EQUILIBRES DUMARCHE FINANCIER

Mutualisation des risquesRisque agrégé & individuel

Plan du cours

Préambule : le rôle du marché financier

•••

I Le modèle d’Arrow

II Le modèle de Radner

III Le CAPM

IV Le modèle de Grosman - Stiglitz

•Préambule : Rôle du marché financier.

1. A l’origine du taux d’intérêt...

2. L’activité risquée des firmes

3. Liquidités et partage de risque

4. Loin mais proche de l’argent facile

•1. A l’origine du taux d’intérêt

Le modèle de consommation intertemporellepermet de comprendre comment les agents vontfaire des arbitrages entre plusieurs périodes,mais d’ou vient la variable taux d’intérêt ? Est-ce que dans le ``monde réel’’ les arbitrages sontaussi simples ?

Le taux d’intérêt est le coût de l’argent présent.Pourquoi rémunère-t-on l’argent ? Tout simple-ment, parce qu’il permet d’entreprendre des ac-tivités risquées et de faire des investissements.

Dans la détermination des taux, vient bien en-tendu toutes les variables fondamentales del’économie, et se pose la question de la diver-sité des instruments financiers provenant elle-même de la diversité des situations risquées

•2. l’activité risquée des firmes

Les projets investissent des fonds, la mise estrisquée, et il existe beaucoup de paramètres quijouent en faveur ou en défaveur de ces projets.

- Ce risque composite qui justifie la rému-nération de l’argent prêté aux firmes. Il dépendnon seulement de la propre réussite du projetmais aussi du contexte économique qui favo-rise ou non ventes et production.

- La diversité des états de la nature justifieune floraison d’instruments financiers.

Définition : le marché financier est l’ensembledes instruments au travers desquels les firmespeuvent lever des fonds.

•3. Liquidités et partage de risque

Le marché financier permet que se fasse la ren-contre d’agents qui désirent gérer leur richesseintertemporelle et de firmes désireuses à la foisde 1 -lever des fonds et 2 - partager leur risque.

Principe : Comme tout marché, l’équilibre s’éta-blit entre l’offre (des agents) et la demande (desfirmes). LE ROLE DU MARCHE EST AVANTTOUTE CHOSE D’OPERER LA COORDINA-TION DU MARCHE.

Corollaire : Le marché n’est donc pasavant toutechose un lieu pour faire du profit facile, maisun lieu pour gérer différents flux financiers. Enparticulier, pour les agents, ils peuvent gérerleur retraite à travers le marché financier.

•4. Loin mais proche de l’argent facile

Proposition : Les agents comme les firmes ti-rent plus de bien être s’ils peuvent profiterd’instruments de gestion du risque.

La raison d’être du marché est donc à 100 000lieux de l’argent facile. Cependant, en concen-trant du capital, le système financier a pour con-séquence d’alourdir les disparités entre les ga-gnants et les perdants.

Proposition : Tout actif financier dont la réali-sation est aléatoire est du point de vue de l’agentcomme une loterie. On perd ou on gagne, sanseffort.

I Le modèle d’Arrow1. Biens contingents

2. Analyse type équilibre général

3. Le modèle

4. Analyses

1-1 Plusieurs états de la nature1-2 Descriptions des biens échangés1-3 Biens contingents et actifs

2-1 Partage optimal du risque & analyse concurrentielle2-2 Equilibre des marchés contingents2-3 Marchés spot, marchés à terme, marchés complets

3-1 Hypothèses et notations3-2 Problème du consommateur3-3 Demande optimale et équilibre

4-1 Optimalité ex ante et ex post4-2 Principe de mutualisation : risque diversifiable ou non4-3 Présence d’un agent neutre au risque4-4 Un exemple numérique traité4-5 Critiques & conclusions

I1-1 Plusieurs états de la nature demain

vous avez djéjà étudié les problèmes de consom-mation intertemporelle. Supposons par ailleursque l’avenir est incertain. Demain, des cher-cheurs auront trouvé comment, pratiquement,modifier les gènes dans le corps humain, vosparents seront riches et vous serez pauuvres, ouencore vous serez pauvres et ils seront riches.

Définition : On appelle état de la nautre unedescription complète de ce qui arrive à tous lesagents de l’économie demain.

Restriction du modèle : On suppose dans la suitequ’il y a un état de la nature à la date zéro et Sétats de la nature à la date 1, l’état s advenantavec la probabilité

UN ETAT DE LA NA-TURE ? Soit l’environ-nement physique, soitl’environnement éco-nomique, et par exem-ple le niveau des prixdemain.

S+1 états de la na-ture demain

I1-2 Description des biens échangés

Pourquoi n’a-t-on le pas le même goût pour lepain que l’on trouve en inde ou en europe ?Probablement pour sa façon, pour la qualité desinputs ou encore pour l’environnement. On dis-tinguera le pain dans ces deux ``états de la na-ture’’

Définition : On distingue les biens en fonctionde leur composition, de l’état de la nature danslesquels ils sont consommés et de la date de con-sommation. On parle alors de biens contingents

➔ S’il y a L biens physiques, il y a L S bienscontingents demain différentiés par l’état dela nature.

