PFE: Optimisation de portefeuille sous des contraintes de risque

Royaume du MarocUNIVERSITE MOHAMED V AGDAL - RABAT

ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS

Departement Modelisation et Informatique Scientifique

Memoire de Projet de Fin d’Etudes

OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE SOUS DES

CONTRAINTES DE RISQUE

En vue de l’obtention du diplome d’Ingenieur d’Etat

Soutenu le : 01/06/2015

Presente par : CHABBAR Salma et LALLOUCH Sofia

Devant le jury compose de :

M r Abdelillah ABID P.E.S. EMI President

Mme Joumala EL ALAOUI P.E.S. EMI Rapporteur

M r Rachid ELLAIA P.E.S. EMI Encadrant

M r Jaber KHAMLICHI Responsable PGP - CMR Parrain

Annee universitaire 2014/2015

Remerciements

Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous tenons a remercier notre encadrant internea l’EMI, Monsieur Rachid ELLAIA, pour ses conseils et ses commentaires precieux,qui nous ont permis de surmonter nos difficultes et de progresser pour accomplir notremission comme il le faut.

Nos remerciements s’etendent egalement a Madame Joumala EL ALAOUI, pourl’honneur qu’elle nous a fait d’etre rapporteur sur notre projet de fin d’etudes, et a Mon-sieur Abdelillah ABID pour avoir accepte d’evaluer notre travail et d’etre president etmembre de notre jury.

Nous exprimons aussi notre profonde reconnaissance a Monsieur Jaber KHAMLI-CHI, Responsable du Pole Gestion de Portefeuille, a la Caisse Marocaine des Retraites,qui a fait que ce stage soit une realite.

Nos sinceres remerciements a lui et a Monsieur Slimane KABIRI, chef de la Divi-sion des operations, pour leurs accompagnements quotidiens, leurs orientations precieuses,leurs generosites et la grande patience dont ils ont su faire preuve malgre leurs chargesprofessionnelles.

Nous n’omettrons pas de remercier toute l’equipe du pole gestion de portefeuille a laCMR pour leur accueil chaleureux, leur sympathie et leur cooperation, mais aussi pourleurs idees constructives et les informations tres utiles qu’ils nous ont fournies.

Enfin, nous remercions toutes les personnes qui ont contribue de pres ou de loin a laconcretisation de ce travail.

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Resume

Le present memoire s’interesse a la gestion des risques au sein d’un portefeuille ettout particulierement le portefeuille de la Caisse Marocaine des Retraites ou notre projetde fin d’etudes s’est deroule. La finalite de cette etude de risque est l’optimisation dela performance du portefeuille etudie tout en respectant le budget de risque alloue parl’etablissement.

Dans un premier temps et apres une introduction a l’univers du risque, nous avonsquantifie le niveau de risque des portefeuilles de la CMR grace a plusieurs indicateurs,que nous avons automatises sur VBA.

Ensuite, comme tout gestionnaire de portefeuille se doit de trouver l’allocation d’actifsoptimale en fonction de son budget de risque, nous avons modelise mathematiquement unprogramme d’optimisation qui permettra de maximiser la performance du portefeuille enveillant a ce que cela ne soit pas au detriment de la tolerance au risque du gestionnaire. Lacombinaison de ces deux elements,la performance et le risque, a donne lieu a un problemed’optimisation de portefeuille sous des contraintes de risque que nous avons automatisesous MATLAB.

Mots-cles : Gestion des risques - Portefeuille - Optimisation - Performance - Modelisation.

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Abstract

The main subject of our final project at the CMR is the quantification of the risk intheir portfolio in order to realize a better management of their assets .

At first, and after an introduction to Risk Management, we have quantified the levelof risk of the portfolios of the CMR using several indicators which we automated on VBA.

Then, as every portfolio manager has to find the optimal use of the assets accordingto his budget of risk, we made a mathematical modeling of a program of optimizationwhich will allow us to minimize the risk of the portfolio without making it under-perform.The combination of these two elements, the performance and the risk, lead to a problemof the optimization of the portfolio under a constraint of risk which we automated underMATLAB.

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Table des matieres

Introduction 1

Presentation de l’organisme d’accueil : Caisse Marocaine des Retraites 3

1 Contexte general 61.1 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Classes d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Les obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Les fonds monetaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 L’immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Types de gestion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 La gestion active . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 La gestion passive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Notion du risque 122.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Definition generale du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Definition du risque en finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Typologie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Risques de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Risque de liquidite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Risque de credit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Risques operationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Gestion des risques 173.1 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Valeur liquidative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 La performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.3 Caracteristiques d’une mesure de risque . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Outils de mesure de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Tracking-Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.4 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.5 La VaR Conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.6 Risque a la baisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.7 Autres outils de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

4 Application de gestion des risques 344.1 Presentation de l’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1 Description generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Description de l’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Interpretation des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Optimisation du portefeuille Actions 465.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.1 Modelisation mathematique du probleme . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.2 Modele d’Evaluation Des Actifs Financiers (MEDAF) . . . . . . . . 48

5.2 Modelisation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.1 Contraintes de gestion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.2 Contraintes de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Formulation du probleme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Application sous MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 Optimisation - Resultats et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Conclusion et perspectives 69

Chabbar et Lallouch vi - M.I.S -

Liste des acronymes

CMR : Caisse Marocaines des RetraitesDGP : Division de Gestion de PortefeuilleBVC : Bourse des Valeurs de CasablancaMASI : Moroccan All Shares IndexMADEX : Most Active Shares IndexCFG : Casablanca Finance GroupCDG : Caisse de Depot et de GestionMBI : Moroccan Bond IndexMGBX : Moroccan Government Bond IndexPF : PortefeuilleVL : Valeur liquiditativeIP : Indice de performanceaIP : Indice de performance annualiseTE : Tracking ErrorTMP JJ : Taux Moyen Pondere au Jour-le-JourVaR : Valeur a RisqueCVaR : Valeur a Risque ConditionnelleVBA : Vasiual Basic ApplicationMEDAF : Modele d’Evaluation Des Actifs Financiersfmincon : Find minimum of constrained nonlinear multivariable function

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Table des figures

1 Organigramme de la CMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Organisation du Pole Gestion de Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Evolution de l’indice MASI Rentabilite Brut . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Interpretation de la volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Coefficients beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Exemple de la VaR sous une distribution normale . . . . . . . . . . . . . . 253.4 La Valeur a Risque conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 Feuille instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Barre de menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Interface de periode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Interface des indicateurs de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Parametres de la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 Resultats du calcul des indicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7 Feuille finale des donnees du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.8 Feuille finale des donnees TMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.9 Reporting du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.10 Rapport d’activite sur Word - Pages 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.11 Rapport d’activite sur Word - Pages 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.12 Rapport d’activite sur Word - Page 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.13 Volatilite annualisee - Portefeuille Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.14 Risque a la baisse - Portefeuille Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.15 VaR et CVaR - Portefeuille Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Interface Menu sur Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Resultats d’importation des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Interface d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4 Resultats d’importation des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5 Interface pour les rentabilites esperees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Donnees liees aux titres du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.7 Selection des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.8 Resultats de l’optimisation sur Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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Liste des tableaux

5.1 Donnees initiales - Repartition par secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Donnees initiales - Repartition par titre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Donnees finales - Repartition par titre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Donnees finales - Indicateurs de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Donnees finales - Repartition par secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.6 Comparaison entre les algorithmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . 67

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Introduction

Toute institution, quel que soit son domaine d’activite, est exposee a une serie derisques. Les institutions financieres, par exemple, evoluent dans un environnement com-plexe en termes de diversite des instruments utilises, de fluctuations soudaines ou encoredes mouvements adverses des prix du marche ; elles deviennent ainsi tres vulnerables facea cet environnement et donc tres menacees par une serie de risques, qui doivent etremaıtrises, elimines ou du moins reduits.

Le risque apparaıt comme l’un des defis actuels des dirigeants pour le definir, le mesu-rer et le gerer pour ameliorer la performance. De ce fait, la gestion des risques est donc unecomposante indispensable pour une bonne gouvernance et un objectif essentiel a integrerdans les strategies et la politique de l’entreprise.

Notre projet de fin d’etudes se deroule a la Caisse Marocaine des Retraites (CMR), ausein du Pole Gestion de Portefeuille. Les aspects financiers abordables en gestion de fondsde pension sont tres vastes, mais nous allons nous interesser a l’un d’eux en particulier :la gestion des risques au niveau des differents portefeuilles de l’etablisssment. En effet, laCMR est confrontee a des problemes de choix en avenir incertain et la gestion des actifsfinanciers comporte ainsi plusieurs risques de nature differente qui peuvent provoquer, encas d’une mauvaise gestion, des pertes considerables. Ces pertes peuvent etre des destruc-tions materielles, des dommages corporels, de l’argent ou du temps investi, et peuvents’exprimer de maniere qualitative (sur une echelle) ou par des grandeurs quantitatives(monetaires ou d’exploitation).Dans notre etude, nous nous interesserons essentiellement a la quantification de la pertefinanciere monetaire, selon le type de risque, pour que le gestionnaire se situe, a toutmoment, par rapport au budget de risque qui lui est permis et mette en avant des ajus-tements : Combien d’argent pourrions-nous perdre ? Sommes-nous dans les proportionsautorisees ? Quelle strategie choisir pour une couverture efficace des risques ?

Pour quantifier les risques au niveau d’un portefeuille et les eventuelles pertes qui enresultent, plusieurs modeles ont ete mis en place. Le grand succes de la theorie moderne duportefeuille revient essentiellement a Markowitz dans les annees 1950 [8], qui introduit leconcept de diversification comme un outil fondamental de gestion des risques specifiques.Toutefois, plusieurs etudes ont demontre que le modele est limite dans la mesure ou cettediversification n’est pas suffisante pour proteger les portefeuilles des pertes a forte am-pleur, d’autant plus que des qu’un gerant de portefeuille possede une reference de gestionil ne peut plus utiliser une optimisation Markowitz pour allouer son portefeuille [8]. Ainsi,plusieurs indicateurs de gestion du risque comme la volatilite, la VaR (Value-at-Risk), laTracking Error, le risque a la baisse etc, ont vu le jour et ont demontre leur efficacite aufil du temps.

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L’une des problematiques majeure en gestion financiere est la determination des risquesfinanciers d’un portefeuille d’actifs. En effet, dans tout portefeuille, le facteur risque n’estpas moins important que le facteur performance, et ils doivent determiner a eux deuxla strategie de placement. Les deux grands objectifs de la gestion des risques d’un por-tefeuille peuvent ainsi etre reformules comme etant : L’amelioration de la performancefinanciere et la prevention de toute perte potentielle.

Le choix d’un portefeuille optimal d’actifs est depuis longtemps un sujet d’interet ma-jeur dans le domaine de la finance. Dans ce projet, la problematique posee consiste adeterminer le portefeuille optimal qui convient a chaque investisseur, comptetenu de sa tolerance au risque. Nous chercherons a optimiser le portefeuille en maximi-sant le rendement des titres le constituant sous contraintes des differents risques auxquelsils sont exposes, a savoir le risque absolu et le risque relatif.En effet, par une allocation d’actifs, nous chercherons a maximiser le rendement du por-tefeuille de la CMR et a maintenir les risques a un niveau acceptable, tout en respectantles contraintes de gestion et de diversification auxquelles l’etablissement est assujetti.

Le present travail reviendra tout d’abord sur une vue globale du contexte du stage :organisme d’accueil, analyse de la problematique et analyse de l’existant, ensuite nouspresenterons les notions fondamentales de la gestion de portefeuille, ainsi que la notiondu risque avec ses definitions et ses types. Apres, nous analyserons la gestion des risquesen presentant une explication detaillee des differents outils de mesure de risque avec leursmethodes de calculs et leur interpretation.

Le cahier de charges de notre projet portera essentiellement sur deux objectifs :

– 1er objectif : Mettre en place un outil de calcul des differents indicateurs de risques.Cet outil permettra, entre autres, de visualiser l’exposition des portefeuilles de laCMR au risque marche, et de le quantifier en pourcentage ou en Dirhams, parrapport au marche ou par rapport a une reference.

– 2eme objectif : Mettre a la disposition des gestionnaires de la CMR un outil d’op-timisation de portefeuille qui permettra de rechercher la meilleure repartition desactifs, qui assure un rendement maximal en tenant compte des contraintes de risque,a travers une volatilite absolue definie, d’une perte maximale a ne pas depasser, pas-sant par un budget de risque relatif a respecter.

Le respect de ce cahier de charges permettra, dans un premier temps, aux gestionnairesde portefeuille de la CMR, de faire un suivi du niveau de risque auquel ils sont exposespour tout type de portefeuille en leur possession, et d’optimiser, ensuite, ce portefeuille enprenant en compte leur aversion au risque et les seuils qu’ils s’imposent selon leur budgetde risque.

Chabbar et Lallouch 2 - M.I.S -

Presentation de l’organismed’accueil : Caisse Marocaine desRetraites

1.Presentation

La Caisse Marocaine des Retraites (CMR) a ete creee par le Dahir du 2 Mars 1930pour gerer le regime de retraite instaure en faveur des fonctionnaires civils du protectorat.En 1996, la CMR a acquis son autonomie juridique, administrative et financiere et devintun Etablissement public, soumis au controle financier de l’Etat. L’accession du Maroc al’independance a permis a la CMR d’etendre ses responsabilites pour prendre en chargedifferents regimes. Actuellement, les regimes de pensions geres par la CMR sont les sui-vants, repartis en deux modes de fonctionnement :

1. Par repartition : : Les actifs versent des cotisations pour payer les retraites despersonnes agees tout en acquerant des droits, qui a leurs tours seront finances parles generations futures d’actifs. Nous y retrouvons :– Le regime des pensions du personnel civil de l’Etat, des collectivites locales et de

certains etablissements publics (ONEP, ONPT, Barid El Maghrib, etc.) ;– Le regime des pensions du personnel militaire (Les personnels des Forces Armees

Royales et des Forces Auxiliaires).

2. Par capitalisation : Chaque actif finance sa propre retraite.– Le regime de retraite ATTAKMILI : Il s’agit d’un regime complementaire facul-

tatif a but non lucratif instaure en 2005 destine uniquement aux affilies de basede la CMR. Il a pour objet la constitution d’une retraite complementaire selonle principe de la capitalisation individuelle. Il permet, par le biais de cotisationsmensuelles, de preparer un supplement de retraite de base.

Nous retrouvons aussi, a la charge du budget general de l’Etat et d’autres organismesemployeurs, les regimes dits non cotisants pour le compte justement de l’Etat et quienglobent essentiellement les pensions d’invalidite crees apres l’independance a la faveurde circonstances particulieres et les allocations des Anciens Resistants et Anciens Membresde l’Armee de Liberation.

2.Organisation

L’administration de la Caisse Marocaine des Retraites est assuree par un Conseil d’Ad-ministration preside par le Premier ministre et compose de 14 membres. Sa gestion estassuree par un Directeur qui detient tous les pouvoirs et attributions necessaires.

3


Outre la Direction et le Secretariat General, l’organisation de la CMR est constitueede quatre poles, 11 divisions et 33 services.

Directeur

Le Secretaire General

Pole Operations Pole Support Pole Gestionde Portefeuille

Pole Organisationet Systeme

d’Information

Figure 1 – Organigramme de la CMR

3.Pole Gestion de Portefeuille

Le metier de gestion de portefeuille a ete instaure a la Caisse Marocaine des Retraitesau lendemain de la reorganisation de celle-ci en novembre 1996.La mission principale du Pole Gestion de Portefeuille a la CMR est de financer les en-gagements de la Caisse, optimiser le rendement des portefeuilles et optimiser la gestionde la tresorerie de la Caisse. Pour ce faire, des interventions (achat/vente d’actifs) sur lemarche sont effectuees par le personnel.

En matiere d’organisation du metier de gestion de portefeuille a la CMR le pole aadopte la structure organisationnelle que nous trouvons au niveau des salles de marches.Il se decompose donc comme suit :



Pole Gestion dePortefeuille

Division deGestion Division des operations Service Recherche

et AnalyseService de conformite

et de ControleInterne

Service MiddleOffice

Service Back Office

Service d’AssetManagement

Service dela Gestion

des participants

Figure 2 – Organisation du Pole Gestion de Portefeuille

– Service d’Asset Management : Il a pour but de gerer la tresorerie de la Caisse,assurer la meilleure execution de la politique de placement de la tresorerie et elaborerles comptes rendus de gestion (Reporting).

– Service Gestion des participants : C’est un service qui a pour mission le suivides investissements dans l’immobilier et le suivi des fonds delegues de la caisse.

– Service Middle Office : Il se charge de controler les operations passees par leService Asset Management, d’elaborer les Reportings et comptes rendus d’activite,veiller au respect des regles prudentielles et mesurer la performance des portefeuilles.

– Service Back Office : Il s’occupe des denouements des operations et du suiviadministratif des portefeuilles.

– Service de Conformite et de Controle Interne : Il veille au respect de lareglementation, de la deontologie et des regles et contraintes de gestion et se chargede contribuer au renforcement du dispositif de controle interne du processus.

– Service Recherche et Analyse : Il participe a l’elaboration de la politique de pla-cement, assure une veille concurrentielle pour saisir les opportunites sur le marche,contribue a la prise de decision au niveau du service Asset Management et anticipeles tendances des marches.


Chapitre 1

Contexte general

1.1 Notions fondamentales

Avant d’entrer le vif du sujet de ce chapitre, certaines definitions et notions doiventetre presentees. Ceci afin de mieux comprendre le contexte dans lequel s’inscrit notre pro-jet de fin d’etudes et qui releve du monde de la finance dont certaines notions devraientetre expliquees prealablement pour la bonne comprehension de ce memoire.

