RÉPUBLIQUEALGÉRIENNEDÉMOCRATIQUEETPOPULAIRE … · 2018-04-17 · RÉPUBLIQUEALGÉRIENNEDÉMOCRATIQUEETPOPULAIRE MINISTÈREDEL’ENSEIGNEMENTSUPÉRIEUR ETDELARECHERCHESCIENTIFIQUE

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUEUNIVERSITE D'ORAN 1 Ahmed Ben Bella

FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET APPLIQUÉESDÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

THÈSE

En vue de l'obtention du diplôme de Doctorat en Mathématiques

Option

Équations différentielles

Sujet de la thèse :

Sur la résolution des équations différentielles

Présenté par :

Djebbar SamirSoutenue le : 22/10/2017

Devant le jury composé de :BELGHABA Kacem Professeur, Université d'Oran1 Ahmed Ben Bella PrésidentBELAIB Lekhmissi MCA, Université d'Oran1 Ahmed Ben Bella EncadreurREMILI Moussadek Professeur, Université d'Oran1 Ahmed Ben Bella ExaminateurBENAISSA Abbès Professeur, Université DJILLALI Liabes Sidi Bel Abbès ExaminateurHAKEM Ali Professeur, Université DJILLALI Liabes Sidi Bel Abbès ExaminateurOUAHAB Abdelghani Professeur, Université DJILLALI Liabes Sidi Bel Abbès Examinateur

Année Universitaire 2017/2018

Remerciements

Ce travail a été réalisé dans le département de mathématiques, Faculté des Sciences Ex-actes et Appliquées; Université d'Oran 1 Ahmed Ben Bella.

Je remercie Monsieur Belaib Lekhmissi qui a dirigé mes recherches le long de ce travail.

Je suis heureux de lui exprimer toute ma reconnaissance.

Je tiens à remercier Monsieur le professeur Kacem Belghaba qui a bien voulu présiderle jury.

J'exprime ma gratitude à Messieurs le professeur Moussadek Remili de l'université d'Oran1 Ahmed Ben Bella, le professeur Benaissa Abbès de l'université Djillali Liabes Sidi BelAbbès, le professeur Hakem Ali de l'université Djillali Liabes Sidi Bel Abbès et le professeurOuahab Abdelghani de l'université Djillali Liabes Sidi Bel Abbès d’avoir accepté de se join-dre au jury de cette thèse.

Enfin, je remercie toute l'équipe de département de mathématiques de notre universitéd'Oran 1 Ahmed Ben Bella .

i

Table des Matières

Introduction 3

I Résultats préliminaires et matériaux 71 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Notions de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Les inégalités de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Flot d’un système dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.1 Perturbation régulière et perturbation singulière . . . . . . . . . . . 218.2 Développement de la théorie des perturbations singulières . . . . . . . 22

II Perturbation d'un système linéaire différentiel 231 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Petites perturbations linéaires régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Rappels sur la classification, modulo le groupe affine des systèmesdifférentiels linéaires de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Perturbations linéaires régulières lorsque le lieu singulier est un point . . . . 484 Perturbations linéaires régulières dans le cas où le lieu singulier est une droite 55

ii

Table des Matières

IIIREGIONALISATIONS 611 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 Exemples de régionalisations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 La relation formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 Exemples dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 Régionalisation angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

IVRésolution de l'équation de Van-Der-Pol par la transformation de Laplace 741 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

V Etude de l'équation d'ordre 2 811 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 Solutions convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833 Le cas où H est contractante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Bibliographie 94

iii

Notations principales


Certaines notations seront utilisées tout au long de cette thèse que nous listons ci-dessousC : ensemble des nombres complexesR : ensemble des nombres réelsR+ : ensemble des nombres reels positifs ou nulst ∈ R+ : variable temporelleRn : espace numérique réel à n dimensions cartésiennes x1, x2, ..., xn

x ∈ Rn : vecteur de composantes xi[a, b] : intervalle fermé de R d'extrémités a et b]a, b[: intervalle ouvert de R d'extrémités a et bx′(t) = dx

dt: dérivée de la variable x par rapport au temps

x′′(t) = d2xdt2

: dérivée seconde de x par rapport au temps‖.‖ : norme sur Rn

|.| : norme sur R2

B(r) = x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ r : la boule fermée de centre 0 ∈ Rn et de rayon r > 0C1 (R) : ensemble des fonctions continûment différentiables(ui,j) : matrice dont le coefficient de la ieme ligne et jeme colonne est ui,j(εi,j) : matrice à éléments infiniment petitsAT : transposée de la matrice Atr(A) : trace de la matrice Arg(A) : rang de la matrice Adet(A) : déterminant de la matrice AId : matrice identitéRe(λi) : partie réelle de λiexp(A) ou eA : exponentielle de la matrice An× p : la taille d’une matricex! : factorielle du nombre xmax : fonction maximummin : fonction minimumx : réel x 6= 0x+ : réel x > 0x− : réel x < 0gal(x) : galaxie de xLx : autre notation de gal(x)

1


xL≈ y : x et y sont L-proches ou x et y sont dans la même galaxie

hal(x) : halo de xPx : autre notation de hal(x)Hal(E) : halo de E, c'est -à- dire l'ensemble, généralement externe des x qui sont infinimentvoisins d’un élément de E au moinsord(x) : ordre de grandeur de xx.A+ : autre natation de ord(x)P : région des réels infiniment petitsA+ : resp( A− ) région des réels positifs (resp négatifs) appréciablesG+ : resp( G− ) région des réels positifs (resp négatifs) infiniment grandsL : région des réels limitésAu-delà de Rn ( n ≥ 0 entier standard) est la région des points non limitésL(f) : transformation de Laplace de la fonction fx(+∞) : limite de x(t) quand t tend vers +∞AcronymesONS : orbite non singulièreLS: lieu singulieri.p : infiniment petit ( ou infinitésimal ) a est i.p si : ∀r > 0, |a| < r

i.g : infiniment grand (ou non limité) a est i.g si : ∀r > 0, |a| > r.

2

Introduction

Les équations différentielles constituent l'un des domaines les plus importants de l'analysegrâce à leurs nombreuses applications. Elles permettent de modéliser mathématiquementplusieurs phénomènes physiques et biologiques et d'étudier des problèmes de population demétéorologie. Les équations différentielles ordinaires dont la dérivée du plus haut degréest multipliée par un petit paramètre ε sont généralement appelées équations différentiellesordinaires singulièrement perturbées. De telles équations sont fréquemment utilisées pourmodéliser des processus complexes. La résolution du problème non perturbé (dit réduit)pour ε = 0 n'est pas suffisante pour rendre compte de l'évolution du système initial. Cettethèse traite le thème des équations différentielles. Elle comporte cinq chapitres.Le premier chapitre est un rappel de quelques notions de base que nous utilisons dans

cette thèse (théorème d'existence et d'unicité, notions de base des systèmes dynamiques ethistorique de la théorie des perturbations singulières).

Dans le deuxième chapitre l'étude de la stabilité linéaire nous renseigne sur la stabilitédu système lorsque les termes non-linéaires sont pris en compte.Lorsque les deux valeurs propres ont une partie réelle strictement négative la stabilité linéaireimplique la stabilité non-linéaire. Dans le cas des systèmes instables et lorsque les deuxvaleurs propres sont de parties réelles strictement positives, un système qui est instable parstabilité linéaire le demeure lorsque les contributions non-linéaires sont pris en compte. Enrevanche, lorsqu'au moins une des parties réelles des valeurs propres est nulle, c'est-à-diredans le cas des centres, la prise en compte des termes non-linéaires peut conduire à desrésultats différents de ceux obtenus par linéarisation.Ce chapitre est consacré à la perturbation d’un système différentiel linéaire à coefficients

3

Introduction

constants dxdt

= Ax+ b (1)La donnée du système (1) fournit l'expression d'un champ de vecteur X de Rn dans lescoordonnées x1, x2, ..., xn, via l'écriture :

X = (a11x1 + a12x2 + ...a1nxn) ∂∂x1

+ (a21x1 + a22x2 + ...a2nxn) ∂∂x2

+ ....++ (an1x1 + an2x2 + ...annxn) ∂

∂xn.

Le lieu singulier du système (1) ou encore du champ X, exprimé dans les coordonnéesx1, x2, ..., xn, est donné par l'ensemble des solutions des systèmes d'équations Ax + b = 0,d'une manière générale, une petite perturbation linéaire régulière d'une matrice réelle stan-dard M est une matrice de la forme : M ′ = M + ε où ε = (εij) est une matrice à élémentsinfiniment petits.Une petite perturbation linéaire régulière d'un système différentiel standard à coefficientsconstants (1) est un système de la forme :dxdt

= (A+ δ)x+ (b+ η) où δ et η sont des matrices à éléments infiniment petits.Dans le troisième chapitre, nous donnons une introduction sur la régionalisation dans les

réels qui sépare les infiniment grands négatifs, les appréciables négatifs, les infiniment petits,les appréciables positifs et les infiniment grands positifs, ainsi que la décomposition ZSP(entier, standard, infiniment petit) avec des exemples dans Rn.

Dans le quatrième chapitre nous présentons la résolution de l'équation de Van-Der-Polf ′′ + a(f 2 − 1)f ′ + f = 0, avec les conditions initiales suivantes : f(0), f ′(0) par la trans-formée de Laplace et ses applications et d'aprés les techniques des résolutions la solution del'équation de Van-Der-Pol est donnée par :

f(t) =(eat2 cos(αt) + a

2αeat2 sin(αt)

)f(0) +

(1αeat2 sin(αt)

)(f ′(0) + 3af 3(0)− af(0))

avec a ∈ ]−2, 2[ et les conditions initiales: f(0), f ′(0)Le dernier chapitre est consacré à l'existence des solutions pour le problème aux limites

suivant [29] :

x′′ + 2f(t)x′ + (f 2(t) + 1)x+ g(t, x) = 0

limt→+∞

x(t) = limt→+∞

x′(t) = 0

où f : R+ −→]0,+∞[ et g : R+ × R −→ R deux fonctions continues et vérifient les hy-pothèses suivantes :(i) f est de classe C1(R+), f(+∞) = 0 et

∫ +∞

0f(s)ds = +∞ ,

∫ +∞

0f(s)ds := lim

t−→+∞

∫ t

0f(s)ds .

4

Introduction

(ii) il existe K ∈]0, 1[ tels que

|f ′(t)| ≤ Kf(t), t ∈ R+ (2.1)

(iii) il existe M > 0 et α > 1 tel que

|g(t, x)| ≤Mf(t)|x|α, t ∈ R+, x ∈ R (2.2)

Cette note traite le même problème via Schauder-Tychonoff et Banach théorèmes.

5

Publications

The following results were published or submitted :

1) Perturbation of Differential Linear System.

Malaya journal of Matematik

http://www.malayajournal.org/

An international journal of mathematical sciences with computer applications

2) Regionalizations and their application on a differential system.

( Submitted )

3) Resolution of the Equation of Van-der Pol by the Transformation of Laplace.

( Submitted )

4) Perturbation of differential Linear Equation.

( Submitted )

6

Chapitre I

Résultats préliminaires et matériaux

1 PréliminairesDans ce chapitre nous rappelons quelques définitions et résultats sur les équations différen-tielles ordinaires : existence, unicité des solutions, notions de stabilité et perturbation.

2 Equations différentielles ordinaires

Définition 2.1 Soient U un ouvert de R × Rn et f : U −→ Rd une fonction continue,uneéquation différentielle ordinaire sur U est une relation du type : x′(t) = f(t, x(t))que l'on note :

x′ = f(t, x) (1, 1)

où x′ = dxdt

.

Définition 2.2 [2] Soit x une fonction d'une partie de R dans Rd.1. La fonction x est dite solution de l'équation (1.1) sur l'intervalle I ⊂ R si elle est définieet continûment dérivable sur I, si (t, x(t)) ∈ U pour tout t ∈ I, et si x satisfait la relation(1.1) sur I.2. Soit (t0, x0) ∈ U donnée. La fonction x est dite solution du problème à valeur initialeassociée à l'équation (1.1) s'il existe un intervalle I contenant t0 tel que x soit solution del'équation (1.1) sur I et vérifie x(t0) = x0.

7

Chapitre I. Résultats préliminaires et matériaux

Remarque 2.1 Pour (t0, x0) ∈ U donné, un problème à valeur initiale associée à l'équation(1.1) est généralement exprimée sous l'écriture suivante:

x′ = f(t, x) , x(t0) = x0 (1.2)

Remarque 2.2 Une solution de (1.2) est également dite solution de l'équation (1.1) à valeurinitiale x0 à l'instant t0.

Définition 2.3 [24] Pour (t0, x0) ∈ U donnée, une solution du problème (1.2) est dite uniquesi elle coïncide avec toute autre solution partout où elles sont toutes les deux définies.

Remarque 2.3 Si le problème (1.2) admet une solution unique, celle-ci est notée par

x = x(., t0, x0)

Remarque 2.4 Pour tout (t0, x0) ∈ U , le problème (1.2) est équivalent à l'équation intégrale

x(t) = x0 +∫ t

t0f(s, x(s))ds (1.3)

3 Existence et unicité des solutions

Nous rappelons, dans ce paragraphe, quelques résultats de base sur l'existence et l'unicitédes solutions de l'équation (1.1).

Théorème 3.1 [53] (Existence) Soient U un ouvert de R×Rd et f : U −→ Rd une fonctioncontinue.Pour tout (t0, x0) ∈ U le problème (1.2) admet au moins une solution locale .

Définition 3.1 Soient Uun ouvert de R×Rd et f : U −→ Rd une fonction continue on ditque f = f(t, x) est localement Lipschitzienne en x si pour tout fermé et borné (i.e. compact)K dans U , il existe une constante L > 0 telle que :

|f(t, x1)− f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|

pour tout (t, x1) et (t, x2) dans K.

Théorème 3.2 [1] Supposons que f soit continue, bornée et Lipschitzienne par rapport à x,dans [t− 2s, t+ 2s]× B(x, 2R) pour s > 0 et R > 0.Alors il existe s0 ∈ ]0, s], tel que pour tout (t0, x0) ∈ [t− s, t+ s] × B(x,R) la solutionmaximale du problème (1.2) soit définie sur un intervalle contenant [t0 − s0, t0 + s0].

8

I.3 Existence et unicité des solutions

Preuve 3.1 La méthode suivie permet de construire une solution dans l'intervalle [t0 − s0, t0 + s0]qui soit à valeurs dans B(x0, R), donc à valeurs dans B(x, 2R)

x0 = x(t0) xn+1(t) = x0 +∫ t

t0f(s0, xn(s0))ds0

comme f est bornée on a :

‖xn+1(t)− x0‖ ≤∫ t

t0‖f(s0, xn(s0))‖ds0 ≤ (t+ − t0)M

si on suppose que

(t+ − t0)M ≤ R

alors xn+1 est aussi à valeurs dans B(x0, R)comme f est Lipscitzienne, on aura :

‖xn+1(t)− xn(t)‖ ≤∫ t

t0‖f(s0, xn(s0))− f(s0, xn−1(s0))‖ds0

≤ (t+ − t0)L sup[t0,t+]

‖xn+1 − xn‖

donc, si par exemple t+ est tel que

(t+ − t0)L ≤ 12

et donc la suite xn est de Cauchy pour tout s0 > 0 et inférieur à min(s, RM, 1

2L)

Théorème 3.3 [1] (Unicité) Soient U un ouvert de R × Rd et f : U −→ Rd une fonctioncontinue et localement Lipschitzienne en x, alorspour tout (t0, x0) ∈ U , le problème (1.2) admet une solution maximale unique.