I1-3 Biens contingents et actifs

Définition : En général, tous les biens contin-gents ne peuvent pas s’échanger, soit parce qu’ily a trop d’incertain, ou tout simplement car celaferait trop de marchés.

Définition : On appelle actif un engagement àlivrer demain une composition de bien contin-gents

➔ L’actif certain délivrant du bien l est celuiqui délivre une unité de bien l dans chaqueétat de la nature.

➔ L’actif pur délivrant du bien l dans l’état sest celui qui délivre une unité de bien l dansl’état s, et rien sinon.

Pensez-vous qu’il estpossible d’acheter aujour-d’hui un terrain livrabledans un an pour cultiver enIsrael, uniquement sous lacondition qu’un seuil deviolence n’est pas dépassé àcette même période, demain

Par ailleurs, on pourraitdéfinir un état de la naturedemain comme comportantla liste de tous les prix detoutes les actions. Observe-t’on des marchés sur lequelserait vendu l’actif pur depeugeot distinct suivant lavaleur de l’action Orange.

I2-1 Partage optimal du risque et ana-lyse concurrentielle

Les agents possèdent initialement des bienscontingents. Il n’y a pas de firmes. Ils ont inté-rêt à partager leur risque. Quelle est le partageoptimal du risque ?

Rappel : Dans une économie convexe, les op-tima de Pareto sont décentralisables via desmarchés.

C’est donc à partir des propriétés du marché con-currentiel que l’on étudie les propriétés des op-tima de Pareto . Dans cette optique Arrow étu-die une économie dans laquelle toutes les pos-sibilités d’échange de risque sont prises encompte.

Les loyers des locationsdevrait-il être indexés surles estimations fluctuantesdes prix des biens locatifs ?

Les producteurs de cacaodoivent-ils être les seuls àsupporter les chocs macro-économiques dus aux mau-vaises conditions climati-ques ou autres ?

Les investissement dans lestechnologies OGM dépen-dent-ils des prix à terme desbiens OGM ?

I2-2 Equilibre des marchés contingents

Les marchés sont en équilibre lorsque l’offreégale la demande. Dans notre économie, l’offreest le stock de chacun des biens, contingent àl’état de la nature s. Les prix d’équilibre permet-tent des échanges Pareto améliorant entre lesagent, et en particulier le partage du risque.

Deux étapes vers la caractérisation de l’équili-bre:

➔ Déterminer la demande des agents pourun système de prix quelconque.

➔ Déterminer quel est le système de prix quipermet d’équilibrer les marchés.

I2-3 Marchés spot, marchés à terme,marchés complets

Définition : On appelle marché «spot» ou «aucomptant» un marché sur lequel s’échangent lesbiens disponibles à la période 0.

Définition : On appelle marché «à terme» unmarché sur lequel est échangé un actif pur.

Sous quelles conditions tous les échange de ris-ques sont-ils possibles ?

Définition : On dit que les marchés sont COM-PLETS si tous les actifs purs sont disponibles,c-a-d s’ils peuvent s’obtenir via une combinai-son des actifs proposés sur les marchés.

I3-1 Hypothèses et notations

Les agents possèdent initialement des bienscontingents. Il n’y a pas de firmes. Ils partagentleur risque via des marchés concurrentiels.Quels sont les prix de ces marchés ?

➔ N agents notés 1, 2, ..., i, ..., N

➔ L biens physiques notés 1, 2, ..., l, ..., L

➔ pl(0) est le prix du bien l à la période 0

➔ On suppose les marchés complets

➔ pl(s) désigne le prix du bien l dans l’état s

➔ Les agents sont preneurs de prix

➔ Les agents évaluent les biens contingentsen fonction de la proba πl(s) de l’état s

Considérons le prix p ducacao aujourd’hui. Il existedes marchés à terme et desprix aujourd’hui pour desstocks de cacao échangésdans des périodes futures.Cependant, l’actif cacaodemain n’est pas un actifpur, et il faut faire la sommede tous les prix du cacaodans tous les états de lanature demain.

Le prix de l’actif sans risquedélivrant l demain est :

p1l +p2l +...+pSl

I3-2 Problème du consommateur

La contrainte budgétaire dépend des dotationsinitiales; elle s’écrit, sous forme vectorielle :

➔

Tout se passe comme si on avait la superposi-

tion de S problèmes de consommation

intertemporelle. L’agent évalue suivant les dif-

férentes probabilités d’occurence, πs, ses con-

sommation aujourd’hui et demain dans l’état s.

➔

I3-3 Demande optimale et équilibre

La demande optimale xi(p) sature la CB et satis-fait les conditions de premier ordre, égalisantpour l’agent i le TMS du bien l dans l’état s avecle TMS du bien l’ dans l’état s’’ :

➔

➔

La condition d’équilibre sur tous les marchéségalise le stock de bien l à l’état s avec la de-mande agrégée de ce bien en cet état :

➔

I4-1 Optimalité ex ante et ex post

Proposition : L’équilibre Arrow-Debreu est unoptimum de Pareto. L’allocation d’équilibrepartage optimalement le risque entre les agents.Cet optimalité est dite ex ante, car elle est obte-nue avant la réalisation de l’état s.

