RPNE000087B

MECANIQUE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES

GMC MASTER

Version 2011-2012 Cours

Auteur de la ressource pdagogique : BRUNET Michel

DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE CONCEPTION

MASTER GENIE MECANIQUE

Laboratoire de Mcanique des Contacts et des Structures (LaMCoS)

UMR INSA-CNRS 5259

Equipe Mcanique des Solides et des Endommagements (MSE)

MECANIQUE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES

CH-1 Mouvement et Lois de conservation CH-2 Contraintes et Dformations CH-3 Lois de comportement CH-4 Thermodynamique et Hyperlasticit CH-5 Plasticit et Endommagement CH-6 Formulations non-locales Annexe M. BRUNET

EDITION 2011-2012

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

MECANIQUE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES SOMMAIRE

Sommaire

1 MOUVEMENT ET LOIS DE CONSERVATION 6 1.1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT 6

1.1.1 Formulations dEuler et de Lagrange ......................................................... 6 1.1.2 Le tenseur gradient F ................................................................................. 7

1.2 LOI DE CONSERVATION EN GENERAL 9 1.2.1 Quest-ce quune loi de conservation ......................................................... 9 1.2.2 Le vecteur flux .......................................................................................... 10 1.2.3 Forme locale de la loi de conservation ..................................................... 12

1.3 MILIEUX CONTINUS CLASSIQUES 15 1.3.1 La loi de conservation de la masse .......................................................... 15 1.3.2 Loi fondamentale de la dynamique .......................................................... 16 1.3.3 Premier principe de la thermodynamique ................................................ 17 1.3.4 Synthse .................................................................................................. 19

1.4 PUISSANCES VIRTUELLES 19 1.4.1 Thorme des puissances virtuelles : ...................................................... 19 1.4.2 Remarques sur les puissances virtuelles : ............................................... 20

2 CONTRAINTES ET DEFORMATIONS 21 2.1 DESCRIPTION DES CONTRAINTES 21

2.1.1 Flux de contraintes ................................................................................... 21 2.1.2 Les tenseurs des contraintes ................................................................... 23 2.1.3 Exemple : Contraintes et dformation homogne triaxiale....................... 25 2.1.4 Conditions aux limites .............................................................................. 25

2.2 DESCRIPTION DES DEFORMATIONS 26 2.2.1 Les tenseurs de dformation .................................................................... 26 2.2.2 Dcomposition polaire .............................................................................. 30 2.2.3 Les mesures de dformation .................................................................... 33 2.2.4 Exemples et remarques ........................................................................... 34 2.2.5 Petites perturbations (linarisation) ......................................................... 37 2.2.6 Coordonnes matrielles ......................................................................... 38

2.3 VITESSES DE DEFORMATIONS 46 2.3.1 Tenseur taux de dformation et taux de rotation ..................................... 46 2.3.2 Description lagrangienne ractualise ..................................................... 48 2.3.3 Dualits contraintes-dformations ............................................................ 50

2.4 LES FORMES DE RESOLUTION 51 2.4.1 Forme incrmentale Lagrangienne Totale ............................................... 51 2.4.2 Forme incrmentale Lagrangienne Ractualise .................................... 54 2.4.3 Forme en vitesse Lagrangienne Ractualise ......................................... 55 2.4.4 Forme Eulrienne ..................................................................................... 56 2.4.5 Rsolution dynamique explicite ................................................................ 58


3 LOIS DE COMPORTEMENT 60 3.1 THEORIE GENERALE 60

3.1.1 Forme gnrale ........................................................................................ 60 3.1.2 Liaisons internes ...................................................................................... 62 3.1.3 Objectivit ................................................................................................ 62 3.1.4 Matriaux lastiques ................................................................................ 64

3.2 ISOTROPIE et ANISOTROPIE 65 3.2.1 Matriaux isotropes .................................................................................. 65 3.2.2 Solides anisotropes .................................................................................. 66 3.2.3 Fonctions isotropes .................................................................................. 67 3.2.4 Matriau lastique isotrope ...................................................................... 68

3.3 GENERALITES sur les MILIEUX VISQUEUX 69 3.3.1 Forme gnrale du modle de Kelvin-Voigt viscolastique ..................... 69 3.3.2 Exemple de fluides visqueux et plastiques ........................................ 70

3.4 LOIS DIFFERENTIELLES 72 3.4.1 Drives convectives ............................................................................... 73 3.4.2 Drive de Jaumann et rfrentiel corotationnel ..................................... 75 3.4.3 Lois de type taux ...................................................................................... 78 3.4.4 Hypolasticit ........................................................................................... 79 3.4.5 Viscolasticit .......................................................................................... 80

3.5 FLUIDES VISQUEUX NON-NEWTONIENS (Exemples) 86 3.5.1 Contraintes viscomtriques ...................................................................... 87 3.5.2 Ecoulement dans un canal ....................................................................... 90 3.5.3 Ecoulements de Poiseuille et de Couette ................................................ 93 3.5.4 Ecoulements viscomtriques ................................................................... 96

4 THERMODYNAMIQUE ET HYPERELASTICITE 97 4.1 LA THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS 97

4.1.1 Rappel du premier principe ...................................................................... 97 4.1.2 Deuxime principe, ingalit de Clausius-Duheim ................................... 98 4.1.3 Bilans nergtiques ................................................................................ 100

4.2 LHYPERELASTICITE 101 4.2.1 Loi de comportement gnrale .............................................................. 101 4.2.2 Matriau isotrope ................................................................................... 102 4.2.3 Sparation Dilatation - Distorsion ........................................................... 104 4.2.4 Matriaux hyperlastiques anisotropes .................................................. 105 4.2.5 Exemples hyperlastiques ..................................................................... 106

4.3 THERMODYNAMIQUE RATIONNELLE 117 4.3.1 Application l'hyperlasticit ................................................................. 117 4.3.2 Cas du matriau viscolastique de Kelvin-Voigt .................................... 118

4.4 THERMODYNAMIQUE DES PROCESSUS IRREVERSIBLES LINEAIRES 119 4.4.1 Potentiels de dissipation ........................................................................ 119 4.4.2 Matriaux hyperlastiques avec la TPI .................................................. 120 4.4.3 Cas des matriaux viscolastique de Kelvin-Voigt en TPI ..................... 122 4.4.4 Milieux avec variables internes scalaires ............................................... 124 4.4.5 Configuration intermdiaire .................................................................... 125

4.5 THERMODYNAMIQUE DES PROCESSUS IRREVERSIBLES NON-LINEAIRES 127

4.5.1 Potentiel de dissipation .......................................................................... 127


4.5.2 Principe du travail maximal .................................................................... 129

5 PLASTICITE ET ENDOMMAGEMENT 133 5.1 FORMULATION GENERALE 133

5.1.1 Taux de dformation plastique ............................................................... 133 5.1.2 Formulation en vitesse de contrainte ..................................................... 134 5.1.3 Matrice lasto-plastique continue ........................................................... 136 5.1.4 Intgration lasto-plastique implicite ...................................................... 138 5.1.5 Ecrouissage isotrope, cinmatique et anisotropie .................................. 141 5.1.6 Chargement radial et loi intgre ........................................................... 146

5.2 PLASTICITE SEULE 149 5.2.1 Formules de Prandt-Reuss .................................................................... 149 5.2.2 Exemples ............................................................................................... 152 5.2.3 Striction diffuse et striction localise ...................................................... 156

5.3 ENDOMMAGEMENT DUCTILE 159 5.3.1 Modles dcoupls ................................................................................ 159 5.3.2 Modle thermodynamique coupl .......................................................... 161 5.3.3 Modles poreux coupls ........................................................................ 165 5.3.4 Endommagement des plaques composites ........................................... 168

6 FORMULATIONS NON-LOCALES 174 6.1 LE PHENOMENE DE LOCALISATION 174

6.1.1 La localisation ........................................................................................ 174 6.1.2 Les mthodes de rgularisation ............................................................. 175

6.2 METHODES NON-LOCALES 178 6.2.1 Formulation intgrale ............................................................................. 178 6.2.2 Formulation gradient explicite ............................................................. 179 6.2.3 Formulation gradient implicite ............................................................. 180

6.3 ELASTO-PLASTICITE AVEC ENDOMMAGEMENT NON-LOCAL 180 6.3.1 La variable dendommagement non-locale ............................................ 180 6.3.2 Implmentation de la mthode implicite ................................................. 181 6.3.3 Exemple numrique ............................................................................... 183

ANNEXE 188 Exemple du codage en FORTRAN de 2 routines UMAT pour ABAQUS 189 Exemple 2 : UMAT en intgration lasto-plastique explicite avec correction 198

MECANIQUE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES 1 MOUVEMENT ET LOIS DE CONSERVATION

[M. BRUNET], [2011], INSA de Lyon, tous droits rservs. 6

1 MOUVEMENT ET LOIS DE CONSERVATION

1.1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT

1.1.1 Formulations dEuler et de Lagrange Il y a deux possibilits de reprage dune particule :

Description eulrienne : la particule est repre par sa position x linstant t Description lagrangienne : elle est repre par sa position 0, ou plus gnralement

par une position de rfrence X. Le mouvement sera dfini par la fonction x(X, t) qui donne la position x linstant t de la particule rfrence par X, et dfinit donc la transformation faisant passer de la configuration de rfrence Co la configuration actuelle C (t).

Ces deux configurations seront repres dans deux systmes de coordonnes que nous noterons : XI = (X1, X2, X3) systme de coordonnes matrielles dans la configuration de rfrence initiale Co xi = (x1, x2, x3) systme de coordonnes spatiales dans la configuration actuelle dforme C(t) Ces deux systmes seront supposs cartsiens orthonorms et on leur appliquera les conventions de notation habituelles (sommation, drivation).

