitre de donner une approche de résolution de la
problématique d'optimisation des portefeuilles en utilisant la méthode « Recherche Taboue »
1 Choix de l’outil de programmation L’application décrite par la figuire1 est réalisée avec le langage JAVA, le choix de
Java est justifié par les raisons suivantes :
• C’est un langage orienté objet ce qui a simplifié la tâche de conception de
l’application, et qui facilitera la compréhension rapide du programme par d’autres
personnes.
• Il donne la possibilité d’améliorer l’interface graphique.
2 Présentation de l'application L'écran qui s'affiche après le lancement de l'application à partir de l'exécutable est le
suivant:
-Figure1-
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Analyse de risque du marché des actions 43
2.1 Les informations concernant les actions
- figure2-
Dans le menu "Actions":
• cliquer sur " Historique_Action" pour avoir la rentabilité et le risque annuel, et les
données brutes concernant chaque action.
-figure3-
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Analyse de risque du marché des actions 44
• cliquer sur " Rentabilité_hebdo" pour avoir les rentabilités hebdomadaires de chaque
action.
- figure4-
2.2 Optimisation des portefeuilles.
Dans ce paragraphe nous allons présenter les différentes étapes par lesquelles on
générera une solution acceptable, (et qui peut être l’optimale) proposée par l’algorithme de
recherche taboue.
L’utilisateur doit définir tout d’abord la période de base (voir figure5).
- figure5-
•
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Analyse de risque du marché des actions 45
• pour sélectionner les valeurs que l'on souhaite voir figurer dans le portefeuille :
Dans le menu "Portefeuilles" cliquez sur "sélection des actions" et cocher les cases
correspond à votre choix (figure6).
-figure6-
Minimiser le risque pour une rentabilité choisie.
• Saisissez la rentabilité souhaité, cliquez ensuite sur le bouton "optimiser", le
programme calculera alors les proportions de chaque valeur sélectionnée, de manière
à constituer un portefeuille présentant la meilleure rentabilité possible(figure7).
-figure7-
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Analyse de risque du marché des actions 46
Maximiser la rentabilité pour un risque donné.
Saisissez le risque souhaité, cliquez ensuite sur le bouton "optimiser", le programme
calculera alors les proportions de chaque valeur sélectionnée, de manière à constituer
un portefeuille présentant la meilleure rentabilité possible.(figure8)
-figure8-
2.3 Construction de la courbe efficiente :
-figure9-
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Analyse de risque du marché des actions 47
La figure 9 représente le nuage des portefeuilles possibles et la courbe efficiente.
Le déplacement du curseur sur un portefeuille nous permet de déterminer
leurs proportions investies.
sa rentabilité.
son risque.
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Analyse de risque du marché des actions 48
CONCLUSION
Le problème d’optimisation des portefeuilles reste parmi les grands problèmes
financiers à résoudre, selon les contraintes existantes pour ce problème.
L’objectif de la résolution de ce type de problème était de proposer à l’investisseur
marocain un ensemble de portefeuilles efficients, en vue d’un placement optimal de son
risque, en fonction de son degré d’aversion vis-à-vis du risque.
La résolution de ce type de problème d’optimisation nécessite la détermination de la
rentabilité et le risque de chaque action puis poser le problème à résoudre.
Les résultats obtenus lors de ce travail sont encourageants et conformes à la théorie de
sélection de portefeuille de Markowitz.
L’ensemble des portefeuille optimaux construirent la frontière efficiente de makowitz.
L’optimisation des portefeuilles était basée sur la méthode de la recherche taboue qui donne
des solutions approchées des solutions optimales.
