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PROPAGATION D’UN SIGNAL I Mesure de la célérité du son dans l’air Un groupe d’élèves effectue la mesure de la célérité des ultrasons dans l’air dans une pièce à 20,0°C. Leurs résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

N° mesure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c (m.s-1) 338 341 338 340 337 339 342 338 340 339 N° mesure 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 c (m.s-1) 338 336 342 341 337 342 336 338 339 343

1) Proposer un montage et un protocole permettant de mesurer la célérité des ultrasons dans l’air avec une bonne précision. 2) À partir des mesures obtenues, évaluer la célérité des ultrasons dans l’air à 20°C en calculant l’incertitude de répétabilité avec un niveau de confiance de 95%. 3) De quel(s) paramètre(s) dépend cette valeur ?

Réponse : c = (339 ± 1) m.s-1. II Sur une corde On déplace verticalement l’extrémité S d’une longue corde tendue, horizontale. L’élongation yS du point S atteint sa valeur maximale à la date t = 30,0 ms et ses variations en fonction du temps sont données dans le tableau ci-dessous.

t (ms) 0,00 10,0 20,0 30,0 40,0 yS (cm) 0,00 0,50 1,00 1,50 0,00

L’élongation d’un point M situé à la distance d = 2,00 m du point S, atteint, pour la première fois, la valeur 0,75 cm à la date t1 = 825 ms.

1) Représenter graphiquement les variations de l’élongation du point S en fonction du temps. 2) Calculer la valeur de la célérité de l’onde progressive. 3) Quelle est la longueur de la portion de corde affectée par le signal (pour t > 40,0 ms) ? 4) À quelle date le point M reçoit-il le signal ? À quelle date retrouve-t-il le repos ? 5) Quelle est la position du front d’onde à la date t1 ? 6) Quelle est la position du point de la corde possédant, à l’instant t1, l’élongation maximale ? Représenter la forme de la portion de corde affectée à cette date par le signal.

Réponse : 2,47 m.s-1 ; 9,88 cm ; 810 ms et 850 ms ; 2,04 m ; 1,96 m. III Onde progressive sur une corde Toutes les questions sont indépendantes. On considère une onde progressive qui se propage sur une corde à la vitesse c dans la direction

€

+! e x ,

c’est-à-dire dans le sens des x croissants. Elle est décrite par la fonction

€

y(x, t) = f (x − ct) . On donne c = 4 m·s-1. La figure ci-contre représente l'aspect de la corde à la date t = 0 (x et y sont donnés en m).

1) Cette onde est-elle transversale ou longitudinale ? Justifier. Citer un exemple de chaque type d’onde. 2) Comment serait modifiée la fonction précédente y(x, t) pour une propagation dans la direction

€

−! e x (propagation dans le sens des x

décroissants) ? Justifier rapidement. 3) Représenter la corde à l’instant t = 2 s.

!3#

!2#

!1#

0#

1#

!2# !1# 0# 1# 2# 3# 4# 5#

y"(m

)"

x"(m)"

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4) La célérité c de l’onde est donnée par la formule

€

c =Tµ

, où T est la tension de la corde en Newton et µ sa masse linéique,

c’est-à-dire sa masse par unité de longueur. Donner l’unité de µ en USI (unité du système international). Comment doit-on modifier la tension de cette corde pour doubler la valeur de c ? 5) Construire le graphe de la fonction

€

y 0, t( ) en fonction de t, qui décrit le mouvement du point 0 au cours du temps lors du passage de l'onde. Il sera justifié en détaillant la méthode utilisée.

IV Analyse d’un son Un musicien émet un son avec un synthétiseur. Il enregistre le signal correspondant au son à l’aide d’un microphone. La mesure sur la représentation graphique de la durée de trois périodes donne 3T = (6,75 ± 0,09) ms.

1) Donner la valeur de la période T du son musical. Calculer la fréquence correspondante et en donner un encadrement. Il réalise ensuite le spectre en fréquences de ce son. Ce dernier indique comme fréquence du troisième harmonique 1,32 kHz.