Remarque 1 : Dans les applications il est souvent commode de reprer Co et C(t) dans le mme systme de coordonnes, cest--dire didentifier ie

et IE

. Cependant pour le dveloppement de la thorie, il est prfrable de conserver cette distinction.

Remarque 2 : Les coordonnes matrielles XI dfinissent un systme cartsien

orthonorm sur la configuration de rfrence Co, mais elles dfinissent aussi un systme de coordonnes curvilignes sur la configuration actuelle C(t).

x3

x2

x1

3e

2e

1e

C(t)

xd

X3

X2

X1

3E

2E

1E

Xd

Co



1.1.2 Le tenseur gradient F Pour caractriser la dformation, on tudie la transformation dun vecteur matriel :

dX dx

La transformation scrit : xi = xi (XI, t)

En diffrentiant on a : dxxX

dXii

jj=

De mme on a : dXI =Xx

dxIj

j

On dfinit alors le tenseur gradient F tel que :

(1)

=dx F dX ou : dxi = FiJ dXJ avec FiJ =

xX

i

J

On a alors : =dX dx F 1

ou : dXI = FIj-1 dxj avec FIj-1 = Xx

I

j

F, application linaire tangente, permet de caractriser les diverses transformations. Si comme nous lavons voqu plus haut, on utilise le mme repre dans la configuration actuelle et la configuration de rfrence, il sera commode dintroduire le vecteur dplacement. (2) xi (X, t) = Xi + ui (X, t) Le tenseur gradient sera alors :

(3) Fij = ij +

uX

i

j ij: symbole de Kronecker ij = 1 si i = j

= 0 si i j Transformation de llment de volume On considre un lment de volume dvo de la configuration de rfrence Co, qui se transforme en un lment dv de la configuration actuelle. On dmontre que : Le Jacobien de la transformation est :

(4) J = ( )

( ) Xx det Fdet

X,X,X Dx,x,x D

321

321

==

et la transformation dun lment de volume scrit : (5) dv = J dvo



+

rptsindicesdeuxsideimpairenpermutatiokjisi

denpermutatiokjisi

01) 2 (3 3) 1 (2 2) 3 (1 3 ,2 ,1 , , 1

2) 1 (3 1) 3 (2 3) 2 (1 3 ,2 ,1 , , , 1

Transformation de llment de surface On considre de la mme faon la transformation dun lment de surface dSo de Co en un lment de surface dS de C(t).

Si N

et n sont les vecteurs unitaires normaux aux surfaces So et S respectivement, on peut dmontrer la formule de Nanson :

(6) o F-1T est la transpose de linverse de F.

Dem. : on a

= n x dS dx soit pour la ime composante, ni dS = ijk dxj xk avec ijk symboles de permutation, ijk = Or on a : dxj = FjL dXL xk = FkM XM Donc : ni dS = ijk FjL FkM dXL XM FiP ni dS = ijk FiP FjL FkM dXL XM

ou encore : FT nds = J N DSo

Exemple : dformation homogne triaxiale du cube unitaire :

=n NT o dS JF dS1

X

Xd

dSo

N

x

xd

dS n

X2

X1

X3

odSN

1

1

1

2

3

1

x2

x3

x1

dSn

= PLM det F dXL XM = J NP Dso



Les quations de la transformation sont : x1 = 1 X1 x2 = 2 X2 x3 = 3 X3

le tenseur gradient est : F =

12

3

0 00 00 0

et J = det F = 1 2 3

Transformation de llment de volume :

dvdv dv J dv

oo

==

=1

31 2

Transformation de llment de surface perpendiculaire X3 :

1

0

0

dSn dS

1dS21

21

o

=

=

=

et J F-1t

=

=

1

0

0

1

0

0

/1 0 0

0/1 0

0 0 /1

dS N 21

3

2

1

321o

On vrifie donc bien les galits (5) et (6).

1.2 LOI DE CONSERVATION EN GENERAL

1.2.1 Quest-ce quune loi de conservation Dune manire gnrale, les lois de la physique expriment un bilan dune quantit A. (7) Le premier terme correspond au taux de variation de la quantit de A contenue dans le domaine matriel D, cette variation provenant dune part des changes avec lextrieur travers la frontire D du domaine D (densit surfacique ), dautre part de la production interne de la quantit A dans le domaine D, dsigne B. Ainsi A pourra tre la masse volumique, la quantit de mouvement, le moment cintique, l'nergie totale.

=A ; VA

= ; VMOA

= . ; )21( 2VeA += ..

Il est ncessaire de prciser le domaine D considr, et son volution au cours du temps. Cette loi de conservation prend deux formes quivalentes, selon que lon utilise une description eulrienne ou lagrangienne.

+= D DD Bdv dS Adv dtd



ddt

At

A V nD D D

Adv dv dS= +

.

Forme Eulrienne

(8) Bdv dS Adv dtd

D DD += On a affaire ici une drive particulaire dune intgrale de volume, et le domaine considr est un domaine matriel D(t).

Remarque : Drive matrielle ( )[ ]txi

xif

tf t ,x f

dtd

+

=

Forme Lagrangienne

(9) +=

oD oDo oo o

oDo o dvB dS dvA t

Car en variables lagrangiennes la drive matrielle concide avec la drive partielle.

( )[ ] constante X car tf t ,X f

dtd

=

=

Exemple : loi de conservation de la masse Nous noterons les masses volumiques dans les configurations actuelles et de rfrence, respectivement par et o : dm = dv = o dvo Forme eulrienne (10) constante M

dtdM 0dv

dtd

D===

en effet : = 0 car on a une paroi matrielle impermable B = 0 par conservation Forme lagrangienne (11)

t

o oDo dv = 0

1.2.2 Le vecteur flux Pour pourvoir utiliser la loi de conservation gnrale (7), on explicite en mathmatique la drive particulaire dune intgrale de volume qui est gale :

(12)



Lgalit prcdente exprime que la variation de lintgrale provient dune part de la variation de la quantit intgre et dautre part de la variation du domaine dintgration o on considre que le domaine continu se dplace la vitesse V

entre les instants t et t + dt. On peut dautre part dmontrer en mathmatiques le thorme suivant, sur la transformation dintgrales : si est une fonction continue et drive continue dans D, et si D admet un plan tangent continu par morceaux, alors on a :

(13)

ou

x

dSi

iDD dv n =

Ces deux rsultats vont permettre de transformer en intgrales de volume tous les termes de la loi de conservation eulrienne (8). Pour cela on fait une hypothse analogue au postulat de Cauchy, savoir que la densit surfacique ne dpend du domaine D que par la normale extrieure en M D.

= (M, n

) Dans ce cas, on dmontre qu'il existe donc un vecteur flux associer la loi de conservation tel que :

(14)

=

n,M n - M,

Il existe alors un vecteur flux a (exemple du vecteur contrainte) associ la loi de conservation tel que

(15) ( ) .n n

= a n = ai i La formule eulrienne (8) se rduit donc :

(16)

DD

Bdv + dS na = Adv dtd

La forme lagrangienne (9) de la loi de conservation peut se traiter de la mme manire en introduisant un vecteur flux lagrangien a o

.

o = a No

ooD

oooD

o ooD

o dv B + dS N.a dvA t

=

D D grad n

= dv dS

n

D M

D



Les deux formes eulrienne et lagrangienne sont deux critures de la mme ralit

physique et les quantits Ao, ao

, et Bo sont relies aux quantits A, a

et B par les relations suivantes : Adv = Ao dvo Ao = A J Bdv = Bo dvo Bo = B J

dS = dS = ao o o

.NdSo

or dS = dS n.a

a F J = a 1-o

= o1T- dS N F J.a

= J F N-1 o a dS

. En rsum, on a donc :

(17)

=

=

=

a F J a

J B B

J A A

1o

o

o

1.2.3 Forme locale de la loi de conservation On a la drive particulaire d'une intgrale de volume (q.(12)) :

ddt t

nD

Adv = A dv + A V dSD D

.

En utilisant le thorme de la divergence, on a :

dv ),V(A = dv )V(A div = dS n.V A iD i D D

( ),i signifiant ( ) / xi Dautre part la loi de conservation sexprime par :

DDD Bdv + dS = Adv dtd

en utilisant le vecteur flux a

:

dS = = a dS = a D i i iD

a n dS n dviD D. ,



en galant les deux expressions on a :

DD iiD iiDBdv + dv,a = dv ),V(A + dv

tA

0 = dv B - ,a - ),V(A +

tA

iiii

Cette quation tant vrifie, quel que soit le domaine D considr, on obtient la forme locale Eulrienne :

(18) 0 = B- ,a - ),V(A + tA

iiii

De mme la forme locale Lagrangienne est :

(19) 0 = B - a - t

AoII,o

o

Les deux formes prcdentes expriment la mme ralit physique et sont donc strictement quivalentes. Mais on peut aussi le dmontrer directement partir des quations (17).

