Root Locus (1)

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Plan

Méthode du lieu d’Evans

Octobre 2010

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Plan

Plan

1 Mise en contexte

2 Introduction - Exemples de lieux d’Evans simples

3 Règles pour le tracé du lieu d’Evans

4 Exemples de lieux d’Evans - Vers la conception de correcteurs

5 Conception d’un correcteur dynamique

6 Récapitulation

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Mise en contexteIntroduction - Exemples de lieux d’Evans simples

Règles pour le tracé du lieu d’EvansExemples de lieux d’Evans -Vers la conception de correcteurs

Conception d’un correcteur dynamiqueRécapitulation

Contexte

Ce que l’on sait :Lien entre caractéristiques de la réponse indicielle (temps demontée, temps d’établissament, dépassement) et position despôles d’un système du second ordre caractérisé parωn, ζ etσEffet d’un zéro ou d’un pôle additionnel sur la réponse transitoireModification de la position des pôles d’un système par rétroaction

Incite à conception d’un régulateur basée sur l’étude du lieu despôles de la boucle fermée en fonction d’un paramètre de laboucle ouverte (le plus souvent le gain proportionnel durégulateur)

Méthode du lieu d’Evans (”root locus”)

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Objectifs

Comprendre comment exploiter un lieu d’Evans

Etre capable d’esquisser un lieu d’Evans afin de pouvoirdéterminer comment un régulateur donné affecte les pôles delaboucle fermée

Comprendre l’utilité des compensateurs à avance et à retarddephase et être capable de les synthétiser

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Visualisation dans le cas de la régulation d’un système dechauffe

Voir démonstration à l’aide du logiciel MATLAB

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Notations-Equation caractéristique (1)

Fonction de transfert entreR(p) etY(p) pour une boucle fermée (avec modèlede capteur)

Y(p)

R(p)= T (p) =

D(p)G(p)

1 + D(p)G(p)H(p)

Equation caractéristique de la boucle fermée

1 + D(p)G(p)H(p) = 0

Doit être mise sous forme polynomiale avec coefficients dépendant de façonaffine d’un paramètreK →

a(p) + Kb(p) = 0

aveca(p) et b(p) deux polunômes Soit, en introduisant la fonction de transfertL(p) = b(p)

a(p)

1 + KL(p) = 0

Cas le plus fréquentK gain du régulateur etL(p) proportionnel àD(p)G(p)H(p)

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Factorsation du numérateur et du dénominateur deL(p)

b(p) polynôme monic de degrém

b(p) = pm + b1pm−1 + · · · + bm

= (p − z1)(p − z2) · · · (p − zm)

a(p) polynôme monic de degrén avecn ≥ m

a(p) = pn + a1pn−1 + · · · + an

= (p − p1)(p − p2) · · · (p − pn)

Factorisation du polynôme caractéristique

a(p) + Kb(p) = (p − r1)(p − r2) · · · (p − rn)

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Mise en garde

Le paramètreK utilisé traditionnellement pour noter le gain d’Evansne doit pas être confondu avec la notationK utilisée antérieurementpour le gain statique d’un système réglé (cf systèmes du premier ordreet du deuxième ordre notamment)

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Exemple:régulation de position d’un moteur à courantcontinu

Position du probl‘eme

Système réglé :G(p) = Ap(p+c) avecA et c réels positifs

Régulateur proportionnel:D(p) = kP

Capteur idéal:H(p) = 1

Pour la simplicité de l’analyse, supposonsc = 1

Traduction dans les notations introduites

L(p) =1

p(p + 1)K = AkP b(p) = 1 a(p) = p2 + p

p1 = 0, p2 = −1, pas de zéro

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Position des pôles de la boucle fermée

Polynôme caractéristique

a(p) + Kb(p) = p2 + p + K = 0

D’où

r1, r2 =−12

±√

1− 4K2

0 ≤ K ≤ 1/4, racines réelles dans l’intervalle[−1 0]

K = 1/4 racines confondues enK = −1/2

K > 1/4 racines complexes conjuguées avec partie réelleconstante en−1/2 et partie imaginaire croissante avecK. 12 / 105

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Figure:Lieu d’Evans pourL(p) = 1p(p+1)

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Représentation graphique

Marques× pour les racines dea(p) (pôles de la boucle ouverte)correspondant àK = 0

2 branches correspondent à l’évolution des deux pôles enfonction deK

Branches orientées selonK croissant

A chaque point du lieu correspond une valeur deK (ζ = 0.5obtenu pourK = 1 soitkP = 1/A)

Si, pour une valeur deK donnée la réponse transitoire estsatisfaisante, la conception est terminée; sinon besoin deconsidérer un régulateur plus compliqué

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Définitions

Définition 1

Le lieu d’Evans (positif) deL(p) est le lieu des racines de 1+ KL(p) lorsqueK variede 0 à l’infini. Le plus souvent, 1+ KL(p) = 0 est l’équation caractéristique de laboucle fermée et, dans ce cas, le lieu d’Evans est le lieu des pôles de la boucle fermée

Définition 2

Le lieu d’Evans (positif) deL(p) est le lieu des points du plan complexe oùl’argument deL(p) vaut 180◦