2) En déduire la fréquence du fondamental. Ce résultat est-il en accord avec le résultat de la question 1) ? Réponse : f = 440 Hz ∈ [438 Hz, 450 Hz]. V Interférences et cuve à ondes La figure ci-dessous à gauche représente une cuve à ondes éclairée en éclairage stroboscopique. Deux pointes séparées d’une distance a frappent en même temps, à intervalles réguliers, la surface de l’eau, générant deux ondes qui interfèrent. La figure est claire là où la surface de l’eau est convexe (sommet des vagues) et foncée là où elle est concave (creux des vagues). L’amplitude des oscillations est plus faible là où la figure est moins contrastée.

1) Sur le schéma en annexe à la fin du sujet, chaque cercle représente un front d’onde correspondant à une « crête » (maximum d’amplitude d’une des deux sources). Dites s’il y a interférence destructive ou constructive aux points A, B, C, D et E. Justifier. Où se trouvent les « ventres » (interférences constructives) ? Indiquez sur le schéma (à rendre avec la copie) la position des « nœuds » (interférences destructives) par des petits cercles. 2) On suppose pour simplifier que des ondes sinusoïdales partent des deux points S1 et S2 où les pointes frappent la surface. En notant λ la longueur d’onde, donner la condition pour que les interférences en un point M situé aux distances d1 et d2 respectivement de S1 et S2 soit destructives. Cette condition fait intervenir un entier m. 3) Pour chaque entier m le lieu des points vérifiant cette condition est une courbe que l’on appelle dans la suite ligne de vibration minimale. Les lignes de vibration minimale sont représentées sur la figure ci-dessus à droite, ce sont des hyperboles.

a) Les parties x < −a/2 et x > a/2 de l’axe (Ox) sont des lignes de vibration minimale. En déduire un renseignement sur a/λ. b) Sur le segment S1S2, quel est l’intervalle de variation de d2 − d1 ? Déduire de la figure la valeur de a/λ.

4) Expliquer pourquoi l’image est bien contrastée au voisinage de l’axe (Oy).

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Réponse : interférences constructives en A et D (max + max) ainsi qu’en B et E (min + min) ; interférences destructives en C (max +

min) ; interférences destructives si

€

δ = d1 − d2 = m +12

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ λ ; δ = a donc a/λ demi-entier ; - a < d2 – d1 < + a donc a/λ = 9/2 ; δ = 0 sur

(Oy).

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VI Interférences de deux ondes sonores frontales Dans le montage ci-dessus, les deux haut-parleurs HP1 et HP2 séparés de la distance 2D sont alimentés en parallèle par une même tension : les deux sources sonores émettent donc des ondes de même pulsation, même phase à l’origine et même amplitude :

€

y1 = y2 = a cosωt . Les deux ondes arrivent en M avec des retards différents où elles interfèrent.

1) Soit c la célérité des ondes sonores dans l’air, donner l’expression

€

y1(x, t) de l’onde issue de HP1 et arrivant en M d’abscisse x (origine prise au point O placé au milieu de la distance séparant les deux haut-parleurs). 2) De même, donner l’expression

€

y2 (x, t) de l’onde issue de HP2 et arrivant en M. 3) Représenter dans un cas quelconque, ces deux ondes sur un diagramme de Fresnel. 4)

a) En utilisant le diagramme de Fresnel, représenter l’onde résultante et déterminer son amplitude A.

b) Retrouver ce résultat par un calcul littéral. On donne la relation :

€

cos p+ cos q = 2 cos p+ q2

cos p− q2

.

5) a) Exprimer les conditions d’interférences constructives. b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.

6) a) Exprimer les conditions d’interférences destructives. b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.

7) a) Déterminer l’expression littérale de la distance entre deux maximums successifs d’intensité sonore. b) Expérimentalement on trouve d = 21,2 cm pour une fréquence de f = 800 Hz. En déduire la vitesse du son de l’air.