Preuve 3.2 On considère l'intervalle [t0, t+] avec t+ = t0 + s > t0 le cas de l'intervalle[t0 − s, t0] s’en déduisant par un changement de variable de la forme t −→ α(t0 − t).La démonstration du théorème se fait en quatre étapes, la première consiste à choisir cequ’on appelle parfois un cylindre de sécurité

C(t0, R) = [t0, t+]× B(x0, R) ∈ R× Rd

avec t+ > t0 > s et B(x0, R) est la boule fermée de centre x0 et de rayon R, dans lequel fest bornée, disons par une constante M telle que :

‖f(t, x)‖ ≤M quel que soit (t, x) ∈ [t0, t+]× B(x0, R)

9


et est Lipschitzienne, disons avec une constante de Lipschitz L :

|f(t, x1)− f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|

comme on a noté, une solution du problème x′ = f(t, x(t))x(t0) = x0

peut se mettre sous la forme x(t) = x0 +∫ t

t0f(s, x(s))ds

on cherche donc la solution comme limite de la suite (un)n∈N définie par

u0 = u(t0) , un+1(t) = u0 +∫ t

t0f(s, un(s))ds.

La deuxième étape consiste à vérifier que pour t+ assez proche de t0 la suite (un) est biendéfinie dans [t0, t+] et à valeurs dans B(x0, R). En effet, la fonction u0 constante est bien àvaleurs dans B(x0, R) et si un est continue sur [t0, t+] et à valeurs dans B(x0, R) alors un+1

est bien définie et de plus :

‖un+1(t)− u0‖ ≤∫ t

t0‖f(s, un(s))ds‖ ≤ (t+ − t0)M

donc,si on choisit le t+ de telle sorte que

(t+ − t0)M ≤ R

alors un+1 est aussi à valeurs dans B(x0, R).La troisième étape consiste à montrer que pour t+ −→ t0 la suite (un) est de Cauchy et doncconvergente dans l'espace de Banach C([t0, t+], K).Pour n ≥ 1 on a

‖un+1(t)− un(t)‖ ≤∫ t

t0‖f(s, un(s))− f(s, un−1(s))‖ds

≤ (t+ − t0)L sup[t0,t+]

‖un−1 − un‖ .

Donc, par exemple si t+ est tel que

(t+ − t0)L ≤ 12

alors par récurrence on obtient

sup[t0,t+]

‖un+1 − un‖ ≤ 12n sup

[t0,t+]‖u1 − u0‖

10

I.4 Notions de stabilité

et donc la suite (un) est de Cauchy.La dernière étape consiste à vérifier que la limite u de la suite (un) est solution de notreproblème. Cela se déduit par passage à la limite dans l'égalité

un+1(t) = u0 +∫ t

t0f(s, un(s))ds

ce qui donne

u(t) = u0 +∫ t

t0f(s, u(s))ds

qui signifie que u est solution de classe C1 par régularité des solutions.Ceci achéve la preuvede l'existence d'une solution.Pour l'unicité, on applique le lemme de Gronwall. Supposons qu'il existe deux solutions dumême problème de Cauchy, u et v sur [t0, t+] et à valeurs dans B(x0, R) , alors

u(t)− v(t) = u(t0)− v(t0) +∫ t

t0[f(s, u(s))− f(s, v(s))] ds

≤ ‖u(t0)− v(t0)‖+∫ t

t0‖f(s, u(s))− f(s, v(s))‖ds

posons w(t) = ‖u(t)− v(t)‖ , b(t) = ‖u(t0)− v(t0)‖ et a(t) = L, alors on obtient

w(t) ≤ b(t) +∫ t

t0a(s)w(s)ds

par le lemme de Gronwall, on obtient

w(t) ≤ b(t) +∫ t

t0a(s)w(s)ds exp

[∫ t

sa(µ)dµ

]ds

mais, puisque w(t) ≥ 0 et u(t0) = v(t0),c'est -à-dire b(t) = 0, alors w(t) = 0 et doncu(t) = v(t) pour tout t ∈ [t0, t+] .

4 Notions de stabilité

Définition 4.1 [33] On considère le système non autonome

x′ = f(t, x) (1.1)

tel que f : R+ × Rn −→ Rn est continue en t et localement Lipschitzienne en x. On dit quea est un point d'équilibre du système (1.1) si f(t, a) = 0 pour tout t ≥ 0.

11


Définition 4.2 [33] Le point d'équilibre 0 de (1.1) est stable (au sens de Lyapunov) si :∀t0 ≥ 0, ∀ε > 0,∃δ(ε, t0) > 0 : ∀x = x(., t0) solution de (1.1) telle que

‖x(t0)‖ ≤ δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε,∀t ≥ t0.

Définition 4.3 [33] Le point d'équilibre 0 de (1.1) est asymptotiquement stable si 0 est stable(i.e) ∀t0 ≥ 0,∀ε > 0,∃δ(ε, t0) > 0 : ∀x = x(., t0) solution de (1.1) telle que

‖x(t0)‖ ≤ δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε,∀t ≥ t0 et limt→∞

x(t) = 0.

Définition 4.4 [33] On dit que le point d'équilibre 0 de (1.1) est uniformément stable si∀ε > 0,∃δ(ε) > 0,∀t0 ≥ 0 : ∀x = x(., t0) solution de (1.1) telle que

‖x(t0)‖ ≤ δ ⇒ ‖x(t)‖ < ε,∀t ≥ t0

globalement uniformément stable,s'il est uniformément stable et les solutions du système sontglobalement uniformément bornées.

Définition 4.5 [33] Le point d'équilibre 0 de (1.1) est exponentiellement stable si :∀t0 ≥ 0,∃c = c(t0),∀x = x(., t0) solution de (1.1) telle que

‖x(t0)‖ < c =⇒ ∃k, λ > 0 : ‖x(t)‖ ≤ k‖x(t0)‖e−λ(t−t0), ∀t ≥ t0

la constante k est appelée le taux ou aussi la vitesse de convergence globalement exponen-tiellement stable si:∃k, λ > 0,∀t0 ≥ 0,∀x = x(., t0) solution de (1.1) telle que

‖x(t)‖ ≤ k‖x(t0)‖e−λ(t−t0), ∀t ≥ t0.

Exemple 4.1 Considérons le système d'écrit par

x′ = −(1 + sin(x2))x

il est clair que x = 0 est un point d’équilibre. La solution du système est donnée par

x(t) = x(0) exp[∫ t

0−(1 + sin(x2(s))ds

].

On a ∀t ≥ 0, |x(t)| ≤ k|x(0)| exp(−t), d'où la stabilité exponentielle du système.

Remarque 4.1 Il est important de remarquer que la propriété de la stabilité exponentielledu système entraine nécessairement la stabilité asymptotique de ce dernier.

12


Théorème 4.1 Soit x = 0 un équilibre du système x′ = f(x) ou f : D −→ Rn est continueet différentiable et D est un voisinage de 0. On pose A = ∂f

∂x(x)|x=0 de valeurs propres

λi, i = 1, ..., n1) Si Re(λi) < 0 alors x = 0 est asymptotiquement stable.2) Si Re(λi) > 0 pour une valeur propre de A : λi0 alors x = 0 est instable.

Exemple 4.2 Considérons le système

x′1 = x2

x′2 = −a sin x1 − b sin x2

nous sommes en présence de deux points d'équilibres : (x1 = 0, x2 = 0) et(x1 = π, x2 = 0) la matrice Jacobienne est donnée par

∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f2∂x1

∂f2∂x2

= 0 1−a cosx1 −b cosx2

pour étudier la stabilité de l'origine, on calcule la matrice jacobienne au point x = 0

A = ∂f∂x

(x)|x=0 = 0 1−a −b

les valeurs propres de A sont :

λ1,2 = −12b±

12

√b2 − 4a .

Pour tout a, b > 0 les valeurs propres de A sont purement réelles et sont strictement négativeson conclut donc que le système est asymptotiquement stable à l'origine. Pour étudier lastabilité du point d'équilibre (x1 = π, x2 = 0), on calcule la jacobienne en ce point

A = ∂f∂x

(x)|x1=π,x2=0 =0 1a −b

les valeurs propres de A sont

λ1,2 = −12b±

12

√b2 + 4a

pour tout a > 0 et b ≥ 0, nous avons λ1 = −12b+ 1

2

√b2 + 4a > 0

en vertu du théorème 4.1 le point d'équilibre (x1 = π, x2 = 0) est instable.

Remarque 4.2 Une matrice carrée A est dite Hurwitz si Re(λi) < 0,∀i = 1...n où λi sontles valeurs propres de A.

13


Définition 4.6 Soit D un voisinage de 0 dans Rn. Soit V : D −→ R une fonction telle que1. V (0) = 02. V (x) > 0 si x 6= 0On dit que V est définie positive dans D.

Théorème 4.2 (Théorème de stabilité de Lyapunov) Soit 0 le point d'équilibre de x′ =f(x), f : D −→ Rn, D est un voisinage de 0 dans Rn et V : D −→ R une fonction continûmentdifférentiable et définie positive . Si V ′(x) ≤ 0,∀x ∈ D, x 6= 0, alors x = 0 est stable, si deplus V ′(x) < 0 dans D − 0 alors x = 0 est asymptotiquement stable.

Preuve 4.1 Soit ε > 0 choisissons r ∈ ]0, ε] tel que

B(r) = x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ r ⊂ D .

Soit α = min‖x‖=r

V (x), alors α > 0 ( par la première hypothèse du théorème )choisissons β ∈ ]0, α[ et soit

Ωβ = x ∈ B(r), V (x) ≤ β

alors Ωβ est dans l'intérieur de B(r), car dans le cas contraire, il existerait p ∈ Ωβ qui soitau même temps sur la frontière de B(r). En ce point p on aurait ,

V (p) ≥ α > β

or, pour tout x ∈ Ωβ, V (x) ≤ β , ce qui constitue une contradiction.L'ensemble Ωβ a la propriété suivante : n'importe quelle trajectoire dans Ωβ , issue de t = 0reste dans Ωβ pour tout t ≥ 0.En effet, par la deuxième hypothèse du théorème nous avons

V ′(x(t)) ≤ 0 =⇒ V (x(t)) ≤ V (x(0)) ≤ β, ∀t ≥ 0

par la compacité de l'ensemble Ωβ , on conclut que le système (1.1) a une unique solutionpour tout t ≥ 0 dés que x(0) ∈ Ωβ . Comme V est continue et vérifie V (0) = 0 il existe alorsδ > 0 tel que

‖x‖ ≤ δ =⇒ V (x) < β

par suite

B(δ) ⊂ Ωβ ⊂ B(r)

14


et les implications suivantes sont vérifiées

x(0) ∈ B(δ) =⇒ x(0) ∈ Ωβ =⇒ x(t) ∈ Ωβ =⇒ x(t) ∈ B(r)

par conséquent ‖x(0)‖ < δ =⇒ ‖x(t)‖ < r ≤ ε , ∀t > 0ce qui signifie que le point d’équilibre x = 0 est stable.Reste donc à montrer la stabilitéasymptotique. Pour se faire, supposons donc

V ′(x) < 0,∀x 6= 0, x ∈ D (∗)

et montrons que x(t) −→ 0 lorsque t −→ ∞ , c'est-à-dire : pour tout a > 0 il existe T =T (a) > 0 tel que ‖x(t)‖ ≤ a , pour tout t ≥ T .Par les mêmes arguments que précédemment,on sait que pour tout a > 0 , on peut choisir b > 0 tel que Ωβ ⊂ B(a) il suffit alors demontrer que

V (x(t)) −→ 0 lorsque t −→∞ .

Comme V (x(t)) est décroissante et minorée par zéro, il vient que

V (x(t)) −→ c ≥ 0 lorsque t −→∞.

Pour monter que c = 0,on supposera le contraire (c > 0) ,par la continuité de V (x) , il existed > 0 tel que B(d) ⊂ Ωc .La limite V (x(t)) −→ c > 0 implique que la trajectoire x(t) resteà l'extérieur de la boule B(d) pour tout t ≥ 0. Posons

−γ = maxd≤‖x‖≤r

V ′(x)

( γ existe car V ′ est continue sur le compact d ≤ ‖x‖ ≤ r) par l'hypothèse (∗) nous avons−γ < 0 . Il vient donc

V (x(t)) = V (x(0)) +∫ t

0V ′(x(s))ds ≤ V (x(0))− γt −→ −∞ lorsque t −→∞

cette dernière inégalité contredit l'hypothèse c > 0.

Remarque 4.3 La fonction V définie dans le théorème 4.2 est appelée fonction de Lya-punov.

15


Exemple 4.3 Considérons le système x′1 = x2

x′2 = −4 (x1 + x2)− h (x1 + x2)(∗)

ou h : R −→ R une fonction localement lipchitzienne vérifiant

h(0) = 0 ; xh(x) ≥ 0 , ∀|x| ≤ 1

considérons la forme quadratique

V (x) = xT

2 11 1

x.Comme fonction candidate de Lyapunov, la dérivée V ′(x) est donnée par

V ′(x) = (4x1 + 2x2)x′1 + 2(x1 + x2)x′2

= −2x21 − 6(x1 + x2)2 − 2(x1 + x2)h(x1 + x2)

≤ −2x21 − 6(x1 + x2)2,∀|x1 + x2| ≤ 1

= −xT8 6

6 8

x,∀|x1 + x2| ≤ 1.

Ainsi, V ′(x) est définie négative dans l'ensemble

G = x ∈ Rn, |x1 + x2| ≤ 1.

La fonction V est bien une fonction de Lyapunov pour le système (∗).

Théorème 4.3 Une matrice A est de Hurwitz (Re(λi) < 0) si et seulement si pour toutematrice symétrique définie positive Q il existe une matrice définie positive P qui satisfaitl’équation de Lyapunov:

PA+ ATP = −Q.

La fonction de Lyapunov candidate pour le système x′ = Ax est V (x) = xTPx .Ainsi pour le système x′ = Ax si ∀i : Re(λi) < 0 alors x = 0 est asymptotiquement stable.En considérant la fonction de Lyapunov candidate V (x) = xTPx on a :

V ′(x) = xTPx′ + xTPx = xT (PA+ ATP )x = −xTQx < 0,∀x 6= 0si de plus A est de Hurwitz alors P est unique solution de l'équationQ = −(PA+ ATP ) .

16


Preuve 4.2 La condition suffisante découle du théorème 4.2 avec V (x) = xTPx.Pour montrer que la condition est nécessaire, supposons que toutes les valeurs propres de Avérifiant Re(λi) < 0, et considérons la matrice P définie par :

P =∫ ∞

0exp(AT t)Q exp(At)dt (1, 2)

Cette intégrale est bien définie du fait que les éléments à intégrer sont de la forme

tk−1 exp(λit) avec Re(λi) < 0 .

La matrice P est clairement symétriquemontrons qu'elle est définie positive.Supposons le contraire, il existe donc un vecteur x 6= 0 tel que xTPx = 0.Comme la matrice exp(At) est inversible pour tout t , il vient que

xTPx = 0 =⇒∫ ∞

0xT exp(AT t)Q exp(At)xdt = 0

=⇒ exp(At)x ≡ 0,∀t ≥ 0 =⇒ x = 0

cette contradiction montre que P est définie positive . En remplaçant l'expression de P dansl'équation de Lyapunov , on obtientPA+ ATP =

∫ ∞0

exp(AT t)Q exp(At)Adt+∫ ∞

0AT exp(AT t)Q exp(At)dt

=∫ ∞

0

d

dtexp(AT t)Q exp(At)dt = exp(AT t)Q exp(At)|∞0 = −Q

ce qui montre que P est bien une solution de l'équation de Lyapunov.Pour montrer que c'estl'unique solution, supposons l'existence d'une autre solution P 6= P donc

(P − P )A+ AT (P − P ) = 0

il vient que

0 = exp(AT t)[(P − P )A+ AT (P − P )

]exp(At) = d

dtexp(AT t)(P − P ) exp(At)

autrement dit exp(AT t)(P − P ) exp(At) = constante pour tout t.En particulier, comme exp(A0) = Id , nous avons

(P − P ) = exp(AT t)(P − P ) exp(At) −→ 0 lorsque t −→∞.