➔ Optimalité ex-post ?AUrait-on intérêt àéchanger en t=1 si on en avait la possibilité ?➔ Que se passe-t’il si on ouvre des marchésau comptant en t=1 ?➔ RIEN, car l’allocation est optimale. Unréarrangement en première période aurait puêtre prévu dès la période 0. S’il existait unréarrangement optimal, il contrediraitl’optimalité ex ante.

I4-2 Ppe de mutualisation des risquesProposition : Une allocation Pareto optimale durisque est telle que la richesse finale d’un agentdans chaque état s dépend seulement de la ri-chesse agrégée de l’économie dans cet état.

Définition : On dit que le risque est diversifiablelorsque la richesse agrégée est identique d’unétat à l’autre. (Pas de risque MACRO).

➔ Si on a pas la même richesse d’un état àl’autre, mais risque individuel, on peut tou-jours s’assurer

Définition : On dit que le risque est nondiversifiable lorsque la richesse agrégée dépendde la réalisation de l’état. (risque MACRO).

➔ Pas d’assurance complète, le partage durisque dépend des tolérances individuellesvis-à-vis du risque.

LA MUTUALISATIONDeux états tels que larichesse agrégée estidentique conduisent àune allocation par étatidentique dans les deuxétats.

Pour vous en convaincre,écrire dans un même état lesTMS entre les biens, etrendez-vous compte qu’ilssont les mêmes. Si leséquation d’équilibre sontidentiques, cela correspondaux mêmes allocations.

I4-3 Avec un agent neutre au risqueProposition : Si un agent est neutre au risque,tout le risque est transféré à l’agent neutre aurisque. Tous les agents averses au risque obtien-nent une assurance pleineEn effet, Un agent est neutre au risque si sonutilité dans un état u(x(0),x(s)) est linéaire, soit

➔

Les conditions premières pour l aux états s et s’’

➔

d’où l’égalité des prix et des proba relatives, quipermet de réécrire les CP pour tous les agents

➔

Un assureur ou unspéculateur ontdonc un effet spec-taculaire sur lemarché, puisqu’ilsrendent les prixproport ionnelsd’un état à l’autre.

I4-4 Exemple avec S=2exemple paramétré : Soit une économie avec

➔ 1 bien physique (L=1)➔ 2 agents (i=1,2)➔ 1 seule période & 2 états de la nature➔ dotations initiales des agents,➔ u1(x) et u2(x)satisfont l’espérance d’utilité

On suppose les marchés complets : les agentspeuvent échanger les biens dans les deux états.Ils obtiennent les allocations x1 et x2 /Cet échange se représente dans la boite d’Ed-geworth suivante :

L’abcisse représente le bien détenu et consommédans l’état 1 et l’ordonnée le bien détenu et con-sommé dans l’état 2 : le partage optimal des ris-ques est entre les deux bissectrices, au point oùles courbes d’indifférences sont convexes.

Mr 1

Mr 2

I

L’actif 1 est relativement moins cherque l’actif 2. Cela signifie en particu-lier que si les deux états sontéquiprobables, les deux actifs ont lamême distribution avec 1 prix non =

4-4 Exemple avec S=2 (suite)Proposition : l’allocation optimale est entre lesdeux bissectrices.

En effet, sur la première bissectrice, le TMSde l’agent 1 est , avant, il est supé-rieur, avant il est inférieur. Pour l’agent 2, sonTMS vaut aussi sur la seconde bis-sectrice, avant, il est inférieur, après il est su-périeur. C’est seulement entre les deux bis-sectrices que les TMS peuvent être égaux.

Corollaire :

Proposition : Le rendement du «mauvais» actifest supérieur au taux d’intérêt, lui-même supé-rieur au rendement du «bon» actif.

I4-4 Exemples numériquesexemple paramétré : Soit une économie avec

➔ 1 bien physique (L=1)➔ 2 agents (i=1,2)➔ 1 seule période➔ 2 états de la nature (s=1,2)➔ u1(x)= e - x ; u2(x)= e -a x avec a ≥ 0

On suppose les marchés complets : les agentspeuvent échanger les biens dans les deux états.

➔ Sans risque macro, états équiprobables,les prix sont égaux➔ Avec rareté dans l’état 2, étatséquiprobables et a=2, on trouve p(1) < p(2)et l’agent 1 prend en charge une plus grandepart du risque.

➔ Avec agent neutreau risque, tous lesagents averses au ris-que ont pleine assu-rance, même avec ris-que macro

I4-5 Critiques et conclusionsLe modèle d’Arrow est le modèle de référencepour l’analyse de la répartition des risques, ce-pendant, on peut discuter quelques critiques :

➔ L’organisation des marchés est très lourdeet coûteuse, mais 1/ c’est le prix pour pou-voir partager les ressources optimalement,2/ on peut économiser quelques marchés parle principe de mutualisation des risques➔ Les décisions sont figées à t=0 et aucunaspect dynamique n’est vraiment pris encompte, mais c’est justement ce lien fort en-tre aujourd’hui et demain qui explique lesprix des marchés à terme➔ Il n’y a pas d’incertitude, ceci car les prixdétiennent toute l’information sur les pro-babilités des états de la nature demain.