Réponse :

€

y1(x, t) = a cos ωt − k x +D( )[ ] et

€

y2 (x, t) = a cos ωt + k x −D( )[ ] ;

€

A = 2a cos kx( ) ;

€

x = n λ2

;

€

x = n +12

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ λ2

;

€

Δx =v2 f

;

v = 339 m.s-1. VII Ondoscope Un ondoscope dit « en échelle de perroquet » est constitué de segments métalliques reliés entre eux, pouvant subir des mouvements de rotation autour d’un axe vertical. On note (Ox) cette axe vertical, et l’on accepte que la déviation angulaire des segments successifs par apport à leur position de repos peut être décrit à l’aide d’une fonction d’onde y(x,t) où x est l’abscisse le long de l’axe (Ox) et t le temps. L’axe (Ox) est orienté vers le haut, son origine x = 0 est située au niveau de l’excitateur. Les valeurs de y seront décomptées en degrés (°).

On rappelle la relation trigonométrique :

€

cosα + cos β = 2 cosα + β2

cosα − β2

.

Un expérimentateur crée une situation d’ondes stationnaires sur cet ondoscope. L’extrémité supérieure de l’ondoscope, d’abscisse x = L, laissée libre de mouvement, va présenter un ventre de vibration, c’est à dire un maximum d’amplitude de valeur 2Yo = 10°. On suppose que les termes d’onde réfléchie yr(x, t) et d’onde incidente yi(x,t) ont

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même amplitude Yo. Ces deux ondes ont même pulsation ω. On note k le nombre d’onde. On note : yi(x, t) = Yo.cos(ωt – kx + φi) yr(x, t) = Yo.cos(ωt + kx + φr) On néglige tout phénomène de réflexion en x = 0.

1.Lesondesincidentesetréfléchiesvontsesuperposerselonlasommey(x,t)=yi(x,t)+yr(x,t).

1.1. Quels sont les sens de propagation des ondes yi(x, t) et yr(x, t) sur l’axe (Ox) ? 1.2. Montrer que l’onde y(x, t) résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie s’écrit sous la forme

€

y x, t( ) = 2Yo. f x( ).g t( ) , où l’on explicitera complètement les fonctions f(x) et g(t) en fonction des paramètres ω, k, φi , φr et des variables x ou t. 1.3. Commenter la forme obtenue. Quelle sera l’amplitude des oscillations en un point d’abscisse x donnée ?

2. L’expérimentateur impose à l’extrémité d’abscisse x = 0 un mouvement y(0, t) = b.cos(ωt). L’ondoscope a une longueur totale L = 1,10 m. La fréquence imposée est f = 2,0 Hz.

2.1. On observe que la manipulation conduit à des ondes stationnaires de longueur d’onde λ = 80 cm. Calculer la célérité c des ondes, ainsi que la valeur de k. 2.2. Que peut-on dire du mouvement d’oscillation en l’abscisse x = 90 cm ? Comparer les mouvements observés en les abscisses x = 70 cm et x = 110 cm. 2.3. Tracer une allure de y(x, to) en fonction de x, pour 0 < x < L, à l’instant to où le déplacement angulaire y atteint une valeur maximale en l’abscisse x = L. 2.4. En considérant le mouvement y(0, t) imposé en x = 0, relier les constantes de phase φi et φr. Puis en considérant l’amplitude des oscillations en l’abscisse x = L, déduire les valeurs de φi et φr en fonction de L et λ (modulo un certain angle). Proposer des valeurs numériques pour φi et φr. 2.5. Les conditions de réflexion en l’abscisse x = L amenant une amplitude A = 2Yo en cette extrémité, en déduire l’amplitude b qui devra être imposée par l’expérimentateur en x = 0, en fonction de Yo, L et λ. Calculer numériquement b.

3. L’expérimentateur souhaite maintenant obtenir une amplitude maximale pour les oscillations aux abscisses x = 0 et x = L. Pour obtenir cette situation, il diminue progressivement la fréquence f imposée aux oscillations à partir de la valeur f = 2,0 Hz. Il relève la valeur de fréquence fo immédiatement inférieure à f pour laquelle la situation voulue est réalisée.