Finalement P = P .

17


5 Les inégalités de Gronwall

Lemme 5.1 [2] Soit λ, µ : [a, b] −→ R des fonctions continues avec µ positive si y : [a, b] −→R est une fonction continue qui vérifie

y(t) ≤ λ(t) +∫ t

aµ(s)y(s)ds

pour tout t ∈ [a, b] alors y(t) ≤ λ(t) +∫ t

aλ(s)µ(s) exp

[∫ t

sµ(τ)dτ

]ds, Pour tout t ∈ [a, b]

en particulier si λ(t) = λ , alors y(t) ≤ λ exp[∫ t

aµ(τ)dτ

]si de plus µ(t) = µ ≥ 0 alors y(t) ≤ λ exp (µ(t− a))

Preuve 5.1 Posons F (t) =∫ t

aµ(s)y(s)ds en multipliant les deux membres de l'inégalité

donnée en hypothèse par µ(t) , on obtient

F ′(t)− µ(t)F (t) ≤ λ(t)µ(t)

ce qui s'écrit aussi

G′(t) ≤ λ(t)µ(t) exp(−∫ t

aµ(s)ds

)avec G(t) = F (t) exp

(−∫ t

aµ(s)ds

)comme G(a) = F (a) = 0, on en déduit, par intégration

G(t) ≤∫ t

aλ(s)µ(s) exp

(−∫ s

aµ(τ)dτ

)ds

or par hypothèse, y(t) ≤ λ(t) + G(t) exp(∫ t

aµ(s)ds

)d'où le résultat en utilisant l'inégalité

ci-dessus.Pour le cas particulier λ(t) = λ on a donc pour t ∈ [a, b]

y(t) ≤ λ+∫ t

aλµ(s) exp

(∫ t

sµ(τ)dτ

)ds = λ+ λ

[− exp

(∫ t

sµ(τ)dτ

)]ta

= λ exp(∫ t

aµ(τ)dτ

).

18

I.6 Systèmes dynamiques

6 Systèmes dynamiques

La théorie des systèmes dynamiques est utilisée pour étudier les systèmes physiques quiévoluent au cours du temps.On suppose que l'état d'un système dynamique peut être représenté par un élément x d'unespace d'état X. L'espace X est de dimension finie (un ouvert de Rn ou plus généralementune variété différentiable).L'évolution du système dynamique est décrite par une équation différentielle ordinaire surX, qu'on écrira sous la forme: x′ = f(x), où f : X −→ Rn est une fonction. L'équationx′ = f(x) définit en fait un champ de vecteurs sur X.L'image d'une solution est appelée une orbite. Une orbite est tangente en chacun de sespoints au champ de vecteurs f . Le domaine X est appelé l'espace des phases.La théoriedes systèmes dynamiques a son origine dans les travaux de Poincarè [2], à la fin du 19 eme

siècle où il a proposé, au lieu de s'intéresser à une solution particulière du système,d'utiliserdes arguments topologiques ou géométriques pour déterminer les propriétés de l'ensemblede toutes les solutions, considérées comme orbites (ou trajectoires) dans l'espace des états.Par la suite, dans les années 1920 avec les travaux de Birkhoff[2] et d'autres, s'est dégagéela notion de système dynamique abstrait, de flot, d'ensembles invariants, etc...

7 Flot d’un système dynamique

Définition 7.1 [24]

Le flot d'une équation différentielle x′ = f(x) est la famille à un paramètre d'applicationsΦtt∈R de X dans lui-même, définies par : Φt(t, a) = x(t, a) pour tout a ∈ Xoù x(t, a) est l'unique solution du problème de Cauchy qui consiste en la détermination dessolutions du problème x′ = f(x) satisfaisant la condition initiale x(0) = a.Le théorème suivant affirme que le flot est un groupe à un paramètre de difféomorphismes.

Théorème 7.1 [24] Le flot Φtt∈R vérifie les propriétés suivantes :Φ0 = Id (Id est l'identité de X)Φt1 Φt2 = Φt1+t2 pour tout t1, t2 ∈ Rbien que l'on ait par définition Φt(a) = x(t, a) pour tout t ∈ R et pour tout a ∈ Xon ne peut confondre le flot Φt et la solution x conceptuellement.

19


Pour chaque a ∈ X la solution x(., a) : R −→ X donne l'état du système x(t, a) pour toutt ∈ R , tel que x(0, a) = a.Pour chaque t ∈ R le flot Φt : X −→ X donne l’état du système Φt(a) à l'instant t, pourtout a ∈ X .Par définition du flot on a

d

dtΦt(a)|t=0 = f(a)

ce qui montre que la donnée du flot Φt définit le système x′ = f(x).Les solutions d'un système dépendent de manière différentiable des conditions initiales.

Théorème 7.2 [2] L'application Φt est différentiable sur X.Pour un système linéaire x′ = Ax où A est une matrice n×n à coefficients dans R et x ∈ Rn

le flot est donné par : Φt(a) = etAa .La matrice exponentielle est définie par la série

etA = I + tA+ 12!t

2A2 + ...+ 1n!t

nAn + ...

Exemple 7.1 Considérons l'équation

x′(t) = 0 1−1 0

x(t)

ainsi

etA = cos t sin t− sin t cos t

la solution du système et donnée par

x(t) = exp(tA)x0

pour toute donnée initiale x0 ∈ R2.

Définition 7.2 [18] Soit X un espace métrique. Un système dynamique sur X est la donnéed'une famille à un paramètre d'homéomorphisme Φt : X −→ X vérifiant les conditions :Φ0 = Id (Id est l'identité de X), Φt1 Φt2 = Φt1+t2 pour tout t1, t2 ∈ R

Définition 7.3 [2] Etant donné un système x′ = f(x) et le flot associé Φt sur X l'orbited'un point x0 ∈ X est l'ensemble

γ(x0) = x ∈ X : ∃t ∈ R x = Φt(x0)

20

I.8 Perturbations

Les points d'équilibre d'un système jouent un rôle important dans la description des pro-priétés du système.Un point x0 est un point d'équilibre du système s'il satisfait Φt(x0) = x0 pour tout t ∈ R ondéduit que l’orbite d’un point d'équilibre est réduite au point lui-même :

γ(x0) = x0

par contre l'orbite d'un point ordinaire est une courbe lisse qui admet en chacun de sespoints le vecteur f(x) comme vecteur tangent.

8 Perturbations

8.1 Perturbation régulière et perturbation singulière

Un problème (Pε) dépendant du paramètre ε peut s'avérer difficile à traiter. Supposons quel'on soit capable de résoudre le problème (Pε0) pour une certaine valeur ε0 de ε on espère endéduire des informations sur d'éventuelles solutions de (Pε) pour des valeurs de ε0 Voisinesde ε. Si xε0(t) est une solution supposée unique de (Pε0), existe-t-il une solution xε(t) de(Pε) proche de xε0(t) pour ε proche de ε0 ? Si oui cette approximation peut-elle avoir lieupour toutes les valeurs de t pour lesquelles xε0(t) est définie ?Pour ε proche de ε0 on dit que le problème (Pε) est une perturbation du problème (Pε0)(Pε0) est appelé problème réduit ou non perturbé. Lorsque (Pε) est un problème dépendantdu paramètre ε de sorte que l'on peut appliquer la théorie de dépendance continue parrapport aux paramètres et ou aux conditions initiales, on parle de perturbation régulière: sixε0(t) est définie pour t ∈ [0, T ] avec xε0(0) = αε0 et

limε−→ε0

αε = αε0

alors il existe une solution xε(t) de (Pε) définie au moins sur [0, T ] de condition initiale αεtelle que

limε−→ε0

xε(t) = xε0(t)

la convergence étant uniforme par rapport à t dans [0, T ].Si la solution xε(t) du problème perturbé (Pε) ne dépend pas continûment du paramètre ε

21


on parle de perturbation singulière. La convergence de xε(t) vers une solution du problèmeréduit (Pε0) n'est pas uniforme par rapport à t. Cette "cassure" se voit sur de très petitsintervalles de la variable t. Ces intervalles sont appelés couches limites ou libres selon qu'ilsse trouvent aux limites de l'intervalle de définition de la solution du problème réduit (Pε0)ou à l'intérieur.

8.2 Développement de la théorie des perturbations singulières

Une étude intensive des problèmes singuliérement perturbés a été menée durant les 50dernières années. Durant cette période différentes méthodes ont été développées.Pour un apercu historique des perturbations singulières, la première date à mentionnerest celle du début historique des perturbations singulières qui remonterait à 1904 quand "L.Prardtl" a présenté un travail dans le domaine de la dynamique des fluides lors du troisièmecongrès des mathématiciens à Heidelberg [2]. La deuxième est celle de l'utilisation pour lapremière fois du terme "perturbation singulière" par K.Friedrichs et son étudiant W.Wasowen 1946. La troisième est en rapport avec les travaux de Andrey Nikolayevich Tikhonovet ses étudiants et à l'apparition du livre "Asymptotic expansions of Ordinary différentialEquations" de Wasow[2].Puis, à peu prés à la même époque vers les années 70 s'est développée d'une part l'approchenon standard et d'autre part la théorie géométrique.L'idée d'utiliser l'analyse non standard dans la théorie des perturbations singulières deséquations différentielles s'est développée au sein de l'école de G.Reeb à Mulhouse et Stras-bourg,en France et à Oran en Algérie[2].La théorie géométrique des perturbations singulières quant à elle, a pour fondateur reconnuN.Fenichel[2]. Elle est basée sur la théorie des variétés invariantes et jouit d'une largeutilisation pour l'étude des systèmes lents-rapides.Un champ d'application par excellencedes méthodes de perturbations singulières est celui des modèles de dynamique de popula-tion.Signalons enfin que la variété des problèmes singulièrement perturbés est très étendue.

22

Chapitre II

Perturbation d'un système linéaire différentiel

1 IntroductionSoit Rn l'espace numèrique réel à n dimensions cartésiennes x1, x2, ..., xn.Un système différentiel linéaire à coefficients constants s'écrit :

dx

dt= Ax+ b (1)

où

A =

a11 . . . a1n... . . . ...an1 . . . ann

et b =

b1...bn

Sont deux matrices réelles constantes, et x =

x1...xn

La donnée du système (1) fournit l'expression d'un champ de vecteur X de Rn, dans lescoordonnées x1, x2, ..., xn via l'écriture :

X = (a11x1 + a12x2 + ...a1nxn) ∂∂x1

+ (a21x1 + a22x2 + ...a2nxn) ∂∂x2

+ ....++ (an1x1 + an2x2 + ...annxn) ∂

∂xn.

Le lieu singulier du système (1) ou encore du champ X, exprimé dans les coordonnéesx1, x2, ..., xn, est donné par l'ensemble des solutions des systèmes d’équations Ax+ b = 0,

23

Chapitre II. Perturbation d'un système linéaire différentiel

On sait en algèbre linéaire que l'ensemble des solutions est :1-Soit vide .2-Soit un espace affine de dimension k , (0 ≤ k ≤ n) .Il est vide, si rg(A) 6= rg(A, b). C'est un sous-espace affine de dimension k , si et seulementsi

rg(A) = rg(A, b) = n− k .

Lorsque rg(A) 6= rg(A, b), le système est sans singularités et n cas sont possibles :

1) rg(A) = 0 rg(A, b) = 12) rg(A) = 1 rg(A, b) = 2

... ...n) rg(A) = n− 1 rg(A, b) = n

Lorsque rg(A) = rg(A, b), à une translation de l'origine près, on peut supposer b = 0, celadonne un système linéaire homogène

dx

dt= Ax

ou encore de champ de vecteurs, linéaire sans termes constants qui s'écrit dans les coordon-nées x1, x2, ..., xn :

X = (a11x1 + a12x2 + ...a1nxn) ∂∂x1

+ (a21x1 + a22x2 + ...a2nxn) ∂∂x2

+ ....++ (an1x1 + an2x2 + ...annxn) ∂

∂xn.

Dans ce dernier cas, on voit tout de suite, que l'expression de X est invariante par homoth-éties.En effet, en posant xi = λXi (i = 1, ..., n), (λ 6= 0 réel ) ,on a : Xi = 1

λxi et

∂

∂xi=∑j

∂Xj

∂xi· ∂

∂Xj

= 1λ

∂

∂Xi

de sorte que l'expression de X est la même, dans les deux systèmes de coordonnées.D'une manière générale, une petite perturbation linéaire régulière d'une matrice réelle stan-dard M , est une matrice de la forme : M ′ = M + ε ou ε = (εij) est une matrice à élémentsinfiniment petits.Une petite perturbation linéaire régulière d’un système différentiel standard à coefficientsconstants dx

dt= Ax+ b, est un système de la forme :

24

II.2 Petites perturbations linéaires régulières

dx

dt= (A + δ)x + (b + η) ou δ et η sont des matrice à éléments infiniment petits.

Dans la première partie, nous rappelons la classification (modulo le groupe des transfor-mations affines de R2) des états qualitatifs linéaires des systèmes différentiels linéaires deR2, à coefficients constants (Centre (C), Noeud Stable(NS), Noeud Instable(NI), Foyer Sta-ble (FS), Foyer Instable (FI), Noeud Dégénéré Stable(NDS), Noeud Dégénéré Instable(NDI),Nul (N), Rectiligne (Re), Peigne Naturel Stable (PNS),Peigne Exotique(PE), Ame Stable(AS), Ame Instable (AI), Ame Exotique (AE), Col de type Centre (ColC), Col de type NoeudStable (ColNS), Col de type Noeud Instable (ColNI), Col de type Foyer Stable (ColFS), Colde type Foyer Instable (ColFI), Col de type Noeud Dégénéré Stable (ColNDS), Col de typeNoeud Dégénéré Instable (ColNDI). Cela nous conduit de manière naturelle, à rechercherl'effet d'une petite perturbation linéaire régulière, sur l'état qualitatif linéaire des systèmesstandard : comment passer d’un état A à un état B ? Y-a-t-il des transitions impossibles ?

2 Petites perturbations linéaires régulières

2.1 Rappels sur la classification, modulo le groupe affine des sys-tèmes différentiels linéaires de R2

Soit R2 l'espace numérique à deux dimensions, muni des coordonnées cartésiennes x1, x2.Considérons un système différentiel linéaire à coefficients constants :

dx

dt= Ax+ b (1) où A =

a11 a12

a21 a22

, b =b1

b2

Nous allons distingués deux cas :

1. cas où rgA = rg(A, b) = 1à une translation de l'origine près, on peut supposer b = 0, cela donne un système linéairehomogène :

dx

dt= Ax (1)

Étant donné que rgA = 1, il existe des éléments (α, β) ∈ R2, (a, b) ∈ R2, a2 + b2 > 0, tel que

a11 = αa, a12 = αb, a21 = βa, a22 = βb.