II Equilibre avec marchés financiers complets1. Un marché spot et un marché d’actifs financiers

2. Le modèle d’équilibre à anticipations rationnelles de Radner

3. Analyse sous l’hypothèse de marchés financiers complets

4. Lorsque les marchés financiers sont incomplets

1-1 Actifs financiers vecteurs du risque1-2 Déroulement de l’économie1-3 Anticipations rationnelles

2-1 Equilibre à anticipation rationnelle2-2 Hypothèses sur la formation des anticipations des prix & notations2-3 Problème du consommateur2-4 Demandes optimales & équilibre

3-1 Equivalence des modèles Arrow et Radner3-2 Efficience informationnelle de l’équilibre & marche aléatoire3-3 Peu de titres financiers nécessaires pour vérifier l’équilibre3-4 Abscence d’opportunité d’arbitrage3-5 Evaluation des actifs financiers par arbitrage

II1-1 Actifs financiers vecteurs durisque

On étudie une économie dans laquelle il n’existepas de marché de biens contingents, mais seu-lement des actifs financiers définis par les re-venus contingents qu’ils procurent en t=1. (Onprend l’un des biens en numéraire). On supposequ’il y en a K, k=1, ... , K. Le risque s’échange-t’il aussi efficacement dans cette économie ?

Définition : On appelle actif financier tout en-gagement à délivrer une série de revenus con-tingents (ak(1), ... ,ak(s)).

Définition : On note qk le prix d’achat ou devente de l’actif k. (pas de prix de transaction.)

II1-2 Déroulement de l’économie

Les agents disposent comme dans le modèled’Arrow de dotations de biens contingents.

A t=0 : Un marché spot est ouvert, ainsi que Kmarchés d’actifs que les agents échangent en-tre- eux au prix qk. (rem: pas de dotation d’actif)

A t=1 : à t=1 les contrats financiers sont hono-rés, L marchés spots correspondant à l’état réa-lisés sont ouverts, puis les agents consomment.

Remarque : L’échange de risque se fait à t=0, celaprésuppose que lorsque l’agent prend sa déci-sion d’investissement dans les actifs financiersen t=0, il ANTICIPE les conditions économiques àt=1, c-a-d les prix d’échange des biens sur lesmarchés spot dans chaque état s.

II1-3 Anticipations rationnelles

La notion d’anticipations rationnelles a été in-troduite par MUTH (61), en macro par Lucas,Sargent, Wallace (67) et en micro par Radner (69).

Les anticipations sont rationnelles au sens oùles agents ne peuvent pas faire d’erreurs systé-matiques : L’observation des faits peut montrerque les anticipations étaient erronnées enmoyenne. Les individus finissent par s’enappercevoir et apprennent à mieux réviser leursprévisions.

TOUS LES AGENTS ONT LES MÊMES ANTICIPATIONS : Lacohérence des anticipations fait qu’à t=0 le prixdu bien l est l’espérance des prix anticipés

II2-1 Equilibre à anticipationsrationnelles

Les prix à t=1 sont incertains, et anticipés. (Iln’y a pas d’engagement possible sur les prix).

Définition : un équilibre à A.R. est constituéde prix (p*,q*) avec p*(s) anticipés et d’alloca-tions (x*,z*).

Remarque : Les anticipations sont auto-réalisa-trices : Un équilibre à anticipations rationnel-les est une situation telle que les anticipationsà t=0 génèrent un résultat en t=1 qui confirmeles anticipations de départ.

Remarque : Une difficulté théorique provientdu fait qu’il existe une multiplicité d’équilibres,soit par les bulles spéculatives, soit par les ta-ches solaires.

II2-2 Hypothèses sur la formation desanticipations et notations

Même cadre que dans le modèle d’Arrow. Do-tations initiales de biens contingents. On ne faitpas d’hypothèse sur la formation des anticipa-tions, on suppose que les agents sont «coordon-nés» sur les prix d’équilibre de période 1

➔ Prix des biens «physiques» sur les mar-chés au comptant à t=0, p(0)=(p1(0), ... , pL(0))et à t=1 p(s)=(p1(s), ... , pL(s)).

➔ Prix des actifs financiers en t=0 : q1, ..., qK

➔ Allocations de conso, xi(0) , xi(s) (si l’états se réalise, sinon xi(s) n’est jamais défini.

➔ Portefeuille de l’agent i, zi=(zi1, ... , zi

K)

Coordination sur lesanticipations ?

➔ Dans le longterme : apprentis-sage du fonctionne-ment de l’économie.

➔ Les agents con-naissent le «modèle»qui régit l’économie.Ils calculent des prixd’équilibre sachantque les autres agentsconnaissent le mo-dèle et savent qu’ilssavent... (processusrécursif)

II

➔

2-3 Problème du consommateur

La fonction objectif est rigoureusement identi-que que dans le modèle d’Arrow. Comme nou-veauté plusieurs contraintes budgétaires à t=1,correspondant à chaque marché spot plus lacontrainte budgétaire sur les actifs financiers :

➔

Les variables de décisions sont : les consom-mations sur les spot à t=0, les anticipations demeilleure consommation dans l’état s et la dé-cision d’acheter des actifs financiers.

II

➔

2-4 Demandes optimale et équilibre

Les demandes optimale xi(p) et zi saturent lesS+1 CB et satisfont des conditions de premierordre similaires au problème d’Arrow, hormisle fait que p(s) est remplacé par λ(s)p(s).