3.1. Tracer une allure de y(x, t) à la fréquence fo, à un instant t quelconque. 3.2. Quelle doit être la valeur de fréquence fo pour atteindre ce comportement ? 3.3. Que se passe-t-il si l’expérimentateur impose une fréquence de valeur fo/2 ? Quelle sera alors l’amplitude de vibration au point P d’abscisse x = 55 cm ?

Réponse :

€

f (x) = cos kx +φr −φi2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ et

€

g(t) = cos ωt +φr +φi2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ; onde stationnaire d’amplitude

€

2Yo f (x) ;

€

c = λf = 1,6m.s−1 ;

€

k =2πλ

= 7,9rad .m−1 ; nœud en x = 90 cm ; ventres avec opposition de phase pour x = 70 cm et x = 110 cm ;

€

φi = −φr = 2π Lλ

π[ ] = 8,6rad ;

€

b = 2Yo cos2πLλ

= 7,1° ;

€

fo =cL

= 1,5Hz ; nœud en P.

VIII LA PISCINE À VAGUES On se propose dans ce problème d’étudier différentes techniques utilisées pour produire des vagues dans une piscine.

Partie A : Utilisation d’une plaque oscillante La première technique consiste à produire des ondes progressives à une extrémité de la piscine par déplacement horizontal d’un panneau métallique. La superposition de cette onde avec l’onde réfléchie à l’autre bout de la piscine produira une onde stationnaire.

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1) On donne la relation liant la célérité c des vagues à la profondeur H de la piscine, la masse volumique ρ de l’eau, l’accélération de pesanteur g, la longueur d’onde λ et le coefficient de tension superficielle A de l’interface eau – air.

€

c2 = gH +4π 2HAρλ2

a) Quelle est la dimension de ρ ? En déduire celle de A. b) On néglige l’effet de la tension superficielle en posant A = 0, en déduire l’expression liant c à g et H. Application numérique : calculer H pour obtenir c = 4,0 m.s−1. On donne g = 9,8 m.s-2.

2) Onde incidente zi(x, t) : les oscillations à la pulsation ω du plateau métallique permettent de produire une variation sinusoïdale de la hauteur z(−L, t) du point de la surface de l’eau situé à l’extrémité gauche de la piscine, en x = −L (Figure 1 ci-dessous). On posera k = ω/c .

On prend : zi(−L, t) = Zm.cos(ωt), expression de la hauteur zi, à l’instant t, de l’eau au point de la piscine d’abscisse x = −L. Il apparait une onde progressive que l’on supposera sinusoïdale et se déplaçant sans atténuation dans le sens des x croissants à la célérité c.

a) Déterminer zi(x, t) l’expression de l’onde progressive en fonction des données Zm, ω, c et L, on justifiera avec soin. Vérifier explicitement que votre formule appliquée en x = −L donne bien l’expression proposée par l’énoncé ci-dessus pour zi(−L, t). b) Donner l’expression zi(x, T/4 ) et tracer l’allure de l’onde incidente sur la piscine à t = T/4 où T est la période (temporelle) d’oscillation de la plaque. On fera apparaitre la période de zi(x, T/4) sur la figure.

3) Onde réfléchie zr(x, t) : à l’extrémité d’abscisse x = 0 de la piscine, apparait une onde réfléchie de même amplitude Zm et même célérité que l’onde incidente.

a) Quel doit être de déphasage entre zi(0, t) et zr(0, t) pour que l’amplitude de l’onde résultante (superposition de zi et zr) soit maximale en x = 0 ? b) En déduire l’expression du signal zr(0, t) puis de l’onde progressive zr(x, t).

4) Onde stationnaire z(x, t) : la superposition des deux ondes progressives zi(x, t) et zr(x, t) donne naissance à une onde stationnaire z(x, t) = zi(x, t) + zr(x, t).