Dmonstration : 0 = B - a - t

AoII,o

o

Avec les q.(17) dans (19) on doit avoir :

BJ + ),a (JF = t

)AJ(ki

1ki

AJA0 = i

-1Ki0 aJFa K =

ce qui revient vrifier cette relation. Dans la suite de la dmonstration on utilisera les formules sur le dterminant dune matrice, dans l'espace 3 dimensions

nQmPJPQimn Ji1 F F

Fdt 21 = )F(

FiK (F-1)Kj = ij Avant dexpliciter le calcul nous allons tablir la formule gnrale : (20) d(dt A) = dt A tr(dA A-1) tr ( ) = trace de ( ) qui nous servira plus loin. Tr (A) = Aij ij = Aii = A11 + A22 + A33



Dmonstration : dt A = 16

A A Ai jk mpq im jp kq

d(dt A) = 12

1

A A dAijk-1

mpq

k

im jp kq

d t A A

= dt A tr (dA A-1) lapplication de cette formule J = dt F donne :

=

Vdiv JJV =

x

Xtx J = F

tF tr J =

tJ

ii,i

KX

K

i2

1-

de mme : 1-MjK jM,K

K F JF = XJ = ,J

Pour calculer ( )FKi K1 , on se sert de : FKi

1 F = iM KM

( ) F F = 0-1 iMKi K, ( ) F F = - F F-1 iM Kj-1 jM,KKi K, On a donc : ( ) ( )J FKi K K-1 K Ki-1 Ki-1 = J, F + J F, , = 0 = FF FJ - F F F J 1Kj

-1MiKjM,

-1Ki

-1MjKjM,

Puisque : Fx

XjM K

j

M, =

X = F

2

KjK,M

On obtient donc partir de la forme locale lagrangienne, en transformant la drive

lagrangienne t

en drive eulrienne ddt

: avec dt

d(AJ) t

Ao =

soit :

BJ a )JF( a F J tJ A

dtdA J i

O

K,1

KiK,i1

Ki ++=

+

BJ Ja BJ xa J BJ

Xa J

xX V JA +

dtdA J i,i

i

i

K

i

i

KKK, +=+

=+

=

0 B a )V A(

tA i,ii,i =+

on retrouve bien (18)

car : Vi A, tA

dtdA

i+

=



1.3 MILIEUX CONTINUS CLASSIQUES A partir de la loi de conservation :

+= D SD dv B dS dv A dt

d

On va suivre pour chaque grandeur physique le plan prcdent :

1. construction dun vecteur flux = a n. (exemple vecteur contrainte)

2. forme locale Il faudrait rajouter galement les quations aux discontinuits mais elles ne seront pas prsentes dans ce polycopi au nombre de pages limites.

1.3.1 La loi de conservation de la masse La loi de la conservation de la masse se traduit par :

(21) dmdt

= 0

Cette loi est une loi universelle au moins dans le cadre de la mcanique classique (non relativiste). La seule hypothse sous-jacente cette criture concerne lhomognit du matriau (un constituant unique). m est la masse dun domaine matriel, soit : m = dv dv

D D =

On a donc : A = et , a

et B nuls.

forme locale (22)

t

div + = = +

( ),V ddt

Vi i 0 (Euler)

(23)

t = 0 (Lagrange)

Cas particuliers des milieux incompressibles : = = cte dv = dv = Jdv J = dt F = 1

Forme locale div V

= 0 Lquation de conservation de la masse permet dcrire la forme locale Eulrienne dune loi de conservation sous la forme :

(24) i,ia B A

dtd +=

Dmonstration :

A ddt

A dAdt

ddt

=

1 12

= dAdt

ddt

A 1

= dAdt

V A div +

= i i,iii V i A, V div A B a ),V A( ++++

= B a i,i +



1.3.2 Loi fondamentale de la dynamique

La loi fondamentale de la dynamique sexprime par : [ ] [ ]ddt C Fext= [ ]C torseur cintique [ ]Fext torseur des efforts extrieurs et elle conduit deux lois de conservation vectorielle (rsultante et moment).Pour expliciter ces lois il faut prciser la schmatisation des efforts extrieurs. Nous supposons que ceux-ci se dcomposent en :

effort distance caractris par une densit massique f (en gnral la pesanteur f g

= )

effort de contact schmatis par T

: Postulat de Cauchy

a. les efforts exercs sur une partie D dun milieu continu par le complmentaire de D peuvent tre schmatiss par une rpartition surfacique de forces.

b. cette densit surfacique ne dpend du domaine considr que par sa normale extrieure.

T T M n

= ( , ) Cette schmatisation des efforts extrieurs conduit la mcanique des milieux continus classique mais dautres schmatisations sont possibles.

En particulier on peut introduire, en plus des densits de forces massique f

et surfaciques

T

, des densits de couple (matriaux avec des couples de contraintes).

Remarque : nous ne nous interessons ici qu la forme eulrienne de la loi fondamentale. La forme lagrangienne sera envisage plus loin (chapitre 2.1.1.). Compte-tenu de ces hypothses nous explicitons A, et B :

Conservation de la quantit de mouvement :

ddt

dS fD S D

V dv T dv

= +

Le flux associ au vecteur contrainte T

est le tenseur classique des contraintes ij :

Ti = ij nj ou

= n T tenseur des contraintes de Cauchy

M ds

D ds T

n



On obtient alors directement :

forme locale si on note i idVdt

= lacclration

(25) i = fi + ij,j (daprs (24)) Conservation du moment cintique (moment par rapport 0)

(26) dv f OM dS T OM dv V OM dtd

D D S

+=

Pour le moment cintique on a donc : A = ijk xj Vk = ijk xj TK = al nl al = ijk xj kl B = ijk xj fK Compte-tenu de l'quation du mouvement, la forme locale de cette quation donne la symtrie du tenseur des contraintes : ij = ji. Dmonstration :

ii,a B A

dtd +=

devient ici :

ddt

(ijk xj Vk) = (ijk xj kl),l + ijk xj fk

ijk Vj Vk + ijk xj k = ijk jl kl + ijk xj kl,l + ijk xj fk Le premier terme disparat car ijk est antisymtrique en j et k. La forme locale de lquation de conservation de la quantit de mouvement est donc: k = fk + kl,l do ijk xj k = ijk xj fk + ijk xj kl,l Il reste donc : ijk jl kl = 0 soit ij = ji

1.3.3 Premier principe de la thermodynamique Le premier principe de la thermodynamique, ou loi de conservation de lnergie, exprime que la variation de lnergie totale (nergie interne + nergie cintique) est gale la somme de la puissance des efforts extrieurs dveloppe sur le systme et de la quantit de chaleur apporte au systme par unit de temps :

(27) [ ] Q P KE dtd ext

+=+



Pour dterminer la forme locale, on va exprimer chacun des termes de lquation prcdente :

Energie cintique (28) K D

= V dv12

2

Lnergie interne E est une fonction extensive (lnergie interne de lensemble de deux systmes est la somme des nergies internes de chacun des systmes). On peut donc crire : (29) E

D = edv

o e est lnergie interne spcifique ou nergie interne par unit de masse. Puissance des efforts extrieurs P(ext)

(30)

dS V T dv V f P S ii D ii

)ext( += On suppose que les changes de chaleur sont de deux types : surfaciques (conduction) et volumiques (apport de chaleur de lextrieur dans le systme : rayonnement ...), La quantit taux de chaleur Q sera donc crite sous la forme : (rayonnement + conduction)

(31) hdS rdv Q S D +=

r est une donne du problme par unit de temps. Le premier principe (27) scrit donc :

dS )h V T( dv )r v f( dv V 21 e

dtd

S iiii D2

D+++=

+

Ce qui est bien une loi de conservation telle que dfinie auparavant avec :

A e = +

V 12

2

= Ti Vi + h B = (fi Vi + r) On a : = Ti Vi + h = ij nj Vj + h = aj nj h = (-ij Vj + aj)nj = -qj nj

(32) h q n=

. o q est le vecteur flux de chaleur caractrisant les changes de chaleur par conduction. On a donc : aj = ij Vj - qj La forme locale de lquation de conservation de lnergie est alors : e( + Vi i) = (fi Vi + r) + (ij Vi - qj),j e + ( i - ij,j - fi) Vi = r + ij Vi,j - qj,j Or, on sait daprs la forme locale de la loi de conservation de la quantit de mouvement (25), que : i = ij,j + fi Il reste donc finalement (33) e = r + ij Vi,j - qj,j



1.3.4 Synthse Les diffrentes lois de conservations, en formulation eulrienne :

=+= n.a avec Bdv dS Adv dtd

DSD

peuvent donc tre rsumes laide du tableau suivant : Conservation de A

a

B

Masse O o o Quantit de mvt Vi Ti ij fi Moment cintique ijK xj Vk ijK xj kl ijk xj kl ijk xj fk Energie

e +

V12

2 Ti Vi + h ij Vj - qj fi Vi + r

1.4 PUISSANCES VIRTUELLES

1.4.1 Thorme des puissances virtuelles : On part de la forme locale de la conservation de la quantit de mouvement : (25) i = ij,j + fi On la multiplie par Vi*, champ de vitesses virtuelles : i Vi* = ij,j Vi* + fi Vi* et lon somme sur le domaine D :

V dv f V dviD i ij jD i i iV = +( ),

dv V dv )V ( dv V j,i D ijj,i D iji D j,ij =

= dv V dS n V j,i D ijji S ij en utilisant le thorme de la divergence

On obtient alors le thorme des puissances virtuelles :

(34) VD i i

dv =

dS V T dv V f iS i D ii

+

dv V _ j,i D ij

(35) P*(acc) = P*(ext) + P*(int)



Dans le champ de vitesses virtuelles, la puissance virtuelle des quantits dacclration est gale la somme de la puissance virtuelle des efforts extrieurs (efforts distance et efforts de contact) et de la puissance virtuelle des efforts intrieurs. Ce thorme est valable pour tout champ de vitesses virtuelles et en prenant le champ de vitesse rel Vi = Vi, on obtient le thorme de lnergie cintique et du fait de la conservation de la masse on peut crire:

dtdK dv V

21

dtd dv )V(

dtd

21 dv V 22

D i i ===

(36) dKdt

ext P P= +( ) (int)

La drive par rapport au temps de lnergie cintique est gale la puissance des efforts extrieurs et intrieurs. En combinant avec le premier principe de la thermodynamique (27) :

(int))ext( P Q dtdE :obtient on ; Q P )K E(

dtd

=+=+

La forme locale associe cette forme redonnerait directement (33).