Soit p0 un point du lieu; notonsθi = arg(p0 − pi), i = 1, · · · , n etφi = arg(p0 − zi), i = 1, · · · , m, alors, il existe un entierℓ pour lequel

m∑

i=1

φi −n

∑

i=1

θi = ±180◦(2ℓ − 1)

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Définitions

Définition 3

Le lieu d’Evans (négatif) deL(p) est le lieu des points du plancomplexe où l’argument deL(p) vaut 0◦

Soit p0 un point du lieu; notonsθi = arg(p0 − pi), i = 1, · · · , netφi = arg(p0 − zi), i = 1, · · · , m, alors, il existe un entierℓpour lequel

m∑

i=1

φi −n

∑

i=1

θi = 360◦ℓ

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Remarques importantes

Condition sur le module:

|KL(p)| = 1

Permet de graduer le lieu en fonction deK

Il est nécessaire d’utiliser les mêmes échelles sur l’axe desabscisses et l’axe des ordonnées pour représenter le lieu d’Evans(cf mesures d’angles et de distances)

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Exemple (1)

Soit le système à rétroaction unitaire caractérisé parK L(p) = K

p(p+1)(p+2)

Par définition du lieu,

arg

(

Kp(p + 1)(p + 2)

)

= ±180◦(2ℓ − 1)

Soit, pourK > 0,

− argp − arg(p + 1) − arg(p + 2) = ±180◦(2ℓ − 1)

Condition sur le module:

|K L(p)| = | Kp(p + 1)(p + 2)

| = 1

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Exemple(2)-Lieu sur l’axe réel

L’axe réel positif ne fait pas partie du lieu . En effet, soit un pointtestp sur l’axe réel positif→

argp = arg(p + 1) = arg(p + 2) = 0◦

Point testp dans l’intervalle] − 1 0[

argp = 180◦ arg(p + 1) = arg(p + 2) = 0◦

D’où− argp − arg(p + 1) − arg(p + 2) = −180◦

et donc la portion de l’axe réel dans l’intervalle] − 1 0[appartient au lieuEn continuant de la sorte, on déduit que

La portion de l’axe réel entre−2 et−1 ne fait pas partie du lieuLa portion de l’axe réel entre−2 et−∞ fait partie du lieu

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Exemple(2)-Asymptotes

Quandp est très éloigné de l’origine:

K L(p) ≃ Kp3

Condition sur les arguments:

−3 argp = ±180◦(2ℓ − 1)

ce qui donne les 3 directions suivantes pour les asymptotes

±180◦(2ℓ − 1)

3ℓ = 0, 1, 2

(Choisir soit le signe+, soit le signe−)

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Exemple(3)-Asymptotes (suite)

Pour un point très éloigné de l’origine

K L(p) =K

p3 + 3p2 + · · · ≃K

(p + 1)3 (1)

PourK > 0, il vient

arg(p + 1) = ±60◦(2ℓ + 1)

Substituerp = σ + jω

arctgω

σ + 1= ±60◦(2ℓ + 1)

Prendre la tangente des deux membres

σ + 1− ω√3

= 0 σ + 1 +ω√3

= 0 ω = 0

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Exemple(4)-Asymptotes (suite)

Figure:Asymptotes pour le lieu d’Evans de 1p(p+1)(p+2) [Ogata, 2010]

Point d’intersection des asymptotes obtenu en annulant ledénominateur de (1) 23 / 105

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Exempls (5) - Points où le lieu quitte l’axe réel

En ces points l’équation caractéristique possède un pôle multiple. Donc

f (p) ≡ a(p) + Kb(p) = 0 et f ′(p) = a′(p) + Kb′(p) = 0

ou ′ désigne la dérivée par rapport àp

Il en résultea(p)b′(p) − b(p)a′(p) = 0

Ceci revient à calculer les valeurs dep pour lesquellesdKdp = 0. En effet,

f (p) = 0 → K = −a(p)/b(p) et

dKdp

= −a′(p)b(p) − a(p)b′(p)

b(p)2

Dans le cas considéré:K = −(p3 + 3p2 + 2p)

et dKdp = −(3p2 + 6p + 2) = 0 donnep = −0.4226 etp = −1.5774

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Exempls (6) - Points où le lieu quitte l’axe réel

Seul le pointp = −0.4226 appartient au lieu positif (cf conditiond’existence du lieu sur l’axe réel)

La condition sur le module donne

K = 0.3849 pour p = −0.4226K = −0.3849 pour p = −1.5774

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Exempls (7) - Points où le lieu intersecte l’axe imaginaire

Première approche par le critère de Routh (la plus simple)Equation caractéristique :p3 + 3p2 + 2p + K = 0Table de Routh

p3 1 2p2 3 Kp1 6−K

3p0 K

K = 6 annule le terme enp1 de la première colonnePoints d’intersection avec l’axe imaginaire donnés par

3p2 + K = 3p2 + 6 = 0 → p = ±j√

2

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Exempls (8) - Points où le lieu intersecte l’axe imaginaire

Deuxième approche en posantp = jω dans l’équationcaractéristique

Equation caractéristique :p3 + 3p2 + 2p + K = 0p = jω → (K − 3ω2) + j(2ω − ω3) = 0En égalant la partie réelle et la partie imaginaire à zéro, ilvient:

{

ω = ±√

2 K = 6ω = 0 K = 0

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Exempls (9) - Lieu d’Evans final

Figure:Lieu d’Evans de 1p(p+1)(p+2) [Ogata, 2010]

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Règle 1 - Branches de lieu

Enoncé

Lesn branches du lieu partent des pôles deL(p) et m d’entre elles seterminent aux zéros finis deL(p) et les(n − m) restantes aux zéros àl’infini de L(p).