25


La matrice A s'écrit : αa αb

βa βb

et le système (1) devient :

(S)

x′1 = αax1 + αbx2

x′2 = βax1 + βbx2

Observation :Pour les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants homogènes dx

dt= Ax, avec

rgA = 1, il y a au total 32 cas de figures, suivant la position des orbites non singulières parrapport au lieu singulier (qui est de dimension 1, donné pour l'ensemble des solutions dusystème d'équation Ax = 0).Notations :On adoptera les abréviations suivantesONS : orbite non singulièreLS : lieu singulierPour indiquer qu'un quantité a ne prend pas la valeur 0, on écrira indifféremmenta 6= 0, où (a)1) ONS : x1 =cte d'où x′1 = 0, donc α = 0LS : x2 = 0 d'où x′2 = βbx2

x′1 = 0 α = 0, β 6= 0

a = 0, b 6= 0x′2 = βbx2, βb < 0

26


2) On procède de la même manière que pour (1) mais ici βb > 0

x′1 = 0 α = 0, β 6= 0x′2 = βbx2 a = 0, b 6= 0

3) ONS : x2 = constante d'où x′2 = 0 donc β = 0LS : x2 = 0

x′1 = αbx2 α 6= 0, β = 0

a = 0, b 6= 0x′2 = 0 αb > 0

4) Même chose que pour (3) mais ici αb < 0

x′1 = αbx2 α 6= 0, β = 0

a = 0, b 6= 0x′2 = 0 αb < 0

5) ONS : est une droite de pente positiveLS : x2 = 0

x′1 = αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a = 0, b 6= 0x′2 = βbx2 αb < 0, βb < 0

27



x′1 = αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a = 0, b 6= 0x′2 = βbx2 αb > 0, βb > 0

7) ONS : est une droite de pente négativeLS : x2 = 0

x′1 = αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a = 0, b 6= 0x′2 = βbx2 αb > 0, βb < 0


x′1 = αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a = 0, b 6= 0x′2 = βbx2 αb < 0, βb > 0

9) ONS : est une droite horizontaleLS : x1 = 0

x′1 = αax1 α 6= 0, β = 0

a 6= 0, b = 0x′2 = 0 αa < 0

28


10) ONS : est une droite horizontaleLS : x1 = 0

x′1 = αax1 α 6= 0, β = 0

a 6= 0, b = 0x′2 = 0 αa > 0

11) ONS : est une droite de pente αβ> 0

LS : x1 = 0

x′1 = αax1 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b = 0x′2 = βax1 αa > 0, βa > 0

12) ONS : est une droite de pente αβ< 0

LS : x1 = 0

x′1 = αax1 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b = 0x′2 = βax1 αa < 0, βa > 0

13) ONS : x1 = constante d'où x′1 = 0 donc α = 0LS : x1 = 0

x′1 = 0 a 6= 0, β 6= 0

α = 0, b = 0x′2 = βax1 βa < 0

29


14) Même chose que pour (13) mais ici βa > 0

x′1 = 0 a 6= 0, β 6= 0

α = 0, b = 0x′2 = βax1 βa > 0


x′1 = αax1 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b = 0x′2 = βax1 αa < 0, βa < 0


x′1 = αax1 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b = 0x′2 = βax1 αa > 0, βa < 0

17) ONS : est une droite horizontaleLS : αax1 + αbx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β = 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = 0 αa < 0, αb > 0

30


18) ONS : est une droite horizontaleLS : αax1 + αbx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β = 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = 0 αa > 0, ab < 0

19) ONS : est une droite de pente négativeLS : ax1 + bx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = βax1 + βbx2 ab < 0, βa > 0

20) ONS : est une droite de pente négativeLS : ax1 + bx2 = 0 mais αa > 0, βa < 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = βax1 + βbx2 ab < 0


LS : ax1 + bx2 = 0 mais αa > 0, βa > 0

x′1 = αax1 + αbx2 αa < 0

ab < 0x′2 = βax1 + βbx2 βa < 0

31


22) ONS : est une droite de pente positiveLS : ax1 + bx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β 6= 0

ab < 0, a 6= 0, b 6= 0x′2 = βax1 + βbx2 βa > 0, αa > 0


LS : ax1 + bx2 = 0 c'est une droite de pente positiveavec α

β= −a

b, βb+ αa = 0

x′1 = αax1 + αbx2 α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = β (ax1 + bx2) βa < 0, αa < 0

24) ONS : est une droite de pente positiveLS : ax1 + bx2 = 0 βb+ aα = 0

x′1 = α (ax1 + bx2) α 6= 0, β 6= 0

a 6= 0, b 6= 0x′2 = α (ax1 + bx2) αa > 0, βb > 0

32


25) ONS : x2 = constante d'où x′2 = 0 donc β = 0LS : est une droite de pente négative

x′1 = αax1 + αbx2 αa < 0

ab > 0x′2 = βax1 + βbx2 βa < 0

26) ONS : est une droite de pente positiveLS : ax1 + bx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 αa > 0

ab > 0x′2 = βax1 + βbx2 βa > 0

27) ONS : est une droite horizontaleLS : ax1 + bx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 αa < 0

αb < 0x′2 = 0 β = 0

33


28) ONS : est une droite horizontaleLS : ax1 + bx2 = 0

x′1 = αax1 + αbx2 αa > 0

ab > 0x′2 = 0 βa > 0


x′1 = αax1 + αbx2 αa > 0

ab > 0x′2 = βax1 + βbx2 βa < 0


x′1 = αax1 + αbx2 αa < 0

ab > 0x′2 = βax1 + βbx2 βa > 0

Conclusion : Pour un système différentiel linéaire de R2 à coefficients constants, homogènesdx

dt= Ax, tel que rgA = 1, il n'existe que deux modèles possibles :

34


Modèle (1) : Peigne Naturel StableLes orbites non singulières sont perpendiculaires au lieu singulier, le systèmequi permet de les décrire s'écrit : x′1 = 0

x′2 = x2

Modèle (2) : Peigne ExotiqueLes orbites non singulières sont parallèles au lieu singulier le système qui lesdécrit est de la forme : x′1 = x2

x′2 = 0

Deuxième cas où rg(A, b) = 1 + rgA = 2 :étant donné que rgA = 1, il existe (α, β) ∈ R2, (a, b) ∈ R2, a2 + b2 > 0 tel quea11 = αa, a12 = αb, a21 = βa, a22 = βb la matrice (A, b) s'écrit :

(A, b) =αa αb b1

βa βb b2

et le système (1) devient :

35


dx1

dt= x′1 = αax1 + αbx2 + b1

dx2

dt= x′2 = βax1 + βbx2 + b2

où encore : x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

1 ere cas : b1 = 0, b2 = 0.

On doit prendre α, β, a, b non nuls pour la matrice (A,b) reste de rg(A, b) = 2

2 eme cas : b1 = 0, b2 6= 0 on a:

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si α = 0 . β 6= 0 : impossible, car rg(A, b) ne sera plus égal à 2.

si α 6= 0 . β = 0 : on a :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = b2

si a = 0 . b 6= 0 :

x′1 = αbx2

x′2 = b2

si a 6= 0 . b = 0 :

x′1 = αax1

x′2 = b2

si a 6= 0 . b 6= 0 :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = b2

si α 6= 0 . β 6= 0 : on a :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0 , b 6= 0 :

x′1 = αbx2

x′2 = βbx2 + b2

36


si a 6= 0 , b = 0 :

x′1 = αax1

x′2 = b2

si α 6= 0 , b 6= 0 :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = b2

si a = 0.b = 0 impossible car rg(A, b) = 2

si α 6= 0 , β 6= 0 : on a :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0 . b 6= 0 :

x′1 = αbx2

x′2 = βbx2 + b2

si a 6= 0 . b = 0 :

x′1 = αax1

x′2 = βax2 + b2

si a 6= 0 . b 6= 0 :

x′1 = α (ax1 + bx2)x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0. b = 0 : impossible car on n'a plus rg(A, b) = 2.

3 eme cas :

b1 6= 0 , b2 = 0

on a :

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

si α = 0 . β 6= 0 : on a :

x′1 = b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

si a = 0 . b 6= 0 :

x′1 = b1

x′2 = βbx2

si a 6= 0 . b = 0 :

x′1 = b1

x′2 = βax2

si a 6= 0 . b 6= 0 :

x′1 = b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

37


si a = 0. b = 0 : impossible car on n'a plus rg(A, b) = 2si α 6= 0. β = 0 impossible car rg(A, b) = 2

si α 6= 0 . β 6= 0 on a :

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

si a = 0 . b 6= 0 :

x′1 = αbx2 + b1

x′2 = βbx2

si a 6= 0 . b = 0 :

x′1 = αax1 + b1

x′2 = βax1

si a 6= 0 . b 6= 0 :

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

si a = 0. b = 0 impossible car rg(A, b) = 2

4 eme cas :

b1 6= 0 , b2 6= 0

on a :

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si α = 0 . β 6= 0 on a :

x′1 = b1

x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0. b 6= 0 on a :

x′1 = b1

x′2 = βbx2 + b2

si a 6= 0. b = 0 on a :

x′1 = b1

x′2 = βax1 + b2

si a 6= 0. b 6= 0 :

x′1 = b1

x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0. b = 0 : impossible car on n'a plus rg(A, b) = 2

si a 6= 0, β = 0 on a :

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = b2

38


si a = 0, b 6= 0

x′1 = αbx2 + b1

x′2 = b2

si a 6= 0, b = 0

x′1 = αax1 + b1

x′2 = b2

si a 6= 0, b 6= 0

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = b2

si a = 0, b = 0 : impossible car on rg(A, b) = 2.

si α = 0, β = 0 on a

x′1 = b1

x′2 = b2

C'est une situation impossible car rg(A, b) = 0 et l'on doit toujours avoir rg(A, b) = 2

si α 6= 0, β 6= 0

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2)

si a = 0, b 6= 0

x′1 = αbx2 + b1

x′2 = βbx2 + b2

si a 6= 0, b = 0

x′1 = αax2 + b1

x′2 = βax1 + b2

si a 6= 0, b 6= 0

x′1 = α (ax1 + bx2) + b1

x′2 = β (ax1 + bx2) + b2

si a = 0, b = 0 : impossible car on n'a plus rg(A, b) = 2.

Conclusion : Pour un système différentiel linéaire de R2 à coefficients constants

dx

dt= Ax+ b tel que rg(A, b) = 1 + rgA = 2

39


il n'existe que deux modèles possibles.

Modèle (1) Ame Exotique ou parabole

Les trajectoires sont des paraboles d'équation x2 = 12x

21 + k, k ∈ R, correspondant au

système

x′1 = 1x′2 = x1

Modèle (2) Ame Stable

Les trajectoires sont des courbes exponentielles d’équation x2 = kex1 , k ∈ R

correspondant au système

x′1 = 1x′2 = x2

soitdx

dt= Ax+ b (1)

40


Un système différentiel linéaire de R2 à coefficients constants.Ainsi que nous l'avons dit dans l'introduction nous allons distinguer deux situations :

S1 : rg(A, b) = rgA

à une translation de l'origine près, on peut supposer b = 0 : ce qui donne le système linéairehomogène

dx

dt= Ax (1)

S2 : rg(A, b) = 1 + rgA

Examen de la situation S1: Trois cas sont possibles pour un système homogène dxdt

= Ax

a) rgA = 0

b) rgA = 1

c) rgA = 2

si rgA = 0 on obtient le système dx

dt= 0 appelé le Nul pour lequel tous les points sont

des points fixes, ou encore des points singuliers. Si rgA = 1 on examine la trace TrA dela matrice A lorsque TrA = 0, on obtient à un changement linéaire de coordonnées près lemodèle.

41


dx

dt=0 1

0 0

x

des systèmes appelés Peigne Exotique dont la géométrie des orbites est donnés par la figuresuivante :

Lorsque λ = TrA > 0 on obtient à un changement linéaire de coordonnées prés le mod-èle.

dx

dt=0 0

0 λ

xdes systèmes appelés peigne naturel instable de paramètre λ .Une homothétie positive sur le temps, permet d’éliminer λ et de se ramener au modèle.

dx

dt=0 0

0 1

xdont la géométrie des orbites est donnée par la figure suivante :

42


Lorsque TrA < O , on obtient le modèle dxdt

=0 0

0 −1

xdes systèmes appelés Peigne Naturel Stable dont la géométrie des orbites est donnée parla figure suivante :

Si rgA = 2 , on examine la forme de la matrice A . Est-elle diagonale ou non ?Si A n'est pas diagonale, on considère le schéma des états qualitatifs, en fonction de trace etdu déterminant.

43


L'axe des traces représente les états de type Peigne

Figure (∗)

L'axe des traces représente les états de type Ame

44


Si A est diagonale, on considère le schéma en fonction des éléments diagonaux

a) rgA = 0, rg(A, b) = 1

b) rgA = 1, rg(A, b) = 2

45


Examen de la situation S2

Deux cas seulement sont possiblesSi rgA = 0 et rg(A, b) = 1 un changement linéaire de coordonnées nous ramène au modèlesuivant :

dx

dt=1

0

appelé le rectiligne dont la géométrie des orbites est données par la figure suivante :

Si rgA = 1 on examen la trace (trA) de la matrice A : est- elle nulle négative, ou posi-tive. Lorsque TrA = 0 un changement linéaire de coordonnées nous ramène au modèle

dx

dt=0 0

1 0

x+1

0

appelé Ame Exotique lorsque TrA > 0 un changement linéaire de coordonnées et une ho-mothétie positive sur le temps, nous ramène au modèle suivant :

dx

dt=0 0

0 1

x+1

0

appelé Ame Instable lorsque TrA < 0 un changement linéaire de coordonnées et une ho-mothétie positive sur le temps, nous ramène au modèle suivant :

dx

dt=0 0

0 −1

x+1

0

appelé Ame stable

46


Les géométries des orbites des Ames Exotiques, instables, et stables sont données respective-ment par les figures suivantes.

x′1 = 1x′2 = x1

x′1 = 1x′2 = x2

x′1 = 1x′2 = −x2

47


3 Perturbations linéaires régulières lorsque le lieu sin-gulier est un point

Proposition 3.1 Soit une matrice réelle standard d'ordre n

A =

a11 . . . a1n... . . . ...an1 . . . ann

ε =

ε11 . . . ε1n... . . . ...εn1 . . . εnn

est une matrice réelle d'ordre n, à élément infiniment petits, alors rg(A+ ε) ≥ rgA

Lemme 3.1 Si B est une matrice réelle d'ordre p et ε une matrice réelle d'ordre p à élémentsinfiniment petits, alors il existe un réel infiniment petit ε, tel que :

det(B + ε) = detB + ε

Preuve 3.1 Si on identifie Rp2 à l'ensemble des matrices réelles d'ordre p, alors :det : Rp2 −→ R est un polynôme standard, donc une fonction standard continue au pointstandard B ∈ Rp2

Démonstration de la proposition 3.1 :On permute lignes et colonnes de A, pour sa ramener à un partitionnement de la forme :

A =A1 A2

A3 A4

avec rgA = rgA1, A1 inversible

rg(A+ ε) = rg

A1 + ε1 A2 + ε2

A3 + ε3 A4 + ε4

≥ rg(A1 + ε1) ≥ rg(A1) = rg(A)

Les diverses situations ou le lieu singulier est un pointSans perte de généralité,on pent se limiter aux systèmes homogènes,

dx

dt= Ax, avec rgA = 2, A matrice standard

48

II.3 Perturbations linéaires régulières lorsque le lieu singulier est un point

Premier Cas : A est non diagonaleNous travaillons avec la figure (∗).Donnant les états qualitatif en terme de trace et déterminant Tr : Rp2 −→ R est une fonctionstandard continue. Donc Tr(B + ε) = TrB + i.p. si B est une matrice standard, et ε unematrice à éléments infiniment petits.L'examen de la figure (∗) montre tout de suite que1- Les état qualitatifs NI, FI, FS,ColNI , ColFI , ColFS, ColNS, NS résistent aux petites per-turbations linéaires régulières (Il n'y a pas transition vers une autre état qualitatif).2- Un état qualitatifs NDS (respectivement NDI) à trois réponses possibles face aux petitesperturbations linéaires régulières : résister, se transformer en NS (respectivement NI) setransformer en FS (resp FI).