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Analyse de risque du marché des actions 49
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Analyse de risque du marché des actions 50
Annexe 1
Tableau de rentabilité annuelle-risque annuel des actions de casablanca pour année 2001
action rentabilite-annuelle risque-annuel
Acr -28.30% 18.71% Agm -2.67% 24.55% Alm -30.98% 31.21% Ath -12.42% 21.35% bal -79.28% 76.24% bce -4.89% 14.92% bci 2.87% 18.12% bcm -12.14% 21.50% ber -8.07% 19.85% bnm -19.00% 22.91% cdm 4.95% 26.21% cih -36.34% 36.95% clt -2.52% 29.58% cma 10.56% 16.76% cdr -7.20% 34.94% crn -10.64% 17.52% csr -4.85% 25.17% ctm 4.79% 33.85% die -4.77% 9.64% dis -36.16% 34.11% eqd 17.84% 32.06% frt 65.08% 40.20% gaz -29.50% 35.07% hol 4.56% 24.37% ibmc -125.93% 92.29%
action rentabilite-annuelle risque-annuel
lac -17.57% 20.59% lct 42.71% 43.56% les -10.87% 18.90% lgm -30.82% 20.27% mab 4.51% 40.88% mav -43.89% 32.06% mle -33.72% 28.92% mng -5.61% 19.42% mox -28.59% 44.53% Nej -11.65% 34.03% nex -50.37% 71.08% ona -1.59% 19.61% oul 48.78% 57.33% pdt -45.67% 42.08% Reb -82.40% 88.31% sam -14.70% 20.79% sbm -47.22% 33.80% Sce -6.24% 24.90% sid 6.06% 28.07% smi -13.45% 17.28% sni -11.26% 22.10% sof -1.76% 30.30% tsf -8.43% 22.66% Umr -60.86% 31.91% waa -1.84% 25.04% wfb -0.93% 25.68% zdj -36.58% 26.55%
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 51
Annexe 2 Table de rentabilité annuelle-risque annuel des actions de casablanca pour année 2002
action rentabilite-annuelle risque-annuel
Acr -0.08% -4.27% Agm 0.11% 5.60% Alm -0.31% -16.29% Ath -0.54% -28.02% bal 4.70% 244.52% bce -0.28% -14.73% bci 0.11% 5.54% bcm -0.21% -10.99% ber -1.08% -55.92% bnm 0.41% 21.54% cdm 0.31% 16.31% cih -0.77% -40.07% clt 0.29% 15.16% cma 0.21% 11.10% cdr -0.38% -19.53% crn -0.65% -34.02% csr 0.97% 50.67% ctm 0.01% 0.67% die -0.18% -9.13% dis -1.44% -74.71% eqd 0.31% 16.29% frt -0.19% -9.62% gaz -0.49% -25.50% hol 0.01% 0.75% ibmc -1.99% -103.41%
action rentabilite-annuelle risque-annuel
lac 0.14% 7.21% lct -1.60% -83.29% les -0.13% -6.84% lgm -0.80% -41.60% mab 0.15% 7.71% mav -0.85% -44.43% mle -0.70% -36.27% mng -1.02% -52.78% mox -0.26% -13.49% Nej -0.52% -27.04% nex -0.43% -22.27% ona -0.61% -31.85% oul 0.53% 27.64% pdt -1.56% -81.08% Reb -0.47% -24.66% sam -1.47% -76.20% sbm 0.12% 6.45% Sce -0.22% -11.66% sid 0.16% 8.11% smi -1.08% -56.00% sni -0.36% -18.48% sof -0.11% -5.81% tsf -0.33% -17.25% Umr 0.80% 41.51% waa -0.97% -50.57%
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 52
Annexe 3 Table rentabilité –risque des actions de casablanca pour l’année 2003/2004
action rentabilité-annuelle risque-annuel