1.4.2 Remarques sur les puissances virtuelles : Pour tout systme de solides rigides, la loi fondamentale quivaut aux principes des puissances virtuelles (mcanique analytique). Cette dmarche peut stendre la mcanique des milieux continus. En postulant le principe des puissances virtuelles : (35) P*(acc) = P*(ext) + P*(int) pour tout champ de vitesses virtuelles. On peut montrer que lon peut reconstruire lensemble de la MMC partir de cet nonc. Pour construire un cadre dynamique en mcanique analytique, il faut donc :

1. choisir une description cinmatique cest--dire un champ V* de vitesses virtuelles,

2. choisir la forme des diffrentes puissances avec les hypothses suivantes :

a. P(acc) = dKdt pour le mouvement rel

b. P*(ext) = P*(ext distance) + P*(ext de contact)

c. P*(int) = 0 pour le mouvement rigidifiant 3. en dduire les quations du mouvement et les conditions aux limites.

MECANIQUE DES MATERIAUX ET DES STRUCTURES 2 CONTRAINTES ET DEFORMATIONS


2 CONTRAINTES ET DEFORMATIONS

2.1 DESCRIPTION DES CONTRAINTES

2.1.1 Flux de contraintes Ltude des grandes dformations impose la distinction entre grandeurs eulriennes et lagrangiennes. Nous avons vu au chapitre 1 (1.3.2) que lquation de conservation de la quantit de mouvement, en rsultante, prenait deux formes : Ecriture eulrienne

(1)

ddt

V dv dS fi D i D iD T dv = + Ecriture lagrangienne

(2)

ddt

T fo i oD io oD o i oDo o o

V dv dS dv = +

La premire forme traduit la conservation de grandeurs eulriennes (vitesse, contraintes, forces par unit de masse) dans la configuration eulrienne C(t). Donc le tenseur des contraintes = T dfini par Ti = Tijnj est un tenseur eulrien. Nous notons dsormais T le tenseur que nous notions auparavant , ce changement de notation sera justifi au 2.1.4. La seconde forme traduit la conservation de ces mmes grandeurs eulriennes, mais dans la configuration lagrangienne Co. Donc le tenseur (pi) dfini par T Ni

o ij j= est un

tenseur mixte, puisquil lie les composantes, eulriennes par dfinition, du vecteur contrainte, aux composantes lagrangiennes du vecteur unitaire normal dSo.

odf

N

Co

dSo F

df

dS

n

Ct



=

=

odSN fd

dSnT fd (3) T n

T ijNj

i ij j

io

T

=

=

=

=

oji

jiji

dSijN df

dSnT df

T dsigne le tenseur des contraintes de Cauchy. Nous avons vu au ch. 1 que lcriture de la conservation du moment cintique conduisait la symtrie du tenseur Tij = Tji. est le premier tenseur de Piola Kirchoff (PK1) ou tenseur de Boussinesq. Il nest pas symtrique ij ji Exprimons alors la conservation de la quantit de mouvement laide de ces deux tenseurs : Dans Ct lquation (1) nous donne : dv dS nT dvf

D iD j ij D i =+

On en dduit lcriture eulrienne : (4)

Tx

ij

ji i f + =

Dans Co lquation (2) nous donne : =+ oD oioooD ijoioD o dv dS Nj dv f

On en dduit lcriture mixte : (5)

ijj

o i o iX

f + =

Ces deux quations sont deux formes quivalentes de lquation du mouvement. Dans le cas statique ou quasi-statique, lacclration disparat pour redonner les quations dquilibre : (6) T fij j i, + = 0 (7) ij j o if, + = 0 Quant lquation de conservation du moment cintique, qui dans sa version eulrienne conduit, comme nous lavons vu plus haut, la symtrie du tenseur de Cauchy, elle donne sous sa forme lagrangienne :

ddt

dv xoD ijk j k o o ijk j k oD o ijk j kL L oDo o o x x f dv N dS

= + Ecriture nouveau mixte, car on crit en lagrangien la conservation dune quantit eulrienne. La forme locale associe donne simplement : (8) FjL kL kL jL F = ou F T = FT = J T



2.1.2 Les tenseurs des contraintes Nous allons construire, partir du tenseur mixte non symtrique , un tenseur exclusivement lagrangien et symtrique. Pour cela nous introduisons artificiellement un

vecteur df o

, transform de df par le tenseur gradient inverse F-1 : df dfo

= F 1 et

odfF df

=

Le vecteur df o

ainsi construit na aucune signification physique, la notion de force nayant

de sens que sur la configuration dforme. Cependant, cette transposition de df dans Co

prsente lavantage de permettre lcriture dune relation lagrangienne entre df o

et N :

(9) df N dSo o

= S. ou dfoI = SIJNJdSo S est le second tenseur de Piola Kirchoff (PK2), ou tenseur de Piola Lagrange. On introduit dautre part le tenseur eulrien = JT, appel tenseur des contraintes de Kirchoff ; cest un tenseur symtrique qui joue un rle important pour la formulation variationnelle des problmes en grande dformation. Compte-tenu des dfinitions prcdentes et de lexpression de la transformation dun

lment de surface n dS N dST o = JF 1 , on peut lier les quatre tenseurs des contraintes :

df dS n dS n dSo T = = = N J F T 1

= T J 1 FT

df df dS N dSo o o = = = F F N S1 1

= S F 1 donc S et T T= = F J T F T J F S F1 1 1 On obtient en rsum :

(10) = JT = FT = F S FT S = F-1 = F-1 F-1T = JF-1 T F-1T Ces quations montrent que les tenseurs T, et S sont symtriques tandis que ne lest pas. Nous nous retrouvons donc, pour dcrire les contraintes, avec quatre tenseurs , T, et S, chacun ayant ses avantages et ses inconvnients. Nanmoins et S nont pas de signification physique, tandis que T et caractrisent directement les efforts appliqus. Ce sont donc eux qui interviendront dans lcriture des conditions aux limites de type statique, comme on le verra plus loin et dans les exercices.



Exemple : Invariance des contraintes de PK2 dans une rotation de solide rigide Soit entre la configuration initiale Co et la configuration linstant t Ct le gradient de la deformation donn par :

=

5.102.01

Ft et un tat de contrainte vrai de Cauchy par :

=

2000100010000

Tt

et entre les configurations t et t+t uniquement une rotation R de =+60 dfini par la matrice :

=

=

21232321

cossinsin-cos

R

Contraintes de Cauchy et de PK2 t+ t ?

A t et t+ t on a les contraintes de Cauchy T avec :

tdSttt nTdf = et ttdS ++++ = tttttt nTdf or dans la rotation ttt Rdfdf =+

ttt Rnn =+ mais le scalaire element de surface : ttt dSdS =+

do en identifiant on a :

==+ 13701370

1370634RRTT Tttt

Pour PK2 t :

==

1330733733346

FTFFdetS T-tt1-

ttt

Pour PK2 t+ t :

-T

tttt-1

tttttt FTFFdetS +++++ = or dans la rotation :

ttt RFF =+ tttt FdetFdetRdetFdet ==+ T-1t-1 tt RFF =+ -Tt-T tt RFF =+ et comme 1RRRR TT == il vient en reportant :

==+ 1330733

733346SS ttt



2.1.3 Exemple : Contraintes et dformation homogne triaxiale

x X

x X

x X

1 1 1

2 2 2

3 3 3

=

=

=

F =

1

2

3

0 0

0 0

0 0

et J = 1 2 3

T FS

11 11

1 = = dsigne la contrainte vraie ( true stress en anglais) puisque S1 est

la surface en configuration dforme.

111

11 2 3

1 = = =

J F

Sodsigne la contrainte nominale ( engineering stress en

anglais) puisque So est la surface avant dformation. Cest elle que lon mesure simplement dans un essai de traction. Pour PK2 et Kirchhoff :

S J FSo

111

12

1

1

11 1

J

= =

=

Ces deux tenseurs nont pas de signification physique.

2.1.4 Conditions aux limites On utilise pour exprimer les conditions aux limites de type statique, lun ou lautre des tenseurs T ou . Une des difficults majeures en grandes dformations rside en effet dans le fait que les conditions aux limites de type statique font intervenir la manire dont les efforts appliqus varient avec la gomtrie du solide, cest--dire la technologie dapplication des dformations.

X2

X1

X3

1

1

1

2

3

1

x2

x3

x1

So So

So S1

S3

S2

-F1

F1

F



On rencontre trois cas importants : a. Dans le cas dune charge morte, cest--dire lorsque les efforts appliqus sont donns par unit de surface sur la configuration non dforme les conditions aux limites sont alors exprimes sous la forme : (11) Ti

d ij j N= Cest le cas le plus courant et le plus commode tudier, car la configuration de rfrence Co est connue. b. Dans le cas o les efforts sont donns par unit de surface dans la configuration dforme (exemple du formage hydraulique o les efforts sont appliqus par lintermdiaire dun fluide sous pression), les conditions aux limites sont donnes sous la forme : (12) = p Td i ij jn n c. Dans le cas des surfaces libres, on a pd = 0 et 0 Tdi = . On pourra donc indiffremment crire les conditions aux limites avec lun ou lautre des tenseurs T ou . Bien videmment toutes ces difficults disparaissent en petites perturbations. Nous montrerons au paragraphe 2.2.5 que les quatre tenseurs , T, S et concident alors au premier ordre pour redonner le tenseur des contraintes classique , qui est en ralit le tenseur de Cauchy T, mais que nous noterons dans ce cas pour souligner le fait que lon est en petites perturbations.