Proposition 3.2 Soit un système différentiel linéaire

dx

dt= Ax (1)

A standard.Dans l'état NDS (resp NDI)

(detA > 0, T rA < 0 (resp TrA > 0) detA = 1

4(TrA)2).

Subissant une petite perturbation linéaire régulière :

dx

dt= (A+ ε)x (1) (ε matrice à élément i.p )

Alors :l'état NDS (resp NDI) se transforme en NDS (resp NDI).Si det(A+ ε) = 1

4 (Tr(A+ ε))2 (On dit que les états NDS et NDI résistent).l'état NDS (resp NDI) se transforme en NS (resp NI).Si det(A+ ε) < 1

4 (Tr(A+ ε))2

l'état NDS (resp NDI)se transforme en FS (resp FI).Si det(A+ ε) > 1

4 (Tr(A+ ε))2

Preuve 3.2 Comme detA > 0, T rA < 0 (resp TrA > 0) A standard ε matrice à élémenti.p alors det(A+ ε) > 0 et Tr(A+ ε) < 0 (resp Tr(A+ ε) > 0) . Les conditions :det(A + ε) = 1

4 (Tr(A+ ε))2 , det(A + ε) < 14 (Tr(A+ ε))2 , det(A + ε) > 1

4 (Tr(A+ ε))2

montrent respectivement que la petite perturbation linéaire régulière transforme NDS enNDS transforme NDS en NS transforme NDS en FS (resp transforme NDI en NDI ,transforme NDS en NI , transforme NDI en FI).

49


Exemple 3.1 Soit le système dxdt

= Ax, dans l'état NDS

A =−3 1−1 −1

, detA = 4, T rA = −4, detA = 14(TrA)2.

L'état NDS résiste si on choisit la matrice nulle.

L'état NDS se transforme en NI si on prend ε =0 ε12

0 0

avec ε12 i.p < 0.

A+ ε =−3 1 + ε12

−1 −1

det(A+ ε) = 4 + ε12 < 4, T r(A+ ε) = −4

det(A+ ε) = 4 + ε12 < 4, 14 (Tr(A+ ε))2 > 0.

Etat qualitatif NDISoit le système dx

dt= Ax, dans l'état NDI

A = 3 1−1 1

detA = 4, T rA = 4, detA = 1

4 (Tr(A))2.

L'étatt NDI résiste si on choisit la matrice nulle.L'état NDI se transforme en NI si on prend.

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i.p > 0, A+ ε =3 + ε11 1−1 1

, det(A+ ε) = 4 + ε11

14 (Tr(A+ ε))2 = 1

4(4 + ε11)2 = 4 + 2ε11 + 14ε

211 > det(A+ ε).

L'étatt NDI se transforme en FI si on prend ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i.p > 0 on obtient :

14 (Tr(A+ ε))2 = 1

4(4 + ε11)2 = 4 + 2ε11 + 14ε

211 < det(A+ ε)

iii) Un état qualitatif C à trois réponses possibles face aux petites perturbations linéairesrégulières, résister se transformer en FI, se transformer en FS.

Proposition 3.3 Soit un système différentiel linéaire (1)

dx

dt= Ax, A standard.

Dans l'état C (detA > 0, T rA = 0) subissant une petite perturbation linéaire régulière.

50


dx

dt= (A+ ε)x, ( εmatrice réelle à élément i.p )

Alors, l'état C résiste si Tr(A+ ε) = 0L'état C se transforme en FI si Tr(A+ ε) > 0L'état C se transforme en FS si Tr(A+ ε) < 0

Preuve 3.3 A standard, detA > 0 alors det(A + ε) > 0 par conséquent, si Tr(A + ε) = 0,l'état C résiste, si Tr(A+ ε) 6= 0 il y a deux possibilités :Soit Tr(A+ε) > 0, soit Tr(A+ε) < 0 dans les deux cas, Tr(A+ε) est i.p et det(A+ε) > 0, ona donc dans les deux possibilités det(A+ε) > 1

4 (Tr(A+ ε))2 par conséquent, si Tr(A+ε) > 0,on a un FI si Tr(A+ ε) < 0, on a un FS .

Exemple 3.2 Soit le systèmedx

dt= Ax dans l'état C

A =−1 3−1 1

, detA = 2, TrA = 0.

L'état C résiste si on choisis la matrice ε nulleL'état C se transforme en FI si on prend

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p > 0.

A+ ε =−1 + ε11 3−1 1

, det(A+ ε) = 2 + ε11 > 0, T r(A+ ε) = ε11.

L'état C se transforme en FS si on prend

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p < 0.

On obtient

det(A+ ε) = 2 + ε11 > 0. T r(A+ ε) = ε11 < 0

det(A+ ε) = 2 + ε11 >14 (Tr(A+ ε))2 = 1

4ε211.

Un état qualitatif ColC à trois réponses possible face aux petites perturbations linéairesrégulières, résister, se transformer en ColFS , se transformer en ColFI

51


Proposition 3.4 Soit un système différentiel linéaire (1)

dx

dt= Ax, A standard.

Dans l'état ColC (detA < 0, T rA = 0) subissant une petite perturbation linéaire régulière.

dx

dt= (A+ ε)x, ( ε matrice réelle à élément i.p )

Alors, l'état ColC résiste si Tr(A+ ε) = 0.L'état ColC se transforme en ColFS si Tr(A+ ε) < 0.L'état ColC se transforme en ColFI si Tr(A+ ε) > 0.

Preuve 3.4 A standard, detA < 0 alors det(A + ε) < 0. T rA = 0 donc Tr(A + ε) est i.p,d'où |det(A+ ε)| > 1

4 (Tr(A+ ε))2 si Tr(A+ ε) = 0.L'état ColC résiste si Tr(A+ε) < 0 . L'état ColC se transforme en ColFS si Tr(A+ε) > 0,l'état ColC se transforme en ColFI .

Exemple 3.3 Soit le système

dx

dt= Ax dans l'état ColC

A =−1 2

1 1

, detA = −3, TrA = 0.

L'état ColC résiste si on choisis la matrice ε nulle.L'état ColC se transforme en ColFS si on prend

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p < 0.

A+ ε =−1 + ε11 2

1 1

, det(A+ ε) = −3 + ε11 < 0. T r(A+ ε) = ε11 < 0.

|det(A+ ε)| = | − 3 + ε11| > 14ε11 + 9

4 −32ε11 = 1

4 (Tr(A+ ε))2.

L'état ColC se transforme en ColFI si on prend

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p > 0.

On obtient

52


Tr(A+ ε) = ε11 > 0, det(A+ ε) < 0

|det(A+ ε)| = | − 3 + ε11| > 14 (Tr(A+ ε))2.

Un état qualitatif ColNDS (resp ColNDI) à trois réponses possibles face aux petites pertur-bations linéaires régulières, résister se transformer en ColFS (resp ColFI) se transforme enColNS (resp ColNI).

Preuve 3.5 A standard, detA < 0. TrA < 0 (resp TrA > 0), alors det(A+ ε) < 0, T r(A+ε) < 0 (resp Tr(A+ ε) > 0).Les conditions :

|det(A+ ε)| = 14 (Tr(A+ ε))2

|det(A+ ε)| > 14 (Tr(A+ ε))2

|det(A+ ε)| < 14 (Tr(A+ ε))2.

Montrent respectivement que la petite perturbation linéaire régulière transforme un ColNDS

en ColFS transforme un ColNDS en ColNS (resp ColNDI en ColNDI ,un ColNDI en ColFI unColNDI , un ColNDI en ColFI , un ColNDI en ColNS) .

Exemple 3.4 Etat qualitatif ColNDS Soit le système dxdt

= Ax, dans l'état ColNDS

A =−3 2−1 1

, detA = −1, TrA = −2, |detA| = 14(TrA)2.

L'état ColNDS résiste si on choisit la matrice ε nulle.L'état ColNDS se transforme en ColFS si on prend ;

ε =0 ε12

0 0

avec ε12 i, p < 0.

A+ ε =−3 2 + ε12

−1 1

, det(A+ ε) = −1 + ε12 < 0, Tr(A+ ε) = −2 < 0

|det(A+ ε)| = | − 1 + ε12| > 14 (Tr(A+ ε))2 = 1.

L'état ColNDS se transforme en ColNS si on prend ;

53


ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p.

A+ ε =−3 + ε11 2−1 1

, det(A+ ε) = −1 + ε11 < 0, Tr(A+ ε) = −2 + ε11 < 0

14 (Tr(A+ ε))2 = 1

4ε211 + 1− ε11 = |det(A+ ε)|+ 1

4ε211.

D'où

|det(A+ ε)| < 14 (Tr(A+ ε))2

Etat qualitatif ColNDI : Soit le système dxdt

= Ax, dans l'état ColNDI

A = 3 2−1 −1

, detA = −1, TrA = 2, |detA| = 14(TrA)2.

L'état ColNDI résiste si on choisit la matrice ε nulle.L'état ColNDI se transforme en ColFI si on prend ;

ε =0 ε12

0 0

avec ε12 i, p < 0.

A+ ε = 3 2 + ε12

−1 −1

, det(A+ ε) = −1 + ε12 < 0, Tr(A+ ε) = 2

|det(A+ ε)| = | − 1 + ε12| > 14 (Tr(A+ ε))2.

L'état ColNDI se transforme en ColNI si on prend ;

ε =ε11 0

0 0

avec ε11 i, p > 0.

A+ ε =3 + ε11 2−1 −1

, det(A+ ε) = −1− ε11 < 0, Tr(A+ ε) = 2 + ε11 > 0

|det(A+ ε)| = | − 1− ε11| < 1 + 14ε

211 + ε11 = 1

4 (Tr(A+ ε))2

54

II.4 Perturbations linéaires régulières dans le cas où le lieu singulier est unedroite

4 Perturbations linéaires régulières dans le cas où lelieu singulier est une droite

Dans ce paragraphe nous avons rg(A, b) = rg(A) = 1

dx

dt= Ax avec rgA = 1.

Comme petites perturbations linéaires, on prend

dx

dt= (A+ ε)x+ η

ε =ε11 ε12

ε21 ε22

, η =η1

η2

Matrices réelles a éléments infiniment petits.Ici, on est amené à utiliser les deux schémas suivants :

55


L'axe des traces représente les états de type Peigne

L'axe des traces représente les états de type Ame

Un état qualitatif PNS (respectivement PNI) à quatre réponses possibles aux petitesperturbations linéaires régulières : résister se transformer en ColNDI (respectivement enColNDI), se transforme en NS (respectivement NI), se transformes en AS (resp en AI).

56


Proposition 4.1 Soit un système différentiel linéaire

dx

dt= Ax

A standard, dans l'état PNS (resp PNI), (detA = 0, T rA < 0 (resp TrA > 0)). Subissantune petite perturbation linéaire régulière :dx

dt= (A+ ε)x+ η; (ε, η matrices reéls à éléments infiniment petits).

Si rg(A+ ε) = rg(A+ ε, η) = 1, l'état PNS (resp, PNI) résiste.Si det(A+ ε) < 0, l'état PNS (resp PNI) se transforme en ColNS (resp en ColNI).Si det(A+ ε) > 0, l'état PNS (resp PNI) se transforme en NS (resp NI).Si rg(A+ ε, η) = 1 + rg(A+ ε) = 2, l'état PNS (resp PNI) se transforme en AS (resp enAI).

Preuve 4.1 Comme TrA < 0 (resp TrA > 0). A standard ε matrice à éléments infinimentpetits, alors Tr(A+ ε) < 0 (resp Tr(A+ ε) > 0).Si det(A+ ε) = 0 et rg(A+ ε, η) = rg(A+ ε) = 1, l'état PNS (resp PNI) résiste.Si rg(A+ε, η) = rg(A+ε) = 2, det(A+ε) 6= 0, il y a deux possibilités : Soit det(A+ε) < 0,soit det(A+ ε) > 0.Dans les deux cas

|det(A+ ε)| < 14 (Tr(A+ ε))2.

Par conséquent, si det(A + ε) < 0,l'état PNS (resp PNI) se transforme en ColNS(respColNI).

Si rg(A+ ε, η) = 1 + rg(A+ ε) = 2

Exemple 4.1 (i) Etat qualitatif PNSSoit le système :

dx

dt= Ax

dans l'état PNS; A =−1 0

1 0

(rgA = 1, detA = 0, T rA = −1 < 0).

L'état PNS résiste si on choisit les matrices.

L'état PNS se transforme en ColNS si on prend ε =0 0

0 ε22

avec ε22 i.p > 0, η matrice

nulle .

57


A+ ε =−1 0

1 ε22

; (A+ ε, η) =−1 0 0

1 ε22 0

det(A+ ε) = −ε22 < 0; rg(A+ ε) = 2 = rg(A+ ε, η);Tr(A+ ε) = −1 + ε22

et |det(A+ ε)| = ε22 <14ε

222 − 1

2ε22 + 14 = 1

4 (Tr(A+ ε))2.

L'état PNS se transforme en NS si on trend ε =0 0

0 ε22

avec ε22 i.p < 0 ,η matrice

nulle.On obtient, det(A+ ε) = −ε22 <

14ε

222 − 1

2ε22 + 14 = 1

4 (Tr(A+ ε))2.

L'état PNS se transforme en AS si on prend la matrice ε nulle; η = 0η2

avec η2 infiniment

petit.

A+ ε =−1 0

1 0

, (A+ ε, η) =−1 0 0

1 0 η2

et det(A+ ε) = 0

rg(A+ ε, η) = 1 + rg(A+ ε) = 2 et Tr(A+ ε) = −1

(ii) Un état qualitatif PE possède vingt réponses possibles au petites perturbations linéairesrégulières : résister, se transformes en PNS, PNI,AS,AI,AE,ColC , ColFS, ColFI , ColNS, ColNDS,ColNDI , C, FS, FI,NS,NI,NDS,NDI.

Proposition 4.2 Soit un système différentiel linéaire dxdt

= Ax. A standard dans l'état PE(detA = 0, T rA = 0), subissant une petite perturbation linéaire régulière:dx

dt= (A+ ε)x+ η avec ε, η matrices réelles à éléments infiniment petits.

Si rg(A+ ε, η) = rg(A+ ε) = 1

si Tr(A+ ε) = 0 , l'état PE résiste

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en PNS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en PNI

Si rg(A+ ε, η) = rg(A+ ε) = 2

58


si Tr(A+ ε) = 0 , l'état PE transforme en AE

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en AS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en AI

Si rg(A+ ε, η) = rg(A+ ε) = 2

si Tr(A+ ε) = 0 , l'état PE transforme en C

Si det(A+ ε) > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en FS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en FI

Si det(A+ ε) > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en NS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en NI

Si det(A+ ε) > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en NDS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en NDI

si Tr(A+ ε) = 0 , l'état PE transforme en ColC

Si |det(A+ ε)| > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en ColFS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en ColFI

59


Si |det(A+ ε)| > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en ColNS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en ColNS

Si |det(A+ ε)| > 14 (Tr(A+ ε))2

si Tr(A+ ε) < 0 , l'état PE se transforme en ColNDS

si Tr(A+ ε) > 0 , l'état PE se transforme en ColNDI

60

Chapitre III

REGIONALISATIONS

Définition 0.1 [30] On se place dans un espace topologique X interne [30].Dans X,est donnée une partie non vide E , interne ou non.et dans E une partition (Ei)i , par des parties Ei (les régions de E) de X, internes ou non,I indice i parcourant une partie interne ou non d'un ensemble interne I .

Définition 0.2 [30] La partition (Ei)i de E est une régionalisation de E si et seulement sielle satisfait à la condition de connexité régionale.(cro) : Deux points distincts dans Ei appartiennent à l'adhérence d'au moins un mêmeouvert interne connexe contenu dans Ei .

