• Sardines et requins en Méditerranée

• Modélisation de la dynamique des populations Equations de Lodka Volterra

• Equilibre et dynamique des populations

Jean-Alain, Février 2013

Présentation donnéeà la soirée de la ComBio31

le lundi 18 février 2013

• Vous trouverez en commentaires de ce Powerpoint une partie des explications données à l’oral lors de la soirée.

• Reportez vous y pour une meilleure compréhension des planches.

Vito Volterra, les sardines et les requins

Pourcentage de poissons sélaciens dans la pêche

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923

Trieste

Fiume

Trieste Fiume

1910 5,7

1911 8,8

1912 9,5

1913 15,7

1914 14,6 11,9

1915 7,6 21,4

1916 16,2 22,1

1917 15,4 21,2

1918 36,4

1919 19,9 27,3

1920 15,8 16

1921 13,3 15,9

1922 10,7 14,8

1923 10,2 10,7

Temps(année)

%

Guerre 1914-1918

Modélisation de la dynamiquedes populations

Un modèle simple

Une population libre de se reproduire

• L’ accroissement de la population est égal au nombre de naissances.

• Il est proportionnel au nombre d’individus.

• ∆ population = k x population

Un exemple simple

Temps Population Accroissement

1 1000 200

2 1200 240

3 1440 288

4 1728 346

5 2074 415

6 2488 498

7 2986 597

8 3583 7170

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6 8 10

Population

Population

temps

Nombre d’individus

Un modèle plus compliqué

• Une population de proies et de prédateurs

U nombre de proies

V nombre de prédateurs

• Accroissement des proies ∆ U = a x U – b x U x V

• Accroissement des prédateurs ∆ V = - c x V + d x U x V

a, b, c et d coefficients constants et positifs

Un exemple plus compliqué

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10

Proies

Prédateurs

Temps

Populationdesproies

Populationdesprédateurs

Accroissementdesproies

Accroissementdesprédateurs

1 4000 2000 1120 280

2 5120 2280 1419 421

3 6539 2701 1785 653

4 8324 3354 2218 1050

5 10543 4404 2699 1769

6 13241 6173 3155 3146

7 16396 9318 3391 5925

8 19787 15243 2920 11760

a 0,3 b 0,00001

c 0,02 d 0,00004

Temps

Temps

Sens du tempsNombre de prédateurs

Nombre de proies

Temps

Nombre de prédateurs

Nombre de proies

Sens du temps

Lapins et Lynx

Statistiques de la compagnie Hudson Bay Company

de 1847 à 1903

Peaux de lapins et peaux de lynx rapportés par les trappeurs dans

la baie d’Hudson

Étudié par Charles Elton en 1924

Lemmings et Hermines :un cycle de 4 ans, dans un rapport de 1000 pour les lemmings

Sardines, requins et arrêt de la pêche

U nombre de proies

V nombre de prédateurs

• Accroissement des proies ∆ U = a x U – b x U x V

• Accroissement des prédateurs ∆ V = - c x V + d x U x V

• Arrêt de la pêche : a croît, c décroît

Arrêt de la pêche

Temps

Nombre d’individus

Arrêt de la pêche

Avant

Après

Nombre de proies

Nombre de prédateurs

Sens du Temps

Arrêt de la pêche

Temps

Ratio

Conclusion

• Equilibre

• Dynamique et variabilité

• Prévisibilité

Références

• Histoires de mathématiques et de populationsNicolas Bacaër, Coll. Le sel et le fer, Ed. Cassini

• Hors Série n° 42 de Tangente : Mathématique et biologie, l’organisation du vivant

• Wikipédia : Lodka, Volterra, dynamique des populations, …

• logiciel libre de calcul numériquehttp://www.scilab.org/

• Méthode d’intégration numérique d’ordre 3 de Runge-Kutta