2.2 DESCRIPTION DES DEFORMATIONS Le tenseur gradient F dcrit le mouvement local du solide. Pour dfinir sa dformation, cest--dire ses changements de forme, il faut, comme en petites perturbations, liminer la rotation. On peut donc : soit dfinir directement les dformations (paragraphe 2.2.1.), soit utiliser une dcomposition permettant disoler la rotation en bloc du solide de la dformation pure (paragraphe 2.2.2.), c'est la dcomposition polaire de F=RU=VR.

2.2.1 Les tenseurs de dformation Pour caractriser les changements de forme, il faut caractriser les variations de longueur et les variations dangle, soit, en fait, les variations de produit scalaire.

ods N Xd

=

N

M

dsn xd =

sm x =

m

n

F

osM X =



On dfinit :

lallongement dans la direction N

et dsds )N(

o=

ds( )N ds

dso

o

=

le glissement dans les directions perpendiculaires M

et N :

=

n,m - 2

N,M

Explicitons le produit scalaire dx x.

partir des vecteurs fibres matrielles dX X

et :

dx x

. = dxi.dxi = (FiJdXJ) (FiK XK) = (FiJFiK) (XK dXJ) = CJK dXJ XK avec CJK = FiJ FiK = Fjit FiK symtrique

Ainsi (13) = XCdX xdx

Avec (14) C = FT F tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit (F droite) la variation du produit scalaire sexprime alors par :

) C( 21 E o XEdX 2 X dX x dx IJIJIJ ==

On dfinit donc le tenseur de Green-Lagrange E par :

(15) E = ( )12

C - 1

C est le tenseur des dilatations, ou tenseur de Cauchy-Green droit. Cest un tenseur lagrangien, symtrique. E est le tenseur des dformations de Green-Lagrange. Si lon introduit le vecteur dplacement u , il vient : xi = XI + uI (XI, t)

Donc : J

iiJ

I

iiJ X

uXxF

+=

=

do:

+

+

= J

K

I

K

I

J

J

IIJ X

uXu

Xu

XuE

21

Cette expression est souvent utilise pour introduire dans une thorie essentiellement linaire quelques lments de non-linarit (thorie des plaques de Von Karman, problme de flambage, par exemple).



De faon tout fait symtrique, on peut expliciter le produit scalaire dX X

en fonction des

vecteurs dx x

et :

( ) ( )dX X X F FI I Ij j Ik k = = dX dx dx. 1 1 = ( ) kj1Ik1iJ x dx F F = B xjk j k

1 dx

Bjk Ij Ik jIT

Ik = =1 1 1 1 1 F F F F B = (F-T F-1)-1 = F FT

Ainsi : (16) dX X dx B x = 1

Avec (17) B = F.FT

Cest le tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche (F est gauche) La variation du produit scalaire sexprime alors :

( )11 2 o 2ij ij ijdx x dX X dx A x A B

= =

On dfinit donc le tenseur A par la relation :

(18) ( )A = B12 1 1 B est le tenseur de Cauchy-Green gauche. Cest un tenseur eulrien, symtrique. A est le tenseur des dformations dAlmansi. On obtient ainsi la relation entre les tenseurs A et E : (19) A = F-1T E F-1 ou E = FT A F

en composantes : KL1

Lj1

Kiij E F F A=

Exprimons alors lallongement et le glissement laide de lun de ces deux tenseurs, par exemple le tenseur de Cauchy Green droit C:

ds = ( )dx dx C dX dX N C N dsIJ I J o

= =

1 21 2

1 2//

/

soit

( ) NCNdsdsN

0

==

(20) 1 N C N ds

ds ds No

o =

=

en particulier dans la direction X1 on a : E1 111 1 2 1

= = + C E 11

car en composantes avec [ ]001 N N T =



cos ( , )dx xdx xds s

=

do pour langle complmentaire :

(21) ( , ) sinM N M

N M C M

=

N Arc C

C N

On peut aussi crire : ( , ) sin( ) ( )

M N M E N

M N

=

+

+

Arc

2

1 1

On a par exemple dans les deux directions X1 et X2 :

++=

=

2211

12

2211

1221 E 2 1 E2 1

E 2 sinArc

C CC

sinArc E ,E

Ainsi les composantes diagonales de E caractrisent les allongements dans la direction des axes, alors que les composantes non diagonales caractrisent les glissements dans les directions des axes dans la configuration initiale.

Exemple : Dformations biaxiales et rotation dun lment :

Soit le gradient de la dformation entre les configurations Co et Ct :

=

5.0005.1

Ft

et une rotation R de +45 entre les configurations t et t+t, on a t :

==

25.00025.2

FFC tTtt et Green-Lagrange [ ]

==375.00

0625.01C

21E tt

et comme dXFdx tt = ttt Rdxdx =+ dXFdx tttt ++ = ttt RFF =+ et

1RRRR TT == on a bien linvariance dans la rotation :

==+ 25.00

025.2CC ttt

==+ 375.000625.0

EE ttt



Remarque : sur la figure llment reste bien rectangle, pas de distorsion dangle droit ici, on dit que lon a un tat de deformation biaxiale (2D)

2.2.2 Dcomposition polaire Thorme de dcomposition polaire : On peut crire de manire unique : (22) F = R U = V R o F est un tenseur gradient de la transformation quelconque rgulier U et V sont deux tenseurs symtriques dfinis positifs R est un torseur orthogonal : R RT = RT R = 1 Et on dfinit : R est le tenseur de rotation U est le tenseur des dformations pures droit V est le tenseur des dformations pures gauche U est un tenseur lagrangien, V est un tenseur eulrien et R est un tenseur mixte. On a :

FiK = RiJUJK = VijRjK Calculons U et V : (23) C = FT F = TU RT R U = UUT

Nous allons montrer que U est le tenseur C1/2, cest--dire le tenseur ayant mmes directions propres que C, et pour valeurs propres les racines positives des valeurs propres de C notes 2i et vecteurs propres associs Ni (i = 1, 2, 3) on notera X' = [N1, N2, N3] la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteurs propres norms : (24) B = F FT = V R RT TV = TVV De mme V est le tenseur B1/2, cest--dire le tenseur ayant les mmes directions propres que B note ni, et pour valeurs propres les racines carres des valeurs propres de B qui sont les mmes que C mais pas les vecteurs propres sauf cas particuliers. Cette construction se gnralise tout tenseur F. Les tenseurs B et C tant symtriques, dfinis et positifs, B et C sont diagonalisables. R sobtient directement en crivant :

R = F U-1 = V-1 F Diagonalilisation de C et de B : De llongation : NNCNN T22T == on a le systme homogne [ ] 0NI-C 2 =



qui aura des solutions non triviales =0 si son dterminant est nul. Les racines de lquation caractristique sont relles car C est symtrique et sont les longations principales au carr, les vecteurs propres associs sont les directions principales dans la configuration initiale. Do :

[ ] [ ] 0][X-XUUN,N,NN,N,NUU 2iT233222211321T == or les vecteurs propres tant norms : IXXXX TT == do :

2Ti

Ti

T UXXXXUU ==

Le tenseur des dformations pures droite est gale :

TTi UXXU ==

De la mme manire ( faire en exercice), avec TFFB = on obtient le systme homogne

0n]I-B[ 2 = , donc les mmes valeurs propres que C mais les vecteurs propres in qui sont les directions principales des longations dans la configuration dforme. En notant la matrice orthogonale ]n,n,[nx 321= on obtient de la mme faon que pour C, le tenseur des dformations pures gauche :

TTi VxxV ==

Avec les vecteurs de la base

=

001

e1

,

=

010

e2

,

=

100

e3

on a la rotation R :

ii eXN = ii exn = iT

i NXxn = ii RNn = do TXxR =

Les directions principales qui se dduisent bien par la rotation R Dautre part : (25) V = R U RT

(26) B = R C RT

Le thorme de dcomposition polaire permet de sparer dans F la dformation pure et la rotation. Rsum : Calcul des lments principaux de C ou B avec i matrice diagonale

T2

i X' X' C = T2

i x' x' B = d'o U = X' i X'T V = x' i X'T x' = RX' F = x' i X'T R = x' X'T



On peut illustrer cette dcomposition par les exemples suivants : Exemple lmentaire de F=RU=VR :

Exemple :

Soit la matrice du gradient de la transformation en 2D: [ ]

=

4/34/54/54/3

F

Le tenseur des longations de Cauchy-Green droit est :

==

34303034

161FFC T

dont les valeurs propres sont les longations principales au carr et les vecteurs propres les directions principales dans la configuration initiale soit :

421 = 412

2 = soit : 21 = 21

2 =

=11

21N1

=11

21N 2

Le tenseur des dformations pures droite U est :

=

1111

21X

==

5335

41XXU Ti

On peut calculer directement la rotation avec -1FUR =

a b

0 2

2 0

dx

b

a

1 0

b

a

a b

0 1

dX

=

0110

R

=

1002

U

=

2 00 1

V



==

5335

41X1XU T

i

1-

do

=

011-0

R rotation de +2

do les directions principales des longations dans la configuration dforme :

==11

21RNn 11

==11

21RNn 22

On obtient la mme chose en partant de Cauchy-Green gauche TFFB = ( vrifier en exercice) Interprtation gomtrique sur un carr homogne :

2ABBABA == CD/2DCDC ==

2.2.3 Les mesures de dformation La dformation totale F se dcompose donc en une rotation R suivie dune dformation pure V, ou en une dformation pure U suivie dune rotation R. Par rapport au systme daxes initial X1X2X3, la dformation pure se traduit par des variations de longueurs (lies aux composantes diagonales de C) et des variations dangles (lies aux composantes non diagonales de C). Cependant, les tenseurs C et U, B et V tant symtriques, on peut les diagonaliser et, dans les repres propres correspondants OX3 X2 X3 et Ox3 x2 x3, les dformations pures ne se traduisent que par des variations de longueurs, sans variations dangles. De la dcomposition polaire de F, on dduit que les dformations seront dcrites par V ou B dans la configuration actuelle, et par U ou C dans la configuration initiale, cest une question de point de vue.