Parmi ces definitions nous citons :

Definition 1. Un actif financier est un titre ou un contrat, generalement transmissibleet negociable sur les marches financiers et qui est susceptible de produire a son detenteurdes revenus et/ou un gain en capital, en contrepartie d’une certaine prise de risque. [w1]

Definition 2. Un portefeuille designe une collection d’actifs financiers detenus par unetablissement ou un individu.[w3]

Definition 3. Les produits/instruments financiers sont des titres ou des contrats,dont certains sont negociables ; ils sont utilises pour anticiper une rentabilite ou un risquemonetaire. Ils se decomposent essentiellement en deux types : les actifs financiers et lesproduits derives financiers. [w4]

Definition 4. Le benchmark/indice de reference, designe tout element servant depoint de comparaison ou de reference pour evaluer la rentabilite d’un portefeuille et me-surer la performance du marche. Il peut etre un indice ou une combinaison de plusieursreferences. Pour un gestionnaire, un benchmark constitue un element objectif d’appreciationde ses qualites qui lui permet de porter un jugement quantitatif et qualitatif sur les posi-tions prises et les resultats obtenus.[w5]

1.2 Classes d’actifs

Definissons d’abord ce qu’est une classe d’actifs.

Definition 5. Une classe d’actifs regroupe des actifs ayant des caracteristiques simi-laires en termes de risques et/ou de rendements.[w2]

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Pour un gestionnaire de portefeuille, choisir la classe d’actifs a detenir afin de beneficierd’une performance raisonnable est probablement la decision d’investissement la plus im-portante qui soit.En effet, il existe plusieurs categories d’actifs, certains plus risquees d’autres moins, etil est necessaire de connaitre le couple rendement/risque que propose chaque categorie.Nous retrouvons ci-apres les quatre classes traditionnelles.

1.2.1 Actions

Une action est un titre de propriete sur une fraction du capital qu’une entreprise decidede vendre aux investisseurs. L’action est l’actif le plus negocie sur les marches financiers[w6]. Il presente principalement deux sources esperees de revenus pour son detendeur :

– Les dividendes futurs qui representent une fraction du benefice realise par l’entre-prise, soit donc la remuneration versee aux actionnaires d’une societe en contrepartiede leur investissement au capital de l’entreprise ;

– Une eventuelle plus-value lors de la revente du titre.

Les fonds actions sont souvent destines aux investisseurs ayant choisi un horizon d’in-vestissement de long terme. En effet, les actions sont susceptibles de generer des perfor-mances plus elevees sur le long terme que d’autres investissements. Toutefois, elles peuventaussi faire peser un plus grand risque sur le capital investi. En effet, les prix peuvent varieret il y a possibilite de ne pas recuperer l’investissement d’origine.

Chaque classe d’actifs utilise un ou plusieurs indices de reference precis. Pour lesactions nous retrouvons essentiellement :

– Le MASI (Moroccan All Shares Index) : C’est un indice de capitalisation re-tracant l’evolution globale du marche et prenant en consideration toutes les valeurscotees a la Bourse de Casablanca, qui sont au nombre de 77 (Fin 2014).

– Le MADEX (Most Active Shares Index) : C’est un indice compact qui consti-tue seulement une partie du MASI. Il regroupe les valeurs les plus liquides du marche(cotees en continu), qui sont au nombre de 54 (Fin 2014).

– Le MASI Flottant et MADEX Flottant : Depuis Decembre 2004, la BVC(Bourse des Valeurs de Casablanca) a adopte une nouvelle methodologie de calculde ces indices, basee sur le principe du flottant, et ce dans le but d’assurer unemeilleure coherence entre la realite boursiere d’un titre et son poids dans l’indice,ce qui a donne naissance au MASI Flottant et au MADEX Flottant.

– Le MASI Rentabilite Brut et MADEX Rentabilite Brut : Ils se calculenten se basant sur les rentabilites tout en integrant le montant des dividendes.

La Caisse Marocaine des Retraites utilise comme indice de reference le MASI Ren-tabilite Brut etant donne qu’il regroupe toutes les valeurs du marche en plus de prendreen consideration le montant des dividendes. Si nous prenons par exemple son evolutiondu 01/09/2014 au 15/02/2015 (Figure 1.1), nous remarquons qu’il y a des hausses et desbaisses de rentabilite tout au long de la periode d’etude.



Figure 1.1 – Evolution de l’indice MASI Rentabilite Brut

L’evolution (hausse et baisse) du MASI dans la figure precedente, represente les fluc-tuations des prix au niveau du marche actions. Ces fluctuations traduisent l’aspect instableet volatile du marche et une presence flagrante du risque. Nous pouvons donc conclureque les actions est une categorie d’actifs tres risquee.

1.2.2 Les obligations

A l’inverse de l’action qui est un titre de propriete, l’obligation est un titre de creance.En effet, ce titre represente la part d’un emprunt long terme emis par l’Etat, par un or-ganisme public ou semi-public, ou encore par des entreprises privees, en fixant a l’avancela duree du pret et ses modalites de remuneration. L’obligation ne donne aucun droitspecifique sur les benefices de l’entreprise mais son remboursement est prioritaire en casde faillite.

Les principales caracteristiques d’une obligation sont :– Le nominal : Il est egal au capital de depart emprunte par l’emetteur de l’obligation

divise par le nombre de titres emis.– Le prix d’emission : Il correspond au prix de l’obligation au moment de son emission.

Ce prix peut differer du nominal.– L’echeance : Appelee aussi maturite, elle designe la duree de vie de l’obligation. Elle

peut correspondre a la date a laquelle le detenteur de l’obligation se voit rembourserle montant integral du nominal.

– Le prix de remboursement : Il correspond au remboursement de l’obligation a sonecheance.

– Le coupon : Il correspond au versement periodique d’un interet au detenteur del’obligation.

Les obligations peuvent representer un investissement interessant dans le sens ou ellespeuvent offrir un revenu regulier tout en offrant aux investisseurs une appreciation po-tentielle du capital, protege, dans la mesure ou le coupon que son detenteur recoit est enprincipe fixe. Les fonds obligataires sont donc adaptes aux investisseurs prudents recher-chant des flux de revenus reguliers.



Les obligations sont generalement considerees comme un investissement plus sur queles actions dans la mesure ou le coupon et le taux d’interets sont connus a l’avance.D’autant plus, que les cours des obligations (c’est-a-dire les prix auxquels s’echangent lesobligations) ne sont pas lies aux resultats de l’entreprise emettrice donc ils sont moinsaleatoires que ceux de l’action, mais cela ne signifie pas qu’elles sont denuees de risques. Lerisque existe bel et bien et depend essentiellement des taux d’interet, des caracteristiquesdu titre ainsi que de la qualite de l’emetteur.

Concernant les indices de references obligataires, nous retrouvons essentiellement :– Le CFG (Casablanca Finance Group) Bonds : Premier indice obligataire lance

en 1993 par Casablanca Finance Group, dans le but de mesurer la performance glo-bale quotidienne du marche obligataire et en informer le grand public. Le CFGBonds est constitue d’un panier d’obligations souveraines, appelees Bons de Tresor,qui sont de maturites initiales comprises entre 1 et 15 ans.

– Le MBI (Moroccan Bond Index) : C’est un indice lance par la BMCE Capitalet CDMG (Credit Du Maroc Gestion) qui represente au moins 75% de l’integralitedu marche des Bons de Tresor a taux fixe et est compose de quatre strates ou sousindices (court terme, moyen terme, moyen long terme, long terme) et se calcule apartir de la moyenne de ces derniers.

– Le MGBX (Moroccan Government Bond Index) : C’est un indice obligataireconcu par CDG Capital (Caisse de Depot et de Gestion) compose de cinq stratesqui permet de mesurer la performance des Bons de Tresor.

Il est a noter que la Caisse Marocaine des Retraites utilise le MBI comme indice dereference.

1.2.3 Les fonds monetaires

Les fonds monetaires procurent aux investisseurs un revenu regulier et sont generes demaniere a conserver une valeur stable.En effet, ils sont consideres comme des investissements prudents. Ils offrent une perfor-mance certes minimale, mais restent tres liquides et protegent le capital. C’est sans douteles placements les plus securises et les moins risques vue la disponibilite immediate desliquidites en cas de besoin.

1.2.4 L’immobilier

L’immobilier est aussi un produit pris en compte dans la gestion d’actifs. Il reste quandmeme une classe d’actifs differente des classes d’actifs traditionnelles (actions, obligations)dans le sens qu’il est eminemment attache a l’economie reelle. L’investissement immobilierpermet de profiter d’un revenu sous forme de loyer. En effet, il consiste en l’achat de loge-ments ou de batiments en vue d’augmenter les profits grace aux loyers ou aux plus-valuesrealisees lors des reventes.



Remarques :– Il existe eventuellement d’autres classes d’actifs : nous en citons les produits derives

tels que les futures, les options et les warrants.

– Il est a noter que chacune des categories d’actif vues precedemment, peut etre unereponse aux besoins des investisseurs. Pour ceux disposes a prendre plus de risqueafin de generer des performances plus elevees, leur portefeuille serait probablementplus enclin a detenir une plus grande proportion d’actions. Ceux pour qui il est plusimportant de disposer d’un revenu sur, pourraient preferer accroıtre la proportiond’obligations qu’ils detiennent.

Toutefois, dans la mesure ou aucune classe d’actifs n’est sans risque, une bonnegestion de portefeuille ne s’entend qu’en diversifiant son portefeuille a l’aide de cesdifferents outils que sont les classes d’actifs. Un investisseur averti utilisera donc cesproduits en les combinant au mieux afin de detenir un portefeuille diversifie qui luipermettra d’amortir le risque entrepris, en conferant une stabilite relative en cas debaisse de certains marches.

1.3 Types de gestion

Chaque classe d’actifs vue precedemment a ses avantages et ses inconvenients. Il estdonc indispensable que le gestionnaire se situe par rapport a son budget de risque pourchoisir la combinaison de classes qui lui convient, vient apres le choix du type de gestion aadopter. En effet, il existe plusieurs types de gestion qu’il faut essentiellement apprehenderdans le but de bien cerner le principe de gestion de portefeuille connu egalement sous leterme anglo-saxon d’Asset Management.

1.3.1 La gestion active

La gestion active a pour but de surclasser et battre le benchmark. L’objectif attenduest donc d’obtenir des rendements plus eleves que ceux du marche.L’investisseur adoptant cette strategie de gestion active va selectionner les actifs suscep-tibles, selon lui, de realiser des performances au-dessus de la moyenne sur un marche etdoit utiliser les outils necessaires pour battre le marche en fonction du type d’actifs, durisque du portefeuille et de l’horizon de temps.

Le gestionnaire cherche donc a distinguer les tendances, les secteurs, les valeurs quilui paraissent sous-evaluees et dont il espere une progression plus vite que le marche. Ilinvestit et fait evoluer son portefeuille en consequence, dans l’espoir de voir ses analysesse confirmer et ainsi son portefeuille realiser une performance superieure a celle de l’indice.

Nous distinguons deux approches liees a la gestion active : Bottom-up et Top Down.[w7]La premiere privilegie lors de la selection des titres, les caracteristiques propres de chaquetitre et non celles du secteur ou du pays dans lequel l’entreprise intervient.La deuxieme consiste en la selection des titres selon le type de marche (actions, obliga-tions, marche monetaire), ensuite selon les marches internationaux sur lesquels ils veulentinvestir, puis sur les secteurs.



1.3.2 La gestion passive

Aussi appelee gestion indicielle, cette gestion fonctionne selon une methode de replicationde l’indice de reference. Elle consiste a investir en reproduisant de maniere totalementfidele la composition du benchmark.

L’objectif premier de ce type de gestion est de permettre a l’investisseur de recevoirla performance d’un marche sans prendre le risque de sous-performance en abandonnantdu meme coup tout espoir de surperformance.Avec la gestion passive, l’investisseur peut donc suivre assez facilement l’evolution de sonportefeuille, dans la mesure ou il subit exactement les memes variations de la valeur del’indice de reference, a la hausse comme a la baisse.

Il existe plusieurs methodes de gestion indicielle [w8]. Nous en citons la replication purequi consiste a acheter toutes les valeurs de l’indice en respectant les memes ponderations,et la replication par satisfaction qui permet quant a elle de constituer un portefeuilleayant des caracteristiques similaires a celles de l’indice, en ayant cette fois un plus petitnombre de valeurs.

Toutefois, de nombreuses etudes ont montre que, le plus souvent, les gerants d’actifsne sont pas en mesure de battre leur benchmark avec regularite. Certains investisseurspreferent la gestion indicielle leur garantissant la performance du marche au lieu d’uneperformance plus aleatoire.

Une fois le contexte general du projet expose nous allons a present introduire dans leprochain chapitre, en details, la notion de risque que nous avons retrouve tout au long desdifferentes definitions et notions explicitees precedemment et qui represente le mot cle denotre memoire.


Chapitre 2

Notion du risque

2.1 Generalites

L’origine du concept de risque remonte aux civilisations les plus anciennes ; dansl’Italie ancienne, risicare signifie oser . [16]Le concept de risque est souvent entendu de diverses facons et le recours aux ouvrageset dictionnaires illustre bien cette diversite de sens que nous pouvons lui donner. Il estnecessaire d’avoir une idee sur le risque au sens large et de s’interesser, par la suite, ala definition precise du risque qui nous interesse dans ce projet, et qui n’est autre que lerisque financier dans toutes ses formes.

2.1.1 Definition generale du risque

La premiere question qu’il faudrait poser est : qu’est-ce que le risque ?. La reponse acette question peut ne pas etre totalement evidente. La notion du risque est tres complexeet ne cesse d’evoluer de plus en plus. Elle est apercue differemment selon le contexte etle domaine d’application. En effet, elle occupe une signification differente pour chacund’entre nous mais represente une preoccupation fondamentale.

Le risque designe un danger bien identifie, associe en l’occurrence a un evenement oua une serie d’evenements. Le petit Larousse le definit comme un Danger, inconvenientplus ou moins probable auquel nous sommes expose ou encore comme une Possibilite,probabilite d’un fait, d’un evenement considere comme un mal ou un dommage [w9]Une definition generale du risque, pourrait etre la suivante : La possibilite de voir surgirun probleme qui aura des consequences funestes, et qui portera atteinte aux projets del’institution ou rendra plus improbable l’accomplissement de ses objectifs . [w10]

Les definitions du risque different selon le contexte, mais nous pouvons dire que lanotion d’ incertitude est commune a toutes les definitions Toutes mettent en avant ledouble aspect du risque, a savoir le caractere aleatoire et incertain de l’evenement, assortide la menace et l’impact qu’il represente. Le risque est ainsi considere comme le produitde l’alea et de la vulnerabilite.

12


2.1.2 Definition du risque en finance

Le developpement croissant des activites financieres et l’instabilite de l’environnementdans lequel operent les etablissements financiers ne font que croitre leurs expositions auxrisques financiers.

Un risque financier implique une relation entre un individu (ou une organisation) etun actif (ou un objectif de revenu) qui peut etre perdu ou endommage. [w11]Pour qu’un risque soit qualifie de financier, il doit comporter trois elements : (1) un indi-vidu (ou une organisation) qui est expose(e) a une perte, (2) un actif ou un revenu dontla destruction (ou la perte) causera une perte financiere, (3) un danger qui peut causer laperte. Le danger ici doit etre vu comme lie a une source financiere.[w11]

La notion de risque en finance est reliee a la notion d’incertitude. En effet, le risqued’un actif financier pour un investisseur, peut etre defini comme l’incertitude qui existequant a la valeur de cet actif a une date future.

Le risque d’un titre financier est fonction de la stabilite de la valeur du titre ainsi quedes performances qui lui sont attachees. En effet, les flux lies aux titres sont sujets deplusieurs menaces qui relevent du monde economique et d’incertitudes qui sont propres ala sphere financiere. En tout cas, quels que soient sa nature et son origine, tout risque setraduit par une fluctuation de la valeur du titre financier.

Nous pouvons distinguer deux types de risques lies a la detention d’un actif [w12] :

– Risque Systematique : Risque lie a des services financiers susceptibles d’affecterl’ensemble du secteur. Il correspond a des evenements affectant tout titre dans leportefeuille, quel qu’il soit. Il influence une majorite d’actifs dans une proportionplus ou moins forte comme la hausse du prix, les mouvements boursiers, etc.

– Risque Specifique : ou encore risque non systematique, est un risque lie a un seulactif en particulier independamment des evenements affectant le marche. Il peutetre d’ordre reglementaire, operationnel,etc.

En matiere de gestion de portefeuille, seul le risque systematique est remunere par lesinvestisseurs. Le risque specifique etant par definition diversifiable par une optimisationdu portefeuille de titres, il est par consequent non remunere par les investisseurs.

Nous pouvons aussi classifier le risque en deux types : Risque absolu et Risque relatif.Le premier concerne le risque d’un portefeuille par sois -meme sans aucune dependance.Le deuxieme quant a lui, concerne le risque auquel le portefeuille est expose par rapporta une reference ou un indice precis.

2.2 Typologie des risques

Il existe une liste non exhaustive des differents risques que peut rencontrer un etablissementfinancier. Toutefois, la gestion du risque se concentre souvent sur quatre types principauxde risques financiers (marche, liquidite, credit, operationnel). Viennent evidemment s’yrajouter d’autres risques plus globaux et/ou plus exceptionnels. [19]



2.2.1 Risques de marche

Les prix sont le reflet du marche et peuvent varier a tout instant. Ces variationspeuvent causer des pertes a l’etablissement et etre source de deficits. En effet, le risque marche est considere comme etant le risque de pertes lie aux variations du prix desactifs detenus dans un portefeuille et a leur effet negatif sur la valeur financiere totale duportefeuille. Traduit en terme de rendement, les rentabilites des actifs deviennent alorsdes variables aleatoires dont l’evolution future n’est pas, a priori, connue et quantifiable.[19]

De ce fait, le risque de marche resulte de la possibilite de perte sur les positions prisessur le marche suite a des changements et des evolutions defavorables de celui-ci. En effetil regroupe des incertitudes liees essentiellement a ces quatre composantes [w13] :

– Les cours des actions : Le prix des actions varie continuellement en fonction del’offre et de la demande. Ce risque s’applique aux placements dans des actions. Lerisque lie aux actions est donc le risque de perdre de l’argent en raison de la baissedu prix des actions.