Justification

PourK = 0, a(p) + Kb(p) = 0 donnea(p) = 0 → pôles deL(p)

CommeL(p) = −1/K, L(p) = 0 quandK → ∞2 possibilités: soitb(p) = 0 (m zéros finis deL(p)), soitp → ∞lorsquen > m ( (n − m) zéros à l’infini, voir règle 3)

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Règle 2 - Conditions d’existence sur l’axe réel

Enoncé

Les points de l’axe réel qui appartiennent au lieu sont situés à gauched’un nombre impair de pôles et de zéros.

Justification

Pour un point de l’axe réel, la contributionθ1 + θ2 de deux pôlescomplexes conjugués est nulle; il en va de même pour lacontribution de deux zéros complexes conjugués

Pour un point de l’axe réel, la contributionθ (φ) d’un pôle (zéro)est nulle si le point se trouve à droite du pôle (zéro) considéré.Elle vaut 180◦ si le point se trouve à gauche du pôle (zéro)considéré.

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Règle 3 - Asymptotes

Enoncé

Lesn − m asymptotes ont un point d’intersection commun sur l’axeréel en

α =

∑ni=1 pi −

∑mi=1 zi

n − m

Elles font, avec l’axe réel positif, un angle

φℓ =180◦(2ℓ − 1)

n − mℓ = 0, 1, · · · , n − m − 1

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Règle 3 - Asymptotes

Justification - orientations

Pour un pointp du lieu très éloigné de l’origine,arg(p − pi) estle même pour tous les pôlespi, i = 1 · · · n et cet angle estidentique àarg(p − zi), i = 1, · · · , m. Lesm contributions deszéros suppriment celles dem pôles. Il reste donc(n − m)contributions liées aux(n − m) pôles restants→

K L(p) ≃ Kpn−m

Orientations des asymptotes :

180◦(2ℓ + 1)

n − mℓ = 0, 1, · · · , n − m − 1

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Règle 3 - Asymptotes (suite)

Justification - point d’intersection

En effectuant les produits dansK L(p), il vient

K L(p) = Kpm − (z1 + z2 + · · · + zm)pm−1 + · · · + (−1)mz1z2 · · · zm

pn − (p1 + p2 + · · · + pn)pn−1 + · · · + (−1)np1p2 · · · pn

Par division polynomiale, on obtient:

K L(p) =K

pn−m − (∑n

i=1 pi −∑m

i=1 zi)pn−m−1 + · · ·

Pour les grandes valeurs dep cette expression est approchée par

K L(p) =K

[

p −(∑n

i=1 pi −∑m

i=1 zi)

/(n − m)]n−m

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Règle 3 - Asymptotes (suite)

Justification - point d’intersection

Représente un faisceau de droites dont l’intersection sur l’axeréel est:

p =

∑ni=1 pi −

∑mi=1 zi

n − m

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Règle 4 - Points où le lieu quitte ou rejoint l’axe réel

Conditions d’existence

Lorsque le segment entre deux pôles adjacents sur l’axe réelappartient au lieu, il existe au moins un point où le lieu quittel’axe réel entre les deux pôles.

Lorsque le segment entre deux zéros adjacents sur l’axe réel(l’und’entre eux pouvant être à l’infini) appartient au lieu, il existe aumoins un point où le lieu rejoint l’axe réel entre les deux zéros

Si le segment entre un pôle et un zéro ( fini ou infini) sur l’axeréel appartient au lieu, il peut ne pas y avoir de point où le lieurejoint ou quitte l’axe réel, ou il peut exister à la fois des pointsoù le lieu quitte et rejoint l’axe réel.

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Règle 4 - Points où le lieu quitte ou rejoint l’axe réel

Calcul

Ces points correspondent à des racines multiples de l’équation caractéristique

a(p) + Kb(p) = 0

Points donnés par les solutions de l’équation suivante

dKdp

= −a′(p)b(p) − b′(p)a(p)

b(p)2= 0

pour autant qu’elles appartiennent au lieu

Le lieu approche ou quitte une racine de multiplicitéq par des branchesséparées d’un angle de 180◦/q (justifié ultérieurement)

RemarquedKdp = 0 peut avoir des racines complexes conjuguées correspondant à des pôlesmultiples en dehors de l’axe réel. Pour voir si ces points appartiennent au lieu, il fautvérifier que la valeut deK correspondante est positive (lieu positif). 36 / 105

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Règle 5 - Points où le lieu intersecte l’axe imagninaire

Enoncé

Lorsque de tels points existent, on peut les déterminer soit

par le critère de Routh en déterminant la ou les valeurs deK quiannulent un des coefficients de la première colonne de la table deRouth. Si ce coefficient est associé à la lignepi, les racines dupolynôme associé à la lignepi+1 donnent les valeurs des pôlessur l’axe imaginaire (lorsque la lignep est nulle)

en substituantp par jω dans l’équation caractéristique et enrésolvant le système de deux équations (partie réelle et partieimaginaire) à deux inconnues (ω et K).