TOUS LES MARCHÉS DOIVENT ÊTRE ÉQUILIBRÉS, cepen-dant, il n’est pas nécessaire d’écrire des condi-tions d’équilibres sur tous les marchés au comp-tant. Il suffit des les écrire sur les marchés aucomptant, à t=0, ainsi que sur le marché destitres financiers :

➔

II3-1 Equivalence des modèles Arrowet Radner

Définition : On dit les marchés financiers com-plets, lorsque l’actif pur délivrant 1 F dans unétat de la nature quelconque peut être obtenupar une combinaison des K actifs financiers.

Proposition : Les marchés sont complets lors-qu’il y a S actifs financiers indépendants.

Proposition : Lorsque les marchés sont complets,le modèle d’Arrow et de Radner conduisent auxmêmes équilibres et donc aux mêmes alloca-tions d’équilibre.

La structure des actifs financiers importe peupourvu qu’il y a autant d’actifs indépendantsque d’états de la nature

II3-2 Efficience informationnelle desmarchés

Les marchés sont efficients quand tous lesagents disposent de la même information et queles prix d’équilibre reflètent complètementtoute l’information disponible et pertinente.

➔ Ici, l’information dont ils disposent est laprobabilité de l’état s

➔ Une représentation de ce modèle proposequ’un état représente en fait le niveau desprix de tous les biens à t=1

➔ L’information correspond exactement àl’anticipation sur les prix.

➔ En corrolaire les prix sont comme unemarche aléatoire, puisqu’ils dépendent desinformations des agents, et qu’il y a innova-tion.

Pourquoi les variations deprix, dans un marché effi-cient, sont forcément aléatoi-res ? Si toute l’informationpertinente est reflétée par lescours, ces derniers ne change-ront qu’en cas d’informationnouvelle. Mais une informa-tion nouvelle ne peut par dé-

finition être prévue. Par con-séquent, si les cours reflètentdéjà tout ce qui est prévisible,les variations de prix ne peu-vent être prévues [...] Les sé-ries de variations de coursdoivent être aléatoires.

II3-3 Un nombre limité de titrefinanciers nécessaires

Dans le modèle d’Arrow on avait L(S+1) mar-chés contingents, ici, on en a beaucoup moins,à savoir 2L+S

Proposition (loi de WALRAS): S’il n’y a pas deconsommation ex ante, alors, il suffit de véri-fier l’équilibre sur L marchés spots en période1 ainsi que sur K marchés d’actifs financiers, Knombre minimum d’actif tel que L+K=S

II

Sinon, j’achète le moins cher et je vendsle plus cher, ce qui m’assure un porte-feuille gagnant toujours la différence

Par exemple, un actif sans risque, a le mêmerendement que le portefeuille d’actifs purs, soit

3-4 Absence d’opportunitéd’arbitrage

Proposition : A l’équilibre, il n’y a pas d’oppor-tunité d’arbitrage, c’est-à-dire qu’il n’existe pasde portefeuille qui soit positif dans tous les étatsde la nature. (AOA)

Corrolaire : Si deux portefeuilles donnent lemême revenu état par état, les deux portefeuillescoûtent la même chose.

II3-5 Evaluation des actifs financierspar absence d’arbitrage

On généralise la proposition précédente en écri-vant tout actif financier comme une combinai-son linéaire des zk. Le prix d’un tel actif finan-cier est donc la combinaison linéraire des prixdes zk.

Si par exemple l’actif aq+1 est cl des S actifs :

son prix sera la même cl des prix des actifs :

La question est alors de connaître les prix d’équi-libre q1, q2, ..., qS de ces S actifs.

III Médaf (Capital Asset Pricing Model)1. Cas 1 bien physique & Préférences moyenne -variance

2. Le CAPM

3. Rendements des actifs à l’équilibre

4. Limites du CAPM

1-1 Calculer le rendement et/ou le prix des actifs financiers1-2 Cadre du modèle et normalisation1-3 Préférences Moyenne - variance

2-1 Equilibre sur les marchés financiers2-2 Problème du consommateur2-3 Meilleur portefeuille risqué et stratégie du consommateur2-4 Equilibre de portefeuille de marché

3-1 Le rendement d’un produit et d’une somme d’actifs3-2 Le rendement de l’actif sans risque et du portefeuille de marché3-3 Evaluation par les β de marché3-4 Evaluation par les β de consommation3-5 Relations entre les prix

III1. Calculer le prix et le rendement desactifs financiersAprès s’être focalisé sur les conditions et lesconséquences de l’efficacité sur les marchés fi-nanciers, ce modèle qui est un cas particulier desmodèles précédents s’intéresse à l’évaluationdes actifs financiers, leur prix et leur rendement.

Définition : Le rendement d’un actif dans l’états est égal à la différence entre ce que paye l’actifet son prix initial, normalisé par le prix initial.C’est une variable aléatoire dont on calcule l’es-pérance :

Le CAPM développe des relations entre les ren-dements des différents actifs sur le marché.

III2. Cadre du modèle et normalisations

On suppose toujours qu’il y a S états de la na-ture dont l’occurence est connue par tous, maiscependant il n’y a plus qu’un bien physique,dont on note le prix en période 0 p(0)=p0 .