– Les taux d’interet : Risque lie aux variations du taux d’interet. Ce risque s’appliqueaux placements par emprunt, comme les obligations. Le risque de taux d’interet estdonc le risque que fait courir au porteur d’une creance ou d’une dette a taux fixe ouvariable, l’evolution des taux entre la date de l’engagement et la date du reglement.

– Les taux de change : Nous parlons de risque de taux de change dans les cas oula structure procede a une operation, usant une devise differente de sa monnaienationale. Il s’agit donc d’un risque evident directement lie aux fluctuations descours des devises internationales entre elles, et indirectement lie au facteur temps.

– Les prix des matieres premieres : Risque lie aux fluctuations defavorables des prixdes matieres premieres.

En effet, ces composantes du marche sont souvent volatiles et exercent une pression im-portante sur les prix. En consequence, l’eventualite de fluctuations des prix peut entraınerdes pertes et des consequences negatives pour le benefice d’un etablissement.

2.2.2 Risque de liquidite

Le terme de liquidite peut etre utilise sous differents aspects, mais celui qui nousinteresse est lie aux caracteristiques du marche.Un marche parfaitement liquide se caracteriserait par une facilite et une rapidite d’yrealiser des transactions et garantirait donc a tout instant un prix unique a l’achat et a lavente de maniere certaine, quelles que soient les quantites en jeu. Ainsi, un actif est aussidit liquide quand il est tres rapidement negociable et echangeable a court terme, a faiblecout et avec peu d’impact sur son prix. [19]

Le risque de liquidite, est en fait le risque d’illiquidite et il represente l’incapacitede liquider immediatement des titres et d’effectuer ainsi une transaction aux conditionsdu marche courant. Nous pouvons ainsi dire que les proprietes d’un actif liquide sontl’immediatete, la largeur, la profondeur et la resilience.

– L’immediatete designe la rapidite avec laquelle une transaction d’une taille determineeet a un cout determine peut etre conclue.



– La largeur ou l’etroitesse, correspond a l’amplitude de la fourchette offre-demande(ask-bid spread), c’est-a-dire l’ecart entre le cours acheteur (prix recherche) et lecours vendeur (prix propose).

– La profondeur, correspond a la quantite de titres disponible, c’est-a-dire le volumede transactions effectuees sans modification du prix.

– La resilience ou la reactivite, designe la capacite, soit le delai necessaire, pour quele cours revienne a son niveau d’equilibre apres en avoir ete ecarte suite a un chocde liquidite (choc aleatoire dans le flux des transactions).

Le risque de liquidite est loin d’etre negligeable, si par exemple vous proposez un actifa la vente a un prix donne et qu’il n’y a personne pour l’acheter ou du moins pas avec leprix que vous proposez, vous ne pourrez plus le vendre ou vous serez oblige de le vendrea un prix moins favorable.Ainsi le risque de liquidite correspond a cette perte potentielle provenant des couts deliquidation de l’actif, c’est un facteur important a prendre en compte dans la gestion d’unportefeuille.

2.2.3 Risque de credit

Lorsqu’une entreprise a besoin de capitaux elle se retrouve face a deux choix :Demander un pret bancaire ou emettre une obligation sur le marche.

Le risque credit - egalement appele risque de defaut ou de contrepartie - survientlorsque l’emprunteur se retrouve dans l’incapacite de payer ses dettes et remplir ses en-gagements vis a vis de ses creanciers a l’echeance convenue. [19]

Dans ce cas-la, si le debiteur ne parvient pas a renegocier les termes de son emprunt, ilse verra dans l’obligation de declarer faillite et de proceder le plus souvent a la liquidationde ses biens afin de rembourser au mieux ses dettes.

Par consequent, la quantification du risque credit d’une entreprise est necessaire etprimordiale avant de lui accorder un credit ou d’acheter une de ses obligations.

Modeliser le risque credit revient, en ce temps-la, a determiner la probabilite de defautdu debiteur ainsi que le montant qui lui sera possible de couvrir en cas de defaut.Plusieurs parametres rentrent en jeu pour realiser cette quantification, notamment la santedu secteur dans lequel evolue l’entreprise, son niveau d’endettement actuel ainsi que sesperspectives d’evolution.

2.2.4 Risques operationnels

Le risque operationnel designe tout evenement qui perturbe le deroulement des proces-sus, il correspond donc a la possibilite de subir une perte financiere, directe ou indirecte,a la suite d’une defaillance sur le plan des activites.

Le comite de Bale [w14] le definit comme le risque de pertes provenant de processusinternes inadequats ou defaillants, de personnes et systemes ou d’evenements externes .



Le risque operationnel est realise essentiellement par : les employes, le processus internede gestion, le systeme et par des evenements externes. Il reste donc difficile a analyser eta attenuer, car il peut prendre diverses formes :

– Risque de gestion des ressources humaines ;– risque de gestion des processus ;– risque de gestion des systemes ;– risque de vol et fraude ;– risque de conformite ;– risque juridique ;– risque de sinistre.

Le risque operationnel est administre et estime par des techniques d’auto-evaluationsdes risques, de compilation d’incidents et de l’utilisation des indicateurs cles. Toutefois,le risque operationnel est un risque difficilement quantifiable, contrairement aux autresrisques, mais reste tres important dans la mesure ou il peut exposer l’institution a despertes financieres considerables et nuire a sa reputation. [14]


Chapitre 3

Gestion des risques

3.1 Notions fondamentales

Le calcul de la plupart des ratios qui constituent les indicateurs de risque les pluspertinents repose sur le calcul d’indices de performance. Ces indices font eux-memes in-tervenir la valeur liquidative du portefeuille qui est un outil essentiel dans le suivi de laperformance du fonds etudie, particulierement lorsque ce dernier est commun, c’est a direqu’il regroupe plusieurs investisseurs libres de renter et sortir a leurs gres ; ce qui influesur la valorisation du fonds et sur la part de chaque investisseur.

Pour cela nous allons dans un premier temps presenter la signification et la methode decalcul de la valeur liquidative d’un fonds, pour, ensuite evoquer la notion de performanceet expliciter sa definition ainsi que celle de l’indice de performance qui constitue la basede tous les calculs.

3.1.1 Valeur liquidative

Lorsqu’il s’agit d’un fonds commun entre plusieurs investisseurs, la valeur de l’actifglobal est susceptible de changer a chaque instant. Determiner equitablement le pourcen-tage de l’actif global que detient chaque investisseur devient alors fastidieux compte tenudes nombreuses entrees et sorties d’argents que connaıt le fonds.

L’utilisation de la valeur liquidative prend alors tout sens. Le fonds est divise enplusieurs parts de valeurs egales et chaque investisseur en detient un certain nombre.Lorsqu’une souscription (entree d’argents) survient, de nouvelles parts sont creees tandisque lorsque l’un des investisseurs decide de se retirer du fonds, ses parts sont detruites.

La valeur liquidative du fonds represente alors la valeur d’une seule part du fondsetudie. Elle se doit d’etre calculee a chaque mouvement du fonds, chaque arrivee ou re-trait d’argent, en d’autres termes, a chaque souscription ou rachat, pour etre ensuitepubliee.De cette maniere chaque investisseur connaıt la valeur d’une seule part du fonds et connaıtle nombre de parts qu’il possede. Il peut des lors calculer sa part de l’actif global en mul-tipliant les deux.

17


La formule pour calculer la valeur liquidative est la suivante :

V L(t) =Actif net a l’instant t

Nombre de parts(3.1)

En d’autres termes :

V L(t) =

∑PF

Valeur des actifs - (Depenses + Frais fonds)

Nombre de parts(3.2)

3.1.2 La performance

L’objectif de la detention d’un actif financier est d’esperer obtenir un gain substantiel.Ce gain peut etre soit concretise (gain comptable), soit estime c’est-a-dire potentiellementpercu a travers son evaluation aux conditions du marche. La mesure de ce gain estime estce que nous appelons la performance.

La mesure de performance joue un role important dans la mesure ou elle permet defaire le meilleur choix de placement pour un portefeuille d’actifs. La performance d’unactif ou d’un portefeuille est le taux de rendement potentiel d’une periode donnee, ellerepresente ainsi la plus ou moins-value realisee par rapport a l’investissement initial. Au-trement dit, si un fonds a une performance de 5%. Ce 5% designe le rapport entre le gainet les capitaux investis initialement.

La performance d’un fonds est consideree comme un outil d’aide a la decision dansle cadre de la gestion de portefeuille. Elle permet en effet aux gestionnaires d’analyserles forces et faiblesses de la structure du portefeuille pour qu’il puisse ainsi adopter lastrategie optimale.

Il existe deux types de performance :

a- Performance absolue : Elle mesure la progression de la valeur liquidative entre unedate finale et une date initiale. En supposant que tout detachement (coupon oudividende) est reinvesti dans le titre dans la periode consideree.

b- Performance relative : Elle permet de mesurer le gain ou la perte realisee par rap-port a une reference ( benchmark ). C’est donc le rapport entre la performancedu titre et celle du benchmark. Si ce rapport est superieur a 1 nous parlons de sur-performance, sinon nous parlons de sous-performance.

Un indice de performance est la Valeur Liquidative d’un fonds donne dont lesoperations sur titre (dividendes, coupons, etc) ont ete integrees. Nous definissons ainsi [1]l’indice de performance relatif a une certaine periode par la formule suivante :

IP = ln

(V LfinV Linit

)(3.3)

Dans la litterature, plusieurs ratios ont permis de mesurer la performance notammentle ratio de Sharpe, d’information, de Treynor, Sortino, l’alpha de Jensen, etc.[1]



3.1.3 Caracteristiques d’une mesure de risque

Avant d’entamer la section sur les outils de mesure de risque, il est necessaire de savoirce qu’est une mesure de risque et quelles sont les proprietes qu’elle doit verifier.

Les mesures de risque ont pour objectif de quantifier les pertes engendrees par le risqueselon son type. Une mesure de risque est une fonction ρ qui fait correspondre a un risquealeatoire X un nombre positif ρ(X).En pratique, X peut representer une perte financiere de montant X et ρ(X) le montantdu capital necessaire pour faire face a la perte X. En d’autres termes, ρ(X) represente leniveau de danger inherent a X.

Nous disons qu’une mesure de risque ρ est acceptable, autrement dit coherente, si ellesatisfait les proprietes suivantes [4] :

– Homogeneite positive : ρ(M ∗ A) = M ∗ ρ(A) avec M ≥ 0Si nous multiplions la valeur d’un portefeuille A d’un montant M, sa mesure derisque doit etre multipliee par le meme montant M

– Sous additivite : ρ(A+B) ≤ ρ(A) + ρ(B)Si nous fusionnons deux portefeuilles A et B, la mesure de risque du portefeuilleresultant ne doit pas etre superieure a la somme des mesures de risque initiales deA et B.

– Monotonicite : Si A ≤ B Alors ρ(A) ≥ ρ(B)Si un portefeuille A produit un resultat systematiquement inferieur a celui d’unportefeuille B, sa mesure de risque doit etre superieure a celle de B

– Invariance par translation : Pour tout K ∈ R, ρ(A+K) = ρ(A)−KSi nous ajoutons un montant de cash K (actif sans risque) au portefeuille A, samesure de risque doit diminuer du meme montant K

3.2 Outils de mesure de risque

L’etude des differents outils de mesure de risque constitue une etape necessaire etprimordiale dans la gestion des risques. L’importance de cette etude reside dans lesdeux finalites qu’ils nous permettent d’atteindre, a savoir juger de la sante financierede l’etablissement et s’assurer de son respect des differentes contraintes et limites im-posees par les autorites concernees.Ceci dans le but, d’une part, de se situer par rapport au marche a travers une referencechoisie afin de s’aligner sur cette dite reference voire meme la surperformer et de quanti-fier, d’une autre part, les differentes pertes qui peuvent survenir suite aux risques pris.

Le risque a deux dimensions, une dimension quantitative (combien je risque de perdre)et une dimension probabiliste (avec quelle probabilite). Les indicateurs de risque peuventquantifier l’une ou l’autre, ou une combinaison des deux. Dans cette section, nous allonsdefinir les differents outils de mesure de risque, juges pertinents et fiables, pour pouvoirquantifier tout type de risque au niveau des differents portefeuilles existants.[7]



3.2.1 Volatilite

La volatilite est consideree comme la base des outils de mesure du risque des actifsdans plusieurs domaines (gestion de portefeuille, allocation d’actifs, evaluation des pro-duits derives). Elle sert de parametre de mesure de risque et de degre d’incertitude etrepresente ainsi, sur une periode donnee, la dispersion et les variations des cours d’unactif par rapport a son cours moyen. [w15]

Toutefois, la volatilite n’est pas directement observable sur le marche, il est doncnecessaire de l’estimer et de l’evaluer avec precision en prenant en compte toutes les in-formations necessaires a savoir les indices de performances de l’actif.

Faible volatilite Forte volatilite

Figure 3.1 – Interpretation de la volatilite

La volatilite concerne tous les horizons (court, moyen et long terme) et ne prend encompte que les amplitudes des mouvements (Figure 3.1).Ainsi, plus la volatilite est importante, plus les perspectives potentielles de gain sontgrandes, mais plus le risque de perte l’est aussi. A l’inverse, un actif sans ou avec tres peude risques, aura une volatilite assez faible et offrira donc une securite relative.

Nous distinguons deux types de volatilite :

– La volatilite implicite : Elle represente les anticipations du marche sur les variationsfutures des cours de l’actif : C’est la volatilite que le marche pense voir se realiserdans le futur. Elle est decrite sous l’hypothese que les marches financiers sont effi-cients, c’est-a-dire des marches ou les prix refletent parfaitement toute l’informationdisponible. Toutefois, son calcul necessite le recours a des formules d’evaluation desoptions, et generalement nous retrouvons le modele de Black and Scholes [w22] et/oul’algorithme de Newton Raphson.

– La volatilite historique : Elle est fondee sur le comportement passe de l’actif, parl’utilisation de donnees historiques sur les cours (le plus haut, le plus bas, d’ouver-ture, de fermeture. . . ).Cette volatilite est tres simple a calculer et necessite peu d’outils mathematiques,il suffit de calculer l’ecart type, que nous definiront par la suite, de la courbe his-torique du titre a l’echelle du temps desiree. Toutefois, la volatilite historique restetres limitee et incertaine, dans la mesure ou nous utilisons des donnees du passepour predire le futur.



En ayant a la fois la volatilite implicite et la volatilite historique de l’actif, le gestion-naire/investisseur peut comparer les deux et se forger une opinion de la volatilite a veniret ainsi implementer les strategies qu’il juge optimales.

Mathematiquement, la volatilite est definie comme l’ecart type estime et annualise desperformances logarithmiques (indices de performance) sur une periode donnee [1]. Elle estnecessairement positive ou nulle et s’ecrit sous la forme suivante :

Volatilite = σ =√

pas ∗

√∑Tt=1(IPt − IP )2

T − 1(3.4)

Ou :

– T est le nombre de periodes elementaires sur la periode d’analyse– IPt est l’indice de performance a l’instant t– IP est la moyenne arithmetique des indices de performance IP =

∑Tt=1( IPt

T)

– pas est le facteur d’annualisation, il est egal 12 si la volatilite est mensuelle, 52 sielle est hebdomadaire ou 365 si elle est annuelle.

Il est a noter que la volatilite n’est qu’une mesure de risque parmi d’autres et qu’elle estloin d’etre une mesure parfaite. En particulier, la volatilite ne considere que la dispersionmoyenne des performances, propices a des horizons de placements longs. Elle est, de cefait, inadaptee pour prendre en consideration les evenements rares ou extremes.

3.2.2 Tracking-Error

La volatilite est calculee sur des performances absolues. Elle melange le comportementdu gestionnaire avec celui des marches. Toutefois, pour chaque portefeuille est assigne ceque nous appelons un indice de reference ou un benchmark, que le gestionnaire se doit desuivre etroitement ou avec une certaine marge. D’ou d’ailleurs l’apparition de la Tracking-Error, qui se trouve etre la volatilite de la performance, mais cette fois-ci relative.

La Tracking-Error , appelee aussi ecart de suivi, est donc une estimation du risqued’un investissement par rapport a un autre. Elle est definie comme etant la volatilite dela difference de performance entre un fonds et son benchmark.Elle mesure l’etendue de la liberte (ecart maximal) que le gestionnaire s’est accorde vis-a-vis de la reference a suivre. Dans quelle mesure les indices de performance du portefeuillesuivent ceux de l’indice de reference ?

Ainsi, plus la Tracking-Error (TE) est elevee, plus le risque pris par le fonds par rap-port a son benchmark est fort. A l’inverse, une TE faible indique que le fonds ne s’est paseloigne, ou pas beaucoup, de la composition de son benchmark.

La formule de calcul [1] de la TE annualisee est donc comme suit :

TE =√

pas ∗

√∑Tt=1(Ecartt − Ecart)2

T − 1(3.5)



Ou :

– Ecartt est la performance relative periodique du fonds par rapport a l’indice dereference a l’instant t ; tel que : Ecartt = IPfonds − IPindice

– Ecart est la moyenne des indices de performances relatives– pas est le facteur d’annualisation

3.2.3 Beta

Le beta represente le risque systematique, un risque attribue a la volatilite du marchedans sa globalite. Il mesure ainsi l’elasticite ou la sensibilite d’un titre par rapport aumarche. En effet, le beta compare les mouvements effectues par un actif par rapport a sonmarche de reference.