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Boucle ouverte possédant des pôles complexes conjugués(1)

Exemple

Soit K L(p) = K(p+2)p2+2p+3

Pôlesp1,2 = −1± j√

2

Tracé

Lieu sur l’axe réel

Point où le lieu rejoint l’axe réel

Directions de départ du lieu à partir des pôles complexesconjugués

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Directions de départ du lieu à partir des pôles complexes conjugués

Règle de l’argument pour un point proche du pôlep1

φ′

1 − (θ1 + θ′

2) = ±180◦(2ℓ + 1)

Point infiniment rapproché (pour obtenir la pente de la tangente au lieu)

θ1 = 180◦ − θ2 + φ1 = 180◦ − 90◦ + 55◦ = 145◦

Figure:Détermination de l’orientation de la tangente au lieu [Ogata, 2010]39 / 105

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Directions de départ du lieu à partir des pôles complexes conjugués

Par symétrie, la tangente au lieu enp2 forme un angle de−145◦

par rapport à l’axe réel positif

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Règle 6 - Angle de départ (d’arrivée) en des pôles (zéros)complexes conjugués

Cas de pôles et de zéros simples

Angle de départ d’une branche du lieu à partir d’un pôle complexe conjugué

θℓ,dep =m

∑

i=1

φi −n

∑

i = 1i 6= ℓ

θi − 180◦

Angle d’arrivée d’une branche du lieu en un zéro complexe conjugué

φℓ,arr =

n∑

i=1

θi −m

∑

i = 1i 6= ℓ

φi + 180◦

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Règle 6 (suite)

Cas de pôles et de zéros multiples

Angle de départ d’une branche en un pôle de multiplicitéq

qθℓ,dep =m

∑

i=1

φi −n

∑

i = 1i 6= ℓ

θi − 180◦(2ℓ − 1) ℓ = 1, · · · , q

Angle d’arrivée d’une branche en un zéro de multiplicitéq

qφℓ,arr =n

∑

i=1

θi −m

∑

i = 1i 6= ℓ

φi + 180◦(2ℓ − 1) ℓ = 1, · · · , q

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Règle 6 (suite)

Cas de pôles et de zéros multiples

En particulier, la règle pour l’angle de départ en un pôle demultiplicité q mène à l’orientation du lieu aux points où il quitteou rejoint l’axe réel (notion de continuation d’un lieu)

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Condition sur le module - détermination du gain associé àune position des pôles

Expression de la condition en termes de pôles et zéros

K =1

|L(p)| =|p − p1| · · · |p − pn||p − z1| · · · |p − zm|

En l’absence de zéro le dénominateur vaut 1.

Application

Reprenons l’exempleL(p) = p+2p2+2p+3

Déterminer la valeur deK pour laquelle la boucle fermée possède deux pôlescomplexes conjugués avec un facteur d’amortissementζ = 0.7

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Condition sur le module - détermination du gain associé àune position des pôles

Expression de la condition en termes de pôles et zros

Le point d’intersection entre le lieu et la droite correspondant àζ = 0.7 estp = −1.67+ j1.70. D’où

K = | (p + 1− j√

2)(p + 1 + j√

2)

p + 2|p=−1.67+j1.70 = 1.34

Illustration [Ogata, 2010]

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Quelques commentaires

Cas où le degré relatif deL(p) est supérieur ou égal à 2

Forme deL(p)

L(p) =pm + b1pm−1 + · · · + bm

pn + a1pn−1 + · · · + an

avecn − m ≥ 2

Somme des pôles de la boucle fermée donnée par−a1

indépendamment deK

Si certains des pôles se déplacent vers la droite lorsqu’onaugmeneK, les autres doivent se déplacer vers la gauche (voirlieu de gauche sur le ”slide” suivant)

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Quelques commentaires (suite)

Sensibilité à la position des pôles et zéros

De légers déplacements des pôles et zéros deL(p) peuvent induire unchangement important de la configuration du lieu.

Figure:Changements de configuration [Ogata, 2010]

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Simplification de pôles et de zéros dansL(p)

L(p) = D(p)G(p)H(p)

Les pôles et zéros simplifiés n’apparaissent pas dans le lieud’Evansmais ils ont une influence sur les transitoires par rapport auxconditions initiales et/ou aux perturbations (voir antérieurementl’étude des simplifications à l’aide d’une représentation interne)

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Présence d’une partie de cercle dans un lieu d’Evans

Une partie de cercle ne peut apparaître que pour les configurationssuivantes des pôles et des zéros

2 pôles et 1 zéro

2 pôles et 2 zéros

1 pôle et 2 zéros

Démonstration de la forme circulaire dans le lieu dep+2p2+2p+3 (Voir

Ogata, 2010, p 282)

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Lieu d’Evans négatif (1)

Rappel

Le lieu d’Evans (négatif) deL(p) est le lieu des points du plancomplexe où l’argument deL(p) vaut 0◦

Soit p0 un point du lieu; notonsθi = arg(p0 − pi), i = 1, · · · , netφi = arg(p0 − zi), i = 1, · · · , m, alors, il existe un entierℓpour lequel

m∑

i=1

φi −n

∑

i=1

θi = ℓ360◦

Lieu sur l’axe réel

Si le nombre total de pôles et de zéros à droite d’un point de l’axe réelest pair, alors ce point appartient au lieu d’Evans négatif (0 estconsidéré comme un nombre pair)

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Asymptotes

Le point d’intersection des asymptotes est calculé comme pour lelieu positif.