Puisque l’on fait l’hypothèse d’anticipationsrationnelles, on enlève pas de généralité à nor-maliser les prix en période 1 : p(s)=p1 . (Infla-tion certaine).

On suppose par ailleurs qu’il y a K+1 actifs fi-nanciers sur ce marché qui sont indépendants,et on note qk leur prix d’équilibre. (Le premieractif a0 délivre dans tous les états une unité debien à la date 1, on l’appelle actif sans risque.)

Les dotations des agents sont en biens contin-gents mais aussi en actifs : l’agent i détient ini-tialement (zi

1, ... , ziK) parts d’actifs.

III3. Utilité moyenne - variance

Définition : On dit que l’utilité de l’agent estde la forme moyenne variance, si l’espéranced’utilité est une fonction de la consommationde période 0, de l’espérance de consommationde période 1 et de la variance de consommationde période 2.

Proposition : Les deux conditions suivantessont suffisantes pour que l’espérance d’utilitésoit une fonction moyenne - variance :

➔ la vnm est quadratique en x1(s)➔ les actifs suivent tous des lois normalescentrées réduites.

III2-1 Equilibre sur les marchésfinanciers

Définition : Un équilibre sur le marché finan-cier est une liste de prix qk et une demande d’ac-tifs pour tous les agents (z0

i, z1i,...,zK

i) tels que

➔ Ces variables satisfont les conditions pre-mières du problème du consommateur➔ Les marchés d’actifs sont équilibrés : il ya autant d’actif à l’équilibre qu’il y en avaitinitialement.

Remarque : L’introduction de dotations initia-les en actif financier est une astuce dumodélisateur qui implique par la loi de Walrasque les marchés spots sont en équilibre dès queles marchés financiers le sont.

III2-2 Problème du consommateur

Les variables de décision : la consommation enpériode 0, x0

i, et le choix des parts des K+1 ac-tifs financiers, (z0

i, z1i,...,zK

i). Ces variables dé-terminent les consos de période 1 x1

i(s).

La fonction objectif : Eu(x0,x1(s))

Les contraintes : l’équilibre budgétaire sur lesS+1 marchés spots.

Remarque : L’équilibre sera recherché sur lesmarchés financiers, alors que les contraintes ontété écrites sur les marchés contingents.

III2-3 Meilleur portefeuille risqué &stratégie du consommateur

Proposition : Parmi l’ensemble des portefeuillesrisqués, (N1,...,NK) il en existe un qui est pré-féré par l’ensemble des agents qui contient DE

TOUS les actifs.

➔ Démonstration graphique dans un espacemoyenne - variance

➔ Définition du portefeuille de marché : laproportion de l’actif k égale l’évaluation to-tale de l’actif k relativement à la valeur to-tale des actifs risqués sur le marché.

Corollaire : Chaque agent doit donc partager cequ’il investit entre actif risqué et non risqué.

III2-4 Equilibre de portefeuille demarché

Théorème : A l’équilibre tous les portefeuillesont la combinaison de l’actif sans risque et duportefeuille de marché. On relie alors automa-tiquement l’investissement optimal d’actifs ris-qué au stock d’actifs :

[ La partie gauche de l’égalité correspond aux versements de biendes actifs financier à l’équilibre en période 1, c’est une variablealéatoire. La partie droite de l’équation est la quantité de bien depériode 0 que l’agent peut investir dans les marchés financiersaprès son choix de consommation de période 1 multiplié par leportefeuille de marché (dont on vérifie que le prix est 1). ]

III3-1 Le rendement d’un produit etd’une somme d’actifs

On a défini le rendement en termes relatif (pour-centage), ce qui permet une analogie avec le tauxd’intérêt. La fonction de rendement, au contrairedu prix n’est pas linéaire.

Proposition : le rendement de deux actifs pro-portionnels est identique : r(z ak)=r(ak)

Proposition : le rendement de la somme de plu-sieurs actifs est la somme des rendements dechacun des actifs pondérée par la part de cha-cun des actifs dans l’évaluation totale. Soit :

Le calcul du rendement d’unesomme d’actifs fait ressortir lepoids financier de l’actif kparmi tous les autres actifs.

Remarque : on ne sait pas le rendement est crois-sant avec l’espérance d’un actif. cela dépend decomment varie son prix.

III3-2 Le rendement de l’actif sansrisque et du portefeuille de marché

L’actif sans risque est l’actif qui délivre uneunité de bien dans tous les états de la nature.Dans le cas marchés complets, si Qs est le prixde l’actif pur délivrant une unité de bien dansl’état de la nature, alors le rendement et l’espé-rance de cet actif, LE TAUX D’INTÉRÊT, est égal à :

Le portefeuille de marché m* contient une pro-portion wk d’actif k égal à la valeur totale de tousles actifs k détenus à l’équilibre relative à lavaleur de tous les actifs évalués à la période 0.Proposition : En appliquant la méthode de cal-cul d’un actif composé, on exprime r(m*) en fonc-tion des proportions agrégées et privées des ac-tifs ak. (voir ci-contre.)