– Un beta de 1 signifie que les titres evoluent de facon identique, c’est-a-dire que lesfluctuations du marche seront reproduites.

– Un beta > 1 signifie que les titres sont tres sensibles aux fluctuations du marche(fluctuations amplifiees).

– Un beta < 1 signifie que les titres reagissent peu aux mouvements du marche (fluc-tuations attenuees).

Lorsque le benchmark varie de X%, le fonds varie d’une amplitude egale a β ∗X%.Par exemple, sur la Figure 3.2, nous retrouvons differentes valeurs du coefficient beta

Performance du marche

Performance du titre

β = 1.5

β = 1

β = 0.5

A

B

C

Figure 3.2 – Coefficients beta

– Pour le titre B, avec un beta egal a 1, un mouvement de 1% sur le marche entraıneraen moyenne un mouvement de 1% sur le titre.

– Pour le titre A, avec un beta egal a 1.5, les mouvements de ce titre seront 1.5 foisplus volatiles que ceux du marche, a la hausse comme a la baisse. Si l’indice monte-diminue- de 1%, le titre lui grimpera –reculera- de 1.5%.

– Pour le titre C, avec un beta egal a 0.5, les mouvements de ce titre auront unevolatilite egale en moyenne a 50% de celle du marche, a la hausse comme a la



baisse.Ainsi, plus le beta est eleve, plus le risque est important, et l’espoir de gain aussi. A

l’inverse, un beta faible traduit un risque certes peu important mais en parallele aussi unerentabilite du titre tres faible.

La formule du beta se calcule comme la covariance entre la performance du fonds et laperformance de l’indice, divisee par la variance de l’indice sur une periode donnee. Dansle cas d’un portefeuille compose de n titres, le beta du portefeuille est egal a la moyenneponderee des betas des differents titres qui le composent.[1]

βfonds =Cov(aIPfonds, aIPindice)

V ar(aIPindice)(3.6)

Ou :– aIPfonds est l’indice de performance annualise du fonds– aIPindice est l’indice de performance annualise de l’indice de reference (marche).

Pour annualiser un indice de performance, il suffit de le multiplier par le facteur d’an-nualisation vu precedemment. aIP =

√pas ∗ IP

La variance, utilisee dans l’equation (3.6), permet d’etudier les variations d’une va-riable par rapport a elle-meme. Elle represente le carre de l’ecart-type et est notee σ2

aIP .Plus la variance est elevee, plus le cours de l’actif est susceptible de s’eloigner de samoyenne.

La covariance, utilisee dans l’equation (3.6), permet de mesurer a quel point deuxdistributions de performance, de deux portefeuilles differents (ici le fonds, et le marche),peuvent evoluer de maniere identique. Elle est negative si les portefeuilles varient dans lesens contraire, et positive s’ils varient dans un meme sens. Son calcul est determine parla formule suivante :

Cov(aIPfonds, aIPindice) = σ(aIPfonds,aIPindice)

=1

T − 1

T∑t=1

(aIPfonds,t − aIPfonds) ∗ (aIPindice,t − aIPindice)

(3.7)

Ou :– aIPfonds est la moyenne arithmetique des indices de performance annualises du fonds– aIPindice est la moyenne arithmetique des indices de performance annualises du

marche.

Toutefois, la covariance ne permet pas de determiner l’intensite de la liaison qui peutexister entre deux actifs, d’ou la necessite d’utiliser le coefficient de correlation [w16]. Cedernier definit donc le degre de dependance lineaire entre l’evolution des performances duportefeuille et celles de son indice de reference. Il est tres simple a utiliser et est egal aurapport de la covariance des deux actifs et du produit non nul de leurs ecarts types.

ρ(aIPfonds − aIPindice) =σ(aIPfonds,aIPindice)

σaIPfonds ∗ σaIPindice(3.8)



Le coefficient de correlation est compris entre -1 et 1 : Une correlation de 1 signifiequ’il existe une relation lineaire positive entre les deux actifs (correlation positive par-faite) ; une correlation de 0 signifie qu’il n’existe aucune relation entre les deux actifs etune correlation de -1 signifie qu’il existe une relation lineaire negative entre les deux actifs(correlation negative parfaite).

Nous pouvons dire que le coefficient beta est un indicateur de risque tres utile, soninteret s’inscrit essentiellement dans la gestion de portefeuilles. Toutefois, il reste limiteet il y a quand meme lieu de s’en mefier vues les diverses hypotheses sous lesquelles il estutilise [w17]. En effet, nous y retrouvons :

– Hypothese 1 : Les marches financiers sont parfaits, c’est-a-dire qu’il n’y a aucun coutde transactions, ni de taxes pour les dividendes. Les actifs sont tous negociables.

– Hypothese 2 : La determination du coefficient beta se base sur des donnees histo-riques, il est donc necessaire que les facteurs agissant sur les variations du marcheau passe soient les memes au futur.

3.2.4 Value-at-Risk

La VaR (Value-at-Risk) est une reference standard sur les marches financiers : Elleest definie comme la mesure de la perte potentielle maximale, sur un actif ou sur unportefeuille d’actifs, susceptible d’etre enregistree avec une probabilite donnee suite a desmouvements adverses de prix ou de taux sur un horizon de temps fixe.[20]

La VaR est donc un moyen de mieux maıtriser les risques financiers. C’est un outil depilotage utile dans le reporting interne, et dans la supervision de la prise globale de risquespar les organes decisionnels. Elle est adaptee a differents types de risques (marche, credit,liquidite. . . ), mais est utilisee particulierement comme indicateur de suivi des risques demarche. Nous pouvons dire qu’elle permet de repondre a la question suivante : Sur les Nprochains jours, avec une probabilite 1−α, quel est le maximum que nous pouvons perdre ?

De ce fait, trois elements sont indispensables pour une bonne interpretation de la VaR :

– Le niveau (seuil) de confiance 1−α est un parametre compris entre 0 et 1 (Engeneral 95 ou 99%). Il represente le niveau d’incertitude que le gestionnaire est preta accepter, avec α le taux de risque.

– La distribution des pertes : Elle represente en quelque sorte la loi suivie par lerendement du portefeuille.

– L’horizon de temps N : Il correspond a la periode sur laquelle les pertes poten-tielles sont estimees, en d’autres termes c’est la periode de detention de l’actif.

La VaR est consideree donc comme un indicateur tres synthetique fournissant uneappreciation du risque pour un quantile et un horizon de temps donnes et represente lapire perte attendue sur une certaine periode.[5]Elle reflete les pertes dues au risque de marche et doit verifier l’equation suivante :

Pr(r V aR) = 1− α (3.9)

– r etant le rendement observe sur l’horizon de temps N.



Si nous prenons un portefeuille qui suit une distribution normale, nous pouvons liresur le graphique (Figure 3.3) que la Value-at-Risk definie pour un niveau de confiancede 95% (c’est-a-dire α = 5%) est egale a -1.645. C’est-a-dire que la VaR(95%, 1jour)correspond a une perte de 1.645 million de Dirhams, autrement dit il y a 95% de chancepour que la perte n’excede pas 1.645 million de Dirhams.

Figure 3.3 – Exemple de la VaR sous une distribution normale

Afin de bien calculer la VaR d’un portefeuille, il est indispensable de faire un bonnombre d’hypotheses :

– Hypothese 1 : Normalite des variations des prix des actifs.– Hypothese 2 : Rendement moyen des actifs nul pour la periode consideree.– Hypothese 3 : Lien direct entre la VaR a N jours et la Var a 1 jour. Nous avons donc :

V aR((1− α)%, Njours) = V aR((1− α)%, 1jour) ∗√N (3.10)

Nous passons de la VaR a 1J a celle d’un different horizon de temps N en ajustant lavolatilite de l’element etudie par σN =

√Nxσ1. Ceci en appliquant The square root of

time rule. [11]

Toutefois, l’hypothese 1 constitue une grande limite de la VaR et peut biaiser lesresultats. En effet, la loi normale a tendance a sous-estimer les grandes variations et lesamplitudes des mouvements qui existent reellement dans le marche.En consequence, le calcul de la VaR depend essentiellement de la methodologie utiliseepour la construction de la distribution de probabilite. Il existe pour cela trois grandesmethodes :

a- Methode parametrique ou methode analytique :

C’est l’une des methodes les plus rapides a mettre en place. Pour cela, il faut d’aborddefinir les facteurs de risques qui vont influencer la variation de la valeur du portefeuille



etudie. Par exemple, le prix ou le taux, ainsi qu’un parametre symbolisant leurs distribu-tions. Nous prendrons comme parametre, la variance ou, plus precisement, l’ecart-type quireflete parfaitement la volatilite du facteur ; outil qui permet la mesure de la dispersionde la variable .[20]

Mais avant d’appliquer la VaR parametrique, plusieurs hypotheses doivent etre emisespour pouvoir justifier son utilisation [9] :

– Les variations des facteurs de risques suivent une loi normale. Toutefois, cette hy-pothese ne reflete pas toujours la realite notamment lorsque nous nous interessonsa des evenements rares.

– La relation entre les variations des valeurs du portefeuille et les variations des valeursdu marche est lineaire.

– Les profils des instruments financiers sont lineaires.Ces hypotheses nous permettent d’utiliser la formule suivante afin de calculer la VaR

pour un horizon d’un jour avec un seuil de confiance X = 1− α :

V aR(X, 1J) = P × ZX × σj (3.11)

Ou :– P est la valeur du portefeuille

– ZX est calcule tel que P (Z ≺ ZX) = X avec Zloi→ N(0, 1) ou Z est le facteur de

risque choisi.Generalement nous optons pour l’un des seuils de confiance suivant :

- X = 95% qui correspond a ZX = 1.645- X = 99% qui correspond a ZX = 2.33

– σj est la volatilite quotidienne du portefeuille qui s’exprime en fonction de la vola-tilite annuelle par σj = σA√

252ou 252 represente les jours ouvrables.

En utilisant l’hypotese sur la VaR emise precedemment, nous pouvons passer de la VaRa 1Jour a la VaR a l’horizon N desire en utilisant la formule (3.10)

Pour un portefeuille comportant deux actifs , la VaR du portefeuille est formulee apartir de la VaR, V aR1, du premier actif et celle, V aR2, du deuxieme comme suit [9] :

V aRPF =√V aR2

1 + V aR22 + 2× ρ× V aR1 × V aR2 (3.12)

Ou ρ est le coefficient de correlation entre les variations des deux actifs du portefeuille.

Dans le cas d’un portefeuille comportant plus de deux actifs nous utiliserons la matricede correlation pour mesurer la correlation entre les differents actifs. Ceci constitue en soi,une limite a cette methode car plus le nombre d’actif augmente plus la taille de la matriceaugmentera et alourdira par consequent le calcul.

b- Methode historique :

La methode historique, ou non parametrique, est consideree comme la methode laplus simple a realiser. Elle est fondee sur les pertes et gains passes des actifs composantle portefeuille. Il est donc necessaire d’avoir acces aux donnees historiques necessaires et



de considerer que les cours passes refletent les cours futurs. En effet, nous supposons queles tendances futures sont identiques a celles du passe. [9]

La premiere etape de la methode historique consiste a identifier les variables du marche,souvent nous considerons le facteur prix. La serie historique des prix nous permettra deconstruire une distribution empirique a partir de laquelle nous deduisons le quantile.

Supposons que nous ayons des donnees historiques sur N jours.

1. Tout d’abord, pour chaque jour, il convient de trouver les pertes et gains (prix final– prix initial) qui correspondent.

2. Ensuite, il faudra classer ces N pertes/gains potentiels par ordre croissant

3. Finalement, pour avoir notre valeur a risque V aR((1−α)%, 1j), il suffit de prendrela N ∗ α ieme valeur du classement.

V aR((1− α)%, 1j) = N ∗ (100%− (1− α)%) (3.13)

Exemple : Pour un nombre de jours N=1000, si nous souhaitons obtenir une VaR a 95%,il suffit de relever la 50eme (= 1000*(100%-95%)) valeur obtenue.

Si N ∗ α n’est pas entier, la VaR est calculee par interpolation lineaire des valeurs duclassement correspondantes aux entiers encadrants N ∗ α. Ceci suivant la formule :

V aR((1− α)%, 1j) = Pk + (N ∗ α− k)(Pk+1 − Pk) (3.14)

– Pi : La ieme valeur du classement des pertes/gains potentiels– k : La partie entiere de N ∗ α

c- Methode de Monte Carlo :

Monte Carlo est une methode probabiliste pour la simulation utilisee en vue de cal-culer une valeur numerique avec un certain niveau de confiance. Le calcul de la VaR, enutilisant cette methode ,nous permet d’atteindre des resultats concluants la ou les autresmethodes ne sont pas applicables, telle que l’utilisation de la VaR parametrique pour lesproduits optionnels.

Cette methode repose sur les etapes suivantes :

1. Choix du modele :Choisir le modele adequat qui va decrire de maniere fiable l’evolution de notre actif finan-cier (dans le cas d’un portefeuille compose de plusieurs actifs nous procederons commeprecedemment : c’est a dire calculer la VaR pour chaque actif et ensuite deduire celle duportefeuille).Dans le cas d’actions, par exemple, le modele le plus utilise est celui qui repose surl’evolution d’un mouvement Brownien geometrique.

2. Definition des parametres du modele choisi.Dans le cadre du meme exemple, l’evolution du cours de l’actif sera decrit par le mouve-



ment brownien geometrique suivant :

S(t+ ∆t) = S(t)exp

[(µ− σ2

2

)∆t+ σε

√∆t

](3.15)

Ou :– µ representera le taux sans risque de l’actif– σ representera la volatilite annuelle de l’actif– ε est une variable aleatoire qui suit la loi normale N(0,1)

3. Choix de l’horizon de temps T :Nous allons calculer le cours de l’actif en plusieurs moments t tel que t ∈ [0, T ] .

4. Simulation de differentes trajectoires :Une fois que nous avons initialise les parametres du modeles et que nous avons fixe l’ho-rizon de temps T , nous allons pouvoir generer N scenarios grace a la variable aleatoire ε.Pour chaque scenario nous aurons les valeurs du cours de l’actif de l’instant 0 a l’instantT.De cette maniere ∆S = S(T ) − S(0) representera la perte/gain genere(e) dans chaquesimulation. Nous obtiendrons alors N pertes/gains potentiels que nous allons classer parordre croissant.

Dans ce cas la, la VaR pour un intervalle de confiance de (1−α)% sera la (α%×N)iemeplus petite valeur.

Limites de la VaR :

La valeur a risque presente l’avantage d’etre simple a interpreter. Elle permet d’obtenirune vision globale du risque en l’exprimant sous la forme d’une seule valeur, correspondanta la perte maximale encourue. Neanmoins, elle est souvent critiquee vues ses nombreuseslimites.

En effet, d’une part, elle ne donne aucune idee sur la nature des pertes au-dela duquantile (niveau de confiance) en question. Par exemple, pour un niveau de confiance1 − α = 99%, le dernier 1% peut etre reparti tres differemment sur les pertes. Ilpeut se repartir d’une facon homogene sur la queue de la distribution ou bien avoir unefrequence tres elevee pour un montant particulier ce qui peut etre dangereux. D’autrepart, elle ne constitue pas une mesure de risque valable et coherente. Elle ne verifie pasla propriete de sous-additivite que toute mesure de risque se doit de faire.

3.2.5 La VaR Conditionnelle

Cette section couvre la moyenne des pertes excedant la valeur a risque. Cet outil demesure est apparu dans la litterature afin de remedier aux differentes lacunes que la valeura risque possede lors de l’evaluation du risque. Comme il est mentionne precedemment,la VaR ne constitue pas une mesure de risque adequate dans de nombreux cas a cause dela propriete de sous-additivite qu’elle ne parvient pas a respecter.



Afin de remedier donc aux defauts de la VaR, un nouvel outil de mesure de risque a vule jour : La CVaR, (Valeur a risque Conditionnelle) ou encore ES (Expected Shortfall).La CVaR possede en effet la caracteristique de sous-additivite et l’ensemble des autrescaracteristiques (homogeneite, monotonie et invariance transitionnelle) qui furent men-tionnees ; ce qui fait d’elle une mesure de risque valable dans tous les cas.

La CVaR est consideree comme le quantile correspondant a la perte potentielle quepeut subir un titre ou un portefeuille suite a des mouvements defavorables des prix demarche avec un certain seuil de confiance sachant que cette perte depasse la VaR.La CVaR est donc une mesure de risque plus pertinente et aussi puissante que la VAR,puisqu’elle tient compte des cas extremes et des evenements de grands dommages encou-rus.

A partir de la VaR, le concept de CVaR devient relativement trivial. Comme nousl’avons mentionne, la CVaR est l’esperance des pertes sachant qu’elles sont superieures ala VaR. Nous pouvons donc l’ecrire de la maniere suivante :

CV aR((1− α)%, N) = E(Pt|Pt > V aR((1− α)%, N)) (3.16)

Figure 3.4 – La Valeur a Risque conditionnelle

Ainsi, nous pouvons dire que la VaR mesure la valeur qui separe les (1 − α)% de ladistribution, la CVaR quant a elle se focalise sur la queue de distribution de la perte, lesα restant, dont nous ne connaissons ni la distribution, ni l’esperance.

Les methodes de calcul de la CVaR restent identiques a celles de la VaR.