Les directions des asymptotes sont:

ℓ360◦

n − mℓ = 0, 1, · · · , n − m − 1

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Angle de départ (d’arrivée) en des pôles (zéros) complexes conjugués

Cas de pôles et de zéros simples

Angle de départ d’une branche du lieu à partir d’un pôle complexe conjugué

θℓ,dep =m

∑

i=1

φi −n

∑

i = 1i 6= ℓ

θi

Angle d’arrivée d’une branche du lieu en un zéro complexe conjugué

φℓ,arr =

n∑

i=1

θi −m

∑

i = 1i 6= ℓ

φi

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Angle de départ (d’arrivée) en des pôles (zéros) complexes conjugués

Cas de pôles ou de zéros de multiplicitéq

Angle de départ d’une branche en un pôle de multiplicitéq

qθℓ,dep =

m∑

i=1

φi −n

∑

i = 1i 6= ℓ

θi − ℓ360◦ ℓ = 0, · · · , q − 1

Angle d’arrivée d’une branche en un zéro de multiplicitéq

qφℓ,arr =

n∑

i=1

θi −m

∑

i = 1i 6= ℓ

φi + ℓ360◦ ℓ = 0, · · · , q − 1

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Quelques exemples de lieux d’Evans positifs et négatifs [Ogata, 2010]

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Conception de régulateurs par lieu d’Evans - Régulationd’attitude d’un satellite

Objectif

Régulation d’attitude requise pour assurer que les antennes, les capteurs et lespanneaux solaires sont orientés de façon appropriée

Considérer la régulation d’attitude par rapport à un des trois axes (axeorthogonal à l’écran dans la figure ci-dessous)

Figure:Schéma d’un satellite de communication [Franklin et al., 2010]56 / 105

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Position du problème et modélisation

Position du problème

Mesure de l’attitude du satellite par rapport à un référentielinertiel (non soumis à une accélération angulaire)

Le moteur provoque un momentFc(t)d autour du centre demasse

Moment perturbateurMd(t)

Modèle

Théorème du moment cinétique:Jθ(t) = dFc(t) + MD(t)avecJ moment d’inertie par rapport au centre de masse dusatellite

Fonction de transfert entreU(p) = Fc(p) etΘ(p): Θ(p)U(p) = d

Jp2

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Régulateur proportionnel

Lieu d’Evans

Régulateur :D(p) = kP

Détermination deL(p)PosonsK = kP d/J → L(p) = 1/p2

Le lieu est l’axe imaginaire→ impossible d’atteindre desperformances raisonnables

Attirer le lieu dans le demi-plan gauche→ régulateur à actionsproportionnelle et dérivée (PD)

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Régulateur PD

Lieu d’Evans

Régulateur :D(p) = kP + kDp

ChoisirkP = kD (position du zéro discutée ultérierement) avecK = kP d/J

Equation caractéristique de la boucle fermée

1 + K1 + p

p2 = 0

Tracé du lieuPoints de départ ou d’arrivée sur l’axe réel:

b′(p)a(p) − a′(p)b(p) = p2 − 2p(p + 1) = 0

soit−p2 − 2p = 0 d’où p = −2 etp = 059 / 105

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Régulateur PD

Lieu d’Evans (suite)

Illustration du lieu [Franklin et al., 2010]

Facteur d’Amortissementζ = 0.7 obtenu pourK = 2, soit pourkP = 2J/d

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Régulateur PD

Effet d’un zéro sur la forme du lieu d’Evans

L’addition d’un zéro dans le demi-plan gauche attire le lieud’Evansvers la gauche

Mise en oeuvre pratique du rgulateur PD

Besoin de rajouter un pôle pour obtenir un système propre

D(p) = kP +kDp

p/pD + 1

soitD(p) = K

p + zD

p + pD

avecK = kP + kDpD et zD = kPpD/K

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Régulateur PD propre

Effet du pôle de filtrage

Pôle éloigné pour ne pas influencer significativement la forme dulieu pD = −12

Equation caractéristique

1 + Kp + 1

p2(p + 12)= 0

Tracé du lieu3 branches (deux partant de 0 et une de−12)−12≤ p ≤ −1 appartient au lieu2 asymptotes qui s’intersectent en−12−(−1)

2 = −11/2Point de départ ou d’arrivée sur l’axe réel2p3 + 15p2 + 24p = 0 soitp = 0, p = −2.3 etp = −5.2

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Régulateur PD propre (suite)


Légère distortion du cercle obtenu pour le cas sans pôle defiltrage

Lieu très similaire pour les points proches de l’origine [Franklinet al., 2010]

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Pôle de faible valeurpD = −4

Equation caractéristique: 1+ K p+1p2(p+4) = 0

Illustration de l’évolution du lieu, emploi de l’instruction ”rltool”(MATLAB)

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Un pôle additionnel se déplaçant à partir de la gauche pousselesbranches du lieu vers la droite lorsqu’il se rapproche du lieu initial(sans ce pôle additionnel)

Régulateur ou correcteur à avance de phase (lead compensator)

D(p) = K p+zDp+pD

aveczD < pD

Réponse à une sinusoïde de pulsationω0 déphasée de

φ = arctgω0

zD− arctg

ω0

pD

Commeφ est positif, on parle de régulateur à avance de phase

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Inclusion de la flexiblité dans le modèle du satellite