1 Observationsi) On peut ici relativiser la définition des régionalisations en prenant d'autres ensemblestests à la place des adhérences d'ouverts internes connexes :

On peut prendre les ouverts internes connexes .On peut prendre des ouverts convexes lorsqu'on est dans un espace topologiquevectoriel.

ii) La connexité régionale est préservée par homéomorphisme interne, ceci permet le transportdes régionalisations par homéomorphisme .iii) Une régionalisation A est plus fine qu'une autre A′ si ses régions saturent celles de A .iv) Une régionalisation ordonnée est celle où A′ est donnée un ordre sur les indices .

61

Chapitre III. REGIONALISATIONS

2 Exemples de régionalisations dans R

La régionalisation rB = (R, G−⋃A−

⋃P⋃A+

⋃G+) [30]

La régionalisation rB = (R, G−⋃A−

⋃P⋃A+

⋃G+) regroupe les réels en cinq régions selon

le schéma.

G− ( resp. G+ ) regroupe les réels négatifs (resp. positifs). infiniment grandsA− ( resp. A+ ) regroupe les réels négatifs (resp. positifs). appréciables.P regroupe les réels infiniment petits (négatifs, positifs et zéro).On regroupe les réels limites ( i .e .non infiniment grands ) dans L = A−

⋃P⋃A+

La régionalisation rB est canoniquement ordonnée par l'ordre de RNotations

i. p : infiniment petit.i. g : infiniment grand.x réel x 6= 0 ; x+ réel x > 0 ; x− réel x < 0.La régionalisation rb = (R, G−

⋃L⋃G+)

62

III.2 Exemples de régionalisations dans R

Schématiquement :

On voit ici que rB est plus fine que rb, que rb aussi est canoniquement ordonnée par l'ordrede R .Remarque.On peut évidemment opérer d'autres regroupements de régions à partir de rB. Il peut re-grouper G− et A−, A+ et G+

Il peut regrouper G−, A− et PLa régionalisation rH =

(R,⋃

xhal(x)

)Les régions de la régionalisation rH sont les halos au sens des monades ( et non au sensgénéralisé de [30] ).Deux réels x et y sont dans le même halo si et seulement si leur différence x− y est un réelinfiniment petit.Dans ce cas on dit que x et y sont infiniment voisins ou encore infiniment proches .Notations

hal(x) : halo de x.x

P≈ y : x et y sont p -proches ou encore infiniment proches ou encore infiniment voisins.Px : autre notation de hal(x).

63


RemarqueOn peut donner la relation formelle hal(x) = Px = x+ P qui suggère les notations.hal+(x) = x+ P+ = P+x demi-halo positif.hal−(x) = x+ P− = P−x demi-halo négatif.P ∗x = x+ P ∗ halo troué.P ∗+x = x+ P ∗+ demi-halo strictement positif.P ∗−x = x+ P ∗− demi-halo strictement négatif.P ∗, P+, P−, P

∗+, P

∗− regroupent respectivement

les réels infiniment petits non nuls ,les réels infiniment petits positifsles réels infiniment petits négatifs ,les réels infiniment petits strictement positifsles réels infiniment petits strictement négatifs.La régionalisation rH est canoniquement ordonnée par l'ordre de R.De plus cet ordre est dense (i. e. entre deux halos distincts on peut intercaler un troisièmequi leur est distinct).La régionalisation rH est plus fine que rB.L'espace des halos hérite de la structure de groupe additif de R .( Etre dans le même halo est une équivalence).Schématiquement :

la régionalisation : rh−1 = (P ∗,⋃(Px)−1, x i.g)Les régions de rh−1 sont les inverses des halos des réels infiniment grands (On prend lesinverses des réels infiniment grands qui sont dans le même halo). On obtient ainsi une ré-gionalisation du halo troué de 0.Schématiquement : Cette régionalisation est (totalement) ordonnée dense.

64

III.3 La relation formelle

la régionalisation : rG =(R,⋃

xgal(x)

)Les régions ici sont les galaxies. Au sens initial (et non sens généralise de [30] ) Deux réelsx et y sont dans la même galaxie si et seulement si leur différence x− y est un réel limité.Cette relation est une équivalence compatible avec l'addition des réels. L'espace des galaxiesjouis donc d'une structure de groupe additif. De plus il est totalement ordonné dense.La régionalisation rG est moins fine que rH .

Notations

gal(x) : galaxie de xLx : autre notation de gal(x)x

L≈ y : x et y sont L-proches ou x et y sont dans la même galaxie

3 La relation formelle

gal(x) = Lx = x+ L

Suggère les notationsgal+(x) = L+x = x+ L+ demi-galaxie positivegal−(x) = L−x = x+ L− demi- galaxie négativeL∗x = x+ L∗ galaxie trouéeL∗+x = x+ L∗+ demi-galaxie strictement positive.L∗−x = x+ L∗− demi-galaxie strictement négative.

Schématiquement :

La régionalisation : rg−1 =(P ∗,

⋃x

(Lx)−1, x i.g)

Les régions de rg−1 sont les inverses des galaxies des réels infiniment grands (on prend lesinverses des réels infiniment grands qui sont dans la même galaxie).

65


On obtient ainsi une régionalisation du halo troué de 0 qui est moins fine que rh−1 et qui esttotalement ordonnée dense.

La régionalisation : rord =(R∗,⋃

xord(x)

)

Les régions ici sont les ordres de grandeur.Deux réels non nuls r1 et r2 sont dans le même ordre de grandeur si et seulement si leurquotient r1

r2est appréciable positif.

Etre dans le même ordre de grandeur est une équivalence dans R∗ compatible avec la multi-plication, l'espace des ordres de grandeur jouis donc d'une structure de groupe multiplicatif.La régionalisation rord est totalement ordonnée dense.Notations

ord(x) : ordre de grandeur de xx.A+ : autre notation de ord(x) ( cette notation regroupe les réels de la forme x.a (produitde x par a), avec a réel appréciable positif).Remarque

Dans la définition d'un ordre de grandeur on peut relativiser la contrainte en remplaçant A+

par d'autres parties tests telles Aw+, (hal(1))w où w > 0 est un réel .

Observation :

A+ et A− sont des ordres de grandeur pour rord.Les autres ordres de grandeur sont contenus dans G+, G−, P ∗+, P

∗− .

66


Schématiquement :

les régionalisations : rh−1|x, rg−1|x, rord|x

Ces trois régionalisations sont des régionalisations du halo troué d'un réel x.Les régions de rh−1|x sont les translatées de pas x des régions de rh−1 .Les régions de rg−1|x sont les translatées de pas x des régions de rg−1 .Les régions de rord|x sont les translatées de pas x des ordres de grandeurs contenusdans P ∗ on peut symboliquement écrire :

rh−1 |x = x+ rh−1 , rg−1 |x = x+ rg−1 , rord|x = x+ rord

les régionalisations images : β.rB, β.rb, (rB)β , (rb)β

On considère ici les homéomorphismes croissants de Rfβ : R −→ R; fβ(x) = β.x

gβ : R −→ R; gβ(x) = x[β]

ou β > 0 est un réel et x[β] prend la valeur xβ si x ≥ 0 et la valeur − (−x)β si x < 0on pose fβ(rB) = β.rB ; fβ(rb) = βrb ; gβ(rB) = (rB)[β] ; gβ(rb) = (rb)[β]

Observations [30]1. Pour deux réels a > 0, b > 0 il y a équivalence entre les affirmations suivantes

i) le quotient abest appréciable

ii) est réalisée l'égalité a.A+ = b.A+

iii) sont réalisées les égalités

a.G− = b.G−, a.A− = b.A−, a.P = b.P, a.A+ = b.A+, a.G+ = b.G+

67


Établissons la chaîne d'implications (iii =⇒ ii =⇒ i =⇒ iii).L'implication (iii =⇒ ii) est évidente.Voyons l'implication i =⇒ iii.Prenons x, y, u, v, w dans G−, A−, P, A+, G+ respectivement.Pour a > 0 et b > 0 on peut écrire

a.x =(a

b

)b.x b.x =

(b

a

)a.x

a.y =(a

b

)b.y b.y =

(b

a

)a.y

a.u =(a

b

)b.u b.u =

(b

a

)a.u

a.v =(a

b

)b.v b.v =

(b

a

)a.v

a.w =(a

b

)b.w b.w =

(b

a

)a.w

si ab

est appréciable il en est de même de b

a. Dans ce cas

(a

b

).x et

(b

a

).x sont dans

G− de sorte que a.x est dans b.G− et b.x dans a.G− ce qui donne l'égalité a.G− = b.G−,lesautres égalités s'obtiennent de manière analogue.Voyons l'implication ii =⇒ i.La condition (ii) montre que a est un produit de b par un appréciable, de Sorte que a

best

appréciable.

2. cas ou a > 0 et b > 0 sont deux infiniment petits tels que a

best infiniment petit (i.e.

ord(a) < ord(b) )

i) il existe un intervalle interne contenu dans P et contenant b.L = b.A−⋃b.P

⋃b.A+(

par exemple [−b 12 , b

12 ])

ii) il existe un intervalle interne contenu dans b.P et contenant

a.L = a.A−⋃a.P

⋃a.A+

(par exemple [−b.c 1

2 , b.c12 ])

68


iii) il existe un intervalle interne contenu dans(1b

).P et contenant

L = A−⋃P⋃A+

(par exemple [−b− 1

2 , b−12 ])

iv) il existe un intervalle interne contenu dans(1a

).P et contenant(1

b

)L =

(1b

)A−

⋃(1b

)P⋃(1

b

)A+

(par exemple [−

(1b

).c−

12 ,(

1b

).c−

12 ])

Voyons les régionalisations : (rB)β ; (rb)β

pour µ > 0, β > 0, x > 0 on peut écrire xµ =(xµβ

)β.

Ainsi lorsque µβ

est appréciable on voit que Aµ+ = Aβ+

Réciproquement Aµ+ = Aβ+

implique µβ

appréciable. En effet supposer µβ

infiniment petit ou infiniment grand estabsurde. Pour tout réel a+ appréciable il existe un réel b+ appréciable tel que µ.log(a+) =β.log(b+) . Si µ

βest infiniment grand alors log(a+) est infiniment petit quelque soit a+ ap-

préciable.Raisonnement analogue pour µ

βinfiniment petit.

Conclusion : pour µ > 0 , β > 0 est appréciables on a les égalités des régionalisations(rB)µ = (rB)β ; (rb)µ = (rb)β .Pour β > 0 infiniment petiti) Aβ+ est contenu dans l’intervalle [ββ, β−β] (lequel intervalle contient 1 et est contenu dansle halo de 1 ).ii) Aβ− est contenu dans l’intervalle [−β−β,−ββ] (lequel intervalle contient −1 et est contenudans le halo de −1 )

69


Schématiquement

Pour β > 0 infiniment grandi) Aβ+ contient l'intervalle [2−β, 2β] (lequel intervalle contient A+ son extrémité 2−β est infin-iment petite tandis que l'autre extrémité 2β est infiniment grande).ii) A[β]

− contient l'intervalle [−2β,−2−β] (lequel intervalle contient A− , son extrémité −2−β

est infiniment petite tandis que l'autre extrémité −2β est infiniment grande).

Schématiquement :

70

III.4 Exemples dans Rn

Observation

L'image par l'exponentielle exp : R −→ ]0,+∞[ de la régionalisation rB estexp(rB) =

(]0,+∞[ , P ∗+

⋃ exp(A−)⋃hal(1)⋃ exp(A+)⋃G+)

Schématiquement :

4 Exemples dans Rn

Faire des produits.Dans Rn ( n ≥ 2 standard ou non) on peut considérer les régionalisations

rB × rB × ........rB

rb × rb × ........rb

rH × rH × ........rH

rG × rG × ........rG

dont les régions s'obtiennent en faisant les produits des régions appropriées de R .à partir des produits on peut évidemment opérer divers regroupements de régions pourobtenir d'autres régionalisations.On a par exemplerB(R2) dont les régions (dans R2 ) sontPR2 = P × P , AR2 = L× L− P × P , GR2 = R2 − L× Lrb(R2) dont les régions (dans R2 ) sontLR2 = L× L , GR2 = R2 − L× L

71


Schématiquement :

5 Régionalisation angulaireang 〈Rn − 0〉 de Rn − 0 on suppose n ≥ 2 standard.Soit e1, e2, ......en une base standard de Rn .Les régions de ang 〈Rn − 0〉 sont les zones.Ang (si1 , ei1 , ......sik , eik)les ij sont deux à deux distincts ij < ij+1

les sj valent 1 ou −1.Formées par les réunions des demi-droites dont l'ombre est contenue dans

R∗+.si1 .ei1 + .......+ R∗+.sik .eik k parcourt 1, 2, ....n

Exemple : n = 2

On prend les vecteurs e1,−e1, e2,−e2 et on considère les zones.Ang(e1, e2), Ang(e1,−e2), Ang(−e1,−e2), Ang(−e1, e2)Ang(e1), Ang(−e1), Ang(e2), Ang(−e2)

72

III.5 Régionalisation angulaire

Schématiquement :

73

Chapitre IV

Résolution de l'équation de Van-Der-Pol par latransformation de Laplace

Les équations différentielles constituent l'un des domaines les plus importants de l'analysegrâce à leurs nombreuses applications. Elles permettent de modéliser mathématiquementplusieurs phénoménes physiques.La transformée de Laplace constitue une méthode puissante pour résoudre les équationsdifférentielles linéaire, certaines équations intégrales et équations aux dérivées partielles.Elle réduit le problème de résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constantsa un problème algébrique. Dans ce chapitre, on va résoudre l'équation de Van-Der-Pol parla transformation de Laplace .

1 IntroductionLa transformation de Laplace fournit un outil puissant pour la résolution des équationsdifférentielles linéaires vérifiant des conditions initiales données. Il n'est toujours possiblede résoudre les équations différentielles et trouver c'est à dire La transformée de Laplacen'existe pas pour n'importe quelle fonction leurs solutions analytiques par transformation deLaplace en mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale,c'est-à-dire une opération associant à une fonction f(t) (à valeur dans Rn ou dans Cn ) unenouvelle fonction dite transformée de Laplace de f(t), notée traditionnellement F (P ) oncherche la solution f(t) de l'équation de Van-Der-Pol :

74

IV.2 Transformation de Laplace

x′′ + a(x2 − 1)x′ + x = 0

avec les conditions initiales suivantes x(0), x′(0) .On pose x(t) = f(t) , l'équation devient:

f ′′ + a(f 2 − 1)f ′ + f = 0

2 Transformation de Laplace

2.1 Définition et propriétés

Définition 2.1 Soit t −→ f(t) une fonction de R dans R telle que f(t) = 0 pour t < 0 ,onappelle transformation de Laplace où l'image de la fonction définie par l'intégrale:

F (P ) =∫ +∞

0e−Ptf(t)dt, P ∈ C

la fonction f s'appelle l'originale de F cela s’exprime par : F = Lf .Dans tout ce qui suit on considère la transformée de Laplace seulement pour les fonctionscontinues par tranche et vérifiant l'inégalité :

(∃M > 0), (∃s0 ∈ R), (t ∈ R+ =⇒ |f(t)| ≤Mes0t) (1)

Proposition 2.1 Dans les condition (1), pour P ∈ C telle que Re(P ) > s0 l'image de fexiste.

Preuve 2.1 Puisque e−Pt = e−tRe(P ) (cos tIm(P )− i sin tIm(P ))on a ∣∣∣∣∫ +∞

0e−Ptf(t)dt

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ +∞

0e−tRe(P ) (cos tIm(P )− i sin tIm(P )) dt

∣∣∣∣∣∣∣∣∫ +∞

0e−Ptf(t)dt

∣∣∣∣ ≤ 2M∫ +∞

0e−tRe(P )es0tdt = 2M

Re(P )− s0

Proposition 2.2 (d'unicité)Si deux fonctions continues ϕ(t) et ψ(t) possèdent une même image F (p) ses fonctions sontIndependent égales.