– Methode analytique– Methode historique– Methode Monte CarloLa methode de calcul que nous avons choisi d’adopter pour le calcul de la VaR et la

CVaR des portefeuilles de la CMR est celle historique. Etant donne que les hypotheses dela methode parametrique ne sont pas souvent applicables et que d’apres d’anciens travauxde la CMR effectues sur la VaR il s’est avere que la methode de Monte Carlo nous donne



des resultats proches de celle historique mais avec un cout, de temps et d’espace utilise,plus eleve, notre choix s’est porte sur la methode historique.

3.2.6 Risque a la baisse

Comme cite auparavant, la volatilite nous permet d’avoir une idee sur la dispersion etles variations des performances d’un fonds par rapport a sa performance moyenne, qu’ellessoient des performances negatives ou positives.Le risque a la baisse, quant a lui, ne s’interesse qu’aux performances jugees negatives etrepresente donc la volatilite negative du fonds etudie.

Les performances negatives sont determinees par rapport a une certaine performancefixee a l’avance et qui represente le rendement minimum acceptable pour le fonds.Le TMP JJ (taux moyen pondere au jour le jour) represente le taux sans risque et definitdonc le seuil minimal de rendement acceptable dans le choix d’un investissement risque, saperformance representera donc la base sur laquelle seront jugees les performances du fonds.

Le risque a la baisse, exprime en pourcentage, revelera donc la mesure dans laquelleles rendements historiques de la CMR furent inferieurs a ceux du TMP JJ.Plus le pourcentage est faible plus le risque de perte est faible, ceci suivant la formulesuivante [2] :

Rb =√pas×

√∑Tt=1 δ(t)(IPCMR(t)− IPTMPJJ(t))2∑T

t=1 δ(t)(3.17)

Avec :

δ(t) = 1IPCMR(t)−IPTMPJJ (t)≺0 =

1 si IPCMR(t)− IPTMPJJ(t) ≺ 0

0 sinon(3.18)

3.2.7 Autres outils de mesure

Les outils explicites precedemment representent les principales mesures de risque auniveau d’un portefeuille. Toutefois, chaque portefeuille a ses propres variantes. Pour l’obli-gataire par exemple, nous retrouvons les indicateurs de risques suivants :

1- La duration :Dans le marche obligataire, les fluctuations des taux d’interet representent l’une des plusgrandes apprehensions des investisseurs. Cette apprehension est symbolisee par le risquetaux qui reflete la volatilite des taux de rendement. La duration represente l’un des indi-cateurs de ce risque.[w18]

L’un des soucis d’un detenteur d’un titre financier est d’en assurer le rendement sur-tout lorsque les taux changent. La duration d’une obligation se definit comme etant laduree (en annee) a partir de laquelle le titre sera a l’abri des fluctuations des taux, end’autres termes la duree a partir de laquelle l’obligation ne va generer que des flux positifs.



Nous pouvons distinguer deux differentes durations [w19] :

a- La duration de Macaulay :

Cette appellation nous parvient du monde anglo-saxon et qui est equivaut a la dura-tion definie precedemment.

Elle prend en consideration les flux generes par l’obligation ponderes par le tempssuivant la formule suivante :

D =

∑ni=1

i×Fi(1+r)i

P=

∑ni=1

i×Fi(1+r)i∑n

i=1Fi

(1+r)i

(3.19)

Ou :– n est la maturite de l’obligation– Fi est le flux monetaire a la date i– r est le taux d’interet (taux d’actualisation du rendement )– P est le prix de l’obligation

Lorsque les taux de marche augmentent nous pouvons remarquer grace a la formuled’actualisation (3.19) que les flux generes vont diminuer, donc la valeur de l’obligation vaaussi diminuer causant une perte de capital a son detendeur. Ceci lui permettra donc dereinvestir ses coupons a un taux plus eleve et donc plus avantageux et vice versa.

Nous constatons que les deux phenomenes d’effet-capital et d’effet-coupon

evoluent inversement et par consequent ils vont se compenser a un certain moment. Cemoment representera la duration de l’obligation.

La duration nous donne un premier apercu sur l’effet de la variation du taux de ren-dement de l’obligation sur la variation de son prix. Au moment ou elle croıt, le prix seretrouve sujet au changement des taux et par consequent il est plus volatile donc plusrisque. Toutefois, cet apercu reste fiable a un certain degre de variation des taux, au-delade ce seuil lorsque l’amplitude de variation des taux augmente, cette mesure n’est plusrigoureuse car elle ne tient pas compte de la convexite de la courbe prix-taux des obliga-tions.La duration ainsi definie n’est donc pas utilisee dans les marches financiers ; nous avonsplus recourt a la duration modifiee qui derive de la duration de Macaulay.

b- La duration modifiee :

Elle reflete l’impact d’une variation du taux de marche de 1 % sur la variation du prixde l’obligation.

DM =D

1 + r(3.20)

Ou :– D est la duration de Macaulay– r est le taux d’interet (d’actualisation, de rendement).



2-La sensibilite :La sensibilite figure egalement parmi les indicateurs du risque taux. C’est un parametreimportant dans la gestion du risque et donc des performances d’un portefeuille d’obliga-tions. Elle caracterise l’elasticite du prix par rapport a la variation du taux de marche.Plus precisement, elle represente l’impact sur le prix de l’obligation d’une variation de 1%du taux de marche.[w20]Ceci se traduit mathematiquement par :

S =∆PP0

∆r=

1

P

∆P

∆r(3.21)

Ou :– ∆P est la variation du prix de l’obligation– ∆r est la variation du taux de marche ( = ±1)– P0 est le prix de depart de l’obligation.

La formule precedente devient donc :

S =Prix final - Prix de depart

Prix de depart× (±100) (3.22)

Comme explique precedemment, le taux de marche et le prix de l’obligation evoluent in-versement. La sensibilite est donc de signe negatif et nous donnera le pourcentage aveclequel le prix diminuera lorsque le taux augmentera d’un point et le pourcentage aveclequel il augmentera lorsque le taux de marche diminuera d’un point.

En reprenant la formule mathematique de la sensibilite suivante :

S =dPdr

P(3.23)

En utilisant aussi l’expression du prix de l’obligation :

P =n∑i=1

Fi(1 + r)i

(3.24)

Nous arrivons a demontrer facilement la relation suivante qui lie la sensibilite a la durationde l’obligation.

S = − D

1 + r(3.25)

La sensibilite est donc proportionnelle a la duration. Ainsi plus la duration est longueplus la sensibilite est forte : Une variation d’un point du taux de marche entraınera unegrande variation du prix. Une hausse du taux de marche serait la bienvenue dans ce cas,contrairement a sa baisse.

3- La convexite :La sensibilite en tant qu’indicateur de risque taux nous renseigne sur la proportion devariation du prix, neanmoins l’impact sur le prix des differentes fluctuations du taux demarche n’est pas la meme en hausse qu’en baisse. Ceci revient, comme mentionne plushaut, a la convexite de la courbe prix-taux des obligations. Pour cette raison, il faut donctenir compte d’un autre indicateur de risque taux lors de grandes variations du taux de



marche. Cet indicateur n’est autre que la convexite. [w21]

La convexite est representee par la derivee seconde du prix par rapport au taux demarche et s’exprime comme suit :

Cv =1

(∆r)2×(

∆P

P0

+ S ×∆r

)(3.26)

Ou :– ∆r est la variation du taux de marche– ∆P est la variation du prix de l’obligation– P0 est le prix de depart de l’obligation– S est la sensibilite de l’obligation.

Plus la convexite d’une obligation est elevee plus son prix baissera lentement lors dela hausse des taux et augmentera rapidement lors de leurs baisses.

Ces indicateurs propres au portefeuille obligataire ne seront pas utilises dans le presentmemoire etant donne que nous allons nous interesser par la suite uniquement au porte-feuille action de la CMR. Neanmoins, nous avons juge utile de les presenter en vue d’aideret d’encourager la continuite de ce projet en y rajoutant les aspects non traites.


Chapitre 4

Application de gestion des risques

4.1 Presentation de l’application

Apres avoir presente, dans la partie precedente, la demarche theorique du calcul desindicateurs de risques, nous allons decrire dans la suite les differentes demarches effectueespour aboutir a la conception de l’application de gestion des risques, qui exploitera jus-tement ces indicateurs. Nous presenterons ensuite les resultats obtenus aux cours dessimulations.

Toutefois, dans cette premiere application, nous avons travaille sur les valeurs liqui-datives du portefeuille dans sa globalite et nous nous sommes contentes des indicateursde risque lies au marche notamment la volatilite, le beta, la Tracking Error, le risque a labaisse, la VaR et la CVaR.

4.1.1 Description generale

L’application est developpee sous VBA applique a Excel, le choix de cet outil de pro-grammation a ete fait selon les raisons suivantes :

– La familiarisation des responsables de gestion de portefeuille de la CMR avec Excel ;– L’utilisation de quelques fonctions predefinies sur Excel pour les formules mathematiques

considerees ;– La possibilite de generer et editer un reporting avec des graphes sur Excel et sur

Word.

Cette application, comme cite auparavant, servira essentiellement aux calculs des in-dicateurs de risque lies au marche pour le portefeuille de la CMR. Il y a 4 fichiers pourchaque portefeuille : Actions, Obligataire, Global mais aussi pour un quelconque porte-feuille eventuel.Nous expliquerons la procedure d’utilisation de l’application pour un portefeuille Actions.Toutefois, les demarches et explications suivantes restent les memes pour tout type deportefeuille.

34


4.1.2 Description de l’application

Une fois l’application demarree, une feuille Instructions apparait :

Figure 4.1 – Feuille instructions

Cette premiere feuille (Figure 4.1) servira essentiellement a expliquer a l’utilisateur,que l’application utilise les valeurs liquidatives du portefeuille de la CMR, celles du porte-feuille de reference BENCHMARK, ainsi que celles du taux sans risque TMP JJ, et qu’ilfaudrait les copier a leur emplacement pour que les indicateurs de risque puissent etrecalcules. Il va de soi, que les donnees doivent etre initialisees sur une meme periode pourne pas fausser les resultats.

En cliquant sur Lancez le menu (Figure 4.1), une barre de menu en haut de pages’affiche.

Figure 4.2 – Barre de menu

Pour remplir les donnees du portefeuille Action , il faut cliquer sur PortefeuilleAction (Figure 4.2) pour acceder a la feuille correspondant aux donnees du portefeuille.

Les donnees necessaires de cette feuille sont remplies (des fois ces donnees peuvent etrejournalieres). Or, pour le calcul des indicateurs, il est necessaire que les donnees soienthebdomadaires. Il y a un bouton qui servira justement a faire le tri des donnees.



De la meme maniere, il faut cliquer sur TMP mentionne sur la barre de menu(Figure 4.2) pour remplir ses donnees et cliquez sur le bouton necessaire pour faire le trien cas de besoin.

Maintenant que toutes les donnees sont inserees a leur place, il faut cliquer sur Calculdes indicateurs mentionne sur la barre de menu (Figure 4.2).Une fenetre (Figure 4.3) s’affiche des lors pour selectionner la periode sur laquelle lesindicateurs de risque vont etre calcules.

Figure 4.3 – Interface de periode de calcul

En cliquant sur Date de debut un calendrier s’affiche. La valeur selectionneepar defaut sur le calendrier est la premiere date des donnees a partir de laquelle nouspouvons commencer le calcul, en d’autres termes c’est la premiere date pour laquelle il ya un historique suffisant, ici d’une annee glissante, soit 52 semaines. En effet, si une dateanterieure a celle-ci est selectionnee, un message d’erreur apparait.



Comme nous nous sommes baes sur des donnees hebdomadaires, il faut selectionnerun Vendredi de la semaine, dans le cas contraire, un autre message d’erreur apparait.

De la meme maniere, en cliquant sur Date de fin , un calendrier apparait aveccette fois-ci comme valeur par defaut la derniere date mentionnee sur les donnees duportefeuille.Si jamais l’utilisateur selectionne une date de fin inferieure a la date de debut, un messaged’avertissement apparait.



Une fois la selection des dates est validee, nous passons maintenant au calcul desindicateurs de risques. Les indicateurs necessaires sont mentionnes sur l’interface ci-apres.(Figure 4.4)

Figure 4.4 – Interface des indicateurs de risques

Pour le calcul de la VaR et la CVaR, une saisie des parametres s’impose : La valorisa-tion du portefeuille (en DH) et le niveau de confiance (95 ou 99%).

Figure 4.5 – Parametres de la VaR

Finalement, nous retrouvons la feuille finale suivante qui comporte le calcul des in-dicateurs de risques : Volatilite annualisee, beta, Tracking Error annualisee, Risque a labaisse, VaR et CVaR pour le portefeuille de la CMR mais aussi pour celui du bench-mark.(Figure 4.6)



Figure 4.6 – Resultats du calcul des indicateurs

En parallele a ces fonctionnalites apparentes, des calculs ont ete faits. Nous retrouvonsnotamment la feuille des donnees du portefeuille qui devient comme suit (Figure 4.7). Eneffet, il etait necessaire de calculer en parallele les indices de performance du portefeuillede la CMR ainsi que ceux du Benchmark, mais aussi l’ecart entre les deux indices. Quandla valeur est positive, elle est ecrite en vert, quand elle est negative en rouge.

Figure 4.7 – Feuille finale des donnees du portefeuille

De la meme maniere il etait question de calculer l’indice de performance relie autaux sans risque TMP (Figure 4.8). Chacune des colonnes I et J (Delta CMR et DeltaBenchmark) correspond au resultat de la condition d’ecart lie au risque a la baisse dansl’equation (3.18). Si cette condition est egale a 1, le resultat est affiche en rouge, sinon siil est egal a 0 et sera en bleu.



Figure 4.8 – Feuille finale des donnees TMP

L’application est aussi dotee d’autres fonctionnalites complementaires importantes.En effet, en cliquant sur Reporting Action (Figure 4.6), nous pouvons generer unreporting avec la mise en page habituelle et exigee de la CMR. Ce reporting sous cetteforme (Figure 4.9), contient les differents graphes correspondant a l’evolution des indicesde performances et des indicateurs de risques sur la periode donnee.

Figure 4.9 – Reporting du portefeuille



Nous pouvons aussi generer un reporting global sur Word en cliquant sur le boutoncorrespondant (Figure 4.6). Ce rapport d’activite comporte cinq pages, donc chacunetraite les resultats des indicateurs relies a la CMR avec une description detaillee de chaqueindicateur et leur interpretation pour une comprehension plus approfondie du resultat ducalcul de chacun.

Figure 4.10 – Rapport d’activite sur Word - Pages 1 et 2

Figure 4.11 – Rapport d’activite sur Word - Pages 3 et 4



Figure 4.12 – Rapport d’activite sur Word - Page 5

4.2 Interpretation des resultats

L’application, citee auparavant, est applicable a differents types de portefeuille. Nousl’avons testee pour le portefeuille Actions, le portefeuille Obligations, et le portefeuilleGlobal de la Caisse Marocaine des Retraites.Nous decouvrirons ci-apres les resultats ressortissants de chacun des portefeuilles et leursinterpretations.

1- Portefeuille Actions :L’application a ete testee sur des donnees actions pour une periode allant du 31/12/2010au 31/12/2014. Le calcul des indicateurs s’est fait donc du Vendredi 06/01/2012 au Ven-dredi 26/12/2014 (periode pour laquelle l’historique est suffisant).

– La volatilite annualisee :Nous avons calcule la volatilite annualisee sur une annee glissante, soit 52 semaines.La volatilite du portefeuille de la CMR est comprise entre 6.519% et 13.177% avecune moyenne de 10.159%. La volatilite annualisee du benchmark quant a elle, est



comprise entre 5.755% et 12. 957% avec une moyenne de 9.732%.

Figure 4.13 – Volatilite annualisee - Portefeuille Actions

Nous remarquons que la CMR s’aligne plus ou moins au Benchmark (ici MASIRentabilite Brut) sur la periode consideree (Figure 4.13). Les deux affichent quandmeme une volatilite moyenne tres importante, ce qui implique que l’investissementen actions est un placement a risque. Cela s’explique par les fluctuations et varia-tions des prix des actions.Ainsi, nous pouvons dire que le risque de volatilite du cours est important et il peutdependre de la qualite de la societe, de ses resultats et de l’evolution generale de labourse. Il est donc necessaire de choisir les bonnes actions a introduire au niveaudu portefeuille.

– Le Beta :Le beta du portefeuille action est compris entre 0.968 et 1.124 avec une moyennede 1.014. Cela implique que les titres evoluent dans le meme sens que les fluctuationsdu benchmark, ce qui est evident vu la similitude de l’evolution de leurs volatilites.

– La Tracking-Error annualisee :La Tracking Error (TE) annualisee affiche un resultat compris entre 1.59% et 2.246%avec une moyenne de 1.86%. Nous pouvons dire que la TE assez faible, ce qui ex-plique sur le portefeuille de la CMR ne s’est pas eloigne, ou pas beaucoup, de lacomposition du MASI Rentabilite Brut.

– Le risque a la baisse :Le risque a la baisse est compris entre 3.18% et 10.813% avec une moyenne 7.22%pour la CMR, et une moyenne de 6.90% pour le MASI Rentabilite Brut.Nous remarquons que l’evolution de l’indicateur est a peu pres la meme pour lesdeux portefeuilles. Toutefois, le pourcentage du risque a la baisse est relativementeleve ce qui implique un risque de perte assez important.



Figure 4.14 – Risque a la baisse - Portefeuille Actions

– La VaR et CVaR :Si nous prenons la premiere et derniere date des donnees actions pour lesquellesl’historique est suffisant, la VaR est la CVaR a ces jours sont :

Figure 4.15 – VaR et CVaR - Portefeuille Actions



Pour une valorisation du portefeuille de 10 000 Dh par exemple (valeur fictive), pourla derniere annee d’evaluation, nous avons une perte de 2.8%, soit l’equivalent d’apeu pres 280 Dh : A un niveau de confiance de 95%, la CMR ne va pas perdre plusde 280 Dh. Le benchmark quant a lui, ne va pas perdre plus de 240 Dh.La CVaR quant a elle, affiche un pourcentage de -3.6%, soit une valeur d’a peu pres360 Dh, c’est-a-dire que pour les cas extremes, soit une probabilite des 5% restants(1-95%), la CMR ne va pas perdre plus 325 Dh.