Actionneur et capteur collocalisés

Système réglé :G(p) = (p+0.1)2+62

p2((p+0.1)2+6.62)

Régulateur (rétroaction unitaire):D(p) = K p+1p+12

Boucle ouverte:L(p) = p+1p+12

(p+0.1)2+62

p2((p+0.1)2+6.62)

Notationsp1 = −0.1 + j6.6,p2 = −0.1− j6.6, p3 = p4 = 0,p5 = −12,z1 = −0.1 + j6, z2 = −0.1− j6, z3 = −1

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Inclusion de la flexiblité dans le modèle du satellite (suite)

Lieu d’Evans

5 branches dont 3 vont vers les zéros

−12≤ p ≤ −1 appartient au lieu

Point d’intersection des asymptotes

p =−12− 0.1− 0.1− (−0.1− 0.1− 1)

5− 3= −11

2

Direction de départ à partir du pôle enp = −0.1 + j6.6

θ1 = arg(p1 − z1) + arg(p1 − z2) + arg(p1 − z3)

−arg(p1 − p2) − arg(p1 − p3) − arg(p1 − p4) − arg(p1 − p5) − 180◦

soit

θ1 ≃ arctg(6.6/0.9)+90◦+90◦−(

90◦ + 2arctg(6.6/0.1) + arctg6.611.9

)

−180◦

d’où θ1 = −215.04◦ = 144.95◦67 / 105

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Lieu d’Evans (suite)

Dans le cas d’un actionneur et d’un capteur collocalisés, laprésenced’un seul mode flexible induit une paire de racines faiblementamorties dans l’équation caractéristique, mais ne cause pasl’instabilité de la boucle fermée

Figure:Lieu d’Evans deL(p) = p+1p+12

(p+0.1)2+62

p2((p+0.1)2+6.62) 68 / 105

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Actionneur et capteur non collocalisés

Système réglé :G(p) = 1(p+0.1)2+6.62

Régulateur (rétroaction unitaire):D(p) = K p+1p+12

Boucle ouverte:L(p) = p+1p+12

1p2((p+0.1)2+6.62)

Exercice

Déterminez l’allure du lieu; en particulier évaluez l’angle dedépart des branches issues des deux pôles complexes conjugués.

Le régulateur choisi est-il approprié ?

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Considérations générales

Mise en forme du lieu d’Evans par ajout de pôles et de zérosSouvent on cherche à avoir une paire de pôles complexesconjugués dominants caractérisant la dynamique souhaitéepourla boucles fermée (pôles et zéros additionnels affectent peu lescaractéristiques de la réponse).Correcteurs les plus utilisés:

Correcteur à avance de phase: approche la fonction d’unrégulateur PD→ accélère la réponse en diminuant le temps demontée et le dépassement indicielCorrecteur à retard de phase: approche la fonction d’unrégulateur PI→ généralement utilisé pour améliorer la précisionde la boucle ferméeCorrecteur ”notch”: permet d’assurer la stabilité de la bouclefermée pour un système avec des pôles faiblement amortis (cfactionneur et capteur non collocalisés)

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Considérations générales

Correcteurs à avance ou à retard de phase (lead or lag compensator)

Fonction de transfert du correcteur

D(p) = kcp + zC

p + pC

Si zC < pC avance de phase

Si zC > pC retard de phase

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Effet de l’addition de pôles dans le demi-plan gauche

L’addition d’un pôle attire le lieu vers la droite

Figure:Lieu d’Evans de systèmes à un, deux et trois pôles [Ogata,2010]

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Effet de l’addition de zéros dans le demi-plan gauche

L’addition d’un zéro dans le demi-plan gauche attire le lieuvers lagauche→ tend, pour un gainK donné, à améliorer la marge destabilité et à accélérer la réponse (cf effet d’un zéro additionnel dansune réponse indicielle)

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Conception d’un régulateur à avance de phase

Marche à suivre

Détermination de la position souhaitée pour les pôles de laboucle fermée sur la base des spécifications

Vérification du fait que les spécifications ne peuvent pas êtreatteintes par ajustement du gain de la boucle; si elles ne peuventêtre atteintes, considérer un correcteur à avance de phase quiapporte l’angle requis pour obtenir les pôles en boucle ferméesouhaités→ zC et pC

DéterminerkC par la condition sur le module.

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Conception d’un régulateur à avance de phase -Exemple

Position du problème

Système réglé :G(p) = 10p(p+1)

Spécifications : dépassement indiciel inférieur ou égal à 20pourcents et temps de montée inférieur ou égal à 0.6 s.

Conception du correcteur

A partir des relations obtenues pour un système du 2e ordre, onobtient:ζ ≥ 0.5 etωn ≃ 1.8

0.6 = 3 rad/s soit des pôles enp = −1.5± j2.5981 (racines dep2 + 2 0.5 3 p + 32 = p2 + 3p + 9 = 0)

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Conception d’un régulateur à avance de phase - Exemple

Lieu d’Evans pourL(p) = G(p)

Par observation du lieu, on constate l’impossibilité d’obtenir à la foisωn = 3 etun amortissement suffisant.