75

Chapitre IV. Résolution de l'équation de Van-Der-Pol par la transformation deLaplace

Linéarité

Proposition 2.3 Soient f, g : R+ −→ R deux fonctions admettant des transformées deLaplace L(f) et L(g) et soient α, β ∈ R. Alors :

L(αf + βg) = αL(f) + βL(g)

Transformée de Laplace de la translation

Proposition 2.4 Soit f : R+ −→ R une fonction vérifiant f(t) = 0 si t < 0 et admettantune transformée de Laplace L(f)(P ).On considère la fonction fα définie par fα(t) = f(t −α), α > 0 .

L(fα)(P ) = e−PαL(f)(P )

Preuve 2.2 Remarquons d'abord que fα(t) =

f(t− α) si t− α ≥ 00 si t− α < 0

L(fα)(P ) =∫ +∞

0e−Ptfα(t)dt =

∫ +∞

0e−Ptf(t− α)dt =

∫ +∞

αe−Ptf(t− α)dt .

En posant x = t− α, on obtient :

L(fα)(P ) =∫ +∞

0e−Pαe−Pxf(x)dx = e−Pα

∫ +∞

0e−Pxf(x)dx = e−PαL(f)(P )

Transformée de Laplace de l'homothétie

Proposition 2.5 Soit k > 0 et f : R+ −→ R une fonction vérifiant f(t) = 0 si t < 0 etadmettant une transformée de Laplace L(f)(P ).Soit fk la fonction définie par fk(t) = f(kt).

L(fk)(P ) = 1kL(f)

(P

k

)

Preuve 2.3 L(fk)(P ) =∫ +∞

0e−Ptfk(t)dt =

∫ +∞

0e−Ptf(kt).

On fait le changement de variables : y = kt donc dt = dy

k.

L(fk)(P ) = 1k

∫ +∞

0e−y

(P

k

)dy = 1

kL(f)

(P

k

)

76


Transformée de Laplace des dérivées

Proposition 2.6 Soient f : R+ −→ R une fonction et f ∈ Cn(R+,R).Alors

L(f (n))(P ) = P nL(f)(P )−n∑k=1

P k−1f (n−k)(0).

Transformée du produit de convolution

Définition 2.2 Le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g, estune autre fonction , qui se note généralement f ∗ g et qui est définie par :

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f(x− t)g(t)dt =

∫ +∞

−∞f(t)g(x− t)dt.

Proposition 2.7 Transformée de Laplace de la convolution de deux fonctions

L(f ∗ g)(P ) = L(f)(P )L(g)(P )

Preuve 2.4 Rappelons que (f ∗ g)(u) =∫ +∞

−∞f(t− u)g(u)du.

Tenant compte du fait que f(y) = g(y) = 0 si y < 0, les calculs donnent :

L(f ∗ g)(P ) =∫ +∞

0

[∫ +∞

−∞f(t− u)g(u)du

]e−tPdt =

∫ +∞

0

[∫ t

0f(t− u)g(u)du

]e−tPdt

=∫ +∞

0

[∫ +∞

uf(t− u)e−tPdt

]g(u)du.

Dans l'intégrale∫ +∞

uf(t− u)e−tPdt, on fait le changement de variables v = t− u.∫ +∞

uf(t−u)e−tPdt =

∫ +∞

0f(v)e−(u+v)Pdv = e−uPL(f)(P ) (c'est la transformée de la trans-

lation voir proposition 2.4 ). Finalement :

L(f ∗ g)(P ) = L(f)(P )∫ +∞

0g(u)e−uPdu = L(f)(P )L(g)(P )

Transformée de Laplace d'une primitive

Proposition 2.8 Soit F (t) =∫ t

0f(x)dx une primitive de f .On a alors F ′ = f et F (0) = 0.

L(F )(P ) = L(f)(P )P

.

Preuve 2.5 D'après la proposition 2.6L(F ′)(P ) = PL(F )(P )− F (0) = PL(F )(P ). De cette égalité on déduit

L(F )(P ) = L(f)(P )P

.

77

Chapitre IV. Résolution de l'équation de Van-Der-Pol par la transformation deLaplaceProposition 2.9 (application aux équations différentielles)Soit donne une équation différentielle linéaire du neme ordre à coefficients constantes a0, a1, ..., an−1, an

a0dnf(t)dtn

+ a1dn−1f(t)dtn−1 + ...+ an−1

df(t)dt

+ anf(t) = g(t) (2)

et soit f(t) la solution de cette équation vérifiant les conditions initiales f(0) = f0, f′(0) =

f ′0, ..., f(n−1)(0) = f

(n−1)0 en désignant L(f) = F (p), L(g) = G(p),

a0Pn + a1P

n−1 + ...+ an−1P + an = ϕn(P )et an−1f0 + an−2 (f ′0 + Pf0) + ...+.......

+a1(f

(n−2)0 + Pf

(n−3)0 + ...+ P n−3f ′0 + P n−2f0

)+a0

(f

(n−1)0 + Pf

(n−2)0 + ...+ P n−2f ′0 + P n−1f0

)= Ψn−1(P )

on a :

F (P ) = Ψn−1(P )ϕn(P ) + G(P )

ϕn(P )

Preuve 2.6 Multiplions les deux membres de l'égalité (2) par e−Pt et intégrons en t entre

les limites 0 et ∞ ; a0L

(dnf

dtn

)+ ...+ anL(f) = L(g).

D'après la proposition 2.6 on a :

a0[P nF (P )−

(P n−1f0 + P n−2f ′0 + ...+ f

(n−1)0

)]+

+a1[P n−1F (P )−

(P n−2f0 + P n−3f ′0 + ...+ f

(n−2)0

)]+ ...+

...

+an−1(PF (P )− f0) + anF (P ) = G(P )d'où

F (P ) = Ψn−1(P )ϕn(P ) + G(P )

ϕn(P )

Théorème 2.1 Soit l'équation de Van-Der-Pol f ′′ + a(f 2 − 1)f ′ + f = 0la solution par Laplace est la suivante:f(t) =

(eat2 cos(αt) + a

2αeat2 sin(αt)

)f(0) +

(1αeat2 sin(αt)

)(f ′(0) + 3af 3(0)− af(0))

avec les conditions initiales :f(0), f ′(0), a ∈ ]−2, 2[ et α2 = 1− (a2)2

Preuve 2.7 On a l'équation f ′′ + a(f 2 − 1)f ′ + f = 0 =⇒ f ′′ + af 2f ′ − af ′ + f = 0en appliquant la transformation de Laplace à cette égalité on obtient l'équation équivalentesuivante: L (f ′′ + af 2f ′ − af ′ + f) = 0comme la transformée de Laplace est linéaire donc:

78


L(f ′′) + aL(f 2f ′)− aL(f ′) + L(f) = 0 (v)

on sait que L(f ′′) = P 2F (P )− (Pf(0) + f ′(0))1) Calculons L(f 2f ′) , on pose L(f 2f ′) = I

I =∫ +∞

0f 2f ′e−Ptdt =

∫ +∞

0ff ′fe−Ptdt.

Par intégration par partie on obtient:

I =[

12f

3e−Pt]+∞

0− 1

2I + 12

∫ +∞

0f 3Pe−Ptdt

2) calculons∫ +∞

0f 3Pe−Ptdt l'intégration par partie donne :

∫ +∞

0f 3Pe−Ptdt =

∫ +∞

0f 2Pfe−Ptdt =

[PF (P )f 2

]+∞0−[PF (P )f 2

]+∞0

= 0.

Alors 32I =

[12f

3e−Pt]+∞

0.donc I = −3f 3(0) d'aprés (v) on a :

P 2F (P )− (Pf(0) + f ′(0))− 3af 3(0)− aPF (P ) + af(0) + F (P ) = 0

de cette égalité on déduit que

F (P ) = Pf(0) + f ′(0) + 3af 3(0)− af(0)P 2 − aP + 1

F (P ) = P

P 2 − aP + 1f(0) + 1P 2 − aP + 1f

′(0) + 3aP 2 − aP + 1f

3(0) − a

P 2 − aP + 1f(0)et

P

P 2 − aP + 1 = P(P − a

2

)2−(a

2

)2+ 1

3) Calculons la fonction d'origine de :

P

P 2 − aP + 1

On suppose a ∈ ]−2, 2[ alors ∃α ∈ R∗ tel que α2 = 1−(a

2

)2

dans ce cas, la fonction F (P ) est une fonction rationnelle qu'on décompose en élémentssimples:

P

P 2 − aP + 1 =P − a

2 + a

2(P − a

2

)2+ α2

=P − a

2(P − a

2

)2+ α2

+ a

2αα(

P − a

2

)2+ α2

79

Chapitre IV. Résolution de l'équation de Van-Der-Pol par la transformation deLaplacealors

L(ea2 t cosαt+ a

2αea2 t sinαt

)= P

P 2 − aP + 1

4) Calculons la fonction origine de

1P 2 − aP + 1

si a ∈ ]−2, 2[ remarquons d'abord que P 2 − aP + 1 =(P − a

2

)2+ α2

1P 2 − aP + 1 = 1

α

α(P − a

2

)2+ α2

alors

L( 1αea2 t sinαt

)= 1P 2 − aP + 1 , L

(3aαea2 t sinαt

)= 3aP 2 − aP + 1

L(−aαea2 t sinαt

)= −aP 2 − aP + 1

il s'agit maintenant de retrouver la fonction f , c'est-à-dire d'appliquer la transformation deLaplace inverse. Donc finalement la solution de l'équation de Van-der-Pol est donnée par:f(t) =

(eat2 cos(αt) + a

2αeat2 sin(αt)

)f(0) +

(1αeat2 sin(αt)

)(f ′(0) + 3af 3(0)− af(0))

avec a ∈ ]−2, 2[ et les conditions initiales : f(0), f ′(0) .

3 Application

L'équation de Van-Der-Pol est donnée par f ′′ + a(f 2 − 1)f ′ + f = 0, a = −1, α =√

32

et les conditions initiales f(0) = f ′(0) = 1alors l'équation devient f ′′ − (f 2 − 1)f ′ + f = 0donc finalement la solution de l'équation de Van-Der-Pol est donnée par :

f(t) =(e−

12 t cos

√3

2 t+ −1√3e−12 t sin

√3

2 t)f(0)− 3

(2√3e−12 t sin

√3

2 t)

80

Chapitre V

Etude de l'équation d'ordre 2

1 Introduction

Ce chapitre concerne l'existence des solutions au problème des valeurs aux bords de l'équationsx′′ + 2f(t)x′ + (f 2(t) + 1)x+ g(t, x) = 0 (1.1)x(+∞) = x

′(+∞) = 0 (1.2)

oùx(+∞) := lim

t→+∞x(t), x′(+∞) := lim

t→+∞x′(t) .

L'équation (1.1) a été considéré par différents auteurs [29]. Dans [29] T.A.Burton et T. Fu-rumochi recherchent l'asymptotique pour l'équation (1.1).Plus précisément, sous certaineshypothèses (énumérées en dessous ). On prouve que pour des conditions initiales suffise-ment petites, l'équation (1.1) admet des solutions définies sur R+ = [0,+∞[ remplissant lesconditions suivantes :

x(+∞) = 0, x′(+∞) = 0 (1.3)

Ce résultat est établi en utilisant le théorème du point fixe de Schauder à un opérateuradéquat H, construit dans l'espace de BanachC := Z : R+ −→ R2, Z continue et borneé doté de la norme usuelle‖Z‖∞ := sup

t∈R+

|Z(t)| , ou |.| représente une norme dans R2.

81

Chapitre V. Etude de l'équation d'ordre 2

Pour construire l'opérateur H on change en premier l'équation (1.1) à un système

Z′ = A(t)Z + F (t, Z) (1.4)

qui est une perturbation du système

Z′ = A(t)Z (1.5)

( ici A est une matrice quadratique 2× 2, Z =xy

et F est une fonction à valeurs dans R2

les expressions de A et de F seront données dans la section suivante).Il est connu que si (1.5) est uniformément asymptotiquement stable, alors pour des petitesperturbations F (1.4) est uniformément asymptotiquement stable , dans le cas considéré parT.A. Burton et T.Furumochi, le système (1.5) est seulement stable asymptotiquement et n'estpas uniformément asymptotiquement stable , ce qui recommande à nouveau l'importance durésultat obtenu.Soit Z = Z(t) la matrice fondamentale du système (1.5) qui est principal en 0, telle qu'elleest bien connue, si w : R+ −→ R2 est une fonction continue alors les solutions du système(1.4) sous la condition

Z(0) = Z0 (1.6)

coïncide avec les points fixes de l'opérateur H définie par

(Hw)(t) := Z(t)Z0 +∫ t

0Z(t)Z−1(s)F (s, w(s))ds (1.7)

le probléme de l'existence de solutions pour le système (1.4) pour que Z(+∞) existe ( enparticulier, Z(+∞) = 0 ) a été traité dans le cas général [29], si le système (1.5) est uni-formément asymptotiquement stable. Dans ce cas, l'opérateur H est considéré dans Cl, lesous-espace de C, ou

Cl := x ∈ C, ∃x(+∞).

En utilisant cet espace, on obtient un avantage puisque le critère de compacité efficace semaintient ( voir [28]), ce qui dans C ne se produit pas, de ce critère, il peut être facilementprouvé que H est un opérateur compact dans Cl.Dans le cas où (1.5) est asymptotiquement

82

V.2 Solutions convergentes

stable l'opérateur H n'est pas compact dans Cl . Pour éviter cette difficulté, T.A.Burton etT.Furumochi utilisent l'autre variante (équivalente) du théorème de Schauder, en identifiantun sous espace convexe compact S de C :

S := Z ∈ C, |Z(t)| ≤ q(t), t ∈ R+

où S est équicontinue et q : R −→ R est une fonction continue positive avec limt−→+∞

q(t) = 0.En montrant que HS ⊂ S et H est continu, on peut appliquer le théorème de Schauder dansle présent document, nous montrons d’abord que, pour des données initiales assez petites,l'équation (1.1) admet des solutions définies sur R+ nous prouvons que chacune de cessolutions remplit (1.2). Pour cela, nous utilisons, comme dans [29] une équation équivalentede type (1.6).l’hypothèse admise sera analogue à celle de [29]. Contrairement à T.A.Burtonet T.Frurumochi, nous devons appliquer le théorème du point fixe de Schauder-Tychonoffdans l'espace de Frèchet.

Cc := Z : R+ −→ R2, Z continues .

Doté d’une famille de semi-nomes choisies pour déterminer la convergence sur le sous-ensemble compact de R+ avec la topologie usuelle. En outre, nous indiquons la possibilitéd'appliquer le théorème du point fixe de Banach en Cc .

2 Solutions convergentesSoit f : R+ −→]0,+∞[ et g : R+ × R −→ R deux fonctions continues. Considérons leproblème de la valeur limite (1.1), (1.2). Admettrons les hypothèses suivantes :

(i) f est de classe C1(R+), f(+∞) = 0 et∫ +∞

0f(s)ds = +∞

∫ +∞

0f(s)ds := lim

t−→+∞

∫ t

0f(s)ds

(ii) il existe K ∈]0, 1[ telle que

|f ′(t)| ≤ Kf(t), t ∈ R+ (2.1)

83


(iii) il existe M > 0 et α > 1 telle que

|g(t, x)| ≤Mf(t)|x|α, t ∈ R+, x ∈ R (2.2)

le résultat principal est contenu dans le théorème suivant.