2- Portefeuille Obligations et Portefeuille Global :Quant au portefeuille Obligations ou meme le portefeuille Global, la volatilite reste tresminime et se trouve aux alentours de 0.5%.

Pour le portefeuille obligations cela s’explique par le fait que les obligations represententun investissement sur et stable, et qu’elles sont moins exposees aux risques de marche.En effet, l’obligation est consideree comme une dette, et le risque majeur qui peut y avoirest ne pas se faire rembourser. Ce risque est naturellement en fonction de la qualite del’emetteur.

Pour le portefeuille global cela s’explique par la diversite des actifs le constituant,et surtout par le fait que les obligations detiennent un grand pourcentage au niveau duportefeuille global. En effet, l’allocation d’actifs au niveau ce portefeuille se fait selon lesexigences suivantes :

– Le pourcentage des obligations est superieur ou egal a 60%– Le pourcentage des actions est inferieur ou egal a 30%– La somme des pourcentages de l’immobilier ainsi que du non cote est inferieure a 5%

De ce fait, la diversification stipule le mixage entre des actifs risques et d’autres moinsrisques, ce qui attenue le degre de risque auquel peut etre expose le portefeuille.En theorie, un portefeuille diversifie qui comprend une variete d’actifs tend a ajuster etequilibrer les fluctuations du rendement, cela est essentiellement du a la faible correlationqui puisse y avoir entre ces actifs. D’autant plus, pour un portefeuille diversifie qui com-prend plusieurs types de d’actifs, il est beaucoup moins probable que tous ces actifsaffichent un mauvais rendement en meme temps. En effet, les differents types de d’actifsne reagissent pas tous de la meme facon aux evenements mondiaux et aux variations desfacteurs economiques.


Chapitre 5

Optimisation du portefeuille Actions

5.1 Position du probleme

La premiere application nous a permis d’avoir une idee sur le niveau de risque duportefeuille de la CMR grace au reporting des differents indicateurs de risque calcules.

Ce reporting a pour but de nous orienter quant a la strategie a adopter dans la gestiondes differents portefeuilles de la CMR. Ces resultats sont-ils satisfaisants ? La volatilite duportefeuille est-elle acceptable ? L’ecart maximal accorde au gestionnaire par rapport auportefeuille de reference est-il respecte ? La perte modelisee par la VaR et la CvaR est-elletolerable ?Chaque combinaison de reponses defavorables a ces questions represente des contraintesque notre portefeuille se doit de respecter pour se placer a un niveau de risque admissibleen echange d’un certain rendement que nous chercherons a maximiser.

Dans ce chapitre, nous nous interesserons uniquement au portefeuille actions, dans lamesure ou il est considere comme le portefeuille le plus risque. Nous etudierons ce por-tefeuille, titre par titre, afin de determiner la composition optimale qui permettra, pourun certain niveau de risque, de maximiser le rendement tout en respectant les contraintespreetablies.

Ainsi, la performance ne sera plus exprimee a partir des valeurs liquidatives du por-tefeuille mais a travers le rendement des cours propres a chaque titre le composant.

La partie qui suit constituera un rappel sur les formules mathematiques qui nouspermettront de calculer les parametres necessaires a l’optimisation souhaitee.

5.1.1 Modelisation mathematique du probleme

1- Rendement d’un titre :

Les rendements calcules et utilises tout au long de ce projet sont des rendements jour-naliers exprimes comme suit :

46


Pour un titre i a la date j :

Ri,j =coursi,j − coursi,j−1

coursi,j−1

(5.1)

Ou :

– coursi,j est le cours de fermeture du titre i a la date j.

2- Rendement du portefeuille :

Le rendement d’un portefeuille a la date j est la moyenne des rendements de chaquetitre le composant, ponderee par les proportions ou poids de chaque titre dans la compo-sition totale du portefeuille.

Pour un portefeuille compose de n titres, nous avons :

RPF,j =n∑i=1

xi ∗Ri,j (5.2)

Ou :

– RPF,j est le rendement du portefeuille a la date j– xi est le poids du titre i dans le portefeuille PF– Ri,j : rendement du titre i a la date j.

3- Fonction objectif :

Partant d’une situation initiale qui est la derniere evaluation du portefeuille actions dela CMR, la problematique posee est le suivante : Quel sera le poids a attribuer a chaquetitre et eventuellement quels seront les nouveaux titres a introduire dans notre portefeuilleafin de maximiser son rendement tout en fixant un niveau risque a respecter ?

La fonction objectif de notre probleme d’optimisation est donc formulee a partirdu rendement anticipe du portefeuille action dont l’ensemble des poids de chaque titrerepresentera les variables de decisions de notre probleme.

Sa formulation mathematique est comme suit :

Maximiserx

xtR (5.3)

Ou :

– x est le vecteur de poids des titres du portefeuille– R est vecteur des rendements anticipes de chaque titre.

Le vecteur de rendement anticipe du portefeuille sera calcule a partir du Modeled’evaluation des actifs financiers (MEDAF), dont la methode et les hypotheses serontexposees dans la partie suivante.



5.1.2 Modele d’Evaluation Des Actifs Financiers (MEDAF)

Avant d’investir dans un actif financier risque, il faudrait que son rendement esperesoit superieur a celui d’un actif sans risque pour pouvoir justifier le risque entrepris.

Cette difference de rendement est ce que nous appellons la prime de risque et estdefinie comme le supplement de rendement exige par l’investisseur afin d’investir dansl’actif risque .Cette prime de risque ne tient compte que du risque systematique qui est impossible aeliminer par la diversification puisque ce dernier affecte l’ensemble des actifs.

Ainsi le rendement, attendu par le marche pour un certain actif devrait tenir comptede cette prime de risque et donc du risque systematique.

Le modele d’evaluation des actifs financiers (MEDAF) remplit cette exigence et fournitune estimation du rendement attendu par le marche pour un actif financier en fonctionde son risque systematique.[3]

Ce modele repose sur 4 hypotheses [13] :

1. Les investisseurs peuvent acheter ou vendre n’importe quel actif financier a sonprix de marche, sans couts de transaction ni impots. Ils peuvent, de plus, preter ouemprunter aux taux d’interet sans risque.

2. Tous les investisseurs detiennent un portefeuille efficient, c’est a dire un portefeuilleoffrant la rentabilite esperee la plus elevee pour une volatilite donnee.

3. Les investisseurs forment des anticipations homogenes sur les rentabilites esperees,les volatilites et les correlations de tous les actifs financiers.Cette hypothese peut s’expliquer par le fait que les anticipations des rentabilites sebasent sur les informations publiques disponibles et par consequent les anticipationsformees ont le meme fondement. Ceci permet de justifier que les investisseurs ferontles memes previsions et donc que leurs anticipations seront homogenes.

4. La matrice de variance-covariance des rentabilites des titres est stable dans le temps.

Avant d’appliquer le MEDAF, il va nous falloir dans un premier temps evaluer lerisque systematique d’une action. Ceci revient a determiner le pourcentage de l’impactdu risque systematique dans la variation de ses rendements.

Pour ce faire il s’agira d’observer la sensibilite du rendement de cette action par rap-port a une variation de 1% du rendement d’un portefeuille exclusivement expose au risquesystematique.Ce portefeuille ainsi defini est appele portefeuille efficient et que l’hypothese 3 du MEDAFapparente au portefeuille marche.[17]

Etant donne que les anticipations des investisseurs sont homogenes, ils identifieronttous, le meme portefeuille efficient qui va constituer, en plus de l’actif sans risque, leurportefeuille global dont les ponderations different suivant l’aversion au risque de chaque in-vestisseur. Par consequent, le portefeuille efficient devrait regrouper tous les actifs risquesse trouvant sur le marche. Chaque titre, bien qu’il soit risque, est detenu par un investis-seur et fait, par consequent, partie de son portefeuille. Ce portefeuille n’est autre que le



portefeuille efficient qui est identique pour les differents investisseurs.

Ainsi sous cette hypothese, la mesure du risque systematique d’un actif consiste acalculer son beta.La formule du MEDAF se presente alors comme suit [6] :

Rendement anticipe du titre i = Taux sans risque + Prime de risque du titre i

Ri = rf + βi ∗ (E(Rm)− rf ) (5.4)

Ou :

– E[Rm]–rf est la prime de risque marche.

5.2 Modelisation des contraintes

L’objectif de ce chapitre consiste a maximiser le rendement du portefeuille. Toutefois,plusieurs contraintes rentrent en jeu et doivent etre tenues en compte. Dans cette partie,nous detaillons ces contraintes et explicitons leurs modelisations mathematiques, que nousintegrerons par la suite au niveau de notre programme d’optimisation.

5.2.1 Contraintes de gestion

Le but de l’optimisation est de definir l’ensemble des poids de chaque titre qui va maxi-miser la fonction objectif tout en respectant le niveau de risque desire pour le portefeuille.Cependant ces poids devront eux aussi respecter les seuils auxquels doit se soumettre laCMR et qui sont definis par rapport aux poids de son benchmark.

De ce fait, pour chaque titre i dont les poids sont xi et bi dans le portefeuille de laCMR et celui du benchmark respectivement :

– Si bi ≤ 10% alors xi ne doit pas depasser 10%– Si 10% > bi ≤ 15% alors xi ne doit pas depasser 15%– Si 15% > bi ≤ 20% alors xi ne doit pas depasser 20%.

5.2.2 Contraintes de risque

Les contraintes de risque du probleme regroupent deux types de risque :

– Risque marche : Represente par la volatilite du portefeuille, la Tracking Error, lebeta, la VaR et la CvaR.

– Risque liquidite : Represente par le ratio de liquidite qui sera explicite un peu plusloin.



Risque marche

1- La Volatilite :La volatilite d’un portefeuille se calcule a travers les volatilites des titres qui le composentmais aussi en tenant compte des dependances qui existent entre les evolutions de sesdifferents titres.

Cette dependance est representee par la notion de covariance entre chaque couple detitre du portefeuille, elle permet de quantifier leurs ecarts conjoints par rapport a leursesperances respectives.

La covariance entre un titre i et j sur une periode T s’exprime par la relation suivante :

cov(i, j) = σij =1

T − 1

T∑t=1

(Ri,t −Ri)(Rj,t −Rj) (5.5)

Ou :

– Ri,t et Rj,t sont les rendements des titres i et j respectivement a la date t– Ri et Rj sont les rendements moyens de chaque titre sur la periode T .

La covariance est une extension de la variance σ2 vue precedemment, pour i = j nousretrouvons la variance du titre i.

Ainsi, la volatilite du portefeuille de n titres est la somme des covariances des titresle composant ponderee par leurs poids :

σPF =n∑i=1

n∑j=1

xixjσij (5.6)

Ou :

– xi est le poids du titre i.

L’equation (5.6) peut s’ecrire sous la forme matricielle suivante ou la matrice de va-riance/covariance est symetrique definie positive et nous permet de caracteriser la distri-bution du portefeuille :

(x1 . . . xi . . . xn

)σ11 · · · σ1n...

. . ....

σn1 · · · σnn

x1...xi...xn

= xtV x (5.7)

2- La Tracking Error :La Tracking Error exprime la volatilite de la difference de rendement entre un fonds etson benchmark.[15]De ce fait la Tracking Error d’un portefeuille dont les poids du benchmark sont(

b1 . . . bi . . . bn)



est :

TE = (x− b)tV (x− b) (5.8)

3- Le Beta :Pour un portefeuille, le beta peut etre defini comme suit :

βPF =Cov(RPF , Rindice)

V ar(Rindice)

=Cov(

∑ni=1 xi ∗Ri, Rindice)

V ar(Rindice)

=n∑i=1

xi ∗Cov(Ri, Rindice)

V ar(Rindice)(bilinearite de la covariance)

=n∑i=1

xi ∗ βi

(5.9)

4- La VaR et la CVaR :La VaR mesure la perte potentielle maximale, sur un actif ou sur un portefeuille d’actifs,susceptible d’etre enregistree avec une probabilite donnee sur un horizon de temps fixe.[12]La CVaR, quant a elle, mesure l’esperance de perte excedant la VaR.

Soit un portefeuille de n actifs x =(x1 . . . xi . . . xn

)∈ X avec X ⊂ Rn ensemble des

portefeuilles disponibles.

La perte x associee au portefeuille est representee par la fonction suivante :

f : X × Rn → R(x, y) 7−→ f(x, y)

ou y est le vecteur qui correspond au risque rattache a x. Dans notre cas, il s’agira desdifferents rendements futurs de chaque titre composant le portefeuille, ce qui lui confereson caractere incertain et aleatoire et par la meme occasion celui de la perte f(x, y).

L’experience aleatoire etudiee est donc les differents rendements que peut realiser leportefeuille et qui definissent aussi les differentes pertes que peut encourir le portefeuille.

Soit l’espace probabilise (Ω, B, P ) ou Ω est l’univers lie a l’experience etudiee muni desa tribu B. Nous supposons que la loi de probabilite de y a une densite de probabilitenotee fY (y) = p(y).

Soit l’evenement A de B tel que A = y/f(x, y) ≤ α, c’est-a-dire les rendements quivont conduire a une perte inferieure a α.

La fonction de repartition de la variable aleatoire associee a la perte du portefeuille xest definie comme suit :

Fperte(α) = P (perte ≤ α) = P (Y ∈ A)



Autrement dit, la probabilite que la perte du portefeuille x ne depasse pas le seuil αet que nous allons noter ψ(x, α), exprime aussi la probabilite que le rendement du porte-feuille engendre une perte inferieure a α.

Nous avons :

ψ(x, α) = P (Y ∈ A) =∫R 1A(y)fydy =

∫f(x,y)≤α p(y)dy

ψ(x, α) =

∫f(x,y)≤α

p(y)dy (5.10)

ψ en tant que fonction de α, est une fonction croissante et nous supposons qu’elle estcontinue c’est-a-dire qu’il n’y a pas de saut de α.

La VaR et CVaR du portefeuille x pour un niveau de confiance β seront notees res-pectivement αβ(x) et φβ(x) et sont donnees par les formules suivantes :

VaR :αβ(x) = min α ∈ R : ψ(x, α) ≥ β (5.11)

Cet ensemble regroupe les pertes dont la probabilite de les depasser dans le portefeuillex est inferieure a β. Etant donne que ψ est croissante, le minimum de cet ensemble estatteint lorsque la valeur de ψ est minimale i.e. quand ψ(x, α) = β

CVaR :

Soit l’evenement : C = y/f(x, y) ≥ αβ(x)La CVaR du portefeuille x de VaR αβ est d’apres la definition donnee precedemment(3.16) :

φβ(x) = E(g(Y )/C) Avec g(y)=f(x,y)

Nous avons :

φβ(x) = 1P (C)

∫Cg(Y )dP = 1

P (C)

∫Cg(y)fydy

Ou P (C) = 1− β est la probabilite que la perte depasse la VaR.

Donc

φβ(x) = 11−β

∫Cf(x, y)p(y)dy

φβ(x) =1

1− β

∫f(x,y)≥αβ

f(x, y)p(y)dy (5.12)

Nous definissons la fonction Fβ sur X × R par laquelle nous allons caracteriser αβ etφβ(x) par :

Fβ(x, α) = α +1

1− β

∫y∈Rn

[f(x, y)− α]+ p(y)dy (5.13)



Ou [t]+ = max t, 0 .

Les deux theoremes suivants, demontres par Rockafellar et Uryasev [18], sont essentielsdans la modelisation mathematique de la VaR et CVaR.

Theoreme 1. Pour un x fixe, la fonction Fβ est convexe et de classe C1.Pour tout portefeuille x, la CVaR de niveau de confiance β est donnee par :

∀x ∈ X φbeta(x) = minα∈R

Fβ(x, α) (5.14)

L’ensemble des valeurs de α pour lesquelles le minimum est atteint, est note :

Aβ(x) = minα∈R

Fβ(x, α) (5.15)

Cet ensemble est un intervalle non vide, ferme borne -qui peut etre en particulier reduiten un point-.La VaR au seuil β est donne par :

αβ(x) = l’extremite gauche deAβ(x) (5.16)

De meme :

αβ ∈ argminα∈R

Fβ(x, α) et φβ(x) = Fβ(x, αβ(x)) (5.17)

Theoreme 2. Minimiser la CVaR d’un quelconque portefeuille x revient a minimiserFβ(x, α) ∀(x, α) ∈ X × R, tel que :

minx∈X

φβ(x) = min(x,α)∈X×R

Fβ(x, α) (5.18)

Ou le couple (x∗, α∗) minimise Fβ si et seulement si x∗ minimise φβ et α∗ ∈ Aβ(x∗). Enparticulier, si nous nous trouvons dans le cas ou Aβ(x∗) est reduit en un point, alors laminimisation de Fβ(x, α) nous donne un couple (x∗, α∗) qui n’est pas forcement unique,tel que x∗ minimise la CVaR de niveau de confiance β et α∗ nous donne la VaR corres-pondante.

Approximation de Fβ :

Dans cette partie nous allons approcher l’integrale se trouvant dans l’expression de(5.13) Fβ.Nous posons

h(y) = [f(x, y)− α]+

alors

Fβ(x, α) = α + 11−β

∫y∈Rn h(y)p(y)dy

Nous avons

H =∫y∈Rn h(y)p(y)dy = E(h(Y ))



Soit(y1 . . . yi . . . yq

)un echantillon de la loi Y distribuee selon la densite p(y).