PourK = 1 la boucle fermée donne:Y(p)R(p) = 10

p2+p+10soit des pôles en

p = −0.5± 3.1225j, soit un facteur d’amortissement égal à 0.16 pourωn = 3.16rad s−1.

Figure:Lieu d’Evans deL(p) = 1/(p(p + 1)) [Ogata, 2010]77 / 105

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Conception d’un régulateur à avance de phase - Exemple

Angle à apporter par le correcteur à avance de phase

Condition sur les arguments pour que le lieu passe par les pôlessouhaités

argG(p)|−1.5±j2.5981+ argD(p)|−1.5±j2.5981 = 180◦(2ℓ + 1)

On en déduit

argD(p)|−1.5±j2.5981 = 180+ 120+ 100.894= 400.894

soit un angle équivalent de 40.894◦

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Conception d’un régulateur à avance de phase - Exemple (2)

Détermination dezC et pC - première méthode

Méthode donnant le rapportzC/pC le plus grand (→ kC grand)Construction géométrique pour la détermination dezC = 1/T etpC = 1/αT [Ogata, 2010]

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Détermination deD(p)

On en déduit:

D(p) = kCp + 1.94p + 4.65

Condition sur le module pour la détermination dekC

|kCp + 1.94p + 4.65

10p(p + 1)

|p=−1.5+j2.60 = 1

soit kC = 1.23

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Lieu d’Evans pour le régulateur conçu [Ogata, 2010]

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Détermination dezC et pC - deuxième méthode

Compensation du pôle en−1 du système par le zérozC ducorrecteur

pC = 3 pour vérifier la condition sur l’ argument deL(p)

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Détermination deD(p)

Par la condition sur le module deL(p) :

kC = |p(p + 3)10

|p=−1.5+j2.60 = 0.9

D’où

D(p) = 0.9p + 1p + 3

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Comparaison entre les deux méthodes

kC plus grand par la méthode 1→ temps de montée plus petit,dépassement indiciel plus grand et erreur statique vis-à-vis d’uneconsigne en rampe plus petite

Pour la première méthode:Kv = limp→0 pD(p)G(p) = 5.139

Pour la deuxième méthode:Kv = limp→0 pD(p)G(p) = 3

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Réponses indicielles pour les régulateurs conçus [Ogata, 2010]

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Réponses à une rampe pour les régulateurs conçus [Ogata, 2010]

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Conception d’un régulateur à retard de phase (1)

Rappel de l’objectif

Le système possède une réponse transitoire offrant lescaractéristiques requises, mais des propriétés non satisfaisantes àl’état d’équilibre.

Besoin d’augmenter le gain de la boucle ouverte sans modifierdefaçon significative les caractéristiques de la réponse transitoire→ pas de modification significative du lieu d’Evans au voisinagedes pôles dominants.

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Approche

Concevoir un correcteur dont la contribution angulaire estfaible(<5◦ par exemple) dans le voisinage des pôles dominants

Placer le pôle et le zéro du correcteur proches l’un de l’autre etproches de l’origine du plan complexeJustification: soitp1 un des pôles dominants

Condition sur le module deD(p): |D(p1)| = |kCp1+zC

p1+pC| ≃ kC

kC sera choisi proche de 1 pour ne pas affecter significativementla réponse transitoireAugmentation du gain statique :D(0) = zC/pC

Condition sur l’argument deD(p): −5◦ < arg p1+zC

p1+pC< 0◦

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Marche à suivre

Tracer le lieu d’Evans deG(p) et localiser les pôles dominants sur la base desspécifications

Evaluer la constante d’erreur statique d’intérêt pour le problème et déterminerle facteur par lequel il faut augmenter cette constante pourvérifier lesspécifications

DéterminerzC et pC pour atteindre le gain statique du correcteur requis sansmodifier de façon significative le lieu d’Evans

Tracer le lieu d’Evans obtenu avec le correcteur et ajuster le gainkC au besoin

Note

La présence d’un pôle lent en boucle fermée dû au correcteur àretardde phase peut induire un transitoire lent, particulièrement dans laréponse à une perturbation (→ zC pas trop proche de zéro)

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Conception d’un régulateur à retard de phase - Exemple

Enoncé

Soit le système réglé décrit parG(p) = 1.06p(p+1)(p+2) . Placé dans une boucle à

rétroaction unitaire avec un régulateur proportionnel de gain kP = 1, la bouclefermée donne une réponse transitoire satisfaisante, mais la constante d’erreur devitesse est trop faible (Kv = 0.53s−1). On souhaite obtenir une réponse transitoiresimilaire, mais avec une constante d’erreur de vitesseKv = 5s−1.

Solution

La fonction de transfert de la boucle fermée est:

Y(p)

R(p)=

1.06(p + 0.3307− j0.5864)(p + 0.3307+ j0.5864)(p + 2.3386)

Pôles dominants:p1,2 = −0.3307± j0.5864Amortissement:ζ = 0.491 etωn = 0.673s−1

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Conception d’un régulateur à retard de phase - Exemple(suite)

Solution

Comme la constante d’erreur de vitesse doit être multipliéed’un facteur 10environ, on choisit un rapportzC/pC = 10. On choisitpC = 0.005 etzC = 0.05(beaucoup plus proches de l’origine que les pôles dominants). Contributionangulaire au voisinage d’un pôle dominant:

arg(p1 + 0.05) − arg(p1 + 0.005) = −3.47◦

Boucle ouverte du correcteur en cascade avec le système réglé

D(p)G(p) =kC(p + 0.05)1.06

p(p + 0.005)(p + 1)(p + 2)

Gain d’Evans:K = 1.06kC

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Figure:(a) Lieux d’Evans du système avec (L(p) = p+0.05p(p+0.005)(p+1)(p+2) ) et

sans (L(p) = 1p(p+1)(p+2) ) correcteur, (b) Détail du cas avec correcteur dans

le voisinage de l’origine [Ogata, 2010]

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Solution

Si l’on conserve le même amortissement pour les pôles dominants, ceux-cideviennent:

p1,2 = −0.31± j0.55

(correspond àp2 + 0.6200p + 0.3986 et doncζ = 0.491).

