1ere ES Corrige du DM no 1

Exercice 1.On repond selon les quatre etapes classiques pour resoudre un probleme concret.

a) Choix des inconnues :On pose x la duree de fonctionnement, en heures, du premier robinet,

y la duree de fonctionnement, en heures, du deuxieme robinet.x et y sont des reels positifs. (mais pas forcement des entiers !)

NB : Ne pas oublier de preciser les unites de x et y.

b) Mise en equation du probleme :La duree totale de fonctionnement des deux robinets est 5 heures, qui se decom-posent en x heures pour le premier robinet et y heures pour le deuxieme. Onobtient une premiere equation : x + y = 5.Le volume d’eau total qui a coule correspond aux 200 litres du bassin. Pendant lefonctionnement du premier robinet, il a coule 55 litres par heure, soit 55x litrespour une duree d’utilisation de x heures. De la meme maniere, le deuxieme robineta fait couler 35y litres. On obtient une deuxieme equation : 55x + 35y = 200.D’ou le systeme :{

x + y = 555x + 35y = 200 qui devient

{x + y = 5

11x + 7y = 40

apres simplification de la deuxieme equation par 5. Penser a simplifier si possible.

c) Resolution du systeme :On utilise la methode d’addition pour eliminer y. Pour cela, on multiplie lapremiere equation par −7, ce qui donne −7x − 7y = −35, puis on ajoute lesdeux equations. On obtient : 4x = 5, d’ou x = 5

4 = 1, 25. On utilise la premiereequation pour revenir a y : y = 5− x = 5− 5

4 = 154 = 3, 75. L’unique solution du

systeme est donc le couple (1, 25 ; 3, 75).

NB : 1, 25 heures correspond a une heure plus un quart d’heure, donc 1h15mn.De meme, 3, 75 heures correspond a trois heures plus trois quarts d’heure, donc3h45mn.

d) Reponse au probleme pose :Le premier robinet a fonctionne pendant 1h15, et le deuxieme robinet a fonctionnependant 3h45 .

Exercice 2.La droite d a pour equation reduite y = ax+ b avec a et b reels. Dans chacun des cas,

on determine les valeurs de a et b. Si un point M de coordonnees (xM ; yM ) appartienta d, alors ses coordonnees verifient l’equation de d, donc on a la relation yM = axM + b.

a) d passe par A(2; 3) et par B(4; 5). Les coordonnees de A verifient l’equation ded, donc 3 = 2a + b. De meme, les coordonnees de B verifient l’equation de d, donc5 = 4a + b. On doit resoudre le systeme{

2a + b = 34a + b = 5

pour determiner a et b. La soustraction des deux equations donne 2a = 2 d’oua = 1. On utilise ensuite la premiere equation pour obtenir b = 3− 2a = 3− 2 = 1.La droite d a donc pour equation y = x + 1 .

b) d passe par C(−1; 3) et a pour coefficient directeur − 53 . Si l’equation de d est de

la forme y = ax+b, on sait que a = − 53 (coefficient directeur). Il reste a determiner

b. Or C appartient a la droite, donc on a 3 = −a + b = −(− 53 ) + b = 5

3 + b. On en

deduit b = 3− 53

=43

. Finalement, d a pour equation y = −53x +

43

.

c) d passe par D(−2; 1) et E(0; 2). Le point E correspond a l’ordonnee a l’origine(puisque son abscisse est nulle), on a donc b = 2. L’equation de d est alors de laforme y = ax + 2. Comme D appartient a la droite d, on a 1 = −2a + 2. D’ou

a =12

. Finalement, d a pour equation y =12x + 2 .

Exercice 3.

1. Le volume de gazon diminue de 10 % par jour. Le coefficient multiplicateur decette diminution est egal a 1 − 10

100 = 0, 9. Au bout d’une journee, le volume degazon restant est donc de 0, 9× 300 = 270 litres.

2. Chaque jour, le volume de gazon dans l’enclos est multiplie par 0, 9 par rapport ala veille. Le deuxieme jour, il reste ainsi 0, 9× 270 = (0, 9)2 × 300 litres de gazon.Au bout d’une semaine, il reste donc (0, 9)7 × 300 ≈ 143 litres de gazon dansl’enclos (soit un peu moins de la moitie).

3. Le coefficient multiplicateur de la diminution du gazon en une semaine est leproduit des coefficients multiplicateurs des 7 jours de la semaine, tous egaux a 0, 9.D’ou Csemaine = (0, 9)7 ≈ 0, 48. Le pourcentage de diminution associe est donct = (1− Csemaine)× 100 ≈ 52 %. Ainsi, le volume de gazon a diminue de 52 % enune semaine.

NB : Au bout d’une semaine, il reste un peu moins de la moitie du volume degazon. Le volume a donc diminue d’un peu plus de la moitie. On doit doit trouverun pourcentage superieur a 50 %.

4. Pour 4 semaines (= 28 jours), le coefficient multiplicateur de la diminution duvolume de gazon est Cmois = (0, 9)28 ≈ 0, 05. Au bout de 4 semaines, il reste donc300× (0, 9)28 ≈ 15, 7 litres de gazon. Ce volume tient dans un seau de 20 litres.