L’estimateur dit de Monte-Carlo de H= E(h(Y)) est :

hq = 1q

∑qj=1 h(yj) = 1

q

∑qj=1[f(x, yj)− α]+

Par consequent, une approximation de Fβ(x, α) est :

Fβ(x, α) = α +1

q(1− β)

q∑j=1

[f(x, yj)− α]+ (5.19)

Linearisation :

Afin de lineariser la formulation de Fβ(x, α) nous allons utiliser des variables artifi-cielles zj ∀j = 1, ..., q tel que :

Fβ(x, α) sera remplacee par :

α + 1q(1−β)

∑qj=1 zj avec les contraintes lineaires :

zj ≥ f(x, yj)− α, zj ≥ 0, j=1,...,q, α ∈ R

Application a notre probleme d’optimisation :

Soit x le vecteur de decision comportant l’ensemble des poids de chaque titre, y levecteur des rendements anticipes generes par le MEDAF, x0 vecteur des poids initiaux duportefeuille actions de la CMR, y0 le vecteur de rendement des titres lors de la derniereevaluation et CV aR0 (en pourcentage) la valeur absolue CVaR maximale |CV aRmax| d’unniveau de confiance β.

Remarque :

– Nous avons |V aR| ≤ |CV aR|. Il suffit donc d’introduire la contrainte sur la CVaRpour pouvoir restreindre la valeur de la VaR.

La fonction de perte est donnee suivant l’expression :

f(x, y) = xt0y0 − xty (5.20)

La formulation de la CVaR est donc :zj ≥ xt0y0 − xtyj − α, zj ≥ 0, j = 1..q

α +1

q(1− β)

q∑j=1

zj ≤ CV aR0(5.21)



Risque liquidite

La liquidite des titres du portefeuille actions de la CMR est evaluee a travers le ratiode liquidite suivant :

Pour un titre i :

Li =Quantite moyenne echangee du titre i

Capital flottant du titre i(5.22)

Ou le capital flottant represente la quantite totale du titre i susceptible d’etre echangeeen bourse.

Ce ratio de liquidite (5.22) nous permet d’avoir une idee sur le pourcentage echange dechaque titre dans le marche. Plus Li est eleve plus le nombre de transactions auxquellesa participe le titre i est grand. Cela nous permet d’evaluer d’une certaine maniere la li-quidite de ce titre.Le titre est d’autant plus liquide que le ratio est grand.

Pour le portefeuille :Le ratio de liquidite du portefeuille est la somme des ratios de liquidite des titres lecomposant ponderee par leurs poids respectifs :

LPF =n∑i=1

Lixi (5.23)

5.3 Formulation du probleme d’optimisation

Le probleme est formule comme suit :

Maximiserx

xtR

sous les contraintes :

xtV x ≤ volmax : Volatilite

(x− b)tV (x− b) ≤ TEmax : Tracking Error∑ni=1 xiβi = β0 : Beta

zj ≥ xt0y0 − xtyj − α, zj ≥ 0, j = 1..q : CVaRα + 1

q(1−β)

∑qj=1 zj ≤ CV aR0

xtL ≥ liq0 : Liquidite∑ni=1 xi = 1 : Somme des ponderations

0 ≤ x ≤ ν : Contrainte de gestion

(5.24)

Ou :



– R le vecteur des rendements anticipes– V la matrice de covariance des titres– b le vecteur des poids du benchmark– CV aR0 le seuil maximal de la CVaR– volmax le seuil maximal de la volatilite– TEmax le seuil maximal de la Tracking Error– β0 Beta fixe par la CMR– liq0 le seuil minimal du ratio de liquidite– ν le vecteur de contrainte de gestionLa resolution du probleme nous fournit le vecteur de decision x representant les poids

des differents actifs ainsi que la VaR du portefeuille correspondant, notee α.



5.4 Application sous MATLAB

Apres avoir formule notre probleme d’optimisation au complet, nous allons maintenantl’implementer sous MATLAB. Le choix de ce langage de programmation est essentielle-ment du a sa rapidite, sa capacite a gerer un grand nombre de donnees ainsi que sonefficacite face aux calculs matriciels.

A l’ouverture de l’applicatif, une premiere interface Menu s’affiche :

Figure 5.1 – Interface Menu sur Matlab

En cliquant sur le bouton correspondant a l’importation des donnees (Figure 5.1),nous pourrons importer le fichier necessaire pour que le programme fonctionne.

Le fichier des donnees, est un fichier Excel qui comporte plusieurs feuilles, a savoir :

– ’Portefeuille initial’ contient le libelle des actions disponibles dans le portefeuille dela CMR ainsi que son poids. Pour notre simulation, nous utiliserons un portefeuillefictif compose de 14 actions.

– ’Poids MASI’ contient les differents titres existants au niveau du portefeuille MASIavec leurs poids et les poids sectoriels.

– ’Secteur’ regroupe toutes les actions qui existent dans le marche ainsi que le secteurcorrespondant a chacune.

– ’Cours’ correspond a l’historique des cours de chaque action.

– ’Quantites’ correspond a l’historique des quantites echangees de chaque action.

– ’Indices’ correspond aux valeurs liquidatives du MASI Rentabilite Brut.



– ’Ponderation’ comporte pour chaque date, les actions disponibles avec leurs codes,leurs nombres de titres, leurs cours, leurs facteurs flottant.

Une fois ce dernier fichier importe, deux tableaux apparaissent :

Figure 5.2 – Resultats d’importation des donnees

Le premier tableau, a gauche, correspond a une repartition sectorielle (Tableau 5.1).En effet, nous retrouvons tous les secteurs existants (qui sont au nombre de 22) avec pourchaque secteur la somme des poids des titres qui y figurent, que ca soit pour le portefeuillede la CMR que pour celui du benchmark. En plus de l’affichage de l’ecart entre les deuxpoids (Poids de la CMR – Poids du benchmark).



Secteur Poids CMR Poids BENCHMARK EcartAGRO 4.6800 4.1322 0.5478ASSUR 0 4.4318 -4.4318BMC 19.6000 13.8971 5.7029BANK 16.1657 37.6715 -21.5058BOISS 0 1.5033 -1.5033CHIM 0 0.3480 -0.3480DISTR 5.5000 2.2598 3.2402EEE 0 0.0713 -0.0713ELC 0 1.0083 -1.0083IBEI 0 0.0653 -0.0653IMMOB 23.0749 7.4507 15.6242LH 0 0.2162 -0.2162LSI 9.1800 0.4241 8.7559MINES 2.2700 2.4416 -0.1716PG 3.8100 1.9380 1.8720PHARM 0 0.4695 -0.4695SP 14.3300 0.0036 14.3264SAC 0 0.4285 -0.4285SFAF 0 1.2122 -1.2122SPH 0 0.4179 -0.4179TCOM 0 19.4533 -19.4533TRANS 1.3894 0.1231 1.2663

Table 5.1 – Donnees initiales - Repartition par secteur

Le deuxieme tableau, a droite, contient le detail de ses secteurs (Tableau 5.2), et doncaffiche les resultats titre par titre (au nombre de 74). Pour chaque titre, nous retrouvonsson code, son libelle, son secteur, ainsi que son poids au niveau de la CMR et celui auniveau du benchmark.



Code Libelle Titre Secteur Poids CMR Poids BENCHMARKMA0000011868 CARTIER SAADA AGRO 0.0209MA0000012049 CENTRALE LAITIERE AGRO 0.4750MA0000012247 COSUMAR AGRO 4.6800 2.2664MA0000011421 DARI COUSPATE AGRO 0.0814MA0000012031 LESIEUR CRISTAL AGRO 0.8965MA0000012023 UNIMER AGRO 0.3919MA0000010944 AGMA LAHLOU-TAZI ASSUR 0.1421MA0000011710 ATLANTA ASSUR 0.3410MA0000012007 SAHAM ASSURANCE ASSUR 1.0195MA0000010928 WAFA ASSURANCE ASSUR 2.9292MA0000012114 AFRIC INDUSTRIES SA BMC 0.0313MA0000010936 ALUMINIUM DU MAROC BMC 0.1450MA0000010506 CIMENTS DU MAROC BMC 8.0200 2.7608MA0000011934 COLORADO BMC 0.2031MA0000010332 HOLCIM ( Maroc ) BMC 3.7872MA0000012080 JET CONTRACTORS BMC 0.0894MA0000012122 LAFARGE CIMENTS BMC 11.5800 6.3729MA0000010019 SONASID BMC 0.7105MA0000011926 ATTIJARIWAFA BANK BANK 10.5400 18.8678MA0000011884 BCP BANK 8.3041MA0000011835 BMCE BANK BANK 5.6257 6.7780MA0000010811 BMCI BANK 1.4818MA0000010381 CDM BANK 0.7494MA0000011454 CIH BANK 1.4903MA0000010365 BRASSERIES DU MAROC BOISS 1.2752MA0000010415 OULMES BOISS 0.2282MA0000010985 MAGHREB OXYGENE CHIM 0.0295MA0000011728 SNEP CHIM 0.1154MA0000010969 AUTO HALL DISTR 1.1152MA0000011009 AUTO NEJMA DISTR 0.1294MA0000011942 ENNAKL DISTR 0.1040MA0000011587 FENIE BROSSETTE DISTR 0.0605MA0000011801 LABEL VIE DISTR 5.5000 0.8029MA0000011595 REALIS. MECANIQUES DISTR 0.0131MA0000011843 STOKVIS NORD AFRIQUE DISTR 0.0347MA0000011140 NEXANS MAROC EEE 0.0713MA0000012205 TAQA MOROCCO ELC 1.0083MA0000011777 DELATTRE LEVIVIER MAROC IBEI 0.0344MA0000012056 STROC INDUSTRIE IBEI 0.0308MA0000011819 ALLIANCES IMMOB 15.3849 0.4707MA0000011991 BALIMA IMMOB 0.0341MA0000011694 CGI IMMOB 3.5600 2.2911MA0000011512 DOUJA PROM ADDOHA IMMOB 4.1300 3.4332MA0000012239 RES DAR SAADA IMMOB 1.2216MA0000011462 RISMA LH 0.2162MA0000011637 DISWAY LSI 9.1800 0.1632MA0000011611 HPS LSI 0.1359MA0000011132 IB MAROC.COM LSI 0.0158MA0000011579 INVOLYS LSI 0.0182MA0000011678 M2M Group LSI 0.0284MA0000012163 MICRODATA LSI 0.0627MA0000012106 S.M MONETIQUE LSI 0.0235MA0000011058 MANAGEM MINES 2.2700 1.0731MA0000011793 MINIERE TOUISSIT MINES 0.7504MA0000010993 REBAB COMPANY MINES 0.0038MA0000010068 SMI MINES 0.6143MA0000010951 AFRIQUIA GAZ PG 1.4569MA0000010803 SAMIR PG 3.8100 0.4811MA0000011660 PROMOPHARM S.A. PHARM 0.0678MA0000011645 SOTHEMA PHARM 0.4017MA0000011447 MED PAPER SP 14.3300 0.0036MA0000011439 LYDEC SAC 0.4285MA0000010464 AXA CREDIT SFAF 0.0280MA0000010639 DIAC SALAF SFAF 0.0107MA0000010357 EQDOM SFAF 0.4749MA0000011215 MAGHREBAIL SFAF 0.1371MA0000010035 MAROC LEASING SFAF 0.0906MA0000011744 SALAFIN SFAF 0.3289MA0000012064 TASLIF SFAF 0.1184MA0000011850 DELTA HOLDING SPH 0.4060MA0000010571 ZELLIDJA S.A SPH 0.0119

Table 5.2 – Donnees initiales - Repartition par titre

Pour la colonne des poids pour la CMR, ils correspondent aux poids des titres exis-tants sur le portefeuille initial. Certaines cases sont vides, cela veut dire que les titres enquestions ne figurent pas dans ce portefeuille. Par contre, comme le benchmark detienttous les titres du marche, il est normal que la colonne des poids de ses titres soit remplieen entier.



Par consequent, si l’utilisateur veut qu’un nouveau titre fasse partie de son nouveauportefeuille (celui dont l’allocation sera generee a la fin grace au programme), il peut toutsimplement ecrire a la place correspondant a son poids, le chiffre zero, comme presenteci-apres.

Finalement, en cliquant sur le bouton Valider (Figure 5.2), l’utilisateur est dirigevers une nouvelle interface.

Figure 5.3 – Interface d’optimisation



Nous rappelons, que le but de ce programme est d’utiliser les resultats de la premiereapplication de gestion des risques pour avoir une idee sur les seuils a imposer a chaqueindicateur de risque. De ce fait, sur cette interface (Figure 5.3), une importation de donneesest necessaire. En cliquant sur Importer les donnees (Figure 5.3), nous importeronsle fichier Excel correspondant a la premiere application.

Figure 5.4 – Resultats d’importation des donnees

Tous les champs correspondant aux indicateurs de risques ont ete pris de l’applicationde gestion des risques, excepte celui de la liquidite. Ce dernier a ete calcule grace a la for-mule vue precedemment et qui necessitait les poids des titres de notre portefeuille initial.

Comme notre but est d’optimiser notre portefeuille, il est question de generer lesrendements futurs des titres a partir de leurs rentabilites esperees. Apres tout, c’est lefutur qui nous importe, non le passe !En cliquant sur le bouton Rentabilite esperee des titres (Figure 5.3), une interfaces’affiche :

Figure 5.5 – Interface pour les rentabilites esperees



La duree d’evaluation reste un choix que l’utilisateur se doit de faire. Il peut choisirune duree d’evaluation d’une annee, de trois annees ou encore cinq annees. En cliquantsur OK (Figure 5.5) le tableau se remplit ainsi que la valeur moyenne du taux sansrisque et la valeur de la prime du risque.

Figure 5.6 – Donnees liees aux titres du portefeuille

Le tableau contient les 14 titres figurant sur notre portefeuille initial, mais aussi les 3autres que nous avons decide de rajouter.Pour chaque titre, il y a son libelle, le secteur auquel il appartient, sa volatilite, son beta,son taux moyen, ainsi que son taux MEDAF. Le tout sur une periode d’une annee (commementionne sur l’interface).A noter que si jamais un titre n’a pas l’historique suffisant, specialement pour les titresrecemment ajoutes au marche, un message d’avertissement apparait et le rendement dece titre est remplace par la moyenne des rendements des titres se trouvant sur le memesecteur que ce nouveau titre.

Nous rappellons aussi que le taux MEDAF utilise pour son calcul le taux sans risqueainsi que le rendement du marche. Nous prendrons ici la moyenne de chacune de ces deux



valeurs.

Apres avoir valide cette partie, nous pouvons maintenant passer a l’etape de saisie descontraintes. Comme deja mentionne auparavant, notre but est d’optimiser le portefeuillesous des contraintes de risque. L’utilisateur se doit donc de cocher les contraintes qu’ilveut integrer au niveau de cette optimisation et indiquer le seuil qu’il veut leur attribuer.Le nombre de contraintes peut aller de 1 jusqu’a 5, cela reste un choix personnel. (Figure5.7)

Figure 5.7 – Selection des contraintes

Si nous choisissons par exemple deux contraintes (Beta et CVaR), nous devons leurimposer un seuil a ne pas depasser. Par exemple, nous prenons la contrainte de la CVaRavec une contrainte de perte maximale de 1% et la contrainte du beta egale a 1, c’est-a-dire que les titres du portefeuille de la CMR doivent suivre les memes fluctuations dumarche.

En cliquant sur Valider (Figure 5.3), nous obtenons les resultats suivants, quis’affichent sur un nouveau fichier Excel qui se genere automatiquement.(Figure 5.8)



Figure 5.8 – Resultats de l’optimisation sur Excel

Le premier tableau a gauche contient les titres disponibles sur le portefeuille apresoptimisation. Ceux avec le fond gris correspondent aux nouveaux titres qui n’existaient pasau niveau de notre portefeuille initial et que nous avons inseres au debut du programme.Pour chaque titre il y a son rendement anticipe (en rouge s’il est negatif), sa volatilite,son poids initial, son poids final, son poids au niveau benchmark, l’ecart entre le poidsinitial du titre pour la CMR et son poids pour benchmark et finalement l’ecart entre lepoids final du titre pour la CMR et son poids pour le benchmark. (Les ecarts sont inscritsen bleu s’ils sont negatifs).

Table 5.3 – Donnees finales - Repartition par titre



En haut a droite de la feuille Excel (Figure 5.8), nous retrouvons la performance initialedu portefeuille qui etait negative, d’une valeur -0.766%. Apres optimisation, nous l’avonsamelioree, elle est maintenant de 0.047%. En plus du calcul des differents indicateurs derisques pris en charge (volatilite, beta, Tracking Error, liquidite, VaR et CVaR). Nousremarquons ainsi que nos contraintes sont bel et bien respectees. En effet, nous obtenonsun beta de 1 et une CVaR inferieure a -1%

Table 5.4 – Donnees finales - Indicateurs de risques

Sur cette meme page (Figure 5.8), en bas a droite, nous retrouvons le tableau quicontient les resultats de l’optimisation, cette fois-ci par repartition sectorielle.