On pourra utiliser la formule trigonométrique :

€

cos p+ cos q = 2 cos p+ q2

cos p− q2

.

a) Etablir l’expression de z(x, t) sous la forme z(x, t) = f(x).g(t) où f(x) = 2 Zm cos(kx) et g(t) est une fonction dont on donnera l’expression. b) On veut qu’il apparaisse également un nœud de vibration en x = −L. En déduire la relation liant λ et L. c) Représenter l’onde stationnaire à différents instants dans le cas où la condition précédente est respectée et il y a uniquement quatre nœuds à la surface de la piscine (en comptant celui situé en l’abscisse x = -L). d) Pour le mode de vibration précédent, quelle devrait être la longueur L de la piscine si l’on prend pour célérité c = 4,0 m.s−1 et une période d’oscillation de la plaque métallique T = 3,0 s ?

Partie B : Utilisation d’injecteurs

La seconde technique consiste à utiliser des injecteurs convenablement placés et synchronisés.

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Les injecteurs sont des dispositifs qui pulsent puis aspirent verticalement et alternativement de l’eau. Ils sont placés au fond de la piscine sous les ventres de vibration (cf figure ci-dessus). Un capteur de pression situé à une extrémité de la piscine permet de les synchroniser à une fréquence optimale f correspondant à un mode de vibration de l’onde stationnaire.

1) Placement des injecteurs : dans le mode représenté ci-dessus (Figure 2), on peut placer deux injecteurs. À quelle distance d du bord de la piscine de longueur L doivent-ils être placés ? (justifier).

2) Réglage des jets : on considère que les injecteurs sont réglés à la même fréquence f.

(a) Pour le même mode, exprimer f en fonction de L et de la célérité c des ondes (progressives) à la surface de la piscine. Faire l’application numérique pour L = 12 m et c = 4,0 m.s −1. (b) Les jets doivent-ils être injectés au même instant par les deux injecteurs ? Si non, quel doit être le retard temporel ∆t ?

3) Combien d’injecteurs faudrait-il, où devrait-on les placer et comment devrait-on régler les jets pour obtenir le mode de vibration correspondant à un nœud de plus dans la même piscine ?

Réponse : [A] = M.T-2 ;

€

c = ρg ;

€

zi (x, t) = Zm cos ωt − k(x + L)[ ] ;

€

zi (x,T4) = Zm sin k(x + L) ;

€

zi (x, t) = Zm cos ωt + k(x + L)[ ] ;

€

L =λ4

+ n λ2

; L = 21 m ; d = L/3 ;

€

f =3c2L

= 0,50Hz ; Δt = 1,0 S ; 3 injecteurs distants de L/4 avec f = 0,67 Hz et Δt = 0,75 s

IX INTERFERENCES ACOUSTIQUES Un microphone M est situé à des distances respectives r1 et r2 de deux haut-parleurs HP1 et HP2 émettant des signaux sonores de fréquence 100 Hz, en phase. On donne la célérité du son dans l’air c = 340 m.s-1. L’onde de pression p1(r, t) parvient en M avec une pression acoustique d’amplitude PM1 = 0,10 Pa. L’amplitude de l’onde sonore issue de HP2 est PM2 = 0,050 Pa. Les haut-parleurs sont assimilés à des sources d’ondes acoustiques ponctuelles.

1)Déterminerl’amplitudeglobalementperçueenMsir1=r2.2)Pourquelle(s)valeursder1etr2aura-t-onuneamplitudeminimale?Quevaudra-t-elle?3)Ondéplacelemicrophoneetl’onmesuredesdistancesr1etr2tellesquer2=r1+d,avecunevaleurd=0,85m.Quelestalorsledéphasageentrelesdeuxondes?Quelleestl’amplitudeprévisibleenM(onpourras’appuyersurunereprésentationdeFresnel)?4)QuelleestlavaleurendBdel’intensitéacoustiqueperçuedanslessituationsétudiéesdanslesquestions1.2.et3.?Ondonnel’intensitéacoustique:I=PM²/(2ρc)oùPMestl’amplitudeetρlamassevolumiquedel’airetl’onrappellequela

mesureendécibeldecetteintensitérépondà:

€

LdB = 10 log IImin

avecImin=10-12W.m-2(logreprésentelelogarithme

décimal).