Théorème 2.1 [28] Sous les hypothèses (i), (ii) et (iii) il existe a > 0 de sorte que toutesolution x de l'équation (1.1) avec |x(0)| < a est défini sur R+ et satisfait à la condition(1.2). La preuve sera faite en plusieurs étapes nécessite des notations préliminaires. Toutd'abord, comme dans [29] on change l'équation (1.1) dans un système

Z′ = A(t)Z +B(t)Z + F (t, z) (2.3)

où

x′ = y − f(t)x

alors

y′ = x

′′ + f′(t)x+ f(t)x′

= −2f(t)x′ − f 2(t)− x− g(t, x) + f′(t)x+ f(t)x′

y′ = −f(t) [y − f(t)x]− f 2(t)x− x+ f

′(t)x− g(t, x)

Z =xy

,

x′ = y − f(t)x

y′ = (f ′(t)− 1)x− f(t)y − g(t, x)

A(t) =−f(t) 1−1 −f(t)

, B(t) = 0 0f′(t) 0

et F (t, Z) = 0−g(t, x)

Attachée au système (2.3) la condition initiale

84


Z(0) = Z0 (2.4)

notée par Z la matrice fondamentale du système

Z′ = A(t)Z (2.5)

qui est principale en 0, un calcul facile montre que

Z(t) = exp(∫ t

0A(s)ds

)

Z(t) = exp∫ t

0

−f(s) 1−1 f(s)

ds = exp

−

∫ t

0f(s)ds

∫ t

0ds

−∫ t

0ds −

∫ t

0f(s)ds

Z(t) = exp− ∫ t

0f(s)ds

1 00 1

+ 0 t

−t 0

= exp[−∫ t

0f(s)ds

]exp

0 t

−t 0

exp 0 t

−t 0

=1 0

0 1

+ 0 t

−t 0

+ 12!

0 t

−t 0

2

+ 13!

0 t

−t 0

3

+ + 14!

0 t

−t 0

4

+ ....

1− t2

2 + t4

4! + ... t− t3

3! + ...

−t+ t3

3! + ... 1− t2

2 + t4

4! + ...

= cost sint

−sint cost

Z(t) = exp(−∫ t

0f(s)ds

). cost sint

−sint cost

,t ∈ R+, (2.6)

pour Z = (x, y) ∈ R2 posons |Z| := max|x|, |y| et pour une matrice

U = (ui,j)i,j∈1,2

telle que

|U | := maxi∈1,2

2∑j=1|uij|

considérons comme espace fondamental :

Cc := Z : R+ −→ R2, Z continues

85


Cc est un espace de Fréchet ( c'est-à-dire un espace réel linéaire complet métrisable) parrapport à la famille de semi-normes

|Z|n := supt∈[0,n]

|Z(t)| (2.7)

Nous mentionnons que la topologie définie par la famille des semi-normes (2.7) est la topologiede la convergence sur des sous-espaces compactes de R+ , en plus, une famille A ⊂ Cc estrelativement compacte si et seulement si elle est équicontinue et uniformément bornée surdes sous-espaces compactes de R+ ( Théorème d’Ascoli-Arzela), définir dans Cc l'opérateur

(Hw)(t) := Z(t)z0 +∫ t

0Z(t)Z−1(s) [B(s)w(s) + F (s, w(s))] ds, (2.8)

w ∈ Cc

il est évident que l'ensemble des solutions pour le problème (2.3) coïncide avec l'ensembledes points fixes de H.L'ensemble

Bρ := Z ∈ Cc, |Z(t)| ≤ ρ

où ρ > 0 est nombre fixe, de toute évidence, Bρ est un sous-ensemble fermé borne convexenon vide de Cc .

Lemme 2.1 Il existe un nombre h > 0 telle que pour tout ρ ∈]0, h[ il existe un nombrea > 0 avec la propriété pour tout z0 avec |z0| ∈]0, a[

HBρ ⊂ Bρ (2.9)

Preuve 2.1 Soit w ∈ Bρ et Z = Hw par conséquent Z est donné par (2.8) .Nous avons les estimations suivantes:

|Z(t)z0| ≤ e−∫ t

0 f(s)ds|z0| (2.10)

∣∣∣∣∫ t

0Z(t)Z−1(s)B(s)w(s)ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

∣∣∣Z(t)Z−1(s)B(s)w(s)ds∣∣∣

86


≤∫ t

0e−∫ t

0 f(u)du

∣∣∣∣∣∣ cost sint

−sint cost

∣∣∣∣∣∣ e∫ s

0 f(u)du

∣∣∣∣∣∣∣ cost sint

−sint cost

−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0f′(s) 0

∣∣∣∣∣∣ |w(s)| ds

≤∫ t

0e−∫ tsf(u)du max| cos t|, | sin t||f ′(s)| |w(s)| ds ≤ K

∫ t

0e−∫ tsf(u)duf(s)|w(s)|ds (2.11)

et

∣∣∣∣∫ t

0Z(t)Z−1(s)F (s, w(s))ds

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

∣∣∣Z(t)Z−1(s)F (s, w(s))ds∣∣∣

≤∫ t

0e−∫ tsf(u)du

∣∣∣∣∣∣ 0−g(s, w(s))

∣∣∣∣∣∣ ds

≤∫ t

0e−∫ tsf(u)du |g(s, w(s))| ≤M

∫ t

0e−∫ tsf(u)duf(s)|w(s)|αds (2.12)

qui sont prouvés dans [29].En subistituant dans (2.11) et (2.12) l'inégalité|w(s)| ≤ ρ, s ∈ R+on obtient

|Z(t)| ≤ |Z0|+K∫ t

0e−∫ tsf(u)duf(s)ρds+M

∫ t

0e−∫ tsf(u)duf(s)ραds

≤ |Z0|+ (Kρ+Mρα)∫ t

0

(−e−

∫ tsf(u)du

)′(s)ds

= |Z0|+ (Kρ+Mρα)(

1− e−∫ t

0 f(u)du)≤ |Z0|+ (Kρ+Mρα)

≤ |Z0|+ ρ(K +Mρα−1) (2.13)

Soit h :=(1−K

M

) 1α− 1 ; alors si ρ < h on a K +Mρα−1 < 1

soit ρ ∈]0, h[ un nombre arbitraire; posons :

a := ρ [1− (Kρ+Mρα−1)] (2.14)

87


evidemment , a > 0 ; en plus cela résulte que

(|Z0| < a) =⇒ (|(Hw)(t)| ≤ ρ) (2.15)

ce qui termine la preuve.

Lemme 2.2 Si Z est une solution du problème (2.3), (2.4) défini sur R+ alors pour |Z0|suffisamment petit, Z(+∞) = 0.

Preuve 2.2 Soit Z =xy

. Alors on a

|Z(t)| ≤ |Z0|e−∫ t

0 f(s)ds +∫ t

0e−∫ tsf(u)du|f ′(s)||x(s)|ds+

∫ t

0e−∫ tsf(u)du|g(s, x(s))|ds

≤ e−∫ t

0 f(s)ds|Z0|+∫ t

0e−∫ tsf(u)du [Kf(s)|x(s)|+Mf(s)|x(s)|α] ds

:= r(t), t ∈ R+.

En evaluant r′(t) on trouve

r′(t) = −|Z0|e−

∫ t0 f(s)dsf(t) + [Kf(t)|x(t)|+Mf(t)|x(t)|α]−

−∫ t

0e−∫ tsf(u)duf(t) [Kf(s)|x(s)|+Mf(s)|x(s)|α] ds

= −|Z0|e−∫ t

0 f(s)dsf(t) + [Kf(t)|x(t)|+Mf(t)|x(t)|α]−

−f(t)[r(t)− |Z0|e−∫ t

0 f(s)ds]

r′(t) = [Kf(t)|x(t)|+Mf(t)|x(t)|α]− f(t)r(t)

Des inégalités 0 ≤ |x(t)| ≤ |Z(t)| ≤ r(t) , on obtient

r′(t) ≤ f(t)[(K − 1) +Mr(t)α−1]r(t), r(0) = |Z0|

par le lemme de Ciaplyghin nous obtenons r(t) ≤ q(t), t ∈ R+ où q = q(t) est l'unique

88


solution du problème (Bernoulli)q′(t) = f(t) [(K − 1) +Mqα−1] q

q(0) = |Z0|

c'est-à-direq(t) =

[|Z0|1−αe(1−α)(K−1)

∫ t0 f(s)ds +M(1− α)e(1−α)(K−1)

∫ t0 f(s)ds.

∫ t

0f(s)e−(1−α)(K−1)

∫ s0 f(u)duds

] 11−α

.Nous avons un équivalent de q(t)

q(t) =[e(1−α)(K−1)

∫ t0 f(s)ds

(|Z0|1−α − M

1−K

)+ M

1−K

] 11−α

.

Ainsi , pour |Z0| ∈]0, (1−K

M)

11−α

[,hypothèses (i), (ii) et (iii) nous trouvons

limt−→+∞

q(t) = 0

ainsi

Z(+∞) = limt−→+∞

Z(t) = 0 .

La preuve est maintenant complète. Prouver le théorème 2.1 nécessite de montrer que pourZ0 avec |Z0| suffisamment petit, le problème (2.3), (2.4) admet des solutions sur R+ .Pourcet objectif nous utilisons le théorlème suivant .

Théorème 2.2 [28] (SCHAUDER-TYCHONOFF) Soit E un espace de Fréchet S ⊂ E unsous-espace ferme borné convexe non vide de E et H : S −→ S un opérateur continu .Si HSest relativement compact dans E, alors H admet des points fixes.

Posons E = Cc , H donne (2.8) et S = Bρ il reste à prouver la continuité de H et la com-pacité relative de HS. Soit wn ∈ Bρ telle que wn −→ w dans Cc , comme m −→ ∞ ; celasignifie∀ε > 0,∃m0 = m0(ε),∀m > m0,∀t ∈ [0, n], |wm(t)− w(t)| < ε

mais|(Hw)(t)− (Hwm)(t)| ≤

∣∣∣∣∫ n

0Z(t)Z−1(s)B(s)[w(s)− wm(s)]ds

∣∣∣∣++∣∣∣∣∫ n

0Z(t)Z−1(s)[F (s, w(s))− F (s, wm(s))]ds

∣∣∣∣≤ αn

∫ n

0|w(s)− wm(s)| ds+

89


+βn∫ n

0 |F (s, w(s)− F (s, wm(s))| ds

oùαn = sup

t,s∈[0,n]|Z(t)Z−1(s)B(s)| et βn = sup

t,s∈[0,n]|Z(t)Z−1(s)|, puisque F (t, Z) est uniformément

continu pour t ∈ [0, n] et |Z| ≤ ρ , il s'ensuit que la suite F (t, wm(t)) converge uniformémentsur [0, n] vers F (t, w(t)), ce qui prouve finalement la continuité de H. Essayons de montrerque HBρ est relativement compacte de HBρ ⊂ Bρ résulte que HBρ est uniformément bornéedans Cc soit w ∈ Bρ arbitraire ; de Z = Hw ∈ Bρ

Z′ = A(t)Z +B(t)w + F (t, w)

on obtient

|Z ′(t)| ≤ γnρ+ δn, t ∈ [0, n]

où

γn := supt∈[0,n]

|A(t)|+ supt∈[0,n]

|B(t)|

et

δn := supt∈[0,n],w≤ρ

|F (t, w)| .

Donc, ayant la famille des dérivés uniformément bornées, HBρ est équi-continu sur les sousensembles compacts de R+, la preuve est maintenant complète.

3 Le cas où H est contractanteDans [29] le rèsultat mentionné est obtenu en admettant en plus une hypothèse supplémen-taire, c’est-à-dire (iv) pour tout δ > 0 il existe L(δ) > 0 telle que

|g(t, x)− g((t, y)| ≤ L(δ)f(t)|x− y|, |x|, |y| < δ, t ∈ R+

et L(δ) est une fonction continue. Si nous admettons la condition de Lipschitz, alors onpeut prouver que le problème (2.3), (2.4) admet une unique solution qui converge vers zéropour tout Z0 avec |Z0| < a . Evidemment, nous pouvons prouver séparément l'unicité, mais

90

V.3 Le cas où H est contractante

on préfère obtenir simultanément l'existence et l'unicité, en admettant une faible conditionainsi (iv) pour cet objectif, nous devons utiliser le théorème du point fixe de Banach qui,dans les espaces de Fréchet, a pour énoncé :

Théorème 3.1 (BANACH) Soit E un espace de Fréchet dote d'une famille de semi-normes|.|n et soit S ⊂ E un sous-espace fermé de E. Soit H : S −→ S un opérateur remplissant lacondition suivante : pour tout n ∈ N∗ il existe un nombre positif Ln ∈ [0, 1[ telle que pourtout x, y ∈ S,

|Hx−Hy|n ≤ Ln|x− y|n (3.1)

alors H admet un unique point fixe . Pour appliquer le théorème de Banach énoncé, nousdevons considérer dans l'espace Cc une autre famille de semi-norme topologiquement équiv-alente à (2.9) :

|Z|n := supt∈[0,n]

|Z(t)|e−λn|t|

(3.2)

ou λn > 0 sont des nombres arbitraires .

Théorème 3.2 Supposons que les hypothèses (i), (ii) et (iii) soient remplies, en plus pourtout n ∈ N∗ il existe Ln ∈ [0, 1[ tel que pour chaque x1, x2 ∈ R+ avec

|xi| ≤ ρ, (ρ < a)

|g(t, x1)− g(t, x2)| ≤ Ln|x1 − x2|, t ∈ [0, n] (3.3)

alors le problème (2.3), (2.4) admet une solution unique convergente vers zéro .

Preuve 3.1 Considérons le même opérateur H avec HBρ ⊂ Bρ . SoitZi = (xi, yi) ∈ Bρ, i ∈ 1, 2 ; depuis |xi − yi| ≤ |Z1 − Z2|, i ∈ 1, 2 nous avons

|(HZ1)(t)− (HZ2)(t)| ≤∫ t

0

∣∣∣Z(t)Z−1(s)∣∣∣ [|B(s)|+ Ln] |Z1(s)− Z2(s)| ds

91


pour tout t ∈ [0, n].Donc, en posant

µn := supt,s∈[0,n]

|Z(t)Z−1(s)| [|B(s)|+ Ln]

nous obtenons

|(HZ1)(t)− (HZ2)(t)| ≤ µn

∫ t

0|Z1(s)− Z2(s)| e−λn|S|eλn|S|ds

≤ µn |Z1 − Z2|n1λn

(eλn|t| − 1

)≤ µnλn|Z1 − Z2|n eλn|t|.

En multipliant cette dernière inégalité par e−λn|t| et en passant au sup pour t ∈ [0, n] il résulte

|HZ1 −HZ2| ≤µnλn|Z1 − Z2|n

par conséquent, en prenant λn > µn les hypothèses du théorème de Banach sont remplies .

92

V.4 Exemples

4 Exemples

1) f(t) = exp(−3

7 t)

+ 1t+ 2 , g(t, x) = x2 exp

(−37 t

)+ x2

t+ 2

limt−→+∞

f(t) = 0 et∫ +∞

0f(t)dt = +∞

∣∣∣f ′(t)∣∣∣ = 37 exp

(−37 t

)+ 1

(t+ 2)2 ≤12f(t) et |g(t, x)| ≤ x2f(t)

|g(t, x)− g(t, y)| = f(t) |x2 − y2|

= f(t) |x− y| |x+ y| ≤ f(t) |x− y| (|x|+ |y|) ≤ 2δf(t) |x− y|

2) f(t) = 1t+ 2 + 1

t+ 3 , g(t, x) = x2

t+ 2 + x2

t+ 3les hypothèses (i), (ii) et (iv) sont remplies avec K = 1

2 , α = 2,M = 1L(δ) = 2δ

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