Table 5.5 – Donnees finales - Repartition par secteur



5.5 Optimisation - Resultats et analyse

Dans la partie precedente, nous avons utilise l’algorithme exact Find minimum ofconstrained nonlinear multivariable function(fmincon) implemente par defaut sur Matlabet qui permet de resoudre un probleme d’optimisation donne a plusieurs variables et dontles contraintes sont non lineaires ce qui correspond a notre probleme. La resolution s’estfaite a l’aide de l’algorithme de points interieurs dont dispose fmincon. Toutefois, pour tes-ter la robustesse et l’efficacite de cet algorithme, nous avons utilise les metaheuristiques,notamment Particle Swarm Optimisation (PSO), Quantum Particle Swarm (QPS), Mo-dified Quantum Particle Swarm (MQP), Firefly Algorithm (FA), Cuckoo Search (CKO),Bat-Inspired Metaheuristic Algorithm (BAT) et Particle Swarm With Random Differences(RD). [10][22][21]

Ces algorithmes peuvent etre pertinents et interessants, dans la mesure ou il peuventtrouver une solution quand la methode exacte n’en trouve pas.Nous avons donc impose a chaque algorithme les contraintes suivantes :

Le tableau qui suit regroupe les resultats decoulant de l’utilisation de chaque algo-rithme. En effet, pour chaque algorithme nous avons calcule le temps d’execution et lesresultats lies a notre portefeuille, a savoir la performance du portefeuille, sa volatilite,son beta et sa tracking-error, et ce dans le but d’analyser la robustesse, la rapidite et lacoherence des resultats obtenus par chacun.

Temps Performance Somme Volatilite Beta Trackingd’execution (s) des poids Error

Fmincon 0.139886 0.047 1 0.032 1.000 0.098PSO 119.80744 2.332 1.3 0.151 0.517 0.033Cuckoo Search 369.528565 4.627 1.3 1.261 -0.266 0.74Bat 94.397229 2.737 1.7 0.234 0.787 0.061Firefly 131.38934 8.954 2.4 3.092 -0.45 2.16MQP 125.836084 2.324 1.3 0.148 0.528 0.031QPSO 118.212846 2.332 1.29 0.149 0.512 0.031RD 100.869429 2.332 1.3 0.151 0.516 0.033

Table 5.6 – Comparaison entre les algorithmes d’optimisation



Les algorithmes metaheuristiques malgre le nombre d’iterations eleve sur lequel ils ontete programmes (5000), ils ont demontre leur incapacite a optimiser une fonction sousplusieurs contraintes d’egalite et/ou d’inegalite.En effet, utiliser ces algorithmes pour des problemes d’optimisation sous une ou deuxcontraintes, peut afficher un tres bon resultat, mais une fois il s’agit d’introduire plusieurscontraintes (superieures a 3), ces algorithmes ne sont pas aussi efficaces si nous ne choi-sissons pas avec avec pertinence leurs parametres.

Les metaheuristiques, bien qu’ils arrivent a maximiser le rendement de notre porte-feuille et afficher une performance interessante, ils ne sont pas en mesure de satisfairetoutes les contraintes en meme temps, ce qui peut donc biaiser les resultats et ne nouspermet pas d’atteindre notre objectif d’optimisation sous des contraintes de risque.Toutefois, pour l’amelioration de ces lacunes, il est necessaire de faire une etude ap-profondie sur les bons parametres a prendre en compte lors de l’implementation de cesalgorithmes.

Par consequent, en fonction des elements disponibles et a defaut de trouver les meilleursparametres, nous pouvons conclure que la methode exacte reste l’algorithme le mieuxadapte a notre probleme d’optimisation. Les resultats sont a la hauteur de nos attenteset verifient parfaitement les seuils que nous leurs avions imposes.


Conclusion et perspectives

Au terme de ce projet, nous avons pu toucher differents aspects de la gestion de por-tefeuille et la gestion des risques financiers.

Dans un premier lieu, nous nous sommes interesses principalement au risque marche.En effet, nous avons pu repondre aux besoins de l’organisme d’accueil en leur fournissantun outil efficace, programme sur VBA, leur permettant de quantifier le risque marche gracea une implementation des indicateurs de risque, des plus classiques (volatilite, TrackingError, risque a la baisse) aux plus recemment developpes (beta, VaR, CVaR). Cet outil,dote d’un reporting, permettra aux gestionnaires de la Caisse Marocaine des Retraites devisualiser l’evolution de ces indicateurs en comparaison avec leur indice de reference.

L’outil est applicable pour differents types de portefeuille. Toutefois, le portefeuille actions reste le plus interessant en termes d’exposition au risque. C’est dans ce sensque nous avons decide de suivre une approche d’optimisation, dans le but justement demaximiser la performance du portefeuille tout en fixant des contraintes de risques a res-pecter.

Ensuite, nous avons formule et implemente le probleme d’optimisation sous MATLAB,en travaillant sur un portefeuille Actions detaille, c’est-a-dire, titre par titre, en in-cluant cette fois ci, en plus du risque marche, le risque de liquidite. En effet, ce derniers’avere tres important aussi, dans la mesure ou tout gestionnaire cherche a avoir des titresliquides pour pouvoir beneficier d’une plus-value en cas de vente et non pas se trouverface a une situation de perte.

Notre programme d’optimisation nous a permis de respecter toutes les contraintes derisques imposees par le gestionnaire en generant une performance bien meilleure que celledu passe. Ainsi, a travers une allocation d’actifs optimale, nous avons pu proposer auxgestionnaires un retour sur investissement tout en respectant le budget de risque.

Toutefois, sous contraintes de temps, nous n’avons pas pu toucher au risque credit,dont l’implementation aurait pu apporter une valeur ajoutee au probleme d’optimisation,et raffiner l’allocation d’actifs.

69


Quant au portefeuille obligataire et au portefeuille global, bien qu’ils soient moinsrisques que l’action, leur optimisation peut etre interessante et d’autres indicateurs derisques peuvent s’y rajouter.

Apres tout, la gestion de risques et la gestion de portefeuille ne cessent d’evoluer etd’acquerir de l’importance. Ce travail n’est qu’un volet parmi d’autres, il peut donc etreexploite afin de toucher d’autres aspects de ces deux gestions.


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[w15] http://www.abcbourse.com/apprendre/19_volatilite.html

[w16] http://fr.wikipedia.org/wiki/Corrlation(statistiques)

[w17] ttp://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_bta

[w18] http://fr.wikipedia.org/wiki/Duration

[w19] http://www.iotafinance.com/Article-analyse-d-une-obligation.html

[w20] http://fr.wikipedia.org/wiki/Sensibilit(Economie)

[w21] http://fr.wikipedia.org/wiki/Convexit(Economie)

[w22] https://fr.wikipedia.org/wiki/Modle_Black-Scholes

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Annexes

Particle Swarm Optimisation (PSO) ou encore Optimisation par essaim de par-ticules (OEP) est un algorithme populaire en raison de sa simplicite et sa rapidite. PSOa pour but de rechercher l’optimum global d’une fonction objectif. L’analogie se fait parrapport a un essaim (population) d’oiseaux par exemple qui sont a la recherche de nour-riture (optimum global).Chaque oiseau, en explorant l’espace de recherche, trouve un optimum personnel (personalbest) et connait egalement l’optimum global (global best) de l’essaim. Ainsi, il continuea voler tout en garder ces informations. Ces 2 optimums vont intervenir sur la manieredont la trajectoire de l’oiseau se modifie en changeant son vecteur vitesse.

Le PSO est moins sensible aux problemes de l’optimum local. Il est base sur le com-portement social des differentes especes et utilise une equation de mise a jour pour genererde nouvelles solutions.

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Algorithm 1 Particle Swarm Optimisation

1: 1-Initialisation Creer une population initiale de solutions.2: 2- Evaluation et Stockage3: Xbest,1 = X1

4: On evalue la fonction objective notee F, pour cette solution X1 :5: y = f(X1)6: On evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi, donc on a :7: for i = 2 : popsize do8: if F (Xi) < y then9: Xbest,i = Xi

10: y = F (Xi)11: end if12: end for13: Xbest,G = Xbest,i

14: 3- Boucle principale15: for g = 1 : Maxgen do16: for i = 1 : popsize do17: Merre a jour l’equation de position des particules

~Xg+1i = ~Xg

i + ~V gi (5.25)

18: Mettre a jour l’equation de vitese

~V gi = α~V g−1

i + βR1( ~Xbest,i − ~Xi) + βR2( ~Xbest,G − ~Xi) (5.26)

19: On evalue la fonction objective20: if F (Xi) < F (Xbest,i) then21: Xbest,i = Xi

22: end if23: end for24: if F (Xbest,i) < F (Xbest,G) then25: Xbest,G = Xbest,i

26: end if27: end for

avec ~V est le vecteur vitesse, α et β (d’une valeur respective de 0.5 et 2) sont desscalaires predefinis, g le nombre d’iterations et R1 et R2 sont des nombres aleatoires uni-formement repartis ∈ (0, 1). Le vecteur ~Xbest,i correspond a la meilleure valeur de la ieme

solution (appele ici ”indivual best”), ~Xbest,G correspond a la meilleure solution (egalementconnu comme ”global best”). Le premier terme a droite de l’equation 5.26 est le facteurd’inertie qui est un multiple scalaire de la vitesse a partir des iterations precedentes.



Quantum Particle Swarm (QPS) a ete propose en 2004 et inspire par la mecaniquequantique, et traite les solutions individuelles de PSO comme des particules quantiques.La difference fondamentale entre cet algorithme et PSO est simplement l’equation de misea jour. QPS n’utilise plus un terme d’inertie, mais plutot ce qu’on appelle un attracteurlocal.

Algorithm 2 Quantum-Behaved Particle Swarm

1- Initialisation Creer une population initiale de solution.2: 2- Evaluation et StockageXbest,1 = X1

4: On evalue la fonction objective notee F, pour cette solution X1 :y = f(X1)

6: On evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi, donc on a :for i = 2 : popsize do

8: if F (Xi) < y thenXbest,i = Xi

10: y = F (Xi)end if

12: end forXbest,G = Xbest,i

14: 3- Boucle principalefor g = 1 : Maxgen do

16: for i = 1 : popsize doOn definit l’attracteur local

~pi = φ ~Xbest,i + (1− φ) ~Xbest,G (5.27)

18: avec

φ =βR1

βR1 + γR2

Mettre a jour l’equation de position des particules

~Xg+1i = ~pi ±

∣∣∣~Cg − ~Xgi

∣∣∣ ln(1/R3) (5.28)

20: On evalue la fonction objectiveif F (Xi) < F (Xbest,i) then

22: Xbest,i = Xi

end if24: end for

if F (Xbest,i) < F (Xbest,G) then26: Xbest,G = Xbest,i

end if28: end for

avec ~Cg est ce qu’on appelle ”mean best value” qui est simplement la moyennearithmetique des meilleurs vecteurs individuels pour chaque generation. Les scalaires R1,R2 et R3 sont des nombres aleatoires ∈ (0, 1), et α est un parametre defini par l’utilisateurqui diminue lineairement au cours de chaque generation de 1 a 0,5.



Modified Quantum-Behaved Particle Swarm MQP consiste a modifier aleatoirementl’attracteur local ~pi

a. Selectionner un invidivual best vecteur j different de ~Xbest,i

b. If F ( ~Xbest,j) < F ( ~Xbest,i)

Remplacer ~Xbest,G dans l’equation (5) par ~Xbest,j

En d’autres termes, cette methode provoque l’equation (5.28) pour etre soit la combi-naison lineaire du vecteur i de l’invidual best et le global best, ou la combinaison lineairedu vecteur i de l’indivual best et d’un autre choisi au hasard, superieur a l’indivual best.Le reste de l’algorithme est identique a celui de QPS. Il est suggere que α soit mise enplace de telle facon a diminuer lineairement au cours de chaque generation de 1 a 0,4.



Firefly Algorithm, propose par le Dr Yang en 2009, est un algorithme qui est basesur le comportement d’accouplement des lucioles. Dans certaines circonstances, le Dr Yangsouligne que FA est un cas particulier de PSO.

Algorithm 3 Firefly Algorithm

1- Initialisation Creer une population initiale.2- Evaluation Evaluer la fonction objective pour chaque solution

3: 3- Boucle principalefor g = 1 : Maxgen do

Calculer alpha6: for i = 1 : popsize do

for j = 1 : popsize doif F ( ~Xi) < F ( ~Xj) then

9: 1. Calculer la distance Euclidienne r entre ~Xi et ~Xj

2. Calculer l’attractivite

β = (β0 − βmin)e−γr2

+ βmin (5.29)

3. Generer un vecteur de perturbation aleatoire

~u =dim∑i=1

(α(R− 0.05) ∗ L)ei (5.30)

12: 4. Appliquer l’equation :

~Xg+1i = (1− β) ~Xg

i + β ~Xgj + ~u (5.31)

end ifend for

15: end forEvaluer la fonction objective de la nouvelle population

end for

La forme et la mise en oeuvre de (5.31) sont tres importantes. Lors de la mise enoeuvre, la luciole est comparee a chaque luciole qui lui est superieure et deplacee danscette direction sans re-evaluation de la fonction objective. Par consequent, une seule luciolepeut avoir sa position a jour a plusieurs reprises avant d’atteindre sa destination finale et,comme la position precedente est incluse dans chaque mise a jour, cette equation combineparfaitement les etapes precedentes.



L’algorithme BAT ressemble a DE (Differential Evolution) en terme de comparai-sons afin de mettre a jour chaque nouvelle generation de solutions de candidats. Il integrepartiellement les perturbations de la meilleure solution dans sa formulation, et comme PS,il recherche l’espace de fonction base sur un multiple de la difference entre le global bestet un indivual particuler . Cependant, chacune de ces etapes est effectuee separement,et la comparaison de l’evolution differentielle (DE) est utilisee a la fin pour determinerquelles solutions candidates sont retenues et celles qui sont rejetees.

Algorithm 4 Bat-Inspired Algorithm

1- Initialisation Creer une population initiale.2- Evaluation Evaluer la fonction objective pour chaque solution3- Boucle principale

4: for g = 1 : Maxgen doCalculer A

Ag = Ag−1(1

9000)

1Maxgen (5.32)

Copier l’originale population dans une population temporaire kfor i = 1 : popsize do

8: 1. Calculer la frequence et la vitesse

f = fmin − (fmax − fmin) ∗R (5.33)

Comme pour PS~Xg+1i = ~Xg

i + ~V gi

Pour chaque composante k du vecteur de vitesse12:

V gi,k = V g−1

i,k + (Xgi,k −X

gbestG,k) ∗ f (5.34)

2. Mettre a jour la population temporaire en utilisant la vitesseend for3.

16: if R1 > ρ thenRemplacer le membre donne de la population temporaire avec une perturbationaleatoire du global best individual

Bgi,k = Xg

bestG,k + 0.01(a+ (b− a)) ∗R) (5.35)

end if20: 4. Evaluer la fonction objective pour la population temporaire

5.if Le membre de la population temporaire est meilleur que l’original then

if R2 > A then24: Remplacer l’original

end ifend if

end for



Cuckoo Search est quant a lui base sur les habitudes de nidification etranges del’oiseau de coucou. Cet algorithme integre egalement des vols de Levy (des marchesaleatoires)pour des fins d’optimisation.

Algorithm 5 Cuckoo Search

1- Initialisation Creer une population initiale.2- Evaluation Calculer la fonction objective pour chaque solution3- Boucle principalefor g = 1 : Maxgen do

5: Copier la population initiale dans une population temporaire kfor i = 1 : popsize do

Mettre a jour les positions de la population temporaire en utilisant les vols deLevy

Xg+1i,k = Xg

i,k + (0.01σN1

|N2|1/β(Xg

i,k −XgbestG,k)) ∗N3 (5.36)

Evaluer la fonction objective pour la population temporaire10: Modifier la population temporaire en utilisant la procedure du nid vide.

if R1 > pa then

~Xg+1i = ~Xg

i +R2( ~Xgj − ~Xg

k) (5.37)

end ifEvaluer la fonction objective pour la population temporaire

15: end forif Le membre de la population temporaire est meilleur que l’original then

Remplacer l’originalend if

end for

Dans l’equation (5.36), N1, N2 et N3 sont des nombres normalement distribue centrea zero, β est un parametre predefini ( ici =1.5), k est le numero de la dimension, etσ ≈ 0.69657Dans l’equation (5.37), R1 et R2 sont des nombres aleatoires uniformement repartis ∈(0, 1), et pa est un parametre predefini ( ici =0.25). Les deux membres de la populationdesignees par j et k sont choisis au hasard dans la population.



Particle Swarm With Random Differences (RD) est inspire par le concept desmarches aleatoires et l’attracteur locale modifiee du MQP, il ajoute a la polyvalence dePSO sans changer radicalement la procedure de base. Traditionnellement, chaque solutionen PSO est soustraite de son propre meilleur vecteur individuel. Cette methode introduitune probabilite qu’une solution soit soustraite d’un indivual best autre que le sien.

Algorithm 6 Particle Swarm with Random Differences

1-Initialisation Creer une population initiale de solutions.2- Evaluation et StockageXbest,1 = X1

On evalue la fonction objective notee F, pour cette solution X1 :y = f(X1)

6: On evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi, donc on a :for i = 2 : popsize do

if F (Xi) < y) thenXbest,i = Xi

y = F (Xi)end if

12: end forXbest,G = Xbest,i

3- Boucle principalefor g = 1 : Maxgen do

for i = 1 : popsize doif R < Rp then

18: Melanger au hasard les best individual vecteurs de sorte que chaque solutionsoit soustraite de l’indivual best d’une autre solution j plutot que la sienne i

end ifMerre a jour l’equation de position des particules

~Xg+1i = ~Xg

i + ~V gi

Mettre a jour l’equation de vitese

~V gi = α~V g−1

i + βR1( ~Xbest,j − ~Xi) + βR2( ~Xbest,G − ~Xi) (5.38)

where i,j ∈ [1, popsize] and i 6= jEvaluer la fonction objective pour la nouvelle solution j

24: if F (Xj) < F (Xbest,j) thenXbest,j = Xj

end ifend forif F (Xbest,j) < F (Xbest,G) thenXbest,G = Xbest,j

30: end ifend for

Rp est la probabilite de difference aleatoire, c’est un parametre predifini ∈ [0, 1] quidiminue lineairement avec le nombre de generation de 0,5 a 0,0 selon le nombre maximumde generations


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PFE: Optimisation de portefeuille sous des contraintes de risque