Plus gnralement, pour dcrire les dformations, Hill a propos de dfinir une double famille de mesures :

En configuration Lagrangienne Co En configuration eulrienne Ct

[ ] 0 1 U 1 e

=

[ ] 0 1 V 1 e

=

eo = Log U = C Log 21

eo Log V= = B Log 21

Exemples : Exemples : E1 = U 1 1 V e1 =

e2 = E Green-Lagrange A e 2 = Euler-Almansi

Le tenseur h = B Log 21 V Log eo == , dit tenseur de Henky, ou tenseur des

dformations logarithmiques, joue parfois un rle particulier (plasticit, visco-plasticit). On remarque que lon a, entre ces deux familles, la relation :

(27) TR e R e = pour tout avec Log U = X' Log i X'T et Log V = x' Log i x'T O Log i est la matrice diagonale des Log (npriens) des allongements principaux.

2.2.4 Exemples et remarques

a. Exemple 1 : mouvement de solide rigide :

x X t C t t X

= + = +( , ) ( ) ( ) Q translation rotation en bloc Q est un tenseur orthogonal : Q QT = QT Q = 1

Le tenseur gradient est donc : F = Q = Xx

dou R = Q B = C = 1 U = V = 1 E = A = 0

b. Exemple 2 : dformation triaxiale :

x X

x X

x X

1 1 1

2 2 2

3 3 3

=

=

=

F =

12

3

0 00 00 0

U V F

R

= =

= 1



B = C = 00

0000

23

22

21

Tous les tenseurs seront diagonaux, et la premire composante des principaux tenseurs de

dformation sera : si on note o

1

= allongement principal suivant 1 et ( ) o/o - 1 =

( )

( )

( ) =+==

++=

=

+==

o111

211

212

11

211

211

d 1 log Log h

21 1 1 1

21 A

21 1

21 E

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Allongement

Df

orm

atio

n

Epsilon Green Lagrange Hencky

c. Exemple 3 : glissement simple :

x1 = X1 + (t) X2 x2= X2 x3 = X3 J = 1 car la dformation est isovolume.

X1

X2

A B B'

A'

0 C



+

=

+

=

=

1000101

C et 1000101

B 10001001

F 22

Green-Lagrange : E =

02

0

2 20

0 0 0

2

On remarque, en particulier lexistence dune composante E22 = 22/ , absente en petites dformations, et qui physiquement correspond lallongement du segment OA. Les tenseurs R, U, V et autres mesures se calculent, mais leurs expressions ne sont pas particulirement simples, on pourra le faire en exercice. Les longations principales au carr sont :

[ ] 2/42 2221 +++= [ ] 2/42 2222 ++= 123 = On obtient par exemple aprs quelques calculs, la rotation propre R:

=

+

+

=

1000cossin0sincos

4/100012/02/1

4/11R

22

2tan =

d. Composition des dformations :

Considrons prsent le cas dun solide soumis successivement deux dformations. Par exemple, partant dune configuration de rfrence Co, une tle est lamine, la conduisant dans une configuration C1 partir de laquelle elle est emboutie.

La composition de ces deux dformations conduit une composition multiplicative des tenseurs gradient de dformation : F = F1 F0. Cependant, les rgles de composition pour les autres tenseurs ne sont pas directes.

F

Fo F1

Ct Co

C1



dx1 = Fo dX dxt = F1 dx1 dxt = F dX = F1 Fo dX Mais par exemple :

( ) ( ) 1 FF F F 21 1 F F

21 E o 1

T1

To

T ==

or 2 E1 = 1 F F 1T

1

donc E = ( )( ) 1 - F 1 E 2 F 21

o1To +

E = ( ) ( )1 F F 21 F E 2 F

21

oToo1

To +

do la relation : E = E E F E F E 1oo1Too ++

Ce rsultat est logique. En effet le tenseur de Green-Lagrange E mesure la dformation dans la configuration de dpart, donc dans Co pour Eo, C1 pour E1 et Co pour E. Avant dajouter les tenseurs, il est donc ncessaire de transporter E1 dans la configuration Co. Ce type de raisonnement est fondamental en grandes dformations : chaque fois que lon utilise un tenseur, il faut conserver prsent lesprit sa configuration de dfinition. On a de mme : U U1 Uo, V V1 Vo, R R1 Ro, etc .

2.2.5 Petites perturbations (linarisation)

Considrant lcriture : xi = Xi + ui (XI, t), il vient FiJ = iJ +

uX

i

j

Sous forme tensorielle : (28) F = 1 + H Lhypothse des petites perturbations se dcompose en deux ides : le dplacement ui est petit. On peut donc identifier Co et Ct, do XI et xi. H



Soit la partie antisymtrique de H : (30) = ( )12 HH T Alors : R = 1 + = 1 + HA

La dcomposition de H en parties symtriques HS et antisymtriques HA fait donc apparatre les tenseurs et classiques en petites dformations :

(31) IJ = 12

IJ

J

I

uX

uX

+

IJ = 12

uX

uX

I

J

J

I

Explicitons les diffrents tenseurs de dformation :

E = ( )12

1 C =

A = ( )12 1 1 B = e = ( ) ( )1 1 1 1 1 U = + =( ) ( ) ( ) 1 - ) (1 1 1 V 1 e =+

=

=

eo = Log U = Log (1 + ) = eo Log V Log = = + =( )1 h =

12

12

1 2 Log B Log = + =( )

Tous ces tenseurs sidentifient donc au tenseur infinitsimal des dformations . Explicitons de mme les tenseurs des contraintes :

= JT = (1 + tr H) T = T = F-1 T = T (1 - HT) = T S = F-1 = (1 - HT) T = T Les trois tenseurs des contraintes , et S sidentifient donc, en petites perturbations, au tenseur des contraintes de Cauchy T, que nous notons habituellement .

2.2.6 Coordonnes matrielles Dans tout ce qui prcde, nous avons bas la reprsentation sur les deux configurations Co et Ct, de chaque grandeur dans un mme repre cartsien orthonorm. Il existe une autre manire de voir, qui ne considre que des grandeurs dfinies dans Ct, mais repres par deux systmes de coordonnes : les coordonnes spatiales xi (vecteurs de base

ei

), et les coordonnes matrielles (entraines) XI (vecteurs de base GI

base dite "convective").



Le systme de coordonnes XI a t introduit comme un systme cartsien orthonorm pour la configuration de rfrence Co. Mais lorsque le solide se dforme, les axes XI dfinissent sur Ct un systme de coordonnes curvilignes appeles coordonnes matrielles entraines , car elles suivent la matire.

Si nous adoptons ce systme de coordonnes matrielles, nous devrons distinguer les tenseurs covariants et les tenseurs contravariants, donc prter attention la position haute ou basse des indices.

Dans Co M

MM

M dX E dX XX Xd

=

=

Dans Ct dx e dx xx xd ii

ii

=

= mais aussi dX G dX

Xx xd MM

MM

=

=

MG

vecteurs de base covariants dite base convective La relation xi = xi (XI, t) ne dfinit plus la dformation de Co Ct, mais le passage des coordonnes matrielles XI aux coordonnes spatiales xi linstant t. Nous dfinissons

alors localement la base covariante par :

= II E F G . Ainsi

== II

ii GdX edx dx .

On peut alors crire : JiJi dXF dX

Xx dx JJ

i

== et

= i

iJJ eF G , de sorte que les

composantes FJi de F dfinissent la matrice de passage de la base spatiale )e( i

la base

matrielle )G( I

.

On dfinit de mme la base contravariante )G( I

, duale de )G( I

, par : JI G GJ

I =

et

== iiiI1

iI e e ou ,eF G , puisque le systme de coordonnes spatiales xi est suppos

orthonorm (mais pas ncessairement). En fait ce formalisme se construit sur le tenseur mtrique : Voir sur la figure ci-aprs un exemple 2D en repre rectiligne (1,2) et un vecteur x

1G

X3

X2 X1

x1

x2

x3

3G

2G 1e

2e

3e

X2

X1

X3

Ct Co

1E

2E

3E

F



Rappels sur le tenseur mtrique et de quelques rgles de calcul :

La base contravariante ou duale est dfinie par les produit scalaires des vecteurs de base:

ijji gg =

et le tenseur mtrique par ses composantes 2 fois covariantes et 2 fois contravariantes : jiijji gggg ==

jiijji ggg.g ==

si bien que le vecteur x a deux reprsentations possibles par ses composantes covariantes sur la base contravariante ou par ses composantes contravariantes sur la base covariante (figure):

jji

i gxgxx

==

Remarque : Ceci constitue la vraie convention dEinstein o un indice muet haut et bas est ncessairement un indice de sommation.