III3-3 Evaluation par les β de marché

Dans cette économie, il est aisé d’exprimer lesrendements de tous les actifs financiers en fonc-tion des rendements des deux actifs principaux

Proposition : La forme β de marché du CAPMpermet d’évaluer tous les actifs avec l’égalité :

Le rendement d’un actif peut être décomposéen deux. La première composante est le rende-ment de l’actif sans risque, la seconde, un ajus-tement du portefeuille de marché risqué. β estla mesure du risque du portefeuille a

INTERPRETATION :Le rendement d’un titrene dépend pas de sonrisque total mais seule-ment du risque systé-matique du marché. Ils’ensuit que le risquediversifiable n’est pasrémunéré. Si β >1, le ti-tre est plus risqué quele marché, possède unrendement moyen élevé

III3-4 Evaluation par les β deconsommation

La formule précédente d’évaluation des actifspeut s’exprimer encore en terme de consomma-tion agrégée. Si on note X1 la consommation con-tingente agrégée en période 1, on exprime le ren-dement de tout actif en fonction du rendementde cette consommation agrégée.

III3-5 Relations entre les prix

Proposition : on peut relier les prix des diffé-rents actifs financiers au prix des actifs sans ris-que et de marché suivant la formule suivante

Ainsi, à l’équilibre, le prix d’un actif est égal àla valeur espérée de ses revenus futurs, plus une«prime» de risque. La prime dépend de la cova-riance des revenus de l’actif et du portefeuillede marché.

Remarque : Il y a une relation inverse entre lerendement et le prix d’un actif.

- Si l’actif est faiblementcorrélé avec le marché (covpetite) la prime de risqueest faible : le risque de l’ac-tif est diversifiable, le ris-que subi en achetant un telactif est limité.

- Si l’actif est corrélé néga-tivement avec le marché, laprime est élevée, le prix del’actif est élevé, l’actif est un«bon risque» qui va dimi-nuer le risque total.

- Si l’actif est corrélé positi-vement, c’est un «mauvaisrisque» qui est très peu ré-munéré.

4 Limites du CAPM

• Les agent ont tous les mêmes anticipations

• Les marchés sont concurrentiels, exclusionde tout comportement stratégique

• Absence de coûts de transaction, on ne tientpas compte des coûts d’ajustement

• Test empiriques : il existe bien des indicesde marché, mais il est difficile en pratique decontenir tous les actifs du marché.

IV Information sur un marché concurrentiel1. Agents informés & bénéfices

2. Les modèles

3. Equilibres révélateur et imparfaitement révélateur

4. Critiques du modèle

1-1 Investisseurs initiés et non initiés1-2 Information sur la réalisation de l’actif1-3 Anticipations rationnelles

2-1 L’investissement2-2 Problème du consommateur résolu2-3 Equilibre sur le marché des actifs

3-1 Transmission parfaite de l’information par les prix sans bruit sur l’offre3-2 Transmission imparfaite de l’information par les prix avec bruit3-3 Révélation parfaite pour initiés neutre au risque3-4 Révélation parfaite pour initiés parfaitement informés3-5 Nombre des agents informés endogène

1-1 Investisseurs initiés et non initiés

On étudie l’information d’asymétrie entre lesinvestisseurs. Ils ne disposent pas tous de lamême information sur les actifs financiers. Cer-tains ont accès à des informations privilégiéessur la valeur du titre.

Hypothèse 1 : On suppose que les investisseursont des préférences appartenant à la même fa-mille d’utilité exponentielle négative:

➔

N agents non initiés, i=1,..., NM agents initiés, i=N+1,...,N+M

Le choix d’une espé-rance d’utilité trèsparticulière: Le choix decette fonction d’utilitén’est pas neutre, les distri-butions sont log-normale,l’espérance d’utilité secalcule sous la forme sui-vante :

Remarquez que l’espé-rance d’utilité est crois-sante avec la moyenne etdécroissante avec la va-riante, Ai exprime l’aver-sion pour le risque.

1-2 Informations sur la réalisation del’actif

Un agent a des informations sur la réalisationaleatoire d’un actif. On peut supposer sescroyances meilleures, mais c’est difficile à mo-déliser, on supposera qu’il connaît la réalisationd’une «partie» de l’actif.

Hypothèse 2 : Il existe un unique actif risqué,a=S+E dont la réalisation de la composante Sest connue par les agents informées. S et E sontnormales, centrées et indépendantes.

➔ σ2S et σ2

E sont les variances respectives

➔ Z est l’offre globale de l’actif risqué, onla supposera aleatoire normale centrée d’es-pérance Z, de variance σ2

Z

Un bon exercice est d’es-sayer de reconstruire l’en-semble des états de la na-ture qui correspond à ceshypothèses.

1-3 Anticipations rationnelles

Les agents ont des anticipations rationnelles.Cela signifie qu’ils anticipent le prix d’équili-bre, et plus exactement, que celui-ci dépend desdifférents paramètres de l’économie, en parti-culier de S et X : p*(S,Z). Cette relation permet«en retour» aux agents non initiés de calculer lanouvelle loi de V, sachant p*.

Pour l’agent informé: E(a)=S, la réalisationqu’il observe et VAR(a)=σ2

E

Pour l’agent non informé: le problème est pluscompliqué puisque pour lui l’actif n’est plus decaractéristique E(a)=0 et VAR(a)=σ2

S+σ2E mais,

puisque l’agent infère des informations de p* ,l’actif est pour lui de caractéristique E(a ❘ p*) etVAR(a ❘ p*)

2-1 L’investissement

L’économie est composée d’un actif risqué a etde l’actif sans risque. Le consommateur détientinitialement (zi

O,zi) et à travers les marchés il né-gocie la position (zi

O,zi)? Cette position lui as-sure le portefeuille risqué Wi=zi

O+zi .