Acr -14.37% 36.63% Agm 51.67% 22.56% Alm 73.02% 23.19% Ath 58.03% 31.78% bal 16.31% 23.11% bce 8.28% 14.66% bci 22.99% 15.82% bcm 27.43% 23.98% ber -8.39% 31.26% bnm 44.35% 26.66% cdm 12.84% 25.54% cih 11.79% 44.58% clt 77.32% 38.45% cma 45.20% 16.63% cdr 56.25% 31.85% crn 8.57% 37.02% csr 44.05% 25.18% ctm 2.10% 19.39% die -67.03% 50.22% dis -2.32% 40.70% eqd 57.92% 25.49% frt 15.33% 19.39% gaz 62.68% 40.22% hol 35.44% 15.78% ibmc 33.62% 49.12%
action rentabilité-annuelle risque-annuel
lac 58.17% 16.54% lct -44.92% 25.65% les 35.56% 24.90% lgm 70.67% 41.69% mab 10.01% 18.76% mav 19.06% 52.43% mle 60.89% 44.92% mng 27.95% 40.20% mox 37.01% 69.74% Nej 50.43% 30.76% nex 16.96% 32.52% ona 16.17% 21.33% oul 11.19% 33.80% pdt -18.43% 83.61% Reb 14.74% 25.55% sam 33.19% 33.07% sbm 38.41% 23.75% Sce -8.56% 52.40% sid 39.14% 17.03% smi 16.19% 39.64% sni 36.22% 20.67% sof -38.98% 51.04% tsf 15.17% 18.71% Umr 25.54% 13.29% waa 54.71% 43.02% wfb 20.16% 20.24% zdj 45.78% 48.42%
Licence de Statistique Appliquée
Analyse de risque du marché des actions 53
Annexe 4
Table ticket /libellé d’actions
Ticket Libellé ACR ACRED AGM AGMA-LAHLOU TAZI ALM ALUMINIUM DU MAROC ATH AUTOHALL BAL BALIMA BCE BANQUE MAROCAINE DU COMMERCE EXTERIEUR BCI BANQUE MAROCAINE DU COMMERCE ET DE L'INDUSTRIE BCM BANQUE COMMERCIALE DU MAROC BCM23 BCM J01/07/03 BER BERLIET BNM BRANOMA CDM CREDIT DU MAROC CIH CIH CLT CENTRALE LAITIبRE CMA CIMENT DU MAROC CRD CREDOR CRN CARNAUD CSR COSUMAR CTM COMPAGNIE DE TRANSPORTS AU MAROC DIE DIAC EQUIPEMENT DIS DIAC SALAF EQD CRةDIT EQDOM FRT FERTIMA GAZ AFRIQUIA GAZ HOL HOLCIM (Maroc) IBMC IB MAROC.COM LAC LAFARGE CIMENTS LCT LE CARTON LES LESIEUR CRISTAL LGM LES GRANDES MARQUES ET CONSERVERIES CHERIFIENNES MAB MAGHREBAIL MAV LA MAROCAINE VIE MLE MAROC LEASING MNG MANAGEM MOX MAGHREB OXYGENE NEJ AUTO NEJMA NEX NEXANS MAROC ONA ONA OUL OULMES PDT PAPELERA TETUAN REB REBAB SAM SAMIR SBM BRASSERIES DU MAROC SCE STE CHERIFIENNE D'ENGRAIS ET DE PRODUITS CHIMIQUES SID SONASID SMI SOCIETE METALLURGIQUE D'IMITER SNI SOCIETE NATIONALE D'INVESTISSEMENT SOF SOFAC CREDIT TSF TASLIF UMR UNIMER WAA WAFA ASSURANCE WFB WAFABANK
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ZDJ ZELLIDJA
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Analyse de risque du marché des actions 55
REFERENCES BIBIOGRAPHIQUES
• Conseil Déotologique des valeurs, Statistiques OPCVM, semaine du 05 au 12 mars
1999.
• Bourse de casablanca, FACT BOOK 1998.
• Frank CEDDAHA, Pascal QUIRY-finance d’entreprise-3éme edition 1998 .
• B.Jacquillat et B. Solnik, Marchés financiers, Gestion de portefeuille et des risques,
2éme édition, DUNOD, BORDAS, Paris, 1990.
• H. Markowitz, the Journal of Finance, Article : PORTFOLIO SELECTION, The
Rand Corporation, 1952.
• Site internet :
http://www.hec.ca/~p283/coursgp/cours3_4.htm
http://www.spreadsheetmodeling.com/Portfolio%20Optimization%20%20Two%20Assets.hm
http://www.mc2consulting.com/risqdef.htm
http://www.casablanca-bourse.com
www.univ-tlse1.fr
http://www.bnains.org