Valeur deK correspondante:

K = |p(p + 0.005)(p + 1)(p + 2)p + 0.05

|p=−0.31+j0.55 = 1.024

Soit kC = K/1.06 = 0.966

CorrecteurD(p) = 0.966 p+0.05p+0.005

Constante d’erreur de vitesse:Kv = limp→0 pD(p)G(p) = 5.12s−1

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Solution

Autres pôles de la boucle fermée:p3 = −2.326 éloigné de l’axe imaginaire par rapport aux pôles complexesconjuguésp4 = −0.0549 proche du zéro en−0.05 induit transitoire lent mais de faibleamplitude

Figure:Réponse en boucle fermée du système avec et sans correcteur àretard de phase pour une consigne en rampe [Ogata, 2010] 94 / 105

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Figure:Réponse en boucle fermée du système avec et sans correcteur àretard de phase pour une consigne de la forme d’un échelon unitaire [Ogata,2010]

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Correcteur à avance et à retard de phase

”Lead-lag compensator”

Mise en série d’un compensateur à avance de phase et d’uncompensateur à retard de phase

Utilisé lorsqu’on doit à la fois améliorer la réponse transitoire etla précision du système à l’équilibre

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Présence de modes oscillants peu amortis dans le système

Stabilisation par le gain (gain stabilization)

Par ajout d’un correcteur à retard de phase (du premier ou deuxième ordre),possibilité de diminuer le gain suffisamment aux hautes fréquences et enparticulier à la fréquence de ce mode oscillant.

Inconvénient: peut mener à une réponse trop lente

Stabilisation par la phase (phase stabilization)

Ajout d’un correcteur ”notch” dans le régulateur

Dnotch(p) =p2 + 2ζω0p + ω2

0

(p + ω0)2

Choisirω0 de sorte que les branches du lieu quittent les pôles oscillants en sedéplaçant vers la gauche

Méthode plus sensible que la précédente aux incertitudes ouaux changementsde la pulsation propre du mode oscillant

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Effet d’une erreur sur le gain du système réglé - Marge degain

Définition

Marge de gain: facteur maximum et/ou minimum par lequel on peutmodifier le gain du système réglé ( ou de la boucle ouverte) sansperdre la stabilité de la boucle fermée (marge de gain souventexprimée en dB)

Contexte (cf figure au ”slide” suivant)

RégulatzeurD(p) conçu sur la base du modèle nominal (obtenupourg = 1)

Quelle est la valeur la plus grande (et/ou la plus petite) deg pourlaquelle la boucle fermée reste stable ?

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Effet d’une erreur sur le gain du système réglé - Marge degain

+

-

Figure:Boucle fermée incluant un système réglé de gain incertain

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Détermination de la marge de gain par le lieu d’Evans -Exemple

+

-

Figure:Système réglé avec gain incertain; boucle fermée avec régulateurproportionnelD(p) = kP

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Tracé du lieu basé sur la factorisation suivante:K = kP,L(p) = 1

p(p+1)(p+2)

Spécifications : facteur d’amortissementζ = 0.5 pour les pôlesdominants de la boucle fermée

A partir des spécifications et du tracé du lieu d’Evans, il vientkP = K = 1.0383 ( cf ”slide” suivant)

Valeur maximale deK avant de perdre la stabilité:K = 6

Marge de gain:MG = 20 log10 6/1.0383= 15.27dB

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Récapitulation

Le lieu d’Evans représente l’évolution des pôles de la boucle fermée enfonction d’un paramètre apparaissant de manière linéaire dans les coefficientsde l’équation caractéristique (a(p) + Kb(p) = 0 avecL(p) = b(p)/a(p))

La condition sur les arguments est à la base des règles pour letracé du lieu.Lieu positif

m∑

i=1

φi −n

∑

i=1

θi = ±180◦(2ℓ − 1)

Lieu négatifm

∑

i=1

φi −n

∑

i=1

θi = ℓ360◦

La condition sur le module permet de déterminer la valeur absolue du gaind’EvansK pour un point du lieup0

K = 1/|L(p0)|

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Récapitulation (suite)

Correcteur à avance de phase

D(p) = kCp + zC

p + pCzC < pC

Approche un correcteur PD. Permet de déplacer le lieu vers lagauche et donc d’accélérer la réponse transitoire et/oud’améliorer le facteur d’amortissement des pôles dominants.Correcteur à retard de phase

D(p) = kCp + zC

p + pCzC > pC

Approche un régulateur PI. Permet de diminuer l’erreur statiquesans modifier de façon significative le temps de montée, enaugmentant le gain aux basses fréquences.

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