Dans les conditions ambiantes, la masse volumique de l’air vaut : ρ = 1,2 kg.m-3. Commenter les résultats obtenus. 5) Proposer une méthode permettant une construction graphique des lieux géométriques correspondant aux positions des maxima et des minima d’intensité sonore. On considèrera les haut-parleurs comme des sources ponctuelles. Tracer un schéma pour une distance d = 10,0 m entre les haut-parleurs (échelle 1 cm pour 1 m).

Réponse : PM = 0,15 Pa ; PM = 0,05 Pa pour r2 – r1 = (2n+1) λ/2 ; π/2 rad ; PM = 0,11 Pa ; LdB1 = 74 dB ; LdB2 = 64 dB ; LdB3 = 72 dB.

r1 r2

M

HP1 HP2

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X Réflexion d’une onde sonore sur un mur On s’intéresse aux phénomènes acoustiques dans une salle de concert. On considère une onde acoustique plane se propageant dans l’air selon

€

! u x à la vitesse c. On note pi(x, t) la surpression associée à cette onde (c’est-à-dire l’écart de pression du à la perturbation par rapport à l’état de repos de l’air). On suppose que l’onde est sinusoïdale de pulsation ω et d’amplitude P0. L’onde se propage en direction d’un mur oblique qui est orienté selon la première bissectrice du plan (à 45° de chaque axe, cf schéma ci-contre), et qui passe par l’origine O du plan Oxy. Cet obstacle induit une onde réfléchie sinusoïdale et de même pulsation, qui se propage selon

€

! u y . On la notera pr(y, t). La réflexion étant supposée parfaite (sans absorption), l’amplitude de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde incidente.

1) a) Donner la forme explicite de la surpression pi(x, t). On choisira une phase nulle à l’origine (x, t) = (0, 0), et on introduira le nombre d’onde angulaire k après avoir rappelé sa définition. Comment s’écrit le vecteur d’onde

€

! k i de cette onde ?

b) Dessiner les plans d’onde qui correspondent à une phase égale à 0 [2π] à l’instant initial t = 0. Indiquer la distance qui les sépare en fonction de ω et c.

2) a) On admet que sur le mur, l’onde réfléchie est en phase avec l’onde incidente. Donner la forme explicite de la surpression pr(y, t). Comment s’écrit le vecteur d’onde

€

! k r de l’onde réfléchie ?

b) Dessiner les plans d’onde qui correspondent à une phase égale à 0 [2 π] à l’instant initial t = 0.

3) a) Donner la forme explicite de la surpression totale p(x, y, t). b) Montrer qu’il existe des surfaces de l’espace où l’on n’entend aucun son. Indiquer la forme de ces régions et leur équation. Les représenter sur le schéma. c) Calculer la distance d entre deux de ces surfaces consécutives, qu’on exprimera en fonction de la longueur d’onde λ de l’onde incidente. d) On suppose que l’onde incidente correspond au mode fondamental d’un La3 (f = 440 Hz) joué par un musicien. Evaluer numériquement la distance d. Commenter.

Donnée : célérité du son dans l’air dans les conditions de l’expérience : c = 340 m.s−1.

Réponse :

€

p(x, t) = P0 cos ωt − kx( )avec

€

! k i = k! u x et

€

k =ωc

;

€

x = q 2πcω

= qλ avec q entier ;

€

p(y, t) = P0 cos ωt − ky( ) avec

€

! k r = k! u y ;

€

y = qλ ;

€

p(x, y, t) = P0 cos ωt − kx( ) + cos ωt − ky( )[ ] ;

€

y = x + 2q+1( ) λ2 ; plans // mur ;

€

d =λ

2= 0,546m .