Consquences : par exemple 11i1

ii1 xxggxgx ===

i

mais aussi 1i1i

1ii

1 xgxggxgx ===

On dit parfois que les composantes du tenseur mtrique sont des ascenseurs dindices Si on pose en faisant apparatre le produit vectoriel et le produit mixte :

)gg(kg 321 = )g,g,gk()gg(gk1gg 321321

11

=== do)g,g,g(

ggg

321

321

=

On note par exemple avec la premire composante : 11112

1 gggg ==

ou encore : jjjiijji

ij xxxxgxxgxxx ====

cosyxyx =



Composantes physiques (covariantes ou contravariantes) dun vecteur x :

On a par exemple: i

ii*

i

ii

ii

i

ggx

gggxgxx

=== iii*i gxx =

Relations avec les composantes cartsiennes notes mx o la position haute et basse des indices na pas dimportance sur ces composantes cartsiennes:

mmj

jii exgxgxx ===

)ge(xxggx jmmjj

ii ==

Produit scalaire de deux vecteurs a et b

:

baba)gb()g(aba ===

gba)gb()g(aba ==

gba)gb()g(aba ==

Produit tensoriel de deux vecteurs x et y , cest un tenseur du 2me ordre :

yx =T tel que par exemple : )gg(T)gg(yx)gy()gx( ji

ijji

jij

ji

i ===T qui est dfini ici par ces composantes 2 fois contravariantes. Mais il y a 3 autres possibilits, par ses composantes 2 fois covariantes et ses composantes mixtes :

)gg(T)gg(T)gg(T ji.j

ij

iij

jiij

=== T Produit contract (ici droite) : ax = T

ii

ijij

ijkkij

kjikij

kk

jiij gxgaTggaTg)gg(aTga)gg(Tax ====== T

do la composante contravariante : jiji aTx =

Remarque : aax == TT que si le tenseur T est symtrique ( vrifier en

exercice). Symtrie dun tenseur du 2me ordre : Si on a : jiij TT = alors ji

nmjnim

mnjnimij TTggTggT ===

De mme en mixtes : ijmi

jmim

jmij TTgTgT

===

Composantes physiques dun tenseur du 2me ordre :

)g

g

gg(ggT)gg(T

jj

j

ii

ijjii

ijji

ij

==T jjiiij*ij ggTT =



Elments principaux dun tenseur du 2me ordre : Valeurs propres et vecteurs propres droite par exemple : aa =T

01T = a)( 0= )ga()gg)(T( kkj

iij

i.j

0= iji

ji.j ga)T(

Systme homogne et on retrouve dans ce cas lquation caractristique habituelle : 0)Tdet( ij

i.j =

mais autrement avec les composantes covariantes ou contravariantes le tenseur mtrique reste, par exemple :

0= jiijij ga)gT(

On revient la Mcanique des Milieux Continus, o les vecteurs covariants et contravariants de la base matrielle dans la configuration actuelle dfinissent les tenseurs mtriques :

GG

GG g

GG g

NM

NM

NMMN

NMMN

=

=

=

On a les diverses reprsentations du gradient de la transformation F :

)EG()EG(

XX)Ee(F)Ee(

XxF JJ

JKJ

KJ

ii.J

JiJ

i

=

==

=

do )GE(F JJT

= )GE(F JJ-1

= )EG(F JJ-T

= On vrifie bien que :

IJIJI

JJII GGE).EG(EF.G

====

IJI

JJI-TI GGE).EG(E.FG

==== IJ La mesure : ( ) NMMNMN dX dX - g XdXd - xdxd =

permet de dfinir :

( ) ( ) E E - g 21 E NMMNMN

= Green Lagrange ou

( ) ( )NMMNMN G G - g 21 A

= Euler-Almansi

et on a bien (exercice) E = FTAF. Par exemple on a : ( ) ( ) ( ) E E g E G G E F F C IJJIIIJJT === ( ) G G FF B IJJIT

== Ainsi les composantes gJI peuvent tre considres comme tant :

les composantes cartsienne du tenseur C sur la base cartsienne EI

de Co (point de vue utilis jusqu prsent et dans la suite).



les composantes matrielles covariantes du tenseur mtrique dans Ct. De la mme manire on aurait pour le tenseur des contraintes de Kirchoff :

=== JIIJJiiJjiij G G S G e e e

Ainsi les composantes SIJ sont :

les composantes de S sur la base cartsienne orthonome EI

de Co les composantes matrielles contravariantes du tenseur .

Dans ce polycop nous avons prfr travailler en repre orthonorm sur diffrents tenseurs, plutt que sur moins de tenseurs exprims dans diffrents repres, car cela simplifie le formalisme et minimise loutillage gomtrique ncessaire. Nanmoins, il est possible de construire toute la Mcanique des Milieux Continus en coordonnes matrielles entranes, et cest un point de vue que lon trouvera dans certains ouvrages, ce qui peut tre avantageux pour traiter certains problmes (sur les coques par exemple). Cependant il est ncessaire dutiliser galement les notions de drivation vectorielle dun vecteur par un autre ou de tenseurs entre eux ce qui introduit les drives covariantes, contravariantes ou mixtes dun maniement plus dlicat (ou plus expriment !). Exemple avec le glissement simple dj vu prcdemment : On choisit comme base matrielle entrane la base cartsienne initiale do :

=01

)0(g1

=10

)0(g 2

qui devient :

=01

)t(g1

=1

t)(g 2

Avec ijji gg = on obtient :

=-1

t)(g1

=10

t)(g 2

Do :

+

= 2ij 11

t)(g

+

=1

1t)(g

2ij

Les composantes covariantes apparaissent bien comme les composantes cartsiennes de C sur la base cartsienne de la configuration initiale.

Ainsi : [ ]

= 2ijij

021g

21

sont les composantes cartsiennes de Green-

Lagrange mais aussi les composantes 2 fois covariantes dEuler-almansi sur la base contravariante On peut tablir les composantes mixtes du tenseur dEuler-Almansi (symtrique) avec :

==02

1gAA2

mkjm

kj

qui a pour valeurs propres : [ ])4(21 222

i +=



Exemple : Utilisation de coordonnes matrielles sur un lment fini 4 noeuds

Un lment fini isoparamtrique est une forme gomtrique plus ou moins simple dfini par un jeu de fonctions de forme qui paramtre llment rel tout instant sur llment de base (ou parent) qui est ici un carr bi-unitaire en coordonnes cartsiennes dites naturelles ou intrinsques qui vont constituer sur llment rel le systme de coordonnes matrielles entraines (voir figure ci-dessus), ce qui peut tre interessant pour suivre des fibres relles dans llment (fibres, renforts, ). On a les bases covariantes en un point de llment (un poin de Gauss dintgration par exemple) dans la configuration initiale Co et actuelle Ct avec :

ii r

XG

=

iiii ruG

rxg

+=

=

o =1r et =2r notation habituelle des lments finis pour les coordonnes intrinsques c'est--dire matrielles. La paramtrage du Q4 est classiquement donn par (voir cours lments-finis) :

=

=4

1k

)k(iki X),(NX o k est un indice de numro de noeud

avec le jeu de fonctions de formes :

)1)(1(

41),(N1 ++= )1)(1(4

1),(N2 +=

)1)(1(

41),(N3 = )1)(1(4

1),(N4 +=



si bien que les composantes des vecteurs covariants se caculent aisment pour tous points ( , ) par exemple pour le point de Gauss ( 3/1 , 3/1 ) de la figure.

2

21

11 e

XeXG

+

= 2

21

12 e

XeXG

+

=

de mme car cest un isoparamtrage :

2

21

11 e

xexg

+

= 22

11

2 exexg

+

=

Les composantes 2 fois covariantes de Green-lagrange peuvent alors se calculer :

)GG(E)GG)(Gg(

21E jiij

jiijij

==

On peut associer un comportement avec les composantes 2 fois contravariantes de PK2 tel que : kl

ijklij EMS = Lintrt tant que le module de comportement M constant ou non par ses composantes 4 fois contravariantes dans la base matrielle des iG

est facilement identifiable exprimentalement (fibres, fils, renforts,). Ainsi dans le cas de constantes, lnergie de dformation lastique par unit de volume dans Co scrira :

E:S

21ES

21W ij

ij ==

Remarque : correspondance avec les composantes cartsiennes

)ee(s)GG(SS nmmnjiij

==

do : )G.e)(G.e(sS jni

mmnij

= de mme )G.e)(G.e(eE jnimmnij

=

Par exemple si on a

=01

G1

=11

21G 2

avec 100s11 = 60s12 = 200s22 =

et 1.0e11 = 2.0e12 = 3.0e22 =

Avec ijji GG =

on obtient la base contravariante :

=1

1G1

=2

0G 2

Do : 180S11 = 2140S12 = 400S22 = 1.0E11 = )210/(3E12 = 4.0E 22 =

47es21ES

21W mnmnij

ij ===



2.3 VITESSES DE DEFORMATIONS

2.3.1 Tenseur taux de dformation et taux de rotation Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse V

, drive matrielle par

rapport au temps du vecteur position x

(XI, t), et que lon peut considrer comme : fonction de XI (description lagrangienne) fonction de xi (description eulrienne)

xd L xdFF Xd F xd -1

=== car 0Xd =

On introduit ainsi le tenseur gradient de vitesse L dfini par : (32) L = 1F F

(33) XV F

t F

J

iiJiJ

=

= dx L xd jiji =

Lij = F F xX

XV

xV 1

KjiKj

k

k

i

j

i =

=

La dcomposition de L en partie symtrique et antisymtrique permet de dfinir le tenseur taux de dformation D et le tenseur taux de rotation W :

(34) D = LS = 12

(L + LT)

W = LA = 12

(L - LT)

Dij = 12

Vx

Vx

i

j

j

i+

Wij =

i

j

j

ixV

xV

21

Le tenseur W correspond au rotationnel du champ des vitesses V

, et dcrit donc la vitesse de rotation du solide, tandis que D dcrit la vitesse de dformation. En effet on peut crire :

