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Résumé Mesures et incertitudes

Incertitudes à la GUM

« Une erreur peut devenir exacte, selon que celui qui l'a commise s'est trompé ou non. » Pierre Dac ; Les pensées - Ed. du Cherche Midi (1972)

Vocabulaire - Définitions

Vocabulaire scientifique Notation Définition Français courant Exemple

Mesurande Grandeur que l’on veut mesurer. Quand on mesure la valeur de la résistance R d’un dipôle passif linéaire, le mesurande est la résistance R de ce dipôle et le mesurage est effectué, par exemple, avec un ohmmètre.

Mesurage Ensemble des opérations permettant de déterminer expérimentalement une ou plusieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur.

Opération de mesure.

Valeur vraie Mvrai Valeur que l’on obtiendrait si le mesurage était parfait. Un mesurage n’étant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue.

Valeur théorique. Inconnue (elle n’est pas donnée par le code des couleurs !).

Mesure m Valeur (nombre) obtenue pour la grandeur (mesurande) lors d’un mesurage.

Résultat de la mesure. 100,251 Ω.

Erreur de mesure ER = m - Mvrai ER = ERa + ERs

L’erreur est inconnue. Erreur aléatoire RaE m m= −

Incertitude. Indications fournies dans la notice du multimètre. Erreur systématique (1) Rs vraiE m M= −

Incertitude de mesure (2) ∆M = k s

Paramètre, associé au résultat du mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande, associé à un niveau de confiance. k = facteur d’élargissement associé à un niveau de confiance. k = 2 pour un niveau de confiance à 95% (en général). s = incertitude-type (incertitude exprimée à partir d’un écart-type).

Un seul chiffre significatif pour ∆∆∆∆M.

Incertitude (absolue). ∆M = 0,8125 Ω.

Résultat du mesurage M = m ± ∆M (unités, niveau de confiance)

Expression complète du résultat (intervalle de valeurs) avec unités et niveau de confiance.

Résultat avec incertitude. R = (100,3 ± 0,8) Ω.

Précision Incertitude relative

M

m

∆en % Résultat d’autant plus précis que cette valeur est faible. Précision : 0,8 %.

Grandeur d’influence Grandeur qui n’est pas le mesurande mais qui a un effet sur le résultat du mesurage.

Température, pression…

(1) Ou encore biais de mesure ou erreur de justesse. (2) Détails et exemples ci-dessous pour l’expression de l’incertitude-type s.

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Schéma récapitulatif :

Mvrai Valeur vraie du

mesurande

M Mesurande Mesures de la valeur du mesurande

Mesurage

Mvrai

mi

mi

m ER = mi – Mvrai pour ce résultat

ERs = m – Mvrai pour tous les résultats

ERa = mi – m pour ce résultat

Une mesure

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Qualités des instruments de mesure La fidélité d’un instrument de mesure est son aptitude à donner des indications très voisines lors du mesurage répété du même mesurande dans les mêmes conditions. La justesse d’un instrument de mesure est son aptitude à donner des indications exemptes d’erreur systématique. On peut illustrer ces notions d’erreurs systématiques et aléatoires par le tir dans une cible :

Juste mais pas fidèle :

valeurs centrées mais dispersées (erreurs aléatoires). Fidèle mais pas juste :

valeurs décentrées mais resserrées (erreurs systématiques).

Ni juste ni fidèle :

erreurs aléatoires et systématiques. Fidèle et juste : erreurs faibles.

Classe d’un appareil de mesure : l’erreur absolue sur une mesure est x

100

classe calibre.

Exemple : un ampèremètre de classe 2 utilisé sur le calibre 500 mA induit une erreur absolue de 2/100 x 500 = 10 mA.

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Définitions et évaluations des incertitudes

Vocabulaire scientifique

Définition Expression pour calcul manuel Logiciel GUM MC

GUM = Guide to the expression of Uncertainty in Measurement MC = simulation de Monte-Carlo

Incertitude-type de type A

Évaluation des incertitudes par des méthodes statistiques.

exp

1s s

n= où ( )2exp

1

1

1

n

kk

s m mn =

= −−∑ (écart-type).

Rq : l’incertitude relative sur s est 1

2( 1)n −soit 10% pour 50 mesures.

Moyenne et écart-type expérimental calculés par le logiciel à partir de la série de mesures ou bien fournis au logiciel.

Incertitude-type de type B

Évaluation des incertitudes dans le cas d’une mesure unique.