On peut simplifier l’écriture de Wi en rempla-çant zi

O par sa valeur calculée à partir de la con-trainte budgétaire: zi p+zi

O =zi p+ziO. On a:

Notez que l’espérance et la variance de a dépen-dent de l’information dont disposent les agents

2-2 Problème du consommateurrésolu

La contrainte budgétaire étant prise en comptedans la manière elaborée dont on a écrit le por-tefeuille, le problème du consommateur s’écritsans contrainte: Max EU(Wi)

Avec la fonction d’utilité log-normale, et les dif-férences d’information, il se ré-écrit:

On en infère la demande des agents:

Remarquez que plusla différence entrel’espérance de l’actifet son prix est grande,plus l’agent en de-mande, au contraire,plus la variance estgrande, moins l’agenten demande.

2-3 L’équilibre sur le marché desactifs

D’après la loi de Walras, il suffit de vérifierl’équilibre sur le marché des actifs pour que tosles marchés soient en équilibre. p* est tel que:

La méthodologie pour trouver un équilibre àanticipation rationnelle est un peu particulière.Car on ne peut pas résoudre directement l’équa-tion précédente, sans au préalable donner uneforme a priori des prix anticipés.

On voit dans la suite que l’hypothèse selon la-quelle Z est exogène fixe, ou bien aleatoire estdéterminante.

3-1 Transmission parfaite de l’informationpar les prix sans bruit sur l’offre

Supposons que l’offre d’actif Z est connue detous les agents. Cherchons alors les prix d’équi-libre p*(S) croissants avec S.

Un tel schéma de prix révèle toute l’informationaux agents non informés, dont la demande estalors identique à la demande des agents infor-més. L’équation d’équilibre s’écrit et se résoud:

Remarquez que le prix est supé-rieur à l’information S (prime derisque) et qu’il est linéaire avecS (si S augmente de 10%, p* aug-mente de 10%). Il est décroissantavec la variance de l’info à ve-nir et avec les aversion pour lerisque des agents.

Tous les agents ont la même de-mande : les agents informés nesont pas rémunérés pour leurinformation. Aucun agent n’aintérêt à payer un coût pour s’in-former. Ce problème disparaîten présence d’un bruit sur l’of-fre d’actifs Z.

3-2 Transmission imparfaite de l’informationpar les prix avec bruit sur l’offre

Si la réalisation de l’offre Z n’est pas connue desagents non informés, on doit s’attendre (cf. casprécédent) que le prix d’équilibre est une fonc-tion non seulement de l’information révélée Smais de la quantité d’actifs offerts: p*(S,Z)

Proposition : Il existe au moins un équilibre enanticipations rationnelles linéaire de S et Z. Lademande des agents non informés est alors:

La demande est croissante avec S ; Aussi avec Z(Quand le stock augmente, la demande des in-formés demeurait identique). Les agents infor-més sont rémunérés par cette possibilité demieux gérer le risque de leur portefeuille.

3-3 Révélation parfaite pour initiés neutresau risque.L’équilibre précédent est beaucoup plus simplelorsque l’initié est neutre au risque. En effet, sil’on part du calcul si particulier de leur demande

Lorsque les initiés sont neutres au risque, Ai=0(on est dans un cas limite des hypothèses faitessur les préférences des agents) et le seul moyend’avoir l’équilibre est p*=S. L’équilibre est alorsparfaitement révélateur.

3-4 Révélation parfaite pour initiéstotalement informésL’équilibre précédent est aussi plus simple lors-que les initiés sont parfaitement informés.

En effet, en dehors de toute considération depréférences, pour l’initié, l’actif a(s) est assimiléà l’actif sans risque. Il est donc indifférent àtoute composition de portefeuille, lorsque leprix de l’actif est 1/S.

La encore le prix d’équilibre révèle totalementl’information.

3-5 Nombre des agents informés endogènes

Supposons que pour devenir informé un agentdoive payer un coût c, et que le nombre d’agentsinformés ne soit pas prédéterminé à l’avance:

➔ Le bien-être d’au moins un agent seraidentique s’il s’informe ou non, ce qui per-met de calculer M*.

➔ Cet agent devra être rémunéré pour l’in-formation qu’il aura payé. Un équilibre nepeut exister que s’il est partiellement révéla-teur (d’où pas d’équilibre si ...)

➔ La proportion d’agents informés est dé-croissante avec c et croissante avec VAR(E)

4 Critique du modèle➔ Le cadre concurrentiel impose que lesagents informés déterminent leur demandesans tenir compte de l’information qu’ils ré-vèlent au marché. C’est-à-dire, ils ne pren-nent pas en compte l’impact qu’ils sont surles prix.➔ Si, au contraire les agents informés sontconscients de leur impact sur les prix, l’effi-cience informationnelle des prix est dimi-nuée.➔ L’information d’asymétrie, si elle est priseen compte dans un jeu où les agents ont descomportements stratégiques aura des consé-quences importantes sur la liquidité des ac-tifs.