( ) xxd xxd xxd dtd

+=

= L =+ x D dx 2 x L dx x dx

Dautre part, on a : = X E dX 2 X dX x dx

par diffrentiation, il vient : = XEdX 2 )x dx(

dtd

Ainsi la vitesse de dformation est donne dans Co par E , et dans Ct par D, ces deux tenseurs tant transports lun de lautre par la relation :

(35) C 21 F D F E T ==



Les drivs par rapport au temps des tenseurs lagrangiens dcrivant la dformation sont donc directement relies au tenseur des taux de dformation. Il nen va pas de mme pour les tenseurs eulriens, comme le montrent les calculs suivants : TTTTTT BL LB L F F F F L F F F F B +=+=+=

)B L L B( 21 B B B

21 B

21 A 1T1111 +===

De mme, contrairement ce que lon pourrait croire, les tenseurs taux de dformation D et taux de rotation W ne sont pas directement relis aux drives temporelles des tenseurs de dformation pure ou de rotation. Le calcul montre en effet que ( faire en exercice): D U et W R Dans un mouvement de corps rigide :

x X t t X Q T T

= + = = t C Q avec Q Q Q ( , ) ( ) ( ) 1

Dans ce cas F = Q L = W = TQ Q

Q QT = 1 TT Q Q Q Q = Le tenseur L est bien antisymtrique, et D = 0. Rciproquement : on peut montrer que si D est identiquement nul, alors W est constant, et le corps a un mouvement de solide rigide. Enfin on remarquera quen petites perturbations :

)F F F F( 21 )L L(

21 D TT11T +=+=

( ) )H H( 21 H )H 1( )H 1(H

21 D TTT +=+=

On a donc : (36) D = Exemple : Lintgrale du taux de dformation D dpend du chemin de dformation suivi, ce nest donc pas une trs bonne mesure de dformation totale

Sur le chemin de dformation ci-dessus de la configuration de 1 5, toute mesure de dformation totale devrait tre nulle. En ractualisant dune configuration lautre (voit paragraphe suivant), on calcul le gradient de la dformation relatif, paramtr sur un intervalle de temps entre 0 et 1, et on en dduit pour chaque tape le gradient de vitesse, le taux de dformation et la vitesse de Green-Lagrange. A la fin on intgre sur les 4 tapes le taux de dformation et la vitesse de Green-lagrange.



Ainsi : De 1 2 : atYXx += et Yy = pour 1t0 (cest le glissement) do :

=

10at1

F

=

10at1

F 1

=

00a0

F

==

00a0

FFL 1

[ ]

=+=

0aa0

21LL

21D T

==

ta2aa0

21DFFE 2

T

De 2 3 : aYXx += et Y)bt1(y += pour 1t0 , on obtient pour D (le faire pour E ) :

+

=b000

bt11D

De 3 4 : Y)t1(aXx += et Y)b1(y += pour 1t0 :

+=

0aa0

)b1(21D

De 4 5 : Xx = et Y)btb1(y += pour 1t0 :

+

=b0

00btb1

1D

et ensuite en sommant les 4 intgrales de D dt sur 1t0 on a:

+

= 0110

)b1(2abDdt

1

0

qui est du 2me ordre par ab mais pas nul

tandis que lon doit trouver pour la vitesse de Green-Lagrange ( faire en exercice):

==

1

0 0000

EdtE

2.3.2 Description lagrangienne ractualise

Pour que le taux de rotation (respectivement de dformation) apparaisse comme la drive par rapport au temps du tenseur de rotation R (respectivement de la dformation pure U ou V), il faut faire intervenir une nouvelle description, la description lagrangienne

C()

Ct

Co

Xx F t)t(

=

t

t xx )( F

=

Xx )( F

= Xd

dx

dxt



ractualise. On prend comme configuration de rfrence, la configuration actuelle linstant t.

On peut alors crire : (37) F () = Ft () F (t) Ft () = F () F-1 (t) En introduisant le gradient relatif de dformation Ft (), gradient de la dformation subie par le matriau entre les instants t et . On a donc :

dx dxt t

= F ( )

On peut dfinir partir de Ft (), les mmes tenseurs que ceux introduits aux paragraphes 2.2.1 et 2.3.1. En particulier : Ft t t t t R U V R( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Ct t

t t F F( ) ( ) ( ) =

Bt t tT F F ( ) ( ) ( ) = etc.

)( F )(F )( L 1ttt =

(F (t) pas fonction de pour > t)

[ ])( L )( L 21 )( F )( F )( D Ttt

S1

ttt +=

=

[ ])( L )( L 21 )( F )( F )(W Ttt

A1

tt t =

=

En faisant la limite t = , il vient : Ft (t) = Rt (t) = Ut (t) = Wt (t) = 1 On peut alors montrer que :

( )L tt

Ft t( ) ( ) = =

car ( ) F(t) )( F t

)t(F t

= d'une part

et F(t) L(t) )t(F = d'autre part f' o :

( )D tt

Ut t( ) ( ) = =

( )W tt

Rt t( ) ( ) = =

Mais L, D et W apparaissent comme des drives temporelles des tenseurs F, U et R que dans cette description lagrangienne ractualise. Autrement on retombe sur les difficults voques au paragraphe 2.3.1.



2.3.3 Dualits contraintes-dformations Nous avons vu au paragraphe 2.1.1 que les quations dquilibre scrivaient :

Avec PK1

iJJ

o iij

ji

Xf T

xf ou + = + =0 0 avec Cauchy

On obtient le thorme des puissances virtuelles en multipliant ces deux galits par le champ de vitesses virtuelles Vi*, et en intgrant sur le domaine Do ou D. Il vient :

+=

oDoiJiJ o oD

ii ooJ

ioD

iJ dS V N dv V f d XV

ou +=

D ijijD iiD ijijdS V n T dv V f d D T

car Tij = Tji et dv = J dvo = oo dv

Par ailleurs, un calcul direct permet de transformer TijDij :

ijTLj KLiKijijij ij D FS F D DT J == ( = FSFT)

Mais 1T1T F E F D donc et F D F E ==

Alors KLKL1

LjKL1

KijLKL iKijij E S F E F F SF D T J ==

En rsum, on peut exprimer la puissance des efforts intrieurs de trois faons diffrentes : Avec i

*i V V = relle.

P(int) = = D Dijij dv D : T dv D T (38) = = oD o oD oiJiJ dv F : dv F

= = oD ooD oIJIJ dv E : S dv E S

On a adopt la notation : A : B pour la quantit tr (A BT) = AijBij. Ce produit scalaire (ou contract) entre deux tenseurs possde la proprit caractristique suivante : A : B C = A CT : B = BT A : C Ainsi, il ressort que les tenseurs T, et S sont respectivement duaux des tenseurs cinmatiques D, F et E. S : E = S : FT DF = SFT : FTD = FSFT : D = : D



De mme :

: D = : [ ] F : LF : L : F L : L L 21 TT

====+

La puissance massique des efforts intrieurs est donne par :

D : T 1 F : 1 E : S 1 W

oo

(int) ===

Do les galits : (39) : D = : F = S : E Contraintes Vitesses de dformation En petites perturbations, ces trois grandeurs sidentifient : Cette dualit joue en grandes dformations un rle important.

2.4 LES FORMES DE RESOLUTION

2.4.1 Forme incrmentale Lagrangienne Totale Pour les codes de calculs par lments finis en version implicite, c'est--dire o lquilibre du maillage doit tre vrifi la fin de chaque pas de temps o dincrment, il faut construire un formalisme incrmentale (pas de temps fini) qui fournira directement le schma itratif de Newton entre les incrments t et t+t. Si les calculs seffectuent sur la configuration initiale, ce sera le schma Lagrangien Total, autrement si cest sur la confugaration qui vient dtre obtenue t, ce sera le schma Lagrangien Ractualis. Ainsi du tableau de dualit contrainte-dformation du paragraphe prcdent, on peut crire lnergie virtuelle de dformation en terme de contrainte de PK2 et de variation virtuelle de dformation de Green-Lagrange tel que : Si on note le champ de dplacement virtuel : tvu *= On a lnergie virtuelle de dformation avec : =

0V0EdV:SU



E dformation de Green-Lagrange qui a pour variation virtuelle E dont on rappelle que virtuel veut dire perturbation autour dune position quilibre, continue, arbitraire, diffrente de zro et compatible avec les liaisons :

[ ]

+

+

==Xu

Xu

21

Xu

Xu

21IFF

21E

TTT

en notant que : Xu1F

+= XuF

=

XuF

=

on a : [ ]FFFF21tEE TT +==

Expression de lenergie virtuelle de dformation t+t : ( )UUU ttt += + do : ( ) ( )[ ] 0V dVE:SE:SU 0 += On linarise (pour la rsolution numrique) en crivant:

( ) [ ]FFFF21E TT +=

Do : [ ] ( ) ( ) FF:SFF:SS21FFFF

21:S TTTTT =+=+



Donc lnergie virtuelle de dformation t+t : ( )[ ] 0V Ttt dVFF:SE:SSU 0 ++= + Pour le travail virtuel du chargement extrieur t+t (on se limite ici la statique mais la dynamique sintroduirait ce niveau avec le travail virtuel des forces dinertie dacclration et damortissement) : ( ) ( ) 0V 0

T0S 00

Ttt dVffudSttuW

00 +++= +

Lquilibre t+t scrit : tttt WU ++ = soit lcriture prte pour le schma itratif de Newton : (40)

[ ] ( ) ( )[ ] 0V T

Documents

RPNE000087B