• Lecture à l’œil (cadran, réglet…) : 1

12

graduations = ;

• Banc optique : il existe une plage de mise au point telle que xmin < x < xmax ⇒

max min

2 3

x xs

−= ;

• Indication ∆C fournie par le constructeur : 3

Cs∆

= (exemples 1 à 3) ;

Appareil de classe n sur le calibre C : ∆C =x

100

n C ⇒

100 3

n Cs = (exemple 4).

Choisir une loi de densité de probabilité (PDF) rectangulaire et fournir la demi-étendue : • Lecture à l’œil : demi-étendue = 1/2 graduation ; • Banc optique : demi-étendue = (xmax - xmin)/2 ; • Indication constructeur : demi-étendue = ∆C ;

Incertitude-type composée

Lorsque les sources de variabilité de la mesure y sont multiples (xj), on estime l’incertitude-type pour chacune d’entre elles (sj) et on fait un bilan global pour construire une incertitude-type composée sy.

1( , ..., )py f x x= ⇒

2

1

p

y jj j

fs s

x=

∂=

∂

∑

Exemple : 1 2y x x= + ⇒ 2 2

1 2y x xs s s= + .

Onglet « Estimations » : visualisation graphique du poids de chaque incertitude dans l’incertitude globale. Onglet « Intervalles de confiance » : résultat final en fonction de l’intervalle de confiance.

Exemples :

1. Résistance, anneaux brun, noir, noir, or. La résistance est donc égale à R = 10 Ω ± 5%. Incertitude-type : 10 x 5 / 100

3s = = 0, 29 Ω. D’où R = (10 ± 0,6) Ω (niveau de confiance 95%).

2. Thermomètre, résolution 0,01 °C, valeur mesurée 18,54 °C. Incertitude-type : 0, 01

3s = = 0,0058 °C. D’où θ = (18,54 ± 0,01) °C (niveau de confiance 95%).

3. Boîte à décades précision 0,1 % à pleine échelle, valeur indiquée 10 kΩ. Incertitude-type : 410 x 0,1 / 100

3s = = 5,8 Ω. D’où R = (10 000 ± 10) Ω (niveau de confiance 95%).

4. On cherche à mesurer une tension U de 0,9 V à l’aide d’un voltmètre de classe 2 réglé sur le calibre 100 V. Le résultat lu est 3 V. D’où s = 1,1 V, ∆U = 2 V (niveau de confiance 95%) : le calibre est mal choisi ! Précision : 67 %...

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Utilisation du logiciel GUM_MC – Exemple (type B)

Problème : incertitude sur une valeur de puissance électrique calculée par P = RI2.

Mesures et données constructeur

R est donnée par le code des couleurs : R = 10 Ω ± 0,1%. I est mesurée au multimètre : I = 123,1 mA. Notice du multimètre : « 0,05% + 2UR » comme incertitude élargie au taux de 99%. (UR = unité de représentation = digit = puissance de 10 du dernier chiffre lu). Méthode :

1. bilan des sources d’erreurs pour chaque mesurande ; 2. choix de la densité de probabilité associée à chaque erreur ; 3. entrée des données requises par la densité de probabilité.

Onglet « Bienvenue » : informations

Onglet « Expression de la grandeur de sortie » : relation P = RI2 et unités

Onglet « Grandeur d’entrée » : mesures et erreurs

Entrer les estimateurs des mesurandes (mesures) pour I et R (clic sur la valeur dans la colonne « Estimateur »).

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R = 10 Ω ± 0,1%. Pour R, la valeur de 0,1% pour la tolérance (déduite du code des couleurs) constitue une « indication constructeur » sans autre précision : choisir une densité de probabilité rectangulaire et la demi-étendue est alors donnée par : R x 0,1/100 = 0,01 Ω (cf. copie d’écran ci-dessous).

I = 123,1 mA avec « 0,05% + 2UR » comme incertitude élargie au taux de 99%. Pour I, il existe deux sources d’erreur : - une erreur liée à la résolution du multimètre (dernier digit), I = 123,1 mA ⇒ résolution

de 0,1 mA (distribution rectangulaire, valeur 2a = 0,1 mA donc demi-étendue = 0,05 mA) ;

- une erreur liée aux « indications constructeur » (notice) évaluée par des méthodes statistiques (étalonnage) (distribution Normale ou Gaussienne, I x 0,05/100 + 2 x 0,1 = 0,26 mA).

Cliquer pour ajouter une source d’erreur pour R.

Cliquer pour ajouter une source d’erreur pour I.

0.01

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Onglet « Résultats par propagation » : poids des différentes erreurs